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INSTITUTO MEXICANO DEL PETRÓLEO

Dirección General de Investigación y Posgrado

Presenta: José María Petríz Munguía

Director de Protocolo: Dr. Martín Alberto Díaz Vier a

Título de Protocolo

“ESCALAMIENTO DINÁMICO DE LA PERMEABILIDAD EN YACIMIENTOS DE DOBLE POROSIDAD USANDO

UN MODELO MULTIESCALA PARA DATOS DE PRUEBAS DE PRESIÓN”

Instituto Mexicano del Petróleo

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CONTENIDO 1. RESUMEN............................................................................................................... 4 2. INTRODUCCIÓN Y ANTECEDENTES.................................................................. 6

2.1 EL ESTUDIO INTEGRADO DE YACIMIENTOS2 ........................................... 6 2.1.1 Integración ................................................................................................... 6 2.1.2 Sistemas inteligentes..................................................................................... 6 2.1.3 Cambio de enfoque....................................................................................... 7 2.1.4 Integración de la información ....................................................................... 8 2.1.5 Complejidad vs. Precisión ............................................................................ 9

2.2 DISTRIBUCIONES TRADICIONALES DE LA PERMEABILIDAD.............. 10 2.2.1 Interpolación 2D......................................................................................... 10 2.2.2 Distribuciones de la permeabilidad en 3D................................................... 12

2.3 ESCALAMIENTO............................................................................................ 13 2.3.1 Permeabilidad efectiva................................................................................ 13 2.3.2 Permeabilidad equivalente.......................................................................... 14 2.3.3 Criterio de equivalencia.............................................................................. 15 2.3.4 Tensor ........................................................................................................ 15

2.4 ESTIMADORES ALGEBRAICOS................................................................... 16 2.4.1 Promedio aritmético y armónico ................................................................. 16 2.4.2 Promedio geométrico.................................................................................. 17 2.4.3 Promedio de potencia ................................................................................. 18

2.5 ESTIMADORES NUMÉRICOS ....................................................................... 18 2.5.1 Métodos locales.......................................................................................... 19 2.5.2 Métodos no locales..................................................................................... 20

3. PLANTEAMIENTO Y ANÁLISIS DEL PROBLEMA .......................................... 22 4. OBJETIVO............................................................................................................. 25 5. ALCANCE DEL PROYECTO................................................................................ 25 6. JUSTIFICACIÓN DEL PROYECTO; IMPORTANCIA Y BENEFICIOS.............. 26 7. MÉTODOS PROPUESTOS PARA LA SOLUCIÓN Y SU JUSTIFICACCIÓN..... 28

7.1 BASES MATEMÁTICAS ................................................................................ 28 7.1.1 El Método Multiescala Heterogéneo (MMH)3............................................. 28 7.1.2 Idea básica del método del volumen finito .................................................. 30

7.2 PROCEDIMIENTO DE SOLUCIÓN PROPUESTO......................................... 31 8. RESULTADOS Y APLICACIONES...................................................................... 32 9. PROGRAMA DE TRABAJO ................................................................................. 33 10. REFERENCIAS.................................................................................................... 34


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11. ANEXO A ............................................................................................................ 41 CONCEPTOS ESTADÍSTICOS Y GEOESTADÍSTICOS BÁSICOS ........................ 41

11.1 ESTADISTICA BÁSICA85 ............................................................................. 41 11.1.1 Tablas de frecuencia e histogramas:.......................................................... 41 11.1.2 Medidas de localización............................................................................ 41 11.1.3 Medidas de dispersión. ............................................................................. 42 11.1.4 Medidas de forma. .................................................................................... 43

11.2 TERMINOS GEOESTADÍSTICOS BÁSICOS17, 18......................................... 44 12. ANEXO B ............................................................................................................ 53 RESTRICCIÓN DE MODELOS DE YACIMIENTOS A DATOS DINÁMICOS....... 53

12.1 FUNCIÓN OBJETIVO ................................................................................... 53 12.2 RESOLVIENDO EL PROBLEMA INVERSO................................................ 56

12.2.1 Métodos basados en gradiente...................................................................57 12.2.2 Métodos no basados en gradiente.............................................................. 58

12.3 PARAMETRIZACIÓN................................................................................... 60 12.3.1 Numero de parámetros.............................................................................. 60 12.3.2 Información previa ................................................................................... 61

12.4 METODO DEL PUNTO PILOTO .................................................................. 61 12.4.1 Puntos piloto............................................................................................. 62 12.4.2 El punto piloto basado en optimización..................................................... 62

12.5 METODO DE LA DEFORMACIÓN GRADUAL. ......................................... 64 12.5.1 Deformación global .................................................................................. 64 12.5.2 Deformación local .................................................................................... 65 12.5.3 Deformación gradual de una realización discreta ...................................... 67 12.5.4 Deformación gradual combinando diferentes realizaciones ....................... 67 12.5.5 Deformación gradual basada en optimización ........................................... 67

13. ANEXO C ............................................................................................................ 71 DERIVACIÓN DEL MODELO DE DOBLE POROSIDAD DE FLUJO EN UNA SOLA FASE VÍA TEORÍA DE HOMOGENIZACIÓN87........................................... 71

13.1 EL MODELO MICROSCÓPICO.................................................................... 71 13.2 EL MODELO MACROSCÓPICO. ................................................................. 76

14. ANEXO D ............................................................................................................ 79 DATOS DE PRUEBAS DE PRESIÓN Y SU USO EN LA CARACTERIZACIÓN ESTÁTICO-DINÁMICA1, 2........................................................................................ 79

14.1 OBTENCIÓN DE LA PERMEABILIDAD MEDIANTE PRUEBAS DE PRESIÓN. .............................................................................................................. 80 14.2 INTEGRACION DE PRUEBAS DE PRESIÓN.............................................. 81 14.3 CONDICIONAMIENTO DE LOS MODELOS ESTOCÁSTICOS A LOS DATOS DINÁMICOS............................................................................................ 82

15. ANEXO E............................................................................................................. 84 COMPORATAMIENTO DE YACIMIENTOS NATURALMENTE FRACTURADOS (DOBLE POROSIDAD) EN PRUEBAS DE PRESIÓN86. .......................................... 84

15.1 USO DE CURVAS TIPO................................................................................ 90 16. PRESUPUESTO................................................................................................... 97 17. PROGRAMA O CRONOGRAMA PRESUPUESTAL ......................................... 99


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1. RESUMEN La fiabilidad de desarrollar predicciones obtenidas de simulaciones numéricas de flujo dependen en gran medida de la distribución espacial de las propiedades del yacimiento, de las cuales, la porosidad y la permeabilidad son de gran importancia. La permeabilidad de formaciones porosas a menudo presenta altos niveles de variabilidad así como estructuras complejas de heterogeneidad espacial la cual cubre un amplio rango de escalas de longitud. A menudo las variaciones son significantes incluso a pequeñas distancias. Estas variaciones en la permeabilidad pueden tener un efecto dominante sobre el comportamiento del flujo de fluidos en el medio poroso. En el caso de los yacimientos naturalmente fracturados su productividad y desarrollo es controlado, o bien, fuertemente afectado por la red de fracturas presente en el campo. Por lo tanto, una caracterización correcta de la geometría interna del yacimiento y una descripción adecuada de la red efectiva de fracturas son cruciales para que un modelo predictivo sea viablemente adecuado para la predicción de su desempeño y para el pronóstico de su producción. El presente protocolo de investigación tiene como finalidad presentar una metodología para llevar a cabo el escalamiento dinámico de la permeabilidad en yacimientos de doble porosidad utilizando un método multiescala heterogéneo para datos de pruebas de presión. Dentro de la primera parte del documento se utiliza un contexto de estudios integrados de yacimientos con la finalidad de enfocar el protocolo en la integración de herramientas que permiten la caracterización estático-dinámica, para con esto, obtener mejores resultados en los procesos de simulación numérica así como una mejor representación de la física subyacente en el yacimiento. Posteriormente se presenta una revisión de la distribución tradicional de la permeabilidad en el yacimiento tanto en dos como en tres dimensiones seguidas del proceso de escalamiento y los métodos más habituales para llevarlo acabo. En análisis del problema hace referencia en la problemática de poder representar una distribución de fracturas como un juego de paralelepípedos representando los bloques de matriz y limitado por un juego de fracturas ortogonales uniformes. El objetivo y alcance del proyecto hace referencia a las ventajas de utilizar el método multiescala heterogéneo para ligar modelos a diferentes escalas y que además trata problemas en los que se presentan heterogeneidades usando un enfoque de homogenización. Los métodos de solución propuestos se basan en presentar la idea básica de cómo trabaja el método multiescala heterogéneo así como la idea central de utilizar el método de volumen finito como una herramienta para poder resolver localmente un modelo a microescala para posteriormente utilizar la solución a una macroescala. Una de las principales restricciones que se ponen en el proceso de escalamiento es la reproducción del comportamiento de la presión en los pozos, para lo cual se hace uso de la derivada de presión para calibrar de forma dinámica que el modelo sea consistente con la


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respuesta del yacimiento, se presentan los anexos C, D y E para el tratamiento de los modelos a microescala y macroescala vía teoría de homogenización para conservar las características de flujo entre ambos modelos así como el uso e interpretación de datos de pruebas de presión para llevar acabo de manera eficiente nuestras restricciones planteadas. Finalmente se hacen comentarios sobre las aplicaciones esperadas con el desarrollo de este proyecto así como el programa de trabajo a llevar acabo y el cronograma presupuestal para realizar el mismo.


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2. INTRODUCCIÓN Y ANTECEDENTES 2.1 EL ESTUDIO INTEGRADO DE YACIMIENTOS 2

2.1.1 Integración Siguiendo la definición de Webster84, la integración es la combinación y coordinación de elementos diversos y separados o unidades dentro de un todo más completo o armonioso. Debido a que esto implica la creación de un todo más completo o armonioso, la integración puede por consiguiente ser considerada como un proceso por el que un valor extra es producido. Dentro de la industria petrolera y en particular en el dominio de Exploración y Producción (E&P), la integración es principalmente afectada con la manera en la cual diferentes disciplinas son combinadas para mejorar y establecer (o bien crear nuevos) procesos analíticos. Sin embargo, la integración es un concepto difícil de definir. Los procesos de E&P son actividades altamente complejas que involucran una variedad de disciplinas, y cada una lleva sus propios problemas de integración. Por lo tanto, la integración de disciplinas en realidad significa la integración de todos los aspectos que constituyen esas disciplinas. Existe el aspecto de integrar diferentes piezas de trabajo producidas por diferentes profesionales, pero también el aspecto de integrar a diferentes geocientíficos pertenecientes a diferentes culturas profesionales. 2.1.2 Sistemas inteligentes Los sistemas inteligentes es una forma de analizar un proceso basado sobre un estudio de todos los factores, internos o externos, que tienen una influencia sobre el desarrollo y los resultados de tal proceso. Algunos de los principios básicos de estos sistemas inteligentes son:

• Comprender el proceso de cambio en lugar de enfocarse sobre las partes constituyentes individuales del proceso mismo.

• Comprender las interrelaciones entre todas las partes constituyentes en lugar

de las concatenaciones lineales de causa-efecto.

• Concentrarse sobre la complejidad dinámica del proceso en lugar de la complejidad estática de sus detalles.

En lo que respecta a los estudios integrados de yacimientos los sistemas inteligentes proporcionan un marco teórico útil para describir un método diferente requerido para la integración. Un estudio integrado de yacimientos es por definición un proceso


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complejo, el cual, resulta de la integración de las diferentes disciplinas y el cual tiene un objetivo definido. 2.1.3 Cambio de enfoque Hasta hace apenas unos años, el flujo de trabajo de un estudio de yacimientos era un proceso muy diferente a hoy en día. El método que se llevaba acabo era del tipo secuencial, en donde, los geofísicos, geólogos, petrofísicos e ingenieros de yacimientos trabajaban de forma casi independiente, mientras los resultados eran pasados de uno a otro sin una retroalimentación significativa. Una de las principales consecuencias de este tipo de método es que cada disciplina define sus propios objetivos, los cuales son, en general, diferentes de los otros y posiblemente solo relacionados de forma aproximada a los objetivos generales del estudio del yacimiento. Dentro de cada disciplina, los profesionistas tienden a pensar que el mayor detalle es utilizado en el análisis, y la calidad del resultado es la mejor. Por lo tanto, los diferentes profesionistas entregan un producto que es el mejor que ellos pueden lograr con la tecnología disponible, compatiblemente con su experiencia profesional y con el tiempo disponible. Dentro de este método, el mejor análisis trae implícitamente los mejores resultados. El proceso de integrar diferentes disciplinas de E&P para desarrollar un estudio integrado de yacimientos requiere un cambio de enfoque. De acuerdo a los sistemas inteligentes, el método se convierte en multidisciplinario y los profesionistas trabajan en una forma interrelacionada, en donde, la retroalimentación de otras disciplinas es fundamental para la evaluación del trabajo que se está llevando a cabo (figura 2.1).

(Cosentino, 2000)

Geofísica Petrofísica

Geología

Ingeniería de Yacimientos

Respuesta del Yacimiento

Geofísica

PetrofísicaGeología

Ingeniería de Yacimientos

Respuesta del Yacimiento

Cambio deenfoque

Figura 2.1 Representación del cambio de enfoque.

En este caso el punto clave se convierte en el entendimiento de los objetivos globales de un estudio particular, mientras que todas las disciplinas involucradas en el proyecto deben definir sub-objetivos, los cuales dependen fuertemente de los objetivos globales. Esto también implica que, en el marco de un estudio integrado de yacimientos, la


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tecnología disponible para las diferentes disciplinas necesita ser comparada al objetivo en común para la selección de las herramientas adecuadas. 2.1.4 Integración de la información Un estudio integrado de yacimientos es una tarea muy retadora a desarrollar. El yacimiento es en realidad un objeto muy complejo dentro de sí mismo y que debe ser caracterizado desde una variedad de puntos de vista con una gran cantidad de parámetros y con un grado notable de precisión. Además, sumado a lo inherente, la complejidad natural de los yacimientos, también tenemos las contribuciones inducidas por el hombre para las incógnitas del yacimiento, es decir, fracturamientos, daño a la formación, problemas de cementación, etc. Como una consecuencia de estos factores, los estudios llevan consigo un grado de incertidumbre, el cual, puede ser considerado como una medida (desconocida) de nuestro imperfecto desconocimiento del yacimiento. Los geocientíficos, a diferencia de otros científicos, tienen un acceso muy limitado a los objetos de sus investigaciones, es decir, el yacimiento. La información que está normalmente disponible a ellos es peculiar principalmente por tres razones:

• Es principalmente indirecta: el único acceso directo al yacimiento es a través de núcleos. Utilizando muestras de núcleos se pueden desarrollar algunas mediciones directas de las propiedades de los yacimientos, por ejemplo, la porosidad de la roca. En los otros casos podemos derivar información sobre propiedades indirectamente por medio de otro tipo de mediciones (por ejemplo, registros geofísicos). Posteriormente, se correlacionan esas mediciones a parámetros de interés del yacimiento a través de algún tipo de función de transferencia.

• Está basada sobre un volumen pequeño. Con la notable excepción de la

sísmica y de la pruebas de presión, toda la información que se interpreta es calculada sobre un pequeño volumen que implícitamente se asume que es representativo de todo el yacimiento.

• Es variada. La información es reunida de diferentes formas, en núcleo, en

pozo, o de la superficie. La cantidad de metodologías utilizadas para inferir propiedades del yacimiento es sorprendentemente alta, de estudios de afloramientos geológicos análogos a tomografía axial sobre pequeños tapones en laboratorio. Aún más complicado, la misma propiedad del yacimiento puede ser calculada por medio de diferentes metodologías, las cuales, proporcionan estimaciones independientes a diferente escala.

Desde este punto de vista, es claro que uno de los problemas más relevantes de un estudio de yacimientos es el de integrar apropiadamente toda la información dentro de un modelo consistente. El reto es de interés, debido a que integrar la información significa coordinar y combinar diferentes tipos de datos que provienen de diferentes


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fuentes, adquirida por medio de herramientas las cuales accesan a diferentes porciones del yacimiento y con una resolución diferente. Dentro de un sentido más amplio, integrar la información significa resaltar las diferencias para comprender la contribución relativa de cada pieza de información y para investigar todas las formas posibles de reconciliar los datos. Esto permitirá la elección de mejores formas de representar el yacimiento en relación a los objetivos del estudio. 2.1.5 Complejidad vs. Precisión Un modelo es por definición una simplificación, el grado de tal simplificación, o a la inversa, el grado de complejidad de un estudio dado depende de la información disponible y de los recursos humanos y tecnológicos asignados al proyecto. Un problema importante que hace que la integración sea difícil es el incremento en la complejidad en la cual las disciplinas individuales de E&P están experimentando actualmente. La complejidad es el proceso de adicionar un incremento de nivel en los detalles a un estudio parar representar su complejidad de forma más rigurosa. En más o menos grado, la complejidad es un proceso que afecta cada disciplina de E&P. Un ciclo típico de complejidad es mostrado en la figura 2.2:

Figura 2.2 Ciclo de la complejidad. Nuevas tecnologías ofrecen hoy en día a los geocientíficos poderosas herramientas para investigar los detalles de un problema particular. Sin embargo, tal detalle puede ser más difícil (y algunas veces menos relevante) para integrar en el estudio del flujo de trabajo. En otras palabras, nuevas tecnologías plantean nuevos problemas de integración. El análisis de un ciclo de complejidad lleva a dos puntos importantes relacionados al proceso de integración:

• Incrementar el nivel de complejidad de un trabajo particular no necesariamente asegura mejorar la precisión en los resultados totales.

• Mejorar la precisión no garantiza de forma automática cumplir con los objetivos

del estudio.

Más tecnología

Modelos más complejos

Más preguntas


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Cuando se desarrolla un estudio integrado, necesitamos asegurarnos que no estamos asignando recursos tecnológicos o humanos en la búsqueda de algún detalle falso o una precisión que no aporta nada más que complejidad al estudio mismo. El grado de precisión debe ser medido siempre sobre el objetivo total del estudio. Por esta razón, refiriéndose a un estudio integrado de yacimientos, el concepto de un buen trabajo o el mejor trabajo cambia. Cuando se inicia un estudio integrado de yacimientos se deben considerar los siguientes puntos:

• Identificar las características críticas del campo con respecto a los objetivos totales del estudio. Sucesivamente, permite la identificación de los principales requerimientos del proyecto, en términos de recursos humanos y técnicos.

• Clasificar los parámetros críticos. Este proceso permite la identificación de

aquellas partes del estudio que no tienen un impacto considerable en los resultados finales, es decir, las partes que no hacen una diferencia.

• Definir el grado de complejidad de las fases críticas del estudio de forma

compatible con las restricciones del proyecto (disponibilidad en términos de inversión, tiempo, profesionistas y tecnología).

2.2 DISTRIBUCIONES TRADICIONALES DE LA PERMEABILIDA D La derivación de una distribución de permeabilidad confiable 2D o 3D es uno de los puntos importantes en un estudio integrado de yacimientos debido a que las características del flujo de fluidos dentro de un simulador de yacimientos dependen de la estructura espacial atribuida a la permeabilidad. En el ANEXO A se puede consultar la información sobre conceptos básicos de Geoestadística, útiles en los siguientes párrafos. 2.2.1 Interpolación 2D Cuando el estudio está basado en un método tradicional de 2 dimensiones (mapas y secciones), un mapa de permeabilidad puede ser generado de diferentes formas, el método más sencillo es un mapa de contornos de valores promediados de pozos. Este método debe de ser calibrado ya sea con los datos de núcleos, con datos de pruebas de presión o bien con una combinación de ambos y se pueden llevar a cabo con un software simple de interpolación o algoritmos geoestadísticos más sofisticados. Todos los algoritmos de interpolación, geoestadísticos o no, utilizan una función de correlación espacial subyacente, sin embargo, software de mapeo convencional no permite calcular una función de correlación relevante para la variable de estudio mientras que las opciones por default usualmente implican distribuciones continuas lo que puede llevar a errores en la distribución de propiedades.


