informe 2

Resistividad de Metalesy Semiconductores (EM2)

1 Introduccin.

La resistividad de un material es una magnitud que expresa su capacidad deoponerse, bajo la accin de un campo elctrico, a la corriente elctrica por unidad derea que lo atraviesa. Operacionalmente se define como la siguiente constante de pro-porcionalidad:

E=Jos

donde E es el campo elctrico y J la densidad de corriente.

Segn los valores de la resistividad que presente un material, este se puede englo-bar dentro del grupo de los conductores, de los semiconductores o de los aislantes. Lamayor parte de los metales y cierto tipo de semiconductores se comportan como buenosconductores en un determinado rango de temperaturas.

Este hecho se puede anticipar tericamente con una nueva expresin de la resisti-vidad. Para hallarla es necesario tener en cuenta que la densidad de corriente, definidacomo:

donde n es la densidad de portadores de carga en movimiento por unidad de volumen,q la carga del protn y vd la velocidad de deriva promedio de los portadores, verificalas relaciones:

donde se toma como el tiempo medio entre colisiones de los portadores con otras par-tculas y m es la masa de un portador. De esta forma, sustituyendo en la frmula origi-nal se tiene que:

= mnqL..

En esta nueva expresin slo pueden variar dos magnitudes: n y .

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J=nq vd

.

.

.

J=nq (a)=nq (q Em

)=nq Em

.

.

.

Resistividad de Metales y Semiconductores (EM2)1155555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

En los metales n permanece prcticamente constante a pesar del incremento de latemperatura. Esto se debe a que, de acuerdo con la teora de bandas, la banda de con-duccin y la banda de valencia de un metal se encuentran solapadas. Por consiguiente,aunque aumente la energa cintica de los electrones, el nmero de electrones de la ban-da de valencia que se incorporan por primera vez a la banda de conduccin no es signi-ficativo. , por el contrario, disminuye progresivamente a medida que aumenta la ener-ga cintica de los electrones libres. Como resultado, se incrementa la resistividad con latemperatura.

Figura 2: Solapamiento de las bandas de un metal.

En particular, cuando el metal es hmico, esta variacin de la resistividad tienelugar linealmente segn la relacin:

(T) = 0[1+(T-T0)], (1)

donde 0 el valor de la resistividad del metal para una determinada temperatura de re-ferencia T0, y el coeficiente de temperatura de la resistividad propia del material.

En los semiconductores, no es , sino n quien juega un papel fundamental en lavariacin de la resistividad con la temperatura. De este modo, existe una brecha energ-tica o gap entre la banda de conduccin y la banda de valencia que son capaces de su-perar algunos electrones a medida que van ganando energa cintica para convertirse enelectrones libres. Este proceso, paralelamente, genera que la vacante (hueco) que deja li-bre el electrn que salta de la banda de valencia a la de conduccin sea ocupado porotros electrones de la misma banda, los cuales, a su vez, dejan otra vacante libre. Enconsecuencia, junto con la temperatura se incrementa no slo el nmero de portadoresde carga negativa, sino tambin el de carga positiva, ya que va cambiando la posicindel tomo cargado positivamente. Por lo tanto, disminuye la resistividad del material.

Figura 2: incremento portadores de carga en un semiconductor a causa del

aumento de la temperatura.

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Resistividad de Metales y Semiconductores (EM2)sdfsdfsdfdsf dsadddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd

En el caso de los semiconductores, la variacin de la resistividad tiene lugar expo-nencialmente segn la expresin:

(T)=0eE

2kBT (2)

Teniendo en cuenta este marco terico, este experimento consistir en observarcmo se satisface la relacin lineal de la ecuacin (1) y la relacin exponencial de la (2)entre la resistividad y la temperatura para dos casos de metal y semiconductor, ascomo determinar segn los resultados obtenidos el valor del gap del semiconductor.

2 Materiales y Mtodos.Los materiales empleados en el experimento han sido: un resistor de semiconduc-

tor, una resistencia de platino, un hornillo de calefaccin, un termmetro de mercurio yun multmetro digital.

El procedimiento ha consistido en calentar al mismo tiempo desde los 17C hastalos 81C el metal y el semiconductor con el hornillo. En intervalos de aproximadamentedos grados, marcados por un termmetro de mercurio de un 1C de precisin, se toma-ron medidas de las resistencias de cada material con un multmetro digital.

Dado que la resistividad y la resistencia guardan una relacin de proporcionalidaddirecta por medio de:

=R Sl ,

donde S es el rea transversal del material y l su longitud, se ha supuesto que las mis-mas consideraciones hechas para la resistividad son vlidas para la resistencia.

De esta forma, en lugar de la frmula (1) se ha empleado la relacin:

R(T) = R0[1+(T-T0)],

con el objetivo de obtener el coeficiente de temperatura de la resistividad del metal, to-mando como la temperatura de referencia los 0C.

