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1 Una red de actividades de aprendizaje de cálculo y su relación con la tecnología de la
modelación
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
PROYECTO DE INVESTIGACIÓN:
UNA RED DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE
CÁLCULO Y SU RELACIÓN CON LA TECNOLOGÍA DE LA
MODELACIÓN
Registro asignado por la SIP: 20082490
Director del proyecto:
Claudia Flores Estrada, [email protected], CECyT 5 –IPN.
Investigadores participantes:
Liliana Suárez Téllez [email protected], CFIE- IPN.
José Luis Torres Guerrero [email protected], CECyT 7–
IPN.
Adriana Gómez Reyes, [email protected], CECyT 13-
IPN.
Jaime Javier Salgado Álvarez [email protected], CECyT 5-IPN.
2 Una red de actividades de aprendizaje de cálculo y su relación con la tecnología de la
modelación
ÍNDICE
Resumen
I. Introducción ............................................................................................. 3
II. Planteamiento del problema .................................................................... 4
II.1 Red de Actividades de Aprendizaje ...................................................... 5
III. Marco teórico ......................................................................................... 5
A. Las Tecnologías de la Información y Comunicación para la Enseñanza –
Aprendizaje de las matemáticas ......................................................................... 6
IV. Metodología ........................................................................................... 7
V. Actividad de Aprendizaje de Modelación-Graficación .......................... 8
Secuencia de actividades graficación - modelación ........................................... 8
VI. Puesta en escena ................................................................................ 10
VII. Resultados........................................................................................... 15
VIII. Conclusiones .................................................................................... 15
IX. Impacto ................................................................................................ 22
X. Referencias Bibliográficas ................................................................... 22
3 Una red de actividades de aprendizaje de cálculo y su relación con la tecnología de la
modelación
Resumen
En el presente trabajo se describe y presentan los productos obtenidos del proyecto de
investigación “Una red de aprendizaje de cálculo y su relación con la tecnología de la
modelación” que tiene como propósito analizar la construcción de ideas en el conocimiento
matemático de los diferentes órdenes de variación y de los puntos críticos de la graficación
que logran algunos estudiantes de bachillerato del Instituto Politécnico Nacional y la
Universidad Nacional Autónoma de México al realizar la graficación de una situación real
de movimiento. El marco teórico es la socioepistemología. En particular, se retoma la
hipótesis, planteada de Castañeda (2004) dentro la didáctica del Cálculo, que dice que “la
noción de derivada no puede construirse sino hasta después de haberse construido la idea
de derivada sucesiva”. En términos de una situación de movimiento, este tratamiento
corresponde a las variaciones de la posición y la velocidad.
I. Introducción
Se han reportado en diversas investigaciones (Leinhardt, Stein y Zaslavsky, 1990; Torres,
2004) las dificultades que tienen los estudiantes en la construcción e interpretación de
gráficas, sin embargo, los significados, procedimientos y argumentos que propician en los
estudiantes estas actividades de construcción e interpretación de gráficas no sólo
contribuyen a la comprensión del concepto de función sino que constituye una vía de
construcción de ideas de variación. De esta manera, la graficación se ha revelado en las
investigaciones (véase una revisión amplia en Leinhardt et al 1990) como una de las
estrategias más fecundas para el análisis de las funciones en contextos matemáticos y
extramatemáticos.
La gráfica permite ver las características globales y locales de la función como son: las
variaciones, el crecimiento, la continuidad, la concavidad, los máximos y los mínimos, etc.
Pero también, tomando a la graficación como una vía de construcción se pueden identificar
distintos usos de las gráficas. En este sentido Torres (2004) propone, a partir de una
revisión de libros de texto y de literatura en Matemática Educativa tres usos de las
gráficas:
a) La construcción de gráficas utilizando la relación de correspondencia entre dos
variables.
b) La construcción de gráficas por prototipos, en una parábola, por ejemplo, se estudian las
transformaciones gráficas cuando se le suma una constante, o una recta que pase por el
origen con pendiente positiva o negativa, o una recta que no pase por el origen con
pendiente positiva o negativa o cuando el coeficiente del término cuadrático toma un valor
mayor o menor a la unidad.
c) La representación gráfica por medio de la simulación de un fenómeno físico. Los
dispositivos transductores registran los datos y las calculadoras con poder de graficación
los convierten en tablas y gráficas. Los alumnos realizan un movimiento, obtienen un
registro gráfico de tal manera que al cambiar las características de su movimiento pueden
4 Una red de actividades de aprendizaje de cálculo y su relación con la tecnología de la
modelación
identificar los cambios que se producen en la gráfica. De esta forma se analiza un
fenómeno y al mismo tiempo su representación.
