ingenieria de control

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRÓNICA XIX CURSO DE ACTUALIZACION PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA 1. DATOS INFORMATIVOS CURSO : Ingeniería de Control HORAS : 40 horas DURACION : 5 semanas PROFESOR : Ing. Armando Pedro Cruz Ramírez 2. OBJETIVO El alumno será capaz de identificar los conceptos del control clásico a través de definiciones, diagramas y gráficos temporales, modelos matemáticos y el análisis de los sistemas lineales e invariantes en el tiempo, para simplificar y resolver problemas de carácter real El alumno adquirirá la habilidad de establecer modelos matemáticos de sistemas lineales, podrá analizar la respuesta en tiempo, auxiliado por una computadora y podrá aplicar el MatLab y Simulink, como herramientas de apoyo en el análisis y diseño de dichos sistemas. 3. METODOLOGÍA El desarrollo del curso se realizara mediante sesiones expositiva y demostrativa propiciando la intervención de los alumnos, utilizando proyecciones y desarrollando problemas de aplicación de los temas tratados. 4. EVALUACIÓN Se tomara tres prácticas calificadas de los cuales se elimina una, siendo esta la nota más baja; finalmente se tomara un examen final. PP Promedio de prácticas EF Examen final PF Promedio final 5. CONTENIDO PROGRAMATICO SEMANA Nro. 01: Introducción a sistemas de control. Introducción: definiciones, variable controlada, variable manipulada, plantas, procesos, sistemas, perturbaciones, control realimentado. Sistemas de control en lazo abierto, sistemas de control en lazo cerrado, sistemas de control en lazo cerrado en comparación con sistemas en lazo abierto. Transformada de Laplace Introducción. Transformada de Laplace. Teoremas de la transformada de Laplace. Transformada inversa de Laplace. Solución de ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo (LIT). Modelado matemático de sistemas dinámicos Introducción. Función de transferencia y de respuesta impulso .Sistemas de control automáticos. Modelado en el espacio de estados. Representación en el espacio de estados de sistemas dinámicos. Sistemas mecánicos. Sistemas eléctricos y electrónicos. Diagramas de flujo de señales. Linealización de modelos matemáticos no lineales.

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Page 1: Ingenieria de Control

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRÓNICA

XIX CURSO DE ACTUALIZACION PROFESIONAL DE INGENIERÍA

ELECTRÓNICA

1. DATOS INFORMATIVOS

CURSO : Ingeniería de Control

HORAS : 40 horas

DURACION : 5 semanas

PROFESOR : Ing. Armando Pedro Cruz Ramírez

2. OBJETIVO

El alumno será capaz de identificar los conceptos del control clásico a través de definiciones,

diagramas y gráficos temporales, modelos matemáticos y el análisis de los sistemas lineales e

invariantes en el tiempo, para simplificar y resolver problemas de carácter real

El alumno adquirirá la habilidad de establecer modelos matemáticos de sistemas lineales, podrá

analizar la respuesta en tiempo, auxiliado por una computadora y podrá aplicar el MatLab y

Simulink, como herramientas de apoyo en el análisis y diseño de dichos sistemas.

3. METODOLOGÍA El desarrollo del curso se realizara mediante sesiones expositiva y demostrativa propiciando la

intervención de los alumnos, utilizando proyecciones y desarrollando problemas de aplicación de

los temas tratados.

4. EVALUACIÓN Se tomara tres prácticas calificadas de los cuales se elimina una, siendo esta la nota más baja;

finalmente se tomara un examen final.

PP Promedio de prácticas

EF Examen final

PF Promedio final

5. CONTENIDO PROGRAMATICO

SEMANA Nro. 01:

Introducción a sistemas de control.

Introducción: definiciones, variable controlada, variable manipulada, plantas, procesos, sistemas,

perturbaciones, control realimentado. Sistemas de control en lazo abierto, sistemas de control en lazo

cerrado, sistemas de control en lazo cerrado en comparación con sistemas en lazo abierto.

Transformada de Laplace

Introducción. Transformada de Laplace. Teoremas de la transformada de Laplace. Transformada

inversa de Laplace. Solución de ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo (LIT).

Modelado matemático de sistemas dinámicos

Introducción. Función de transferencia y de respuesta impulso .Sistemas de control automáticos.

Modelado en el espacio de estados. Representación en el espacio de estados de sistemas dinámicos.

Sistemas mecánicos. Sistemas eléctricos y electrónicos. Diagramas de flujo de señales. Linealización

de modelos matemáticos no lineales.

Page 2: Ingenieria de Control

SEMANA Nro. 02:

Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria

Introducción. Sistemas de primer orden. Sistemas de segundo orden. Sistemas de orden superior.

Estabilidad de los sistemas lineales con realimentación El concepto de estabilidad. Polos y ceros. El

criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz. Practica 01.

SEMANA Nro. 03:

Efectos de las acciones de control integral y derivativo en el comportamiento del sistema. Errores en

estado estacionario en los sistemas de control con realimentación unitaria. Índices de comportamiento.

Estabilidad relativa de los sistemas de control con realimentación. Estabilidad de los sistemas con

variables de estado. Examen Parcial

SEMANA Nro. 04:

Análisis del lugar de las raíces Introducción. Graficas del lugar de las raíces. Resumen de las reglas

generales para construir los lugares de las raíces..

Sistemas con realimentación positiva. Sistemas condicionalmente estables. Lugares de las raíces para

sistemas con retardo de transporte. Practica 02

SEMANA Nro. 05:

Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar de las raíces

Introducción. Consideraciones preliminares de diseño.

Compensación de adelanto. Compensación de retardo. Compensación de retardo-adelanto.

Compensación paralela. Examen Final

6. BIBLIOGRFIA

Ingeniería de control moderna, K. Ogata, Prentice / Hall, 4ta Edición 2008.

Sistemas de Control para Ingeniería, Norman S. Nise, Edit. CECSA, Tercera Edición, 2004

Ingeniería de Control, W. Bolton, Alfaomega, 2da Edición, 2002

Sistemas modernos de control, R.C.Dorf, R. H. Bishop, Prentice Hall, 2005.

Sistemas de control en Ingeniería, Paul H. Lewis, Chang Yang, Prentice-Hall, 1999.

Page 3: Ingenieria de Control

Semana 01

Introducción a los Sistemas de Control

Un sistema de control podría definirse como un conjunto de componentes interrelacionados que

proporcionan acciones deseadas. Las diferentes técnicas e control presentan medios para lograr el

funcionamiento óptimo de sistemas dinámicos, permitiendo mejorar la productividad, automatizar

procesos anuales y repetitivos, brindar seguridad y calidad en la producción industrial.

1.1 Objetivo del Control Automático

El objetivo del control automático es mantener en determinado valor de operación las variables del

proceso. Para tal propósito se diseña el controlador adecuado permitiendo obtener salidas controladas

que cumplan con los requerimientos de diseño. En la figura 1.1 se representa el proceso dinámico a

controlar.

Variables de Variables de

entrada salida

Conocer Las leyes físicas

Plantear el sistema de ecuaciones

Escoger el controlador para obtener la salida deseada

Figura 1.1: Representación del proceso dinámico.

