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INTRODUCCIÓN

En el siguiente informe analizaremos la forma de obtener la solución de la ecuación de conducción de

calor a través de un sólido de forma analítica y de forma numérica, teniendo en consideración que el calor se

transfiere desde la zona con mayor temperatura a la zona de menor temperatura y considerando la leyes de

conservación de energía, conducción del calor de Fourier, como referencia que las soluciones de nuestro

problema las modelan ecuaciones diferenciales de segundo grado, y que es posible simplificar el análisis usando

métodos numéricos.

Cabe señalar se hizo abreviaciones en el modelo de estudio a través de la transferencia de calor a través de un sólido 2D, el cual es más fácil de comprender para dar solución al problema. Los métodos numéricos que utilizaremos para poder resolver el problema a proponer serán los siguientes:

• Método de serie de Fourier.

• Método de diferencia finita.

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MODELAMIENTO

De la ecuación que modela el flujo de temperatura en la placa dado por:

Y de la figura a continuación:

Se obtiene el siguiente sistema con condiciones de frontera:

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Tomando en cuenta que el sistema se encuentra aislado por un lado.

Ahora con los siguientes valores reales el sistema queda de la forma:

T0=70°C; Tf=60°C; a=50 mm; b=40 mm y escogiendo un espaciado entre iteraciones de h=1

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RESOLUCION POR SERIES DE FOURIER

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Transformación por variables separables

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Entonces la ecuación que depende de x:

Y la solución de X(x) es:

Además de la ecuación que depende de y:

La solución de Y(y) es:

La solución queda de la siguiente forma:

Aplicando condiciones de contorno.

Ecuación que depende de x

Ecuación que depende de y

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Multiplicando la ecuación con

Expresión en series de Fourier en x

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E integrando respecto a x:

de una placa.

Ahora utilizando los valores de contorno, la solución queda de la siguiente manera:

Reemplazando en la siguiente expresión:

Siendo esta expresión la solución de la distribución de la temperatura según las condiciones de contorno

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ESQUEMA NUMERICO DEL METODO DE DIFERENCIAS FINITAS

De la ecuación de calor lo podemos reescribir de la siguiente forma:

Siguiendo con la transformación la ecuación diferencial por diferencias finitas:

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ALGORITMO ASOCIADO AL METODO DE DIFERENCIAS FINITAS

Luego tomando las expresiones de transformación a diferencias finitas la solución queda:

Fijándose del siguiente esquema para las condiciones de contorno:

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La solución del sistema queda así:

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Luego escribimos una forma adecuada para iterar la solución con la condición especial

Siendo

Luego reescribimos las funciones anteriores a una forma adecuada para iterar

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Siendo las expresiones anteriores las utilizadas para hacer el cálculo en el programa MatLab

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GRAFICO DE LA SOLUCION POR SERIES DE FOURIER

La grafica de la solución de la serie de Fourier que dio el programa MatLab con los siguientes parámetros:

T0=70°C

Tf=60°C

Ancho=50 mm

Altura=40 mm

Con un espaciado entre iteraciones h=1

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GRAFICO DE LA SOLUCION POR DIFERENCIAS FINITAS

La grafica de la solución mediante diferencias finitas que dio el programa MatLab con los siguientes parámetros:

T0=70°C

Tf=60°C

Ancho=50 mm

Altura=40 mm

Con un espaciado entre iteraciones h=1

Con una tolerancia al error del 0,001

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COMPARACION DE SOLUCIONES NUMERICA Y ANALITICA

Mediante el programa MatLab fue posible realizar la comparación entre las soluciones de los métodos de serie de Fourier y diferencia finita que fueron utilizados en la solución de este sistema, el cual los

representaremos con la siguiente gráfica:

Tras el análisis de la gráfica anterior podemos afirmar que el grado de exactitud de nuestro algoritmo de diferencias finitas es muy cercana a la solución exacta dada por el método de serie de Fourier, en los puntos interiores de nuestro mallado utilizado, ya que como podemos apreciar de la gráfica la superficie interior de la comparación es casi un plano en cero.

