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Informations-
visualisierung
Thema: 4. Darstellung von Graphen
Dozent: Dr. Dirk Zeckzer [email protected]
Sprechstunde: nach Vereinbarung
Umfang: 2
Prüfungsfach: Modul Fortgeschrittene Computergraphik Medizininformatik, Angewandte Informatik
Informationsvisualisierung 4-2
4.1 Einleitung
Zu visualisierende Entitäten besitzen häufig inhärente Relationen
(Beziehungen oder Abhängigkeiten)
Dann: Graphen eignen sich als Repräsentation
Knoten stellen Entitäten dar
Kanten stellen Relationen dar
Informationsvisualisierung 4-3
4.1 Einleitung
Anwendungen Organigramm einer Firma
Projektmanagement (z. B. Project Evaluation and Review Technique -
PERT)
Soziale Netzwerke
Taxonomie biologischer Arten (bei Abstammung: phylogenetische
Bäume)
Biochemische Reaktionen, speziell Stoffwechselsysteme oder
Signalwege
Ähnlichkeiten von Dokumenten
Semantische Netzwerke und Wissensrepräsentationsdiagramme
Webseiten und ihre Links
Szenengraphen in der virtuellen Realität
Datenstrukturen, insbesondere bei Compilern
Strukturen objektorientierter Systeme (Klassenhierarchie, Datenfluss)
Echtzeitsystem (Zustandsdiagramme)
Schaltkreisentwurf (Very Large System Integration VLSI)
Informationsvisualisierung 4-4
4.2 Definitionen
Graphen
Ein Graph 𝐺 = (𝑉, 𝐸) besteht aus
𝑉: endliche Menge von Knoten
𝐸: endliche Menge von Kanten 𝐸 ⊂ 𝑉 × 𝑉
Wenn {𝑢, 𝑣 } eine Kante ist, so heißen u und v adjazent (benachbart)
Nachbarn von 𝑣 ∈ 𝑉 sind alle adjazenten Knoten
Anzahl der Nachbarn ist der Grad von 𝑣: |𝑣|
Ein Weg im Graph 𝐺 ist die Folge (𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣ℎ) verschiedener Knoten
von 𝐺, so dass ∀ 𝑖 = 1,… , ℎ: {𝑣𝑖 , 𝑣𝑖+1} ∈ 𝐸
Ein Weg heißt Zyklus, falls {𝑣ℎ, 𝑣1} ∈ 𝐸
Ein Graph ohne Zyklus heißt azyklischer Graph.
Informationsvisualisierung 4-5
4.2 Definitionen
Graphen (Fortsetzung)
Ein Graph (𝑉′, 𝐸′) mit 𝑉′ ⊆ 𝑉 und 𝐸′ ⊆ 𝐸 ∩ (𝑉′ × 𝑉′) heißt
Teilgraph von G.
Im Falle 𝐸′ = 𝐸 ∩ (𝑉′ × 𝑉′) heißt 𝐺′ der durch 𝑉′ induzierte
Teilgraph von G.
Informationsvisualisierung 4-6
4.2 Definitionen
Datenstrukturen für Graphen
Adjazenzmatrix 𝑨 Für 𝐺 = 𝑉, 𝐸 , V = n hat 𝐴 𝑛 × 𝑛 Einträge
𝐴𝑢𝑣 = 1 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝐸0 {𝑢, 𝑣} ∉ 𝐸
Die Adjazenzmatrix eines Graphen ist immer
symmetrisch
Adjazenzliste L
Für jeden Knoten 𝑣 ∈ 𝑉 erzeuge eine Liste mit allen
Nachbarn 𝑈 = {𝑢|{𝑢, 𝑣} ∈ 𝐸} von 𝑣
Graph Drawing
Automatisches Zeichnen von Graphen in 2D und 3D
Informationsvisualisierung 4-7
4.2 Definitionen
Digraphen
Ein gerichteter Graph oder Digraph 𝐺 = (𝑉, 𝐸) besteht aus
𝑉: endliche Menge von Knoten
𝐸: endliche Menge von Kanten 𝐸 ⊂ 𝑉 × 𝑉
Die gerichtete Kante (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐸 ist
ausgehende Kante für 𝑢
eingehende Kante für 𝑣
Knoten ohne ausgehende Kanten heißen Senken
Knoten ohne eingehende Kanten heißen Quellen.
Ingrad von 𝑣 : Anzahl eingehender Kanten.
Ausgrad von 𝑣 : Anzahl ausgehender Kanten.
Informationsvisualisierung 4-8
4.2 Definitionen
Digraphen (Fortsetzung)
Ein gerichteter Weg in G im Graph 𝐺 ist die Folge (𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣ℎ) verschiedener Knoten von 𝐺, so dass ∀ 𝑖 = 1,… , ℎ: {𝑣𝑖 , 𝑣𝑖+1} ∈ 𝐸
Ein gerichteter Weg heißt Zyklus, falls {𝑣ℎ , 𝑣1} ∈ 𝐸
Ein gerichteter azyklischer Graph (DAG, directed acyclic graph)
ist gerichteter Graph ohne Zyklus.
Zu einem Digraph 𝐺 gibt es immer Graph 𝐺′, der durch „Vergessen
der Orientierung der Kanten“ entsteht.
Informationsvisualisierung 4-9
4.2 Definitionen
Digraphen (Fortsetzung)
Kante (𝑢, 𝑣) eines Digraphen 𝐺 heißt transitiv, falls es einen Weg von
𝑢 nach 𝑣 gibt, der nicht durch (𝑢, 𝑣) läuft.
Transitiver Abschluss von 𝑮:
𝐺 = 𝑉, 𝐸 , 𝐸 = 𝐸 ∪ {(𝑢, 𝑣)|∃𝑊𝑒𝑔 𝑣𝑜𝑛 𝑢 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝑣 𝑖𝑛 𝐺}
Informationsvisualisierung 4-10
4.2 Definitionen
Digraphen (Fortsetzung)
Auch für Digraphen eignen sich Adjazenzmatrizen und Adjanzenzlisten
als Datenstrukturen. In diesem Fall ist die Adjazenzmatrix 𝐴 nicht
symmetrisch.
Informationsvisualisierung 4-11
4.2 Definitionen
Eine Zeichnung eines Graphen oder Digraphen 𝐺 ist Abbildung Γ vom Graphen in Ebene:
Sie ordnet jedem Knoten 𝑣 einen Punkt 𝑝𝑣 und jeder Kante eine offene
Jordankurve 𝐽𝑢𝑣 zu, welche die Punkte 𝑝𝑢 und 𝑝𝑣 als Endpunkte hat.
Gerichtete Kanten eines Digraphen werden in der Regel als Pfeile
gezeichnet.
Eine Zeichnung eines Graphen oder Digraphen heißt planar, wenn Kurven
zweier verschiedener Kanten außer den Endpunkten keine gemeinsamen
Punkte haben.
Ein Graph oder Digraph heißt planar, wenn es mindestens eine planare
Zeichnung gibt.
Man beachte, dass nicht alle Graphen planar sind.
Nach der Eulerformel kann ein planarer Graph mit n Knoten höchstens
3n-6 Kanten haben!
Informationsvisualisierung 4-13
4.2 Definitionen
Eine planare Zeichnung eines Graphen oder Digraphen zerlegt die Ebene in
topologisch verbundene Regionen. Diese werden Facetten genannt.
Die unbegrenzte Facette wird äußere Facette genannt.
Eine planare Zeichnung bestimmt zirkuläre Ordnung der inzidenten Kanten
an jedem Knoten durch Umlauf gegen/im Uhrzeigersinn.
Zwei planare Zeichnungen heißen äquivalent, wenn sie die gleiche
zirkuläre Ordnung an allen Knoten festlegen.
Eine planare Einbettung eines Graphen oder Digraphen 𝐺 ist die
Äquivalenzklasse von planaren Zeichnungen:
• Wird durch Festlegen der zirkulären Ordnungen der inzidenten Kanten an
jedem Knoten festgelegt
• Auf der vorherigen Folie liefern a,b,c die gleiche, d dagegen eine andere
Einbettung des Graphen.
Ein eingebetteter Graph / Digraph ist ein Graph / Digraph mit festgelegter
planarer Einbettung.
Informationsvisualisierung 4-14
4.2 Definitionen
Der Dualgraph 𝐺∗ zu einer Einbettung eines planaren Graphen 𝐺 besitzt
einen Knoten für jede Facette der Einbettung und
eine Kante (𝑓, 𝑔) zwischen zwei Facetten, wenn diese Facetten eine
gemeinsame Kante in der Einbettung haben
Informationsvisualisierung 4-15
4.2 Definitionen
Ein Graph heißt zusammenhängend,
wenn es Weg zwischen beliebigen Knoten
𝑢 ≠ 𝑣, 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 gibt.
Ein maximaler zusammenhängender
Teilgraph von 𝐺 heißt
Zusammenhangskomponente.
Ein Schnittknoten eines Graphen 𝐺 ist ein
Knoten, dessen Entfernen (einschließlich
der inzidenten Kanten) den Graphen 𝐺 in
mehrere Zusammenhangskomponenten
teilt.
Ein Graph ohne Schnittknoten heißt
doppelt zusammenhängend.
Maximale doppelt zusammenhängende
Teilgraphen heißen Blöcke.
Informationsvisualisierung 4-16
4.2 Definitionen
Ein Paar (𝑢, 𝑣) von Knoten eines Graphen heißt trennendes Paar, falls das
Entfernen von 𝑢 und 𝑣 den Graphen teilt .
Ein doppelt zusammenhängender Graph ohne trennendes Paar heißt
dreifach verbunden (dreifach zusammenhängend).
Informationsvisualisierung 4-17
4.2 Definitionen
Satz: Das Skelett (Ecken und Kanten) eines Polyhedrons im Raum ist ein
planarer, dreifach zusammenhängender Graph.
Satz: Ein planarer, dreifach zusammenhängender Graph hat eine eindeutige
Einbettung (bis auf Umdrehung der zirkulären Ordnung an allen Knoten).
Informationsvisualisierung 4-18
4.2 Definitionen
Weitere Graphentypen
Multigraphen. Sowohl bei gerichteten als auch bei ungerichteten Graphen
können mehrfache Kanten zwischen gleichen Knoten und Kanten von
einem Knoten zu sich selbst auftreten.
Hypergraphen. Eine Kante verbindet mehr als zwei Knoten:
Ein Tupel (𝑉, 𝐸) mit einer endlichen Menge von Knoten 𝑉 und einer
endlichen Menge von Hyperkanten 𝐸 ⊆ 𝑃𝑜𝑡(𝑉).
Jede Hyperkante verbindet eine Ausgangsmenge von Knoten mit einer
Eingangsmenge von Knoten.
Hypergraphen können gerichtet und ungerichtet sein.
Informationsvisualisierung 4-19
4.2 Definitionen
Bäume
Werden auch als Hierarchien bezeichnet.
Spezielle Beziehungen
Eltern-Kind Beziehung
Geschwisterbeziehung
Informationsvisualisierung 4-20
4.2 Definitionen
Bäume
Spezieller Graph mit Einschränkungen
Ein Baum ist ein Graph ohne Zyklen mit einem ausgezeichneten Knoten, der
Wurzel.
