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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA
MECÁNICA Y ELÉCTRICA Unidad Azcapotzalco
“SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN
MICROCANAL”
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
INGENIERO MECÁNICO
P R E S E N T A C. PERALTA GUTIÉRREZ MANUEL DIRECTOR DE TESIS: DR. OSCAR ELADIO BAUTISTA GODINEZ
MÉXICO, D.F. AGOSTO DEL 2009
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
UNIDAD AZCAPOTZALCO TESIS y EXÁMEN ORAL
QUE PARA OBTENER El TíTULO DE INGENIERO MECÁNICO
DEBERÁ DESARROllAR El C.: PERALTA GUTIERREZ MANUEL
"SOLUCiÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTERMICO EN UN MICROCANAL" .
En la actualidad los estudios sobre flujo de fluidos a escalas micro son amplios. así como la variedad de aplicaciones tecnológicas en las que estos se encuentran presentes. Los microcanales son actualmente usados en diversas áreas y poseen un gran potencial de aplicación. Bastantes mecanismos miniaturizados implican el flujo de un fluido en microcanales y pueden también ser combinados con la transferencia de calor y reacciones químicas y es por ello donde toma presencia este trabajo de investigación ya que en este se presentarán la solución de los efectos que se presentan dentro de la mayoría dE! estos nuevos mecanismos.
EL TEMA COIVIPRENDERÁLOS SIGUIE;NTES PUNTOS:
1. GENERALIDADES. 2. FORMULACiÓN DIFERENCIAL DE LAS LEYES BÁSICAS. 3. DESARROLLO COMPLETO DEL FLUJO DE POISEUILLE EN MICROCANALES. 4. CONCLUCIONES Y TRABAJO FUTURO. 5. REFERENCIAS.
México, O.E a 11 de Junio del 2009.
ASESOR
DR. OSeAR ELADIO BAUTISTA GODIHEZ
VO.Bo. TITULACiÓNEL DIRECTOR
_--r:rr:r,O F E S ION A L E S 1 M E
AZCAPOTZALCO
IHG. JORGE GÓMEZ VILLARREAL
NOTA: Se sugiere utilizar el Sistema Internacional de Unidades. AT- 136/2009 . P.S.04-08 JGV~'
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Azcapotzalco
“SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO
EN UN MICROCANAL”
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
INGENIERO MECÁNICO
P R E S E N T A
C. PERALTA GUTIÉRREZ MANUEL
México D.F. Agosto del 2009
Esta investigación se realizo en el Laboratorio de Termofluidos de la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de la ESIME Azcapotzalco del Instituto Politécnico Nacional.
A mis padres: Julieta Gutiérrez V. y Manuel Peralta V., quienes me han enseñado todo en esta vida y sin ellos nada hubiera sido posible…
A mi esposa Mariela Vidal G. y a mi hijo Juan Manuel Peralta V. quienes le han brindado un verdadero sentido a mi vida… ¡Los amo!
Agradezco…
Con gran afecto al Doctor Oscar Eladio Bautista Godinez, quien reivindicó mis metas. Por su amistad, su apoyo y solidaridad científica, Gracias. Un gran agradecimiento al CONACYT (Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología) por el apoyo que me brindaron para la realización de éste trabajo de investigación apoyándome como becario del proyecto con número de referencia 58817 titulado “ANÁLISIS DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR CON CAMBIO DE FASE EN SISTEMAS MICROELECTRÓNICOS”, por todo su apoyo Gracias. A mis tíos M. C. Gabriel Peralta Valverde y Ing. José Luis Peralta V., quienes siempre han estado hay para brindarme su mano y ayudarme a levantar. Con toda la fuerza de mi corazón les agradezco a mis abuelos: Julia Valverde, Luis Peralta, Guadalupe Viruegas y Claudio Gutiérrez., quienes hasta el último de mis días estarán en mis recuerdos. Con afecto a mis hermanos: Janette, y a mi hermanito las peleas que hubiéramos tenido. A mis primos: Andres, Angel D., Adrian, Erika, Brandon J. por que ustedes han sido mis hermanos A los amigos de ayer y siempre: Edgar, Ismael, Julio, Gloria a todos ellos, esperando que los sueños que compartimos alguna vez, sean hoy recuerdos que muevan anhelos futuros. A los amigos de hoy: Salomon, Antonio, Miguel A., Aydet, Sara, Grisel, por que una amistad es mucho más importante que conseguirlo todo en este mundo. Al IPN- ESIME Azcapotzalco: por ser mi hogar durante todos estos años y por todos los conocimientos brindados para obtener así el grado de Ingeniero Mecánico.
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL Contenido.
RESUMEN iv
SUMMARY v
INDICE DE FIGURAS Y TABLAS vi
NOMENCLATURA vii
INTRODUCCIÒN 1
I. GENERALIDADES 4
1.1 Antecedentes y marco teórico 6
1.2 Hipótesis de Continuidad e Hipótesis Termodinámica 6
1.2.1 Hipótesis del medio continuo 6
1.2.2 Número de Knudsen 7
1.2.3 Estado de Equilibrio Termodinámico 8
1.2.3.1 Definición formal 8
1.3 Ecuaciones generales de la mecánica de fluidos 9
1.4 Fuerzas Superficiales 10
1.5 Camino libre medio 11
1.6 Propiedad de enfriamiento 12
1.7 Clasificación de los flujos en microcanales 13
1.8 Escalas: La naturaleza se comporta de forma diferente
según el tamaño 14
1.9 Convección en Microcanales 15
1.9.1 Tipos de Convección 16
1.10 Macrocanales y Microcanales 17
1.11 Gases contra Líquidos 17
1.12 Características generales de los Microcanales 18
1.13 Caudal 19
1.14 Factor de Fricción 20
1.15 Número de Reynolds 21
1.16 Flujo compresible e incompresible 23
1.16.1 Clasificación 24
1.17 Flujo laminar y Flujo turbulento 25
-i-
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL 1.18 Número de Nusselt 27
1.19 Ecuaciones gobernantes 27
1.20 Condiciones de Frontera: velocidad de deslizamiento y salto de
temperatura 27
1.21 Solución Analítica: flujo con deslizamiento 29
1.21.1 Hipótesis 30
II. Formulación Diferencial de las Leyes Básicas 31
2.1 Conservación de la Masa: Ecuación de Continuidad 32
2.1.1 Coordenadas Cartesianas 32
2.1.2 Coordenadas Cilíndricas 34
2.1.3 Coordenadas Esféricas 35
2.2 Conservación del Momento: Las Ecuaciones de Movimiento
de Navier-Stokes 36
2.2.1 Coordenadas Cartesianas 36
2.2.2 Coordenadas Cilíndricas 42
2.2.3 Coordenadas Esféricas 43
2.3 Conservación de la Energía: Ecuación de la Energía 44
2.3.1 Coordenadas Cartesianas 44
2.3.2 Forma simplificada de la ecuación de la Energía 47
2.3.2.1 Coordenadas Cartesianas 47
2.3.2.2 Coordenadas Cilíndricas 49
2.3.2.3 Coordenadas Esféricas 49
III. Desarrollo completo del flujo de Poiseuille en microcanales: flujo de calor
en la superficie 51
3.1 Desarrollo 51
3.2 Hipótesis 53
3.3 Campo de Flujo 53
3.3.1 Suposiciones 53
3.3.2 Velocidad Media 57
3.4 Distribución de Presión 59
-ii-
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
3.5 Flujo Másico 64
3.6 Número de Nusselt 67
IV. Conclusiones y Trabajo Futuro 77
4.1 Conclusiones 77
4.2 Trabajo Futuro 78
REFERENCIAS 81
-iii-
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Resumen.
Solución Analítica de un Flujo en Fase Gaseosa no Isotérmico en un Microcanal.
En el presente trabajo se presentara la transferencia de calor por convección en
microcanales, se presentaran las bases para su estudio, la clasificación de los temas y las
definiciones necesarias para su comprensión serán presentadas. Esto incluye distinción
entre gases y líquidos, clasificación de microcanales, rarefaction y compresibilidad, los
fenómenos de velocidad de deslizamiento y salto de temperatura. El efecto de la
compresibilidad y la conducción axial serán examinados. La solución analítica del flujo
del flujo de Poiseuille además la transferencia de calor será detallada, pero nuestra
atención estará centrada en la convección de gases en microcanales, y nos limitaremos
al análisis del conducido por presión (flujo de Poiseuille) a través de canales
rectangulares.
Aunque extensas investigaciones en el flujo de fluidos y la transferencia de calor
en microcanales han sido realizados durante las ultimas dos décadas, mucho sigue
siendo un misterio, las complejas naturalezas de los fenómenos, el rol de varios factores
como el tamaño del canal, el numero de Reynolds, el numero de Knudsen, la rugosidad
de la superficie, la disipación la conducción axial y las propiedades termofísicas no
están totalmente comprendidas por ello esta investigación tendrá la finalidad de ser una
aportación adicional al estudio del fenómeno de la convección en microcanales.
-iv-
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Summary.
Analytical Solution Flow in gas phase not isothermal in a microchannel.
In this paper we present the convection heat transfer in microchannel, it
presented the groundwork for his study, the classification of items and definitions
necessary for their study will be presented. This includes distinction between gases and
liquids, classification microchannel, compressibility and rarefaction, the phenomena of
velocity slip and temperature jump. The effect of compressibility and driving axial will
be examined. The solution analytical of Poiseuille flow further heat transfer will be
detailed, but our attention is focused on the convection gas microchannel, and we shall
confine ourselves to the analysis of the flow driven by pressure (Poiseuille flow) across
rectangular channels.
Although extensive research in fluid flow and heat transfer in microchannel have
been made over the past two decades, much remains a mystery, the complex nature of
the phenomena, the role of several factors as the size of the channel, the number
Reynolds, the number of Knudsen, the surface roughness, dissipation driving axial and
thermophysical properties are not fully understood why this research will be aimed at
further input to the study of the phenomenon of convection in microchannel.
-v-
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Índice de figuras y tablas
Tabla. 1.1 Propiedades para distintos gases [1] Fig. 1.1 Variación de h respecto a D para aire y agua [1] Fig. 1.2 Tipos de Caudales [1] Fig. 1.3 Micro disipador de calor refrigerado por liquido [1] Fig. 2.1 Elemento utilizado para aplicar el principio de la conservación de la
masa [13 ] Fig. 2.2 Coordenadas Cilíndricas [13 ] Fig. 2.3 Coordenadas Esféricas [13 ] Fig. 2.3 Elemento utilizado para conservación del momento [13 ] Fig. 2.4 Elemento utilizado para representar las fuerzas externas [13 ] Fig. 2.5 Elemento utilizado para representar la conservación de la energia [13 ] Fig. 2.6 Elemento utilizado para representar el trabajo realizado por un
elemento [13 ] Fig. 3.1 Esquema representativo de un microcanal, modelo matemático a
resolver [ 13] Fig. 3.2 Esquema representativo de la conservación de la energía en un
microcanal [13 ] Fig. 3.3 Número de Nusselt para un flujo de aire entre dos placas paralelas γ=
1.4, Pr=0.7,σu= σT=1 [1]
Tabla. 4.1 Resumen del trabajo teórico en el flujo y la transferencia de calor
para gases fluyendo en microcanales [2]
-vi-
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
-vii-
Nomenclatura. a anchura del canal,…………………………………………………………… µm b longitud del canal, ……………………………………………………………µm
pc calor especifico a presión constante, CkgkJ /
hD diámetro hidraulico, …………………………………………………..…...m h2f factor de fricción, 28 mw uρτ
h longitud del canal, µm Kn número de Knudsen, hDλ
Ma número de Mach, kRTu
Nu número de Nusselt, ( )mwho TTkDq −′′
P presión del fluido…………………………………………………………..…….Pa Po número de Poiseuille, Re⋅f
oq ′′ flujo de calor en la pared, 0=
∂∂−y
yTk …………………………...……...Wm-2
R contante de los gases………………………………………………..……Jkg-1K-1 Re número de Reynolds, μρ hmDu
T temperatura del fluido…………………………………………………..……….K
mT temperatura media, ……………………….……....K ∫ ⋅h
m dyyTyuhu0
)()()/1(
wT temperatura en el muro……………………………….........................................K u perfil de velocidad………………………………………..………………..…..ms-1
cu velocidad constante, 0
/)/)(4/3(=
∂∂yw xTTρμ ………………….………..ms-1
mu velocidad media, ……………………...……………..……..ms-1 ∫h
dyyuh0
)()/1(
su velocidad de deslizamiento, 0=y
u ………………………………………….....ms-1
zyx ,, coordenadas cartesianas…………………………………………………..…..…m Símbolos griegos γ radio de capacidad de calor especifico
λ paso libre medio molecular, πρμ /2 wRT …………………………….......m μ viscosidad…………………………………………………..........................kgm-1s-1 ρ densidad………………………..…………………………………………..…kgm-3
Tσ coeficiente de acomodo termico
vσ coeficiente de acomodo del momento
wτ esfuerzo cortante en el muro, 0=
∂∂y
yuμ ……………………………………Pa
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Solución Analítica de un Flujo en Fase Gaseosa no Isotérmico en un Microcanal.
Introducción
En la actualidad los estudios sobre flujo de fluidos a escalas
micro son amplios, así como la variedad de aplicaciones tecnológicas en
las que estos se encuentran presentes. Los microcanales son actualmente
usados en diversas áreas y poseen un gran potencial de aplicación. Las
áreas de aplicación que incluyen estos tipos de mecanismos son bastantes
como las mencionadas a continuación: medicina, biotecnología, aviación,
consumibles electrónicos, telecomunicaciones, metrología, tecnología
computacional, equipo de oficina, aplicaciones del hogar, seguridad
tecnológica, procesos ingenieriles, robótica, ingeniería automotriz,
procesos químicos, propulsión, generación de poder, dispositivos
electrónicos de enfriamiento, la industria aeroespacial, impresoras laser,
la industria bioquímica y protección ambiental, estas solo son algunas de
las tantas áreas en las que la miniaturización a comenzado a ganar
importancia.
