initial damage mechanisms of reinforced concrete ... · pdf fileity forces, exact analytical...

В Е С Т Н И К П Н И П У 2013 Механика № 4

59

УДК 593.3

А.В. Зайцев, Ю.В. Соколкин, А.А. Фукалов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия

МЕХАНИЗМЫ НАЧАЛЬНОГО РАЗРУШЕНИЯ

ЖЕЛЕЗОБЕТОННОЙ КРЕПИ СФЕРИЧЕСКОЙ ГОРНОЙ

ВЫРАБОТКИ В МАССИВЕ ОСАДОЧНЫХ ПОРОД

Методом, основанным на разложении компонент вектора перемещений по окружной и радиальной координате в тригонометрические и обобщенные степенные ряды, получено новое точное аналитическое решение задачи для составной трансверсально-изотропной сферы, нахо-дящейся в равновесии в поле гравитационных сил. На внутренней поверхности было задано однородно распределенное давление, внешняя поверхность предполагалась жестко закреплен-ной. Приведены выражения для напряжений и деформации. Полученное аналитическое решение позволило проанализировать влияние геометрии и свойств железобетона на распределения независимых инвариантов тензора напряжений в поперечных сечениях железобетонных крепей сферических подземных выработок и окружающем массиве осадочных пород, а также описать механизмы разрушения на основе многокритериального подхода.

Ключевые слова: толстостенная составная трансверсально-изотропная сфера, упругое равновесие, поле гравитационных сил, точное аналитическое решение, железобетонная крепь, сферическая горная выработка, горный массив осадочных пород, механизмы начального разру-шения.

A.V. Zaitsev, Yu.V. Sokolkin, A.A. Fukalov

Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation

INITIAL DAMAGE MECHANISMS OF REINFORCED CONCRETE

MONOLITHIC SUPPORTS FOR SPHERICAL MINE WORKINGS

LOCATED IN SEDIMENTARY ROCK MASS

Within decomposition of hoop and radial components of displacement vector to the trigonomet-rical and generalized power series new exact analytical solutions have been obtained to problems on equilibrium state of combined thick-walled heavy transversally-isotropic spheres which are fixed on the exterior or interior surfaces and are subject to the action of uniform internal or external lateral pressure. In particular obtained analytical solutions can be used for the analysis of the influence of geometry of concrete monolithic supports for spherical mine workings, the properties of reinforced concrete and the sedimentary rock mass surrounding minings on the distribution of stresses and displacements. In the construction of mine workings reinforcement is one of the main production processes otherwise there is no way for their exploitation. Monolithic concrete supports aimed at maintaining labor safety and safety


60

of mineral raw materials and equipment kept inside are usually made of reinforced concrete, i.e. anisot-ropic material, the weight of which has to be greatly considered.

Keywords: thick-walled combined transversally-isotropic sphere, elastic equilibrium state, grav-ity forces, exact analytical solution, reinforced concrete monolithic supports for spherical mine workings, sedimentary rock mass surrounding mine, mechanisms of initial stage of damage evolution

При сооружении горных выработок, представляющих собой сфе-

рические полости, подкрепление является одним из основных произ-водственных процессов, без которого невозможна их эксплуатация. Крепи, предназначенные для обеспечения безопасности труда, сохран-ности находящегося внутри сырья и оборудования, как правило, изго-тавливаются из железобетона и являются массивными сооружениями. Поскольку железобетон и горные породы имеют ярко выраженную анизотропию свойств, вызванную наличием стержневых армирующих элементов и минеральных включений, важным и актуальным является получение новых точных аналитических решений краевых задач о равновесии толстостенных составных анизотропных упругих тел с центральной симметрией, находящихся под действием равномерного внутреннего и внешнего давления в поле гравитационных сил, и разра-ботка на основе этих решений инженерных методик уточненного прочностного анализа элементов конструкций и сооружений, имею-щих аналогичную геометрию и граничные условия. Кроме того, эти решения могут использоваться для идентификации материальных по-стоянных и функций анизотропных материалов (железобетон крепи создается вместе с самим горным сооружением) и при тестировании алгоритмов, реализующих численные методы, а также при отработке методик экспериментов с «тяжелыми» телами простейшей геометрии.

