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INSTITUCIÓN EDUCATIVA INSTITUTO AGRICOLA JORNADA DIURNA
GUÍA DE TRABAJO # 10
Departamento de Matemáticas Esp. John Jairo Pallares Contreras
AREA: MATEMÁTICAS AGISNATURA: ARITMÉTICA GRADO: SEXTO
Instrucciones. Lee cuidadosamente los conceptos, los ejemplos y desarrolla los ejercicios propuestos. No
olvides guardar esta guía de trabajo en tu carpeta.
TEMA: FRACCIONARIOS Y DECIMALES
División de fracciones: El cociente de dos fracciones resulta de multiplicar la primera fracción por el
inverso multiplicativo de la segunda.
EJEMPLO: 5 ÷ 2 = 5 x 3 = 15 se le aplica el inverso multiplicativo a la segunda
11 3 11 2 22 fracción (voltearlos) y se cambia el signo, luego se
multiplica normalmente.
7 ÷ 8 = 7 x 2 = 14 15 ÷ 6 = 15 x 3 = 45
4 2 4 8 32 3 3 3 6 18
EJERCICIO. Resolver los siguientes cocientes y simplificar la fracción resultante en cada caso.
3
a. 2 ÷ 7 = 2 x 15 = 2 x 3 = 6
25 15 25 7 5 7 35
5
b. 23 ÷ 6 = 23 x 7 = 161
6 7 6 6 36
c. 1 ÷ 3 ÷ 2 = 1 x 5 ÷ 2 = 5 ÷ 2 = 5 x 7 = 35
2 5 7 2 3 7 6 7 6 2 12
EJERCICIO. Ahora tú, resuelve los siguientes cocientes y simplifica la fracción resultante en cada caso.
a. 7 ÷ 6 =
3 8
b. 9 ÷ 3 =
5 4
c. 21 ÷ 35 =
4 2
d. 4 ÷ 6 ÷ 3 =
5 7 2
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GUÍA DE TRABAJO # 10
Departamento de Matemáticas Esp. John Jairo Pallares Contreras
e. 5 ÷ 8 ÷ 2 ÷ 4 =
2 3 5 6
Fracciones complejas: Las fracciones cuyo numerador y denominador son a su vez fracciones, reciben el
nombre de fracciones complejas.
3 1 + 5
EJEMPLO: Las fracciones _4_ y _6 13_ son fracciones complejas
11 4 - 3
10 5
Para simplificar fracciones complejas, se resuelven las operaciones en el numerador y el denominador.
Luego, se efectúa la división indicada entre estos dos resultados y se simplifica la fracción resultante si es
posible.
Luego de resolver las operaciones que estén arriba y abajo y de tener solo dos fracciones una arriba y la
otra abajo, se utiliza la ley de extremos y medios. Esto es,
a 7
_b_ = a x d EJEMPLO: _11_ = 7 x 5 = 35
c b x c 3 11 x 3 33
d 5
EJERCICIO. Simplificar la fracción compleja.
13 + 5 - 3 78 + 50 - 45 78 + 50 – 45 83 1
a. 10 6 4 = 60 60 60 = 60 = 60 = 83 x 6 = 83
2 - 5 12 - 5 12 – 5 7 60 x 7 70
6 6 6 6 6 10
5 + 7 + 1 75 + 42 + 10 75 + 42 + 10 127 2
b. 2 5 3 = 30 30 10 = 30 = 30 = 127 x 12 = 254
8 + 4 - 3 16 + 4 - 9 16 + 4 - 9 11 30 x 11 55
6 12 4 12 12 12 12 12 5
mcm(2, 5, 3) = 30
mcm(6, 12, 4) = 12
3 + 5 12 + 35 12 + 35 47 3
c. 7 4 = 28 28 = 28 = 28 = 47 x 21 = 141
8 - 4 56 - 12 56 - 12 44 28 x 44 176
3 7 21 21 21 21 4
mcm(7, 4) = 28
mcm(3, 7) = 21
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EJERCICIO. Ahora tú, simplifica las siguientes fracciones complejas.
10 + 3 + 6
d. 5 10 4 =
4 - 1
6 3
5 + 3 + 8
e. 2 4 3 =
3 + 6 + 9
3 9 6
5 + 5
f. 8 6 =
4 - 2
6 4
Operaciones combinadas entre fracciones: Para resolver expresiones con fracciones se deben tener en
cuenta las mismas propiedades trabajadas en la expresiones aritméticas con números naturales.
