instrumenty pochodne 2014 - gpw · b baza może się zmieniać (osłabiać lub wzmacniać) b zmiany...
TRANSCRIPT
Instrumenty pochodne 2014
Wycena equity derivatives notowanych na GPWw obliczu wysokiego ryzyka dywidendy
Jerzy Dzieża, WMS, AGH Kraków
28 maja 2014
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 1 / 31
Plan wystąpienia
Wycena kontraktu terminowego dla różnych klas instrumentów bazowychKontrakt futures na akcje
I model a rzeczywistośćI dywidenda implikowana z modeluI ryzko bazy
Kontrakt futures na indeks WIG20Opcje na indeks WIG20
I wzory Blacka-ScholesaI wzory BlackaI put-call parityI zmieności implikowane z ceny spot i ceny futures
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 2 / 31
Instrumenty bazowe
Instrument bazowy: akcja, indeks
Instrument pochodny: kontrakt terminowy (forward, futures), opcja
Klasy finansowych instrumentów bazowych:
I. Instrument bazowy nie generuje przepływów pieniężnych w czasie życia instrumentupochodnego
II. Instrument bazowy generuje znane przepływy pieniężne w dyskretnych chwilachczasu w czasie życia instrumentu pochodnego
III. Instrument bazowy generuje stopę dywidendy q w czasie życia instrumentupochodnego
Przypomnienie wyceny kontraktu forwardjeśli stopy procentowe są deterministyczne (przewidywalne)to cena forward = cena futures
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 3 / 31
Założenia modelu
Założenia o funkcjonowaniu rynku finansowego:
• oprocentowanie kredytów i depozytów bankowych jest jednakowe i niezmienne wczasie trwania instrumentu pochodnego,
• instrumenty bazowe są doskonale podzielne,• nie ma kosztów transakcji,• nie ma podatków,• istnieje możliwość zajmowania (nieograniczonych) długich i krótkich pozycji,• inwestorzy posiadają jednakowy dostęp do wszystkich instrumentów i informacjidotyczących cen (symetryczność informacji)
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 4 / 31
Wycena kontraktu forward I.
I. Instrument bazowy nie generuje przepływów pieniężnych w czasie życia instrumentupochodnego
-czas0 T
?S(0)
6F (0,T )
model ciągłyF (0,T ) = S(0)erT
model dyskretnyF (0,T ) = S(0)(1+ rT )
gdzie:S(0) - cena instrumentu bazowegoT - czas zapadalności kontraktu (liczony w latach)r - stopa wolna od ryzyka w czasie życia kontraktuwycena kontraktu = brak możliwości arbitrażu
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 5 / 31
Dywidenda
w chwili t∗ (t∗ < T ) spółka wypłaca dywidendęgdy t < t∗ akcja jest notowana z prawem do dywidendy (cum-dividend)w chwili t∗ akcjonariusz nabywa prawo do dywidendygdy t > t∗ akcja jest notowana bez prawa do dywidendy (ex-dividend)
Konwencja D+3
-czas
WZAcum-dividenddate
ex-dividenddate
prawodo dywidendy
wypłatadywidendy
W dniu ex-dividend date mamy korygowaną cenę akcji (wartość indeksu)
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 6 / 31
Wycena kontraktu forward II.
II. Instrument bazowy generuje znane przepływy pieniężne w dyskretnych chwilach czasuw czasie życia instrumentu pochodnegoPrzykład:
-czas0 t1 t2 T
?92,0
6
2,062,3
6F (0,T )
cena akcji S(0) = 92 PLN, spółka wypłaci dywidendy:div1 = 2 PLN za 1 miesiąc od dzisiajoraz div2 = 2,30 PLN za 5 miesięcy od dzisiajkontrakt forward: akcja spółki, T = 7
12 , r = 6%Zakładamy 2 możliwe scenariusze Fm(0,T ):
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 7 / 31
Wycena kontraktu forward II.
