República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Defensa

Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerza Armadas

Núcleo Aragua - Sede Maracay

Informe Nº5

Sistemas digitales

Prof: ROSANNA JAIMES

Bachilleres:

Marcos Blanco

Andrés Salcedo

Maracay, 19 de Marzo de 2015

PRELABORATORIO

La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar un número tantas veces como indica otro número. Por ejemplo, 4×3 (léase «cuatro multiplicado por tres» o, simplemente, «cuatro por tres») es igual a sumar tres veces el valor 4 por sí mismo (4+4+4).

La multiplicación de dos números enteros n y m  también se puede expresar como:

Ésta no es más que una forma de simbolizar la expresión «sumar m a sí mismo n veces». Puede facilitar la comprensión al expandir la expresión anterior:

m·n = m + m + m +...+ m

Tal que hay n sumandos. Así, por ejemplo:

5×2 = 5 + 5 = 10

2×5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

4×3 = 4 + 4 + 4 = 12

m·6 = m + m + m + m + m + m = 6m

m·5 = m + m + m + m + m = 5m

Para realizar multiplicaciones también se toma en cuenta el signo, ya que este es importante, existe una tabla de multiplicación de signos la cual es la siguiente: 

+ | * | + | = | + | + | * | - | = | - | - | * | - | = | + | - | * | + | = | - |

La multiplicación en binario es más fácil que en cualquier otro sistema de numeración. Como los factores de la multiplicación sólo pueden ser CEROS

o UNOS, el producto sólo puede ser CERO o UNO. En otras palabras, las tablas de multiplicar del cero y del uno son muy fáciles de aprender:

x 0 1

0 0 0

1 0 1

La operación de multiplicar se realiza mediante sumas repetidas. Eso crea lo que se conoce como acarreo ya que cada suma de dos UNOS origina un arrastre o termino, que se resuelven contando el número de UNOS y de arrastres en cada columna. Si el número de UNOS es par, la suma es un CERO y si es impar, un UNO. Luego, para determinar los arrastres a la posición superior, se cuentan las parejas de UNOS.

Veamos, por ejemplo, una multiplicación:

Para comprobar que el resultado es correcto, convertimos los factores y el resultado al sistema decimal:

3349 * 13 = 43537

PROCEDIMIENTO

Parte I (Asignación)

En esta ocasión, a los estudiantes se les asignó diseñar haciendo usos de sumadores un circuito cuya función sea multiplicar números de 4 bits por uno de 3 bits, es decir, multiplicar, en decimal, un número del 0 al 15 por uno del 0 al 7, incluyendo además un bit de signo ya que una o ambas de las combinaciones pueden ser negativas, a continuación se muestra una idea de lo que debe hacer el circuito:

Parte II (Análisis)

Como se sabe, con un número de 4 bits es posible realizar 16 combinaciones, en decimal del 0 al 15, mientras con el de 3 bits, se realizan un total de 8 combinaciones comprendidas de 0 al 7, quiere decir que nuestra multiplicación más alta sería de 15x7, dando como resultado el 105 (1101001), un alto número el cual son necesarios 7 bits a la salida del circuito para representarlo.

La multiplicación consiste en obtener el producto de sumar un mismo número tantas veces como indica otro número, por lo tanto se justifica el uso de sumadores, ya que de acuerdo al concepto anterior la multiplicación se trata de simples sumas.

No obstante, tomamos como multiplicador el número de 3 bits para realizar la operación, la idea consiste en ir haciendo las operaciones con cada uno de los 3 bit multiplicando por el número de 4, por lo que vamos a tener 3 números para sumar, respetando el espacio de decenas en las multiplicaciones, a continuación se muestra todo el proceso que se desea realizar:

Número de 4 Bits→1011Número de3 Bits → x 101

Resultado Esperado →110111

Cabe destacar que al igual que la multiplicación decimal, en la binaria cualquier número multiplicado por 1 arroja como resultado el mismo número, mientras que cualquiera multiplicado por 0 es 0.