Рассмотрим равновесие составного линейно-упругого анизотроп-ного сферического тела, представляющего собой конструкцию, со-стоящую из двух полых толстостенных сфер с общим центром, жестко закрепленных по внешней поверхности радиусом 2ρ и находящихся

под действием равномерно распределенного по внутренней поверхно-сти радиуса 1ρ давления в поле гравитационных сил. Будем считать,

что поверхность контакта, на которой выполняется условие идеального сопряжения, находится на расстоянии cρ от центра, а материал, из ко-

торого изготовлено составное тело, однородный, сферически трансвер-сально-изотропный относительно любого радиуса-вектора, проведен-ного из геометрического центра. Будем использовать сферическую

Механизмы начального разрушения железобетонной крепи сферической выработки

61

, r θ и ϕ систему координат. Все константы и функции, относящиеся

к внутренней части составной сферы, будем обозначать верхним ин-дексом 1, стоящим в скобках, а к внешней – индексом 2 соответствен-

но. Радиальные и окружные перемещения ( ( )iru и ( )iuθ ), радиальные

( ( )irrσ и ( )i

rrε ), окружные ( ( )iθθσ и ( )i

θθε ), меридиональные ( ( )iϕϕσ и ( )i

ϕϕε ) напря-

жения и деформации, касательные напряжения ( )irθτ и сдвиговые де-

формации ( )irθε не зависят (в силу симметрии тела и внешней нагрузки)

от меридиональной координаты ϕ , удовлетворяют геометрическим

соотношениям Коши

( )( )i

i rrr

u

r

∂ε =∂

, ( ) ( )( )1i

i ir

uu

rθ

θθ

∂ ε = + ∂θ

, (1)

( ) ( ) ( )( )1 ctgii iru u

rϕϕ θε = θ + , ( )( ) ( )

( )1i i

i irr

u uu

r rθ

θ θ

∂ ∂γ = + − ∂ ∂θ , 1 или 2i =

и уравнениям равновесия

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 ctg 0ii

i ii i irrrrr rr F

r rθ

ϕϕ θθ θ ∂τ∂σ + + σ − σ − σ + τ θ + = ∂ ∂θ

, (2)

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 ctg 3 0.

i ii i iir

r Fr rθ θθ

ϕϕθθ θ θ ∂τ ∂σ

+ + σ − σ θ + τ + = ∂ ∂θ

Здесь ( ) ( ) cosi irF γ θ=- и ( ) ( ) sini iFθ γ θ= – компоненты вектора массо-

вых сил, ( )iγ – удельный вес материала.

Определяющие соотношения для сферически трансверсально-изотропного тела

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

11 12 12 22 23

12 23 22 44

, ,

,

i i i i i i i i i i i i irr rr rr

i i i i i i i i i irr r r

A A A A A

A A A A

ϕϕ θθ ϕϕ ϕϕ θθ

θθ ϕϕ θθ θ θ

σ = ε + ε +ε σ = ε + ε + ε

σ = ε + ε + ε τ = ε (3)

можно записать с помощью технических постоянных


62

( )( )

( )( )( )11 1

ii ir

i

EA θϕ= −μ

ν, ( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( )2

22 1i i

i iri i i i

r

E EA

Eθ θ

θθϕ

= −μ ν +μ ν

,

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( )2

23

i ii i i

ri i i ir

E EA

Eθ θ

θϕ θθϕ

= μ +μ ν +μ ν

, ( )( )

( )( )

12

ii i

ri

EA θ

θ= μν

,

( ) ( )44i i

rA G θ= , ( ) ( ) ( )( )

( )21 2

ii i i

r ir

E

Eθ

θϕ θν = −μ − μ ,

определяемых модулями Юнга ( )irE и ( )iEθ в направлениях r и θ , ко-

эффициентами Пуассона ( )irθμ и ( )i

θϕμ , а также модулем сдвига ( )irG θ

в диаметральной плоскости. Так как находящееся в поле гравитационных сил толстостенное

составное сферическое тело с жестко закрепленной внешней поверхно-стью находится в равновесии, то

( )2

2 0rr

u=ρ

= , ( )2

2 0r

uθ =ρ= , ( )

1

1 0rr

θ =ρτ = , ( )

1

1rr

rp

=ρσ =− ,

( ) ( )1 2

c cr r

r ru u

=ρ =ρ= , ( ) ( )1 2

c cr ru uθ θ=ρ =ρ

= , (4)

( ) ( )1 2

c cr r

r rθ θ=ρ =ρ

τ =τ , ( ) ( )1 2

c crr rr

r r=ρ =ρσ =σ .

