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Fundamentos Matemáticos para Computação Raquel de Souza Francisco Bravo
Raquel de Souza Francisco Bravo e-mail: [email protected]
08 de setembro de 2016
Princípios Aditivo e Multiplicativo
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Princípio Aditivo e Multiplicativo
A = { M1 , M2 , M3 , M4} B = { P1 , P2 , P3}
M1
P1 P2
P3
M2
P1 P2
P3
M3
P1 P2
P3
M4
P1 P2
P3
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a
5
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5 + 5 + … + 5 = 5 x 7 = 35
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Princípio Aditivo e Multiplicativo
5 + 5 + … + 5 = 5 x 7 = 35
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Princípio Aditivo e Multiplicativo
5 + 5 + … + 5 = 5 x 7 = 35
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Princípio Aditivo e Multiplicativo
5 + 5 + … + 5 = 5 x 7 = 35
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a
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Princípio Aditivo e Multiplicativo
5 + 5 + … + 5 = 5 x 7 = 35
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a
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Princípio Aditivo e Multiplicativo
5 + 5 + … + 5 = 5 x 7 = 35
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a
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Princípio Aditivo e Multiplicativo
5 + 5 + … + 5 = 5 x 7 = 35
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a
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Princípio Aditivo e Multiplicativo
5 + 5 + … + 5 = 5 x 7 = 35
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Princípio Aditivo e Multiplicativo
a) De quantas maneiras diferentes Maria pode comprar um item (ou um lapiseira ou um borracha)?
5
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Princípio Aditivo e Multiplicativo
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Introdução ao Princípio Aditivo (PA)
n(A) = |A| n(B) = |B| n(A∪B) = |A∪B|
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Introdução ao Princípio Aditivo (PA)
n(A) = |A| n(B) = |B| n(A∪B) = |A∪B|
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Introdução ao Princípio Aditivo (PA)
n(A) = |A| n(B) = |B| n(A∪B) = |A∪B|
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Introdução ao Princípio Aditivo (PA)
n(A) = |A| n(B) = |B| n(A∪B) = |A∪B| = |A| + |B|
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Introdução ao Princípio Aditivo (PA)
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Introdução ao Princípio Aditivo (PA)
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Introdução ao Princípio Aditivo (PA)
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Introdução ao Princípio Aditivo (PA)
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Introdução ao Princípio Aditivo (PA)
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Introdução ao Princípio Aditivo (PA)
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Introdução ao Princípio Aditivo (PA)
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Introdução ao Princípio Aditivo (PA)
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Introdução ao Princípio Aditivo (PA)
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Introdução ao Princípio Multiplicativo (PM)
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Fundamentos Matemáticos para Computação Raquel de Souza Francisco Bravo
Introdução ao Princípio Multiplicativo (PM)
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Introdução ao Princípio Multiplicativo (PM)
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Introdução ao Princípio Multiplicativo (PM)
Pelo P.M. temos então: |A x B| = |A| x |B| = 4 x 3 = 12 maneiras de escolher dois livros sendo um de Matemática e outro de Português. Exercício: Interpretação do exercício 2 b).
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Introdução ao Princípio Multiplicativo (PM)
Pelo P.M. temos então: |A x B| = |A| x |B| = 4 x 3 = 12 maneiras de escolher dois livros sendo um de Matemática e outro de Português. Exercício: Interpretação do exercício 2 b).
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Introdução ao Princípio Multiplicativo (PM)
Pelo P.M. temos então: |A x B| = |A| x |B| = 4 x 3 = 12 maneiras de escolher dois livros sendo um de Matemática e outro de Português. Exercício: Interpretação do exercício 2 b).
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Introdução ao Princípio Multiplicativo (PM)
Pelo P.M. temos então: |A x B| = |A| x |B| = 4 x 3 = 12 maneiras de escolher dois livros sendo um de Matemática e outro de Português. Exercício: Interpretação do exercício 2 b).
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Introdução ao Princípio Multiplicativo (PM)
Uma pessoa pode entrar e sair do prédio de 64 maneiras.
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Uma pessoa pode entrar e sair do prédio de 64 maneiras.
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Uma pessoa pode entrar e sair do prédio de 64 maneiras.
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Uma pessoa pode entrar e sair do prédio de 64 maneiras.
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Uma pessoa pode entrar e sair do prédio de 64 maneiras.
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Uma pessoa pode entrar e sair do prédio de 64 maneiras.
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Introdução ao Princípio Multiplicativo (PM)
Uma pessoa pode entrar por uma porta e sair por uma outra diferente de 56 maneiras.
b) De quantas maneiras uma pessoa pode entrar por uma porta e sair por outra diferente?
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Introdução ao Princípio Multiplicativo (PM)
Uma pessoa pode entrar por uma porta e sair por uma outra diferente de 56 maneiras.
b) De quantas maneiras uma pessoa pode entrar por uma porta e sair por outra diferente? Observe: Se usarmos a porta P1 para entrar, ela não pode ser usada para sair.