Asimismo, en lugar de la frmula (2), para poder determinar el gap del semicon-ductor se ha empleado la relacin:

ln R(T)=cte+ E2kBT

,

se ha representado el logaritmo del conjunto de los datos obtenidos frente al inverso de

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la temperatura en grados kelvin.

3 Resultados Experimentales.

Se obtuvieron las siguientes medidas:

Tabla 1: Medidas tomadas de las resistencias del metal y del semiconductor

en intervalos de dos grados.

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17,0 106 201

19,0 107 17821,0 108 168

23,0 108 15925,0 109 154

27,0 109 14529,0 110 139

31,0 110 13233,0 111 126

35,0 111 12037,0 112 113

39,0 113 10741,0 113 101

43,0 114 97

45,0 114 9147,0 115 86

49,0 116 8051,0 117 76

53,0 118 7155,0 119 67

57,0 120 6159,0 120 58

61,0 121 5463,0 122 50

65,0 123 4667,0 124 43

69,0 125 4071,0 126 38

73,0 126 36

75,0 127 3477,0 127 32

79,0 128 3281,0 128 31

0.5C

Temperatura (C) Resistencia del Metal ( )Resistencia del

Semiconductor ( )

Error Experimental 1 1


Las siguiente grfica muestran de qu manera depende la resistencia del metal dela temperatura:

Grfica 1: Representacin de las medidas de la resistencia del metal conrespecto a la temperatura.

De acuerdo con el ajuste lineal de los datos, esta dependencia tiene lugar segn laexpresin:

R(T)=99.2+0.361T

Si se compara esta expresin con la que, segn el marco terico, deberan satisfa-cer los datos:

R(T) = R0[1+(T-T0)] = (R0-T0)+(R0)T

se deduce que R0-T0 tendra que coincidir con el valor de la ordenada en el origen yR0 con el de la pendiente del ajuste.

Por lo tanto, teniendo en cuenta que se ha determinado el valor de la temperatu-ra de referencia T0 como 0C, se obtiene que el valor de R0 es:

R0 = b = (99.2 0.3) ,

con lo que la magnitud y el error de R0 y b coinciden, y que el valor del coeficiente detemperatura de la resistividad del metal es:

=ab= aR0

=3.643055103grados1

Puesto que se trata de una medida indirecta, se ha aplicado la siguiente frmula

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y = b + axValor Error

b 99.175 0.33724a 0.3613 0.006415R 0.99515 NA


()=(a)( 1R0

)(R0)(a

R02 )

Se ha obtenido el valor:

= 7.707210 grados,

Es decir:

= (364 8)10 grados

Las unidades de se expresan como grados porque su valor no vara aunque latemperatura se exprese en grados Kelvin o en grados Celsius cuando la temperatura dereferencia son los 0C. Esto se debe a que, al definirse los grados Celsius como:

t(C) = T(K)-273.15,

la siguiente expresin es una igualdad:

R(T) = R0[1+T(C)] = R0[1+(T(K)-273.15K)]

La dependencia de la resistencia del semiconductor con respecto al inverso de la temperatura en grados kelvin se muestra en la grfica 2.

Grfica 2: Representacin de las medidas de la resistencia del semiconduc-tor con respecto del inverso temperatura. Segn el marco terico estos datos deberan manifestar una relacin exponencial

de acuerdo con la expresin:

R(T)=ecte+ E

2kBT

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Tomando logaritmos tal expresin se convierte en:

ln R(T)=cte+ E2kBT

Segn esta frmula, el logaritmo de cada medida de la de la resistencia del semi-conductor debera variar linealmente con respecto al inverso de cada medida de la tem-peratura en grados kelvin.

La representacin de esos datos se encuentra en la grfica 3.

Grfica 3: Representacin de las medidas de la resistencia del semiconduc-tor con respecto al inverso de la temperatura. Nuevamente, haciendo una analoga con la regresin lineal de esta ltima grfica:

R(1T)=5.2+3070(1T )

se tiene que la constante de la frmula (2) tendra que coincidir con el valor de la orde-nada en el origen y

E2kB

con el valor de la pendiente.

El valor que se ha tomado de kB es de 1.3810-23JK-1. Por lo tanto, el valor delgap del semiconductor E es:

E = 2kBa = 8473.210-23J

Dado que tambin se trata de una medida indirecta, el error de este valor se hacalculado aplicando la frmula:

(E)=(a)2kB

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y = b + axValor Error

b -5.2236 0.1811a 3071.11 58.04R NA0. 989


De esta manera:

(E) = 160.190410-23J

Esto es:

E = (85 2)10-21J

Como 1eV son 1.60210-19J, esta medida se puede expresar en electrn voltios di-vidiendo por dicha cantidad. Por tanto:

E = (530 1)10-3 eV.

4 Discusin de Resultados.Se puede apreciar cualitativamente en la grfica 1 que la resistencia del metal em-

pleado en el experimento aumenta linealmente a medida que se incrementa la tempera-tura. Los resultados del ajuste lineal de los datos corroboran que existe una dependen-cia lineal muy fuerte entre ambas magnitudes, ya que el coeficiente determinacin obte-nido se encuentra muy prximo a uno.