Последовательная подстановка геометрических соотношений (1) в определяющие (3), а затем полученного результата – в уравнения равновесия (2) позволяет записать неоднородные системы дифферен-циальных уравнений Ламе в частных производных [1, 2]:

( )( )

( )( )

( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )

22

11 11 12 442

2

44 12 22 232 2

12 22 23 44

12 ctg

1ctg 2

ctg cos ,

i ii ii i i ir r

i ii i i i ir r

r

ii i i i i i

u uu uA A A A

r r r r r

u uA A A A u

r

uA A A A u

θ θ

θθ

∂ ∂∂ ∂+ + + + θ + ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂+ + θ + − − + ∂θ ∂θ

∂+ − − − + θ =γ θ ∂θ

(5)


63

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2

44 44 12 442

2

22 22 23 442 2

223 44 22

12

1ctg 2

2 ctg sin .

i i ii i i i i r

r

i i ii i i i r

i i i i i

u u uA A u A A

r r r r

u u uA A A A

r

A A A u

θ θθ

θ θ

θ

∂ ∂ ∂+ ∂ + + + ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂+ + θ + + + − ∂θ ∂θ ∂θ

− + + θ =−γ θ

Решение в силу симметрии задачи может быть представлено в виде тригонометрических рядов [1–5]:

( ) ( ) ( )0

cosi ir rn

n

u u r n∞

=

= θ , ( ) ( ) ( )0

sini in

n

u u r n∞

θ θ=

= θ . (6)

При подстановке выражений (6) в (5) и (4) получим бесконечное число систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3 4 52 2

1 2 3 4 52 2

1 1 1 1,

1 1 1 1,

i i i i i i i i i i in rn n rn n rn n n n n n

i i i i i i i i i i in n n n n n n rn n rn n

a u a u a u a u a u Ar r r r

b u b u b u b u b u Br r r r

θ θ

θ θ θ

′′ ′ ′+ + + + =

′′ ′ ′+ + + + = (7)

где

( ) ( )1 11

i ina A= , ( ) ( )

2 112i ina A= , ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

23 12 22 23 442 ctg tgi i i i i

na A A A A n n n= − − − + θ θ ,

( ) ( ) ( )( )( ) 4 12 44 ctg tgi i ina A A n n= + + θ θ ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 5 12 22 23 44 ctg tgi i i i ina A A A A n n= − − − + θ θ ,

( ) ( )1 44

i inb A= , ( ) ( )

2 442i inb A= , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 23 23 44 222 1 ctg ctg csci i i i

nb A A A n n n=− − − − − θ θ+ θ ,

( ) ( ) ( )( )4 12 44i i inb A A n=− + , ( ) ( ) ( ) ( )( )5 22 23 442i i i i

nb A A A n=− + + ,

( )( ) , 1,

0, 0, 1,

ii

n

nA

n n

γ === >

( )( ) , 1,

0, 0, 1

ii

n

nB

n n

−γ === >

с соответствующими граничными условиями


64

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 21

1

2 2 1 1 1 1 1 144 44 44

1 1 1 1 1 111 12 12

1 2 1 2

1 1 1 1 1 144 44 44

10, 0, 0,

, 0,2 1ctg tg

0, 0.

, ,

1c c c c

rn n n n rnr r

r

rn rn nr

rn rn n nr r r r

n n rn

nu u A u A u A u

r r

p nA u A u A n n u

nr r

u u u u

nA u A u A u

r r

θ θ θ=ρ =ρ=ρ

θ=ρ

θ θ=ρ =ρ =ρ =ρ

θ θ

′= = − − =

− =′ + + + θ θ = >

= =

′ − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

2

2 2 2 2 2 244 44 44

1 1 1 1 1 111 12 12

2 2 2 2 2 211 12 12

1,

2 1ctg tg

2 1ctg tg .

c c

n n rnr r

rn rn nr

rn rn nr

nA u A u A u

r r

A u A u A n n ur r

A u A u A n n ur r

θ θ=ρ =ρ

θ=ρ

θ=ρ

′= − −

′ + + + θ θ =

′= + + + θ θ

(8)

Поэтому вычисление перемещений, деформаций и напряжений связано с решением n самостоятельных задач. Заметим, что для 1n> однород-ные системы дифференциальных уравнений (7) дополнены однород-ными граничными условиями (8). Следовательно, все эти системы

имеют единственное тривиальное решение: ( ) 0irnu = и ( ) 0i

nuθ = . Таким об-

разом, задача может быть сведена к решению системы (7) с граничны-ми условиями (8) при 0n= и 1n= [1–4].

