Inegaliti n mulimea numerelor reale.Inegaliti uzuale:

Exerciii propuse:1. Dac artai c:

2. Fr a efectua calculele s se arate c:

3. S se demonstreze c dac sunt numere reale pozitive, astfel nct , atunci n ce condiii are loc egalitatea?4. S se arate c dac sunt numere reale strict pozitive astfel nct , atunci 5. Demonstrai inegalitatea , pentru 6. Artai c: 7. Fr a extrage rdcina ptrat, artai c , unde

8. S se arate c:

9. a) Demonstrai c , oricare ar fi numerele reale i , pozitive.b) Artai c 10. Dac sunt numere reale astfel nct , , s se arate c 11. Demonstrai inegalitatea: , 12. Dac sunt numere reale strict pozitive astfel nct i , artai c 13. Dac sunt numere reale strict pozitive astfel nct i , artai c 14. Dac sunt numere reale strict pozitive astfel nct i , artai c 15. Artai c dac , atunci 16. S se arate c dac i , atunci are loc inegalitatea 17. Artai c dac i , atunci are loc inegalitatea 18. Demonstrai c pentru orice numere reale nenegative , , , are loc inegalitatea 19. Demonstrai inegalitatea:

20. Demonstrai, c pentru orice numr real nenegativ are loc inegalitatea:

21. Dac sunt numere reale pozitive i produsul lor este egal cu , demonstrai c .22. Demonstrai c pentru toate valorile reale ale lui i se verific inegalitatea

23. Demonstrai inegalitatea:

24. Demonstrai c , oricare ar fi numerele reale nenegative 25. Demonstrai c , pentru orice numr natural .26. Fie i Artai c .27. S se arate c pentru orice numr real nenul avem 28. Dac sunt numere reale stric pozitive, artai c 29. a) Fie numere reale pozitive. Demonstrai inegalitatea n ce condiii are loc egalitatea?b) Fie numere reale pozitive. Demonstrai inegalitatea 30. Fie lungimile laturilor unui triunghi, iar semiperimetrul triunghiului. S se demonstreze inegalitatea: 31. Demonstrai c , unde numere pozitive.32. S se demonstreze c , oricare ar fi numrul real pozitiv .33. Pentru orice numere reale nenule s se demonstreze inegalitatea 34. Fie lungimile laturilor unui triunghi, iar - raza cercului circumscris acestui triunghi. Demonstrai c 35. Numerele strict pozitive verific relaia Artai c 36. Fie numerele reale pozitive, astfel nct S se arate c 37. Fie numere reale, astfel nct . Demonstrai c 38. S se arate c dac sunt numere reale pozitive i , atunci are loc inegalitatea 39. S se arate c dac i , atunci 40. a) Fie . S se arate c b) Fie . S se arate c