ingenieria de control
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRÓNICA
XIX CURSO DE ACTUALIZACION PROFESIONAL DE INGENIERÍA
ELECTRÓNICA
1. DATOS INFORMATIVOS
CURSO : Ingeniería de Control
HORAS : 40 horas
DURACION : 5 semanas
PROFESOR : Ing. Armando Pedro Cruz Ramírez
2. OBJETIVO
El alumno será capaz de identificar los conceptos del control clásico a través de definiciones,
diagramas y gráficos temporales, modelos matemáticos y el análisis de los sistemas lineales e
invariantes en el tiempo, para simplificar y resolver problemas de carácter real
El alumno adquirirá la habilidad de establecer modelos matemáticos de sistemas lineales, podrá
analizar la respuesta en tiempo, auxiliado por una computadora y podrá aplicar el MatLab y
Simulink, como herramientas de apoyo en el análisis y diseño de dichos sistemas.
3. METODOLOGÍA El desarrollo del curso se realizara mediante sesiones expositiva y demostrativa propiciando la
intervención de los alumnos, utilizando proyecciones y desarrollando problemas de aplicación de
los temas tratados.
4. EVALUACIÓN Se tomara tres prácticas calificadas de los cuales se elimina una, siendo esta la nota más baja;
finalmente se tomara un examen final.
PP Promedio de prácticas
EF Examen final
PF Promedio final
5. CONTENIDO PROGRAMATICO
SEMANA Nro. 01:
Introducción a sistemas de control.
Introducción: definiciones, variable controlada, variable manipulada, plantas, procesos, sistemas,
perturbaciones, control realimentado. Sistemas de control en lazo abierto, sistemas de control en lazo
cerrado, sistemas de control en lazo cerrado en comparación con sistemas en lazo abierto.
Transformada de Laplace
Introducción. Transformada de Laplace. Teoremas de la transformada de Laplace. Transformada
inversa de Laplace. Solución de ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo (LIT).
Modelado matemático de sistemas dinámicos
Introducción. Función de transferencia y de respuesta impulso .Sistemas de control automáticos.
Modelado en el espacio de estados. Representación en el espacio de estados de sistemas dinámicos.
Sistemas mecánicos. Sistemas eléctricos y electrónicos. Diagramas de flujo de señales. Linealización
de modelos matemáticos no lineales.
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SEMANA Nro. 02:
Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria
Introducción. Sistemas de primer orden. Sistemas de segundo orden. Sistemas de orden superior.
Estabilidad de los sistemas lineales con realimentación El concepto de estabilidad. Polos y ceros. El
criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz. Practica 01.
SEMANA Nro. 03:
Efectos de las acciones de control integral y derivativo en el comportamiento del sistema. Errores en
estado estacionario en los sistemas de control con realimentación unitaria. Índices de comportamiento.
Estabilidad relativa de los sistemas de control con realimentación. Estabilidad de los sistemas con
variables de estado. Examen Parcial
SEMANA Nro. 04:
Análisis del lugar de las raíces Introducción. Graficas del lugar de las raíces. Resumen de las reglas
generales para construir los lugares de las raíces..
Sistemas con realimentación positiva. Sistemas condicionalmente estables. Lugares de las raíces para
sistemas con retardo de transporte. Practica 02
SEMANA Nro. 05:
Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar de las raíces
Introducción. Consideraciones preliminares de diseño.
Compensación de adelanto. Compensación de retardo. Compensación de retardo-adelanto.
Compensación paralela. Examen Final
6. BIBLIOGRFIA
Ingeniería de control moderna, K. Ogata, Prentice / Hall, 4ta Edición 2008.
Sistemas de Control para Ingeniería, Norman S. Nise, Edit. CECSA, Tercera Edición, 2004
Ingeniería de Control, W. Bolton, Alfaomega, 2da Edición, 2002
Sistemas modernos de control, R.C.Dorf, R. H. Bishop, Prentice Hall, 2005.
Sistemas de control en Ingeniería, Paul H. Lewis, Chang Yang, Prentice-Hall, 1999.
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Semana 01
Introducción a los Sistemas de Control
Un sistema de control podría definirse como un conjunto de componentes interrelacionados que
proporcionan acciones deseadas. Las diferentes técnicas e control presentan medios para lograr el
funcionamiento óptimo de sistemas dinámicos, permitiendo mejorar la productividad, automatizar
procesos anuales y repetitivos, brindar seguridad y calidad en la producción industrial.
1.1 Objetivo del Control Automático
El objetivo del control automático es mantener en determinado valor de operación las variables del
proceso. Para tal propósito se diseña el controlador adecuado permitiendo obtener salidas controladas
que cumplan con los requerimientos de diseño. En la figura 1.1 se representa el proceso dinámico a
controlar.
Variables de Variables de
entrada salida
Conocer Las leyes físicas
Plantear el sistema de ecuaciones
Escoger el controlador para obtener la salida deseada
Figura 1.1: Representación del proceso dinámico.
1.2 Campos de aplicación
Control de procesos industriales
Sistema de pilotaje de aviones
Control de tráfico
Control de procesos económicos, etc.
1.3 Definiciones
Variable controlada: Es la cantidad o condición que se mide y controla.
Por ejemplo la posición angular de un robot industrial.
Variable manipulada: Es la cantidad o condición producida por el controlador,
denominada también variable de control. Ejemplo de variable manipulada será la
tensión de salida del controlador que afecte la variable controlada a un valor deseado.
Planta: Puede consistir en un equipo, un conjunto de piezas de una máquina, que
realiza una operación determinada. Por ejemplo, un motor, un horno eléctrico, un
vehículo espacial, un robot, etc.
Proceso: Es una operación caracterizada por una serie de sucesos graduales, que
tienden a un resultado final deseado. Como ejemplos de procesos podemos citar a los
procesos químicos y biológicos.
Sistema: Es un conjunto de componentes interrelacionados que proporcionan acciones
deseadas. Un ejemplo de sistema podría consistir en un conjunto conformado por el
computador (controlador), un brazo mecánico (planta) y el sensor (componente de
realimentación hacia el controlador).
Planta
o
Proceso
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Perturbaciones: Es una señal interna o externa no deseada al sistema que tiende a
afectar su salida. Ejemplos de perturbaciones son ruido térmico, transitorios en la red
eléctrica, variaciones de temperatura, viento, etc.
1.4 Clasificación de Sistemas de Control
De acuerdo al tipo de estructura, se clasifican en:
Sistemas de control en lazo abierto (SCLA). Ver figura 1.2(a)
Un sistema de control en lazo abierto es un sistema sin realimentación, es decir no se mide la
salida ni se realimenta para compararla con la referencia o entrada. Un sistema de control en
lazo abierto utiliza un regulador o actuador de control para obtener una respuesta deseada tal
como se muestra en la figura. Por ejemplo el control de tráfico mediante señales operadas con
una base de tiempo. En la practica el control de lazo abierto solo se usa en los casos en que se
conoce la relación entre la entrada y salida y s9i no hay perturbaciones internas ni externas.
