instituto de engenharia de sistemas e computadores de ... · 1 resumo no presente trabalho...
TRANSCRIPT
Instituto de Engenharia de Sistemas e Computadores de Coimbra
Institute of Systems Engineering and Computers
INESC – Coimbra
Jorge MariaEscola Superior de Gestão – Instituto Politécnico de Santarém
João Coutinho-RodriguesDepº Engenharia Civil – Universidade de Coimbra e INESC-Coimbra
Um Sistema de Apoio ao Planeamento de Rotas Turísticas:Incorporação de Técnicas de Optimização e Heurísticas com
Tecnologia SIG
No. 09 2004
ISSN: 1645-2631
Instituto de Engenharia de Sistemas e Computadores de Coimbra
INESC – Coimbra
Rua Antero de Quental, 199; 3000-033 Coimbra; Portugal
www.inescc.pt
1
Resumo
No presente trabalho apresentamos uma aplicação desenvolvida recorrendo a tecnologia dos Sistemas de
Informação Geográfica (SIG) com aplicabilidade no âmbito do turismo. O resultado final é um Sistema
Espacial de Apoio à Decisão, que conjuga uma interface amigável com a implementação de algoritmos,
alguns de natureza heurística, que permitem a determinação de vários tipos de percursos tendo em vista
a determinação de “óptimos” de determinados objectivos. È proposto um algoritmo que fornece o
óptimo do complexo problema do caminho mais curto com uma restrição adicional. Para além disso são
propostas heurísticas para a determinação de percursos que devem passar por nós impostos à partida ou
que procuram sucessivos óptimos parcelares em problemas de pesquisa encadeada em “cascata”. É
efectuada a ilustração do funcionamento e potencialidades do sistema, e visualização dos respectivos
resultados sobre um mapa, através de um Sistema de Informação Geográfica e uma aplicação à cidade
de Santarém e seus monumentos.
Palavras chave: Sistema de Apoio à Decisão, Redes, Caminho Óptimo, Sistema de InformaçãoGeográfica.
Abstract
A GIS-based spatial decision support tool is presented in this report. It is aimed at solving several
practical routing problems that may be identified in a urban tourism environment by searching the
“optimum” for a given objective function. The constrained shortest path problem is solved with the
proposal of a new approach that guarantees the respective optimum. The Vertex Constrained Shortest
Path and the sequence of successive shortest paths are two different problems that are both solved by
using heuristic approaches. The implemented system is illustrated with an application to the city of
Santarém in Portugal and its monuments.
Keywords: Decision Support Systems, Networks, Shortest Path, Constrained Shortest Path,
Geographical Information Systems
2
1. Introdução
Este trabalho surge na continuação do que foi apresentado em [Maria, Jorge e Coutinho-Rodrigues
2003], que visou o desenvolvimento de um sistema espacial de apoio à decisão bicritério para
planeamento de rotas turísticas em meio urbano, uma vez que tomámos a cidade de Santarém e
respectivos monumentos para exemplo de aplicação e experimentação dos modelos implementados.
As técnicas utilizadas no presente trabalho, continuam a apoiar-se na teoria de grafos e optimização em
redes suportando a resolução de vários tipos de problemas, nomeadamente: do caminho mais curto e
caminho mais curto com restrição adicional (secção 2); do caminho mais curto com nós de passagem
obrigatória (secção 3) e da pesquisa por proximidade (secção 4).
Dada a importância do problema do caminho mais curto (um dos mais importantes e mais estudados em
problemas de optimização) nas implementações efectuadas tentou-se tirar partido dos avanços
conseguidos e referidos na bibliografia sobre o assunto [Cherkassky et al., 1996] [Zhan e Noon, 1998].
Em cada uma das secções é feita uma breve apresentação do problema em causa, descrição do modelo e
da aplicação que leva à resolução de uma instância desse problema. Como já vem sendo apanágio nos
outros problemas abordados anteriormente, também estes, na sua maioria, são NP-completos [Ahuja et
al 1993] [Garey e Johnson 1979] ou seja, a obtenção de uma solução óptima em tempo útil revela-se
difícil devido à elevada complexidade computacional envolvida, daí a necessidade do uso de heurísticas.