1.2 Campos de aplicación

Control de procesos industriales

Sistema de pilotaje de aviones

Control de tráfico

Control de procesos económicos, etc.

1.3 Definiciones

Variable controlada: Es la cantidad o condición que se mide y controla.

Por ejemplo la posición angular de un robot industrial.

Variable manipulada: Es la cantidad o condición producida por el controlador,

denominada también variable de control. Ejemplo de variable manipulada será la

tensión de salida del controlador que afecte la variable controlada a un valor deseado.

Planta: Puede consistir en un equipo, un conjunto de piezas de una máquina, que

realiza una operación determinada. Por ejemplo, un motor, un horno eléctrico, un

vehículo espacial, un robot, etc.

Proceso: Es una operación caracterizada por una serie de sucesos graduales, que

tienden a un resultado final deseado. Como ejemplos de procesos podemos citar a los

procesos químicos y biológicos.

Sistema: Es un conjunto de componentes interrelacionados que proporcionan acciones

deseadas. Un ejemplo de sistema podría consistir en un conjunto conformado por el

computador (controlador), un brazo mecánico (planta) y el sensor (componente de

realimentación hacia el controlador).

Planta

o

Proceso

Page 4: Ingenieria de Control

Perturbaciones: Es una señal interna o externa no deseada al sistema que tiende a

afectar su salida. Ejemplos de perturbaciones son ruido térmico, transitorios en la red

eléctrica, variaciones de temperatura, viento, etc.

1.4 Clasificación de Sistemas de Control

De acuerdo al tipo de estructura, se clasifican en:

Sistemas de control en lazo abierto (SCLA). Ver figura 1.2(a)

Un sistema de control en lazo abierto es un sistema sin realimentación, es decir no se mide la

salida ni se realimenta para compararla con la referencia o entrada. Un sistema de control en

lazo abierto utiliza un regulador o actuador de control para obtener una respuesta deseada tal

como se muestra en la figura. Por ejemplo el control de tráfico mediante señales operadas con

una base de tiempo. En la practica el control de lazo abierto solo se usa en los casos en que se

conoce la relación entre la entrada y salida y s9i no hay perturbaciones internas ni externas.

Sistemas de control en lazo cerrado (SCLC). Ver figura 1.2 (b)

Son sistemas que mantienen una relación determinada entre la salida y la entrada de referencia

comparándola y usando la diferencia como medio de control. También se les conoce como

sistemas de control realimentado. Es decir se utiliza una medida de la salida real, para

compararla con la señal deseada. Un ejemplo de un sistema de control en lazo cerrado es una

persona que conduce un automóvil al mirar la posición del coche en la carretera y realizar los

ajustes necesarios para no chocar.

S.C.L.A

A Referencia

Controlador

Perturbaciones

Planta

Variables Controladas

Controladas

Variables Manipuladas

Controladas Controlador

Elemento Final de Control Manipuladas

Controladas

Planta o Proceso Manipuladas

Controladas

Referencia

Variables Controladas

Controladas

Transmisor Elemento Primario de Control Manipuladas

Controladas

Valor Medido

Controla

das

Error

S.C.L.C

(a)

Perturbaciones

Page 5: Ingenieria de Control

Figura 1.2: Sistemas de control en lazo abierto y cerrado.

De acuerdo a su naturaleza, se pueden clasificar como sistemas de controles lineales y no

lineales. Todos los sistemas son inherentemente no lineales. Si las variaciones de magnitud de

las variables del proceso son pequeñas, entonces el sistema puede linealizarse y aplicarse las

técnicas de control lineal; sin embargo, si dichas variaciones son amplias, entonces tienen que

aplicarse técnicas de control no lineal. A continuación se listan algunos ejemplos de

ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.

Lineales:

No lineales:

Sistemas de control invariantes y variantes con el tiempo

Invariantes: Los parámetros no varían con el tiempo.

Variantes: Los parámetros varían con el tiempo.

De acuerdo a la tecnología se pueden clasificar en sistemas de control en tiempo continuo y en

tiempo discreto.

Sistemas de control en tiempo continuo: Son aquellos cuyas señales son continuas en

el tiempo t, y pueden describirse mediante ecuaciones diferenciales.

Sistemas de control en tiempo discreto: Son aquellos en los cuales una o más de las

variables pueden cambiar solo en valores discretos de tiempo, y pueden describirse

mediante ecuaciones en diferencias.

1.5 Componentes de un Sistema de Control

Eléctricos

Electrónicos

Mecánicos

Hidráulicos

Neumáticos

Page 6: Ingenieria de Control

2. La Transformada de Laplace.

Introducción

El método de la transformada de Laplace es un método operativo que aporta muchas ventajas cuando

se usa para resolveré ecuaciones diferenciales.

Una ventaja del método de la transformada de Laplace es que permite el uso de técnicas graficas para

predecir el comportamiento del sistema sin tener que resolver las ecuaciones diferenciales del sistema.

En esta sección realizaremos un breve repaso de la transformada de Laplace y se aplicara a la solución

de ecuaciones diferenciales invariantes en el tiempo.

2.1 Transformada de Laplace.

Considere una función definida para . La transformada de Laplace de denotado por

, se define como:

( )

donde es una variable compleja, llamada también variable de la transformada de Laplace. El límite

inferior de la integral significa que el límite se aproxima a cero desde un valor negativo.

Ejemplo 1.- Determine la transformada de Laplace de la función escalón unitaria , definida como:

Solución.- Utilizando la ecuación ( )

recuerde que

Ejemplo 2.- Determine la transformada de Laplace de la función

2.2 Tablas de Transformadas de Laplace

Como paso previo a la obtención del modelo de un sistema dinámico, es necesario conocer una

herramienta matemática de vital importancia para obtener la función de transferencia de un sistema

lineal: la transformada de Laplace. En el desarrollo del curso se usaran tablas de transformadas de

Laplace. En la tabla 2.1 puede observarse la transformada de Laplace de algunas funciones básicas

Page 7: Ingenieria de Control

Tabla2.1: Transformadas de Laplace de algunas funciones básicas

2.3 Algunos Teoremas de la Transformada de Laplace.

En muchos casos no es práctico utilizar la ecuación ( ) para determinar la transformada de Laplace de

una función, porque puede ser laboriosa.

Propiedad de la linealidad

La transformada de Laplace es lineal si cumple que:

( )

donde , son constantes.

Traslación compleja

Si es un número real cualquiera, entonces:

( )

donde . Este teorema también es conocido como primer teorema de traslación.

Ejemplo.- Determinar la transformada de Laplace de la función en el tiempo

Solución: Por el teorema de la linealidad ( )

Page 8: Ingenieria de Control

+

Consideremos únicamente el primer termino del lado derecho y comparando con los términos del

teorema de traslación compleja: , por lo tanto,

Ahora consideremos el segundo término del lado derecho y notemos que: , por lo tanto

Finalmente

Ejercicios.- Determine la transformada de Laplace de las siguientes funciones.

a)

b)

2.4 Transformada Inversa de Laplace

Es el proceso de pasar de la expresión en variable compleja a la expresión en función del tiempo. Su

notación es:

Existen diferentes métodos para determinar la transformada inversa de Laplace, en este caso la

transformada debe de aparecer en forme reconocible. Frecuentemente la función no puede aparecer en

las tablas que se dispone, en este caso se puede simplificar usando la técnica de fracciones parciales y

escribir en términos de funciones simples de , para los cuales las funciones inversas sean

fácilmente identificables.