Así como también podemos apreciar que en los puntos externos de las esquinas superiores de nuestro

mallado, el error de las diferencias finitas existente es mayor y del orden de 5 grados aproximadamente; esto se debe a que las condiciones en el método de diferencias finitas es discontinuas en las esquinas y esto se asigna como el promedio de los valores de los puntos proliferantes de las condiciones de contorno

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y en contraste el cálculo delos puntos en el método de serie de Fourier no lo hace así, sino de forma exacta.

Por último la base de el grafico se aprecia que su error es mucho mayor que en los puntos interiores, ya que el método de diferencias finitas ese lado corresponde a la condición donde la placa está aislada por consiguiente, la derivada respecto a el eje vertical paralelo al lado aislado es cero, esto quiere decir que

para el cálculo de las temperaturas de ese lado tuvo que ser realizado mediante diferencias finitas , por lo que el error en ese punto debería ser mayor ya que se calculan aproximaciones a partir de otras aproximaciones.

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CONCLUSIÓN GENERAL

El análisis de sistemas sobre la conducción de calor a través de un sólido, en este caso específico, un sistema sobre temperaturas y conducción térmica es bastante complicado desde el punto de vista de su modelado térmico-matemático ya que representa un comportamiento de transmisión con muchas variables y además la relación de las mismas está dada por un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden. Gracias a las potentes herramientas computacionales presentes actualmente es posible

dar solución y modelado a estos fenómenos térmicos de una manera casi eficaz y óptima, teniendo en cuenta que son los métodos numéricos la base de estos programas, siendo el Matlab el programa asignado para poder dar solución a nuestro problema.

Los métodos utilizados dentro del mencionado análisis tienen distintos grados de exactitud, siendo el método de serie de Fourier el método que da exacto a la solución del problema, y en comparación con el método de diferencia finita que dio muy parecida a la solución real entregada, siendo ambos métodos

ya estudiados en clases.

En la parte grupal lo más destacado fue que aprendimos a coordinar de manera apropiada el modelado del sistema junto con el programa, atendiendo los problemas que surgían de manera individual e

intentando suplir la falta de conocimientos de manera que todos estemos nivelados y pudiésemos

afrontar cualquier otro problema similar de manera satisfactoria.

Además este trabajo fue muy productivo en términos de aprendizaje ya que nos reveló que en nuestra vida cotidiana hay varios fenómenos que pueden ser modelados y solucionados mediante el conocimiento de métodos numéricos en general, y que es de vital importancia saber que ecuaciones rigen y relacionan estos fenómenos. Cabe señalar que la correcta interpretación de los gráficos arrojados por

el Matlab nos permitirá de manera más simple determinar los comportamientos de la transmisión de calor involucrado a través de un objeto.

Las gráficas realizadas a través del programa fueron muy parecidas a simple vista y gracias al análisis

realizado por el programa fue posible distinguir a mayor eficacia las diferencias entre ambas, lo cual fue posible comprender en conjunto las diferencias entre ambos métodos y su labor en los trabajos futuro en nuestra vida profesional

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Como termino de este informe, creemos que es de suma importancia y relevancia manejar algún programa de modelado o programación y algún tipo de método numérico como mínimo para así ser un

profesional más competente y completo, atendiendo siempre a que la solución de muchos problemas en el área de la ingeniería debe ser resuelta con más de una forma.

BIBLIOGRAFÍA

• Dennis G. Zill., 2009. Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, CENGAGE Learning, México.

• Wei-Chau Xie, 2010. Differential equations for engineers, Cambridge University Press, New York.

• Matlab: www.mathworks.com/matlabcentral/?s_tid=gn_mlc_logo John H. Mathews y Kurtis D. Fink ,

Métodos numéricos con MatLab.