Innledning

Kurset vårt omfatter noe av det vakreste vikan oppleve innen fysikk, nemlig fenomenerknyttet til svingninger og bølger. Tenk degverden uten lys og uten lyd, så fornemm-er du kanskje hvor fundamentale svingning-er og bølger er for vår tilværelse og for vårsivilisasjon!

Når man lærer seg fysikken bak svinge- ogbølgefenomener, kan det gjøres på flere ulikemåter:

• Man kan iaktta/observere fenomeneneslik vi finner dem i naturen.

• Man kan lære seg matematisk formalis-me som egner seg for å beskrive fenome-nene.

• Man kan forsøke å forstå mekanismenesom er ansvarlig for svingninger og bøl-ger.

Mennesker er forskjellige av natur, og derestudenter har også møtt fysikken på ulikt visfør dere nå møter “Svingninger og bølger”.Jeg vet av erfaring at noen av dere vil værefascinert av matematikken og andre av feno-menene i seg selv. Det er sjeldent jeg treff-er studenter som har like stor kjærlighet tilbegge disse sidene. I vårt kurs vil vi forsøkeå gi næring til begge leire, for det er først ogfremst dette som er fysikk! Fysikk må ikkereduseres til ren matematikk, og fysikk måikke bare være estetikk for å sette ting påspissen. En vaskeekte fysiker bør ha nær kon-takt med både fenomenene og formalismen.

I tillegg kommer fokus på mekanismenebak fenomenene. Innen svingninger og bøl-ger er det tradisjonelt sett ikke lagt noe sær-lig vekt på mekanismene. Det tror jeg skyl-des at man hittil stort sett har anvendt ana-lytiske matematiske metoder for å løse de

differentialligningene som inngår. Når manbruker analytiske metoder, setter man rik-tignok opp ligningene som ligger bak feno-menene, men man løser diffligningene og en-der opp med et analytisk uttrykk, og kon-sentrerer seg deretter nesten utelukkende omløsningen. Man ser f.eks. at løsningen blir enbølge, og beskriver denne grundig.

Denne fremgangsmåten har flere begrens-ninger. For det første forsvinner fokuset frade bakenforliggende ligningene som fortellerom mekanismen for f.eks. en bølge. For detandre er det bare noen ganske få forenkle-de problemstillinger man da er i stand til åtakle, ellers blir ligningene for vanskelige til åløse (analytisk). Man må ofte nøye seg med åbetrakte løsninger under forenklede randbe-tingelser og/eller løsninger som først gjelderetter at transiente forløp har dødd ut.

Figur 1: Svingninger og bølger inngår i et vellav fenomener vi opplever hver eneste dag, såsom lyd og lys. Foto: Bjørn Lybekk.

Det betyr at mange fysikere opp gjennomtidene har gått ut med forenklede bilder avsvingninger og bølger, og tror at disse gjeldergenerelt. For eksempel er det mange som gårrundt med bildet av plane elektromagnetis-ke bølger i vakum, langt fra kilden og langt

1

fra forstyrrende elementer, og antar at den-ne forenklede løsningen er en generell løsningman kan anvende overalt. Så feil, så feil!!!

Vi har her ved UiO lagt opp en utdannel-se hvor studentene lærer å bruke numeriskeløsningsmetoder bl.a. for å løse fysikkprob-lemer. Vi kommer i dette kurset til å dra di-rekte nytte av dette, ikke bare med hensynpå å bygge opp en kompetanse hver enkeltav dere vil ha glede av i et senere yrke, menogså som et pedagogisk hjelpemiddel for åforstå stoffet bedre. Ved numeriske beregnin-ger kan man lettere fokusere på selve algo-ritmene, basisligningene, enn ved analytiskemetoder. Dessuten kan vi ta fatt i et vell avinteressante problemstillinger vi ikke kunnestudert bare ved analytiske metoder. Ogsådette bidrar til økt forståelse.

En omlegging til bruk av numeriske me-toder er imidlertid krevende, og vi vil brukelang tid på å forme et godt undervisnings-opplegg. I mellomtiden er dere “prøvekanin-er” og jeg håper dere er tålmodige med meg.I stedet for å komme med unyansert kritikk,ville jeg sette stor pris på å få konstruktivetilbakemeldinger som kan brukes for å for-bedre opplegget til neste år. De forslagenedere kommer med i vår kan komme neste årsstudenter til gode!

Kompendiet er bygget opp av kjernestoffog eksempelstoff. Kjernestoffet er markertmed en stjerne etter overskriften, og det-te bør beherskes meget godt før eksamen.Eksempelstoffet viser eksempler på hvordankjernestoffet kan anvendes i ulike sammen-henger. Enkelte år vil noe av eksempelstoffetvektlegges, mens andre år vil vekten leggespå andre deler. Obliger og prosjektoppgavervil basere seg på kjernestoffet, men i prak-sis være knyttet opp mot eksempelstoffet. Vikan da gå ganske dypt i beskrivelsen av en-kelte fenomener.

Jeg håper at dere i løpet av kurset vil opp-

leve at svingninger og bølger er en morsomdel av fysikken, og at dere sitter igjen meden dypere forståelse enn dere hadde da derebegynte på kurset.

Blindern, januar 2009

Arnt Inge Vistnes

2

Kapittel 1

Svingninger

[Kapittel 1 i vårt kompendium omhandler til dels samme

stoff som kapittel 13.1,2,7,8 i Young og Freedmans “Univer-

sity Physics”, og kapittel 1.1 i Perssons “Vågrörelseslära” og

Arne Dahlback’s kompendium “Harmonisk oscillator”. Copy-

right for kapittelet med tekst og figurer tilhører Arnt Inge

Vistnes.]

I mekanikken skilte vi mellom kinematikkog dynamikk, og det skillet er relevant ogsåi vårt kurs. I kinematikken gir vi kun en be-skrivelse av en svinging eller bølge, mensman i dynamikken forsøker å forklare be-vegelsen ut fra kjente fysiske lover. Tar viutgangspunkt i matematikken, kan vi si atman innen dynamikken setter opp differen-tialligningene for bevegelsene og løser disseenten ved analytiske eller numeriske meto-der. Innen kinematikken betrakter man løs-ningen av differentialligningene (eller model-leringen av en eksperimentell observasjon)og diskuterer den uten å referere til de ba-kenforliggende fysiske lovene.