II. Planteamiento del problema
En diversas investigaciones nos reportan las dificultades que presentan los estudiantes en la
graficación e interpretación de la gráfica. El potencial de los significados, procedimientos y
argumentos que propicia en los estudiantes contribuye a la comprensión de la definición
de función, análisis de la derivada e interpretación de la grafica.
Hemos escogido situaciones de aprendizaje que tengan que ver con la modelación gráfica
del movimiento. Describimos este tipo de actividades a través del cuadro siguiente.
Descripción de las actividades de graficación – modelación en el análisis de una
situación de movimiento:
- Proponer un modelo gráfico: se pide diseñar una gráfica que describa los cambios de
posición de una persona que realiza el movimiento descrito. En el momento de realizar
esta tarea se toman decisiones: las variables que intervienen, la escala de la gráfica y las
distancias recorridas en distintos instantes.
- Realizar una simulación: se pide simular el movimiento frente al sensor para obtener
la gráfica estipulada. El movimiento se adapta al alcance del sensor. A partir de
múltiples realizaciones se establecen relaciones entre las características del movimiento
y los diversos comportamientos gráficos obtenidos en la calculadora.
- Efectuar un contraste entre el modelo gráfico y la situación: se pide ajustar el
modelo gráfico original dando cuenta de la situación planteada. Se esperan de los
estudiantes múltiples realizaciones en la simulación del movimiento en las que tomen
decisiones sobre las características que se varían en la situación para la obtención de
distintas gráficas.
Cuadro II.1. Descripción de las actividades de graficación- modelación tomado de Suárez
et al (2005).
Un ejemplo de estas actividades, en cuyo diseño la modelación usa la graficación, es el
problema de movimiento comentado en el Libro del Profesor de Geometría Analítica (IPN,
2006, 109-119).
El análisis de las Actividades de Aprendizaje utilizadas en la presente investigación se
enfoca en la interpretación verbal de las diferentes situaciones: de la situación de
movimiento a la gráfica, de la gráfica de la velocidad a la situación y de la representación
gráfica a la representación algebraica en la que los estudiantes logran una visión cualitativa
de un cierto fenómeno de movimiento describiendo la variaciones de primer y segundo
órdenes de la situación.
5 Una red de actividades de aprendizaje de cálculo y su relación con la tecnología de la
modelación
II.1 Red de Actividades de Aprendizaje La red de actividades de aprendizaje (AA) del cuadro II esta constituida por tres
Actividades de Aprendizaje que permiten un mejor entendimiento en el estudiante de
Nivel Medio Superior. Esta red de actividades se vincula desde perspectivas diferentes y se
articulan de varias maneras para cumplir diversos objetivos didácticos.
En la implementación de cada AA de la red se tuvieron dos momentos. Momento I: Cada
AA se realiza a lápiz y papel (sin uso de transductores); Momento II: cada AA se realiza
con uso de tecnología como lo son la calculadora con poder de graficación y los sensores
de movimiento CBR y un software graficador.
De la situación de
movimiento a la gráfica
De la gráfica de velocidad a
la situación
De la representación gráfica a
la algebraica de la situación
Cuadro II.2. Red de Actividades de de Aprendizaje: graficación- modelación.
III. Marco teórico
El marco teórico es la socioepistemología. En particular, se retoma la hipótesis, planteada
de Castañeda (2004, 26) dentro la didáctica del Cálculo, que dice que “la noción de
derivada no puede construirse sino hasta después de haberse construido la idea de derivada
sucesiva.