Knoten mit Grad 1 heißen Blatt
Alle anderen Knoten heißen innere Knoten
Ungerichtete Bäume
Ungerichtete Bäume haben keine weiteren Einschränkungen
Gerichtete Bäume
Gerichtete Bäume müssen zusätzlich schwach zusammenhängend sein,
insbesondere gibt es immer nur maximal einen Weg von einem Knoten 𝑢 zu
einem anderen Knoten 𝑣
Die Kanten sind immer von der Wurzel zu den Blättern oder von den Blättern zur
Wurzel gerichtet
Informationsvisualisierung 4-21
4.2 Definitionen
Eigenschaften von Graphen, Knoten, Kanten
Graph
Zyklisch, azyklisch
Gerichtet, ungerichtet
Multigraph
Hypergraph
Planar
Baum
Knoten
Typ
Zusätzliche Information
Kanten
Gerichtet, ungerichtet
Gewichte
Typ
Zusätzliche Information
Informationsvisualisierung 4-22
4.3 Graph Drawing
Graphenzeichnen (Graph Drawing)
Eigene Forschungsgemeinschaft
Sehr großes Gebiet
Literatur
Graph drawing conference
Visualization conferences and journals
Web:
http://graphdrawing.org
Graph Visualization Software:
http://www.graphviz.org
Informationsvisualisierung 4-23
4.3 Graph Drawing
Graphenzeichnen (Graph Drawing)
Literatur:
Giuseppe Di Battista, Peter Eades, Roberto Tamassia,
Ioannis G. Tollis.
Graph Drawing - Algorithms for the Visualization of
Graphs.
Prentice Hall Engineering, Science & Math. 1999. ISBN
0-13-301615-3
Handbook of Graph Drawing and Visualization
Roberto Tamassia, ed.
CRC Press 2014.
Herman, Melancon, Marshall. Graph Visualization and
Navigation in Information Visualization: A Survey. IEEE
TVCG 6(1): 24-43, 2000
Informationsvisualisierung 4-24
4.3 Graph Drawing
Forschungsgebiete Graph Layout und Position der Knoten
Skalierbarkeit
Navigation (besonders in großen Graphen)
Fokus & Kontext Methoden
Dynamische Graphen
Heterogene Knoten- und Kanten-Typen
Knoten mit großem Grad
Einbettung zusätzlicher Information
Visualisierung von isomorphen Teilgraphen
Vergleich von Graphen
…
Informationsvisualisierung 4-25
4.3 Graph Drawing
Visuelle Darstellung
Knoten
Form
Farbe
Größe
Position
Bezeichnung
Informationsvisualisierung 4-26
4.3 Graph Drawing
Visuelle Darstellung
Kanten
Farbe
Größe
Dicke
Richtung
Bezeichner
Form
Gerade
Gekrümmt
Planar
Orthogonal
Informationsvisualisierung 4-27
4.3 Graph Drawing
Konventionen
Es gibt verschiedene Zeichenkonventionen mit entscheidendem Einfluss
auf die Auslegealgorithmen von Graphen. Die gebräuchlichen Konventionen
sind:
Geradlinige Zeichnung. Jede Kante wird als gerade Linie gezeichnet.
Polylinienzeichnung. Jede Kante wird als Polygonzug gezeichnet.
Orthogonale Zeichnung: Jede Kante wird als Polygonzug achsenparalleler
Linien gezeichnet.
Gitterzeichnung. Knoten, Schnittpunkte und Kantenknicke haben
ganzzahlige Koordinaten bzgl. eines festgelegten kartesischen Gitters.
Planare Zeichnung. Kanten schneiden sich höchstens an Knoten.
Aufwärtszeichnung / Abwärtszeichnung. Für azyklische gerichtete
Graphen (DAGs) wird jede Kante als monoton ansteigende / absteigende
Kurve gezeichnet.
Informationsvisualisierung 4-29
4.3 Graph Drawing
Ästhetikkriterien I
Ästhetische Kriterien formulieren Wünsche an die Zeichnung eines Graphen,
welche die Zeichnung möglichst gut erfüllen soll
Oft sind nicht alle Kriterien, manchmal keines zu erreichen;
es wird ein guter Kompromiss gesucht.
Fläche: Graph wird auf möglichst kleiner Fläche gezeichnet. Dabei wird
entweder das Gitterzeichnen oder ein Mindestabstand von Knoten vereinbart.
Kantenschnitte: Minimierung der Anzahl der Schnittpunkte von Kanten
Kantenlänge
Gesamtkantenlänge: Gesamtkantenlänge wird minimiert. Auch dies ist nur bei
Gitterzeichnen oder Knotenmindestabstand sinnvoll.
Maximale Kantenlänge. Länge der längsten Kante wird minimiert. Wieder muss
man Gitterzeichnen oder Knotenmindestabstand vereinbaren.
Gleichförmige Kantenlänge. Varianz der Kantenlängen wird minimiert.
Informationsvisualisierung 4-30
4.3 Graph Drawing
Ästhetikkriterien II
Knicke
Gesamtanzahl Knicke. Zahl aller Knicke aller Kanten soll minimiert werden. Dies
ist besonders bei orthogonalem Zeichnen sinnvoll.
Maximale Knickanzahl. Maximum von Knicken einer Kante wird minimiert.
Gleichmäßige Knickanzahl. Varianz der Knickanzahl wird minimiert.
Winkelauflösung. Kleinster auftretender Winkel zwischen zwei Kanten wird
maximiert.
Seitenverhältnis. Seitenverhältnis des kleinsten umschriebenen Rechtecks
soll nahe 1 sein.
Symmetrie. Symmetrien des Graphen sollen möglichst gut abgebildet
werden.
Aber:
Ästhetikkriterien widersprechen sich oft.
Einzelne Kriterien können nicht immer erfüllt werden.
Informationsvisualisierung 4-31
4.3 Graph Drawing
Einschränkungen
Festlegen von Teilgraphen oder Teilzeichnungen, um bestimmte
Konventionen einzuhalten
Häufige Beispiele in der Visualisierung
Zentrum. Gegebener Knoten wird im Zentrum der Zeichnung fixiert
Außen. Bestimmter Knoten wird der äußeren Facette benachbart
Cluster. Gegebene Menge von Knoten wird nah beieinander angeordnet
Links-Rechts-Folge. Vorgegebener Weg wird von links nach rechts
gezeichnet (auch vertikal möglich)
Form. Zeichne gegebenen Teilgraphen mit vorgegebener Form
Informationsvisualisierung 4-32
4.3 Graph Drawing
Topologie-Form-Metrik-Ansatz
Dieser Ansatz zielt vor allem auf orthogonale Gitterzeichnungen und basiert auf
drei Verfeinerungsebenen:
Topologie. Zwei orthogonale Zeichnungen haben gleiche Topologie, wenn
sie durch
stetige Deformation ohne Vertauschen von Facetten ineinander überführt
werden können
Form. Zwei orthogonale Zeichnungen haben gleiche Form, wenn sie
gleiche Topologie haben und
eine Zeichnung aus der anderen nur durch Längenänderungen der
Liniensegmente hervorgeht.
Metrik. Zwei orthogonale Zeichnungen haben gleiche Metrik, wenn sie
kongruent sind, also durch
Verschieben und Drehen ineinander überführt werden können.
Informationsvisualisierung 4-33
4.3 Graph Drawing
Topologie-Form-Metrik-Ansatz/2
Umsetzung erfolgt durch drei entsprechende Schritte, bei denen nacheinander
Topologie, Form und Metrik optimiert werden:
Planarisierung legt die Einbettung des Graphen, also seine Topologie fest:
Minimierung der Anzahl der Kantenschnitte:
Oft wird zunächst ein maximaler planarer Untergraph gesucht und
eingebettet.
Anschließend werden verbleibende Kanten einzeln eingefügt,
wobei jeweils möglichst wenig Überschneidungen erzeugt werden.
An Überschneidungen werden Dummy-Knoten eingefügt.
[Jeron, Jard. 3D Layout of Reachability Graphs of Communicating Processes. Graph Drawing '94 Proceedings, 1995, 25-32],
[Jünger, Leipert, Mutzel. Pitfalls of using PQ-trees in automatic graph drawing. Graph Drawing '97 Proceedings, 1997, 193-204]
[Battista, Eades, Tamassia, Tollis. Graph Drawing. Prentice-Hall, 1999]
Informationsvisualisierung 4-34
4.3 Graph Drawing
Topologie-Form-Metrik-Ansatz/3
Orthogonalisierung legt die Form fest:
Orthogonale Repräsentation des Graphen
Knoten ohne Koordinaten
Kanten lediglich Winkellisten, zur Festlegung ihrer Knicke
Minimierung der Knicke ist in der Regel das Hauptziel
Kompaktifizierung legt endgültige Koordinaten der Kanten und der
Kantenknicke fest:
In der Regel wird die Fläche des Graphen minimiert.
[Jeron, Jard. 3D Layout of Reachability Graphs of Communicating Processes. Graph Drawing '94 Proceedings, 1995, 25-32],
[Jünger, Leipert, Mutzel. Pitfalls of using PQ-trees in automatic graph drawing. Graph drawing '97 Proceedings, 1997, 193-204]
[Battista, Eades, Tamassia, Tollis, Graph Drawing, Prentice-Hall, 1999]
Informationsvisualisierung 4-36
4.3 Graph Drawing
Sichtbarkeitsansatz
Der Sichtbarkeitsansatz dient dem Auslegen beliebiger Graphen mit Polylinien
Planarisierung gleicht dem Topologie-Form-Metrik-Ansatz;
Ziel ist Schnittvermeidung
Der Sichtbarkeitsschritt schafft eine Sichtbarkeitsrepräsentation des
Graphen
Jedem Knoten wird horizontales und jeder Kante {u,v} vertikales Segment
zugeordnet
Kantensegment hat Anfang und Ende innerhalb Knotensegmente
Kantensegmente schneiden einander nicht
Ersetzungsschritt erzeugt endgültige Zeichnung des Graphen
Ersetzen jedes horizontalen Segments durch Punkt
Ersetzen jedes vertikalen Segments durch Polylinie
Mögliche Strategien / Ästhetikkriterien: Knickminimierung, Symmetriebetonung,
gleichmäßige Verteilung der Knoten
Informationsvisualisierung 4-38
4.3 Graph Drawing
Verfeinerungsansatz
Betrachtet Polylinienzeichnungen
Planarisierung gleicht Topologie-Form-Metrik-Ansatz;
Ziel ist Schnittvermeidung
Verfeinerung fügt geeignete Anzahl von Kanten (evtl. auch Knoten) in
Einbettung ein, um einen maximalen planaren Graphen zu erzeugen:
Alle Facetten haben dann drei Kanten - Triangulierung
Qualität des Zeichnens maximaler Graphen hängt in der Regel vom
Knotengrad ab
Minimierung des maximalen Knotengrad
Triangulierungszeichnung erzeugt Zeichnung durch
Auslegen aller Dreiecke und
anschließendes Entfernen der Dummy-Kanten und ggf. Dummy-
Knoten
Informationsvisualisierung 4-39
4.3 Graph Drawing
Verfeinerungsansatz/2
Alle Algorithmen nutzen spezielle Triangulierungseigenschaften durch
überschneidende aufspannende Bäume oder
kanonische Knotenaufzählungen
(Beim Entfernen der Dummy-Knoten können Knicke und Schnitte
entstehen.)
Informationsvisualisierung 4-41
4.3 Graph Drawing
Kraftbasierter Ansatz
Kraftbasierte Ansätze sind intuitive Methoden für geradlinige Zeichnungen
ungerichteter Graphen.
Simuliert System von Kräften auf Eingabegraphen und gibt Zeichnung
minimaler Energie aus.
