infinitesimalrechnung 19. folgen aufzählung bildungsgesetz rekursionsformel anfangsglied (a n ) =...
TRANSCRIPT
![Page 1: Infinitesimalrechnung 19. Folgen Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied (a n ) = 2, 4, 6, 8, 10,...a n = 2na n = 2 + a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081602/55204d8049795902118d22ae/html5/thumbnails/1.jpg)
![Page 2: Infinitesimalrechnung 19. Folgen Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied (a n ) = 2, 4, 6, 8, 10,...a n = 2na n = 2 + a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081602/55204d8049795902118d22ae/html5/thumbnails/2.jpg)
Infinitesimalrechnung
![Page 3: Infinitesimalrechnung 19. Folgen Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied (a n ) = 2, 4, 6, 8, 10,...a n = 2na n = 2 + a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081602/55204d8049795902118d22ae/html5/thumbnails/3.jpg)
19. Folgen
![Page 4: Infinitesimalrechnung 19. Folgen Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied (a n ) = 2, 4, 6, 8, 10,...a n = 2na n = 2 + a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081602/55204d8049795902118d22ae/html5/thumbnails/4.jpg)
Eine (reelle, unendliche) Folge ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, so dass jeder natürlichen Zahl n genau eine reelle Zahl an zugeordnet wird.
![Page 5: Infinitesimalrechnung 19. Folgen Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied (a n ) = 2, 4, 6, 8, 10,...a n = 2na n = 2 + a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081602/55204d8049795902118d22ae/html5/thumbnails/5.jpg)
Eine (reelle, unendliche) Folge ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, so dass jeder natürlichen Zahl n genau eine reelle Zahl an zugeordnet wird.
(n) = 1, 2, 3, ... (an) = a1, a2, a3, ...
![Page 6: Infinitesimalrechnung 19. Folgen Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied (a n ) = 2, 4, 6, 8, 10,...a n = 2na n = 2 + a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081602/55204d8049795902118d22ae/html5/thumbnails/6.jpg)
Eine (reelle, unendliche) Folge ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, so dass jeder natürlichen Zahl n genau eine reelle Zahl an zugeordnet wird.
(n) = 1, 2, 3, ... (an) = a1, a2, a3, ...
n-tes Glied der Folge: an
![Page 7: Infinitesimalrechnung 19. Folgen Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied (a n ) = 2, 4, 6, 8, 10,...a n = 2na n = 2 + a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081602/55204d8049795902118d22ae/html5/thumbnails/7.jpg)
Eine (reelle, unendliche) Folge ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, so dass jeder natürlichen Zahl n genau eine reelle Zahl an zugeordnet wird.
(n) = 1, 2, 3, ... (an) = a1, a2, a3, ...
n-tes Glied der Folge: an die ganze Folge: (an)
![Page 8: Infinitesimalrechnung 19. Folgen Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied (a n ) = 2, 4, 6, 8, 10,...a n = 2na n = 2 + a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081602/55204d8049795902118d22ae/html5/thumbnails/8.jpg)
Eine (reelle, unendliche) Folge ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, so dass jeder natürlichen Zahl n genau eine reelle Zahl an zugeordnet wird.
(n) = 1, 2, 3, ... (an) = a1, a2, a3, ...