6 Una red de actividades de aprendizaje de cálculo y su relación con la tecnología de la
modelación
Los programas vigentes de matemáticas en el Nivel Medio Superior del IPN (IPN, 1994-
1996) establecen la modelación como una línea de desarrollo del currículo a través de
varios cursos. En la instrumentación didáctica y en la lista de contenidos de los programas
de Matemáticas se observa como una constante la graficación de funciones, ecuaciones y
conjuntos de datos. El método gráfico simultáneo de las variaciones de una función
corresponde a la relación que guardan la función )(xf y sus derivadas sucesivas
)('')(' xfyxf en una situación real de movimiento. En los paquetes didácticos
publicados por el Instituto Politécnico Nacional ha incluido una gran variedad de
situaciones de aprendizaje con el uso de gráficas en ambientes tecnológicamente
enriquecidos (Flores, 2007).
La socioepistemología es una aproximación teórica que incorpora de forma sistémica
cuatro componentes: la cognitiva, la epistemología, la didáctica y la social para el
desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes.
La cognitiva se encarga de los procesos mentales, las representaciones y los
procedimientos que utiliza el estudiante al apropiarse del conocimiento de las herramientas
tecnológicas para dar cuenta de su aprendizaje en las diferentes representaciones como son
la verbal, tabular, algebraica, gráfica y la simulación. En este sentido se pretende dar
evidencias de los puntos globales de las gráficas en una situación de modelación de
movimiento donde aparecen de forma simultánea la posición y las variaciones de la
posición y la velocidad.
La epistemología es la que tiene que ver con el contenido matemático de enseñanza desde
su perspectiva de origen y funcionamiento así como las distintas concepciones que utilizan
para graficar.
La didáctica en relación al profesor especialmente desde la determinación de aprendizajes
conceptuales, procedimentales y actitudinales; los cuales se van construyendo durante las
discusiones (primero en los equipos y después grupales) cuando los estudiantes cuestionan
y argumentan a través de sus conocimientos previos, cuando el profesor dirige la discusión
hacia los aprendizajes particulares que pretende reforzar y en cuanto a las conclusiones que
se llegue en las discusiones grupales.
La social, la modelación –graficación es una actividad humana relacionada con la
práctica social en la que se construyen significados matemáticos a partir de significados
propios, de contexto, de historia y epistemológicos.
A. Las Tecnologías de la Información y Comunicación para la
Enseñanza – Aprendizaje de las matemáticas
Actualmente en el ámbito escolar el uso de las TIC tienen una vital importancia en la
enseñanza – aprendizaje. Cabrero (2000) nos define a las Nuevas Tecnologías de la
Información y Comunicación como instrumentos técnicos que giran entorno a los nuevos
descubrimientos de la información, la cuales pueden ser integradas en la enseñanza desde
diferentes perspectivas como recurso didáctico, objeto de estudio, de comunicación ye
7 Una red de actividades de aprendizaje de cálculo y su relación con la tecnología de la
modelación
expresión, organización, gestión y administración educativa y como instrumento para la
investigación
Actualmente las calculadoras algebraicas cuentan con sistemas de representación numérico
y gráfico, y un sistema de manipulación algebraico. Las calculadoras como herramientas
de reorganización cognitiva tienen una característica que distingue a su sistema de
representación de los sistemas escritos: pueden procesar las representaciones.
El uso de tecnología como los dispositivos transductores los alumnos realizan un
movimiento y simultáneamente tienen un registro gráfico de tal manera que al cambiar las
características de su movimiento pueden identificar los cambios que se producen en la
gráfica. De esta forma se analiza un fenómeno y al mismo tiempo su representación.
IV. Metodología
En la metodología se parte de una red de Actividades de Aprendizaje donde se realiza un
análisis a priori y un análisis a posteriori. En el análisis a priori se menciona el propósito de
cada una de las actividades de aprendizaje y las relaciones que se espera que el estudiante
establezca. En el análisis a posteriori nos muestra las evidencias de las relaciones que el
estudiante logra establecer en las diferentes relaciones. Cada actividad de aprendizaje se da
en dos momentos. El primer momento es sin uso de la tecnología: la realización de la
Actividad de Aprendizaje a lápiz y papel y en el segundo momento es con uso de la
tecnología como lo son la calculadora con poder de graficación y el sensor de movimiento
CBR.
