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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
UNIDAD PROFESIONAL “ADOLFO LÓPEZ MATEOS”
INGENIERÍA EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA
“REDUCCIÓN DE RUIDO EN SEÑALES MEDIANTE LA
TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO REDUCIDO Y
ESPECTROGRAMAS”
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
INGENIERO EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA
PRESENTA:
ERIK YIDELL CARBAJAL DEGANTE
ASESORES:
M. en C. Eric Gómez Gómez
Ing. Carlos Mira González
México, D.F. 2013
Dedicatoria y Agradecimientos.
Por y para Dios.
A mi familia en general. Especialmente a mi madre Lulú por ser la persona más fuerte que
he conocido, mi ejemplo de dedicación, sacrificio y esfuerzo. Mi hermana Nazareth una gran
fuente de orgullo y motivación. Mi tía Adela por sus enseñanzas. Mis abuelos su crianza y
ahora desde el cielo. Por y para ustedes por su incondicional apoyo, amor y sobre todo
paciencia.
A las personas queridas que me rodean y se sumaron a mi memoria. Mis amigas y amigos.
Un honor haberles conocido, por su tiempo, amistad y demás, gracias.
A mis asesores y jurado, por la formación profesional, consejos y desde luego compromiso.
Por supuesto a mi escuela por el conocimiento intelectual y humano que me ha brindado. He
aquí mi trabajo.
Erik Yidell Carbajal Degante. México D.F. Septiembre 2013
ErikYCD
I
ÍNDICE GENERAL
Índice general………………………………………………………………………….. I
Índice de figuras……………………………………………………………………….. V
Objetivo………………………………………………………………………………... VII
Introducción…………………………………………………………………………… IX
Antecedentes…………………………………………………………………………... XI
Capítulo 1. Señales y sistemas de comunicación…………………………………… 1
1.1 Definiciones básicas………………………………………………………. 2
1.1.1 Señales…………………………………………………………. 2
1.1.2 Sistemas………………………………………………………... 2
1.1.3 Modelos………………………………………………………... 3
1.2 Señales y fuentes analógicas………………………………………………. 4
1.3 Señales y fuentes discretas………………………………………………... 4
1.4 Algunas clasificaciones de las señales……………………………………. 5
1.4.1 Señales multicanales y multidimensionales…………………… 5
1.4.2 Señales continuas o discretas en tiempo……………………….. 6
1.4.3 Señales continuas o discretas en amplitud……………………... 7
1.4.4 Señales periódicas o aperiódicas………………………………. 8
1.4.5 Señales de longitud finita, semi-infinita o infinita…………….. 8
1.4.6 Señales determinísticas o aleatorias…………………………… 9
1.4.7 Señales de energía o de potencia………………………………. 10
1.5 Sistema analógico de comunicación………………………………………. 12
1.5.1 Procesamiento analógico………………………………………. 13
1.6 Sistema digital de comunicación………………………………………….. 14
1.6.1 Procesamiento digital………………………………………….. 16
Capítulo 2. Teoría básica del ruido…………………………………………………. 19
2.1 El ruido……………………………………………………………………. 19
2.2 Clasificación del ruido…...………………………………………………. 20
2.3 Relación señal a ruido…………………………………………………….. 21
2.4 Sensibilidad y nivel mínimo detectable…………………………………... 22
II
2.5 Modelo AWGN……………………………………………………………… 23
2.6 Técnicas para el tratamiento de ruido………………………………………... 24
2.6.1 Técnicas monocanal para el tratamiento de ruido……………….. 25
2.6.2 Técnicas multicanal para el tratamiento de ruido………………... 27
2.6.3 Método de umbral………………………………………………... 28
2.6.3.1 Umbral fijo…………………………………………… 29
2.6.3.2 Umbral suave…………………………………………. 29
2.6.3.3 Porcentaje de umbral…………………………………. 30
2.7 Evaluación de la reducción de ruido…………………………………………. 30
Capítulo 3. Análisis de señales…………………………………………………………. 33
3.1 Algebra lineal………………………………………………………………… 33
3.1.1 Espacios vectoriales………………………………………………. 33
3.1.2 Campos y subconjuntos…………………………………………… 33
3.1.3 Aplicaciones………………………………………………………. 35
3.1.4 Aplicaciones lineales……………………………………………… 35
3.1.5 Productos escalares……………………………………………….. 36
3.1.6 Ortogonalidad…………………………………………………….. 36
3.1.7 La componente “c”………………………………………………... 37
3.1.8 Bases ortogonales…………………………………………………. 38
3.1.8.1 Teorema de Gram – Schmidt…………………………. 38
3.1.9 La componente “c” vectorial……………………………………… 39
3.1.10 Ortogonalidad de funciones………………………………………. 40
3.2 Análisis de Fourier…………………………………………………………… 41
3.2.1 Serie generalizada de Fourier…...………………………………… 41
3.2.2 Condiciones de Dirichlet………………………………………….. 44
3.2.3 Serie exponencial de Fourier……………………………………… 45
3.2.4 Propiedades de la serie de Fourier………………………………… 48
3.2.5 Espectro complejo………………………………………………… 49
3.2.6 Transformación integral de Fourier………………………………. 50
III
3.2.7 Invertibilidad…………………………………………………... 51
3.2.8 Condiciones de convergencia………………………………….. 53
3.2.9 Propiedades de la transformada de Fourier……………………. 54
3.2.10 Integral de la convolución……………………………………... 55
3.2.11 Teorema de Parseval…………………………………………… 56
3.2.12 Teorema de Plancherel………………………………………… 57
3.2.13 Relaciones entre dominios…………………………………….. 58
3.3 Principio de incertidumbre………………………………………………. 60
3.3.1 Indeterminación de Heisenberg en la física cuántica………….. 61
3.3.2 Indeterminación en el análisis de Fourier……………………… 62
3.3.2.1 Duración efectiva y funciones de duración finita…… 63
3.3.2.2 Ancho de banda y funciones de ancho finito………... 64
3.3.2.3 Producto duración efectiva – ancho de banda………. 66
3.3.2.4 Señales absolutamente integrables………………….. 66
3.3.2.5 Señales de energía finita…………………………….. 68
3.4 Análisis de Fourier en ventanas………………………………………….. 71
3.4.1 La transformada de Fourier en tiempo reducido (STFT)……… 71
3.4.2 Invertibilidad. Fórmula de reconstrucción…………………….. 72
3.4.3 Efectos de ventaneo……………………………………………. 74
3.4.3.1 Linealidad…………………………………………… 74
3.4.3.2 Deslizamiento en tiempo……………………………. 74
3.4.3.3 Deslizamiento en frecuencia………………………… 75
3.4.4 Ventana ideal.………………………………………………….. 76
3.4.5 Transformación integral de Gabor…………………………….. 79
3.4.6 Distribución de Wigner – Ville………………………………... 79
3.4.7 Espectrogramas………………………………………………… 80
3.4.8 Diseño de ventanas…………………………………………….. 81
Capítulo 4. Procesamiento de señales y atenuación de ruido……………………… 85
4.1 Entorno……………………………………………………………………… 86
IV
4.1.1 Detección de señales………………………………………………... 86
4.1.2 Función espectral en frecuencia……………………………………. 87
4.1.3 Función de gráfica espectrograma………………………………….. 89
4.2 Construcción de gráfico……………………………………………………... 91
4.3 Tratamiento del espectrograma……………………………………………... 95
4.3.1 Proceso de filtrado………………………………………………….. 96
4.3.2 Proceso de reducción de ruido……………………………………… 97
4.3.3 Proceso de reconstrucción………………………………………….. 99
Capítulo 5. Implementación e interpretación de resultados………………………. 101
5.1 Implementación de los procesos…………………………………………….. 101
5.2 Gráficas del ventaneo……………………………………………………….. 102
5.3 Tratamiento de señales como funciones matemáticas……………………… 103
5.3.1 Senoidal a 15 dB de SNR…………………………………………... 103
5.3.2 Senoidal a 5 dB de SNR……………………………………………. 105
5.3.3 Pulsos rectangulares a 13 dB de SNR……………………………… 107
5.4 Tratamiento de señales de audio…………………………………………….. 109
5.5 Tratamiento de señales de voz………………………………………………. 112
5.6 Mediciones para una señal de prueba……………………………………….. 117
5.7 Interfaz gráfica de usuario…………………………………………………... 120
Conclusiones………………………………………………………………………….. 123
Trabajos a futuro…………………………………………………………………….. 124
Apéndice A. Análisis en dominios discretos………………………………………... 125
A.1 Bases discretas y serie de Fourier discreta 125
A.2 Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT) 126
A.3 Transformada discreta de Fourier (DFT) 127
Anexo. Recomendación UIT-T P.800………………………………………………. 129
Glosario………………………………………………………………………………. 137
Bibliografía…………………………………………………………………………… 139
V
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1. Diagrama a bloques general de un sistema…………………………………. 3
Figura 2. Diagrama a bloques de un sistema térmico. 3
Figura 3. Diagrama a bloques de las fuentes y señales……………………………….. 4
Figura 4. Señal continua en tiempo. 6
Figura 5. Señal discreta en tiempo……………………………………………………. 6
Figura 6. Señal de periodo T. 8
Figura 7. Señal de longitud semi-infinita……………………………………………... 9
Figura 8. Señal determinística modelada por una función parabólica. 10
Figura 9. Señal aleatoria de voz………………………………………………………. 10
Figura 10. Diagrama a bloques de un sistema analógico de comunicación. 12
Figura 11. Diagrama a bloques básico del procesamiento analógico de señales……... 14
Figura 12. Diagrama a bloques de un sistema digital de comunicación. 14
Figura 13. Diagrama a bloques del procesamiento digital de señales………………… 17
Figura 14. Relación señal a ruido. 22
Figura 15. Distribución Gaussiana en amplitud del ruido…………………………….. 23
Figura 16. Diagrama del modelo aditivo. 24
Figura 17. Umbral fijo………………………………………………………………… 29
Figura 18. Umbral suave. 30
Figura 19. Funciones ventana…………………………………………………………. 83
Figura 20. Más funciones ventana. 84
Figura 21. Diagrama a bloques del sistema de reducción…………………………….. 85
Figura 22. Traslape de ventanas. 90
Figura 23. Diagrama a bloques para la construcción de un espectrograma…………... 91
Figura 24. Señales de longitud finita. 92
Figura 25. Parámetro de ventaneo…………………………………………………….. 93
Figura 26. Espectrograma. 94
Figura 27. Espectrograma en 3D……………………………………………………… 94
Figura 28. Matriz de espectrograma S; vectores frecuencia y tiempo F, T. 95
Figura 29. Diagrama a flujo del proceso de filtrado………………………………….. 97
Figura 30. Diagrama a flujo del proceso de reducción de ruido. 98
VI
Figura 31. Diagrama a bloques de la implementación………………………………... 101
Figura 32. Ventanas. 102
Figura 33. Gráficas de senoidal a 15dB de SNR……………………………………… 104
Figura 34. Comparación entre técnicas de reducción 1. 105
Figura 35. Gráficas de senoidal a 5dB de SNR……………………………………….. 106
Figura 36. Comparación entre técnicas de reducción 2. 107
Figura 37. Graficas de pulsos rectangulares a 13dB de SNR…………………………. 108
Figura 38. Comparación entre técnicas de reducción 3. 109
Figura 39. Señal de audio original…………………………………………………….. 109
Figura 40. Señal de audio. 110
Figura 41. Señal de audio procesada………………………………………………….. 111
Figura 42. Señal de audio del filtro promediador. 111
Figura 43. Espectrograma del filtrado promediador…………………………………... 112
Figura 44. Señal de voz. 113
Figura 45. Señal de voz procesada……………………………………………………. 114
Figura 46. Señal de voz del filtro promediador. 115
Figura 47. Espectrogramas en perspectiva angular…………………………………… 116
Figura 48. Mediciones a 5dB de SNR. 118
Figura 49. Mediciones a 10dB de SNR……………………………………………….. 118
Figura 50. Mediciones a 15dB de SNR. 119
Figura 51. Mediciones a 20dB de SNR……………………………………………….. 119
Figura 52. Programa con interfaz gráfica de usuario. 120
VII
Objetivo.
Desarrollar e implementar un algoritmo enfocado a la reducción de ruido gaussiano en señales
de audio.
VIII
IX
Introducción.
Probablemente la vista y el oído son los sentidos humanos más relevantes para la relación entre
personas y el ambiente externo, en consecuencia gran parte de las aplicaciones del PDS está
enfocado al desarrollo y el tratamiento de señales de video y de audio y a su vez sistemas de
comunicación en general.
Las señales percibidas por nuestros sentidos son completamente analógicas sin embargo para
su análisis y el tratamiento se utiliza una conversión a formato digital donde la señal puede ser
modificada en beneficio del elemento que lo requiera, es este el principal objetivo de un
procesamiento digital de señales, el uso óptimo de las herramientas disponibles para hallar una
mejoría si es que existen inconvenientes.
Todas las señales independientemente del formato en el que se trabaje, pueden ser alteradas
por factores que limitan la capacidad para la transmisión, recepción e inclusive el manejo de
la misma, uno de los factores que la afecta de forma agravante es el ruido, definido como una
señal indeseable que perturba el desempeño de la comunicación y que está presente de varias
formas y en muchos lugares siendo inevitable la convivencia de este con las señales y los
sistemas y puede traer consigo a su vez efectos psicológicos y fisiológicos adversos a la salud
humana. Por lo tanto, varios métodos para evitarlo, o si es que ya está presente, suprimirlo o
atenuarlo en gran parte, es bastamente estudiado y es el objetivo principal del diseño de
herramientas en la ingeniería como es el caso de los filtros.
A pesar de la necesidad actual del manejo digital de datos, el análisis de una señal analógica
es igual de importante al fundamentar las bases para el uso de la tecnología reciente, el estudio
de estas señales se haya en teorías físicas y matemáticas que como se sabe, modelan y analizan
de manera profunda fenómenos que al ser humano le rodea, las señales y los efectos externos
que se involucran, como ya se ha hecho mención del ruido, no son una excepción.
Uno de los elementos que define una señal es el tiempo, variaciones en amplitud de acuerdo a
la posición o el momento nos indica que tan fuerte o débil viaja a través del medio, es quizás
la forma más común de representación gráfica sin embargo la frecuencia es otro elemento que
cabe destacar ya que nos permite identificar la forma o el tipo de señal percibida; el color y el
X
sonido varían en relación al tiempo y la frecuencia, estos últimos son también los parámetros
de operación de algunos sistemas en ingeniería.
El análisis de Fourier posibilita un estudio a detalle de las señales en tiempo y en frecuencia,
lo cual hace de ésta una herramienta matemática indispensable para el área científica, de
investigación y desarrollo, muestra el contenido frecuencial a partir de un contenido temporal
y viceversa para señales en general que cumplen ciertas condiciones aun así no está exento de
sufrir limitaciones siendo la más destacada un principio que gobierna algunas relaciones
físicas, la incertidumbre.
Utilizando como sustento el análisis de Fourier completo se logra limitar la incertidumbre para
conseguir los resultados adecuados cuando se indaga sobre las propiedades y los parámetros
que dan lugar a las señales, obteniendo a su vez una manera distinta de visualización y por
consiguiente el desarrollo mejorado y eficiente al análisis considerando todos los aspectos
distintivos de las señales, es esta la metodología base a utilizarse en el trabajo.
XI
Antecedentes.
El procesamiento digital de las señales conocido simplemente por sus siglas PDS se distingue
de otras ramas de la ciencia por el tipo de datos con los que trabaja: las señales. En la mayoría
de los casos estas señales tienen origen de elementos del mundo real como lo son vibraciones,
imágenes, ondas de sonido, etc., conocidas como señales analógicas. El PDS comprende la
matemática, los algoritmos y las técnicas utilizadas para la manipulación de estas señales y su
conversión hacia un formato digital.
Los orígenes del procesamiento digital de señales se remontan hacia 1960 y 1970 con el uso
de las primeras computadoras digitales aunque el PDS estuvo limitado a solo unas pocas
aplicaciones por el poco avance y tecnología de la época. La revolución de las computadoras
personales en los años 1980 y 1990 permitió al PDS ser más accesible para aplicaciones nuevas
y que necesitaban de lo que se podía desarrollar utilizando esta herramienta.
Los objetivos principales de esta área son el tratamiento y mejora de todo tipo de señal como
el caso práctico de la optimización visual de una imagen, la detección, reconocimiento y
síntesis de sonidos, compresión de datos para su transmisión o almacenamiento y reducción
del ruido en audio por citar algunos; es por esto que se ha convertido en una herramienta
indispensable en la medicina, exploración espacial, intereses militares, navegación y desde
luego las comunicaciones, entre muchos más.
Los reproductores de compact-disc (CD) desarrollados por empresas como Phillips Electronics
a partir de 1979 fueron los primeros productos de consumo masivo que aprovecharon la
tecnología del procesamiento digital, a su vez la implementación de codificación de voz,
compresión de video y módems para los procesadores digitales comerciales representaron un
mercado de 50 millones de dólares. El mercado mundial actual es de alrededor de 27200
millones de dólares y la mitad de este volumen está representado por circuitos integrados donde
el procesador digital viene incluido y está vinculado a funciones específicas como lo son
aceleración de video en una computadora, módems, procesadores de audio, controladores de
motores de CA, etc.
La revolución tecnológica tuvo lugar a comienzos de 1980 donde el PDS se podía enseñar a
nivel de posgrado en ingeniería eléctrica. Diez años más tarde se enseñó a nivel profesional y
XII
en la actualidad PDS se ha vuelto una necesidad entre científicos e ingenieros para el desarrollo
en muchos campos.
Capítulo 1
Señales y sistemas de comunicación.
La principal tarea de un ingeniero es aplicar sus conocimientos teóricos a la vida real, es así
como se desarrolla la habilidad técnica de los individuos con el fin de cubrir con un amplio
dominio fenómenos y situaciones de cualquier índole y brindar soluciones o alternativas
satisfactorias en el área donde se requiera teniendo en cuenta consideraciones, restricciones o
requisitos del manejo de los recursos disponibles. Para hallar la solución a un problema en
concreto se necesita de un especialista en dicha área que brinde un aporte para comprender los
fenómenos involucrados de tal modo que se obtenga una recopilación de información útil
orientada a conseguir los objetivos propuestos en un principio. El lenguaje necesario para
comprender de manera extensa las situaciones que pudiesen presentarse es la matemática,
herramienta indispensable por su basta aplicación al modelado y al análisis; siendo apropiada
desde luego para el estudio de las comunicaciones y la electrónica y los conceptos referentes a
estas áreas.
Los conceptos involucrados en las comunicaciones y la electrónica ofrecen una simplificación
al análisis de situaciones, definiendo a su vez conceptos previos que también les hace participes
de un estudio en general, algunas de las palabras claves en estas áreas son: señales, sistemas y
modelos.
Capítulo 1
2
1.1 Definiciones básicas.
1.1.1 Señales
Una señal es el resultado de la observación o medición de una cantidad física con variaciones
respecto al tiempo, espacio, frecuencia o cualquier otra variable o variables independientes, y
que lleva asociado un contenido semántico, es decir, un significado propio para la aplicación
donde la señal se encuentre,
En general toda señal contiene información que se desea extraer o modificar de acuerdo a los
requerimientos de diversas aplicaciones, por ejemplo un sismógrafo que registra actividad
telúrica lo representa en forma de señal la cual contiene información sobre la intensidad,
frecuencia o duración de los sismos, parámetros los cuales determinan la ubicación de
epicentros y origen de los sismos. Otro ejemplo está en la medicina con señales
electrocardiográficas que registran el movimiento y estado del corazón para hacer un análisis
que conlleve a un diagnóstico médico.
Las señales son representadas por funciones matemáticas de una o más variables. Una señal de
voz puede representarse como una función de una variable dependiente del tiempo 𝑓(𝑡),
mientras que las imágenes se pueden considerar como funciones de dos variables espaciales
𝑓(𝑥, 𝑦).
1.1.2 Sistemas.
El término sistema denota a una colección o conjunto de elementos interrelacionados que
conforman un todo unificado, Figura 1.
Un sistema puede formar parte de otro sistema de mayor nivel, en cuyo caso al primero se le
denomina subsistema. Los diferentes sistemas intercambian por lo general información,
materia o energía para lograr un objetivo. Los términos señal de entrada y señal de salida se
utilizan con frecuencia para simular ese flujo de información.
Capítulo 1. Señales y sistemas de comunicación
3
Figura 1. Diagrama a bloques general de un sistema.
Como ejemplo puede citarse un motor de CD (corriente directa), el cual lo hace funcionar una
tensión o voltaje considerado como señal de entrada, y la acción correspondiente al aplicarse
es un movimiento angular del eje, que se puede referir como señal de salida. Bajo esta
perspectiva el motor es un sistema eléctrico y mecánico que transforma la energía eléctrica en
una velocidad angular; así como también lo puede ser un sistema térmico, Figura 2.
Figura 2. Diagrama a bloques de un sistema térmico.
1.1.3 Modelos.
En el contexto de sistemas, un modelo es una abstracción matemática de un sistema que
permite sustituirlo cuando se estudia la relación entre señales de entrada, señales de salida y
Capítulo 1
4
sistemas. Un modelo lo conforman ecuaciones o fórmulas utilizadas en representación de los
componentes descritos del sistema, que modelan las acciones que cada uno realiza y en general.
1.2 Señales y fuentes analógicas.
Refiriéndose al contexto de las comunicaciones y la electrónica. Una fuente analógica de
información produce una salida que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo
continuo de valores en cualquier dominio. Una señal analógica es una forma de onda que puede
tomar cualquier amplitud posible dentro de un intervalo continuo de amplitudes a cualquier
tiempo, como su diagrama a bloques mostrado en la Figura 3. La presión de sonido de una
orquesta tocando música es un ejemplo de una fuente analógica, mientras que las intensidades
de cada uno de los instrumentos musicales producen señales analógicas.
Figura 3. Diagrama a bloques de las fuentes y señales, a) Analógica, b) Discreta.
1.3 Señales y fuentes discretas.
Una fuente discreta es aquella que produce una salida que puede tomar únicamente un valor
de un conjunto finito de valores a cualquier dominio. La mayoría de las fuentes en la naturaleza
son analógicas, sin embargo, cuando se combinan con algún dispositivo manufacturado puede
dar como resultado una fuente digital, Figura 3. La temperatura es una cantidad analógica pero
cuando se combina con un termostato que se activa con solo algunos valores de temperatura
puede considerarse dicha combinación como una fuente digital.
a) b)
Capítulo 1. Señales y sistemas de comunicación
5
A su vez, una señal digital se define como una forma de onda eléctrica que únicamente toma
una amplitud de un conjunto finito de amplitudes sobre el tiempo. Si el termostato se diseña
para que dé un cierto valor de voltaje cuando esta encendido y cero cuando este apagado, esta
salida se le puede considerar como una señal digital. Muchos de los aparatos electrónicos tratan
con señales digitales para su funcionamiento, como en el caso de las computadoras.
1.4 Algunas clasificaciones de las señales.
Es de suma importancia hallar una clasificación de las señales debido a las extensas formas
que pueden adoptar, la clasificación dependerá de sus características particulares y la utilidad
que tienen para algunos sistemas.
1.4.1 Señales multicanales y multidimensionales.
Un conjunto de fuentes que brindan señales dependientes o independientes entre sí forman un
grupo de señales que pueden ser percibidas y analizadas de forma grupal o separada pero todas
necesarias, se define entonces una señal multicanal al conjunto de señales provenientes de
fuentes separadas. Es el caso de la electrocardiografía que utiliza varios sensores colocados en
distintas partes del cuerpo para captar señales rítmicas producidas por el corazón.
𝑓(𝑥) = {𝑓(𝑥1), 𝑓(𝑥2), 𝑓(𝑥3), … , 𝑓(𝑥𝑛)}
Cuando una señal depende de una única variable independiente, matemáticamente expresado
𝑓(𝑥), se denomina unidimensional, y si es función de M-variables independientes, de la forma
𝑓(𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑀), se describe como M-dimensional. Una señal de 2 variables o bidimensional
pudiera ser una fotografía la cual expresa de manera independiente un parámetro importante
como lo es el color, ubicado en un punto de largo y ancho de la imagen.
(1.1)
Capítulo 1
6
1.4.2 Señales continuas o discretas en tiempo.
Las señales de tiempo continuo están definidas para cualquier valor de tiempo, y pueden tomar
valores en el intervalo continuo (𝑡1, 𝑡2), donde 𝑡1 puede ser −∞ y 𝑡2 puede ser +∞.
Matemáticamente estas funciones pueden describirse como función de variable continua,
Figura 4.
Figura 4. Señal continua en tiempo.
Ejemplos de señales continuas son algunas señales analógicas, impulsos que podemos percibir
a través de nuestros sentidos de manera común, por ejemplo la voz humana, la energía eléctrica
que se utiliza para conectar electrodomésticos, las ondas generadas por un horno de
microondas, entre otras.