При 0n= перемещение в меридиональном направлении ( )0 0iuθ ≡ ,

а система уравнений (7) значительно упрощается:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )11 0 11 0 12 22 23 02

1 12 2 0.i i i i i i i i

r r rA u A u A A A ur r

′′ ′+ + − − = (9)

Общее решение (9) выглядит следующим образом:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 20 1 2

i ii i ik kru r D r D− − − += + ,

где ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )22 23 12 111 4 2i i i i is A A A A= + + − , а из граничных условий (8) могут

быть определены постоянные интегрирования ( ) ( ) ( ) ( )2 22 21 2 1 2

2 1 2 2 0,s sD D− − − +ρ +ρ =

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1

1

1 1 1 1 3 21 11 12 1

1 1 1 1 3 22 11 12 1

1 2 2

1 2 2 ,

s

s

D A s A

D A s A p

− −

− +

− − + ρ + + − + + ρ =−


65

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 21 1 2 21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2

s s s sc c c cD D D D− − − + − − − +ρ +ρ =ρ +ρ ,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1

1

2

2

1 1 1 1 3 21 11 12

1 1 1 1 3 22 11 12

2 2 2 2 3 21 11 12

2 2 2 2 3 22 11 12

1 2 2

1 2 2

1 2 2

1 2 2 .

sc

sc

sc

sc

D A s A

D A s A

D A s A

D A s A

− −

− +

− −

− +

− − + ρ + + − + + ρ = = − − + ρ + + − + + ρ

При 1n= имеем неоднородную систему дифференциальных уравнений (7), решение которой находим методом вариации произ-вольных постоянных. Тогда окончательно выражения для перемеще-ний в толстостенной трансверсально-изотропной сфере запишем сле-дующим образом:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

1 2 1 21 2

1 1 2 1 2 21 2 2 3 3 4 4

1 1 2 1 2 21 2 3 4

cos ,

sin ,

i i

i i

i i

i i is sr

i i i i i i i it tr

i i i i i it t

u D r D r

C d C r d C r d C r H r

u C C r C r C r H r

− − − +

− − + − −

− − + − −θ θ

= + +

+ − + + + + θ

= + + + + θ

(10)

где

( )( )

( )( ) ( ) ( )( )12 44

1

2 2i

i i i ir i

H H A AH

γ= − − , ( ) ( ) ( )22 23

i i iH A A= + ,

( )( )

( )( ) ( ) ( )( )11 44

1

2 2i

i i i i

iH A H A

Hθ

γ= − − , ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2

12 44 11 442 2i i i i i iL A A A H A= + − + ,

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )11 44 12 12 44

11 44

9 12 2 3

4i i i i i i i

i it H A A A A A

A A = + + − + ,

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )44

2

12 44

2i ii

i i i

H Ad

A H A

+=− −

, ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 44 12 44

12i i i i i i

id Y A A A t

L = + + ,

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )4 44 12 44

12i i i i i i

id Y A A A t

L = − + , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )44 12 442 3i i i i iY A A H A= − − ,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )21 11 44 44 12 122 4 2 3 2i i i i i i i iH A H A A H A A = − + − − .

Постоянные интегрирования ( )1

iC , ( )2iC , ( )

3iC , ( )

4iC , входящие в вы-

ражения (10), определяются из системы линейных алгебраических уравнений


66

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1

1

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 23 12 3 11 3 2 12 2 11 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 34 12 4 11 4 11 12 12