Sistemas de control en lazo cerrado (SCLC). Ver figura 1.2 (b)
Son sistemas que mantienen una relación determinada entre la salida y la entrada de referencia
comparándola y usando la diferencia como medio de control. También se les conoce como
sistemas de control realimentado. Es decir se utiliza una medida de la salida real, para
compararla con la señal deseada. Un ejemplo de un sistema de control en lazo cerrado es una
persona que conduce un automóvil al mirar la posición del coche en la carretera y realizar los
ajustes necesarios para no chocar.
S.C.L.A
A Referencia
Controlador
Perturbaciones
Planta
Variables Controladas
Controladas
Variables Manipuladas
Controladas Controlador
Elemento Final de Control Manipuladas
Controladas
Planta o Proceso Manipuladas
Controladas
Referencia
Variables Controladas
Controladas
Transmisor Elemento Primario de Control Manipuladas
Controladas
Valor Medido
Controla
das
Error
S.C.L.C
(a)
Perturbaciones
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Figura 1.2: Sistemas de control en lazo abierto y cerrado.
De acuerdo a su naturaleza, se pueden clasificar como sistemas de controles lineales y no
lineales. Todos los sistemas son inherentemente no lineales. Si las variaciones de magnitud de
las variables del proceso son pequeñas, entonces el sistema puede linealizarse y aplicarse las
técnicas de control lineal; sin embargo, si dichas variaciones son amplias, entonces tienen que
aplicarse técnicas de control no lineal. A continuación se listan algunos ejemplos de
ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.
Lineales:
No lineales:
Sistemas de control invariantes y variantes con el tiempo
Invariantes: Los parámetros no varían con el tiempo.
Variantes: Los parámetros varían con el tiempo.
De acuerdo a la tecnología se pueden clasificar en sistemas de control en tiempo continuo y en
tiempo discreto.
Sistemas de control en tiempo continuo: Son aquellos cuyas señales son continuas en
el tiempo t, y pueden describirse mediante ecuaciones diferenciales.
Sistemas de control en tiempo discreto: Son aquellos en los cuales una o más de las
variables pueden cambiar solo en valores discretos de tiempo, y pueden describirse
mediante ecuaciones en diferencias.
1.5 Componentes de un Sistema de Control
Eléctricos
Electrónicos
Mecánicos
Hidráulicos
Neumáticos
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2. La Transformada de Laplace.
Introducción
El método de la transformada de Laplace es un método operativo que aporta muchas ventajas cuando
se usa para resolveré ecuaciones diferenciales.
Una ventaja del método de la transformada de Laplace es que permite el uso de técnicas graficas para
predecir el comportamiento del sistema sin tener que resolver las ecuaciones diferenciales del sistema.
En esta sección realizaremos un breve repaso de la transformada de Laplace y se aplicara a la solución
de ecuaciones diferenciales invariantes en el tiempo.
2.1 Transformada de Laplace.
Considere una función definida para . La transformada de Laplace de denotado por
, se define como:
( )
donde es una variable compleja, llamada también variable de la transformada de Laplace. El límite
inferior de la integral significa que el límite se aproxima a cero desde un valor negativo.
Ejemplo 1.- Determine la transformada de Laplace de la función escalón unitaria , definida como:
Solución.- Utilizando la ecuación ( )
recuerde que
Ejemplo 2.- Determine la transformada de Laplace de la función
2.2 Tablas de Transformadas de Laplace
Como paso previo a la obtención del modelo de un sistema dinámico, es necesario conocer una
herramienta matemática de vital importancia para obtener la función de transferencia de un sistema
lineal: la transformada de Laplace. En el desarrollo del curso se usaran tablas de transformadas de
Laplace. En la tabla 2.1 puede observarse la transformada de Laplace de algunas funciones básicas
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Tabla2.1: Transformadas de Laplace de algunas funciones básicas
2.3 Algunos Teoremas de la Transformada de Laplace.
En muchos casos no es práctico utilizar la ecuación ( ) para determinar la transformada de Laplace de
una función, porque puede ser laboriosa.
Propiedad de la linealidad
La transformada de Laplace es lineal si cumple que:
( )
donde , son constantes.
Traslación compleja
Si es un número real cualquiera, entonces:
( )
donde . Este teorema también es conocido como primer teorema de traslación.
Ejemplo.- Determinar la transformada de Laplace de la función en el tiempo
Solución: Por el teorema de la linealidad ( )
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+
Consideremos únicamente el primer termino del lado derecho y comparando con los términos del
teorema de traslación compleja: , por lo tanto,
Ahora consideremos el segundo término del lado derecho y notemos que: , por lo tanto
Finalmente
Ejercicios.- Determine la transformada de Laplace de las siguientes funciones.
a)
b)
2.4 Transformada Inversa de Laplace
Es el proceso de pasar de la expresión en variable compleja a la expresión en función del tiempo. Su
notación es:
Existen diferentes métodos para determinar la transformada inversa de Laplace, en este caso la
transformada debe de aparecer en forme reconocible. Frecuentemente la función no puede aparecer en
las tablas que se dispone, en este caso se puede simplificar usando la técnica de fracciones parciales y
escribir en términos de funciones simples de , para los cuales las funciones inversas sean
fácilmente identificables.
2.5 Método de Fracciones Parciales
En problemas de teoría de control, la transformada de Laplace de la función , frecuentemente es
de la forma
donde son polinomios en y el grado de es menor que el grado de . Si
se descompone en sus componentes
sus transformadas de Laplace pueden ser obtenidas más fácilmente
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Modelos Matemáticos de Sistemas Dinámicos
Introducción
En el desarrollo de casi todas las estrategias de control, es indispensable la obtención del modelo
matemático de la planta a controlarse, aplicándose las leyes físicas del proceso y obteniendo una
ecuación diferencial (lineal o no lineal). Si no es lineal, existen métodos de linealización que permiten
obtener el modelo lineal del proceso o planta, haciendo posible el uso de controladores lineales. El uso
de controladores lineales presupone la obtención de un modelo del controlador lineal, para luego
continuar con la obtención del modelo del sistema completo, es decir del sistema de control (planta +
controlador).
En este capítulo se tratara sobre el modelamiento de sistemas lineales con parámetros constantes.
2.3 Ecuaciones Diferenciales de Sistemas Físicos
Los elementos físicos de parámetros concentrados como la resistencia, la capacitancia, la inductancia,
pueden ser representados por ecuaciones diferenciales lineales en función de la diferencia del valor
entre los terminales, y una variable que pasa a través del elemento o componente. En la tabla 2.2 se
presenta las ecuaciones diferenciales correspondientes a un conjunto de elementos eléctricos y
mecánicos pasivos.