Desenvolveu-se um sistema espacial de apoio à decisão que, socorrendo-se de heurísticas de forma a
obter “boas” soluções em tempo aceitável, auxilia o utilizador na tomada de decisão. O facto de utilizar
tecnologia SIG (Sistema de Informação Geográfica) permite que os resultados sejam apresentados sobre
um mapa da cidade, o que confere ao agente de decisão uma perspectiva mais realista sobre aquilo que
se propõe analisar ou decidir. O software de SIG utilizado foi o ArcvView® [ESRI, 1996], que contém
uma linguagem de programação orientada para objectos - o Avenue™ [ESRI, 1996a] e a extensão
Dialog Designer™ [ESRI, 1997].
A facilidade de utilização foi algo que esteve sempre presente. Assim o utilizador tem acesso a todas as
potencialidades da aplicação através de simples botões colocados nas barras de ferramentas do
ArcvView® (vd Figura 1)
Figura 1 – Botões da aplicação
3
2. O problema do CMC com restrição adicional
O problema em estudo (CSP - “Constrained Shortest Path Problem” na terminologia anglófona) coloca-
se quando pretendemos determinar o caminho mais curto entre dois pontos mas estando sujeito a um
limite que não pode ser ultrapassado. Ou seja, considerando como nó origem e nó terminal os nós 1 e n,
e os custos não negativos cij, tij associados a cada arco (i,j) ∈ A, a formulação deste problema pode ser
feita da seguinte forma:
Ajix
Lxt
nise
nise
ise
xx
as
xcMinimizar
ij
Ajiijij
kki
jij
Ajiijij
∈∈
≤
=−−=
==−
∑
∑∑
∑
∈
∈
),( , }1,0{
1
1,...,2 0
1 1
: .
),(
),(
onde 1=ijx se o arco (i, j) pertence ao caminho da solução e 0=ijx no caso contrário.
Podemos enunciar o problema do seguinte modo: “Qual o CMC entre os monumentos A e B tendo em
conta que não pretendo gastar mais do que L tempo?”, podendo eventualmente inverter os critérios:
“Qual o caminho mais rápido entre aqueles monumentos tendo em conta que pretendo percorrer no
máximo x metros?”. É evidente que tal rota pode não existir!
Quanto à complexidade computacional, está demonstrado que este problema é, pelo menos,
NP–Completo [Handler e Zang 1980].. Uma das abordagens possíveis, além do equacionamento em
termos de programação linear e programação dinâmica [Joksch 1966] é a relaxação Lagrangeana
[Handler e Zang 1980]. Contudo esta abordagem é custosa computacionalmente [Coutinho-Rodrigues et
al 1999].
Optámos por resolver este problema adoptando a abordagem bi-objectivo desenvolvida em [Coutinho-
Rodrigues et al. 1999] e aplicada em [Maria, Jorge e Coutinho-Rodrigues 2003]. Em termos gerais,
utiliza-se o método descrito na secção 2 deste trabalho para determinação do ponto S3 (Figura 2) e
vamos reduzindo sucessivamente o gap que inclui a restrição, para finalmente varrer esse espaço em
busca de uma eventual solução “óptima” com um algoritmo de kCMC. Assim, assumindo que
pretendemos determinar o CMC (distância) entre dois nós, sujeito a uma restrição de tempo (L),
começamos por determinar as rotas que optimizam individualmente cada um dos critérios e uma terceira
que resulta da ponderação das duas anteriores (vd Figura 2, pontos S1, S2 e S3), verificamos se L é
delimitado pelas soluções S1 e S3 (t3 < L < t1) ou por S3 e S2 (t2 < L < t3)1.