Figura 5. Señal discreta en tiempo.
Capítulo 1. Señales y sistemas de comunicación
7
Las señales discretas en tiempo están definidas en determinados instantes de tiempo, y
solamente en ellos, Figura 5. Estos instantes de tiempo no tienen que ser equidistantes, aunque
en la práctica frecuentemente lo son por conveniencia computacional y para que resulten
matemáticamente tratables. Se debe tener presente que para valores de tiempo donde la señal
no tenga valor, se dice simplemente que no está definida, más no que su valor sea cero o nulo.
En las aplicaciones las señales discretas pueden surgir de dos maneras:
1. Eligiendo valores de una señal continua o analógica, en determinados instantes de
tiempo. Este proceso es sumamente utilizado en las comunicaciones digitales
denominado muestreo. Todos los instrumentos de medición que toman medidas a
intervalos regulares de tiempo proveen señales de tiempo discreto.
2. Por acumulación de una variable durante un periodo de tiempo. Por ejemplo la cuenta
de los automóviles que pasan por una determinada calle a una hora, o el registro de la
cotización promedio del dólar.
1.4.3 Señales continuas o discretas en amplitud.
Una señal continua o discreta en tiempo, sus valores de amplitud también pueden ser continuos
o discretos. Si la señal toma todos los posibles valores sobre un rango finito o infinito, se dice
que es una señal de amplitud continua. El proceso de conversión de una señal de amplitud
continua en una discreta se denomina en comunicaciones como cuantización, el cual es un
proceso de aproximación que puede llevarse por redondeo o truncación.
Usualmente los valores de una señal discreta son equidistantes, y por lo tanto pueden
expresarse como un entero múltiplo de la distancia entre dos valores sucesivos. Una señal que
es discreta en tiempo, que toma valores discretos en amplitud suele denominarse una señal
digital.
Para que una señal pueda ser procesada por medios digitales, debe ser discreta en tiempo y en
amplitud (es decir una señal digital). Si la señal que debe procesarse es de tiempo continuo y
Capítulo 1
8
de amplitud continua (es decir una señal analógica), antes de su procesamiento debe ser
convertida en una señal digital discretizándola en tiempo y cuantizándola en amplitud.
1.4.4 Señales periódicas o aperiódicas.
Una señal periódica es aquella que se repite exactamente a sí misma en un lapso fijo. Suele
escribirse como 𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑡 + 𝑇) ∀ 𝑡, donde 𝑇 es el periodo de la señal, Figura 6. Una señal
periódica es una señal de potencia.
Figura 6. Señal de periodo T.
Aquellas señales ausente de un periodo de repetición se conocen como señales aperiódicas,
también conocidas como señales de energía.
1.4.5 Señales de longitud finita, semi-infinita o infinita.
Se entiende por longitud de una señal al intervalo de tiempo para el cual la señal no es
idénticamente nula. Este concepto se basa en la definición de función para en análisis
matemático. Si el intervalo es acotado se dice que es de longitud finita en caso contrario que
es de longitud infinita si sus límites abarcan todo el dominio de los números.
Capítulo 1. Señales y sistemas de comunicación
9
Una señal semi-infinita es aquella que está definida en un intervalo demasiado grande que
tiende a infinito, por ejemplo todos los valores positivos o todos los valores negativos para una
señal, Figura 7.
Figura 7. Señal de longitud semi-infinita.
1.4.6 Señales determinísticas o aleatorias.
El procesamiento y análisis matemático de las señales requiere disponer de una descripción
matemática de la misma, esta descripción frecuentemente denominada modelo de señal
conduce a otra importante clasificación de las señales. Una señal que puede describirse de
manera especial por medio de una expresión matemática, una tabla de valores, o una regla bien
definida, entonces se denomina determinística, Figura 8. Este término indica que tanto los
valores pasados, presentes y futuros de la señal, se conocen con precisión y sin ninguna
incertidumbre [2].
Sin embargo en muchas aplicaciones prácticas se encuentran señales que no pueden describirse
con un nivel razonable de precisión por ninguna fórmula matemática y una descripción de la
misma sería demasiado complicada. La falta de tal relación implica que la señal evoluciona de
manera impredecible. Se dice que tales señales son aleatorias, Figura 9.
Capítulo 1
10
Figura 8. Señal determinística modelada por una función parabólica 𝑥(𝑡) = 𝑡2.
Figura 9. Señal aleatoria de voz.
1.4.7 Señales de energía o de potencia.
En sistemas de comunicaciones, una señal puede representar indistintamente una tensión o
corriente [1]. Si una tensión 𝑣(𝑡) fluye sobre una resistencia 𝑅 con una corriente 𝑖(𝑡), la
potencia instantánea disipada en la resistencia es:
𝑝(𝑡) =𝑣2(𝑡)
𝑅= 𝑅 ∙ 𝑖2(𝑡) (1.2)
Capítulo 1. Señales y sistemas de comunicación
11
En ambos casos, la potencia instantánea es proporcional al cuadrado de la señal, en el caso
especial en que la resistencia 𝑅 tuviese un valor de 1Ω, ambas ecuaciones adoptan la misma
expresión. Por ello, en el análisis de señales es habitual adoptar esta convención de modo que
dada una señal 𝑥(𝑡) se define la potencia instantánea de la misma como potencia normalizada
a través de:
𝑝(𝑡) = 𝑥2(𝑡)
De acuerdo con esta convención, se define la energía total de la señal como energía
normalizada por medio de:
𝐸 = lim𝑇→∞
∫ 𝑥2(𝑡) 𝑑𝑡 =𝑇
−𝑇
∫ 𝑥2(𝑡) 𝑑𝑡∞
−∞
Y la potencia promedio a la expresión:
𝑃 = lim𝑇→∞
1
2𝑇∫ 𝑥2(𝑡) 𝑑𝑡𝑇
−𝑇
Para el caso de las señales discretas, la energía y la potencia se calculan respectivamente
mediante:
𝐸 = ∑ 𝑥2[𝑛]
∞
𝑛=−∞
𝑃 = lim𝑁→∞
1
2𝑁 + 1∑ 𝑥2[𝑛]
𝑁
𝑛=−𝑁
En cualquiera de los dos casos, se dice que una señal es de energía si 0 ≤ 𝐸 < ∞ y de potencia
si 0 < 𝑃 < ∞.
Idealmente la clasificación de las señales como de potencia o de energía son mutuamente
excluyentes. En particular, cualquier señal de energía tiene potencia promedio nula, mientras
que una señal de potencia tiene energía infinita.
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)
(1.7)
Capítulo 1
12
1.5 Sistema analógico de comunicación.
En la Figura 10, se muestra un modelo de sistema de comunicación, que es el más usado
generalmente. Aunque sugiere un sistema de comunicación entre dos puntos remotos, este
diagrama a bloques se puede aplicar también a sistemas de sensores remotos, tales como el
radar y el sonar, donde los sistemas de entrada y salida pueden estar localizados en el mismo
lugar. Haciendo caso omiso de las aplicaciones y configuraciones particulares, todos los
sistemas para transmisión contienen, de manera invariable, tres subsistemas principales:
transmisor, el canal y el receptor. Se procederá a explicarse cada uno de los bloques en términos
generales del sistema de comunicación analógico [2].
Figura 10. Diagrama a bloques de un sistema analógico de comunicación.
a) Transductor de entrada. La amplia variedad de posibles fuentes de información para el
envío de la misma da por resultado distintos tipos de mensajes. Sin embargo sin
importar su forma exacta los mensajes se pueden clasificar como analógicos o digitales
como ya se ha visto sus características. Para los sistemas analógicos las señales a tratar
son analógicas y pueden servir de modelo matemático las funciones de variable
continua en el tiempo. Casi invariablemente, el mensaje que se produce en la fuente
debe convertirse por medio de un transductor a una forma apropiada al tipo particular
de sistema que se emplee para su transmisión. Por lo tanto, una señal podrá ser
interpretada como la variación de una cantidad con respecto al tiempo, por ejemplo
voltaje o corriente.
b) Transmisor. El propósito del transmisor es acoplar el mensaje al canal. Aunque no deja
de ser frecuente encontrar el transductor de entrada directamente acoplado al medio de
Capítulo 1. Señales y sistemas de comunicación
13
transmisión, como sucede en algunos sistemas de intercomunicación; sin embargo es
generalmente necesario ocupar un método de modulación y para sistemas analógicos,
señales de referencia analógica de igual modo.
c) Medio de transmisión. Es un medio físico por donde viaja la información desde el
transmisor al receptor. El canal puede tener diferentes formas, siendo quizás la más
conocida el canal que existe entre la antena transmisora de la radioemisora comercial
y la antena receptora del equipo de radio, este canal sería entonces el aire. Un problema
importante en los sistemas de comunicación es la degradación que sufre la señal.
Aunque esta degradación puede presentarse en cualquier punto del sistema a bloques
se acostumbra asociarla solamente al canal debido a que es el punto más susceptible
para modificar la señal. Con frecuencia esta degradación es el resultado del ruido, o de
otras señales indeseadas o interferencias, pero puede también incluir otros efectos de
distorsión como el desvanecimiento.
d) Receptor. La función del receptor es extraer la señal deseada del conjunto de señales
recibidas a la salida del canal. Aunque la amplificación puede ser una de las primeras
operaciones realizadas por el receptor, la función principal es demodular la señal
recibida es decir, el proceso inverso que efectúa el transmisor.
e) Transductor de salida. Este dispositivo convierte la señal eléctrica de la entrada a la
forma que desee el usuario o el operario del sistema, en sistemas de audio la bocina es
el transductor de salida, convirtiéndola desde señales eléctricas captadas por un
micrófono a la entrada en señales de audio fácilmente percibidas por el oído humano.
1.5.1 Procesamiento analógico.
El procesamiento analógico de señales involucra operaciones tales como amplificación,
filtrado, integración y diferenciación, como así también varias formas de procesamiento no
lineal (rectificación, controles de ganancia, etc.) utilizando circuitos electrónicos. Estas
operaciones se sintetizan en un bloque denominado procesamiento analógico, Figura 11. Entre
sus limitaciones y desventajas pueden citarse:
Capítulo 1
14
Es difícil obtener circuitos muy precisos con un costo razonable debido a las tolerancias
de los componentes, alinealidad de los amplificadores, desvíos con la temperatura, etc.
La repetitividad de los circuitos es limitada por efecto de las tolerancias y variaciones
derivadas de condiciones ambientales como temperatura, vibraciones, etc.
Son muy sensibles al ruido eléctrico (ruido interno de amplificadores)
Figura 11. Diagrama a bloques básico del procesamiento analógico de señales.
1.6 Sistema digital de comunicación.
Un sistema de comunicación digital, Figura 12, es aquel que transmite información usando
únicamente un conjunto finito de símbolos [5].
Figura 12. Diagrama a bloques de un sistema digital de comunicación.
Capítulo 1. Señales y sistemas de comunicación
15
Un sistema de comunicación típico formado por una estación de transmisión, una estación de
recepción y un medio de transmisión para la conexión al que se le denomina canal, en general
los mismos componentes que un sistema analógico de comunicación, pero con más bloques,
en algunos casos, que forman los subsistemas, que son descritos a continuación.
a) Subsistema de transmisión. A pesar de ser llamado sistema digital de comunicación,
los subsistemas pueden manejar a la entrada señales analógicas que deberán ser
convertidas a señales digitales para el correcto desempeño del sistema digital.
a. El proceso de conversión analógico a digital abarca procedimientos de
muestreo, cuantificación y codificación, tales operaciones son realizadas por
un convertidor A/D.
b. El propósito general del codificador de la fuente es convertir efectivamente
cada símbolo discreto de la señal digital en una representación adecuada,
algunas veces binaria y otras M-arias. Uno de los objetivos del codificador de
la fuente es remover la redundancia, es decir entre más eficiente es el
codificador más redundancia se remueve, lo que permite que se reduzca el
número de dígitos binarios para representar el mensaje.
c. Al incluir la función de codificador de canal se pueden reducir los efectos de
los errores causados por el canal; el codificador de canal hace esto posible
sumando redundancia controlada a la señal digital, de una manera conocida tal
que los errores puedan reducirse.
d. La función del modulador es convertir la señal digital a una forma apropiada
para transmitirla sobre el canal.
b) Canal de comunicación. Con frecuencia para cuestiones de análisis de sistemas de este
tipo se hace suponer un canal lineal e invariante en el tiempo, con una capacidad y
ancho de banda determinado y factores como ruido de características especiales,
descrito por un modelo de canal denotado como AWGN.
c) Subsistema de recepción. Las funciones hechas en este subsistema son las operaciones
contrarias a las efectuadas en el subsistema de transmisión.
a. El demodulador recrea lo mejor posible una versión de la salida que fué
producida por el codificador de canal de transmisión, la salida del demodulador
puede tener errores ocasionales causados por el ruido de canal. Parte de la
Capítulo 1
16
optimización de diversos sistemas de comunicación digital se centra en
minimizar los errores producidos en el demodulador.
b. El propósito del decodificador de canal es reconstruir lo mejor posible la salida
generada por el codificador de la fuente en el transmisor. Es aquí donde puede
usarse redundancia controlada, insertada por el codificador de canal para
detectar y corregir algunos errores en la salida del demodulador causador por
el canal.
Cabe aclarar que las funciones que pueden estar presentes en un sistema de
comunicación digital no siempre reflejan la realización ideal del sistema. Algunos
sistemas prácticos no siempre siguen la secuencia ni incluyen todos los bloques
mostrados.
1.6.1 Procesamiento digital.
Procesamiento digital de señales: Esa disciplina que nos ha permitido reemplazar un
circuito previamente compuesto por un capacitor y un resistor con dos filtros anti-aliasing, y
convertidores analógico al digital y viceversa, y un ordenador de propósito general, siempre
que la señal en la que estamos interesados no varíe demasiado rápido.1
El procesamiento digital de señales (PDS) se basa en representar las señales por valores en una
computadora, o hardware digital especializado, y efectuar una serie de operaciones numéricas
(adiciones, multiplicaciones, operaciones lógicas, transferencias de datos, etc.) sobre esas
señales. Para implementar una señal en un sistema PDS es necesario:
Convertir las señales analógicas en información digital, en la forma de una sucesión de
números binarios.
Efectuar operaciones numéricas sobre la información digital, es decir brindarle un
tratamiento de objetivo especial.
1 Thomas P. Barnwell, 1974.
Capítulo 1. Señales y sistemas de comunicación
17
Convertir nuevamente a una señal analógica los datos obtenidos después de
procesamiento.
A pesar de la mayor complejidad que tiene un procesamiento digital sobre un analógico, varias
razones justifican el PDS inclusive para señales analógicas en lugar de preferir un tratamiento
enteramente analógico.
Figura 13. Diagrama a bloques del procesamiento digital de señales.
Las computadoras pueden hacer operaciones con un grado de precisión arbitrariamente
alto, incrementando la longitud de palabra tanto como sea necesario.
Los sistemas digitales son altamente repetibles.
Tienen muy baja susceptibilidad al ruido eléctrico.
Capítulo 1
18
La representación numérica de punto flotante permite un rango dinámico prácticamente
elevado.
El almacenamiento digital es barato y flexible, en consecuencia la información puede
ser transportable y puede ser procesada fuera de su lugar de origen.
El PDS permite implementar algoritmos muy elaborados; usualmente es muy difícil
efectuar operaciones matemáticas precisas con hardware analógico, que puede
efectuarse sin dificultad en una computadora.
A pesar de las ventajas del PDS puede no ser la solución apropiada para todos los problemas
de procesamiento. Los conversores analógico digital introducen una serie de problemas y
errores que atentan contra la representación fiel de una señal analógica. De cualquier forma su
uso es enteramente indispensable.
Capítulo 2
Teoría básica del ruido.
2.1 El ruido.
El ruido se define como una señal indeseable que interfiere con las comunicaciones y las
mediciones de las señales. El ruido en si es una señal portadora de información que transmite
información con respecto a las fuentes de ruido sin precisar, y del entorno en el que se propaga;
es técnicamente el resultado de la combinación de sonidos de una sola frecuencia o tonos puros,
y tiene esencialmente un espectro de frecuencia continua, de amplitud y longitud de ondas
irregulares [25]. El ruido auditivo propagado por el aire se debe a fluctuaciones en la presión
del aire con respecto a la presión atmosférica media.
Los efectos fisiológicos y psicológicos del ruido percibido por las personas interfieren en una
gran parte de actividades como el estudio, el trabajo, el sueño o el mismo ocio. También es
causa de esfuerzo y fatiga, disminuye el apetito y produce indigestión, irritación y dolor de
cabeza. El ruido de alta intensidad tiene un efecto acumulativo adverso sobre el mecanismo de
audición humano, que puede llegar a producir sordera temporal o incluso permanente.
Psicológicamente produce efectos negativos en la productividad de los trabajadores, disminuye
su eficiencia y aumenta la posibilidad de cometer errores producidos por distracción.
Capítulo 2
20
El origen del ruido en los sistemas de comunicación se puede clasificar en dos grandes clases
de fuentes, aquellas que son externas al sistema como fuentes atmosféricas, solares, cósmicas
y producidas por el hombre; y aquellas que son internas al sistema [2]. El grado con que las
fuentes externas de ruido influyen en el funcionamiento del sistema depende
considerablemente de la localización y configuración del sistema en particular. Por
consiguiente el análisis confiable de su efecto sobre el funcionamiento del sistema es difícil y
depende grandemente de fórmulas empíricas y medidas relativas. El ruido interno se da en los
subsistemas que constituyen un sistema de comunicación y es el resultado del movimiento
aleatorio de los transportadores de carga dentro de los dispositivos que conforman dichos
subsistemas.
El éxito de los métodos de procesamiento del ruido depende de la habilidad para caracterizar
y modelar el proceso ruidoso y usar sus características para distinguirlo de la señal a restaurar.
2.2 Clasificación del ruido.
Se puede clasificar el ruido según su procedencia indicando su naturaleza física:
a) Ruido electrónico. Producido por los dispositivos o elementos que conforman el diseño
del sistema, como ruido térmico y ruido de disparo.
b) Ruido acústico. Emana de fuentes que están en movimiento o vibración. Por ejemplo
el ruido producido por el movimiento de los coches, aire acondicionado, tráfico, viento,
etc.
c) Ruido electromagnético. Presente en todas las frecuencias, en particular en la radio.
Todos los aparatos eléctricos que utilizan ondas de radio generan ruido
electromagnético.
d) Ruido electrostático. Generado por la presencia de una tensión con o sin corriente. Las
luces fluorescentes son una de las fuentes más comunes de este tipo de ruido.
e) Ruido de procesado. Resulta del proceso de conversión analógico al digital de las
señales. Por ejemplo el ruido de cuantización o la pérdida debida a transferencia de
información digital.
Capítulo 2. Teoría básica del ruido
21
Otros fenómenos que afectan a las señales y a los sistemas son la distorsión de canal, ecos y
desvanecimientos, todos ellos debidos a las características no ideales de los canales de
comunicación. Las comunicaciones móviles son particularmente sensibles a estos fenómenos.
La distorsión de señal es un término comúnmente utilizado para describir un cambio
sistemático indeseable comúnmente producido por reflexiones múltiples y muestras faltantes.
Otra clasificación dependiente de las características de frecuencia, espectro o tiempo es:
a) Ruido blanco. El ruido blanco tiene una función de autocorrelación impulsiva y un
espectro de densidad de potencia plano. Este tipo de ruido contiene teóricamente todas
las frecuencias con la misma potencia.
b) Ruido blanco de banda limitada. Similar al ruido blanco, con un espectro de densidad
de potencia plano, pero limitado en banda que normalmente cubre el espectro de
operación de la señal o dispositivo de interés.
c) Ruido de banda estrecha. Es un proceso ruidoso con un ancho de banda pequeño, como
50 o 60 Hertz de la toma eléctrica.
d) Ruido coloreado. Es cualquier otro tipo de ruido que no sea blanco o cuyo espectro en
potencia no tenga forma plana. Dentro de este se encuentran el ruido rosa y el ruido
marrón.
e) Ruido impulsivo. Consiste en pulsos de duración corta y de amplitud aleatoria. Es
debido a una gran variedad de fuentes.
f) Ruido de pulsos transitorios. Consiste en impulsos de duración relativamente grande.
Generalmente un pulso inicial seguido por oscilaciones de baja frecuencia.
2.3 Relación señal a ruido (SNR)
La relación señal a ruido es un índice que históricamente ha sido utilizado en la industria de
las comunicaciones para evaluar el desempeño de los sistemas de comunicación.
Conceptualmente la relación señal a ruido es un valor de la relación entre la señal y el ruido,
comúnmente escrito en términos de potencia.
Capítulo 2
22
𝑆𝑁𝑅 =𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒ñ𝑎𝑙
𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑢𝑖𝑑𝑜
La relación frecuentemente es expresada también en decibeles de la siguiente manera:
𝑆𝑁𝑅𝑑𝐵 = 10 log (𝑆𝑁𝑅)
Otra terminología de la relación señal a ruido utilizada para análisis en tiempo preciso es
dependiente de la potencia instantánea de la señal.
𝑆𝑁𝑅𝑖 =𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒ñ𝑎𝑙
𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑢𝑖𝑑𝑜
Figura 14. Relación señal a ruido.
2.4 Sensibilidad y nivel mínimo detectable.
En un sistema receptor, la calidad de la señal a la salida se mide en términos de la relación
señal a ruido obtenida. Es evidente que esta relación señal a ruido será tanto mayor cuanto
mejor sea la relación señal a ruido a la entrada y cuanto menor ruido añada el receptor o el
canal. Por lo tanto la relación señal a ruido a la salida estará condicionada por la relación señal
a ruido a la entrada así como la presente de forma interna en el sistema. Se denomina
sensibilidad 𝑆𝑖 al nivel de potencia que debe tener la señal de entrada para obtener una relación
(2.1)
(2.2)
(2.3)
Capítulo 2. Teoría básica del ruido
23
señal a ruido a la salida específica. Se denomina señal mínima detectable 𝐸𝑖, al nivel de tensión
de señal de entrada correspondiente a la sensibilidad [9].
La sensibilidad siempre debe especificarse para una relación señal a ruido de salida concreta.
Aunque la relación señal a ruido requerida en una determinada aplicación no sea la misma que
la especificada con la sensibilidad, esta proporcionará una medida objetiva para comparar el
comportamiento de los sistemas de comunicación. Para cada aplicación será necesaria una
determinada relación, en el caso de sistemas en general son adecuadas relaciones por encima
de 10 dB.
2.5 Modelo AWGN.
En la teoría clásica de comunicaciones es común el estudio del ruido a través de un modelo
matemático que especifique un tipo de ruido en particular y sus parámetros generales. Se dice
que el ruido es un proceso estacionario; aditivo debido a que se suma a la señal original; blanco
por su espectro de densidad de potencia plano y gaussiano porque sus valores en amplitud
siguen una distribución de probabilidad gaussiana (Additive White Gaussian Noise). Así que
para algunos problemas esta suposición es válida y conduce a soluciones matemáticas útiles,
Figura 15 y Figura 16.
Figura 15. Distribución Gaussiana en amplitud del ruido.
Capítulo 2
24
El canal AWGN es un buen modelo para muchos satélites y enlaces de comunicación de
espacio profundo, aunque no es un buen modelo para trayectorias de enlaces terrestre debido
a otros factores de perturbación de la señal. Sin embargo AWGN se utiliza ampliamente para
simular el ruido de fondo en algunos canales de comunicación.
Figura 16. Diagrama del modelo aditivo.
2.6 Técnicas para el tratamiento del ruido.
La comunicación bajo condiciones ruidosas es una tarea difícil y fatigante. En el caso de
señales de voz, los sonidos tales como consonantes, fricativas y plosivas a menudo resultan
enmascarados por ruido, con lo que se origina una reducción en la discriminación de la voz.
Otro tipo de degradación son las reverberaciones y distorsiones de canal debidos a múltiples
factores desde la calidad del equipo o los elementos del sistema, el propio canal de transmisión
y hasta los efectos producidos por la codificación digital para su transmisión.
En presencia de ruido de fondo, el sistema auditivo humano es capaz de emplear mecanismos
efectivos para reducir el efecto del ruido en la percepción de las señales deseadas.
La finalidad de las técnicas de mejora de voz es conseguir un aumento de la inteligibilidad
del discurso, de manera que se entiendan aquellos tramos que en un principio parecían
Capítulo 2. Teoría básica del ruido
25
incomprensibles, eliminando el ruido de la señal en su mayor medida. Además se puede añadir
un objetivo secundario como es la mejora de la calidad de escucha, aunque la señal ya sea
inteligible.