n-tes Glied der Folge: an die ganze Folge: (an) beschränkte Folge: n : S- an S+
![Page 9: Infinitesimalrechnung 19. Folgen Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied (a n ) = 2, 4, 6, 8, 10,...a n = 2na n = 2 + a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081602/55204d8049795902118d22ae/html5/thumbnails/9.jpg)
Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied
(an) = 2, 4, 6, 8, 10, ... an = 2n an = 2 + an-1 a1 = 2
(bn) = 8, 10, 12, 14, ... bn = 2(n + 3) bn = 2 + bn-1 b1 = 8
(cn) = 2, 4, 8, 16, 32, ... cn = 2n cn = 2cn-1 c1 = 2
(dn) = 1, 4, 9, 16, 25, ... dn = n2 dn = (1 + dn-1)2 d1 = 1
(en) = 9, 16, 25, 36, ... en = (n + 2)2 en = (1 + en-1)2 e1 = 9
(fn) = 1,1/2 ,1/3 ,1/4 , ... fn = 1/n 1/fn = 1 + 1/fn-1 f1 = 1
(gn) = -1, 1, -1, 1, -1, ... gn = (-1)n gn = -gn-1 g1 = -1
![Page 10: Infinitesimalrechnung 19. Folgen Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied (a n ) = 2, 4, 6, 8, 10,...a n = 2na n = 2 + a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081602/55204d8049795902118d22ae/html5/thumbnails/10.jpg)
Ein Häufungspunkt einer Folge ist eine Zahl h, in deren
Umgebung (h - , h + )
für jedes > 0 unendlich viele Glieder der Folge liegen.
![Page 11: Infinitesimalrechnung 19. Folgen Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied (a n ) = 2, 4, 6, 8, 10,...a n = 2na n = 2 + a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081602/55204d8049795902118d22ae/html5/thumbnails/11.jpg)
Ein Häufungspunkt einer Folge ist eine Zahl h, in deren
Umgebung (h - , h + )
für jedes > 0 unendlich viele Glieder der Folge liegen.
![Page 12: Infinitesimalrechnung 19. Folgen Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied (a n ) = 2, 4, 6, 8, 10,...a n = 2na n = 2 + a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081602/55204d8049795902118d22ae/html5/thumbnails/12.jpg)
Satz von Bolzano und Weierstraß: Jede beschränkte unendliche Folge besitzt mindestens einen Häufungspunkt.
Besitzt eine beschränkte Folge nur einen Häufungspunkt, so heißt dieser Häufungspunkt Grenzwert der Folge.
Karl Weierstraß(1815 - 1897)
Bernard Bolzano(1781 - 1848)
![Page 13: Infinitesimalrechnung 19. Folgen Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied (a n ) = 2, 4, 6, 8, 10,...a n = 2na n = 2 + a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081602/55204d8049795902118d22ae/html5/thumbnails/13.jpg)
Eine Folge (an) konvergiert gegen den endlichen Grenzwert a, wenn zu jedem > 0 eine Zahl n existiert, so dass für alle n n gilt: |an - a| <
Satz von Bolzano und Weierstraß: Jede beschränkte unendliche Folge besitzt mindestens einen Häufungspunkt.
Besitzt eine beschränkte Folge nur einen Häufungspunkt, so heißt dieser Häufungspunkt Grenzwert der Folge.
Karl Weierstraß(1815 - 1897)
Bernard Bolzano(1781 - 1848)
lim an = a oder kurz (an) a n
![Page 14: Infinitesimalrechnung 19. Folgen Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied (a n ) = 2, 4, 6, 8, 10,...a n = 2na n = 2 + a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081602/55204d8049795902118d22ae/html5/thumbnails/14.jpg)
Satz. Jede Folge enthält eine monotone Teilfolge.
an heißt Spitze der Folge, wenn an am für m > n.
Eine Folge besitzt endlich viele oder unendlich viele Spitzen.
Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge.
Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857)
Die Folge (an) konvergiert genau dann, wenn es zu jedem > 0 eine natürliche Zahl n gibt, so dass für m, n ≥ n gilt
|an – am| < (19.3)
![Page 15: Infinitesimalrechnung 19. Folgen Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied (a n ) = 2, 4, 6, 8, 10,...a n = 2na n = 2 + a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081602/55204d8049795902118d22ae/html5/thumbnails/15.jpg)
(an) sei konvergent. |an – a| < /2 und |a – am| < /2.