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La variabilidad espacial de la permeabilidad a menudo es mucho mayor que la densidad de pozos disponibles por lo que cualquier geocientífico que ha intentado la construcción de un variograma horizontal de permeabilidad ha sufrido la frustración de encontrarse con lo que se le conoce como “efecto nugget”, es decir, la falta aparente de una función de correlación espacial. Un método alternativo para mapear la permeabilidad es representado por transformación de porosidad/permeabilidad basada en una función de regresión sobre datos de núcleo. En este caso, la distribución de permeabilidad resultante será bastante parecida al mapa de porosidad primaria, sin embargo los siguientes puntos deben de ser considerados:

• Consistencia de la relación: el primer punto y el más obvio es que una relación porosidad/permeabilidad representativa se requiere para llevar a cabo tal operación. Mientras en yacimientos siliciclásticos esto funciona bien en yacimientos carbonatados esta relación es muy dispersa para utilizarse. Por otro lado, el uso de diferentes funciones para diferentes facies de rocas usualmente proporciona mejores resultados.

• Distribución espacial: cuando se utiliza la transformación

porosidad/permeabilidad la consideración subyacente es que las dos propiedades tienen la misma función de correlación espacial, lo cual, en general es muy poco probable. Si somos incapaces de generar una función de correlación experimental de los datos disponibles tendremos que aceptar esta consideración, pero, es importante comprender que, en la mayoría de los casos, la distribución de permeabilidad generada es probablemente muy difícil de suavizar comparada con la distribución actual.

• Tipo de promedio: cuando se lleva a cabo este método no se desarrolla

ninguna operación de promedio explícita de valores de permeabilidad en las localizaciones de los pozos. Sin embargo, desarrollamos un promedio sobre la porosidad para derivar el valor representativo para cada estrato. Debe notarse que para desarrollar un promedio aritmético sobre valores de porosidad y posteriormente utilizar una relación porosidad/permeabilidad equivale a desarrollar un promedio geométrico implícito de la permeabilidad (debido a que el logaritmo de un promedio no es igual al promedio de los logaritmos). Esta es otra consideración subyacente que tiene que ser evaluada en la medida en que esta pueda resultar en valores subestimados de la permeabilidad en yacimientos estratificados.

Desde un punto de vista general, este método para derivar distribuciones de permeabilidad da un resultado más satisfactorio comparado con la interpolación directa de valores de permeabilidad promediados de pozo. Una razón principal de esto es que usualmente el mapa de porosidad puede ser condicionado fuertemente desde un punto de vista geológico, de forma tal que esta información de entrada es directamente transferida a permeabilidad, la cual, de hecho, es también una variable dependiente geológicamente.


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Cuando se tiene la información suficiente y de buena calidad, la interpolación 2D por medio del kriging para permeabilidades obtenidas por datos de pruebas de presión producirá resultados confiables y de hecho muchos ingenieros tienden a pensar que estos mapas son la mejor representación de la distribución de permeabilidad actual en el yacimiento. Un dominio donde la permeabilidad obtenida por datos de pruebas de presión representa la información básica es en el caso de yacimientos fracturados, de hecho, en estos yacimientos los datos de núcleos normalmente proporcionan información útil concerniente únicamente a la permeabilidad de la matriz mientras que la permeabilidad global de la formación esta gobernada por fracturas y puede ser significativamente mayor. En estos casos las pruebas de presión representan la única fuente para la estimación y distribución de la permeabilidad. 2.2.2 Distribuciones de la permeabilidad en 3D Comenzando con un número de perfiles de permeabilidad vertical en las localizaciones de los pozos, una distribución 3D puede ser generada por interpolación determinística utilizando paquetes de modelación geocelular estándar. De forma alternativa, distribuciones 3D de permeabilidad pueden ser generadas a través de técnicas geoestadísticas. Cuando se desarrolla una modelación geoestadística directa de la permeabilidad (modelos de una etapa), se debe de poner atención como en el caso de la interpolación 2D, al rango de correlación de la función de distribución seleccionada. Tal modelamiento es a menudo frustrado por la ausencia de un variograma claro en la dirección horizontal (el efecto nugget aparente). Otro punto importante es que, opuesto a la porosidad, la permeabilidad es mejor manejada con algoritmos de simulación (modelación estocástica), que con los algoritmos de estimación (kriging). De hecho, en el caso de la permeabilidad, los valores extremos son componentes esenciales en el proceso del flujo de fluidos debido a que estos representan ya sea barreras al flujo o direcciones preferenciales de este. El método de simulación (modelación estocástica) cumple con la variabilidad experimental observada de la permeabilidad preservando así los valores extremos. Un procedimiento de estimación convencional, por otro lado, generaría una representación de la permeabilidad promediada y suavizada, la cual, sería menos efectiva en predecir el desarrollo actual del flujo de fluidos. Los algoritmos de simulación (o modelos estocásticos), por otro lado, tienen la desventaja de generar realizaciones equiprobables infinitas de la distribución de la permeabilidad con lo que se deja la incertidumbre de elegir una imagen representativa. Teóricamente, no existe un método a priori para elegir una realización sobre otras, por lo que, en la rutina diaria una imagen es seleccionada al azar como representativa de la distribución real de la permeabilidad. Mientras esto es aceptable en muchos estudios


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operacionales siempre es importante comprender en su totalidad las implicaciones relacionadas a tales decisiones. Los modelos de dos etapas a menudo representan una alternativa interesante para la modelación directa de la permeabilidad. 2.3 ESCALAMIENTO Estrictamente hablando los modelos de yacimientos producidos con métodos geoestadísticos son representativos de la escala sobre las cuales las mediciones se llevaron acabo. Si el modelo estocástico se ha inferido de datos de núcleos el tamaño del bloque de malla es del orden de 20 cm3, en el caso de datos de registros el bloque de malla puede ser a lo mucho del orden de 20000 cm3 en tamaño. Los modelos geológicos de yacimientos, por lo tanto, contienen un gran número de bloques de malla, a este nivel de resolución generalmente se es incompatible con las capacidades computacionales de los simuladores numéricos de flujo. Tales simuladores involucran la solución de sistemas lineales con matrices cuyos tamaños son proporcionales al número de bloques de malla. Esta limitante es totalmente la más crítica cuando se lleva a cabo el ajuste de la historia de producción, debido, a que a menudo se requiere un número significante de simulaciones. El número de bloques de malla debe, por lo tanto, ser minimizado. Para lograr esto, bloques de malla finos son agrupados en agregados, con cada agregado correspondiente a un bloque de malla más grueso. El problema básico es determinar las propiedades de transporte (porosidad y permeabilidad) equivalente a los bloques de malla gruesos. Estas propiedades equivalentes dependen de las propiedades simuladas a una escala fina.

El cambio de escala fina a escala gruesa se le conoce como “escalamiento” La estimación de la porosidad a una escala más gruesa no presenta muchas dificultades, sin embargo, en el caso de la permeabilidad el escalamiento es más complicado. Diferentes métodos de escalamiento han sido propuestos para la permeabilidad (Renard y de Marsily, 1997)24, pero ninguno es totalmente satisfactorio. 2.3.1 Permeabilidad efectiva El término efectivo es utilizado para medios estadísticamente homogéneos, dentro del contexto estocástico, la permeabilidad efectiva es definida como sigue:

( ) )1.2..(....................PgradK

U eff

µ−=


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Donde U=E[u] y grad (P)=E [grad (p)]. U es la media sobre el dominio de la velocidad de Darcy u y grad (P) es aquel de gradiente de presión grad (p), µ es la viscosidad del fluido. Una vez que la permeabilidad ha sido calculada, el modelo del yacimiento finamente mallado es remplazado por un solo bloque de malla de permeabilidad constante. 2.3.2 Permeabilidad equivalente En muchos de los casos presentados a ingenieros, las condiciones para la surgencia de permeabilidad efectiva no se conocen. El proceso de agrupamiento de bloques de malla finos en agregados para obtener un bloque de malla grueso requiere de la permeabilidad equivalente Keq, también conocida como permeabilidad de bloque. En este contexto el término de homogeneidad estadística no es invocado debido a que el número de bloques de malla agrupados es muy pequeño. La permeabilidad equivalente de un bloque de malla grueso es semejante a una constante en la que el flujo es posiblemente menos perturbado cuando se remplazan las permeabilidades de los bloques de malla finos por esta constante.

Figura 2.3 Diferencia entre permeabilidades efectiva y equivalente.

La permeabilidad equivalente del bloque de malla grueso no es único: esta depende de las condiciones de frontera. De hecho, las técnicas numéricas desarrolladas para estimar las permeabilidades equivalentes requieren que algunas condiciones de frontera arbitrarias sean aplicadas al bloque de malla específico. La permeabilidad equivalente, a diferencia de la permeabilidad efectiva, no es una propiedad intrínseca.

Keff

Keq Keq

Keq Keq


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Si el bloque de malla grueso es suficientemente grande, se reduce la influencia de las condiciones de frontera y la permeabilidad equivalente tiende hacia la permeabilidad efectiva, donde esta exista. 2.3.3 Criterio de equivalencia Una equivalencia completa entre un yacimiento finamente mallado y un yacimiento mallado en forma más gruesa es imposible, ésta por lo tanto debe de ser definida, en una manera limitada, de acuerdo a cierto criterio. Debido a que la permeabilidad no es una propiedad aditiva, la permeabilidad equivalente no puede ser derivada de una simple expresión algebraica tal como la media aritmética. En lugar de esto se debe de considerar gasto (Cardwell y Parsons, 1945; Warren y Price, 1961; Rubin y Gómez-Hernández, 1990)27, 26, 25 o energía disipada (Matheron, 1967; Indelman y Dagan, 1993)32, 31 . En el primer caso, la diferencia entre el bloque de malla fina agrupada y el bloque de malla grueso resultante es expresado en términos de gastos: los gastos a las fronteras de los agregados de los bloques de malla fina deben de ser los mismos que aquellos de bloques de malla gruesos. En el segundo caso, la energía disipada debe de ser idéntica para el agregado de bloques de malla fina y el correspondiente bloque de malla gruesa. El gasto y la energía disipada proporcionan criterios de equivalencia. Estableciendo equivalencia de acuerdo con uno de los criterios permite que se estime la permeabilidad equivalente del bloque de malla gruesa. Aunque ambos criterios involucran diferentes formulaciones, proporcionan resultados idénticos cuando se aplican condiciones periódicas a las fronteras de los bloques de malla gruesos (Boe, 1994)28. 2.3.4 Tensor La permeabilidad equivalente en general no es un escalar, es más bien un tensor de segundo orden, la forma de este tensor continúa siendo foco de atención para muchos investigadores. Algunos autores argumentan que dicho tensor es simétrico (Gelhar y Axness, 1983)30, otros argumentan que no lo es (Ababou, 1988; King, 1993)29. Matheron (1967)32 probó que el tensor de permeabilidad es simétrico para media estacionaria. Este resultado es consistente con la relación de Onsager (1931)33, sin embargo, si nos sostenemos de esto al momento de calcular la permeabilidad equivalente en el bloque de malla fina, la cual usualmente es no estacionaria, la consideración está abierta a cuestión. Finalmente hay que notar que en el caso de condiciones de frontera periódicas aplicadas a bloques de malla gruesos el tensor de permeabilidad equivalente es simétrico. Los métodos para el cálculo de la permeabilidad equivalente son referidos a:

• Métodos algebraicos o Heurísticos: proporcionan permeabilidades equivalentes escalares y se dividen en:

Promedio aritmético. Promedio armónico.


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Promedio geométrico. Promedio de potencia.

• Métodos numéricos o Determinísticos: producen tensores y se dividen en:

Métodos locales. Métodos no locales.

Otra opción es el método estocástico, este toma en cuenta la incertidumbre producida del conocimiento parcial de las propiedades del yacimiento. En lugar de trabajar con una sola realización de permeabilidad, permeabilidad, presiones y velocidades son consideradas como variables aleatorias. La determinación de la función de densidad de probabilidad de la permeabilidad equivalente es expresada en términos de una ecuación diferencial estocástica, en donde, identificar una solución completa es usualmente imposible. Por lo tanto, únicamente los dos primeros momentos son calculados. Un gran número de métodos han sido registrados en la literatura. Referencias mayores son Matheron (1967)32, Dagan (1989)34, Rubin y Gomez- Hernandez (1990)25. 2.4 ESTIMADORES ALGEBRAICOS 2.4.1 Promedio aritmético y armónico Considérese el medio estratificado de la figura 2.4. El flujo se asume paralelo a los estratos, cada estrato es representado por un bloque de malla. Se ha probado que la permeabilidad equivalente es igual a la media aritmética Ka de las k permeabilidades de los estratos.

Figura 2.4 Promedios de la permeabilidad.

k1 k2 k3 Kh

k1

k2

k3

Ka


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Cuando el flujo es normal a los estratos, la permeabilidad equivalente es igual a la media armónica Kh de las k permeabilidades.

i es el índice de sumatoria sobre el número de estratos n. hi y ki son el espesor y la permeabilidad del estrato i respectivamente, en forma más general esta se escribe:

[ ]

[ ]( ) )5.2........(....................

)4.2.....(..............................

11 −−=

=

kEK

y

kEK

h

a

Cuando este aplica a bloques de malla, el volumen del bloque de malla remplaza el espesor. Wiener (1912)35 mostró que la media armónica y aritmética agrupan la permeabilidad equivalente Keq.

aeqh KKK ≤≤

Esta desigualdad a menudo es llamada desigualdad fundamental, debido a que siempre es válida. La media armónica y aritmética también son llamados límites de Wiener. La porosidad siendo una variable aditiva, se puede calcular la media armónica para calcular la porosidad equivalente de bloques de malla gruesos. 2.4.2 Promedio geométrico Es sabido que la media geométrica está limitada por los límites de Wiener, por esta única razón y para propósitos prácticos, la media geométrica Kg a menudo se utiliza para determinar la permeabilidad equivalente de un bloque de malla grueso:

( )[ ]( ) )6.2........(..........lnexp kEK g =

)3.2.......(..............................

)2.2....(..............................

∑∑

∑∑

=

=

i i

i

h

ii

iii

iia

k

h

K

h

y

khhK


18

Esta media es calculada únicamente para valores positivos. En el caso muy particular de media bidimensional lognormal bajo flujo uniforme, Matheron (1967)32 mostró que la permeabilidad efectiva es exactamente la media geométrica. Es importante mencionar que en el caso de depósitos sedimentarios, la media armónica es preferida en las estimaciones de la permeabilidad vertical equivalente. 2.4.3 Promedio de potencia Las medias armónica, geométrica y aritmética pueden ser expresadas en una sola expresión, esta es el promedio de potencia (o promedio de orden w) Kw (Journel et al., 1986)36:

[ ]( ) )7.2.....(....................1

www kEK =

Donde w es una constante. Cuando w es igual a -1, Kw = Kh. cuando w es igual a 1, Kw = Ka, cuando w tiende a cero, Kw tiende a Kg. Para un medio estadísticamente homogéneo, el exponente w es igual a 1-2/D donde D es la dimensión del medio (Noetinger, 1994)38. Nótese que para un medio bidimensional la permeabilidad efectiva es dada por la media geométrica. El promedio de potencia es empírico, pero, se utiliza a menudo en la ingeniería petrolera. El exponente w es un coeficiente de ajuste que se puede variar durante el proceso de reproducción de la historia de producción (Deutsch, 1989)37. 2.5 ESTIMADORES NUMÉRICOS Los estimadores numéricos difieren de los estimadores algebraicos debido a la necesidad de resolver la ecuación de difusión sobre el bloque de malla específico. Se asume un juego de condiciones de frontera, las cuales, son arbitrarias. Las técnicas de escalamiento que se han desarrollado bajo este contexto son muy variadas, estas pueden ser clasificadas dependiendo del tamaño del dominio sobre el cual el problema de flujo es resuelto. Cuando este dominio está limitado a un bloque de malla grueso específico se dice que la técnica de escalamiento es “local”. Cuando se incluyen las vecindades inmediatas de los bloques de malla la técnica de escalamiento se dicen que es “local extendida”. Finalmente, cuando se extiende a una malla fina completa las técnicas de escalamiento se dicen que son globales.


19

2.5.1 Métodos locales Las técnicas de escalamiento local derivan la permeabilidad equivalente de un bloque de malla grueso de las permeabilidades de los bloques de malla fina incluidos dentro de estos bloques de malla grueso. Los bloques de malla fina que forman el bloque de malla grueso específico son extraídos del modelo del yacimiento. Una vez que se han extraído el juego de bloques de malla fina se selecciona una dirección de flujo, por ejemplo el eje x, posteriormente se simula el flujo con una condición de frontera cerrada al flujo (Warren y Price, 1961)26. En otros términos, se imponen presiones constantes en las entradas y en las salidas de las caras y no se permite el flujo a través de las otras dos caras. El gasto es calculado numéricamente para cada bloque de malla fina. Aunque las condiciones de no flujo son las más comúnmente utilizadas son preferibles otras opciones. Por ejemplo: Gallouët y Guérillot (1991)39 propusieron un método de escalamiento utilizando condiciones de frontera uniforme; Durlofsky (1991)40 presentó un modelo basado en condiciones de frontera periódicas. El punto clave es que las condiciones de frontera reales cambian con el tiempo y son desconocidas. Hagamos L la distancia entre las dos caras donde se imponen las presiones, ∆P es la diferencia de presión entre las dos caras y Q es el gasto a través del bloque de malla grueso. La permeabilidad equivalente es calculada mediante el principio de la igualdad de flujo. El gasto Q resulta de la adición de gastos elementales a la salida de la cara. Estos gastos elementales pueden ser definidos resolviendo la ecuación de difusión con diferencias finitas. La sección transversal al fluido es de una área A, µ es la viscosidad del fluido. La permeabilidad equivalente es expresada como:

)8.2......(....................P

L

A

QK eq ∆

−= µ

El cálculo del gasto requiere de una simulación de flujo a una sola escala del bloque de malla grueso. El modelo completo del yacimiento nunca es considerado al mismo tiempo. Lachassagne (1989)41 mostró que el cálculo de la permeabilidad equivalente es altamente dependiente de la técnica utilizada para resolver la ecuación de difusión. En su prueba el utilizó una media armónica para calcular las transmisibilidades interbloque. El consideró una media lognormal isotrópica bidimensional no correlacionada. En este caso en particular la permeabilidad equivalente es dada exactamente por la media geométrica (Matheron, 1967)32. En esta, la permeabilidad equivalente es sobreestimada por métodos de elemento finito y bajoestimada por métodos de diferencias finitas.