En la red de Actividades de Aprendizaje (AA) de graficación – modelación. En cada
actividad de aprendizaje se debe proponer un modelo gráfico, realización de una
simulación y el contraste entre el modelo gráfico y la situación planteada.
Cada Actividad de Aprendizaje tiene una finalidad en la que se permite al discente no sólo
trabajar de forma colaborativa sino conocer y aplicar estrategias y competencias para su
aprendizaje.
De acuerdo a la estructura de la red de actividades de aprendizaje modelación-graficación
(véase Cuadro II.2) cada actividad de aprendizaje se organizó en cada CECyT (CECyT 5 y
CECyT 7) y CCH Sur .
Cada actividad de aprendizaje que conforma esta red de actividades de graficación-
modelación se consideran dos momentos: momento I sin uso de tecnología, realización de
cada una de las actividades de aprendizaje a lápiz y papel y momento II con uso de
tecnología como las calculadoras con poder de graficación y los sensores de movimiento, 3
a 7 integrantes en clase y en extraclase para la compresión, realización y/o terminación de
la actividad.
Se le proporciona la actividad de aprendizaje impreso a cada equipo. Los estudiantes lo
analizan y realizan la actividad de aprendizaje a lápiz y papel. Se eligen de uno a dos
equipos para la exposición del problema con mayor avance en la actividad de aprendizaje.
8 Una red de actividades de aprendizaje de cálculo y su relación con la tecnología de la
modelación
En el momento II es mediante el uso de la tecnología como la calculadora con poder de
graficación y el sensor de movimiento CBR para la simulación de la situación de
movimiento. Simulan el movimiento frente al sensor para obtener la gráfica estipulada en
cada actividad de aprendizaje. El estudiante analiza lo realizado a lápiz y papel al
contrastarse con el uso de tecnología.
Recopilación de datos: descripción de los registros.
Para realizar el análisis del trabajo realizado por los estudiantes se cuenta con los reportes
descritos por los integrantes de cada equipo y video.
Los reportes hechos por los miembros del equipo, en los cuales se decide el trabajo por
ellos, así como las decisiones planteadas para dar respuesta a la solución de la situación de
aprendizaje.
Toma de datos
A partir de las preguntas de investigación formulada en este trabajo de investigación, se
optó por la realización de la red de actividades graficación – simulación para el
entendimiento matemático de la situación de aprendizaje “Gula ratonil” y “Relaciones
peligrosas”.
V. Actividad de Aprendizaje de Modelación-Graficación
Las Actividades de Aprendizaje que sirven para analizar el trabajo de los estudiantes son
Gula Ratonil y Relaciones peligrosas. Dicho análisis, presentado en el capítulo siguiente
aporta las evidencias para responder las preguntas de investigación.
Secuencia de actividades graficación - modelación
El término „red de experiencias de aprendizaje‟ ha sido usado en los Paquetes Didácticos
de Matemáticas del IPN (PDM)1 para denominar a un conjunto de actividades de
aprendizaje que incluyen problemas que se distinguen a su vez en problemas, problemas
con guía y proyectos, lecturas, ejercicios, tareas y autoevaluaciones (IPN, 2004, 9). Para
hacer la planeación del conjunto de actividades de aprendizaje para cumplir los objetivos
de algunas de las unidades del programa de estudio se proponen „Secuencias de
Actividades de Aprendizaje‟ (IPN, 2004, 11). (SAA)
La red de actividades de graficación-modelación fue considerada por el tipo de actividades
de aprendizaje que permite al estudiante tener una mejor compresión en las matemáticas
tomando en cuenta su: conocimiento previo, la incorporación de Tecnologías de la
1 Los PDM forman parte de un proyecto coordinado por el Centro de Tecnología Educativa del
Instituto Politécnico Nacional (2001-2007) y tiene como propósito dotar al profesor y al estudiante
de materiales de calidad, elaborados usando el conocimiento generado por las investigaciones y
aplicado de manera sistemática, que les permitan trabajar conjuntamente para lograr los objetivos
institucionales del área de matemáticas. (Véase Suárez et al 2005).
