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Facultad de Ingeniería

Universidad Nacional de La Plata

ESTRUCTURAS IV

INESTABILIDAD DE PLACAS

Autores: Ing. Marcos D. Actis Ing. Alejandro J. Patanella

2004

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INESTABILIDAD DE PLACAS CON CARGAS CONTENIDAS

EN SU PLANO INTRODUCCIÓN Una estructura monocasco o semimonocasco, está compuesta por chapa fina reforzada por medio de larguerillos o bien por una malla. Esta chapa reforzada está sujeta a una variedad de cargas, algunas de las cuales pueden producir tensiones de compresión o corte en el plano de la chapa. Resulta por tanto importante conocer cuál es el valor de la carga que produce pandeo de tales chapas. Este valor depende por cierto de los siguientes factores:

a) Tipo de carga (compresión, corte, flexión, torsión, etc.) b) Condiciones de borde (empotrados, simples, libres, etc.) c) Dimensiones (longitud, ancho, espesor) d) Material (aluminio, aceros, compuestos, etc.)

La tensión teórica de pandeo de un elemento estructural se define como la tensión estable entre configuraciones de equilibrio entre la posición recta y la curvada ligeramente. A medida que se continua con la aplicación de la carga se tiene un crecimiento acelerado de las defermacioens en la dirección perpendicular al plano de la placa. La importancia de este fenómeno es el hecho de que el pandeo inicia el proceso físico que terminara en la eventual falla de la placa. La solución matemática de un problema de pandeo particular requiere que las condiciones de equilibrio y de borde sean satisfechas. Esto puede ser logrado a través de la integración de la ecuación diferencial parcial de equilibrio que satisfaga completamente a las condiciones de borde. No siempre es posible determinar soluciones exactas y soluciones aproximadas son necesarias para problemas complejos. Para comenzar el tratamiento matemático de este problema consideremos una chapa cargada como la de la Figura 1 con Py, Px, y Pxy actuando en los planos medio de la misma y uniformemente distribuida. Esto dará origen a tensiones σy, σx y σxy

Figura 1

Px

Py

b

a

x

y

2

La ecuación que gobierna este fenómeno surge de la ecuación general de placas para un estado general de cargas:

yxwP

ywP

xwPqwN xyyx ∂∂

∂−

∂∂

−∂∂

−=∇2

2

2

2

22 2

Para nuestro análisis solamente consideraremos Py, que originara una tensión σy, lo cual simplificará considerablemente las ecuaciones (otras condiciones de carga serán discutías en distintas secciones). En consecuencia:

q0 = 0 Px = 0 Pxy = 0

Que luego la ecuación general queda se obtiene;

2

22

ywPwN y

∂∂

−=∇

En el estudio de placas planas, se consideran las tensiones por unidad de longitud, entonces reemplazando N y dividiendo toda la expresión anterior por t (espesor de la placa) nos queda:

2

22

2

)1(12 yww

tEy∂∂

σ−=∇μ−

la cual representa la ecuación general de equilibrio Se puede demostrar que si los cuatros bordes son simplemente apoyados, la deformación será de la forma,

( )a

ymb

xnwyxw o

ππcossen, =

Figura 2

la cual debe satisfacer las condiciones de borde, tal que,

y

x

b

Py

a 4BS

3

para ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ″μ+″−===

⎭⎬⎫

=≤≤

xyy wwNMw

ybx

00

00

para ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ″μ+″−===

⎭⎬⎫

=≤≤

yxx wwNMw

xay

00

00

Reemplazando la solución propuesta en la ecuación general de equilibrio, obtenemos la solución que corresponde a la tensión critica de pandeo para la placa considerada, es decir,

( )2

2

222222

112⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

μ−π

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=σ

btE

mbambna

cr

Esta solución corresponde a un análisis energético, en la cual m es el número de semiondas en la dirección longitudinal a la carga y n es el número de semiondas en la dirección perpendicular a la carga.