Zwei Knoten stoßen sich ab
Eine Kante hält zwei Knoten zusammen („anziehende“ Kraft)
Oft weitere Kräfte
Zentrumskraft um Zeichnung im View zu halten
Energieminimierung: einfache iterative Ansätze zur Lösung
Informationsvisualisierung 4-42
4.3 Graph Drawing
Divide-and-Conquer Ansatz
Beliebtes Informatikprinzip wird auch bei Zeichnungen von Graphen gerne
benutzt
Zerlegt Graph in Teilgraphen, zeichnet diese und erhält letztlich eine
Zeichnung des gesamten Graphen
Besonders geeignet für Bäume
Informationsvisualisierung 4-43
4.3 Graph Drawing
Topologischer Ansatz [Archambault, Munzner, Auber. TopoLayout: Multi-Level Graph Layout by Topological Features.
IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics 13(2):305—317, 2006]
Idee:
1. Zerlege den Graphen in Teilgraphen entsprechend verschiedener
Typen
2. Berechne das Layout basierend auf der Zerlegung
a) Zeichne jeden Teilgraphen mit dem best-möglichen Algorithmus
b) Reduziere Kanten-Schnitte
c) Entferne Überlappungen von Knoten
Informationsvisualisierung 4-44
4.3 Graph Drawing
Topologischer Ansatz
1. Zerlege den Graphen in Teilgraphen entsprechend verschiedener Typen
a) Auswahl der Typen
a) Bäume
b) Bi-Connected Components
c) HDE
d) Fast vollständig
e) Cluster
b) Reihenfolge der Erkennung wichtig
Informationsvisualisierung 4-46
4.3 Graph Drawing
Topologischer Ansatz
2. Berechne das Layout basierend auf der Zerlegung
a. Zeichne jeden Teilgraphen mit dem best-möglichen Algorithmus
b. Reduziere Kanten-Schnitte Rotieren der Subgraphen
c. Entferne Überlappungen von Knoten
Informationsvisualisierung 4-47
4.3 Graph Drawing
Topologischer Ansatz
Komplexität
𝑟𝑖: maximaler Grade eines Knotens im Teilgraphen der Ebene 𝑖
𝑑: Dimension des Raumes bei HDE
Algorithmus Komplexität
Erkennung
Baum 𝑂(𝑁𝑖 + 𝐸𝑖)
Biconnected Component 𝑂(𝑁𝑖 + 𝐸𝑖)
Connnected Component 𝑂(𝑁𝑖 + 𝐸𝑖)
HDE 𝑂(𝑑 ∙ (𝑁𝑖 + 𝐸𝑖))
Vollständig 𝑂(1)
Cluster 𝑂(𝑟𝑖 ∙ 𝐸𝑖)
Informationsvisualisierung 4-48
4.3 Graph Drawing
Topologischer Ansatz
Komplexität
𝑑: Dimension des Raumes bei HDE
𝐿: Anzahl Ebenen um Drehung zu berechnen
Algorithmus Komplexität
Initiales Layout
Bubble Tree 𝑂(𝑁𝑖 ∙ log𝑁𝑖)
Walker Tree 𝑂(𝑁𝑖)
Zirkulär (vorgegebene Fläche) 𝑂(𝑁𝑖)
GEM (vorgegebene Fläche) 𝑂(𝑁𝑖3)
HDE (vorgegebene Fläche) 𝑂(𝑑 ∙ (𝑁𝑖 ∙ log𝑁𝑖 + 𝐸𝑖))
Verfeinerung
Kreuzungsminimierung 𝑂(𝐿 ∙ 𝑁𝑖 ∙ 𝐸)
Überlappungsentfernung 𝑂(𝑁𝑖 ∙ log𝑁𝑖)
Informationsvisualisierung 4-50
4.3 Graph Drawing
Hierarchischer Ansatz
Der hierarchische Ansatz eignet sich besonders für das Layout von Bäumen und
gerichteten azyklischen Graphen (DAGs) und verwendet ebenfalls drei Schritte
1. Der Schichtungsschritt verwandelt einen DAG in einen geschichteten
Digraphen, bei dem jedem Knoten eine Schicht 𝐿𝑖 zugeordnet wird, so dass
für alle Kanten (𝑢, 𝑣) gilt: 𝑢 ∈ 𝐿𝑖 ∧ 𝑣 ∈ 𝐿𝑗 ∧ 𝑖 < 𝑗
Nach Einfügen von Dummy-Knoten auf Kanten, die über mehr
als eine Ebene laufen - so dass jede Kante von einer Schicht 𝑖 zur
Schicht 𝑖 + 1 läuft - ist die ein echt geschichteter Digraph.
2. Bei Schnittreduzierung erhält jede Schicht eine Reihenfolge (Ordnung)
Reihenfolge bestimmt Topologie des Layouts.
Dabei wird Anzahl der Kantenschnitte minimiert.
3. Festlegen der x-Koordinaten legt x-Koordinaten der Knoten in den
Ebenen fest
Für endgültige Zeichnung ersetzt man Dummy-Knoten durch Knicke
Knicke können minimiert oder Symmetrien betont werden
Informationsvisualisierung 4-51
4.3 Graph Drawing
Hierarchischer Ansatz/2
Für gerichtete Graphen wird eine minimale Anzahl von Kanten umgedreht,
um einen DAG zu erzeugen.
Diese werden aber in ihrer ursprünglichen Richtung gezeichnet.
Informationsvisualisierung 4-53
4.3 Graph Drawing
Klassischer Algorithmus von Sugiyama, 1981 [K. Sugiyama, S. Tagawa, and M. Toda. “Methods for Visual Understanding of Hierarchical
Systems Structures”, IEEE Trans. on Systems, Man, and Cybernetics, 11(2), pp. 109-125, 1981]
Sugiyama, 1989 [K. Sugiyama, S. Tagawa, and M. Toda, „Methodes for Visual Understanding of Hierarchical
Systems Structures“, IEEE Trans. Systems, Man, and Cybernetics, vol. 11, no. 2, pp. 109-125,
1989]
Problem der Schnittminimierung zwischen zwei Ebenen ist bereits NP-
hart
Heuristiken werden benötigt
Informationsvisualisierung 4-54
4.3 Graph Drawing
Tutte, 1963 [W. Tutte, „How to Draw a Graph“, Proc. London Math. Soc., vol. 3, no. 13, pp. 743-768, 1963]
Heuristik legt eine Ordnung der ersten und letzten Ebene fest
Jeder Knoten soll im Schwerpunkt seiner Nachbarn (im Graphen) liegen
Die führt zu einem linearen Gleichungssystem
Vergleich von Heuristiken [M. Laguna and R. Marti, „Heuristics and Meta-Heuristics for 2-Layer Straight Line Crossing
Minimization“,
URL: http://www-bus.colorado.edu/Faculty/Laguna/, 1999].
Informationsvisualisierung 4-56
4.4 Bäume
Eigenschaften von Bäumen
Eltern-Kind Relation
Relationen in der Regel gerichtet
Meist mit ausgezeichneten Knoten
Wurzel: keine eingehenden Kanten
Blätter: keine ausgehenden Kanten
Spezielle Algorithmen zum Zeichnen von Bäumen
Optimal bezüglich Kriterien
Optimal bezüglich Zeitbedarf
Informationsvisualisierung 4-57
4.4 Bäume
Beispiele von Bäumen
Organigramm einer Firma
Stammbaum
Taxonomie von biologischen Arten
Phylogenetische Bäume (Evolution)
Software Enginerring
Vererbungsbäume (manchmal auf DAGs)
Syntaxbäume
Informationsvisualisierung 4-58
4.4 Bäume
Darstellungen
Bäume
Gerichtete azyklische Graphen
Graphische Darstellung
Node-Link-Diagramm
Platzfüllendes Diagramm
Kriterien
Platzeffizienz
Abstraktion von Information
Einfachheit
Navigation
Informationsvisualisierung 4-59
4.4 Bäume
Horizontales/Vertikales Layout
Layout Kriterien
Eltern werden über ihren Kindern platziert
Knoten der gleichen Ebene (Abstand zur Wurzel) liegen auf der selben
horizontalen Linie
Reihenfolge der Kinder bleibt erhalten
Symmetrie: der Baum und sein Spiegelbild sollen sich entsprechen
Teilbäume werden mit den gleichen Regeln erstellt
Kleine Teilbäume werden gezielt angeordnet
Symmetrie: Kleine, innere Teilbäume werden gleichmäßig zwischen den großen
Teilbäumen verteilt
Kleine, äußere Bäume sollen nahe den großen Teilbäumen plaziert werden
Schmales, platzsparendes Layout
Informationsvisualisierung 4-60
4.4 Bäume
Walkers Algorithmus [J. Walker. A Node-positioning Algorithm for General Trees. In Software-Practice and
Experience, 20(7). pp. 685-705, 1990.]
Verbesserung, die garantiert lineare Zeit benötigt [Buchheim, C., Jünger, M., and Leipert, S. 2002. Improving Walker’s Algorithm to Run
in Linear Time. In Revised Papers From the 10th international Symposium on Graph
Drawing (August 26 - 28, 2002). S. G. Kobourov and M. T. Goodrich, Eds. Lecture
Notes In Computer Science, vol. 2528. Springer-Verlag, London, 344-353.]
Informationsvisualisierung 4-61
4.4 Bäume
Algorithmus benötigt zwei Druchläufe
Erster Durchlauf
Post-order (links-rechts-Wurzel)
Bestimme vorläufige Positionen
Komplette Teilbäume sind balanciert entsprechend den Layout-
Kritierien
Zweiter Durchlauf
Pre-order (Wurzel-links-rechts, Tiefensuche)
Berechnung der endgültigen Positionen
Komplexität: 𝑂(𝑛) 𝑛: Anzahl der Knoten
Informationsvisualisierung 4-62
4.4 Bäume
Beispiel mit k Knoten
[A. Kerren. Animation der semantischen Analyse. Master‘s thesis, Universität des Saarlandes, Saarbrücken, 1997, page 102]
Informationsvisualisierung 4-63
4.4 Bäume
Ausbalancieren der Teilbäume
Ergebnis
[A. Kerren. Animation der semantischen Analyse. Master‘s thesis, Universität des Saarlandes, Saarbrücken, 1997, page 102]
Informationsvisualisierung 4-64
4.4 Bäume
Vorteile der Methode
Knoten der gleichen Ebene sind auf der gleichen horizontalen Ebene
Einfach
Symmetrie
Nachteile (im Allgemeinen)
Hoher Platzbedarf
Große Bäume werden sehr breit
Viel ungenutzte Zeichenfläche
Kein Platz für Bezeichner
Informationsvisualisierung 4-65
4.4 Bäume
Radiales Layout
Konzentrische Kreise
Kinder gleicher Entfernung von der Wurzel liegen auf dem selben Kreis
Prinzipiell gleiche Kritierien wie horizontales Layout
[I. Herman, G. Melancon, M. De Ruiter, and M. Delest. “Latour - A Tree Visualization System”. In Proc. of the Symp. on Graph Drawing, GD’99, pp. 392-399, 1999.]
Informationsvisualisierung 4-66
4.4 Bäume
Bäume können auch H-förmig ausgelegt werden
Wird für Chip-Layout verwendet [P. Eades, „Drawing Free Trees“, Bulletin of the Inst. For the Combinatorics and Its
Applications, pp. 10-36, 1992].