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 22 12 2 11 2 3 12 3 11 3

4 1 2 1 2 2 1

4 1 2 1 4

2 2 1 4 1 2 1

tc

tc r c

tc

C A d A d t C A d A d

C A d A d t H A A H A

C A d A d C A d A d t

+

−θ

+

+ + − ρ + + − + + + − + ρ + + + ρ = = + − + + + − ρ +

+ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 34 12 4 11 4 11 12 124 1 2 1 4 ,t

c r cC A d A d t H A A H A−θ

+ − + ρ + + + ρ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 21 1 2 1 2 21 2 2 2 3 3 2 4 4 2 2

t trC d C d C d C H− − + − −− + ρ + ρ + ρ =− ρ ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 21 1 2 1 2 21 2 2 3 2 4 2 2

t tC C C C H− − + − −θ+ ρ + ρ + ρ =− ρ ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 2

1 1 1 1 1 1 11 1 2 1 2 21 2 2 3 3 4 4

2 2 2 2 2 2 21 1 2 1 2 21 2 2 3 3 4 4 ,

t tc c c r c

t tc c c r c

C d C d C d C H

C d C d C d C H

− − + − −

− − + − −

− + ρ + ρ + ρ + ρ =

=− + ρ + ρ + ρ + ρ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1

1

1

1 1 1 1 1 1 22 12 2 11 2 1

1 1 1 1 1 1 1 23 12 3 11 3 1

1 1 1 1 1 14 12 4 11 4 1

1 1 1 1 1 7 211 12 12 1

2 2 1

4 1 2 1

4 1 2 1

4 ,

t

t

tr

C A d A d

C A d A d t

C A d A d t

H A A H A

+

+

+θ

+ − ρ + + + + − ρ + + + − + ρ = =− + + ρ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 2

1 1 1 1 11 1 2 1 2 21 2 3 4

2 2 2 2 21 1 2 1 2 21 2 3 4 ,

t tc c c c

t tc c c c

C C C C H

C C C C H

− − + − −θ

− − + − −θ

+ ρ + ρ + ρ + ρ =

= + ρ + ρ + ρ + ρ

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

1 1

1

1 1 1 1 11 2 1 22 2 1 3 3 1

1 1 1 1 1 7 24 4 1 1

2 2 2 2 3

2 2 3 2 ,

t t

tr

C d C d t

C d t H H

+ +

+θ

+ ρ + − + ρ +

+ + + ρ = − ρ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1

1

2

2

1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 22 44 2 2 44 2 3 44 3

1 1 1 1 1 1 13 1 244 44 4 4

2 2 2 2 1 23 44 3

2 2 2 2 2 2 23 1 244 44 4 4

2 2 2 2 2 3

2 2 2 3

2 2 3

2 2 2 3 ,

tc

tr c c

tc

tr c c

C A d C A d C A d t

A H H A C d t

C A d t

A H H A C d t

+

−θ

+

−θ

+ − + + − + ρ +

+ − ρ + + + ρ =

= − + ρ +

+ − ρ + + + ρ


67

получаемых при удовлетворении граничных условий (8), и не приво-дятся ввиду громоздкости.

Последовательная подстановка уравнений (10) в геометрические (1) и определяющие (3) соотношения позволяет записать выражения для радиальных

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ){( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )}

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ){( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) }

3 21 12 11

22 12 11

2 3 212 2 2 3 3

3 24 4

2 3 211 2 2 3 3

3 24 4

14 1 2

2

4 1 2

2 1 1

1

12 1 2

2

1 2 4 cos

i

i

i

i

i

i

i i i i isrr

i i i i s

i i i i i t

i i i itr

i i i i i i t

i i i itr

r D A A s

D A A s r

A d C r d C r

d C r H H r

A d C r t d C r

t d C r H r

− −

− − +

− −θ

− − +

− −

σ = − + +

+ − − +

+ + + + +

+ + + + −

− + − +

+ + − θ ,

(11)

окружных

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ){( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )}

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ){( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

3 21 22 23 12

22 22 23 12

2 3 222 23 2 2 3 3

3 24 4

2 3 212 2 2 3 3

4 4

12 1 2

2

2 1 2

1 1

1

12 1 2

2

1 2

i

i

i

i

i

i i i i i i is

i i i i i s

i i i i i i t

i i i itr

i i i i i i t

i i i

r D A A A s

D A A A s r

A A d C r d C r

d C r H H r

A d C r t d C r

t d C r

− −ϕϕ θθ

− − +

− −θ

− − +

σ =σ = + − + +

+ + − − +

+ + + + + +

+ + + + −

− + − +

+ +( ) ( ) }3 2 4 cosi it

rH r− − − θ

(12)

и касательных

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 3 244 2 2 3 3

3 24 4

32

2

3sin .