Figura 3

Considerando un n =1 se obtiene el menor valor en la tensión de pandeo. En consecuencia la expresión queda de la tensión critica de pandeo quedará reducida a;

( )2

2

2

112⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

μ−

πκ=σ

btE

cr

donde 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=κ

abm

mba

Trazando una curva que relacione κ con la relación de forma a/b, para una condición de contorno de 4 bordes simples (Figura 4), tenemos

m

n

4

m a/b κ 1 0.5

1.0 1.5

6.25 4.00 4.70

2 1.0 1.5 2.0 2.5

6.25 4.34 4.00 4.20

3 2.0 3.0 4.0

4.69 4.00 4.34

Figura 4

Cualquier cambio en las condiciones de borde solo produce un cambio en el valor de κ, quedando el resto de la ecuación invariante. Los valores del coeficiente κ en función de las condiciones de borde y de la relación de aspecto a/b se pueden obtener de las curvas teóricas que se muestran en la Figura 5, datos recogidos experimentales se ajustan bastante bien con los descriptos a través de estas ecuaciones. Gráficos para distintos estados de carga y distintas condiciones de borde se puede encontrar en el Apéndice A.

5

Figura 5

OTRAS CONDICIONES DE CARGAS

PANDEO POR CARGAS DE CORTE Consideramos un estado de tensiones de corte σxy. Trabajando de la misma forma que en para las otras cargas consideradas, se obtiene la expresión de las tensiones de corte critica que tiene la misma forma que la ecuación, es decir;

( )2

2

2s

cr bt

112

E⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

μ−

πκ=σ

donde κs es una función de la relación de aspecto a/b, siendo b la longitud correspondiente al lado menor de la placa. Es interesante ver que una placa plana rectangular sujeta a corte puro produce tensiones internas de compresión en planos a 45° con respecto a los bordes. De esta forma esta tensión de compresión causa en la placa el pandeo en patrones como se ve en la Figura 6, los cuales tiene una media longitud de onda de 1.25 b, siendo b la longitud del lado menor.

6

Figura 6

Las curvas teóricas, representadas en la Figura 7, concuerdan con los valores experimentales para placas aproximadamente cuadradas, (a/b ≈ 1), pero presentan grandes desviaciones para relaciones de a/b grandes, viéndose que los valores experimentales son menores que los teóricos.

Figura 7

El set completo de curvas representativas de los valores de k para distintas condiciones de borde y carga con corrección por cladding se pueden encontrar en el Apéndice A.

PANDEO POR CARGAS DE FLEXIÓN Para una chapa delgada está sometida a flexión, la ecuación diferencial que define la inestabilidad de la placa es la misma que la de compresión o corte, difiriendo sólo el valor de la constante κ, la cual será llamada κb . Cuando una chapa en flexión pandea, se producen

1.25 b

b w+w+ w-

τ

τ

τ

τ

w=0

w=0

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ μ−

π=

2e112

2skK

7

ondulaciones de longitud de onda menor que con el caso de compresión. Por ejemplo en el caso de bordes simplemente apoyados tendríamos con una posición del eje neutro centrada, la configuración que se ve en la Figura 8.

Figura 8

Esta condición implica que la constante de pandeo será mayor que las correspondientes a esfuerzos corte y compresión. De esta forma podremos escribir:

( )2

2

2b

cr bt

112

E⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

μ−

πκ=σ

siendo κb la constante de pandeo correspondiente a flexión la cual puede ser obtenida de los siguientes gráficos (ver Figura 9). En dicho grafico se muestra para una placa simplemente apoyada en todos sus bordes donde se puede determinar la constante de pandeo para un momento flector cuyo eje neutro puede tomar cualquier posición sobre la placa.

Figura 9

2/3 b

b

σb

σb

σb

σb w = 0 w = 0w = 0 w = 0 w = 0

w +w - w - w - w +

8

OTRAS CONDICIONES DE BORDE

BORDES ELASTICOS Cuando los bordes de las chapas están unidos a los elementos estructurales del avión, la condición de borde efectivas de la chapa cambian siendo, en general, diferentes de aquella dada por las ideales. El comportamiento de las placas sometidas a cargas de pandeo con variadas cantidades de restricciones rotaciones elásticas a lo largo de los bordes no cargados puede ser analizada teniendo en cuenta la relación entre el coeficiente de pandeo κ, la longitud de onda del pandeo. A medida que la capacidad de restricción rotacional de los apoyos aumenta, longitud de onda del pandeo disminuye. Considerando el caso en que los bordes no cargados estén restringidos totalmente para una deformación de flexión, pero elásticamente restringido en rotación, como se ve en la Figura 10

Figura 10

Este caso es el de una chapa apoyada sobre larguerillos con una rigidez a flexión infinita y con una rigidez torsional finita e igual a μ . Casos limites aparecerán cuando μ = 0 y μ = ∞, los cuales representan a la condición de bordes simples y bordes empotrados respectivamente. La ecuación que da la carga critica de pandeo en este caso es similar a las ya definidas, es decir,