9 Una red de actividades de aprendizaje de cálculo y su relación con la tecnología de la
modelación
Información y Comunicación (TIC), e introduciendo modalidades de trabajo innovadoras
como el trabajo en equipos y la discusión grupal.
A continuación presentamos la secuencia de AA de red de actividades de graficación-
modelación y el desarrollo de la solución de la AA de interés para nuestra investigación.
- AA „Epifanía‟, actividad de aprendizaje que consiste en problematizar la variación a
partir de las gráficas que los estudiantes proponen a una situación de movimiento de una
persona que se aleja de un punto de partida hasta quinientos metros y que en el trayecto se
detiene cuatro minutos. (Esta AA ha sido analizada y reportada por Torres (2004)). Esta
AA sirve como antecedente a la investigación por su capacidad para desarrollar la
habilidad de análisis gráfico en los estudiantes.
-AA „La gula ratonil‟, actividad de aprendizaje que consiste en partir de la gráfica de la
velocidad se pide a los estudiantes que respondan preguntas sobre la posición y la
velocidad.
- AA „Relaciones peligrosas‟, actividad de aprendizaje que consiste en lograr una relación
entre las características gráficas con sus respectiva función.
Caracterización del problema
Los problemas „Gula ratonil‟ y „Relaciones peligrosas‟ son una buena situación de
aprendizaje ya que tiene el potencial para lograr en el estudiante aprendizajes
significativos. Dicha caracterización es parte de los trabajos realizados por la Academia
Institucional de Matemáticas (AIM) (AIM-NMS-IPN, 2002).
De la caracterización del problema planteado se destaca lo siguiente:
Es una experiencia de aprendizaje de resolución de problemas.
La modalidad de trabajo es por equipos de 3 a 5 estudiantes.
El sitio de trabajo es el salón de clases.
Las herramientas son calculadora con poder de graficación y sensor de movimiento
(CBR).
El tiempo estimado para su realización es de dos horas.
Los productos de la actividad son los reportes de los estudiantes.
La situación de aprendizaje cumple con algunas referencias curriculares, en relación a los
contenidos declarativos, contenidos procedimentales y contenidos actitudinales.
En la situación de aprendizaje es considerada el análisis a priori la solución de referencia
de las actividades de aprendizaje y los registros de los estudiantes.
Análisis a priori
En el análisis a priori se considera la solución de referencia de las actividades. La solución
de referencia es un documento que contiene una solución que se elabora considerando los
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modelación
conocimientos que se ponen en juego durante la resolución del problema o la realización
de la actividad de aprendizaje, de acuerdo con los Paquetes Didácticos de Matemáticas
(IPN, 2006). Se consideran los diversos registros por los que el estudiante puede transitar
(verbal, numérico, algebraico).
VI. Puesta en escena
Las Actividades de Aprendizaje se realizaron a estudiantes del Nivel Medio Superior de 16
a 19 años.
Actividad de Aprendizaje „Gula Ratonil‟
Equipo 1 Actividad de Aprendizaje „Gula Ratonil‟
Pregunta
Gráfica
Ejemplo de una puesta en escena
Usa la información que proporciona la gráfica para calcular los tiempos en los que
1) El ratón cambia de sentido.
2) El ratón se mueve más rápidamente a la derecha (a la izquierda)
3) El ratón se encuentra más alejado, a la derecha, del centro (más alejado a la izquierda).
4) La rapidez del ratón es decreciente.
5) El ratón está en el centro del túnel.
1. El ratón cambia de sentido a los:
2.5 s hacia la derecha
11.5 s hacia la izquierda
22.5 s hacia la derecha
28.5 s hacia la izquierda
2. El ratón se mueve más rápidamente a los:
2.5 s hacia la derecha
11.5 s hacia la izquierda
3. El ratón se encuentra más alejado a la derecha del
centro a la izquierda.