El avance del procesado digital de las señales ha supuesto una revolución que se ha plasmado
en todos los campos del procesado incluyendo las técnicas de mejora de voz y eliminación de
ruido en señales en general. Es posible establecer una división entre las técnicas, según el
número de canales de entrada de audio disponibles. Así se tendrán técnicas monocanal y
multicanal.
2.6.1 Técnicas monocanal para el tratamiento del ruido.
En los inicios de estas técnicas se encuentran operaciones con filtros y técnicas de periodicidad
de señal, como filtrado de peine adaptativo o las de selección armónica. Estos esquemas, dan
buenos resultados en condiciones ideales, pero en situaciones de tiempo real no son aplicables
de manera directa [25].
Una de las propuestas iniciales que se plantean a la hora de abordar un filtrado, es plantear la
eliminación del ruido como un problema de estimación de parámetros, donde la estimación
óptima de la señal limpia puede llevarse a cabo bajo el criterio de optimización de, por ejemplo,
el factor MSE (Error cuadrático medio) o de la SNR (Relación señal a ruido) de la estimación
de la señal procesada frente a la señal original.
Los trabajos en el filtrado de señales para sistemas monocanal comenzaron hacia 1958 por el
profesor Manfred Schroeder, en el que proponía por primera vez la implementación analógica
de la substracción espectral. Quince años más tarde se haría lo mismo pero en el campo de las
señales digitales. En 1979 los investigadores Jae Lim y Alan V. Oppenheim, en sus trabajos
sobre voz ruidosa realizaron un análisis de las técnicas existentes hasta el momento en el campo
de la mejora de señales de voz, y concluyeron que la reducción de ruido no solo tenía efectos
benéficos sobre la calidad de la voz recuperada, sino también sobre la calidad e inteligibilidad
de la codificación lineal predictiva (LCP), útil en sistemas de codificación y reconocimiento
de voz.
Capítulo 2
26
Las técnicas desarrolladas hasta ahora pueden englobarse en tres grandes grupos, en función
de cómo se realice la reducción:
Filtrado lineal adaptativo.
Substracción espectral.
Basado en modelo.
La base del filtrado lineal adaptativo es hacer pasar a la señal ruidosa a través de un filtro lineal
que se adapta al ruido a eliminar, atenuando así la componente de ruido, dejando la señal
procesada sin distorsión en la medida de lo posible. Los filtros de Wiener se encuentran dentro
de esta categoría.
Los fundamentos de la resta espectral para la reducción de ruido se basan en obtener, durante
tramos de ausencia de la señal un estimado de medición del ruido para sustraerlo del espectro
completo de la señal en cada momento, esto fué implementado por Steven F. Boll. El hecho de
estar restando un estimado de ruido, en lugar de su espectro en cada instante hace que
aparezcan picos espectrales distintos en tramas consecutivas, convirtiéndose al reconstruir en
el dominio temporal, en tonos de muy corta duración y cuyas frecuencias varían de trama en
trama. A esto se le denomina ruido musical, obligando a introducir modificaciones al algoritmo
inicial.
Es Berouti quien en su método, inicia una primera aproximación para solucionar el problema
de ruido musical, estableciendo un umbral mínimo por debajo del cual no se aplica resta
espectral. El mayor o menor nivel de este umbral supondrá atenuar más o menos el ruido
musical, obteniendo la presencia de un menor o mayor ruido residual respectivamente.
Otro paso importante en la eliminación de ruido lo supone la resta espectral no lineal propuesta
por Lockwood y Boudy. En este caso los factores de los que depende la resta, así como los
umbrales que se establecen, se hacen dependientes de la frecuencia. Obteniéndose un ajuste
optimo entre la cantidad de ruido que se puede sustraer sin introducir distorsión.
En base al algoritmo de Berouti se encuentra una modificación que consiste en controlar el
factor de resta por trama, considerando al ruido como no estacionario. Este algoritmo es
denominado resta espectral mejorada.
Capítulo 2. Teoría básica del ruido
27
Una alternativa reciente basada en las características del habla humana consiste en un post
procesado tras la resta, consistente en dos pasos: en el primero clasificarla voz y el ruido
musical, dejando en el segundo paso intactas las zonas de voz y modificando por un valor
promediado lo que le rodea en las zonas clasificadas como indeseables.
El algoritmo más conocido para la categoría de substracción espectral es MMSE (Minimum
Mean Squared Error).
Los métodos de reducción basados en modelos, tratan la reducción de ruido como un problema
de estimación de parámetros, donde se hace uso de diversos modelos matemáticos de la
generación de la voz. Técnicas como LP-Kalman (Linear Prediction) son representativas de
este grupo [26].
2.6.2 Técnicas multicanal para el tratamiento del ruido.
Dentro de esta técnica encontramos diferentes configuraciones según las entradas de audio:
Dos canales.
Múltiples canales de entrada (Arreglo de micrófonos).
Procesado binaural.
En el primer caso se dispone de dos entradas de audio con el que se puede hacer uso de un
filtro adaptativo para mejorar la señal contaminada. La principal limitación de estas técnicas
es que se debe tener una de las entradas con una buena referencia del ruido del otro canal, caso
que solo se dará en unos casos muy concretos. Una alternativa se encuentra en el uso de la
coherencia entre ambas señales para la extracción limpia sin ruido a partir de dos tomas
distintas de la señal.
La segunda configuración tiene en cuenta dos factores. Primeramente el ruido acústico aditivo
que llega al receptor procedente de otras fuentes no deseadas, en segundo lugar la
reverberación debida a la transmisión de la señal entre dos puntos, ambos factores dependerán
de las características del canal y la cantidad, tipo y posición de las fuentes de ruido.
Capítulo 2
28
El uso de arreglos de micrófonos busca combinar de manera adecuada las salidas de los
micrófonos formando haces de recepción lo más selectivo posibles para el caso de señales de
audio. Y recoger la señal deseada, atenuando al máximo el resto de las señales indeseadas. Esta
técnica se denomina conformación de haz y obtiene mejores resultados para audio reverberante
[26].
En la realidad una situación de arreglo de micrófonos no es la más común. Un ejemplo sencillo
de esto es en la telefonía celular, el cual solo dispone de un micrófono, por lo que son captados
voz y ruido ambiente por igual. En este caso un método monocanal sería el más conveniente y
de igual forma pasa para muchos sistemas de comunicación.
Por último el procesado binaural es basado en el sistema auditivo humano. Haciendo uso de
dos señales que llegan a los oídos y tener la capacidad de concentrarse en una de ellas aun
cuando existen más alrededor y la posibilidad de distinguir bajo algunas condiciones de ruido.
El modelo genérico de Blauert incluye los siguientes elementos funcionales: filtros para la
simulación de las funciones de transferencia del oído externo, filtros para la simulación del
mecanismo de transferencia del oído medio, elementos que simulen las funciones del oído
interno, un elemento funcional que simule la evaluación de diferencias interaurales de tiempo
y la identificación de componentes coherentes de la señal. El inconveniente de esta técnica es
la necesidad de construir un modelo de inteligencia artificial para el control de todos los
procesos.
2.6.3 Método de umbral.
El método de umbral (del Inglés Thresholding) es una de las herramientas más utilizadas en
procesamiento digital. Ampliamente usado en reducción de ruido, compresión de imágenes y
señales, y algunas veces para reconocimiento de señales. Se pueden clasificar tres distintas
formas de utilizar este método que depende de la aplicación que lo requiera [17].
Capítulo 2. Teoría básica del ruido
29
2.6.3.1 Umbral fijo.
Del inglés Hard Thresholding, umbral fijo es un método en el cual si el valor de una señal está
por debajo de un valor prefijado se ajusta a cero:
𝑦 = {𝑥, 𝑝𝑎𝑟𝑎 |𝑥| ≥ 𝜎
0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 |𝑥| < 𝜎
Donde 𝜎 es el valor de umbral. Una representación del método es mostrada en la siguiente
figura, Figura 17. Observe que la gráfica es discontinua en 𝑥 = 𝜎.
Figura 17. Umbral fijo.
2.6.3.2 Umbral suave.
Umbral de tipo suave (Soft Thresholding) se define matemáticamente como:
𝑦 = {𝑠𝑔𝑛(𝑥)𝑓(|𝑥| − 𝜎), 𝑝𝑎𝑟𝑎 |𝑥| ≥ 𝜎
0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 |𝑥| < 𝜎
La función 𝑓(𝑥) es generalmente una función lineal (una línea recta con pendiente elegida).
Sin embargo las curvas de tercer y cuarto orden pueden ser usados efectivamente para valores
mayores a 𝜎. En algunas aplicaciones de compresión de señal usando curvas cuadráticas de
orden mayor a 2 afectan la relación de compresión por una pequeña cantidad. Figura 18.
(2.4)
(2.5)
Capítulo 2
30
Figura 18. Umbral suave.
2.6.3.3 Porcentaje de umbral.
En ciertas aplicaciones como compresión de imagen cuando un contingente de bit ha sido
asignado al archivo comprimido, es ventajoso utilizar este método para establecer ciertos
porcentajes y satisfacer los requisitos de compresión. En este caso el ajuste del valor de umbral
𝜎 es en base a un histograma. La regla de umbral es la misma que la de umbral fijo una vez
determinado el porcentaje para 𝜎.
2.7 Evaluación de la reducción de ruido.
El principal objetivo de la reducción de ruido es suprimir las muestras de ruido dejando intacta
y sin distorsiones a la señal original; es por esto que cuando se lleva a cabo un método para la
reducción se necesita de un criterio para comprobar y comparar el rendimiento de la
implementación.
Existen dos categorías en las que se clasifican estos criterios:
Medidas subjetivas.
Medidas objetivas.
Capítulo 2. Teoría básica del ruido
31
Las medidas subjetivas hacen referencia a una prueba realizada por un grupo de personas,
escuchando muestras de audio y asignando una calificación a éste, o realizando una
comparación con otros audios de las mismas características. Se podría decir que en este caso
se realiza un examen cualitativo del resultado de la reducción. Existen varias pruebas en este
sentido, como pueden ser los test MOS (Mean Opinion Score) o los test CE (Categorical
Estimation)
Al contrario de las medidas subjetivas, las medidas objetivas se obtienen a partir de los
resultados del filtrado, atendiendo así a aspectos cuantitativos de la señal, siendo
independientes de criterio humano alguno.
Atendiendo a estas dos categorías al momento de comprobar los resultados obtenidos, siendo
coherentes con los objetivos propuestos al principio, se debería dar mayor importancia a las
medidas subjetivas, ya que están basadas en el juicio de las personas y por lo tanto el usuario
final. En la práctica realizar este tipo de medidas es de una gran complejidad y coste, por el
tiempo empleado en realizar las medidas y la escasa uniformidad, dependiendo siempre del
criterio humano que quizás pueda fallar en ocasiones. Es por eso que gracias a su simplicidad
y rapidez en los cálculos, las medidas objetivas han sido desarrolladas, siendo la más común
la medida obtenida por el factor de relación señal a ruido SNR.
Las medidas objetivas de calidad subjetivas son intentos de aproximaciones de las medidas
subjetivas mediante medidas objetivas, y que por lo tanto tienen las ventajas de ambos
métodos, aunque no son tan fiables como las medidas subjetivas si el experimento está
correctamente diseñado y cuenta con un número suficiente de personas. Ejemplo de este tipo
de medidas son las definidas en la serie de recomendaciones UIT-T P.800 (Ver Anexo al final).
32
Capítulo 3
Análisis de señales.
3.1 Algebra lineal [7].
Es la rama de las matemáticas que estudia conceptos abstractos tales como vectores,
matrices, sistemas de ecuaciones y demás dando un enfoque formal a los conceptos de
espacios vectoriales y transformaciones lineales.
3.1.1 Espacios vectoriales.
Una colección de objetos generalmente es conocido como conjunto, un miembro de esta
colección se llama elemento del conjunto. Resulta práctico denotar conjuntos con símbolos
breves como lo es el conjunto de los números reales ℝ o bien el de los números complejos ℂ
entre otros. Un espacio vectorial 𝑉 sobre un campo K es un conjunto de objetos que cumplen
determinadas propiedades.
3.1.2 Campos y subconjuntos.
Si se refiere a un valor 𝑢 el cual es un elemento de un conjunto 𝑆 se dice que 𝑢 está en 𝑆
escribiendo 𝑢 ∈ 𝑆. Si 𝑆 y 𝑆′ son conjuntos y si cada elemento de 𝑆′ es también un elemento
de 𝑆, entonces se dice que 𝑆′ es un subconjunto de 𝑆.
Capítulo 3
34
El hecho esencial acerca de un campo es que éste es un conjunto de elementos que se pueden
multiplicar y sumar de tal manera que por una parte la adición y la multiplicación satisfacen
las reglas ordinarias de la aritmética y por otra, se puede dividir por elementos distintos de
cero.
Supóngase que 𝐾 y 𝐿 son campos, y que 𝐾 está contenido en 𝐿, es decir que 𝐾 es un
subconjunto de 𝐿, entonces se dice que 𝐾 es un subcampo, similar a lo sucedido en los
conjuntos.
Se decía que un espacio vectorial 𝑉 sobre un campo 𝐾 es un conjunto de objetos que se pueden
sumar y multiplicar por elementos de 𝐾, de tal manera que la suma de dos elementos de 𝑉 es,
de nuevo un elemento de 𝑉 y el producto de un elemento de 𝑉 por un elemento de 𝐾 es un
elemento de 𝑉 y además se satisfacen las propiedades siguientes:
1. Dados los elementos de 𝑢, 𝑣, 𝑤 de 𝑉 (propiedad asociativa de la adición) se tiene que:
(𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤)
2. Existe un elemento de 𝑉, denotado por 0 (propiedad de neutro aditivo) tal que:
0 + 𝑢 = 𝑢 + 0 = 𝑢
Para todos los elementos de 𝑢 de 𝑉, ∀ 𝑢 ∈ 𝑉.
3. Dado un elemento 𝑢 de 𝑉, el elemento – 𝑢 en 𝑉 (propiedad inverso aditivo) es tal que:
𝑢 + (−𝑢) = 0
4. Para todos los elementos 𝑢, 𝑣 de 𝑉 (propiedad conmutativa de adición) se tiene que:
𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢
5. Si 𝑐 es un número, (propiedad distributiva) entonces:
𝑐(𝑢 + 𝑣) = 𝑐𝑢 + 𝑐𝑣
6. Si 𝑎 y 𝑏 son números, (propiedad distributiva) entonces:
(𝑎 + 𝑏)𝑣 = 𝑎𝑣 + 𝑏𝑣
Capítulo 3. Análisis de señales
35
7. Si 𝑎 y 𝑏 son números, (propiedad asociativa del producto) entonces:
(𝑎𝑏)𝑣 = 𝑎(𝑏𝑣)
8. Para todos los elementos de 𝑢 de 𝑉 (propiedad neutro multiplicativo) se tiene que:
1 ∙ 𝑢 = 𝑢
Las propiedades algebraicas de los elementos de un espacio vectorial arbitrario son extensibles
a las propiedades de los elementos ℝ2, ℝ3 o de ℝ𝑛, en consecuencia se acostumbra llamar
vectores también a los elementos de un espacio vectorial arbitrario.
3.1.3 Aplicaciones.
El concepto general de aplicación generaliza la noción de función ya que una función es un
tipo especial de aplicación de un conjunto sobre otro conjunto de números.
Sean 𝑆 y 𝑆′ dos conjuntos, una aplicación de 𝑆 en 𝑆′ es una asociación que adjunta a todo
elemento 𝑆 en un elemento de 𝑆′ denotada por 𝐹: 𝑆 ⟶ 𝑆′.
3.1.4 Aplicaciones lineales.
Sean 𝑉 y 𝑉′ espacios vectoriales sobre el campo 𝐾. Una aplicación lineal
𝐹: 𝑉 ⟶ 𝑉′
Es una aplicación que satisface las siguientes dos propiedades:
1. Para cualesquiera elementos 𝑢 y 𝑣 en 𝑉, se tiene
𝐹(𝑢 + 𝑣) = 𝐹(𝑢) + 𝐹(𝑣)
2. Para todo 𝑐 en 𝐾 y todo 𝑣 en 𝑉, se tiene:
𝐹(𝑐𝑣) = 𝑐𝐹(𝑣)
Capítulo 3
36
3.1.5 Productos escalares.
Sea 𝑉 un espacio vectorial sobre un campo 𝐾. Un producto escalar se denota con < 𝑣,𝑤 > o
también con 𝑣 ∙ 𝑤, sobre 𝑉 es una asociación tal que a cada pareja de elementos 𝑣 y 𝑤 de 𝑉 le
asocia un escalar, y satisface las siguientes propiedades:
1. Se tiene que:
< 𝑣,𝑤 > = < 𝑤, 𝑣 > ∀ 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉
2. Si 𝑢, 𝑣, 𝑤 son elementos de 𝑉, entonces:
< 𝑢, 𝑣 + 𝑤 > = < 𝑢, 𝑣 > +< 𝑢,𝑤 >
3. Si 𝑥 ∈ 𝐾, entonces:
< 𝑥𝑢, 𝑣 > = < 𝑢, 𝑣 > 𝑥 = < 𝑢, 𝑥𝑣 >
Se dice que el producto escalar es no degenerado si además satisface la condición:
Si 𝑣 es un elemento de 𝑉 y si < 𝑣, 𝑤 > = 0 para todo 𝑤 ∈ 𝑉, entonces 𝑣 = 0 ó 𝑤 = 0.
3.1.6 Ortogonalidad.
El adjetivo ortogonal proviene del griego orthos (recto) y gonia (ángulo). Este concepto denota
entonces la perpendicularidad entre dos o más elementos extendiendo su definición matemática
hacia el área de ingeniería cuando se habla de señales por ejemplo, utilizando herramientas
indispensables para el análisis las cuales se estudiarán más adelante.
Sea 𝑉 un espacio vectorial con un producto escalar; los elementos 𝑣 y 𝑤 se dicen ortogonales
entre sí y se denota 𝑣 ⊥ 𝑤, si < 𝑣, 𝑤 >= 0. Si 𝑆 es un subconjunto de 𝑉, denotamos con 𝑆⊥ el
conjunto de todos los elementos 𝑤 ∈ 𝑉 perpendiculares a todos los elementos de 𝑆, es decir
que < 𝑤, 𝑣 >= 0 para toda 𝑣 ∈ 𝑆. Entonces empleando propiedades de productos escalares
(también llamado producto interno) se verifica que 𝑆⊥ es un subespacio de 𝑉 denominado
espacio ortogonal de 𝑆. Si 𝑤 es perpendicular a 𝑆, también se escribe 𝑤 ⊥ 𝑆. Sea 𝑈 un
subespacio de 𝑉 generado por los elementos de 𝑆. Si 𝑤 es perpendicular a 𝑆 y si 𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑆
entonces:
Capítulo 3. Análisis de señales
37
< 𝑤, 𝑣1 + 𝑣2 > = < 𝑤, 𝑣1 > +< 𝑤, 𝑣2 >= 0
Si 𝑐 es un escalar:
< 𝑤, 𝑐𝑣1 > = 𝑐 < 𝑤, 𝑣1 >
Por lo tanto 𝑤 es perpendicular a las combinaciones lineales de los elementos de 𝑆 y, por
consiguiente, 𝑤 es perpendicular a 𝑈.
3.1.7 La componente “c”
Se define la norma o longitud de un vector 𝑤 y se denota como ||𝑤|| el número:
||𝑤|| = √𝑤 ∙ 𝑤 = √𝑤12 +⋯+𝑤𝑛2
Sea 𝑤 un elemento de 𝑉 tal que ∥ 𝑤 ∥≠ 0. Para cualquier 𝑣 existe un número 𝑐 único que
pueda representar a 𝑣 de la siguiente forma:
𝑣 = 𝑐𝑤
A su vez sea perpendicular a 𝑤. Ciertamente para que 𝑣 − 𝑐𝑤 = 0 sea perpendicular a 𝑤, es
decir:
< 𝑣 − 𝑐𝑤,𝑤 > = 0
Por lo tanto:
< 𝑣,𝑤 > −< 𝑐𝑤, 𝑤 > = 0
< 𝑣,𝑤 > = 𝑐 < 𝑤,𝑤 >
Así pues:
𝑐 =< 𝑣,𝑤 >
< 𝑤,𝑤 >
Recíprocamente, al alcanzar 𝑐 este valor, se nota que 𝑣 − 𝑐𝑤 es perpendicular a 𝑤. Se dice que
𝑐 es la componente de 𝑣 a lo largo de 𝑤 o bien, es el coeficiente de Fourier de 𝑣 con respecto
a 𝑤. Se dice que 𝑐𝑤 es la proyección de 𝑣 a lo largo de 𝑤.
(3.1)
(3.2)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.3)
Capítulo 3
38
3.1.8 Bases ortogonales.
Defínase un espacio vectorial 𝑉 con un producto escalar definitivamente positivo. Se dice que
una base {𝑣1…𝑣𝑛} de 𝑉 es ortogonal si sus elementos son mutuamente perpendiculares, esto
es, si < 𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 >= 0 siempre que 𝑖 ≠ 𝑗. Si además cada uno de los elementos de la base tiene
longitud unitaria se conoce como base ortogonal normalizada u ortonormal.
Los vectores unitarios estándar de ℝ𝑛 forman una base ortonormal de ℝ𝑛 con respecto al
producto escalar ordinario.
Si los elementos de una determinada base en 𝑉 se toman en un orden determinado, cualquier
elemento de 𝑉 puede entonces ser representado por una secuencia única de coordenadas.
Si 𝑉 tiene como base a 𝑣 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛} entonces el vector �̅� = 𝑐1𝑣1 + 𝑐2𝑣2 +⋯+ 𝑐𝑛𝑣𝑛
puede representarse utilizando tan solo los coeficientes 𝑐𝑖 y manteniendo fija la base �̅� =
[𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛] . Ninguna otra secuencia puede representar con la misma base al vector �̅� puesto
que si existiese alguna otra representación equivalente �̅� = 𝑑1𝑢1 + 𝑑2𝑢2 +⋯+ 𝑑𝑛𝑢𝑛
entonces la diferencia de ambas representaciones debería ser cero:
(𝑑1 − 𝑐1)𝑣1 + (𝑑2 − 𝑐2)𝑣2 +⋯+ (𝑑𝑛 − 𝑐𝑛)𝑣𝑛 = 0
Se cumple solo si 𝑑𝑖 = 𝑐𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 por el requisito de que la base 𝑣 debe ser linealmente
independiente.
3.1.8.1 Teorema de Gram–Schmidt.
Sea 𝑉 un espacio vectorial de dimensión finita con producto escalar definitivamente positivo.
Sea 𝑊 un subespacio de 𝑉 y sea {𝑤1…𝑤𝑚} una base ortogonal de 𝑊. Si 𝑊 ≠ 𝑉 entonces
existen elementos 𝑤𝑚+1, … ,𝑤𝑛 de 𝑉 tales que {𝑤1…𝑤𝑛} es una base ortogonal de 𝑉.
El método utilizado para la prueba de este teorema es tan importante como el propio teorema
y se conoce como el proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt, el cual es un algoritmo
para construir a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes (base) de un
espacio vectorial, otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio
vectorial.
Capítulo 3. Análisis de señales
39
3.1.9 La componente “c” vectorial.
Si 𝑣 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛} ⊂ 𝑉 es una base ortogonal de 𝑉 y todo par de vectores 𝑣𝑖 y 𝑣𝑘 (𝑖 ≠ 𝑘)
es ortogonal, se dice que 𝑣 es una base ortogonal de 𝑉. Si además se cumple que la norma de
todos los vectores generadores ∥ 𝑣𝑖 ∥ es unitaria se denomina ortonormal, como ya se ha dado
referencia del concepto.
De bases ortogonales se sabe que un vector representado por coeficientes 𝑐𝑖:
�̅� = 𝑐1𝑣1 + 𝑐2𝑣2 +⋯+ 𝑐𝑛𝑣𝑛
Se cumple que para todo vector �̅� ∈ 𝑉:
�̅� =∑𝑐𝑖𝑣𝑖
𝑛
𝑖=1
Realizando el producto escalar con el vector generado específico 𝑣𝑘, haciendo uso de la
ortogonalidad de los vectores generadores 𝑣𝑖 se obtiene:
< 𝑣𝑘, 𝑥 > = < 𝑣𝑘,∑ 𝑐𝑖𝑣𝑖
𝑛
𝑖=1
>
= ∑ < 𝑣𝑘, 𝑐𝑖𝑣𝑖
𝑛
𝑖=1
> = ∑ 𝑐𝑖 < 𝑣𝑘, 𝑣𝑖 >
𝑛
𝑖=1
= 𝑐𝑘 < 𝑣𝑘, 𝑣𝑘 >
< 𝑣𝑘, 𝑥 > = 𝑐𝑘 < 𝑣𝑘, 𝑣𝑘 > ∴ 𝑐𝑘 =< 𝑣𝑘, 𝑥 >
< 𝑣𝑘, 𝑣𝑘 >
Similar a la componente 𝑐 mencionada con anterioridad para proyecciones.