1 Note-se que: se L < t2 o problema é impossível e se L > t1 a solução S1 é óptima.
4
Figura 2 – CSP, com soluções iniciais e limite L Figura 3 - CSP, com “gap mínimo” e solução no limite (Sh)
No nosso exemplo L está compreendido entre S1 e S3, por isso são estas soluções que são utilizadas para
determinar um novo ponto (S4 da Figura 3). O processo é sucessivamente repetido até não ser possível
encontrar novas soluções. Quando tal acontecer estamos perante o “gap mínimo”, situação em que
podemos determinar a hipotética solução no limite. Admitindo que a Figura 3 também representa essa
fase, esta solução corresponde ao ponto Sh e o gap é representado pelos pontos [Sh, P´, S3].
A melhor solução encontrada até agora é S3, o valor que a separa da solução no limite é dado por (d3 -
x)2, representado por 3AS na Figura 4. Assim, se se pretender reduzir esta diferença deverá proceder-se
à pesquisa dentro do gap o que, como já foi referido, será realizado utilizando um algoritmo de kCMC,
donde poderiam resultar as soluções representadas pelos pontos a, b, c da Figura 5.
Figura 4 – CSP, limite superior do ganho Figura 5 – CSP, com soluções dentro do gap
2 O valor de x é determinado através da equação da recta definida pelos ponto S3, S4
•b•c•a
•
•
•S2(d2, t2)
L
S3(d3, t3)
S1(d1, t1)
Distância
Tem
po
• S4(d4, t4)
Sh(x, L)•
P
P´
•
•
• S2(d2, t2)
L
S3(d3, t3)
S1(d1, t1)
Distância
Tem
po
•S4(d4, t4)
Sh(x, L)•
P
P´
x
A
•
•
•S2(d2, t2)
L
S3(d3, t3)
S1(d1, t1)
Distância
Tem
po
• S4(d4, t4)
Sh(x, L)•
P
P´
•
•
• S2(d2, t2)
L
S3(d3, t3)
S1(d1, t1)
Distância
Tem
po
5
•
•
• S2(d2, t2)
L
S3(d3, t3)
S1(d1, t1)
Distância
Tem
poS4(d4, t4)•
Destes, o eleito para solução do problema, é o ponto b pois é o que apresenta a menor distância a Sh e
satisfaz a restrição L. Note-se que aquando da determinação da solução S4, esta poderia ser solução do
problema se t4 = L (vd Figura 6), pelo que já não haveria lugar à pesquisa no gap.
Figura 6 – CSP, com solução óptima
Para o utilizador o processo inicia-se “clicando” no botão indicado na Figura 7, que permite aceder ao
diálogo “DiagCSP” (vd Figura 8).
Figura 7 – Inicia resolução do CSP
Figura 8 – Diálogo “DiagCSP”
6
Apesar de nesta figura já estarem preenchidas, as opções vão ficando disponíveis em cascata, ou seja,
começa por só se poder seleccionar a origem, depois o destino, o objectivo a minimizar, o limite, e
finalmente, o botão “OK” que confirma os dados introduzidos e inicia a resolução do problema.
É de salientar que:
� quando se “clica” em “Caminho Mais Rápido” ou “Caminho Mais Curto” no control panel
“Determinar”, o limite alterna entre “Distância” e “Tempo” respectivamente (vd Figura 9);
� o control panel “Informação” tanto apresenta a distância, tempo e número de monumentos da
rota encontrada, como uma mensagem indicando a impossibilidade de resolução do problema para o
limite indicado (vd Figura 9 e Figura 10 respectivamente);
� no que diz respeito à indicação dos nós seleccionados e de informação relativa à rota determinada
(vd Figura 9), este diálogo comporta-se de modo semelhante ao diálogo “GAP’s” descrito na secção 2.1.
em [Maria, Jorge e Coutinho-Rodrigues 2003]
Figura 9 – CSP, ex. de uma rota óptima e respectiva visualização
Na Figura 9 está representada uma situação em que a rota mais curta, entre os dois monumentos
seleccionados, possui um tempo de percurso inferior ao limite indicado, assim não é necessário aplicar o
modelo descrito no início desta secção. Contudo, reduzindo o limite de modo a que o modelo possa ser
aplicado, o gap vai sendo sucessivamente reduzido até ao ponto em que o decisor é informado da
melhor solução encontrada até então, da hipotética solução no limite bem como sobre o que ainda
poderá ganhar se continuar a pesquisa (vd Figura 11).