( )2

2

2

112⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

μ−

πκ=σ μ

btE

cr

donde κμ es una función de a/b y μ

9

La acción teórica de la restricción sobre el borde de la placa no cargada se puede estudiar considerando una serie de resortes torsionales desconectados entre si. En estos casos es necesario determinar la restricción efectiva para el borde del refuerzo o apoyo a fin de poder corregir los coeficientes de pandeo, κ. Aunque se puede ver que no es necesario determinar e con un grado alto de exactitud ya que κ no es muy sensible a pequeñas variaciones de μ, como se puede ver en la Figura 10. μ es la rigidez torsional del elemento que soporta al borde de la placa. La rigidez torsional se calcula a través de los métodos convencionales o experimentalmente a través de la relación existente entre el momento torsor aplicado, Mt, y la deflección angular unitaria, θ, es decir

tt C

M=

θ=μ

Analizando las curvas presentadas en la Figura 10, se puede pensar como una situación donde la placa en cuestión se encuentra apoyada sobre refuerzos. Si esta solución quiere aplicarse a paneles continuos reforzados con larguerillos, debe considerarse que sobre la chapa se transmitirá un momento flector a cada lado del larguero, que en el caso de pandeo simétrico estos momentos tendrán el mismo sentido. Con estas consideraciones resulta evidente que para una chapa continua, la rigidez torsional efectiva será la mitad de la correspondiente a una chapa única. La evaluación de la rigidez torsional de un larguerillo se puede realizar por cualquiera de los métodos estándares. PANDEO ELASTOPLASTICO Cuando la tensión de pandeo excede el limite proporcional del material de la placa en la ecuación de la carga critica de pandeo los términos que se ven afectados son el κ, E y el ν. La constante de pandeo, κ, depende del tipo de carga, la longitud de onda del pandeo como así también de sus condiciones de contorno. El modulo de elasticidad, E, se ve alterado por la reducción de rigidez producida por los fenómenos inelasticos. Mientras que el modulo de Poisson, ν, exhibe una reducción de su valor elástico, νe, al valor de 0.5 que corresponde a un material incompresible isotópico. A tal efecto existen distintos factores de corrección como el η y el η que permiten corregir por plasticidad y por efectos del cladding de la chapa. Por simplicidad de calculo los efectos de plasticidad son generalmente incorporados a través de un simple coeficiente el cual es llamando factor de corrección por plasticidad, η, que por definición se tiene,

cre

crp

σ

σ=η

donde σcrp es la tensión critica con plasticidad y la σcre es la tensión critica con elástica De esta forma la tensión critica de pandeo se corrige por efectos plásticos, quedando,

( )2

2

2

112⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

μ−πκ

η=σbtE

cr

10

Una expresión para el η debe incluir una medición de la rigidez del material durante su comportamiento inelastico de tensiones. Ya que el comportamiento tensión/deformación del material en su rango plástico no es lineal, el mismo debe modelarse para obtener dicho factor de corrección por plasticidad. Existen numerosos modelos para ajustar la curva que relaciona la tensión con la deformación en todo su rango, dichos modelos tendrán diferente numero de parámetros. Por ejemplo, el modelo de 3 parámetros de Osgood define la relación σ - ε como;

nffE

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

7.07.07.0 σσσε

donde ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

85.0

7.0

717

ln

ln1

σσ

n

siendo σ0.7 la tensión secante de fluencia tomada desde la intersección de la curva σ - ε y la pendiente definida por 0.7E dibujada desde el origen, con el mismo criterio se define σ0.85 y n corresponde a la forma de la curva σ - ε en la región de fluencia. Este procedimiento se sumariza gráficamente en la Figura 11. Para los materiales algunos de los materiales de uso mas frecuentes se listan en la Tabla 1 las constantes para la corrección por plasticidad.