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Introdução ao Princípio Multiplicativo (PM)
Uma pessoa pode entrar por uma porta e sair por uma outra diferente de 56 maneiras.
b) De quantas maneiras uma pessoa pode entrar por uma porta e sair por outra diferente? Observe: Se usarmos a porta P1 para entrar, ela não pode ser usada para sair.
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Introdução ao Princípio Multiplicativo (PM)
Uma pessoa pode entrar por uma porta e sair por uma outra diferente de 56 maneiras.
b) De quantas maneiras uma pessoa pode entrar por uma porta e sair por outra diferente? Observe: Se usarmos a porta P1 para entrar, ela não pode ser usada para sair.
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Introdução ao Princípio Multiplicativo (PM)
Uma pessoa pode entrar por uma porta e sair por uma outra diferente de 56 maneiras.
b) De quantas maneiras uma pessoa pode entrar por uma porta e sair por outra diferente? Observe: Se usarmos a porta P1 para entrar, ela não pode ser usada para sair.
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b) De quantas maneiras podemos selecionar um homem, uma mulher e uma criança?
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b) De quantas maneiras podemos selecionar um homem, uma mulher e uma criança?
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b) De quantas maneiras podemos selecionar um homem, uma mulher e uma criança?
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b) De quantas maneiras podemos selecionar um homem, uma mulher e uma criança?
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Logo pelo PM temos 3 x 2 x 2 modos de colorir esta bandeira.
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Fundamentos Matemáticos para Computação Raquel de Souza Francisco Bravo
Extensão do Princípio Aditivo
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Logo pelo PM temos 3 x 2 x 2 modos de colorir esta bandeira.
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Extensão do Princípio Aditivo
2×2×…×2 =220 gabaritos
Um teste de matemática consta de 20 perguntas para serem classificadas como Verdadeira ou Falsa.Quantos são os possíveis gabaritos para este teste?
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2×2×…×2 =220 gabaritos
Um teste de matemática consta de 20 perguntas para serem classificadas como Verdadeira ou Falsa.Quantos são os possíveis gabaritos para este teste?
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2×2×…×2 =220 gabaritos
Um teste de matemática consta de 20 perguntas para serem classificadas como Verdadeira ou Falsa.Quantos são os possíveis gabaritos para este teste?
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Extensão do Princípio Aditivo
2×2×…×2 =220 gabaritos
Um teste de matemática consta de 20 perguntas para serem classificadas como Verdadeira ou Falsa.Quantos são os possíveis gabaritos para este teste?
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Princípio Aditivo e Multiplicativo
Considerando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser formados?
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Princípio Aditivo e Multiplicativo
Considerando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser formados?
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Princípio Aditivo e Multiplicativo
Considerando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser formados?
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Princípio Aditivo e Multiplicativo
Logo pelo PM temos 6 × 5 × 4 = 120 números naturais de três algarismos distintos formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
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Princípio Aditivo e Multiplicativo
Logo pelo PM temos 6 × 5 × 4 = 120 números naturais de três algarismos distintos formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
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Princípio Aditivo e Multiplicativo
Logo pelo PM temos 6 × 5 × 4 = 120 números naturais de três algarismos distintos formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
![Page 115: Instituto de Computação - UFF - Princípios Aditivo e Multiplicativoueverton/files/aulasFMC/Aula 4.pdf · 2017. 4. 4. · Raquel de Souza Francisco Bravo Fundamentos Matemáticos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071514/6135db380ad5d2067647a4c7/html5/thumbnails/115.jpg)
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Princípio Aditivo e Multiplicativo
Logo pelo PM temos 6 × 5 × 4 = 120 números naturais de três algarismos distintos formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
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Princípio Aditivo e Multiplicativo
Logo pelo PM temos 6 × 5 × 4 = 120 números naturais de três algarismos distintos formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
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Princípio Aditivo e Multiplicativo
Logo pelo PM temos 6 × 5 × 4 = 120 números naturais de três algarismos distintos formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
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Fundamentos Matemáticos para Computação Raquel de Souza Francisco Bravo
Princípio Aditivo e Multiplicativo
Quantos números naturais de três algarismos distintos (na base 10) existem?
Na posição P1 temos 9 possibilidades (estamos excluindo o zero)
Na posição P2 temos 9 possibilidades (diferentes do anterior)
Na posição P3 temos 8 possibilidades (diferente do dois anteriores)
Logo pelo PM temos 9 × 9 × 8 números naturais de três algarismos distintos.
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Fundamentos Matemáticos para Computação Raquel de Souza Francisco Bravo
Princípio Aditivo e Multiplicativo
Quantos números naturais de três algarismos distintos (na base 10) existem?