EJERCICIO. Resolver las siguientes expresiones.
a. 1 ÷ 3 - 1 x 5 + 11 se cambia la división por multiplicación
3 7 3 6 6
= 1 x 7 - 1 x 5 + 11 se resuelven las multiplicaciones
3 3 3 6 6
= 7 - 5 + 11 se halla el mcm
9 18 6
= 14 - 5 + 33 = 42 = 7 se suman y restan y se simplifica.
18 18 18 18 3
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b. 13 - 1 + 2 ÷ 3 x 1 se resuelve lo que está dentro del paréntesis
5 6 5 2 4
= 13 - 1 + 2 ÷ 3 se cambia la división por multiplicación
5 6 5 8
= 13 - 1 + 2 x 8 se resuelve lo que está dentro del corchete.
5 6 5 3
= 13 - 1 + 16 se resuelve lo que está dentro de las llaves.
5 6 15
= 13 - 37 se realiza la operación indicada.
5 30
= 41
30
EJERCICO. Ahora tú, resuelve las siguientes expresiones.
a. 6 ÷ 5 + 4 x 3 + 5 ÷ 6
2 3 3 2 10 4
b. 3 + 5 ÷ 4 x 5 ÷ 3
2 3 7 2 8
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TALLER PARA DESARROLLAR
1) EJERCITACIÓN. Completar la siguiente tabla.
a
b
c
d
a ÷ c
b d
c ÷ a
d b
1
6
2
7
1
2
3
4
3
8
2
3
5
9
4
7
2) EJERCITACIÓN. Si cada número de la pieza superior corresponde al cociente de los números de
las piezas inferiores, escribir los números que falta.
3) EJERCITACIÓN. Resolver las siguientes operaciones. Simplificar los resultados si es posible.
a. 1 ÷ 3 ÷ 5
4 4 8
b. 5 ÷ 13 ÷ 7
6 4 6
c. 3 ÷ 1 ÷ 7 ÷ 6
5 8 3 8
d. 3 2 ÷ 7
5
a
b
4
5 5
6 1
3
1
4 3
2
21
10 8
7
a b
10
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e. 4 ÷ 8 ÷ 2 ÷ 1
3 9 5 6
4) RAZONAMIENTO. Resolver.
a. 5 1 - 1 3 x 5
2 11 8
b. 9 1 + 3 1 x 5
3 4 7
c. 6 1 - 4 x 5 1 ÷ 3
3 5 2
d. 2 1 + 3 1 x 5 - 1 2
8 4 6 3
e. 8 1 ÷ 2 x 3 + 5 - 4 8
4 5 6 3 9
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5) EJERCITACIÓN. Unir con líneas cada expresión con su resultado.
5 1 - 2 1
6 4 1.003
4 + 7 90
5 9
9 2 + 5
7 174
8 - 4 169
3 7
8 x 15 + 3
5 4 2 + 1 525
3 x 5 1 3 284
7
7 1 + 2 x 1
5 3 2 73
3 ÷ 7 + 5 360
2
3 x 7 + 1
2 5 3 7
8 ÷ 4 x 3 8
6 12
3 + 1 x 3 _1
5 8 13 75
5 - 2 ÷ 2 11
3
3 1 - 1 7
4 8 59
2 - 3 72
7
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Decimales: Un decimal es la notación particular de una fracción decimal. Así,
Fracción Decimal Lectura
1
10 0,1 Una décima
1
100 0,01 Una centésima
1
1.000 0,001 Una milésima
1
10.000 0,0001 Una diezmilésima
Para convertir una fracción en decimal de divide el numerador entre el denominador.
Clasificación de decimales: Las expresiones se pueden clasificar según el comportamiento de sus cifras
decimales. Así, pueden ser exactas, periódicas puras o periódicas mixtas.
Las expresiones decimales finitas son aquellas que tienen un número finito de cifras decimales. Estas
expresiones provienen de fracciones cuyo denominador sólo tienen por divisores números primos a 2 o a
5.
EJEMPLO: 5 = 0,625 y 4 = 0,16 son expresiones decimales finitas.
8 25
Las expresiones decimales periódicas son aquellas que tienen una cifra o un grupo de cifras que se
repiten indefinidamente.
EJEMPLO: 0,66666…. 3,2727272727…. son expresiones decimales periódicas
Cualquier expresión decimal periódica cuyo período comience a partir de las décimas, se denomina
expresión decimal periódica pura.
EJEMPLO: 0,333333… 5,27272727… 18,585585585585585… son puras
Cualquier expresión decimal periódica cuyo período no comienza en las décimas, se denomina expresión
decimal periódica mixta.