Figura 11

11

Tabla 1

Estos factores de corrección no dimensional de tensión de pandeo se pueden obtener a través de las curvas que se presentan a continuación, ver Figura 12 y Apéndice B, que se definen para cada estado de carga y para cada condición de borde. Cabe destacar que se consideran que los factores utilizados para condiciones de borde empotradas y con resistencia a la rotación no nula, se encuentran agrupados y se utilizan los factores correspondientes a la condición de bordes simplemente apoyados. Por ejemplo para pandeo por compresión para placas largas se tiene,

12

( )( )2

2

21

113

112 ν−

ν−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=η e

s

ts

EE

EE

Figura 12

siendo Es el modulo de elasticidad secante, Et el tangente y νe el modulo de Poisson elástico, ν el modulo de Poisson en la región inelastica. El eje de las abscisa se encuentra adimensionalizado a través de la tensión σ0,7 y entrando en la curva en función de n (el factor del modelo de Osgood) se puede determinar sobre las ordenas la nueva tensión de pandeo, la cual también se encuentra adimesionalizada. También existe una tensión máxima o de corte, por encima de la cual se considera no seguro la utilización del material. Dicho valor de corte difiere en función del tipo de carga. Algunos valores sugeridos se pueden ver en la Tabla 2. Debe verificarse siempre que la tensión de pandeo sea igual o menor a la tensión limite.

Tensión máxima (en psi) Material Pandeo por compresión Pandeo por Flexión Pandeo por Corte 2024-T 2014-T 6061-T

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ+

2000001 cy

cyF ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ+

2000001 cy

cyF 0.61 σcy

7075-T 1.075 σcy 1.075 σcy 0.61 σcy 18-8 (1/2 H) 18-8 (3/4 H) 18-8 (FH)

0.835 σcy

0.875 σcy

0.866 σcy

0.835 σcy

0.875 σcy

0.866 σcy

0.51 σcy 0.53 σcy 0.53 σcy

Otros σcy σcy 0.61 σcy

Tabla 2

Por ejemplo, considerando una placa de 6" por 3" simplemente apoyada y con un espesor de 0.1" hecha de aluminio 7075-T6, se quiere determinar la tensión critica de pandeo considerando fenómenos plásticos. De tablas (ver Apéndice B) se tiene que σ0.7 = 70 ksi, σ0.85 = 63 ksi y el E = 10.5 103 ksi. De gráfico de pandeo para cargas de compresión con 4 bordes

13

simples se tiene que κ = 4. Calculando la tensión critica elástica adimensionalizada con σ0.7 tenemos

6.031.0

70)3.01(12105.10 2

2

32

7.0≅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−πκ

=σσcr

de la misma forma

5.9)ln()ln(

163707

17

≅+=n

de la Figura 12 o del gráfico en el Apéndice B, se tiene que la tensión critica de pandeo elastoplástica adimensionalizada es de 0.54, es decir,

. 54.07.0≈

σσcr entonces ksicr 8.37≈σ (corregida por plasticidad)

PANDEO DE PLACAS PARA CARGAS COMBINADAS En los casos prácticos de diseño es común encontrar placas planas sometidas a estados combinados de cargas, como se muestra en la Figura 13. Por lo tanto la resistencia al pandeo de dichas placas debe evaluarse para el estado combinado de carga que presente. La forma conveniente de realizar este análisis es mediante el uso de las ecuaciones de interacción

Figura 13

CONCEPTOS DE INTERACCIÓN El planteo se complica al tratar estimar la resistencia ultima de elementos estructurales en los casos de estados combinados de carga axiles, corte, torsión y flexión, cuando hay asociados fenómenos de inestabilidad. Los métodos más satisfactorios para encarar tales situaciones son los llamados métodos de interacción, originalmente desarrollados por Shanley. En este método el estado de tensiones de una estructura se representa por una relación de tensiones, es decir un coeficiente adimensional que denota la fracción de tensiones admisible o resistencia de un elemento que se desarrolla para una dada combinación de carga. Entonces la relación de tensiones puede definirse,

cargas)(oadmisiblesTensionescargas)(oaplicadasTensiones

=σσ

=adm

R

De esta forma el margen de seguridad se define como,

σy

τxy σb σx

14

1R11admMs −=−

σσ

=

En los casos individuales de solicitación se tiene;

Tracción adm

a PPR =

Compresión adm

c PPR =

Flexión adm

b MMR =

Torsión admt

ts M

MR =

Corte adm

s QQR =

La falla existirá en el caso de cargas combinadas cuando las relaciones de tensiones cumplan con la condición de;

Raα + Rc

β + Rbχ + Rs

δ < 1.0 La ecuación establece que una componente sometida a un dado estado combinado de cargas fallará cuando la forma de la relación de tensiones es mayor o igual 1. En ciertos casos simples de sistemas combinados los exponentes de las relaciones de tensiones pueden calcularse analíticamente con alguna teoría de rotura. Sin embargo en el caso particular de combinaciones de cargas que pueden provocar inestabilidad estos coeficientes se determinan a través de métodos experimentales COMPRESIÓN LONGITUDINAL Y FLEXIÓN La ecuación de interacción que es aceptada para esta combinación se presenta a continuación, como así también, gráficamente en la Figura 14 en la cual aparecen distintas combinaciones para varios márgenes de seguridad.

