Innovación docente e Innovación docente e investigación educativa en investigación educativa en

MatemáticasMatemáticas

Pablo Flores MartínezPablo Flores MartínezDepartamento de Didáctica de la Departamento de Didáctica de la

MatemáticaMatemáticaUniversidad de GranadaUniversidad de Granada www.ugr.es/local/pflores

pflores@ugr.espflores@ugr.es

Innovación docente e investigación Innovación docente e investigación educativa en Matemáticaseducativa en Matemáticas

PROGRAMAPROGRAMA

1ª Parte 1ª Parte GenéricGenéricaa

1. Innovación y Calidad en Educación Secundaria.1. Innovación y Calidad en Educación Secundaria.

2. Procesos de Investigación Educativa I (modelos cuantitativos) 2. Procesos de Investigación Educativa I (modelos cuantitativos)

3. Procesos de investigación Educativa II (modelos cualitativos) 3. Procesos de investigación Educativa II (modelos cualitativos)

4. Instrumentos de recogida de datos en educación (encuesta, 4. Instrumentos de recogida de datos en educación (encuesta, entrevista, observación, etc.) entrevista, observación, etc.)

5. Tipos de informes y proyectos (fuentes de datos y tipos de informes 5. Tipos de informes y proyectos (fuentes de datos y tipos de informes

y proyectos de investigación).y proyectos de investigación).

2ª Parte2ª Parte

EspecífiEspecíficaca

a) Innovación en Educación a) Innovación en Educación MatemáticasMatemáticas

b) b) Recursos y Materiales Recursos y Materiales didácticos para innovardidácticos para innovarc) Investigación en Enseñanza de c) Investigación en Enseñanza de las Matemáticaslas Matemáticas

Innovación docente e investigación Innovación docente e investigación educativa en Matemáticaseducativa en Matemáticas

SesiónSesión Contenido 2ª ParteContenido 2ª Parte

1) 21/11) 21/1 Presentación. Innovación en Presentación. Innovación en Educación MatemáticaEducación Matemática

2) 21/12) 21/1 Materiales y Recursos en Ed. Materiales y Recursos en Ed. MatemáticaMatemática

3) 25/13) 25/1 Materiales enseñanza de Materiales enseñanza de NúmerosNúmeros

4) 28/14) 28/1 Materiales enseñanza de la Materiales enseñanza de la GeometríaGeometría

5) 28/15) 28/1 Materiales enseñanza del Materiales enseñanza del símbolosímbolo

6) 01/26) 01/2 Nuevas tecnologías en Ed. Nuevas tecnologías en Ed. MatemáticaMatemática

7) 02/27) 02/2 Proyecto de InnovaciónProyecto de Innovación

8) 04/28) 04/2 Investigación en Educación Investigación en Educación MatemáticaMatemática

(a)

(c)

(b)

Innovación docente e investigación Innovación docente e investigación educativa en Matemáticaseducativa en Matemáticas

Ideas del cursoIdeas del curso: El Profesor se va a : El Profesor se va a enfrentar a:enfrentar a:

- Cambios curriculares (tiene que estar - Cambios curriculares (tiene que estar abierto críticamente a ellos)abierto críticamente a ellos)

- Situaciones novedosas que requieren - Situaciones novedosas que requieren innovar, teniendo en cuentainnovar, teniendo en cuenta

- Déficit educativos observados, problemas Déficit educativos observados, problemas educativoseducativos

- Líneas prioritarias curricularesLíneas prioritarias curriculares- Lo que se ha investigado sobre el problemaLo que se ha investigado sobre el problema- Conocer recursos educativos adecuadosConocer recursos educativos adecuados

VISIÓN ESPACIAL

Con una hoja de papel, hacer la siguiente figura:

Innovación docente e investigación educativa en MatemáticasInnovación docente e investigación educativa en Matemáticas. . Sesiones 4 y 5: Materiales y recursos Sesiones 4 y 5: Materiales y recursos

para Geometría y Álgebrapara Geometría y Álgebra

1.1. La enseñanza y aprendizaje de la La enseñanza y aprendizaje de la geometríageometría

2.2. Materiales para la enseñanza y Materiales para la enseñanza y aprendizaje de la geometríaaprendizaje de la geometría

3.3. Materiales para la enseñanza del Materiales para la enseñanza del álgebraálgebra

4.4. ConclusionesConclusiones

Junta de Andalucía (2007) Junta de Andalucía (2007)

Conjugar metodología tradicional con Conjugar metodología tradicional con experimentaciónexperimentación por por manipulaciónmanipulación y con y con tecnologíatecnología. .

Uso Uso materiales manipulablesmateriales manipulables, , programas de geometría programas de geometría dinámica,dinámica, potenciando laboratorio de matemáticas. potenciando laboratorio de matemáticas.