1.1 Kinematikk*

La oss ta et eksempel: Et lodd henger i enfjær og svinger vertikalt opp og ned.

Den kinematiske beskrivelsen kan da væresom denne: Loddet svinger omkring et like-vekstspunkt. Maksimalt utslag A relativt tillikevektspunktet kalles svingningens ampli-

tude. Tiden loddet bruker på hver sving-ning kalles periodetiden T . Svingefrekven-sen f er den inverse av periodetiden, dvsf = 1/T og måles i inverse sekunder ellerhertz (forkortes Hz). For et passe tungt loddog amplitude for fjæra, vil utsvinget (posi-sjon versus tid) z(t) tilnærmet følge en ma-tematisk sinus/cosinus-bevegelse:

z(t) = A cos(2πt/T )

såfremt utslaget z er maksimalt ved det tids-punktet vi velger som nullpunkt for t.

0 2 4 6 8 10 12−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Tid (sek)

Utsving (cm)

A

T

0 2 4 6 8 10 12−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Tid (sek)

Utsving (cm)

A

T

Figur 1.1: En harmonisk svingning karakteri-seres ved amplitude, frekvens og fase, se teks-ten.

Velger vi et annet tidspunkt som null-punkt for vår beskrivelse, må vi legge innen korrigasjonsfase φ:

z(t) = A cos(2πt/T + φ)

3

Størrelsen 2π/T går igjen i mange beskrivel-ser for svingebevegelser, og vi forenkler skri-vingen mye ved å definere en vinkelfrekvensω (omega) som følger:

ω = 2π/T = 2πf

Vår enkle “harmoniske” svingebevegelse kanda beskrives på flere ekvivalente måter:

z(t) = A cos(ωt + φ) (1.1)z(t) = A cos(ωt) cos(φ) (1.2)

− A sin(ωt) sin(φ) (1.3)z(t) = B sin(ωt) + C cos(ωt) (1.4)z(t) = <{

Aei(ωt+φ)}

(1.5)z(t) = <{Deiωt

}(1.6)

hvor < betyr at man tar realdelen av detkomplekse uttrykket, og D er et kompleksttall. I siste to uttrykk har vi brukt Eulersformel for eksponentialfunksjonen (kompleksform):

eiα = cos(α) + i sin(α)

Richard Feynmann har sagt at Eulers formeler en juvel, og den mest oppsiktsvekkendeformel i matematikken! Formelen er fra 1748.Den er særskilt viktig fordi det er langt enk-lere å derivere og integrere en eksponential-funksjon enn en sum av sinus/cosinus-ledd.

d

dteiαt = iαeiαt

Også når uttrykkene inngår i en brøk, kanregningen bli veldig forenklet:

A

eiαt= Ae−iαt

Vi kan også få en betydelig forenkling vedmultiplikasjoner siden:

Aeiφeiαt = Aei(αt+φ)

Eulers formel danner forresten grunnlagetfor en grafisk representasjon av harmonisk

bevegelse. Tegner vi en vektor med lengde 1inn i et to-dimensjoalt plan med starten avvektoren plassert i origo, og vektoren danneren vinkel α med x-aksen, vil vi kunne skrivevektoren på følgende måte:

cos(α)x + sin(α)y

Her er x enhetsvektor i x-retning, og tilsva-rende for y. Likheten med det forrige ut-trykket er slående, forutsatt at vi oppfatt-er realdelen av uttrykket som komponenteni x-retning og imaginærdelen som kompo-nenten i y-retning. Når vi skal beskrive enharmonisk bevegelse grafisk, lar vi vektor-en rotere med en fast vinkelfrekvens ω, ogvektorens lengde blir lik amplituden og fase-leddet blir vinkelen med x-aksen ved t = 0.x-komponenten til vektoren angir da sving-ningens momentane utslag til enhver tid.Vi kaller en slik grafisk beskrivelse for enfasorbeskrivelse.

Reell

akse

Imaginær

akse

A“Fasor”ωt + φ

A cos(ωt + φ)

ω

Figur 1.2: En fasor er en vektor med en gittlengde. Fasoren roterer med en gitt vinkel-frekvens og fase, se teksten.

Fasorer er svært nyttige når vi skal adde-re flere bidrag til en bevegelse/signal medsamme frekvens. Summen av alle bidrage-ne finner vi ved ren vektoraddisjon. Spesi-elt i vekselstrømsteknikk, der vi skal addere

4

spenninger over ulike kretskomponenter vedå bruke Kirchhoffs lov, er fasorer et utmerk-et hjelpemiddel. Vi kommer tilbake til dettesiden i kurset. Også i andre sammenhengerer fasorer nyttige, men altså først og fremstnår alle bidrag vi betrakter har samme vin-kelfrekvens.

Det er viktig (!) at du lærer deg alle ut-trykkene for enkel svingebevegelse slik at dustraks kan gjenkjenne dem og at du rasktkan konvertere mellom de ulike formene. Dukommer til å møte dem i mange ulike sam-menhenger i kurset vårt!

Før vi forlater den komplekse eksponen-tialfunksjonen, som vel er ny for de fleste avdere, skal vi se på hvordan funksjonen opp-fører seg under derivasjon. Vi har fra Eulersformel:

eiωt = cos(ωt) + i sin(ωt) (1.7)

Vi deriverer eksponentialfunksjonen på van-lig måte, ved å bruke kjerneregelen:

d

dteu(t) = eu(t)du(t)

dt

I vårt tilfelle er u(t) = iωt, og vi får derfor:

d

dteiωt = iωeiωt

Dersom vi nå skriver ut siste uttrykket vedå bruke Eulers formel direkte på uttrykket,får vi:

iω(cos(ωt) + i sin(ωt))

= ω(− sin(ωt) + i cos(ωt))

Her har vi byttet rekkefølgen på leddene forå få det komplekse leddet sist. Sammenlig-ner vi nå med likning 1.7, ser vi at vi fårsamme resultat som om vi hadde deriverthøyresiden i ligning 1.7 direkte. Det er of-te arbeidsbesparende å gjøre derivasjon på

eksponentialfunksjons-varianten av et komp-lekst tall heller enn på realledd og imaginær-ledd hver for seg. Bruk av eksponentialform-en letter også løsning av differentialligningerbetydelig, noe vi skal se næremere på ganskesnart.