2.5 Método de Fracciones Parciales

En problemas de teoría de control, la transformada de Laplace de la función , frecuentemente es

de la forma

donde son polinomios en y el grado de es menor que el grado de . Si

se descompone en sus componentes

sus transformadas de Laplace pueden ser obtenidas más fácilmente

Page 9: Ingenieria de Control

Modelos Matemáticos de Sistemas Dinámicos

Introducción

En el desarrollo de casi todas las estrategias de control, es indispensable la obtención del modelo

matemático de la planta a controlarse, aplicándose las leyes físicas del proceso y obteniendo una

ecuación diferencial (lineal o no lineal). Si no es lineal, existen métodos de linealización que permiten

obtener el modelo lineal del proceso o planta, haciendo posible el uso de controladores lineales. El uso

de controladores lineales presupone la obtención de un modelo del controlador lineal, para luego

continuar con la obtención del modelo del sistema completo, es decir del sistema de control (planta +

controlador).

En este capítulo se tratara sobre el modelamiento de sistemas lineales con parámetros constantes.

2.3 Ecuaciones Diferenciales de Sistemas Físicos

Los elementos físicos de parámetros concentrados como la resistencia, la capacitancia, la inductancia,

pueden ser representados por ecuaciones diferenciales lineales en función de la diferencia del valor

entre los terminales, y una variable que pasa a través del elemento o componente. En la tabla 2.2 se

presenta las ecuaciones diferenciales correspondientes a un conjunto de elementos eléctricos y

mecánicos pasivos.

2.4 Modelos de función de transferencia

La función de transferencia de un sistema se define como la relación entre la transformada de Laplace

de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo que todas

las condiciones iniciales son cero. La función de transferencia solo se define para sistemas lineales y

Page 10: Ingenieria de Control

de parámetros constantes. En general, la función de transferencia de un sistema dada por la ecuación

diferencial de orden n:

tiene la siguiente forma:

El método es particularmente útil, ya que los ceros y polos en el plano S de la función de transferencia,

representan la respuesta transitoria del sistema.

2.4.1 Diagramas de bloques y diagramas de flujo

Diagramas de bloques

Un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de las funciones realizadas por

cada componente y del flujo de las señales. Tal diagrama indica las interrelaciones que existen entre

los diversos componentes.

Como los sistemas de control se ocupan del control de variables especificas, se requiere conocer la

relación entre las variables controladas y la de control.

Esta relación se representa mediante la función de transferencia del subsistema que relaciona las

variables de entrada y salida.

Suponiendo un sistema con entrada R(s) y salida C(s), la función de transferencia G(s) viene

representada por el diagrama de bloques de la figura 2.1. En sistemas de control se usan

frecuentemente puntos de suma y de bifurcación, muy frecuentes en sistemas de control de lazo

cerrado.

Algebra de bloques

Page 11: Ingenieria de Control
Page 12: Ingenieria de Control

Diagramas de flujo

El método de los diagramas de flujo o gráficos de flujo de señal es otro procedimiento alternativo para

representar gráficamente la dinámica del sistema de control.

Figura 2.1: (a) Elementos de un diagrama de bloques; (b) Diagrama de bloques como resultado de

combinar elementos.

Un gráfico de flujo de señal consiste en una red en la cual los nodos están conectados por ramas con

dirección y sentido. El sentido del flujo de señal se indica por una flecha ubicada en la rama y el factor

de multiplicación aparece a lo largo de la rama. El gráfico de flujo de señal despliega el flujo de

señales de un punto de un sistema a otro y da las relaciones entre las señales.

Sea un sistema definido por el siguiente conjunto de ecuaciones:

(2.3)

(2.4)

(2.5)

Los gráficos de flujo de señal correspondiente se muestran en la figura 2.2.

Page 13: Ingenieria de Control

Figura 2.2: Diagramas de flujo del sistema descrito

Fórmula de Mason

La transmitancia o ganancia total entre un nodo de entrada y un nodo de salida puede determinarse

usando la fórmula de Mason, dada por:

donde:

: ganancia de trayectoria de la k-esima trayectoria directa

Page 14: Ingenieria de Control

: Determinante del gráfico =1-(suma de todos los lazos individuales) + (Suma de los productos de

ganancia de todas las combinaciones posibles de dos lazos disjuntos) - (suma de los productos de

ganancia de todas las combinaciones posibles de tres lazos disjuntos) +. . .

: cofactor del determinante de la k-esima trayectoria directa del gráfico con los lazos que tocan la

trayectoria directa k-esima eliminados.

2.4.2 Ejemplos de modelos de sistemas físicos

Ejemplo 2.1 Obtener el modelo matemático del motor DC controlado por armadura mostrado en la

figura 2.3, usando el método de la función de transferencia

Figura 2.3: Diagrama de un motor DC controlado por armadura

Solución

Ecuaciones:

Circuito eléctrico: Aplicando la ley de Kirchoff a la entrada del circuito del motor, se obtiene:

Conversión de energía eléctrica en mecánica: El torque T desarrollado por el motor es

proporcional al producto de y al flujo ψ en el entrehierro, el que a su vez es proporcional a

la corriente de campo, donde:

donde y son constantes. Luego . Por consiguiente, el torque desarrollado

por el motor puede expresarse por:

Circuito mecánico:

Aplicando la ley de Newton se obtiene:

Page 15: Ingenieria de Control

Tensión contra-electromotriz:

Del circuito eléctrico, la fuerza contra-electromotriz viene expresada por:

Rescribamos las ecuaciones diferenciales que gobiernan el modelo del motor DC:

La transformada de Laplace de la ecuación (2.11) es:

Ea(s) = RaIa(s) + LasIa(s) + Eb(s) (2.15)

Factorizando Ia(s) y despejando dicha variable se obtiene:

Si tomamos la transformada de Laplace a la ecuación (2.12) se obtiene:

T(s) = KIa(s) (2.17)

Ahora, si tomamos la transformada de Laplace a la ecuación (2.13) obtenemos:

factorizando θ(s) y despejando dicha variable se obtiene:

Finalmente aplicando la transformada de Laplace a la ecuación (2.14) se obtiene:

Eb(s) = Kbsθ(s) (2.20)

Cada una de las ecuaciones queda representada por su correspondiente diagrama de bloque, que

reunidas producen el diagrama de bloques que se muestra en la figura 2.4. Por consiguiente, la función

de transferencia viene

Figura 2.4: Diagrama de bloques del motor DC controlado por armadura

dada por la siguiente ecuación:

Page 16: Ingenieria de Control

Reduciendo el diagrama de bloques de la figura 2.4 a la forma mostrada en la figura 2.5, se obtiene la

siguiente función de transferencia:

Figura 2.5: Diagrama de bloques reducido del motor DC controlado por armadura

Ejemplo 2.2 Dado el circuito RLC mostrado en la figura 2.6, obtenga el modelo matemático usando el

método de función de transferencia. Considere los siguientes parámetros: R=10 ohmios, L=0.2

Henrios, C=0.0015 faradios

Figura 2.6: Circuito simple RLC

Solución

Usando la ley de Kirchhoff para tensiones, se obtiene:

donde:

Aplicando transformada de Laplace a la ecuación 2.23 se obtiene:

Vin(s) = LsI(s) + RI(s) + Vc(s) (2.25)

Ahora, derivando la ecuación 2.24 obtenemos:

Page 17: Ingenieria de Control

y a continuación, aplicando Laplace a la ecuación 2.26 se obtiene:

Reemplazando la ecuación 2.27 en 2.25 obtenemos:

y reemplazando parámetros obtendremos la siguiente función de transferencia:

Ejemplo 2.3 Un satélite se puede representar mediante el sistema mecánico mostrado en la figura

2.7.Considere los siguientes datos: m=1 Kg., M=20 Kg., K=25 N/m, B=0.2 N-Seg/m.