La miniaturización de mecanismos a comenzado a ser un foco de
gran interés para la industria y esta a desarrollado un importante campo
de investigación, en la pasada década se desarrollaron los
microelectromechanical systems (MEMS), también así micro system
technologies (MST), y la mecatrónica que han sido usadas en Estados
- 1 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Unidos, Europa y Japón, como todo un avance tecnológico, para describir el diseño,
desarrollo y procesos de manufactura a muy pequeña escala [3].
Bastantes mecanismos miniaturizados implican el flujo de un fluido en
microcanales y pueden también ser combinados con la transferencia de calor y
reacciones químicas y es por ello donde toma presencia este trabajo de investigación ya
que en este se presentaran la solución de los efectos que se presentan dentro de la
mayoría de estos nuevos mecanismos. Las características de la escala, la energía
gobernante y la trasferencia del momento entre los microelectromechanical systems y su
ambiente son típicamente del orden del micrón. Las MEMS son usualmente operadas en
ambientes gaseosos a condiciones estándar donde el camino libre medio molecular es
aproximadamente 70 nm.
El uso de estos dispositivos en la industria biomédica ha recibido una gran
atención debido a la gran cantidad de ventajas que presenta la miniaturización. Estos
avances incluyen: (1) bajo costo por unidad en la producción en masa; (2) alto
rendimiento de procesamiento en paralelo; (3) reduce el volumen de la muestra y el
reactivo; (4) reduce el volumen desperdiciado, estas y muchas otras características han
hecho que la miniaturización de los dispositivos se tome muy en cuenta.
El campo de los MEMS es una tecnología que rápidamente a emergido donde un
nuevo potencial para aplicaciones es continuamente descubierto. Micro-vehículos
aéreos, microrobots y nanosatélites son ejemplos de algunos sistemas. Además los
microcanales pueden ser usados para integrar circuitos electrónicos de enfriamiento.
Pero así como estos mecanismos miniaturizados poseen grandes ventajas
tecnológicas tenemos que los fenómenos que se producen en su interior no son lo
bastantes simples como ejemplo tenemos que así como el valor del número de Knudsen
incrementa, los efectos de rarefaction [3] comienzan a ser más importantes, la caída de
presión, el esfuerzo cortante, el flujo y la transferencia de calor correspondientes no
pueden ser predichos basados en las hipótesis de continuidad, por ello es que es tan
importante su estudio.
- 2 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
El incrementado poder de disipación y las diminutas dimensiones de los
dispositivos micro-electrónicos han acentuado la necesidad de eficaces tecnologías de
enfriamiento compactas.
El estudio del flujo a través de un microcanal es de gran interés debido al
potencial de aplicación de los microdispositivos en ingeniería, medicina y otras áreas
científicas. El flujo de un liquido en un microcanal es muy diferente al de un gas a
través de éste, [1] la mas notable diferencia entre micro y macro con gases es la
presencia del deslizamiento en las interfaces solidas, la teoría para flujos
incompresibles, laminar e isotérmico en macrocanales es bien conocida debido a su
inherente simplicidad del problema. Pero este no es el caso con los microcanales, la
dificultad se presenta del hecho que el flujo es compresible y existe deslizamiento en las
paredes que es muy apropiado del modelo.
Y así en esta investigación se presentara la solución analítica para un flujo en
fase gaseosa no isotérmico en un microcanal debido a la importancia que tienen estas
nuevas tecnologías esperando que este trabajo sea de ayuda para nuevas investigaciones
relacionadas con el tema.
- 3 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Capítulo 1
Generalidades
Últimamente con el desarrollo de la nanotecnología se han hecho gran cantidad
de experimentos con lo que se conoce como microcanales ya que tienen mucho
potencial como reguladores de temperatura, disipadores de calor y transmisores de calor
por convección sin embargo esta tecnología presenta una discusión mundial sobre la
física que domina su comportamiento ya que dependiendo del diámetro, material del
tubo y del fluido y la velocidad del flujo existen opiniones contrarias sobre las leyes de
la física que dominan en estos flujos. La investigación del flujo de fluidos y la
transferencia de calor en microcanales ha venido dándose por la miniaturización de los
dispositivos micro-electrónicos. Además la necesidad de eficientes métodos de
enfriamiento para altos flujos de calor ha centrado su atención en las características de
enfriamiento de éstos. Los microcanales son usados en una gran variedad de
aplicaciones ingenieriles y científicas.
Los microcanales son actualmente usados en muchas áreas tecnológicas ya que
la miniaturización de mecanismos ha comenzado a ser de gran importancia en la
industria.
Algunas áreas de aplicación:
En áreas medicas (analizadores de ADN)
Biotecnológicas (análisis microbiológicos)
Electrónicos (impresoras láser)
Computacionales (chips)
Procesos ingenieriles (microbombas)
Robots
Y muchas otras áreas donde la miniaturización de mecanismos tiene aplicación. [5]
- 4 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Un ejemplo de la gran aplicación de los microcanales son los Micro Electro
Mechanical Systems (MEMS) que son dispositivos en los que los tamaños
característicos son del orden de micras.
Mecanismos como los discos duros de la computadoras, impresoras de inyección
láser, marca pasos, sensores químicos, micro motores, microcanales de reacción,
turbinas y micro bombas, son solo unos cuantos de los numerosos micro mecanismos
que se han comenzado a comercializar o estarán por ser usados en un futuro próximo.
Es por ello que como ingenieros debemos encontrarnos preparados para las
nuevas tecnologías, que como podemos observar tienen un gran mercado con
inversiones de hasta $40 billones de dólares en los países tecnológicamente avanzados.
[3]
Ya que conocemos la importancia del estudio de los micromecanismos debemos
de saber que es lo que sucede con estos ya que la miniaturización de mecanismos
implica flujo de un fluido en microcanales así también combinado con transferencia de
calor y reacciones químicas serán algunos casos que nosotros nos daremos a investigar.
- 5 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
1.1 Antecedentes y Marco teórico.
El estudio del flujo en microcanales se basa en las mismas leyes físicas
utilizadas en tamaños macro por lo que a continuación se explicaran las ecuaciones
básicas de las cuales se derivan todos los modelos matemáticos que describen el flujo de
fluidos en microcanales.
Como en todas las ramas de la física, en la mecánica de fluidos se parte de unas
hipótesis a partir de las cuales se desarrollan todos los conceptos. En particular, en la
mecánica de fluidos se asume que los fluidos verifican las siguientes leyes: -
Conservación de la masa y de la cantidad de movimiento -Primera y segunda ley de la
termodinámica, pero probablemente la hipótesis más importante de la mecánica de
fluidos es la hipótesis del medio continuo.
1.2 Hipótesis de Continuidad e Hipótesis Termodinámica.
Los análisis y resultados presentados en este trabajo de investigación estarán
basados en dos hipótesis fundamentales: (1) Continuidad, y (2) Equilibrio
Termodinámico. La ecuación de continuidad y las ecuaciones de Navier-Stokes así
como la ecuación de la energía son aplicables siempre y cuando la hipótesis de
continuidad sea valida. [6]
1.2.1 Hipótesis del medio continuo.
La hipótesis del medio continuo es la hipótesis fundamental de la mecánica de
fluidos y en general de toda la mecánica de medios continuos. En esta hipótesis se
considera que el fluido es continuo a lo largo del espacio que ocupa, ignorando por
tanto su estructura molecular y las discontinuidades asociadas a esta. Con esta hipótesis
se puede considerar que las propiedades del fluido (densidad, temperatura, etc.) son
funciones continuas.
La forma de determinar la validez de esta hipótesis consiste en comparar el
camino libre medio de las moléculas con la longitud característica del sistema físico.
- 6 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
[15] Al cociente entre estas longitudes se le denomina número de Knudsen. Cuando este
número adimensional es mucho menor a la unidad, el material en cuestión puede
considerarse un fluido (medio continuo). En el caso contrario los efectos debidos a la
naturaleza molecular de la materia no pueden ser despreciados y debe utilizarse la
mecánica estadística para predecir el comportamiento de la materia.(Ejemplos de
situaciones donde la hipótesis del medio continuo no es válida pueden encontrarse en el
estudio de los plasmas.
1.2.2 Número de Knudsen.
El número de Knudsen es usado para establecer un criterio para la validación de
la hipótesis de continuidad y la hipótesis termodinámica, el número de Knudsen es
expresado en términos del paso libre molecular λ como:
eD
Kn λ= (1.1)
Donde De es una longitud característica
Para el modelo de continuidad el número de Knudsen es igual a:
Kn<0.1
Así como el canal comience a ser mas pequeño el numero de Knudsen
incrementa y la hipótesis de continuidad comienza a caer a aproximadamente Kn = 0.1,
por otra parte la hipótesis de la continuidad nos lleva al fracaso de las condiciones de
frontera de la velocidad de no deslizamiento y al no salto de temperatura esto toma
lugar en valores mucho mas pequeños de Knudsen dados por:
Kn<0.001
- 7 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
1.2.3 Estado de Equilibrio Termodinámico
En termodinámica, se dice que un sistema se encuentra en estado de equilibrio
termodinámico, si es incapaz de experimentar espontáneamente algún cambio de
estado cuando está sometido a unas determinadas condiciones de contorno, (las
condiciones que le imponen sus alrededores). Para ello ha de encontrarse
simultáneamente en equilibrio mecánico y equilibrio químico.
1.2.3.1 Definición formal
El estado local de un sistema termodinámico en equilibrio queda determinado
por los valores de sus cantidades y parámetros intensivos tales como: la presión, la
temperatura, etc. Específicamente, el equilibrio termodinámico se caracteriza por tener
un valor mínimo en sus potenciales termodinámicos, tales como la energía libre de
Helmholtz, es decir, sistemas con temperatura y volumen constantes:
A = U – TS
O la energía libre de Gibbs, es decir, en sistemas caracterizados por tener la
presión y las temperaturas constantes:
G = H – TS
El proceso que gobierna un sistema hacia el equilibrio termodinámico se
denomina termalización. Un ejemplo de este tipo de procesos es el que tiene lugar en un
sistema de partículas interactuantes y que se abandona a sus propias influencias. Un
sistema tal y como este intercambia enegía/momentum entre las partículas que lo
constituyen hasta que las variables macroscópicas que definen el sistema permanecen
invariables en el tiempo.
La termodinámica clásica trata, casi siempre, de transformaciones entre estados
de equilibrio. La palabra equilibrio implica un estado que ha repartido sus variables
- 8 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
hasta que no hay cambios. En el estado de equilibrio no hay potenciales sin balancear (o
fuerzas perturbadoras) con el sistema. Un sistema se dice que ha llegado al equilibrio
termodinámico cuando no experimenta cambios al haber sido aislado de su entorno.
[14]
1.3 Ecuaciones generales de la mecánica de fluidos
Las ecuaciones que rigen toda la mecánica de fluidos se obtienen por la
aplicación de los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un
volumen de fluido.
Las tres ecuaciones fundamentales son: la ecuación de continuidad, la ecuación
de la cantidad de movimiento, y la ecuación de la conservación de la energía. Estas
ecuaciones pueden darse en su formulación integral o en su forma diferencial,
dependiendo del problema. A este conjunto de ecuaciones dadas en su forma diferencial
también se le denomina ecuaciones de Navier-Stokes. [2]
No existe una solución general a dicho conjunto de ecuaciones debido a su
complejidad, por lo que para cada problema concreto de la mecánica de fluidos se
estudian estas ecuaciones buscando simplificaciones que faciliten la resolución del
problema. En algunos casos no es posible obtener una solución analítica, por lo que
hemos de recurrir a soluciones numéricas generadas por ordenador. A esta rama de la
mecánica de fluidos se la denomina mecánica de fluidos computacional.
Las ecuaciones son las siguientes: [14]
Ecuación de continuidad:
-Forma integral:
-Forma diferencial:
- 9 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Ecuación de cantidad de movimiento:
-Forma integral:
-Forma diferencial:
Ecuación de la energía
-Forma integral:
-Forma diferencial:
1.4 Fuerzas Superficiales. Así como el tamaño de un canal comienza a disminuir el radio del área
superficial el volumen comienza a ser más grande. El radio del área superficial A y el
volumen V es:
DLDDL
VA 4
4
2 ==ππ
La ecuación muestra un diámetro pequeño y consecuentemente las fuerzas de
superficie comienzan a ser mas dominantes como el diámetro decrece por ejemplo para
un tubo de D=1m la ecuación nos da A/V=4m-1 por otra parte si D= 1μm, A/V =
4x106m-1 lo que representa un aumento de 106 de A/V por lo tanto, las condiciones en
las fronteras podrá apartarse de la continuidad y el comportamiento a adoptar distintas
formas esto tiene importantes aplicaciones en el análisis de los problemas de
microcanales, otro efecto debido al tamaño en un flujo gaseoso en microcanales es el
incremento de la caída de presión en canales largos, estos tiene significantes cambios de
densidad a lo largo del canal consecuentemente a diferencia del flujo en macrocanales la
compresibilidad comienza a ser un factor importante y deberá ser tomado en
consideración.
- 10 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
1.5 Camino libre medio. El camino libre medio λ de un fluido es necesario para establecer si la hipótesis
de continuidad es valida o no. Para gases, λ esta dada por:
RTp 2
πμ=λ (1.2)
Donde:
p - es la presión.
