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INSTITUTO DE PESQUISAS ENERGÉTICAS E NUCLEARES 9*9**3*5$ j
AUTARQUIA ASSOCIADA A UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO i
j
ASPECTOS DA ABORDAGEM PROBABILISTiCA NA ANALISE ESTRUTURAL
DE VASOS DE PRESSÃO DE APLICAÇÃO NUCLEAR
Sérgio de Gouvêa Franco
Dissertacio apresentada como parte do»requisitos para obtençfo do Grau de"Mestre na Area de Concentração emReatores Nucleares de Potência eTecnologia do Combustível Nuclear".
rierrtador:Dr. Ronaldo de Breyne Salvagni
SAO PAULO
1984
INSTITUTO DE PESQUISAS ENERGÉTICAS E NUCLEARES
AUTARQUIA ASSOCIADA À UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
ASPECTOS DA ABORDAGEM PROBABILISTICA NA ANALISE ESTRUTURAL
DE VASOS DE PRESSÃO DE APLICAÇÃO NUCLEAR
Sérgio de Gouvêa Franco
Dissertação apresentada como parte «cs
requisitos para obtenção do Grau de
"Mestre na Área de Concentração em
Reatores Nuciaares de Potência e
Tecnologia do Combust i'vel Nuclear".
Orientador: Dr. Ronaldo de Breyne Salvagní
SÃO PAULO
1984 - —
A r, R A n r
A este Instituto de Pesnuisas Fneraéticas e Nucleares, na ness
de seu Superintendente Dr. Durvalco Gonçalves, nela oportunidade
de nesctuisa;
Ao PRCTJUCLF.AR, pelo suporte financeiro;
Ao Pr. Ronaldo de Freyne falvagnx, nor sua orientação técnica-
cirr;ifica competente;
fi ::* ir. Víagr.er de Fouza Torges e Dr. José Messias de Oliveira *:e
IO ->ela leitura dos originais e nelas suoestões feitas;
Francisco José Falcão Pimrntel, nelo incentivo amigo;
meus pais, por tudo.
Título: "ASPECTOS DA ABORDAGEM PROBABILISTICA NA ANALISE ESTRUTURAL DE VASOS DE PRESSÃO DE APLICAÇÃO NUCLEAR".
Autor: Sérgio de Gouvêa Franco
p r c |! M o
O presente trabalho procura anrcsentar um procedincnto útil
à verificação e controle cia segurança C?P vasos de pressão de uso
nuclear, pela introdução de ir;étocos probabi lísticos ã sua análise
estrutural.
Título: "S»£ ASPECTS OF THE PROBABILISTIC APPROACH TO NUCLEARPRESSURE VESSELS STRUCTURAL ANALYSIS".
Autor: SÉRGIO DE GOUVEA FRANCO
A p C T p ». f T
This study has souqht to provide a useful procedure to
check and to control the safety of ruclear pressure vessels,
introducing probabilisties nethods of structural analvpis.
í r> n r r r 6 F R P. I
Pag.
1. INTRODUÇÃO : APRESENTAÇÃO DO TRABALHO 1
2. INTRODUÇÃO D* ABORDAGEM PROBABII.fSTICA AO CALCULO
ESTRUTURAL 4
2.1 INTRODUÇÃO t-ISTÕRICA 4
2.2 A PROBABILIDADE DE RUlNA 7
2.3 ECONOMIA E SEGURANÇA 9
2.4 NÍVEIS NO TRATAMENTO PROBABILfSTICO 10
2.5 O CASO UNI DIMENSIONAL 13
3. FUNDAMENTOS TEÕRICOS DA ABORDAGEM PROBABILÍSTICA AO CAL
CULO ESTRUTURAL 16
3.1 FATORES QUE INFLUENCIAM NA SEGURANÇA 16
3.2 OS MODELOS MATEMÁTICOS PROBABILÍSTICOS NO CALCULO
ESTRUTURAL 17
3.3 O MODELO DE FERRY BORGES E CASTANKETA 21
3.3.1 TEORIA ESTATÍSTICA DAS ESTRUTURAS 21
3.3.2 COMBINAÇÃO DAS AÇÕES 24
3.3.2.1 INTRODUÇÃO 24
3.3.2.2 VARIAÇÃO NO TEMPO 25
3.3.2.3 INTERVALOS ELEMENTARES DE TEMPO .. 25
3.3.2.4 COMBINAÇÃO PROBABIIÍSTICA DAS CAR-
GAS 26
3.3.2.5 TRANSFORMAÇÃO DAS CARGAS EM ESFOR
ÇOS SOLICITANTES 28
3.3.2.6 PROBABILIDADES DE RUÍNA PARA A COM
BINAÇÃO DE CARGAS 32
3.4 O ALGORITMO DE RACKWITZ-FIESSLER 33
3.5 A REGRA D£ TURKSTRA 34
4. O VASO DE PRESSÃO 3 6
4.1 XNTBODUÇXO 3 6
4.2 O VASO DE PRESSÃO NUCLEAR 37
4.3 C VASO DE PRESSÃO DO PWR 37
4.4 OS MÉTODOS TRADICIONAIS DE CALCULO DE VASOS DE
PRÍISSÃO .., 39
Pag.5 . AÇÕES E RESISTÊNCIAS ASSOCIADAS A VASOS DE PRESSÃO
NUCLEAR 48
5 . 1 DISTRIBUIÇÕES ESTATÍSTICAS PARA A DESCRIÇÃO DAS
AÇÕES E RESISTÊNCIAS 48
5 . 2 AÇÕES EM VASOS DE PRESSÃO NUCLEAR 51
5.2.1 INTRODUÇÃO 51
5.2.2 CLASSIFICAÇÃO DAS AÇÕES 51
5 . 2 . 2 i QUANTO Ã NATUREZA 51
5 . 2 . 2 . 2 TENDO EM VISTA A DISTRIBUIÇÃO KS
TATfSTICÍ 53
5.2.3 IDEALIZAÇÕES DAS AÇÕES 55
5 . 3 RESISTÊNCIAS EM VASOS DE PRESSÃO NUCLEAR 57
6 . RESULTADOS E APLICAÇÃO NUMÉRICA 60
6 . 1 PASSOS DO MÉTODO DE FERRY BORGES E CASTANHETA . . 60
6 . 2 DIFICULDADES DE APLICAÇÃO 60
6 . 3 APLICAÇÃO NUMÉRICA 62
6.3.1 INTRODUÇÃO 62
6.3.2 AS CARGAS 63
6.3.2.1 CARGA PERMANENTE 63
6.3.2.2 CARGA VARIÁVEL 64
6.3.2.3 CARGA EXCEPCIONAL 64
6.3.2.4 AS FUNÇÕES DENSIDADE DE DlST RI
BUIÇÃO DE CADA CARGA 65
6.3.3 COMBINAÇÃO DAS CARGAS 65
6.3.4 A RESISTÊNCIA 6€
6.3.5 A PROBABILIDADE DE RUÍNA 67
6.3.6 O PROGRAMA COMPUTACIONAL 71
6.3.7 RESULTADOS 71
6.3.8 SIMULAÇÃO NUMÉRICA 73
6.3.9 COMENTÁRIOS SOBRE O EXEMPLO NUMÉRICO .... 74
6.3.10 COMENTÁRIOS RELATIVOS AOS PROGRAMAS COMPUTACIONAIS 75
7. COMENTÁRIOS E CONCLUSÕES 77
APÊNDICE A : PARÂMETROS DE ALGUMAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS.
IMPORTANTES 79
1
Pag.APÊNDICE B : O MATERIAL COMPUTACIONAL 85
BIBLIOGRAFIA 129
I O I C F ü A ? F I fi U P A ?
Figura 2.1
Figura 2.2
Figura 2.3
Figura 2.4
Figura 3.1
Figura 4.1
Figura 4.2
Figura 4.3
Figura 4.4
Figura 4.5
Figura 6.1
Figura 6.2
: Distribuição estatística de cargas e re
sistências
: Ilustração de verificação ao Nível I . .*
: Ilustração de verificação ao Nível II ..
: Ilustração de verificação ao Nível III..
: Gráfico tensão/deformação probabilistic
co
: Crescimento da experiência de operação
de vasos de pressão de reatores de
água leve
: Secçao transversal de uma Central PWR
típica
: Corte longitudinal do vaso e seus
componentes internos
: O vaso de pressão PWR cora quatro "loops"
: Diagrama simplificado de um sistema riu
clear de gerador de vapor com quatro
"loops"
: Ilustração da aplicação numérica
: Ilustração da composição elementar das
forças
Pag.
6
11
12
13
23
43
44
45
46
47
62
66
I H D I C E D F T A ft F L A S
Pag.
Tabela 3.1 : Ilustração de valores de repetição para as
cargas 26
Tabela 4.1 : Valores típicos das dimensões de um Vaso
de Pressão PKR com 4 loops 38
"abela 4.2 : Valores típicos de um Vaso de Pressão de
um PKR com 4 loops 39
WACÃO P TOP'CLATIIRA
b função deterninística
C custo
c coeficiente de variação
E módulo de elasticidade
*p ( ) distribuição <?e probabilidades
f ( ) distribuição de densidade de nrobabilidacVs
q ( ) reçião de Rn
i índice
m média
K ( ) contador em processos estocãsticos
P, n probabilidades
p pressão
Q, o esforços solicitantes para cargas
R, r referem-se c resistências
r. , , repetições do modelo de Ferry Forges e Castar.heta
r raio
S, s referem-se a solicitação
t parânetro de processos estocãsticos
í espessura
U, u esforços solicitantes para expressar a resistência da
estrutura
X variável aleatória
x (x) processo estocastico
x valor médio de X
x moda de X
x mediana de X
V variável aleatória
2 variável aleatória
2 variável aleatória da normal reduzida
* conjunto dos números reais
•» vetor
U matriz
° parâmetro•0 coeficiente de dilataçio térmica
rA
c
parâmetrofunção gama
domínio elementar
narânetro
deformação relativa
função distribuição reduzida ca distribuição normal
função densidade reduzida da distribuição normal
<) coeficiente de noisson
li média
p peso especifico
o desvio padrão
õ tensão
o2 variancie
R região do Rn
-1-
OWTULQ 1
INTRODUÇÃO : APREFFNTACÂO DO TRAPALHO
O cálculo estrutural de ecuinamcntos nucleares reveste-se de
grande responsabilidade, técnica. Eventuais falhas nestes ecruira
mentos oodem ter implicações serias, devido ã nossiMlidade de H
beração de grandes quantidade de radiação. Cono s?e sabo,altos r.J
veis de radiação i.ão são suportáveis pela saúde huirana, e nor es
se motivo as normas técnicas na área nuclear procuram garantir al
tos níveis de segurança. Neste sentido, o desenvolvimento de ecui
pamentos de segurança ou emergência rara a indústria nuclear deve,
por exemplo, satisfazer certos critérios de redundância e, de um
ponto de vista mais geral, os níveis reais de segurança das cen
trais nucleares devem ser constantemente avaliados.
Ê esta filosofia de manutenção de um alto nível de segurança
em centrais nucleares que produz un constante esforço no aoerfei^
çoamento dos métodos de cálculo estrutural de seus enuinamentos .
Nesses métodos, situações extremas cue normalmente não são lev<i
dos em conta em outros campos da Engenharia, precisam ser conside
radas. Um exemplo típico é dos vasos de pressão, onde se aloja o
núcleo do reator.
O cálculo estrutural de vasos de pressão tem merecido estudo
cuidadoso, e no presente trabalho procura-se apresentar alguns es
forços dedicados ao aperfeiçoamento desces métodos de cálculo, no
•entldo de aumentar seu controle de segurança e sua confiabilida
de. Mais especificamente, inserindo-se em uma tendência muito mais
«mpla no Cálculo Estrutural, o oresente trabalho procura descre
ver a aplicação de métodos orobabilísticos â análise estrutural de
v«sos de pressão.
De fato, muitas são as incertezas associadas ao comportamento
estrutural de um vaso de pressão, além de ser grande, a variação
do nível de solicitação a que o mesmo está sujeito. Assim, a quan
tificação desta incerteza e desta variação, e a apresentação de
um procedimento útil â verificação da segurança de um vaso de
- 2 -
pressão nuclear constituem o objetivo principal deste trabalho,incluindo uma aplicação numérica.
t
Os métodos nrobabillsticos não rodem r.ais ser desprezados co !„ i
mo recurso na analise estrutural de vasos de pressão. DP fato, vr l
rifica-se hoje uma tendência no sentido dí» empregar nétodos nro j
babilísticos no cálculo estrutural. As Normas brasileira (A*\*T)ir ?
Tcorporarr. nestes últimos anoc vários elementos da analise proba
bilistica, seguindo uma tendência r.aís ampla verificada nas ncr
nas internacionais. {Conferir, por exemplo, nas Norr.as nrasileir«Ts
o projeto de norma de fevereiro de 1°84, VcÕes t» Fpqurarca nsr;
Estruturas - Procedimento", número 2.03.17/004 * ' ) .
Cor.ó as abordagens probabillsticas têm sido parciais e não
nuito rigorosas, este trabalho procura introduzir um nível de so
fisticaçio maior no emprego dos métodos nrobabillsticos, buscando
não sõ um processo de cálculo mais preciso, mas também uma forna
de calcular a probabilidade de ruina da estrutura em ouestio. O
trabalho procura estudar tanto as ações quento o comportamenf e^
trututal dos vasos de pressão nuclear, colocando, contudo, maior
ênfase no estudo das ações e suas combinações, onde as incertezas
são maiores.
No segundo capitulo mostra-se o desenvolvimento da abordagrrc
probabillstica do cálculo estrutural e as limitações dos métodos
tradicionais, estabelece os conceitos básicos da abordagem proba
bilistica e esclarece suas vantagens, e apresenta um procedimento
para calcular a probabilidade de ruína nos casos mais simples.
No terceiro capitulo apresenta-se os fundamentos de alguns
métodos probabillsticos aplicáveis ao cálculo estrutural, com PS
pecial atenção ao modelo de Ferry rorgos e Castanheta. Apresentn-
•e um método para calcular a probabilidade de ruína em casos V.BÍS
complexos, e procedimentos simplificadores.
No quarto capitulo descreve-se o vaso de pressão nuclear r
indica-se algo sobre seu método tradicional de cálculo estrutural,
incluindo algumas especificações das normas norte-americanas.
No quinto capitulo faz-se um estudo das ações e repi»téncias
-3-
associadas ao vaso de pressão nuclear, suqerindo-se distrihuições
estatísticas para descrevê-las.
No sexto canltulo ar>resenta-se os passos para a aplicação co
método proposto nesta dissertação ã verificação e cálculo de va
sos de pressão de uso nuclear. Ainda faz-se uma aplicação numér_i
ca do método a um cilindro eauivalente a um vaso de pressão típjL
co PWR. E desenvolve-se um programa computacional cue calcula a
probabilidade de ruína deste vaso.
No sétimo capitulo aparecem as conclusões de caráter geral.
Em apêndice estão os parâmetros das distribuições de densida
de de probabilidade mais úteis ao cálculo estrutural (apêndice A),
e o programa computacional, os principais resultados e gráficos
ilustrativos referentes ã aplicação numérica (apêndice P).
2. irTRODUCfc DA APOKMSFI f»Rft*AWLfmtA AO C S L D U P
2.1 IftTRODÜÇÃO HlfTflRTCA
A abordagem nrchahillstica aplicada ao calculo estrutu
ral e relativamente recente. Max Mayer c arontado corto o nril
ir.eiro a introduzir alguma base estatística ã análise estrutural cri
1^26. Após a II Guerra "undial esta abordagem nrohabilística re
ceheu um grande impulso e diversos congressos internacionais fo
raia organizados para a sua discussão e nrorcoção. Ferry noraes «•(l<*íCastanheta relacionam1 ' os principais trabalhos, ao longo das
últimas décadas, ctue desenvolveram esta abordagem. Vo Prasil nou
co ainda foi feito, poder.do-se citar os trabalhos de LangendõncVt34). Figueiredo Ferrazíl?í, Silva Lemeí46) e mais recentemente
Zagottis , Fusco '23)# a dissertação de Freitas relativa ao
cálculo de estruturas de madeira* , a de Facbich relativa ã so
los , a de tfirth Jr. relativa à barragens de concreto e a
de Eatista sobre a comnosição de ações .
O certo é que esta abordagem probabilística ao cálculo
estrutural é resultado do desenvolvimento do próprio cálculo. Ê
fruto do melhor conhecimento dos fenômenos envolvidos, e de um me
lhor tratamento das questões de segurança e economia. De fato,
chegou-se a perceber que os métodos convencionais não forneciam
um justo controle da segurança das estruturas; e uma abordagem pro
babilística na verificação da segurança estrutural cada vez mais
se faz necessária.