2.4 Modelos de función de transferencia
La función de transferencia de un sistema se define como la relación entre la transformada de Laplace
de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo que todas
las condiciones iniciales son cero. La función de transferencia solo se define para sistemas lineales y
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de parámetros constantes. En general, la función de transferencia de un sistema dada por la ecuación
diferencial de orden n:
tiene la siguiente forma:
El método es particularmente útil, ya que los ceros y polos en el plano S de la función de transferencia,
representan la respuesta transitoria del sistema.
2.4.1 Diagramas de bloques y diagramas de flujo
Diagramas de bloques
Un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de las funciones realizadas por
cada componente y del flujo de las señales. Tal diagrama indica las interrelaciones que existen entre
los diversos componentes.
Como los sistemas de control se ocupan del control de variables especificas, se requiere conocer la
relación entre las variables controladas y la de control.
Esta relación se representa mediante la función de transferencia del subsistema que relaciona las
variables de entrada y salida.
Suponiendo un sistema con entrada R(s) y salida C(s), la función de transferencia G(s) viene
representada por el diagrama de bloques de la figura 2.1. En sistemas de control se usan
frecuentemente puntos de suma y de bifurcación, muy frecuentes en sistemas de control de lazo
cerrado.
Algebra de bloques
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Diagramas de flujo
El método de los diagramas de flujo o gráficos de flujo de señal es otro procedimiento alternativo para
representar gráficamente la dinámica del sistema de control.
Figura 2.1: (a) Elementos de un diagrama de bloques; (b) Diagrama de bloques como resultado de
combinar elementos.
Un gráfico de flujo de señal consiste en una red en la cual los nodos están conectados por ramas con
dirección y sentido. El sentido del flujo de señal se indica por una flecha ubicada en la rama y el factor
de multiplicación aparece a lo largo de la rama. El gráfico de flujo de señal despliega el flujo de
señales de un punto de un sistema a otro y da las relaciones entre las señales.
Sea un sistema definido por el siguiente conjunto de ecuaciones:
(2.3)
(2.4)
(2.5)
Los gráficos de flujo de señal correspondiente se muestran en la figura 2.2.
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Figura 2.2: Diagramas de flujo del sistema descrito
Fórmula de Mason
La transmitancia o ganancia total entre un nodo de entrada y un nodo de salida puede determinarse
usando la fórmula de Mason, dada por:
donde:
: ganancia de trayectoria de la k-esima trayectoria directa
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: Determinante del gráfico =1-(suma de todos los lazos individuales) + (Suma de los productos de
ganancia de todas las combinaciones posibles de dos lazos disjuntos) - (suma de los productos de
ganancia de todas las combinaciones posibles de tres lazos disjuntos) +. . .
: cofactor del determinante de la k-esima trayectoria directa del gráfico con los lazos que tocan la
trayectoria directa k-esima eliminados.
2.4.2 Ejemplos de modelos de sistemas físicos
Ejemplo 2.1 Obtener el modelo matemático del motor DC controlado por armadura mostrado en la
figura 2.3, usando el método de la función de transferencia
Figura 2.3: Diagrama de un motor DC controlado por armadura
Solución
Ecuaciones:
Circuito eléctrico: Aplicando la ley de Kirchoff a la entrada del circuito del motor, se obtiene:
Conversión de energía eléctrica en mecánica: El torque T desarrollado por el motor es
proporcional al producto de y al flujo ψ en el entrehierro, el que a su vez es proporcional a
la corriente de campo, donde:
donde y son constantes. Luego . Por consiguiente, el torque desarrollado
por el motor puede expresarse por:
Circuito mecánico:
Aplicando la ley de Newton se obtiene:
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Tensión contra-electromotriz:
Del circuito eléctrico, la fuerza contra-electromotriz viene expresada por:
Rescribamos las ecuaciones diferenciales que gobiernan el modelo del motor DC:
La transformada de Laplace de la ecuación (2.11) es:
Ea(s) = RaIa(s) + LasIa(s) + Eb(s) (2.15)
Factorizando Ia(s) y despejando dicha variable se obtiene:
Si tomamos la transformada de Laplace a la ecuación (2.12) se obtiene:
T(s) = KIa(s) (2.17)
Ahora, si tomamos la transformada de Laplace a la ecuación (2.13) obtenemos:
factorizando θ(s) y despejando dicha variable se obtiene:
Finalmente aplicando la transformada de Laplace a la ecuación (2.14) se obtiene:
Eb(s) = Kbsθ(s) (2.20)
Cada una de las ecuaciones queda representada por su correspondiente diagrama de bloque, que
reunidas producen el diagrama de bloques que se muestra en la figura 2.4. Por consiguiente, la función
de transferencia viene
Figura 2.4: Diagrama de bloques del motor DC controlado por armadura
dada por la siguiente ecuación:
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Reduciendo el diagrama de bloques de la figura 2.4 a la forma mostrada en la figura 2.5, se obtiene la
siguiente función de transferencia:
Figura 2.5: Diagrama de bloques reducido del motor DC controlado por armadura
Ejemplo 2.2 Dado el circuito RLC mostrado en la figura 2.6, obtenga el modelo matemático usando el
método de función de transferencia. Considere los siguientes parámetros: R=10 ohmios, L=0.2
Henrios, C=0.0015 faradios
Figura 2.6: Circuito simple RLC
Solución
Usando la ley de Kirchhoff para tensiones, se obtiene:
donde:
Aplicando transformada de Laplace a la ecuación 2.23 se obtiene:
Vin(s) = LsI(s) + RI(s) + Vc(s) (2.25)
Ahora, derivando la ecuación 2.24 obtenemos:
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y a continuación, aplicando Laplace a la ecuación 2.26 se obtiene:
Reemplazando la ecuación 2.27 en 2.25 obtenemos:
y reemplazando parámetros obtendremos la siguiente función de transferencia:
Ejemplo 2.3 Un satélite se puede representar mediante el sistema mecánico mostrado en la figura
2.7.Considere los siguientes datos: m=1 Kg., M=20 Kg., K=25 N/m, B=0.2 N-Seg/m.
Obtenga:
a) Las ecuaciones diferenciales del sistema.
b) Las ecuaciones diferenciales, considerando un acoplamiento rígido entre las masas M y m
c) La función de transferencia, considerando z1 como salida y f como entrada, del sistema
obtenido en l parte 2.
Figura 2.7: Sistema mecánico de un satélite
Solución
a) Considerando que mg ≈ 0, entonces del diagrama de cuerpo libre para las masas M y m,
obtendremos las correspondientes ecuaciones:
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b) Si consideramos un acoplamiento rígido entre las masas, entonces K = ∞, por lo que las
ecuaciones del sistema se reduce a una sola, que es:
c) Aplicando transformada de Laplace a la ecuación 2.32, obtendremos:
permitiéndonos obtener la función de transferencia siguiente:
Ejemplo 2.4 Considere el sistema de nivel de liquido que aparece en la figura 1. La razón de flujo de
entrada en estado estable es Q, la razón de flujo entre tanques es cero y las alturas del tanque 1 y el
tanque 2 en estado estable son H . En t = 0, la razón del flujo de entrada cambia de Q a Q+ q, donde q
es un cambio pequeño en la razón de flujo de entrada. Los cambios resultantes en las alturas (h1 y h2)
y las razones de flujo (q1 y q2) se suponen pequeñas. Las capacitancias del tanque 1 y del tanque 2
son C1 y C2, respectivamente.