7
Figura 10 – CSP, ex. de problema impossível
Figura 11 – CSP, informação relativa ao ponto Sh
Perante este caso, se o decisor optar por não continuar a pesquisa (devido ao reduzido ganho que daí
pode advir) será exibida a rota correspondente à melhor solução encontrada até então. Aliás, mesmo que
tivesse optado por continuar a pesquisa, não seria detectada mais nenhuma solução, pelo que, depois de
informar o decisor de tal facto, seria exibida a rota encontrada antes da pesquisa no gap (vd Figura 12).
8
Figura 12 – CSP, rota obtida sem pesquisa no gap
O mesmo não aconteceria se optasse por pesquisar o gap utilizando o limite indicado na Figura 13 pois
seria encontrada uma solução melhor que a encontrada até então (vd Figura 14).
Figura 13 – CSP, ex. com novo limite (“melhor solução” igual à Figura 11)
9
Figura 14 – CSP, solução encontrada pesquisando o gap
3. O problema do CMC com nós de passagem obrigatória
Este problema é conhecido na literatura como VCSP - “Vertex Constrained Shortest Path” [Besaley e
Christofides 1989]. Dado um conjunto de N nós e distâncias dij ≥ 0, pretende-se determinar o caminho
mais curto entre os nós 1 e N que passe por k-1 nós, em que k representa 2, 3, ... , k ≤ N-1 nós
intermediários. [Deo e Pang 1984], salientam que se pretendermos que o caminho mais curto entre os
nós 1 e N englobe todos os restantes nós da rede, o problema transforma-se no traveling salesman path
problem.
Contudo, o caso que vamos abordar nesta secção é ligeiramente diferente. De facto, neste caso não
existe um nó terminal especificado à partida. A ideia, de um modo geral, é a seguinte: o utilizador
identifica a origem e selecciona m monumentos, dos n possíveis, que pretende visitar (m ≤ n). Pretende-
se obter a rota de custo (distância ou tempo) mínimo que passe pelos monumentos seleccionados;
podendo, por isso, acabar num qualquer dos nós indicados.
Parece evidente que poderíamos determinar todas as rotas possíveis (aplicando sucessivamente um
algoritmo de caminho mais curto como o Dijkstra [Dijkstra 1959, Deo e Pang 1984]) e escolher a que
possuísse o menor valor, mas vejamos (assumindo que o nó 1 é a origem): se seleccionarmos apenas um
destino, isso implica a determinação de uma só rota (entre dois nós: 1,2); se seleccionarmos dois
destinos, teremos duas rotas possíveis (1,2,3 e 1,3,2); com três destinos passaremos a ter seis rotas
possíveis (1,2,3,4; 1,2,4,3; 1,3,2,4; etc.) e com quatro destinos já serão vinte e quatro possibilidades de
rotas distintas!
10
Como podemos constatar o número de rotas possíveis é obtido pela expressão m!, sendo que m
representa o número de destinos seleccionados.
Assim, se pretendêssemos determinar a rota mínima que passa por todos os “Monumentos Nacionais”,
sendo um deles a origem, teríamos 13! o que daria 6227020800 percursos. Assumindo que podemos
calcular seis percursos por segundo, seriam necessários sensivelmente trinta e três anos para calcular a
rota pretendida!!!
Assim foi desenvolvida uma heurística para tentar obter uma solução aceitável em tempo útil. Esta
heurística também utiliza o algoritmo de Dijkstra [Dijkstra 1959, Deo e Pang 1984], mas
limita-se a determinar percursos. O que permite obter uma solução em treze segundos para o problema
colocado em hipótese no parágrafo anterior.