Segn el marco terico, concretamente esta relacin lineal tiene lugar, cuando T0equivale 0C, de acuerdo con la ecuacin:

R(T) = R0[1+T]

Comparando esta frmula con la obtenida en el ajuste se ha podido determinar elvalor de la constante como (364 8)10 grados-1.

En la tabla 2 se muestran los valores de de algunos elementos metlicos puros.

Tabla 21: Coeficiente de temperatura de algunos elementos a 273K

Dado que la resistencia empleada en el experimento ha sido de platino, se tieneque la diferencia entre la medida experimental y la terica es de 0.310-3 grados-1.

1 Fuente: Encyclopedia of Physics, Volume XIX: Electrical Conductivity I

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Material Material

Ag 4.10 Li 4.37Al 4.67 Ni 6.75Au 3.98 Pb 4.22Cu 4.33 Pt 3.92Ir 4.33 Rh 4.57

Coeficiente de Temperatura 10 ( )

Coeficiente de Temperatura 10 ( )


Es decir, el error relativo porcentual del valor obtenido de es:

%E()=ValorteoValorexp

valorteo100=7.69

La magnitud de estos errores es mayor que la que se ha obtenido teniendo encuenta errores de precisin y accidentales. Esto puede ser indicativo de que la resisten-cia empleada contiene impurezas de otros elementos, de que el incremento de la tempe-ratura ha tenido lugar excesivamente rpido como para poder anotar un valor ms ade-cuado de las resistencias, de que no se han tenido en cuenta algunos errores sistemticos(como anotar mal una temperatura), o de que el mtodo experimental en s es muypoco preciso.

La representacin de los datos, ya que se puede apreciar un pequeo vaivn en al-gunos puntos, indica que al menos uno de los ltimos casos ha tenido lugar. Puesto quela resistencia ha variado lentamente en intervalos de dos grados de temperatura, lo msprobable es que la precisin del termmetro no haya sido la suficiente y que se hayancometido algunos errores sistemticos.

Ahora bien, por cuanto dichos vaivenes no son excesivamente pronunciados, la di-vergencia entre ambas medidas seguramente se deba mayormente al hecho de que la re-sistencia no fuera de platino puro.

En la grfica 2, y en mayor medida, en la grfica 3 se puede apreciar que la resis-tencia del semiconductor empleado en el experimento disminuye exponencialmente deacuerdo con el inverso de la temperatura. El ajuste lineal de la grfica 3, con un coefi-ciente de determinacin tambin prximo a uno corrobora tal apreciacin.

En este caso, la relacin exponencial tiene lugar, segn el marco terico, de acuer-do a la frmula:

R(T)=ecte+ E

2kBT

Comparando esta expresin con el ajuste lineal de la grfica 3 se ha obtenido queel valor del gap del semiconductor es de (530 1)10-3 eV.

Dado que a priori no se conoce el semiconductor concreto con el que se ha traba-jado, es difcil hacer una valoracin adecuada de esta medida.

De acuerdo con los datos de la tabla 2, es probable que se haya tratado del Ger-manio o del Silicio, ya que la medida de su brecha energtica es prxima al valor obte-nido y son dos de los semiconductores ms comunes.

Suponiendo que se ha trabajado con el Germanio, se tiene que el error absolutocometido ha sido de 0.14 eV, y el error relativo porcentual aproximadamente del 21%.Suponiendo que se ha trabajado con el Silicio, el error absoluto es de 0.58 eV, y el errorrelativo porcentual aproximadamente del 52%.

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Tabla 22: Valor de la brecha energtica de algunos semiconductores en eV.

En ambos casos, el hipottico resultado terico y el experimental son muy dispa-res. Esto podra deberse al propio mtodo experimental. As, segn puede observarse enla grfica 2, en tan slo un intervalo de 0.006 K-1 tiene lugar un crecimiento muy fuertede la resistencia. Por lo tanto, puede que los valores de las resistencias anotados paracada temperatura no sean lo suficientemente precisos.

5 Conclusiones. Las previsiones tericas se han cumplido tanto en el caso del metal, como en el

del semiconductor satisfactoriamente. Ahora bien, puede que sea necesario un mtodoms preciso, sobre todo, para medir el gap del semiconductor. Su resistencia es muysensible a los cambios de temperatura, con lo que podra ser adecuado calentarlo muchoms lentamente, as como emplear otro mtodo de medida de mayor resolucin que eltermmetro de mercurio.

2 Fuente: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/Solids/bandgap.html

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Material GAP (eV) Material GAP (eV)PbSe 0.27 CdSe 1.73PbTe 0.29 AIAs 2.16

Ge 0.67 ZnTe 2.25

GaSb 0.70 GaP 2.26Si 1.11 CdS 2.42

InP 1.35 ZnSe 2.70GaAs 1.43 SiCe 2.86

CdTe 1.58 ZnS 3.60

informe 2

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