Na posição P1 temos 9 possibilidades (estamos excluindo o zero)
Na posição P2 temos 9 possibilidades (diferentes do anterior)
Na posição P3 temos 8 possibilidades (diferente do dois anteriores)
Logo pelo PM temos 9 × 9 × 8 números naturais de três algarismos distintos.
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Fundamentos Matemáticos para Computação Raquel de Souza Francisco Bravo
Princípio Aditivo e Multiplicativo
Quantos números naturais de três algarismos distintos (na base 10) existem?
Na posição P1 temos 9 possibilidades (estamos excluindo o zero)
Na posição P2 temos 9 possibilidades (diferentes do anterior)
Na posição P3 temos 8 possibilidades (diferente do dois anteriores)
Logo pelo PM temos 9 × 9 × 8 números naturais de três algarismos distintos.
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Princípio Aditivo e Multiplicativo
Quantos números naturais de três algarismos distintos (na base 10) existem?
Na posição P1 temos 9 possibilidades (estamos excluindo o zero)
Na posição P2 temos 9 possibilidades (diferentes do anterior)
Na posição P3 temos 8 possibilidades (diferente do dois anteriores)
Logo pelo PM temos 9 × 9 × 8 números naturais de três algarismos distintos.
![Page 122: Instituto de Computação - UFF - Princípios Aditivo e Multiplicativoueverton/files/aulasFMC/Aula 4.pdf · 2017. 4. 4. · Raquel de Souza Francisco Bravo Fundamentos Matemáticos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071514/6135db380ad5d2067647a4c7/html5/thumbnails/122.jpg)
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Princípio Aditivo e Multiplicativo
Quantos números naturais de três algarismos distintos (na base 10) existem?
Na posição P1 temos 9 possibilidades (estamos excluindo o zero)
Na posição P2 temos 9 possibilidades (diferentes do anterior)
Na posição P3 temos 8 possibilidades (diferente do dois anteriores)
Logo pelo PM temos 9 × 9 × 8 números naturais de três algarismos distintos.
![Page 123: Instituto de Computação - UFF - Princípios Aditivo e Multiplicativoueverton/files/aulasFMC/Aula 4.pdf · 2017. 4. 4. · Raquel de Souza Francisco Bravo Fundamentos Matemáticos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071514/6135db380ad5d2067647a4c7/html5/thumbnails/123.jpg)
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Princípio Aditivo e Multiplicativo
Quantos números naturais de três algarismos distintos (na base 10) existem?
Na posição P1 temos 9 possibilidades (estamos excluindo o zero)
Na posição P2 temos 9 possibilidades (diferentes do anterior)
Na posição P3 temos 8 possibilidades (diferente do dois anteriores)
Logo pelo PM temos 9 × 9 × 8 números naturais de três algarismos distintos.
![Page 124: Instituto de Computação - UFF - Princípios Aditivo e Multiplicativoueverton/files/aulasFMC/Aula 4.pdf · 2017. 4. 4. · Raquel de Souza Francisco Bravo Fundamentos Matemáticos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071514/6135db380ad5d2067647a4c7/html5/thumbnails/124.jpg)
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Princípio Aditivo e Multiplicativo
Quantos números naturais de três algarismos distintos (na base 10) existem?
Na posição P1 temos 9 possibilidades (estamos excluindo o zero)
Na posição P2 temos 9 possibilidades (diferentes do anterior)
Na posição P3 temos 8 possibilidades (diferente do dois anteriores)
Logo pelo PM temos 9 × 9 × 8 números naturais de três algarismos distintos.
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Princípio Aditivo e Multiplicativo
Na posição P3 temos 10 possibilidades
Na posição P2 temos 9 possibilidades (diferente do anterior)
Na posição P1 temos 8 (se o algarismo zero já tiver sido usado) ou 7 (caso contrário)
![Page 126: Instituto de Computação - UFF - Princípios Aditivo e Multiplicativoueverton/files/aulasFMC/Aula 4.pdf · 2017. 4. 4. · Raquel de Souza Francisco Bravo Fundamentos Matemáticos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071514/6135db380ad5d2067647a4c7/html5/thumbnails/126.jpg)
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Princípio Aditivo e Multiplicativo
Na posição P3 temos 10 possibilidades
Na posição P2 temos 9 possibilidades (diferente do anterior)
Na posição P1 temos 8 (se o algarismo zero já tiver sido usado) ou 7 (caso contrário)
![Page 127: Instituto de Computação - UFF - Princípios Aditivo e Multiplicativoueverton/files/aulasFMC/Aula 4.pdf · 2017. 4. 4. · Raquel de Souza Francisco Bravo Fundamentos Matemáticos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071514/6135db380ad5d2067647a4c7/html5/thumbnails/127.jpg)
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Princípio Aditivo e Multiplicativo
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Fundamentos Matemáticos para Computação Raquel de Souza Francisco Bravo
Princípio Aditivo e Multiplicativo
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