Obtenga:

a) Las ecuaciones diferenciales del sistema.

b) Las ecuaciones diferenciales, considerando un acoplamiento rígido entre las masas M y m

c) La función de transferencia, considerando z1 como salida y f como entrada, del sistema

obtenido en l parte 2.

Figura 2.7: Sistema mecánico de un satélite

Solución

a) Considerando que mg ≈ 0, entonces del diagrama de cuerpo libre para las masas M y m,

obtendremos las correspondientes ecuaciones:

Page 18: Ingenieria de Control

b) Si consideramos un acoplamiento rígido entre las masas, entonces K = ∞, por lo que las

ecuaciones del sistema se reduce a una sola, que es:

c) Aplicando transformada de Laplace a la ecuación 2.32, obtendremos:

permitiéndonos obtener la función de transferencia siguiente:

Ejemplo 2.4 Considere el sistema de nivel de liquido que aparece en la figura 1. La razón de flujo de

entrada en estado estable es Q, la razón de flujo entre tanques es cero y las alturas del tanque 1 y el

tanque 2 en estado estable son H . En t = 0, la razón del flujo de entrada cambia de Q a Q+ q, donde q

es un cambio pequeño en la razón de flujo de entrada. Los cambios resultantes en las alturas (h1 y h2)

y las razones de flujo (q1 y q2) se suponen pequeñas. Las capacitancias del tanque 1 y del tanque 2

son C1 y C2, respectivamente.

La resistencia de la válvula entre los tanques es R1 y la de la válvula de salida es R2. Obténgase la

función de transferencia entre q2 y q.

Figura 2.8: Sistema de nivel de liquido

Solución

Para el tanque 1:

Reemplazando la ecuación 2.36 en la ecuación 2.35 se obtiene:

Page 19: Ingenieria de Control

Para el tanque 2:

además:

reemplazando las ecuaciones 2.36 y 2.39 en 2.38 se obtiene:

Eliminando h1 de las ecuaciones 2.37 y 2.40 obtendremos:

Despejando h2 de la ecuación 2.39 obtendremos:

h2 = R2q2 (2.42)

y finalmente, reemplazando la ecuación 2.42 en 2.41 obtendremos la siguiente función de

transferencia:

2.5 Modelos de Estado

Un modelo de estado puede describir sistemas lineales y no lineales, proporcionando un fundamento

matemático potente para la aplicación de diversas técnicas analíticas. En esta sección se presenta el

desarrollo de modelos de estado lineales.

2.5.1 Representación de sistemas dinámicos en el espacio de estado

Primer caso: La función excitadora no incluye términos derivativos. Sea el siguiente sistema de orden

n:

Esta ecuación puede ser convertida en n ecuaciones diferenciales de primer orden, para ello se tiene

que elegir n variables, con la siguiente asignación:

Page 20: Ingenieria de Control
Page 21: Ingenieria de Control

Ahora se obtienen las ecuaciones de estado (n ecuaciones diferenciales de primer orden)

El conjunto de ecuaciones de estado, se representa matricialmente así:

y su forma compacta es la siguiente:

Si consideramos que la salida del sistema es la variable de estado x1, entonces dicha salida se puede

escribir de la siguiente manera:

o en su forma compacta

donde

Page 22: Ingenieria de Control

El diagrama de bloques de la ecuación de estado y de la ecuación de salida se muestra en la figura 2.1

Figura 2.1: Diagrama de bloques detallado del sistema de orden n

Segundo caso: La función excitadora incluye términos derivativos. Sea el siguiente sistema de orden

n:

con salida y = x1.

El problema principal al definir las variables de estado para este caso, consiste en los términos

derivativos del miembro derecho de la ecuación anterior.

Las variables de estado deben ser tales que eliminen las derivadas de u en la ecuación de estado. Una

forma de obtener una ecuación de estado y una ecuación de salida es definir las siguientes n variables

como un conjunto de n variables de estado:

Page 23: Ingenieria de Control

Con esta elección de n variables de estado (nótese que no es la única selección posible de las variables

de estado), se obtiene:

La ecuación anterior y la ecuación de salida pueden reescribirse asì:

y su forma compacta es como sigue:

La matriz A es exactamente la misma que la del primer caso. Las derivadas del miembro derecho de la

ecuación afectan únicamente a los elementos de la matriz B.

Modelos de sistemas lineales

Ejemplo 2.1 Obtener el modelo matemático del motor DC controlado por armadura mostrado en la

figura 2.2, usando el método del espacio de estado

Page 24: Ingenieria de Control

Figura 2.2: Diagrama de un motor DC controlado por armadura

Solución

Ecuaciones:

Circuito eléctrico: Aplicando la ley de Kirchhoff a la entrada del circuito del motor, se obtiene:

Conversión de energía eléctrica en mecánica: El torque T desarrollado por el motor es proporcional al

producto de ia y al flujo en el entrehierro, el que a su vez es proporcional a la corriente de campo,

donde:

donde Kf y K1 son constantes. Luego K = Kf if K1. Por consiguiente, el torque desarrollado por el

motor puede expresarse por:

Circuito mecánico:

Aplicando la ley de Newton se obtiene:

Tensión contra-electromotriz:

Del circuito eléctrico, la fuerza contra-electromotriz viene expresada por:

Ahora, se debe escoger convenientemente las variables de estado, veamos:

La ecuación anterior es una ecuación diferencial de primer orden, entonces elegimos una variable de

estado:

En la ecuación el torque depende linealmente de Ia ( esta variable de estado ya fue definida en la

ecuación anterior).

La ecuación tratada es una ecuación diferencial lineal de 2do. orden, por consiguiente necesitamos

definir 2 variables de estado, las cuales son:

Page 25: Ingenieria de Control

En la ecuación la variable de estado ya fue definida en la ecuación anterior.

Ahora debemos obtener las ecuaciones de estado. Reemplazando las ecuaciones y usando las

variables de estado elegidas, se obtiene:

Ahora, derivando la ecuación se obtiene la ecuación de estado siguiente:

y, finalmente reemplazando las variables de estado en las ecuaciones:

Las ecuaciones de estado se pueden representar matricialmente:

con u = ea.

Page 26: Ingenieria de Control

Capitulo 3

Análisis de Funcionamiento de Sistemas de Control

3.1 Introducción

Luego de haber obtenido el modelo matemático del sistema, se debe analizar el comportamiento del

sistema frente a diferentes señales de entrada, que en la práctica no puede conocerse con anticipación.