Informationsvisualisierung 4-67
4.4 Bäume
[TUTTLE ET AL: PEDVIS: A STRUCTURED, SPACE-EFFICIENT TECHNIQUE
FOR PEDIGREE VISUALIZATION, InfoVis 2010]
Informationsvisualisierung 4-68
4.4 Bäume
[TUTTLE ET AL: PEDVIS: A STRUCTURED, SPACE-EFFICIENT TECHNIQUE
FOR PEDIGREE VISUALIZATION, InfoVis 2010]
Informationsvisualisierung 4-69
4.4 Bäume
[TUTTLE ET AL: PEDVIS: A STRUCTURED, SPACE-EFFICIENT TECHNIQUE
FOR PEDIGREE VISUALIZATION, InfoVis 2010]
Informationsvisualisierung 4-70
4.4 Bäume
3D
Layout-Algorithmen zum Zeichnen von Bäumen wurden nach
3D portiert
Vorteile
Mehr Platz verfügbar
Selten Schnitte von Kanten
Nachteile
Probleme mit der Navigation
Verdeckungen
Design der Bezeichner
Informationsvisualisierung 4-71
4.4 Bäume
[Herman I; Melancon G; Marshall MS. Graph visualization and navigation in information visualization: A survey. 2000.]
Informationsvisualisierung 4-72
4.4 Bäume
Ansatz von Hong und Eades, 2003 [Seokhee Hong and Peter Eades, Drawing Trees Symmetrically in Three Dimensions, Algorithmica, vol. 36, no. 2,
2003.]
Teilbäume werden auf Teilebenen gezeichnet
Wird eine Partitionierung vorgegeben, so läuft der Algorithmus in linearer
Zeit
Berechnung der besten, balancierten Partitionierung ist NP-hard
[http://www.cs.usyd.edu.au/~shhong/3dtreedraw.htm]
Informationsvisualisierung 4-73
4.4 Bäume
[Seokhee Hong and Peter Eades, Drawing Trees Symmetrically in Three Dimensions,
Algorithmica, vol. 36, no. 2, 2003.]
[http://www.cs.usyd.edu.au/~shhong/3dtreedraw.htm]
Informationsvisualisierung 4-74
4.4 Bäume
[Seokhee Hong and Peter Eades, Drawing Trees Symmetrically in Three Dimensions,
Algorithmica, vol. 36, no. 2, 2003.]
[http://www.cs.usyd.edu.au/~shhong/3dtreedraw.htm]
Informationsvisualisierung 4-75
4.4 Bäume
[Seokhee Hong and Peter Eades, Drawing Trees Symmetrically in Three Dimensions,
Algorithmica, vol. 36, no. 2, 2003.]
[http://www.cs.usyd.edu.au/~shhong/3dtreedraw.htm]
Informationsvisualisierung 4-76
4.4 Bäume
Cone Trees [G. G. Robertson, J. D. Mackinlay, and S. Card, “Cone trees: Animated 3d
visualizations of hierarchical information," in Proceedings of ACM CHI'91, New
Orleans, May 1991, 1991, pp. 189 - 194.]
3D Darstellung von Bäumen
Die Kindknoten sind auf einem Kreis mit Mittelpunkt Elternknoten auf
einer tieferen Ebene angeordnet.
Vorteile
Bessere Ausnutzung des verfügbaren Platzes
Focus & Context
Animation
Nachteile
Knoten verdecken sich
Informationsvisualisierung 4-77
4.4 Bäume
Cone Trees [G. G. Robertson, J. D. Mackinlay, and S. Card, “Cone trees: Animated 3d
visualizations of hierarchical information," in Proceedings of ACM CHI'91, New
Orleans, May 1991, 1991, pp. 189 - 194.]
[C. Chen. Information Visualization. Springer, London, Berlin, Heidelberg, 2nd Edition, ISBN 1-85233-789-3, 2004 , page 308]
[C. Ware. Information Visualization: Perception for Design. 2nd Edition, Morgan Kaufman, San Francisco, ISBN 1-55860-819-2, 2004, page 286]
Informationsvisualisierung 4-78
4.4 Bäume
Cone Trees
[http://www.fask.uni-mainz.de/user/warth/hypertext/diplom/Hypertext-3.5.5.html]
Informationsvisualisierung 4-79
4.4 Bäume
Cone Trees [J. Carriere and R. Kazman, “Interacting with huge hierarchies: Beyond cone trees,“ in Proceedings
of the IEEE Symposium on Information Visualization, (Atlanta, GA), October 1995, 1995, pp. 74-81.]
Informationsvisualisierung 4-80
4.4 Bäume
[C.-S. Jeong and A. Pang, “Reconfigurable disc trees for visualizing large hierarchical information
space," in Proceedings of the 1998 IEEE Symposium on Information Visualization (North Carolina,
October 19 - 20, 1998). INFOVIS. IEEE Computer Society, Washington, DC, 1998, pp. 19-25.]
Informationsvisualisierung 4-81
4.4 Bäume
[C.-S. Jeong and A. Pang, “Reconfigurable disc trees for visualizing large hierarchical information
space," in Proceedings of the 1998 IEEE Symposium on Information Visualization (North Carolina,
October 19 - 20, 1998). INFOVIS. IEEE Computer Society, Washington, DC, 1998, pp. 19-25.]
Informationsvisualisierung 4-82
4.4 Bäume
Degree-of-Interest Trees [Card, S. K. and Nation, D. Degree-of-interest trees: a component of an attention-reactive user
interface. Advanced Visual Interfaces (AVI 2002). 2002, pp. 22-24. Trento, Italy.]
Traditionelle 2D Technik mit folgenden Erweiterungen
Darstellung basiert auf einer Einschätzung des Grades an Interesse
eines Benutzers
Knoten von geringem Interesse werden versteckt
Geometrische Skalierung der Knoten entsprechend dem DOI
Semantischer Zoom
Große, nicht-expandierte Zweige werden geclustert
Animation des Fokuswechsels
Informationsvisualisierung 4-83
4.4 Bäume
Degree-of-Interest Trees
[http://davenation.com/doitree/doitree-avi-2002.htm]
Informationsvisualisierung 4-84
4.4 Bäume
Degree-of-Interest Trees
[http://davenation.com/doitree/doitree-avi-2002.htm]
Informationsvisualisierung 4-85
4.4 Bäume
Botanische Bäume [E. Kleiberg, H. van der Wetering, and J. J. van Wijk. Botanical Visualization of Huge Hierarchies. In
Proceedings of the IEEE Symposium on Information Visualization ‘01, pp. 87-94, 2001.]
Botanische Metapher
Bäume werden als „reale“ Bäume dargestellt
Attribute der Blätter werden auf Farbe und Geometrie
abgebildet
Keine empirische Evaluation
Informationsvisualisierung 4-86
4.4 Bäume
Botanische Bäume
[http://www.win.tue.nl/~vanwijk/botatree.pdf]
Informationsvisualisierung 4-87
4.4 Bäume
Hyperbolische Bäume
In der hyperbolischen Geometrie gelten Gesetze von Euklid.
Aber: Zu einer Geraden gibt es mehr als eine parallele Gerade durch
einen festen Punkt außerhalb der Geraden.
Beim Kleinmodell (nach Felix Klein) wird Kreisscheibe in euklidischer
Ebene benutzt.
Punkte liegen alle innerhalb
Geraden sind Sekanten (enden auf dem Rand)
Für hyperbolische Länge gibt es eine
Formel, die Linienstücke gleicher
hyperbolischer Länge im euklidischen
Sinne zum Rand der Scheibe immer
kürzer werden lässt
Parallelen divergieren
Informationsvisualisierung 4-88
4.4 Bäume
Hyperbolische Bäume [John Lamping, Ramana Rao, and
Peter Pirolli, “A Focus+Context
Technique Based on Hyperbolic
Geometry for Visualizing Large
Hierarchies”, Proceedings of the ACM
SIGCHI Conference on Human Factors
in Computing Systems, Denver, May
1995, ACM]
Inspiration: M. C.
Escher „Heaven and
Hell“
Focus & Context,
Fisheye
Animation für
Navigation in Ebenen
Informationsvisualisierung 4-89
4.4 Bäume
Layout Hyperbolische Bäume
Rekursiver Algorithmus basierend auf lokaler Information
Jeder Knoten belegt ein keilförmiges Segment der Ebene
Alle Kinder werden entlang eines Bogens plaziert
Die Distanz wird so berechnet, dass alles Platz findet
Beobachtung
Da Parallelen divergieren, können die Keile der Kinder nicht überlappen
Das Layout kann inkrementell erzeugt werden
Die minimale Distanz zwischen Geschwistern bestimmt die darstellbare
Tiefe
Unbalancierte Bäume nutzen den Platz nicht optimal
Schließlich muss der Baum zurück in die euklidsche Ebene
transformiert werden
Informationsvisualisierung 4-90
4.4 Bäume
Hyperbolische Bäume
Uniform
Tiefe: 5
Verzweigungsfaktor: 3
Informationsvisualisierung 4-93
4.4 Bäume
3D – Verschiebung eines Knotens ins Zentrum
3D – Rotation um den selben Knoten
[Tamara Munzner, H3: Laying Out Large Directed Graphs in 3D Hyperbolic Space, 1997]
Informationsvisualisierung 4-94
4.4 Bäume
Magic Eye View [Kreuseler, Matthias; Lopez, Norma; Schumann, Heidrun.: A Scalable Framework for Information
Visualization In: Proceedings IEEE Information Visualization 2000, Salt Lake City, Utah, Oktober
2000.]