R - es la constante de los gases.
T - es la temperatura absoluta.
μ - es la viscosidad.
Para líquidos λ, es mucho más pequeña que para gases, esto es por que en la
ecuación anterior podemos observar que como la presión decremento el paso medio
libre incrementa.
La caída de presión en el flujo en canales resulta en un incremento de λ. Por
tanto el número de Knudsen incrementa en la dirección del flujo.
Las propiedades y el camino libre medio para distintos gases se encuentran
listado en la Tabla 1.1
Tabla. 1.1 Propiedades para distintos gases [1]
- 11 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
1.6 Propiedad de enfriamiento.
La teoría de la solución del flujo sin deslizamiento para un flujo laminar
completamente desarrollado nos dice que el número de Nusselt es constante, en la
solución de un flujo completamente desarrollado así también como para tubos, y para
algunos canales de otras secciones transversales; la ecuación que se tiene es:
657.3==k
hDNuD (1.3)
Donde:
D - es el diámetro
h - es el coeficiente de la transferencia de calor
k - es la conductividad térmica del fluido
Si resolvemos para h tenemos:
Dkh 657.3= (1.4)
Si examinamos esta última ecuación notamos que mientras mas pequeño sea el
diámetro, el coeficiente de transferencia de calor aumenta como se muestra en la Figura
1.1
Fig. 1.1 Variación de h respecto a D para aire y agua [1]
- 12 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
La conductividad k es determinada por la temperatura media del fluido de 400C,
el dramático incremento en h como el diámetro es minorizado es el motivador de
numerosos estudios para desarrollar eficientes métodos de enfriamiento.
1.7 Clasificación de los flujos en microcanales.
Una clasificación común del flujo en microcanales es basada en el número de
Knudsen.
La siguiente clasificación de flujos es recomendada para gases: [4]
Kn < 0.001 Flujo sin deslizamiento
0.001 < Kn < 0.1 Flujo con deslizamiento
.1 < Kn < Flujo
10 < Kn Flujo libre molecular
Para apreciar la clasificación anterior centraremos nuestra atención en cuatro
factores:
1.- Continuidad.
2.-Equilibrio termodinámico.
3.- Velocidad de deslizamiento.
4.- Salto de temperatura
Si no existe velocidad relativa entre el fluido y la superficie, la condición se
refiere a no deslizamiento, similarmente si no existe una discontinuidad de temperatura
en la superficie (el fluido y la superficie están a la misma temperatura) la condición es
descrita como no salto de temperatura. El análisis para escalas macro esta basado en las
hipótesis de continuidad, equilibrio térmico, no-velocidad de deslizamiento y no salto
- 13 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
de temperatura, todas estas condiciones son validas para el primer régimen donde
Kn<0.001
Sabemos que como reduzca el tamaño del canal del dispositivo el número de
Knudsen incrementa.
Al inicio del segundo régimen Kn>0.001 el equilibrio termodinámico comienza
a fallar, siguiendo a este la velocidad de deslizamiento y el salto de temperatura. Esto
requiere de la reformulación de las condiciones de frontera para la velocidad y la
temperatura, para la mayoría de los gases el error en el equilibrio termodinámico
precede a la ruptura de la hipótesis de continuidad, para este régimen las ecuaciones de
Navier-Stokes y la ecuación de la energía son aun validas. Así como el tamaño del canal
se reduzca la hipótesis de la continuidad fallara. Esto ocurrirá cuando Kn>0.1 que es
donde comienza la transición del flujo. Esto requerirá la reformulación de las
ecuaciones gobernantes y de las condiciones de frontera. Comúnmente se analiza
utilizando métodos estadísticos para examinar el comportamiento de un grupo de
moléculas. Como el tamaño comienza a ser del orden de magnitudes demasiado
pequeñas con Kn>10, el modo del flujo molecular libre comienza. Este flujo es
analizado usando la teoría cinética donde las leyes de la mecánica y la termodinámica
son aplicadas a las moléculas individualmente. [1]
1.8 Escalas: La naturaleza se comporta de forma diferente según el
tamaño.
Al cambiar las escalas cambia el comportamiento de los sistemas.
La física clásica sigue siendo válida, pero el comportamiento de los objetos
microscópicos es diferente al de los macroscópicos.
La importancia relativa de las distintas fuerzas cambia al reducir la escala.
- 14 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
1.9 Convección en Microcanales
La convección es una de las tres formas de transferencia de calor y se
caracteriza porque se produce por intermedio de un fluido (aire, agua) que transporta el
calor entre zonas con diferentes temperaturas. La convección se produce únicamente por
medio de materiales fluidos. Éstos, al calentarse, aumentan de volumen y, por lo tanto,
disminuyen su densidad y ascienden desplazando el fluido que se encuentra en la parte
superior y que está a menor temperatura. Lo que se llama convección en sí, es el
transporte de calor por medio de las corrientes ascendente y descendente del fluido.
La transferencia de calor implica el transporte de calor en un volumen y la
mezcla de elementos macroscópicos de porciones calientes y frías de un gas o un
líquido. Se incluye también el intercambio de energía entre una superficie sólida y un
fluido o por medio de una bomba, un ventilador u otro dispositivo mecánico
(convección mecánica o asistida).
En la transferencia de calor libre o natural en la cual un fluido es más caliente o
más frío y en contacto con una superficie sólida, causa una circulación debido a las
diferencias de densidades que resultan del gradiente de temperaturas en el fluido.
La transferencia de calor por convección se expresa con la Ley del Enfriamiento
de Newton:
)( infTThAdtdQ
ss −= (1.5)
Donde h es el coeficiente de convección (ó coeficiente de película), As es el área del
cuerpo en contacto con el fluido, Ts es la temperatura en la superficie del cuerpo y Tinf
es la temperatura del fluido lejos del cuerpo. [15]
La transferencia de calor a través de un sólido es por conducción (moléculas
relativamente fijas).
La transferencia de calor a través de un líquido o gas puede ser por conducción o
convección (dependiendo del movimiento masivo de fluido).
- 15 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
La experiencia muestra que la transferencia de calor por convección depende
con intensidad de las propiedades:
-Viscosidad dinámica [µ],
-Conductividad térmica [k],
-Densidad [ρ],
-Calor especifico del fluido [Cp],
-Velocidad del fluido [V],
-Aspereza y configuración geométrica de la superficie,
-Tipo de flujo del fluido (laminar o turbulento).
1.9.1 Tipos de Convección
En el estudio de la convección se suele diferenciar entre convección forzada y
convección libre. La convección libre consiste en la transferencia de calor cuando el
fluido suficientemente lejos del sólido está parado y la convección forzada se produce
cuando el fluido se mueve lejos del sólido. Por ejemplo, el radiador de un coche tiene
un ventilador que mueve el aire y favorece el enfriamiento del agua que contiene
(convección forzada); en cambio, una estufa, un brasero o un radiador de calefacción
calienta el aire que le rodea pero el aire "no se mueve" (convección libre). El problema
de la convección tanto libre como forzada está muy relacionado con la mecánica de
fluidos, el coeficiente de película depende directamente del gradiente de temperaturas
normal al sólido en las proximidades del sólido, y este a su vez del gradiente de
velocidades. La convección siempre implica un movimiento del fluido, pero en
convección libre éste se produce solo en las proximidades del sólido y en convección
forzada en todo el fluido. En fluidos compresibles, o sea, cualquier gas la convección
puede producir importantes corrientes de aire, las zonas más calientes del fluido tienen
una menor densidad, con lo cual, "pesan menos" y se mueven, por eso en una habitación
el aire caliente siempre está cerca del techo. [14]
- 16 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
1.10 Macrocanales y Microcanales
Desde un inicio el tamaño del canal tiene efectos realmente significantes en el
flujo y en la transferencia de calor, ya que el tamaño del canal es el que nos plantea el
problema, debemos conocer cuales son los efectos que se presentan entre estas escalas:
Cuando un fluido fluye sobre una superficie sólida se observa que ese fluido en
movimiento llega a detenerse por completo en la superficie y toma una
velocidad cero en relación con esta última (condición de no deslizamiento).
En microcanales existe deslizamiento relativo entre un fluido en movimiento y
el sólido (condición de deslizamiento)
En macrocanales el fluido y la superficie sólida que lo confina tendrán la misma
temperatura en el punto de contacto. Esto se conoce como condición de no salto
en la temperatura.
En microcanales se presenta la condición de salto de temperatura.
Flujo laminar y Flujo turbulento
Algunos flujos son suaves y ordenados con movimiento intensamente ordenado
de un fluido, caracterizado por líneas suaves de corriente se llama laminar. El
movimiento intensamente desordenado de un fluido que por lo general ocurre a
velocidades elevadas caracterizado por fluctuaciones en la velocidad se llama
turbulento.
1.11 Gases contra Líquidos.
En el análisis macro del flujo y la transferencia de calor no existen distinciones
entre gases y líquidos. Las soluciones para flujos de gases y de líquidos para geometrías
similares son idénticos siempre y cuando los parámetros gobernantes (El numero de
Reynolds, el numero de Prandtl, el numero de Grashof, etc.) [1] y las condiciones de
frontera sean las mismas para ambos, pero este no es el caso en condiciones de escala
micro.
- 17 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Se aprecian las siguientes condiciones para gases y líquidos con características a
microescala:
(1) El camino libre medio de los líquidos es mucho más pequeño que para los gases,
la hipótesis de continuidad es válida para los líquidos pero falla para los gases.
(2) Mientras que el número de Knudsen nos provee un criterio para la validación del
equilibrio termodinámico y el modelo de continuidad para gases no es así como
para los líquidos.
(3) El inicio del fallo del equilibrio termodinámico y a la hipótesis de la continuidad
no este bien definido para líquidos.
(4) Como el tamaño del dispositivo sea mas pequeño las fuerzas superficiales
comienzan a ser mas importantes, además la naturaleza de las fuerzas de
superficie en líquidos difieren de las de los gases, consecuentemente las
condiciones de frontera para los líquidos serán diferentes de las de los gases.
(5) Las moléculas de los líquidos están mucho más cercanas que las moléculas de
los gases, por ello los líquidos son casi incomprensibles mientras que los gases
son compresibles.
En general la física de los flujos de líquidos en micro dispositivos no este bien
conocido, y el análisis de flujos líquidos y la transferencia de calos es más compleja
para líquidos que para gases.
1.12 Características generales de los Microcanales.
Si el tamaño de un canal es reducido, el comportamiento del flujo y la
transferencia de calor cambia dependiendo de las condiciones dominantes del número
de Knudsen. Los efectos del número de Knudsen se refieren al efecto de rarefaction. La
densidad cambia debido a la caída de presión a lo largo del microcanal que nos da lugar
a los efectos de compresibilidad, otro efecto debido al tamaño es la disipación de la
viscosidad que afecta a la distribución de temperaturas de un interés particular son los
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SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
efectos del tamaño del canal en el perfil de velocidad, el caudal, el factor de fricción, el
numero de Reynolds y el numero de Nusselt.
1.13 Caudal
Las figuras mostradas abajo nos muestran los perfiles de velocidad para un flujo
laminar totalmente desarrollado. El perfil con deslizamiento y el de no deslizamiento
son mostrados en las figuras, respectivamente. La velocidad de deslizamiento en la
superficie resulta en un incremento en el caudal Q.
Fig. 1.2 Tipos de Caudales [1]
Entonces:
1>t
e
(1.6)
Donde el subíndice e refiere al caudal de deslizamiento determinado por
experimentación y el subíndice t representa el caudal determinado por la teoría de los
macrocanales o de las ecuaciones de correlación. [1]
- 19 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
1.14 Factor de Fricción
El coeficiente de fricción Cf para flujo en canales es definido como
m
wf u
Cτ
2)2/1( ρ= (1.7)
Donde τw es el esfuerzo cortante en el la pared y um la velocidad media, para
flujo totalmente desarrollado a través de tubos, Cf [1] puede ser expresado en términos
de la caída de presión y es referido por el factor de fricción f como:
mu
pLD
221
ρf Δ= (1.8)
Donde D es el diámetro, L es la longitud y Δp es la caída de presión, entonces las
mediciones de Δp pueden ser usadas para determinar f. [1] Para flujo laminar totalmente
desarrollado en macrocanales f es independiente de rugosidad de la superficie, además,
el producto de f y el número de Reynolds son constantes, que es:
Pof =Re (1.9)
Donde Po es conocido como el número de Poiseuille, Por ejemplo para flujo
continuo a través de tubos Po = 64. [1] Para examinar la exactitud de los modelos
teóricos el número de Poiseuille se ha computarizado usando extensos datos
experimentales en microcanales. Aplicando la ecuación anterior determinamos Po y
normalizándolo con respecto a los valores teóricos nos da:
*CPoPo
t
e = (1.10)
- 20 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Donde (Po)t es determinado de la teoría macroscópica (continuidad) el termino
C* representa los grados en los cuales la teoría macroscópica falla para predecir las
condiciones microscópicas.
Las características que se presentan en los microcanales sugieren las siguientes
conclusiones preliminares.
1.- El número de Poiseulle (Po) aparentemente depende del número de Reynolds esto en
contraste a los macrocanales donde Po es independiente del número de Reynolds para
flujo totalmente desarrollado.
2.- Ambos incrementan y decremento de acuerdo a como se comporte el factor de
fricción.
3.- Los conflictos encontrados son atribuidos a la dificultad de hacer tomas de
mediciones precisas del tamaño del canal, la rugosidad de la superficie, la distribución
de la presión así como también los inciertos efectos a la entrada, la transición del flujo a
turbulento y la determinación de las propiedades termo-físicas.