2

i

i

i i i i i i i tr

i i i i itr

A d C r d t C r

d t C r H H r

− − +θ

− −θ

τ =− + + + − + + + + + − θ

(13)

напряжений.


68

Из полученных решений в частном случае, при замене ( ) ( ) ( )i i i

rE E Eθ= = , ( ) ( ) ( )i i irθ θϕμ =μ =μ и ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2i i i i

rG G Eθ= = + μ , следуют выра-

жения для напряжений, деформаций и перемещений в точках, находя-щихся в поле гравитационных сил полых и составных изотропных сфер с аналогичными граничными условиями [6, 7].

Рис. 1. Распределение инвариантов тензора напряжений на закрепленной

внешней ( ( )ExJ ℵ ), свободной от нагрузок внутренней ( ( )

InJ ℵ ) и контактной

( ( )CJ ℵ ) поверхностях

Полученные аналитические решения (11)–(13) дают возможность анализировать вклад массовых сил в напряженное состояние железобе-тонных монолитных крепей сферических горных выработок, окружен-ных массивом осадочных пород, а также провести уточненную оценку начальной прочности и определить области, где может быть иниции-ровано разрушение. Поскольку горные породы и железобетон имеют ярко выраженную анизотропию свойств, прочностной анализ элемен-тов конструкций и сооружений, изготовленных из таких материалов, необходимо осуществлять на основе многокритериального подхода [6], рассматривая различные механизмы частичного или полного исчерпа-ния несущей способности, характерные для анизотропных материалов. В работе [7] были введены независимые величины


69

IJ θθ=σ , IIrrJ =σ , ( )2 2

4IIIJ ϕϕ θθ ϕθ= σ −σ + τ , IV 2 2

r rJ ϕ θ= τ +τ ,

инвариантные относительно ортогональных преобразований, допусти-мых над сферически трансверсально-изотропным телом, которые по-зволяют описать различные механизмы разрушения от растяжения или сжатия в окружном или меридиональном и радиальном направлении от сдвигов по поверхностям изотропии и в диаметральной плоскости со-ответственно.

На рис. 1 и 2 представлены распределения ненулевых инвариан-

тов тензора напряжений ( )J ℵ в железобетонной сферической крепи ( 40,0Eθ = ГПа, 25,0rE = ГПа, 11,0rG θ = ГПа, 0,075θϕμ = , 0,15rθμ =

и 340 кН/мγ = ), окруженной массивом осадочных пород ( 55,0Eθ = ГПа,

23,0rE = ГПа, 29,0rG θ = ГПа, 0,29θϕμ = , 0,32rθμ = и 327 кН/мγ = ) при

0p= МПа вдоль меридиональной и обезразмеренной радиальной ко-

ординаты ( ) ( )1 2 1rρ= −ρ ρ −ρ . Параметры геометрии были выбраны

следующими: 1 2,5ρ = м, 3,1cρ = м, 2 4,3ρ = м (см. рис. 1) и 2 9,0ρ = м

(см. рис. 2).

Рис. 2. Распределение инвариантов тензора напряжений на закрепленной

внешней ( ( )ExJ ℵ ), свободной от нагрузок внутренней ( ( )

InJ ℵ ) и контактной

( ( )CJ ℵ ) поверхностях


70

Как видим, на свободной от нагрузок внутренней поверхности монолитной железобетонной сферической крепи ненулевым является

только первый инвариант IJ , который нелинейно распределен вдоль ρ , принимает положительные значения в точках, принадлежащих сво-

ду, и имеет скачок на поверхности контакта. При заданных материаль-

ных константах существенное влияние на характер распределения IJ оказывает соотношение радиусов рассматриваемой крепи и окружаю-щего массива осадочных пород. Так, например, увеличение толщины породного массива приводит к смене знака первого инварианта в желе-зобетонной крепи.

Второй инвариант IIJ при изменении радиальной координаты от свободной поверхности к закрепленной всюду возрастает по абсолют-ной величине, не принимая при этом в точках свода отрицательных, а в нижней полусфере – положительных значений. Поскольку в точках,

принадлежащих вертикальной диаметральной оси, IJ и IIJ достигают своих наибольших по абсолютной величине значений, эти точки явля-ются наиболее опасными с точки зрения возможности начала разруше-ния крепи от растяжения или сжатия в окружном и радиальном на-правлениях.