20

2.5.2 Métodos no locales En el caso de los métodos locales, un juego de bloques de malla fina incluidas dentro del bloque de malla gruesa es primero extraída y la ecuación de difusión es resuelta a una sola escala de este bloque de malla y por lo tanto la influencia de las heterogeneidades en las vecindades no son capturadas resultando potencialmente en estimaciones muy pobres especialmente en yacimientos con características geológicas complejas (por ejemplo sistemas de canales). Además, como las condiciones de frontera son aplicadas en los bordes del bloque de malla la permeabilidad equivalente estimada es muy sensible. Nuevas técnicas han sido propuestas para superar las desventajas, estas técnicas constan de resolver la ecuación de difusión sobre dominios más grandes. Por ejemplo, métodos locales extendidos utilizan una región de la frontera de un bloque de malla fina alrededor de un bloque de malla grueso para el cual la permeabilidad es calculada (Gallouët y Guérillot, 1994; Gómez- Hernández y Journel, 1994; Wen et al., 2003)42,43,44. Técnicas de escalamiento locales y locales extendidas requieren de la especificación de las condiciones de frontera sobre el problema local, es decir, sobre un bloque de malla grueso específico o bien sobre uno alargado. Con los métodos globales, el objetivo es resolver el problema de flujo en la malla fina completa y utilizar esta solución para estimar las permeabilidades equivalentes de los bloques de malla gruesos. Buscando de este modo reducir la influencia de las condiciones de frontera y mejorar lo adquisición de los efectos de conectividad. Métodos puramente globales son computacionalmente intensivos (Holden y Nielsen, 2000)46. Trabajos recientes consecuentemente se han enfocado principalmente en técnicas cuasi-globales las cuales reducen la carga computacional por la substitución de algunos tipos de información global aproximada por resultados globales a escala fina. Existen dos tipos de métodos cuasi-globales: local-global y global-local. Los métodos local-global tienen el propósito de estimar los efectos globales del flujo sin resolver en realidad un problema a una escala fina global. Chen et al. (2003)48 primero propuso llevar a cabo simulaciones de flujo a una escala gruesa global y posteriormente simulaciones de flujo a escala fina global. Simulaciones de flujo global proporcionan las condiciones de frontera a ser consideradas en las simulaciones de flujo locales. Finalmente, la propiedad escalada del bloque de malla objetivo es derivada de cálculos locales extendidos. En breve, un conjunto inicial de permeabilidades equivalentes es derivado de un proceso de promediado. Posteriormente simulaciones de flujo son llevadas a cabo para las mallas gruesas de permeabilidad. Estas simulaciones constan de presiones a una escala gruesa las cuales se permiten para el ajuste de las condiciones de frontera utilizadas para calcular las permeabilidades a escala gruesa en un marco local extendido. Este segundo paso llama a simulaciones de flujo a escala fina sobre dominios pequeños. El procedimiento es repetido hasta que las permeabilidades escaladas no tienen variación, es decir, hasta que el resultado es así mismo consistente. La confiabilidad de los resultados obtenidos no puede ser garantizado ya que términos negativos pueden aparecer sobre la diagonal del tensor de permeabilidad (Durlofsky, 2003)47. Los métodos global-local resuelven el problema de escala fina global. Las simulaciones de flujo se corren para la malla fina completa. Una técnica global-local fue inicialmente


21

presentada por White y Horne (1987)45 pero producía términos diagonales negativos para el tensor escalado. Otro tipo de método fue subsecuentemente introducido, aún involucrando una simulación de flujo para la malla fina completa. Estas simulaciones de flujo llevan a condiciones de frontera que son utilizadas para estimar las permeabilidades equivalentes de los bloques de malla gruesos sobre las bases de una aproximación local (Pickup et al. 1992; Ricard et al., 2004)49,50. A diferencia del método local-global de Chen et al. (2003)48 estos métodos de escalamiento global-local no son iterativos. Estos proporcionan la malla de permeabilidad a escala gruesa mientras no se presente ningún término diagonal negativo. Sin embargo, debido a que se requieren simulaciones de flujo a escala muy fina son muy demandantes en términos del tiempo de computo.


22

3. PLANTEAMIENTO Y ANÁLISIS DEL PROBLEMA Bajo el contexto de los estudios integrados de yacimientos que se menciona dentro de la introducción, el proceso de llevar a cabo modelos que sean representativos del yacimiento involucra la colaboración de diferentes disciplinas que por lo general tienen discrepancias al momento de relacionarse entre ellas. Por consiguiente, la retroalimentación, como punto principal del trabajo en equipo es fundamental al momento de interrelacionarse con diferentes disciplinas. Los yacimientos naturalmente fracturados son muy distintos de los yacimientos convencionales (no fracturados). Un yacimiento naturalmente fracturado puede ser visto como un yacimiento convencional con una red de fracturas sobrepuesta sobre este. De acuerdo a esto, un yacimiento naturalmente fracturado consiste de bloques de matriz separados uno de otro por un sistema de fracturas. Los bloques de matriz están hechos de la roca original que estaba presente antes de que el fracturamiento tomara lugar. La matriz es caracterizada por su permeabilidad km, y su porosidad φm. El sistema de fracturas está caracterizado por su permeabilidad kf, y su porosidad φf. En otras palabras, un yacimiento naturalmente fracturado es un yacimiento de doble porosidad y de doble permeabilidad16. La modelación de yacimientos naturalmente fracturados permanece siendo una tarea difícil dentro de la ingeniería de yacimientos, aunque se ha hecho un gran esfuerzo para caracterizar de mejor forma la geometría y distribución de las fracturas dentro del yacimiento así como para incrementar las capacidades de los simuladores de doble porosidad. En realidad, las imágenes 3D de la redes de fracturas derivadas de la integración de datos de campo de fracturamiento no se pueden poner dentro del modelo conceptual de los cubos de azúcar subyacente en cualquier simulador de doble porosidad. Tal modelo introducido por Warren y Root a principios de 1960 representa el sistema de fracturas como un arreglo de paralelepípedos representando los bloques de matriz y limitado por un juego de fracturas ortogonales uniformes. El flujo en las fracturas es calculado con la malla de fractura, las transferencias matriz-fractura son calculadas a cada posición del bloque de malla y los cambios bloque a bloque son tomados en cuenta dentro de la opción de doble permeabilidad dentro de dichos simuladores12.


23

Figura 3.1 Representación del modelo de doble porosidad.

La dificultad encontrada es parametrizar este modelo conceptual y especialmente encontrar permeabilidades de fractura equivalente que permitan simular el flujo dinámico del yacimiento. La descripción de las fracturas internas del yacimiento puede lograrse por la integración de datos relevantes que pueden ser recolectados de: registros geofísicos (especialmente sónicos y de imágenes), estudios de núcleos convencionales (específicamente para la examinación de microfracturas), análisis de pérdidas de lodo durante la perforación así como observaciones a escala de campo de heterogeneidades estructurales regionales por inspección de afloramientos análogos. El tipo de fractura, distribución, geometría, propiedades, interacción con la matriz así como la historia de la deformación pueden describirse haciendo uso de lo mencionado anteriormente. Los patrones de fractura pueden ser descritos en términos de distribuciones tomando en cuenta la orientación, tamaño, forma, localización espacial e intensidad para generar estocásticamente un modelo estático del yacimiento fracturado. Ahora bien, se requiere consistencia entre los datos de presión que son simulados y los observados en términos de la derivada de presión (véase “ANEXO E” para consultar el comportamiento de los yacimientos naturalmente fracturados haciendo uso de la derivada de presión), para asegurar que la geometría del yacimiento fue modelada adecuadamente. El análisis de la respuesta del modelo como una función de los parámetros de fractura asignados así como de la comparación entre el comportamiento dinámico observado y simulado permite la calibración de los parámetros de la modelación de la fractura y el logro de una descripción satisfactoria de una red de fracturas apropiada del yacimiento. El Método Multiescala Heterogéneo es de gran aplicación desde el punto de vista de una metodología de integración de los componentes que caracterizan a un yacimiento, es decir, una herramienta que permita acoplar datos estáticos y datos dinámicos de forma simultánea (o bien, el modelo estático y el modelo dinámico).


24

El problema principal entre estos dos tipos de datos es el escalamiento que se debe de llevar a cabo de un modelo a otro, y en nuestro caso particular el escalamiento de la permeabilidad para un yacimiento naturalmente fracturado.


25

4. OBJETIVO

Desarrollar una metodología de escalamiento de la permeabilidad utilizando un Método de Multiescala Heterogéneo con Volumen Finito (MMH-VF) para modelos de doble porosidad en yacimientos naturalmente fracturados bajo un enfoque de homogenización.

5. ALCANCE DEL PROYECTO

Presentar un tratamiento sistemático al problema de escalamiento de la permeabilidad entre del modelo geológico (de la distribución de fracturas) y el modelo conceptual de doble porosidad para yacimientos naturalmente fracturados, restringido a las vecindades del pozo donde existan datos de pruebas de presión.


26

6. JUSTIFICACIÓN DEL PROYECTO; IMPORTANCIA Y BENEFI CIOS Ha sido estimado que 30% de la producción de aceite en el mundo viene de yacimientos naturalmente fracturados. Los yacimientos naturalmente fracturados típicamente son considerados como un sistema de doble porosidad, el cual esta compuesto de dos medios: la matriz y las fracturas. La matriz tiene una porosidad alta pero una permeabilidad baja, y las fracturas tienen una permeabilidad muy alta y una porosidad baja. Esta combinación indica que la mayoría del aceite esta almacenado en la matriz y que el sistema de fracturas proporciona el principal canal para el flujo de fluidos. Un proceso de recuperación exitoso es aquel que recupera el aceite de una matriz de permeabilidad baja y porosidad alta. Debido a la interacción entre la matriz y la fractura, las características del flujo de fluidos en los yacimientos naturalmente fracturados son muy diferentes a las de los yacimientos convencionales con porosidad simple. Algunas de las tareas en los recientes estudios de modelación de los yacimientos naturalmente fracturados incluyen los siguientes principales pasos: caracterización de fracturas geológicas, caracterización hidráulica de las fracturas, escalamiento de las propiedades de los yacimientos fracturados, y simulación de yacimientos fracturados. Durante las décadas pasadas, la modelación de yacimientos naturalmente fracturados ha avanzado considerablemente debido a la necesidad de incrementar la recuperación de formaciones naturalmente fracturadas. Comúnmente existen dos métodos de modelación para yacimientos naturalmente fracturados:

• Modelos numéricos con una malla suficientemente refinada para adecuar la representación geométrica matriz/fractura.

• Modelos de doble porosidad el cual asume a las fracturas y a la matriz como dos

medios porosos continuos superpuestos. El modelo del yacimiento es una malla poblada por propiedades de transporte tales como la porosidad y la permeabilidad. La geoestadística es una herramienta útil para modelar el yacimiento con realizaciones estocásticas de porosidad y permeabilidad. Estas realizaciones respetan a los valores medidos en localizaciones de datos estáticos así como el modelo de variabilidad espacial inferido de estos datos. Como ya se había mencionado el objetivo es llevar acabo un modelo del yacimiento consistente con datos dinámicos, esta cuestión se enfrenta a un problema inverso: “conocidas las ecuaciones de flujo, se debe de identificar un modelo del yacimiento que

proporcione los datos dinámicos medidos”. Básicamente un yacimiento está descrito por una serie de parámetros. Los ingenieros de yacimientos solían ajustar manualmente estos parámetros para obtener un modelo del yacimiento confiable. Sin embargo, tal aproximación no es factible en el caso de grandes yacimientos. Durante las últimas décadas se han hecho avances considerables en la teoría del problema inverso para incorporar datos dinámicos dentro de los modelos


27

de yacimientos, resultando en el desarrollo de procedimientos de ajuste de la historia de producción, algunos de estos métodos pueden ser consultados en el ANEXO B. Bajo el esquema de los sistemas inteligentes que se ha mencionado en la parte introductoria de este trabajo el uso del Método Multiescala Heterogéneo proporciona una gran ventaja para poder ligar modelos de caracterización estática y de caracterización dinámica, además, las ventajas computacionales son de gran interés debido a que en cuestiones de optimización para la solución iterativa del problema inverso que este tipo de problemas presentan, los beneficios son mayores por la restricción dinámica que se da desde el inicio de la construcción del modelo, para, posteriormente llevar acabo el escalamiento. Dentro de los beneficios se pueden mencionar los siguientes:

• Reducción de los tiempos de cómputo en el método de multiescala al utilizar el método de volumen finito para solucionar localmente el modelo de microescala, este presenta una ventaja con respecto al Método Multiescala Heterogéneo tradicional, el cual, no contempla las soluciones locales.

• Escalamientos de la permeabilidad más consistentes bajo un carácter dinámico

y respetando las restricciones de los modelos a microescala y macroescala.

• Acoplamiento a los modelos de doble porosidad proporcionando modelos más reales de las distribuciones de fracturas para posteriormente llevar a cabo simulaciones numéricas de flujo de fluidos y el ajuste de la historia de la producción.

• Ser una herramienta útil dentro de los procesos de caracterización de

yacimientos.


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7. MÉTODOS PROPUESTOS PARA LA SOLUCIÓN Y SU JUSTIFICACCIÓN

7.1 BASES MATEMÁTICAS 7.1.1 El Método Multiescala Heterogéneo (MMH)3

El método se ha presentado en una amplia variedad de problemas de ciencia e ingeniería ya que la mayoría de estos son por naturaleza de multiescala, bajo este contexto, se encuentran los problemas estocásticos y los problemas que son similares estadísticamente. El avance de las técnicas multiescala aplica ahora nuevas estrategias a los sistemas que son heterogéneos, es decir, modelos de diferente naturaleza a diferente escala, por consiguiente el trabajo de los métodos a multiescala es tener un marco para poder ligar los modelos que se encuentran a diferentes escalas. Este tipo de modelos utilizan como punto de inicio un modelo a macroescala incompleto y utilizan un modelo a microescala como complemento. Dos componentes principales son:

1. Un resolvedor del modelo de macroescala.

1. Un procedimiento para estimar los datos faltantes mediante la simulación numérica del modelo de microescala.

El primer punto se centra en el conocimiento acerca del proceso a macroescala mientras que en el segundo punto la clave de la estimación de datos es el diseño del resolvedor restringido a una microescala. Las restricciones son necesarias para asegurar que la solución a microescala persiste en un ambiente que es consistente con el estado a macroescala del sistema. En términos más generales el acoplamiento entre los modelos de macroescala y el de microescala es de la siguiente forma: El modelo de macroescala proporciona el ambiente o las restricciones para el resolvedor a microescala. El resolvedor a microescala proporciona los datos para el resolvedor a macroescala. Con el modelo a macroescala se busca simplicidad y eficiencia y con el modelo microscópico se busca tener precisión. Una de las tareas básicas de la modelación a multiescala es el diseño de métodos computacionales combinados macro-micro más eficientes en lugar de resolver de manera completa el modelo de microescala, con esto se busca dar la información que se necesita con la presición deseada.


29

Anteriormente los modelos de multiescala (descomposición de dominio y multi-grid) lo que hacían era resolver los detalles de las soluciones de los modelos a microescala y por consiguiente el resultado es un resolvedor completo pero a microescala. El objetivo de los nuevos métodos es el de capturar el comportamiento a macroescala del sistema con un costo mucho menor que el costo de la solución completa de la microescala. Específicamente los nuevos métodos son diseñados para satisfacer los requerimientos mínimos. Lo anterior se ha logrado por medio de la obtención del comportamiento grueso de las soluciones y no de los detalles así como la exploración de posibles características especiales del problema a microescala. La estimación de los datos faltantes a macroescala utilizando el modelo de microescala se hace típicamente como sigue:

1. La simulación a microescala se restringe a cada punto donde se necesiten datos a macroescala llevando a cabo una serie de simulaciones microscópicas locales.

2. La solución a microescala necesita restringirse de tal forma que sea consistente

con el estado macroscópico local. En la práctica, este es el paso más importante. 3. Se utilizan los datos generados a microescala de las simulaciones microscópicas

para extraer los datos necesarios a macroescala. El segundo punto es ventajoso si los datos que se necesitan dependen de pocas variables. El acoplamiento entre los modelos a diferente escala se lleva a cabo a través de los datos mientras que el acoplamiento en los métodos tradicionales se realiza directamente de las soluciones. La influencia del estado a macroescala sobre el modelo a microescala es manifestado a través de las restricciones sobre el resolvedor a microescala. Estas restricciones juegan el papel de consideraciones constitutivas dentro de los modelos de multiescala. Por lo tanto el Método Multiescala Heterogéneo requiere de la especificación de la dependencia que se tenga de las variables a macroescala y no del conocimiento de la forma funcional de la dependencia. El método de multiescala heterogéneo no es un método específico sino es un marco para diseñar métodos. En el ANEXO C se presenta de forma analítica la derivación para un modelo de doble porosidad vía teoría de homogenización, con el objetivo, de presentar la modelación de un modelo a microescala y a macroescala.


30

7.1.2 Idea básica del método del volumen finito En lugar de resolver directamente la ecuación diferencial de balance local se resuelve la correspondiente ecuación integral de balance global. En efecto, dada la expresión general de la ecuación diferencial de balance local:

( )Ω∈∀

⋅∇+=⋅∇+∂

∂

x

gvt

)1.7.......(..............................τψψ

Donde ( )tx,ψ es una propiedad intensiva sin discontinuidades de salto, entonces su correspondiente ecuación integral de balance global se puede escribir como sigue:

( ) )2.7.....(....................0=

⋅∇−−⋅∇+

∂∂

∫Ω

xdgvt

τψψ

Donde:

( )txg , es lo que se genera o se destruye en el interior del dominio Ω.

( )tx,τ es lo que entra o sale a través del dominio ∂Ω.

( )txv , es la velocidad de las partículas. La anterior ecuación se puede reescribir de una manera más conveniente aplicando el teorema de Gauss a los términos de flujo que están bajo la divergencia, de manera que se transforman en integrales de superficie, resultando:

( ) )3.7......(..............................∫∫∫ΩΩ∂Ω

=⋅−+∂

∂xgdxdnvxd

tτψψ

Si se restringe la aplicación de esta última expresión a un volumen de control Vi

definido sobre una partición del dominio ∪N

i iV1=

=Ω donde jiVV ji ≠∀=∩ ,φ y

definimos el valor medio iψ sobre el volumen de control como:

)4.7....(..............................1∫=

iVi

i xdV

ψψ


31

Entonces tenemos que:

)5.7.....(..............................1∑∫ =⋅+

∂∂

kS ik

i

i

k

gxdnfVt

ψ

Donde ( )τψ −= vf es el flujo.

La cual representa la expresión integral básica del método del volumen finito. 7.2 PROCEDIMIENTO DE SOLUCIÓN PROPUESTO En términos generales el procedimiento que se propone se resume en los siguientes pasos:

Usar como modelo de microescala el modelo geológico-petrofísico subyacente (de preferencia creado sobre modelos geoestadísticos o realizaciones estocásticas de fracturas).

Aplicar el Método de Multiescala Heterogéneo con Volumen Finito para llevar a

cabo el proceso de escalamiento de la permeabilidad a un modelo más consistente de doble porosidad.

Resolver localmente el modelo de microescala haciendo uso del método de

volumen finito, esta solución involucra restricciones dadas por el modelo a macroescala.

Retomar la solución local y calibrarla haciendo uso de los datos de presión para

verificar que el modelo sea consistente en la vecindad del pozo. Como resultado se obtienen los parámetros del modelo de doble porosidad a

nivel de yacimiento. El procedimiento anterior resulta práctico por el ahorro de tiempo computacional al resolver localmente el modelo a microescala mediante el método de volumen finito, ya que, los métodos tradicionales de multiescala, como ya se mencionó, consideran la solución de todo el modelo de escala fina para poder proporcionar los requerimientos del modelo de macroescala. Además presenta características de calibración a datos dinámicos lo que permite respetar los modelos a cuestiones de flujo de fluidos. Aunque está fuera del alcance de este trabajo, un tratamiento alternativo del escalamiento involucrando restricciones dinámicas dentro del modelo del yacimiento es presentado en el ANEXO B, dentro del cual, considerando la naturaleza del problema inverso a resolver, se presentan esquemas de optimización que resultan de considerable interés tanto en la caracterización de yacimientos como en posibles aplicaciones en combinación con el Método Multiescala Heterogéneo.


32

8. RESULTADOS Y APLICACIONES Con el desarrollo de la metodología propuesta se esperan son los siguientes resultados y aplicaciones:

• Desarrollo de la metodología. • Desarrollo de software.

• Publicación de artículos técnicos.

• Patentar la metodología propuesta.


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9. PROGRAMA DE TRABAJO

PROGRAMA DE TRABAJO

Año 2007

ACTIVIDADES Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

1. Recopilación y revisión de bibliografía

2. Adquisición de licencias del software

3. Desarrollo de la metodología

Año 2008

ACTIVIDADES Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

1. Desarrollo de la metodología

2. Programación de la metodología

3. Correcciones

4. Validación de la metodología

5. Análisis de Resultados

6. Generación de Reporte Final


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10. REFERENCIAS

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41

11. ANEXO A

CONCEPTOS ESTADÍSTICOS Y GEOESTADÍSTICOS BÁSICOS

11.1 ESTADISTICA BÁSICA85

Los datos hablan más claramente cuando están organizados, por consiguiente, la estadística trabaja con la organización, presentación y resumen de datos. 11.1.1 Tablas de frecuencia e histogramas: Una de las presentaciones de datos más útiles y mas comunes es la tabla de frecuencia y su correspondiente gráfica, el histograma. Una tabla de frecuencia registra que tan a menudo los valores observados caen en ciertos intervalos o clases. Las características importantes de muchos histogramas pueden ser capturadas mediante un resumen estadístico. Este resumen estadístico cae entres categorías principales:

1. Medidas de localización. 2. Medidas de dispersión. 3. Medidas de forma.

La estadística del primer grupo nos da información acerca de en donde caen diferentes partes de la distribución. La media, la mediana y la moda nos dan idea de donde cae el centro de la distribución. El segundo grupo incluye la varianza, la desviación estándar y el rango intercuartil. Estos son usados para describir la variabilidad de los valores de los datos. La forma de la distribución es descrita por el coeficiente de asimetría y por el coeficiente de variación. El coeficiente de asimetría proporciona información sobre la asimetría mientras que el coeficiente de variación proporciona información sobre la longitud de la cola para ciertos tipos de distribuciones. 11.1.2 Medidas de localización. Media: la media, m, es el promedio aritmético de los valores de los datos.