Descrição algorítmica da heurística:
origem � origem da rota a calcularD � {d1, ... , dm}; conjunto dos destinos seleccionadosDO � {origem}; conjunto dos destinos ordenados para a rota finalP � ∅ ; armazena temporariamente os vários CMC que vão sendo calculadosR � ∅ ; armazena a rota desejadaEnquanto D ≠ ∅ fazer
Para cada d ∈ D fazerP � P ∪ CMC entre a origem e d
FimParaseja p o menor percurso de Pseja dp o destino do percurso pDO � DO ∪ {dp}D � D – {dp}origem � dpR � R ∪ {p}P � ∅
FimEnquanto
Para o utilizador o processo desenvolve-se como o que foi descrito na secção 2.2 de [Maria, Jorge e
Coutinho-Rodrigues 2003], tendo algumas diferenças:
� o Slider não permite fazer selecções intermédias, ou seja apenas se pode seleccionar um dos
critérios (distância ou tempo);
� uma vez seleccionada a origem, passamos à selecção dos destinos com a “caixa de listagem”
que foi descrita na referida secção 2.2, mas devemos agora acrescentar algo que na altura omitimos,
é que “clicando” em vários destinos, estes ficam todos seleccionados (vd Figura 15); para desmarcar
um destino basta voltar a “clicar” em cima dele (note-se que, se só seleccionarmos um destino
caímos no problema que foi tratado naquela secção);
2)1( −nn
11
Figura 15 – Selecção de vários destinos
� a solução traduz-se numa rota marcada no mapa com a indicação da ordem pela qual os
monumentos devem ser visitados (vd Figura 16).
Figura 16 – Resultado de um problema com múltiplos destinos
12
4. Pesquisa por proximidade
4.1. O problema de base
Pretende-se saber qual o(s) monumentos que ficam mais perto, em termos de distância ou tempo, de um
outro, impondo ou não um certo limite de distância ou tempo respectivamente. Note-se que não se trata
somente de uma selecção com base nos atributos geográficos (através da criação de “buffers” ou da
opção “select by theme” do ArcView®: selecção de entidades nos temas) pois o monumento mais perto
geograficamente pode não o ser em termos de percurso.
É de salientar que aqui, a restrição de tempo ou distância não funciona como restrição adicional ao
cálculo do caminho mais curto entre dois pontos (problema tratado na secção 2 deste trabalho), mas tão-
somente como filtro para eliminar as rotas que a violam (por exemplo: quais os monumentos que estão a
uma distância inferior a x de um outro?).
O utilizador, iniciando o processo através do botão indicado na Figura 17, é convidado a seleccionar a
origem (monumento “central” que serve de referência), o critério a utilizar na determinação do caminho
mais curto e a introduzir, caso o pretenda, um limite de tempo ou distância.
Figura 17 – Botão para iniciar pesquisa por proximidade
A aplicação devolve os monumentos que podem ser visitados respeitando aquele limite, ou todos no
caso de omissão do limite, identificados de 1 a n por ordem crescente de custo (tempo ou distância) em
relação à origem. Estas acções são fomentadas através da interacção com o diálogo “Proximidade”
representado pela Figura 18.
13
Figura 18 – Diálogo “Proximidade”
Este diálogo, à excepção da list box onde são listados os monumentos ordenados, comporta-se de
maneira semelhante ao diálogo “DiagCSP” descrito na secção 2 (com a devida ressalva ao limite: tempo
para o caminho mais rápido e distância para o caminho mais curto).
Ao “clicar” sobre um dos monumentos listados na list box, a sua posição é identificada no mapa com o
símbolo � (vd Figura 19). Se se fizer um duplo “clique” sobre outro monumento, é este que passa a ser
indicado sendo simultaneamente traçada a respectiva rota (vd Figura 20).
Figura 19 – Diálogo “Proximidade” com imposição de limite e indicação de monumentos seleccionados
14
Figura 20 – Diálogo “Proximidade” com indicação de rota
Caso o limite introduzido não conduza à determinação de qualquer rota, o utilizador é avisado de tal
facto e informado de qual o monumento mais próximo, podendo decidir pela sua visualização ou não
(vd Figura 21). Optando pela afirmativa, o monumento passa a constar na list box acima referida, sendo
de imediato identificado no mapa com a respectiva rota.