En casos especiales dichas señales de entrada son conocidas, pudiendo ser expresadas en forma

analítica, o por curvas representativas.

Las señales de prueba de entrada más comúnmente usadas son las funciones escalón, rampa, impulso,

senoidal, etc. La respuesta del sistema de control a señales de entrada, puede dividirse en una parte

transitoria y otra estacionaria. En los sistemas de control es frecuente usar lazos de realimentación, que

a pesar de su costo y complejidad, son usados por las siguientes razones:

Disminución de la sensibilidad del sistema frente a variaciones en los parámetros del proceso

o planta.

Facilidad del control y ajuste de la respuesta transitoria del sistema.

Mejoramiento en el rechazo de las señales perturbadoras dentro del sistema.

Mejoramiento en la reducción del error en estado estacionario del sistema.

3.2 Análisis de respuesta transitoria para sistemas de primer orden

Consideremos el sistema de primer orden que se muestra en la figura 3.1.

Este sistema puede representar físicamente un circuito RC, un sistema térmico, etc. La figura 3.2 es un

diagrama de bloques simplificado. La función de transferencia o la relación de entrada-salida está dada

por:

Figura 3.1: Diagrama de bloques de un sistema de primer orden

Figura 3.2: Diagrama de bloques simplificado

Las entradas de referencia al sistema de control, pueden ser funciones escalón unitario, rampa unitaria,

e impulso unitario. Por consiguiente, se deben analizar las respuestas del sistema a dichas entradas. La

salida del sistema debe ser igual a la entrada de referencia o ”setpoint”.

Page 27: Ingenieria de Control

3.2.1 Respuesta escalón unitario de sistemas de primer orden

Considerando una entrada escalón unitario, y despejando la salida Y (s) de la ecuación 3.1 se obtiene:

Expandiendo Y (s) en fracciones parciales se obtiene:

Tomando la transformada inversa de Laplace de la ecuación (3.3) se obtiene

Evaluando la ecuación (3.4) para diferentes valores de t, se obtienen salidas que van de o hasta 1. La

respuesta del sistema se muestra figura 3.3.

Figura 3.3: Respuesta del sistema de primer orden a una entrada escalón unitario

Si se considera la respuesta del sistema desde t = 0 hasta t = T, entonces se obtiene que el valor final

de y(t) alcanza 0.632 (63.2%). y la respuesta gráfica se muestra en la figura 3.4. Puede comprobarse

que

Page 28: Ingenieria de Control

Figura 3.4: Respuesta del sistema a una entrada escalón unitario desde t = 0 hasta t = T

cuanto más pequeña sea la constante de tiempo T, mas rápida es la respuesta del sistema. Otra

característica importante de la curva exponencial es que la pendiente de la recta tangente en t = 0, es

1/T, pues

3.2.2 Respuesta rampa unitaria de sistemas de primer orden

Considerando una entrada rampa unitaria (1/s2

), y despejando la salida Y (s) de la ecuación 3.1 se

obtiene:

Expandiendo Y (s) en fracciones parciales se obtiene:

Tomando la transformada inversa de Laplace de la ecuación (3.7) se obtiene

Entonces la señal de error e(t) es

y la respuesta grafica se muestra en la figura 3.5

Page 29: Ingenieria de Control

Figura 3.5: Respuesta del sistema de primer orden a una entrada rampa unitaria

3.2.3 Respuesta impulso unitario de sistemas de primer orden

Para el caso de una entrada impulso unitario, la respuesta del sistema en términos de la variable s es:

y en términos del tiempo es:

A continuación se presenta la respuesta gráfica del sistema a una entrada impulso unitario.

Figura 3.6: Respuesta del sistema de primer orden a una entrada impulso unitario

Page 30: Ingenieria de Control

3.3 Análisis de respuesta transitoria para sistemas de segundo orden

Consideremos un sistema de segundo orden, debido a que las especificaciones de funcionamiento de

los sistemas, están definidas para este tipo de sistema.

Para sistemas de orden mayor, utilizando el concepto de polos dominantes se aproxima el sistema a

uno de segundo orden. Su función de transferencia de lazo cerrado es:

donde:

ζ : relación de amortiguamiento

ωn : frecuencia natural

El diagrama de bloques del sistema de segundo orden se muestra en la figura 3.7.

Sus polos o raíces características son:

Los polos pueden ser:

a) Reales: ζ > 1, sobre-amortiguado

b) Reales e idénticos: ζ = 1, críticamente amortiguado

c) conjugados complejos: 0 < ζ < 1, sub-amortiguado

Figura 3.7: Sistema de segundo orden

3.3.1 Respuesta a un escalón unitario

Para el caso sub-amortiguado, la respuesta a un escalón unitario tiene oscilaciones amortiguadas,

donde se definen algunas especificaciones de funcionamiento que son utilizados como criterios de

diseño, entre ellas podemos citar:

Porcentaje de sobreimpulso (overshoot)

Tiempo de asentamiento o establecimiento (settling time)

Tiempo de subida o de crecimiento (rise time)

Tiempo de pico máximo (peak time)

Tiempo de retardo (delay time)

En la figura 3.8 se muestra la respuesta de un sistema de segundo orden.

Page 31: Ingenieria de Control

Figura 3.8: Respuesta de un sistema de segundo orden a una entrada escalón unitario.

Los tiempos de retardo td, de pico tp y de asentamiento ts están dadas por:

El porcentaje de sobreimpulso o sobrepico (overshoot) es:

donde ωn es la frecuencia natural no amortiguada, ωd es la frecuencia natural amortiguada.

De las fórmulas para determinar el tiempo de asentamiento, se puede observar que si se requiere un

menor error en estado estacionario (2%), el tiempo de asentamiento aumenta.

Un porcentaje de sobrepico peque˜no es muy importante en muchas aplicaciones de control; en tal

caso es recomendable considerar el factor de amortiguamiento comprendido en el rango de 0.4 a 0.8.

3.3.2 Respuesta impulsiva de sistemas de segundo orden

Para una entrada impulso unitario r(t) = δ(t) (con transformada de Laplace correspondiente R(s) = 1),

la respuesta impulso unitario Y (s) del sistema de segundo orden de la figura 3.7 es:

La transformada inversa de Laplace de esta última ecuación produce la siguiente solución temporal

y(t):

Page 32: Ingenieria de Control

Para 0 ≤ ζ < 1

Para ζ > 1

Para ζ = 1

3.4 Análisis de respuesta estacionaria

En la mayoría se sistemas de control, interesa que el valor final de la variable controlada (valor en

estado estacionario) sea igual al valor deseado. En caso de no ser asíı, existe un error en estado

estacionario o error permanente.

En un sistema realimentado, dado por el diagrama de bloques de la figura 39:

La función de transferencia de lazo cerrado es:

(3.22)

Se define el estado estacionario como:

ess = limt→∞e(t) = limt→∞[r(t) − y(t)] (3.23)

Aplicando la transformada de Laplace y el teorema del valor final obtenemos:

ess = lims→0sE(s) (3.24)

donde

E(s) = R(s)/(1 + G(s)H(s)) (3.25)

El error estacionario de un sistema depende de las características del sistema y por consiguiente del

tipo de referencia utilizada. Es asíı, que el error estacionario está relacionado inversamente por las

constantes o ganancias correspondientes al tipo de referencia. En forma resumida, se presentan las

definiciones de constantes de posición, velocidad y aceleración, como sigue:

Figura 3.9: Sistema de control.