A preocupação com a segurança nas estruturas remonta ãs
origens mesmas da construção e do cálculo estrutural. Fsta nreo
cunação pode ser constatada em um progressivo movimento ao longo
da história do cálculo estrutural no sentido de regular a seguran
ça por meio de fatores de carga e coeficientes de segurança. Tn£
cialmente muito empíricos, estes coeficientes gradualmente passa
ram a receber valores mais científicos. Tais coeficientes procu
rant dar conta das Incertezas e aleatoriedades assosiadas as pro
prledades dos materiais integrantes da estrutura, bem como das
ações â que a estrutura fica sujeita.
-5-
Para definir-se os coeficientes de segurança, froouente
mente lança-se mão de um estudo estatístico das resistências dos
materiais e das cargas associadas a uma dada estrutura. Fai-sr ,
assin, â procura de um valor "rúnlmo" R. para a resistência de
um material; usualmente calculado como R * m (m - kt), onde m e a
média dos valores das resistências obtidas em ensaios experlmcn
tais e < o desvio padrão desta distribuição de resistências. . Ent
vários casos o parâmetro k foi escolhido em torno do valor 2.33,
de forma que admitida a distribuição gaussiana das resistências,a
probabilidade de uma resistência menor que R^ realmente ocorrer
seja somente 1%; ou então, definiu-se fc para eme esta nrohabllida
de fosse 5%. De modo semelhante procurou-se determinar una carga
"maxima* S^ que na prática tivesse poucas chances de ocorrência
ao longo da vida da estrutura. Verifica-se aqui também a tendên
cia de definir S^ a partir da probabilidade de ocorrência. O con
ceito de R. pode ser expandido para a estrutura e fala-se cm "re
sistência da estrutura", ou seja era sua capacidade por tan te (ou
de utilização). Estes valores, R, e S., foran: então, utilizados
para definir o coeficiente de segurança em nuitas esferas da ati
vldade estrutural:
Rln - -i (2.1)Sl
A critica usual a este procedimento convencional é
obvia observando-se a Figura (2.1), que mostra a distribuição de
probabilidades da resistência da estrutura R e das cargas F nas
••suas bases.
-6-
Resistpncia
Carga ouResistência
Figura 2.1 - Distribuição estatística de cargas e resistên
cias.
A rio ser cue a forma das duas curvas sei a rigorosar.en
te controlada o resultado será a superposição das curvas. Fsta su
perposição implica na possibilidade de uma estrutura com una re
sistência R-, substancialmente menor que R,, suportar uma carga
F» muito maior oue S., de modo tal rue S^ exceda a R? e ocorra a
ruína. Fe as duas curvas forem estritamente gaussianas terão ura
cauda que se extende indefinidamente de forma cue a superposição
será inevitável. Em muitos casos práticos, mesmo que as curvas
não sejam perfeitamente gaussianas (eventualmente pode haver res
mo um limite inferior R_ para a resistência), alguma superposição
é inevitável, correspondendo a alguma chance de ruína. Assim un
procedimento de calculo baseado em R.e S., aparentemente garante
a impossibilidade da ruína, mas de fato não rode excluir a proba
bilidade de unia ruína, nem mesmo quantificá-la, nem fornece cuaiL
quer recurso para diminuir esta probabilidade.
A idéia de avaliar a probabilidade de ruína da estrutu
ra implícita na superposição das caudas da Figura 2.1 surgiu ini,
cialmente no mundo da aviação militar* '. Nos anos 30 a produção
*e aviões militares cresceu e com ela os acidentes. Fntão surgiu
* idéias de "risco de acidente". Embora as causas de acidentes
<ossem várias e poucas diretamente relacionadas â falhas da estru
tura do avião, chegou-se a determinar um valor limite aceitável
acidentes estruturais, em aviões militares, em termos de ho
-7-
ras de vôo: 1 acidente para cada 10 horas de vôo. Posteriormente
a experiência de vôos civis confirmou esta tendência e este va
lor. Assim, una nova filosofia de segurança das estruturas estava
começando a ser aceita. Também no calculo de estruturas navais a
abordagem probabilística desenvolveu-se desde cedo, jã nue a álea
toriedade dos parâmetros cue definem as ondas do mar é eviden
te . Muitos outros campos do cálculo estrutural começaram
também a receber esta nova abordagem, Z,ogo aclicou-se conceitos
probabilisticos à verificação da segurança de automóveis e de
trens. E hoje constata-se uma tendência generalizada no sentido
de ampliar a todas as esferas do cálculo estrutural a conceitua
ção probabillstica na verificação da segurança das estruturas
Mesmo em problemas relacionados â solos» rochas, fundações e
obras de terra jã se está começando a usar métodos probabilistic
cos. Mais ainda, no cálculo de edifícios e de grandes estruturas.
E então procura-se determinar a probabilidade de ruína associada
a cada estrutura sujeita a um certo tipo de carregamento. E o que
se pode esperar para um futuro próximo é uma evolução tanto dos
métodos de análise estrutural quanto de sua normalização, no sen
tido de aceitar e quantificar esta probabilidade.
2.2 A PROPABIEILIDADE DE RUÍNA
De fato o que estava sendo colocado em questão era a
abordagem determinística do cálculo estrutural, seguindo uma ten
dência que estava ocorrendo em outros campos da Ciência. A" medida
que se ia aprofundando o estudo de muitos fenômenos da natureza ,
percebia-se a inadequação de uma abordagem determinística. Fre
fluentemente, apesar de crue possa existir uma lei determinística
mie relaciona diretamente causa e efeito, rm muitos fenômenos na
turais o que ocorre é nue nem sempre é possível ou prático deri
vá-la. No cálculo estrutural, logo se verificou a aleatoriedade
dos parâmetros mecânicos e geométricos das estruturas. F ao seren
feitos ensaios para a determinação da resistência da um material
qualquer, verificou-se cue a resistência é uma variável aleatória
contínua, â qual se deve associar uma lei de distribuição de den
sidade de probabilidades. Na verdade, todas as características
geométricas e mecânicas das estruturas também são variáveis álea
tõria», e ainda com muito mais razão as cargas também o são. F a
-8-
conclusão é que aualquer estrutura projetada para suportar deter
ninadas ações» com oualquer procedimento para introdução da segu
rança, possui*.S sempre uma probabilidade de ruína maior oue zero.
Mesmo que se tivessv uma resistência mínima maior que zero, pro
jetar a -.<strutura cr,n segurança absoluta seria ou impossível ou
an ti-ecoros ico.
A rrobabí1í!ade de ruína p da estrutura será a probably
1idade óc tpr»se cm una situação R S,
< S] (2.2)
* 0 conceito de probabilidade pode ser entendido como o
limite para o qual tenderia a freqüência relativa da ocorrência de
um dado evento (no caso, a ruína) quando o número de renetições
das situações em que possa ocorrer o evento tenda ao infinito (de
finição proposta pela escola freouencialista de probabilidade)
Mas o conceito de probabilidade pode ser entendido também como
uma medida subjetiva do grau de confiança que se pode ter na
ocorrência de um dado evento (definição da escola personalista ,
•tais aceita atualmente). Esta segunda interpretação ê interessan
te visto que nem sempre é possível falar-se de muitas repetições
de situações onde possa ocorrer o evento.
Com a probabilidade de ruína podemos dizer crue estanos
com uma medida conceitualmente perfeita da segurança de uma estru
tura. 0 que não era o caso dos antigos coeficientes de segurança.
Aqueles davam a falsa impressão de rue a segurança era absoluta .
Além disto o seu valor era inadequado para precisar a segurança
(e o risco) de uma dada estrutura. Por exemplo, quando se falava
er. um coeficiente de segurança igual a 2 para uma estrutura de
*ço e também para uma estrutura de madeira, isto não significava
que ambas as estruturas possuíssem a mesma segurança. Na verdade,
* estrutura de aço, com uma dispersão e incertezas muito menores
acerca de suas resistências mecânicas, possui uma segurança muito
«aior que a estrutura de madeira (apesar de que o coeficiente de
•«gorança fosse o mesmo)* De forma que o coeficiente de segurança
•ra um mau indicador da segurança ( e do risco) de uma estrutura.
-9-
Cabe observar nue a probabilidade de ruína é a nrobabj,
lidade de se alcançar um estado limite da estrutura, rode se
referir tanto aos estados liirites últirtos, nuanto aos estados M
r.ites de utilização. Os estados limites últínos são os nue corres
ponden ao esgotarento da capacidade rortante da estrutura. F os
estados limites de utilização são o« rue corresrjorder. a exieên
cias funcionais e de durabilidade da estrutura.
f imnortantç» notar cue a aceitação da conclusão de nue
a segurança estrutural ê um problema rrobahilístico innlica err.
uma nova postura profissional da parte do calculista. De fato,rcn
nida a ilusão de una segurança absoluta, cabe ao enqenbeiro nroje
tar e construir estruturas que apreserteia risco de ruína baixo e
compatível aos riscos inevitáveis ã nue já está sujeita a vida hu
mana. Assim, comparando aos riscos de acidentes em outras ativida
des humanas, admite-se que a probabilidade de ruína entre 10** e
10 é normalmente aceitável. Mas em últina instância a deterwira
ção desta probabilidade de ruína aceitável escapa ao camno mera
mente técnico. F anui o enqenheiro esbarra em uma cuestão ética
e político-social. Certamente o risco cue se considerará aceita
vel deverá depender das próprias características da sociedade CTI
nuestão e de seu grau de avanço tecnológico.
2.3 ECONOMIA E SEGURANÇA
(Ana vantagem importante da abordagem nrobabilíst1ca é.
a superação do conflito entre segurança e econonia, presente em
uma visão determinística. Agora, não só os custos diretos da es
truture podem ser levados em conta, mas também acueles referentes
a eventuais prejuízos que a estrutura nossa causar, durante o tem
no previsto para a sua utilização. Assim, dentro de uma visão pro
babilística da segurança, com a introdução do conceito de custo
generalizado (C_), consegue-se quantificar economicamente a segu
rança<*> *
co * pf • cf (2'3)
- custo inicial da estrutura somado ao custo de manutenção o
. - f t..:Z:r:-r ••«•"'
tt.6"- v V > -.•>.:> ,-:"—• f „ • J j
-10-
subtraido o valor da estrutura quando nosta fora de uso;
Cf - custo resultante dos prejuízos de diversas naturezas nrovo
cados pela ultrapassagem de ura determinado estado limite ,
que ten probabilidade P~ de ocorrência.
Fe se desejar otimizar o cálculo da estrutura, hasta cal
cúlar o valor de P« oue rcininize o custo aeral C , ror exentnlo rcr
neio da exnre^sao :
»c—2 »?P f
3CO +
i P f
Í C ,_ f
f i Pfi
(2.4)
Certamente que a maior dificuldade desta cálculo reside na guan
tificaçlo dos fatores que entrara na composição de C-, especialmen
te quando entra era jogo a perda de vidas humanas.
2.4 WlVEIS NO TRATftMECTO PROBAFILÍSTICO
Atualmente, o cálculo da probabilidade de ruína em uma
estrutura nlo pode ser feita senio mediante sirmlificações. Fspe
cialntente no caso de solicitações e resistências multidinensionais
o problema é complexo, e a composição das ações é difícil. Fm si.
tuaçõcs complexas então, por ora, é preciso aceitar o cálculo a
proximado do valor da probabilidade de ruína. Assim, corresponder!
do â diferentes níveis de rigor conceituai, é possível definir
três níveis no tratamento probabilistic© aplicado ao cálculo e£
trutural.
Considerando-se a aleatoriedade das ações (para uma me
lhor conceituacão de "ações" e "resistência" veja o prõxlno ca pi
tulo, item 3.1), elas ou os esforços delas decorrentes podem ser
descritos de forma simbólica pela expressão:
X2, ..., Xn) (2.5)
-11-
onde as variáveis X. (i » 1,2,.%..ra) medem as grandezas aleato
rias cue afetas o "nível de solicitação" sinbolizado no S.
De foma análoga, a capacidade resistente da estrutura
rode ser posta sob uma forma simbólica:
R IY» , '<yt "«k*(2.f)
onde as variáveis V. (j « 1,2, ..., n) nedei» as grandezas aleatõ
rias crae afetam a capacidade resistente, simbolizada ror P.
Assim temos ' , no nível I, o processo dos valores
extremos, cuja condição de verificação da segurança é expressa
por
F (xlextr ' *••' R (Vl,extr ' " " Yn,extr}
(2.7)
A segurança é introduzida através das probabilidades P.. ^v«.v exi,cxcr
Pvi e x t r » <!«« deteriüinam respectivamente os valores extreros
x. e Y« ^M.^ , com os crua is são calculados limites das so
licitações S e das resistências R. (Veja a Figura 2.2).
xi
xi,pxtr
xi,extr xi yi,extr vi
Figura 2.2 - Ilustração de verificação ao Nível I.
-12-
II enprega o processo dos extremos funcionais ,cuja condição de verificação da segurança ê dada por
extr » X2' *••' V extr ' Y2' ***' V(2.P)
»:o processo dos extrer.os funcionais a segurança ê introduzida rp
Ias probabilidades Pj. p x t r e PR p x t r , cue definem os extrenos
nrobabilisticos das funções F (X^, ...» Xn) e R (Yj, ..., Y^) ,
respectivamente. (Veja a Figura 2.3}
s,extr
extr
Figura 2.3 - Ilustração de verificação ao Nível II
Ao nível III corresponde ao processo exato» cujas cor
dlções de verificação da segurança são dadas pelas expressões se
«ulntes
* •••' v n) i O
(2.9)
de modo equivalente
-13-
R (vx,
s (xr(2.10)
Neste processo, a segurança ê red ida pela probabilidade P_j. deruína, a qual ocorre ouando R/S ^ 1 ou (R - S) < 0, (veja Figura2.4).
R-F
R-S
Figura 2.4 - Ilustração de verificação ao Nível III
Assim, no método probabilistic© de cálculo, a segurançaé medida essencialmente por probabilidades associadas ã ocorrência de estados limites, variando apenas a maneira de se considerar essas probabilidades, em função do nível de precisão empregado.
2.5 O CASO ÜNIDIMFNPIONAL
No caso do problema unidimensional, ou seja, ouar.do asvariáveis R e S são definidas ambas por uma única variável, ocálculo da probabilidade de ruína é mais fác i l . No emprego doprocesso exato (nível I I I ) , para se evitar a complexidade do estudo das distribuições da função R/F, é preferível a consideraÇio isolada das distríbuícõe* de R p ?. A probabilidade de ruínaPOdef então, ser calculada por uma integral.
-14-
Se R e S são determinadas pelas variáveis aleatórias não
negativas ZR e Z^ , respectivamente, a condição de ruína pode
ser escrita por ZR ^ Zp , e a probabilidade de ruína pode ser
indicada por
Pf - P <ZR (2.11)
Dadas as funções de densidade de rrobabilidade fp (z) e
f» (z) de Z_ e Z_ , respectivamente e pondo
FR (z) = P (ZR Z) 1 (s) ds (2.12)
(z) Z) » / fP <s) ds
0
(2.13)
a probabilidade de ruína, admit indo-se ZD e 7,c independentes é
dada por
fc (z) fR (s) ds
JO
dz (2.14)
PR (z) fs (z) dz (2.15)
ou. Invertendo-se a ordem de integração
fR (z) dz (2.16)
-15-
£ importante notar çrue estas integrais só são validas
caso ZR e Z^ forem independentes, ou seja, oue a resistência e
o carregamento sejam independentes. Isto ê hem razoável ouase sem
pre, mas não é absolutamente preciso. Uma dependência simples de
ser constatada é que o peso próprio reaciona-se de alguna manei_
ra coro a resistência.
Ainda no contexto dos métodos probabillsticos, rode-se
definir coeficientes de segurança, tomando-se, por exemplo, as
relações
R Rk
*0 « Ü e yk - f (2.17)
Chama-se y. de coeficiente central de segurança, definido pela
razão entre os valores médios da resistência (R.) e das solicita
ções (SQ). E chama-se y. de coeficiente característico de segu
rança, definido pela razão entre os valores característicos da re
sistência (R^) e das solicitações ($,,). Chama-se usualmente re
sistência característica (R. ) â resistência que ten probabilidade
de 951 de ser superada durante a vida real da estrutura; e cha
ma-se usualmente solicitação característica à solicitação por
carga permanente que tem 95% de probabilidade de não ser superada
durante a vida real da estrutura. A definição de resistência ca
racterística (R.) e de solicitação característica (S. ) ven do CEP
Comoté Européen du Beton(6).