Третий инвариант IIIJ во всех точках железобетонной крепи и окружающего массива осадочных пород принимает нулевые значе-ния. Следовательно, при заданных условиях нагружения и типе упру-гой симметрии материала механизмы разрушения от сдвига по поверх-ности изотропии не реализуются.

В точках, расположенных на вертикальной диаметральной оси

четвертый инвариант IVJ равен нулю, возрастает по мере увеличения угла θ , достигая своих максимальных значений при 2θ=π . Кроме то-

го, в радиальном направлении от внешней поверхности монолитной

крепи к внутренней IVJ всюду убывает, достигая нулевых значений на свободной поверхности. Таким образом, наиболее опасными с точки зрения возможности начала разрушения крепи по механизму сдвига являются точки горизонтальной диаметральной плоскости.


71

Библиографический список

1. Зайцев А.В., Фукалов А.А. Упругое равновесие тяжелой транс-версально-изотропной толстостенной сферы с жестко закрепленной внутренней поверхностью // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2010. – № 5(21). – С. 85–95.

2. Фукалов А.А., Кутергин А.В. Точные аналитические решения задач о равновесии упругих анизотропных тяжелых тел с центральной и осевой симметрией и их приложения // Вестник Нижегород. ун-та им. Н.И. Лобачевского. – 2011. – № 4 (4). – С. 1831–1833.

3. Распределение напряжений в поперечных сечениях контейне-ров из стеклопластика и полимербетона, используемых для длительно-го хранения высокоагрессивных сред / А.В. Зайцев, А.В. Кислицын, А.В. Кутергин, А.А. Фукалов // Изв. Самар. НЦ РАН. – 2012. – Т. 14, № 4(5). – С. 1230–1234.

4. Зайцев А.В., Кутергин А.В. Упругое равновесие тяжелого го-ризонтального толстостенного ортотропного цилиндра, находящегося под действием неравномерно распределенного бокового давления // Вестник Перм. нац. исслед. политехн. ун-та. Механика. 2010. – № 4. – С. 36–45.

5. Зайцев А.В., Кислицын А.В. Об одном решении задачи Ламе для составного протяженного элемента конструкции, состоящего из посаженных с натягом толстостенного трансверсально-изотропного внешнего цилиндра на соосный изотропный внутренний // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2007. – № 1(14). – С. 164–167.

6. Аналитическое исследование упругого равновесия полой сфе-ры, жестко закрепленной по внешнему контуру / Л.Л. Кожевникова, Г.Б. Кузнецов, В.П. Матвеенко, И.Н. Шардаков // Проблемы прочно-сти. – 1974. – № 9. – С. 20–23.

7. Кузнецов Г.Б. Упругость, вязкоупругость и длительная проч-ность цилиндрических и сферических тел. – М.: Наука, 1979. – 112 с.

8. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика не-упругого деформирования и разрушения композиционных материалов. – М.: Наука, 1997. – 288 с.

9. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. – М.: Изд-во МГУ, 1984. – 336 с.


72

References

1. Zaitsev A.V., Fukalov A.A. Uprugoe ravnovesie tyazheloy trans-versalno-izotropnoy tolstostennoy sfery s zhestko zakreplennoy vnutrenney poverkhnostiu [Elastic equilibrium state of thick-walled heavy transversally-isotropic spheres fixed on the interior surface]. Vestnik Samarskogo gosu-darstvennogo tehnicheskogo universiteta. Seriya Fiziko-matematicheskie nauki, 2010, no. 5(21), pp. 85-95.

2. Fukalov A.A., Kutergin A.V. Tochnye analiticheskie resheniya za-dach o ravnovesii uprugikh anizotropnykh tyazhelykh tel s centralnoy i ose-voy simmetriey i ikh prilozheniya [Exact analytical solutions to problems of the equilibrium state of elastic anisotropic heavy central and axial-symmetric bodies and their applications]. Vestnik Nizhegorodskogo univer-siteta imeni N.I. Lobachevskogo, 2011, no. 4 (4), pp. 1831-1833.