Figura 21 – Diálogo “Proximidade” com limite que não promove a determinação de rotas e indicação domonumento mais próximo
15
Para resolver este problema criámos previamente uma matriz com os custos mínimos (distância e
tempo) entre todos os monumentos da rede. Como tal determinação é forçosamente morosa, optámos
por armazenar fisicamente essa matriz para posterior utilização. De facto, enquanto que o problema que
acabámos de referir poderia ser resolvido recorrendo ao algoritmo de Dijkstra [Dijkstra 1959, Deo e
Pang 1984] outros existem em que, por uma questão de eficiência, aquela matriz é de primordial
importância. Indicamos, de seguida, a título meramente exemplificativo, dois desses problemas.
4.2. Proximidade em cascata
Escolhida uma origem, pretende-se determinar, sucessivamente, o monumento mais próximo (distância
ou tempo) relativamente ao último encontrado, até os visitar todos ou, em alternativa, até atingir um
certo limite (distância ou tempo) indicado pelo utilizador.
Figura 22 – Diálogo “Proximidade” com opção em “Cascata”
Para optar por este problema, basta seleccionar a check box “Proximidade em cascata” (não abordada
até aqui propositadamente) do diálogo “Proximidade” (vd Figura 22 e Figura 23). Esta validação não
interfere com as restantes acções do diálogo.
16
Figura 23 – Diálogo “Proximidade” com opção em “Cascata” e limite
4.3. Localização de equipamentos
Imaginemos que, por qualquer motivo, só se pode disponibilizar esta aplicação (através da colocação de
um quiosque multimédia) num único ponto da cidade. Devido às suas características, opta-se por
colocá-lo junto a um dos monumentos. A questão é saber, em qual?
Como podemos constatar, trata-se de um simples problema de localização de equipamentos (simples no
sentido de só se ter em linha de conta um factor, ignorando, por exemplo, a maior ou menor
concentração ou fluxo de visitas para um dado monumento em detrimento de outros). Consiste em
determinar o ponto da rede (neste caso monumento) em que deve ser localizado o quiosque de modo a
ser minimizada a distância total a percorrer pelos turistas vindos dos vários monumentos.
Podemos entender este problema, na perspectiva de criação de um “meeting point”. Se neste caso é
estático (a menos que se verifiquem alterações na estrutura da rede, basta calculá-lo uma vez), também o
podemos encarar duma forma mais dinâmica e interactiva: imaginemos, desta feita, que um grupo de
turistas, de gostos heterogéneos, pretendem visitar os seus monumentos preferidos para depois se
voltarem a encontrar. A questão mantêm-se, onde? O “meeting point” encontrado acima pode não
representar esse local. Assim, dependendo dos monumentos a visitar, é determinado um “meeting
point” diferente.
Relativamente ao problema inicial, podemos resolvê-lo através da opção “Localizar meeting point” do
menu “Manutenção”. Ao seleccionar esta opção é assinalado, com uma bandeira verde, no mapa o
monumento correspondente (vd Figura 24).
17
Figura 24 – Mapa com “Meeting Point” assinalado
Quanto ao segundo problema, ao clicar no botão indicado na Figura 25 é solicitado ao utilizador a
indicação dos monumentos a serem visitados através da “caixa de listagem”representada na Figura 26,
ao validar a escolha é informado de qual o monumento que deve funcionar como Meeting Point (vd
Figura 27) sendo também localizado no mapa (vd Figura 28).
Figura 25 – Iniciar localização de um “ponto central”relativamente a um conjunto de monumentos
Figura 26 – Selecção de monumentos paradeterminação de um “Meeting Point”
Figura 27 – Indicação do monumento “Meeting Point”
18
Figura 28 – Indicação, no mapa, do monumento “Meeting Point”
5. Conclusões
No âmbito do turismo, a existência de informação georeferenciada sobre países ou locais a visitar
(limites político-administrativos, localização de diversos equipamentos, rede viária, etc.), bem como a
determinação de rotas “óptimas” entre eles, pode ser fomentada através da implementação de adequadas
técnicas matemáticas (nomeadamente modelos e abordagens heurísticas), computacionais e multimédia,
agrupadas num sistema de informação e promoção turística baseado em tecnologia SIG.