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
Capítulo 3
40
3.1.10 Ortogonalidad de funciones.
La representación de un vector �̅� a través de sus componentes para una determinada base 𝑣,
puede interpretarse como una función 𝑥: {1,2,… , 𝑛} → 𝐾 que asigna cada vector generado 𝑣𝑖
con índice 𝑖 ∈ {1,2,… , 𝑛} su coeficiente correspondiente con un valor en el campo 𝐾, es decir,
𝑥(𝑖) = 𝑐𝑖 es una función que permite obtener el valor de los coeficientes para cada componente
de la base utilizada.
Es posible representar vectores con un número infinito de dimensiones, utilizando funciones
de la forma 𝑥: ℤ → 𝐾, es decir que para un espacio euclidiano el producto interno se
representaría:
< �̅�, �̅� > = ∑ 𝑥∗(𝑖)𝑦(𝑖)
𝑛2
𝑖=𝑛1
Donde 𝑛1 y 𝑛2 pueden ser valores finitos o infinitos en cualquier rango de enteros consecutivos
tales que 𝑛1 ≤ 𝑛2.
Este cambio de representación del vector de tupla a función no altera los conceptos de espacios
lineales. En un principio, un vector está siendo representado por una función, es decir que estas
funciones de variable entera son elementos de un espacio funcional y lineal.
A partir de esta representación resulta como consecuencia natural eliminar la restricción a los
vectores-funciones de ser números y permitirles tomar valores en los números reales o
complejos; reemplazando enteramente el concepto por funciones, si y solo si los axiomas
básicos de espacios lineales se mantienen hacia espacios funcionales.
El producto interno de dos funciones2 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡) definidas en un intervalo [𝑎, 𝑏] se generaliza
entonces a la operación integral:
< 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) > = ∫ 𝑥∗(𝑡)𝑦(𝑡)𝑑𝑡𝑏
𝑎
2 𝑥(𝑡), función dependiente del tiempo para la mayor parte de la literatura de señales.
(3.11)
(3.12)
Capítulo 3. Análisis de señales
41
Con lo que se concluye que las dos funciones son ortogonales en dicho intervalo si su integral
es cero. O bien escrito de la siguiente forma:
< 𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 > = ∫ 𝑣𝑖(𝑡)𝑣𝑗∗(𝑡)𝑑𝑡 = 0
𝑏
𝑎
Si y solo si 𝑖 ≠ 𝑗. En el caso en que 𝑖 = 𝑗:
< 𝑣𝑖 , 𝑣𝑖 > = < 𝑣𝑗 , 𝑣𝑗 > = ∫ 𝑣𝑖(𝑡)𝑣𝑖∗(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ |𝑣𝑖
(𝑡)|2𝑑𝑡𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Expresando lo anterior con la función delta de Kronecker:
∫ 𝑣𝑖(𝑡)𝑣𝑗∗(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑐𝑗𝛿𝑖𝑗
𝑏
𝑎
Donde:
𝛿𝑖𝑗 = {1 𝑠𝑖 𝑗 = 𝑖0 𝑠𝑖 𝑗 ≠ 𝑖
3.2 Análisis de Fourier [3].
No puede existir un lenguaje más universal y simple, más carente de errores y oscuridades, y
por lo tanto más apto para expresar las relaciones invariantes de las cosas naturales... Las
matemáticas parecen construir una facultad de la mente humana destinada a compensar la
brevedad de la vida y la imperfección de los sentidos.3
3.2.1 Serie Generalizada de Fourier
Un conjunto posiblemente infinito de funciones ortogonales pueden servir de base generadora
para crear un espacio funcional, de la misma forma que vectores ortogonales sirven de base
generadora para espacios lineales. Sea entonces 𝑣 un conjunto de funciones ortogonales:
𝑣 = {𝑣𝑛1(𝑡), 𝑣𝑛1+1(𝑡), … , 𝑣𝑛2−1(𝑡), 𝑣𝑛2(𝑡)}
3 Joseph Fourier. Théorie Analytique de la Chaleur. Discurso preliminar 1822.
(3.13)
(3.14)
(3.15)
(3.16)
Capítulo 3
42
Este conjunto puede entonces utilizarse como conjunto generador de un espacio funcional para
toda función:
𝑥𝑚 = ∑ 𝑐𝑖𝑣𝑖(𝑡)
𝑛2
𝑖=𝑛1
Donde 𝑐𝑖 representa los coeficientes escalares o componentes de la combinación lineal de las
funciones generadoras 𝑣𝑖(𝑡).
Asúmase ahora que se desea aproximar una función 𝑥(𝑡) para un intervalo [𝑡1, 𝑡2] con la
combinación lineal 𝑥𝑚(𝑡) donde 𝑚 = 𝑛2 − 𝑛1 + 1 funciones generadoras definidas en ese
mismo intervalo.
Entonces se desea minimizar la distancia entre 𝑥(𝑡) y 𝑥𝑚(𝑡) definida a través de la norma de
la diferencia entre las funciones esto es, se desea minimizar ||𝑥(𝑡) − 𝑥𝑚(𝑡)||. Al cuadrado de
esta distancia se le denomina función de error cuadrático 𝐸, que dada la base funcional 𝑣
dependerá de los valores de los coeficientes escalares 𝑐𝑖. Se tiene entonces que:
||𝑥(𝑡) − 𝑥𝑚(𝑡)||2 = 𝐸(𝑐𝑛1, 𝑐𝑛1+1, … , 𝑐𝑛2−1, 𝑐𝑛2)
= ∫ |𝑥(𝑡) − 𝑥𝑚(𝑡)|2
𝑡2
𝑡1
𝑑𝑡
O bien insertando los coeficientes 𝑐𝑖 como vector 𝑐̅, e insertando 𝑥𝑚(𝑡) expresado en
sumatoria:
𝐸(𝑐̅) = ∫ |𝑥(𝑡) − ∑ 𝑐𝑖𝑣𝑖(𝑡)
𝑛2
𝑖=𝑛1
|
2
𝑑𝑡𝑡2
𝑡1
La minimización del error al aproximar a 𝑥𝑚(𝑡) equivale hacer tender a cero el vector error
generado que es dependiente de los coeficientes de 𝑐𝑖, como condición necesaria más no
suficiente el gradiente de la función de error respecto a los coeficientes será:
∇𝐸(𝑐̅) = 𝜕𝐸(𝑐̅)
𝜕𝑐𝑛= 0
(3.17)
(3.18)
(3.19)
(3.20)
Capítulo 3. Análisis de señales
43
Para todo 𝑘 = 𝑛1, … , 𝑛2, lo que implica:
∇𝐸(𝑐̅) = 𝜕
𝜕𝑐𝑖(∫ [𝑥(𝑡) − ∑ 𝑐𝑖𝑣𝑖(𝑡)
𝑛2
𝑖=𝑛1
]
2
𝑑𝑡𝑡2
𝑡1
) = 0
= 𝜕
𝜕𝑐𝑖∫ [𝑥(𝑡) − ∑ 𝑐𝑖𝑣𝑖(𝑡)
𝑛2
𝑖=𝑛1
]
2
𝑑𝑡𝑡2
𝑡1
= ∫𝜕
𝜕𝑐𝑖[𝑥(𝑡) − ∑ 𝑐𝑖𝑣𝑖(𝑡)
𝑛2
𝑖=𝑛1
]
2
𝑑𝑡𝑡2
𝑡1
Por lo tanto, efectuando la derivada parcial:
= ∫ 2(𝑥(𝑡) − ∑ 𝑐𝑖𝑣𝑖(𝑡)
𝑛2
𝑖=𝑛1
)
2−1
(𝜕
𝜕𝑐𝑖[𝑥(𝑡) − ∑ 𝑐𝑖𝑣𝑖(𝑡)
𝑛2
𝑖=𝑛1
])𝑑𝑡𝑡2
𝑡1
=
= ∫ 2(𝑥(𝑡) − ∑ 𝑐𝑖𝑣𝑖(𝑡)
𝑛2
𝑖=𝑛1
)
(−𝑣𝑖(𝑡)) 𝑑𝑡𝑡2
𝑡1
=
= ∫ (∑ 𝑐𝑖𝑣𝑖(𝑡)𝑣𝑖(𝑡)
𝑛2
𝑖=𝑛1
− 𝑥(𝑡)𝑣𝑖(𝑡))
𝑑𝑡𝑡2
𝑡1
= ∫ ∑ 𝑐𝑖𝑣𝑖2(𝑡) 𝑑𝑡
𝑛2
𝑖=𝑛1
−∫ 𝑥(𝑡)𝑣𝑖(𝑡)𝑡2
𝑡1
𝑑𝑡𝑡2
𝑡1
Efectuando productos, separando ambos miembros se tiene:
∫ ∑ 𝑐𝑖𝑣𝑖2(𝑡) 𝑑𝑡
𝑛2
𝑖=𝑛1
−∫ 𝑥(𝑡)𝑣𝑖(𝑡)𝑡2
𝑡1
𝑑𝑡𝑡2
𝑡1
= 0
∫ 𝑥(𝑡)𝑣𝑘(𝑡)𝑡2
𝑡1
𝑑𝑡 = ∑ 𝑐𝑖∫ 𝑣𝑖(𝑡)𝑣𝑘(𝑡)𝑡2
𝑡1
𝑑𝑡
𝑛2
𝑖=𝑛1
Para el caso especial en que 𝑣𝑖(𝑡) y 𝑣𝑘(𝑡) sean ortogonales; si 𝑖 = 𝑘 es decir 𝑣𝑖(𝑡) = 𝑣𝑘(𝑡):
∫ 𝑥(𝑡)𝑣𝑘(𝑡)𝑡2
𝑡1
𝑑𝑡 = 𝑐𝑘||𝑣𝑘(𝑡)||2
(3.21)
(3.22)
Capítulo 3
44
Obteniendo así el valor de su componente 𝑐𝑘:
𝑐𝑘 =1
||𝑣𝑘(𝑡)||2∫ 𝑥(𝑡)𝑣𝑘(𝑡)
𝑡2
𝑡1
𝑑𝑡 = < 𝑥(𝑡), 𝑣𝑘(𝑡) >
||𝑣𝑘(𝑡)||2
Para el caso especial en que tanto las funciones como los coeficientes son reales, observándose
nuevamente la componente 𝑐𝑘 al tender a un mínimo la función de error 𝐸 hacia cero.
Si la base funcional {𝑣𝑘(𝑡)}, 𝑘 ∈ ℤ es completa, es decir si la aproximación de la función 𝑥(𝑡)
con la serie infinita converge a la función:
𝑥(𝑡) = ∑ 𝑐𝑘𝑣𝑘(𝑡)
∞
𝑘=−∞
Con las funciones generadoras 𝑣𝑘(𝑡) ortogonales y los coeficientes 𝑐𝑘, entonces a esta
expansión en serie se le denomina Serie generalizada de Fourier.
𝑥(𝑡) = ∑ 𝑐𝑘𝑣𝑘(𝑡) = 𝑐1𝑣1(𝑡) + 𝑐2𝑣2(𝑡) + ⋯+ 𝑐𝑛𝑣𝑛(𝑡)
∞
𝑘=−∞
Siendo el coeficiente 𝑐𝑘:
𝑐𝑘 = < 𝑥(𝑡), 𝑣𝑘(𝑡) >
||𝑣𝑘(𝑡)||2 =
∫ 𝑥(𝑡)𝑣𝑘∗(𝑡)𝑑𝑡
𝑏
𝑎
∫ ||𝑣𝑘(𝑡)||2𝑑𝑡
𝑏
𝑎
Considerando una base ortogonal 𝑣𝑘.
3.2.2 Condiciones de Dirichlet.
El cálculo de los coeficientes o componentes 𝑐𝑘 hacen la minimización del error 𝐸 entre una
función y su aproximación como serie, de este modo la serie converge a la función si cumple
las llamadas condiciones de Dirichlet para la función 𝑥(𝑡) que garantiza la convergencia de la
(3.23)
(3.24)
(3.25)
(3.26)
Capítulo 3. Análisis de señales
45
serie en todo punto 𝑥(𝑡) exceptuando en sus discontinuidades donde la serie converge al valor
medio de la discontinuidad, estas condiciones son:
1. La función 𝑥(𝑡) es absolutamente integrable en cualquier periodo 𝑇, esto es:
∫ |𝑥(𝑡)|𝑑𝑡 < ∞𝑡0+𝑇
𝑡0
2. La función 𝑥(𝑡) contiene un número finito de máximos y de mínimos en cualquier
periodo.
3. La función 𝑥(𝑡) tiene un número finito de discontinuidades en cualquier periodo.
3.2.3 Serie exponencial de Fourier.
La familia o el conjunto de exponenciales complejas descrito de la forma:
𝑣𝑘(𝑡) = {𝑒𝑗𝜔0𝑘𝑡} = {𝑒𝑗2𝜋𝑓0𝑘𝑡}; 𝑘 = 0,±1,±2,… ; 𝑗 ∈ ℂ
Son funciones periódicas que se dicen estar linealmente relacionadas armónicamente por tener
todas ellas un periodo común 𝑇𝑝 =1
𝑓0, denominado periodo fundamental. Dicho periodo de la
función 𝑣𝑘(𝑡) es 1
𝑘𝑓0=
𝑇𝑝
𝑘, lo que equivale a una frecuencia 𝑘𝑓0. Puesto que una señal periódica
con periodo 𝑇𝑝/𝑘 es también periódica con periodo 𝑘 (𝑇𝑝
𝑘) = 𝑇𝑝 con 𝑘 ∈ ℤ, entonces todas las
funciones 𝑣𝑘(𝑡) tienen como periodo común a 𝑇𝑝. Es así que estas funciones son utilizadas
frecuentemente como un conjunto generador de espacios funcionales.
Para demostrar la Ortogonalidad del conjunto se tiene:
< 𝑣𝑖(𝑡), 𝑣𝑗(𝑡) > = ∫ 𝑣𝑖(𝑡)𝑣𝑗∗(𝑡)
𝑏
𝑎
𝑑𝑡 = 𝑐𝑗𝛿𝑗𝑖
Si el conjunto generador es 𝑣𝑘(𝑡) = {𝑒𝑗𝜔0𝑘𝑡}:
< 𝑣𝑖(𝑡), 𝑣𝑘(𝑡) > = ∫ 𝑣𝑖∗(𝑡)𝑣𝑘
(𝑡)𝑡0+𝑇𝑝
𝑡0
𝑑𝑡
(3.27)
(3.28)
Capítulo 3
46
= ∫ (𝑒𝑗𝜔0𝑖𝑡)∗(𝑒𝑗𝜔0𝑘𝑡)
𝑡0+𝑇𝑝
𝑡0
𝑑𝑡 = ∫ (𝑒−𝑗𝜔0𝑖𝑡) (𝑒𝑗𝜔0𝑘𝑡)
𝑡0+𝑇𝑝
𝑡0
𝑑𝑡 =
= ∫ 𝑒𝑗𝜔0(𝑘−𝑖)𝑡𝑡0+𝑇𝑝
𝑡0
𝑑𝑡
Para el caso en que 𝑘 = 𝑖 se obtiene:
< 𝑣𝑘(𝑡), 𝑣𝑘(𝑡) > = ∫ 𝑒𝑗𝜔0(𝑘−𝑘)𝑡𝑡0+𝑇𝑝
𝑡0
𝑑𝑡 = 𝑇𝑝 =2𝜋
𝜔0
Lo que quiere decir que con un periodo 𝑇𝑝 común en todas las funciones exponenciales
armónicas, la norma de 𝑣𝑘(𝑡) es:
||𝑣𝑘(𝑡)||2= < 𝑣𝑘(𝑡), 𝑣𝑘(𝑡) > = 𝑇𝑝
Para el caso en que 𝑘 ≠ 𝑖:
< 𝑣𝑖(𝑡), 𝑣𝑘(𝑡) > = ∫ 𝑒𝑗𝜔0(𝑘−𝑖)𝑡𝑡0+𝑇𝑝
𝑡0
𝑑𝑡 =
=𝑒𝑗𝜔0(𝑘−𝑖)𝑡
𝑗𝜔0(𝑘 − 𝑖)| 𝑡0
𝑡0+𝑇𝑝
=𝑒𝑗𝜔0(𝑘−𝑖)𝑡0(𝑒𝑗𝜔0(𝑘−𝑖)𝑇𝑝 − 1)
𝑗𝜔0(𝑘 − 𝑖)= 0
Es cero cuando se conoce que 𝜔0𝑇𝑝 = 2𝜋. Así que:
< 𝑣𝑖(𝑡), 𝑣𝑘(𝑡) > = < 𝑒𝑗𝜔0𝑖𝑡, 𝑒𝑗𝜔0𝑘𝑡 > = {𝑇𝑝 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑘
0 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑘
Con lo que queda demostrada la Ortogonalidad de las funciones exponenciales complejas
armónicamente relacionadas siendo ortogonal en el intervalo (𝑡0, 𝑡0 + 𝑇𝑝) en donde 𝑇𝑝 =2𝜋
𝜔0.
Además es posible demostrar que este conjunto hace posible la representación de cualquier
función 𝑥(𝑡).
(3.29)
(3.30)
Capítulo 3. Análisis de señales
47
La combinación lineal de este conjunto de funciones exponenciales en dicho intervalo permite
la aproximación y convergencia a cualquier función mediante:
𝑥(𝑡) = 𝑐0 + 𝑐1𝑒𝑗𝜔0𝑡 + 𝑐2𝑒
𝑗𝜔02𝑡 +⋯+ 𝑐𝑘𝑒𝑗𝜔0𝑘𝑡 +⋯
…+ 𝑐−1𝑒−𝑗𝜔0𝑡 + 𝑐−2𝑒
−𝑗𝜔02𝑡 +⋯+ 𝑐−𝑘𝑒−𝑗𝜔0𝑘𝑡 +⋯
A partir de la secuencia mostrada se obtiene la conocida serie exponencial de Fourier:
𝑥(𝑡) = ∑ 𝑐𝑘𝑒𝑗𝜔0𝑘𝑡
∞
𝑘=−∞
Con los coeficientes:
𝑐𝑘 =< 𝑥(𝑡), 𝑒𝑗𝜔0𝑘𝑡
∗>
< 𝑒𝑗𝜔0𝑘𝑡, 𝑒𝑗𝜔0𝑘𝑡∗>=1
𝑇𝑝∫ 𝑥(𝑡)𝑒−𝑗𝜔0𝑘𝑡𝑡0+𝑇𝑝
𝑡0
𝑑𝑡
(3.31)
(3.32)
(3.33)
Capítulo 3
48
3.2.4 Propiedades de la Serie de Fourier.
La serie de Fourier presenta algunas propiedades tales como se muestra en la siguiente tabla.
Capítulo 3. Análisis de señales
49
3.2.5 Espectro complejo.
El desarrollo en serie de Fourier de una función periódica equivale a transformar la función
original en términos de sus componentes de diferentes frecuencias angulares
𝜔0, 2𝜔0, 3𝜔0, … , 𝑘𝜔0, etc., en donde 𝜔0 = 2𝜋/𝑇𝑝. Es entonces que es posible la
representación no solo en el dominio del tiempo donde la serie de Fourier converge hacia la
función original, sino también en el dominio de la frecuencia en donde se dibuja un espectro
frecuencial existente únicamente para valores 𝜔 = 𝜔0, 2𝜔0, 3𝜔0, … , 𝑘𝜔0, etc., con alturas
proporcionales a la amplitud de las componentes correspondientes de frecuencia e igualmente
espaciadas.
Suponiendo utilizar la serie de Fourier exponencial para expresar una función periódica de
periodo 𝑇𝑝, está dada por la ecuación 3.31:
𝑥(𝑡) = 𝑐0 + 𝑐1𝑒𝑗𝜔0𝑡 + 𝑐2𝑒
𝑗𝜔02𝑡 +⋯+ 𝑐𝑘𝑒𝑗𝜔0𝑘𝑡 +⋯
…+ 𝑐−1𝑒−𝑗𝜔0𝑡 + 𝑐−2𝑒
−𝑗𝜔02𝑡 +⋯+ 𝑐−𝑘𝑒−𝑗𝜔0𝑘𝑡 +⋯
Por consiguiente se tienen las frecuencias:
0,𝜔0, −𝜔0, 2𝜔0, −2𝜔0, … , 𝑘𝜔0, −𝑘𝜔0, …
Y las amplitudes de cada componente son respectivamente:
𝑐0, 𝑐1, 𝑐−1, 𝑐2, 𝑐−2, … , 𝑐𝑘, 𝑐−𝑘, …
Así el espectro no es una curva continua debido a que solo existen algunos valores de 𝜔, por
lo que el espectro de frecuencias luce como una serie de líneas verticales, de diferente amplitud
e igualmente espaciadas es decir, un espectro discreto.
Las respectivas amplitudes 𝑐𝑘 de cada una de las frecuencias suelen ser complejas, por lo que
se le describe en un espectro de fase.
Capítulo 3
50
3.2.6 Transformación integral de Fourier.
El teorema de Fourier no solo es uno de los más bellos resultados del análisis moderno, sino
que se ha vuelto un instrumento indispensable en el tratamiento de casi cualquier recóndito
problema de la física moderna.4
Una función, definida en un espacio y que cumple las condiciones de Dirichlet es posible
hallarle un desarrollo en serie de Fourier de la forma exponencial compleja descrita con
anterioridad de la forma:
𝑥(𝑡) = ∑ 𝑐𝑘𝑒𝑗𝜔0𝑘𝑡
∞
𝑘=−∞
Donde 𝜔0 es la frecuencia angular fundamental relacionada con el periodo fundamental 𝜔0 =
2𝜋/𝑇𝑝. El coeficiente 𝑐𝑘 está asociado con la frecuencia 𝑘𝜔0, lo que implica que dos
componentes espectrales consecutivos están separados por una frecuencia ∆𝜔 = 𝜔0.
Considérese una función 𝑥𝑎(𝑡) aperiódica, definida en un intervalo la cual es posible hallarle
una extensión periódica 𝑇𝑝 para su representación en desarrollo de Fourier, es decir 𝑥𝑎(𝑡 +
𝑇𝑝). El k-ésimo componente espectral se calcula:
𝑐𝑘 =1
𝑇𝑝∫ 𝑥𝑎(𝑡 + 𝑇𝑝)𝑒
−𝑗𝜔0𝑘𝑡𝑑𝑡
𝑇𝑝2
−𝑇𝑝2
Dentro del intervalo de integración el cual abarca un solo periodo [−𝑇𝑝
2,𝑇𝑝
2] se cumple 𝑥𝑎(𝑡) =
𝑥𝑎(𝑡 + 𝑇𝑝), y además para 𝑥𝑎(𝑡) en el dominio donde está definida es únicamente el de
integración, entonces para valores externos del intervalo, el valor 𝑥𝑎(𝑡) = 0; ∀𝑡 ∉ [−𝑇𝑝
2,𝑇𝑝
2].
𝑐𝑘 = lim𝑇𝑝→∞
1
𝑇𝑝∫ 𝑥𝑎(𝑡 + 𝑇𝑝)𝑒
−𝑗𝜔0𝑘𝑡𝑑𝑡∞
−∞
4 William Thompson (Lord Kelvin). 1822.
(3.34)
(3.35)
(3.36)
Capítulo 3. Análisis de señales
51
Si ∆𝜔 = 𝜔0 = 2𝜋/𝑇𝑝 se reduce conforme aumenta el periodo 𝑇𝑝, es decir el espacio entre los
coeficientes frecuenciales tiende a hacerse cero, dibujándose un espectro continuo dado por 𝜔.
𝑐𝑘 =1
𝑇𝑝∫ 𝑥𝑎(𝑡 + 𝑇𝑝)𝑒
−𝑗𝜔𝑘𝑡𝑑𝑡∞
−∞
Si ahora se define 𝑋(𝑗𝜔) como la función continua envolvente de los coeficientes 𝑇𝑝𝑐𝑘, la
expresión toma la forma:
𝑇𝑝𝑐𝑘 = 𝑋(𝑗𝜔) = ∫ 𝑥𝑎(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
Entonces los puntos 𝑐𝑘 pueden verse como muestras cada 𝑘𝜔0 de dicha función:
𝑐𝑘 =1
𝑇𝑝𝑋(𝑗𝑘𝜔0)
A 𝑋(𝑗𝜔) se le conoce como transformación integral de Fourier o simplemente como
transformada de Fourier, de la función 𝑥𝑎(𝑡). A esta función convergen todos los componentes
𝑇𝑝𝑐𝑘 cuando 𝑇𝑝 se hace tender a infinito por ser una función aperiódica.
Esta transformación es un operador lineal y asigna a la función 𝑥𝑎(𝑡) otra función 𝑋(𝑗𝜔).