)1.........(..........1

1

Axn

mn

ii∑

==

Mediana: la mediana, M, es el punto medio de los valores observados si estos son arreglados en orden ascendente. La mitad de los valores están por arriba de la mediana y la otra mitad por debajo de la mediana.


42

21

22

2

1

÷

+=

=

+

+

nn

n

xxM

xM

Por si n es par o impar respectivamente. Tanto la media como la mediana son medidas de localización del centro de la distribución. La media es bastante sensible a valores erráticos altos. La mediana, sin embargo, no se ve afectada por estos cambios debido a que depende únicamente de cuantos valores están por arriba o debajo de ésta. Moda: la moda es el valor que ocurre más frecuentemente. Cuartil superior e inferior: de la misma forma que la mediana divide a los datos en mitades, los cuartiles dividen a los datos en cuartos. Si los valores de los datos son arreglados en orden ascendente, entonces, un cuarto de los datos cae por debajo del primer cuartil, y un cuarto de los datos cae por arriba del tercer cuartil. Deciles, percentiles y cuantiles: son la extensión de dividir los datos en diferentes fracciones, es decir, los deciles dividen los datos en diez partes, los percentiles los dividen en cien partes y los cuantiles son una generalización de esta idea a cualquier fracción. 11.1.3 Medidas de dispersión. La varianza 2σ : es el promedio de las diferencias al cuadrado de los valores observados de la media. Debido a que involucra diferencias cuadradas, la varianza es sensible a valores erráticos altos.

( ) )2.....(....................1

1

22 Amxn

n

ii∑

=−=σ

Desviación estándar: es simplemente la raíz cuadrada de la varianza. A menudo es utilizada en lugar de la varianza debido a que maneja las mismas unidades de la variable que está siendo descrita. Rango intercuartil: también llamado IQR, es la diferencia entre los cuartiles superior e inferior y está dada por:

)3....(....................13 AQQIQR −=


43

A diferencia de la varianza y la desviación estándar, el rango intercuartil no utiliza la media como el centro de la distribución y, por lo tanto, a menudo se prefiere si unos cuantos valores altamente erráticos influencian fuertemente la media. 11.1.4 Medidas de forma. Coeficiente de asimetría: una característica del histograma que la estadística previa no captura es la simetría. La estadística más comúnmente usada para resumir la simetría es una cantidad llamada coeficiente simetría, y es definido como:

( ))4..(....................

1

simetría de eCoeficient3

1

3

Amx

n

n

i i

σ

∑ =−

=

El numerador es el promedio de las diferencias al cubo entre los valores de los datos y su media y el denominador es el cubo de la desviación estándar. El coeficiente de simetría sufre incluso más que la media y la varianza de una sensibilidad a valores altamente erráticos. Un solo valor grande puede influenciar en gran medida el coeficiente de asimetría debido a la diferencia entre cada valor de los datos y la media es cúbica. Un histograma positivo tiene una larga cola de valores altos a la derecha haciendo a la mediana menor que la media. Si existe una cola larga de valores pequeños a la izquierda y la mediana es mayor que la media, el histograma es negativo. Si la asimetría es cercana a cero el histograma es aproximadamente simétrico y la mediana es cercana a la media.

Figura A.1 Simetría y Curtosis de una distribución.


44

Coeficiente de variación (CV): el coeficiente de variación, CV, es una estadística que es a menudo utilizada como una alternativa a la asimetría para describir la forma de la distribución. Es utilizada principalmente para distribuciones cuyos valores son todos positivos y cuya asimetría es también positiva, aunque esta puede ser calculada para otro tipo de distribuciones, su utilidad como un índice de forma se hace cuestionable. Es definido como la relación de la desviación estándar a la media.

)5.......(.................... Am

CVσ=

Si la estimación es el objetivo final del estudio, el coeficiente de variación puede proporcionar algunas advertencias de problemas a futuro. Un coeficiente de variación mayor a uno indica la presencia de algunos valores muestreados altamente erráticos que pueden tener un impacto significativo sobre las estimaciones finales.

11.2 TERMINOS GEOESTADÍSTICOS BÁSICOS17, 18.

Alcance (range): Para el modelo esférico, la distancia en la que el modelo alcanza el valor máximo, o sill (meseta). Para los modelos gausianos y exponencial, que se aproximan a la meseta asintóticamente. Se usa el término alcance para designar el alcance ‘práctico’ o ‘efectivo’ donde la porción alcanza aproximadamente el 95 % del máximo. El modelo Nugget tiene una meseta con un rango de cero; el modelo lineal usa ‘meseta/alcance’ simplemente para definir la pendiente. Análisis exploratorio de datos: es el conjunto de técnicas estadísticas y gráficas que permiten establecer un buen entendimiento básico del comportamiento de los datos y de las relaciones existentes entre las variables que se estudian. Anisotropía: En Geoestadística, es la situación cuando el variograma exhibe un comportamiento que varía con la dirección. Anisotropía Geométrica: Es el caso de anisotropía cuando los alcances del variograma forman una elipse, donde el mayor y el menor alcance son perpendiculares y corresponden al mayor y al menor semieje de la elipse. Coeficiente de correlación. Se define como:

[ ] )6...(....................1,1

,A

YVarXVar

YXCov

YX

XYXY −∈==

σσσρ

Caracteriza el grado de dependencia lineal o correlación entre dos variables aleatorias. Covarianza: Es una medida estadística de la correlación entre dos variables. En Geoestadística, la covarianza es usualmente tratada como la simple inversión del


45

variograma, calculado como la varianza total de la muestra menos el valor del variograma. Estos valores de covarianza, así como los valores del variograma, se utilizan en las ecuaciones de la matriz de Kriging para una mayor eficiencia de cálculo.

( )( ) )7..(....................),( AmYmXEYXCov YXXY −−== σ Se calcula como:

( )( ) )8..(....................11

11

AmmyxN

mymxN

N

iYXii

N

iYiXiXY ∑∑

==−=−−=σ

Cuadrante de Búsqueda: La elipse de la vecindad de búsqueda puede ser dividida en cuatro sectores de ángulos iguales, lo que pueden tener especificada un número mínimo y máximo de muestras. También puede especificarse un número limitado de sectores consecutivos vacíos. Cuando el criterio especificado no se satisface para un punto o bloque particular, entonces no se produce el estimado por Kriging. Deriva (drift): El valor esperado de una función aleatoria puede ser constante o depender de las coordenadas de la posición. La deriva es una característica de la función aleatoria y no de los datos. Desviación Estándar del Kriging: Error estándar de la estimación calculada para el estimado del Kriging. Por definición, Kriging es el estimador lineal ponderado con una serie particular de pesos los que minimizan el valor de la varianza de la estimación. Diagrama de dispersión (Scattergram): el equivalente bivariado del histograma es el diagrama de dispersión o scattergram, donde cada par (xi, yi) es un punto. El grado de dependencia de dos variables aleatorias X y Y puede ser caracterizado por el diagrama de dispersión alrededor de cualquier línea de regresión. Discretización : En Kriging, el proceso de aproximación al área de un bloque por un arreglo finito de puntos. Distribución Normal o Gaussiana: esta distribución está completamente caracterizada por sus dos parámetros: media y varianza, y se designa mediante ),( 2σmN . La fdp normal o Gaussiana está dada por:

)9..........(....................2

1exp

2

1)(

2

Amz

zg

−−=σπσ

Es simétrica con respecto a la media.


46

Ejemplo:

Figura A.2 Distribución Normal o Gaussiana. Distribución LogNormal: una VA positiva Y se dice que tiene una distribución lognormal si su logaritmo ln(Y) está normalmente distribuido.

),(ln

),(log0

2

2

βα

σ

NYX

si

mNY

→=

→>

Ejemplo de distribuciones lognormales:

Figura A.3 Distribución LogNormal.


47

Estacionaridad: Es una propiedad de la función aleatoria. Se dice que una función aleatoria es estrictamente estacionaria si su función de distribución de probabilidad es invariante a cualquier traslación respecto a un vector h . Función Aleatoria: Puede ser vista como una colección de variables aleatorias que dependen de la posición. Función de Densidad de Probabilidad (fdp): se define como:

)10.....(....................)(

)( Adz

zdFzf =

Y su gráfica es el histograma.

Figura A.4 Histograma.

Función de Distribución de Probabilidad (FDP): la FDP caracteriza completamente a la variable aleatoria, se define como:

[ ] )11.(....................1,0Pr)( AzZzF ∈≤=


48

Y su gráfica es el histograma acumulativo.

Figura A.5 Histograma acumulativo.

Función de distribución de probabilidad bivariada: la distribución de probabilidad conjunta de un par de variables aleatorias X y Y se define como:

)12.......(....................,Pr),( AyYxXyxFXY ≤≤= En la práctica se estima mediante la proporción de pares de valores de X y Y que se encuentran por debajo del umbral x,y respectivamente. Geoestadística: Metodología para el análisis de datos espacialmente correlacionados. El rasgo característico es el uso de variogramas de técnicas relacionadas para cuantificar y modelar la correlación espacial de la estructura. También incluye diferentes técnicas como Kriging, la cual utiliza modelos de correlación espacial. Los métodos geoestadísticos son aplicables en todas las ciencias de la Tierra. Pueden aplicarse para explorar los procesos responsables de la variación espacial. También pueden aplicarse donde existe una información completa obtenida por percepción remota u otra fuente, para determinar un muestreo eficiente, así como también para estimar el valor de propiedades en localidades no muestreadas. Hipótesis Intrínseca: Suposición de que la media y la varianza de las diferencias son estacionarias, es decir no dependen de una traslación h de la función aleatoria. Intervalo (lag): Intervalos de distancia de la clase usada para calcular el variograma. Kriging de bloques: Estimación del valor de un bloque a partir de los valores de una muestra continua usando Kriging. El área de un bloque es un arreglo de


49

aproximadamente 2x2, 3x3, ó 4x4 puntos con centro en cada nodo de la malla especificada. Se dice que se obtiene un valor suavizado de la estimación. Kriging Ordinario : Es un tipo de Kriging que asume que la media local no está necesariamente cercana a la media de la población, y que usa solamente para el estimado la muestra para la vecindad local. Es el método usado mas comúnmente por su robustez. Kriging Puntual : Estimación del valor de un punto de los valores de la muestra cercana usando kriging. El estimado para un punto será casi similar al estimado por un bloque relativamente cercano centrado en el punto, pero la desviación estándar del kriging calculada será alta. Cuando el punto del Kriging coincide con el lugar de la muestra, el estimado tendrá un valor igual al de la muestra. Kriging Simple : Variedad de kriging que asume que las medias locales son relativamente constantes e iguales a la media de la población, la que es bien conocida. La media de la población es usada como un factor en cada estimado local, con todas las muestras en la misma vecindad. No es un método muy usado. Kriging : Método de interpolación del valor medio ponderado donde los pesos asignados a las muestras minimizan la varianza del error, la que se calcula como una función del modelo de variograma y localizaciones de las muestras relacionadas unas con las otras, y del punto o bloque que está siendo estimado. Madograma: Gráfico de la diferencia media absoluta de pares de muestras medidas como una función de la distancia y la dirección. Los madogramas no son verdaderos variogramas, y generalmente no deben ser usados en Kriging. En caso de usarse los estimados del Kriging tienen que ser ‘razonables’, pero las desviaciones estándar del Kriging no tendrán significado. Meseta (sill): Límite superior de cualquier modelo de variograma acotado, al que tiende asintóticamente para grandes distancias. Para el modelo lineal, la relación ‘sill/rango’ se usa para definir la pendiente. Modelo Esférico: Es una de las funciones autorizadas que es usada frecuentemente como modelo de variograma, en combinación con el modelo Nugget. Modelo Exponencial: Es una de las funciones autorizadas que es usada frecuentemente como modelo de variograma, en combinación con el modelo Nugget. Modelo Lineal: Es una de las funciones autorizadas que es usada frecuentemente como modelo de variograma, en combinación con el modelo Nugget. Modelo Nugget: Modelo de varianza constante comúnmente usado en combinación con uno o mas funciones cuando se ajustan modelos matemáticos a variogramas experimentales. Modelos de variograma anidado: Aquel que es la suma de dos o mas modelos tales como Nugget, esférico, etc. Agregando el componente Nugget a uno de los otros


50

modelos se obtiene el modelo anidado más común, aunque muy pocas veces se usan combinaciones muy complejas. Octante de búsqueda: La elipse de búsqueda de vecindad en Kriging puede ser dividida en 8 sectores de ángulos iguales, los que pueden tener especificadas número de muestras mínimas y máximas. También puede especificarse un número consecutivo de sectores vacíos. Cuando no se satisface el criterio especificado, para un punto o un bloque, entonces no se produce el estimado por Kriging. Semi-Variograma: Es sinónimo de ‘variograma’. No hay acuerdo en la literatura geoestadística de cual término debe usarse y se usan ambos indistintamente. Es el momento de inercia del diagrama de dispersión con respecto a una línea con pendiente de 45 grados y se define como:

[ ] [ ] )13......(....................2

11

1

2

1

2 AyxN

dN

N

iii

N

iiXY ∑∑

==−==γ

Permite caracterizar la carencia de dependencia. Mientras mayor sea el valor del semivariograma mas dispersos estarán los valores en el diagrama de dispersión y menor será la dependencia entre las dos variables aleatorias.

Figura A.6 Desviación con respecto a una línea de 45°.

Soporte: El término es usado en ambos sentidos: matemático y físico. Con frecuencia los valores experimentales están definidos en soportes puntuales o casi puntuales, en otros casos son los valores medios ( )

i iVZ x definidos en los soportes Vi centrados

en los puntos ix , donde los soportes pueden ser todos diferentes.

Tendencia (trend): En muchas ocasiones se usa el término intercambiable con el de deriva (drift). Aunque también se asocia con la representación determinística del valor


51

medio obtenida mediante el procedimiento de Análisis de Superficie de Tendencia (Trend Surface Analysis) usualmente como polinomios de las coordenadas mediante ajuste con mínimos cuadrados. Validación Cruzada: Es una técnica para probar la validez de un modelo de variograma obtenido por Kriging de cada localización de la muestra con todas las otras muestras en la vecindad de búsqueda, y comparando los estimados con los valores reales de la muestra. La interpretación de los resultados, sin embargo, es en ocasiones muy difícil. La existencia de grandes diferencias entre los valores reales y estimados, pueden indicar la presencia de ‘outliers espaciales’, o puntos que aparentemente no pertenecen a esos contornos. Variable Aleatoria (V.A.): Es una variable (propiedad) que puede tomar una serie de valores o realizaciones (zi) cada una de las cuales tienen asociadas una probabilidad de ocurrencia (pi). Variable Aleatoria Continua: Si el número de ocurrencias posibles es infinito se le conoce como variable aleatoria continua. Variable Aleatoria Discreta: cuando el número de ocurrencias es finito o contable, se conoce como variable aleatoria discreta. Variograma No ergódico: Variograma calculado restando a la función de covarianzas la varianza de la muestra. Esta aproximación compensa los casos donde existen variogramas direccionales, digamos, en aquellos donde los pares de datos del oeste tienen medias diferentes de los pares del este. ‘No ergódico; es en ocasiones un término oscuro que se refiere al echo de algunas suposiciones probabilísticas relacionadas con el cálculo del variograma no son tan necesarias. Los variogramas no ergódicos pueden ser modelados y usados en Kriging de la misma forma que los variogramas ordinarios. Variograma relativo: El variograma en el que el valor del variograma ordinario de cada intervalo ha sido dividido por el cuadrado de la media de los valores de la muestra usada en el cálculo del intervalo. Es en ocasiones útil cuando se presenta un ‘efecto proporcional’, cuando hay áreas de varianza mayor que la varianza promedio. Cuando los modelos de variogramas relativos son usados en Kriging, la desviación estándar del Kriging resultante representa fracciones decimales de los valores estimados. Variograma: Gráfico de la semivarianza (la mitad de la diferencia media cuadrada) como una función de la distancia (y de la dirección) entre pares de valores muestrales. Típicamente, son examinadas todos los pares de muestras y agrupadas en clases (intervalos) de distancia y dirección aproximadamente iguales. Los variogramas aportan un significado de cuantificación de la relación observada comúnmente de que las muestras cercanas entre ellas tienden a tener valores mas similares que las muestras mas alejadas. Es la herramienta central de la Geoestadística, ya que da una descripción adecuada de la escala y del patrón de la variación espacial dentro de una región dada. Los procesos de kriging, optimización del muestreo y los cálculos de probabilidades condicionadas utilizan la información de la variación espacial obtenida de los variogramas.


52

Vecindad de búsqueda: Es el área elíptica centrada en un punto o bloque que está siendo analizado por el Kriging. Solamente las muestras dentro de la elipse serán usadas para el cálculo de la estimación por Kriging.


53

12. ANEXO B

RESTRICCIÓN DE MODELOS DE YACIMIENTOS A DATOS DINÁM ICOS En el caso de un medio heterogéneo, debería ser posible perturbar simultáneamente todas las propiedades del bloque de malla hasta que el modelo del yacimiento modificado de esta forma reproduzca el comportamiento dinámico observado. Esta aproximación podría ser problemática simplemente por el gran número de bloques de malla involucrados. El número de parámetros (es decir, el número de incógnitas) es al menos idéntico al número de bloques de malla. Además, numerosos juegos de parámetros pueden producir los mismos datos dinámicos. Una mejor estimación requiere de que el numero de parámetros disminuya o que información suplementaria acerca de estos parámetros sea incorporada. Parametrización es la piedra angular de este problema. Diferentes técnicas de parametrización, principalmente geoestadísticas han sido propuestas para reducir el número de parámetros, estas incluyen el método del punto piloto, el método de deformación gradual y finalmente el método del punto piloto gradual, el cual, es una combinación de los dos primeros. 12.1 FUNCIÓN OBJETIVO Condicionar un modelo del yacimiento a datos dinámicos, es decir, datos de producción, presión o cortes de agua, es un problema no lineal, el cual puede ser resuelto utilizando linealización u optimización. En el método de perturbación pequeña, las variables aleatorias (permeabilidad, velocidad del fluido y presión) se dividen en dos términos: un término promedio y un término de perturbación. Posteriormente es posible utilizar técnicas de Kriging para incorporar datos (Hoeksema y Kitanidis, 1984; Dagan, 1985)51,52. El método de la perturbación pequeña es adecuado para campos de permeabilidad que no son demasiado heterogéneos: la varianza del logaritmo de la permeabilidad asume ser mucho más pequeño que uno. Sin embargo, los ingenieros petroleros prefieren utilizar la optimización, principalmente a que deben de trabajar con sistemas geológicos complejos. Zimmerman et al. (1998)53 señaló que la optimización proporciona mejores resultados que la linealización. Los procesos de optimización requieren de la definición de una función objetivo, la cual, depende de los parámetros desconocidos y de las mediciones de la discrepancia entre el modelo del yacimiento y el modelo real. El propósito del proceso de optimización es minimizar la función objetivo por afinación de los parámetros desconocidos. La principal dificultad recae en la definición de una función objetivo adecuada. ¿Cómo cuantificar la discrepancia entre el modelo del yacimiento y el yacimiento actual?


