Jean-Paul Molina d'aprs TD ECP 1

Soit un solide S de masse volumique ayant la forme d'une calotte parabolique pleine et homogne d'axe de rvolution Oz et

dont l'quation polaire est 1

z r2p

=

(p est le paramtre de la parabole mridienne) On donne la position du centre d'inertie G

2OG hk

3=

uuuur ur

1 Calculer la masse m de ce solide. 2 Calculer l'oprateur d'Inertie en O. 3 Calculer l'oprateur d'Inertie en G. 4 Calculer l'oprateur d'Inertie en un point P quelconque du cercle de base.

Jean-Paul Molina d'aprs TD ECP 2

Corrig

1 masse m dv= m avec le volume lmentaire comme celui d'un disque de hauteur dz

Alors dv = p r dz, or r = 2p z h

0

m 2p zdz= mp m = p p h 2 Le solide de rvolution permet d'crire que

Oxy OxzOx Oy Oxz Oyz

Oyx Oyz

I II I I I

I I+

= = + ; Oz Ozx Ozy OzxI I +I I2= = ; Ox Oy Oxy Oz

1I I I + I

2= =

En appliquant la dfinition de l'oprateur d'inertie, on obtient :

OI

( i , j ,k)

hm (2p 3h)

6h

m (2p 3h)6

2mph

3

+ = + r r ur

3 En appliquant le thorme de Huyghens gnralis , on a :

GI

( i , j ,k)

hm (6p h)

18h

m (6p h)18

2mph

3

+ = + r r ur

4 En point P du cercle de base, il faudra crire P GI I mPG (... PG)= + uuur uuur

et l'on prendra

hPG 2phj k

3= - -

uuur r ur

Le double produit vectoriel appliqu aux vecteurs de base donne :

h2ph 0 0

9h h

m 0 2ph9 3

h0 2ph 2ph

3

+ - -

Finalement

PI

( i , j ,k)

h7p 0 0

2mh h

0 p 2ph3 2

0 2ph 8p

+

= + -

- r r ur