1.2 Dynamisk beskrivelse*

En fjær følger ofte Hook’s lov, det vil si at ut-slaget fra likevektspunktet er proporsjonaltmed kraften man trekker med. Anta at fjærahenger loddrett uten lodd i enden. Den harda en lengde L0. Henger man et lodd medmasse m i fjæra, og man venter til systemethar kommet i ro, vil fjæra ha en ny lengdeL1 som tilfredsstiller ligningen:

k(L1 − L0) = mg

hvor k er fjærkonstanten og g er tyngdensakselerasjon.

Trekker man nå loddet litt ned og slipp-er det, vil kraften som virker på loddet tilenhver tid være

F (t) = k(L(t)− L0)−mg

hvor L(t) er den momentane lengden avfjæra. Kombinerer vi de to ligningene, får vi:

F (t) = k(L(t)− L1) + k(L1 − L0)−mg

= k(L(t)− L1)

Dersom vi døper utslaget relativt til like-vektspunktet, dvs L(t)−L1 til −z(t), er kraf-ten som virker på loddet lik:

F (t) = −kz(t)

Fortegnet er valgt slik at når effektiv kraft errettet oppover, er z negativ (loddet er underlikevektspunktet).

5

L0

L1

L(t)

z(t)

I ro

I bevegelse

Figur 1.3: Definisjon av ulike lengder påfjæra med og uten lodd, se teksten.

Ifølge Newtons annen lov er kraften likmassen til loddet multiplisert med den mo-mentane akselerasjonen, med andre ord:

F (t) = mz(t) = −kz(t)

hvor vi til slutt har satt inn uttrykket forsum av krefter (fjærkraft pluss gravitasjons-kraft, regnet med positivt fortegn oppover).Her er z den dobbelt deriverte av z med hen-syn på tid (dvs akselerasjon i vertikal retningoppover), dvs

z ≡ d2z

dt2

Ligningen kan nå skrives:

z(t) = − k

mz(t)

Dette er en annen ordens homogen differen-tialligning med konstante koeffisienter, og framatematikken vet vi at denne har en generell

løsning:

z(t) = B sin(

√k

mt) + C cos(

√k

mt)

hvor B og C er to konstanter (med dimen-sjon lengde). Vi gjenkjenner denne løsningenmed ligning 1.4 ovenfor såfremt vi setter vin-kelfrekvensen ω til

ω =

√k

m

Konstantene B og C bestemmes ut fraamplituden og fasen til svingebevegelsen(det vil si at vi må bruke f.eks. initialbetin-gelsene for å bestemme bevegelsen entydig).

Hva har vi lært av denne gjennomgangen?Jo, vi har sett at et lodd som henger i en fjærog påvirkes av fjærkraft og tyngdekraften, vilsvinge pent og pyntelig i en enkel harmoniskbevegelse, opp og ned, med en gitt amplitudeog periodetid. Vi har derved “forklart” svin-gebevegelsen ved å ta utgangspunkt i Hook’slov og Newtons annen lov.

Den kinematiske beskrivelsen vi hadde iforrige delkapittel, er identisk med løsningenav den dynamiske ligningen vi satte opp idette delkapitlet ut fra Newtons annen lov.

1.3 Dempede svingninger*

Ingen makroskopiske svingninger varer vedi det uendelige uten at det tilføres energi.Grunnen er at det alltid vil være krefter somforsøker å motsette seg bevegelsen. Vi kallerdisse for friksjonskrefter.

Friksjonskrefter kan være vriene å forhol-de seg til, for det er komplisert fysikk i gren-seland mellom atomær og makroskopisk be-skrivelse som ligger bak. En grunnleggendeforståelse av friksjon har man først begynt å

6

få de siste tiår, fordi denne del av fysikkener nesten helt avhengig av omfattende mo-dellering ved hjelp av datamaskiner.

Friksjon i luft er et eksempel på komplek-sitet. Selv en klassisk måte å beskrive dennefriksjonen på innebærer at vi bør ha med toledd:

F = −bv − dv2

Her er fortegnet tatt med for å indikere atfriksjonskraften virker i motsatt retning avhastigheten v. Her er b og d konstanter, detvil si d er faktisk ikke en konstant en gang,men endrer seg med hastigheten.

Det betyr at dersom man skal forsøke åbeskrive en opprinnelig harmonisk bevegel-se når friksjon innføres, får man et overor-dentlig vrient problem dersom man vil be-regne bevegelsen analytisk. Med numeriskemetoder er det langt, langt enklere. Men deter mulig å bruke analytiske metoder der-som vi gjør forenklingen å sette friksjons-kraften kun lik −bv. Beskrivelsen vi da fårer brukbar dersom man begrenser seg tilå betrakte langsomme bevegelser i luft (enmer presis angivelse av hva som menes med“langsom” finner du annetsteds, og er basertpå Reynolds tall).

Siden det ikke er noe spesiell heksekunstå løse den aktuelle forenklede differential-ligningen, tar vi den utfordringen! Løsnings-metoden kan det være nyttig å kjenne til for-di vi vil bruke komplekse eksponenter og fårvist formalismens eleganse. Dessuten er det-te standard, klassisk lærebokfysikk, og resul-tatene er attpåtil nyttige i mange sammen-henger.

Utgangspunktet er som før Newtons an-nen lov, og vi anvender den for et lodd somsvinger sakte opp og ned i enden av en fjær,loddet beveger seg i luft. Ligningene kan nåskrives:

ΣF = ma ≡ mz

−kz(t)− bz(t) = mz(t)

z(t) +b

mz(t) +

k

mz(t)+ = 0

Dette er en homogen annen ordens differen-tialligning, og vi forsøker oss med en løsningav typen:

z(t) = Aeαt (1.8)

MERK: Her antar vi at såvel A og α kanvære komplekse tall. Derivering av en eks-ponentialfunksjon er som vi allerede har settenkel, og vi får ved innsetting (og til sluttforkorting med eksponential-leddene og fak-toren A):

α2 +b

mα +

k

m= 0

Vi omdøper brøkene for å få et enklere slutt-uttrykk:

b

m≡ 2γ

k

m≡ ω2

Ligningen blir da:

α2 + 2γα + ω2 = 0

Dette er en vanlig kvadratisk ligning som harfølgende løsning (når faktoren 2 i det vanligeløsningsuttrykket er forkortet bort):

α = −γ ±√

γ2 − ω2 (1.9)

Vi skiller her mellom tre ulike former for løs-ninger alt etter fortegn under rottegnet:

• γ > ω : Overkritisk demping.Dette tilsvarer at den maksimale frik-sjonskraften er større enn en viss pro-sentdel av den maksimale effektive fjær-kraften som forsøker å dra loddet tilba-ke til likevektspunktet. Dette kan ogsåangis på følgende måte: b > 2

√km.