54

Primeras aproximaciones enfatizaron en proporcionar un buen ajuste únicamente entre los datos dinámicos medidos y los simulados. Básicamente, se propone un modelo del yacimiento como una estimación inicial. Posteriormente se simula el flujo del fluido para reproducir los datos de producción, la aptitud del modelo propuesto y es medida por una función objetivo expresada como:

( ) ( ) )1........(..............................1

2BddwyJ

n

i

obsi

simii∑

=−=

wi, son pesos seleccionados por el ingeniero de yacimientos; estos dependen de la magnitud de los datos y de sus incertidumbres. El vector dobs consiste de n datos dinámicos observables: estos datos usualmente dependen del tiempo. El vector dsim agrupa las respuestas dinámicas correspondientes calculadas por el simulador de flujo. El análisis de las respuestas simuladas permita al modelo del yacimiento y ser ajustado hasta que este reproduzca los datos observados lo más cercanamente posible. El yacimiento actual debe de ser el mímino de la función objetivo. Sin embargo, tales problemas de optimización tienden a ser mal planteados (Sun, 1994)54. Primero, una solución exacta no puede existir cuando hay errores de medición o de modelado, por ejemplo, el ambiente geológico a menudo es muy complicado y no es reproducido de una forma precisa. Segundo, diferentes modelos del yacimiento pueden llevar a datos de producción similares. Finalmente, incluso si existiera una solución única, esta es aún inapropiada si esta no depende continuamente de los parámetros de entrada. Para sortear estas dificultades se adiciona información extra dentro de la función objetivo. este proceso es llamado regularización (Neuman, 1973)55, la función objetivo regularizada es escrita como sigue:

( ) ( ) ( ) )2...(..............................1

20

1

2ByyvddwyJ

M

iiii

n

i

obsi

simii ∑∑

==−+−= α

y es el modelo geológico propuesto, yo es el modelo del yacimiento descrito de conocimiento geológico previo. vi son coeficientes ponderados y M es el número de bloques de malla contenidos por el modelo del yacimiento, α es un coeficiente de regularización, el cual, sanciona el alejamiento del conocimiento geológico previo. Cuando α tiende a cero, el término de regularización se desvanece y el problema puede ser mal planteado y se reduce al que se describió en un principio. Cuando α tiende a infinito el problema está bien planteado pero la influencia de los datos observados sobre la solución se hace despreciable. La solución regularizada depende de α. Neuman (1973)55 recalcó que esta formulación de la función objetivo asegura que la estructura final del yacimiento es cercana a la estructura del modelo del yacimiento previo. Esta también regulariza el problema reduciendo la sensibilidad del modelo del yacimiento por variaciones en los parámetros de entrada. Sin embargo, aun tiene que ser determinado un valor apropiado para el coeficiente de regularización α. En el caso particular de la caracterización de yacimientos, muchos autores (Pérez, 1991; Deutsch, 1992; Datta-Gupta, 1992; Ouenes, 1992)56,57,58,59 propusieron adicionar un


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término a la función objetivo para medir la discrepancia entre el variograma inferido de los datos estáticos y el variograma inferido del modelo propuesto y. Minimizando tal función objetivo proporciona modelos del yacimiento que son consistentes tanto con la estructura espacial como con los datos dinámicos. La teoría del problema inverso proporciona un marco general para la incorporación de la información previa dentro de la función objetivo (Tarantola, 1987)20. Esta teoría fue desarrollada de trabajos de Bayes y a menudo se hace referencia a esta como teoría Bayesiana, en tales condiciones, la función objetivo es reformulada como:

( ) ( )[ ] ( )[ ] [ ] [ ] )3.....(..........2

1

2

1 0101 ByyCyydygCdygyJ Y

tobsD

tobs −−+−−= −−

El primer término del lado derecho llamado restricción de probabilidad mide el desajuste entre los datos dinámicos simulados y observados, el segundo, referido como la restricción previa evalúa la discrepancia entre el modelo del yacimiento y y el modelo del yacimiento previo yo. La matriz de covarianza CD cuantifica las incertidumbres experimentales y teóricas mientras que la matriz de covarianza CY caracteriza las incertidumbres yo, g es el operador mapeando la realización de espacio sin condiciones a los datos de espacio:

( ) )4.......(.................... Bygd sim = Minimizando esta nueva función objetivo llegamos a una solución de y de forma tal que y no se desvíe fuertemente de y0 y que además g(y) sea lo más cercana posible a dobs. La exponencial del opuesto de la restricción previa es la función de densidad de probabilidad previa por encima de una constante. De forma similar, el exponencial del opuesto de la restricción de probabilidad es la probabilidad de la función de probabilidad también por arriba de una constante. Multiplicando ambas funciones de densidad de probabilidad nos lleva a una función de densidad de probabilidad posterior, esta es el exponencial del opuesto de la función objetivo. La función de densidad de probabilidad posterior mide la probabilidad de construir modelos del yacimiento. El mínimo de la función objetivo es el máximo punto de la probabilidad para la función de densidad de probabilidad posterior. Cuando el operador g es lineal se puede probar que el mínimo de la función objetivo, es decir, el modelo posterior más probable es (Tarantola, 1987)20:

( ) ( ) )5.....(....................011111 ByCdCGCGCGy Yobs

Dt

YDt −−−−− ++=

G es la matriz de sensibilidad: esta es creada de las derivadas de g relativamente a los parámetros desconocidos. Además, la matriz de covarianza posterior es:


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( ) )6.(..............................11 BCGCGC YDtp

Y−− +=

El espacio de búsqueda es el espacio de todas las soluciones factibles. Cada punto en el espacio de búsqueda corresponde a un posible juego de parámetros cuya factibilidad es dada por su valor de la función objetivo. Buscar una solución significa buscar un valor extremo de la función objetivo dentro del espacio de búsqueda, este valor puede ser un valor mínimo o máximo. Cuando se condicionan modelos del yacimiento a datos dinámicos el objetivo es minimizar la discrepancia entre los datos actuales y las correspondientes respuestas simuladas. La minimización puede ser un problema muy complicado debido a que el operador g es no lineal en los problemas estudiados. Los valores de la función objetivo definen una superficie multidimensional que puede tener muchos valles entrelazados. Los paraderos de una solución y donde comenzar a buscar la misma son usualmente dos incógnitas, además, pueden haber muchos mínimos locales escondiendo el mínimo global. 12.2 RESOLVIENDO EL PROBLEMA INVERSO El problema relacionado a la minimización de una función objetivo es una amplia gama de problemas de optimización. El objetivo es determinar los parámetros óptimos asociados con el mínimo global (u óptimo) de la función objetivo. Como la función a ser minimizada es no lineal el proceso de minimización es iterativo: los parámetros son secuencialmente perturbados. Los algoritmos de optimización son subdivididos en dos familias: basados en gradiente y no basadas en gradiente. Los métodos más frecuentemente utilizados incluyen: Métodos basados en gradiente:

• El método steepest descent. • El método de Newton. • El método de cuasi- Newton. • El método de Levenberg-Marquardt. • El método de Gauss-Newton. • El método del gradiente conjugado.

Métodos no basados en gradiente:

• El método de la sección dorada. • El método del simulado recocido. • El método de Metropolis-Hastings. • Los algoritmos genéticos. • El método de caos. • El método simplex.


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12.2.1 Métodos basados en gradiente La hipótesis subyacente para cualquier técnica basada en gradiente es que existe un solo óptimo, debido a la convexidad de la función objetivo. Este óptimo se dice que es global. Dentro del espació de parámetros la función objetivo es definida como una superficie. El proceso de búsqueda comprende moverse sobre esta superficie hacia el óptimo global. La identificación de direcciones adecuadas llama al cálculo de gradientes o derivadas los cual requiere bastante tiempo de cómputo si están involucrados un gran número de parámetros. Una técnica eficiente en la obtención de gradientes es el método del estado adjunto (Chavent et al., 1973)60. Hay que notar que los gradientes son variables aleatorias dentro de la ingeniería petrolera debido a la complejidad del problema de flujo. Asuma que la función objetivo es continua y que puede ser diferenciada dos veces. Su Gradiente es denotado por J∇ y la matriz Hessiana, H. Gradiente J∇ es definida de las derivadas de la función objetivo respecto a los parámetros desconocidos, ∂J/∂yi. La matriz Hessiana H consiste de las segundas derivadas de la función objetivo con respecto a los parámetros desconocidos, ∂

2J/∂yi∂yj. La minimización de J es lograda paso por paso como se describe abajo. La primera iteración comienza con el modelo y1, posteriormente uno sucesivamente mueve de un paso de longitud r de acuerdo a la dirección p, de tal forma que el modelo modificado es yi+1=yi+rp. La dirección p depende de J∇ y H. El paso rp tiene que ser elegido para que reduzca suficientemente la función objetivo. El proceso de búsqueda se detiene cuando y está cercano a un mínimo. El mínimo identificado no se puede considerar en ninguna forma como el global. Los métodos basados en gradiente son locales dentro del ámbito. El objetivo óptimo es el mejor en la vecindad del punto actual de tal forma que el mínimo global a menudo es perdido. La herramienta clave para las técnicas de minimización es el desarrollo de Taylor. El desarrollo de Taylor de la función objetivo calculada para y+p a menudo está limitada a los primeros tres términos.

( ) ( ) )7.........(....................2

1BHpppJyJpyJ tt +∇+≈+

J∇ y H son estimadas por y. Claramente, el término de primer orden pJ t∇ debe de ser

negativo para asegurar que p está en dirección descendente. En muchos métodos la dirección descendente es calculada nuevamente en cada iteración. Aunque hay muchos métodos basados en gradiente estos involucran ideas similares. Por diferenciación de las expresiones previas el método de Newton es obtenido como sigue:

)8........(....................1 BJHp ∇−= −


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Para diferentes métodos la dirección descendente es expresada como:

)9..........(....................1 BJBp ∇−= − Con: B = I (matriz identidad) para el método de steepest descent. B = H para el método de Newton. B ≈ H para el método de cuasi-Newton. El método de Steepest Descent converge linealmente al óptimo, lo cual lo hace muy eficiente. El método de Newton converge cuadráticamente al óptimo. Como la matriz Hessiana es a menudo singular, lejos de la óptima, se tiende a adicionarle λI para asegurar una dirección descendente, la técnica resultante es llamada el método de Levenberg-Marquadt. El método de cuasi-Newton se refiere a una matriz Hessiana aproximada definida como positiva, la cual, puede ser rápidamente calculada debido a que las segundas derivadas son indiferentes. Cuando la función objetivo está restringida al término de probabilidad, el método de cuasi-Newton es equivalente al método de Gauss-Newton. Finalmente, el método del gradiente conjugado recae sobre el método de steepest descent. A la primera iteración, la dirección descendente es derivada del método de steepest descent. La minimización es subsecuentemente completada en subespacios construidos de las direcciones descendentes definidas por las iteraciones previas. 12.2.2 Métodos no basados en gradiente Los siguientes métodos pueden ser corridos sin el cálculo del gradiente, además, a diferencia de los métodos basados en el gradiente, estos son teóricamente capaces de alcanzar el óptimo global. Sin embargo, estos no son muy eficientes en términos del número de evaluaciones de la función objetivo que se requieren. El método de la sección dorada (Press et al, 1988)61 puede ser utilizado para resolver problemas de optimización que involucran un solo parámetro. El principio básico comprende partir sucesivamente el espacio de búsqueda en dos hasta agrupar el óptimo, el intervalo resultante es cada vez más pequeño y tiende hacia el parámetro óptimo. Las técnicas presentadas abajo peden trabajar con problemas multidimensionales, es decir, problemas que dependen de más de un parámetro. El simulado recocido (Press et al, 1988)61 es una técnica atractiva para la optimización de problemas a gran escala, particularmente si el óptimo global está escondido por un óptimo local. Inspirado por termodinámica, este utiliza procesos aleatorios para ayudar a guiar su método de búsqueda para estados de mínima energía. A altas temperaturas, las moléculas de un líquido se mueven libremente una con respecto a otra, cuando la temperatura decrece ligeramente la movilidad térmica está perdida. Los átomos son capaces de ordenarse a ellos mismos para formar un cristal puro; esto corresponde a un estado de energía mínimo. El hecho esencial es que la naturaleza puede identificar este estado mientras el proceso de enfriamiento sea bastante lento. Cuando el enfriamiento


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es muy rápido el estado final puede ser un estado amorfo cuya energía es de alguna forma más grande que la energía del estado cristalizado. Por ejemplo, el granito puede ser comparado con el basalto, el cual tiene una composición idéntica. La primera roca, la cual ha sido enfriada lentamente ha cristalizado mientras que la segunda que es rápidamente enfriada durante el fenómeno volcánico es amorfa. Cuando trasladamos esto al área de la optimización la energía es comprendida como la función objetivo. La temperatura es un coeficiente de control que depende del número de parámetros de cambio propuestos. En resumen, el proceso natural es duplicado como sigue: el punto de inicio puede ser cualquier juego de parámetros, las perturbaciones de los parámetros aleatorios son propuestos sucesivamente, estos pueden ser aceptados o rechazados de acuerdo a la variación de la función objetivo inducida. Si estas resultan en un incremento en la función objetivo estas son aceptadas en bloque. Si no, ellas son aceptadas con probabilidad exp(-∆J/T). ∆J es la variación en la función objetivo y T es la temperatura. Existe por lo tanto una posibilidad correspondiente para el sistema de salir de un mínimo local en favor de uno mejor y más global. El simulado recocido es extendido a través del algoritmo de Metropolis (Metropolis et al., 1953)62 resultando en el algoritmo de Metropolis-Hastings (1970). El último algoritmo está basado sobre la construcción de una cadena de Harkov, la cual converge para la probabilidad posterior llevando así a un juego de posibles soluciones en lugar de una sola solución. Otra familia de métodos basados en procesos naturales hace uso de los algoritmos genéticos (Goldberg, 1953; Holland, 1975)63,64. Los algoritmos genéticos hacen uso de reglas de transición probabilística inspirados por la teoría de la evolución de Darwin. Simplemente definidos, los problemas de optimización son resueltos por un proceso de evolución que resulta en una mejor solución. El proceso de búsqueda comienza con un juego de soluciones o individuos que forman una población, los individuos de esta población son tomados y utilizados para producir una nueva población, estos son seleccionados de acuerdo a sus valores de la función objetivo. La parte más baja de la función objetivo son los individuos más convenientes y de aquí las mejores oportunidades que tienen para reproducirse. La evolución involucra tres operadores: reproducción, paso y mutación. El proceso de evolución es repetido hasta que un individuo satisfactorio es obtenido. Adicionalmente, los problemas de optimización pueden tomar ventaja de una analogía con fuerzas eléctricas (Mantica et al., 2001)65. El proceso de búsqueda resultante, nombrado dinámica caótica, comienza con un juego de posibles soluciones. Considere la solución posible finalmente generada como el punto de inicio, esta es atribuida a una unidad de carga. Entre las soluciones generadas aquellas cuyos valores de la función objetivo son más grandes que la función objetivo del punto de inicio son asignadas como fuerzas eléctricas positivas, las otras corresponden a fuerzas negativas. La solución de inicio potencial es por lo tanto modificada para hacer esta más cercana a las soluciones con fuerzas negativas. La dirección de las modificaciones es obtenida tomando en cuenta todas las fuerzas. El proceso se repite hasta que se satisface una condición acerca del mejoramiento de la mejor solución. Una alternativa es el método simplex cuesta abajo, el cual, nuevamente requiere únicamente evaluaciones de la función objetivo, no gradientes. El simplex es una figura


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geométrica con N+1 vértices por N problemas dimensiónales. Cada vértice es un punto o una solución posible en el espacio de búsqueda. El procedimiento comprende distorsionar el simplex moviendo el vértice con el valor de la función objetivo más larga a través de la cara opuesta del simplex a un punto con una función objetivo más baja. Para acelerar el método simplex cuesta abajo, Nelder y Mead (1965)66 introdujeron un simplex con un tamaño variable. El simplex es expandido o contraído dependiendo del valor de la función objetivo calculada por el nuevo punto. Finalmente, Zabalza-Mezghani (2000)67 extendieron este método incorporando información del gradiente, lógicamente el método simplex resultante converge más rápido a un mínimo. Todos estos métodos, tanto los que requieren como los que no requieren del uso del gradiente son útiles para identificar soluciones convenientes, pero estos no necesariamente proporcionan la mejor solución. Las soluciones encontradas son consideradas a ser buenas soluciones, debido a que a menudo no es posible probar que es el óptimo. 12.3 PARAMETRIZACIÓN Un modelo de yacimiento generalmente se compone de varios millones de bloques de celda, estos se pueden reducir mediante el uso de escalamiento pero no deja de ser de un tamaño considerable. La elección de una parametrización apropiada es la clave para resolver un problema de optimización. El propósito es ser capaz de perturbar el modelo inicial del yacimiento utilizando un número de parámetros pequeño mientras se preserva el modelo de variabilidad espacial que fue dado por la restricción previa. 12.3.1 Numero de parámetros A la fecha, no existe un criterio definitivo para estimar el número de parámetros a ser incorporados en el proceso de optimización. En realidad, el mayor del número de parámetros, el mayor del número de posibles direcciones están disponibles para investigar el espacio de búsqueda. Incrementando el número de grados de libertad se hace más fácil reducir la función objetivo, sin embargo se debe evitar la sobreparametrización. Por ejemplo, ajustar una docena de datos dinámicos por ajuste de 100 parámetros resultaría infructuoso. En el peor caso, se generarían parámetros sin ningún significado físico, el juego óptimo de parámetros permitirá a los datos dinámicos ser perfectamente reproducidos, pero sin capacidad predictiva. Un método comúnmente aplicado en hidrología e ingeniería petrolera para reducir el número de parámetros es el método por zonas (Stallman, 1956)68. Este método comprende agrupar bloques de malla para crear subregiones con valores de permeabilidad constante. Posteriormente se lleva a cabo la optimización mediante el ajuste de estos valores. Desafortunadamente, el método por zonas no es capaz de mantener el modelo de variabilidad espacial inferido de datos estáticos.


