1. Movimiento Parabólico o Lanzamiento de Proyectiles R. Pardo, G. Vargas Departamento de Ingeniería Universidad Privada Boliviana 1 de febrero de 2013

Resumen.- Con el fin de poder observar con mayor exactitud el movimiento parabólico sobre una superficie plana y poder comprobar que las fórmulas o o utilizadas en el análisis teórico eran correctas, se realiza´ un experimento a o o dividido en dos partes:

El primero, donde se estudia´ la distancia máxima o a y el tiempo de vuelo de un proyectil en diferentes ´ángulos; y en la segunda a donde tomamos en cuenta una altura base para primeramente observar las variaciones en la distancia máxima del proyectil y finalmente, junto con la a constante de la gravedad en nuestra ciudad, poder obtener una velocidad inicial promedio del respectivo disparo.

1.-Introducción:

La composición de un movimiento uniforme y otro uniformemente acelerado o resulta un movimiento cuya trayectoria es una parábola.

Un MRU horizontal de velocidad Vx constante. Un MRUA vertical con velocidad inicial Vo hacia arriba.

Este movimiento este´ estudiado desde la antigüedad. Se recoge en los libros más a antiguos de balística para aumentar la precisión en el tiro de un proyectil. o Denominamos proyectil a todo cuerpo que una vez lanzado se mueve solo bajo la aceleración de la gravedad. o no se toma en cuenta:

La rotación de la Tierra. El cambio de gravedad. La forma del proyectil. La fricción del aire. La curvatura de la Tierra

2. Figura 1: Movimiento Parabólico o2. Marco Teórico o Se denomina movimiento parabólico al desplazamiento realizado por un objeto cuya trayectoria describe una parábola. Corresponde con la trayectoria ideal de un proyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que este´ sujeto a un campo gravitatorio uniforme. Puede ser analizado como la composición de dos movimientos rectilíneos: un movimiento rectilíneo uniforme horizontal y un movimiento rectilíneo uniforme-mente acelerado vertical (gravedad). [1]2.1. Ecuaciones x v= => x = v t (1) entonces: x = V o cosα t (2) 1 y = V o sinα t − g t2 (3) 2De la ecuación (2) o x t= (4) V o cosαPara hallar la máxima distancia se reemplaza la ecuación de tiempo (4) en la a ecuación(3) o x 1 x2 y = V o sin( ) − g( 2 2 ) (5) V o cosα 2 V o cos α 2

3. si Y=0 1 x2 tgα x − g( 2 2 ) = 0 (6) 2 V o cos α 1xg x(tgα − )=0 (7) 2V o2 cos2 α 1xg tgα − =0 (8) 2V o2 cos2 α tgα 2 V o2 cos2 α =x (9) g 2 V o2 sinα cosα xmax = (10) g 2 V o2 sin2α xmax = (11) gPara hallar la f´rmula de la altura m´xima o a g x2 y = tgα x − (12) 2 V o2 cos2 αSe remplaza la f´rmula de la distancia m´xima (11) en la ecuaci´n (13) o a o xmax g xmax 2 ymax = tgα ( )− 2 cos2 α ( ) (13) 2 2 Vo 2 sinα 2sinα cosα V o2 g 2sinα cosα V o2 2 ymax = ( )− ( ) (14) cosα 2g 2 V o2 cos2 α 2gSimplificando: sin2 α V o2 sin2 α V o2 ymax = − (15) g 2g sin2 α V o2 1 ymax = (1 − ) (16) g 2 sin2

α V o2 ymax = (17) 2gPara el c´lculo del tiempo de vuelo, de la ecuaci´n (3) a o g t2 V o t sinα = (18) 2 gt V o t sinα = (19) 2 2V o sinα t= (20) gPara hallar la f´rmula de velocidad o x t= (21) v 3

4. 1 2 h= gt (22) 2Sustituyendo (21) en (22) 1 x2 h= g (23) 2 V2 g x2 V = (24) 2h3. Materiales Los materiales utilizados en el experimento son: 1. Perdig´n o 2. Transportador 3. Lanzador de proyectiles 4. Papel carb´nico o 5. Papeles en blanco 6. Medidor de ´ngulos a 7. Soporte universal 8. Cuerda 9. Plomada 10. Cron´metro o 11. Flex´metro oEl sistema para el lanzamiento de proyectiles consiste de un ca˜ on con un im´n n apara el soporte del proyectil, unido a un transportador de madera el cual seencunentra pegado a un soporte armado por la combinaci´n de dos bases y tres ovaras met´licas empleados para la aliaci´n de los mismos. [V´ase la Figura 2] a o ePara la obtenci´n de resultados mas precisos se hizo uso de un transportador oadicional en la parte inferior de dicho sistema de lanzamiento.4. Procedimiento4.1. Experimento 1 En este experimento se analiz´ el tiempo de vuelo y la distancia m´xima de o alos proyectiles a diferentes ´ngulos, utilizando el lanzador de proyectiles como amecanismo fundamental, adem´s de papel carb´nico, hojas bond, flex´metro y a o o 4