I scenariusz Fm(0,T ) = 93,40 PLN.Twierdzimy, że rynkowa cena forward Fm(0,T ) jest za wysoka konstruujemy portfel:
B wystawiamy kontrakt z cena Fm(0,T ) = 93,40 PLNB pożyczamy w banku 92 PLNB nabywamy akcję za S(0) = 92 PLNPo 1 miesiącu:
B dostajemy dywidendę div1 = 2 PLNB spłacamy cześć zadłużenia w banku;dług w banku po dopisaniu odsetek i spłacie 2 PLN dywidendy wynosi
92 · e0,06·1/12 − 2 = 90,46 PLNPo upływie 5 miesięcy:
B dostajemy dywidendę div2 = 2,3 PLNB spłacamy kolejną cześć zadłużenia w banku;dług w banku po dopisaniu odsetek i spłacie 2,30 PLN i wynosi
90,46 · e0,06·4/12 − 2,30 = 89,99 PLNPo upływie 7 miesięcy:
B zamykamy kontrakt: dostarczamy akcję za Fm(0, 7/12) = 93,40 PLNB spłacamy pozostaje zadłużenie w banku w wysokości 89,99 · e0,06·2/12 = 90,89 PLNZysk portfela: 93,40 - 90,89 = 2,51 PLN Excel
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 8 / 31
Wycena kontraktu forward II.
cd. przykładu:II scenariusz Fm(0,T ) = 87,20 PLN.Twierdzimy, że rynkowa cena forward Fm(0,T ) jest za niskaKonstruujemy portfel:
B nabywamy kontrakt z cena Fm(0,T ) = 87,20 PLN
B pożyczamy akcję i sprzedaje na krótko za S(0) = 92 PLN
B lokujemy w banku kwotę 92 PLN
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 9 / 31
Wycena kontraktu forward II.
cd. przykładu:Po miesiącu spółka wypłaca dywidendę div1:
B wyciągamy z lokaty bankowej kwotę 2 PLN, która po wcześniejszym dopisaniuodsetek wynosi
92 · e0,06·1/12 − 2 = 90,46 PLN,
B płacimy inwestorowi, od którego pożyczyliśmy akcję, dywidendę div1 = 2 PLN
Po upływie 5 miesięcy spółka wypłaca dywidendę div2:
B wyciągamy z lokaty bankowej kwotę 2,30 PLN, która po wcześniejszym dopisaniuodsetek wynosi
90,46 · e0,06·4/12 − 2,30 = 89,89 PLN
B płacimy inwestorowi, od którego pożyczyliśmy akcję, dywidendę div2 = 2,30 PLN
Po upływie 7 miesięcy:
B wyciągamy z banku kwotę 89,99 · e0,06·2/12 = 90,99 PLNB zamykamy kontrakt czyli kupujemy akcję za 87,20 PLN
B oddajemy akcję inwestorowi od którego pożyczyliśmy
Zysk portfela: 90,89 - 87,20 = 3,69 PLN Excel
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 10 / 31
Wycena kontraktu forward II.
Ogólnie: liczymy koszt finansowania pozycji w I scenariuszumamy przepływy pieniężne
((S(0)er ·t1 − div1)er ·(t2−t1) − div2)er ·(T−t2)
po przekształceniu
S(0)er ·(t1+t2−t1+T−t2) − div1er ·(t2−t1+T−t2) − div2er ·(T−t2)
w ostateczności koszt finansowania (replikacja krótkiego forwardu)
S(0)er ·T − div1er ·(T−t1) − div2er ·(T−t2)
Czyli:F (0,T ) = (S(0)− div0)er (T )T
gdzie: div0 = div1e−r (t1)t1 + · · ·+ divke−r (tk )tk
-czas0 t1 t2 T
?S(0)
6
div16div2
6F (0,T )
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 11 / 31
Wycena kontraktu forward II.
W modelu dyskretnymF (0,T ) = (S(0)− div0)(1+ r T )
gdzie
div0 =div1
(1+ r t1)+ · · ·+ divk
(1+ r tk )
oczywiście tk < T .W rzeczywistości mamy zwykle 1 dywidendę w czasie życia kontraku i wtedy
div0 =div1
(1+ r t1)
Zatem cena forward
F (0,T ) = (S(0)− div1(1+ r t1)
)(1+ r T )
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 12 / 31
Wycena kontraktu forward II.
Model wyceny kontraktu implikuje wartość dzisiejszą dywidendy
div0 = S(0)− 11+ r T
F (0,T )
i wysokość dywidendy
div1 =(S(0)− 1
1+ r TF (0,T )
)(1+ r t1)
Przykład
Cena akcji KGHM SA = 117,00 PLN (zamknięcie 27 czerwca 2014)proponowana dywidenda = 2,50 PLNdata ustalenia praw = 8 lipca 2014; ex-dividend date = 4 lipca 2014cena FKGHU14 = 112,90implikowa wysokość dywidendy
div1 = 5,07 PLN
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 13 / 31
Wycena kontraktu forward III.