E assim é possível associar a cada valor de y0 ou de
Yv valores de probabilidade de ruína P., Perry Porges e Casta(14) " ""
nhetav ' realizaram este estudo para vários tipos de distribuições de R e P.
-16-
CAff l l lLOl
3. FUNDAMENTOS TEÓRICOS DE APQRDAGEM PROTWHILlSTICA AO CALCULO
ESTRUTURAL
3.1 Fatores cue Influenciam a Segurança
Vamos definir inicialr.er.te "ações" e desistências" asso
ciadas a ur.a estrutura. Chamamos "ações" (ou solicitações) â qual_
nuer influência ou conjunto de influências capazes de produzir es
taãos de tensão em uma estrutura. Quanto ã sua natureza, as ações
nodem ser "diretas" ou "indiretas". As ações diretas correspondem
aos carregamentos, como os pesos próprios, nesos de equipamentos
fixos, cargas estáticas e dinâmicas de utilização, cargas de ven
to, etc. As ações indiretas correspondem ?.s deformações reolõgi^
cas, deslocamentos de apoio, etc . Os valores de ações ou es
forços solicitantes que correspondem a um dado estado (limite ou
de utilização) da estrutura são chamados "resistências" da estru
tura. Assim as resistências expressam o comnortamento estrutural(19)
em termos de ações ou esforços solicitantes .
A teoria das estruturas em corrente uso possui um cará
ter determinlstico. A geometria da estrutura, as propriedades me
cinicas dos materiais e o comportamento estrutural são definidos
por cruantidades determinadas, bem como as ações. Fm uma abordagem
orobabillstica, resistências e ações são consideradas grandezas
aleatórias o expressar por distribuições estatísticas.
Vários fatores produzem esta aleatoriedade e geram in
certezas. Assim, na analise da segurança estrutural, no cue se re
fere às ações temosí55):
1. A variabilidade da intensidade das ações;
2. A probabilidade da ação simultânea de diversas ações ciue
a estrutura deve suportar.
Se a comparação entre ações e resistências for feita a
través de esforços solicitantes, haverá de se levar em conta os
-17-
fatores que afetam os esforços solicitantes das ações :
1. Simplificações teóricas da analise estrutural;
2. Imprecisões nur.êricas de cálculo;
3. Imprecisões qeonétricas construtivas;
4. Variabilidade das características mecânicas de deformabi^
lidade dos materiais eir. laboratório;
5. Variabilidade das características mecânicas de drformaM
lidade dos materiais do laboratório para a obra.
No que se refere âs resistências, os fatores cue in(51) ""
fluem nos esforços solicitantes limites sao os seguintes :
1. Variabilidade das características mecânicas de resistên
cia dos materiais em laboratório;
2. Variabilidade das características mecânicas de resistên
cia dos materiais do laboratório para a obra;
3. Simplificações teóricas no calculo dos esforços solicitan
tes limites;
4. Imprecisões geométricas construtivas locais.
Ainda há oue levar se em conta os fatores que influem
na responsabilidade da estrutura( ':
1. Tipo e montante dos danos produzidos pela eventual ruína
da estrutura;
2. Capacidade de redistrihuição dos esforços e de avjso de
ruína iminente.
3.2 Os Modelos Probablllstlcos no Cálculo Fstrutural
Uma abordaiem probabillstica exata e global esbarra em
várias dificuldades decorrentes de pelo menos OB seguinte» fatoí55>
-18-
1. Dificuldades na definição estatística dos fatores mie in
fluem nas ações;
2. Dificuldades na definição estatística dos fatores mie in
fluem nos esforços solicitantes;
3. Dificuldades na definição estatística dos fatores rue in
fluem nos esforços solicitantes limites;
4. Dificuldades na análise teórica do comportanrrto estrutu
ral.
Assin modelos sintrlificadores slo necessários. Conforre
o seu rigor na aplicação de métodos nrobabilísticos, podem ser
classificados em três níveis, como exposto no capítulo anterior.
Uni trabalho de interesse r.a aplicação de métodos proba
bilísticos ã verificação da segurança de vasos de nressão é o de
F. G. Arnold, "Pressure Vessel Reliability as a Function of
Allowable Stress" . Faz um estudo da probabilidade de ruína do
vaso levando em conta tanto os carregamentos estáticos, ouanto di
nâmicos. Uma de suas vantagens é trabalhar diretamente coin ten
soes, admissíveis e induzidas, o que permite uma fácil comparação
con os critérios propostos em norma pela secção III da ASMF Poiler
and Pressure Vessel Code . A principal limitação de seu traba
lho reside na composição das ações, visto cue seu estudo é unidi^
«ensional. Emprega uma expressão equivalente ã expressão (2.14)
do capítulo anterior. Fm seu exemplo numérico limita-se a analí^
«ar a ação da pressão interna.
Assim um problema fundamental é como combinar as varias
modalidades de ações â mie fica sujeito o vaso de pressão nu
clear. Una abordagem mais corrpleta do assunto terá rue resolver
o problema da composição de vários tipos de ações. A miestão re
tide no noâo de representar estes vários tipos de ações e no modo
<fo combiná-los. Patista em sua dissertação "Segurança Fstrutural:
Caracterização e Combinação dr Ações" * ', estuda vários modos de
combinar as ações.
O problema consiste em determinar a probabilidade, cha
nada probabilidade de ruína, do vetor de cargas atingir a condi
-19-
çio de ruína ao menos uma vez durante a vida de estrutura. Ape
nas em casos excepcionais este calculo ê feito de modo exato; u
sualrtente aproximações slo necessárias. O número de rwtssagens na
ra a situação de ruína pode ser avaliado nor nteio de orocessos es
tocásticos de contagem . Estes nrocessos descreveriam várias si
tuações de ocorrência ce passagens. Define-se um processo de cen
tagem, COKO um rrocesso estocástico de valores inteiros f*:(t) ,
t>0)» oue conta o nürtoro de pontos, distribuídos t>or um certo rw»
canismo estocástico, rue aparecer» eir ur. dado intervalo. PR rontos
representar os irstantes nos nuais trnhan ocorrido rvrntos cem
certa característica especificada. Várias designações se dão ao
processo de acordo cor a distribuição dos nor tos. Pat i st a cita
expressões para vários tipos de processos oue calculem o valor da
probabilidade de ruína. A influência do tipo de nrocesso adotado
foi analisada por L. fentler em "Stochastic Representation of
Loads" através de simulações, informa Patista* ' e arresenta os
gráficos resultantes destas simulações. F conclue: "Os resultados
obtidos sugerem çue idealizações muito complexas para os rodeios
são desnecessárias e, na faixa de interesse, as discrenânclas
são pequenas** . E na conclusão de seu trabalho escreve: "Fm ge
ral, nara as coirhinacões, imprecisões cometidas nos narâmetros de
finidores dos processos não afetam sensivelmente os resultados sen
do, entretanto, eventualmente importantes no estudo individual das
ações. Em particular, a representação das ações através nos mode
los de Ferry Borges e Castanheta tem-se mostrado suficierte para
a analise das combinações" .
Olhando desde a perspectiva do desenvolvimento do cálcu
Io estrutural nas últimas décadas, vimos assistindo o anarecimen
to de vários trabalhos aue procuram dar inicio ao uso de técnicas
probabili ricas no cálculo estrutural. Os trabalhos publicados
nos anos 20 e 30 forarr. essencialmente qualitativos. Vos anos 40 r
50 surgiram os primeiros trabalhos que distinguiam rntre distrí^
buições estatísticas das tensões induzidas e das tensões corres
pondentes a estados limites. Algumas regras para a combinação das
cua» distribuições foram dadas para poder-se determinar a nrobahi.
1 idade de ruína. Winzbicki em 1939 sugere a comparação da nrobaM
<•) Batista, r,g 4.40 e 4.41.
(**) Patista, nq fi.l e f.2
-20-
lidade de ruína estrutural com a probabilidade de acidente em ou(1*>) ~"
tros tipos de atividades humanas '. Torroja e Paez sugeriram a
diferenciação das causas de incertezas envolvidas. Johnson fez os
criraeiros estudos sobre as distribuições estatísticas mais adenua
das na definição de cargas e resistências . Vários outros de í
senvolvinentos podem ser apontados nas obras de Penjamim e Cornel l ( 8 ) , Freudenthal í 2 1 ), P u g s l e y í 4 3 ) , Turfcstra*u',etc.
(34)No Rrasil podemos citar LangpndoncV , Fiqueiredo Fer
r a z í l 7 ) . Silva L e m e í 4 5 ) , Z a g o t t i s ( 5 5 ) e F u s c o ( 2 2 ' 2 3 ) cono os oue
contribuíram para a introdução de técnicas orobabilísticas ao cájl
culo estrutural.
Entre estas várias contribuições destaca-se o trabalho
de Ferry Borges e Castánheta oue apresenta uma abrangência muito
naior que muitos trabalhos oue oferecem contribuições localizadas
ao problema. Procurando sintetizar os avanços e contribuições âes
tes vários autores organiza um método de cálculo ben acurado, mas
que, no entanto, evita as formulações matemáticas mais complica
das. No Brasil os resultados de Ferry rorges e Castánheta forarr
difundidos, especialmente pelo curso ã nlvrl de nõs-graduacio naí 181
Escola Politécnica da ÜSP en» 1975 ministrado por Ferry Forges
Na Fngenharia Nuclear, por outro lado, os métodos proba
billsticos passaram a ser cada vez irais empregados nas análises
de confiabilidade. Conferências foram organizadas ' , a anãli
se de segurança por meio de árvores de falhas começam a ser utili^
*«dasí25'31'32'52) e toda a uma conceituação nrobabillstica
firma(3f'37'41'54'3>.se
O método de Ferry Borges e Castánheta^ ' ' apresenta
• vantagem da possibilidade de combinação de vários tipos de
•ÇÕ«8, o que não é tio acessível no trabalho de Arnold* . Evita
complicações conceituais de outros rrétodos, por exemplo expostos
f»or Batista '. Sintetiza vários trabalhos anteriores e está de
Acordo com a tendência geral de ampliar o uso de métodos nrobabi
listicos na Energia Nuclear. Sua utilização garante a introdução
-21-
âe uma análise probabilistica na própria formulação do cálculo PS
trutural.
Assim, dado o grau de desenvolvimento do modelo de Frr
ry Borges e Castanheta, sua relativa simplicidade e seu suficien
te rigor, este modelo serã escolhido neste trabalho. De fato a so
luçio exata da combinação das ações e sua comparação ãs resistên
cias da estrutura, dentro de uir.a idealização rrobabilfstica, irr
plica em uma descrição global dos processos estocástico? definir
do a variação no tempo de cada carga e das resistências. O modelo
de Ferry Borges e Castanheta introduz sircolificacões ros
sos estocásticos, que entretanto mantém boa exatidão dos resultaif.)
dos, conforme nos informa Batista
0 modelo de Ferry Borges e Castanheta consiste básica
pente em se definir para cada categoria de ação intervalos elemen
tares, isto é, intervalos tais que os valores máximos da ação a
tingidos em intervalos sucessivos possam ser admitidos con corre
laçao nula entre si. Admite-se ainda nue, durante cada intervalo
elementar, a ação tenha valor constante e igual ao seu máximo.Nes
te modelo pode-se tratar como ações distintas, nue pertençam a no
pulaçÕes estatísticas diferentes. Para ações de elevado caráter
intermitente, deve-se introduzir parâmetros nue possam considerar
• medir esta intermitência.
Neste capitulo apresenta-se o modelo de Ferry Borges e
Cattanheta em vistas ã aplicações específicas desta dissertação .
Introduz-se também conceitos e simplificações rue se assentam so
bre outros autores como Silva Leme, Zagottis, RacJrwitz-Pussler e
Turkstra.
(18,19)3.3 0 Modelo de Ferry Borges e Castanheta
3.3.1 Teoria estatística das estruturas
A partir da formulação do problema básico da se
furança estrutural, o cálculo da probabilidade de ruína é baseadon« distribuição estatística das cargas e resistências. A cada es
-22-
tado último de ruptura ou disfunção corresponde uma distribuição
estatística que representa a probabilidade deste estado último !
ser atingido para um dado valor das ações. Fsta distribuição es ]
tatística deve incluir todos os dados nertinentes ao comnortarren \
to estrutural deste estado último. A definição desta nrobabilid<a
de estatística do comportamento estrutural é um nrohlema básico.
Em principio, esta distribuição pode. ser obtida de duas naneiras:
experimental ou analiticamente. Ê claro nue a determinação expe
rinental demanda a observação de uma população de estruturas si
rtilares, de onde se pode estimar os parâr.etros estatísticos. Ana
liticamente, a teoria estatística das estuturas procura levantar
estes parâmetros através das distribuições estatísticas das cro
nriedades mecânicas dos materiais e das dimensões dos elementos.
Até ao presente os resultados ainda são limitados. Mas um modo
simplificado de se estimar as distribuições que representam o
comportamento estrutural consiste em tomar um valor de referên
cia e admitir que a distribuição seja de um determinado tipo. U
suelmente as teorias deterministicas rocen ser usadas para trans»
formar as características mecânicas dos elementos ent caracterís
ticas do comportamento da estrutura.
Uma teoria das estruturas com bases estatísti
cas vai procurar relacionar a aleatoriedade das dimensões e pro
oriedades mecânicas dor materiais com a aleatoriedade do compor
tamento estrutural. Em uma definição determinística as nroprieda
des mecânicas dos materiais como, por exemplo, a tensão de ruptu
ra (â compressão ou tração), são descritas por uma única varia
vel. Mas no modelo probabilístico temos uma função de distribui
çio destas variáveis que indica a probabilidade de se obter rug
tura para vários valores. Assim a relação tensão/deformação de
um material é definida por um conjunto de funções e não por uma
•ô função. Veja figura 3.1.
-23-
1 P U - tp/»fl>
'O "p<« < V
Figura 3.1 - Gráfico tensão/deformação probabilistico.
Na verdade, o conceito de resistência de um material já sofreu uma evolução tal que hoje não se admite oue a reslstência seja uma propriedade intrínseca da matéria. A resistênd a , passa a ser vista, conto um atributo do corpo, dependendo domaterial, mas das dimensões e das distribuições de tensões no interior do corpo também. Assim é oue fica claro a necessidade daintrodução de una abordagem probabillstica, mesmo ao nível da reslstência mecânica dos materiais, quanto mais ao nível do conwo£
tamento estrutural. Conferir trabalho de Silva Leme (46)
Quando se estabelece a relação tensão/deformaçãode um material acaba-se obtendo duas distribuições estatísticas .Uma indica a probabilidade de se obter tensões menores oue a ©ara um dado valor de deformação íQ, ou seja pG 4 ã^jt^). A outraindica a probabilidade de se obter deformações menores eme éQ nara um valor de tensão õQ , ou seja pit 4 éo/9).
V e 1 a a figura3.1.
-24-
Ferry Forges e Castanheta ' propõem um método
para associar elementos cue possuam una definição estatística das
propriedades mecânicas. Desprezando a variação das dimensões a
fim de simplificar o problema, ê possível, nor fim, ohter una disç
tribuição estatística dos valores das resistências das estruturas.
3.3.2 ConMr.a«-io das ações
3.3.2.1 Introducio
O cálculo da r-rohahilidade de ruína cuan
do ação e resistência são ambas definidas por uma única variável
pode ser feito pela expressão (2.14) do capitulo anterior. A gene
ralização para o caso de várias ações agindo simultaneamente en
volve o estudo estatístico da combinação dos vários tipos de
ações. Assim já não é suficiente considerar o valor máximo de ca
âa ação, mas é necessário levar em conta a variação das ações coro
o passar do tempo. E de fato, a solução do rroblema sob a nersr»e£
tiva probabilística implica em uma descrição do processo cstocás
tico definindo a variação no tempo de cada ação. No entanto, sim
plificações são necessárias para a obtenção de soluções práticas.
No modelo de Ferry Forges e Castanheta,
não só várias ações são consideradas, mas também a resistência da
estrutura é expressa por várias variáveis. E realmente é importan
te a formulação de uma teoria que leve em conta a combinaçêo de
várias ações. Isto poroue, os fatores de carga adotados atualmen
te que procuram levar err. conta a combinação das cargas são mera
mente intuitivos e freqüentemente falhos.
No modelo de Ferry Porges e Castanheta
os seguintes aspectos serão levados cm conta no estudo das comM
nações de ações:
1. a definição estatística das ações;
2. a variação no tempo, no espaço e de estrutura para es
trutura;
3. a transformação da distribuição estatística das cargas
-25-
em distribuições estatísticas dos esforços solicitantes:
4. a distribuirão estatística da resistência exnressa nor
várias variáveis;
5. o cálculo da nrobabilidade de ruína.