La resistencia de la válvula entre los tanques es R1 y la de la válvula de salida es R2. Obténgase la
función de transferencia entre q2 y q.
Figura 2.8: Sistema de nivel de liquido
Solución
Para el tanque 1:
Reemplazando la ecuación 2.36 en la ecuación 2.35 se obtiene:
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Para el tanque 2:
además:
reemplazando las ecuaciones 2.36 y 2.39 en 2.38 se obtiene:
Eliminando h1 de las ecuaciones 2.37 y 2.40 obtendremos:
Despejando h2 de la ecuación 2.39 obtendremos:
h2 = R2q2 (2.42)
y finalmente, reemplazando la ecuación 2.42 en 2.41 obtendremos la siguiente función de
transferencia:
2.5 Modelos de Estado
Un modelo de estado puede describir sistemas lineales y no lineales, proporcionando un fundamento
matemático potente para la aplicación de diversas técnicas analíticas. En esta sección se presenta el
desarrollo de modelos de estado lineales.
2.5.1 Representación de sistemas dinámicos en el espacio de estado
Primer caso: La función excitadora no incluye términos derivativos. Sea el siguiente sistema de orden
n:
Esta ecuación puede ser convertida en n ecuaciones diferenciales de primer orden, para ello se tiene
que elegir n variables, con la siguiente asignación:
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Ahora se obtienen las ecuaciones de estado (n ecuaciones diferenciales de primer orden)
El conjunto de ecuaciones de estado, se representa matricialmente así:
y su forma compacta es la siguiente:
Si consideramos que la salida del sistema es la variable de estado x1, entonces dicha salida se puede
escribir de la siguiente manera:
o en su forma compacta
donde
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El diagrama de bloques de la ecuación de estado y de la ecuación de salida se muestra en la figura 2.1
Figura 2.1: Diagrama de bloques detallado del sistema de orden n
Segundo caso: La función excitadora incluye términos derivativos. Sea el siguiente sistema de orden
n:
con salida y = x1.
El problema principal al definir las variables de estado para este caso, consiste en los términos
derivativos del miembro derecho de la ecuación anterior.
Las variables de estado deben ser tales que eliminen las derivadas de u en la ecuación de estado. Una
forma de obtener una ecuación de estado y una ecuación de salida es definir las siguientes n variables
como un conjunto de n variables de estado:
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Con esta elección de n variables de estado (nótese que no es la única selección posible de las variables
de estado), se obtiene:
La ecuación anterior y la ecuación de salida pueden reescribirse asì:
y su forma compacta es como sigue:
La matriz A es exactamente la misma que la del primer caso. Las derivadas del miembro derecho de la
ecuación afectan únicamente a los elementos de la matriz B.
Modelos de sistemas lineales
Ejemplo 2.1 Obtener el modelo matemático del motor DC controlado por armadura mostrado en la
figura 2.2, usando el método del espacio de estado
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Figura 2.2: Diagrama de un motor DC controlado por armadura
Solución
Ecuaciones:
Circuito eléctrico: Aplicando la ley de Kirchhoff a la entrada del circuito del motor, se obtiene:
Conversión de energía eléctrica en mecánica: El torque T desarrollado por el motor es proporcional al
producto de ia y al flujo en el entrehierro, el que a su vez es proporcional a la corriente de campo,
donde:
donde Kf y K1 son constantes. Luego K = Kf if K1. Por consiguiente, el torque desarrollado por el
motor puede expresarse por:
Circuito mecánico:
Aplicando la ley de Newton se obtiene:
Tensión contra-electromotriz:
Del circuito eléctrico, la fuerza contra-electromotriz viene expresada por:
Ahora, se debe escoger convenientemente las variables de estado, veamos:
La ecuación anterior es una ecuación diferencial de primer orden, entonces elegimos una variable de
estado:
En la ecuación el torque depende linealmente de Ia ( esta variable de estado ya fue definida en la
ecuación anterior).
La ecuación tratada es una ecuación diferencial lineal de 2do. orden, por consiguiente necesitamos
definir 2 variables de estado, las cuales son:
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En la ecuación la variable de estado ya fue definida en la ecuación anterior.
Ahora debemos obtener las ecuaciones de estado. Reemplazando las ecuaciones y usando las
variables de estado elegidas, se obtiene:
Ahora, derivando la ecuación se obtiene la ecuación de estado siguiente:
y, finalmente reemplazando las variables de estado en las ecuaciones:
Las ecuaciones de estado se pueden representar matricialmente:
con u = ea.
![Page 26: Ingenieria de Control](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050817/5571fab0497959916992d961/html5/thumbnails/26.jpg)
Capitulo 3
Análisis de Funcionamiento de Sistemas de Control
3.1 Introducción
Luego de haber obtenido el modelo matemático del sistema, se debe analizar el comportamiento del
sistema frente a diferentes señales de entrada, que en la práctica no puede conocerse con anticipación.
En casos especiales dichas señales de entrada son conocidas, pudiendo ser expresadas en forma
analítica, o por curvas representativas.
Las señales de prueba de entrada más comúnmente usadas son las funciones escalón, rampa, impulso,
senoidal, etc. La respuesta del sistema de control a señales de entrada, puede dividirse en una parte
transitoria y otra estacionaria. En los sistemas de control es frecuente usar lazos de realimentación, que
a pesar de su costo y complejidad, son usados por las siguientes razones:
Disminución de la sensibilidad del sistema frente a variaciones en los parámetros del proceso
o planta.
Facilidad del control y ajuste de la respuesta transitoria del sistema.
Mejoramiento en el rechazo de las señales perturbadoras dentro del sistema.
Mejoramiento en la reducción del error en estado estacionario del sistema.
3.2 Análisis de respuesta transitoria para sistemas de primer orden
Consideremos el sistema de primer orden que se muestra en la figura 3.1.
Este sistema puede representar físicamente un circuito RC, un sistema térmico, etc. La figura 3.2 es un
diagrama de bloques simplificado. La función de transferencia o la relación de entrada-salida está dada
por:
Figura 3.1: Diagrama de bloques de un sistema de primer orden
Figura 3.2: Diagrama de bloques simplificado
Las entradas de referencia al sistema de control, pueden ser funciones escalón unitario, rampa unitaria,
e impulso unitario. Por consiguiente, se deben analizar las respuestas del sistema a dichas entradas. La
salida del sistema debe ser igual a la entrada de referencia o ”setpoint”.