7

I dette tilfellet er såvel A som α reelletall, og en generell løsning blir:

z(t) = A1e(−γ+

√γ2−ω2)t (1.10)

+ A2e(−γ−

√γ2−ω2)t (1.11)

Det er altså en sum av to eksponentieltavtakende funksjoner, der den ene gårraskere mot null enn den andre. Det fin-nes ikke noe spor av svingning i beveg-elsen.

Merk at A1 og A2 for visse initialbetin-gelser kan ha forskjellige fortegn, og attidsforløpet derfor kan by på overrask-elser!

• γ = ω : Kritisk demping.Friksjonskraften og effektiv fjærkraftmatcher nå hverandre på en slik måteat bevegelsen blir spesielt enkel. Tar viutgangspunkt i likning 1.8 og 1.9, finnerman én løsning: Den kan beskrives somen enkel eksponentialfunksjon:

z(t) = Ae−γt

Vi vet imidlertid fra matematikken atdet må finnes to valgfrie konstanter i engenerell løsning av en annen ordens dif-ferentialligning for å kunne tilfredsstil-le initialbetingelsene. Vi har derfor ikkefunnet den fulle løsningen ennå. Denfulle løsningen finner vi ved å benytteen metode kalt “reduksjon av orden”. Vibruker da en prøveløsning av typen:

z(t) = f(t)eαt

Settes denne prøveløsningen inn i vårdifferentialligning når γ = ω, finner vinokså raskt at f = 0, og etter to gangersintegrering mhp t finner man til sluttden endelige generelle løsningen:

z(t) = Ae−γt + Bte−γt

Kritisk demping svarer i mange tilfel-ler til den raskeste dempingen for etsystem, og er den man etterstreber forf.eks. bilfjærer.

0 1 2 3 4 5

−0.5

0

0.5

1

Tid (sek)Utsving (m) Overkritisk

Underkritisk

Kritisk

Figur 1.4: Eksempler på overkritisk, kritiskog underkritisk demping av en svingning somville vært harmonisk dersom det ikke fantesfriskjon. Det er en faktor fire mellom frik-sjonen i de ulike variantene.

• γ < ω : Underkritisk demping.I dette tilfellet blir α i likning 1.9 komp-leks, og det medfører at vi får en løsningsom inneholder såvel en ekspoentielt av-takende faktor som sinus/cosinus-ledd.Fra ligning 1.9 får vi da:

α = −γ ±√

γ2 − ω2 (1.12)= −γ ± iω′ (1.13)

hvor ω′ ≡√

ω2 − γ2 er et reelt tall. Dengenerelle løsningen blir da:

z(t) = e−γt<(Aeiω′t + Be−iω′t)

Denne løsningen kan skrives på en enk-lere måte slik:

z(t) = e−γtA cos(ω′t + φ)

Her er det konstantene A og φ som måbestemmes for at den generelle løsnin-gen skal bli til en konkret løsning for

8

et gitt fysisk system. Vi ser at utsla-get vil oscillere på begge sider av li-kevektspunktet mens amplituden avtarmot null. Svingefrekvensen er lavere ennom vi ikke hadde demping (noe som ernaturlig siden friksjonen forsøker å sak-ke av på all bevegelse).

Det er vanlig i lærebøker å ta med en figursom viser typisk tidsforløp for en dempet be-vegelse, og vi følger opp tradisjonen i figur1.4. Det bør imidlertid bemerkes at slike fi-gurer kan være svært misvisende, for de tarofte utgangspunkt i at hastigheten er lik nullved tiden lik null (slik vi også har gjort vedvår figur). I en oppgave sist i kapittelet ber videg om å undersøke hvordan f.eks. en over-kritisk bevegelse ser ut for noen andre ini-tialbetingelser, og da vil du se at løsnings-mengden er langt mer mangfoldig enn detde tradisjonelle figurene tilsier!

1.4 Tvungne svingninger*Foucault-pendelen i vestibylen på Fysikk-byggget svinger med samme amplitude i åretter år, selv om den blir påvirket av luft-friksjon som i prinsippet skulle gitt en dem-pet bevegelse. Grunnen er at pendelen får etlite dytt hver gang den passerer det laves-te punktet (elektromagnetisk dytt). Dyttetkommer akkurat på det tidspunktet pende-len er på vei bort fra likevektspunktet. Påden måten er svingetiden praktisk talt full-stendig bestemt av pendelens egen naturli-ge svingetid (gitt av pendellengde og jordensgravitasjon).

I andre sammenhenger kommer “dyttene”i en annen takt enn systemet selv kunne øns-ket å bevege seg. Elektroner i en antenne,membranen i en høyttaler, en båt som vugg-er fra side til side når bølger passerer er alleeksempler på systemer som blir påtvunget en

svingebevegelse ut fra en ytre kraft som va-rierer i tid helt uavhengig av systemets egenbevegelse. Vi snakker da om tvungne sving-ninger.

Den ytre tidsavhengige kraften kan i prin-sippet variere på uendelig mange måter, menen interessant underklasse er karakterisertved en harmonisk tidsvarierende kraft, detvil si som en sinus eller cosinusfunksjon. Der-som vi holder oss til den enkle friksjonsbe-skrivelsen vi benyttet i forrige underkapittel,og nøyer oss med harmoniske ytre krefter,kan vi løse problemet analytisk.

Utgangspunktet blir igjen Newtons annenlov: Sum av krefter er lik masse ganger ak-selerasjon:

F cos(ωF t)− kz(t)− bz(t) = mz(t)

hvor F cos(ωF t) er den ytre kraften somsvinger med sin egen vinkelfrekvens ωF . Lig-ningen kan også skrives slik:

mz(t) + bz(t) + kz(t) = F cos(ωF t) (1.14)

Dette er en inhomogen annen ordens diffe-rentialligning, og den har en generell løsningav typen:

z(t) = zh(t) + zp(t)

hvor zh er en generell løsning av den til-svarende homogene diffligningen (F satt liknull), mens zp er en partikulær løsning avden fulle inhomogene diffligningen. Vi har al-lerede funnet den generelle løsningen av dentilsvarende homogene ligningen (på en kons-tant faktor m nær), så utfordringen blir åfinne en partikulær løsning.