3.3.2.2 Variação no tenro
A variarão no tenro denerde suhstatí
cialmente do tipo de ação ert ouestão. Para as cargas oermanentes
(veja uma definição de cargas permanentes, variáveis e excepcio-
nais, no Item 5.2.2.2)a variação no tcnpo geralmente pode ser
desprezada, apesar de que realmente ocorra uma variação devido
â corrosão ou outro fenômeno semelhante. Assim a distribuição es
tatlstica das cargas permanentes deprnde basicamente da distri
buiçâo estatística das dimensões e da massa especifica dos ele
«tentos da estrutura. Para as cargas variáveis i possível admitir
-se variações drásticas, de modo independente uma das outras, ao
longo da vida das estruturas. Para as cargas excepcionais, como
terremotos, choques, explosões, etc, há rue se considerar a sua
abrupta variação de não atuante para atuante e vice versa.
3.3.2.3 Intervalos elementares de tempo
Para se considerar a variação no tem
po dos diferentes tipos de carga, imagina-se intervalos elementa
res de tempo. Admite-se mie durante estes intervalos a intensida
de da carga seja constante e igual à seu máximo. Admite-se tan
bem que as intensidades das cargas em intervalos sucessivos se
jam independentes (con correlação nula entre si). Note-se cue de
um lado ten-se a hipótese de independência para o valor máximo
•ntre intervalos sucessivos levando a defini-los relativarentr
longos e por outro, a hipótese de valor constante da ação duran
te cada intervalo,levando a defini-los o mais curto nosslvel. Ma
escolha dos intervalos deve-se compatibilizar, dentro do possíI
vel, as duas hipóteses com vistas às finalidades orática*.I
A tabela 3.1 abaixo indica a duração
?550
50
aX
X
c1O3
iofi
-26-
usual de alguns intervalos elementares nara alguns tipos de car
gas en edifícios e o total de repetições inde»endent*»s nara uwa
vida de 50 anos da estrutura, aqui apresentada à titulo de ilus
tração* .
Duração do Número de Reretições
Ação Intervalo Elementar Irdependentes
Permanente 50 anos
Carga de utili
zação era edifl
cios 2 a 10 anos
Ventos 1 hora
Fismos . 30 s
Tabela 3.1 - Ilustração de valores de repetição para as car
gas.
3.3.2.4 Combinação Probabilistica das cargas
Considere-se uma estrutura sob diferen
tes tipos de cargas definidas pelo vetor £ com componentes s,,S 2 ' S 3 ' * * * ' S * ° número de repetições independentes de cada
uma das cargas durante a vida da estrutura é r^ < r, < r- .•. r
respectivamente. A condição r^ * 1 significa mie s^ é uma carga
permanente.
Peja um domínio de variação de P em
Rn definido pelos limites s\ < s^ <s!'. Durante um intervalo e
lementar de tempo a probabilidade da carga se recai neste domj^
nio é P j (s*1) - F± (sj); onde F(P) é a distribuição estatística
da aleatoriedade das cargas, e sua derivada, a densidade de pro
habilidade» é í(s). Be o domínio é elementar esta probabilidade
pode ser expressa por dFi (si). A probabilidade da carga s^ re
cair fora deste domínio é
1 - Fx <sj»> - FA (sj) (3.O
Elementarmente temos i 1 - dF. (s.). (3.7)
-27-
De acordo com a suposição de indenendência das cargas em intervalos sucessivos.
•(1 - CF± (Sj ) - PjL ( sp) i
representa a probabilidade da carga periranocer fora do intervalo
para r. repetições; isto é, de não ocorrer durante a vida da es
trutura.
Finalmente
r i
(3.8)
representa- a probabilidade da carga s. recair no domínios* < s <s'* ao menos uma vez durante a vida da estrutura. Paraun domínio elementar
dP r i (s^ « 1 - (1 - cFi (si))ri (3.9)
Se o número de repetições independentesr, e o mesmo para diversos tipos de cargas s. ... s. , a nrobaMlidade da carga recair ao nenos uma vez no domínio
4 si k
r i,Jc * j»l j sj j kSj
(3.10)
Para um domínio elementar
dPr («j , . . . f sk) - 1 - (1 - jjx d P ^ í ^ ) ) ' (3.11)
Fe o número de repetições não é o ir.es•o para os diferentes tipos de cargas a expressão acima pode ser9*neralizada para
'ri ... rn Wl l i
[ r vi r 2 / r i \
i - ( P 2 ( s j ' ) ) ( i - I i - ( F J Í S ^ 1 ) - F 3 ( « ; ) ) ( . . . ) | r 3 / r 2 )
|
-28-
para o domínio elementar
dF (s) » 1 - 1 - dF1(s1) (1 -
r3 / r2
. i3i — -M. - -M. — v»* i to. , i* 1 — dF- (s«) (1 —rx ... rn A I / /
(3.13)
I-, função ciF . (s) covo cefinicak ri ... rnacima indica a probabilidade de o vetor de cargas s recair nc
domínio d , ao menos una vez durante a vida da estrutura,si ... sn _mas não deve ser entendida come a função densidade.
Em regiões de especial interesse para
o projeto de estruturas, onde as probabilidades das cargas são
baixas n expressão pode ser aproximada por:
dPrn
..arn fl
fi í si } dsi
fr (sn) dsl...sn =
(3.14)
3.3.2.5 Transformação de cargas em esforços
solicitantes
A probabilidade de falha em uma estrutu
ra ou em um de seus elementos é cormutada por meio de uma in te
gral de convoluçâo entre a distribuição estatística das cargas e
a distribuição estatística das resistências. Por isto, tanto as
cargas quanto as resistências têm mie ser expressas por variáveis
comuns.
conUma maneira de tratar o problema
siste em transformar as cargas I s| em esforços solicitantes 0^
de componentes a. e expressar a resistência pelo vetor ( ü| de con
Ponentes^uA tembém em termos de esforços solicitantes. Isto é con
veniente já mie as resistências das estruturas podem ser facilren
te expressas em termos de esforços solicitantes. Cada um dos veto
-29-
res (Q\ e lul referem-se a uma mesma seção de um elemento da
estrutura e que no caso geral possue seis componentes: uma força
axial, duas forças cortantes, dois momentos fletores e un momento
torçor. Esta noção de esforços solicitantes node ser generalizada
pela consideração simultânea de mais de uma secção.
Para o caso no rual a relação entre car
gas e esforços solicitantes é linear, é possível admitir a exís
tência de uma matriz de transformação:
n (3.15)
sendo "m" e "n" o número de componentes dos vetores de esforço?
solicitantes e de cargas, respectivamente.
O problema ê obter-se a distribuição es
tatlstica dos esforços solicitantes er> função da distribuição das
cargas. A função densidade das cargas é f(s) dsl ••• dgp ,aue in
dica a densidade de Drobabilidade do vetor recair ao menos uma
vez em um volume elementar d . ... d , durante a vida da estru
tura.
Para o caso de n • m a relação entre
distribuiçces é ( 1 9 ) :
* (<J* ... q_) do. ... dq • f(s*sc ç« + ... + c« q , ... ,
•» • c n l c l + '•• + cnn V , J "! d « l ••• dcTnn
(3.16)
onde I c I é a inversa de A I e seus elementos são c.. ... c. ,
0 valor do jacobiano é
"• " í. '. i
Quando n < m, temos
V i = an+l, sl
% m aml sl
m 1*1
nl nn
aln sn
+ ann sn
* an+l,r ' sn
+ an+l,n ' sn ^
Invertendo a matriz quadrada n x n, temos
-30-
(3.17)
•f CIn
nl
Vi n4i,n
onde c ,, . é obtido pela substituição de B em A.n*^ x / j • '
A função densidade de esforços solieltantes fica
- 3 1 -
f l s l * c l l ^ 1 + • • ' + c l n ° n * • • '
c n l « 1 + • " c n n «n> " ^ d q l "•• d a n
sendo
,n °n
%i ~ Cn»l q l . • • c r o n q ^( 3 . 2 0 )
t e n > n
qx • a n s x • • . . . + a l n s n + &ln s p + 1 + a l n s n
0 = a s + . . . + a s + a i s « + . . . + a sTti m l 1 mn n iri/in+l w+1 mn n
(3.21)
Invertendo a matriz I A I ro x nI A I
l 1 1 - 1 lm -m 1 / n + l n+1 In n
•« * clm a-l + •- + cnm % + cn,m+l sn+l * "• + Sm, *n
( 3 . 2 2 )
##* dqn * \ f(sl " cll ^1 + "• + cnn sn " "
• • " c lm « l + - • + cmn 8 n } d s n + l " • d s n "J" d f T l • - dcTn
(3.23)
-32-
Para o caso de um comportamento não li
near entre cargas e esforços solicitantes é nosslvel utilizar-se
fatores de correção anlicados aos elerentos da matriz de transfor
inação |A"~| . Estes coeficientes devem ser discutidos em cada caso,
no entanto, os fatores de ductilidade dos materiais em cuestão
podem ser utilizados como tais coeficientes cr?, muitos casos.
De modo geral podercs dizer rrue já há(191ura teoria suficienter.ente desenvolvida mie procura levar em
conta a variação das dimensões dos eler.entos e das propriedades
mecânicas dos materiais na relação estatística entre cargas e
esforços solicitantes. Fsta transformação de cargas em esforços
solicitantes pode permanecer linear nesno rara relações estatlsti^
cas. Isto é feito pela associação de una função de distribuição ã
cada elemento de transformação da matriz f*A 1 . No caso mais geral
a transformação pode ser não-linear.
Ainda de modo geral podemos afirnar due
a aleatoriedade das cargas predomina sobre a aleatoriedade do com
portamento estrutural e a sua consideração pouco influência o re
sultado final. Tomá-la em consideração provoca um neoueno aumento
da dispersão dos esforços solicitantes.
3.3.2.6 Probabilidade de ruína para combinação
de cargas
Por definição, a ruína ocorre quando os
esforços solicitantes correspondentes ãs cargas excedem os esfor
cos solicitantes definidos como condição de ruína. Se estas quan
tidades são consideradas independentes, a probabilidade de ruína
c dada pela integral
í <7n) FR (ul "• V dt?l
(3.24)
ove admite que todos os esforços solicitantes se influenciem e de
terminem a condição de ruína, fazendo una varredura por todas as
-33-
combinações possíveis. Em muitos casos é possível simplificar es
ta integral, levando em conta somente alguns esforços solicitar»
tes, ou pelo menos em grupos separadamente. Fm uma barra primâsti
ca, por exemplo, ê possível considerar os nonentos fletor e for
ças axiais juntos, e depois as forças cortantes e monento torçor.
COITO na condição de ruína u. e c. coin
cidem, então podemos escrever:
f (a- ... cr ) F (cf. ... cr ) òn. ... de
(3.25)
Observe-se mie de acordo com a defini
cio f (q^'... q ) ê a densidade de probabilidade do vetor ío\ re
cair no volume elementar do. ... do ao menos uma vez durante a1 *n
vida da estrutura. De forma que a nossibilidade de ruínas repetjL
das durante a vida da estrutura não ê levada em conta.
A integral anterior deve ser estendida
para todo o espaço R .Entretanto, de fato, o produto f . P_ rxpn * s K • ~~
cisa ser computado somente na região onde atinge valores signify
cativos, ou seja em torno da intersecção de duas distribuições.
3.4 O Algorítimo de RacV.witz-Fiessler
Observa-se que no modelo de Ferry Forges e Castanheta ,
« combinação das ações fica simplificada no caso das distribujL
ÇÕes serem normais. As densidades de probabilidades das combina
ções das ações e também as integrais de convolucão são multo mais
facilmente calculadas ouando só se tên distribuições normals. Ape
M r de que no geral as distribuições normal» não são realmente
adequadas para a idealização das cargas variáveis, Rackwitz-Fiess
ler propõe um algorítimo para substituir outras distribuições por
distribuições normais.
A técnica consiste na substituição de ura função de
distribuição P e de densidade f por uma distribuição normal que
*pr*sente o mesmo valor em um dado ponto escolhido x. Para a dis
tribuição normal tem-se a média e o desvio padrão dados por:
-34-
<F<x)>
/ f(x)
onde $ e • sãc a função de distribuição e função densidade recu
zidas da distribuição normal, respectivamente.
Considere-se o cálculo da função distribuição da serra
x, (t) e x2 (t) em um certo z. Toma-se un par (x, , x2) tal rue
x, + x2 » z. As distribuições de Xj <t) e x2 (t) são anroximadas
nos pontos x, e x_ pelas distribuições normais dadas pelas expre£
soes com parâmetros (y., o.) e (v2 r o 2). Assim a função d is;
tribuição da soma tem o seu valor aproximado, no ponto z, pela eis
tribuição <3e parâmetros p = p, + p. e o ** o? + oZ , que são
função dex. e x2 escolhidos.
Em uma segunda aproximação, uir novo par de valores 5 es_
colhido na reta x. + x- = 2 , de modo que o produto das funções
densidade de probabilidade normais (u. , o.) e (ti. , o_) seja rã
ximo. O novo par de pontos fica
onde
etio22
Repete-se o procedimento até que a diferença entre os
icsultados consecutivos seja considerada peruana, f possível <?e
neralizar para z(t) - x. (t) + x, (t) + ... + x (t). (6)
3.5 A Regra de Turkstra(6)
Trata-se de uma simplificação:admite-se nuc o valor má
da soma de vários processos estocásticos ocorra em um ins
era que há a ocorrência do valor máximo de um dos nrocessos
•«volvidos.Batista* ' fornece expressões mie permitem estimar oy«lor da soma de várias ações, para uma dac'a probabilidade de
-35-
ocorrência, utilizando a regra Turkstra. A siraplificacão de Tur
kstra mostra-se consistente cor. uma abordagem nrobahilística ri
çorosa .
-36-
CA°ITÜLO 4
4. O VASO DF PRESFÃO |
4.1 Introdução \
Vasos de pressão são estruturas hermoticarter.te fechadas
sujeitas a cargas de pressão significativas, usualmente incerr.as.
Possuem as mais variadas formas geométricas, como esferas, cilin ;
dros, elipsóides, ou alguna composição destas. Podem ser consti ;
tuidos de vários tipos de materiais, sendo o mais usual o aço.Suas
aplicações são diversas. FuHnarinos e naves pspaciais, reservató
rios utilizados na indústria çuluica e petrolífera bem como o ra
so de pressão usado em ura usina nuclear, são exemplos destas a
plicações.
Os vasos de pressão sujeitos a condições mais severas
de funcionamento estão submetidos ã tensões provenientes da pres
são, temperatura, peso próprio, impactos físicos, envolvendo fenô
menos como a fadiga, a deformação lenta e variações abruntas da
secção. Além disto eventualmente há interferência significativa
do meio ambiente no coir.nortamento do material. No caso nuclear, a
radiação altera de modo sensível as propriedades e comportamento
dos materiais constituintes.
Assim, é bastante complexo o trabalho envolvido no pro
Jeto de vasos de pressão. De fato, este projeto hã de considerar
çue usualmente os vasos vão precisar suportar grandes pressões e
eventualmente possuirão grandes diâmetros. Além disto, o projeto
há de levar em conta tanhrn a necessidade de redução do peso a
fim de poupar material, de redução dos custos de fabricação e fa
cilidade de fabricação e transporte. Isto tudo leva a utilização
6t tensões de trabalho elevadas, bem como a utilização de mate
*iais de alta resistência. 0 projetista procura obter um vaso de
9*ande confiabilidade, mas com pouco peso. Isto só é possível com
• acurado conhecimento do comportamento dos materiais envolvi
*°». Assim é bem justificável todo esforço de aprimoramento dos
••todos de cálculo estrutural de vasos de nressão.
4.2 O Vaso de Pressão Nuclear
fVárias descobertas cientificas, sobretudo a nartir ít
século nassado e inicio deste, produzirair un conhecimento <?o áto
no tal, que permitiu our cs alemães Fain e rtrassman, r»m 1°38,Í:?
sionassen» pela primeira vez o urânio nor meio de hon^ardeamer.to
con neutrons. Em 1942, Fr.ríco Fermi conseguiu colocar em funcicr.a
mento o primeiro reator nuclear na Universidade de Chicago. ~r
1955 já tínhamos um reator nuclear produzirão energia elétrica
Desde lâ verifica-se o crescimento do uso da energia nuclear €~
todo o planeta. De fato, em fins de 1982 haviam 791 reatores ce
potência e» operação produzindo um total de 173.039 MWe? e ests
van em construção 216 outros reatores com notência prevista ce
, 204.780 MWe, além dos reatores de pesquisa . Todos estes rea
tores de potência utilizam vasos de pressão de vários tipos para
o seu funcionamento. Assir, um dos usos mais importantes dos va
sos de pressão é exatamente o uso nuclear. Fm uma central central,
o vaso de pressão abriga o reator nuclear, sendo uma parte inte
çrante <2o chamado "circuito primário" da central.