El ratón se encuentra más alejado del centro del centro a
los 2.5 s hacia la izquierda y a los 11.5 hacia la derecha.
4. La rapidez del ratón es decreciente a partir de los 25
segundos.
5. El ratón esta en el centro del túnel a los 6 s, 18 s, 27s y
30 s.
d) Formula dos preguntas sobre el movimiento del ratón y respóndelas.
¿Cuándo la rapidez del ratón es mayor?
De los 2.5 segundos a los 11.5 segundos.
¿Cuándo el ratón está en el centro del túnel?
A los 6 s, 18s y 27 s
e) Usa un dispositivo transductor para simular el movimiento del ratón y verifica, con las gráficas obtenidas de la simulación,
Cuando utilizamos el dispositivo para simular el
movimiento se dificultó, ya que las gráficas no nos salían
como debían de ser, pero fuera de esto fue una agradable
experiencia.
11 Una red de actividades de aprendizaje de cálculo y su relación con la tecnología de la
modelación
la descripción que hiciste en el inciso b.
Equipo 2 Actividad de Aprendizaje „Gula Ratonil‟
Pregunta
Gráfica
Ejemplo de una puesta en escena
a) Usa la información que proporciona la gráfica para calcular los tiempos en los que
1) El ratón cambia de sentido.
2) El ratón se mueve más rápidamente a la derecha (a la izquierda)
3) El ratón se encuentra más alejado, a la derecha, del centro (más alejado a la izquierda).
4) La rapidez del ratón es decreciente.
5) El ratón está en el centro del túnel.
Equipo 3 Actividad de Aprendizaje „Gula Ratonil‟
Pregunta
Gráfica
Ejemplo de una puesta en escena
a) Usa la información que proporciona la gráfica para calcular los tiempos en los que
6) El ratón cambia de sentido.
7) El ratón se mueve más rápidamente a la derecha (a la izquierda)
8) El ratón se encuentra más alejado, a la derecha, del centro (más alejado a la izquierda).
9) La rapidez del ratón es
= +2.5 s
=+9s
=+11s
=+ 6S
1. El ratón cambia de velocidad durante un
determinado tiempo, esto es porque corre de un
extremo a otro, el tiempo lo deducimos de acuerdo a la
gráfica que nos proporcionaron.
2. El ratón si se mueve más rápidamente a la derecha
a la derecha, ya que de acuerdo a los intervalos de
tiempo que tomamos que no fueron desde cero sino
12 Una red de actividades de aprendizaje de cálculo y su relación con la tecnología de la
modelación
decreciente.
10) El ratón está en el centro del túnel.
que los tomamos desde el primer punto más alto hasta
el primer punto más bajo.
3. De acuerdo a la misma justificación anterior y
obteniendo la distancia se recorrió (d=vt) y se
encuentra más alejado a la izquierda.
4. de acuerdo a los cálculos ya obtenidos deducimos
que la velocidad es creciente y decreciente porque el
ratón se mueve de izquierda a derecha y nos dice que
un lado es (+) y otro (-) de acuerdo a la gráfica,
entonces alguna veces aumenta y disminuye.
f) Aplica el modelo PER
(Propósito, Estrategia,
Resultado).
“MODELO PER:
Propósito: Nuestro propósito era encontrar la
distancia en la cual el ratón recorre el túnel para
llegar al queso, así, como también la rapidez en la
cual llegara el ratón aún extremo y posteriormente al
otro.
Estrategia: Utilizando la gráfica de velocidad vs
tiempo, propusimos un modelo matemático el cual fue
v=d/t, encontramos los datos que se nos pidieron los
cuales fueron la rapidez y la distancia”
Actividad de Aprendizaje ‘Las Relaciones Peligrosas’
Equipo 1 Actividad de Aprendizaje ‘Relaciones Peligrosas’
Pregunta
Gráfica
Ejemplo de una puesta en escena.
Uso de tecnología
Analizamos 3 gráficas y su relación, una forma de comprobarlo es la intersección con el
eje x, la tercera gráfica se intercepta 4 veces, la derivada de esta que sería la velocidad la
velocidad es la segunda gráfica y la segunda derivada representa la aceleración.