EJEMPLO: 0,255555… 7,265656565… 26,1652652652652… son mixtas
EJERCICIO: Ahora tú, halla la expresión decimal correspondiente a cada fracción. Luego, determina las
características y clasifícala.
a. 13
50
b. 25
9
c. 19
90
d. 21
6
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EJERCICIO: Continua tú, completa la tabla
Fracción Número
decimal
5
8
9
2
10
4
7
3
1
5
135
12
33
16
EJERCICIO. Sigue tú, ubica la coma decimal de tal manera que cada número se convierta en un decimal
puro.
a. 432111… b. 826151515… c. 432121333….
d. 72643222… e. 846135135… f. 1278533131…
g. 1525555… h. 3034545… i. 100125125…
j. 26781111…. k. 36465151… l. 287238723…
Adición de números decimales: Para sumar dos o más números decimales, estos deben escribirse uno
debajo de otro de tal manera que la coma decimal quede ubicada en una misma columna. Luego, se suman
los números respectivos y al resultado se le agrega la coma decimal en la columna correspondiente.
EJEMPLO: sumar 3,65 + 5,57 + 2,5 se procede de la siguiente manera:
3,65
5,37
+ 2,5
11,52
Si alguno de los sumandos es un número natural , este se puede convertir en un número decimal
agregando una coma en su última cifra y un cero como parte decimal.
EJEMPLO: sumar 65 + 5,27 + 17,351
65,0
5,27
+ 17,351
87,621
EJERCICIO. Realizar las siguientes operaciones.
a. 5,68 + 84,25 + 7,586 +,4,2 b. 5,68 + 45,547 + 24 + 4,58 + 5
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5,68 5,68
84,25 45,547
7,586 24,0
+ 4,2 4,58
101,716 + 5,0
84,807
EJERCICIO. Ahora tú, operar.
a. 56,21 + 4,125 + 85,42 + 4,854 b. 875,24 +12 + 15,2 +15 + 8,246
Sustracción de números decimales. Para restar dos números decimales, se sigue el mismo procedimiento
de la suma y se tiene en cuenta que el minuendo debe tener como mínimo el mismo número de cifras
decimales que el sustraendo. Para ello, se agregan tantos ceros a las cifras decimales del minuendo como
sean necesarios.
EJEMPLO: Restar 129,24 - 78, 521 se procede así,
129,240
- 78,521
50,719
EJERCICIO. Operar.
a. 254,24 - 54,1543 b. 857,26 - 547,25486
254,2400 857,26000
- 54,1543 - 547,25486
200,0857 310,00514
EJERCICIO. Ahora tú, operar.
a. 548,5 – 248,248 b. 854,25 - 68,254852
Multiplicación de números decimales. Para multiplicar números decimales, se multiplican dichos
números como si fueran números naturales. El producto tendrá tantas cifras decimales como cifras
decimales tengan los factores.
EJEMPLO: operar. 13,5 x 1, 47 se procede de la siguiente manera.
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13,5
x 1,47
945
540
135
19,845
EJERCICIO: Operar.
a. 45,24 x 6,12 b. 254,5 x 1,3
45,24 254,5
x 6,12 x 1,3
9048 7635
4524 2545__
27144__ 330,85
276,8688
EJERCICIO. Ahora tú, opera.
a. 85,54 x 2,364 b. 547,6 x 12,1
División de números decimales: Para dividir números decimales, se deben tener en cuenta los siguientes
casos:
Si el dividendo es un número decimal y el divisor un número natural se efectúa la división
correspondiente, teniendo en cuenta que al bajar la cifra decimal del dividendo, se debe poner una
coma en el cociente.
EJEMPLO: operar 135,1 ÷ 7 se procede de la siguiente manera:
135,1 7
65 19,3
21
0
EJERCICIO. Operar.
a. 310,5 ÷ 27 b. 194,4 ÷ 8 c. 370,24 ÷ 52
310,5 27 194,4 8 370,24 52
40 11,5 34 24,3 62 7,12
135 24 104
0 0 00
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EJERCICIO. Ahora tú, opera.
a. 11,5 ÷ 5 b. 59,92 ÷ 7 c. 584,2 ÷23
Si el dividendo es un número natural y el divisor un número decimal, se suprime la coma del
divisor y se añaden tantos ceros al dividendo como cifras decimales tenga el divisor.
EJEMPLO: operar. 335 ÷2,5 se procede de la siguiente manera.