Os reatores presentemente em uso, e provavelmente os
que entrarem em funcionamento até ao fim do século, são todos de
fissão nuclear; ou seja são reatores cue derivam sua energia da
fissão (quebra) de núcleos de átomos pesados. 0 Departamento de
Energia norte-americano prevê que só no próximo século um reator
de fusão comercial será acessível, ou seja um reator true aprovei^
ta a energia liberada pela combinação de dois núcleos de átomos
leves . Os reatores de fissão podem ser de vários tinos. Va
riam no seu material combutível, no tipo de refrigerante que en
• pregam, no tipo de moderador e no tino de refletor que utilizam .
0» reatores nucleares para a orodução de energia elétrica são :
gretfiurized Water Reactor (PttR), Boiling Kater Reactor (BWR),Fast
Breeder Reactor (PnR), Heavy Water Reactor (HWR), Gas Cooled Reac
l2£ (GCR), Molten Salt Preeder Reactor (MSBR), entre outrosTXJJ
4.3 O Vaso de Pressão do PWR
Há dois tipos -rincipais de reatores de água leve, o
e o PU. Sua principal diferença é a pressão de oneração do
-38-
tío refrigerante - o P%*R opera a cerca de lf MPa e o PV& a cerca de
7 MPa. Os reatores do tipo PV?R são os riais utilizados atuainente.
EB fins de 1982 representavam 56.5% dos reatores er> operação e- 1401€6,0% co3 reatores ert construção . No Prasil, os reatores *n
ora I e II são do tipo PVR.
Todos os reatores âo tino P"**R utilizam vasos «3e nressão
de aço como continente do núcleo do reator e do refrigerante do
primário. Estes vasos deven poder surortar altas pressões e irrja
diação neutrenica ao longo de toda a sua vida, não só soh normais
nas tansbêm sob condições de acidentes hipoteticamente postulados.
O vaso de pressão dos reatores PKR nossue um corno cilíndrico,urra
tartpa inferior henisfirica soldada ao corpo e uma tampa superior,
também hemisfêrica, flangeada ao corpo principal. 0 vaso é cons
titnido de aço de baixo carbono. E as partes que devem operar er.
conta et o direto com água são revestidas com uma camada de pelo me
nos 1/8" de espessura de aço inoxidável austenítico. O vaso de
pressão dos reatores Pl-?R, quando em terra firme, fica anoiado so
bre os tubos de entrada e salda do refrigerante. O apoio na parte
inferior do vaso é evitado para não haver restrição ã dilatação .
Na parte inferior do vaso não hã qualquer abertura, de forma oue
no caso de um acidente com perda de refrigerante, a acua dentro
do vaso não se esgota. Os tubos de entrada e salda do refrigerar
te fican acima do nível interno da água. E a água refrigerante é
forçada a circular por todo o vaso devido a presença do "core bar
rei", passando pelos elementos combustíveis de baixo nara cima.Ve
ja figuras e tabelas adiante.
TABELA 4.1 - Valores Típicos das Dimensões de um Vaso de Pressão
PV'R com 4 Loops.
Altura total do vaso completo 13770mm
Diãrretro interno 4390mm
Espessura da parede oposta ao "core" 215ir.m
Espessura da parede ro "flange" 500mm
Espessura nominal do encamisamento firm
Diâmetro interno da abertura de entrada 700mm
Diâmetro interno da abertura de salda 74flmm
Número de Parafuso de fechamento 54mn
Diâmetro dos parafusos de fechamento 173mm
Peso do vaso seco 4348O0k<r
-39-
TABELA 4.2 - Valores Típicos de Operação de um Vaso de Pres
são coro 4 loops.
Pressão normal de operação 15.98 MPa
Pressão de nrcjeto 17.13 MPa
Pressão hidráulica inicial 21.42 MPa
Temneratura normal de operação de entrada 2B89 C
Temperatura normal de operação de salda 3279 C
Temperatura de projeto 3439 C
Temperatura sem carga 2929 C
Vida projetada 40 anos com 80%
de fator de carga
4. 4 Os Métodos Tradicionais de Cálculo de Vasos de Pressãosão<2,26,28,36,48)
O cálculo estrutural de vasos de pressão até ao presen
te momento tem sido feito utilizando-se basicamente de uma aborda
gem determinlstica. Pão empregadas exnressões analíticas oue se
baseiam na teoria da elasticidade. E fica admitido o comnortamen
to elástico dos materiais, tomando-se como verdadeira a lei de
Hooke. Eventuais plastificações localizadas são admitidas e suas
implicações para a segurança levadas em conta. Usualmente admite*
se que as cargas sejam estaticamente aplicadas ao vaso, o cue cer
tamente não corresponde sempre â realidade. 0 material é conside
rado cono dúctil e capaz de permitir uma redistrihuições de ten
•ões localizadas. Devido às características cíclicas de muitas das
ações a que ficam sujeitos muitos vasos de pressão, a verificação
à fadiga acaba desempenhando, em muitos casos, papel primordial ,
tornando-se mesmo, eventualmente, no fator mais determinate. 0
cálculo de vasos de pressão, hoje, leva em conta com muito rigor
as chamadas cargas excepcionais: terremotos, explosões, colisões
sobre a estrutura, etc.
A questão das tensões localizadas é considerada com
cuidado. Verificações adicionais são feitas nos ponton de aplica
ção das cargas, nos pontos de descontinuidade da estrutura, nas
aberturas, etc, que são pontos onde eventualmente desenvolvem
se tensões localizadas. As tensões residuais, ou seja anuelas pro
-40-
venientes do próprio processo de fabricação do aço, usualmente
não são levadas ei? conta» embora possam chegar a ser importantes,
sobretudo em vasos constituídos de aços mais quehradiços ("brit
tie")- As expressões empregadas no cálculo estrutural de vasos de
rressão adr.item que as secções permaneçam planas durante e a^ós
a anlicação das ações, o cue nem sempre ê verdade. Assim esta fon
te de tensões localizadas não é levada em conta.
Os vasos de pressão de uso nuclear freouentpmente m s
suem dimensões tais eme, permitem que se considerem como solicit^
ções internas predominantes as chamadas tensões de membrana. Ou
seja, a espessura do vaso é suficientemente pequena em relação
as dereais dimensões, para poder-se supor eme sua parede comport£
se corao una membrana. F o vaso só desenvolve pecuenas tensões ã
flexio e acaba possuindo altas resistências ã forças no plano da
parede, do vaso. Chama-se "tensão de nembrana" â tensão calculada
sem se levar em conta a flexio. E de fato é bem desejável aue a
parede do vaso possua características de membrana, permitindo a^
sim deformações da parede sem provocar grandes tensões de flexio.
üjra formulação geral que permite calcular a tensão de membrana em
qualquer ponto do vaso sob pressão, em função da esnessura da na_
rede, dos raios de curvatura e da pressão, está acessível na lite
ratura especializada. Veja por exemplo1 . Ainda ê possível com
por a tensão de membrana com tensões de outras naturezas, como as
tensões térmicas. Estas podem ser calculadas a partir das diferen
ças de temperatura envolvidas, do módulo de elasticidade do mate
rial (E) e do neu coeficiente de dilatação térmica (o) .A cerr
posição das tensões de várias origens permite um estudo completo
das concentrações de tensões e uma boa análise do comportamento
estrutural.
Nos Fstados Unidos o projeto de vasos de pressão de rea
tores do tipo PWl e !>v?R está normalizado pela AFMF Poller and
Pressure Vessel Code * , na sua secção III. 0 parágrafo *?P 1112
especifica uni conjunto de cargas, nressão, temperatura, cargas me
cânicas, para o projeto. As cargas são projetadas em vários ní_
veis de ooeraçao do reator: A, R, C e D, crue correspondem aos se
guintes estados respectivamente: normal, excepciona1,emergência ,
falta de condições ademiadas. Vários tipos de acidentes são nostu
lados e o vaso deve ser capaz de resistir os impactos nrovocaãos
pelos gradientes de temneratura e pressão associados à estes
-41-
dentes.
Uma vez admitida as condições de operação a norr»a espe
clfica a análise de tensões em dois níveis. O primeiro rstáaio ocn_
siste na análise da tensão quando se supõe não haja defeitos es
truturais no vaso. As tensões obtidas devem ser consistentes com
os limites do "stress intensity" (intensidade de tensão), deriva
dos das propriedades mecânicas do raterial. Veja NP 3000 . 0 se
gundo estagio é a verificação da integridade do vaso caso haja
uma falha na estrutura. 0 apêndice G da ASMF III - Protection
Againrt Non-Ductile Failure - especifica uma fissura padrão para
esta verificação: uma fissura na direção da máxima tensão de pro
fund idade 0.25 vezes a espessura da secção e de comprimento de
1.5 vezes a espessura da secção.
A intensidade de tensão é calculado a partir das ten
soes que ocorrem no vaso, sendo uma composição de:
1. tensão primaria:
i. tensão de membrana primária geral;
ii. tensão de nembrana primária local;
iii. tensão ã flexão primária.
2. tensão secundária
3. tensão de pico.
A tensão primária é acuela cue surqe para fazer frente
às forças e momentos aplicados ao vaso, e garantir assim o equi
llbrio. Não i uma tensão auto-1 imitada r não diminui com o escoa
mento do aço. Tanto os momentos fletores, cuanto as tensões de
membrana e local são exemplos desta categoria. A tensão secunda
ria é a tensão mie surge devido ã auto-restrição da estrutura ou
restrição imposta por um material adjacente. Trata-se de uma ten
são auto-limitada e que se esvanece com o escoamento. As tensões
térmicas, as tensões devido aos more ritos fletores em pontos de
grande discontinuidade estrutural são exemplos da tensão secunda
ria. A tensão de pico é a tensão comnletnentar nue se soma â ten
são primária e secundária, e cue surge dp descontinuidades loca
llzadas e tensões térmicas localizadas o inclui tanbén» o efeito
-42-
de concentração de tensões. Nio causa grandes distorções, mas ro
de ser importante no estudo da fadiga. Una detalhada exnosicão da
cálculo do "stress intensity" pode ser ercontrada no artigo NP
:<o artigo NP 3222.4 faz-se a r.ornalizacao da verificaçib
das tensões cíclicas causadoras da fadica. As normas da Facção HI
da APMF Roiler and Pressure Vessel Code são frecmentert^nte re£
peitadas nesmo para vasos de pressão projetados e fabricados fora
dos Estados Unidos.
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-43-
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ISSO
Figura 4.1 - Crescimento da experiência de operação de vasosde pressão de reatores de água leve.
Extraído de Marshall,M.J(ed) - An assessment of the integrity
of rVT* pressure vessels, fig. 2.
;4
Figura 4.2 - Secção transversal de uma Central VVR típica
Fxtraldo de CINTRA F9, J.F. - Fngcnharja NucJ.pnr TT , nag. (13)
- 4 5 -
Control roddriv? she'*»
Liftinrj lug
Deep boomweldinent
Upper supportplato interneis
Support
Core barrel
Upperco
Closure hcssenbly
ippcr support-—- CM-/5J?<Í-"Í!Í::•£>-• (s§ i>J
utlet nozzle-- Vf^í ' .1^?^ ^ ^ ^ ^ V
Upper core plcte
RecciOr vessel
Bottom supportforging
Lower in&trurr.er.tctionguide tube
Core supportcolumns
Rcá cluster centrei(withdrawn)
In!e: no22!<?
Fue! csscrr.bííesecffleFormerLower cere picte
Irrcdictionspecimen
Neutron shield pcd
Rcdicl supper t
Tie pistes
Figura 4.3 - Corte longitudinal do vaso e seus componentes
internos.
Extraído de Marshall, VT. (ed) - An assessment of the integri ty
o f PWR p r e s s u r e v e s s e l s , f i g . 2 . 4 * .
- 4 6 - .
n::* ,
Vessel support pcd — (•
V nozz'.es (A) [•
>Pi*-»V
ISO* ±ALO>.'^ \u- -4-g» n tn
Nczsle crientciicn
Figura 4.4 - o vaso de nrescão PV7R com 4 . "Loons" (dimensões
em mm).
Extraído de Marshall, v. (ed) - An assessment of the integrity
of PV?R pressure vessels, fiq. 2.Si3f). ~"
-47-
Stecm çer.erclcr
Reccícr coclcnt purr.p
Pressuriser
Figura 4.5 - Diagrama simplificado de um sistema nuclear de
gerador de vapor com 4 loops.
Extraído de Marshall, V. (ed) - An assessment of the integrity
of PKR pressure vessels, fig. 2.3 .
-48-
CAPITULQ 5
5. ACÕFS E RFPIfTFKCIflP ASFOCIADAS A VAFOf OF PRFPFÃO W C
5.1 Distribuições Estatísticas nara a Descrição das Ações
e Resistências»
Dois tiros C!P distribuições especiais têm sido ^
te associadas com SUCPSSO as funções de densidade de nrobabilida
de das ações e resistências: a distribuição normal e as distribui
ções de extremos.
A distribuição normal é assintoticamente obtida quando
a variável aleatória em questão ê composta pela adição de várias
outras variáveis aleatórias, mesmo que estas não possuan distri
buição normal (teorema do limite central). Assim temos a função
distribuição
NPXD
(x - x ) 2
2 a2(5.1)
E a sua derivada, a função densidade
fN (x, =2it
exp2 a'
- x ) 2
(5.2)
Vê-se que a distribuição normal é definida nelos parâmetros x ,va
lor médio, e c , variâncin
A distribuição menos usada, mas de grande interesse é
a distribuição log-normal. Uma variável aleatória terá uma distri
buição log-normal quando o log ar 1 tiro dessa variável possuir distri
buição normal. Assim
-49-
LN/ - X
exn - ln <*/*> dx (5.3)
LN
onde
2n a xexp
lr (x/P)2
2 a'
(5.4)
a
In B
'lnx
llnx
As distribuições de extremos correspondem a distribui
ções de valores mínimos e máximos nue são obtidos em condições ban
gerais. Gumbel classificou as distribuições de extremos em
três tipos e especificou suas propriedades. As distribuições cue
interessam ãs questões de segurança são:
a) Distribuição de Extremos Tipo I (máxima) a distribuição é
dada nor
í-V-
Px (x) exp - exp (- a (x - x) 1 (5.5)
fT (x) » a exp - o (x - x) - exn (- o (x - x)) (5.
válidas rara - « < x < + « , o > 0 é uma medida de dis
pérsio e x a moda da distribuição.
b) Distribuição de Fxtremo Tipo I (mlnina)
PT (x) •* 1 - exp - exn o (x - x) (5.7)
, • -Al.'fi !
I
-50-
fT (x) = a exp a (x - x) - exo a (x - x)
válidos para - » < > : <
é uma medida da clisnersSo.
• . Onde x é a moda
(5 .8 )
a > 0
c} D i s t r i b u i ç ã o de Fxtremos Tipo TT (mãxina)
— exr> - (Yx)
( X ) - (P+Dexp
- 8
v a l i d o s p a r a fi>0,x>0 c k > 0 .
5.I")
Os parâmetros k e 6 poden ser deterninados a partir da rnn
dia e desvio padrão da distribuição. As distribuições tino
II podem ser transformadas em tipo I e vice-versa por uma
transformação de variáveis. A relação que existe entre an
distribuições tipos II e I é a mesma oue exjste entre as
distribuições log-normal e normal.
d) Distribuição de Fxtremos Tiro III (mínima)
1 - exn (5.11)
k - e Y - ek , e•y - e
(5.1?)
válidos para x > e / B > 0 , k > e > 0 .
Tsta dintribuição foi introduzida por Weihull e ror isto
é conhecida pelo sru nome. />. determinação dos parãnetros c
Y, f. vem do conhecimento da média, do desvio-nadrão e do
-51-
coeficiente de assimetria da distribuição. As expressões
oue relacionam os parâmetros de todas estas distribuições
ao valor médio, desvio nadrão e coeficiente de assimetria
(no caso de distribuição de V'eibull) estão indicadas en
apêndice).