0.175.1 =+ cb RR

15

Figura 14

CORTE Y FLEXIÓN Para esta caso la ecuación de interacción se define como;

0.122 =+ sb RR siendo la expresión del margen de seguridad

1122−

+=

sb RRMs

La Figura 15 muestra estas relaciones de tensión para ciertos márgenes de seguridad siendo Rs la relación de tensiones debido al corte torsional y tensiones de corte transversales o corte flexural.

Figura 15

TENSIÓN LONGITUDINAL (COMPRESIÓN O TRACCIÓN) Y CORTE Para esta condición de carga se tiene, donde RL representa a las condiciones Rc y Ra,

0.12 =+ sL RR 14

222−

++=

sLL RRRMs

16

Gráficamente se puede analizar utilizando las curvas que se muestran en la Figura 16 donde la tensión de tracción es considerada como compresión negativa.

Figura 16

COMPRESIÓN, FLEXIÓN Y CORTE Las condiciones para el pandeo bajo compresión, flexión y corte combinados se representan en la Figura 17. Esta figura indicara si la placa pandeara o no para un determinado margen de seguridad. Dados los radios Rc, Rs y Rb, si el valor de Rc definido por la curva para el valor de Rb y Rs es mayor numéricamente que el valor dado de Rc la placa pandeará.

Figura 17

El margen de seguridad de placas planas elásticamente pandeadas puede determinarse utilizando la Figura 18. Las líneas punteados indican un ejemplo típico de aplicación donde Rc = 0.161, Rs = 0.23 y Rb = 0.38. El punto 1 se determina primero en función del valor determinado de Rs y Rb. La línea diagonal desde el origen 0 hasta 1, intercepta la curva Rc/Rs correspondiente, lo cual determina las tensiones de corte y flexión para el margen de seguridad determinado (cuando Rc es menor a Rs debe usarse la porción derecha de la curva y viceversa), entonces del grafico se obtiene Rsa o Rba y se utiliza para calcular los márgenes de seguridad según se indica en la Figura 18, es decir,

17

826.0123.042.0

sM

ó

84.0138.07.0

sM

=−=

=−=

Eligiendo el menor de ellos.

Figura 18

18

APÉNDICE A

CONSTANTES DE PANDEO PARA DISTINTAS CONDICIONES DE CARGA Y DE BORDE - CORRECCIÓN DE LA TENSIÓN INICIAL DE PANDEO POR CLADDING Y PLASTICIDAD

Constante de Pandeo de Placas Planas Sometidas a Compresión

19

Constante de Pandeo de Placas Planas Sometidas a Compresión en Función de la Elasticidad de los Apoyos

20

Constante de Pandeo de Placas Planas Sometidas a Compresión en Función de la Elasticidad

de los Apoyos

Constante de Pandeo de Placas Planas Sometidas a Corte

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ μ−

π=

2e112

2skK

21

Constante de Pandeo para Placas Planas Sometidas a Flexión en Función de la Posición del Eje

Neutro

22

Constante de Pandeo para Placas Planas Sometidas a Flexión en Función de la Rigidez de los

Apoyos

23

APENDICE B

CORRECCIÓN POR PANDEO ELASTOPLÁSTICO O INELASTICO

Factores de Corrección por Efectos Inelasticos para Cargas de Compresión

24

Factores de Corrección por Efectos Inelasticos para Cargas de Corte

25

APÉNDICE C

INTERACCIÓN DE CARGAS PARA EL PANDEO DE PLACAS PLANAS - MÁRGENES DE SEGURIDAD

Cargas de Flexión y Corte Combinadas

Cargas de Flexión y Compresión Longitudinal Combinadas

26

Cargas de Flexión, Compresión Longitudinal y Corte Combinadas

27

Cargas de Corte y Tracción/Compresión Longitudinal Combinadas

Cargas de Flexión, Corte y Compresión Longitudinal/Transversal Combinadas

28

Cargas de Flexión, Corte y Compresión Longitudinal/Transversal Combinadas (con´t)