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3.2.1 Respuesta escalón unitario de sistemas de primer orden
Considerando una entrada escalón unitario, y despejando la salida Y (s) de la ecuación 3.1 se obtiene:
Expandiendo Y (s) en fracciones parciales se obtiene:
Tomando la transformada inversa de Laplace de la ecuación (3.3) se obtiene
Evaluando la ecuación (3.4) para diferentes valores de t, se obtienen salidas que van de o hasta 1. La
respuesta del sistema se muestra figura 3.3.
Figura 3.3: Respuesta del sistema de primer orden a una entrada escalón unitario
Si se considera la respuesta del sistema desde t = 0 hasta t = T, entonces se obtiene que el valor final
de y(t) alcanza 0.632 (63.2%). y la respuesta gráfica se muestra en la figura 3.4. Puede comprobarse
que
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Figura 3.4: Respuesta del sistema a una entrada escalón unitario desde t = 0 hasta t = T
cuanto más pequeña sea la constante de tiempo T, mas rápida es la respuesta del sistema. Otra
característica importante de la curva exponencial es que la pendiente de la recta tangente en t = 0, es
1/T, pues
3.2.2 Respuesta rampa unitaria de sistemas de primer orden
Considerando una entrada rampa unitaria (1/s2
), y despejando la salida Y (s) de la ecuación 3.1 se
obtiene:
Expandiendo Y (s) en fracciones parciales se obtiene:
Tomando la transformada inversa de Laplace de la ecuación (3.7) se obtiene
Entonces la señal de error e(t) es
y la respuesta grafica se muestra en la figura 3.5
![Page 29: Ingenieria de Control](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050817/5571fab0497959916992d961/html5/thumbnails/29.jpg)
Figura 3.5: Respuesta del sistema de primer orden a una entrada rampa unitaria
3.2.3 Respuesta impulso unitario de sistemas de primer orden
Para el caso de una entrada impulso unitario, la respuesta del sistema en términos de la variable s es:
y en términos del tiempo es:
A continuación se presenta la respuesta gráfica del sistema a una entrada impulso unitario.
Figura 3.6: Respuesta del sistema de primer orden a una entrada impulso unitario
![Page 30: Ingenieria de Control](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050817/5571fab0497959916992d961/html5/thumbnails/30.jpg)
3.3 Análisis de respuesta transitoria para sistemas de segundo orden
Consideremos un sistema de segundo orden, debido a que las especificaciones de funcionamiento de
los sistemas, están definidas para este tipo de sistema.
Para sistemas de orden mayor, utilizando el concepto de polos dominantes se aproxima el sistema a
uno de segundo orden. Su función de transferencia de lazo cerrado es:
donde:
ζ : relación de amortiguamiento
ωn : frecuencia natural
El diagrama de bloques del sistema de segundo orden se muestra en la figura 3.7.
Sus polos o raíces características son:
Los polos pueden ser:
a) Reales: ζ > 1, sobre-amortiguado
b) Reales e idénticos: ζ = 1, críticamente amortiguado
c) conjugados complejos: 0 < ζ < 1, sub-amortiguado
Figura 3.7: Sistema de segundo orden
3.3.1 Respuesta a un escalón unitario
Para el caso sub-amortiguado, la respuesta a un escalón unitario tiene oscilaciones amortiguadas,
donde se definen algunas especificaciones de funcionamiento que son utilizados como criterios de
diseño, entre ellas podemos citar:
Porcentaje de sobreimpulso (overshoot)
Tiempo de asentamiento o establecimiento (settling time)
Tiempo de subida o de crecimiento (rise time)
Tiempo de pico máximo (peak time)
Tiempo de retardo (delay time)
En la figura 3.8 se muestra la respuesta de un sistema de segundo orden.
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Figura 3.8: Respuesta de un sistema de segundo orden a una entrada escalón unitario.
Los tiempos de retardo td, de pico tp y de asentamiento ts están dadas por:
El porcentaje de sobreimpulso o sobrepico (overshoot) es:
donde ωn es la frecuencia natural no amortiguada, ωd es la frecuencia natural amortiguada.
De las fórmulas para determinar el tiempo de asentamiento, se puede observar que si se requiere un
menor error en estado estacionario (2%), el tiempo de asentamiento aumenta.
Un porcentaje de sobrepico peque˜no es muy importante en muchas aplicaciones de control; en tal
caso es recomendable considerar el factor de amortiguamiento comprendido en el rango de 0.4 a 0.8.
3.3.2 Respuesta impulsiva de sistemas de segundo orden
Para una entrada impulso unitario r(t) = δ(t) (con transformada de Laplace correspondiente R(s) = 1),
la respuesta impulso unitario Y (s) del sistema de segundo orden de la figura 3.7 es:
La transformada inversa de Laplace de esta última ecuación produce la siguiente solución temporal
y(t):
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Para 0 ≤ ζ < 1
Para ζ > 1
Para ζ = 1
3.4 Análisis de respuesta estacionaria
En la mayoría se sistemas de control, interesa que el valor final de la variable controlada (valor en
estado estacionario) sea igual al valor deseado. En caso de no ser asíı, existe un error en estado
estacionario o error permanente.
En un sistema realimentado, dado por el diagrama de bloques de la figura 39:
La función de transferencia de lazo cerrado es:
(3.22)
Se define el estado estacionario como:
ess = limt→∞e(t) = limt→∞[r(t) − y(t)] (3.23)
Aplicando la transformada de Laplace y el teorema del valor final obtenemos:
ess = lims→0sE(s) (3.24)
donde
E(s) = R(s)/(1 + G(s)H(s)) (3.25)
El error estacionario de un sistema depende de las características del sistema y por consiguiente del
tipo de referencia utilizada. Es asíı, que el error estacionario está relacionado inversamente por las
constantes o ganancias correspondientes al tipo de referencia. En forma resumida, se presentan las
definiciones de constantes de posición, velocidad y aceleración, como sigue:
Figura 3.9: Sistema de control.
Para una entrada escalón unitario
Kp = lims→0G(s)H(s) = G(0)H(0) (3.26)
luego
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ess =1/(1 + Kp) (3.27)
Para una entrada rampa unitaria
Kv = lims→0sG(s)H(s) (3.35)
luego
ess =1/Kv (3.28)
Para una entrada parabólica unitaria
(3.29)
luego
ess =1/Ka (3.30)
Se aprecia que el error estacionario depende de la estructura de G(s) en relación al número de polos en
el origen (integradores) que tiene. Se define que un sistema es de tipo n, si la función de transferencia
en lazo abierto G(s)H(s) tiene n polos en el origen. Además, el error estacionario depende del tipo de
entrada r(t), tal como se puede apreciar en la tabla 3.1.
Tabla 3.1: Resumen de errores en estado estacionario
Las constantes de error Kp, Kv y Ka, de un sistema de control, describen la capacidad del sistema para
reducir o eliminar el error en estado estacionario.