As distribuições de extremos de mâxirto nodem ser usadas "«a
ra expressar cargas e as distribuições de extremos de mi-i^
mo para expressar resistências. As distribuições normal e
log-nornal podem ser usadas tanto nara cargas ou ar. to rara
resistências.
$ 5.2
I5.2.1 Introdução
Definimos anteriormente ações como nualouer in
fluência ou conjunto de influências capazes de produzir estados
de tensão em uma estrutura. Resta-nos organizar estas ações e as
sociar a elas distribuições de probabilidades e o número de
tições independentes r. para a aplicação no modelo de Ferry
Borges e Castanheta*18'1**.
|; Por ouestões de simplicidade e praticídade ê
i preciso associar um grupo de forças, tratando-o como uma única
í ação. f certo mie tal procedimento deve ser realizado com o dev^
* do cuidado de não comprometer o estudo da combinação das ações
Quando se agrupa um subconjunto de forças, considerando-o como
uma única ação, tais forças não mais serão consideradas variando
independentemente entre si. Mas, certamente em muitos casos este
agrupamento de forças sõ traz vantagens, por exemplo, poder.os
< agrupar em uma única ação o peso próprio de todo o vaso de rre£
>, são, ao invés de estudar o peso de cada uma das suas nartes sera
£• radamente.
5.2.2 Classificação das ações
5.2.2.1 Quanto a natureza das ações
-52-
Tndispensãvel para o agrupamento de "
forças e para a associação de funções de distribuição âs ações e
determinação do número r, de repetições independentes do node
Io de Ferry Eorges e Castanheta ê a classificação das ações, ^uan
to a classificação,pode ser feita segundo a própria natureza flsi
ca das ações ou de acordo com os modelos estáticos de idealização
e combinação d?s ações.
Assim é nue se rode falar em ações rrur
dependem ou não de decisões humanas» Os sismos, por exemplo, são
ações não controladas pela vontade humana. Já a rressão interna
do vaso de pressão está d i retainer te relacionada à sua operação, e
era condições normais é dependente diretamente da vontade humana.
Uma ação pode ser i nd epend ente de ou
tra, por exemplo, as variações de temperatura independem dos re
calques de apoio. Duas aeÕes podem possuir dependência rositiva ,
: quando uma só pode ocorrer na presença de outra, nor exemplo, a
: pressão interna do vaso só pode existir se houver o peso próprio
do vaso. Ou duas ações podem possuir dependência negativa quando
•. são mutuamente exclusivas.• _ *
V
'j. De acordo com a resposta da estrutura ãs
|| ações, estas podem ser classificadas de vários modos. Pão dite?
| estáticas ou dinâmicas. Tem um caráter dinâmico em relação a uma
estrutura craando as forças de inércia nue nela se desenvolvem ,
quando de sua aplicação, constituem parcela ponderável em relação
ãs demais forças que intervém no equilíbrio da estrutura. São di_
* • tas diretas ou indiretas. As ações diretas correspondem aos carre
•£ gamentos, como os pesos próprios, pesos de equipamentos fixes,car
f gas estáticas e dinâmicas de utilização, carga de vento, etc. As
ações indiretas correspondem ãs deformações reolõgicas,drslocamen
tos de apoio, etc. São ditas ações evanecentes ou nersitentes.Pva.
v necentes são acmelas que podem ser anuladas por una deformação nãn
£ prejudicial ã estrutura.
í
I
• -53- I- . • !
5.2.2.2 Tendo em vista a distribuição estatís-
tica
Certamente cue a classificação mais in
portante para este trabalho tem a ver con a questão das distribui
ções estatísticas das ações e suas variações no tempo.
f nreciso introduzir anui os conceitos
de valor e variação significativas. Chamamos um valor *» urra varia
çio de significativa se suas conseqüências sobre a segurança das
estruturas nao pode ser desprezada. Pode-se considerar como não
significativos valores de uma ação inferiores ã 0,1 F. , e varia
ções nlo significativas às compreendidas entre ± 0,1 P. ,onde F.
ê o valor característico mãxinto já definido anteriornente
I| Considera-se uma ação como de mesr?o
•Í, sinal quando esta adouire apenas valores não significativos de
| sinal oposto.
4% Considera-se ações limitadas superior-mente ãs ações cue não podem superar de um valor significativo
o valor característico estimado
se ações limitadas inferiormente
^ ç| o valor característico estimado (F.). De modo semelhante define-
Ao estabelecermos modelos renresentati^
vos das ações, podemos associá-los â processos estocásticos esta-
cionar los ou evolutivos. Intuitivamente as representações estatls
ticas das ações relacionadas ã processos estocásticos estacioná-
rios (cujo parâmetro é o tempo) não apresentam variações signifil
cativas ao longo da duração prevista de uso de estrutura
Por fim classificamos as ações de açor
do com a sua variação ao longo do tempo. Para os fins de combina
ção de ações, a variação no tempo é essencial, logo esta classify
cação reveste-se de grande interesse. Assim é que se fala em ações
permanentes, variáveis e excepcionais.
Ações permanentes sâo aquelas cujo va
lor, seja na fase de construção ao longo de uma etapa considera
da, seja em operação, não apresentam variações significativas.Mes
Finalmente as ações excepcionais
f se caracterizam por:• * •
; 1. são eventualmente importantes, mal conhecidas e de difícil <3e
finição estatística;*•
'• 2. média dos máximos periódicos baixa e elevado coeficiente de
variação;••/
3. duração relativa de aplicação praticamente nula;
ta classe podera também ser incluídas as ações cujo valor r.uda uir. §
pequeno numero de vezes ao longo da vida de estrutura, ou varían 1
do de maneira contínua, sempre no mesmo sentido. A iraioria das f
ações permanentes são consideradas limitadas e/ou de baixo coef^ \
ciente de variação. Mo caso do vaso de pressão nuclear tenos: ;
1. ações permanentes diretas : cs pesos próprios dos elemertos ]
de construção do vaso, incluindo o peso nroprio de estrutura \
e de todos os elementos construtivos permanentes, os rpsos \
dos eouipamentos fixos e os enruxos hidrostãticos dos lí~UjL \
dos; s
2. ações permanentes indiretas : os recaloues de apoio.
Ações variáveis são acueIas oue erre
sentam variações significativas, seja ao longo da execução (air.da
oue durante uma mesira fase de trabalho) seja era operação, ura r.úne
ro de vezes que não pode ser considerado pequeno. Podem ser suhdi
vididas em cíclicas ou intermitentes, sendo as primeiras de arli.
cação constante (por exemplo as variações de temperatura), ou de
aplicação descontínua no segundo caso. O valor médio no tempo de
uma ação cíclica tem geralmente importância significativa. 7. di£
tribuição no tempo de uma ação intermitente compõe-se de duas no
nulaçÕes distintas: os intervalos de tempo nos cruais a qranceza
da ação ê nula, e aoueles nos quais a ação toma valores significa
tivos. As ações variáveis são todas as cargas acidentais assccia
das â estrutura, bem como os seus efeitos. No caso do vaso de pres
são nuclear temos: as pressões internas e externas, as cargas de
vido às variações de temperatura, o neso dos componentes reroví^
veis, a pressão hidrodinâmica dos líquidos, as cargas dos ecuira
mentos adicionais, a ação dos ventos, o atrito nos aroios.
i
-55-
4. efeitos sobre a estrutura de difícil previsão.
Ko caso do vaso de pressão nuclear te
r.os: ações decorrentes de causas como as explosões» chonucs de
objetos sobre a estrutura, incêndios, enchentes e os sisros.
5.2.3 Idealização das ações
Para podermos associar distribuições de rrobaM
lidades e o número r. de repetições independentes do modelo de
Ferry Porges e Castanheta a cada ação, precisamos de um conheci
mento experimental e histórico do comportamento destas ações em
muitos vasos de pressão nuclear ao longo de muitos anos. InfeliJt
Rente não possuímos a plenitude destes dados Itoje. Mrs ê verdade
que a quantidade de informações acerca de distribuições estati!»
tica de diversos tipos de cargar têm crescido muito nestes últi_
mos anos. F ê verdade também que nuando consideramos as ações se
gundo as classificações anteriormente descritas, é possível tra
zer a experiência de outros campos da Fngenharia para a análise
do vaso de pressão nuclear. Além disto, o modelo de Ferry Forges
e Castanheta mostram como não ê necessário una quantidade enorne
de observações das ações (veja as razões abaixo).
Por fim, espera-se que cada vez mais realmente
se processe uma observação ordenada do comportamento das ações em
vasos de pressão.
As ações permanentes por sua própria natureza
l possuem uma dispersão baixa. Como são compostas basicamente de re
sos próprios possuem uma variação em dimensões e massa limitada
pelos próprios processos de fabricação dos elementos constituinte
i da estrutura. As normas, como a AFTM, indicam as tolerâncias má
% ximas da variação das massas das chapas metálicas. De modo geral
•' as ações permanentes ficam bem representadas por distribuições rtr
v mais. Os parâmetros desta distribuição podem ser obtidos a nartir
das informações dos fabricantes sobre a média e a dispersão das
•-•• dimensões e massa de suas peças. Fventualmente pode-sp mesmo cor,
> siderar as ações permanentes dentro do onnuadramento determirls
tico.
I
Para as ações variáveis não reste outra alterna
tiva se nâo o levantamento de dados experir-entais destas ações en
vasos de pressão. Contudo a observação experimental não precisa
ser tão extensa quando se adota as hipóteses do modelo de Ferry
Forges e Castanheta. Neste racdelo admite-se a independência do va
lor da intensidade dns ações de intervalos elementares. Assim a
variação de estrutura para estrutura é equivalente à variação no
tempo. Logo a observação de s x t intervales elenentares de tern
r«o ei- uma só estrutura ecuivale a observar !5 estruturas durante
t intervalos de tempo elerrentares.
Para algurras ações uma definição precisa da fur
ção distribuição de probabilidades ir.nlica em uam definição da
função para um campo de variação de 0 ate muito próximo do 1, co-12 - *~
no 1 - 10 . Este campo de variaçuo pode ser considerado como
formado por duas partes inter-relacionadas: de 0 até 1 - 10" , e
de 1 - 10 atê 1 - 10~ "', (cue descreve valores extremos em ÜIU:L
tos anos). Mote-se que a distribuição estatística das ações pode
ser determinada sem considerar os valores em cada intervalo ele
mentar durante muitos anos. A primeira parte da distribuição pode
ser obtida pela análise dos valorrs em cada intervalo elementar
durante alguns poucos anos somente. A segunda parte pode ser defi_
nida por meio de valores máximos anuais. Ouanto mais anos para
estes máximos são conhecidos,mais acurada a definição de distribui^
j çao estatística de parte superior do campo. Para algumas ações va
V riáveis pode-se utilizar distribuições norr.ais, mas de modo geral'%' - ~£- ê bem vantajoso (por razões de simplicidade dos cálculos) e ben7*; « —
% preciso (a partir dos dados experimentais a mao) o uso de dis-
Jí tribuições de extremo tipo I e II. f claro cue um conhecimento ro
••$'• bre da história das ações implica era um aumento no valor do coefi
'v ciente de variação das distribuições.
Para as cargas de vento (caso haja necessidade
de considerá-las) e para as ações excepcionais em geral é possí.
^ vel transportar a experiência acumulada em outros campos Oa Fnne
J. nharla para a análise do vaso de pressão, isto porerue estas açõrs
"à nao dependem do vaso em si/ mas de região onde este se localiza .
. De modo geral podemos dizer que as distribuições de extremo são
£. as mais adequadas para representar ventos e si&mos e as acoes ex
' cepcionais era geral. Ouanto aos ventos vários estudos rstatlstjl
-57-
(52)cos jã fora, realizados por Pasquill e outros '. Ouanto aos sis
mos, vários estudos têm sido feitos,jâ çue hâ un» crescente inte
resse »a dinâmica das estruturas. Ferry Porges e Castanheta aron
tam o desenvolvimento do estudo dos sismos para a aplicação ao
calculo estrutural desde uma visão probabillstica . Ko caso
nuclear os sismos são realmente considerados e passam mesro a ter
parei determinante no projeto estrutural. Fstudos importantes so
bre vento, sismos e imnactos sobre estruturas nucleares ten sido
feito pela Nuclear structures and Materials Committee of tbe
Structural Division of the American focietv of Civil Fncineers .
Uma vez levantadas as distribuições estatísticas para cada ação
;'. i preciso definir os valores r. do modelo de Ferry Borges e
l tanheta de acordo com o histórico das ações.
5.3 Resistência em Vasos de Pressão Nuclear
Definimos a resistência de uma estrutura como a sua ca
pacidade ultima (limite ou de utilização) de sunortar ações, dofi
nida em termos de ações, esforços solicitantes ou tensões. De
acordo com nossa formulação, o cálculo de probabilidade de ruína
i baseado em distribuições estatísticas das ações e resistência .
A cada estado ultimo de ruptura ou de utilização corresponde uma
distribuição estatística mie representa a probabilidade deste es
tado último ser atingido para um dado conjunto de ações. Fsta d is
tribuiçao estatística deve incluir todas as informações pertinen
tes ao comportamento estrutural concernente a este estado último.
Certamente que o problema reside em definir esta distribuição ejs
tatlstica. Em nrincínio, esta distribuição pode ser obtida de
duas maneiras, experimentalmente ou analiticamente. Para a deter
ninação experimental, una população de estruturas similares, no
caso o vaso de pressão, deve ser obseivada e os parâmetros da
distribuição estatística estimados a partir dos resultados. Tor
outro lado, a teoria das Estruturas Estatística nretende analitiL
camente obter esta distribuição estatística, a nartir de diftri
buiçao estatística das nropriedades mecãnJcas P dimensões estru
turais. 0 presente desenvolvimento destes estudos, no entanto, e
ainda limitado. E mesmo o tipo de distribuição estatístico r.ais
adeouade para representar a ruptura do aço é ainda disputado. Mas
é bem razoável admitir uma distribuição normal da renistrrcia na
f
ra estruturas feitas com material dúctil, COITO O aço. A dificul
dade em estimar a variância destas distribuições ê também irmor
tante. A variância dependerá da geometria e dimensões âa estrutu
ra e suas variâncias da variância das propriedades mecânicas e do li
processo tecnológico de produção <* controle do aço. f
üm modo simplificado de estimar as distribuições cue i
-representam o comportamento estrutural consiste em tomar um v£ l
lor de referência, por exemplo, o valor característico e admitir «
um certo tipo de distribuição estatística, nor exemnlo, normal , t
com uma certa variância. As teorias determinísticas usuais podem |
facilmente ser utilizadas para transformar um valor característi^ g
co que representa as propriedades mecânicas em valores caracterí:? f
ticos què representam o comportamento estrutural. Assim, despreza if • ~ ~
i da a influencia das dimensões, a variância do comportamento estru; tural será função da variância da tensão de escoamento do aço.
Importa realçar que o coeficiente de variação de tensão
de escoamento do aço é baixo, da ordem de 10%, bem menor que por
exemplo o coeficiente de variação de tensão de ruptura do concreto
que é da ordem de 20%. Assim, desprezadas outras influências logo
se conclui que a variação do comportamento estrutural do vaso de
pressão é pequeno. Eventualmente este comportamento poderá ser
tomado como determinístico, e neste caso a probabilidade de ruína
t dependerá somente da dispersão das ações. Neste caso as integrais
4 de convolução podem ainda ser utilizadas, bastando tomar o coe
& ficiente de variação para a resistência igual a zero.
| A Agência Internacional de Energia Atômica tem promovi
do estudos que procuram avaliar a resistência e a confiança dos" ~ (33)
vasos de pressão nuclear1 . Estudos tanto experimentais quanto
analíticos têm sido feitos. Relaciona-se a segurança do vaso cen
defeitos de fabricação, com a presença e tamanho de microfissuras
i decorrentes do processo de fabricação do aço, com defeitos de sol
x da, etc. Também tom sido estudado a influência da radiação nas
propriedades mecânicas do aço* . Realmente, muitas incertezas
i. estão envolvidas na análise do comportamento de vaso3 de pressão.