3350 25
85 134 como el divisor tiene una cifra decimal se agrega un 0
100
0
EJERCICIO. Operar.
a. 483 ÷ 1,4 b. 588 ÷ 2,4 c. 12120 ÷ 2,5
4830 14 5880 24 121200 25
63 345 108 245 212 4848
70 120 120
0 00 200
00
EJERCICIO. Ahora tú, opera.
a. 648 ÷ 1,2 b. 2548 ÷ 2,6 c. 31472 ÷ 5,62
Si el dividendo y el divisor son números decimales, se suprime la coma del divisor y se corre la
coma del dividendo tantos lugares como cifras decimales tenga el divisor. Si es necesario, se
agregan ceros al dividendo.
EJEMPLO: operar. 36,38 ÷ 1,7 se procede de la siguiente manera:
363,8 17
23 21,4
68
0
EJERCICIO. Operar. a. 134,88 ÷ 2,4 b. 125,46 ÷ 5,1 c. 162,05 ÷ 3,5
a. 1348,8 24 b. 1254,6 51 c. 1620,5 35
148 56,2 234 24,6 220 46,3
48 306 105
00 00 00
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EJERCICIO. Ahora tú, opera.
a. 355,32 ÷ 4,2 b. 326,12 ÷ 6,2 c. 201,196 ÷ 5,62
El porcentaje: Expresiones como “el 10% de descuento”, “el 15% de intereses” o “el 50% de ganancia”
tienen relación con diversas situaciones que se presentan en la vida diaria. El porcentaje o tanto por
ciento, es una forma de expresar fracciones decimales cuyo denominador es 100. Se representa con el
signo % que significa “por cada cien”.
Por ejemplo, 25% se lee “veinticinco por ciento” y es equivalente a la fracción 25 que significa 25 de
cada 100. 100
De esta forma, hallar el tanto por ciento de un número significa hallar la fracción que representa el
porcentaje de dicho número. Por ejemplo, el 25% de 60 equivale a hallar 25 de 60. Así,
100
25 x 60 = 25 x 60 = 15
100 100
Para hallar el porcentaje de un número, se multiplica el número por el porcentaje y el resultado se divide
entre 100.
EJERCICIO. Calcular los siguientes porcentajes.
a. 5% de 80 b. 20% de 140 c. 40% de 2.500
= 5 x 80 = 4 = 20 x 140 = 28 = 40 x 2.500 = 1.000
100 100 100
EJERCICIO. Ahora tú, calcula los siguientes porcentajes.
a. 20% de 150 b. 30% de 290 c. 5% de 300
El IVA es el impuesto al valor agregado que se cobra sobre la venta de determinados productos. En
Colombia, este impuesto equivale al 16% del valor de dichos productos.
PROBLEMA RESUELTO: La siguiente tabla muestra la lista de precios (sin IVA) correspondiente a
tres planes ofrecidos por una agencia de viajes. Si una familia formada por cuatro personas dispone de
$3.500.000 para vacaciones, ¿qué plan será más adecuado conforme a su presupuesto?
Precio de planes nacionales
5 días / 4 noches – Todo incluido
Santa Marta Cartagena San Andrés
$719.999 $749.999 $799.999
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SOLUCIÓN:
Se calcula el costo de cada plan incluyendo el IVA. Así,
IVA correspondiente al plan de Santa Marta 719.999 x 16 = 115.199,84
100
IVA correspondiente al plan de Cartagena 749.999 x 16 = 119.999,84
100
IVA correspondiente al plan de San Andrés 799.999 x 16 = 127.999,84
100
Se suma el valor del IVA a cada uno de los planes y se multiplica por cuatro.
Plan Costo individual
sin IVA
Costo individual
IVA incluido
Costo para 4 personas
IVA incluido
Santa Marta $719.999 $835.198,84 $3.340.795,36
Cartagena $749.999 $869.998,84 $3.479.995,36
San Andrés $799.999 $927.998,84 $3.711.995,36
El plan más adecuado es Santa Marta o Cartagena.
PROBLEMA RESUELTO: En cierto almacén de electrodomésticos, un comprador paga $350.000 por
un televisor de 14 pulgadas. Si el precio original del televisor era de $500.000, ¿cuál fue el porcentaje de
descuento ofrecido por el almacén?
SOLUCIÓN:
Para saber qué porcentaje de descuento ofreció el almacén, se halla el cociente entre el precio pagado por
el comprador y el precio del electrodoméstico.