III. Instrument bazowy generuje stopę dywidendy q w czasie życia instrumentupochodnego (indeks, waluta)
model ciągłyF (0,T ) = S(0)e(r−q)T
model dyskretny
F (0,T ) = S(0)1+ r T1+ q T
gdzie: q - stopa dywidendyModel może implikować stopę dywidendy q
q =1T
( S(0)F (0,T )
(1+ r T )− 1)
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 14 / 31
Wycena kontraktu futures
B T termin zapadalności kontraktów forward oraz futures,
B r stała stopa procentowa w czasie życia (trwania) kontraktu,
B F (0,T ) cena forward w chwili 0 kontraktu forward zapadającego w chwili T ,
B f (0,T ) cena futures w chwili 0 kontraktu futures zapadającego w chwili T ,
Fakt
Jeśli stopy procentowe są deterministyczne to F (0,T ) = f (0,T ).
Bf (t,T ) = S(t)er (T−t)
Bf (t,T ) = (S(t)− div0)er (T−t)
Bf (t,T ) = S(t)e(r−q)(T−t)
Dla losowych stóp procentowych tw. nie zachodzi.
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 15 / 31
Ryzyko bazy
Baza (basis) kontraktu futures w chwili t zapadającego w chwili T
b(t,T ) = f (t,T )− S(t)
gdzie:S(t) - cena instrumentu bazowego w chwili t,a f (t,T ) cena futures kontraktu w chwili t zapadającego w chwili T .
Alternatywna definicjab(t,T ) = S(t)− f (t,T )
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 16 / 31
Ryzyko bazy
Obserwacje:gdy t → T to b(t,T )→ 0
bo f (T ,T ) = S(T ).
Gdy stopy procentowe: r , q stałe:
instrument bazowy, które nie generuje przepływów pieniężnych w czasie trwaniakontraktu
b(t,T ) = S(t)er (T−t) − S(t) = S(t)(er (T−t) − 1)
instrument bazowy, który generuje znaną dywidendę w dyskretnych chwilach czasu
b(t,T ) = (S(t)− div0)er (T−t) − S(t) = S(t)(e−r (T−t) − 1)− div0er (T−t)
instrument bazowy, który generuje stopę dywidendy q
b(t,T ) = S(t)e(r−q)(T−t) − S(t) = S(t)(e(r−q)(T−t) − 1)
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 17 / 31
Ryzyko ceny a ryzyko bazy
Zauważmy, że
B baza może się zmieniać (osłabiać lub wzmacniać)
B zmiany bazy są losowe
Z definicji bazy mamy
b(t,T1) = f (t,T1)− S(t) baza w chwili t kontraktu zapadającego w chwili T1b(t,T2) = f (t,T2)− S(t) baza w chwili t kontraktu zapadającego w chwili T2.
Załóżmy, że mamy długą pozycję w kontrakcie krótszym i krótką pozycję w kontrakciedłuższym, wtedy nasza ekspozycja
f (t,T1)− f (t,T2) = b(t,T1)− S(t)− b(t,T2) + S(t) = b(t,T1)− b(t,T2)
ryzyko bazy
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 18 / 31
Ryzyko ceny a ryzyko bazy
Akcje KGHM: baza rynkowa (krzywa zielona) i baza teoretyczna (krzywa fioletowa) dlaserii czerwcowej ....
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 19 / 31
Ryzyko ceny a ryzyko bazy
.... i wrzesniowej: baza rynkowa (krzywa czerwona) i baza teoretyczna (krzywa zielona)
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 20 / 31
Kontrakt na WIG20
Wartość indeksu WIG20 = 2474 pktówceny futures dla serii:
cena baza stopa dywidendy baza teoretycznaFW20M14 2462 -14 11,45% -14FW20U1420 2421 -53 11,5% -67FW20Z1420 2440 -34 7,60% -67FW20H1520 2452 -22 5,40% -54
stopa dywidendy z pliku DX ZAR ze strony KDPWczy korzystać przy wycenie kontraktu futures z danych z pliku?
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 21 / 31
Parytet kupna - sprzedaży
C (t)− P(t) = S(t)−Ke−r (T−t)
Kontrakt futures a parytet put-callPrzypominamy: cena futures dla różnych klas instrumentów bazowych
f (t,T ) = S(t)er (T−t)
f (t,T ) = (S(t)− divt )er (T−t)
f (t,T ) = S(t)e(r−q)(T−t)
Parytet put-call dla kontraktów futures
C (t)− P(t) = f (t,T )e−r (T−t) −Ke−r (T−t)
PrzykładKontrakt futures na WIG20: f (0, 312 ) = 2540 punktów.Opcja kupna i sprzedaży na WIG20: C (0) = 180 punktów, P(0) = 130 punktów.Opcje i kontrakt zapadają za 3 miesiące; dla opcji K = 2500 punktów.Stopa wolna od ryzyka r = 4,0%. Twierdzimy, że istnieje możliwość arbitrażu.