,_,. E é necessário estimar estas incertezas com um instrumental pro
,: babilístico. üm estudo bem completo deveria levar em conta todos
os itens e influências mencionadas. Ao que parece ainda nlo se
f •I'
-59-
possui informações plenamente desenvolvidas como se desejaria so
bre todos estes itens.
t . • • . - 6
CAPITULf) F
^
6. RESULTADOS E APLICAÇÃO NUMÉRICA J
6.1 Passos do Métcdo de Ferry Borges e. Castanheta |
O cálculo da probabilidade de ruína de um VTSO de nrcs í
são nuclear pode ser feita, segunco o modelo de Fcrry Porcps o í
Castanheta, seguindo os seguintes passos: I
1. Agrupar as forças que atuam sobre o vaso de frodo adecca jj
do â combinação das ações;
2. Definir a função densidade de distribuição de cada ação
(composta por um subconjunto de forças do mesmo tiro)
f (s.) ;
3. Definir o correspondente número de reneticões indepen I
dentes para cada ação para aplicação do modelo de Fer;
ry Borges e Castanheta;
4. Calcular a probabilidade do vetor de ações F recair ornum domínio d A ao menos uma vez durante a vida da css
^ trutura;
ft 5. Definir a matriz de transformação da estrutura,cue con
I verte ações em esforços solicltantes;
p 6. Calcular a função de densidade de distribuição dos es
^ forços solicitantes a partir da função de densidade dc>
1 distribuição das ações;
í 7. Definir a função distribuição de resistência da estrutu
? ra;
! 8. Calcular a probabilidade de ruína por meio das
$ grais de convoluçao.IAs expressões para este procedimento encontram-se no et
pítulo 3.
Dificuldades de Aplicação
A maior dificuldade atualmente para a aplicação prátic
-61-
deste procedimento aoui descrito ê a falta de dados históricos
experimentais do vaso de pressão nuclear (tanto para as ações
quanto para a resistência da estrutura). ::a verdade há três
ras de se estimar as distribuições de ações e resistências ':
1. Considerando a experiência de operação comercial e n\i
litar de vasos de pressão nuclear;
2. Considerando a experiência de operação de vasos de nres
são não nuclear;
3. Calculando teoricamente as distribuições.
A literatura técnica informa que, quanto a vasos de
pressão nuclear de uso naval, já tinhan acumulado um total de
2.000 anos de experiência em operação em 1980; e cruanto a reato
res de água leve comerciais, têm-se um total de 1.300 anos de ex
perlência de operação de vasos de pressão até fins de 1980. Não
se tem noticia de nenhuma ruptura de vasos de nressão neste perlo
do de uso. No entanto, esta experiência at? ao momento não é su
ficiente para poder-se estimar as probabilidades de ruína do va
so. Até ao fim do século espera-se ter acumulado um total de 10
anos de experiência de operação de vasos de pressão nuclear ( o
que provavelmente já será suficiente para poder-se proceder esti
mativas estatísticas).
Os estudos até aqui feitos procuram mostrar que a
experiência acumulada na operação de vasos de nressão não nuclea
res não são de grande ajuda tão pouco. As óbvias diferenças de
r características de operação das populações de vasos de pressão
-•• não nucleares e das populações de vasos de uso nuclear,dificultam
a tal ponto a relação, que o consenso é ruie, atualmente, não hã
um modo adequado de relacionar esta experiência não nuclear com a
operação de vasos de pressão nucleares.
Assim, hoje, resta uma abordagem teórica da ouestão. No
capitulo 5 foram feitas várias sugestões de como adotar distribui
ções estatísticas tanto para as ações, cruanto para a resistência
da estrutura. Freqüentemente as teorias determlnlsticas são capa
zes de auxiliar na escolha de uma valor de referência para a re
slstência da estrutura e para a construção de tais distribuições.
-62-
Vârios estudos têm sido feitos procurando relncio
nar a confiabilidade do vaso de pressão nuclear com fissuras de
fabricação. Estes estudos têm mostrado cue a probabilidade de rui
na de vasos de pressão nuclear fica entre 10 e \ç\
cia de serviço de inspeção do vaso.
— fíausêr
6.3 Aplicação Numérica
6.3.1 Introdução
Apresenta-se aoui ur. exemplo numérico rue ilus
tra a aplicação do método de verificação de segurança e cálculo
de probabilidade de ruína proposto nesta dissertação.
Toira-se um cilindro fechado nas extrenidades,cor
características de projeto típicas de um vaso de nr^ssão de ur
reator nuclear tipo PKR com ruatro "loops". As especificações ti
picas do vaso podem ser encontradas no capitulo 4 desta dissprtação.
# 0 2
Obs.: Considera-se o eixoy axial e o eixo xradial.
' 4, 4r; (interno)
Figura 6.1 - Ilustração da aplicação numérica.
-6 >
Adote-se o Sistema Internacional de Unidades.Ac!
mite-se varias simplificações descritas adiante nor ouestões dp
facilidade dos cálculos. Considerar-se-ão as tensões atuantes en
pontos do cilindro afastados das extremidades, de nodo a noder
se desnrezar influência destas.
6.3.2 As cargas
6.3.2.1 Cargas permanentes
Inclui-se neste grupo o peso do vaso ,dos líquidos e de equipamentos não removíveis. Admite-se un enquadramehfco determinlstico oara este tipo de carga. Numericamente temos:
massa total = 635.000 Vgforça = 635.000 x 9,8 = 6.223.000 N
tensão = «-223.0P0 = 2.153.090 N/m2
n/4 (47"82 - 4T42
fator de repetição = 1
1
6 .3 .2 .2 Carga variável
Adota-se somente a pressão interna,nor
razões de simplicidade. Poderia ter-se considerado a carga
do:
1. a variação de temperatura na espessura do vaso?
2. aos gradientes de temperatura e pressão:
3. aos equipamentos removíveis, etc.
Numericamente temos:
pressão interna média «= 16 x 1"* Padesvio padrão » 0,61 x 106 Pa
Na direção x(28):
Pressão x raio {(.
espessura
numericamente :
tensão média =
desvio padrão =
36 x
0,61
10
0,
X
0,
6 x
2
IO6
2
2,
X
2
2,2
176 x
= 6,71
10*
L x
N/m
IO6
(28)na direção y :
tensão = P r g s s g o x r a i o (6.2)2 esnessura
numericamente:
1 gf tensão media = 16 x 10 x 2,2 = 8 8 x 10* N/n,2^ 2 x 0,2
gdesvio padrão = ° f 6 1 x 1 0 — x 2f2 = 3,36 x 10fi M / m 2
2 x 0,2
Obs.: A direção x corresponde ã direção radial e a direção y â
direção axial.
Admite-se nue o raio e a espessura se
jam invarlantes, não interferindo portanto no desvio padrão da
tensão. 0 fator de repetição para um período elementar de 24 ho
ras e uma vida útil de estrutura de 40 anos é:
fator de repetição = 365 x 40 = 14.600.
6.3.2.3 Carga excepcional
Adote-se o efeito de terremotos. Pode
ria ter-se considerado também o efeito de explosões/ chorrues con
tra o vaso, enchentes e ventos. Admite-se mie terremoto provoouc
uma aceleração característica de 10 m/s na estrutura r.a direção
-65-
vertical apenas. Ou seja una aceleração que corresponda na distrjL
buição normal â probabilidade de somente 5% de ser superada .
Assin temos:
força característica = massa x aceleração = 635.000 x 1 =
= 6.350.000N
tensão característica • —6.350.000—___^ - 2.197.0f>o N/-?
n/A (4782 - 4,42
Força característica e tensão característica referem-se à acelera
ção característica . O fator de repetição para um intervalo elemen
tar de 30s e uma vida útil da estrutura de 40 anos:
fator de repetição = 40 x 10 .
6.3.2.4 As funções densidade de distribuição de
cada carga
As várias distribuições recomendadas às
aplicações estruturais estão estudadas no capítulo 5 e seus para
metros aparecem em apêndice. Para a carga permanente tomamos o en
quadramento determinístico. Para as cargas variáveis pode-se uti
lizar a distribuição normal, ou as distribuições de extremos ti
po I ou II. Adote-se a distribuição normal. Para a carga exce^cio
nal pode-se utilizar uma distribuição de extremo tino I ou II, ou
normal. Adota-se a distribuirão normal, com média igual a zero c
com aceleração característica igual a 10m/s2 . Adotando-se as di£
tribuições normais os cálculos ficam nais fáceis.
6.3.3 Composição das cargas
Temos tensão em duas direções, Na direção y va
le:
-66-
Sendo õ - a distribuição dada prla carga penranente à tennio ra
direrão y(õ ) , õ - a contribuição da carga variável, e õ , ay y* „ y*
contribuição da carga excepcional. Na direção x temos:
'x2 (f.f)
I K
mI'*.IS;«1
Sendo õ - a contribuição dada à tersão na direção x (õ.) prla
"carga variável.
Pensando en termos de esforços sclici
tantes, temos normais em duas direções ortogonais. Ma direção x
a normal é decorrente da carga variável, na direção y a norr.al ê
decorrente da carga variável, da car gr. permanente e de carga ex
cencional.
N
Ny3i
IV'
iv
Ni
Figura €.2 - Ilustração de composição elementar das
Adnite-se mie a normal exceocional Cl 3)
seja de tração, pois esta corresponde ao caso mais desfavorável.
6-3*4 A resistência
Tomemos o aço SA 508 classe 2, ferrltico, usual
nos vasos de pressão. São suas características :
-67-
tensão de projeto = 26.700 psi
tensão de escoamento médio * 57.500 psi
desvio padrão s 3.068 psi
tensão de ruptura media = 83.000 psi
desvio padrão - 4.650 psi
& = 13,536 x 10"f oc"1
E = 1,7419 x 105 MPa
v - 0,3
p =7.840 kg/r.3
2Obs.: Converte-se 1 psi em 6.892 N/m .
Vamos calcular a probabilidade de alcançar o es
coamento de aço do vaso. fi esta probabilidade passamos ã chamar
de probabilidade de ruína. Reconenda-se a distribuição normal paMO) " "~
ra descrever as características do aço .
6.3.5 A probabilidade de ruína
A probabilidade de ruína é dada por
Pf J R
fs (sl' S2 -• V PR <rl' r2 '•• r3> dRl ds? '•• dsn
(6.7)
No caso temos:
• - ! ,
p* " I fe (n, , cr-) F o (u9 , u,) â- drt- ... (6.8)R2
tratando a probabilidade em termos de esforços solicitantes e le
vando em conta que a carga permanente é considerada deterministi-
camente.
remos neste caso um estado duplo de tensão, com
o e o sendo as tensões principais em um ponto genérico, afãs
tado das extremidades. Nestas condições é preciso considerar con
juntamente os esforços solicitantes nas duas direções. 0 cálculo
deve considerar a conbinação de todos os prováveis valores de un '
esforço era uma direção com todos os prováveis valores do esforço i
na outra direção. Uma varredura completa de todas as conbinações I
de ambos os esforços comparado cora a resistência é nrcesss-io. A I
resolução da integral ê difícil, inclusive porque a probabilidade 1
de ocorrência de cargas em direções ortogonais não ê independents. |
INão ê difícil ver, :-.o entanto, nue as caroas :a *
riâveis são numericamente muito naiores cue as cargas rermanentrs \
e excepcionais. Temos, en terros de ter.sces na direção y: \
l
carga permanente : õ , - 2,2 x 10 N/m \
— 6 9carga variável : uo 2 = 88 x 10 N/m (media)
o = 3,355 x IO6 N/n2 {desvio nadrEo)
V
carga excepcional : va ~ = 0 (média)
o = 1,331 x IO6 N/m2 (desvio padrão)5
: Para o cálculo do desvio padrão d*> tensão provo
.. cada por cargas excepcionais é preciso recorrer ã distribuição ncr
l mal reduzida, onde encontramos :
mas se x " u = z (P.9)
logo
s e p - 0 , z - 1 , 6 5 , x » 2 .197 .000 N/ir.2
Assim o « 1,331 x 10 6 N/m2.i
-69-
Na direção x :
?:/ncarga variável : vo ~ = 17P x 10 ?:/n~
x2
= 6,71 x 10 M/r- (desvio radrão)
"Assim a tensão ermivalentp node ser calculada r>or:
—2 -2c ' + o o o
X V
E desprezando a influência das cargas r »=» pxcer>cioral
õx = 2 S
Logo
eq
-2°x
-2°x
A tensão equivalente ê dada por:
11)
li 0~2 X
x 176 x iof> r;/r.2 (nécia)
— xfi,71xlO6 (d<?svio r
Sc desejarmos trabalhar cor. esforços? solicitantes
por unidade de comnrirento:
* 30,4341 x IO6 M/n
1*1*22 * IO6 M/m
(nédia)
(desvio nadrão)
Para as resistências ao escoamento:
K-fjf Pi J ' - -" r' j
• 79,2580 x M/rr (nodi a)
= 4,2289 x 10 (desvie r>adrãc)
Neste caso teiros eme a distribuirão densidace das careran vale:
(x) » 12)
Fendo as r repetições do modelo de Ferry Porges e Castanbeta
D a exnressao reduz-se a:
fs { \
e-r
exr>1
2 «
. r-1
*J
(*Ieq
er»2 o'
err (6.13)
e a probabilidade de ruína fica:
I
nf (N)
en
« /2Teq
. exn
r-1
eo dN)7 a'
/27B.
exn
(8 - V.
2 o'r'R
dfl (6.14)
-71-
f.3.6 O nrograma ccrr.nutacional
Dada a dificuldade de resolver-se appliticarcrte
a integral, optcu-se nor uma solução r.ur.êrica. A ropr-uisa rr bi
bliotecas cie rroçrar.as cor^utaciopais resultou infrutífera. *:?.r> \
se encontrando un sisterca ccr.rut acionai capaz de resolver a ir. te \
arai em ruertão, desenvolveu-se un nrograr.a nara rpsolvê-ià. <"" •
prograna calculo c integral nela coirr>osicno de áreas.
fcrtaronte rruo n v.irredurn de:: IR não ^rrcis^ S T
conmleta, tomando-se senente ur. intervalo onde op valores são sic
nificativos. Mo caso adota-se o intervalo de 1 x 10 ?. ISO x 1 ^ ,
que se ir.ostrou suficiente, jã cue a variaeão deste 5ntrrvalo não
resultou er. alterações significativas nos resultados.
0 programa utiliza-se do comnilador :-" extendido
cue garante uma precisão cruatro vezes rr.aior cue a precisão eir cen
dições normais. Este ccnnilador tornou-se necessário já cue os re
sultados obtidos são expressos ror valores recuenos.
Por neio do "?tatistical Analysis Pystem" (FP.F)
obteve-se uma representação gráfica dos resultados. Este sistena
se presta especialnente ã análise de dados e foi originalmente de
senvolvido para resolver problemas estatísticos * . Na represen
taclo gráfica anlicou-se o loçarítiir.o ra yase dez às rrobabilida
des e densidade de probabilidades, dado o grande canpo de varia
ção de seus valores. Nos gráficos, com o símbolo (*) ar>resen*a-se
a curva oue renresenta nonto a porto o produto ce todas as nuan
tidades eis. questão. E con o slr.bolo (+) apresenta-se a
condiçlo da» areas ("integração") da curva anterior nor.to a ponto.
\ fi.3.7 Resultados
I ~~~ ~* Os resultados referentes ao exemplo nurérico fo
?• ram obtidos no computador ITM 4341 do IPKN. Chamou-í?e de caso ba
f se as condições descritas acina. Além do caso hase estudou-se váfl rios casos adicionais, corn alteração da nressac n de err^ssura do
vaso. Ainda calculou-se a probabilidade de se atingir a ruína do
aço ) (para além do escoamento', . Os resultados obtidos foram os
I
-72-
aue seguem.
Cl-9O 1 : Caso base Probabilidade de ruína obtida:
5,03172 x 10~27 .
GAFO 2 : Aumento de pressão e. ce sua instabilidade. Tcr.ou-Fe a
rcédia e o desvio padrão do caso base nmltinlicade per
1,5. Probabilidade de ruína obtica: 1,13819 x IO*"11.
Cf-TO 3 : Dininuicão dp espessura da parede do vapo de 7r-c:- rara
17,5cm, as demais condições são as básicas. Vroi cibilic*a_
de de ruína obtida: S,2343P x 10"?2.
CAFO 4 : Diminuição de espessura da parede do vaso nara l?,0cr ,
as demais condições são as
ruína obtida: 5,05312 x 10*
as demais condições são as básicas. Probabilidade de,-16
Cf-FO 5 : Diminuição de -rsressura ca parede do vaso nar?. 12,5cr ,
as demais condições são as básicas. Probabilidade ce
ruina obtida: ?,P49P«í >: 1P~9.
CAFC 6 : Dininuicão da espessura da parede do vaso para l^
as demais condições são as básicas. Probabi1 idade
"3ce
ruína obtida: 7,00037 x IO
C7.SO 7 : Calcula-se a probabilidade do aço do vaso atingir o es
tado de ruína (para alén do escoamento) para as
ções básicas. Probabilidade de ruína obtida:
2,71001 x líT36.