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12.3.2 Información previa El marco Bayesiano es bastante adecuado para incorporar información previa dentro de la función objetivo. Como ya se mostró, la función objetivo está escrita como la suma de un término de probabilidad y un término previo, el término de probabilidad depende de la inversa de los datos de la matriz de covarianza CD mientras que el término previo es una función de la inversa da la matriz de covarianza previa CY, en esta parte el término previo es considerado. Minimizar la función objetivo resultante se hace tediosa cuando el modelo del yacimiento y es descrito por un gran número de bloques de malla. Como la dimensión de la matriz de covarianza previa CY es un número de bloques de malla el cálculo de su inversa puede ser imposible. Sin embargo, los datos de la matriz de covarianza CD pueden ser fácilmente invertidos debido a que generalmente se considera diagonal. Tal consideración es razonable para los datos de producción. En el caso de sísmica 4D, es decir, sísmica repetida en tiempo las correlaciones espaciales entre datos pueden ser significantes y los datos de la matriz de covarianza no son tan diagonales (Aanonsen et al., 2002)69. Para simplificar la incorporación de restricciones previas, se hace principalmente una distinción entre tres tipos de técnicas de parametrización. La primera está basada sobre la división de la matriz de covarianza previa CY en subespacios: sus componentes que tienen menos influencia son desechados (Reynolds et al., 1995)70. El número de parámetros por lo tanto es reducido. Es más fácil determinar la inversa de la matriz de covarianza previa. El segundo tipo de técnica involucra a la geoestadística. Esta esencialmente comprende el método del punto piloto (de Marsily, 1978; de Marsily et al., 1984)71,72, el método de la deformación gradual (Hu, 2000)73 y el método del punto piloto gradual (Le Ravelec-Dupin y Hu, 2004)74. Una alternativa muy similar para el método de deformación gradual es el método de perturbación de probabilidad (Caers., 2003)75. Estas técnicas de parametrización geoestadísticas reduce el número de parámetros, además, aseguran que la variabilidad espacial es preservada de tal forma que las restricciones previas pueden ser frecuentemente removidas de la función objetivo y por lo tanto es sencillo estimar la función objetivo. El tercer tipo de método involucra un cambio de variable. La función objetivo ya no es expresada como una función del modelo del yacimiento y si no como una función de ruido Gaussiano blanco z utilizado para simular el modelo del yacimiento (Le Ravelec-Dupin et al., 2000)76. En este caso, la restricción previa se hace fácil de calcular: esta se reduce a ztIz. 12.4 METODO DEL PUNTO PILOTO El método del punto piloto o método del punto maestro (Marsily, 1978; de Marsily et al., 1984)71,72 primeramente fue introducido para propósitos de estimación antes de ser


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extendido a la calibración de campos de permeabilidad a datos dinámicos (RamaRao et al., 1995; Gomez-Hernandez et al., 1997)77,78. Este método es aplicado para modificar localmente realizaciones de un número limitado de parámetros mientras se preserva la variabilidad espacial del atributo estudiado (permeabilidad, porosidad, velocidad, etc.). Hay que notar que la variabilidad espacial es aproximada por el modelo de variograma inferido de los datos estáticos. 12.4.1 Puntos piloto Para modificar una realización, un juego de puntos (o bloques de malla) llamados puntos piloto es seleccionado, el principal objetivo es la modificación de sus valores. La perturbación resultante es mapeada a la realización completa mediante el uso del Kriging:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] )10..........(.................... Buyuyuyuy KdKc −+=

y es una realización no condicionada, ydK es el Kriging estimado de los datos estáticos conocidos y de los puntos piloto. yK es el Kriging estimado de los y valores simulados a las localizaciones de los datos y de los puntos piloto. El vector u indica la localización, yc es una realización condicional la cual respeta los valores de los datos y de los puntos piloto, así como el variograma inferido de los datos estáticos. En otras palabras, los puntos piloto son asimilados para datos estáticos cuyos valores pueden ser cambiados para obligar a la realización a que cumpla con los datos dinámicos. Conforme las modificaciones son propagadas a la realización completa por medio del Kriging, el modelo de variabilidad espacial es preservado. 12.4.2 El punto piloto basado en optimización Los valores del atributo estudiado a las localizaciones del punto piloto son los parámetros del problema de optimización: ellos son modificados conforme se minimice la función objetivo. La metodología propuesta es organizada de la siguiente forma: Primero: un campo del logaritmo de la permeabilidad no condicionado (y) es simulado. Este campo es consistente con el modelo del variograma inferido pero no lo es con los datos estáticos medidos, una vez que se han seleccionado unos cuantos bloques de malla como puntos piloto sus valores y son utilizados como valores de inicio por el optimizador. Posteriormente se restringe el campo del logaritmo de la permeabilidad a los datos del logaritmo de la permeabilidad y a los valores del punto piloto a través del


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Kriging. Posteriormente se lleva a cabo una corrida de simulación de flujo para el campo de permeabilidad condicional resultante con sus apropiadas condiciones de frontera. Las respuestas dinámicas calculadas son comparadas con los datos dinámicos recolectados para estimar la función objetivo:

( ) ( )[ ] ( )[ ] )11....(..............................2

1 1 BdygCdygyJ obspD

tobspp −−= −

La función objetivo reduce al término de probabilidad, el vector yp contiene los valores del punto piloto. El ajuste entre los comportamientos dinámicos observados y simulados es completado cuando la función objetivo decrece a un umbral previamente definido por el ingeniero. Así, si la función objetivo es bastante pequeña el proceso de búsqueda es detenido, si no, los valores del punto piloto son modificados y el proceso es repetido. La restricción previa, es decir, el modelo que se refiere al modelo de covarianza espacial no está explícitamente incluido dentro de la función objetivo. Sin embargo, este es incorporado cuando se están propagando las perturbaciones del cálculo a través del Kriging. A cada iteración, la realización modificada es asumida para cumplir el modelo de variabilidad espacial siempre que los puntos piloto sean separados por más de una longitud de correlación. Esta condición debe ser respetada debido a que el optimizador modifica los valores del punto piloto independientemente del modelo de covarianza espacial. El incremento del número de puntos piloto facilita la deformación de la realización inicial. Esta ventaja tiene un inconveniente: el incremento del número de puntos piloto significa incrementar el número de parámetros a ser optimizados. La cantidad de tiempo de cómputo requerido para resolver el problema de optimización incrementa proporcionalmente, se debe de evitar la sobreparametrización. Por razones prácticas es preferible la adición secuencial de los puntos piloto. Una optimización inicial es completada con un número dado de puntos piloto. Los valores de los puntos piloto optimizados son colocados a sus valores óptimos y mantenidos constantes. A este punto, el ajuste aún puede ser extremadamente pobre incluso si la función objetivo ha decrecido. Un nuevo juego de puntos pilotos es entonces seleccionado y una segunda optimización es corrida para mejorar los resultados. La función objetivo puede ser reducida nuevamente, el proceso es repetido hasta que el ajuste es bueno. Únicamente un pequeño número de parámetros son considerados para cada optimización sucesiva: puntos piloto son adicionados uno después de otro o bien n después de n. Bisel et al. (1997)79 así como Xue y Datta-Gupta (1997)80 establecieron que la incorporación simultánea de todos los puntos piloto crea variaciones caóticas dentro de la función objetivo. Tal comportamiento nunca ha sido observado cuando se utiliza el método secuencial. Finalmente, Lavenue et al. (1995)81 verificó que el procedimiento secuencial es más eficiente. En la primera versión del método del punto piloto, los puntos pilotos fueron introducidos uno después de otro (de Marsily, 1978)70. Un análisis de sensibilidad de los resultados obtenidos del punto piloto i llevó a la localización del punto piloto i+1. Desde entonces, los criterios de sensibilidad que dependen de los gradientes han sido enfatizados para colocar de manera óptima los puntos piloto (Cuypers et al., 1998;


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Mezghani et al., 1998)82,67. Como regla de dedo, todo el yacimiento puede también ser cubierto con puntos piloto, especialmente cuando los gradientes son desconocidos. Conforme el efecto del punto piloto puede ser percibido sobre una región con un radio igual a la longitud de correlación, la distancia de separación entre un punto piloto dado y su vecino inmediato es una longitud de correlación. El método del punto piloto es conocido para crear artefactos numéricos. En algunos casos, atribuir valores extremos a puntos piloto minimiza la función objetivo. Estos valores pueden ser bastante bajos o bastante fuertes e incluso pueden no tener un significado físico. RamaRao et al., (1995)77 sugirió la agrupación de los puntos piloto para sortear este problema. Finalmente, hay que notar que el optimizador modifica los valores del punto piloto independientemente uno tras otro: las correlaciones espaciales entre puntos piloto son desechadas. Como resultado, los puntos piloto tienen que ser separados al menos una longitud de correlación. En caso contrario, la preservación del modelo de variabilidad espacial no esta asegurado. McLaughlin y Townly (1996)83 así propusieron incluir información previa acerca de los puntos piloto dentro de la función objetivo. Este formalismo previene parámetros de desviación demasiado grandes del modelo previo: los puntos piloto cumplen el modelo de variabilidad espacial y no son asignados valores extremos. 12.5 METODO DE LA DEFORMACIÓN GRADUAL. El método de la deformación gradual fue introducido por Hu (2000)73 para modificar continuamente las funciones Gaussianas aleatorias. Esta es una técnica de parametrización geoestadística que le permite al modelo del yacimiento ser perturbado independientemente del número de bloques de malla que contenga desde un pequeño de parámetros, además, preserva el modelo de variabilidad espacial. La piedra angular del método de deformación gradual es que la suma de dos funciones aleatorias Gaussianas es también una función aleatoria Gaussiana. 12.5.1 Deformación global El esquema de deformación global básico comprende adicionar dos funciones aleatorias multiGaussianas. Hagamos Y1 y Y2 dos funciones aleatorias multiGaussianas estacionarias independientes, se asume que ambas tienen medias idénticas (y0) así como varianza y covarianza. Se construye una nueva función aleatoria Y(t) por la combinación de dos funciones de la siguiente forma:

( ) [ ] ( ) [ ] ( ) )12......(..............................cos 02010 BtsenyYtyYytY −+−=− Donde y0 es la media y t es el coeficiente de deformación. Por lo que el coeficiente de deformación t, Y tienen la misma media, varianza y covarianza al igual que Y1 y Y2. Esta propiedad se sostiene debido a que la suma de los pesos al cuadrado es uno, es


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decir cos2(t)+ sen2(t)=1. Además, Y(t) es también una función aleatoria multiGaussiana debido a que es la suma de dos funciones aleatorias multiGaussianas. De acuerdo con esta regla de combinación, dos realizaciones independiente y1 y y2 de Y1 y Y2 proporciona una cadena continua de realizaciones y(t), la cual depende únicamente del coeficiente de deformación t.

( ) [ ] ( ) [ ] ( ) )13......(....................cos 02010 Btsenyytyyyty −+−=− Debido a que la regla de deformación es periódica el rango de t es de – π a π. Para t = 0, y es la misma que y1; cuando t = ±1/2 π, y es la misma que ± y2. Así, ligeras variaciones en t induce ligeras variaciones en y, por lo que, su tamaño puede ser modificado desde un solo parámetro de deformación. Cuando la realización completa es simultáneamente modificada se dice que la deformación es global. Para los ruidos gaussianos blancos la regla de combinación se reduce a:

( ) ( ) ( ) )14..........(....................cos 21 Btsenytyty += En donde y1 y y2 son dos ruidos gaussianos blancos. Este resultado se obtiene haciendo la media y0 cero. 12.5.2 Deformación local En algunos casos es conveniente modificar solo algunas áreas del yacimiento en lugar del yacimiento completo. Por ejemplo, un modelo del yacimiento previamente construido puede necesitar que se actualice localmente debido a los datos de producción de un pozo que se ha perforado recientemente, por consiguiente reiniciar la optimización sería una pérdida de tiempo. El objetivo es refinar el modelo del yacimiento existente desarrollando una deformación local. El método del punto piloto puede ser una opción cuando se modifica localmente el modelo del yacimiento. Sin embargo, se ha probado mejorar los artificios numéricos: puntos pilotos pueden ser asignados a valores extremos, el método de deformación local gradual no sufre de esta desventaja. La deformación local gradual no es factible en cada caso, depende sobre el algoritmo utilizado para llevar a cabo las realizaciones. Un ejemplo es el algoritmo FFT-MA. Para desarrollar una deformación local, la regla de combinación presentada arriba es aplicada al ruido gaussiano blanco z utilizado para producir la realización estructurada y:

)15.........(.................... Bzfmy ∗+=


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En este caso m es la media y f es la derivada de la función de covarianza, la deformación local gradual trabaja debido a que el ruido gaussiano blanco y las propiedades geoestadísticas están desacopladas así como también el ruido gaussiano blanco es generado en el dominio espacial. Cada bloque de malla es atribuida a una desviación normal, es importante recordar que el ruido gaussiano blanco es hecho de desviaciones normales. Para modificar localmente y, la regla de deformación gradual es aplicada a las desviaciones normales poblando los bloques de malla incluidas en el subdominio de interés. El ruido gaussiano blanco modificado localmente proporciona una realización estructurada localmente modificada. Las regiones sometidas a deformaciones locales pueden contener más de un bloque de malla. Por ejemplo, un grupo de bloques de malla puede ser seleccionado alrededor de un pozo y todas sus desviaciones normales modificadas simultáneamente. Así la realización resultante y no es cambiada excepto en el área seleccionada, un dominio de transición con un ancho de una longitud de correlación cae entre las realizaciones sin cambiar y el subdominio seleccionado. Este dominio de transición es influenciado por la deformación gradual aunque ninguna de sus desviaciones normales es modificada. De hecho, variar una desviación normal en la frontera de la región seleccionada tiene un efecto en la realización sobre la longitud de correlación. Esta área de transición asegura continuidad entre el dominio cambiado y el no cambiado. Un modelo de yacimiento puede ser subdividido dentro de muchos dominios asociándole a cada uno de ellos un coeficiente de deformación gradual, posteriormente cada subdominio puede ser sometido simultáneamente e independientemente a un proceso de deformación gradual. El esquema de perturbación resultante es equitativamente cercano al método por zonas, aunque existe una diferencia más grande: en el caso del método por zona el atributo modelado es constante por subdominio. En el caso del método de deformación gradual el atributo modelado exhibe una variabilidad espacial con un subdominio dado. Variando el coeficiente de deformación se mejora no únicamente en un solo valor sino en todos los valores de los atributos incluyendo el subdominio y en particular el modelo de variabilidad espacial y se preserva la continuidad entre subdominios. Se debe de tener en mente que la deformación local es producida cuando el principio de deformación gradual es aplicado no a una realización estructurada y sino a la Gaussiana con ruido subyacente. Cuando es aplicada directamente a y las discontinuidades comienzan a hacerse visibles.


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12.5.3 Deformación gradual de una realización discreta Realizaciones discretas o facies pueden ser producidas, por ejemplo, utilizando el método Gaussiano truncado, en pocas palabras una realización Gaussiana continua es sometida a umbrales y transformada en una realización discreta. Una realización de facies también puede ser gradualmente deformada ya sea locamente o globalmente. Para hacer esto se regresa al ruido gaussiano blanco el cual produce una realización Gaussiana continua. La deformación gradual es aplicada o todas o algunas de las desviaciones normales:

)16..(....................).........()cos()( 21 Btsenztztz += Z1 y Z2 son dos ruidos gaussianos blancos y t es el coeficiente de deformación. El método de deformación global se extiende a realizaciones no Gaussianas. Cualquier realización de una función estocástica depende de un juego de números aleatorios que pueden ser transformados en desviaciones normales. Estas desviaciones normales son gradualmente modificadas como se explico arriba y posteriormente transformadas. 12.5.4 Deformación gradual combinando diferentes realizaciones El método de deformación gradual ha sido presentado como la combinación gradual de dos funciones aleatorias Gaussianas Y1 y Y2. el principio de combinación en realidad se extendió a cualquier número de realizaciones Gaussianas. Considere R+1 realizaciones Y i, iε[1, R+1]:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] )17........(..........coscos1 1

01

1

010 ByYttsenyYtytYR

i

R

ij

ij

R

iii∏ ∏∑

= +=

+

=

−+−=−

Los coeficientes ti son los coeficientes de deformación gradual. La combinación de R+1 realizaciones llama para R coeficientes de deformación. Como para el esquema de combinación básica, las realizaciones combinadas deben ser independientes una de otra y la suma de los cuadrados de los pesos debe de ser uno. 12.5.5 Deformación gradual basada en optimización La deformación gradual es un proceso de perturbación progresiva aplicado a una realización, la realización básica gradual es de la forma:

( ) [ ] ( ) [ ] ( ) )18.....(....................cos 02010 Btsenyytyyyty +++=− En donde y1 y y2 son dos realizaciones multiGaussianas independientes con medias idénticas así como varianzas y covarianzas. Note la media y0, cuando t=0 es la misma que y1; cuando t=1/2π, y es la misma que y2. Ligeras variaciones en t induce a ligeras


68

variaciones en y. Por ligeras modificaciones de coeficientes de deformación desde cero, la deformación continua de y1, considerada como la realización inicial, es imitada. y2 es una realización complementaria dada. Sin importar el coeficiente de deformación y es una realización multiGaussiana y tiene la misma media, varianza y covarianza así como y1 y y2. Consecuentemente, una cadena de realizaciones con propiedades convenientes puede ser construida variando t. Esta cadena es meramente una trayectoria dentro del espacio de búsqueda. Debido al formalismo de la combinación gradual esta define una hiper-elipse cuya dimensión es el número de bloques de malla. Considere un modelo del yacimiento hacho de dos bloques de malla, en esta caso especial el modelo del yacimiento es un vector de dos componentes. Hagamos a y1 una realización inicial y a y2 una realización complementada trazada independientemente. Como ejemplo, y1 y y2 tienen dos componentes independientes generados de la ley de probabilidad N (2.5, 0.3).

=

1

11

b

ay

=

2

22

b

ay

=

0

00

b

ay

El principio de deformación gradual lleva a o siguiente:

( )( ) ( ) ( )tsen

b

at

b

a

tb

ta

−

+

−

=

−

5.2

5.2cos

5.2

5.2

5.2

5.22

2

1

1

En un espacio de dos dimensiones, esta ecuación describe una elipse centrada a y0. y1 y y2 son dos puntos de la elipse. Cuando se varía el coeficiente de deformación t, uno se mueve a lo largo de la elipse. El método de la deformación gradual integra bastante bien los procesos de optimización, optimizaciones basadas en la deformación gradual permiten minimizar la siguiente función objetivo:


69

( ) ( )[ ] ( )[ ] )19.....(....................2

1 1 BdtgCdtgtJ obsD

tobs −−= −

El vector t es hecho de todos los coeficientes de deformación, estos coeficientes son los parámetros del problema, ellos tienen que ser modificados para reducir la función objetivo lo más que sea posible. Como se mostró para el método del punto piloto es reducido al término inadaptado de los datos dinámicos. En efecto, parece redundante adicionar explícitamente las restricciones previas dentro de la función objetivo. La información previa está intrínseca para la parametrización de la deformación gradual: se mantiene la variabilidad espacial de realizaciones deformadas gradualmente, sin importar el coeficiente de deformación. El método de deformación gradual se utiliza para perturbar continuamente una realización Gaussiana, esto hace posible calcular las derivadas de la función objetivo con respecto a los coeficientes de deformación. La minimización de la función objetivo puede ser minimizada utilizando técnicas de gradiente y no gradiente, el propósito del proceso de búsqueda es investigar la hiper-elipse variando los coeficientes de deformación e identificando la realización que minimice la función objetivo. Claramente una hiper-elipse describe una pequeña parte del espacio de búsqueda, la probabilidad de obtener un buen ajuste de los datos dinámicos únicamente por la exploración de la hiper-elipse es muy reducida. Para ser eficiente el proceso de optimización debe de ser repetido. El procedimiento para optimizaciones basadas en deformación gradual es como sigue. Hagamos y1 la realización multiGaussiana inicial y y2 una realización multiGaussiana complementaria independiente con la misma media, varianza y covarianza que y1. Una hiper-elipse inicial es construida de la combinación gradual de estas dos realizaciones. y1 y y2 son dos realizaciones de la hiper-elipse la cual esta centrada a la realización media. Un proceso de optimización inicial es completado iniciando en y1 para identificar un juego de coeficientes de deformación minimizando la función objetivo. Este juego de coeficientes óptimos define y3, una de las realizaciones de la hiper-elipse. Debido a las propiedades de la deformación gradual, y3 es una realización multiGaussiana con la misma media, varianza y covarianza que y1. A este punto, la calidad de ajuste puede ser muy pobre. Para mejorar esto, el espacio de búsqueda debe de ser más investigado. Un nuevo proceso de optimización debe de ser iniciado comenzando con y3. Más precisamente la realización multiGaussiana es actualizada haciendo y1 = y3 y una nueva realización multiGaussiana es complementaria independiente y4 es generada aleatoriamente en lugar de y2. Combinando y3 y y4 proporciona una nueva hiper-elipse iniciando con y3. Un nuevo proceso de optimización lleva a la realización de y5 la cual disminuye aún más la función objetivo. Nuevamente y5 es una realización multiGaussiana con la misma media, varianza y covarianza que y1. El proceso de búsqueda es iterado hasta que se logra un ajuste apropiado. La construcción sucesiva de cadenas de realizaciones permite una mayor exploración del espacio de búsqueda. Algunas veces es imposible determinar los coeficientes de deformación para reducir la función objetivo, bajo tales condiciones la realización inicial no es actualizada.


70

El método de la deformación gradual está aplicado a combinar ruidos gaussianos blancos gradualmente de forma tal que la deformación puede ser global o local. La combinación gradual de dos ruidos gaussianos blancos proporciona un ruido gaussiano blanco. Este es convertido en una realización estructurada aludido a algoritmos de simulación geoestadística. La realización obtenida es poco probable que cumpla con los datos estáticos recolectados. Las técnicas de Kriging son utilizadas para modificar la realización y hacerla consistente con estos datos. Posteriormente se simula flujo respetando la historia del pozo. La discrepancia entre la respuesta del flujo simulado y los datos dinámicos medidos durante la producción es dada por la función objetivo. La minimización es llevada acabo perturbando el coeficiente de deformación gradual. Este paso es repetido tan largo como el ajuste no sea satisfactorio o tan largo como las reducciones en la función objetivo continuen. Cuando el ajuste es aceptable el proceso de búsqueda es detenido. Cuando esta no es aceptable o cuando la función objetivo no puede ser mas reducida se lleva a cabo un intento de mejorar el ajuste investigando una nueva cadena de ruidos gaussianos blancos. En este caso, el ruido gaussiano blanco óptimo (si lo hay) identificado cuando se minimiza la función objetivo para la cadena previa de realizaciones es utilizada para actualizar el ruido gaussiano blanco de inicio. Un nuevo ruido gaussiano blanco complementario independiente es generado aleatoriamente. Los dos ruidos gaussianos blancos proporcionan una nueva cadena de ruidos gaussianos blancos. Nuevamente, el coeficiente de deformación es ajustado para minimizar la función objetivo. El procedimiento total es replicado hasta que la realización construida de esta forma cumpla tanto con los datos estáticos como con los dinámicos. Las ventajas del método de deformación global son las siguientes:

1. La reducción en el número de parámetros: el método de deformación gradual es utilizado para perturbar cientos o incluso millones de bloques de malla a partir de unos pocos coeficientes de deformación.