Vi vet at løsningen av den homogene lig-ningen avtar mot null. Når det er gått langtid fra oppstart, vil vi derfor ha en beveg-else som er dominert av den ytre periodiske

9

kraften. Det er da naturlig å forsøke om enpartikulær løsning kan ha følgende form:

zp(t) = AeiωF t (1.15)

Samtidig velger vi å skrive også den ytrekraften på eksponentiell form slik:

F (t) = F cos(ωF t) → FeiωF t (1.16)

Her er det underforstått at vi bare benytterden reelle delen av uttrykket.

Vi setter disse to uttrykkene (for zp(t) ogF (t)) inn i ligning 1.14 og etter å ha forkortetbort den felles faktoren eiωF t får vi:

−mω2F A + ibωF A + kA = F

Denne ligningen skal da holde i alle fall forrealdelen av uttrykket. Løser mhp A:

A(−mω2F + ibωF b + k) = F

A =F

k −mω2F + ibωF

(1.17)

Vi ser at vi har endt opp med at A er etkomplekst tall (bortsett fra dersom b = 0).Hva betyr det?

Sammenligner vi ligning 1.15 og 1.16,skjønner vi at siden A er kompleks, vil ut-slaget z(t) ikke være i fase med den påtryktekraften F (t) (bortsett fra når b = 0). Detteer et viktig karakteristisk trekk for tvungnesvingninger.

1.4.1 Resonans*

Vi skal straks vise matematisk at utslagetalltid vil ligge etter i tid sammenlignet medtidsvariasjonen i kraften. Når vi får overførtaller mest energi fra kraften til det svingendesystemet, er faseforskjellen om lag π/2 (dvs90o). Svingningene blir da aller kraftigst, ogvi kaller dette for resonans.

Vi kan studere disse detaljene videre vedførst skrive A i ligning 1.17 som en reelllengde (på en fasor) multiplisert med et “fa-seledd” (som gir retningen på fasoren). Vibetakter kun nevneren foreløpig:

B = (k −mω2F ) + ibωF

og omformer uttrykket litt:

B = m{( k

m− ω2

F ) + ib

mωF}

Vi husker at systemets egen naturlige svin-gefrekvens (uten demping) er git ved ω =√

k/m. Følgelig kan vi skrive:

B = mω2{(1− (ωF

ω)2) + i

b

mω

ωF

ω}

Vi innfører symbolet r for å angi forholdetmellom frekvensene:

r =ωF

ω(1.18)

og omformer den felles konstanten og imagi-nærleddet litt videre, og får:

B = k{(1− r2) + ib√mk

r}

Da skriver vi endelig B som en lengde gangeret fasorfase-ledd:

B = k

√(1− r2)2 +

b2

mkr2 · eiθ

Hvor fasen θ er gitt ved:

tan(θ) =

b√mk

r

1− r2

eller:

θ = arctan{ b√mk

· r

1− r2} (1.19)

10

0 0.5 1 1.5 2 2.50

40

80

120

160

Relativ frekvens

Fa

se

skift (g

rad

er) Liten demping

Q = 10

Stor demping

Q = 0.5

Q = 2

Figur 1.5: Faseskift mellom påtrykt kraft ogsystemets utsving når påtrykt frekvens end-res relativt til systemets naturlige svingefrek-vens (r er forholdstallet mellom disse). Merkat ved resonans ligger utslaget om lag 90 gra-der etter den påtrykte kraften..

B var nevneren i uttrykket for A (ligning1.17), følgelig får vi:

A =F

k√

(1− r2)2 + b2

mkr2

· e−iθ

Alternativt kan vi skrive:

A = A0e−iθ

hvor amplituden A0 er gitt ved:

A0 =F

k√

(1− r2)2 + b2

mkr2

(1.20)

Og vi får endelig ( ved å bruke ligning 1.15)et uttrykk som beskriver bevegelsen for den-ne partikulære løsningen av vår opprinneligedifferentialligning:

zp(t) = A0ei(ωF t−θ) (1.21)

Her er A0 reell, og når vi da holder oss tilrealdelen av uttrykket, kan løsningen ogsåskrives på den vanlige måten:

zp(t) = A0 cos(ωF t− θ)

Dette uttrykket er en generell løsning forsvingeforløpet til et system som utsettes foren ytre harmonsik kraft som fører til tvung-ne svingninger. Løsningen gjelder bare nårkraften har virket så lenge at mer kompli-serte svingeforløp i starten har dødd ut.

Ligningene 1.19 og 1.20 kan gi oss uttrykkfor hvilken frekvens den påtrykte kraften måha for å få resonans. Vi opererer faktisk medto ulike typer resonans, nemlig faseresonansog amplituderesonans. Faseresonans er ka-rakterisert ved at faseforskjellen mellom ytrekraft og utslag er 90 grader. Fra ligning 1.19,ser vi at dette svarer til at tan θ = ±∞ hvil-ket vil si at r = 1 som i sin tur gir:

ωF = ω =√

km

Følgelig (ved å gå over fra vinkelfrekvens tilfrekvens):

ffaseresonans =1

2πω

= fuforstyrret−svingefrekvens

For amplituderesonans må vi finne mini-malverdien til radikanden i rottegnet i nev-neren til A0 i ligning 1.20. Vi deriverer inn-holdet i rottegnet mhp ωF og setter dennelik null:

{2(1− r2)(−2r) + 2b2

mkr} · 1

ω= 0

1− r2 − b2

2mk= 0

r =

√1− b2

2mk

ωF =

√1− b2

2mk· ω

Resonansfrekvensen er 12π

av vinkelfrekven-sen, altså:

famplituderesonans =1

2π

√1− b2

2mk· ω

11

=

√1− b2

2mk· fuforstyrret−svingefrekvens

Vi ser at de to resonansfrekvensene sam-menfaller kun dersom dempingen b er liknull, men ellers ikke. Det henger sammenmed det vi fant da vi betraktet dempetsvingning foran. Frekvensen for svingning-ene er noe lavere når demping forekommerenn uten demping. Bevegelsen har jo en ten-dens til å bli saktere når man har demping iet system enn ellers.