Projektion auf eine 3D Halbkugel
Leicht skalierbar
Interaktive Änderung des Projektionszentrums ermöglicht
flexiblen Fokus auf jeden Teil der Hierarchie
Gebiete im Fokus werden vergrößert dargestellt
Der Rest wird verkleinert
Fokus & Kontext
Informationsvisualisierung 4-95
4.4 Bäume
[M. Kreuseler, T. Nocke, H. Schumann,Integration of Cluster Analysis and Visualization Techniques for Visual Data Analysis,2003]
3 Ebenen 6 Ebenen
Fokus
Informationsvisualisierung 4-96
4.4 Bäume
Diskussion Node-Link Darstellung
Vorteile
Leicht zu verstehen
Nachteile
Keine optimale Nutzung des Platzes
Es ist schwierig weitere Variablen für die Knoten anzuzeigen,
wenn man folgende Parameter verwenden will
Form
Farbe
Größe
Alle Möglichkeiten vertragen sich nicht mit der Node-Link
Struktur
Informationsvisualisierung 4-97
4.4 Bäume
Platz-füllende Darstellungen
Versuchen zwei konzeptuelle Schwächen von Node-Link
Darstellungen zu beheben
Platzbedarf
Darstellungen zusätzlicher (komplexer) Attribute
Älteste und bekannteste Darstellung: tree-maps
Vorteile:
Sehr guter Überblick
Nachteile
In der Regel werden nur die Kinder dargestellt
Informationsvisualisierung 4-98
4.4 Bäume
Tree-map (Baumkarte) [B. Johnson and B. Schneiderman, „Tree-Maps: A Space-Filling Approach to the Visualization of
Hierarchical Information Structures“, Proc. IEEE Visualization '91, pp. 275-282, 1991]
Die Hierarchie wird rekursiv auf Rechtecke abgebildet
Jedem Teilbaum wird ein Rechteck zugewiesen
Kinder werden innerhalb ihrer Eltern gezeichnet
In jeder Ebene wird abwechselnd horizontal und vertikal
unterteilt
Attribute können dargestellt werden durch
Fläche des Rechtecks (z.B. Größe)
Farbe des Rechtecks (z.B. Knotentyp)
Zusätzlicher Text (z.B. Bezeichner)
Informationsvisualisierung 4-99
4.4 Bäume
Algorithmus (Darstellung eines Dateiverzeichnisses)
Zeichne tree map (Verzeichnis)
Wechsle Orientierung (Horizontal/Vertikal)
Lese alle Verzeichnisse und Dateien
Erzeuge für jedes Elements eine Rechteck, skaliert mit seiner
Größe
Zeichne die Rechtecke mit der berechneten Größe und der
Farbe entsprechend dem Knotentyp
Für jedes Verzeichnis
Zeichne tree map (Verzeichnis)
Informationsvisualisierung 4-100
4.4 Bäume
Beispiel
Root-
Verzeichnis
b a c i
d e
f g h
Nach [Ware 2004]
Informationsvisualisierung 4-104
4.4 Bäume
Beispiel
Nach [Ware 2004]
a
b
c
d e
f
g
h
i
b a c i
d e
f g h
Informationsvisualisierung 4-105
4.4 Bäume
Vorteile
Gut geeignet auch für große, rekursive Hierarchien
Platzeffizienter als Baumdiagramme da raumfüllend (Space
Filling)
Große Elemente sind schnell sichtbar
Blattstruktur gut erkennbar
Nachteile
Standard-TreeMaps (ver-)brauchen Rand plus Fläche
Hierarchie selbst ist nicht gut erkennbar
Haben u.U. schlechtes Seitenverhältnis
Rechteckig statt quadratisch
Problematisch bei kleinen Dateien auf oberen Ebenen (lang und
schmal)
Informationsvisualisierung 4-106
[Johnson, Shneiderman 1991]
4.4 Bäume
Platznutzung
Rand plus Fläche begrenzen
Elementgröße
Kleine Elemente sind schwierig
zu unterscheiden
Informationsvisualisierung 4-107
4.4 Bäume
Beleuchtung der Elementfelder - Cushioned TreeMaps [Wijk, Wetering, 1999]
Grate zum Betonen der Grenzen
Grate in zwei Orientierungen: Cushions / Kissen
z = ax2 + bx + cy2 + dy + e
+ =
Informationsvisualisierung 4-108
4.4 Bäume
Beleuchtung der Elementfelder - Cushioned TreeMaps [Wijk, Wetering, 1999]
Informationsvisualisierung 4-109
4.4 Bäume
Beleuchtung der Elementfelder - Schwache Beleuchtung von
Rechtecken [Fekete, Plaisant, 2002]
Partitionsgrenzen
erhalten
Informationsvisualisierung 4-111
4.4 Bäume
Betonung der
Hierarchiegrenzen [Bruls et al., 2000]
Verstärkung
Beleuchtung der
Grenzen mit Graten
Verbraucht
zusätzlichen Platz
Informationsvisualisierung 4-112
4.4 Bäume
Betonung der
Hierarchiegrenzen [Fekete, Plaisant, 2002]
Verstärkung
Beleuchtung der Grenzen
Verbraucht
zusätzlichen Platz
Informationsvisualisierung 4-113
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses (aspect ratio)
Verhältnis der Rechteckseiten: Längere Seite / Kürzere Seite
Ideal: nahe 1 (Quadrat)
Bei großen Werten
Lange, schmale Rechtecke
Schwierig zu erkennen
Informationsvisualisierung 4-114
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
Kreisförmiges Layout [Wetzel 2004]
Gutes Seitenverhältnis
Gute Hierarchiedarstellung
Schlechte Platzeffizienz
Informationsvisualisierung 4-115
Zur Anzeige wird der QuickTime™ Dekompressor „TIFF (LZW)“
benötigt.
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
Rechteckige Layouts - Slice and Dice
Standardverfahren für TreeMaps
Erhält Reihenfolge (Ordnung)
Ist stabil
Bekannte Probleme
Vergleichproblem: Welches Rechteck ist größer?
Informationsvisualisierung 4-116
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
Rechteckige Layouts - Cluster TreeMaps [Wattenberg 1999]
Unterteilt gleichzeitig vertikal und horizontal
Freiheitsgrade werden zum Sortieren nach Ähnlichkeit genutzt
Man verliert aber ursprüngliche Ordnung
Gleichmäßigere Aufteilung
Slice and Dice Cluster TM
Informationsvisualisierung 4-117
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
Rechteckige Layouts - Squarified TreeMaps [Bruls et al. 2000]
Unterteilt gleichzeitig vertikal und horizontal
Elemente teilen vorgegebene Fläche im Verhältnis auf
Unterteilt Hierarchieebenen nacheinander
Verliert Ordnung
Informationsvisualisierung 4-118
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
Unterteile in Richtung der kleineren Seite (fülle linke/obere Hälfte der längeren Seite)
bis Seitenverhältnisse nicht mehr besser werden (schlechter/gleich gut)
Wechsel zur leeren Seite (rechts/unten)
Lokales Optimierungsverfahren ähnlich zum steepest Gradient/Hill Climbing
Gute (aber nicht optimale) Lösung
Informationsvisualisierung 4-119
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
Rechteckige Layouts - Squarified TreeMaps [Bruls et al. 2000]
6
6
4
3
2 2 1
6
6
6 6
6
Aspektratio: 8/3 3/2 4/1
6 6 4
9/4
4
9/2
6
6 4 3
49/27
6
6 4 3 2
.... 6
6 4 3
2 2 1
25/9
Informationsvisualisierung 4-120
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
Rechteckige Layouts - Squarified TreeMaps [Bruls et al. 2000]
Informationsvisualisierung 4-121
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
Rechteckige Layouts - Squarified TreeMaps [Bruls et al. 2000]
Mit Hierarchieinformation (anderes Filesystem)
Informationsvisualisierung 4-122
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
Rechteckige Layouts - Squarified vs. Cluster TreeMaps
Problem: Nicht Ordnung-erhaltend Dynamische Änderungen können zu völlig neuem Layout führen.
Graustufen repräsentieren die ursprüngliche Ordnung.
Informationsvisualisierung 4-123
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
Rechteckige Layouts - Ordered TreeMaps [Shneiderman, Wattenberg 2001]
Idee: Platziere Elemente, die in der Ordnung benachbart sind, in benachbarten Rechtecken
1. Sei P (Pivot-Element), das Element mit der größten Fläche
2. Unterteile Feld in vier Teile: R1, RP, R2, R3
3. Platziere P in RP
4. Verteile alle anderen Element auf drei Teillisten: L1, L2, L3, die alle leer sein können
5. Layout von L1, L2, L3 in R1, R2, R3, falls entsprechende Liste nicht leer
6. Unterteile einzelne Teilfelder rekursiv
Mit Teilung wird Lokalität heuristisch besser gewahrt
Informationsvisualisierung 4-124
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
Rechteckige Layouts - Ordered TreeMaps [Shneiderman, Wattenberg 2001]
Teillisten:
Alle Elemente von L1 liegen vor P
Alle Elemente von L2 und L3 liegen nach P
Alle Elemente von L2 liegen vor denen von L3
Das Seitenverhältnis von P soll so nah an 1 wie möglich sein
|L3| 1
Informationsvisualisierung 4-125
Graustufen repräsentieren die ursprüngliche Ordnung
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
Rechteckige Layouts - Ordered TreeMaps [Shneiderman, Wattenberg 2001, Bederson et al. 2002]
Drei Varianten für Pivot-Wahl: Größe (siehe oben)
Mittleres Element der Liste
Fläche von R1 und R3 sind etwa gleich
Informationsvisualisierung 4-126
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
Rechteckige Layouts - ordered Strip-TreeMap [Bederson et al. 2002]
Variation der Squarified TreeMap: Wechselkriterium
Horizontal oder Vertikal
Erstes Element einfügen mit entsprechender Höhe über ganze Zeile
Füge nächstes Element ein und passe Höhe an
Veränderung wie squarified tree map.
Letzter Strip problematisch.
Informationsvisualisierung 4-127
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
Rechteckige Layouts - ordered Strip-TreeMap [Bederson et al. 2002]
Informationsvisualisierung 4-128
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
Rechteckige Layouts - Vergleich: Aktienmarkt 535 Firmen [Bederson et al. 2002]
Readability is better if the value is smaller
Informationsvisualisierung 4-129
4.4 Bäume
Verbesserung des Seitenverhältnisses
Rechteckige Layouts - Vergleich: Aktienmarkt 535 Firmen [Bederson et al. 2002]: Fläche: Marktkapitalisierung
Informationsvisualisierung 4-130
4.4 Bäume
NewsMap [Weskamp et al., 2004]
TreeMap für Zeitungsartikel von GoogleNews
Größe referenziert auf Anzahl der verwandten Artikel
Farbe markiert Nachrichtentyp
Informationsvisualisierung 4-132
4.4 Bäume
Verbesserung des Flächenelements
Voronoi-TreeMap [Balzer, Deussen 2005]
Voronoi-Diagramm als Ebenenunterteilung
Fläche repräsentiert Größe
Farbe repräsentiert Hierarchietiefe
Guter Aspektratio (1) durch implizite Optimierung durch Voronoi-Zerlegung
Ungleichförmige Elemente
Informationsvisualisierung 4-133
4.4 Bäume
Verbesserung des Flächenelements
Voronoi-TreeMap [Balzer et al. 2005]
Informationsvisualisierung 4-134
4.4 Bäume
Circular Partitions [Onak et al., 2008]
Partitionierung der
Ebene (auch für höhere
Dimensionen)
Beliebige
Unterteilungsrichtungen
Informationsvisualisierung 4-135
4.4 Bäume
Zusammenfassung
TreeMaps sind kompakte, dichte Darstellung
Gut für rekursive Baum-/Hierarchiedarstellungen
Hierarchie selbst nicht so gut sichtbar
Erhaltung von gutem Seitenverhältnis und der Ordnung wichtig
Interaktive Darstellung wichtig
Informationsvisualisierung 4-136
4.4 Bäume
Beamtrees [F. van Ham and J.J. van Wijk, "Beamtrees : Compact Visualization of Large Hierarchies", Proc.
IEEE Conf. Information Visualization 2002, IEEE CS Press, pp. 93-100, 2002.]
Nachteil tree maps
Es ist schwierig, Betrachtungen über die Struktur der Hierarchie
anzustellen (z.B., die Tiefe des Baumes)
Beamtrees sind eine Variante der treemaps
Herausstellen der Struktur steht im Vordergrund
Idee: Knoten-Überlappung anstelle von Schachtelung
Geeignet für 2D und 3D Ansichten
Informationsvisualisierung 4-137
4.4 Bäume
Beamtrees [van Ham, van Wijk, 2002]
Vergleich mit tree maps (slice-and-dice)
Informationsvisualisierung 4-140
4.4 Bäume
Radial-Flächenfüllend Idee:
Verwende Kreis-Segmente für die Darstellung von Baumknoten
Von innen nach außen mehr Platz
Informationsvisualisierung 4-141
4.4 Bäume
Semi-Circular Discs [Andrews, K., Heidegger, H. (1998): Information slices: visualising and exploring large hierarchies
using cascading, semicircular discs. Proc. IEEE Information Visualization Symposium, Carolina, USA,
9-12.]