As técnicas utilizadas neste trabalho, apoiam-se na teoria de grafos, optimização em redes e suportam a
resolução de vários tipos de problemas com base em técnicas de Investigação Operacional. Foi
desenvolvido um protótipo que conjuga uma interface amigável (através da qual o utilizador interage
facilmente sem necessidade de grandes conhecimentos técnicos) com a implementação de algoritmos
desenvolvidos especificamente para resolução daqueles problemas.
O protótipo desenvolvido auxilia o utilizador na tomada de decisões com a vantagem de os resultados
serem apresentados sobre um mapa, o que dá ao utilizador uma perspectiva mais realista sobre aquilo
que se propõe analisar ou decidir.
No futuro e relativamente à determinação dos vários tipos de rotas, poderemos ter em linha de conta
alguns factores adicionais:
o eventuais horários de visita nos nós (monumentos), conhecido por “Shortest Path Problem
with Time Window” [Solomon 1987];
o eventuais restrições de tempo ou distância, por exemplo “Orienteering Problem” [Golden et al
1987]; no caso de percursos turísticos, este problema pode ser colocado da seguinte forma:
19
dados um ponto inicial e um final, qual a rota que permite visitar o máximo número de
monumentos, sem ultrapassar um dado limite de tempo imposto à partida;
o permitir a determinação de rotas pedestres, ou, eventualmente, rotas mistas que obedeçam a
outros tipos de requisitos ou condicionalismos.
6. Referências
Ahuja, Magnanti, Orlin, Network Flows. Theory, Algorithms, and Applications. Prentice-Hall, New
Jersey, 1993.
Besaley e Christofides, N., “An algorithm for the resource constrained shortest path problem”,
Networks, 19, pp. 379-394, 1989.
Cherkassky, B.V., Goldberg, A.V. e Radzik, T.,. “Shortest Paths Algorithms: Theory and Experimental
Evaluation”, Mathematical Programming 73, 129-174, 1996.
Coutinho-Rodrigues, Clímaco, Current, “An interactive bi-objective shortest path approach: searching
for unsupported nondominated solutions”, Computers and Operations Research, 26, pp. 789-798,
1999.
Dijsktra, E. W., A Note on Two Problems with Connection with Graphs. Numerische Mathematik, 1, 1959.
Deo e Pang, “Shortest paths algorithms: taxonomy and annotation”, Networks, 14, pp. 275-323, 1984.
ESRI, ArcView® GIS – The Geographic Information System for Everyone, Environmental Systems
Research Institute (ESRI) Inc., Redlands, Califórnia, EUA, 1996.
ESRI, Avenue™ – Customization and Application Development for ArcView® GIS, Environmental
Systems Research Institute (ESRI) Inc., Redlands, Califórnia, EUA, 1996a.
ESRI, ArcView® Dialog Designer™, Environmental Systems Research Institute (ESRI) Inc., Redlands,
Califórnia, EUA, 1997.
Garey e Johnson, Computers and Intractability: A guide to the theory of NP-Completeness. W.H.
Freeman, New York, 1979.
Golden, Levy, Vohra, “The orienteering problem”, Naval Research Logistics, 34, pp. 307-318, 1987.
Handler, G.Y. e Zang, I., “A Dual Algorithm for the Constrained Shortest Path Problem”, Network 10,
293-310, 1980.
Joksch, “The shortest route problem with constraints”, Journal of Mathematical Analysis and
Applications, 14, pp. 191-197, 1966.
Maria, Jorge e Coutinho-Rodrigues, “Um Sistema Espacial de Apoio à Decisão Bicritério para
Planeamento de Rotas Turísticas”, Research Report, 13, INESC-Coimbra, 2003.
20
Solomon, “Algorithms for the vehicle routing and scheduling problem with time window constraints.”
Operations Research, 35, pp. 254-265, 1987.
Zhan, F.B. e Noon C.E, “Shortest Path Algorithms on Real Road Networks”, Transportation Science
32, 65-73, 1998.