1.4.2 Kvalitetsfaktor Q*

For tvungne svininger er det vanlig å karak-terisere systemet med en såkalt Q-faktor. Qstår for “quality”, så faktoren kalles også gjer-ne for kvalitetsfaktoren på norsk. Faktorensier oss noe om hvor lett det er å få syste-met til å svinge. Dette er mer eller mindreensbetydende med hvor lite tap/friksjon deter. Kvalitetsfaktoren for et mekanisk systemsom vårt er definert som:

Q =mω

b=

√mk

b2(1.22)

Vi ser av selve formelen at jo mindre b er,desto høyere blir kvalitetsfaktoren Q.Vi serogså at det i prinsippet er lettere å få enhøy kvalitetsfaktor for et system som har høyresonansfrekvens sammenlignet med et somhar lav resonansfrekvens.

Figur 1.6 viser hvordan svingeamplitudenvarierer med den påtrykte kraftens frekvens,og hvordan kvalitetsfaktoren spiller inn. Q-verdi på 0.5 svarer i dette tilfellet til kritiskdemping, og vi ser ingen antydning til noeresonans for så stor demping.

Det finnes også en annen og kanskje mergenerell måte å definere Q-verdi på:

Q = 2πLagret energi

Tap av energi pr periode(1.23)

0 0.5 1 1.50

2

4

6

8

Frekvens (rel f )

Svin

ge

am

plit

ud

e (

rel)

Q = 8

4

2

0.5

Figur 1.6: Når frekvensen til den påtryktekraften endrer seg relativt til systemets egensvingefrekvens, vil ampituden bli størst nårde to frekensene er omtrent like store. Johøyere kvalitetsfaktor Q (dvs jo mindre tap),desto større blir amplituden ved resonans.

Det kan vises at man kan måle Q-verdiengrafisk ut fra eksperimentelle målinger påfølgende måte: Man lager et plot som viserenergi i det svingende systemet som funksjonav frekvens. Man finner så halvverdi-bredden∆f og relaterer denne til resonansfrekvensenf0. Q-verdien er da gitt som:

Q =f0

∆f

Q-verdier for ulike svingende systemer kanvariere fra 0.5 (som svarer til kritisk demp-ing) til mange tusen.

Det er en spesiell detalj med hensyn tilkvalitetsfaktor få kjenner til, men som ersærdeles viktig i mange sammenhenger. Viser av likning 1.23 at et svingesystem medhøy Q-verdi bare mister en bitte liten del avden totale energien pr periode. Tap av energierstattes gjennom virkningen av den påtryk-te kraften når vi har oppnådd en stabil til-stand (kraften har virket lenge og fortsattvirker).

Anta nå imidlertid at vi kutter ut den ytrepåtrykte kraften. Da vil energien i systemet

12

f

0

E /2

E

Frekvens

Svin

ge

-en

erg

i

max

max

0

∆ f

Figur 1.7: Q-verdi kan også defineres ut fraen grafisk fremstilling av energi lagret i svin-gesystemet versus frekvens. Q-verdien er dagitt som resonansfrekvensen f0 dividert påhalvverdibredden ∆f .

etter hvert forsvinne, men det vil ta i størrel-sesorden 2πQ perioder før energien er bruktopp og svingningen slutter.

For en høykvalitets svingekavitet som bru-kes i mikrobølgeområdet kan man nokså lettoppnå Q-verdier på 10 000 eller mer. Dersomman ønsker å bruke en slik kavitet i tidsopp-løst (f.eks. pulset) mikrobølge-spektroskopiav en eller annen art, vil tidsoppløsningenvære bestemt av hvor raskt man kan byg-ge opp energi og tømme energi fra svin-gekretsen. Ut fra argumentasjonen over, vildet ta i størrelsesorden 60 000 perioder frakaviteten er fylt opp til den er noenlun-de tom. Dersom mikrobølgefrekvensen er 10GHz (1010 Hz), vil decay-tiden vare i stør-relsesorden 6 mikrosekunder. Dersom manstuderer nokså langsomme atomære proses-ser, kan dette være akseptabelt, men ofte erdette ikke tilfelle. Det betyr at man ofte måoperere med betydelig lavere Q-verdier enndet som er mulig å oppnå, dersom man skalstudere tidsfenomener som nærmer seg pe-riodetiden for systemet man betrakter.

Vi har hittil fokusert på avklingingsforløp-et, det vil si at svingningen etter hvert stop-

per opp etter at den ytre kraften har opp-hørt. Det er imidlertid en helt tilsvarendesak som gjelder ved oppstart av svingnin-gen. Jo høyere Q-verdi, desto flere periodermå kraften virke i før man oppnår tilnærmeten stabil svingetilstand.

1.5 Numerisk beregning*

I “gamle dager” (det vil si for mer enn ti år si-den) lærte studentene bare å håndtere enkleharmoniske svingninger, det vil si rene sinus-svinginger. Dersom man studerte en pendel-bevegelse f.eks., nøyde man seg med “små ut-slag”. Grunnen var enkel: Det er nesten bareenkel harmonisk bevegelse man kan håndteredersom man bare har analytisk matematikki verktøykassen.

Dere som er studenter her ved UiO harlært å bruke numeriske metoder ved løsningav fysikkproblemer. Da er det ofte omtrentlike enkelt å bruke en realistisk, ikke tilnær-met beskrivelse av en bevegelse som en idea-lisert forenklet beskrivelse.

Mange har brukt numeriske metoder i tid-ligere kurs, så vi skal nøye oss med en rask re-petisjon av noen hovedtrekk. Mange av pro-blemstillingene i vårt kurs er knyttet til opp-integrering av differentialligninger som be-skriver de prosessene vi er interessert i. Deter mange mulige måter å foreta denne opp-integreringen på; mest kjent er kanskje Eu-lers metode, baklengs Euler, midtpunktsme-toden, leapfrog-metoden og sist, men ikkeminst, Runge-Kutta metoden(e). De flesteav dere vet at man lett kan få en systemat-isk feil ved de enkleste metodene, og dere harundersøkt metodenes nøyaktighet med meretidligere. I dette kurset vil vi anta at detteer kjent og vi vil bare bruke standard me-toder som vi vet vil fungere godt i de flestetilfeller.

13

Dersom du ønsker oppfrisking av opp-integrering av differentialligninger, anbefa-les tidligere lærebøker/kompendier og/ellerat du slår opp på Eulers metode og Runge-Kutta på engelsk Wikipedia, og leser de del-ene du synes du har utbytte av (og lar restenligge).