1.15 Número de Reynolds
El número de Reynolds es un número adimensional utilizado en mecánica de
fluidos, diseño de reactores y fenómenos de transporte para caracterizar el movimiento
de un fluido. [14]
Como todo número adimensional es un cociente, una comparación. En este caso
es la relación entre los términos convectivos y los términos viscosos de las ecuaciones
de Navier-Stokes que gobiernan el movimiento de los fluidos.
Por ejemplo un flujo con un número de Reynolds alrededor de 100.000 (típico
en el movimiento de una aeronave pequeña, salvo en zonas próximas a la capa límite)
expresa que las fuerzas viscosas son 100.000 veces menores que las fuerzas
convectivas, y por lo tanto aquellas pueden ser ignoradas. Un ejemplo del caso contrario
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SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
sería un cojinete axial lubricado con un fluido y sometido a una cierta carga. En este
caso el número de Reynolds es mucho menor que 1 indicando que ahora las fuerzas
dominantes son las viscosas y por lo tanto las convectivas pueden despreciarse. Otro
ejemplo: En el análisis del movimiento de fluidos en el interior de conductos
proporciona una indicación de la pérdida de carga causada por efectos viscosos.
Además el número de Reynolds permite predecir el carácter turbulento o laminar
en ciertos casos. Así por ejemplo en conductos si el número de Reynolds es menor de
2000 el flujo será laminar y si es mayor de 4000 el flujo será turbulento, si se encuentra
en medio se conoce como flujo transicional y su comportamiento no puede ser
modelado. El mecanismo y muchas de las razones por las cuales un flujo es laminar o
turbulento es todavía hoy objeto de especulación.
Este número recibe su nombre en honor de Osborne Reynolds (1842-1912),
quien lo describió en 1883.
El número de Reynolds es usado como criterio de transición de un flujo laminar
a un flujo turbulento. En macrocanales la transición depende del número de Reynolds de
la sección transversal y de la rugosidad de la superficie. Para flujos a través de tubos
suaves esta dada por:
2300Re ≈=vDu
t (1.11)
Donde
u - velocidad característica del fluido
D - Diámetro de la tubería a través de la cual circula el fluido
ν - viscosidad cinemática del fluido
Sin embargo para microcanales, la transición es reportada con números de rango
de 300 a 16000 uno de los factores que afectan la determinación de la transición en
microcanales es la propiedad de variación del fluido además de que a la entrada y a la
salida se presentan diferencias significantes del numero de Reynolds.
- 22 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
1.16 Flujo compresible e incompresible
El nivel de compresibilidad esta expresado en términos del número de Mach que
es definido como la proporción de la velocidad del líquido y la velocidad del sonido. El
flujo incompresible es asociado con números de Mach pequeños comparados a la
unidad.
Todos los fluidos son compresibles, incluyendo los líquidos. Cuando estos
cambios de volumen son demasiado grandes se opta por considerar el flujo como
compresible (que muestran una variación significativa de la densidad como resultado de
fluir), esto sucede cuando la velocidad del flujo es cercano a la velocidad del sonido.
Estos cambios suelen suceder principalmente en los gases ya que para alcanzar estas
velocidades de flujo los líquidos se precisa de presiones del orden de 1000 atmósferas,
en cambio un gas sólo precisa una relación de presiones de 2:1 para alcanzar
velocidades sónicas. La compresibilidad de un flujo es básicamente una medida en el
cambio de la densidad. Los gases son en general muy compresibles, en cambio, la
mayoría de los líquidos tienen una compresibilidad muy baja. Por ejemplo, una presión
de 500 kPa provoca un cambio de densidad en el agua a temperatura ambiente de
solamente 0.024%, en cambio esta misma presión aplicada al aire provoca un cambio de
densidad de 250%. Por esto normalmente al estudio de los flujos compresibles se le
conoce como dinámica de gases, siendo esta una nueva rama de la mecánica de fluidos,
la cual describe estos flujos.
En un flujo usualmente hay cambios en la presión, asociados con cambios en la
velocidad. En general, estos cambios de presión inducirán a cambios de densidad, los
cuales influyen en el flujo, si estos cambios son importantes los cambios de temperatura
presentados son apreciables. Aunque los cambios de densidad en un flujo pueden ser
muy importantes hay una gran cantidad de situaciones de importancia práctica en los
que estos cambios son despreciables.
El flujo de un fluido compresible se rige por la primera ley de la termodinámica
en los balances de energía y con la segunda ley de la termodinámica, que relaciona la
transferencia de calor y la irreversibilidad con la entropía. El flujo es afectado por
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SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
efectos cinéticos y dinámicos, descritos por las leyes de Newton, en un marco de
referencia inercial aquel donde las leyes de Newton son aplicables-. Además, el flujo
cumple con los requerimientos de conservación de masa. Es sabido que muchas
propiedades, tales como la velocidad del fluido en un tubo, no son uniformes a lo largo
de la corriente. [5]
1.16.1 Clasificación
Los flujos compresibles pueden ser clasificados de varias maneras, la más
común usa el número de Mach (Ma) como parámetro para clasificarlo.
Donde V es la velocidad del flujo y a es la velocidad del sonido en el fluido.
• Prácticamente incompresible: Ma < 0.3 en cualquier parte del flujo. Las
variaciones de densidad debidas al cambio de presión pueden ser despreciadas.
El gas es compresible pero la densidad puede ser considerada constante.
• Flujo subsónico: Ma > 0.3 en alguna parte del flujo pero no excede 1 en
ninguna parte. No hay ondas de choque en el flujo.
• Flujo transónico: 0.8 ≤ Ma ≤ 1.2. Hay ondas de choque que conducen a un
rápido incremento de la fricción y éstas separan regiones subsónicas de
hipersónicas dentro del flujo. Debido a que normalmente no se pueden distinguir
las partes viscosas y no viscosas este flujo es difícil de analizar.
• Flujo supersónico: 1.2 < Ma ≤ 3. Normalmente hay ondas de choque pero ya no
hay regiones subsónicas. El análisis de este flujo es menos complicado.
• Flujo hipersónico: Ma > 3. Los flujos a velocidades muy grandes causan un
calentamiento considerablemente grande en las capas cercanas a la frontera del
flujo, causando disociación de moléculas y otros efectos químicos. [14]
- 24 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Un flujo se clasifica en compresible e incompresible, dependiendo del nivel de
variación de la densidad del fluido durante ese flujo. La incompresibilidad es una
aproximación y se dice que el flujo es incompresible si la densidad permanece
aproximadamente constante a lo largo de todo el flujo. Por lo tanto, el volumen de todas
las porciones del fluido permanece inalterado sobre el curso de su movimiento cuando
el flujo o el fluido son incompresibles. En esencia, las densidades de los líquidos son
constantes y así el flujo de ellos es típicamente incompresible. Por lo tanto, se suele
decir que los líquidos son sustancias incompresibles. Ejemplo: una presión de 210 atm
hace que la densidad del agua liquida a 1 atm cambie en sólo 1 por ciento. Cuando se
analizan flujos de gas a velocidades altas, la velocidad del flujo a menudo se expresa en
términos del número adimensional de Mach.
En donde a es la velocidad del sonido cuyo valor es de 346 m/s en el aire a
temperatura ambiente al nivel del mar. Se dice que un flujo es sónico cuando Ma=1,
subsónico cuando Ma<1, supersónico cuando Ma>1, e hipersónico cuando Ma>>1. Los
flujos de líquidos son incompresibles hasta un nivel alto de exactitud, pero el nivel de
variación de la densidad en los flujos de gases y el nivel consecuente de aproximación
que se hace cuando se modelan estos flujos como incompresibles dependen del número
de Mach. Con frecuencia, los flujos de gases se pueden aproximar como incompresibles
si los cambios en al densidad se encuentran por debajo de alrededor de 100 m/s. Así el
flujo de un gas no es necesariamente compresible.
1.17 F
icas coaxiales como, por ejemplo la glicerina en un tubo de
lujo laminar y Flujo turbulento
Se llama flujo laminar o corriente laminar, al tipo de movimiento de un fluido
cuando éste es perfectamente ordenado, estratificado, de manera que el fluido se mueve
en láminas paralelas sin entremezclarse si la corriente tiene lugar entre dos planos
paralelos, o en capas cilíndr
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SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
sección
La pérdida de energía es proporcional a la velocidad media. El perfil de
velocid
pared del tubo.
ue se tratara de laminas o capas más o menos paralelas entre si, las cuales
se deslizan suavemente unas sobre otras, sin que exista mezcla macroscópica o
interca
tiguar cualquier tendencia
turbulenta que pueda ocurrir en el flujo laminar. En situaciones que involucren
combin
queños
remolinos aperiódicos, como por ejemplo el agua en un canal de gran pendiente. Debido
a esto,
xplicaciones científicas de la formación del flujo de turbulento
proceden de Andrey Kolmogorov y Lev D. Landau (teoría de Hopf-Landau). Aunque la
oría modernamente aceptada de la turbulencia fue propuesta en 1974 por David Ruelle
Floris Takens. [14]
circular. Las capas no se mezclan entre sí. El mecanismo de transporte es
exclusivamente molecular.
ades tiene forma de una parábola, donde la velocidad máxima se encuentra en el
eje del tubo y la velocidad es igual a cero en la
Se da en fluidos con velocidades bajas o viscosidades altas, cuando se cumple
que el número de Reynolds es inferior a 2300.
Se caracteriza porque el movimiento de las partículas del fluido se produce
siguiendo trayectorias bastante regulares, separadas y perfectamente definidas dando la
impresión de q
mbio transversal entre ellas. La ley de Newton de la viscosidad es la que rige el
flujo laminar.
Esta ley establece la relación existente entre el esfuerzo cortante y la rapidez de
deformación angular. La acción de la viscosidad puede amor
aciones de baja viscosidad, alta velocidad o grandes caudales, el flujo laminar no
es estable, lo que hace que se transforme en flujo turbulento.
En mecánica de fluidos, se llama flujo turbulento o corriente turbulenta al
movimiento de un fluido que se da en forma caótica, en que las partículas se mueven
desordenadamente y las trayectorias de las partículas se encuentran formando pe
la trayectoria de una partícula se puede predecir hasta una cierta escala, a partir
de la cual la trayectoria de la misma es impredecible, más precisamente caótica.
Las primeras e
te
y
- 26 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
1.18 N
nde de la rugosidad de la superficie y del numero de Reynolds sin
bargo tenemos una aproximación de las demostraciones de diferentes anchuras que
se reportan como
umero de Nusselt
El numero de Nusselt para flujo laminar totalmente desarrollado en
macrocanales es constante, independiente del numero de Reynolds, sin embargo la
constante depende de la geometría del canal y de las condiciones de frontera térmicas,
como con el factor de fricción, el comportamiento del numero de Nusselt para
microcanales no esta bien comprendido, no obstante el numero de Nusselt en
microcanales depe
em
100)()(
21.0 <<t
e
NuNu
(1.12)
1.19 Ecuaciones gobernantes
l flujo con deslizamiento que es de
.001<Kn<0.1, la continuidad y las ecuaciones de Navier-Stokes y la ecuación de la
nergía son validas a través del campo del flujo. [1]
dad de deslizamiento y Salto de
tempe
omo en el caso de no deslizamiento, la velocidad no desaparece en
perficies estacionarias y la temperatura del fluido depende de la temperatura de la
superfi
Se acepta en general que para el dominio de
0
e
1.20 Condiciones de Frontera: Veloci
ratura
Para obtener la soluciones en el dominio del flujo con deslizamiento, la
velocidad del fluido y las condiciones térmicas deberán ser especificadas en las
fronteras c
su
cie.
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SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Una aproximación a la ecuación de deslizamiento para gases es referida al
modelo de deslizamiento de Maxwell y esta dado por:
nxuuxu
u
uc ∂
∂−=−
))0,(2)0,( λ
σσ
(1.13)
Donde:
x = coordenada axial
)0,(xu = velocidad axial del fluido en la superficie
cu = velocidad axial superficial
n = coordenada normal medida desde la superficie
uσ = coeficiente de acomodo del momento tangencial
La temperatura de un gas en la superficie es aproximada a:
nxTTx T T
∂∂−
=−))0,(22)0,( λγσ (1.14)
Donde:
la frontera
=
Ts + Pr1 γσ
)0,(xT = temperatura del fluido en
sT temperatura superficial
v
p
cc
=γ , radio especifico de calor
Tσ = coeficiente del acomodo de energía
Los coeficientes de acomodo, Tσ y uσ , son factores empíricos que reflejan la
interacción entre las moléculas del gas y la superficie. Ellos dependen tanto del gas
como de la geometría y la naturaleza de la superficie. Algunos valores del rango van de
cero (perfectamente suave) a la unidad. Experimentalmente los valores determinados
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SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
para Tσ y uσ , son muy difícilmente obtenidos. No obstante en general y de acuerdo a
disti
estas ecuaciones son validas para gases. En estas ecuaciones son
pr s las aproximaciones de primer orden de la velocidad de deslizamiento y
el s de peratura. [1]
ambién referido a un flujo impulsado por
n c te r otra parte el flujo de Poiseuille es generado por un gradiente de presión
axia
EMS como las microcambiadores de calor y los mezcladores, la figura
1.3 plo de un micro enfriador de fluido. Algo que es de gran
en el flujo de Poiseuille es la gran caída de presión asociada con los
mi
nto
esentad
alto
ortan
l. E
mu
concertación
crocanales.
s valores para diferentes tipos de gases se toma el valor de la unidad, debido a
las observaciones que se han realizado tras severos experimentos.
