insiemi di livello e vettori titolo a b f b f -1 (b) controimmagine di b mediante f f (b)...
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Insiemi di livelloe vettori
titolo
A Bf
b
f -1(b) controimmagine di b mediante f
f (b) -1
Controimmagine
A ALTITUDINE
h
1000
h (1000) è la curva formata dai punti
con altitudine 1000 m. ( linea di livello )
- 1
Linee di livello
A Bf
b
f -1(b) controimmagine di b mediante f
f (b) -1
( insieme di livello )
insieme delle soluzioni dell’equazione
f(x) = b
Una funzione è biettiva se e solo se tutti i suoi insiemi di livello hanno un solo punto
Una funzione è biettiva se e solo se tutti i suoi insiemi di livello hanno un solo punto
I M P O R T A N T E P E R I C A L C O L I :
I M P O R T A N T E P E R I C A L C O L I :f è biettiva se e solo se :
b B , l’equazione :
f (x) = bha una e una sola soluzione:
f (b)1x =
Importante per i calcoli
f : RR RR , definita da:f(x) = 2x + 3
è biettiva.
Infatti, per ogni numero reale b , l’equazione:
2x + 3 = bha l’unica soluzione:
Esempio :
xb
3
2f b 1( )
Esempio di funzione biettiva
Controesempio :
f(x) = x 12
non è biettiva. Infatti, l’equazione: x 1 = 32
ha due soluzioni: 2 e 2
f : RR RR , definita da:
Inoltre, l’equazione: x 1 = 22
non ha soluzioni in R , perché non esiste alcun numero reale x tale che:
x = 12
Controesempio
1xy 2 3
2,2)3(f 1
PRESSIONEBAROMETRICA
p
A
x
1032
p(x) = 1032
p-1(1032) è la curva formata dai punti
in cui la pressione vale 1032 ( isobara )
isobare
Xo
h
Xo+ h
kk
Xo+ k
x
y
fRR22 RR
Xo
hXo+ h
h1
h2
(2 , 3) spostamento
A2
3
B
componenti
segm
ento
orie
ntat
oA
BC
2
3
D
segm
ento
orie
ntat
oCD
AB || CD AB = CD
segmenti orientati equipollenti
Segmenti orientati
(2 , 3)
segmenti orientati equipollenti vettore
vv
Concetto di vettore
(2 , 3)
v
A
B
v = AB
A = (x , y ) B = (x+2 , y+3 )
B = (x , y ) + ( 2 , 3 )
B = A + v v = B A
(2 , 3)
v w(4 , 1)
A
B
Cv+w
2 4
3
1
(2, 3)+(4, 1) = (2+4, 3+1)
Somma di vettori
(2 , 3)
v w(4 , 1)
A
B
Cv+w
(2, 3)+(4, 1) = (2+4, 3+1)
v w
AB
C
v+w
v w
AB
C
v+w
v v
AB
0
A
v
2v
3v2v
RR
C
v
vv11
vv22 v1
v2
(v1,v2) = (v1 , v2)
A
v
Bscalare
Moltiplicazione per uno scalare
RRnn addizione:
(1
u u un
, ,..., )2
( , ,..., )v v vn1 2+( , , ... , )u v u v u v
n n1 1 2 2
moltiplicazione per uno scalare:
(1
u u un
, ,..., )2
(1
u u un
, ,..., )2
(1
u u un
, ,..., )2
Operazioni in Rn
AB
rv
x
y
z
X
RR33
tv
t R X = A + tv
x a t v
y a t v
z a t v
1 1
2 2
3 3
equazioni parametriche f( t ) = ( a1+ tv1 , a2+ tv2 , a3+ tv3 ) f( t ) = ( a1+ tv1 , a2+ tv2 , a3+ tv3 )
f : R R3 f : R R3
Rette in R3
Risolvere l’esercizio 5.8 a pag. 46 Risolvere l’esercizio 5.8 a pag. 46
RR33
x
y
z
A
B
Cu
v
X
uv
u + v
X = A + u + v
333
222
111
vuaz
vuay
vuax
equazioni parametriche f() = ( a1+u1+v1 , a2+u2+v2 , a3+u3+v3) f() = ( a1+u1+v1 , a2+u2+v2 , a3+u3+v3)
f : R2 R3 f : R2 R3
Piani in R3
Esercizio 5.11 a pag. 49Esercizio 5.11 a pag. 49
Un’equazione lineare in n variabili è del tipo:
bxaxaxa nn2211
retta in R2n = 2
n = 3 piano in R3
sottoinsieme didimensione n1 IPERPIANO
A
B
v1
v2v
v |
MODULO di v :
v ||
22
21 vv
d(A,B) := |AB|
222
211 )b(a)b(a
DISTANZA tra A e B :
RR22
)a,a( 21
)b,(b 21
Modulo e distanza nel piano
distanza tra due punti:
A :(a , a ,..., a )1 2 n
B :(b ,b ,...,b )1 2 n
d(A,B) := |AB|(a b ) . . . (a b )n n1 12 2
RRnn
Modulo e distanza in Rn
)xx(x n21 ,...,,X
media aritmetica :
n
xxxx n21
...