En generell pseudokode for våre numeriskeoppgaver kan forsøksvis se slik ut:

• Før du setter deg til datamaskinen, mådu ha etablert differentialligningen sombeskriver bevegelsen vi er interessert i.Tenk gjennom hvordan du kan finne/-bestemme alle størrelser som inngår idifferentalligningen. Bestem deg for ini-tialverdier.

• Gå til datamaskinen ...

• Skriv inn programmet: Definer alle va-riable du trenger og gi dem deres ver-dier, blant annet oppløsningen (N) duskal bruke i oppintegreringen.

• Nullstill arrays, eller gi arrays verdier.

• Slå sammen alle uttrykk av faste kons-tanter som skal brukes i hovedløkken (senedenfor), slik at du ikke får flere reg-neoperasjoner enn nødvendig i løkken.

• Angi initialbetingelser.

• Gå inn i en løkke der du foretaroppintegreringen av differentialligning-en, f.eks. ved hjelp av fjerde ordensRunge-Kutta.

• Bearbeid dataene videre dersom det erønskelig.

• Plot resultatene eller presenter dem påannet vis. Lagre data på fil dersom deter ønskelig.

• Sjekk at programmet gir korrekt resul-tat for en forenklet versjon av problemetsom også kan løses analytisk.

• Gjenta beregningene med ulik oppløs-ning (ofte ∆t) for å se hvor mange punk-ter som trengs for å få god overensstem-melse med det analytiske svaret, eller atresultatet i liten grad avhenger av mo-derate endringer i oppløsning.

• Tenk minst to ganger gjennom hva duhar gjort i beregningene og hvilke resul-tater du har fått, og forsøk å oppdagefaktorer som kan ha ødelagt for kvalite-ten i beregningene.

• Tenk også gjennom om den presenta-sjonsformen du har valgt er tilstrekkeligfor det vi ønsker å studere i beregnin-gene. Ofte er enkle plot ok, men mankan sjeldent lese ut nøyaktige detaljerfra et plot, i alle fall ikke uten at manhar valgt helt spesielle plot som egnerseg akkurat for det du vil vise.

Mens du driver med programutviklingenog testingen er det viktig å lagre program-met flere ganger underveis, og helst skiftenavn (versjons nummer) noen ganger i til-felle noe katastrofalt skjer. Da slipper du åmåtte starte helt fra nytt av om du misteralt i en fil. Det er også lurt å teste ut del-er av programmet underveis når det lar seggjøre.

1.5.1 Enkel pendel*

La oss ta et konkret eksempel: En tilnærmetmatematisk pendel som kan svinge med vil-kårlig stort utslag (opp til ±π) uten å klappesammen (dvs snora er “stiv”). Vi regner at allmasse ligger i en bitte liten kule i enden avsnora.

14

Fra FYS-MEK 1100 vet vi at kraftensom trekker pendelen langs banen mot like-vektspunktet er

Fθ = −mg sin θ

når vinkelutslaget er θ. Kraftmomentet om-kring opphengspunktet for en pendel medlengde L er:

τ = −mgL sin θ

Spinnsatsen anvendt omkring opphengs-punktet gir:

τ = Iα = Iθ

Her er α = θ vinkelakselerasjonen. I er treg-hetsmomentet om opphengspunktet, og vivelger enkleste beskrivelse:

I = mL2

og ender opp med den endelige differential-ligningen:

mL2θ = −mgL sin θ

θ = − g

Lsin θ

Tidligere har dere løst denne ligningen vedå anta at vinkelen θ er så liten at sin(θ) ≈ θog fant da en enkel harmonisk bevegelse medsvingefrekvens (vinkelfrekvens) gitt ved:

ω =

√g

L

Tilnærmingen sin(θ) ≈ θ ble gjort for åkunne bruke analytiske metoder. Denne til-nærmingen var ikke helt nødvendig i akku-rat dette spesielle tilfellet, fordi man kan lø-se den opprinnelige differentialligningen ogsåstore vinkler ved å benytte seg av rekkeut-viklingen til sinusfunksjonen. Det er imidler-tid enklere å bruke numeriske metoder. Re-sultatet av numeriske beregninger hvor man

0 2 4 6 8 10 12−3

−2

−1

0

1

2

3

Tid (sek)Utsving (radianer)

0 2 4 6 8 10 12−0.2

−0.1

0.0

0.1

0.2

Tid (sek)

Utsving (radianer)

Figur 1.8: En pendel svinger harmonisk nårutslaget er lite, men svingeforløpet endresmye når svingevinkelen øker. Også svinge-tiden endres. Forøvrig: Se teksten.

bruker fjerde ordens Runge Kutta, er vist ifigur 1.8. Vi ser at bevegelsen er nær harmo-nisk for et lite vinkelutslag, men svært for-skjellig for et stort.

Fordelen med å bruke numeriske metod-er kommer bare delvis til syne i dette eks-emplet. Men dersom vi ville inkludere frik-sjon, ville numerikken være overlegen sam-menlignet med en rent analytisk behandling.I numerikken kan vi til og med trekke innikke-lineær, ganske komplisert beskrivelse avfriksjon ganske greit. Selve rammeverket foroppintegreringen ville bli som før.

Siden mer eller mindre hele hovedstruktu-ren i dataprogrammet ville være den samme,uansett hvilken beskrivelse vi har av effektivkraft som virker på systemet, faller fokus vedbruk av numeriske metoder lett på kraftenog derved fysikken i problemet! Hvilken kraft

15

gir hvilket resultat? Vi slipper å pønske påulike til dels vrine analytiske løsningsmeto-der og triks hver gang kraften endres. Fokusblir der den bør være: På utgangspunktetsom er effektiv kraft og differentialligningensom gjelder, hvilke initialbetingelser vi har,og endelig hvilket resultat vi får.

Man bør likevel huske, som alltid ved brukav numeriske metoder, at det er gull verdt åha et forenklet analytisk uttrykk tilgjenge-lig for å kontrollere beregningene våre (i etforenklet tilfellet).

1.6 Et hovedpoeng*

Svingninger forekommer når et system har etlikevektspunkt og påvirkes av en kraft somforsøker å dytte systemet tilbake til likevektdersom det ikke er der allerede. Matematiskkan dette skrives:

x = −ax

der x er utslaget i svingebevegelsen og a eret reelt, positivt tall.