2. La preservación de la estadística de orden dos: hiper-elipses, centradas a la

realización media son consecutivamente investigadas. Todas las realizaciones de las hiper-elipses tienen la media, varianza y covarianza requerida. Conforme el método de deformación gradual preserva el modelo de variabilidad espacial la restricción previa es removida de la función objetivo. la expresión de la función objetivo es así simplificada: esta se vuelve fácil de calcular.

3. La deformación global es ya sea global o local.


71

13. ANEXO C

DERIVACIÓN DEL MODELO DE DOBLE POROSIDAD DE FLUJO E N UNA SOLA FASE VÍA TEORÍA DE HOMOGENIZACIÓN 87.

Es bien sabido que la roca porosa que compone el yacimiento petrolero contiene muchas grietas o fracturas. Un yacimiento naturalmente fracturado es aquel que contienen a través de toda su extensión muchos planos de fractura interconectados. Por mas de 30 años se ha sabido que el flujo en este tipo de yacimientos difiere de aquellos que no son fracturados, en su lugar, el flujo actúa como si el yacimiento tuviera dos estructuras porosas, una asociada al sistema de fracturas y otra asociada a la roca porosa (matriz). Este concepto de doble porosidad/permeabilidad ha sido utilizado para modelar el flujo de un solo componente en una sola fase con un yacimiento naturalmente fracturado desde 1960. Algunos modelos de doble porosidad/permeabilidad fueron derivados bajo la consideración física de que la presión del fluido (o, de forma equivalente, su densidad) es uniforme en la superficie de cada bloque de matriz. Ahora bien, se deriva este modelo general desde el punto de vista de la teoría de homogenización. Se verá que el modelo es en algún sentido el límite de una familia de modelos macroscópicos en los cuales los tamaños de los bloques de matriz tienden a cero (razón por la cual, en efecto, el fluido se hace uniforme en las superficies de los bloques). Una homogenización sencilla del yacimiento entero podría llevar a un modelo de simple porosidad con alguna permeabilidad promedio, esto podría ser bastante inadecuado debido a que dos estructuras porosas muy distintas están presentes en el yacimiento y su interacción tiene una fuerte influencia sobre las características del flujo. Esta interacción es un proceso de estructura fina cuyo efecto únicamente debe de ser homogenizado.; este proceso mismo debe de ser retenido sobre un nivel microscópico. 13.1 EL MODELO MICROSCÓPICO. Se considera el yacimiento Ω que pertenece a R3 y es doblemente conectado y con fronteras con una estructura periódica. De forma más precisa Ω es una unión de dominios de celdas paralelepípedos disjuntas congruentes a una estándar Q.

( )( ) ( )

Acc

CcQcQ

CcQAc

∈≠=+∩+

+=Ω∈

21

21 )2..(....................

)1.....(..............................

φ

∪


72

En donde A es una cuadrícula finita apropiada de traslaciones conteniendo al origen y las letras testadas denotan cerradura. Fig (1).

Figura C.1 El yacimiento representando su estructura periódica.

La celada Q puede ser descompuesta en tres partes, una contenida compactamente, dos dominios conectados Qm representando la parte del bloque de matriz, el dominio de las fracturas conectadas en los alrededores Qf, y una ligera pieza de frontera interna ∂ Qm. fig 2.

Figura C.2 La celda estándar Q.

Para homogenizar el yacimiento hagamos que tienda a cero el tamaño (lineal) є de las celdas (є=1 en el modelo microscópico). Extender A a una cuadrícula infinita A’. Para


73

є>0 hagamos que estén denotados los dominios de la fractura y de la matriz respectivamente por:

( )

( )∪

∪

Acmm

Acff

CcQ

y

CcQ

′∈

′∈

+∩Ω=Ω

+∩Ω=Ω

)4........(....................

)3.......(....................

ε

ε

ε

ε

Para evitar tecnicismos sin importancia relacionados a la frontera de Ω asuma que las є forman una secuencia para la cual:

)5......(.................... CfεΩ∂⊂Ω∂

Definamos alguna notación y hagamos algunas consideraciones físicas antes de llevar a acabo el modelo microscópico. Denotemos por:

( )( ) )7.(....................,

)6.(....................,

Ctx

Ctxε

ε

σρ

A la densidad del fluido en:

)9......(....................

)8......(....................

C

C

m

f

ε

ε

Ω

Ω

Respectivamente. Asuma que el fluido es un líquido de viscosidad µ y de compresibilidad constante c; esto es, la presión p y la densidad satisfacen las ecuaciones de estado:

)11..(....................

)10...(....................

Cdpcd

Cdpcd

σσρρ

==

Por supuesto se asume que el flujo fluye de acuerdo ala ley de Darcy en la matriz εmΩ

en donde haremos que )/()( εεε xkxk = y )/()( εφφ εε xx = denoten la porosidad y la permeabilidad (posiblemente tensor), respectivamente. Estas cantidades deben de ser periódicas de periodo Q (reflejando la periodicidad de los bloques de matriz sobre Ω - más generalmente debemos de asumir que las propiedades fijadas de la matriz son de la forma )/,()( εψψ ε xxx = variando sobre el yacimiento dentro del primer argumento y periódico en el segundo).


74

También se asumirá que la ley de Darcy es válida dentro de las fracturas ε

fΩ .

Claramente esto no es estrictamente correcto, sin embargo, esto se ha llevado a cabo dentro de la literatura de ingeniería petrolera, evidentemente, considerando las fracturas parcialmente llenas con despojos de las rocas. El cualquier caso la ley de Darcy debe de mantenerse conforme ε tiende a cero. Nuestro principal interés recae en la determinación de la forma correcta de la interacción entre la matriz y el sistema de fracturas. Ahora bien, hagamos que )1)(( ≈Φ∗ x y )(xK ∗ (muy grande) denoten la porosidad y la permeabilidad escalar del dominio de la fractura extendido sobre todo Ω . Estas cuatro son uniformemente positivas y cada una se asume como suave y acotada. Finalmente elegimos algunas funciones de densidad de referencias suavizadas y acotadas )(xrefρ y )/()( εσσ εε xx refref = en donde )(xref

εσ es periódica como en la parte

de arriba. Para linealizar las ecuaciones se aproximan los efectos de gravedad como sigue:

( ) ( )( ) ( ) )13........(..........2

)12.........(..........2

2

2

C

C

ref

ref

ref

ref

εεε

εεε

σσσσ

ρρρρ

−≈

−≈

El flujo dentro de los dos dominios es entonces descrito por conservación de masa combinado con la ley de Darcy. Utilizando nuestras consideraciones dentro del dominio de las fracturas tenemos.

( )[ ]

0

)14..........(..........2

>

Ω∈

=

−+∇⋅∇−Φ∗

∗

t

x

para

Cfcgc

K

f

refreft

ε

εεε ρρρρµ

ρ

( )[ ] ( )[ ]

0

)15..........(..........22

>Ω∈

⋅

−+∇=⋅

−+∇∗∗

t

x

para

Cvcgc

Kvcg

c

K

m

refrefrefref

ε

εεεε σσσσεµ

ερρρρµ

0

)16.....(....................

=

Ω∈

=

t

x

C

f

init

ε

ε ρρ


75

Aquí, el subíndice t denota la diferenciación parcial en tiempo, g es la constante gravitacional, f(x,t) representa fuentes y sumideros externos, v(x) es la unidad normal exterior (para ε

mΩ∂ en este caso) y )(xinitρ es la densidad inicial especificada.

Similarmente dentro del dominio de la matriz:

( )[ ]

0

))17..........(..........2

>Ω∈

=

−+∇⋅∇−Φ

t

x

para

Cfcgc

K

m

refreft

ε

εεεεε

εε σσσσεµ

εσ

0

)18.(..............................

>Ω∂∈

=

t

x

C

mε

εε ρσ

0

)19.(..............................

=Ω∈

=

t

x

C

m

init

ε

ε ρσ

Las dos condiciones de frontera C.15 y C.18 representan la conservación de flujo de masa y la continuidad de presión respectivamente entre los dos dominios. También debemos asumir una condición Neumann de no flujo sobre la densidad de fractura en

εfΩ∂⊂Ω∂ :

( )[ ]

0

)20..........(..........02

>Ω∂∈

=⋅

−+∇∗

t

x

para

Cvcgc

Krefref ρρρρ

µεε

También se deben de hacer algunos comentarios sobre los factores de escala ε . Ellos pueden ser como provenientes de un análisis dimensional de las ecuaciones para un bloque de matriz individual; ellos proporcionan el escalamiento correcto para el flujo conforme el tamaño del bloque se reduce. Esto es, la forma de las ecuaciones de matriz es preservada sobre la celda estándar independientemente del valor de ε , dando de este


76

modo un modelo de doble porosidad en el límite. Esencialmente la permeabilidad de la matriz ha sido escalada por 2ε mientras que el término gravitacional ha sido compensado por 1−ε . En lugar de esto podríamos decidir no compensar la gravedad en cuyo caso el modelo macroscópico podría no tener términos gravitacionales en las ecuaciones de la matriz. 13.2 EL MODELO MACROSCÓPICO. Mostraremos en la siguiente sección que, conforme el parámetro de escalamiento ε tiende a cero, el modelo macroscópico converge en algún sentido al modelo descrito abajo. Primero deben de ser definidos algunos símbolos, se define la porosidad de fractura macroscópica como:

)21.........(..........).........()( CxQ

Qx

f ∗Φ=Φ

En donde ⋅ denota el volumen del conjunto. Definamos las funciones auxiliares

)(yw j , j=1,2,3, periódica con periodo Q, como el módulo de soluciones constantes de:

f

j

Qy

para

C

∈

=∆ )22..........(..........0ω

m

jjj

Qy

para

Cvvev

∂∈

−=−=⋅∇ )23.(...............................ω

Donde je es el vector unitario en la j-ésima dirección, ahora podemos definir de forma

correcta los componentes del tensor K de la permeabilidad del sistema de fracturas macroscópicas como:

)24......(....................)(1

)( CdyQxKQ

xKfQ

iiijfij

∂+= ∫∗ ωδ


77

Donde ijδ es el símbolo de Kronecker y ii y∂∂=∂ / .

Con fm siendo definido en C.31 abajo, la densidad de fractura macroscópica ),( txρ satisface:

( )[ ]

0

)25..........(..........2

>Ω∈

+=

−+∇⋅∇−Φ∗

t

x

para

Cffcgc

Kmrefreft ρρρρ

µρ

( )[ ]

0

)26..........(..........02

>Ω∂∈

=⋅

−+∇

t

x

para

Cvcgc

Krefref ρρρρ

µ

0

)27.....(....................

=Ω∈

=

t

x

Cinitρρ

Como ε tiende a cero, obtenemos un número infinito de bloques de matriz, uno para cada x. De aquí, para cada Ω∈x tenemos una función de densidad de matriz

),,( tyxσ la cual es determinada de:

( )[ ]

0

)28.(..........).........,()(2)()(

)(

>∈

=

−+∇⋅∇−Φ

t

Qy

para

Ctxfyycgc

yky

m

refrefyyt σσσσµ

σ

0

)29........(..........).........,(

>∂∈

=

t

Qy

para

Ctx

m

ρσ


78

0

)30........(..........).........(

=∈

=

t

Qy

para

Cx

m

initρσ

Donde y∇ es el gradiente con respecto ala variable y. Finalmente el término fuente de

la matriz mf es definido por:

∫−=mQ

m CdytyxyQ

txf )31.....(..............................),,()(1

),( σφ


79

14. ANEXO D

DATOS DE PRUEBAS DE PRESIÓN Y SU USO EN LA CARACTERIZACIÓN ESTÁTICO-DINÁMICA 1, 2.

Existen dos tipos de datos utilizados en la caracterización de yacimientos: estáticos y dinámicos. Los datos estáticos comprenden mediciones del atributo de interés en puntos dados, estos pueden ser obtenidos de experimentos llevados acabo en núcleos, interpretaciones de registros y estudios de afloramientos principalmente. Análisis estadísticos son subsecuentemente llevados acabo para estimar la función aleatoria que describa las variaciones espaciales observadas en el atributo estudiado. Los datos dinámicos se miden usualmente en la producción de los pozos e incluyen datos de presión, producción, cortes de agua y concentración de trazadores. Las presiones son indicadoras de la energía potencial que contiene el yacimiento y son utilizadas para predecir que tanta producción puede ser mantenida. Los cambios en los yacimientos son, por lo tanto, monitoreados por pruebas de presión, dentro de los cuales tenemos:

Figura D.1 Tabla de propiedades que se obtienen mediante pruebas de presión.


80

El objetivo es combinar geoestadística, flujo, escalamiento y ajuste de la historia de producción para crear un flujo de trabajo apropiado para la caracterización de yacimientos pretendiendo la construcción de modelos de yacimiento consistentes con todos los datos recolectados y así mismo que sea bastante confiable para predecir y mejorar producciones a futuro. Los pasos principales del procedimiento condicionante se da a continuación:

1. Un modelo inicial del yacimiento (modelo geológico) es generado a partir de herramientas estadísticas y esta restringido a los datos estáticos disponibles.

2. El modelo geológico inicial consta de demasiado detalle que lo hace impráctico

para cuestiones de simulación de flujo por lo que en este paso el modelo geológico del yacimiento se hace más grueso utilizando técnicas de escalamiento basándose en datos de pruebas de presión.

3. Una simulación de flujo se lleva a cabo para el nuevo modelo del yacimiento y

con lo cual se reproduce su comportamiento dinámico. En esta parte los datos dinámicos son comparados a la respuesta dinámica del nuevo modelo del yacimiento.

4. Generalmente, la respuesta simulada no reproduce los datos dinámicos y por

consiguiente el modelo geológico detallado debe de ser modificado para hacer el comportamiento dinámico del modelo grueso consistente con los datos dinámicos, esta modificación o procedimiento de ajuste a curvas de presión involucra técnicas de optimización.

14.1 OBTENCIÓN DE LA PERMEABILIDAD MEDIANTE PRUEBAS DE PRESIÓN. Cuando un pozo se pone en producción o inyección, cuando se le cambia el gasto o cuando se cierra el pozo el yacimiento reacciona con un comportamiento de presión que es directamente relacionado a su potencial de flujo y de aquí a su permeabilidad. La evolución de los manómetros de presión se ha convertido en un parámetro importante ya que pruebas especiales como son las pruebas de pulsos y las pruebas de interferencia las cuales recaen en el registro de disturbios de presión muy pequeños son ahora técnicas de caracterización disponibles en muchos campos. También la instalación de manómetros permanentes de fondo de pozo ya comunes en muchas áreas maduras ahora permite la obtención de perfiles de presión continuos, el cual, en algunos casos puede ser utilizado para mejorar la descripción del yacimiento en tiempo real. En cuanto a estudios integrados de yacimientos los análisis de pruebas de presión son de gran importancia, cuando se dispone de datos confiables de alta calidad las técnicas de interpretación modernas permiten la identificación de heterogeneidades del yacimiento a mega-escala e inferir el modelo geológico que esta detrás proporcionar de esta forma valiosos datos de entrada y/o retroalimentación a otras técnicas de caracterización de yacimientos.


81

Una aplicación interesante con respecto a este tema es la modelación estocástica debido a que la interpretación de pruebas de presión proporciona una estimación de algunos de los parámetros de entrada, por ejemplo: el ancho de un canal dentro de una modelación basada en objetos. Las pruebas multi-pozos también son una herramienta poderosa en la descripción interna del yacimiento y pueden ser utilizadas para apoyar o rechazar modelos geológicos alternativos derivados de otras técnicas, por ejemplo: si se sospecha la presencia de una falla entre dos pozos la existencia de una interferencia de presión probará que la falla no existe o bien que esta no es sello. Cuando se tienen disponibles múltiples pruebas su interpretación permite la construcción de mapas de transmisividad o difusividad que pueden ser integrados dentro de la descripción del yacimiento y eventualmente como datos de entrada a un simulador dinámico. 14.2 INTEGRACION DE PRUEBAS DE PRESIÓN La integración de la permeabilidad a macroescala y la permeabilidad de las pruebas de presión (magaescala) es un punto importante en cualquier estudio de yacimiento y a menudo se observan diferencias entre estos tipos de estimaciones. En general, este tipo de mediciones no concuerdan, las pruebas de presión miden una permeabilidad efectiva a las condiciones de saturación prevalecientes en el yacimiento y este valor puede ser considerablemente diferente comparada con la permeabilidad absoluta medida en el laboratorio sobre tapones de núcleo. También, el grado de heterogeneidad del yacimiento involucrada en las dos mediciones puede ser bastante diferente. Una técnica simple para integrara estas estimaciones es comparar, para los pozos que se tenga disponible, tanto perfiles de permeabilidad a macroescala como la capacidad de flujo de la formación (kh) o también llamada productividad de espesor, de la siguiente forma:

)1.....(..................../ DhkCKKH iirwt ∑=

Donde: KHwt= capacidad de flujo de una prueba de presión, mD/pie. Kr= permeabilidad relativa a la saturación promedio del espesor. kihi= capacidad de flujo (macroescala) derivado de un núcleo o registro, mD/pie. C= factor de corrección adimensional. Cuando es utilizada esta ecuación se asume que el resultado de la prueba de presión es la información de referencia, de forma que se afina el factor de corrección C hasta que se encuentra una concordancia satisfactoria entre los dos tipos de mediciones. Es importante comentar que en este caso se está asumiendo un modelo de permeabilidad por capas donde cada intervalo elemental i del yacimiento de espesor h está contribuyendo con su permeabilidad individual k lo que equivale a un promedio


82

aritmético de los valores de permeabilidad. Debe notarse que aunque este es el modelo teórico aplicado para yacimientos en capas la experiencia ha demostrado que en muchas instancias este no es el caso. El factor de corrección C en realidad puede considerar un modelo que se encuentra en una forma diferente del modelo de capas, de hecho, el factor de corrección C puede incluir otros componentes de cierta incertidumbre, relacionados, por ejemplo, a problemas en la definición del espesor productor actual mediante la interpretación de la prueba de presión, presencia de heterogeneidades o cualquier otro factor el cual pueda ser relacionado a los diferentes dominios de escala de los dos tipos de mediciones. El factor de corrección tiene que ser calculado para todos los pozos e intervalos probados y los valores resultantes tienen que ser analizados cuidadosamente. Cuando se puede identificar un valor constante y razonable del factor de corrección C este se puede aplicar sin ninguna preocupación a todos los pozos que tienen un perfil de permeabilidad vertical pero no datos de pruebas de presión. Esto permite condicionar la distribución de permeabilidad resultante a resultados de pruebas de presión. En algunos casos el valor calculado del factor de corrección C en varias localizaciones puede ser muy diferente como para utilizarse. Por ejemplo, cuando los valores de C abarcan entre 0.2 y 0.9 se considera un rango de valor muy grande para permitir la identificación de un valor característico que se aplique a todos los pozos. En realidad, estas diferencias podrían sugerir que hay un problema de inconsistencia ya sea en núcleos, registros o datos de pruebas de presión en aquellos pozos donde el factor de corrección C presenta valores extremos. Un análisis más preciso de estos pozos debe de llevarse acabo para corregir o eliminar los datos falsos. Una integración más completa de la permeabilidad de las pruebas de presión puede obtenerse a través del condicionamiento directo de modelos geoestadísticos. 14.3 CONDICIONAMIENTO DE LOS MODELOS ESTOCÁSTICOS A LOS DATOS DINÁMICOS. Los modelos estocásticos de permeabilidad usualmente son generados utilizando únicamente datos estáticos (geológicos), esto es a menudo un problema dentro de la fase de la simulación del yacimiento ya que se tienen que hacer modificaciones dentro de la distribución petrofísica original con propósitos de ajustar la historia de la producción. El condicionamiento de los modelos estocásticos con la permeabilidad de las pruebas de presión y con los datos de producción posee un gran potencial.