Por tanto, se utilizan como medidas numéricas del funcionamiento en el estado estacionario.
Debe incrementarse las constantes de error para obtener errores en estado estable muy pequeños,
manteniendo una respuesta transitoria aceptable.
3.5 Rechazo a Perturbaciones
Otro factor importante del uso de la realimentación en un sistema de control es la eliminación parcial
de los efectos de las señales perturbadoras. Las perturbaciones pueden deberse a ruidos inherentes
producidos por los transistores, circuitos integrados, distorsiones indeseadas de sistemas no lineales,
etc. Por consiguiente, los sistemas de control por realimentación presentan el beneficio de reducir el
efecto de la distorsión, ruido y perturbaciones indeseadas.
Un sistema de control con perturbaciones, se muestra en el diagrama de bloques de la figura 3.10.
Suponiendo que la entrada de referencia es cero
Figura 3.10: Sistema de control con perturbaciones.
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o R(s) = 0, la función de transferencia entre Y(s) y N(s) viene dada por
(3.31)
entonces, la salida Y (s) viene dada por
(3.32)
Con , obtenemos la función de transferencia del siguiente:
(3.33)
El error en estado estacionario debido a una perturbación escalón unitario viene dado por
(3.34)
Como ejemplo, obtengamos la respuesta del sistema siguiente a una perturbación escalón unitario.
Figura 3.11: Sistema de control con perturbaciones.
La respuesta a una entrada perturbacional se puede obtener considerando la entrada de referencia nula.
Luego, la función de transferencia entre Y (s) y Ud(s) es:
(3.35)
La respuesta gráfica se muestra en la figura 3.12,
Figura 3.12: Respuesta del sistema de control a una perturbación escalón unitario.
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Capitulo 4
Estabilidad
4.1 Introducción
Se dice que un sistema es estable, si estando sujeto a una entrada o perturbación limitada, su respuesta
es de magnitud limitada. El incremento inicial de la respuesta transitoria debe tender a reducirse, hasta
lograr que la respuesta del sistema converja y siga a una trayectoria deseada. En el caso de un sistema
de regulación, la salida debe tender hacia un valor continuo, correspondientemente la señal de control
tendera hacia cero.
4.2 Estabilidad Aplicados a Modelos de Estado Lineales
Un sistema lineal, invariante en el tiempo (SLIT), se describe utilizando el modelo de estados
siguiente:
El sistema es asintóticamente estable si todos los términos de la matriz de transición tienden a cero
cuando el tiempo tiende a infinito. Por consiguiente, un sistema presenta estabilidad asintótica si
La transformada de Laplace de la matriz de transición es:
donde el polinomio denominador de υ(s) se denomina ecuación característica. Entonces, la estabilidad
asintótica se satisface si todas raíces o valores propios del det(sI − A) se localizan en el semiplano
izquierdo del plano s.
La ecuación característica es:
det(sI − A) = 0 (4.4)
Ejemplo 4.1: Dadas las ecuaciones de estado y de salida del sistema, descrito por
Determinar la estabilidad del sistema.
Solución
![Page 36: Ingenieria de Control](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050817/5571fab0497959916992d961/html5/thumbnails/36.jpg)
Si K = 2.5, las raíces de la ecuación característica son: s = −5, s = −0.5 + j1.66, s = −0.5 − j1.66,
entonces el sistema es asintoticamente estable, debido a que las raíces tienen parte real negativa.
4.3 Estabilidad Aplicados a Modelos de Función de Transferencia
Para un sistema de una entrada y una salida (SISO), con un modelo de función de transferencia Y
(s)/R(s), la localización de los polos de la función de transferencia determinan la estabilidad del
sistema.
Los polos en la parte izquierda del plano S dan como resultado una respuesta decreciente, por
lo tanto, el sistema es asintoticamente estable.
Los polos en el eje jw dan como resultado una respuesta oscilatoria.
Los polos en el lado derecho dan respuestas crecientes.
Por lo tanto, para que un sistema realimentado sea estable, todos los polos de la función de
transferencia de lazo cerrado (raíces características) deben tener parte real negativa.
Ejemplo 4.2: Determinar si la siguiente función de transferencia es estable.
Solución
Los polos están localizados en −0.5+j0.866 y −0.5−j0.866, por consiguiente, el sistema es
asintòticamente estable.
4.4 Test de Routh – Hurwitz
Este método es muy útil, fundamentalmente cuando el orden del polinomio es mayor que dos. Si el
polinomio del denominador de la función de transferencia o la ecuación característica de un sistema
está dada por
donde los coeficientes son cantidades reales. El procedimiento del criterio de Routh-Hurwitz es el
siguiente:
1. La condición necesaria pero no suficiente para estabilidad, es que todos los coeficientes de la
ecuación (4.9) estén presentes, y que todos tengan signo positivo.
2. Si todos los coeficientes son positivos, se colocan en filas y columnas de acuerdo al siguiente
esquema:
![Page 37: Ingenieria de Control](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050817/5571fab0497959916992d961/html5/thumbnails/37.jpg)
Los coeficientes b1, b2, b3, etc., se evalúan como sigue:
El mismo procedimiento se usa para calcular los coeficientes c, d, e, etc, así:
Ejemplo 4.3: Apliquemos el criterio de estabilidad de Routh al siguiente polinomio de tercer orden:
donde todos los coeficientes son números positivos.
Solución
El conjunto de coeficientes es:
de donde:
Para estabilidad, debe cumplirse que
a 1 a 2 2> a 0 a 3
Ejemplo 4.4: Considere un sistema de lazo cerrado, con función de transferencia
Determine el rango de K para la estabilidad.
Solución
![Page 38: Ingenieria de Control](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050817/5571fab0497959916992d961/html5/thumbnails/38.jpg)
La ecuación característica es
El conjunto de coeficientes se muestran en el siguiente arreglo:
Para que haya estabilidad, K debe ser positiva, y todos los coeficientes de la primera columna deben
serlo también. Por lo tanto:
Para K = 14/9, el sistema se vuelve oscilatorio.
Capitulo 5
Métodos Gráficos de Análisis de Sistemas de Control
Existen varios métodos gráficos, como el Lugar Geométrico de las Raíces, Bode y Nyquist. En este
capítulo trataremos sobre el uso del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR).
5.1 Método del Lugar Geométrico de las Raíces
El Lugar Geométrico de las Raíces son la trayectoria que describen la variación en la localización de
las raíces en el plano s cuando varia la ganancia del sistema desde 0 a ∞.
Esta técnica es útil en el estudio de los cambios que ocurren en el comportamiento de sistemas lineales
frente a las variaciones de sus parámetros. Diremos que este método permite hallar los polos de lazo
cerrado partiendo de los polos y ceros de lazo abierto, tomando la ganancia como parámetro,
brindando asíı una presentación gráfica de todos los polos de lazo cerrado.