Para una entrada escalón unitario

Kp = lims→0G(s)H(s) = G(0)H(0) (3.26)

luego

Page 33: Ingenieria de Control

ess =1/(1 + Kp) (3.27)

Para una entrada rampa unitaria

Kv = lims→0sG(s)H(s) (3.35)

luego

ess =1/Kv (3.28)

Para una entrada parabólica unitaria

(3.29)

luego

ess =1/Ka (3.30)

Se aprecia que el error estacionario depende de la estructura de G(s) en relación al número de polos en

el origen (integradores) que tiene. Se define que un sistema es de tipo n, si la función de transferencia

en lazo abierto G(s)H(s) tiene n polos en el origen. Además, el error estacionario depende del tipo de

entrada r(t), tal como se puede apreciar en la tabla 3.1.

Tabla 3.1: Resumen de errores en estado estacionario

Las constantes de error Kp, Kv y Ka, de un sistema de control, describen la capacidad del sistema para

reducir o eliminar el error en estado estacionario.

Por tanto, se utilizan como medidas numéricas del funcionamiento en el estado estacionario.

Debe incrementarse las constantes de error para obtener errores en estado estable muy pequeños,

manteniendo una respuesta transitoria aceptable.

3.5 Rechazo a Perturbaciones

Otro factor importante del uso de la realimentación en un sistema de control es la eliminación parcial

de los efectos de las señales perturbadoras. Las perturbaciones pueden deberse a ruidos inherentes

producidos por los transistores, circuitos integrados, distorsiones indeseadas de sistemas no lineales,

etc. Por consiguiente, los sistemas de control por realimentación presentan el beneficio de reducir el

efecto de la distorsión, ruido y perturbaciones indeseadas.

Un sistema de control con perturbaciones, se muestra en el diagrama de bloques de la figura 3.10.

Suponiendo que la entrada de referencia es cero

Figura 3.10: Sistema de control con perturbaciones.

Page 34: Ingenieria de Control

o R(s) = 0, la función de transferencia entre Y(s) y N(s) viene dada por

(3.31)

entonces, la salida Y (s) viene dada por

(3.32)

Con , obtenemos la función de transferencia del siguiente:

(3.33)

El error en estado estacionario debido a una perturbación escalón unitario viene dado por

(3.34)

Como ejemplo, obtengamos la respuesta del sistema siguiente a una perturbación escalón unitario.

Figura 3.11: Sistema de control con perturbaciones.

La respuesta a una entrada perturbacional se puede obtener considerando la entrada de referencia nula.

Luego, la función de transferencia entre Y (s) y Ud(s) es:

(3.35)

La respuesta gráfica se muestra en la figura 3.12,

Figura 3.12: Respuesta del sistema de control a una perturbación escalón unitario.

Page 35: Ingenieria de Control

Capitulo 4

Estabilidad

4.1 Introducción

Se dice que un sistema es estable, si estando sujeto a una entrada o perturbación limitada, su respuesta

es de magnitud limitada. El incremento inicial de la respuesta transitoria debe tender a reducirse, hasta

lograr que la respuesta del sistema converja y siga a una trayectoria deseada. En el caso de un sistema

de regulación, la salida debe tender hacia un valor continuo, correspondientemente la señal de control

tendera hacia cero.

4.2 Estabilidad Aplicados a Modelos de Estado Lineales

Un sistema lineal, invariante en el tiempo (SLIT), se describe utilizando el modelo de estados

siguiente:

El sistema es asintóticamente estable si todos los términos de la matriz de transición tienden a cero

cuando el tiempo tiende a infinito. Por consiguiente, un sistema presenta estabilidad asintótica si

La transformada de Laplace de la matriz de transición es:

donde el polinomio denominador de υ(s) se denomina ecuación característica. Entonces, la estabilidad

asintótica se satisface si todas raíces o valores propios del det(sI − A) se localizan en el semiplano

izquierdo del plano s.

La ecuación característica es:

det(sI − A) = 0 (4.4)

Ejemplo 4.1: Dadas las ecuaciones de estado y de salida del sistema, descrito por

Determinar la estabilidad del sistema.

Solución

Page 36: Ingenieria de Control

Si K = 2.5, las raíces de la ecuación característica son: s = −5, s = −0.5 + j1.66, s = −0.5 − j1.66,

entonces el sistema es asintoticamente estable, debido a que las raíces tienen parte real negativa.

4.3 Estabilidad Aplicados a Modelos de Función de Transferencia

Para un sistema de una entrada y una salida (SISO), con un modelo de función de transferencia Y

(s)/R(s), la localización de los polos de la función de transferencia determinan la estabilidad del

sistema.

Los polos en la parte izquierda del plano S dan como resultado una respuesta decreciente, por

lo tanto, el sistema es asintoticamente estable.

Los polos en el eje jw dan como resultado una respuesta oscilatoria.

Los polos en el lado derecho dan respuestas crecientes.

Por lo tanto, para que un sistema realimentado sea estable, todos los polos de la función de

transferencia de lazo cerrado (raíces características) deben tener parte real negativa.

Ejemplo 4.2: Determinar si la siguiente función de transferencia es estable.

Solución

Los polos están localizados en −0.5+j0.866 y −0.5−j0.866, por consiguiente, el sistema es

asintòticamente estable.

4.4 Test de Routh – Hurwitz

Este método es muy útil, fundamentalmente cuando el orden del polinomio es mayor que dos. Si el

polinomio del denominador de la función de transferencia o la ecuación característica de un sistema

está dada por

donde los coeficientes son cantidades reales. El procedimiento del criterio de Routh-Hurwitz es el

siguiente:

1. La condición necesaria pero no suficiente para estabilidad, es que todos los coeficientes de la

ecuación (4.9) estén presentes, y que todos tengan signo positivo.

2. Si todos los coeficientes son positivos, se colocan en filas y columnas de acuerdo al siguiente

esquema:

Page 37: Ingenieria de Control

Los coeficientes b1, b2, b3, etc., se evalúan como sigue:

El mismo procedimiento se usa para calcular los coeficientes c, d, e, etc, así:

Ejemplo 4.3: Apliquemos el criterio de estabilidad de Routh al siguiente polinomio de tercer orden:

donde todos los coeficientes son números positivos.

Solución

El conjunto de coeficientes es:

de donde:

Para estabilidad, debe cumplirse que

a 1 a 2 2> a 0 a 3

Ejemplo 4.4: Considere un sistema de lazo cerrado, con función de transferencia

Determine el rango de K para la estabilidad.

Solución

Page 38: Ingenieria de Control

La ecuación característica es

El conjunto de coeficientes se muestran en el siguiente arreglo:

Para que haya estabilidad, K debe ser positiva, y todos los coeficientes de la primera columna deben

serlo también. Por lo tanto:

Para K = 14/9, el sistema se vuelve oscilatorio.