13 Una red de actividades de aprendizaje de cálculo y su relación con la tecnología de la
modelación
Tomamos en cuenta lo siguiente:
En una función creciente la derivada es positiva.
En una función decreciente la derivada es negativa.
Puntos de inflexión: Cambios de concavidad
Equipo 3 Actividad de Aprendizaje „Relaciones Peligrosas‟
Pregunta
Gráfica
Ejemplo de una puesta en
escena
Modalidad II uso de
tecnología
Comentario
Las relaciones peligrosas
Las gráficas 1, 2 y 3 corresponden a las funciones fff y , , pero no necesariamente de manera
respectiva. Casa cada función con su gráfica. Justifica generosamente tu respuesta.
Describen cómo le hicieron para obtener gráficas similares a la 1 y 3
del problema.
Para la gráfica 1 dicen que se dieron cuenta que “podríamos graficar si
lo hacemos por intervalos por ejemplo cuando sube la gráfica se hace
más rápido al graficar en el sensor de movimiento”. Al parecer se
impone la interpretación no plenamente contrastada de que entre más
arriba que se encuentre la gráfica (de la distancia contra el tiempo) del
eje X, más rápido es el movimiento (mayor es la velocidad). Al
observar lo que anotaron en la gráfica 1 se encuentra que los mínimos
de la gráfica los interpretaron como desaceleración (moverse más
14 Una red de actividades de aprendizaje de cálculo y su relación con la tecnología de la
modelación
lento) y los puntos mínimos como aceleración (moverse más rápido).
No mencionan que en un mínimo primero se acercaron al sensor y
luego se alejaron, mientras que en un máximo fue lo contrario.
Cuando comentan la gráfica 3 mencionan que al principio tuvieron
dificultades para obtener las gráficas deseadas. Dicen que se dieron
cuenta que debían moverse con los brazos pegados al cuerpo, pues en
otro caso se presentarían “desniveles en la gráfica”. Describen cómo se
movieron: “cuatro pasos hacia atrás después dos pasos adelante, tres
pasos hacia atrás y por ultimo se dirigía para adelante quedando en el
punto de inicio”. Así pues, primero se alejaron, luego se acercaron, se
volvieron a alejar (como lo describen ahora se alejaron menos que al
principio, cuando al observar la gráfica 3 se sigue que debieron alejarse
más) y terminaron por acercarse para quedar en el punto de partida.
La última gráfica que intentaron reproducir fue la (1)
Si observamos la gráfica de la derivada de esta función (velocidad) y la
comparamos con las otras del problema encontramos que si nos
quedamos con la parte intermedia se parece a la gráfica 3 del ejercicio.
Muestran cierta confusión en sus conceptos, pues en las gráficas
agregan un símbolo de función y una posible interpretación física (tal
vez de acorde con lo mostrado por el dispositivo de transducción
utilizado).
Gráfica Símbolo Interpretación física
1 f Velocidad
2 f Distancia
3 f Aceleración
Escriben conclusiones de la utilidad, para fines de aprendizaje, del
dispositivo de transducción empleado (“nos ayudan a interactuar…
para saber como es que se relacionan en la materia (cálculo integral) la
aceleración, la distancia y la velocidad.”
Es decir, no dejan de pensar en una actividad como algo que debe estar
relacionada con la materia (en este caso cálculo integral), aunque no
sepan decir cómo se tiene esta relación.
Dibujan la gráfica que obtuvieron con el transductor y la gráfica de su
derivada.
No dicen que la gráfica que obtuvieron se asemeja a la tercera gráfica
que se les proporcionó, ni que la gráfica de la derivada de la que
obtuvieron se asemeja más a la primera que a la segunda.
15 Una red de actividades de aprendizaje de cálculo y su relación con la tecnología de la
modelación
VII. Resultados
En la red de actividades graficación-modelación se ha explorado el desempeño de
estudiantes que cursan nivel medio superior. Los estudiantes analizan la gráfica describen
los puntos globales de la gráfica y obtienen la función para realizar las gráficas en dos
modalidades, la primera modalidad es a lápiz y papel y la segunda modalidad es con el uso
de la tecnología
Los resultados esperados es el análisis de construcción de ideas en el conocimiento
matemático que logren algunos estudiantes de bachillerato usando la tecnología de
calculadoras con poder de graficación y sensores para modelar situaciones de movimiento
en una red de actividades de graficación.