Resolución de problemas con modelos geométricos (figuras Resolución de problemas con modelos geométricos (figuras y formas)y formas)

Encontrar en entorno elementos geométrico para:Encontrar en entorno elementos geométrico para:- Reconocimiento- Reconocimiento - Representación - Representación - Clasificar- Clasificar -Determinar características, -Determinar características,

- Deducir analogías y diferencias- Deducir analogías y diferencias- Razonar sobre relaciones geométricas.- Razonar sobre relaciones geométricas.

Relacionar con otros ámbitos: naturaleza, arte, arquitectura, Relacionar con otros ámbitos: naturaleza, arte, arquitectura, diseñodiseño

Fomentar sentido estético, gusto por orden y complejidad.Fomentar sentido estético, gusto por orden y complejidad.

Enseñanza y Aprendizaje de la GeometríaEnseñanza y Aprendizaje de la Geometría

Alsina, Burgués, Fortuny (1989)Alsina, Burgués, Fortuny (1989)

Etapas de dominio del espacio:Etapas de dominio del espacio:

1.1. Visualización (tras observar, memorizar para Visualización (tras observar, memorizar para reconocer)reconocer)

2.2. Estructuración (reconocer y reconstruir objeto a Estructuración (reconocer y reconstruir objeto a partir de elementos)partir de elementos)

3.3. Traducción (relacionar objeto con descripción)Traducción (relacionar objeto con descripción)

4.4. Determinación (reconocer existencia a partir de Determinación (reconocer existencia a partir de descripción de relaciones)descripción de relaciones)

5.5. Clasificación (reconocer clases de objetos)Clasificación (reconocer clases de objetos)

Enseñanza y Aprendizaje de la GeometríaEnseñanza y Aprendizaje de la Geometría

- Polígonos en TangramPolígonos en Tangram

- Clasificar cuadriláteros por diagonalesClasificar cuadriláteros por diagonales

- Matemáticas para la Fórmula IMatemáticas para la Fórmula I

- Análisis del DIN A4Análisis del DIN A4

Materiales para la Enseñanza y Aprendizaje de la Materiales para la Enseñanza y Aprendizaje de la GeometríaGeometría

1: Construir y Definir

CONSTRUIR

- Construir un TANGRAM doblando y cortando papel

Tarea 3: EL TANGRAM (DEFINIR)

RESOLVER- Construir el cuadrado, un triángulo, un

rectángulo, un trapecio isósceles y un paralelogramo, siempre con todas las piezas

- Construir el polígono de mayor número de lados empleando el Tangram (Revisar documentos, si es necesario)

- Definir POLíGONO- Definir TRIANCUAD. Buscar contraejemplos a

otras definiciones. Consensuad definición.

Construir y definir

CONSTUIR Y DEFINIR

- Construir EL POLÍGONO DE MAYOR NÚMERO DE LADOS empleando el TANGRAM

Polígono: La unión de varios segmentos de modo que el extremo final de cada uno sea el origen del siguiente, sin estar alineados dos consecutivos, se llama línea poligonal. A los segmentos se les llama lados y a sus extremos vértices. Cuando el extremo del último segmento coincide con el origen del primero se tiene un polígono, o línea poligonal cerrada (trataremos sólo el caso en que lados no consecutivos carezcan de punto común). También se llama polígono a la porción del plano que queda encerrada por la línea.

Diccionario Escolar de matemáticas

DEFINIRCONSTUIR Y DEFINIR

- Construir EL POLÍGONO DE MAYOR NÚMERO DE LADOS empleando el TANGRAM

Curvas: Hay curvas planas y curvas espaciales. Las curvas pueden tener un punto inicial y un punto final. Las curvas que no se intersecan se llaman curvas simples.

Si los puntos inicial y final coinciden la curva se llama cerrada

Polígono: Una curva simple que está formada por segmentos unidos por sus extremos, se llama curva polígonal. Si es cerrada, se llama polígono: a los segmentos se les llama lados, y a los extremos de esos segmentos, vértices.

Curva cerrada

Curva no simple

Curva poligonal

Polígono

DEFINIR

Vamos a presentar un TRIANCUAD, mediante pasos. Pensar si las siguientes figuras son o no un TRIANCUAD, y ver las respuestas. Al final debéis definir el TRIANCUAD.