83

En general existen dos líneas de investigación que se distinguen por la manera en que se condiciona la simulación:

• A priori: es la manera tradicional, los resultados de las pruebas de presión entran directamente en el proceso de modelación y el objetivo es generar un campo de permeabilidad aleatorio que respete el promedio de la permeabilidad en la región alrededor del pozo.

• A posteriori: el modelo estocástico es modificado después de ser generado para

que satisfaga los valores promedios de la permeabilidad de la pruebas de presión.


84

15. ANEXO E

COMPORATAMIENTO DE YACIMIENTOS NATURALMENTE FRACTURADOS (DOBLE POROSIDAD) EN PRUEBAS DE PRESIÓN86.

Los yacimiento naturalmente fracturados son típicamente caracterizados por un comportamiento de doble porosidad; una porosidad primaria que representa la matriz

mφ y una porosidad secundaria fφ que represente el sistema de fracturas. El modelo de

doble porosidad asume dos regiones porosas de permeabilidades y porosidades distintamente diferentes con la formación. Únicamente el sistema de fracturas tiene una permeabilidad bastante alta para producir hacia al pozo. El sistema matriz no produce directamente al pozo, pero actúa como una fuente de fluido al sistema de fracturas. Una característica muy importante del sistema de doble porosidad es la naturaleza del intercambio de fluidos entre los dos distintos medios porosos. Gringarten (1984) presento un tratamiento comprensivo y una excelente revisión del comportamiento de yacimientos fracturados y de las metodologías apropiadas para analizar datos de pruebas de presión. Warren y Root (1963) presentaron trabajo teórico extensivo sobre el comportamiento de yacimientos naturalmente fracturados. Ellos asumieron que el fluido de la formación fluye del sistema matriz dentro de la fracturas bajo condiciones pseudo-estacionarias con las fracturas actuando como conductos hacia el pozo. Kazemi (1969) propuso un modelo similar con la consideración principal de que el flujo interporoso ocurre bajo régimen transitorio. Warren y Root indicaron dos parámetros característicos, además de la permeabilidad y el daño, que controlan el comportamiento de los sistemas de doble porosidad. Estos son:

• El parámetro adimensional ω que define el almacenamiento de las fracturas con relación al total en el yacimiento. Matemáticamente está dado por:

( )

( ) ( ) )1....(.............................. Ehchc

hc

mtft

ft

φφφ

ω+

=

Donde:

=ω Relación de almacenamiento. =h Espesor. =tc Compresibilidad total.

=φ Porosidad. El subíndice f y m se refiere a fracturas y matriz respectivamente. Un rango típico de ω es de 0.1 a 0.001.


85

• El segundo parámetro λ es el coeficiente de flujo interporoso el cual

describe la habilidad del fluido para fluir de la matriz dentro de las fracturas y es definida por la siguiente relación:

)2..........(..............................2 Erk

kw

f

m

= αλ

Donde:

=λ Coeficiente de flujo interporoso. =k Permeabilidad. =wr Radio del pozo.

El factor α es el parámetro de forma del bloque que depende de la geometría y de la forma característica del sistema matriz-fractura y tiene las dimensiones del recíproco del área definida por la siguiente expresión:

)3..(.............................. EV

A

x

=α

Donde:

=A Área del bloque de matriz. =V Volumen del bloque de matriz. =x Longitud característica del bloque de matriz.

Muchos de los modelos propuestos asume que el sistema matriz-fractura puede ser representado por una de las siguientes cuatro geometrías:

a) Bloques de matriz cúbicos separados por fracturas con lambda dada como:

)4.......(..............................60 2

2Er

k

k

lw

f

m

m

=λ

En donde ml es la longitud de un lado del bloque.

b) Bloques de matriz esféricos separados por fracturas con lambda dada como:

)5..........(....................15 2

2Er

k

k

rw

f

m

m

=λ

En donde mr es el radio de la esfera.


86

c) Bloques de matriz de estratos horizontales separados por fracturas con lambda

dada como:

)6..........(....................12 2

2Er

k

k

hw

f

m

m

=λ

En donde fh es el espesor de una fractura individual o un estrato de alta

permeabilidad. d) Bloques de matriz cilíndricos verticales separados por fracturas con lambda

dada como:

)7.....(..............................8 22

Erk

k

rw

f

m

m

=λ

En donde mr es el radio de cada cilíndro.

En general el coeficiente de flujo interporoso tiene un rango de valores entre 310− y

910− . Cinco y Samaniego (1981) identificaron las siguientes condiciones extremas de flujo interporoso.

• Flujo interporoso restringido; el cual corresponde a un alto daño entre el medio menos permeable (matriz) y el medio más permeable (fracturas) y es matemáticamente equivalente a la solución pseudos-estacionaria, es decir, al modelo de Warren y Root.

• Flujo interporoso no restringido que corresponde a un daño de cero entre

ambos medios y es descrito por la solución de transitoria. Warren y Root propusieron el primer método de identificación de un sistema de doble porosidad, como se puede apreciar por la gráfica semilogarítmica de decremento de presión de la figura E1, la curva es caracterizada por dos líneas rectas paralelas debido a los dos sistemas separados en el yacimiento.


87

Figura E1. Prueba de decremento para un yacimiento naturalmente.

Debido a que la porosidad secundaria (fracturas) tiene una transmisibilidad más alta y está conectada al pozo ésta responde primero como se describe por la primera línea recta semilogarítmica. La porosidad primaria (matriz), teniendo una transmisividad mucho menor responde posteriormente. El efecto combinado de las dos porosidades lleva a la segunda línea recta semilogarítmica. Las dos líneas rectas estás separadas por un periodo de transición durante el cual la presión tiende a estabilizarse. La primera línea recta refleja el flujo radial transitorio a través de las fracturas y así, su pendiente es utilizada para determinar el producto del sistema permeabilidad espesor. Sin embargo, debido a que el almacenamiento en las fracturas es pequeño, el fluido en las fracturas es rápidamente abatido con una rápida combinación del abatimiento de presión dentro de las fracturas. Esta caída de presión dentro de las fracturas permite que más fluido fluya de la matriz a las fracturas, lo cual causa una desaceleración en el ritmo de depresionamiento de la presión (como se puede observar en la figura por el periodo de transición). Conforme la presión de la matriz se aproxima a la presión de las fracturas, la presión es estabilizada en los dos sistemas y lleva a una segunda línea recta semilogaritmica. Debe de señalarse que la primer línea recta semilogaritmica puede verse ensombrecida por los efectos de almacenamiento y puede no ser reconocida. Por lo tanto, en la práctica únicamente los parámetros que caracterizan el comportamiento homogéneo del sistema total kfh pueden ser obtenidos. La figura E2 muestra datos de una prueba de incremento de presión para un yacimiento naturalmente fracturado. Al igual que para una prueba de decremento, los efectos de almacenamiento pueden obscurecer la primera línea recta semilogaritmica.


88

Si se desarrollan ambas líneas rectas semilogaritmicas el análisis el producto total de permeabilidad-espesor es estimado de la pendiente m de cualquier línea y del uso de la siguiente ecuación.

( ) )8........(....................6.162

Em

QBhk f

µ=

Figura E2. Prueba de incremento para un yacimiento naturalmente.

El factor de daño s y presión falsa ∗p son calculados mediante el uso de la segunda línea recta. Warren y Root indicaron que la relación de almacenamiento ω puede ser determinada del desplazamiento vertical entre las dos líneas rectas, identificado como ∆p en las figuras, por la siguiente expresión:

)9...(....................10 Emp

∆−

=ω Bourdet y Gringarten (1980) indicaron que trazando una línea horizontal en la parte media de la curva de transición para intersectar con ambas líneas rectas semilogaritmicas, como se muestra en las figuras anteriores, el coeficiente de flujo interporoso λ puede ser determinado por la lectura del tiempo correspondiente al momento de intersectar a cualquiera de las dos líneas rectas, por ejemplo t1 o t2, y aplicando las siguientes relaciones:


89

En el caso de pruebas de decremento:

( ) ( ))10......(....................

781.11

1

781.11 2

2

1

2

Etk

rc

tk

rc

f

wmt

f

wmt

−=

−=

µφµω

µφµω

ωλ

En el caso de pruebas de incremento:

( ) ( ))11.........(..........

781.11

1

781.112

2

1

2

Et

tt

tk

rc

t

tt

tk

rc p

pf

wmtp

pf

wmt

∆∆+

−=

∆∆+

−=

µφµω

µφµω

ωλ

Donde:

=fk Permeabilidad de la fractura, md.

=pt Tiempo de producción antes del cierre, horas.

=wr Radio del pozo, pies.

=µ Viscosidad, cp. Los subíndices 1 y 2 se refieren al primer y segundo tiempo de intersección con la línea horizontal dibujada a través de la mitad del periodo de transición de la respuesta de presión durante las pruebas de incremento o decremento. Las relaciones de arriba indican que el valor de λ es dependiente del valor de ω . Debido a que ω es la relación de almacenamiento fractura-matriz y está definido en términos de los coeficientes de compresibilidad isotérmica total de la matriz i de las fracturas por la ecuación 687, así:

( )( )

( )( )

)12.........(..........

1

1E

c

c

h

h

ft

mt

f

m

+

=

φφ

ω

Esto sugiere que ω es también dependiente de las propiedades PVT del fluido. Esto es bastante posible para el aceite contenido dentro de las fracturas que esté por debajo del punto de burbuja mientras que el aceite contenido en la matriz esté por arriba del punto de burbuja. Así, ω es dependiente de presión y por lo tanto λ es mayor de 10, de forma tal que el nivel de heterogeneidad es insuficiente para efectos que los efectos de porosidad dual sean de importancia y el yacimiento pueda ser tratado con una sola porosidad. Gringarten (1987) señaló que las dos líneas rectas sobre una gráfica semilogaritmica pueden o no presentar dependencia sobre las condiciones del pozo y la duración de la prueba. El concluyó que la gráfica semilogaritmica no es una herramienta eficiente o suficiente para identificar el comportamiento de un yacimiento de doble porosidad.


90

15.1 USO DE CURVAS TIPO En la figura E2, el comportamiento de doble porosidad lleva a una curva en forma de S. La porción inicial de la curva representa el comportamiento homogéneo resulta de la depresión en el medio más permeable, es decir, las fracturas. Un periodo de transición continúa y corresponde al flujo interporoso. Finalmente, la última porción representa el comportamiento homogéneo de ambos medios cuando la recarga del medio menos permeable (matriz) está completamente establecida y la presión es igualada. El análisis log-log representa una mejora significante sobre el análisis semilogaritmico convencional para identificar el comportamiento de doble porosidad. Sin embargo, el comportamiento en forma de S es difícil de observar en pozos altamente dañados y el comportamiento del pozo puede ser erróneamente diagnosticado como homogéneo. Quizá, el medio más eficiente para identificar sistemas de doble porosidad es el uso de la gráfica de la derivada de presión. Esta permite identificación sin ambigüedades del sistema siempre que la calidad de los datos de presión es adecuada y aún más importante, una metodología precisa es utilizada para calcular las derivadas de presión. Como se discutió previamente, el análisis de la derivada de presión involucra una gráfica log-log de la presión y la derivada de presión contra el tiempo transcurrido. En al figura E3 se muestra la gráfica combinada log-log de la presión y la derivada de presión contra el tiempo para un sistema de porosidad dual. La gráfica de la derivada muestra un mínimo o una bajante en la curva de la derivada de presión causada por el flujo interporoso durante el periodo de transición. El mínimo está entre dos líneas horizontales; la primera representa el flujo radial controlado por las fracturas y la segunda describe el comportamiento combinado del sistema de doble porosidad. La figura E3 muestra, a tiempos tempranos, el comportamiento típico de los efectos de almacenamiento del pozo con la desviación de la línea a 45 grados hacia un máximo que representa un pozo dañado. Gringarten (1987) sugirió que la forma del mínimo depende el comportamiento del sistema de doble porosidad. Para un flujo interporoso restringido el mínimo toma la forma de V mientras que el flujo interporoso no restringido lleva a un mínimo con forma de U abierta.


91

Figura E3. Comportamiento de un yacimiento naturalmente fracturado en semilog

y derivada de presión. Basado sobre la teoría de doble porosidad de Warren y Root y el trabajo de Mavor y Cinco (1979), Bourdet y Gringarten (1980) desarrollaron curvas tipo de presión especializadas que pueden ser utilizadas para analizar datos de pruebas de presión en sistemas de doble porosidad. Ellos mostraron que el comportamiento de doble porosidad está controlado por las siguientes variables independientes.

• Dp

• D

DC

t

• sDeC 2

• ω • se 2−λ


92

Con la presión y tiempo adimensional definidos como sigue:

)13.........(....................2.141

EpQB

hkp f

D ∆

=

µ

( ) ( )[ ] ( ) )14.....(....................0002637.00002637.0

22E

rc

tk

rcc

tkt

wmft

f

wmtft

fD µφµµφµφµ +

=+

=

Donde.

=k Permeabilidad, md. =t Tiempo, horas.

=wr Radio del pozo, pies.

=µ Viscosidad, cp. Y los subíndices:

=f Fractura. =m Matriz.

=+ mf Sistema Total. =D Adimensional.

Bourdet y colaboradores (1984) extendió las aplicaciones prácticas de estas curvas y mejoró su uso introduciendo las curvas tipo de derivada de presión para su solución. Ellos desarrollaron dos juegos de curvas tipo de derivada de presión como se muestra en las figuras E4 y E5. El primer juego, es decir, la figura E4 está basada sobre la consideración de que el flujo interporoso obedece la condición de flujo pseudo-estacionario y el otro juego (figura E5) asume flujo interporoso transitorio. El uso de cualquiera de los dos juegos involucra graficar la diferencia de presión y la función derivada con el mismo tamaño de los ciclos logaritmicos de las curvas tipo. Las variables que controlan cada uno de los juegos de las curvas tipo son dadas a continuación. Primer juego de curvas tipo para flujo interporoso pseudoestacionario: La respuesta de presión real del yacimiento, es decir, la diferencia de presión ∆p, es descrita por los siguientes tres componentes de las curvas.


93

1. A tiempos tempranos, el flujo viene de las fracturas (medio mas permeable) y

la gráfica de la diferencia de presión real, es decir, la curva de ∆p ajusta a una de las curvas homogéneas etiquetada s

DeC 2 con un valor correspondiente de

( ) fs

DeC 2 que describe el flujo de las fracturas. Este valor es designado como

( )[ ]Mf

sDeC 2 .

2. Conforme la respuesta de la diferencia de presión alcanza el régimen

transición la ∆p se desvía de la curva de sDeC 2 y sigue una de las curvas

transición que describe este régimen de flujo por se 2−λ designado como [ ]M

se 2−λ .

3. Finalmente, la respuesta de la diferencia de presión deja la curva transición y ajusta a una nueva curva de s

DeC 2 por debajo de la primera con un valor

correspondiente de ( ) mfs

DeC +2 que describe el comportamiento total del

sistema, es decir, matriz y fracturas. Este valor registrado como ( )[ ]

Mmfs

DeC +2 .

Figura E4. Curva tipo para un yacimiento naturalmente fracturado en régimen

pseudoestacionario.


94

En la respuesta de la derivada de presión, la relación de almacenamiento ω define la forma de la curva de la derivada durante el régimen de transición que es descrito por una depresión o un mínimo. La duración y la profundidad de la depresión son ligadas por el valor de ω ; un valor pequeño de ω produce una larga y profunda transición. El coeficiente de flujo interporoso λ es el segundo parámetro y define la posición sobre el eje temporal del régimen de transición. Un decremento del valor de λ mueve la depresión al lado derecho de la gráfica. Como se mostró en la figura E4, las curvas de derivada de presión ajustan sobre cuatro componentes de las curvas.

1. La curva de la derivada sigue la curva del flujo de las fracturas ( )[ ]Mf

sDeC 2 .

2. La curva de la derivada alcanza un periodo de transición temprano, expresado

por una depresión y descrito por una curva de transición temprana ( ) ( )[ ]

MmfDC ωωλ −+ 1 .

3. Posteriormente la curva de derivada de presión ajusta a una curva de transición

tardía etiquetada ( ) ( )[ ]MmfDC ωλ −+ 1 .

4. El comportamiento total del sistema es alcanzado sobre la línea a 0.5.

Segundo juego de curvas tipo para flujo interporoso transitorio: Conforme se desarrollo por Bourdet y Gringarten (1980) y se expandió por Bourdet y colaboradores (1984) para incluir el método de la derivada de presión, esta curva tipo es construida en la misma forma que para el flujo interporoso pseudoestacionario. Como se muestra en la figura E5, el comportamiento de la presión es definido por curvas de tres componentes, ( ) f

sDeC 2 , β ′ y ( ) mf

sDeC +

2 . Los autores definieron β ′ como un grupo

adimensional interporoso y está dado por:

( ))15........(....................

2

2

EeC

se

mfs

D

=′

−+

λδβ

En donde el parámetro δ es el coeficiente de forma con valores asignados como los que se dan abajo:

0508.1=δ para bloques esféricos. 8914.1=δ para bloques esféricos.

Como el primer flujo de las fracturas es de corta duración con modelos de flujo interporoso transitorio, las curvas ( ) f

sDeC 2 no se ven en la práctica y por lo tanto no


95

han sido incluidas en las curvas de la derivada. La respuesta de la derivada en un sistema de doble porosidad comienza sobre la derivada de una curva transición β ′ , que

sigue una curva de transición tardía etiquetada ( ) ( )21 ωλ −+mfDC hasta que esta

alcance el régimen del sistema total sobre la línea en 0.5.

Figura E5. Curva tipo para un yacimiento naturalmente fracturado en régimen

transitorio. Bourdet (1985) señaló que las respuestas de la derivada de presión durante el régimen de flujo transición son muy diferentes entre los dos tipos de modelos de doble porosidad. Con las soluciones del flujo interporoso transitorio la transición comienza desde tiempos tempranos y no cae a un nivel muy bajo. Con el flujo interporoso pseudoestacionario la transición comienza mas tarde y la forma de la depresión es mucho mas pronunciada. No hay un límite inferior para la profundidad de la depresión cuando el flujo de la matriz a las fracturas sigue el modelo pseudoestacionario, mientras que para el flujo interporoso transitorio la profundidad de la depresión no excede a 0.25. La selección de la mejor solución entre el flujo interporoso pseudoestacionario y el transitorio generalmente es sencilla; con el modelo pseudoestacionario la caída de la derivada durante la transición es una función de la duración de la transición. Regimenes


96

de transición largos, correspondientes a valores pequeños de ω , producen niveles de la derivada mucho menores que el límite práctico de 0.25 de la solución transitoria


97

16. PRESUPUESTO

A) ESTIMACIÓN (HORAS-HOMBRE) DEL ESFUERZO REQUERIDO PARA REALIZAR EL PROYECTO Y PERFILES DE LOS PARTICIPANTES.

Categoría del personal Horas-Hombre Líder de proyecto 560 Coordinador del proyecto 1120 Especialista 4300 Especialista 4300 Total= 10280

B) COSTO ASOCIADO AL PROYECTO (CAPÍTULO 10000)

Personal Horas-Hombre Precio de venta (pesos)

Monto (Pesos)

Líder de proyecto 560 860 $481,600.00 Coordinador de proyecto 1120 650 $728,000.00 Especialista 4300 450 $1,935,000.00 Especialista 4300 450 $1,935,000.00

Total= 10280 Total= $5,079,6000.00 CAPITULO 20000. No aplica. CAPITULO 30000. No aplica.


98

CAPITULO 700000

En este capitulo se incluyen los costos asociados a la renta de software necesarios para el desarrollo del proyecto.

Programas Costo de renta

(Pesos) (1)

MATLAB

Licencia 144,829.00

Subtotal 144,829.00

FORTRAN

Licencia 17,971.00

Total 162,800.00

Notas: (2) La renta de estas licencias es por un año

En la tabla siguiente se incluyen los gastos para ayuda de alimentación, hospedaje y transporte asociados a las actividades en campo.

CONCEPTO Costo Asociado

(Pesos)

Hospedaje y alimentos

$ 9600

Transporte $ 9000

Total $ 18,600


99

17. PROGRAMA O CRONOGRAMA PRESUPUESTAL

Nota: (1) Correspondiente a los gastos de alimentación, hospedaje y transporte. (2) Correspondiente a la renta de software.

instituto mexicano del petrÓleo dirección general de ... · sin embargo, la integración es un...

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