𝑋(𝑗𝜔) = ℑ{𝑥𝑎(𝑡)}
3.2.7 Invertibilidad.
La transformación integral de Fourier provee un espectro continuo para una señal aperiódica
en el dominio de la frecuencia angular.
Si una función aperiódica 𝑥𝑎(𝑡) finita se utiliza para la construcción de una función periódica
𝑥𝑎(𝑡 + 𝑇𝑝), entonces los coeficientes de la serie de Fourier para esta nueva función creada son
proporcionales a las muestras tomadas de la trasformación integral de Fourier ℱ{𝑥𝑎(𝑡)} a las
frecuencias 𝑘𝜔0.
(3.37)
(3.38)
(3.39)
(3.40)
Capítulo 3
52
𝑥𝑎(𝑡 + 𝑇𝑝) = ∑ 𝑐𝑘𝑒𝑗𝜔0𝑘𝑡
∞
𝑘=−∞
= ∑1
𝑇𝑝𝑋(𝑗𝑘𝜔0)𝑒
𝑗𝜔0𝑘𝑡
∞
𝑘=−∞
= ∑𝜔02𝜋𝑋(𝑗𝑘𝜔0)𝑒
𝑗𝜔0𝑘𝑡
∞
𝑘=−∞
=
=1
2𝜋∑ 𝑋(𝑗𝑘𝜔0)𝑒
𝑗𝜔0𝑘𝑡𝜔0
∞
𝑘=−∞
La interpretación gráfica de la ecuación anterior representa una suma discreta de componentes
de frecuencia o en otras palabras una suma de componentes discretas en frecuencia.
El área formada por los rectángulos debajo de la aproximación en serie como largo y la
separación entre componentes de frecuencia como ancho corresponden a ser sumados desde
−∞ hasta ∞, lo que representa el área bajo la curva, es decir una operación integral. La
aproximación de área se mejora cuando disminuye el valor de 𝜔0, o el ancho de la ventana
rectangular de la separación entre componentes frecuenciales; lo cual se logra al hacer tender
𝑇𝑝 → ∞, regresar al periodo original de la función aperiódica; ∆𝜔 =2𝜋
𝑇𝑝= 𝜔0 tenderá a un
diferencial 𝑑𝜔.
Al regresar al periodo original y definiendo el área bajo la curva de la función, entonces la
aproximación en serie de Fourier converge a 𝑥𝑎(𝑡), y el término discreto 𝑘∆𝜔 tiende a la
variable continua 𝜔.
𝑥𝑎(𝑡 + 𝑇𝑝) =1
2𝜋∑ 𝑋(𝑗𝑘𝜔0)𝑒
𝑗𝜔0𝑘𝑡𝜔0
∞
𝑘=−∞
Si 𝑥𝑎(𝑡 + 𝑇𝑝) → 𝑥𝑎(𝑡):
𝑥𝑎(𝑡) =1
2𝜋∫ 𝑋(𝑗𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔∞
−∞
Que es conocida como transformación inversa de Fourier, denotada por el operador ℱ−1{∙}.
(3.41)
(3.42)
(3.43)
(3.44)
Capítulo 3. Análisis de señales
53
𝑥𝑎(𝑡) = ℑ−1{𝑋(𝑗𝜔)}
3.2.8 Condiciones de convergencia.
Es de suponerse que exista una estrecha relación entre la serie de Fourier y la transformada de
Fourier por lo que las condiciones de Dirichlet para representar una función se extienden hacia
la transformación estableciendo que:
1. La función 𝑥(𝑡) debe ser absolutamente integrable, esto es:
∫ |𝑥(𝑡)|𝑑𝑡 < ∞∞
−∞
2. La función 𝑥(𝑡) solo puede tener un número finito de máximos y de mínimos dentro
de cualquier intervalo finito.
3. La función 𝑥(𝑡) solo puede tener un número finito de discontinuidades dentro de
cualquier intervalo finito, y esas discontinuidades deben ser finitas.
Condiciones suficientes más no necesarias, puesto que ciertas funciones que no las cumplen
tienen una representación valida en el dominio frecuencial.
(3.45)
Capítulo 3
54
3.2.9 Propiedades de la transformada de Fourier.
Las propiedades de la transformada de Fourier se muestran en la siguiente tabla.
Capítulo 3. Análisis de señales
55
3.2.10 Integral de la convolución.
Una herramienta importante del análisis de Fourier utilizada para señales y en sistemas lineales
y su estudio es el teorema de la convolución el cual posibilita la comparación de funciones en
los dominios del tiempo y frecuencia.
Supóngase un espectro en frecuencia de la forma 𝑋(𝑗𝜔) tomado a partir de una función en el
tiempo 𝑥(𝑡) y definido como el producto de las transformadas 𝑋1(𝑗𝜔) y 𝑋2(𝑗𝜔) de las
funciones respectivas 𝑥1(𝑡) y 𝑥2(𝑡):
𝑋(𝑗𝜔) = 𝑋1(𝑗𝜔)𝑋2(𝑗𝜔)
= (∫ 𝑥1(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
)(∫ 𝑥2(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
)
Cambiando la variable de integración en el segundo factor de 𝑡 a 𝜉:
= (∫ 𝑥1(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
) (∫ 𝑥2(𝜉)𝑒−𝑗𝜔𝜉𝑑𝜉
∞
−∞
) =
= ∫ ∫ 𝑥1(𝑡)𝑥2(𝜉)𝑒−𝑗𝜔(𝑡+𝜉)𝑑𝜉𝑑𝑡
∞
−∞
∞
−∞
Y con 𝜏 = 𝑡 + 𝜉 e intercambiando el orden de integración:
= ∫ ∫ 𝑥1(𝑡)𝑥2(𝜏 − 𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝜏𝑑𝜏𝑑𝑡
∞
−∞
∞
−∞
=
= ∫ (∫ 𝑥1(𝑡)𝑥2(𝜏 − 𝑡)𝑑𝑡 ∞
−∞
)𝑒−𝑗𝜔𝜏𝑑𝜏 = ∞
−∞
ℱ{𝑥1(𝑡) ∗ 𝑥2(𝑡)}
En otras palabras el producto de 2 espectros frecuenciales es la convolución de las funciones
respectivas en el dominio del tiempo y de forma equivalente se puede obtener que la
multiplicación en tiempo de funciones equivale a convolucionar sus espectros.
ℑ{𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)} =1
2𝜋[𝑋1(𝑗𝜔) ∗ 𝑋2(𝑗𝜔)]
(3.46)
(3.47)
(3.48)
Capítulo 3
56
3.2.11 Teorema de Parseval.
Funciones periódicas de la forma 𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑡 + 𝑇) son conocidas como señales de potencia,
asi un parámetro significativo de una señal de éste tipo es la potencia promedio dada según
teoría de los circuitos eléctricos [1]:
𝑃 =1
𝑇𝑝∫ |𝑥(𝑡)|2𝑑𝑡𝑡0+𝑇𝑝
𝑡0
Desde luego se sabe que las funciones periódicas poseen una representación valida en el
dominio del tiempo a través de la serie de Fourier; digamos en su forma exponencial.
𝑥(𝑡) = ∑ 𝑐𝑘𝑒𝑗𝜔0𝑘𝑡
∞
𝑘=−∞
Con sus respectivos coeficientes:
𝑐𝑘 =1
𝑇𝑝∫ 𝑥(𝑡)𝑒−𝑗𝜔0𝑘𝑡𝑡0+𝑇𝑝
𝑡0
𝑑𝑡
Interesa ahora analizar cómo se relaciona la potencia promedio de una señal periódica en uno
de sus periodos con respecto a los coeficientes de su desarrollo en serie.
𝑃 =1
𝑇𝑝∫ |𝑥(𝑡)|2𝑑𝑡𝑡0+𝑇𝑝
𝑡0
⟶ |𝑥(𝑡)|2 = 𝑥(𝑡)𝑥∗(𝑡)
=1
𝑇𝑝∫ 𝑥(𝑡)𝑥∗(𝑡)𝑑𝑡𝑡0+𝑇𝑝
𝑡0
Utilizando la serie de Fourier de la función conjugada 𝑥∗(𝑡):
=1
𝑇𝑝∫ 𝑥(𝑡) ( ∑ 𝑐𝑘𝑒
𝑗𝜔0𝑘𝑡
∞
𝑘=−∞
)
∗
𝑑𝑡𝑡0+𝑇𝑝
𝑡0
=1
𝑇𝑝∫ 𝑥(𝑡) ( ∑ 𝑐𝑘
∗𝑒−𝑗𝜔0𝑘𝑡∞
𝑘=−∞
)
𝑑𝑡𝑡0+𝑇𝑝
𝑡0
(3.49)
Capítulo 3. Análisis de señales
57
= ∑ 𝑐𝑘∗ [1
𝑇𝑝∫ 𝑥(𝑡)𝑒−𝑗𝜔0𝑘𝑡𝑡0+𝑇𝑝
𝑡0
𝑑𝑡]
∞
𝑘=−∞
Que finalmente el último término corresponde al coeficiente de Fourier 𝑐𝑘 de la serie en 𝑥(𝑡).
Por lo tanto:
𝑃 = ∑ 𝑐𝑘∗𝑐𝑘
∞
𝑘=−∞
= ∑ |𝑐𝑘|2
∞
𝑘=−∞
Esta relación es conocida como la relación de Parseval e implica que la potencia promedio de
una señal periódica equivale a la suma de las potencias medias de los coeficientes de Fourier
o componentes frecuenciales 𝑐𝑘.
A la gráfica de |𝑐𝑘|2 para cada frecuencia 𝑘𝜔0 se le conoce como densidad espectral de
potencia. Si la función 𝑥(𝑡)𝜖ℝ la gráfica de densidad de potencia muestra una función de
simetría par.
3.2.12 Teorema de Plancherel.
Señales o funciones aperiódicas de la forma 𝑥𝑎(𝑡) son conocidas como señales de energía [2].
La definición de energía en el dominio temporal es:
𝐸 = ∫ |𝑥𝑎(𝑡)|2𝑑𝑡
∞
−∞
Las funciones aperiódicas poseen una representación en el dominio del tiempo dadas sus
componentes frecuenciales que dibujan el espectro en el dominio de la frecuencia de la forma:
𝑥𝑎(𝑡) =1
2𝜋∫ 𝑋(𝑗𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔∞
−∞
(3.50)
(3.51)
Capítulo 3
58
Conocida ya como fórmula inversa de la transformada de Fourier. Interesa en este caso
observar la relación existente entre la energía de una señal en el dominio temporal con respecto
al dominio frecuencial.
𝐸 = ∫ |𝑥𝑎(𝑡)|2𝑑𝑡
∞
−∞
⟶ |𝑥𝑎(𝑡)|2 = 𝑥𝑎(𝑡)𝑥𝑎
∗(𝑡)
= ∫ 𝑥𝑎(𝑡)𝑥𝑎∗(𝑡)𝑑𝑡
∞
−∞
Utilizando la transformada de Fourier de la función 𝑥𝑎∗(𝑡):
= ∫ 𝑥𝑎(𝑡) (1
2𝜋∫ 𝑋(𝑗𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔∞
−∞
)
∗
𝑑𝑡∞
−∞
= ∫ 𝑥𝑎(𝑡) (1
2𝜋∫ 𝑋∗(𝑗𝜔)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔∞
−∞
)
𝑑𝑡∞
−∞
Invirtiendo el orden de integración dados los limites infinitos y reacomodando:
=1
2𝜋∫ 𝑋∗(𝑗𝜔)(∫ 𝑥𝑎(𝑡)𝑒
−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡∞
−∞
)∞
−∞
𝑑𝜔
=1
2𝜋∫ 𝑋∗(𝑗𝜔)𝑋(𝑗𝜔)∞
−∞
𝑑𝜔
𝐸 =1
2𝜋∫ |𝑋(𝑗𝜔)|2𝑑𝜔∞
−∞
Que esta última es llamada la relación de Parseval para energía o bien, teorema de Plancherel
que establece que la energía total se puede calcular a través de la energía por unidad de tiempo
|𝑥(𝑡)|2 como a través de la llamada densidad espectral de energía |𝑋(𝑗𝜔)|2/2𝜋.
3.2.13 Relación entre dominios.
La representación de una función o señal en el caso práctico de ingeniería suele darse en
términos de su variación en el tiempo; funciones continuas o discontinuas, periódicas o
aperiódicas, finitas o infinitas o refiriéndonos a señales de tipo energía o de tipo potencia
(3.52)
Capítulo 3. Análisis de señales
59
poseen cambios en su amplitud que van en relación al tiempo preciso donde están definidas,
esto es la representación en el dominio temporal. Sin embargo se ha podido ver que
independientemente del tipo de función o señal que se analice, esta posee una representación
en el dominio frecuencial que bien pudiese ser bajo su aproximación en serie de Fourier dada
una base ortogonal de funciones definidas en tiempo que forman un espacio funcional que a
su vez contiene componentes de distintas frecuencias, o bien bajo una transformación integral
de Fourier que en caso particular generaliza a la serie y la extiende.
El espectro que comúnmente se le llama a las curvas obtenidas a partir del análisis de Fourier
dependerán su forma a la distribución que tenga la señal a lo largo del eje tiempo donde esté
bien definida, pudiéndose dibujar en amplitud y en frecuencia formas de espectro continuas o
discretas de modo que si dada una señal en el tiempo sea de energía o de potencia se es posible
también la obtención de un espectro de densidad definido por los teoremas de Plancherel y
Parseval en el dominio frecuencial. De forma inversa la manera en que un espectro se
distribuye implicará directamente en el trazado de la función en tiempo.
Todas estas formas de las funciones en ambos dominios se relacionan de forma directa con la
varianza o distribución, es decir mientras más concentrada se encuentre la función dentro de
un pequeño intervalo de tiempo mayor será el intervalo de frecuencias correspondiente y de
manera análoga mientras más concentrado sea el espectro, más disperso se localiza en el
tiempo; lo cual es obvio ya que ambos dominios se rigen por una relación inversamente
proporcional.
𝑓 ∝1
𝑇
𝑓 =1
𝑇 ↔ 𝜔 =
2𝜋
𝑇
La relación inversa que guardan estos dominios trae consigo dificultades al análisis preciso de
sus formas.
Una señal definida en tiempo contiene información completa en su propio dominio por ejemplo
la amplitud en un momento exacto, sin embargo no existe información disponible
(3.53)
(3.54)
Capítulo 3
60
explícitamente acerca de sus contenidos frecuenciales. Por otro lado sea un espectro dado bajo
una transformación que es extraído desde la totalidad de su duración en tiempo posee
información completa en el dominio frecuencial en términos de la magnitud y fase de sus
componentes en frecuencia sin embargo, no hay información disponible en dicho espectro con
respecto a las características temporales, por ejemplo en que tiempo aparecen ciertos
contenidos de frecuencia y viceversa. En este sentido ni la señal en el dominio temporal ni
dibujada en el dominio frecuencial proporciona una descripción extensa si el análisis lo
requiere.
Desafortunadamente hay un límite en la precisión a la localización de determinado punto en el
dominio de tiempo y frecuencia. Esta limitación proviene de un principio que gobierna incluso
algunas relaciones inversas, este es el principio de incertidumbre.
El principio de incertidumbre enfocado al análisis de Fourier establece en términos simples
que no es posible obtener con precisión la localización simultánea de un punto en el dominio
temporal y frecuencial.
La intuición detrás de este principio es simple, las mediciones frecuenciales surgen a partir de
la observación de la señal en algún periodo de tiempo; para mayor precisión en la medición de
frecuencias se debe observar en un largo intervalo de tiempo como se hace bajo la
transformación de Fourier tomando en consideración sus límites los cuales son infinitos.
3.3 Principio de incertidumbre.
Cuando el Señor creó el mundo y las personas que viven en este, un acuerdo que según la
ciencia moderna tomó bastante tiempo, podría imaginar que razonó consigo mismo de la
siguiente manera: “Si hago todo predecible, estos seres humanos a quienes he dotado de
muy buenos cerebros indudablemente aprenderán a predecirlo todo y por consiguiente no
tendrán motivo para hacer algo en absoluto porque reconocerán que el futuro está
completamente determinado y no puede ser influenciado por alguna acción humana.
Capítulo 3. Análisis de señales
61
Por otro lado, si hago todo impredecible ellos gradualmente descubrirán que no hay una
base racional para cualquier decisión y, como en el primer caso, no tendrán motivo para
hacer algo en absoluto. Ningún esquema tendría sentido así que debo crear una mezcla de
ambos. Sean algunas cosas predecibles y otras impredecibles. Ellos a continuación, entre
muchas otras cosas tendrán la muy importante tarea de averiguar cuál es cuál”.5
3.3.1 Indeterminación de Heisenberg en la física cuántica.
Una situación especial que no es posible explicar mediante la mecánica clásica es la
incertidumbre [11].
Para que un paquete de ondas este localizado en el espacio, es necesario suponer varios campos
de longitudes de onda 𝜆 diferentes. Si el paquete de ondas ocupa una región ∆𝑥, los valores del
número de onda de las ondas que interfieren para componer el paquete de ondas y que tienen
una amplitud apreciable caen dentro de un intervalo ∆𝑘.
Las longitudes de onda 𝜆 o números de onda 𝑘 distintos significan que hay varios valores de 𝑝
tales que ∆𝑝 = ℏ∆𝑘. Por lo tanto teniendo en cuenta que ℎ = 2𝜋ℏ se forma:
∆𝑥∆𝑝 ~ ℎ
El significado físico de la relación es que si una partícula está dentro de la región 𝑥 −1
2∆𝑥 y
𝑥 +1
2∆𝑥, es decir que ∆𝑥 es la indeterminación en la posición de la partícula, su campo
asociado está representado por ondas superpuestas de momentum entre 𝑝 −1
2∆𝑝 y 𝑝 +
1
2∆𝑝,
donde ∆𝑝 esta vinculado con ∆𝑥 por la relación anterior; se dice que ∆𝑝 es la indeterminación
en el momentum de la partícula.
El producto ∆𝑥∆𝑝 implica que cuanto mayor es ∆𝑥 menor es ∆𝑝, e inversamente. En otras
palabras, la información acerca de la localización de una partícula en el espacio se logra a
expensas del conocimiento de su momentum; cuanto más preciso es el conocimiento de la
5 E.F. Schumacher. Small is beautiful. 1973.
(3.55)
Capítulo 3
62
posición de la partícula más imprecisa es la información sobre su momentum y viceversa. Esta
es la razón por la cual una partícula de momentum bien determinado (∆𝑝 = 0) se representa
con ondas de amplitud constante que se extiende a todo el espacio (∆𝑥~∞) de modo que el
conocimiento de la posición es nula.
No es posible determinar con exactitud tanto la posición como el momentum de una partícula
simultáneamente de modo que ∆𝑥 = 0 y ∆𝑝 = 0.
Tales conocimientos violan la relación expresada con anterioridad, dicha relación da una
relación óptima entre indeterminaciones en la posición 𝑥 y el momentum 𝑝 de la partícula. En
la mayoría de los casos tanto 𝑥 como 𝑝 se conocen con menor precisión de manera que se
puede escribir una expresión más general:
∆𝑥∆𝑝 ≥ℏ
2
Dado:
ℏ ≡ℎ
2𝜋
Donde ℎ es la constante de Planck.
El resultado expresado de la relación se denomina principio de indeterminación de Heisenberg:
Es imposible conocer simultáneamente y con exactitud la posición y el momentum de una
partícula.
3.3.2 Indeterminación en el análisis de Fourier.
Las propiedades de la transformada de Fourier muestran claramente que la descripción de
determinada señal en los dominios frecuenciales y temporales están inversamente relacionados
como ya se ha mencionado.
(3.56)
(3.57)
Capítulo 3. Análisis de señales
63
Si se cambia la descripción temporal de una señal su representación en el dominio frecuencial
cambia de manera inversa y viceversa. Esta relación impide que se pueda especificar
arbitrariamente una señal en ambos dominios esto es, puede definirse una función que dependa
arbitrariamente del tiempo o de la frecuencia pero no puede especificarse de forma simultánea
en ambos dominios.
Si una señal está estrictamente limitada en frecuencia, su duración temporal será ilimitada aun
cuando su amplitud tome valores cada vez más pequeños. Se dice entonces que una función es
estrictamente limitada en frecuencia si su transformada de Fourier es nula fuera de un intervalo
finito de frecuencias. Recíprocamente, si una señal es estrictamente limitada en tiempo, es
decir que la señal es exactamente cero fuera de un intervalo temporal de longitud finita,
entonces su espectro frecuencial se extiende sobre todo el rango de frecuencias aun cuando su
magnitud tenga valores cada vez más pequeños a medida que su frecuencia va en aumento.
Conceptos tales como duración efectiva y ancho de banda de las señales son conceptos
relativamente imprecisos pero aceptados que se utilizarán para dar énfasis en las limitaciones
del intervalo donde las señales han sido trazadas.
3.3.2.1 Duración efectiva y funciones de duración finita.
Si 𝑥(𝑡) es una función cuyo valor puede ser considerando despreciable fuera de algún intervalo
de tiempo (𝑡1, 𝑡2), entonces la duración efectiva de 𝑥(𝑡) sería la longitud de dicho intervalo
∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1.
Se dice que una función 𝑥(𝑡) tiene duración finita o que la longitud es finita si 𝑥(𝑡) = 0 ∀ 𝑡 ∉
[𝑡1, 𝑡2]. La duración de la señal es ∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1 y su transformada de Fourier es:
𝑋(𝑗𝜔) = ∫ 𝑥𝑎(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
= ∫ 𝑥𝑎(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
𝑡2
𝑡1
Cualquier señal continua a tramos de longitud finita es absolutamente integrable y de energía
finita, de modo que la transformada de Fourier de señales de duración finita está bien definida.
Capítulo 3
64
Además para cualquier entero 𝑛 no negativo, 𝑡𝑛𝑥(𝑡) también es absolutamente integrable y de
energía finita. Teniendo en cuenta la propiedad de diferenciación en frecuencia de la
transformada de Fourier se tiene:
𝑗𝑑𝑛
𝑑𝜔𝑛𝑋(𝑗𝜔) ⊷ 𝑡𝑛𝑥(𝑡)
Por lo tanto:
𝑋(𝑛)(𝑗𝜔) = ∫ 𝑡𝑛𝑥𝑎(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
𝑡2
𝑡1
El cual revela que las derivadas en frecuencia de cualquier orden 𝑛 de las transformaciones de
𝑋(𝑗𝜔) existen y están bien definidas, en consecuencia una señal de duración finita no puede
ser simultáneamente de banda limitada.
3.3.2.2 Ancho de banda y funciones de ancho de banda finito.
Análogamente a la definición de duración efectiva de señales; si 𝑋(𝑗𝜔) es la transformada de
Fourier de 𝑥(𝑡), y el espectro marcado por 𝑋(𝑗𝜔) puede ser considerado despreciable fuera de
cierto intervalo (𝜔1, 𝜔2), entonces ∆𝜔 = 𝜔2 − 𝜔1 es el ancho de banda de 𝑥(𝑡).
Si se considera un espectro de amplitud centrado a una frecuencia 𝜔0, el ancho de banda se
puede considerar de acuerdo al ancho del lóbulo principal del espectro visto de manera gráfica;
en caso de encontrarse centrado en el origen 𝜔0 = 0 se considera una señal pasabajas debido
a su similitud con filtros electrónicos, por lo que su ancho de banda tomaría la mitad de este
lóbulo donde yace en el rango de frecuencias positivas. Por otro lado si el espectro se dibujase
alrededor de una frecuencia 𝜔0 ≠ 0 se define el ancho de banda como el ancho del lóbulo
principal del espectro en la frecuencia positiva.
Otra definición común es el ancho de banda a 3 dB el cual es usualmente utilizado en teoría de
las comunicaciones y electrónica que se refiere a la separación entre la frecuencia central del
lóbulo principal donde el espectro alcanza su máximo valor en amplitud, y la frecuencia lateral
(3.58)
Capítulo 3. Análisis de señales
65
o frecuencias laterales alrededor de la frecuencia central donde la amplitud cae un valor de
1/√2. Esta definición tiene la ventaja de que puede ser visualizada fácilmente a partir del
gráfico del espectro en amplitud de una señal.
Una definición más se basa en el rango de frecuencias donde se concentra la mayor cantidad
de potencia o de energía de determinada señal y se nombra en función de su porcentaje en
concentración.