ES UN TRIANCUAD

12 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19

NO SI SI SI

SI SI

SI SI SI SI

NO NO NO NO NO

NO NO NO

ESCRIBIR LA DEFINICIÓN DE UN TRIANCUAD

2. CONSTRUIR Y CLASIFICAR

. Construir con el mecano, cuadriláteros que tengan como diagonales a las piezas y como lados goma elástica

. Clasificar los cuadriláteros según:(a) El número de ejes de simetría y otro

criterio, y los dos criterios en conjunto(b) Buscar criterios para clasificar según sus

diagonales

Geometría Plana: CLASIFICARClasificar los cuadriláteros según: El número de ejes de simetría; El número de ángulos rectos

0 ejes 1 eje 2 ejes Más de 2

0 áng

1 áng

2 áng

3 áng

4 áng

Nº

ángu

los

rect

os

Nº ejes simetría

Geometría Plana: CLASIFICARClasificar los cuadriláteros según: El número de ejes de simetría; El número de ángulos rectos

0 ejes 1 eje 2 ejes Más de 2

Crit

erio

:

Nº ejes simetría

MATEMÁTICAS PARA LA FÓRMULA 1

Concurso Matemáticas + Física en acciónCoordinador: Rafael Ramírez Uclés

3. MATEMÁTICAS PARA LA FÓRMULA 1

Dibujar pista en papel cuadriculado con anchura suficiente (con curvas)Cada jugador (i) elige punto de salida (Sij) y avanza coche según tres reglas en cada paso (j):1.- Vector Vij = (k,m) formado por punto partida (Sij) y llegada (Sij+1) está contenido en pista.2.- No se permiten colisiones. 3.- Aceleraciones y frenadas: Si Vij = (k,m) (desplazamiento j de k verticales y m horizontales), y Vij+1 = (k’,m’): │k-k’│≤ 1 y │m-m’│≤ 1

3. MATEMÁTICAS PARA LA FÓRMULA 1

Dibujar pista en papel cuadriculado con anchura suficiente (con curvas)Cada jugador (i) elige punto de salida (Sij) y avanza coche según tres reglas en cada paso (j):1.- Vector Vij = (k,m) formado por punto partida (Sij) y llegada (Sij+1) está contenido en pista.2.- No se permiten colisiones. 3.- Aceleraciones y frenadas: Si Vij = (k,m) (desplazamiento j de k verticales y m horizontales), y Vij+1 = (k’,m’): │k-k’│≤ 1 y │m-m’│≤ 1

Por parejas:

a) Dibujar un circuito, jugar una carrera

b) Analizar qué contenidos matemáticos se utilizan en el juego

DIN A4

El tamaño dominante en este momento en el papel de oficina, es el DIN A4.Estudiar qué cualidades geométricas tiene este papel:-Dimensiones-Relación entre ancho y largo-Cualidades que lo han hecho tan popular.

DIN A4

Conclusiones Materiales geometríaConclusiones Materiales geometría- La enseñanza de la geometría no se puede reducir a La enseñanza de la geometría no se puede reducir a

aprender nombres y fórmulas.aprender nombres y fórmulas.- Su finalidad es facilitar la relación del alumno con su Su finalidad es facilitar la relación del alumno con su

entorno geométrico.entorno geométrico.- Esto exige: conocer figuras geométricas, nombres y Esto exige: conocer figuras geométricas, nombres y

propiedades, pero también reconocer en entorno, propiedades, pero también reconocer en entorno, caracterizarlas, definirlas, clasificar, establecer caracterizarlas, definirlas, clasificar, establecer propiedades, comprobarlas y demostrarlas.propiedades, comprobarlas y demostrarlas.

- Para ello diversificar las experiencias en Geometría, Para ello diversificar las experiencias en Geometría, trabajando todas las etapas (visualización, trabajando todas las etapas (visualización, estructuración, traducción, determinación, clasificación)estructuración, traducción, determinación, clasificación)

- LOS MATERIALES Y RECURSOS AYUDAN EN LA LOS MATERIALES Y RECURSOS AYUDAN EN LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA Y EN EL ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA Y EN EL DESARROLLO DE LA VISUALIZACIÓNDESARROLLO DE LA VISUALIZACIÓN

Dos funciones del ÁlgebraDos funciones del Álgebra

- Herramienta para resolver problemas (traducir Herramienta para resolver problemas (traducir a ecuaciones, resolver ecuaciones) (Letra a ecuaciones, resolver ecuaciones) (Letra incógnitaincógnita))

- Cálculo simbólico, aritmética generalizada (letra Cálculo simbólico, aritmética generalizada (letra variablevariable))

Enseñanza y Aprendizaje del ÁlgebraEnseñanza y Aprendizaje del Álgebra

- Fichas para la introducción al álgebra a partir Fichas para la introducción al álgebra a partir de un modelo linealde un modelo lineal

- Puzzles de igualdades algebraicasPuzzles de igualdades algebraicas

- Patrones numéricosPatrones numéricos

Materiales para la Enseñanza y Aprendizaje del Materiales para la Enseñanza y Aprendizaje del ÁlgebraÁlgebra