Verwendet zwei Halbkreise um große Hierarchien anzuzeigen
Jede Scheibe stellt mehrere Ebenen der Hierarchie dar
Fokus & Context
Fokus: Ausdehnung der zweiten Scheibe
Textuelle Attribute werden in separaten Bereichen dargestellt,
nicht in der Graphik selbst
Kodierung
Farbe: Typ
Winkel: Größe
Informationsvisualisierung 4-142
4.4 Bäume
Semi-Circular Discs [Andrews, K., Heidegger, H. (1998): Information slices: visualising and exploring large hierarchies
using cascading, semicircular discs. Proc. IEEE Information Visualization Symposium, Carolina, USA,
9-12.]
Informationsvisualisierung 4-143
4.4 Bäume
Sunburst [John Stasko, Eugene Zhang. "Focus+Context Display and Navigation Techniques for Enhancing
Radial, Space-Filling Hierarchy Visualizations", p. 57, IEEE Symposium on Information Visualization
2000.]
Erweiterung der Semi-Circular Discs um animierte Transitionen
und Interaktion
Fokus & Kontext:
Winkel Detail
Detail außen
Detail innen
Empirische Studie bestätigt Vorteile gegenüber tree maps
Zeitbedarf für Navigation
Erlernbarkeit
Bevorzugung
Kodierung wie Semi-Circular Discs
Informationsvisualisierung 4-144
4.4 Bäume
Sunburst [John Stasko, Eugene Zhang 2000.]
[JOHN STASKO, An evaluation of space-filling information visualizations for depicting hierarchical structures, 2000]
Informationsvisualisierung 4-146
4.4 Bäume
Sunburst [John Stasko, Eugene Zhang 2000.]
Winkel Detail
Überblick wird verkleinert
Die Fokus-Region wächst keilförmig aus der Peripherie
Vorteile
Intuitive
Nachteile
Nicht sehr Platzsparend
Informationsvisualisierung 4-148
4.4 Bäume
Sunburst [John Stasko, Eugene Zhang 2000.]
Detail außen
Überblick wird verkleinert
The Fokus-Region bildet einen Ring um den Kreis
Vorteile
Platzsparend
Nachteile
Nicht so intuitiv
Anfang der vergößerten Region ist unklar
Informationsvisualisierung 4-150
4.4 Bäume
Sunburst [John Stasko, Eugene Zhang 2000.]
Detail innen
Überblick wir vergrößert
Die Fokus-Region bilder einen Ring in dem Kreis
Vorteile
Sehr platzsparend
Nachteile
Wahrscheinlich am wenigsten intuitiv
Starke Verzerrung
Informationsvisualisierung 4-151
4.4 Bäume
InterRing [Jing Yang, Matthew O. Ward, Elke A. Rundensteiner, Anilkumar Patro, InterRing: a visual interface
for navigating and manipulating hierarchies. Information Visualization 2(1): 16-30. 2003.]
Erweiterung des Sunburst-Ansatzes
Mehrere Fokus-Punkte
Unterschiedliche Radien für verschiedene Hierarchieebenen
Vierte Interaktionstechnik
Vergrößerung des Winkels in der Fokus-Region
Komprimierung der anderen
Informationsvisualisierung 4-152
4.4 Bäume
InterRing [Jing Yang, Matthew O. Ward, Elke A. Rundensteiner, Anilkumar Patro, InterRing: a visual interface
for navigating and manipulating hierarchies. Information Visualization 2(1): 16-30. 2003.]
Winkel
Informationsvisualisierung 4-153
4.4 Bäume
InterRing [Jing Yang, Matthew O. Ward, Elke A. Rundensteiner, Anilkumar Patro, InterRing: a visual interface
for navigating and manipulating hierarchies. Information Visualization 2(1): 16-30. 2003.]
Radius
Informationsvisualisierung 4-154
4.4 Bäume
Icicle Plots [J.B. Kruskal and J.M. Landwehr, Better Displays for Hierarchical Clustering, The American
Statistician, May 1983, Vol.- 37, No. 2.]
Vergleich der ‚modernen‘ Version mit anderen Techniken
Organization
Chart
Tree ring Icicle Plot Treemap
Informationsvisualisierung 4-155
4.5 Graphen
Alle besprochenen Baum-Layout-Algorithmen sind vorhersagbar
Bei gleichem Eingabegraphen liefern sie gleichen das gleiche
Layout
Isomorphe Teilbäume werden gleich behandelt
→ sehr sinnvolle Eigenschaft für Visualisierung
Informationsvisualisierung 4-156
4.5 Graphen
Das Layout von gerichteten Graphen wird in der Regel mit dem
Sujiyama Algorithmus und verschiedenen Heuristiken
durchgeführt
Gleicher Input erzeugt das gleiche Layout (falls dieselbe Heuristik
verwendet wird)
Isomorphe Teilgraphen haben nicht notwendigerweise das gleiche
Layout
Informationsvisualisierung 4-157
4.5 Graphen
Ungerichtete Graphen können auf verschiedene Weisen
behandelt werden
Nicht alle Algorithmen liefern zu den gleichen Eingabegraphen das
gleiche Layout
Isomorphe Teilgraphen haben nicht notwendigerweise das gleiche
Layout
Informationsvisualisierung 4-158
4.5 Graphen
Kraftbasierte Methoden orientieren sich an einem
physikalischen Modell mit Kräften bzw. potentieller Energie
Energie wird minimiert
Das Optimierungsproblem wird lokal gelöst
Informationsvisualisierung 4-159
4.5 Graphen
Spring Embedder
Im Graph Drawing zuerst von P. Eades eingeführt (1984)
Zwei Kriterien
Symmetrie
Einheitliche Länge der Kanten
Gerade Linien
Kräfte
Abstoßende Kräfte (Ladungen) zwischen den Knoten
Federkraft für die Kanten
Informationsvisualisierung 4-160
Spring Embedder
Knoten
Positiv geladene Teilchen
𝑔𝑢𝑣: elektrische Abstoßung von 𝑣 durch 𝑢
Kanten
Feder mit vorgegebener Ruhelänge 𝑙𝑢𝑣
𝑓𝑢𝑣: die Kraft durch die Feder zwischen u und v
𝑔𝑢𝑣 und 𝑓𝑢𝑣 wirken jeweils auf 𝑢 und 𝑣
Kraft auf 𝑣
𝐹 𝑣 = 𝑓𝑢𝑣{𝑢,𝑣}∈𝐸
+ 𝑔𝑢𝑣{𝑢,𝑣}∈𝑉×𝑉
4.5 Graphen
Informationsvisualisierung 4-161
Spring Embedder
Genauer gilt
𝐹 𝑣 = 𝑘(1)𝑢𝑣𝑑(𝑝𝑢, 𝑝𝑣) − 𝑙𝑢𝑣
𝑝𝑢 − 𝑝𝑣𝑑(𝑝𝑢, 𝑝𝑣)
{𝑢,𝑣}∈𝐸
+ 𝑘(2)𝑢𝑣1
(𝑑(𝑝𝑢, 𝑝𝑣))2
𝑝𝑢 − 𝑝𝑣𝑑(𝑝𝑢, 𝑝𝑣)
{𝑢,𝑣}∈𝑉×𝑉
Mit
Zeichnungspositionen 𝑝𝑢, 𝑝𝑣
Euklidischem Abstand 𝑑(𝑝𝑢, 𝑝𝑣)
Federkonstanten 𝑘(1)𝑢𝑣
Ladungsbasierter Abstoßungsstärke 𝑘(2)𝑢𝑣
4.5 Graphen
Informationsvisualisierung 4-162
Spring Embedder
Lösung mit numerischen Verfahren mit häufig genutztem intuitiven
Ansatz
1. Plaziere Knoten zufällig in der Ebene
2. Berechne Kraft 𝐹(𝑣) für alle Knoten 𝑣
3. Bewege jeden Knoten 𝑣 ein kleines Stück in Richtung 𝐹(𝑣)
4. Wenn Kräfte nicht annähernd Null sind und das Maximum an Iterationen
nicht erreicht ist, gehe zu 2.
Alternative, schnellere Ansätze liefert beispielsweise Numerik
gewöhnlicher Differentialgleichungen
4.5 Graphen
Informationsvisualisierung 4-166
Spring Embedder
Probleme
Hohe Laufzeit: 𝑂 𝑛2
Möglicherweise nicht effizient für große Graphen
Sehr empfindlich gegenüber Veränderungen im Graphen
Hinzugefügte oder entfernte Knoten
Hinzugefügte oder entfernte Kanten
4.5 Graphen
Informationsvisualisierung 4-167
Spring Embedder
Verbesserungen
Hinzufügung lokaler minimaler Energien
Kamada and Kawai, 1989 [T. Kamada and S. Kawai. An Algorithm for Drawing General and Undirected Graphs.
Information Processing Letters, 31(1), pp. 24-38, 1989]
Iterative, force-directed node placement
Fruchterman and Rheingold, 1991 [T. Fruchterman and E. Rheingold. Graph Drawing by Force-directed Placement.
Software – Practice and Experience, 21, pp. 1129-1164, 1991]
Simulated Annealing
Davidson and Harel, 1996 [R. Davidson and D. Harel. Drawing Graphs Nicely Using Simulated Annealing. ACM
Transactions on Graphics, 15(4), 301-331, 1996]
4.5 Graphen
Informationsvisualisierung 4-168
Baryzentrische Methode [Tutte. Convex Representation of Graphs. Proc. of London Mathematical Society 10(3):304-320,
1960],
[Tutte. How to Draw a Graph, Proc. of London Mathematical Society 13(3):743-768, 1963]
Vor der Methode von Eades entwickelt
Fixiert eine ausgewählte Menge von Knoten als konvexen Rand der
Zeichnung.
Nutzt Federn der Länge 0
Die Energiefunktion lautet
𝐹 𝑣 = (𝑝𝑢 − 𝑝𝑣)
{𝑢,𝑣}∈𝐸
4.5 Graphen
Informationsvisualisierung 4-169
Baryzentrische Methode
Für fixierte Knoten 𝑣 ∈ 𝑉 erhält man so folgende lineare Gleichungen
𝑝𝑣 =1
deg 𝑣 𝑝𝑤𝑤∈𝑁0 𝑣
+ 𝑝𝑢𝑢∈𝑁1 𝑣
𝑁0(𝑣): fixierte Nachbarn von 𝑣
𝑁1(𝑣): freie Nachbarn von 𝑣
deg 𝑣 = 𝑁0 + |𝑁1|
Bedeutung:
Jeder Knoten wird als Schwerpunkt (Barycenter) seiner Nachbarn gezeichnet
4.5 Graphen
Informationsvisualisierung 4-171
4.5 Graphen
Baryzentrische Methode
Theorem:
Sei 𝐺 ein dreifach zusammenhängender Graph,
sei 𝑓 eine Facette einer planaren Einbettung von 𝐺 und
sei 𝑃 eine streng konvexe Zeichnung von 𝑓. Dann liefert Barycenter-Draw eine konvexe, planare Zeichnung
von 𝐺 mit fixierten Ecken von 𝑓
Informationsvisualisierung 4-173
4.5 Graphen
Auf graphentheoretischen Distanzen beruhende Kräfte [Kamada, Kawai. An Algorithm for Drawing Undirected Graphs. Information Processing Letters
31(1):7-15, 1989]
Definition:
Sei 𝐺 = (𝑉, 𝐸) ein zusammenhängender Graph. Für zwei Knoten 𝑢, 𝑣 heißt die Länge 𝛿(𝑢, 𝑣) des kürzesten Weges graphentheoretische
Distanz.