> |an – a| + |a – am| ≥ |an – a + a – am| = |an – am|
() Nun gelte (19.3). (an) ist beschränkt und enthält (ank)
a.|an – ank
| < /2 und | ank – a| < /2
> |an – ank| + | ank
– a| ≥ |an – ank + ank
– a| = |an – a|
Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857)
Eine konvergente Folge nennt man deshalb auch Cauchy-Folge.
In den reellen Zahlen besitzt jede Cauchy-Folge einen Grenzwert, in den rationalen Zahlen nicht.
Die Folge (an) konvergiert genau dann, wenn es zu jedem > 0 eine natürliche Zahl n gibt, so dass für m, n ≥ n gilt
|an – am| < (19.3)
![Page 16: Infinitesimalrechnung 19. Folgen Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied (a n ) = 2, 4, 6, 8, 10,...a n = 2na n = 2 + a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081602/55204d8049795902118d22ae/html5/thumbnails/16.jpg)
x = k x2 = k 2x2 = x2 + k
Irrationale Zahlen lassen sich als Grenzwerte von Folgenrationaler Zahlen definieren.
x
kxx
22
n
nn a
kaa
221
Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857)
![Page 17: Infinitesimalrechnung 19. Folgen Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied (a n ) = 2, 4, 6, 8, 10,...a n = 2na n = 2 + a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081602/55204d8049795902118d22ae/html5/thumbnails/17.jpg)
x = k x2 = k 2x2 = x2 + k
Irrationale Zahlen lassen sich als Grenzwerte von Folgenrationaler Zahlen definieren.
x
kxx
22
n
nn a
kaa
221
x = 3 k 2x3 = x3 + k an+1 = )(
2
12n
na
ka
Übung: Man setze a1 = 1 und berechne die dritte Wurzel aus 7 auf vier zählende Stellen genau.
![Page 18: Infinitesimalrechnung 19. Folgen Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied (a n ) = 2, 4, 6, 8, 10,...a n = 2na n = 2 + a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081602/55204d8049795902118d22ae/html5/thumbnails/18.jpg)
Satz. Seien (an) und (bn) konvergente Folgen und c , dann gilt: (c . an) = c . an
(an + bn) = ( an) + ( bn)
(an . bn) = ( an)( bn)
anc = ( an)c, falls an
c und ( an)c existieren
![Page 19: Infinitesimalrechnung 19. Folgen Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied (a n ) = 2, 4, 6, 8, 10,...a n = 2na n = 2 + a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081602/55204d8049795902118d22ae/html5/thumbnails/19.jpg)
Satz. Seien (an) und (bn) konvergente Folgen und c , dann gilt: (c . an) = c . an
(an + bn) = ( an) + ( bn)
(an . bn) = ( an)( bn)
anc = ( an)c, falls an
c und ( an)c existieren
Satz. Eine Folge (an) konvergiert gegen den Grenzwert a, wenn die
Folge (an - a) eine Nullfolge ist.
Satz. Ist an bn für fast alle n, dann gilt an bn. Minorante Majorante
![Page 20: Infinitesimalrechnung 19. Folgen Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied (a n ) = 2, 4, 6, 8, 10,...a n = 2na n = 2 + a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081602/55204d8049795902118d22ae/html5/thumbnails/20.jpg)
Übung: Man bestimme die Grenzwerte der unten definierten Folgen oder stelle ihre Divergenz fest (große Buchstaben bezeichnen positive reelle Zahlen).
an = n-1/2
bn = 2
2
nUn
WnVnU
.
2
)(
Kn
IKnnJ
n .
2
5
45
E
nD
Cnn
cn = nA
Bn
dn = )7(
)(4
8/54/3
nLn
MnKnL
+
232
6
)35( nnn
Ln
+
432
22
111
)11
1(1
WnVnUn
nnn
+ Gn H
Leonardo von Pisa (1170 - 1240)
Fibonacci
![Page 21: Infinitesimalrechnung 19. Folgen Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied (a n ) = 2, 4, 6, 8, 10,...a n = 2na n = 2 + a](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081602/55204d8049795902118d22ae/html5/thumbnails/21.jpg)