Actividad 8: Actividad 8: Estudiar la ficha de introducción al Estudiar la ficha de introducción al álgebra, resolver algunos ejercicios para álgebra, resolver algunos ejercicios para determinar su estructura. Realizar un determinar su estructura. Realizar un esquema que muestre la diferencia entre esquema que muestre la diferencia entre las fichas, los ejercicios, etc., analizando las fichas, los ejercicios, etc., analizando cómo se va complicandocómo se va complicando

Materiales para la Enseñanza y Aprendizaje del Materiales para la Enseñanza y Aprendizaje del Álgebra: Ficha de introducción al álgebraÁlgebra: Ficha de introducción al álgebra

Materiales para la Enseñanza y Aprendizaje del Materiales para la Enseñanza y Aprendizaje del Álgebra: Puzzles de igualdades algebraicasÁlgebra: Puzzles de igualdades algebraicas

(a+b)2 = Área cuadrado de lados a y b

a b

a2

b2a.b

a.b

(a+b)2 = a2 + b2 + 2a.b

Actividad 9: Actividad 9: Demostrar gráficamente fórmula:Demostrar gráficamente fórmula:

- El cuadrado de la diferenciaEl cuadrado de la diferencia

- Suma por diferenciaSuma por diferencia

Materiales para la Enseñanza y Aprendizaje del Materiales para la Enseñanza y Aprendizaje del Álgebra: Puzzles de igualdades algebraicasÁlgebra: Puzzles de igualdades algebraicas

CONFIGURACIÓN PUNTUAL

Representación gráfica de una colección finita de puntos que responde a un propósito o a cierta intencionalidad

Números Figurados

Configuración puntual que representa un cardinal, el criterio de estructuración de los punto se asemeja a una figura, por lo general, geométrica reconocible.

Números poligonales

Son números figurados cuya forma es un polígono.

Según el tipo de polígono se distinguen: números triangulares números cuadrados o cuadrangulares números pentagonales … Cada uno de estos tipos forman una secuencia de

números naturales que comparten una misma estructura, siguen el mismo patrón.

Números Triangulares

Son aquellos que su configuración puntual tiene forma de triángulo

T1 T2 T3 T4

1º fila 1 1 1 1 1 1...

2ª fila 1 2 3 4 5 6...

3ª fila 1 3 6 10 15 21

Números Cuadrados

C1 C2 C3 C4

1 = 1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1ª fila 2 2 2 2 2...

2ª fila 1 3 5 7 9...

3ª fila 1 4 9 16 25...

Números pentagonales

P1 P2 P3 P4

Números cúbicos

Números Piramidales Triangulares

P1=1, P2=4, Continuar la serie tres lugares más

Números Piramidales Cuadrangulares

Números poligonales

Nombre Nº P/lado 1 2 3 4 … r

Triangulares 3 1 3 6 10 … ½ r (r+1)

Cuadrados 4 1 4 9 16 … ½ r (2r-0)

Pentagonales 5 1 5 12 22 … ½ r (3r-1)

Hexagonales 6 1 6 15 28 …. ½ r (4r-2)

Heptagonales 7 1 7 18 34 … ½ r (5r-3)

N-gonales n 1 n 3(n-1) 2(3n-4) …. ½ r[(r-1)n-2(r-2)]

Conclusiones Materiales ÁlgebraConclusiones Materiales Álgebra

- El alumno tiene grandes dificultades para El alumno tiene grandes dificultades para comprender e introducir la letracomprender e introducir la letra

- Los modelos gráficos ayudan a Los modelos gráficos ayudan a comprender el papel de la letra en comprender el papel de la letra en Matemáticas (incógnita y variable)Matemáticas (incógnita y variable)

- Los patrones geométricos hacen Los patrones geométricos hacen relacionar los conceptos algebraicos con relacionar los conceptos algebraicos con los geométricos, permiten obtener los geométricos, permiten obtener expresiones algebraicas y ayudan a su expresiones algebraicas y ayudan a su aprendizajeaprendizaje

Innovación docente e investigación educativa en Innovación docente e investigación educativa en

MatemáticasMatemáticas Sesión 4: Sesión 4: Materiales y recursos en Materiales y recursos en

Educación Matemática Educación Matemática

TextosTextos- Alsina, Burgués y Fortuny (1989)Alsina, Burgués y Fortuny (1989)- ORDEN de 10 de agosto de 2007, JJAA.ORDEN de 10 de agosto de 2007, JJAA.- Castro (1993)Castro (1993)- Martínez y Fernández (2007)Martínez y Fernández (2007)- Domínguez (2005) - Gardner, Rosquillas anudadas- Nelsen, 2000