Si pues
a
tem
, po
re
d
1.21 Solución Analítica: flujo con deslizamiento
En este análisis hemos hablado de dos tipos de flujo; el flujo de Couette y el
flujo de Poiseuille. El flujo de Couette es movido dentro de un canal por un movimiento
adyacente a la superficie este tipo de flujo es t
u
sta clase de flujo es referido a flujo impulsado por presión. Ambos flujos
encuentran extensas aplicaciones en MEMS.
Un ejemplo del flujo de Couette es encontrado en electrostatic comb-drive que
son usados en microactuadores. El flujo de Poiseuille es encontrado en distintos
dispositivos M
estra un típico ejem
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SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Fig. 1.3 Microdisipador de calor refrigerado por liquido [1]
1.21.1 Hipótesis.
La solución analítica será basada en hipótesis comunes de simplificación.
Estas hipótesis son:
(1) Estado estacionario
(2) Flujo laminar
(3) Bidimensional
(4) Gas ideal
(5) Régimen de flujo con deslizamiento (0.001<Kn<0.1)
(6) Viscosidad, conductividad y calores específicos constantes
(7) La variación de densidad y de presión laterales son despreciables
(8) Disipación despreciable
(9) Gravedad despreciable
(10) Los coeficientes de acomodo serán asumidos igual a la unidad, ( Tσ = uσ = 1.0)
- 30 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Capítulo 2
Formulación Diferencial de las Leyes Básicas.
En este capitulo se presentara la formulación de las ecuaciones básicas que rigen
la mecánica de los fluidos y la transferencia de calor en microcanales estas ecuaciones
diferenciales se establecen como sigue [3, 14, 15]:
Ecuación de la conservación de la masa:
0)( =∇+∂∂ v
tρρφ (2.1)
Ecuación de cantidad de movimiento lineal:
)( gPKv (2.2) ρμ
+∇−=
Ecuación de la Energía:
22 )(vK
qTkTvtTc eePf f
μξρ +′′′+∇=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∇⋅+
∂∂
(2.3)
A través del presente trabajo se presentaran las consideraciones necesarias para
el tratamiento del presente trabajo y la aplicación de las ecuaciones (2.1), (2.2), (2.3).
- 31 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
2.1 Conservación de la Masa: Ecuación de Continuidad
La ley de conservación de la masa o ley de conservación de la materia es una
de las leyes fundamentales en todas las ciencias naturales. Fue elaborada por Lavoisier y
otros científicos que le sucedieron. Establece un punto muy importante: “En toda
reacción química la masa se conserva, es decir, la masa consumida de los reactivos es
igual a la masa obtenida de los productos”.
Enunciado:
En toda reacción química la masa se conserva, esto es, la masa total de los reactivos es igual
a la masa total de los productos. Tiene una importancia fundamental, ya que permite extraer
componentes específicos de alguna materia prima sin tener que desechar el resto; también es
importante, debido que nos permite obtener elementos puros, cosas que seria imposible si la
materia se destruyera.
2.1.1 Coordenadas Cartesianas
El principio de la conservación de la masa es aplicado al elemento dxdydz:
Fig. 2.1 Elemento utilizado para aplicar el principio de la conservación de la masa [13]
- 32 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Donde:
La razón de la masa agregada al elemento – la razón de masa removida del
elemento = A la razón de masa que posee en el interior el elemento.
Si asumimos un medio continuo, usando las figuras anteriores tenemos que:
tmdz
zm
mdyy
mmdx
xm
mmmm zz
yy
xxzyx ∂
∂=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∂∂
++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂+−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∂∂
+−++ (2.1)
Expresando (2.1) en términos de la densidad y la velocidad
VAm ρ= (2.2)
Si aplicamos (2.2) al elemento
udydzmx ρ= (2.3)
vdxdzmy ρ= (2.4)
wdxdymz ρ= (2.5)
La masa m del elemento
dxdydzm ρ= (2.6)
Si sustituimos (2.3) – (2.6) dentro de (2.1)
Expresando cada término en términos de los componentes de la velocidad la
ecuación de la continuidad nos queda como:
( ) ( ) 0)(=
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂∂
zw
yv
xu
tp ρρρ (2.7)
Esta es la ecuación de la continuidad
- 33 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Esta ecuación puede ser expresada en su forma diferencial:
( ) ( )
0
0
0)(
=⋅∇+∂∂
=⋅∇+
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
Vt
VDtD
zw
yv
xu
zw
yv
xu
tp
ρρ
ρρ
ρρρρ
(2.8)
Un caso especial, es cuando la densidad es constante (fluido incompresible)
0=DtDρ (2.9)
Entonces (2.9) comienza a ser:
0=⋅∇ V (2.10)
2.1.2 Coordenadas Cilíndricas
Fig. 2.2 Coordenadas Cilíndricas [13]
- 34 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
( ) ( ) ( )
011=
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂∂
zvv
rrrv
rtzr ρ
θρρρ θ (2.11)
2.1.3 Coordenadas Esféricas
Fig. 2.3 Coordenadas Esféricas [13]
( ) ( ) ( )
0sin1sin
sin11 2
2 =∂
∂+
∂∂
+∂
∂+
∂∂
φρ
θθθρ
θρρ φθ v
rv
rrvr
rtr (2.12)
- 35 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
2.2 Conservación del Momento:
Las Ecuaciones de Movimiento de Navier-Stokes
Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y
George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no
lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la
atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o
proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en todo tipo de fluidos.
Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la
mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada
formulación integral de las ecuaciones. Para llegar a su formulación diferencial se
manipulan aplicando diferentes teoremas matemáticos, llegando así a la llamada
formulación diferencial, que generalmente es más útil para la resolución de los
problemas que se plantean en la mecánica de fluidos.
Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de
ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución general
para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy
concretas no es posible hallar una solución analítica; por lo que en muchas ocasiones
hemos de recurrir al análisis numérico para determinar una solución. A la rama de la
mecánica de fluidos que se ocupa de la obtención de estas soluciones mediante el
ordenador se la denomina mecánica de fluidos computacional (CFD, de su acrónimo
anglosajón Computational Fluid Dynamics). [1]
2.2.1 Coordenadas Cartesianas
Primeramente tenemos que tomar en cuenta tres hipótesis para la presentación de
estas ecuaciones:
El Momento es un vector de cantidad
La ley de Newton del movimiento es aplicada a las 3 dimensiones del
componente
- 36 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
La aplicación de la ley de Newton al elemento mostrado nos da:
Fig. 2.3 Elemento utilizado para conservación del momento [13]
( )amF δδ =∑ (2.13)
Donde:
a = es la aceleración del elemento
Fδ = fuerzas externas en el elemento
mδ = masa del elemento
En la dirección x tenemos:
( ) xxamF δδ =∑ (2.13.1)
Si la masa mδ es igual a:
dxdydzm ρδ = (2.13.2)
Y la aceleración total xa es:
- 37 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
tu
zuw
yuv
xuu
DtDu
dtduax ∂
∂+
∂∂
+∂∂
+∂∂
=== (2.13.3)
Si sustituimos (2.13.2) y (2.13.3) dentro de (2.13.1) tenemos
dxdydzDtDuF
xρδ =∑ (2.14)
Fuerzas externas:
Fig. 2.4 Elemento utilizado para representar las fuerzas externas [13]
-Fuerza que actúen en el cuerpo (gravedad)
-Fuerzas superficiales
Total de fuerzas
erficiexcuerpoxxFFF sup)) ∑∑∑ += δδδ (2.15)
Fuerza de gravedad:
dxdydzgF xcuerpoxρδ =∑ ) (2.16)
- 38 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Fuerzas superficiales:
xxσ = esfuerzo normal en la superficie dydz
yxτ =Esfuerzo cortante (tangencial) en la superficie dxdz
zxτ = Esfuerzo cortante (tangencial) en la superficie dxdy
Asumiendo las fuerzas en x de la figura tenemos:
dxdydzzyx
F zxyxxxerficiex ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂
∂+
∂∂
=∑ ττσδ sup) (2.17)
Sustituyendo (2.15), (2.16) y (2.17) dentro de (2.14) en la dirección x tenemos:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂
∂+
∂∂
+=zyx
gDtDu zxyxxx
xττσ
ρρ (2.18)
Esta ecuación es similar para las direcciones y y z:
En la dirección y tenemos:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+=
zyxg
DtDv zyyyxy
y
τστρρ (2.19)
En la dirección z tenemos:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂
∂+
∂∂
+=zyx
gDtDw zzyzxz
zσττ
ρρ (2.20)
Variables desconocidas en las ecuaciones:
U, v, w, ρ, σxx, σyy, σzz, τxy, τyx, τxz, τzy, τzx, τyz
- 39 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
La aplicando del principio del momento al elemento diferencial nos da:
τxy = τyx, τxz = τzy τzx = τyz
Para reducir el número de incógnitas, se usan relaciones empíricas llamadas las
ecuaciones constitutivas en las que la idea básica es que tanto el esfuerzo normal como
el esfuerzo cortante son relativos al campo de velocidades, estas ecuaciones son:
τxy = τyx ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=yu
xvμ (2.21a)
τxz = τzy ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
=zu
xwμ (2.21b)
τzx = τyz ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=yw
zvμ (2.21c)
Vzwp
Vyvp
Vxup
zz
yy
xx
⋅∇−∂∂
+−=
⋅∇−∂∂
+−=
⋅∇−∂∂
+−=
μμσ
μμσ
μμσ
322
322
322
(2.21d, 2.21e, 2.21f)
Los fluidos que obedecen a estas ecuaciones son fluidos Newtonianos
Sustituyendo (2.21) dentro de (2.18) tenemos:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅∇−
∂∂
∂∂
+∂∂
−=zu
xw
zxv
yu
yV
xu
xxpg
DtDu
z μμμρρ322 (2.22x)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅∇−
∂∂
∂∂
+∂∂
−=xv
yu
xyw
zv
zV
yv
yypg
DtDv
y μμμρρ322 (2.22y)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅∇−
∂∂
∂∂
+∂∂
−=yw
zv
yzu
xw
xV
zw
zzpg
DtDw
z μμμρρ322 (2.22z)
- 40 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
NOTA:
Las ecuaciones (2.22) son las ecuaciones de movimiento de Navier-Stokes.
Las variables desconocidas son 6: u, v, w, p, ρ, µ
La restricción que estas ecuaciones tienen son: la continuidad y el fluido deberá
ser Newtoniano.
La forma vectorial de las ecuaciones es el siguiente:
( ) ( ))()(
)(34 2
VV
VVVVpgDt
VD
μμ
μμμμρρ
×∇×∇−∇⋅∇
−×∇×∇+∇−∇⋅∇+⋅∇∇+∇−= (2.23)
Simplificando la ecuación:
Si la viscosidad es constante
0=∇μ (g)
Y
( ) ( ) ( ) VVVVV 2∇−⋅∇∇=∇⋅∇−⋅∇∇=×∇×∇ μμμμμ (h)
Sustituyendo (g) y (h) dentro de (2.23)
( ) VVpgDtVD 2
31
∇+⋅∇∇+∇−= μμρρ (2.24)
La ecuación (2.24) es valida para: (1) Continuidad, (2) Fluido Newtoniano y (3)
Viscosidad constante
- 41 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Viscosidad y densidad constante
La Ecuación de Continuidad para fluidos incompresibles está dada por:
0=⋅∇ V (2.10)
Sustituyendo (2.10) dentro de (2.24) tenemos:
VpgDt
VD 2∇+∇−= μρρ (2.25)
La ecuación (2.25) es validad para: (1) Continuidad, (2) Fluido Newtoniano, (3)
Viscosidad Constante y (4) Densidad constante.
Los tres componentes de (2.25) son:
En la dirección x:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
2
2
2
2
2
2
zu
yu
xu
xpg
zuw
yuv
xuu
tu
x μρρ (2.25x)
En la dirección y:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
2
2
2
2
2
2
zw
yw
xw
zpg
zww
ywv
xwu
tw
z μρρ (2.25y)
En la dirección z:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
2
2
2
2
2
2
zv
yv
xv
ypg
zvw
yvv
xvu
tw
y μρρ (2.25z)
2.2.2 Coordenadas Cilíndricas
Hipótesis: (1) Continuidad, (2) Fluido Newtoniano, (3) Viscosidad Constante y (4)
Densidad constante.
Dirección r:
- 42 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂∂
+∂∂
−∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂∂
+−∂∂
+∂∂
2
2
22
2
2
2 21)(1zvv
rv
rrv
rrrrpg
tv
zv
vr
vvr
vrv
v rrrr
rrz
rrr θθ
μρθ
ρ θθθ
(2.26)
Dirección θ:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂∂
+∂∂
−∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+∂∂
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+−∂∂
+∂∂
2
2
22
2
2
21)(11zvv
rv
rrv
rrrp
rg
tv
zv
vrvvv
rv
rv
v rz
rr
θθθθ
θθθθθθ
θθμ
θρ
θρ
(2.27)
Dirección z:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂∂
+∂∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+∂∂
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
2
2
2
2
2
11zvv
rrv
rrrz
pgt
vzv
vv
rv
rv
v zzzz
zzz
zzr θ
μρθ
ρ θ (2.28)
2.2.3 Coordenadas Esféricas Hipótesis: (1) Continuidad, (2) Fluido Newtoniano, (3) Viscosidad Constante y (4)
Densidad constante.