3. Zaitsev A.V., Kislitsyn A.V., Kutergin A.V. Fukalov A.A. Raspre-delenie napryazheniy v poperechnykh secheniyakh konteinerov iz steklo-plastika i polimerbetona, ispolzuemykh dlya dlitelnogo khraneniya vysoko-agressivnykh sred [Stress distribution in the cross-sections of containers made of fiberglass and polymer concrete , used for long-term storage of highly aggressive media]. Izvestiya Samarskogo nauchnogo tsentra Rossiy-skoy akademii nauk, 2012, vol. 14, no. 4(5), pp. 1230-1234.

4. Zaitsev A.V., Kutergin A.V. Uprugoe ravnovesie tyazhelogo gori-zontalnogo tolstostennogo ortotropnogo tsilindra, nakhodyaschegosya pod deistviem neravnomerno raspredelennogo bokovogo davleniya [Elastic equilibrium state of heavy horizontal thick-walled orthotropic cylinder un-der the action of non-uniformly distributed lateral pressure]. Vestnik Perm-skogo natsionalnogo issledovatelskogo politekhnicheskogo universiteta. Mekhanika, 2010, no. 4. pp. 36-45.

5. Zaitsev A.V., Kislitsyn A.V. Ob odnom reshenii zadachi Lame dlya sostavnogo protyazhennogo elementa konstrukcii, sostoyaschego iz posa-zhennykh s natyagom tolstostennogo transversalno-izotropnogo vneshnego tsilindra na soosniy izotropniy vnutrenniy [On A solution of Lame problem for a combined long structural element, consisting of thick-walled trans-versely isotropic external cylinder spanned by the on-axis isotropic internal one]. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta. Seriya Fiziko-matematicheskie nauki, 2007, no. 1(14), pp. 164-167

6. Kozhevnikova L.L., Kuznetsov G.B., Matveenko V.P., Shardakov I.N. Analiticheskoe issledovanie uprugogo ravnovesiya poloy sfery, zhestko zak-


73

replennoy po vneshnemu konturu [Analytical study of the elastic equilib-rium of a hollow sphere, rigidly fixed on the outer edges]. Problemy prochnosti, 1974, no. 9, pp. 20-23.

7. Kuznetsov G.B. Uprugost, vyazkouprugost i dlitelnaya prochnost tsilindricheskikh i sfericheskikh tel [Elastic, viscoelastic and long-term strength of cylindrical and spherical bodies]. Moscow: Nauka, 1979. 112 p.

8. Vil'deman V.E., Sokolkin Yu.V., Tashkinov A.A. Mekhanika neu-prugogo deformirovaniya i razrusheniya kompozitsionnykh materialov [Mechanics of inelastic deformation and failure of composite materials]. Moscow: Nauka, 1997. 288 p.

9. Pobedrya B.E. Mekhanika kompozitsionnykh materialov [Mechan-ics of composite materials]. Moscowskiy gosudarstvenniy universitet, 1984. 336 p.

Сведения об авторах

Зайцев Алексей Вячеславович (Пермь, Россия) – кандидат фи-зико-математических наук, доцент кафедры механики композицион-ных материалов и конструкций Пермского национального исследова-тельского политехнического университета (614990, Пермь, Комсо-мольский пр., 29, e-mail: [email protected]).

Соколкин Юрий Викторович (Пермь, Россия) – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой механики композиционных материалов и конструкций Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: [email protected]).

Фукалов Антон Александрович (Пермь, Россия) – аспирант ка-федры механики композиционных материалов и конструкций Перм-ского национального исследовательского политехнического универси-тета (614990, Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: [email protected]).

About the authors

Zaitsev Alexey Vyacheslavovich (Perm, Russian Federation) – Ph.D. in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Depart-ment for Mechanics of Composite Materials and Constructions, Perm Na-tional Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., 614990, Perm, Russian Federation, e-mail: [email protected]).


74

Sokolkin Yuriy Viktorovich (Perm, Russian Federation) – Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Department for Mechanics of Composite Materials and Constructions, Perm National Re-search Polytechnic University (29, Komsomolsky av., 614990, Perm, Rus-sian Federation, e-mail: [email protected]).

Fukalov Anton Alexandrovich (Perm, Russian Federation) – Doc-toral Student of the Department for Mechanics of Composite Materials and Constructions, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., 614990, Perm, Russian Federation, e-mail: [email protected]).

Получено 15.11.2013

initial damage mechanisms of reinforced concrete ... · pdf fileity forces, exact analytical...

Documents