350.000 = 0,7
500.000
Luego, para calcular el porcentaje, se multiplica dicho cociente por 100. Así,
0,7 x 100 = 70%
Luego, el descuento ofrecido por el almacén es del 70%
TALLER PARA DESARROLLAR
1) EJERCITACIÓN. Efectuar las siguientes operaciones.
a. 13,2 + 7,95 b. 7,825 + 11,25 + 127,3 c. 217,25 – 63,2
2) EJERCITACIÓN. Completar la siguiente tabla
a b c a + b c - a (a + b) – c
10,2 5,3 0,35
17,3 4,08 21,36
7,06 35,2 10,05
5,13 15,03 9,301
8,032 6,907 14,508
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3) RAZONAMIENTO. Ubicar la coma en el lugar correspondiente para que la igualdad se cumpla.
a. 83,256 + 12,45 = 95706
b. 43457 - 29,32 = 405,25
c. 42132 - 26256 = 395,064
d. 258936 - 125,326 = 2464,034
4) PROBLEMA. En un ascensor con capacidad de 350 Kg, se suben 5 personas cuyos pesos son
respectivamente 55,3 Kg, 45,18 Kg, 57,5 Kg, 63 Kg y 70,3 Kg.
¿El ascensor podrá soportar todo el peso? Justificar la respuesta.
Rta:
¿Es posible que pueda ingresar una persona más que pesa 60 Kg? Justificar la respuesta.
Rta:
Si se sube una persona que pesa 60,5 Kg con una carga de 220 Kg, ¿el ascensor podrá avanzar?
Rta:
5) EJERCITACIÓN. Operar.
a. 19,5 x 13 b. 27,75 x 9,3 c. 75,2 x 0,17
6) PROBLEMA. La siguiente tabla muestra el número de días y años que tardan los planetas del
sistema solar en dar una vuelta alrededor del Sol:
Planeta Tiempo
Mercurio 87,97 días
Venus 224,7 días
Tierra 365,26 días
Marte 686,98 días
Júpiter 11,86 años
Saturno 29,46 años
Urano 84,01 años
Neptuno 164,8 años
a. ¿Cuántos días tarda la Tierra en dar nueve vueltas alrededor
del Sol?
Rta:
b. ¿Cuántos días menos tarda mercurio que Venus en dar una
vuelta alrededor del Sol?
Rta:
c. ¿Cuántos años más tarda Neptuno que Saturno en dar una
vuelta alrededor del Sol?
Rta:
d. ¿Cuántos años más tarda Urano que Júpiter en dar seis
vueltas alrededor del Sol?
Rta:
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7) EJERCITACIÓN. Calcular cada una de las siguientes expresiones.
a. 14,35 ÷ 3,5 b. 7,06 ÷ 2 c. 18,36 ÷ 9
d. 86,36 ÷ 2,5 e. 0,75 ÷ 0,43 f. 1435 ÷ 2,3
g. 17,06 ÷ 8 h. 25,73 ÷ 4 i. 375,02 ÷ 23
j. 36,03 ÷ 4,05 k. 430,8 ÷ 40,92 l. 756 ÷28,5
m. 4306 ÷ 0,7 n. 1005 ÷10,3
8) MODELACIÓN. Unir con líneas las expresiones que son equivalentes.
a. El 10% de 3.500 1. El 2% de 1.600
b. El 7% de 4.200 2. El 25% de 204,8
c. El 25% de 1.240 3. El 25% de 1.400
d. El 8% de 400 4. El 50% de 620
e. El 4% de 1.280 5. El 5% de 5.880
9) EJERCITACIÓN. Completar la siguiente tabla.
De 80 125 230 900
50%
25%
40%
34%
75%
80%
INSTITUCIÓN EDUCATIVA INSTITUTO AGRICOLA JORNADA DIURNA
GUÍA DE TRABAJO # 10
Departamento de Matemáticas Esp. John Jairo Pallares Contreras
10) PROBLEMAS.
a. El puntaje máximo que se puede obtener en un juego es de 500 puntos.
Si un participante obtiene el 47% del puntaje, ¿cuántos puntos obtuvo?
Rta:
Si una persona obtiene el 10% del puntaje, de otra persona, ¿cuántos puntos obtuvo si dicha
persona obtuvo 340 puntos?
Rta:
b. Si la tierra tiene una superficie de 509.760.000 Km2 aproximadamente y el 72% corresponde a
agua y el resto a superficie terrestre.
¿Cuál es el área, en Km2 que ocupa el agua?
Rta:
¿Cuál es el área de la superficie terrestre en Km2?
Rta:
c. Camila tiene $135.000, Julián tiene 5% más que Camila y Natalia el 2% menos que Julián.
¿Cuánto dinero tienen entre Julián y Natalia?
Rta:
d. El precio de un computador es de $1.200.000. Si se compra con todos los accesorios
suplementarios, tiene un regalo del 15%.
¿Cuánto paga una persona por un computador con accesorios, si recibe un descuento del 10%
por pago de contado?
Rta: