institut teknologi sepuluh nopember -...

Institut Teknologi Sepuluh

Nopember - Surabaya

MATERI

Kriteria Kestabilan Nyquist

Pengantar

Pengantar

Materi

ContohSoal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Respon frekuensi suatu sistem adalah respon keadaan tunak

sistem teerhadap sinyal masukan sinusoidal.

Metode respon frekuensi dan metode penempatan akar adalah

dua cara yang berbeda dalam aplikasi prinsip dasar analisis

yang sama.

Salah satu kelebihan dari metode respon frekuensi adalah fungsi

transfer sistem dapat ditentukan secara eksperimen dengan

mengukur tanggapan frekuensi.

Namun demikian, perancangan suatu sistem dalam domain

frekuensi menuntut perancang untuk lebih memperhatikan

bandwidth sistem dan efek nois dan gangguan pada respon

sistem.

Materi

Pengantar

Materi

ContohSoal

Ringkasan

Latihan

Asesmen


• Fungsi transfer Sistem loop tertutup

• Persamaan karakeristik:

• Semua akar persamaan karakteristik harus terletak pada

sebelah kiri sumbu imajiner dalam bidang-s.

• Kriteria kestabilan Nyquist menghubungkan respon frekuensi

loop terbuka dengan banyaknya zero dan pole yang terletak

diebelah kanan sumbu imajiner bidang s.

• Kriteria ini ditemukan oleh H. Nyquist yang sangat berguna

dalam teknik pengendalian. Karena kestabilan mutlak sistem

loop tertutup dapat ditentukan secara grafis dari kurva respon

frekuensi loop terbuka sehingga tidak perlu lagi mencari pole-

pole loop tertutup.

)()(1

)(

)(

)(

sHsG

sG

sR

sC

0)()(1 sHsG

Materi

Pengantar

Materi

Contoh

Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen


• Kriteria kestabilan Nyquist, menentukan kestabilan loop tertutup

berdasarkan fungsi transfer loop terbuka G(s)H(s) dari respon

frekuensi loop terbuka dan pole-pole loop terbuka

• Pada system open loop G(s)H(s) terdapat pole disebelah kanan

sumbu imajiner dalam bidang s dan = konstan, maka agar sistem

tersebut stabil, tempat kedudukan untuk w dari -~ ke +~ harus

mengelilingi titik –1 + j0 sebanyak k kali berlawanan arah dengan

jarum jam.

• Kriteria kestabilan dinyatakan dalam tahapan :

(1). Kriteria ini dapat dinyatakan sebagai :

Z = N + P, dengan

Z = banyaknya zero dari 1 + G(s)H(s) yang terletak disebelah

kanan sumbu imajiner dalam bidang s.

N = banyaknya pengelilingan terhadap titik –1 + j0 searah

dengan jarum jam.

P = banyaknya pole dari G(s)H(s) disebelah kanan sumbu

imajiner bidang s.

Materi

Pengantar

Materi

ContohSoal

Ringkasan

Latihan

Asesmen


• Jika P = 0, maka sistem pengendalian stabil diperoleh

dengan Z = 0 atau N = -P, yang berarti diperoleh sebanyak P

pengelilingan terhadap titik –1 + j0 berlawanan arah dengan

jarum jam.

• Jika G(s)H(s) tidak mempunyai pole disebelah kanan sumbu

imajiner bidang s, maka Z = N. jadi agar stabil tidak boleh

ada pengelilingan terhadap titik –1 + j0

• Dalam hal ini tidak perlu ditinjau tempat kedudukan tersebut

untuk seluruh sumbu j , tetapi cukup bagian frekuensi

positifnya saja. Kestabilan sistem ini dapat ditentukan

dengan memeriksa jumlah pengelilingan terhadap titik –1 +

j0 oleh diagram Nyquist .

Materi

Pengantar

Materi

ContohSoal

Ringkasan

Latihan

Asesmen


• Daerah yang dilingkupi oleh diagram Nyquist ditunjukkan

pada gambar berikut. Agar stabil, titik –1 + j0 harus terletak

diluar daerah yang diarsir.

Materi

Pengantar

Materi

ContohSoal

Ringkasan

Latihan

Asesmen


(2). Dalam menguji kestabilan sistem loop jamak harus

dilakukan dengan hati-hati karena melibatkan pole-pole

disebelah kanan sumbu imajiner bidang s. (Walaupun loop

dalam keadaan tidak stabil, tetapi keseluruhan sistem loop

tertutup dapat dibuat stabil dengan perancangan yang

tepat).

Pemeriksaan terhadap pengelilingan –1 + j0 oleh tempat

kedudukan belum cukup untuk mendeteksi kestabilan

sistem loop jamak.

Meskipun demikian, ada atau tidaknya pole dari 1 +

G(s)H(s) yang terletak disebelah kanan sumbu imajiner

bidang s dapat ditentukan secara mudah dengan

menggunakan kriteria kestabilan Routh pada persamaan

penyebut G(s)H(s).

Materi

Pengantar

Materi

ContohSoal

Ringkasan

Latihan

Asesmen


Jika fungsi transenden, seperti kelambatan e-Ts, tercakup pada

G(s)H(s), maka harus didekati dengan deret sebelum

digunakan kriteria kestabilan Routh. Salah satu bentuk deret

dari e-Ts :

dari deret diatas dapat diambil pendekatan :

Dengan pendekatan diatas diperoleh untuk keadaan daerah

frekuensi .

...48

)(

8

)(

21

...48

)(

8

)(

21

32

32

TsTsTs

TsTsTs

e Ts

Ts

Ts

Ts

Ts

e Ts

2

2

21

21

Materi

Pengantar

Materi

ContohSoal

Ringkasan

Latihan

Asesmen


(3). Jika tempat kedudukan melalui titik –1+j0, maka zero dari

persamaan karakteristik atau pole loop tertutup terletak pada

sumbu j, maka tidak diinginkan pada sistem pengendalian.

Pada kasus ini maka kontur pada bidang-s harus dimodifikasi

dengan menggunakan lintasan setengah lingkaran dengan jari-

jari yang sangat kecil , seperti ditunjukkan Gambar berikut

Materi

Pengantar

Materi

ContohSoal

Ringkasan

Latihan

Asesmen


Dalam menguji kestabilan sistem pengendalian linier dengan

menggunakan Kriteria Kestabilan Nyquist, ada 3 kemungkinan:

1. Tidak ada pengelilingan titik –1+j0. Ini berarti bahwa sistem

stabil jika tidak ada kutub dari G(s)H(s) yang terletak

disebelah kanan sumbu khayal bidang-s, jika tidak

demikian sistem tidak stabil.

2. Ada satu atau lebih pengelilingan titik –1+j0 berlawanan

jarum jam. Dalam hal ini sistem stabil jika banyaknya

pengelilingan yang berlawanan arah dengan jarum jam

sama dengan banyaknya kutub dari G(s)H(s) yang terletak

disebelah kanan sumbu khayal bidang s, jika tidak

demikian maka sistem tidak stabil.

3. Ada satu atau lebih pengelilingan titik –1+j0 yang searah

jarum jam. Dalam hal ini sistem tidak stabil.

Contoh Soal

Pengantar

Materi

ContohSoal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh 1

)1)(1()()(

21

sTsTs

KsHsG

Periksalah kestabilan dengan menggunakan kriteria kestabilan

Nyquist.

Tinjau sistem loop tertutup dengan fungsi alih sebagai

berikut,

Contoh Soal

Pengantar

Materi

ContohSoal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Jawab :

• Diagram Nyquist fungsi alih loop terbuka dengan nilai K kecil

dan nilai K besar diperlihatkan pada gambar dibawah.

• Jumlah kutub G(s)H(s) dalam setengah kanan bidang s

adalah nol.

• Dengan demikian, agar sistem ini stabil diperlukan N=Z=0

atau tempat kedudukan G(s)H(s) tidak mengelilingi titik –1+j0.

Contoh 1

Contoh Soal

Pengantar

Materi

ContohSoal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Jawab :

• Untuk nilai K kecil, tidak ada yang mengelilingi titik –1+j0.

maka sistem adalah stabil untuk nilai K kecil.

• Untuk nilai K besar, tempat kedudukan G(s)H(s) mengelilingi

–1+j0 dua kali dalam arah jarum jam, menunjukan dua gaya

kutub loop tertutup dalam setengah kanan bidang s dan

sistem tidak stabil.

• Untuk ketelitian yang baik, K harus besar. Akan tetapi, dari

pandangan kestabilan, nilai K besar menyebabkan

kestabilan yang jelek atau bahkan tidak stabil.

• Guna mengkompromikan antara ketelitian dan kestabilan,

perlu menyisipkan sebuah jaringan kompensasi kedalam

sistem.

Contoh 1

Contoh Soal

Pengantar

Materi

ContohSoal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh 2

86

)1(

)4)(2(

)1()()(

2

ss

sK

ss

sKsHsG

Periksalah kestabilan dengan menggunakan kriteria kestabilan

Nyquist.

Tinjau sistem loop tertutup dengan fungsi alih sebagai

berikut,

Contoh Soal

Pengantar

Materi

ContohSoal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Jawab :

Dengan menggunakan fungsi [Re,Im]=nyquist(num,den,),

program ploting fungsi alih diatas adalah,

clg

j=sqrt(-1);

th=pi/2:-.1:-pi/2;

% Select a Nyquist path with a large radius

say 50

% to ensure open-loop poles are enclosed.

s1=j*(-50:.2:50); % Nyquist path on the jw-axis from -j50 to

j50

s2=50*exp(j*th); % Nyquist path from pi/2 to -pi/2 with radius

50

s=[s1 s2]; % Row vektor containing the Nyquist path

num=[12 12];

den=[1 -6 8];

[Re, Im]=cnyquist(num,den, s);

subplot(221),plot(s),title('Nyquist path'), grid

subplot(222),plot(Re,Im),title('Nyquist Diagram'),grid

subplot(111)

Contoh 2

Contoh Soal

Pengantar

Materi

ContohSoal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

• Plot Diagram Nyquist

• Dari gambar diatas, fungsi alih loop terbuka mempunyai dua pole

disebelah kanan bidang-s, adalah P=2.

• Lintasan Nyquist mengelilingi titik (-1,0) dua kali berlawanan

dengan arah jarum jam, adalah N=-2 dan Z=P+N=2-2=0.

• Oleh karena itu, untuk K=12, Sistem loop tertutup adalah stabil.

• Gain margin (GM) adalah ½ dan gain untuk stabil secara marginal

adalah Kc=1/2(12)=6.

• Jadi, sistem stabil untuk semua K>6.

Jawab :

Contoh 2

Latihan

Pengantar

Materi

ContohSoal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

)20)(10(

)10()()(

sss

sKsHsG

Periksalah kestabilan sistem dengan menggunakan kriteria

kestabilan Nyquist.

Tinjau sistem loop tertutup dengan fungsi alih loop terbuka berikut,

Latihan Soal 1

Latihan

Pengantar

Materi

ContohSoal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

)10)(2(

)5,0(10)()(

2

sss

sKsHsG

Gambar diagram polar dengan K=1 dan K=10. Periksalah kestabilan

sistem dengan menggunakan kriteria kestabilan Nyquist.

Tinjau sistem loop tertutup dengan fungsi alih loop terbuka berikut,

Latihan Soal 2

Ringkasan

1. Kriteria kestabilan Nyquist didasarkan pada plot diagram polar

2. Kriteria kestabilan Nyquist menghubungkan respon frekuensi loop terbuka dengan banyaknya zero dan pole yang terletak diebelah kanan sumbu imajiner bidang s

Pengantar

Materi

ContohSoal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Sekian dan Terimakasih

institut teknologi sepuluh nopember -...

Documents