Sea el sistema de la figura 5.1. La función de transferencia de lazo cerrado es:
La ecuación característica para este sistema se puede obtener igualando a cero el denominador de la
ecuación (5.1)
1 + G(s)H(s) = 0 (5.2)
o bien
G(s)H(s) = −1 (5.3)
Para trazar el LGR se deben cumplir las condiciones de ángulo y magnitud.
![Page 39: Ingenieria de Control](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050817/5571fab0497959916992d961/html5/thumbnails/39.jpg)
1. Condición de ángulo
2.
∠G(s)H(s) = ±180(2k + 1), para k= 0, 1, 2, ... (5.4)
Figura 5.1: Diagrama de bloques de un sistema de control
3. Condición de magnitud, amplitud o módulo
|G(s)H(s)| = 1 (5.5)
Los valores de s que cumplen con las condiciones de ángulo y magnitud, son las ra´ıces de la ecuación
característica o polos de lazo cerrado. El diagrama de los puntos del plano complejo que sólo
satisfacen la condición de ángulo, constituye el lugar de las raíces. Las raíces de la ecuación
característica se pueden determinar por la condición de magnitud. La ecuación característica 1 +
G(s)H(s) se debe escribir como función del parámetro de ganancia K, así:
Por consiguiente, el lugar de las raíces para el sistema, son los lugares de los polos de lazo cerrado al
variar la ganancia K de cero a infinito. Siendo
Para comenzar a trazar el lugar geométrico de las raíces (LGR), se debe conocer la ubicación de los
polos y ceros de lazo abierto G(s)H(s). Los ángulos de las cantidades complejas originadas en los
polos y ceros de lazo abierto y que abarcan hasta el punto de prueba s, se miden en sentido antihorario.
Supongamos que G(s)H(s) viene dada por
donde −p2 y −p3 son polos complejos conjugados. El ´angulo de G(s)H(s) es:
∠G(s)H(s) = υ1 − θ1 − θ2 − θ3 − θ4 (5.9)
donde υ1, θ1, θ2, θ3 y θ4 se miden en sentido antihorario, según puede apreciarse en las figuras 5.2.
![Page 40: Ingenieria de Control](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050817/5571fab0497959916992d961/html5/thumbnails/40.jpg)
Figura 5.2: Diagramas que muestran los ángulos desde polos y ceros de lazo
abierto al punto de prueba s.
5.1.1 Reglas generales para construir el lugar geométrico de las raíces (LGR)
Considerando el diagrama de bloques de la figura 5.1, los pasos para construir el LGR son los
siguientes:
1. Se obtiene la ecuación característica:
1 + G(s)H(s) = 0 (5.10)
y se reescribe de modo que aparezca en la siguiente forma
, para K> 0 (5.11)
luego se ubican los polos y ceros de lazo abierto G(s)H(s).
2. Se hallan los puntos de inicio y fin del LGR y se determina la cantidad de ramas del LGR. Los
puntos del LGR correspondientes a K = 0 son polos de lazo abierto. Cada rama del LGR se origina en
un polo de G(s)H(s). Al tender K a infinito, cada rama del LGR tiende hacia un cero de G(s)H(s) o
hacia infinito en el plano complejo. Un diagrama del LGR debe tener tantas ramas como raíces tiene la
ecuación característica.
3. Se determina el LGR sobre el eje real, por los polos y ceros de lazo abierto que están sobre el. Cada
porción del lugar de las raíces sobre el eje real se extiende sobre un rango que va desde un polo o cero
hasta otro polo o cero. Para tal efecto se elige un punto de prueba s sobre el.
4. Se determinan las asintotas del LGR. El LGR para valores muy grandes de s deben ser asintóticos a
rectas cuyos ángulos están dados por
Siendo
n = número de polos finitos de G(s)H(s)
m = número de ceros finitos de G(s)H(s)
![Page 41: Ingenieria de Control](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050817/5571fab0497959916992d961/html5/thumbnails/41.jpg)
Al aumentar k, el ángulo se repite, y la cantidad de asintotas diferentes es n − m. Si la abscisa de
intersección de las asintotas con el eje real se designa como s = σa, entonces
5. Se hallan los puntos de ruptura de llegada y de partida. Debido a la simetría conjugada del LGR, los
puntos de ruptura, o bien están sobre el eje real, o se producen en pares complejos conjugados.
6. Se determinan los ángulos de partida (o ángulos de llegada) del LGR desde los polos complejos (o
ceros complejos) aplicando el criterio de ángulo a un punto arbitrariamente cerca del punto de partida
o llegada.
Para un LGR de razonable exactitud, se deben hallar las direcciones y sentidos del LGR en la vecindad
de los polos y ceros complejos.
7. Se determina la intersección del LGR con el eje imaginario, usando para ello el criterio de
estabilidad de Routh.
8. El valor de K correspondiente a cualquier punto s sobre el LGR se puede obtener con la condición
de magnitud, dada por:
9. Determinar el LGR en una zona amplia del eje jw y el origen.
Ejemplo de diseño
Dado el sistema de control mostrado en la figura 5.3, trazar el lugar geométrico correspondiente.
Veamos los siguientes pasos de diseño:
Figura 5.3: Sistema de Control.
1. Ubicación de polos y ceros de lazo abierto en el plano s (Ver figura 5.4).
![Page 42: Ingenieria de Control](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050817/5571fab0497959916992d961/html5/thumbnails/42.jpg)
Figura 5.4: Ubicación de polos y ceros de lazo abierto en el plano s.
2. Número de ramas del LGR:
n = número de polos finitos = 4, entonces existen 4 ramas del LGR.
3. Bosquejo del LGR.
La función de transferencia de lazo cerrado del sistema es:
luego, la ecuación característica del sistema de lazo cerrado es:
Evaluando se obtiene:
Si:
podemos plotear ligeramente el LGR, tal como se muestra en la figura 5.5
![Page 43: Ingenieria de Control](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050817/5571fab0497959916992d961/html5/thumbnails/43.jpg)
Figura 5.5: Lugar geom´etrico aproximado.
4. Determinación del LGR sobre el eje real.
Este paso ya no es necesario hacerlo, debido a que en el paso (3) se obtuvo un bosquejo del LGR,
donde puede apreciarse las trayectorias de los polos de lazo cerrado del sistema; sin embargo, tan solo
por razones didácticas comprobaremos la existencia o inexistencia del LGR en determinados puntos
del eje real.
a) Veamos si existe LGR entre -1 y -2 (ver figura 5.6):
⇒ no satisface la condición de ángulo, luego no existe LGR.
b) Veamos si existe LGR entre -2 y - ∞ (ver figura 5.7):
Figura 5.6: Averiguando si existe LGR entre -1 y -2.
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Figura 5.7: Averiguando si existe LGR entre -2 y -∞.