Una función 𝑥(𝑡) con transformada de Fourier 𝑋(𝑗𝜔) es de ancho de banda finito si y sólo si
𝑋(𝑗𝜔) = 0 para todo valor 𝜔 ∉ [𝜔1, 𝜔2] y en general el ancho de banda de la señal es ∆𝜔 =
𝜔2 − 𝜔1 aunque debe tomarse en cuenta las consideraciones de definición de ancho de banda
antes mostradas. Por la relación dual entre las transformaciones de Fourier y su Invertibilidad
es evidente que 𝑥(𝑡) satisface propiedades similares a las de transformadas de señales de
duración finita. En particular:
𝑥𝑎(𝑡) =1
2𝜋∫ 𝑋(𝑗𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔∞
−∞
=1
2𝜋∫ 𝑋(𝑗𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔𝜔2
𝜔1
Y para cualquier entero no negativo, las derivadas de orden 𝑛 de 𝑥(𝑡) están dadas por:
𝑑𝑛
𝑑𝑡𝑛𝑥(𝑡) ⊶ (𝑗𝜔)𝑛𝑋(𝑗𝜔)
Por lo que finalmente:
𝑥𝑎(𝑛)(𝑡) =
1
2𝜋∫ (𝑗𝜔)𝑛𝑋(𝑗𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔𝜔2
𝜔1
Que de acuerdo con las consideraciones anteriores de funciones de duración finita, si 𝑥(𝑡) es
de banda limitada entonces no puede anularse o tomar valores constantes sobre ningún
intervalo no trivial de la línea real. En otras palabras ninguna señal de ancho de banda limitado
puede tener duración finita, estrictamente en el ámbito matemático.
(3.59)
Capítulo 3
66
3.3.2.3 Producto duración efectiva – ancho de banda.
Existe una constante universal positiva 𝛾 tal que la duración efectiva ∆𝑡 y el ancho de banda
∆𝜔 de cualquier función con ∆𝑡 y ∆𝜔 finitos satisface:
∆𝑡∆𝜔 ≥ 𝛾
Entonces no es posible encontrar una función cuyo ancho de banda y duración efectiva sean
ambos arbitrariamente pequeños o grandes. Debido a la similitud con el principio de
incertidumbre de Heisenberg en la física cuántica, a este fenómeno en particular se le conoce
como principio de incertidumbre en el análisis de Fourier.
La constancia de este producto es otra manifestación de las relaciones entre estos dominios
como ya se mencionó con anterioridad de las descripciones en tiempo y en frecuencia.
3.3.2.4 Señales absolutamente integrables.
Supongamos que tanto 𝑥(𝑡) como 𝑋(𝑗𝜔) son absolutamente integrables como ya se ha dado
referencia del concepto. Sean 𝑡∗ y 𝜔∗ dos valores fijos en tiempo y en frecuencia
respectivamente tales que 𝑥(𝑡∗) ≠ 0 y 𝑋(𝜔∗) ≠ 0. La duración efectiva ∆𝑡 y el ancho de banda
∆𝜔 son los valores que satisfacen:
∫ |𝑥(𝑡)|𝑑𝑡 = |𝑥(𝑡∗)|∆𝑡∞
−∞
∫ |𝑋(𝜔)|𝑑𝜔 = |𝑋(𝜔∗)|∆𝜔∞
−∞
Esto significa de forma gráfica encontrar una altura 𝑥(𝑡∗) y 𝑋(𝜔∗) de la función definida en
su dominio propio tal que el producto con sus respectivas longitudes ∆𝑡 y ∆𝜔 formen una área
similar idéntica al área bajo las curvas 𝑥(𝑡) y 𝑋(𝜔).
Expresando tanto |𝑋(𝜔∗)| como |𝑥(𝑡∗)| dadas sus transformaciones. Como 𝑋(𝜔) y 𝑥(𝑡) son
absolutamente integrables:
(3.60)
(3.61)
Capítulo 3. Análisis de señales
67
|𝑋(𝜔∗)| = |∫ 𝑥𝑎(𝑡)𝑒−𝑗𝜔∗𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
| ≤ ∫ |𝑥𝑎(𝑡)𝑒−𝑗𝜔∗𝑡|𝑑𝑡
∞
−∞
≤ ∫ |𝑥𝑎(𝑡)|𝑑𝑡∞
−∞
= |𝑥(𝑡∗)|∆𝑡
Por otro lado:
|𝑥(𝑡∗)| = |1
2𝜋∫ 𝑋(𝑗𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡
∗𝑑𝜔
∞
−∞
|
= 2𝜋|𝑥(𝑡∗)| = |∫ 𝑋(𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡∗𝑑𝜔
∞
−∞
| ≤ ∫ |𝑋(𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡∗|𝑑𝜔
∞
−∞
≤ ∫ |𝑋(𝜔)|𝑑𝜔∞
−∞
= |𝑋(𝜔∗)|∆𝜔
Tomando los primeros y últimos miembros de ambas ecuaciones:
|𝑋(𝜔∗)| ≤ |𝑥(𝑡∗)|∆𝑡
2𝜋|𝑥(𝑡∗)| ≤ |𝑋(𝜔∗)|∆𝜔
Finalmente el producto de tiempo o duración efectiva con ancho de banda para señales
absolutamente integrables:
∆𝑡 ≥|𝑋(𝜔∗)|
|𝑥(𝑡∗)|
∆𝜔 ≥2𝜋|𝑥(𝑡∗)|
|𝑋(𝜔∗)|
∆𝜔∆𝑡 ≥|𝑋(𝜔∗)|
|𝑥(𝑡∗)|∙2𝜋|𝑥(𝑡∗)|
|𝑋(𝜔∗)|
∆𝜔∆𝑡 ≥ 2𝜋
(3.62)
(3.63)
(3.64)
Capítulo 3
68
3.3.2.5 Señales de energía finita.
Cuando 𝑥(𝑡) y su transformada 𝑋(𝜔) son funciones de energía, como se puede comprobar
basados en el teorema de Plancherel, es conveniente definir tanto la duración efectiva como el
ancho de banda como los momentos de segundo orden de la señal en ambos dominios [16].
Esto es:
(∆𝑡)2 =∫ (𝑡 − 𝑡∗)2|𝑥(𝑡)|2∞
−∞𝑑𝑡
∫ |𝑥(𝑡)|2∞
−∞𝑑𝑡
(∆𝜔)2 =∫ (𝜔 − 𝜔∗)2|𝑋(𝜔)|2∞
−∞𝑑𝜔
∫ |𝑋(𝜔)|2∞
−∞𝑑𝜔
Donde se puede notar que los denominadores de ambas expresiones representan la energía de
la señal según Plancherel, dada entonces una igualdad con 𝐸.
Ahora considérese que tanto la señal en el tiempo como su espectro de amplitud están centrados
en el origen y distribuidos a lo largo de su dominio; suponiendo entonces que el mayor valor
de amplitud se encuentra en el origen 𝑡∗ = 0 y 𝜔∗ = 0.
(∆𝑡)2 =∫ (𝑡)2|𝑥(𝑡)|2∞
−∞𝑑𝑡
𝐸
(∆𝜔)2 =∫ (𝜔)2|𝑋(𝜔)|2∞
−∞𝑑𝜔
𝐸
La variación angular en frecuencia puede ser escrita de igual manera utilizando la propiedad
de diferenciación de la transformada de Fourier anteriormente mencionada.
(∆𝜔)2 =∫ |
𝑑𝑑𝑡𝑥(𝑡)|
2∞
−∞𝑑𝑡
𝐸
Por lo tanto el producto de las variaciones en tiempo y frecuencia toma la forma:
(3.65)
(3.66)
(3.67)
(3.68)
(3.69)
Capítulo 3. Análisis de señales
69
(∆𝑡)2(∆𝜔)2 =
(∫ (𝑡)2|𝑥(𝑡)|2∞
−∞𝑑𝑡) ∙ (∫ |
𝑑𝑑𝑡𝑥(𝑡)|
2∞
−∞𝑑𝑡)
𝐸2
Según la desigualdad de Schwarz, sean vectores o funciones establece la relación:
|< 𝑣, 𝑤 >|2 ≤ ||𝑣||2∙ ||𝑤||
2
De manera similar a la desigualdad de Buniakovsky-Cauchy para series infinitas convergentes
[6].
(∑𝑎𝑛𝑏𝑛
∞
𝑛=1
)
2
≤ ∑𝑎𝑛2
∞
𝑛=1
∙ ∑ 𝑏𝑛2
∞
𝑛=1
|∫𝑔(𝑡)ℎ(𝑡) 𝑑𝑡|2
≤ ∫|𝑔(𝑡)|2𝑑𝑡 ∙ ∫|ℎ(𝑡)|2𝑑𝑡
En ambos casos, la igualdad se verifica cuando los vectores o las funciones están linealmente
relacionados entre sí.
El numerador del producto tiene la forma ||𝑣||2||𝑤||
2de la desigualdad de Schwarz y Cauchy,
es decir:
|∫ 𝑡𝑥(𝑡)𝑑
𝑑𝑡𝑥(𝑡)
∞
−∞
𝑑𝑡|
2
≤ ∫ |𝑡𝑥(𝑡)|2𝑑𝑡∞
−∞
∙ ∫ |𝑑
𝑑𝑡𝑥(𝑡)|
2
𝑑𝑡∞
−∞
Por lo que:
(∆𝑡)2(∆𝜔)2 ≥|∫ 𝑡𝑥(𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑥(𝑡)
∞
−∞𝑑𝑡|
2
𝐸2
Integrando por partes el numerador del segundo miembro de la desigualdad obtenida:
∫ 𝑡𝑥(𝑡)𝑑
𝑑𝑡𝑥(𝑡)𝑑𝑡 =
∞
−∞
[1
2𝑡𝑥2(𝑡)]
−∞
∞
−1
2∫ 𝑥2(𝑡)𝑑𝑡∞
−∞
(3.70)
(3.71)
(3.72)
(3.73)
(3.74)
Capítulo 3
70
Para el caso de señales de energía finita, mientras más se extienden en tiempo decrece su valor,
si 𝑡 → ∞ entonces:
1
2𝑡𝑥(𝑡) → 0
Y de manera reducida, se nota que el segundo término es la energía denotada como E reducida
a la mitad. La integral toma la forma nuevamente:
∫ 𝑡𝑥(𝑡)𝑑
𝑑𝑡𝑥(𝑡)𝑑𝑡 =
∞
−∞
0 −1
2𝐸
Retomando el producto duración efectiva y ancho de banda, ambos cuadráticos:
(∆𝑡)2(∆𝜔)2 ≥|∫ 𝑡𝑥(𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑥(𝑡)
∞
−∞𝑑𝑡|
2
𝐸2=|−𝐸2|2
𝐸2
= (∆𝑡)2(∆𝜔)2 ≥𝐸2/4
𝐸2
∴ (∆𝑡)2(∆𝜔)2 ≥1
4
En consecuencia, esta desigualdad demuestra el principio de incertidumbre en el análisis de
Fourier en el cual se puede notar el gran parecido a la indeterminación de Heisenberg de la
física:
∆𝑡∆𝜔 ≥1
2 ~ ∆𝑥∆𝑝 ≥
ℏ
2
En general, el principio de incertidumbre en el análisis de Fourier muestra que señales
extremadamente concentradas en uno de sus dominios pierden su localidad en el otro. Esta
falta de localidad causa varios problemas cuando se trabaja con aplicaciones en las cuales se
necesita información completa de la señal o señales que se analicen y de forma aún más estricta
cuando cambios en un dominio se sabe repercuten en el otro haciendo notar que se requiere de
un estudio detallado y preciso para evaluar dichos cambios y sus alteraciones [12].
(3.75)
Capítulo 3. Análisis de señales
71
3.4 Análisis de Fourier en ventanas.
La ciencia ya no está en posición de observador de la naturaleza, más bien se reconoce a sí
misma como parte de la interacción entre hombre y naturaleza. El método científico…
cambia y transforma su objetivo: el procedimiento no puede mantener su distancia desde el
objetivo.6
3.4.1 La transformada de Fourier en tiempo reducido (STFT).
Por largo tiempo el análisis de Fourier en todas sus formas ha sido una herramienta invaluable
para el tratamiento de señales y el procesamiento. La transformación de Fourier en específico
es esencialmente requerida para conseguir información partiendo comúnmente del tiempo
hacia la frecuencia aunque es posible realizarlo de forma contraria como se ha podido ver.
Basados en demostraciones previas y en particular la relación inversa que mantienen los
dominios del tiempo y frecuencia podemos deducir que para conseguir una alta resolución en
algún dominio uno necesita observar en el dominio opuesto la señal por un amplio intervalo,
de la misma forma que señales particularmente distribuidas en algún dominio varían su
concentración de manera inversa en el otro.
Un esfuerzo por resolver el problema de resolución y evitar de alguna forma la indeterminación
que se produce dentro del análisis de Fourier, es un procedimiento de ventaneo o acotación
partiendo desde una señal en tiempo 𝑥(𝑡). Consiste en dividir dicha señal en pequeños
segmentos de tiempo de tal forma que se pueda asumir que cada segmento es distinto uno al
otro siempre que existan variaciones notables a lo largo del intervalo donde la señal este bien
definida.
La forma en que la señal se divide es mediante una ventana deslizante en tiempo con amplitud
y ancho que corresponderá al tamaño de cada segmento de la señal dividida es decir,
matemáticamente refiriéndose el producto de la señal en su forma original 𝑥(𝑡) con una
6 Werner Heisenberg. The Representation of Nature in Contemporary Physics. 1960.
Capítulo 3
72
función ventana 𝑔(𝑡 − 𝜏) con determinada anchura y amplitud, donde la variable 𝜏 es el
corrimiento en tiempo.
Al analizar en frecuencia mediante la transformación de Fourier a las acotaciones de la señal
producida por el producto con la ventana de la forma 𝑥(𝑡) ∙ 𝑔(𝑡 − 𝜏) se obtendrán tantos
espectros frecuenciales como tantas divisiones en tiempo de la señal de manera que a cada
espectro con contenido frecuencial particular se le asocia un ancho de ventana temporal por lo
que se sabrá con mejor precisión en qué tiempos ocurren determinadas frecuencias, a
comparación de si se analizara la señal en tiempo completo como lo efectúa la integral de
Fourier.
Escrito matemáticamente lo anterior, para un tiempo relativo 𝜏 central, con una anchura
temporal de amplitud 𝑥(𝑡) sobre 𝜏, existen componentes frecuenciales dibujados por 𝜔 que se
sabe son obtenidos desde alrededor del tiempo 𝜏 de modo que una relación entre ambas se
denota como una función de dos variables 𝑋(𝜏, 𝜔), conocida como Transformada de Fourier
en Tiempo reducido, del inglés Short Time Fourier Transform (STFT), cuyo objetivo principal
es el análisis en ventanas para cuestiones de resolución entre ambos dominios [17].
𝑆𝑇𝐹𝑇{𝑥(𝑡)} = 𝑋(𝜏, 𝜔) = ∫ 𝑥𝑎(𝑡) ∙ 𝑔(𝑡 − 𝜏)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
= 𝑆𝑇𝐹𝑇{𝑥(𝑡)} = ℑ{𝑥(𝑡) ∙ 𝑔(𝑡 − 𝜏)}
3.4.2 Invertibilidad. Fórmula de reconstrucción.
La principal idea de la importancia de obtener una fórmula de transformación inversa para este
caso de la STFT surge cuando se analiza la forma directa con la que se obtienen determinadas
resoluciones para específicas ventanas y entonces, su forma inversa proveerá una
reconstrucción.
El desarrollo de la Invertibilidad consiste en obtener la señal 𝑥(𝑡) desde su función
transformada 𝑋(𝜏, 𝜔). Aplicando la forma inversa de la integral de Fourier sobre 𝑋(𝜏, 𝜔):
(3.76)
(3.77)
Capítulo 3. Análisis de señales
73
ℑ−1{𝑋(𝜏, 𝜔)} = 𝑥(𝑡)𝑔(𝑡 − 𝜏)
= ℑ−1{𝑋(𝜏, 𝜔)} =1
2𝜋∫ 𝑋(𝜏, 𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔∞
−∞
= 𝑥(𝑡)𝑔(𝑡 − 𝜏) =1
2𝜋∫ 𝑋(𝜏, 𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔∞
−∞
No se puede dividir ambos miembros de la ecuación entre 𝑔(𝑡 − 𝜏) intentando eliminar del
primer miembro la ventana, debido a que se asume que dicha función tiende a cero hacia las
afueras de la ventana lo que provocaría una indeterminación. Multiplicando ambos miembros
por la ventana misma 𝑔(𝑡 − 𝜏):
𝑥(𝑡)𝑔(𝑡 − 𝜏)𝑔(𝑡 − 𝜏) =1
2𝜋∫ 𝑋(𝜏, 𝜔)𝑔(𝑡 − 𝜏)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔∞
−∞
Integrando la ecuación para el valor de 𝜏:
∫ 𝑥(𝑡)[𝑔(𝑡 − 𝜏)]2𝑑𝜏∞
−∞
= ∫1
2𝜋∫ 𝑋(𝜏, 𝜔)𝑔(𝑡 − 𝜏)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔∞
−∞
𝑑𝜏∞
−∞
= 𝑥(𝑡)∫ [𝑔(𝑡 − 𝜏)]2𝑑𝜏∞
−∞
=1
2𝜋∫ ∫ 𝑋(𝜏,𝜔)𝑔(𝑡 − 𝜏)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔
∞
−∞
𝑑𝜏∞
−∞
Definiendo:
𝐶 = ||𝑔(𝑡 − 𝜏)||2= ∫ [𝑔(𝑡 − 𝜏)]2𝑑𝜏
∞
−∞
Se alcanza:
𝑥(𝑡) =1
2𝜋𝐶−1∫ ∫ 𝑋(𝜏,𝜔)𝑔(𝑡 − 𝜏)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔
∞
−∞
𝑑𝜏∞
−∞
Ecuación que se fija como la fórmula de reconstrucción de 𝑥(𝑡) a partir de la STFT, una
función 𝑋(𝜏, 𝜔). La fórmula de reconstrucción resuelve o retorna a la función original en
(3.78)
(3.79)
(3.80)
(3.81)
(3.82)
Capítulo 3
74
tiempo desde la descomposición de la misma como una superposición infinita de formas de
onda localizadas [18].
3.4.3 Efectos de ventaneo.
Una porción deseada de una señal puede ser removida desde la misma por el producto de ésta
con una función ventana la cual está definida en un intervalo y fuera de este su valor en
amplitud tiende a hacerse nulo. La notación de ventana será:
𝑔(𝑡 − 𝜏) = {𝑔(𝑡) 𝑠𝑖 𝑡 ∈ [𝜏 − 𝑏, 𝜏 + 𝑏]0 𝑒. 𝑜. 𝑐.
La STFT hace deslizar esta ventana extrayendo información precisa en tiempo y la analiza bajo
la integral de Fourier, este deslizamiento implica traslación en los ejes del dominio temporal y
en el dominio frecuencial.
3.4.3.1 Linealidad.
Sea 𝑥(𝑡) una combinación lineal de dos funciones 𝑥1(𝑡) y 𝑥2(𝑡) con coeficientes 𝛼 y 𝛽
completamente independientes de 𝑡, entonces la STFT de 𝑥(𝑡) es:
𝑥(𝑡) = 𝛼𝑥1(𝑡) + 𝛽𝑥2(𝑡)
𝑋(𝜏,𝜔) = 𝛼𝑋1(𝜏, 𝜔) + 𝛽𝑋2(𝜏, 𝜔)
Es una suma lineal de STFT de las funciones individuales, por lo tanto la STFT es una
transformación lineal como lo es la integral de Fourier.
3.4.3.2 Deslizamiento en tiempo.
Supóngase una función ventana a analizar bajo la STFT 𝑥𝑎(𝑡 − 𝑡0):
(3.83)
(3.84)
(3.85)
Capítulo 3. Análisis de señales
75
𝑋(𝜏, 𝜔) = ∫ 𝑥𝑎(𝑡 − 𝑡0) ∙ 𝑔(𝑡 − 𝜏)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
= ∫ 𝑥𝑎(𝑡) ∙ 𝑔(𝑡 − (𝜏 − 𝑡0))𝑒−𝑗𝜔𝑡0𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
= 𝑒−𝑗𝜔𝑡0∫ 𝑥𝑎(𝑡) ∙ 𝑔(𝑡 − (𝜏 − 𝑡0))𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
= 𝑋(𝜏, 𝜔) = 𝑒−𝑗𝜔𝑡0𝑋(𝜏 − 𝑡0, 𝜔)
Lo anterior establece que si la función original 𝑥(𝑡) es desplazada por una cantidad 𝑡0 en el eje
del tiempo, la STFT desplazara su ubicación en tiempo la misma cantidad mientras que la
frecuencia permanece intacta, similar a la propiedad de traslación en el tiempo del análisis de
Fourier.
3.4.3.3 Deslizamiento en frecuencia.
De acuerdo a la propiedad de traslación en la frecuencia, existirá un desplazamiento del
espectro hacia 𝜔0 si 𝑥𝑎(𝑡)𝑒𝑗𝜔0𝑡. La STFT del producto dado:
𝑋(𝜏, 𝜔) = ∫ 𝑥𝑎(𝑡)𝑒𝑗𝜔0𝑡 ∙ 𝑔(𝑡 − 𝜏)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
= ∫ 𝑥𝑎(𝑡) ∙ 𝑔(𝑡 − 𝜏)𝑒−𝑗𝑡(𝜔−𝜔0)𝑑𝑡
∞
−∞
= 𝑋(𝜏,𝜔) = 𝑋(𝜏, 𝜔 − 𝜔0)
Esto implica que tanto la magnitud como la fase permanecen intactas, como si fuese 𝑥(𝑡)
excepto la nueva ubicación frecuencial a lo largo del eje 𝜔.
(3.86)
(3.87)
(3.88)
(3.89)
Capítulo 3
76
3.4.4 Ventana ideal.
Se considera una ventana ideal para el análisis de la SFTF cuando la resolución en tiempo
conlleva idéntica resolución en frecuencia es decir, no se altera la estructura de ninguna forma
de las señales definidas para ambos dominios a pesar de la relación inversa que estos guardan.
Para hablar de la resolución en tiempo y frecuencia se requiere establecer una ventana temporal
donde se hace actuar la STFT. Para señales, si la función ventana es estrecha se analizan
pequeños segmentos que permiten una buena resolución temporal pero pobre resolución
frecuencial, esto se debe a que solamente se pueden observar las componentes en frecuencia
mayores o iguales al inverso del tamaño de la ventana. Por otro lado, si la ventana seleccionada
es ancha en demasía se obtiene una resolución en frecuencia de calidad, como es el caso en el
que una ventana de ancho infinito o igual al tamaño de la señal en duración, entregará excelente
resolución para componentes frecuenciales, perdiendo en su totalidad la localidad de cada uno
de estos en tiempo, es nada más y nada menos que la aplicación que ejerce la transformada de
Fourier.
Se sabe que la raíz de este problema de resolución se basa en el principio de incertidumbre que
establece la imposibilidad de conocer una representación exacta para ambos dominios, así que
sólo podrán conocerse componentes de frecuencia existentes dentro de un intervalo de tiempo,
esto es en esencia la STFT.
Cada ventana se localiza en el rectángulo centrado en el punto (𝜏, 𝜔) con dimensión igual a
∆𝑡∆𝜔 limitado por la desigualdad que surge de la indeterminación en el análisis de Fourier, el
valor de ∆𝑡∆𝜔 ≥ 1/2.
La ventana ideal provee la indeterminación mínima alcanzable del producto entre tiempo
efectivo y ancho de banda ∆𝑡∆𝜔 = 1/2 con lo que matemáticamente se logra el mejor de los
casos en cuanto a resolución se refiere, equivale a una nula alteración entre las formas de un
dominio a otro.
Por lo tanto, si nula alteración de las formas en los dominios para la función ventana ideal
implica resolución máxima e indeterminación mínima, la ventana debe ser un par transformado
Capítulo 3. Análisis de señales
77
con gran similitud de dominios y linealmente relacionado; un pulso gaussiano cumple con lo
anterior.
