Inţenjerska grafikageometrijskih oblika

(3. predavanje, 4. tema)

Prva godina studijaMašinskog fakulteta u Nišu

Predavač:

Dr Predrag Rajković

Februar 19, 2013 1. predavanje, 4. tema

Površ.Pojektovanje površi pomoću softvera RHINOCEROS

Površ (Surface )

• Ravanska površ je podskup ravniograničen neprekidnom zatvorenomkrivom.

• Opšta površ (Surface) je podskuptrodimenzionalnog prostora koji semože obostrano jednoznačno i nepre-kidno preslikati u neku ravanskupovrš .

Površ (Surface )

• Površ moţe nastati popunjavanem dela prostora ograničenog krivom. Ova kriva je kontura površi (kruţnica je kriva, a krug površ).

• Površ moţe biti skup graničnih tačaka tela

(sfera je površ, a lopta je telo).

CRTANJE POVRŠI

• Podmeni Surface (površ)omogućava crtanje projekcija površi.

PROSTA POVRŠ

Prosta površ je ograničeni skup tačaka u prostoru čije koordinate su zadate jednoznačnim, neprekidnim dvoparametarskim funkcijama oblika

),(),(),(

),(

),(

),(

dcbavr

vrzz

vryy

vrxx

Vektorska jednačina površi

),(),(),(

),,(pp

dcbavu

vu

Prva projekcija površi

),(

),(

),(

vuzz

vuyy

vuxx

0

),(

),(

z

vuyy

vuxx

p

p

Druga projekcija površi

),(

),(

),(

vuzz

vuyy

vuxx

p

p

),(

0

),(

vuzz

y

vuxx

Treća projekcija površi

),(

),(

),(

vuzz

vuyy

vuxx

p

p

),(

),(

0

vuzz

vuyy

x

Eksplicitna jednačina površi

2),(),,( RDyxyxfz

Implicitna jednačina površi

3),,(,0),,( RDzyxzyxF

Strana površi

Pozitivna strana površi (lice površi) je ona strana površi koja ostaje sa leve strane kada se po konturi površi krećemo u pozitivnom smeru (u smeru suprotnom od kazaljke na časovniku).

Pozitivna strana površi je ona strana koju odredjuje pozitivni smer normale površi (smer normale koji saz-osom zaklapa oštar ugao)

Moebiusova traka-jednostrana površ

ALGEBARSKE POVRŠI

• Algebarske površi su površi čije koordinate tačaka zadovoljavaju algebarsku jednačinu oblika

0zyxa mmmkj

m

i

k

)k,j,i(maxn mmmm

• Algebarska površ je stepena n ako je

ALGEBARSKE POVRŠI

• Algebarske površi drugog stepena su

• Konus, cilindar, elipsoid, eliptički konus, eliptički cilindar, eliptički hiperboloid, eliptički paraboloid, hiperbolički cilindar, hiperbolički paraboloid, sfera

• Algebarske površi trećeg stepena su

Mebiusova traka, sedlasta površ, ...

Ravne površi

Ravne površi su one koje čije sve tačke leţe u jednoj ravni (trougao, paralelogram, krug,...)Ukoliko ţelimo ih nacrtati u nekoj ravni van projekcijskih ravni treba aktiviratiView>SetCPlane>3Points

Jedinična površina je mera za površinu jediničnog biti skup graničnih tačaka tela

(sfera je površ, a lopta je telo).

Paralelogram određen stranama

Paralelogram određen početnom tačkom i vektorima stranica

)1,0()1,0(),(

,pp 00

vu

svru

Paralelogram određen temenima

100100 p,p,p

Ako treba nacrtati paralelogram čija su tri temena određena vektorima poloţaja

problem se svodi na prethodni slučaj izračunavanjem

00010010 pp,pp

sr

Površina ravne površi

•Kvadrat je četvorougao čije su sve stranicemeđusobno jednake i svi uglovi pravi.

•Jedinična površina je površina kvadrata sa

jediničnom stranicom.

•Ako su gornji limes ukupne površine

kvadrata upisanih u datu površ i donji limes

ukupne površine kvadrata opisanih oko te

površi jednaki, tada je taj broj površina ravne

površi.

Površina prostorne površi

•Površina razloţive prostorne površi je jednakapovršini ravne površi nastale njenim

razlaganjem .

• Ako su gornji limes površina razloživih

kvadrata upisanih u datu površ i donji limes

ukupne površine razloživih površina opisanih

oko te površi jednaki, tada je taj broj površina

nerazložive prostorne površi.

Površ određena konturom

Površ čija je kontura data crta se pomoćuSurface>From Planar Curves

Površ određena konturom

)2,0(u

0z

usinRy

ucosRx

Kružnica

),(),2,0(

0

sin

cos

Rrvu

z

uvy

uvx

Krug

)(p u )v,u(p

Pravilni poligon

Pravlni poligon kao kriva se crta pomoću menija Curve>Polygon.Površ se dobija pomoću opcijeSurface>From Planar Curves

Površ određena graničnim krivama

Površ koja je određena graničnim krivama crta se pomoćuSurface>Edge Curves

CILINDRIČNA POVRŠ

Cilindrična površ nastaje paralelnim pomeranjem tačaka date krive u smeru zadatog vektora.

Polazeći od date krive, moţe se nacrtati pomoću

Surface>Extrude >Straight

CILINDRIČNA POVRŠ

s

)(p u

JEDNAČINA CILINDRIČNE POVRŠI

)1,0()1,0(),(

,)(p),(p

vu

svuvu

•gde je p(u) - neka prostorna kriva,

•s - vektor pravca krive linije koja se pomera.

KRUŢNI CILINDAR

)2,0(

0

sin

cos

u

z

uRy

uRx

),0()2,0(

sin

cos

bvu

vz

uRy

uRx

)(p u

),(p vu

Kruţni cilindar nastaje paralelnim pomeranjem kruga.

PRIZMATIČNA POVRŠ

Prizmatična površ nastaje paralelnim pomeranjem tačaka datog mnogougla u smeru zadatog vektora.

Polazeći od nacrtanog poligona, moţe se nacrtati pomoću

Surface>Extrude >Straight

KONUSNA POVRŠ

Konusna površ nastaje spajanjem tačaka date kruţnice sa datim vrhom.Moţe se nacrtati pomoćuSurface>Extrude >To Point

KONUSNA POVRŠ

b

vb

R

r

KONUSNA POVRŠ

)2,0(

0

sin

cos

u

z

uRy

uRx

),0(),2,0(

sin

cos

bvu

vz

uRb

vby

uRb

vbx

PIRAMIDALNA POVRŠ

Piramidalna površ nastaje spajanjem tačaka datog poligona sa jednom istom tačkom u prostoru.

Polazeći od datog poligona, moţe se nacrtati pomoću

Surface>Extrude >To Point

OBRTNA POVRŠ(REVOLVE SURFACES)

)(

0

)(

uzz

y

uxx

)(

sin)(

cos)(

uzz

vuxy

vuxx

)(p u ),(p vu

Obrtna površ nastaje rotacijom krive oko date ose

Primer 1. Obrtna površ nastala rotacijom krive u Oxz ravni oko z-ose

OBRTNA POVRŠ(REVOLVE SURFACES

KONUS (CONE)

buz

y

aux

0

buz

vauy

vaux

sin

cos

)(p u

),(p vu

Konusna površ nastaje rotacijom prave oko ose sa kojom ima jednu zajedničku tačku

Primer 1. Konus nastao rotacijom simetrale Oxz ravni oko z-ose

SFERA (SPHERE)

uRz

vuRy

vuRx

sin

sincos

coscos

)(p u

),(p vu

Sfera nastaje rotacijom kruga oko jednog njegovog prečnika

uRz

y

uRx

sin

0

cos

Primer 1. Sfera kao obrtna površ nastala rotacijom kruţnice koja leţi u Oxz ravni oko z-ose

Primer 1. Obrtna površ nastala rotacijom krive u Oxz ravni oko z-ose

TORUS

urqz

vurpy

vurpx

sin

sin)cos(

cos)cos(

)(p u

),(p vu

Torus nastaje rotacijom kruga oko ose koja leţi izvan njega u istoj ravni

urqz

y

urpx

sin

0

cos

Primer 1. Torus nastao rotacijom kruţnice u Oxz ravni sa centrom C(p,q) i poluprečnikom roko z-ose

TORUS

urqz

y

urpx

sin

0

cos

Torus

urqz

vurpy

vurpx

sin

sin)cos(

cos)cos(

Površ nastala izvlačenjem osnovne krive duţ izvodnice

Površ nastala izvlačenjemosnovne krive(shape curve, direktrisa)

duţ krive izvodnice(path curve, generatrisa, putanja)

dobija se pomoćuSurface > Extrude > Along Curve

Surface > Extrude > Along Curve

MREŢA KOORDINATNIH LINIJA NA POVRŠI (GREED)

Koordinatne u-linije date su jednačinama

),(),,(pp 0 bauvu

Koordinatne v-linje su

),(),,(pp 0 dcvvu

KOORDINATNE LINIJE NA CILINDRU

)2,0(

sin

cos

)(

0

u

vz

uRy

uRx

kruznicelinijeu

),0(

sin

cos

)(

0

0

bv

vz

uRy

uRx

pravelinijev

MREŢA KOORDINATNIH LINIJA NA POVRŠI (GREED)

Meridijan

Paralela

MREŢA KOORDINATNIH LINIJA NA POVRŠI (GREED)

U-linijeV-linije

MREŢA KOORDINATNIH LINIJA NA POVRŠI (GREED)

Paralela

Meridijan

TANGENTE KOORDINATNIH LINIJA

Tangenta u-linije

),,(p

p 00 vudu

du

Tangenta v-linije

),,(p

p 00 vudv

dv

NORMALA POVRŠI ITANGENTNA RAVAN

Vektor normale

,pp

dv

d

du

dn

Tangentna ravan

0)( 0 ppn

Normala površi

PRESECI KRIVIH I POVRŠI

Presečna kriva dveju površi itačke prodora krive kroz površdobijaju se pomoću opcije

Curve>From Objects>Intersection

PRESEK KRIVE I POVRŠI

Curve>From Objects>Intersection

PRESEČNA KRIVA DVEJU POVRŠI

Curve>From Objects>Intersection

MREŢA POVRŠI (UNROLL SURFACE)

Mreţa date površi je površ u ravni nastala razvijanjem prostorne površi.Razloţiva površ je ona čija se mreţa moţe prikazati u jednoj ravni.Postoje i nerazloţive površi. Površi koje imaju dvostruku krivinu nisu razloţive (sfera, torus).

MREŢA POVRŠI (UNROLL SURFACE)

MREŢA POVRŠI (UNROLL SURFACE)