n
x
x
n
1ii
)xxx( ,...,,X
XX: u vettore degli scarti
xxu ii : scarto i-esimo
2n
22
21 u...uu|| u 2
n2
22
1 )xx(...)xx()xx(
Media e scarti
n
)xx(...)xx()xx(:s
2n
22
21
x
Deviazione Standard
n
|| u
2n
22
21 u...uu|| u 2
n2
22
1 )xx(...)xx()xx(
(o scarto quadratico medio)
Varianza:
Var(x) := sx2
n
)xx(...)xx()xx( 2n
22
21
varianza
u1 + u2 + ... + un = 0
u := (u1, u2, ... , un)
nn1 1 gradi di libertàgradi di libertàIPERPIANO
1n
u:sx 1n
)xx(n
1i
2i
Deviazione Standard CampionariaDeviazione Standard Campionaria
2xs Varianza Campionaria
Varianza campionaria
Risolvere gli esercizi 6.3 a pag. 57 Risolvere gli esercizi 6.3 a pag. 57
RRnn
)u,...,u,u(: n21u)v,...,v,v(: n21v
nn2211 vu...vuvu:, vuPRODOTTO SCALARE
xRRnn RRu v vu ,
vu DOT PRODUCT
Prodotto scalare
Pagina 134 2211 vuvu sinsincoscos vuvu
)sinsincos(cosvu
)cos(vu
vu
vu
,cos
vu
vu
,:cos
cosvu
vu ,
Figura 5.1
cos, vuvu
u
v
|| v || cos
cos, vuvu vu
Proiezione di un vettore
v
|| v || cos
cos, vuvu vu
1 || || u vuv cos||||
versore
u
v
11 vev
e1
e2
v1
v2
22 vev
y1
y2
Versori degli assi
Coefficiente di correlazione lineare
X = (x1, x2, … , xn) Y = (y1, y2, … , yn)
xxu ii yyv ii
u = (u1, u2, … , un) v = (v1, v2, … , vn)
Misure su un campione
vu
vu
,:cosr
xy
Coefficiente di correlazione lineare tra x e y
y mx q y mx qi i
yy
ni
(m x )i qn
m xn
nqn
im
xn qi
mx q)xx(myy )xx(myy ii uv mii umv
Coefficiente di correlazione
v um m > 0
uv
= cos cos :,
u vu v
rxy
Correlazione positiva
cos :,
u vu v
rxy
m < 0uv
= cos
v um
Correlazione negativa
cos :,
u vu v
rxy =
uv
Correlazione nulla
rx y
x y yxy
i
(x )(y )
(xi i
i ) ( )2 2
rCov x y
s sxyx y
( , ) COVARIANZA
n
)yy(
n
)xx(n
)yy)(xx(
r2
i2
i
ii
xy
cos :,
u vu v
rxy
Covarianza
Risolvere gli esercizi 6.3 a pag. 144 Risolvere gli esercizi 6.3 a pag. 144