Dirección r:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂−−
∂∂
−−∇+∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂∂
++
−∂∂
+∂∂
+∂∂
φθθ
θμρ
θθθρ φθθφθφθ v
rrvv
rv
rv
rpg
tv
rvvv
rsivv
rv
rv
v rrrrrrr
r sin2cot222
22222
22
(2.29)
Dirección θ:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
∂∂
+∇+∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+−+∂∂
−∂∂
+∂∂
φθθμ
θρ
θφθθ
ρ φθθθ
θφθθφθθθ vr
vvr
vpr
gt
vr
vrvvv
rvv
rv
rv
v rrr 222
22
sin21cot
sin
(2.30)
Dirección Φ:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+−∇+∂∂
−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+++∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
φθθ
φθθμ
φθρ
θφθθ
ρ
θφφφ
θφθφφφφθφ
vr
convrr
vvp
rg
tv
rvv
rvvv
rvv
rv
rv
v
r
rr
2222222
sin2
sin2
sinsin1
cotsin (2.31)
Donde:
- 43 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
2
2
2222
22
sin1sin
sin11
φθθθ
θθ ∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
=∇rrr
rrr
(2.32)
2.3 Conservación de la Energía: Ecuación de la Energía
La ley de la conservación de la energía constituye el primer principio de la
termodinámica y afirma que la cantidad total de energía en cualquier sistema aislado
(sin interacción con ningún otro sistema) permanece invariable con el tiempo, aunque
dicha energía puede transformarse en otra forma de energía. En resumen, la ley de la
conservación de la energía afirma que la energía no puede crearse ni destruirse, sólo
se puede cambiar de una forma a otra (por ejemplo, cuando la energía eléctrica se
transforma en energía calorífica en un calefactor).
2.3.1 Coordenadas Cartesianas
Si decimos que la energía no puede ser creada ni destruida y los aplicamos al
elemento dxdydz tenemos:
Fig. 2.5 Elemento utilizado para representar la conservación de la energia [13]
A: La razón del cambio de la energía interna y la energía cinética del elemento =
B: a la razón neta de las fuerzas internas y cinéticas transportadas por convección +
- 44 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
C: la razón neta de calor adicionado por conducción –
D: la razón neta del trabajo realizado por el elemento
La solución de estas expresiones se presentara a continuación:
1.-Se expresa cada término en términos de la temperatura
2.- Se expresa físicamente el significado de cada término
3.- Los resultados son llamados la ecuación de la energía
4.- Hipótesis: Continuidad, Fluido newtoniano, energías nuclear, electromagnética y
radiación son despreciadas.
1.- A = La razón del cambio de la energía interna y la energía cinética del elemento
La energía interna del elemento depende de la temperatura (termodinámica)
La energía cinética del elemento depende de la velocidad (campo de flujo)
( )[ ]dxdydzVut
A 2/ˆ 2+∂∂
= ρ (2.33)
2.- B = la razón neta de las fuerzas internas y cinéticas por convección
La energía interna convectiva a través del flujo másico depende de la
temperatura
La energía cinética convectiva a través del elemento con el flujo másico depende
de la velocidad.
( )⎣ ⎦{⎣ ⎦dxdydzVVuB ρ2/ˆ 2+•∇= (2.34)
3.- C = la razón neta de calor adicionado por conducción
La conducción de cada superficie depende del gradiente de temperatura
La aplicación de la ley de Fourier
dxdydzqC )( ′′⋅∇−= (2.35)
- 45 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
4.- D = la razón neta del trabajo realizado por el elemento
La razón de trabajo = fuerza x velocidad
Fig. 2.6 Elemento utilizado para representar el trabajo realizado por un elemento [13]
De la figura notamos que:
Existen 18 fuerzas superficiales
3 fuerzas que actúan en el cuerpo (gravedad)
Total de 21 fuerzas a 21 velocidades en el cuerpo
( ) ( ) ( ) dxdydzwvuz
wvuy
wvux
dxdydzgVD zzzyzxyzyyyxxzxyxx ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
∂∂
+++∂∂
+++∂∂
−⋅−= θτττστττσρ )(
(2.36)
Sustituyendo (2.34), (2.35), (2.32), y (2.33) en (2.36) tenemos:
( )
( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
∂∂
+++∂∂
+++∂∂
+⋅+′′⋅∇−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅−∇=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∂∂
zzzyzxyzyyyxxzxyxx wvuz
wvuy
wvux
gVqVVuVut
θτττστττσ
ρρρ 222
21
ˆ21
ˆ (2.37)
Esta ecuación se simplificara usando:
La ley de Fourier
La ecuación de la Continuidad
La ecuación del Momento
Las ecuaciones Constitutivas
Las relaciones termodinámicas de u y ˆ h
- 46 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Φ++∇⋅∇= μβρDtDpTTk
DtDTc p (2.38)
Donde:
β = coeficiente de expansión térmico (compresibilidad)
β , es una propiedad
pT ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂
−=ρ
ρβ 1 (2.39)
Φ = Función de disipación (energía debido a la fricción)
2222222
322 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=Φzw
yv
xu
zu
xw
yw
zv
xv
yu
zw
yv
xu
(2.40)
Φ Es importante para flujos de alta velocidad y para fluidos muy viscosos
2.3.2 Forma simplificada de la ecuación de la Energía.
2.3.2.1 Coordenadas Cartesianas
Usando (2.38) con las siguientes hipótesis:
Continuidad
Fluido Newtoniano
Energías nuclear, electromagnética y radiación son despreciables
- 47 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Un caso especial:
Cuando el fluido en incompresible
Φ+∇⋅∇=
===
μρ
β
TkDtDTc
ccc
p
vp
0 (2.41)
Conductividad constante en un fluido incompresible
Φ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
Φ+∇=
μρ
μρ
2
2
2
2
2
2
2
zT
yT
xTk
zTw
yTv
xTu
tTc
TkDtDTc
p
p
(2.42)
La ley del gas ideas:
RTp
=ρ (2.43)
(2.43) dentro de (2.39)
TRTp
T p
1112 ==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂
−=ρ
ρρ
β (2.44)
(2.44) dentro de (2.38)
Φ++∇⋅∇= μρDtDpTk
DtDTc p (2.45)
Usando la ecuación de la continuidad y (2.43)
Φ+⋅∇−∇⋅∇= μρ VpTkDtDTc p (2.46)
- 48 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
2.3.2.2 Coordenadas Cilíndricas
Se asumen las siguientes hipótesis:
Continuidad
Fluido Incompresible
Energías nuclear, electromagnética y radiación son despreciables
Fluido Newtoniano
Conductividad Constante
Φ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂ μ
θθρ θ
2
2
2
2
2
11zTT
rrTr
rrk
zTvT
rv
rTv
tTc zrp (2.47)
Donde:
222222 112122 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∂+
∂∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+−∂∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
∂∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
=Φrv
zv
zvv
rv
rrv
rv
zv
rvv
rrv zrrzrr θθθθθ
θθθ(2.48)
2.3.2.3 Coordenadas Esféricas Se asumen las siguientes hipótesis:
Continuidad
Fluido Incompresible
Energías nuclear, electromagnética y radiación son despreciables
Fluido Newtoniano
Conductividad Constante
Φ+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂ μ
θφφφ
φφθφφρ θφ
2
2
2222
2 sin1sin
sin1
sinT
rT
rk
rTr
rrkT
rvT
rv
rTv
tTc rp
(2.49)
- 49 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Donde:
22
2222
sin1
sin1
sinsin
1cotsin112
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂
∂+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
=Φ
rv
rr
vr
vrr
vr
vrr
vr
rr
vrvv
rrvv
rrv
r
rrrr
θθθ
φφθφ
φφθφφφφ
φφ
θφφ (2.50)
En el capitulo 2 se han presentado todas las ecuaciones diferenciales que se
utilizaran para el estudio de nuestro trabajo de investigación, en este capitulo se
presentaron las ecuaciones de continuidad, las ecuaciones de Navier-Stokes [1] y la
ecuación de la energía en su forma diferencial y vectorial para así tener comprendidas
todas estas ecuaciones y saber el porque se utilizan en nuestro estudio así pues demos
paso a nuestro próximo capitulo en el cual ya daremos estudio a nuestro modelo
matemático.
- 50 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Capítulo 3
Desarrollo completo del flujo de Poiseuille en microcanales: flujo de calor uniforme en la superficie.
3.1 Desarrollo: Primeramente se estudio el flujo de Poiseuille para así poder entender que es lo
que sucedía con el flujo de fluidos a una escala macro, se aprendieron términos como
gradiente de velocidad, viscosidad absoluta, ecuaciones de cantidad de movimiento,
fluido Newtoniano, fluido no Newtoniano diferentes tipos de flujo de Couette para
diferentes condiciones de estado. Concluyendo en las ecuaciones de Navier-Stokes que
nos serán de gran utilización para el estudio del campo de velocidad entre placas
paralelas. Una vez con estos conocimientos y conociendo la importancia de los
micromecanismos nos damos a la tarea de analizar éstos mecanismos y como ya
especificamos anteriormente tenemos que conocer el flujo de un fluido en microcanales
así también combinado con transferencia de calor.
El flujo de Poiseuille es encontrado en diversos dispositivos MEMS como los
microcambiadores de calor.
Sea la siguiente Figura 3.1 un microcanal.
Fig. 3.1 Esquema representativo de un microcanal, modelo matemático a resolver.
Se va a considerar la transferencia de calor en microcanales bajo el flujo
conducido por condiciones de presión la figura 3.1 muestra dos placas paralelas
infinitamente largas separadas una distancia H.
- 51 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Esta configuración suele ser el modelo de flujo y transferencia de calor en
canales rectangulares. La velocidad y la temperatura están completamente desarrolladas,
además a la entrada y a la salida tenemos presiones pi y p0 respectivamente, las dos
placas fueron calentadas con una flujo qs” uniforme.
Lo que deseamos obtener es:
(1) La distribución de la Velocidad
(2) La distribución de la Presión
(3) La razón del Flujo Másico
(4) El número de Nusselt
Así pues tenemos que el flujo de Poiseuille difiere del flujo de Couette en que el
gradiente de presión axial en el flujo de Poiseuille no desvanece.
El desarrollo completo del flujo de Poiseuille en macrocanales es caracterizado
por:
1.- Las líneas de fuerza paralelas.
2.- La componente de la velocidad lateral es cero (v = 0)
3.- La velocidad axial con respecto a la distancia axial es cero (∂u/∂x = 0)
4.- La presión lineal axial (dp/dx = cte.)
Sin embargo en microcanales debido a la compresibilidad y el efecto rarefaction
cambia este patrón de flujo y consecuentemente ninguna de estas condiciones
permanece, debido a la gran caída de presión en los microcanales, los cambios de
densidad en flujos gaseosos comienzan a ser apreciables y el flujo no puede ser asumido
totalmente incompresible. Otro efecto se debe a rarefaction, que de acuerdo a la
ecuación (1.2).
RTp 2
πμλ = (1.2)
Un decremento en la presión del microcanal resulta en un incremento en el
camino libre medio λ que significa el paso libre de las moléculas del fluido. De ese
- 52 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
modo el número de Knudsen incrementa a lo largo del micro canal en el flujo de
Poiseuille. Consecuentemente la velocidad axial varia con la distancia axial, y la
componente de la velocidad axial no se desvanece, las líneas de fuerza no son paralelas
y el gradiente de presión no es constante.
3.2 Hipótesis:
La solución analítica estará basada en hipótesis de simplificación comunes las
cuales se presentan a continuación: [1]
1.- Estado estacionario
2.- Flujo laminar
3.- Bidimensional
4.- Gas ideal
5.- Régimen de flujo de deslizamiento (0.001<Kn<0.1)
6.- Viscosidad constante
7.- Insignificante variación lateral de la densidad y presión
8.-Insignificante disipación
9.-Insignificante gravedad
10.- Los coeficientes de acomodo se suponen ser igual a la unidad (σu = σT = 1.0)
3.3 Campo de flujo.
3.3.1 Suposiciones:
Campo del flujo: La forma vectorial de las ecuaciones de Navier-Stokes para un flujo
compresible y viscosidad es:
vvpgD
vD
t
2)(31
∇+⋅∇∇+∇−= μμρρ (3.1)
La componente axial de esta ecuación es
- 53 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
xyv
yu
xu
xpg
yuv
xuu
tu
x ∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂+
∂∂
+∂∂
+∂∂
−=∂∂
+∂∂
+∂∂
334)( 2
2
2
2 μμμρρ (3.2)
Aplicando las hipótesis para así simplificar la ecuación de Navier-Stokes:
Para estado estacionario y gravedad insignificante tenemos:
∂u/∂t = gx= 0
El flujo es un flujo isotérmico: Se elimina la temperatura como una variable
en las ecuaciones de momento, la densidad puede ser expresada en términos de presión
usando la ley del gas ideal.
Las fuerzas de inercia son insignificantes: Suponiendo que los términos de
inercia
)(yuv
xuu
∂∂
+∂∂ρ
Pueden ser descartados, esta aproximación es justificada por el bajo número de
Reynolds. El número Reynolds en la mayoría de microcanales es en efecto pequeño
debido a los pequeños espaciamiento del microcanal o diámetro equivalente.
La fuerza dominante de viscosidad es:
xyv
yu
xu
∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂+
∂∂
+∂∂ μμ 2
2
2
2
Estos términos son insignificantes.