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 22 / 31
Parytet kupna–sprzedaży
Przykład (cd.)
Konstruujemy następującą strategię arbitrażową:
nabywamy kontrakt futures
wystawiamy opcję kupna: 180 punktów
nabywamy opcję sprzedaży: -130 punktów
lokujemy 500 PLN (50 punktów) po stopie r
W dniu wygaśnięcia opcji i kontraktów:jeśli S(T ) ¬ K = 2500
B długa pozycja w kontrakcie futures wypłaca: 10 · (S(T )− 2540)B opcja kupna wygasa bez wartościB realizujemy opcję sprzedaży: 10 · (2500− S(T ))B wypłacamy z lokaty bankowej: 500e0,04·
312 = 505,0 PLN
Wartość pozycji
10 · (S(T )− 2540) + 10 · (2500− S(T )) + 505 = 105 PLN
jeśli S(T ) > K = 2500 Excel
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 23 / 31
Wzór Blacka–Scholesa
Wzór Blacka–Scholesa na cenę opcji kupna
C (t) = S(t)N(d1)−Ke−r (T−t)N(d2)
gdzie
d1 =ln(S(t)/K ) + (r + σ2/2)(T − t)
σ√T − t
d2 =ln(S(t)/K ) + (r − σ2/2)(T − t)
σ√T − t
= d1 − σ√T − t
N jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego:
N(d) =∫ d−∞
1√2πe−
x2
2 dx
gdzie:S(t) - cena akcji w chwili t,K - cena realizacji (wykonania) opcji,T - data zapadalności opcji,r - stopa wolna od ryzyka,σ - zmienność cen instrumentu bazowego.Cena opcji sprzedaży
P(t) = Ke−r (T−t)N(−d2)− S(t)N(−d1)(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 24 / 31
Opcje na indeks
Cena europejskiej opcji kupna i sprzedaży na instrument bazowy generujący stopędywidendy q
C (t) = S(t)e−q(T−t)N(d1)−Ke−r (T−t)N(d2)
P(t) = −S(t)e−q(T−t)N(−d1) +Ke−r (T−t)N(−d2)
gdzie
d1 =ln S(t)e
−q(T−t)
K + (r + 12σ2)(T − t)
σ√T − t
=ln S(t)K + (r − q + 12σ
2)(T − t)σ√T − t
d2 =ln S(t)e
−q(T−t)
K − (r + 12σ2)(T − t)
σ√T − t
= d1 − σ√T − t
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 25 / 31
Wzory Blacka
Cena futuresf (t,T ) = S(t)e(r−q)(T−t)
wtedy
C (t) = f (t,T )e−r (T−t)N(d1)−Ke−r (T−t)N(d2)
= e−r (T−t)(f (t,T )N(d1)−KN(d2)) (1)
P(t) = e−r (T−t)(−f (t,T )N(−d1) +KN(−d2)) (2)
gdzie
d1 =ln f (t,T )e−r (T−t)
K + (r + 12σ2)(T − t)
σ√T − t
=ln f (t,T )
K + 12σ2(T − t)
σ√T − t
d2 = d1 − σ√T − t
a σ jest zmiennością cen futures f (t,T ).
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 26 / 31
Zmienności implikowane dla opcji kupna
dla opcjicall (seria czerwcowa) dla cen spot (krzywa niebieska: ceny bid, krzywa czerwona: ceny ask)
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 27 / 31
Zmienności implikowane dla opcji kupna
dla opcji call (seria czerwcowa) dla cen futures (krzywa niebieska: ceny bid, krzywaczerwona: ceny ask)
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 28 / 31
Zmienności implikowane dla opcji sprzedaży
dla opcji put (seria czerwcowa) dla cen spot (krzywa niebieska: ceny bid, krzywa żółta:ceny ask)
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 29 / 31
Zmienności implikowane dla opcji sprzedaży
dla opcji put (seria czerwcowa) dla cen futures (krzywa niebieska: ceny bid, krzywa żółta:ceny ask)
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 30 / 31
Podsumowanie i wnioski
istnieją dobre modele wycenynie przystają do rzeczywistości
I ryzyko zmiany proponowanej dywidendyI ryzyko zmiany terminu ustalenia praw do dywidendy
trudno zarządzać ryzykiem cenowym
rynek dyskontuje wszystkie informacje (analiza techniczna??)
(Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja 2014 31 / 31