ដោយ លមឹ សុវណ្ណ វចិិត្រ http://www.dahlina.com/ Page | 1

ចូរកណំ្រ់ចនំនួពិរមិនសូនយ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ដែលដ្ទៀងផ្ទទ រ់ត្រព័នធ

𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 𝑦2 + 𝑦𝑧 + 𝑧2 𝑧2 + 𝑧𝑥 + 𝑥2 = 𝑥𝑦𝑧

𝑥4 + 𝑥2𝑦2 + 𝑦4 𝑦4 + 𝑦2𝑧2 + 𝑧4 𝑧4 + 𝑧2𝑥2 + 𝑥4 = 𝑥3𝑦3𝑧3

(អូឡំពិចគណិ្រវទិ្យាឥណ្ឌា ២០១០)

ចដមលើយ

តាមវសិមភាពកសូ ៊ីស្វា ត

𝑥4 + 𝑥2𝑦2 + 𝑦4 1 + 1 + 1 ≥ 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 2

𝑦4 + 𝑦2𝑧2 + 𝑧4 1 + 1 + 1 ≥ 𝑦2 + 𝑦𝑧 + 𝑧2 2

𝑧4 + 𝑧2𝑥2 + 𝑥4 1 + 1 + 1 ≥ 𝑧2 + 𝑧𝑥 + 𝑥2 2

⟹ 27 𝑥4 + 𝑥2𝑦2 + 𝑦4 𝑦4 + 𝑦2𝑧2 + 𝑧4 𝑧4 + 𝑧2𝑥2 + 𝑥4

≥ 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 𝑦2 + 𝑦𝑧 + 𝑧2 𝑧2 + 𝑧𝑥 + 𝑥2 2

= 𝑥𝑦𝑧 2

⟹ 27 𝑥3𝑦3𝑧3 ≥ 𝑥2𝑦2𝑧2

⟹ 𝑥𝑦𝑧 ≥1

27

សញ្ញា សសមើសក ើតមានសពល 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 ។ ស ើងស ើញថា ផលគ ណ𝑥𝑦𝑧 វជិ្ ជមាន ។

តាមវសិមភាពកសូ ៊ី

𝑥4 + 𝑥2𝑦2 + 𝑦4 ≥ 3 𝑥6𝑦63= 3𝑥2𝑦2

𝑦4 + 𝑦2𝑧2 + 𝑧4 ≥ 3𝑦2𝑧2

𝑧4 + 𝑧2𝑥2 + 𝑥4 ≥ 3𝑧2𝑥2

⟹ 𝑥4 + 𝑥2𝑦2 + 𝑦4 𝑦4 + 𝑦2𝑧2 + 𝑧4 𝑧4 + 𝑧2𝑥2 + 𝑥4 ≥ 27𝑥4𝑦4𝑧4 ⟹ 𝑥3𝑦3𝑧3 ≥ 27 𝑥4𝑦4𝑧4

សោ 𝑥𝑦𝑧 > 0 ស ោះ

⟹ 𝑥𝑦𝑧 ≤1

27

សញ្ញា សសមើសក ើតមានសពល 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 ។

តាម នងិ ស ើងទាញបាន 𝑥𝑦𝑧 = 1 27 នងិ 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 ។

ករណ៊ី ចំននួទាងំប៊ីស ទ្ធតតវជិ្ ជមាន ស ើងទាញបាន 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 1 3 ។

ដោយ លមឹ សុវណ្ណ វចិិត្រ http://www.dahlina.com/ Page | 2

ករណ៊ី មានព ៊ីរ អវជិ្ ជមាន សនមតថា 𝑥, 𝑦 អវជិ្ ជមាន។ ស ើងទាញបាន 𝑧 = 1 3 , 𝑥 = 𝑦 = − 1 3 ។ ជំ្នសួចូលសម៊ីការទ្៊ីមួ ននប្បពន័ ធ ស ើងទាញបាន

−1

3

2

+ −1

3 −

1

3 + −

1

3

2

−1

3

2

+ −1

3

1

3 +

1

3

2

1

3

2

+ 1

3 −

1

3

+ −1

3

2

=1

27

⟺1

3.1

9.1

9=

1

27

មិនសផទៀងផ្ទទ ត់។ ដសូចនោះប្បពន័ ធសម៊ីការមានរសឺ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1 3 , 1 3 , 1 3 ។