-Con todas estas suposiciones nuestra ecuación de Navier-Stokes nos queda:
- 54 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
xp
yu
yu
xp
∂∂
=∂∂
⇒=∂∂
+∂∂
−μ
μ 10 2
2
2
2
(3.3)
Asumimos que la presión es independiente de y entonces integramos y
multiplicamos por dy para encontrar la velocidad axial u, así entonces tenemos que:
2
2
2
2
0
1
1
1
1
p ux y
d u dpdy dx
duddy dp
dy dx
du dpd ddy dx
du dp y Ady dx
dpdu y A dydx
μ
μ
μ
μ
μ
μ
∂ ∂− + =∂ ∂
=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
= +
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫
∫ ∫
y
BAyydxdpu ++= 2
21μ
(3.4)
Donde A y B son constantes de integración obtenidas para las condiciones de
frontera de u. La simetría en y = 0 esta dada por la ecuación para la velocidad de
deslizamiento para gases que es referida como el modelo de deslizamiento de Maxwell
y esta dada por
nxuuxu
u
us ∂
∂−=−
)0,(2)0,( λσσ : (1.13)
Donde:
)0,( xu es la velocidad axial del fluido en la superficie
su = velocidad axial superficial
x = coordenada axial
- 55 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
n = coordenada normal medida desde la superficie
σu = impulso tangencial del acomodo de los coeficientes
Entonces tenemos que nuestra primera condición de frontera es:
( ) 00,=
∂∂
yxu
(1.13a)
Sustituyendo
0
)0(10
1
=
+=
+=
A
Adxdp
Aydxdp
dydu
μ
μ
(1.13b)
Sustituyendo A en la ecuación
Byy
dxdpu
BAyydxdpu
++=
++=
)0(21
21
2
2
μ
μ (3.4a)
Buscando la segunda condición de frontera para y=H/2 con ayuda de la ecuación
de Maxwell si sabemos que σU = 1
c
Hyc
Hycu
u
udyduHxu
uy
HxuHxu
uy
HxuHxu
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=
=
λ
λ
λσσ
2,
2,
112
2,
2,
22
,
2
2
(1.13c)
Sustituyendo la segunda condición de frontera en
- 56 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
[ ] c
c
Hy
upKndxdpHB
Byydxdpu
dydu
BAyydxdpu
BAyydxdpu
++−=
++=+
++=
++=
=
)(418
)0(21
21
21
2
2
2
2
2
μ
μλ
μ
μ
(1.13d)
Sustituyendo el valor de la constante B en:
[ ]
c
c
uHypKn
dxdpHu
upKndxdpHyy
dxdpu
BAyydxdpu
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−=
++−+=
++=
2
22
22
2
4)(418
)(418
)0(21
21
μ
μμ
μ
(3.5)
Esta nueva ecuación fue posible gracias a la aplicación de la definición del
número de Knudsen que es:
RTH
Kn22
...............;..ρπμλλ
== (1.1), (1.2)
3.3.2 Velocidad Media
Ahora obtendremos la ecuación que caracterice a la velocidad media para que
así logremos normalizar nuestra ecuación:
∫=H
m dyyuH
u0
)(1 (3.6)
Ahora sustituiremos el valor del perfil de velocidad e integraremos:
- 57 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
CyuHyypKny
dxdpH
Hu
dyuHypKn
dxdpH
Hu
dyyuH
u
H
cm
H
cm
H
m
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−=
=
∫
∫
02
32
02
22
0
34)(4
81
4)(418
1
)(1
μ
μ
CHHu
HH
HHpKn
HH
dxdpHu
CHuHHHpKnH
dxdpH
Hu
cm
cm
++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−=
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−=
3
32
2
32
34)(4
8
)(34)(4
81
μ
μ
CupKndxdpHu cm ++⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −+−=
34)(41
8
2
μ (3.7)
Normalizando muyu )( tenemos que:
CupKndxdpH
uHypKn
dxdpH
uyu
c
c
m ++⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−
=
34)(41
8
4)(418)(
2
2
22
μ
μ (3.8)
Para y = 0 tenemos
[ ]
CupKndxdpH
upKndxdpH
uu
CupKndxdpH
uHypKn
dxdpH
uyu
c
c
m
c
c
m
++⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−
++−=
++⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−
=
34)(41
8
)(418)0(
34)(41
8
4)(418)(
2
2
2
2
22
μ
μ
μ
μ
(3.9)
- 58 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Para y = H/2 tenemos
[ ]
CupKndxdpH
upKndxdpH
u
Hu
CupKndxdpH
uHypKn
dxdpH
uyu
c
c
m
c
c
m
++⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−
++−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−
=
34)(41
8
)(4182
34)(41
8
4)(418)(
2
2
2
2
22
μ
μ
μ
μ
(3.10)
NOTAS:
-El número de Knudsen varia con la presión a lo largo del canal representa los
efectos de rarefaction en la velocidad axial.
-El gradiente de presión es desconocido y deberá ser determinado para completar
la solución.
-Si Kn = 0 en la ecuación (3.5) nos da la solución de no deslizamiento para el
flujo de Poiseuille en macrocanales.
3.4 Distribución de Presión
Para completar la solución del campo de flujo la componente de la velocidad
lateral v y la distribución de la presión p deberán ser determinadas, la ecuación de
continuidad para un flujo compresible será usada para determinar v.
( ) ( ) 0)(
=∂
∂+
∂∂
+∂
∂+
∂∂
zw
yv
xu
tp ρρρ (3.11)
Si introducimos nuestras hipótesis en la ecuación tenemos:
( ) 0)(=
∂∂
+∂
∂yv
xu ρρ (3.12)
La densidad ρ es eliminada usando la ley del gas ideal
- 59 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
| RTp
=ρ (2.43)
Donde R es la constante de los gases y T es la temperatura Si sustituimos (2.43)
en (3.12) tenemos:
( )xu
yv
∂∂
−=∂
∂ )(ρρ (3.13)
Sustituyendo u(y) dentro de (3.13) obtenemos:
( )
cuHypKn
dxdpp
xH
yv
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
∂∂
=∂
∂ )4)(41(8 2
22
μρ (3.14)
La simetría del flujo respecto ha y nos proporciona la siguiente condición de
frontera para v que son:
v(x,0)=0 (j)
La segunda condición de frontera es obtenida del requerimiento que la velocidad
lateral se desvanece en la pared.
v(x,H/2)=0 (k)
Multiplicando (3.14) por dy e integrando de y = 0 a y = y
( ) dyHypKn
dxdpp
xHpvd
yy
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
∂∂
= ∫∫0
2
22
0
4)(418μ
(l)
Evaluando la integral, multiplicando y dividiendo por H
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
∂∂
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
∂∂
=
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
∂∂
=
3
33
2
32
2
32
34)(411
8
34)(4111
8
34)(411
8
Hy
HypKn
dxdpp
xpHv
HyypKn
Hdxdpp
xpHHv
HyypKn
dxdpp
xpHv
μ
μ
μ
(3.15)
Se tiene que determinar la presión p(x) aplicamos la segunda condición de
frontera obtenemos una ecuación diferencial para p:
- 60 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
034)(41
2
3
3
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
∂∂
=Hy
Hy
HypKn
dxdpp
x (3.16)
Para integrar esta ecuación el número de Knudsen deberá ser expresado en
términos de la presión para esto utilizaremos las ecuaciones del Camino libre medio
RTp 2
πμλ = y del número de Knudsen p
RTHH
Kn 12πμλ
== así pues:
Evaluando la ecuación para y = H/2, y sustituyendo el número de Knudsen e
integrando nos da como resultado:
Dp
RTHdx
dpp
pRT
Hdxdppd
H
H
pRT
Hdxdppd
H
H
H
H
pRT
Hdxdpp
dxd
Hy
HypKn
dxdpp
x Hy
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎩⎨⎧
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
∂∂
∫
=
1231
061
21121
0834
21121
023421241
034)(41
3
3
3
3
2
3
3
πμ
πμ
πμ
πμ
Integrando de nuevo y además asumiendo a T como constante
EDxpRTH
p
Ddxp
RTH
pdp
+=+
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
πμ
πμ
261
1231
2
(3.17)
Donde D y E son constantes de integración y así continuaremos con la solución
de esta ecuación cuadrática.
- 61 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
( )
EDxH
RTRTH
xp
EDxRTH
RTHxp
EDxRTH
RTH
xp
EDxpRTH
p
EDxpRTH
p
22623)(
31
32
3222
)(
612
61422
)(
0261
261
2
2
2
2
2
2
2
+++−=
+++−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+−
=
=−−+
+=+
μππμ
πμπμ
πμπμ
πμ
πμ
EDxH
RTRTH
xp 661823)( 2
2
+++−=μππμ (3.18)
Las constantes D y E son determinadas especificando la presión a la entrada y a
la salida del canal.
p(0) = pi ; p(L) = po (m) Donde L es la longitud del canal si aplicamos determinaremos los valores de D y E
( ) ( )
ii
iio
pRTH
pE
ppRTHL
ppL
D
πμ
πμ
26
261
2
022
+=
−+−= (n)
Sustituyendo los valores de las costantes y normalizando la presión por p0 nos da:
( ) ( )
002
2
20
2
20
2
2
00
2
022
2
2
0
2612611823)(
26
6261(61823)(
pp
RTHpp
pLx
pp
RTHpp
ppRT
HRT
Hppxp
pRTH
pxppRT
HLpp
LRT
HRT
Hpxp
i
o
i
o
i
o
i
ii
iio
πμπμπμπμ
πμπμπμπμ
++⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−++−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡++⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −+−++−=
(3.19)
Este resultado puede ser expresado en términos del número de Knudsen a la salida.
- 62 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
00
0
2)()(
RTpHH
pKn πμλ
== (3.20)
La T en la ecuación es aproximadamente igual a la temperatura de salida To entonces nuestra ecuación se vuelve:
Lx
pp
Knpp
pp
KnKnp
xp
o
iii
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++−= 112166)(
020
22
000
0
(3.21)
Si aplicamos en la ecuación el caso límite de Kn0 = 0 nos da como resultado:
Lx
pp
pp
pxp ii
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡= 2
0
22
00
1)( (3.22)
Este resultado representa solo el efecto de compresibilidad.
Ya que tenemos la distribución de velocidad y así también la distribución de la
presión continuamos con la razón de Flujo Másico.
- 63 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
3.5 Flujo Másico.
La razón de flujo m para un canal de anchura w es:
∫=2
0
2
H
udywm ρ (3.23)
Si usamos la ecuación para la solución del campo de flujo para la velocidad u
que es una ecuación obtenida anteriormente:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−= 2
22
4)(418 H
ypKndxdpHu
μ (3.5)
Sustituyendo tenemos que:
dyHypKn
dxdpHwm
H
)4)(41(8
22
02
22
∫ −+−= ρμ
La densidad y la presión son asumidas uniformes a lo largo de y. Estas son tratadas como constantes en la integración y obtenemos que:
( )
dxdppKnwHm
dxdppKnHwHm
dxdpHpHKnHwHm
dxdp
H
H
pHKnHwHm
H
H
ypKnHHdxdpHwm
HyypKny
dxdpHwm
dyHypKn
dxdpHwm
H
H
ρμ
ρμ
ρμ
ρμ
ρμ
ρμ
ρμ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−=
−+−= ∫
)(231
4
244)(2
21
4
834)(2
24
834)(2
24
234)(
24
282
34)(4
82
)4)(41(8
2
3
2
2
2
3
2
2
3
2
02
32
2
02
22
- 64 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
[ ] )()(6112
3
dxdppKnwHm ρ
μ+−= (3.24)
Si expresamos la ρ en términos de la presión usando la ley del gas ideal.
RTp
=ρ
Ahora sabemos que p
RTHH
Kn 12πμλ
==
Si sustituimos en la ecuación nos da:
[ ]
)()(
1261
12
)()(6112
)()(6112
3
3
3
dxdp
RTpp
Hp
RTHwHm
dxdp
RTpp
HwHm
dxdppKnwHm
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−=
+−=
πμ
μ
λμ
ρμ
dxdpRT
Hp
RTwHm ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=
26
12
3 πμμ
(3.25)
Ahora formularemos el gradiente de presión y si asumimos que la constante de
temperatura (T≡T0)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−= 1121
241
002
0
2
0
20
3
pp
Knpp
LRTpwH
m ii
μ (3.26)
Si comparamos este resultado con el caso correspondiente de no deslizamiento
en macro canales donde el flujo es asumido incomprensible.
Tenemos que para este caso el flujo másico esta dado por:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= 1
121
00
20
3
pp
LRTpwH
m i
μ (3.27)
Entonces:
- 65 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++= 0
00
121121 Kn
pp
mm i (3.28)
Ahora haremos algunas observaciones:
(1) La razón del Flujo Másico en microcanales es muy sensible a la longitud H del
canal y es muy difícil de obtener si nuestra longitud del canal esta típicamente en
micras.
(2) La ecuación (30) nuestra el efecto de deslizamiento y la compresibilidad del
flujo Másico y si nosotros queremos examinar solo los efectos de
compresibilidad (a lo largo del canal sin deslizamiento) hacemos que Kn0 = 0
(3) Si pi/p0 >1 en la ecuación (32) muestra que se niegan los efectos de la
compresibilidad en el flujo Másico.
- 66 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
3.6 Número de Nusselt. El número de Nusselt es definido como:
khHNu 2
= (3.29)
El coeficiente de la transferencia de calor h en una superficie de fluctuación
uniforme qs” es:
TmTsq
h s
−=
" (3.30)
Si sustituimos en u tenemos:
)("2
TmTskHq
Nu s
−= (3.31)
Donde:
Tm = es la temperatura del Fluido
Ts = es la temperatura del Plato.