Ziel dieser Ansätze ist Übereinstimmen von euklidischer Distanz in
der Zeichnung und graphentheoretischer Distanz im Graphen
Informationsvisualisierung 4-174
4.5 Graphen
Auf graphentheoretischen Distanzen beruhende Kräfte
Kamada und Kawai wählen daher 𝑘𝑢𝑣 ≔𝑘
𝛿(𝑢,𝑣)2 mit Konstante 𝑘
Die potentielle Energie der Feder zur Kante {u,v} wird gesetzt auf
𝜂{𝑢,𝑣} =𝑘
2
𝑑 𝑝𝑢, 𝑝𝑣𝛿(𝑢, 𝑣)
− 1
2
Die potentielle Energie der gesamten Zeichnung wird gesetzt auf
𝜂 =𝑘
2 𝑑 𝑝𝑢, 𝑝𝑣𝛿(𝑢, 𝑣)
− 1
2
𝑢,𝑣∈𝑉𝑢≠𝑣
Dieser Wert wird dann iterativ minimiert
Nach allen Knotenpositionen ableiten
Knoten in Richtung mit größter Ableitung bewegen
Informationsvisualisierung 4-175
4.5 Graphen
Magnetische Felder [Sugiyama, Misue. Graph Drawing by Magnetic Spring Model. Journal of Visual Language
Computation 6(3), 1995].
Man kann Federn auch magnetischen Kräften aussetzen, um sie
möglichst gleich auszurichten.
Dabei werden einige oder alle Federn im Modell magnetisiert .
Es wirkt ein globales magnetisches Feld in senkrechter,
waagrechter oder radialer Richtung (mit Zentrum).
Informationsvisualisierung 4-176
4.5 Graphen
Magnetische Felder [Sugiyama, Misue. Graph Drawing by Magnetic Spring Model. Journal of Visual Language
Computation 6(3), 1995].
Federn sind wie folgt modelliert:
Unidirektional mit Tendenz zur Ausrichtung in Feldrichtung, oder
bidirektional mit Ausrichtung nur parallel zum Feld
Informationsvisualisierung 4-177
4.5 Graphen
Magnetische Felder
Unidirektionale Federn und magnetische Kräfte erlauben Auslegen
von Digraphen.
Informationsvisualisierung 4-178
4.5 Graphen
Magnetische Felder
Unidirektionale Federn und magnetische Kräfte erlauben Auslegen
von Digraphen.
Informationsvisualisierung 4-179
4.5 Graphen
Allgemeine Energiefunktionen
Neben kontinuierlichen Energieansätzen können auch diskrete
Ästhetikmaße als Energien genutzt werden
Anzahl der Kantenschnitte
Anzahl der vertikalen und horizontalen Kanten
Anzahl der Knicke
Dabei verwendet man als Energie der Zeichnung
𝜂 = 𝜆1𝜂1 +⋯+ 𝜆𝑘𝜂𝑘
Wobei die 𝜂𝑖, 𝑖 = 1,… , 𝑘 einzelne Kriterien messen
li sind die Gewichtungen der Einzelenergien
Informationsvisualisierung 4-180
4.5 Graphen
Allgemeine Energiefunktionen
Die 𝜂𝑖 können folgende Energien enthalten
Potentielle Federenergien
Potentielle elektrische Energien
Potentielle magnetische Energien
Informationsvisualisierung 4-181
4.5 Graphen
Beispiel allgemeiner Energien [Davidson, Harel. Drawing Graphics Nicely Using Simulated Annealing. ACM Transactions on
Graphics 15(4):301-331, 1996]
Davidson und Harel verwenden vier Teile
𝜂 = 𝜆1𝜂1 + 𝜆2𝜂2 + 𝜆3𝜂3 + 𝜆4𝜂4
𝜂1 simuliert eine Art elektrischer Abstoßung
𝜂1 = 1
(𝑑 𝑝𝑢, 𝑝𝑣 )2
𝑢,𝑣∈𝑉
𝜂2 bestraft das Annähern an den Rand
𝜂2 = 1
𝑟𝑢2 + 𝑙𝑢
2 + 𝑡𝑢2 + 𝑏𝑢
2
𝑢∈𝑉
mit Randabständen 𝑟𝑢, 𝑙𝑢, 𝑡𝑢, 𝑏𝑢
Informationsvisualisierung 4-182
4.5 Graphen
Beispiel allgemeiner Energien [Davidson, Harel. Drawing Graphics Nicely Using Simulated Annealing. ACM Transactions on
Graphics 15(4):301-331, 1996]
𝜂3 bestraft zu lange Kanten
𝜂3 = (𝑑 𝑝𝑢, 𝑝𝑣 )2
{𝑢,𝑣}∈𝐸
𝜂4 hält die Anzahl der Kantenschnitte gering
Informationsvisualisierung 4-183
4.5 Graphen
Nachteile der Energie-basierten Ansätze
Finden nicht immer die beste Lösung
Sind stark parameterabhängig
Informationsvisualisierung 4-184
4.5 Graphen
Vorteile der Energie-basierten Ansätze
Lassen sich gut verbinden mit Einschränkungen (Constraints)
Festgelegte Positionen einiger Knoten
Fixierte Teilgraphen
Als Energie beschreibbare Beschränkungen
Bemerkungen
Kraftbasierte Methoden benötigen oft viel Rechenaufwand
Daher effiziente Minimierungsmethoden nötig
Auf Zufallsbasis (Simulated Annealing, Behandlung steifer
Differentialgleichungen, Kombinatorische Vorbehandelung)
Geeignete Heuristiken
Informationsvisualisierung 4-185
4.5 Graphen
Clustering
Insbesondere, wenn Graph zu groß für Darstellung ist, kann man ihn
vereinfachen
In einigen Anwendungen sind die Graphen bereits geclustert
Allgemein: Clustering der Knoten mit folgenden Grundprinzipien
Structural-Clustering: es wird nur aufgrund der Struktur des Graphen
zusammengefasst
Content-based Clustering: es wird die Semantik (insbesondere der
Knoten) mit berücksichtigt
Fast alle Verfahren basieren auf Structural-Clustering
Es ist einfacher umzusetzen
Der Ansatz kann auf jeden Graphen unabhängig von der
Anwendungsdomäne angewendet werden
Informationsvisualisierung 4-186
4.5 Graphen
Clustering
Es werden praktisch immer disjunkte Cluster erzeugt
Aus Clustern wird neuer Graph erzeugt
Cluster werden zu Knoten
Es wird eine Kante zwischen Clustern gebildet, wenn eine Kante
zwischen Elementen der Cluster existiert
Informationsvisualisierung 4-187
4.5 Graphen
Clustering
Für Clustering ist Metrik der Knoten nötig
Metriken können strukturell oder inhaltsbasiert sein und ergeben so
die beiden Typen des Clusterings.
Metrik von Furnas mischt die Distanz von einem Knoten zum anderen
mit dem gewünschten Detailgrad für den jeweiligen Bereich des
Graphen [Furnas, Generalized Fisheye Views, Human Factors in Computing Systems, CHI'86 Conference
Proceedings, 1986, 16-23]
Informationsvisualisierung 4-188
4.5 Graphen
Clustering
Man kann Knoten und Kanten auch einfach einen Relevanzwert
geben [Kimelman, Leban, Roth, Zernik, Reduction of visual complexity in dynamic graphs, Proc. Symp.
Graph Drawing GD'94, 1994]
Für die Repräsentation gibt es drei verschiedene Ansätze
Ghosting: unwichtige Kanten und Knoten treten in Hintergrund
Hiding: unwichtige Elemente weglassen
Grouping: unwichtige Elemente zusammenfassen
Informationsvisualisierung 4-190
4.5 Graphen
Clustering
Ansatz von Noack und Lewerentz (Software Systeme) [A. Noack and C. Lewerentz. “A Space of Layout Styles for Hierarchical Graph Models of Software
Systems”. ACM SoftVis’05, 2005]
Drei Layout-Kriterien
Clustering
Repräsentation der Hierarchie
Verzerrung
Verwendet ein Energiemodell mit drei Parametern (𝑐, ℎ, 𝑑)
Finde eine Layout, das die Gesamtenergie des Systems minimiert
Anwendung
Vererbung
Methoden-Aufrufe
Informationsvisualisierung 4-191
4.5 Graphen
Clustering (Noack, Lewerentz)
Ein hierarchischer Graph 𝐻 = (𝐺, 𝑇) ist ein gerichteter Graph 𝐺 zusammen
mit einem gerichteten Baum 𝑇, so dass alle Blätter von 𝑇 genau die Knoten
von 𝐺 sind.
𝑇 heißt hierarchischer Baum von 𝐺.
Graph Hierarchical tree
111 112 113
13 122 121
1
11 12 13
121 122 113 112 111
Informationsvisualisierung 4-192
4.5 Graphen
Clustering (Noack, Lewerentz)
Die Ansicht eines hierarchischen Graphen 𝐻 = (𝐺, 𝑇) ist ein Graph
(𝑉, induced 𝑉 ), so dass die Menge 𝑉 für jeden Knoten von 𝐺 genau einen
Vorgänger in 𝑇 enthält. (Abstraktion eines hierarchischen Graphen)
111 112 113
13 122 121
1
11
122 121 13
Informationsvisualisierung 4-193
4.5 Graphen
Clustering (Noack, Lewerentz)
𝑐 ∈ (0,1] ist der Clustering Parameter
c = 0.2 c = 0.5 c = 1.0
Informationsvisualisierung 4-194
4.5 Graphen
Clustering (Noack, Lewerentz)
ℎ ∈ [0,1] ist der Hierachie Parameter
𝑐 = 0,5 und ℎ = 1,0
Oberstes Package Packages der 3. Ebene Oberste Ebene der Klassen
Informationsvisualisierung 4-195
4.5 Graphen
Clustering (Noack, Lewerentz)
d ∈ [0,1] ist der Verzerrungs Parameter
𝑐 = 0,5 und ℎ = 1,0
d = 0,0 d = 0,5 d = 1,0
Informationsvisualisierung 4-196
4.5 Graphen
3D Graph Drawing
Klassische 2D Algorithmen werden auf 3D erweitert (siehe auch den
Abschnitt über Bäume)
Probleme
Navigation
Überlappungen (Überdeckungen)
Mental map (kognitive Karte)
Informationsvisualisierung 4-197
4.5 Graphen
3D Graph Drawing: Linux Kernel
[http://www.pabr.org/kernel3d/kernel3d.html]
Informationsvisualisierung 4-198
4.5 Graphen
3D Orthogonal graph drawing
[D.R. Wood. Three-Dimensional Orthogonal Graph Drawing. PhD Thesis, School of Computer Science and Software Engineering, Monash University, Australia, 2000.] [http://www.cs.nthu.edu.tw/~spoon/3G_Lab/Projects/ortho_drawing.htm]
Informationsvisualisierung 4-199
4.6 Dynamische Graphen
Netzwerke können sich im Laufe der Zeit verändern
Biochemische Netzwerke werden durch neu entdeckte Pfade
ergänzt
Soziale Netzwerke: neue Kontakte
Evolution von Software
Die Darstellungen sollten die „Mental Map“ erhalten
„Alte Strukturen“ sollten leicht wiedererkannt werden
[K. Misue, P. Eades, W. Lai, and K. Sugiyama, “Layout Adjustment and the Mental Map”,
Journal of Visual Languages and Computing 6 (1995), 183-210.]