𝑓(𝑡) = 𝑒−12𝑡2 ⊶ 𝐹(𝜔) = 𝑒−
12𝜔2
Al realizar el respectivo análisis sobre qué tan útil puede ser la función para considerarse como
ideal al producto de su duración efectiva y ancho de banda ∆𝑡∆𝜔:
(∆𝑡)2 =1
𝐸∫ (𝑡)2|𝑥(𝑡)|2∞
−∞
𝑑𝑡
(∆𝜔)2 =1
𝐸∫ (𝜔)2|𝑋(𝜔)|2∞
−∞
𝑑𝜔
La energía es un parámetro indispensable del producto. Para señales de energía de acuerdo al
teorema de Plancherel:
𝐸 = ∫ |𝑥𝑎(𝑡)|2𝑑𝑡
∞
−∞
=1
2𝜋∫ |𝑋(𝑗𝜔)|2𝑑𝜔∞
−∞
Sea 𝑓(𝑡) el pulso gaussiano descrito previamente, su energía viene dado por:
𝐸 = ∫ |𝑒−12𝑡2|
2
𝑑𝑡∞
−∞
= ∫ 𝑒−𝑡2𝑑𝑡 = √𝜋
∞
−∞
La duración efectiva ∆𝑡:
(∆𝑡)2 =1
√𝜋∫ (𝑡)2 |𝑒−
12𝑡2|
2∞
−∞
𝑑𝑡
=1
√𝜋∫ 𝑡2𝑒−𝑡
2∞
−∞
𝑑𝑡 =1
√𝜋(√𝜋
2) =
1
2
Ancho de banda ∆𝜔:
(∆𝜔)2 =1
√𝜋∫ (𝜔)2 |𝑒−
12𝜔2|
2∞
−∞
𝑑𝜔
(3.90)
(3.91)
(3.92)
Capítulo 3
78
=1
√𝜋∫ 𝜔2𝑒−𝜔
2∞
−∞
𝑑𝜔 =1
√𝜋(√𝜋
2) =
1
2
Finalmente el producto corresponde al valor:
(∆𝑡)2(∆𝜔)2 = (1
2) (1
2) =
1
4
∆𝑡∆𝜔 = √1
4=1
2
Cantidad la cual es la mínima alcanzable a realizarse dentro del análisis de Fourier en ventanas,
indicando el procedimiento anterior que el pulso gaussiano se considera una ventana ideal para
la STFT y concluyendo además que pulsos de formas similares al pulso gaussiano pueden
servir al análisis de señales en tiempo reducido que son dependientes de algunos parámetros
que las acompañan.
(3.93)
(3.94)
Capítulo 3. Análisis de señales
79
3.4.5 Transformación integral de Gabor.
Es casi una exageración decir que introduciremos casi tantos algoritmos de análisis como
señales hay… las señales son ricas, extensas y complejas que tan solo un método de
análisis… no puede servirles a todas.7
Dada la ventana ideal que por sus características minimizan la incertidumbre en el que se
sostiene el análisis de Fourier, una herramienta alternativa se define como la transformación
integral de Gabor a la transformada de Fourier en tiempo reducido que utiliza como ventana
un pulso gaussiano siendo desplazado.
𝑔(𝑡) = 𝑒− 𝑡2
2 → 𝑔(𝑡 − 𝜏) = 𝑒− (𝑡−𝜏)2
2
Entonces:
𝔊(𝜏,𝜔) = ∫ 𝑥𝑎(𝑡) ∙ 𝑒− (𝑡−𝜏)2
2 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡∞
−∞
Con forma inversa definida desde la STFT:
𝑥(𝑡) =1
2𝜋𝐶−1∫ ∫ 𝔊(𝜏,𝜔) ∙ 𝑒−
(𝑡−𝜏)2
2 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔∞
−∞
𝑑𝜏∞
−∞
Donde:
𝐶−1 =1
||𝑔(𝑡 − 𝜏)||2
3.4.6 Distribución de Wigner-Ville:
Las transformaciones lineales localizadas realizadas con ventanas proveen una interpretación
de un espectro local alrededor de un tiempo 𝜏, sin embargo no proveen información de la
7 Y. Meyer. Wavelets. Algorithms and Applications. 1993.
(3.96)
(3.97)
(3.98)
(3.95)
Capítulo 3
80
energía instantánea de la señal a momentos específicos de tiempo. Se puede considerar
intuitivamente una transformación de tipo:
∫ |𝑥(𝑡 − 𝜏)|2𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡∞
−∞
= ∫ 𝑥(𝑡 − 𝜏)𝑥∗(𝑡 − 𝜏)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡∞
−∞
Dado que no es fácil determinar la energía de una señal a instantes precisos, considerar la
energía dentro de un intervalo centrado alrededor de la ubicación en tiempo 𝑡. Este es el
propósito de la distribución de Wigner-Ville.
𝑊𝑥(𝜏, 𝜔) = ∫ 𝑥 (𝑡 +𝜏
2) 𝑥∗ (𝑡 −
𝜏
2) 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
La propiedad de linealidad no se mantiene por lo que es considerada una distribución, ya que
la señal entra en el integrando más de una ocasión.
Wigner-Ville junto con otras distribuciones bilineales de tiempo y frecuencia se basan en una
variación de la función de autocorrelación en determinado tiempo llamada autocorrelación
instantánea.
3.4.7 Espectrogramas.
Una forma gráfica de establecer lo visto en el análisis de Fourier en ventanas es mediante
espectrogramas, una representación visual de las variaciones de frecuencia a lo largo del
tiempo de una señal limitada. Es posible expresarse tridimensionalmente si se agregan los
niveles de potencia y su concentración.
El objetivo principal de los espectrogramas es analizar la sonoridad, duración, frecuencia,
estructura, intensidad, el ritmo entre otro tipo de variaciones en una señal y parámetros
característicos de muchas otras, todo esto con base en el análisis de Fourier de tiempo reducido.
Para la obtención de un espectrograma se aplica la transformación de Fourier inicialmente a la
señal en su primera división realizada por la ventana de tamaño establecido como en esencia
(3.99)
(3.100)
Capítulo 3. Análisis de señales
81
lo hace la STFT y desplazándola hasta cubrir con la totalidad de la señal consiguiendo
diferentes niveles de resolución gráfica proporcionales a los valores del ventaneo.
De la misma forma que se ha estudiado hasta el momento, la relación inversa entre tiempo y
frecuencia repercuten en la calidad del espectrograma que es bien sabido por el principio de
incertidumbre, por lo que se definen dos tipos de espectrogramas considerando la
interpretación de la STFT que refiere a la forma y el ancho de banda de la ventana a utilizar
para su construcción.
Gráficas de banda estrecha en frecuencia: La ventana es larga en tiempo, se tiene una
buena resolución frecuencial pero pobre resolución temporal.
Graficas de banda ancha en frecuencia: La ventana es corta en tiempo, se tiene una
buena resolución temporal pero pobre resolución frecuencial.
3.4.8 Diseño de ventanas.
Distintos tipos de ventanas que se asemejan en su forma al pulso gaussiano pueden ser
ocupadas para el análisis en tiempo y frecuencia a través de la STFT, mediante las cuales se
logran resultados diferentes para objetivos específicos dependientes de las señales a analizar.
Las ventanas deberán proporcionar un nivel bajo de incertidumbre por lo que la ventana en
tiempo y su respectivo espectro estarán relacionados de manera gráfica, como lo es el pulso
gaussiano ocupado en la Transformación integral de Gabor.
En general, las ventanas tendrán tres propiedades consideradas en el diseño e implementación
de la STFT.
Ancho del lóbulo principal (Mainlobe Width)
Nivel de lóbulos laterales (Sidelobe Level)
Pendiente de caída (Rolloff)
Generalmente para ventanas con un ancho del lóbulo principal mayor tienen menores niveles
de lóbulos laterales.
Capítulo 3
82
Las ventanas más utilizadas en la literatura se muestran matemáticamente en la siguiente tabla:
Tipo de
ventana Ecuación
Ancho del
lóbulo
principal
(radianes)
Nivel de
lóbulos
laterales
(dB)
Rectangular 𝑔(𝑘) = 1 2𝜋
𝑀 −13
Bartlett 𝑔(𝑘) =𝑀 − 𝑘
𝑀
4𝜋
𝑀 −25
Hanning 𝑔(𝑘) = 0.5 + 0.5𝐶𝑜𝑠 (𝜋𝑘
𝑀)
4𝜋
𝑀 −31
Hamming 𝑔(𝑘) = 0.54 + 0.46𝐶𝑜𝑠 (𝜋𝑘
𝑀 − 1)
4𝜋
𝑀 −41
Gaussiana 𝑔(𝑘) = 𝑒− 𝑘2
2 -44
Blackmann 𝑔(𝑘) = 0.42 + 0.5𝐶𝑜𝑠 (𝜋𝑘
𝑀 − 1) + 0.08𝐶𝑜𝑠 (
𝜋𝑘
𝑀 − 1)
6𝜋
𝑀 −57
Las formas gráficas de las ventanas mostradas en la tabla anterior se ilustran a continuación
para ambos dominios, tanto temporal como frecuencial. Nótese la similitud entre ellas y sus
espectros. Figura 19 y Figura 20.
Capítulo 3. Análisis de señales
83
a)
b)
c)
Figura 19. Funciones ventana: a) Rectangular, b) Bartlett, c) Hanning.
Capítulo 3
84
a)
b)
c)
Figura 20. Más funciones ventana: a) Hamming, b) Gaussiana, c) Blackmann.
Capítulo 4
Procesamiento de señales y reducción del
ruido.
El desarrollo de los algoritmos correspondientes para el procesamiento y reducción de ruido
se presentan en éste apartado. Basados en la descripción de los diagramas a flujo y diagramas
a bloques de los algoritmos mostrados pueden ser utilizados de igual manera para otro lenguaje
y otro entorno, en este caso se presenta la opción del entorno MATLAB.
Figura 21. Diagrama a bloques del sistema de reducción.
Capítulo 4
86
4.1 Entorno.
MATLAB (Abreviatura de Matrix Laboratory) es un lenguaje de alto nivel y un entorno
interactivo para el cálculo numérico, visualización y programación. Usando MATLAB se
pueden analizar datos, desarrollar algoritmos y crear modelos y aplicaciones. El lenguaje, las
herramientas y las funciones integradas de matemáticas permiten explorar múltiples enfoques
de un fenómeno a modelarse para llegar a la solución más rápida que con otras hojas de cálculo
o lenguajes de programación tradicionales.
Se puede utilizar MATLAB para una amplia gama de aplicaciones, incluyendo procesamiento
digital de las señales y comunicaciones, procesamiento de imágenes y video, sistemas de
control, prueba y medición, las finanzas computacionales, y la biología computacional entre
otras. Más de un millón de ingenieros y científicos en la industria y academia usan MATLAB,
un lenguaje de cálculo técnico y útil que se utilizará para mostrar objetivamente el desarrollo
de este proyecto.
Existes numerosas herramientas especializadas predefinidas basadas en algoritmos numéricos
de fácil acceso para facilitar el cálculo y el análisis a la vez, así como también funciones que
ejecutan determinada labor que inclusive el desarrollador puede crear; algunas de las cuales,
de suma importancia en el desarrollo del trabajo, se explican más adelante.
4.1.1 Detección de señales y el proceso de muestreo.
Una señal puede ser detectada y leída para después ser procesada a través de su archivo
digitalizado de extensión (.wav), utilizando la función de lectura de archivos de audio
predefinida:
Capítulo 4. Procesamiento de señales y reducción del ruido
87
Otro tipo de señales útiles son definidas manualmente a través de una función matemática, un
intervalo o dominio y un número de muestras determinado, recordando que se trabaja con
señales discretas, los valores estarán disponibles en un vector de longitud fija,
implementándose de la siguiente manera:
4.1.2 Función espectral en frecuencia.
Dada una función o señal en el tiempo, se define como el espectro frecuencial a la aplicación
lineal que ejerce la transformación integral de Fourier sobre la señal misma, dibujándose
formas de onda correspondientes al dominio frecuencial. La transformada rápida de Fourier,
conocida también como FFT, es un algoritmo computacional capaz de producir dicha
representación frecuencial manejando señales o funciones discretas cuyos valores se
encuentran en el vector de la señal.
fs = 100; % Número de muestras t = 0:1/fs:15; % Intervalo de tiempo de 0 a 15 seg. x = (1.3)*sin(2*pi*1*t); % Función matemática senoidal a 1 Hz.
plot(t,x) % Gráfica de la función x.
function [y,Fs,bits,opt_ck] = wavread(varargin)
%
% WAVREAD Lectura de un archivo de sonido (".wav").
%
%
% Y = WAVREAD(FILE) Lee un archivo WAVE especificado
% devolviendo los datos muestreados en un vector Y.
% La extensión “.wav” es añadida si no se especifica.
%
% [Y,FS,NBITS] = WAVREAD(FILE) regresa la tasa de muestreo (FS) en
% Hertz y el número de bits por muestra (NBITS) usada para codificar
% los datos en el archivo.
Capítulo 4
88
El algoritmo ideal para la tarea de transformación que se puede hallar en MATLAB es por
medio de la función descrita a continuación:
Y = fft(x) Regresa la transformada discreta de Fourier (DFT) del vector
“x”, calculado a través del algoritmo rápido de Fourier (FFT). Si
la entrada “x” es una matriz, Y = fft(X) regresa la transformada
de Fourier de cada columna en la matriz. Si la entrada “x” es un
arreglo multidimensional, fft opera en la primera dimensión.
Y = fft(X,n) regresa los n-puntos de la DFT. fft(X) es equivalente a
fft(X,n) donde n es el tamaño de “x” en la primera dimensión. Si
la longitud de “x” es menor que “n”, “x” se rellena con ceros de
longitud “n” hacia la derecha. Si la longitud de “x” es mayor que
“n”, la secuencia “x” es truncada. Cuando “x” es una matriz, la
longitud de las columnas es ajustada de la misma manera.
Y = fft(X,[],dim) y Y = fft(X,n,dim) aplica el operador FFT a lo largo
de la dimensión “dim”
Capítulo 4. Procesamiento de señales y reducción del ruido
89
4.1.3 Función de gráfica espectrograma.
Como se sabe, el espectrograma es una gráfica que representan las variaciones frecuenciales
dependientes del tiempo, y es basada su construcción en el análisis de Fourier por medio de
ventanas. El algoritmo de la construcción de un espectrograma se basa en mediciones
importantes de frecuencia dadas por la función FFT, es por consiguiente una herramienta que
también hace uso de señales discretas. Los parámetros significativos se expresan de la siguiente
manera:
function varargout = spectrogram(x,varargin)
% % SPECTROGRAM Crea un espectrograma utilizando la Transformada de
% de Fourier en tiempo reducido (STFT)
% % S = SPECTROGRAM(X) regresa el espectrograma de una señal específica de % un vector X en una matriz S. Por defecto, X es dividido en ocho
% segmentos con 50% de traslape, cada segmento es ventaneado por una % ventana de Hamming. El números de puntos en frecuencia usados para % calcular la transformada discreta de Fourier es igual al máximo de % 256 o la siguiente potencia de dos mayor a la longitud de cada % segmento de X. % Si X no puede ser dividida exactamente en ocho segmentos, X será % truncada. % % S = SPECTROGRAM(X,WINDOW,NOVERLAP,NFFT,Fs)
%
% WINDOW: Una ventana en forma de vector divide X en segmentos de
% longitud igual a la longitud de la ventana. Si la ventana es un número
% entero se divide X en segmentos de longitud igual al valor del entero
% y una ventana de Hamming de longitud igual es utilizada.
%
% NOVERLAP: Es el número de muestras en que cada segmento de X se
% sobrepone, el número de veces en que la ventana se desplaza a lo largo
% del vector X. Debe ser un valor menor a la longitud de la ventana.
%
% NFFT: Especifica en número de puntos en frecuencia utilizados para
% calcular la transformada discreta de Fourier.
%
% Fs: Es la frecuencia de muestreo dada en Hertz.
%
% Matriz S: Es la matriz generada por el espectrograma la cual
% contiene los valores de la STFT con columnas en tiempo y filas en
% frecuencia.
%
% [S,F,T,P] = SPECTROGRAM(...) regresa los valores del tiempo y de % frecuencia en los vectores T y F respectivamente, dando las
% dimensiones de columnas y filas para la Matriz S. P es una matriz
% que representa la densidad espectral de potencia (PSD) de cada
% segmento.
Capítulo 4
90
La matriz 𝑆 con la que se trabaja para la representación gráfica de las formas en tiempo y
frecuencia es de dimensiones [𝑚 𝑥 𝑛] donde 𝑚 es el vector en frecuencia 𝐹 y 𝑛 es el vector en
tiempo 𝑇 de tal manera que para funciones reales 𝑥 ∈ ℝ o señales físicas captadas, el tamaño
de 𝑆 se obtiene a partir de sus parámetros que se definen dentro de la función de espectrograma:
𝑆[𝑚𝑥𝑛] =
{
𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 [𝑛] =
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑(𝑥) − 𝑁𝑂𝑉𝐸𝑅𝐿𝐴𝑃
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑(𝑤𝑖𝑛𝑑𝑜𝑤) − 𝑁𝑂𝑉𝐸𝑅𝐿𝐴𝑃
𝐹𝑖𝑙𝑎𝑠[𝑚] = {𝑁𝐹𝐹𝑇 𝑝𝑎𝑟 → 𝑚 = (
𝑁𝐹𝐹𝑇
2) + 1
𝑁𝐹𝐹𝑇 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 → 𝑚 =(𝑁𝐹𝐹𝑇 + 1)
2
El significado gráfico del valor Noverlap se halla en la siguiente figura, Figura 22. La ventana
de tamaño establecido es desplazada una cantidad de veces, dicha cantidad debe ser menor que
la longitud de la ventana.
Figura 22. Traslape de ventanas.
(4.1)
Capítulo 4. Procesamiento de señales y reducción del ruido
91
4.2 Construcción del gráfico.
Utilizando las funciones predefinidas que proporciona un entorno de programación se busca
representar funciones matemáticas y señales físicas de cualquier tipo a través de un
espectrograma que se construye en relación directa con el tipo de ventana y sus parámetros en
el dominio temporal y del dominio frecuencial, es así como se ajusta la resolución adecuada.
Un diagrama a bloques para la construcción de un espectrograma se muestra en la siguiente
figura, Figura 23. A paso de la señal de entrada a través de cada bloque, la operación respectiva
es calculable por una función predefinida del entorno. La elección de los valores o parámetros
correctos depende de las características de la señal de entrada y los objetivos principales de
dicho procesamiento, se obtiene así un sistema confiable para el análisis de señales por medio
de gráficos.
Figura 23. Diagrama a bloques para la construcción de un espectrograma.
El cambio de una señal analógica hacia una señal digital lo realiza cualquier sistema
computarizado en el cual a través de las funciones de lectura de información se plasman sus
Capítulo 4
92
valores en vectores y se muestra una frecuencia de referencia con la que ha sido capturada la
señal, este procedimiento ha sido explicado con anterioridad.
Con respecto al proceso del producto de las señales con la función ventana del segundo bloque
o también conocida como la acotación de la señal en porciones definidas en tiempo, se requiere
hacer un análisis estructurado de los parámetros de la ventana tomando en cuenta la teoría
previa referente a la relación entre los dominios para después ser calculado un espectro
frecuencial.
Se sabe que la clasificación de las señales es extensa, sin embargo dos clasificaciones
importantes que se tomaron en cuenta para hacer un estudio de la incertidumbre en el análisis
de Fourier son aquellas que describen perfectamente la forma de la señal en los dominios del
tiempo y de la frecuencia es decir, funciones o señales de duración finita y de ancho de banda
finito. Una señal puede ser clasificada como finita si se dibujan formas de onda perceptibles
en un intervalo finito de valores y fuera de este la forma de onda puede ser considerada
despreciable o incluso cero. Como se observa en la Figura 24.
Figura 24. Señales de longitud finita.
A partir de la longitud del intervalo finito y los valores considerados dentro de la señal se
propone el tamaño de la ventana en tiempo sabiendo bien que la resolución en un dominio esta
inversamente relacionado en el otro. Para hablar de resolución se analiza de manera clara la
señal tanto en tiempo como en frecuencia, ya que la longitud de la ventana seleccionada podrá
captar valores frecuenciales mayores o iguales al inverso del tamaño de la ventana. Es decir,
Capítulo 4. Procesamiento de señales y reducción del ruido
93
si la señal en frecuencia cubre un intervalo mayor a 𝐵 Hertz, la ventana deberá tener una
longitud de 1/𝐵 segundos como mínimo, esto se describe en la Figura 25.
Figura 25. Parámetro de ventaneo.
Una vez establecidos los parámetros de la ventana para que la señal sea dividida en tramos, el
algoritmo de la transformada rápida de Fourier (FFT) interviene para la obtención de tantos
espectros frecuenciales como divisiones temporales de la señal. A cada intervalo temporal se
le asocia un espectro frecuencial de tal manera que se conoce el tiempo donde ocurren algunos
valores frecuenciales, es en esencia la transformada de Fourier en tiempo reducido (STFT).
Figura 26.
El espectrograma también es capaz formar un gráfico tridimensional haciendo el cálculo de un
parámetro indispensable que va en relación con el tiempo y la frecuencia de tal forma que nos
indica el nivel de potencia de la señal en instantes específicos, es decir mediciones de la
potencia instantánea. Un eje ortogonal se agrega mostrando niveles de potencia instantánea
con unidades en decibeles (dB), dichos valores de potencia se especifican con un tono de color
dependiendo del intervalo al que pertenezcan. Los valores prominentes de la señal se notarán
visualmente como niveles más altos de potencia. Figura 27.
Capítulo 4
94
Figura 26. Espectrograma.
Figura 27. Espectrograma en 3D.
Capítulo 4. Procesamiento de señales y reducción del ruido
95
4.3 Tratamiento del espectrograma.
Se sabe que el cálculo del espectrograma mediante un algoritmo que simule la transformada
de Fourier en tiempo reducido, se le asocia una matriz de valores calculados a partir de la
transformada rápida de Fourier para cada ventana, esta matriz supone un número definido de
valores ordenados según la presencia en tiempo y en frecuencia; la matriz denominada 𝑆 es
quien contiene dichos valores los cuales dan forma a la gráfica.
Una matriz de gran uso es la matriz de valores de potencia instantánea 𝑃𝑖, los valores más
significativos de potencia de la señal estarán mejor marcados en la gráfica lo que permite
visualizar las componentes más importantes dadas las coordenadas de tiempo y frecuencia. La
matriz 𝑃𝑖 se obtiene en decibeles por la operación:
𝑃𝑖 = 10 log(𝑎𝑏𝑠(𝑆))
La matriz 𝑃𝑖 adquiere las mismas dimensiones que el espectrograma en 𝑆. Figura 28.
Figura 28. Matriz de espectrograma S; vectores frecuencia y tiempo F,T.
(4.2)
Capítulo 4
96
4.3.1 Proceso de filtrado.
El proceso de filtrado de una señal consiste principalmente en eliminar algunos componentes
en frecuencia indeseables y dar paso a componentes que se necesitan para su análisis. Un
filtrado selectivo en frecuencia selecciona con exactitud algunas bandas de frecuencia en el
espectro y rechaza otras con el objetivo de retener valores espectrales de la señal original
suprimiendo otros pero sin dañar a la señal en sí. Es esto un principio básico de las
comunicaciones.
La forma general de producir un filtrado de frecuencias es mediante algún algoritmo para
señales discretas o convertidas desde analógicas, utilizando las funciones preestablecidas
según el entorno de trabajo que dan forma a filtros sumamente conocidos en la teoría de las
comunicaciones por la manera en que permiten o suprimen el paso de las componentes
frecuenciales, algunos de los más conocidos son filtro Butterworth, filtro de Chebyshev, filtro
tipo Bessel, entre otros.
A partir de los vectores en tiempo y en frecuencia producidos automáticamente por la función
SPECTROGRAM, una forma alternativa de suprimir componentes frecuenciales es determinar
el ancho de banda de la señal y especificando para que valores en frecuencia del vector 𝐹 debe
atenuar los valores en las filas de la matriz 𝑆.
El diagrama de flujo, Figura 29, muestra una condicional que realiza la operación de filtrado,
si los valores en frecuencia del vector 𝐹 se encuentran dentro de un intervalo 𝐷, la componente
correspondiente en 𝑆 se mantiene, en caso contrario se hace cero, muy similar al método de
umbralización fija para reducción de ruido.
Capítulo 4. Procesamiento de señales y reducción del ruido
97
Figura 29. Diagrama a flujo del proceso de filtrado.
4.3.2 Proceso de reducción del ruido.
Este proceso de reducción del ruido a partir de mediciones gráficas en el espectrograma supone
el ruido como valores indeseables de potencia que se perciben alrededor de los valores de
potencia de la señal que se necesita aislar. El algoritmo para la reducción de ruido consiste en
identificar los valores de potencia en decibeles de la señal original, proponiendo un rango
dentro del cual no sufran modificaciones. Todos aquellos valores fuera del rango deben ser
atenuados por un factor de 𝛼, este algoritmo es basado en los métodos de umbralización para
reducción de ruido. Figura 30.
La matriz de potencia instantánea 𝑃𝑖 de la señal que es medida en decibeles brinda los
parámetros para decidir y fijar un rango adecuado en el cual los componentes en la matriz de
espectrograma 𝑆 se modifican o se mantienen. Es decir que la matriz 𝑃𝑖 es utilizada como
referencia para el tratamiento de los valores dentro de la matriz 𝑆.
Capítulo 4
98
Figura 30. Diagrama a flujo del proceso de reducción de ruido.