5. Figura 2: Lanzador de ProyectilesFigura 3: Lanzador de Proyectiles 5

6. N. ´ Angulo Tiempo(s) Distancia(cm) 1 15 0.52 160 2 20 0.53 192 3 25 0.55 249 4 30 0.58 273.5 5 35 0.72 309.5 6 40 0.82 316.5 7 45 0.84 318.5 8 50 0.87 321.5 9 55 0.92 305.5 10 60 1.03 282.5 11 65 1.05 243 12 70 1.06 204.5 13 75 1.07 150.5 Cuadro 1: Datos Experimentalesun cron´metro como herramientas adicionales [V´ase la Figura 3]. El experi- o emento consiste en expulsar el perdig´n con el objetivo de que este aterrice sobre oel papel carb´nico y de esta forma dejar una marca en la hoja bond la cual nos oser´ util para su posterior medici´n; y paralelamente obtener el tiempo de vuelo a´ ohaciendo uso del cron´metro. o4.1.1. Datos Seg´n la descripci´n de dicho experimento se obtuvo los siguientes datos: u o[V´ase el Cuadro 1] e En la (Figura4) podemos comparar los datos obtenidos del experimento con losdatos te´ricos del tiempo de vuelo con respecto a los ´ngulos correspondientes. o a En la (Figura5) podemos comparar los datos obtenidos del experimento conlos datos te´ricos de la distancia m´xima con respecto a los ´ngulos correspon- o a adientes.4.2. Experimento 2 Usando el sistema de lanzamiento de proyectiles desde una superficie alta,con el objetivo de hallar la velocidad inicial promedio, se desarroll´ cinco lan- ozamientos los cuales marcaron cinco diferentes distancias. El m´todo utilizado epara este experimento es similar al anterior. Con la ayuda de un flex´metro se orealiz´ la medici´n de los puntos marcados en el papel bond por los perdigones. o o 6

7. Datos del experimento 2Tiempo de vuelo 1.5 1 0.5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Angulo ´ Figura 4: Cuadro Comparativo (Tiempo de Vuelo y Angulo) Datos del experimento 340 320 300Distancia Max. 280 260 240 220 200 180 160 10 20 30 40 50 60 70 80 Angulo ´ Figura 5: Cuadro Comparativo (Distancia Max. y Angulo) 7

8. N. Distancia(cm) 1 260 2 259.8 3 261 4 258.5 5 257 Cuadro 2: Datos Experimentales 24.2.1. Datos Seg´n la descripci´n de dicho procedimiento se obtuvo los siguientes datos: u o(Cuadro2) m g = 9,775 2 (25) sLa gravedad en La Paz bolivia esta dada por la constante 9.775, dada por elInstituto de Investigaciones F´ ısics de la Universidad Mayor de San Andr´s. [4] e h = 85,57cm (26)4.3. C´lculo de Velocidad Inicial a Para el c´lculo de la Velocidad inicial promedio se utiliz´ la siguiente ecua- a oci´n o g x2 V = (27) 2hEn la ecuaci´n (27) reemplazamos los valores del (Cuadro2) o 977,5 cm · (260cm)2 s2 V = V = 566,38 (28) 2 · 103cm 977,5 cm · (259,8cm)2 s2 V = V =

565,93 (29) 2 · 103cm 977,5 cm · (261cm)2 s2 V = V = 568,56 (30) 2 · 103cm 977,5 cm · (258,5cm)2 s2 V = V = 563,10 (31) 2 · 103cm 977,5 cm · (257cm)2 s2 V = V = 559,83 (32) 2 · 103cm 566,38 m s + 565,93 m + 568,56 m + 563,10 m + 559,83 m s s s s Vpromedio = ( ) (33) 5 m Vpromedio = 564,03 (34) s 8

9. 5. Resultados Debido a la aproximaci´n de los datos experimentales a los datos te´ri- o o cos, se puede concluir que las ecuaciones del movimiento parab´lico son o aplicables en distintos medios para diferentes prop´sitos. o6. Conclusiones y Recomendaciones Se debe manejar un buen procedimiento a la hora de tomar las l´ ıneas de partida, como llegada del proyectil para evitar el margen de error en las medidas. Para el calculo de la velocidad promedio en la parte experimental, es preciso obtener m´s de tres datos para llegar a un resultado mas exacto.