Informationsvisualisierung 4-200
4.6 Dynamische Graphen
Morphing
Visualisierung des Übergangs von einem Layout zum nächsten durch
stetige, ruckfreie Animationen (‚smooth animations‘)
Vorteile
Ästhetisch ansprechend
Nachteile
Knoten ändern ihre Position
Neue oder entfernte Knoten werden unter Umständen nicht erkannt
Informationsvisualisierung 4-201
4.6 Dynamische Graphen
Morphing
Morphing kann auf jedes 2D und 3D Layout angewendet werden
Wenn ein Knoten eine neue Position im neuen Layout erhält, wir ein
Animationspfad berechnet, der zwischen alter und neuer Position
interpoliert
GraphAEL [C. Erten, P. J. Harding, S. G. Kobourov, K. Wampler, and G. Yee, “GraphAEL: Graph
Animations with Evolving Layouts”, 11th Symposium on Graph Drawing (GD), p. 98-110, 2003.]
Verwendet eine Kraft-basierte Methode
Informationsvisualisierung 4-202
4.6 Dynamische Graphen
Morphing
[http://graphael.cs.arizona.edu/graphael/]
Informationsvisualisierung 4-203
4.6 Dynamische Graphen
Morphing
[http://graphael.cs.arizona.edu/graphael/]
Informationsvisualisierung 4-204
4.6 Dynamische Graphen
Foresighted Graph Layout [S. Diehl, C. Görg, and A. Kerren. “Preserving the Mental Map using Foresighted Layout”. In
Proceedings of Joint Eurographics - IEEE TCVG Symposium on Visualization, VisSym’01, Springer
Verlag, 2001.]
Voraussetzung
Die Graphensequenz ist bekannt
Die Graphensequenz kann vorab berechnet werden
Idee
Berechne den Super-Graphen der Graphensequenz
Platziere die Knoten optimal entsprechend dem Super-Graphen
Zeichne die Knoten des aktuellen Graphen an den festgelegten
Positionen
Zeichne die Kanten des aktuellen Graphen
Informationsvisualisierung 4-205
4.6 Dynamische Graphen
Foresighted Graph Layout
Vorteile
Die „Mental Map“ bleibt erhalten
Kann mit jedem Graph-Layout verwendet werden
Nachteile
Oft ist die Graphensequenz nicht vorab bekannt
Zum Teil schlechte Ästhetik
Informationsvisualisierung 4-206
4.6 Dynamische Graphen
Foresighted Graph Layout
[Stephan Diehl. Carsten Görg. Andreas Kerren, Preserving the Mental Map using Foresighted Layout, 2000]
Informationsvisualisierung 4-207
4.6 Dynamische Graphen
Adaptiv, Kraft-basiert [Y. Frishman, Dynamic Drawing of Clustered Graphs, InfoVis 2007]
Informationsvisualisierung 4-208
4.7 InfoVis Techniken
Visualization of internet traffic [http://www.unc.edu/depts/jomc/academics/dri/011/growth.html]
Byte traffic into the ANS/NSFnet T3 backbone
Informationsvisualisierung 4-209
4.7 InfoVis Techniken
Visualisierung von Netzwerken: SeeNet [Richard A. Becker, Stephen G. Eick, Allan R. Wilks: Visualizing Network Data, 1995]
Informationsvisualisierung 4-210
4.7 InfoVis Techniken
Visualisierung von Netzwerken: SeeNet [Richard A. Becker, Stephen G. Eick, Allan R. Wilks: Visualizing Network Data, 1995]
Informationsvisualisierung 4-211
4.7 InfoVis Techniken
Visualisierung von Netzwerken: SeeNet [Richard A. Becker, Stephen G. Eick, Allan R. Wilks: Visualizing Network Data, 1995]
Informationsvisualisierung 4-212
4.7 InfoVis Techniken
Visualisierung von Netzwerken: SeeNet [Richard A. Becker, Stephen G. Eick, Allan R. Wilks: Visualizing Network Data, 1995]
Informationsvisualisierung 4-213
4.7 InfoVis Techniken
Visualisierung von Netzwerken: SeeNet3D [Kenneth C. Cox, Stephen G. Eick, Taosong He, 3D Geographic Network Displays, 1996]
Informationsvisualisierung 4-214
4.7 InfoVis Techniken
Abstammungsbäume [Bezerianos et al. : GENEAQUILTS: A System for exploring large Genealogies, InfoVis 2010]
Informationsvisualisierung 4-215
4.7 InfoVis Techniken
Abstammungsbäume [Bezerianos et al. GENEAQUILTS: A System for exploring large Genealogies, InfoVis 2010]
Informationsvisualisierung 4-216
4.7 InfoVis Techniken
Abstammungsbäume [Michael J. McGuffin, Ravin Balakrishnan. Interactive Visualization of Genealogical Graphs, InfoVis
2005]
Informationsvisualisierung 4-217
4.7 InfoVis Techniken
Abstammungsbäume [Michael J. McGuffin, Ravin Balakrishnan. Interactive Visualization of Genealogical Graphs, InfoVis
2005]
Informationsvisualisierung 4-218
4.7 InfoVis Techniken
Abstammungsbäume [Michael J. McGuffin, Ravin Balakrishnan. Interactive Visualization of Genealogical Graphs, InfoVis
2005]
Informationsvisualisierung 4-219
4.7 InfoVis Techniken
Dynamische Darstellung von Knoten und Kanten [Pak Chung Wong, Patrick Mackey :Dynamic Visualization of Graphs with Extended Labels,
INFOVIS, 2005]
Informationsvisualisierung 4-220
4.7 InfoVis Techniken
Netzwerkvisualisierung mit Semantic Substrates (Semantischer
Träger) [B. Shneiderman and A. Aris. Network Visualization by Semantic Substrates. IEEE Transactions on
Visualization and Computer Graphics, 12(5), pp. 733-740, 2006]
Idee
Layout basiert auf Benutzer-definierten Semantic Substrates
Keine Überlappung der Bereiche der Knoten
Die Plazierung der Knoten hängt von ihren Attributen ab
Verwendung von Slidern
Um die Sichtbarkeit von Kanten zu kontrollieren
Um Kantendurcheinander zu entschärfen
Informationsvisualisierung 4-221
4.7 InfoVis Techniken
Netzwerkvisualisierung mit Semantic Substrates
htt
p://w
ww
.cs.u
md
.edu
/hcil/
pub
s/p
resen
tatio
ns/N
VS
S-3
_file
s/fra
me
.htm
Informationsvisualisierung 4-222
4.7 InfoVis Techniken
Hybride Visualisierung [N. Henry et al., NodeTrix: A Hybrid Visualization of Social Networks, InfoVis 2007]
Informationsvisualisierung 4-223
4.7 InfoVis Techniken
Hybride Visualisierung [N. Henry et al., NodeTrix: A Hybrid Visualization of Social Networks, InfoVis 2007]
Informationsvisualisierung 4-224
4.7 InfoVis Techniken
Hybride Visualisierung [N. Henry et al., NodeTrix: A Hybrid Visualization of Social Networks, InfoVis 2007]
Informationsvisualisierung 4-225
4.7 InfoVis Techniken
Hierarchien [D. Archambault et al., TugGraph: Path-Preserving Hierarchies for Browsing Proximity and Paths in
Graphs, PacificVis 2009]
Informationsvisualisierung 4-226
4.7 InfoVis Techniken
Hierarchien [D. Archambault et al., TugGraph: Path-Preserving Hierarchies for Browsing Proximity and Paths in
Graphs, PacificVis 2009]
Informationsvisualisierung 4-227
4.7 InfoVis Techniken
Hierarchien [D. Archambault et al., TugGraph: Path-Preserving Hierarchies for Browsing Proximity and Paths in
Graphs, PacificVis 2009]
Informationsvisualisierung 4-228
4.7 InfoVis Techniken
Hierarchien [D. Archambault et al., TugGraph: Path-Preserving Hierarchies for Browsing Proximity and Paths in
Graphs, PacificVis 2009]
Informationsvisualisierung 4-229
4.7 InfoVis Techniken
Kantenbündel (Edge Bundles) [Danny Holten, Hierarchical Edge Bundles:Visualization of Adjacency Relations in Hierarchical Data,
InfoVis 2006]
Informationsvisualisierung 4-230
4.7 InfoVis Techniken
Kantenbündel (Edge Bundles) [Danny Holten, Hierarchical Edge Bundles:Visualization of Adjacency Relations in Hierarchical Data,
InfoVis 2006]
Informationsvisualisierung 4-231
4.7 InfoVis Techniken
Graph-Motive (Graph Motifs) [T. von Landesberger et al., Visual Analysis of Graphs with Multiple Connected Components, VAST
2009]
Informationsvisualisierung 4-232
4.7 InfoVis Techniken
Graph-Motive (Graph Motifs) [T. von Landesberger et al., Visual Analysis of Graphs with Multiple Connected Components, VAST
2009]
Informationsvisualisierung 4-233
4.7 InfoVis Techniken
Graph-Motive (Graph Motifs) [T. von Landesberger et al., Visual Analysis of Graphs with Multiple Connected Components, VAST
2009]
Informationsvisualisierung 4-234
4.7 InfoVis Techniken
Hybrid Visualisierung und Clustering [V. Batagelj, Visual Analysis of Large Graphs Using (X,Y)-clustering and Hybrid Visualizations,
PacificVis 2010]
Informationsvisualisierung 4-235
4.7 InfoVis Techniken
Hybrid Visualisierung und Clustering [V. Batagelj, Visual Analysis of Large Graphs Using (X,Y)-clustering and Hybrid Visualizations,
PacificVis 2010]
Informationsvisualisierung 4-236
4.7 InfoVis Techniken
Hybrid Visualisierung und Clustering [V. Batagelj, Visual Analysis of Large Graphs Using (X,Y)-clustering and Hybrid Visualizations,
PacificVis 2010]
Informationsvisualisierung 4-237
4.7 InfoVis Techniken
Hybrid Visualisierung und Clustering [V. Batagelj, Visual Analysis of Large Graphs Using (X,Y)-clustering and Hybrid Visualizations,
PacificVis 2010]
Informationsvisualisierung 4-238
4.8 Ausblick
Offene Fragen und Trends
Einige Graphentypen sind bisher weniger beachtet worden:
Hypergraphen lassen sich als bipartite Graphen auffassen
Für jede Hyperkante ein Zusatzknoten einfügt wird
Dieser wird dann mit den übrigen Knoten der Hyperkante verbunden
Die Zeichnung kann dann mit einem Standard-Algorithmus erfolgen
Anwendungen (z. B. Stoffwechsel in der Biologie) erfordern besondere
Erweiterungen, die Gegenstand aktueller Arbeiten sind
Informationsvisualisierung 4-239
4.8 Ausblick
Offene Fragen und Trends
Visualisierung sehr großer Graphen mit mehreren Millionen oder
gar Milliarden Knoten und Kanten
Der Abstammungsbaum aller biologischen Arten
Alle Webseiten
Netze: Festnetztelefone, Handynetz, Internet
Soziale Netzwerke
Ansätze des Graphenzeichnens müssen mit schneller Interaktion
und effizienten Datenstrukturen verknüpft werden
Informationsvisualisierung 4-240
Literatur
Herman, Melancon, Marshall. Graph Visualization and Navigation in Information
Visualization: A Survey. IEEE TVCG 6(1): 24-43, 2000
G. Di Battista, P. Eades, R. Tomassia, I. G. Tollis. Graph Drawing. Prentice-Hall,
Upper Saddle River, NJ, USA, 1999
Roberto Tamassia, ed. Handbook of Graph Drawing and Visualization. CRC Press
2014.