Es de suponer que en un método para la reducción de ruido se debe considerar el efecto que
produce el ruido sobre la señal y una comparación entre ambas mediciones, es decir tomar en
cuenta la relación señal a ruido SNR para proponer un valor de umbral mínimo adecuado bajo
el cual, la atenuación de los componentes en el espectrograma es inminente. La relación señal
a ruido muestra que tan amplios son los niveles de la señal original con respecto al ruido, entre
más grande es el valor de SNR mayor es el margen de claridad y limpieza de la información,
este concepto también es aplicable a sistemas completos de comunicación. Si dicha relación
tiende al valor de 1 significa que tanto la potencia de la señal como la potencia del ruido son
iguales, en este caso se sabe que la señal está contaminada completamente y un algoritmo o
método para el tratamiento y reconocimiento de la información se vuelve sumamente complejo
e irreconocible por consiguiente.
Para que la atenuación del ruido se dé con éxito se establece un nivel mínimo detectable que
hace referencia a las mediciones de la señal y del ruido, mayormente por experimentación se
sabe que un nivel mínimo va con una relación señal a ruido a 10 dB, a partir de este valor el
rango 𝑅 del algoritmo anterior proporciona un intervalo en el cual los valores de la matriz
espectrograma 𝑆 son filtrados.
Capítulo 4. Procesamiento de señales y reducción del ruido
99
4.3.3 Proceso de reconstrucción.
La reconstrucción de una señal a partir del espectrograma modificado obedece de manera
similar el procedimiento que se lleva a cabo en la construcción directa de un espectrograma es
decir, tomar en cuenta los parámetros propuestos como valores de ventaneo, número de
traslape y número de muestras desde un inicio y mantenerlos aplicando la misma temática sin
embargo, considerando de forma notable la invertibilidad de la transformada de Fourier y
funciones predefinidas que el entorno brinde para un análisis más efectivo.
La señal reconstruida debe igualar su longitud a la señal original.
100
Capítulo 5
Implementación e interpretación de
resultados.
5.1 Implementación de los procesos.
El conjunto de los procesos estudiados en el capítulo anterior dan forma al algoritmo completo
para la reducción de ruido en señales y por consiguiente un programa que ejecuta dicha acción
basada en el entorno MATLAB ha sido creado. Un diagrama a bloques del sistema del
procesamiento se describe en la Figura 31. Cada bloque descrito con anterioridad ejecuta las
acciones correspondientes para lograr un tratamiento adecuado de la información.
Figura 31. Diagrama a bloques de la implementación.
Capítulo 5
102
5.2 Gráficas del ventaneo.
Las distintas formas de onda que pueden ocuparse para realizar el análisis espectrográfico de
una señal proporcionan diferentes resultados a la matriz de valores del espectrograma, aunque
en algunos casos los valores son sumamente parecidos debido a la similitud de las ventanas
requeridas, como se logró comprobar el análisis de éstas en el apartado de diseño de ventanas.
Enseguida, Figura 32, se muestran las gráficas creadas mediante algunas funciones ventanas
para una misma señal.
a) b)
c) d)
Figura 32. Ventanas. a) Gaussiana, b) Rectangular, c) Hamming, d) Hanning.
Capítulo 5. Implementación e interpretación de resultados
103
5.3 Tratamiento de señales como funciones matemáticas.
Las funciones matemáticas describen de manera ideal muchos tipos de señales encontradas en
el medio ambiente, de las cuales son producidas por algunos sistemas de comunicación. Un
ejemplo de esto son las señales de radar y sonar. Elementos que permiten conocer la posición
de los objetos alrededor, a través de fenómenos de reflexión con ayuda de pequeños pulsos de
señales que entre otras cosas podrían ser modeladas por funciones matemáticas y desde luego
son afectadas por ruido. Este solo es un ejemplo de la aplicación para la reducción de señales
en sistemas en general con un modelo matemático definido.
5.3.1 Senoidal a 15dB de SNR.
La ejecución del proceso mostrado en páginas previas, especificado para funciones y tomando
como referencia pulsos distintos se obtienen gráficas comparadas como sigue.
Supóngase una señal descrita por la función:
𝑦 = sin (2𝜋𝑓𝑡)
Con una frecuencia 𝑓 = 20𝐻𝑧 definida para un tiempo entre 𝑡 = [0,10] 𝑠𝑒𝑔, cuyas muestras
son tomadas en intervalos de 1/1000 𝑠𝑒𝑔. Dicha función es afectada por ruido de un modelo
de canal AWGN cuya relación señal a ruido 𝑆𝑁𝑅 = 15 𝑑𝐵. Las formas de onda obtenidas de
esta implementación para la función especificada se muestran en las siguientes gráficas.
a) b)
Capítulo 5
104
A continuación se comparan los valores esperados con los resultados obtenidos a través de la
implementación de un filtro promediador de 15vo orden para cada caso estudiado en este
trabajo. De igual forma se hace pasar la señal con ruido al mismo nivel que el mostrado en el
ejemplo anterior, por medio del filtro intentando conseguir una atenuación de ruido. Las formas
resultantes son las siguientes. Figura 34.
c) d)
e)
Figura 33. Gráficas de senoidal a 15 dB de SNR. a) Original, b) Espectro, c) Espectrograma
original, d) Espectrograma procesado, e) Función obtenida.
Capítulo 5. Implementación e interpretación de resultados
105
Figura 34. Comparación entre técnicas de reducción 1.
5.3.2 Senoidal a 5 dB de SNR.
Supóngase ahora la misma señal senoidal con sus parámetros de operación sin embargo, las
mediciones de relación señal a ruido son mayores, es decir que la potencia promedio del ruido
tiende a acercarse a la potencia promedio de la señal, este concepto ha sido descrito
anteriormente. En la práctica 𝑆𝑁𝑅 = 5 𝑑𝐵, solo tres veces por encima del ruido. Figura 35.
a) b)
Capítulo 5
106
Como se puede notar, la relación señal a ruido de gran escala afecta a las señales de manera
irreparable para este y otros algoritmos, sin lograr una eficiente reducción del ruido en el
procesado y el tratamiento. Un valor mínimo aceptable de 𝑆𝑁𝑅 para los sistemas en general es
con un valor de 10 dB.
La comparación con el filtro promediador se observa en la siguiente figura, Figura 36. Al igual
que las formas de onda original y procesada. Nótese el cambio de fase de la señal al pasar por
el filtro promediador.
c) d)
Figura 35. Gráficas de senoidal a 5 dB de SNR. a) Original, b) Espectrograma original,
c) Espectrograma procesado, d) Función obtenida.
Capítulo 5. Implementación e interpretación de resultados
107
Figura 36. Comparación entre técnicas de reducción 2.
5.3.3 Pulsos rectangulares a 13 dB de SNR.
Sea un tren de pulsos rectangulares bipolar con frecuencia 𝑓 = 1 𝐻𝑧 definidos en un espacio
de 0 a 10 segundos y relación señal a ruido 𝑆𝑁𝑅 = 13 𝑑𝐵. La comparación de gráficas
ejecutando el código se muestra como sigue, Figura 37.
a) b)
Capítulo 5
108
La comparación entre formas de onda hace notar que el filtro promediador tiene mejor
desempeño en señales cuyas variaciones están alrededor de un valor fijo, en este caso el escalón
unitario, como se puede percibir en la figura siguiente, Figura 38.
c) d)
e)
Figura 37. Gráficas de pulsos rectangulares a 13 dB de SNR. a) Original, b) Espectro,
c) Espectrograma original, d) Espectrograma procesado, e) Función obtenida.
Capítulo 5. Implementación e interpretación de resultados
109
Figura 38. Comparación entre técnicas de reducción 3.
5.4 Tratamiento de señales de Audio.
A partir de un archivo de audio en formato .wav el cual es precargado en el sistema de
reducción de ruido por medio del código ya mencionado que genera muestras cuyos valores se
expresan dentro de un vector, similar a cuando se definen funciones matemáticas; la reducción
de los componentes indeseables en frecuencia se logran en la ejecución del programa.
Figura 39. Señal de audio original.
Capítulo 5
110
El filtrado en frecuencia para señales de audio depende de las componentes propias de la señal,
se sabe que el oído humano percibe frecuencias hasta de 20000 Hertz sin embargo, muchas de
las señales de audio por ejemplo música varían entre 100 y 10000 Hertz, es así como se
implementa dicho filtrado para este apartado. Nótese la supresión de componentes en las
gráficas de la Figura 40 y su reconstrucción en la Figura 41.
a) b)
c)
Figura 40. Señal de audio. a) Espectro, b) Espectrograma original,
c) Espectrograma procesado.
Capítulo 5. Implementación e interpretación de resultados
111
Figura 41. Señal de audio procesada.
Para las señales de audio, son notables los cambios en las formas de onda que van en relación
con las frecuencias mostradas por el espectrograma. Al aplicar el filtrado promediador a la
misma señal, sin duda la reducción de ruido no es del todo eficiente por este medio. Figura 42
y Figura 43.
Figura 42. Señal de audio del filtro promediador.
Capítulo 5
112
Figura 43. Espectrograma del filtrado promediador.
5.5 Tratamiento de señales de voz.
Es quizás la voz una de las señales más importantes que se manejan en los sistemas de
comunicación. La red telefónica fija es un ejemplo de esto, al igual que la telefonía celular y
tecnologías de voz en redes de comunicación que no dejan de cambiar en beneficio de la
humanidad y mantienen comunicados puntos lejanos sobre el globo terráqueo e inclusive fuera
de la Tierra.
Las características de la voz humana deben ser tomadas muy en cuenta para que no exista
perdida de información importante que puede contener un mensaje de voz, es decir mantener
sobre todas las cosas la inteligibilidad de las señales.
Una de los parámetros importantes de la voz humana es la frecuencia. Muchas de los sistemas
que manejan señales de voz tanto analógicas como digitales proponen un filtrado debido a que
la voz está limitada en frecuencia para un intervalo entre 300 a 10000 Hertz, sabiendo que para
frecuencias menores de los 4000 Hertz sigue siendo completamente entendible. Así se evitan
interferencias con otras señales y reducir de manera importante componentes en frecuencia
Capítulo 5. Implementación e interpretación de resultados
113
indeseables que son generadas por diversas fuentes de ruido y los mismos canales de
transmisión.
Las siguientes gráficas, Figura 44 y Figura 45, muestran el desempeño del programa
procesando una señal de voz citando la oración Hello World! Nótese el filtrado mayor a 4000
Hertz. La relación señal a ruido en este caso será de 17 dB.
a)
c) b)
Figura 44. Señal de voz. a) Voz original, b) Espectro, c) Espectrograma
original.
Capítulo 5
114
La reducción de ruido con ayuda de un filtro promediador se aplica para este caso de señales
de voz y se muestra en la Figura 46. El desempeño del filtrado con el que se intenta suprimir
la mayoría de componentes indeseables en frecuencia no es el adecuado. Nótese las variaciones
prominentes que consecuentemente se hacen perceptibles al oído humano.
a)
b)
Figura 45. Señal de voz procesada. a) Espectrograma procesado,
b) Señal de voz.
Capítulo 5. Implementación e interpretación de resultados
115
a)
b)
Figura 46. Señal de voz del filtro promediador. a) Señal obtenida,
b) Espectrograma del filtrado.
Capítulo 5
116
En la Figura 47, se muestran los espectrogramas para las señales estudiadas en este apartado
pero vistas desde otro ángulo. Se aprecia la reducción en la amplitud de los valores definidos
para ciertos intervalos de tiempo y frecuencia, dibujándose a final de cuentas un espectrograma
distinto donde se nota visualmente que los valores significativos y prominentes de la señal se
mantienen aislados.
a) b)
c)
Figura 47. Espectrogramas perspectiva angular. a) Espectrograma original,
b) Espectrograma procesado, c) Espectrograma regenerado.
Capítulo 5. Implementación e interpretación de resultados
117
5.6 Mediciones para una señal de prueba.
Considérese una señal de prueba cargada al sistema desde su archivo con extensión .wav. Los
valores estadísticos como media, desviación estándar y varianza se describen en la siguiente
tabla para relaciones señal a ruido diferente.
Las gráficas histogramas correspondientes de cada señal para cada medición se muestran más
adelante, nótese las formas de ondas parecidas a la de una distribución gaussiana. De igual
forma se muestran sus graficas de densidad espectral de potencia (PSD) en las siguientes
figuras.
SNR (dB) Señal Media Desviación Varianza
Original 𝟏. 𝟗𝟕𝟕𝟑𝐱𝟏𝟎−𝟓 0.1556 0.0242
5 Ruidosa −8.9640𝑥10−5 0.1784 0.0318
Procesada 5.8473𝑥10−6 0.1220 0.0149
10 Ruidosa 2.4330𝑥10−4 0.1633 0.0267
Procesada 1.2635𝑥10−5 0.1148 0.0132
15 Ruidosa 2.0221𝑥10−5 0.1581 0.0250
Procesada 8.7610𝑥10−6 0.1140 0.0130
20 Ruidosa 3.3494𝑥10−5 0.1565 0.0245
Procesada 9.7602𝑥10−6 0.1138 0.0130
Capítulo 5
118
a) b)
a) b)
Figura 48. Mediciones a 5dB de SNR. a) Histogramas, b) PSD.
Figura 49. Mediciones a 10dB de SNR. a) Histogramas, b) PSD.
Capítulo 5. Implementación e interpretación de resultados
119
a) b)
a) b)
Figura 50. Mediciones a 15dB de SNR. a) Histogramas, b) PSD.
Figura 51. Mediciones a 20dB de SNR. a) Histogramas, b) PSD.
Capítulo 5
120
5.7 Interfaz gráfica de usuario.
Es conveniente desarrollar un entorno amigable para cualquier programa creado que intente
ser utilizado por distintos usuarios, una interfaz gráfica sencilla que permita el amplio
aprovechamiento de los algoritmos y el rápido entendimiento de cada proceso resultante. Todo
esto con el fin de ahorrar tiempo y esfuerzo aunado el cumplimiento de los objetivos
particulares y generales.
GUIDE (Graphical User Interface Development Enviroment) es una aplicación conjunta de
MATLAB que provee herramientas para el diseño gráfico de programas, el cual
automáticamente genera el código y las funciones para cada elemento contenido. La aplicación
creada para la reducción de ruido en señales, Figura 52, se muestra y se describe a
continuación.
1
2
3
4
Figura 52. Programa con interfaz gráfica de usuario.
Capítulo 5. Implementación e interpretación de resultados
121
1. Panel de control:
a. Abrir Audio: Abre un archivo de audio con formato .wav.
b. Grabar: Graba una pista de audio desde micrófono.
c. Elección de la ventana: Dibuja el espectrograma con ventanas de pulsos
Gaussiana, Rectangular, Hamming, Hanning, Blackman y Bartlett.
d. Agregar relación señal a ruido: Añade ruido AWGN en la señal.
e. Procesar: Ejecuta el proceso de reducción de ruido en la señal cargada.
2. Sección de la Señal original:
a. Reproducir: Reproduce el archivo de audio cargado.
b. Espectro: Muestra la gráfica del espectro frecuencial.
c. Espectrograma: Muestra el espectrograma creado.
3. Sección de la señal procesada:
a. Reproducir: Reproduce el archivo de audio una vez procesado.
b. Espectro: Dibuja la gráfica del espectro de la señal tratada.
c. Espectrograma: Muestra el espectrograma modificado.
4. Acerca de: Información sobre la creación del programa.
123
Conclusiones.
Es posible conseguir una reducción significativa de ruido blanco gaussiano en señales que son
utilizadas por diversos sistemas de comunicación y que deben cumplir con determinados
parámetros para conseguir de manera eficiente dicha supresión. La forma en que se realiza es
a través de un algoritmo basado en umbralización para el tratamiento de los valores de las
gráficas en tiempo y frecuencia dibujadas por la transformada de Fourier en tiempo reducido
la cual es una herramienta matemática alternativa de gran potencial que intenta restringir las
limitaciones que surgen en el análisis de Fourier.
Con ayuda de un entorno de programación se presentó detalladamente cada uno de los procesos
del sistema de reducción y el programa que ejecuta las operaciones correspondientes descritas
por los algoritmos y funciones; todo con el objetivo de adecuar las señales y la reducir el ruido
existente. Este sistema por consiguiente, puede ser utilizado e implementado en aplicaciones
donde se requiere disminuir las señales indeseables que están presentes en audio, voz, video,
imágenes, transmisión de datos y redes, señales de radar, enlaces de comunicación entre otras.
Todo con el fin de lograr el máximo aprovechamiento de los recursos técnicos a través de las
herramientas teóricas, este proyecto sienta las bases para el desarrollo de muchas más
aplicaciones basadas en el análisis en ventanas, con relación al tratamiento analógico y digital
de las señales y el desempeño óptimo de los sistemas de comunicación, así como también para
fines educativos.
124
Trabajos a futuro.
Basados en la herramienta matemática y los algoritmos para el tratamiento de señales aquí
presentados, la implementación en otros sistemas como complemento y mejora del mismo trae
consigo el desarrollo de nuevas aplicaciones, enfocados a audio, imágenes, video, redes,
inclusive procesos en tiempo real como de telefonía o videoconferencias que son ampliamente
utilizados hoy en día.
En el área de procesamiento de señales existen diversas herramientas para el tratamiento de
señales y aplicables a todo tipos de sistemas de comunicación con el objetivo de hallar una
mejoría.
Una herramienta igualmente de gran potencial por su uso son las transformaciones Wavelets.
Proveen a los ingenieros de una herramienta flexible para crear e innovar técnicas que
resuelven situaciones referentes a las comunicaciones. Un estudio de la literatura reciente
acerca de Wavelets muestra el enfoque matemático en el impacto de las aplicaciones para
procesar señales de una dimensión (1D) y dos dimensiones (2D), en la acústica de la voz, en
la música, en las imágenes, algoritmos de compresión, detección de objetos, identificación de
patrones e inclusive reducción de ruido. Dadas las grandes ventajas y bastas aplicaciones de
Wavelets sobre otras herramientas se vuelve imprescindible su uso e implementación en
diversas áreas hoy en día.
125
Apéndice A
Análisis en dominios discretos.
El cálculo del análisis de Fourier para funciones continuas se representa por una operación
integral, la función debe ser analíticamente descriptible por funciones elementales como el
seno y coseno, o funciones exponenciales por decir algunas. Dado el avance tecnológico que
permite el análisis de las señales a través de las computadoras para su fácil procesamiento se
tiene la necesidad de recurrir a algoritmos numéricos que efectúen las operaciones y produzcan
algunos de los valores que se obtendrían del modo común; esto es el principal objetivo de
establecer un análisis en dominios discretos.
A.1 Bases discretas y serie de Fourier discreta.
Considérese una función discreta con periodo establecido, es decir para una secuencia
periódica dada, con periodicidad 𝑁, se tiene:
𝑥[𝑛 + 𝑚𝑀] = 𝑥[𝑛], 𝑚 ∈ ℤ
La base de Fourier para esta secuencia periódica solamente tiene 𝑁 funciones base:
𝑒𝑘(𝑛) = 𝑒𝑗2𝜋𝑁𝑘𝑛, 𝑘 = 0, 1,… ,𝑁 − 1
126
Se puede demostrar la periodicidad de la base establecida:
𝑒𝑘+𝑁[𝑛] = 𝑒𝑗2𝜋𝑁(𝑘+𝑁)𝑛 =
= 𝑒𝑘 ∙ 𝑒𝑗2𝜋𝑛 =
= 𝑒𝑘+𝑁[𝑛] = 𝑒𝑘 ∙ 1
Por lo tanto la expansión en serie de Fourier de 𝑥[𝑛] se halla de la forma:
𝑥[𝑛] = ∑ 𝛼𝑘𝑒𝑘[𝑛]
𝑁−1
𝑘=0
=
= ∑𝛼𝑘𝑒𝑗2𝜋𝑁𝑘𝑛
𝑁−1
𝑘=0
El factor 𝛼 representa el coeficiente de Ortogonalidad de la base también de forma discreta de
acuerdo con:
𝛼𝑘 =1
𝑁∑ 𝑥[𝑛]
𝑁−1
𝑛=0
𝑒−𝑗2𝜋𝑁𝑘𝑛
A.2 Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT).
Si existe una secuencia discreta no periódica 𝑥𝑎[𝑛], se puede considerar a la función como de
periodo infinito de igual forma que la integral de Fourier supone. En el caso en que la
periodicidad discreta en tiempo asuma este valor 𝑁 → ∞ se extiende el concepto de
transformación lineal al campo discreto, mientras que la frecuencia con variable 𝜔 es continua:
∆𝜔 = lim𝑁→∞
2𝜋
𝑁→ 𝜔
Dadas las siglas en inglés Discrete-Time Fourier Tranform, el par de DTFT está dado por:
127
𝑋(𝑗𝜔) = ∑ 𝑥𝑎[𝑛]𝑒−𝑗𝜔𝑛
∞
𝑛=−∞
𝑥𝑎[𝑛] =1
2𝜋∫ 𝑋(𝑗𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑛𝑑𝜔𝜋
−𝜋
A.3 Transformada discreta de Fourier (DFT).
La integral de la inversa de la DTFT debe evaluarse para recuperar la función discreta original;
en lugar de ser evaluada la integral es posible obtener valores aproximados mediante una
discretización frecuencial.
Dado que la función supone ser de banda limitada, se discretiza el intervalo donde está definida
frecuencialmente, es decir:
𝜔𝑛 =2𝜋𝑛
𝑁, 𝑛 = −
𝑁
2, … ,
𝑁
2
Por lo tanto la integral puede ser aproximada mediante una sumatoria:
𝑋[𝜔] = ∑ 𝑥𝑎[𝑛]𝑒−𝑗2𝜋𝑁𝜔𝑛
𝑁−1
𝑛=0
La transformada inversa se dará por la siguiente expresión:
𝑥𝑎[𝑛] =1
𝑁∑ 𝑋[𝜔]𝑒𝑗
2𝜋𝑁𝜔𝑛
𝑁−1
𝑛=0
Se puede computarizar la trasformada discreta de Fourier con un algoritmo de 𝑁𝑙𝑜𝑔2𝑁
operaciones conocido como la transformada rápida de Fourier (FFT), uno de los algoritmos
comúnmente utilizados por los programas de cómputo para dar una cifra aproximada de
componentes frecuenciales para señales de todo tipo.
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Anexo. Recomendación UIT-T P.800.
Determinación subjetiva de la calidad de transmisión.
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Glosario.
Algoritmo. Conjunto ordenado y finito de
operaciones que permite hallar la solución a un
problema.
AWGN. Ruido blanco aditivo Gaussiano. (del
Ingles Additive White Gaussian Noise).
CE. Estimación categórica. (del Inglés
Categorical Estimation)
Conjunto. Totalidad de los elementos o cosas
poseedores de una propiedad común, que lo
distingue de otros.
Convergencia. Acción o efecto de dirigirse a
unirse en un punto.
Convolución. Del teorema de la convolución.
Cuantización. Conversión de muestras
analógicas de una señal en muestras digitales.
Degradación. Acción de reducir o desgastar.
Digitalizar. Expresar datos o información de
manera digital.
Distribución. En matemáticas, función que
representa las probabilidades que definen una
variable aleatoria o fenómeno aleatorio.
Dominio. En matemáticas, el conjunto de
valores para los que una determinada función
matemática está definida.
Equidistante. Hallarse a igual distancia de un
punto determinado.
ESD. Densidad espectral de energía. (del Inglés
Energy Spectral Density).
Espectro. En física, representación gráfica de
una distribución en algún dominio.
Espectrograma. Registro gráfico o fotográfico
de los datos de un espectro.
FFT. Transformada rápida de Fourier. (del
Inglés Fast Fourier Transform).
Gaussiano. Aquel con distribución en forma de
campana de Gauss.
Histograma. Representación grafica de una
distribución de frecuencias por medio de
rectángulos, cuyas anchuras representan
intervalos de clasificación y cuyas alturas
representan las correspondientes frecuencias.
Incertidumbre. Desconocimiento absoluto de
una situación.
Invertibilidad. Acción para obtener la forma
inversa de una operación.
Lóbulo. Cada una de las partes o formas de
onda que sobresalen de gráfica.
LPC. Codificación lineal predictiva. (del Inglés
Linear Predictive Coding).
MMSE. Mínimo error cuadrático medio. (del
Inglés Minimum Mean Squared Error).
MOS. Puntuación media de opinión. (del Inglés
Mean Opinion Score).
Momentum. Magnitud física que describe la
cantidad de movimiento.
Muestreo. Acción de conseguir muestras.
Ortogonal. Perpendicular.
Ortonormal. Perpendicular de magnitud
unitaria.
PDS. Procesamiento digital de señales.
PSD. Espectro de densidad de potencia. (del
Inglés Power Spectrum Density).
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SNR. Relación señal a ruido. (del Inglés Signal
to Noise Radio).
STFT. Transformada de Fourier en tiempo
reducido. (del Inglés Short Time Fourier
Transform).
Teorema. Proposición demostrable
lógicamente partiendo de axiomas o teoremas
previamente demostrados.
Umbralización. Método por el cual se
proponen valores para su modificación.
Ventaneo. Acción de analizar en ventanas.
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