Capitulo 5

Métodos Gráficos de Análisis de Sistemas de Control

Existen varios métodos gráficos, como el Lugar Geométrico de las Raíces, Bode y Nyquist. En este

capítulo trataremos sobre el uso del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR).

5.1 Método del Lugar Geométrico de las Raíces

El Lugar Geométrico de las Raíces son la trayectoria que describen la variación en la localización de

las raíces en el plano s cuando varia la ganancia del sistema desde 0 a ∞.

Esta técnica es útil en el estudio de los cambios que ocurren en el comportamiento de sistemas lineales

frente a las variaciones de sus parámetros. Diremos que este método permite hallar los polos de lazo

cerrado partiendo de los polos y ceros de lazo abierto, tomando la ganancia como parámetro,

brindando asíı una presentación gráfica de todos los polos de lazo cerrado.

Sea el sistema de la figura 5.1. La función de transferencia de lazo cerrado es:

La ecuación característica para este sistema se puede obtener igualando a cero el denominador de la

ecuación (5.1)

1 + G(s)H(s) = 0 (5.2)

o bien

G(s)H(s) = −1 (5.3)

Para trazar el LGR se deben cumplir las condiciones de ángulo y magnitud.

Page 39: Ingenieria de Control

1. Condición de ángulo

2.

∠G(s)H(s) = ±180(2k + 1), para k= 0, 1, 2, ... (5.4)

Figura 5.1: Diagrama de bloques de un sistema de control

3. Condición de magnitud, amplitud o módulo

|G(s)H(s)| = 1 (5.5)

Los valores de s que cumplen con las condiciones de ángulo y magnitud, son las ra´ıces de la ecuación

característica o polos de lazo cerrado. El diagrama de los puntos del plano complejo que sólo

satisfacen la condición de ángulo, constituye el lugar de las raíces. Las raíces de la ecuación

característica se pueden determinar por la condición de magnitud. La ecuación característica 1 +

G(s)H(s) se debe escribir como función del parámetro de ganancia K, así:

Por consiguiente, el lugar de las raíces para el sistema, son los lugares de los polos de lazo cerrado al

variar la ganancia K de cero a infinito. Siendo

Para comenzar a trazar el lugar geométrico de las raíces (LGR), se debe conocer la ubicación de los

polos y ceros de lazo abierto G(s)H(s). Los ángulos de las cantidades complejas originadas en los

polos y ceros de lazo abierto y que abarcan hasta el punto de prueba s, se miden en sentido antihorario.

Supongamos que G(s)H(s) viene dada por

donde −p2 y −p3 son polos complejos conjugados. El ´angulo de G(s)H(s) es:

∠G(s)H(s) = υ1 − θ1 − θ2 − θ3 − θ4 (5.9)

donde υ1, θ1, θ2, θ3 y θ4 se miden en sentido antihorario, según puede apreciarse en las figuras 5.2.

Page 40: Ingenieria de Control

Figura 5.2: Diagramas que muestran los ángulos desde polos y ceros de lazo

abierto al punto de prueba s.

5.1.1 Reglas generales para construir el lugar geométrico de las raíces (LGR)

Considerando el diagrama de bloques de la figura 5.1, los pasos para construir el LGR son los

siguientes:

1. Se obtiene la ecuación característica:

1 + G(s)H(s) = 0 (5.10)

y se reescribe de modo que aparezca en la siguiente forma

, para K> 0 (5.11)

luego se ubican los polos y ceros de lazo abierto G(s)H(s).

2. Se hallan los puntos de inicio y fin del LGR y se determina la cantidad de ramas del LGR. Los

puntos del LGR correspondientes a K = 0 son polos de lazo abierto. Cada rama del LGR se origina en

un polo de G(s)H(s). Al tender K a infinito, cada rama del LGR tiende hacia un cero de G(s)H(s) o

hacia infinito en el plano complejo. Un diagrama del LGR debe tener tantas ramas como raíces tiene la

ecuación característica.

3. Se determina el LGR sobre el eje real, por los polos y ceros de lazo abierto que están sobre el. Cada

porción del lugar de las raíces sobre el eje real se extiende sobre un rango que va desde un polo o cero

hasta otro polo o cero. Para tal efecto se elige un punto de prueba s sobre el.

4. Se determinan las asintotas del LGR. El LGR para valores muy grandes de s deben ser asintóticos a

rectas cuyos ángulos están dados por

Siendo

n = número de polos finitos de G(s)H(s)

m = número de ceros finitos de G(s)H(s)

Page 41: Ingenieria de Control

Al aumentar k, el ángulo se repite, y la cantidad de asintotas diferentes es n − m. Si la abscisa de

intersección de las asintotas con el eje real se designa como s = σa, entonces

5. Se hallan los puntos de ruptura de llegada y de partida. Debido a la simetría conjugada del LGR, los

puntos de ruptura, o bien están sobre el eje real, o se producen en pares complejos conjugados.

6. Se determinan los ángulos de partida (o ángulos de llegada) del LGR desde los polos complejos (o

ceros complejos) aplicando el criterio de ángulo a un punto arbitrariamente cerca del punto de partida

o llegada.

Para un LGR de razonable exactitud, se deben hallar las direcciones y sentidos del LGR en la vecindad

de los polos y ceros complejos.

7. Se determina la intersección del LGR con el eje imaginario, usando para ello el criterio de

estabilidad de Routh.

8. El valor de K correspondiente a cualquier punto s sobre el LGR se puede obtener con la condición

de magnitud, dada por:

9. Determinar el LGR en una zona amplia del eje jw y el origen.

Ejemplo de diseño

Dado el sistema de control mostrado en la figura 5.3, trazar el lugar geométrico correspondiente.

Veamos los siguientes pasos de diseño:

Figura 5.3: Sistema de Control.

1. Ubicación de polos y ceros de lazo abierto en el plano s (Ver figura 5.4).

Page 42: Ingenieria de Control

Figura 5.4: Ubicación de polos y ceros de lazo abierto en el plano s.

2. Número de ramas del LGR:

n = número de polos finitos = 4, entonces existen 4 ramas del LGR.

3. Bosquejo del LGR.

La función de transferencia de lazo cerrado del sistema es:

luego, la ecuación característica del sistema de lazo cerrado es:

Evaluando se obtiene:

Si:

podemos plotear ligeramente el LGR, tal como se muestra en la figura 5.5

Page 43: Ingenieria de Control

Figura 5.5: Lugar geom´etrico aproximado.

4. Determinación del LGR sobre el eje real.

Este paso ya no es necesario hacerlo, debido a que en el paso (3) se obtuvo un bosquejo del LGR,

donde puede apreciarse las trayectorias de los polos de lazo cerrado del sistema; sin embargo, tan solo

por razones didácticas comprobaremos la existencia o inexistencia del LGR en determinados puntos

del eje real.

a) Veamos si existe LGR entre -1 y -2 (ver figura 5.6):

⇒ no satisface la condición de ángulo, luego no existe LGR.

b) Veamos si existe LGR entre -2 y - ∞ (ver figura 5.7):

Figura 5.6: Averiguando si existe LGR entre -1 y -2.

Page 44: Ingenieria de Control

Figura 5.7: Averiguando si existe LGR entre -2 y -∞.