Dando nombre a las variables de entrada, nuestra multiplicación sería la siguiente:

A3 A2 A1 A0

B2B1B0

A3B0 A2B0 A1B0 A0B0

A3B1 A2B1 A1B1 A0B1

A3B2 A2 B2 A1B2 A0B2A3B2 A3 B1+ A2B2 A3B0+ A2B1+A1B2 A2B0+ A1B1+A0B2 A1B0+ A0B1 A0B0

De acuerdo a la imagen anterior, los resultados que vamos a sumar dependen del valor del multiplicando y multiplicador, en nuestro caso Ai y Bi. Para cualquier multiplicación, ambos valores deben valer 1 para que el resultado sea 1, de lo contrario obtenemos un 0, detallado en la siguiente tabla:

Ai Bi Ri

0 0 00 1 01 0 01 1 1

Número que se deseamultiplicar →1011x101

Primer resultado →1011 Segundo resultado →(1espacio)0000 Tercer ℜ sultado → (2espacios )+1011 Aplicando sumas en binario →110111

Nos queda la siguiente función obtenida por mintérminos, es decir, estudiando los 1 de la tabla de la verdad.Ri=A i . Bi

Correspondiendo dicha función a una AND, lo que quiere decir, que los 0 y 1 de las combinaciones deben pasar por un arreglo de compuertas, el cual efectuará la multiplicación bit a bit, dicho resultado es el que será llevado a los sumadores.

Parte III (Uso del sumador)

En la multiplicación, obtendremos una serie de valores que al ser sumados, nos arrojan el resultado final, por lo tanto cada multiplicación de bit debe ir a la primera entrada de un sumador, respetando los espacios correspondientes y el orden específico de multiplicación el cual será sumado con otro bit a la segunda entrada. Como se apreció en la multiplicación anterior, tenemos un resultado cuyo valor es el menos significativo, es decir, menor peso, además, como este resultado no debe sumarse con otro bit, es posible colocar directamente al primer led de salida. Mientras que el resto sí deben ser sumados, a continuación se muestra el proceso que realizarán los sumadores y el diagrama Circuital:

C i=0

A3B0 A2B0 A1B0

+ A3 B1 A2B1 A1B1 A0B1

C out S3S2S1S0

Nuevamente, tenemos un bit menos significativo que no será sumado con otro bit, por lo tanto se toma directamente para el segundo led.

Para el segundo sumador:

C i=0

C out S3S2S1

+ A3 B2 A2B2 A1B2 A0B2

C out ' S3 ' S2 ' S1 ' S0 '

En este segundo sumador finalmente nuestras salidas se toman directamente a los leds, respetando el orden adecuado, tenemos 7 salidas, tal cual se anunció al principio del informe.

A continuación se muestra el diagrama Circuital:

Se procedió a simular el circuito armándolo de la forma anterior con la finalidad de tener un concepto más completo de lo que sería el circuito y seccionarnos de su funcionamiento, a continuación la simulación:

A1B0A0 B1

A2B0A1B1

A3B0A2B1

A3B1

A0

A1

A2

A3

B0

B1

B2

B3

S0S1S2S3

C i

C out

A0 B2A0 '

A1 '

A2’

A3’

B0 '

B1 '

B2 '

B3 '

S0 'S1 'S2 'S3 '

C i '

C out

A0 B0

A1B2

A2B2

A3B2

Bit menos significativ

Acarreo de salida

Parte IV (Signos)

El circuito funciona perfectamente, no obstante, en la asignación se pidió que sea posible ingresar número negativos, por lo que se procede a agregar una variable de signo para ambos números, la cual llamaremos S1para A y S2 para B cual sea el caso. Sabiendo que en la multiplicación la regla de signos es la siguiente:

+¿+¿+¿ Tomamos el valor 0 como el positivo, y el uno negativo +¿−¿−¿ teniendo entonces la siguiente tabla:−¿+¿−¿−¿−¿+¿

S1 S2 R s

0 0 00 1 11 0 11 1 0

Estudiando los mintérminos de la tabla anterior, nos queda la siguiente expresión:

R s=S1S2+S1S2

Claramente es una compuerta EXOR, el cual nos arrojará el signo del número de acuerdo a la combinación ingresada, sin embargo, aún no es lógico el circuito ya que, si por ejemplo, al ingresar un número negativo y multiplicarlos por 0 (ejemplo -8x0) no daría como resultado -0, por lo tanto es necesario un arreglo adicional, el cual se llama detector de ceros, el cual se trata de un arreglo de compuertas el cual está construido para determinar cuando alguna de los combinaciones son 0. Este circuito arrojará un 0 lógico cuando todos los bits de la combinación sean 0.

Para el caso de A:

A3 A2 A1 A0 f A

0 0 0 0 0

Por maxtérminos, nos queda f A=¿ A3+ A2+ A1+ A0

Para el caso de B:

B2 B1 B0 f B

0 0 0 0

Nuevamente por maxtérminos, nos queda que f B=B2+B1+B0

Las tablas anteriores nos arroja un 0 únicamente cuando todas las variables de una combinación sean cero, ahora bien se requiere saber cuándo una de ambas sea 0, por lo que surge la siguiente tabla:

f A f B D0 0 00 1 01 0 01 1 1

Por mintérminos nos queda D=f A . f B

Como se dijo anteriormente, en este circuito el 0 es positivo y el 1 negativo, por lo tanto, este arreglo de compuertas junto con la exor tendrán una salida que irá conectado al led de signo. Entonces, se requiere que el led de signo encienda únicamente cuando Ssea diferente de 0 y la EXOR esté mandando un 1 lógico que sería el signo negativo, por tal motivo se genera la siguiente tabla:

D R s S0 0 00 1 01 0 01 1 1

Finalmente nos queda por análisis de mintérminos que S=D. R s correspondiendo a una AND. Básicamente nuestro led de signo encenderá para un número negativo cuando el detector nos arroje un 1 lógico, indicando que ambos números a multiplicar son diferentes de 0 y la EXOR a la vez mande un 1 lógico, indicando que en los bits de signos existe un número negativo y otro positivo. Simulando el detector de 0 y signos nos queda el siguiente circuito, que al ser probado funcionó satisfactoriamente:

En la imagen se está multiplicando -1011 x 0, como se aprecia, el led de signo permanece apagado. Cabe destacar que este circuito fue incorporado

a parte del circuito original, sin embargo se requieren las mismas variables de entradas.

Parte V (Montaje en Protoboard)

Ya con la simulación del circuito y verificando su perfecto funcionamiento se procedió a montar en el protoboard, a continuación se muestra una tabla con los circuitos integrados necesarios y otros materiales:

Componente # de compuertas # C.I.AND 14 4OR 5 2

EXOR 1 1Sumador 2

Para las combinaciones, como es de costumbre se utiliza un dipswitch con una resistencia en serie con la finalidad de proteger la fuente de cortocircuito, ya que, cuando el dip se encuentra abierto se estará enviando un 1 lógico a las compuertas, mientras que al cerrar la corriente irá directamente a tierra. El dip se montó de la siguiente forma en el protobard:

El primer dipswitch de color negro controla las entradas de A, el número de 4 bit, mientas que el dipswitch rojo controla las de B, es decir el de 3 bit.

Con ayuda de los datasheet’s de los integrados se armó el circuito, cuidadosamente se conectaron a Vcc los pines correspondientes, así como a Tierra, poco a poco se fue armando el circuito y arreglando los errores que se cometían, los 7 led’s de salida, el cual nos arrojan el resultado de la multiplicación se tomaron color verde, mientras que el de signo se colocó

color rojo, mientras permanezca apagado el número es positivo, el caso contrario encenderá, para todo número negativo. Se conectaron los LED’S a las salidas de los sumadores con unas resistencias de 220 para protegerlos, así se fue armando hasta lograr culminarlo, finalmente se probó con una fuente DC de 5 V y funciona correctamente.