For et mekanisk system er det oftest New-tons annen lov som er basis for svingelignin-gen. Også andre ledd kan inngå i ligningen,men de to gitte leddene må alltid være tilstede.

For å løse svingelingningen entydig, måman kjenne to egnede initialbetingelser.

1.7 Oppgaver

MERK: For alle oppgaver gjelder en gene-rell regel at riktig svar alene kun gir om-trent halvparten så god uttelling som omman i tillegg til riktig svar gir begrunnelserog angir forutetninger og tilnærminger mangjør o.l. Denne generelle regelen må brukes

med skjønn siden oppgaver kan være ganskeforskjellige i utgangspunktet. Regelen gjelderselvfølgelig også ved vurdering av eksamens-oppgaver, så det er lurt å øve inn gode vanerpå dette området så snart som mulig i tilfel-le du ikke er helt vant med dette fra tidligerekurs.

1. Dersom en fjær kuttes på midten, hvil-ken fjærkonstant får da hver av delenesammenlignet med konstanten for denopprinnelige fjæra? Hvor stor blir svin-getiden for et lodd i enden av den halvefjæra sammenlignet med svingetiden forloddet i den opprinnelige fjæra?

2. Anta at vi har et lodd i en fjær som svin-ger opp og ned med en bestemt periode-tid. Vi tar det svingende loddet med ossinn i en heis og starter heisen oppover.Vil periodetiden endres? Forklar.

3. Anta at vi gjør som i forrige oppga-ve, men har en pendel i stedet for etlodd i en fjær. Vil periodetiden for pen-delsvingningene endres?

4. En god sprettball kan hoppe opp og nedmange ganger mot en hard horisontalflate. Er dette en harmonisk bevegelseslik vi har brukt ordet i vår tekst?

5. I teksten er det brukt en vag formule-ring om tilpasning mellom fjær, masseog utslag for at vi skal ha mulighet forå få en tilnærmet harmonisk svingebe-vegelse. Kan du gi eksempler på hvilkeforhold som kan ødelegge for en harmo-nisk bevegelse for svingningen i en fjær?

6. En svingebevegelse er gitt ved x(t) =4.7 sin(ωt)−3.1 cos(ωt). Omform denneligningen til den kommer på formen gitti ligning 1.1.

16

7. En annen svingebevegelse er gitt vedy(t) = <((−5.8 + 2.2i)eiωt). Omformdenne ligningen til den kommer på for-men gitt i ligning 1.1 såvel som formengitt i ligning 1.5.

8. En fjær henger vertikalt i et stativ. Utennoe lodd er fjæra 30 cm lang. Heng-er man et 100 g lodd i enden, strekkesfjæra, og fjæra er 48 cm lang når loddethar kommet til ro. Man trekker så lod-det 8.0 cm loddrett nedover, holder lod-det i ro, og så slipper det. Finn svingeti-den for bevegelsen. Angi et matematiskuttrykk som kan beskrive svingebeveg-elsen. Finn maksimal og minimal kraftsom virker mellom loddet og fjæra.

9. Et svingende lodd i en fjær beveger segmed en frekvens 0.40 Hz. Ved tiden t= 2.0 sek har loddet posisjonen + 2.4cm over likevektsposisjonen, og hastig-heten til loddet er - 16 cm/sek. Finnakselerasjonen til loddet ved tiden t =2.0 sek. Finn en matematisk beskrivelsesom passer til bevegelsen.

10. For å finne en spesiell løsning av diffe-rentialligningen som beskriver en svin-gebevegelse trenger vi to uavhengigeopplysninger om bevegelsen, f.eks. ini-tialbetingelsene posisjon og hastighet.Kjennskap til posisjon og hastighet dan-ner grunnlaget for mangt en beskrivelseav en svingebevegelse. Lag et plot somviser posisjon langs x-aksen og hastig-het langs y-aksen for et lodd som svin-ger opp og ned i enden av en fjær. Vihar da laget et plot som viser bevegels-en i faserommet. Hvilken form får plot-tet i vårt tilfelle? Hvilken fordel kan etslikt plot ha sammenlignet med et plotav utslag versus tid?

11. Et lodd som veier 1.00 N henges i endenav en lett fjær med kraftkonstant 1.50N/m. Lar vi loddet svinge opp og ned,er periodetiden T . Dersom vi i stedet larloddet komme til ro, og trekker det littut til siden og slipper det, vil pendelbe-vegelsen ha en periodetid T/2 (utslageti pendelbevegelsen er svært lite). Hvil-ken lengde har fjæra uten lodd?

12. Anta at vi har to fjærer med ulik fjær-konstant. Fjærene kan kobles sammenenten i parallell eller i serie. Finn et ut-trykk for svingetiden til et lodd medmasse m som henger i enden enten av deparallellkoblede eller seriekoblede fjære-ne. Loddet kan også spennes fast mel-lom de to fjærene (som da begge erstrukket en viss lengde. Kan du finne etuttrykk for svingetiden til loddet i dettetilfellet også?

13. Ved gammeldags radiomottaking i mel-lombølgeområdet brukte man svin-gekretser bestående av en induktans(spole) og en kapasitans (kondensator)for å skille en radiostasjon fra en annen.Radiostasjonene tok opp 9 kHz på frek-vensbåndet, og to radiostasjoner kunneligge så tett som 9 kHz. For at manskulle kunne skille en radiostasjon fraen annen, måtte da mottakerens ha envariabel resonanskrets som kunne inn-stilles slik at den passet til en radio-stasjon, men ikke til en annen. Frek-vensen på Stavanger-senderen var 1313kHz. Hvilken Q-faktor måtte radiomot-takerens resonanskrets ha? [Disse be-traktningene er fortsatt gjeldende i vårmoderne tid, selv om vi digitalteknikk-en gir visse endringer.]

14. NUMERISK: Lag et lite Matlab ellerPython-program hvor du kan beregne

17

bevegelsen til et overkritisk dempet sys-tem. Forsøk flere ulike initialbetingels-er (kan godt holde posisjonen konstant,men varier hastigheten, både i positivog negativ retning. Beskriv hvilke typ-er bevegelser du kan få. Gjenta så desamme beregningene (i alle fall noen ut-valgte noen) for kritisk demping. Er detnoen forskjell mellom overkritisk og kri-tisk demping? Kan du forklare resul-tatet? (PS: I denne oppgaven behøverdu ikke oppintegrere differentialligning-en, men ta tak i den analytiske løsning-en direkte.)

18