⇒ sí satisface la condición de ángulo, luego sí existe LGR.
c) Veamos si existe LGR entre 0 y + ∞ (ver figura 5.8):
⇒ no satisface la condición de ángulo, luego no existe LGR.
5 Determinación de las asintotas del LGR.
Cuando K→∞, el número de ramas que tiende a ∞ es n-m: 4 - 1 = 3, luego se tendrá 3 asintotas.
Figura 5.8: Averiguando si existe LGR entre 0 y +∞.
Luego, las asintotas son: Θ : +60,−60, +180o. Ahora podemos determinar la intersección de las
asíntotas con el eje real:
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6. Determinación de los puntos de ruptura.
Presentando la ecuación característica en la forma:
Los puntos de ruptura se pueden determinar de las raíces de:
De 5.27:
Luego:
Entonces:
cuyas raíces son:
s=−2.5033 ≈ −2.5; s = −0.8417±0.6335j (no cumple); s = −0.4799 ≈−0.48 Luego, los puntos de
ruptura son:s=−2.5; s = −0.48 (que se verifican en el diagrama del LGR). Reemplazando estos dos
puntos de ruptura en la ecuación para K, se determinan las correspondientes ganancias K, así:
Para s = -2.5 ⇒ la ganancia es:
Para s = -0.48 ⇒ la ganancia es: K=0.209
7. Determinación de los puntos de cruce con el eje imaginario.
Usando el criterio de estabilidad de Routh para:
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Haciendo c1 = 0 para oscilación
se obtienen los siguientes valores de K:
K = -11.7082 valor extraño
K = 1.7082 ≈ 1.71 valor correcto
Reemplazando este valor de K en la ecuación auxiliar:
se obtienen las raíces: s = ±1.11j
PREGUNTA: Con K = 10 y K = 0 se obtiene oscilación?
8. Con base a la información obtenida en los pasos previos, trazar el LGR final (ver figura 5.9).
Figura 5.9: Lugar Geométrico de las Raíces final.
9. Determinación de los ángulos de salida y llegada.
Considerando S1 muy cerca del punto de partida -1+j, el ángulo de salida o partida se calcula
aplicando el criterio de ángulo, así:
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Figura 5.10: Determinación de los ángulos de salida.
Los ángulos de llegada se calculan en forma similar, es decir aplicando el criterio del ángulo.
5.1.2 Análisis de Sistemas de Control mediante el LGR
En esta sección no se pretende analizar sistemas de controles específicos, tales como el PI, PD, PID,
etc., sino, hacer el análisis de sistemas de control condicionalmente estables y sistemas de control de
fase no mínima.
Sistemas condicionalmente estables
Se dice que un sistema es condicionalmente estable, si es estable solamente para rangos limitados del
valor de la ganancia K.
Por ejemplo, sea el sistema de la figura 5.11, cuya ecuación característica viene dada por:
Figura 5.11: Sistema de control.
se obtiene el LGR de dicho sistema el que se muestra en la figura 5.12.
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Figura 5.12 Lugar geométrico de las rices.
El sistema es estable en los rangos siguientes:
0 < K < 14, 64 < K < 195
El sistema se vuelve inestable en los rangos siguientes:
14 < K < 64, y 195 < K
Entonces, a este tipo de sistema se le denomina condicionalmente estable, caracterizado por su
comportamiento peligroso, ya que en la práctica puede producir saturación. Una forma de evitar la
estabilidad condicional, es, agregando un cero, con lo que consigue que el lugar geométrico se mueva
hacia la izquierda, haciendo que el sistema se vuelva completamente estable.
Sistemas de fase no mínima
Se dice que un sistema es de fase no mínima, si al menos un polo o cero se encuentra en el semiplano
derecho del plano s. Contrariamente, un sistema de fase mínima es aquel en que todos los polos y
ceros del sistema se encuentran en el semiplano izquierdo de s.
Como ejemplo, veamos el diagrama de bloques de la figura 5.13, en el que podemos apreciar que el
cero está localizado en el semiplano derecho de s. Su correspondiente LGR se muestra en la figura
5.14.
Figura 5.13: Sistema de fase no mínima.
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Figura 5.14: LGR del sistema de fase no mínima.
Pueden existir sistemas de fase no miınima que además del parámetro de ganancia K puede ser función
de otros parámetros, lo que llevaría a que K sea función de esos otros parámetros, por consiguiente el
LGR correspondiente variaría de acuerdo a la variación de K, y su estabilidad estaría dentro de un
rango limitado.
5.1.3 Lugar Geométrico de las Raíces para Sistemas con Retardo de Transporte
El modelo que se presenta en la figura 5.15 describe una operación de control de proceso hipotética.
Suponga que la máquina de la izquierda combina varios líquidos y sólidos particulares para formar un
compuesto laminado continuo que se desplaza hacia la derecha. Cuando la lámina solidifica, se
obtienen medidas de las propiedades tal como el grosor y la densidad, y esta información se utiliza
para proporcionar la realimentación al controlador. La magnitud del retardo temporal se determina por
la distancia entre el punto de control y los sensores divididos por la velocidad de movimiento. Por lo
tanto, el tiempo de retardo τ es igual a τ = d/ν.
En la figura 5.16 se muestra un diagrama de bloques del sistema de control con modelos de funciones
de transferencia de todos los componentes del sistema que contribuyen al control del grosor del
material manufacturado.
Si se asume que el grosor en el punto de control se designa por x(t), entonces la señal de grosor en el
sensor es y(t) = x(t − ), y la transformada de Laplace es Y (s) = eST
X(s). Por lo tanto, la función de
transferencia del retardo es Y (s) /X(s) = eST
.
Una representación de polos y ceros de e−sτ requiere un número infinitos de ceros y/o polos. Una
expansión en series infinita de la función del retardo produce:
Esta función se puede truncar para obtener una función de transferencia que es aproximadamente
válida si el retardo es suficientemente pequeño. En la siguiente sección trataremos este mismo
ejemplo, pero usando la respuesta en frecuencia, ofreciéndonos un mejor tratamiento al problema de
retardo de transporte. La ecuación característica del sistema de control es:
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Figura 5.15: Sistema con retardo de transporte.
Figura 5.16: Sistema con retardo de transporte.
Considerando los tres primeros términos del retardo, la función de transferencia de lazo abierto es:
cuya simulación del LGR produce la gráfica mostrada en la figura 5.17.
La función de transferencia de lazo cerrado del sistema es:
Para una entrada escalón unitario, la salida del sistema producirá la respuesta en el tiempo, tal como se
muestra en la figura 5.18. Podemos comprobar que existe un retardo de 5 segundos, a partir del cual la
salida del sistema crece, desde cero hasta el nivel de referencia, estabilizándose al valor de la
referencia en un tiempo de aproximadamente 57 segundos.
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Figura 5.17: Lugar geométrico del sistema con retardo de transporte.
Figura 5.18: Respuesta al escalón del sistema con retardo de transporte.