Usualmente el coeficiente de transferencia de calor en microcanales es definido
en términos de la temperatura de superficie. La temperatura de la superficie Ts esta dada
según las coordenadas y seleccionando toma la forma de:
y
HxTHxTTs
∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂
℘+℘
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= 2
,
Pr12
2, λ (1.14)
El significado de la temperatura Tm es definido dado que la densidad y el calor
especifico los cuales varían con respecto ha y entonces:
∫
∫=
2
0
2
0H
H
udy
uTdyTm (3.32)
- 67 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Las ecuaciones (1.14) y (3.32) muestran que la velocidad axial u(x,y) y que la
distribución de temperatura T(x,y) son requeridas para la determinación del número de
Nusselt. Primero consideraremos la distribución de velocidad u(x,y) la solución
obtenida en la ecuación (3.5) esta limitada por un flujo isotermico como indican
nuestras suposiciones, Ahora asumiremos que el efecto de la variación de temperatura
no es uniforme.
La distribución de temperatura es gobernada por la ecuación de la energía.
Φ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂ μβρ
ypv
xpuT
yT
xTk
yTv
xTu
tTC p 2
2
2
2
(3.33)
Para simplificar esta ecuación adicionamos las siguientes suposiciones:
-La disipación el despreciable Φ = 0
-La conducción axial es despreciable, 2
2
2
2
yT
xT
∂∂
<<∂∂
-Los efectos de la compresibilidad en la ecuación de la energía son
despreciables.
-El flujo paralelo es cercano a cero v = 0
Entonces nuestra ecuación nos queda:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
2
2
yTk
xTuC pρ (3.34)
- 68 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Esta ecuación requiere dos condiciones límite que son:
yyxT 0)0,(
=∂
∂ (o)
")2/,( qsyHxTk =
∂∂ (p)
Para proceder con la solución de la ecuación (3.34) vamos a introducir otras
importantes suposiciones:
-Para el desarrollo completo de temperatura se introduce la perdida dimensional
de la temperatura ø
)()2/,(),()2/,(
xTHxTyxTHxT
m−−
=φ (3.35)
El desarrollo completo de la temperatura es definido en el perfil en donde ø es
independiente de x lo que nos da que:
yy)(φφ =
(3.36)
0=∂∂
xφ (3.37)
Las ecuaciones (3.35) y (3.36) nos dan:
0)()2/,(),()2/,(
=∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
∂
=∂∂
xxTHxTyxTHxT
xmφ (3.38)
- 69 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Usando la definición de Φ en (3.35)
0)()2/,()()2/,(
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−
∂∂
−dx
xdTdx
HxdTyxT
dxHxdT mφ (3.39)
La relación entre los tres gradientes de de temperatura serán
dxxdT
ydx
HxdTx
yxT m )()2/,(,),(∂
∂ determinados con ayuda del coeficiente de
transferencia de calor h que esta dado por: )30.3.......(..........)()(
)2/,(
xTxTyHxTk
hsm −
∂∂
−=
Donde Ts(x) esta dado por la ecuación (1.14) y el gradiente de temperatura en y esta
dado por la ecuación (3.35)
[ ]φ)()2/,()2/,(),( xTHxTHxTyxT m−−= (3.40)
Si evaluamos y derivamos para y = H/2 tendremos:
[ ]dyHdxTHxT
yHxT
m)2/()()2/,()2/,( φ
−−=∂
∂ (3.41)
Si sustituimos (3.41) dentro de (3.30) y usamos la ecuación (1.14) para Ts(x) Tenemos:
[ ]dyHd
xTxTxTHxTk
hms
m )2/()()(
)()2/,( φ−
−−= (3.42)
La ley de Newton para el frió nos da otra ecuación para el coeficiente h:
)()("
xTxTqsh
ms −= (3.30)
- 70 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
La ecuación de arriba junto con la ecuación (3.42) nos da:
teCons
dyHdqsxTHxT m tan
)2/(")()2/,( =−=−
φ (3.43)
Si diferenciamos tenemos:
0)()2/,(=
∂∂
−∂
∂x
xTxHxT m (3.44)
Si combinamos esta ecuación con la ecuación (3.39) tenemos que:
xT
dxxdT
dxHxdT m
∂∂
==)()2/,( (3.45)
Esta ecuación es un importante resultado ya que ∂T/∂x de la ecuación diferencial
parcial. De la ecuación (3.34) puede ser reemplazada con dTm/dx. El siguiente paso será
formular una ecuación para el gradiente de temperatura dTm/dx para aplicarlo en la
ecuación de la energía. Para la figura 3.2 nuestra ecuación de energía nos queda.
Fig. 3.2 Esquema representativo de la conservación de la energía en un
microcanal [ ]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=+ dx
dxdT
TmcTmcWdxqs mmpmp"2
- 71 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Simplificando tenemos que:
m
p
m
uWHmtambien
teConsmcWqs
dxdT
ρ=
== tan"2
(aa), (bb)
Donde:
um: significa velocidad axial
Si se sustituye (aa) y (bb) tenemos:
cteHuc
qsdx
dT
mp
m ==ρ
"2 (3.46)
Sustituyendo (3.46) en (3.45) tenemos.
Hucqs
xT
dxxdT
dxHxdT
mp
m
ρ"2)()2/,(
=∂∂
== (3.47)
La ecuación (3.47) muestra que T(x,r), Tm(x) y Ts(x) son lineales con la
distancia axial x si sustituimos (3.47) en (3.34) nos da:
muu
kHqs
yT "22
2
=∂∂ (3.48)
La velocidad u es dada por la ecuación (3.5) y entonces la velocidad esta
definida por:
[ ]∫=2/
0
2 H
m udyH
u (3.49)
- 72 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
dyHyKn
dxdpHu
tenemosdentrodedosustituyenH
m ∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−=
2/
02
22
4414
)49.3()5.3(
μ (3.50)
[ KndxdpHu
egrando
m 6112
int2
+−=μ
] (3.51)
Si combinamos (3.5) y (3.51) tendríamos:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
+= 2
2
41
616
HyKn
Knuu
m
(3.52)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
′′+
=∂∂
2
2
2
2
41
6112
HyKn
kHsq
KnyT (3.53)
)()(12
)41(
21
)61("12),(
int
2
42 xgyxf
HyyKn
kHKnqsyxT
egrando
++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
+=
(3.54)
Donde f(x) y g(x) son constantes de integración en la condición limite (39) nos
da:
f(x) = 0
La ecuación (3.54) pasa a ser entonces:
)(12
)41(
21
)61("12),( 2
42 xg
HyyKn
kHKnqsyxT +⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
+= (3.55)
Para proceder tenemos que encontrar el valor de g(x) el cual va a ser
determinado evaluando el significado de Tm primero integraremos la ecuación (3.46) a
la entrada del canal donde x=0 para una x arbitraria.
- 73 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
∫∫2
=x
mp
T
Tm dx
HucqsdT
m
mi 0
"ρ
mim TTdonde
=)0( (3.56)
mimp
m TxHuc
qsxT
egralaevaluandol
+=ρ
"2)(
int (3.57)
En el segundo método, Tm es evaluado usando la definición en la ecuación
(3.32) sustituyendo (3.5) y (3.55) dentro de (3.32)
dyHyKn
dxdpH
dyxCHyyKn
kHKnqs
HyKn
dxdpH
xT H
H
m
∫
∫
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−
= 2/
02
2
72
42
2/
02
2
4418
)(12
)41(
21
)61("12441
8)(
μ
μ
(3.58)
Evaluando la integral:
)(56013
4013)(
)61("3)( 2
2 xgKnKnKnkHqsxTm +⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ++
+= (3.59)
Igualando (3.57) y (3.58) nos da el valor de g(x):
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++
+−+=
56013
4013)(
)61("3"2)( 2
2 KnKnKnkHqsx
HucqsTxg
mpmi ρ
(3.60)
La Temperatura de superficie Ts(x,H/2) es determinada por la sustitución la
ecuación (3.55) en (1.14) así pues:
)(Pr"
12
485
21
)61("3)( 7 xCKn
kHqsKn
KnkHqsxTs +
++⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +
+=
γγ (3.61)
- 74 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Sustituyendo (3.59) y (3.61) dentro de (3.31) nos da el número de Nusselt.
KnKnKnKn
KnKn
Nu
Pr1
12
56013
4013)(
)61(1
485
21
)61(3
2
2
++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++
+−+
+
=
γγ
(3.62)
El número de Nusselt en la ecuación (3.62) es función de la presión local y éste varia a
lo largo del canal según varea la distancia x.
Usando (3.62), la variación del número de Nusselt con el numero de Knudsen para aire
se ploteo la figura 3.3
Fig. 3.3 Número de Nusselt para un flujo de aire entre dos placas paralelas γ= 1.4, Pr=0.7,σu= σT=1 [ 1]
A diferencia de los macrocanales el número de Nusselt depende del fluido como se
indica por Pr y γ en (3.62)
El efecto del salto de temperatura en el número de Nusselt es representado por el ultimo
termino en el denominador de (3.62)
- 75 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
El correspondiente no deslizamiento número de Nusselt para flujos en macrocanales
Nuo es determinado dando Kn = 0 en (3.62)
235.817140
==oNu
Rarefaction y compresibilidad tienen el efecto de decrecer el número de Nusselt.
- 76 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Capítulo 4
Conclusiones y Trabajo Futuro.
4.1 Conclusiones
Con el fin de tener una mejor compresión de los efectos que se presentan en los
dispositivos a escalas micro, se ha realizado éste estudio teórico. La solución al
problema incluyo un análisis completo de los efectos presentes en los microcanales
determinando los parámetros principales a considerar. El análisis teórico se basa en el
acoplamiento de las ecuaciones generales de la cantidad de movimiento y conservación
de la energía, para el modelo matemático presentado en capítulos anteriores.
Además basado en una extensa revisión de literatura, sea concluido que la
importancia de estudiar este tipo de micro dispositivos esta en las aplicaciones que se
les dan a estos, y al ser de gran importancia deberán de ser estudiados todos y cada uno
de sus efectos ya que la simple escalas que manejan éstos hacen que sus características
físicas sean realmente complicadas.
Basado en el estudio que se realizo y en las publicaciones existentes acerca de
un flujo gaseoso en microcanales se ha logrado hacer las siguientes conclusiones
preliminares acerca del estudio presentado:
• La condición del flujo con deslizamiento implica que la caída de presión a lo
largo del microcanal, será mas baja que la predicha en macro escalas.
• La distribución de la presión a lo largo del microcanal puede ser no lineal
bajo ciertas geometrías y condiciones de operación. La real distribución de
presión es determinada por los efectos de viscosidad así como los efectos de
compresibilidad y rarefaction
- 77 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
• El factor de fricción y la trasferencia de calor en el régimen de flujo con
deslizamiento puede ser predicho desde cierto rango de parámetro
resolviendo las ecuaciones de Navier-Stokes y la ecuación convencional de
la energía usando las condiciones de frontera de velocidad de deslizamiento
y salto de temperatura
• El rango de transición del número de Reynolds no puede ser reportado
• Debido a las pequeñas dimensiones que involucran, los errores pueden ser
relativos de la dimensión del canal, la rugosidad de la superficie, en el canal,
otro efecto de error son los flujos del fluido que atraviesan la sección
Como se presento en este trabajo de investigación tenemos que el capitulo 1
tenemos el marco teórico que necesitamos estudiar para la comprensión, desarrollo y
solución de nuestro problema, en el capitulo 2 damos a conocer la formulación
diferencial de las ecuaciones básicas que son necesarias para la solución y la obtención
de los parámetros buscados en el modelo matemático que son, la distribución de presión
, la distribución de la velocidad, el flujo másico y el numero de Nusselt, en el capitulo 3
presentamos el desarrollo del modelo matematico de un microcanal.
Dando solución a estos con ayuda de la teoría y de nuestras ecuaciones
diferenciales básicas.
4.2 Trabajo Futuro
Los trabajos que han sido reportados anteriormente en revistas científicas, libros
y paginas de investigación han atribuido para la comprensión del flujo en microcanales
y la transferencia de calor, las cuales pueden ser predichas con ayuda de la teoría de los
canales aun nivel de escala normal.
- 78 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Trabajos adicionales son necesarios en orden de que el fenómeno básico en
microcanales sea entendido y se desarrollen así nuevas investigaciones futuras que
llevaran las aplicaciones de estos micro dispositivos a nuevas etapas de investigación.
A continuación se presentan algunos puntos que podrían ser foco de atención
para algunos investigadores debido a que los puntos presentados abajo no están del todo
bien comprendidos y podrían ser fácilmente estudiados:
• El efecto del tamaño y la geometría del canal, particularmente el rango del
submicron
• La distribución local de la presión y la visualización del flujo en el perfil de
velocidad
• Flujo de fluidos no Newtonianos en microcanales
• Las características de la transferencia de calor
• Las condiciones de transición de flujo laminar a flujo turbulento
• Los efectos del número de Knudsen
• Los efectos de compresibilidad y rarefactión
Dada la teoría, es muy interesante cada vez ir entendiendo más los fenómenos
involucrados en el flujo y la transferencia de energía en microcanales y el modelo
matemático para las soluciones técnicas. Aun existe un enorme campo de investigación
en el cual indagar.
La búsqueda de dispositivos micro ha captado la atención en la reciente época
pasada para la posibilidad de su comercialización en nuevas tecnologías, especialmente
en el área de la biotecnología, actualmente tremendos esfuerzos por entender los efectos
de estos micro-dispositivos han creado un campo nuevo e interesante de investigación.
Además de la escasa información disponible sobre el tema de la transferencia de
calor y de energía en microcanales presento en la siguiente tabla 4.1 las investigaciones
realizadas desde la hace años para así comprender como es que la investigación sobre
este tema a avanzado y lo mucho que nos falta por descubrir.
- 79 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
Tabla. 4.1 Resumen del trabajo teórico en el flujo y la transferencia de calor para gases fluyendo en
microcanales [2]
- 80 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
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- 81 -
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN FLUJO EN FASE GASEOSA NO ISOTÉRMICO EN UN MICROCANAL
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