El estudiante diseña la gráfica que describe los cambios de posición de un móvil y simula
el movimiento frente al sensor para obtener la gráfica de variación. El estudiante ajusta el
modelo de formas gráficas con el obtenido por el uso del sensor de movimiento y las
calculadoras con poder de graficación.
En la segunda modalidad los estudiantes diseñan la forma en que se van a mover ante el
sensor. Los alumnos deciden el tiempo y la distancia para lograr la gráfica de su propuesta.
Se realiza nuevamente una exposición comparando su propuesta a lápiz y papel y la
realizada con la tecnología disponible.
Las herramientas computacionales generan nuevos ambientes en los cuales los objetos
virtuales que aparecen en pantalla se pueden manipular, además de una mayor precisión y
rapidez para hacer cálculos aritméticos y representaciones gráficas. Los objetos
matemáticos solo existen a través de sus representaciones.
VIII. Conclusiones
Se utilizó para evaluar la competencia de graficación, en el contexto de un curso de
cálculo, de las formas básicas y su interpretación como la relación que hay entre una
función y sus variaciones de primer y segundo órdenes.
Esta experiencia nos aporta información sobre el tipo de conocimientos que los estudiantes
ponen en juego. El interés de esta investigación es precisar cuáles conocimientos están
involucrados en la identificación y uso de los puntos críticos de la graficación en la Red de
Actividad de Aprendizaje Graficación-modelación para modelar situaciones de
movimiento usando la tecnología de calculadoras con poder de graficación y sensores de
movimiento.
Los alumnos pudieron aprovechar el sensor de movimiento para generar gráficas similares
a las que se les proporcionaron, pero no pudieron apoyarse en ellas para identificar cuál de
las gráficas correspondía a una función, cuál a su derivada y a la derivada de su derivada.
Faltaron otras sesiones para discutir el significado de las gráficas y la relación entre la
gráfica de una función y su derivada.
16 Una red de actividades de aprendizaje de cálculo y su relación con la tecnología de la
modelación
IX. Impacto
La utilización de las Tecnologías de la Información y Comunicación en la enseñanza y en
el aprendizaje permite al docente y al discente flexibilizar la enseñanza, ampliar la oferta
educativa del estudiante, favorece el aprendizaje cooperativo como el autoaprendizaje
tanto individual como colaborativo y la comunicación con su entorno.
En el reporte de investigación con las AA da respuesta a las preguntas de investigación
¿Cuáles son las formulaciones verbales para describir los diferentes órdenes de variación?
Y ¿Cómo describen verbalmente los puntos críticos (máximos, mínimos, puntos de
inflexión) correspondientes a los dos primeros órdenes de variación. Las respuestas son
una caracterización de las fórmulas verbales que identifica en los registros, tanto para los
órdenes de variación (primero y segundo) como para los puntos críticos.
X. Referencias Bibliográficas
Arrieta, J. (2003) La modelación de fenómenos como procesos de matematización en el
aula. Tesis doctoral. Departamento de Matemática Educativa del CINVESTAV IPN.
Cabrero, J. y Duarte, A. (2000). “Nuevas tecnologías aplicadas a la educación”. Síntesis.
Madrid.
Castañeda, A. (2004). Un acercamiento a la construcción social del conocimiento: Estudio
de la evolución didáctica del punto de inflexión. Tesis de Doctorado no publicada, del
Programa de Matemática Educativa del CICATA-IPN, México.
Cen, C. (2006). Los funcionamientos y formas de las gráficas en los libros de texto: una
práctica institucional en el bachillerato. Tesis de Maestría no publicada del
Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN.
Cordero, F. Solís M. (2001). Las gráficas de las Funciones como una argumentación del
cálculo. Grupo Editorial Iberoamericana.
Flores, C. (2005). Características de las gráficas y su relación con la modelación de
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