Aléir. disto, calculou-se a probabilidade c"*1 se
atingir o lirr.ite de tensão imposta rela AFMF no caso bare, se fcs_
se possível considerar a distribuição de densidade da r-robabilica
de das carqas válida ã toda a vida da estrutura. Probabilidade o£
tida : 2,2556 x 30~4.
Obscrvou-ne our o aumento do intervalo considera
do e a diminuição do passo do programa não provocaram alterações
sensíveis dos resultados obtidos.
t•f-
-73-
6.3.8 Sinulacão numérica
Outra naneira de se calcular a nrohahilidacTp rir- *
ruína do cxcnnlo e neciante una simulação nunérica. ?cco-se, sy
sim, evitar a intnqral (*.8) e comparar-se os resultados já chti
cos con-' os obtidos rcr nric ca simularão. Adritinos sir.nl if içada ••
r.ent<: qur os fatores cr repetição de cargas são iguais (ao r.r.
car<i.a variável).
Tcrou-sp dois núneros rrndômicor- ~: r .ribi::dor
normalmente c-r. uma nornal reduzida. Na dirrcão v, onprcu-se mu
danças de variáveis n.ira se cbter números randcniccs cistrihujdoç
segundo a normal das cargas variáveis e cargas excepcionais, ir
denendéntes (a carga permanente é considerada deterrínisticaren-
te). Na direção x, torou-se o mesmo número randõnico rorrr.alrrente
distribuído (na nornal reduzida) relativo ã carqa variável y. Tst
to porque estas cargas são diretamente nrororcionair. Mediante
uma mudança de variável, obtevê-se um número randõnico distrihu^
do segundo a normal de cargas variáveis na direção x. Trabalhou-
se con tensões e não cor, esfcrços solicitantes.
Trabalhou-se com 2.000, 3.000 P 5.0^0 núr.eroF
randônicos nara cada carga. Foirou-se a tensno obtida na direção
y. Calculou-se a tensão equivalente segundo a expressão (fi.1T) .
Organizou-se as tensões obtidas em histogranas e procurou-se ura
expressão analítica para a distribuição. Utilizou-se 3 expressão
equivalente ã (6.12) rara o cálculo de probabilidade de ruína.
Para tanto nroduziu-se um.i rotina no PAF
a simulação. Fm seguida prcduziu-se urra rotina no FAf
para o ajuste dos dados obtidos a uma expressão analítica. Fsco
lheu-se uma distribuição gaunsiana, já rue a interferência dar
cargas permanente e excepcional é peouena. Os parâmetros obtícos
foram:
v., - 152,9594 x IO6 N/m?AJ5000 *
o._ = SB^SO x 10fi N/m2
^5000
3500
-71-
c,, = 5,71650 x IO6 V * 2
^3090
u,T = l«n,09255 x 10f \/r2
2000
c o ft-._ = 5,74088 x 10b V/rT
sondo y__ , ii,T , p., a rêíia da gaupsiar.a ajusta"5000 2500 /Lj-»ft«« -
ca nara 5000, 3500 e 2000 nür.eros ra-côricos por came resrrcti
vamrntc; c o._ , o , c«7 o desvio r?rrHo dp nau?AJ?.ooo ''J3sco AJ " ~
siana ajustada para 5000, 3500 e 2000 números raudônicos nor
carga respectivamente. Atírritindo-se cue o número de pontos foi
suficjenteirente grande, adota-se os resultados obtidos nara 5000
núneros randônicos para o cálculo da probabilidade de ruína. Uti
lizando-se a expressão pnuivalente a (6.12) para tensões obteve-
se:
P^ = 7,52569 x 10~ 2 7
Valor r.uito proximo do valor anterjorr.ente obtido ornando se des-
prezou os esforços permanente e excercional:
P,: = 5,03172 x 10~ ? 7
x.
Em apêndice apreserta-se o prograna rue resolve
a expressão 6.2 chanado TNTFGPAL FO^T; e os resultados obtidos
com ele para as 7 casos descritos. Apresenta-se a rotina
SAS - FAPGRAF - para a renresentaçao gráfica dos resultados ob
tidos com o INTEGRAL . FORT; e os cráficos. Fm rolarão ã sinulf»
ção apresenta-se a rotina FAf da simularão - CI'1.2.DATA. ArrrBer,
ta-se os histogranas obtidos. Por fir está a rotina ,c£f, AJUFTF.
SAF, nue ajusta aü qaussianas, COT srus resultados r r:r5fj.cos.
I| 6.3.9 Comentários sobre o exer.nlo numérico
Várias foram as Firnplificações feitas neste e
| xeT.plo numérico. Algunas solicitações foram desr.rezadap (efeitos
térmicos e de transiente, etc). O efeito do trrreroto foi
do sortnr.tr produzindo aceleração na direção vertical, s efeitos
-75-
das tampas não forar. considerados. E outras sinnlificacões r.o
prônrio modelo c calculo foran adnitidos. Assin os resultados cr
ven ser considerados con reserva, r cert.n^cnte n prrurarra arer
tada nelos nüreros do exer.nlo não é tão cjrande CF U~ vaso rir r>re£
são real.
A simularão nuirérica (tipo método de v.cnte Cnr
lc) mostrou ruo os resultados obtidos desprezarão-re CF efeitos
das camas ncrraner.tes c excepcionais são her. razoSveis reste r
xernlo.
Verifica-se rue aunentos ra nrersão ou em sua
instabilidade (auirento do desvio r^drão) roden reduzir substan
cialncnte a sequrança do vaso. fi 'rorr. ter rm mente, no entanto ,
oue no caso de uro grande acidente tiro LOCA (Loss of Coolant
Acident) a pressão interna do vaso tende a dinirsuir e r.ão au^er
tar.
A diminuição na espessura da parede do vaso pro
voca, mostram os resultados, uma sensível diminuição da seguran
ça do vaso.
No exemplo, a ruína do vaso por atingir-se a
tensão de ruJna do aço (para alé:n da tensão de escoamento) é re^i
to baixa.
6.3.10 Comentários relativos aos programas cornutacio-
; nnis
\
O programa desenvolvido INTEGRAL.FORT é adecua
do nara resolver em casos mais simples as integrais do rodçlo de
•; Ferry Forges e Castanhcta. A simulação mostrou oue, neste caso ,
\, os resultados obtidos desprezando-se peso próprio e terremoto
* são bons. A simulação é sempre ur caminho eficientr e ir3is fácil
í de se resolver este tipo de combinação de distribuições estatís
w ticas.
IO FAS é um excelente instrumento para nroduzir
renresentaçors gráficas. \'o caso veja a rotina FAF.HRAF, nara rc
presentar graficamente os cálculos das integrais de convolucão .
O FAS é tanbém um excelente instrumento para a simulação nur.fri
ca. Veja para o exemplo a rotina CHI2 . DATA. E ainda rnra o ajus
te de curvas. No exemplo o ajuste de gaussiar.as ê faito nela roti
na AJüfTF.fAS.
Um estudo interessante a ser feito cm outros
trabalhos seria o de criar nrograrras e rotinas computacionais nni«s
simples e para casos nais complexos.
-77-
CAnTT!lLO 7
7* COMENTÁRIOS E CON'CLUPOnS
Procurou-se mostrar a vantagem conceituai da introdução de
métodos rrobabilísticos no cálculo estrutural. Tais nétcdos ofere
cen una avaliação mais justa da segurança (e risco) dr ur-a estru-
tura. P.o invés de coeficientes de sequrar.ca roerr-sr-ia falar em
nrobabilidade de ruína de urna dada estrutura. A r rol~aVi lidade de
ruína aceitável seria determinada de rodo compatível aos riscos
nomais da vida humana.
Atualmente os métodos probabilísticos são na verdade simply
ficações, e oferecem sorente valores aproximados de probabilidade
de ruína. Fntre os modelos existentes sobresae-se o modelo de Fe£
ry Porges e Castanheta. Procurou-se mostrar sua ampla nossibilida
de de combinação das ações; e admite-se sua razoável nrecisão,meí5
mo sem apresentar grandes complexidades matemáticas. Algumas sin
nlificações adicionais ao modelo forar tanbém anresentadas.
No cue se refere aos vasos de pressão de uso nuclear, dada
a sua grande responsabilidade, procura-se garantir altos níveis
de confiabilidade no seu projeto, construção e operação. Kspecifi
caçoes precisas como as de APMr Boiler and Pressure Vessel Code
procuram garantir esta segurança. Procurou-se mostrar a aplicabi
lidade do modelo de Ferry Porges e Castnnheta a verificação de S£
• gurança e cálculo de vasos de pressão de anlicação nuclear, ainda
que para casos mais slnnles.
r
• O processo de verificação da segurança é feita rela compara
'. ção da combinação dos esforços solicitantes atuantes com os esfor
^ ços solicitantes resistentes (ouer sejam referentes ã capacidade
I portante final ou referentes ao limitr de disfunção). As ações
| são combinadas de acordo com a sua variação no tempo e por fim se
f obtém uma distribuição oue informe a densidade de probabilidade
• de certo nível de solicitação da estrutura ocorrer. Tora-se» tam
£ bém a distribuição relativa ã resistência da estrutura, oue infor
ma a probabilidade de» um estado último ocorrer nara una dada soil.
}•' citação. Por mtiio de integrais de convoluçâo calcula-se a nrohabi,
• lidade de ruína. Fsta integral do convolucão calcula a probabili.
-78-
dade de ruína dada pela composição de todas as probabilidades de
que o vetor de ações iguale o vetor de resistência.
fl fácil ver oue o cálculo das integrais de convolurão ê tra
balhoso. Algumas simplificações, no entanto, são nosslveis. A in
tegral, por exemplo, não nrecisa ser estendida ã toda rcaião do
espaço, f possível fazer-se a verificação de seauranca ror rr.eio da
divisão de estrutura en nartes. Apesar de cue- o número <*ç> verify
cações neste caso cresça, caca verificação individual torr-?- se T\ÕÍS
sir.nles. Msste caso, as probabilidades de un estado últiro oco£
rer en cada narte devem ser connostas para a obtenção do total de
probabilidade de ruína na estrutura como un todo. Ainda, em casos
particulares, nem sempre é necessário comparar todos os esforços
solicitantes conjuntamente.
0 exemplo de aplicação numérica foi feita com a intenção de
mostrar a aplicabilidade do rétodo ã vasos de nressão. Várias siri
plificações foram feitas; e ur caso sinnles foi escolhido. As ce
neralizações ã casos mais coir.plexos a partir do exemplo não roder.
ser feitas. Para um cálculo mais rigoroso, un r.aior núrrero de de
ações podem ser combinadas. A dificuldade maior será no levanta
mento de dados experimentais do comportamento do vaso e das ações.
E neste caso será necessário estar-r-e em condições de resolver in_
tegrais complexas.
( Assim prevê-se cada vez mais o uso de métodos probabilistic
; cos no cálculo estrutural. E espera-se também que estes métodos
t sejam cada vez nais amnlar.énte utilizados no cálculo estrutural
i, ligado ã Fnergia Nucelar. 7\ nedida oue forem realmente sendo usa
;. dos nos projetos, e seus efeitos práticos constatados, a ccr.fian
' ça nestes métodos crescera. 0 seu raior uso certnmepte resultará
,' em um melhor tratamento das ouestões de segurança e economia da?
estruturas.
1 , i
-79-
A n r " fí í ç r
PARÂMETROF DF ALGUMAF VARlfiVFIF AIJFATÕRTAF IMPORTA*JTFF
(7, 8, 11, 14, 19, ?3, 28, 3ft)
Vamos nos deter aqui a detalhar as características
algumas variáveis aleatórias importantes a miestoes c> segurança
estrutural. Há muitas outras que rão serão referidas, nas somei?
te as usualmente utilizadas no cálculo estrutural rrobahilístico.
1. A principal variável aleatória continua é amiela cue
possui uma distribuição normal. Fuás características são:
função distribuição;
fN /STexn . <* -
2aôx
função densidade;
exp -1 to-.)»
moda ; x = x
mediana : x •
média : x
desvio padrão :
coeficiente de
i i
X
0
variação :
i i
?variancia : 0
C - -g-
1 1
Para
N1
/77
x - x
r oxr- t cít
.,., • 1
2. A distribuição locj nornal
furcão distribuição:
f x .
LN1x
(x/9) r'x
função densidade:
/ 2ii. a xexn
In*6 (x/P)2 a 2
mode : x » p e~°
mediana : X - ?
média : x = ?. oa ' *"
desvio padrão : o = p. j e a
coef i c i en te c\p var iação : c •
onde a s o. „ e In P « x
P 1/2
l n x
3. Distribuirão de extrmo Tiro T - máximos ou
ção do Gur.hr 1
função distribuição;
-81-
F [:<)
função densidade:
(x) = a e
moda : x = u
[""- a (x - u) - -o(x-u)
mediana: x' = u - In (In2)/a
média : x = u + y/a {y: constante de Fuler)
desvio nadrão :
coeficiente dp variação : c
onde: y = o (x - u)
ftU +
f- In F(y) 1- In - lnP(y)
Obs.: as exnressões são válidas rara a > 0
4. Distribuição de pxtremo Tino I - Mínimos
função distribuição:
- exp | - er a(x - u)
r c2 -
função densidade:
fT (x) = a exp a (x - u)( x ~ u )
ntoáa : x = u
mediana : x = u + In (In2)/a
média : x = u - y/i
desvio radrão :
y = n,F77?l?7 (constant^ en Fulpr)
it
T a
ou -coeficiente de variação : c =
onde: y = a (x - u)
In I - In p. - F (y) 1 1 = y
Obs.: As expressões são válidas nara o > o,
5. Distribuição de extrenos Tipo II - Máximos
função distribuição:
(x) * exn
[••
i
função densidade:
fTT (x) - B V. (k x)
moda : x « -
exp ["- (J- x ) " B 1
-83-
mediana : x « £ (- In 1 / 2 ) ~ 1 / B
média : x • £ 1( 1 - 1/P.)
I é a função gama
desvio nadrao : o = r; |~U - ?/?) - I (1 - l/P)1/2
1 d -d - 2/6) _
- I/P)
1/2coeficiente de variação: c =
onde : y = p In (kx)
F (y) = exn (-e~y)
Obs.: As expressões são válidas para R > O , x > n , k > 0
Uma definição de função gama é:
(x + 1) = lim x(x+1) (x+2) ... (x+k)
6. Distribuição de extremos tipo III - Mínimos ou distrihuj^ção de Weibull
função distribuição:
(x) - 1 - exnI I I
função densidade;
,x - c
exp
moda : x = e + (k - e) (1 - l/P)l/P P > 1
mediana : x » c + (V - c) (In2 )\ /0
i
-84-.
c + iY - c) | (I •média i x « c + iY - c) | (I • 1/f)
desvio padrão :
U + 2/P) - I (1 + 1/P) Ja - (k - c)
coeficiente do variarão:
„ - (k ~ c) L I 0 + 2/P) - P (1 + l/f») Jc + (k - e> R l + 1/fi)
onde: y « p In ( 3 I|C|)
F (y) * 1 - exp (- ey)
Obs.: As expressões são válidas rara x > c ; 0 > 0 ;
k > e > 0
Todos os parâmetro;; das várias distribuições nodeir ser obti-
dos a partir da média e do desvio padrão. Note-se que rao se de£
creveu todas as distribuições de extrenos, mas sõ as oue interest
sam à cniestão de segurança das estruturas.
*>
te
s
n1'
-85-
A P F H D I C F E
O MATERIAL COMPUTACIONAL
Neste apêndice apresenta-se:
1. O programa Fortran IV - INTEGRAL.FORT, que resolve a integral
de convolução (6.2);
2. Os resultados das aplicações deste programa relativos ã apli
cação numérica. Os resultados dos casos de 1 a 7 aqui apare
cera. 0 caso 8 corresponde ao cálculo de probabilidade de rui
na relativo â simulação numérica;
3. A rotina SAS - SASGRAF, que produz a representação gráfica
dos resultados relativos à aplicação numérica;
.4. Os gráficos obtidos com o SASGRAF;
I 5. A rotina SAS, CHI2DATA, que faz a simulação relativa ao caso
| base do exemplo;
í* 6. Os histogramas obtidos com o CHI2DATA para 5000, 3500 e 20002*• pontos por cargas;Ii 7. A rotina SAS-AJUSTE.SAS, que ajusta as gaussianas com os re\ sultados obtidos no CHI2DATA;
8. Os parâmetros e gráficos, saldas de AJUSTE.SAS. Por questões
de praticidade médias e desvios padrões aparecem divididos
por 10 . Além disto, as médias sofreram uma subtração de 132,
134 e 131 para os valores relativos a 5000, 3500 e 2000 pon
tos respectivamente.
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