⇒ sí satisface la condición de ángulo, luego sí existe LGR.

c) Veamos si existe LGR entre 0 y + ∞ (ver figura 5.8):

⇒ no satisface la condición de ángulo, luego no existe LGR.

5 Determinación de las asintotas del LGR.

Cuando K→∞, el número de ramas que tiende a ∞ es n-m: 4 - 1 = 3, luego se tendrá 3 asintotas.

Figura 5.8: Averiguando si existe LGR entre 0 y +∞.

Luego, las asintotas son: Θ : +60,−60, +180o. Ahora podemos determinar la intersección de las

asíntotas con el eje real:

Page 45: Ingenieria de Control

6. Determinación de los puntos de ruptura.

Presentando la ecuación característica en la forma:

Los puntos de ruptura se pueden determinar de las raíces de:

De 5.27:

Luego:

Entonces:

cuyas raíces son:

s=−2.5033 ≈ −2.5; s = −0.8417±0.6335j (no cumple); s = −0.4799 ≈−0.48 Luego, los puntos de

ruptura son:s=−2.5; s = −0.48 (que se verifican en el diagrama del LGR). Reemplazando estos dos

puntos de ruptura en la ecuación para K, se determinan las correspondientes ganancias K, así:

Para s = -2.5 ⇒ la ganancia es:

Para s = -0.48 ⇒ la ganancia es: K=0.209

7. Determinación de los puntos de cruce con el eje imaginario.

Usando el criterio de estabilidad de Routh para:

Page 46: Ingenieria de Control

Haciendo c1 = 0 para oscilación

se obtienen los siguientes valores de K:

K = -11.7082 valor extraño

K = 1.7082 ≈ 1.71 valor correcto

Reemplazando este valor de K en la ecuación auxiliar:

se obtienen las raíces: s = ±1.11j

PREGUNTA: Con K = 10 y K = 0 se obtiene oscilación?

8. Con base a la información obtenida en los pasos previos, trazar el LGR final (ver figura 5.9).

Figura 5.9: Lugar Geométrico de las Raíces final.

9. Determinación de los ángulos de salida y llegada.

Considerando S1 muy cerca del punto de partida -1+j, el ángulo de salida o partida se calcula

aplicando el criterio de ángulo, así:

Page 47: Ingenieria de Control

Figura 5.10: Determinación de los ángulos de salida.

Los ángulos de llegada se calculan en forma similar, es decir aplicando el criterio del ángulo.

5.1.2 Análisis de Sistemas de Control mediante el LGR

En esta sección no se pretende analizar sistemas de controles específicos, tales como el PI, PD, PID,

etc., sino, hacer el análisis de sistemas de control condicionalmente estables y sistemas de control de

fase no mínima.

Sistemas condicionalmente estables

Se dice que un sistema es condicionalmente estable, si es estable solamente para rangos limitados del

valor de la ganancia K.

Por ejemplo, sea el sistema de la figura 5.11, cuya ecuación característica viene dada por:

Figura 5.11: Sistema de control.

se obtiene el LGR de dicho sistema el que se muestra en la figura 5.12.

Page 48: Ingenieria de Control

Figura 5.12 Lugar geométrico de las rices.

El sistema es estable en los rangos siguientes:

0 < K < 14, 64 < K < 195

El sistema se vuelve inestable en los rangos siguientes:

14 < K < 64, y 195 < K

Entonces, a este tipo de sistema se le denomina condicionalmente estable, caracterizado por su

comportamiento peligroso, ya que en la práctica puede producir saturación. Una forma de evitar la

estabilidad condicional, es, agregando un cero, con lo que consigue que el lugar geométrico se mueva

hacia la izquierda, haciendo que el sistema se vuelva completamente estable.

Sistemas de fase no mínima

Se dice que un sistema es de fase no mínima, si al menos un polo o cero se encuentra en el semiplano

derecho del plano s. Contrariamente, un sistema de fase mínima es aquel en que todos los polos y

ceros del sistema se encuentran en el semiplano izquierdo de s.

Como ejemplo, veamos el diagrama de bloques de la figura 5.13, en el que podemos apreciar que el

cero está localizado en el semiplano derecho de s. Su correspondiente LGR se muestra en la figura

5.14.

Figura 5.13: Sistema de fase no mínima.

Page 49: Ingenieria de Control

Figura 5.14: LGR del sistema de fase no mínima.

Pueden existir sistemas de fase no miınima que además del parámetro de ganancia K puede ser función

de otros parámetros, lo que llevaría a que K sea función de esos otros parámetros, por consiguiente el

LGR correspondiente variaría de acuerdo a la variación de K, y su estabilidad estaría dentro de un

rango limitado.

5.1.3 Lugar Geométrico de las Raíces para Sistemas con Retardo de Transporte

El modelo que se presenta en la figura 5.15 describe una operación de control de proceso hipotética.

Suponga que la máquina de la izquierda combina varios líquidos y sólidos particulares para formar un

compuesto laminado continuo que se desplaza hacia la derecha. Cuando la lámina solidifica, se

obtienen medidas de las propiedades tal como el grosor y la densidad, y esta información se utiliza

para proporcionar la realimentación al controlador. La magnitud del retardo temporal se determina por

la distancia entre el punto de control y los sensores divididos por la velocidad de movimiento. Por lo

tanto, el tiempo de retardo τ es igual a τ = d/ν.

En la figura 5.16 se muestra un diagrama de bloques del sistema de control con modelos de funciones

de transferencia de todos los componentes del sistema que contribuyen al control del grosor del

material manufacturado.

Si se asume que el grosor en el punto de control se designa por x(t), entonces la señal de grosor en el

sensor es y(t) = x(t − ), y la transformada de Laplace es Y (s) = eST

X(s). Por lo tanto, la función de

transferencia del retardo es Y (s) /X(s) = eST

.

Una representación de polos y ceros de e−sτ requiere un número infinitos de ceros y/o polos. Una

expansión en series infinita de la función del retardo produce:

Esta función se puede truncar para obtener una función de transferencia que es aproximadamente

válida si el retardo es suficientemente pequeño. En la siguiente sección trataremos este mismo

ejemplo, pero usando la respuesta en frecuencia, ofreciéndonos un mejor tratamiento al problema de

retardo de transporte. La ecuación característica del sistema de control es:

Page 50: Ingenieria de Control

Figura 5.15: Sistema con retardo de transporte.

Figura 5.16: Sistema con retardo de transporte.

Considerando los tres primeros términos del retardo, la función de transferencia de lazo abierto es:

cuya simulación del LGR produce la gráfica mostrada en la figura 5.17.

La función de transferencia de lazo cerrado del sistema es:

Para una entrada escalón unitario, la salida del sistema producirá la respuesta en el tiempo, tal como se

muestra en la figura 5.18. Podemos comprobar que existe un retardo de 5 segundos, a partir del cual la

salida del sistema crece, desde cero hasta el nivel de referencia, estabilizándose al valor de la

referencia en un tiempo de aproximadamente 57 segundos.

Page 51: Ingenieria de Control

Figura 5.17: Lugar geométrico del sistema con retardo de transporte.

Figura 5.18: Respuesta al escalón del sistema con retardo de transporte.