integração numérica aula 10 fórmulas de newton-cotes: trapézios; simpson; quadratura...
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Integração numérica
Aula 10 Fórmulas de Newton-Cotes:
Trapézios;
Simpson;
Quadratura Gaussiana.
Funções mal condicionadas
1
Integração Numérica
2
Embora na maioria das situações práticas tem-se derivadas, que constituem equações diferenciais, para resolver, em outras situações objetiva-se determinar o valor aproximado da integral
onde a função integrando f(x) pode ser dada analiticamente ou por meio de uma tabela de pontos [xi,f(xi)], i = 0, 1, ..., n.
b
a
f(x)dxI
Se f(x) for dada para um conjunto discreto de pontos contidos no intervalo [a,b] ou se for conhecida uma regra para o cálculo de f(x), para qualquer valor de x, então é possível realizar a interpolação de f(x) por meio de um polinômio e integrar este polinômio para que um valor aproximado de I seja obtido.
A seguir são apresentadas algumas fórmulas para intervalos igualmente espaçados: Trapézios e Simpson.
Fórmula dos Trapézios
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A integral de uma função f no intervalo [a,b] pode ser aproximada pela área de um trapézio, conforme a figura
de forma que
O valor fornecido por esta fórmula é uma aproximação de ordem 1 do valor exato da integral. Assim, existe um erro, dado pela diferença:
b
a 2abf(b)][f(a)f(x)dx
b
a 2abf(b)][f(a)f(x)dxE
Fórmula dos Trapézios
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Para reduzir este erro pode-se obter uma melhor aproximação com a soma de vários trapézios.
Subdividindo o intervalo [a,b] em n subintervalos de mesmo comprimento h = (b-a)/n, considerando x0 = a, xn = b e os pontos intermediários xi+1 = xi + h, para i = 0,1,...,n-1, obtêm-se, para cada subintervalo [xi-1,xi], uma integral
i
1-i
x
xi1-i )](x f)(x [f
2hf(x)dx
Sejam f(x), f'(x) e f''(x) contínuas em [a,b] e seja n um inteiro positivo.
Fórmula dos Trapézios
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Somando todos os subintervalos obtém-se a fórmula dos trapézios (composta) para f(x) com espaçamento h:
que é uma aproximação da integral de f(x) e, portanto, escreve-se
)(x f)(x f)(x f 2)(x f2h),( n1-n10 hfT
e o erro de truncamento é estimado como
b
a
h)E(f, h)T(f, f(x)dx
|(x)f|maxa)(b12hh)E(f,
b][a,x
2
Exemplo ...
Fórmula de Simpson
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Visando obter uma melhor aproximação para integração utiliza-se um polinômio de ordem 2 na fórmula de Simpsom. Para o intervalo [a,b], assumindo que h = ( b – a )/2 resulta
onde corresponde ao ponto médio entre “a” e “b”; para obter um polinômio de segundo grau são necessários 3 pontos.
]dx2h
(a) fΔm)a)(x(xh(a) f Δa)(x(a) [f(x)dxp 2
2b
a
b
a2
b)/2(a m
Via mudança de variáveis e e mudança do intervalo para [0,2], resulta
αhaαx hdαdx
(b)] f(m) f 4(a) [f3hdαh ]
2(a) fΔ1)(α α(a) f Δ α(a) [f(x)dxp
22
0
b
a2
Fórmula de Simpson
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ou seja
Quando este processo é repetido em subintervalos de [a,b] tem-se a extensão da regra.
Sejam f, f', f'', f(3) e f(4) contínuas no intervalo [a,b]; subdividindo o intervalo em 2n subintervalos de espaçamento igual
h =
e usando os pontos a = x0 < x1 < ... < x2n = b, tem-se
(b)] f(m) f 4(a) [f3h(x)dx f
b
a
2nab
n
1k2k12k22k )](x f)(x f 4)(x [f
3h),( hfS
Fórmula de Simpson
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ou então
Esta é uma aproximação para a integral de f (x). Portanto,
)}(x f)](x f)(x [f 2)](x f)(x [f 4)(x f {3h),( 2n22n212n10 hfS
b
a
h)E(f, h)S(f, f(x)dx
onde
|(x)f|max)x(x180hh)E(f, (4)
]x,[xx02n
4
2n0
Observe que o intervalo [a,b] deve ser dividido sempre em um número par de subintervalos para poder aplicar esta fórmula.
Exemplo ...
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Exemplo: Considere que um agricultor pretende reaproveitar uma benfeitoria como depósito para estocar a safra. Sabe-se que a benfeitoria tem 30m de largura, 4,5m de altura máxima e 60m de comprimento. Para a curvatura, segundo a figura, considere que x seja a posição de cada estaca e y a sua altura, dada na tabela. A partir destes dados, qual a capacidade de armazenamento deste depósito?
Fórmula de Simpson
Solução: Usando o método de Simpson, para n = 6, tem-se
²67,96m3
290 dyy
0])42(43)4,5(3 4[035 dyy
)}(x f)](x f)(x f[4)](x f)(x f)(x [f 2)(x {f3hf(x)dx
230
0
30
0
6425310
b
a
m
Como o depósito possui 60 m de comprimento a capacidade total será de
32t 5.800m96,67m x 60mC
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Quadratura de Gauss
A idéia da Quadratura de Gauss-Legendre é determinar fórmulas de integração que sejam exatas para polinômios de grau ≤ 2n – 1 (onde n são pontos distintos utilizados). Para isso, relaxa-se o critério de Newton-Cotes de que os pontos de integração sejam igualmente espaçados.
Os pontos podem ser escolhidos de tal maneira que a área do trapézio seja a mais próxima possível da área sob a curva.
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Quadratura de Gauss
De maneira geral, uma fórmula de Newton-Cotes que aproxima f (x) por um polinômio que interpola f (x) em x0, x1, ..., xn (igualmente espaçados) é exata para polinômios de grau menor ou igual a n. As fórmulas de Gauss são exatas para polinômios de grau menor ou igual a 2n+1 e são escritas como
Para obter a fórmula para n = 1 é necessário determinar A0, A1, x0 e x1 tais que
)f(xA)f(xA)f(xAf(x)dx nn1100
b
a
)f(xA)f(xAf(x)dx 1100
b
a
seja exata para polinômios de grau menor ou igual a 3.
( * )
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Quadratura de Gauss
Para facilitar os cálculos, façamos uma mudança de variável de x para t, no intervalo [-1,1], representando em:
dt2
a-bdx e a)]t(bb[a21x
1
1
b
a
F(t)dt2
abf(x)dx
resultando
com F(t) = f [x(t)].
Dedução ...
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Quadratura de GaussDedução: Para generalizar o resultado para o intervalo [a, b], precisamos entender como x se relaciona com t:
Para relacionar x com t, posso definir uma reta passando pelos pontos (-1, a) e (1, b), Então, tomando a equação da reta, temos que:
22)(
22
2)(
22)(
)1(11
)()()( 001
010
abtabtx
aabtabtxabtabatx
tabatxttttxxxtx
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Quadratura de Gauss
Esta fórmula é exata para polinômios de grau menor ou
igual a 3 e considerando que
0 tAtA)(t g A)(t g A41-
41
4dt t
32 tAtA)(t g A)(t g A
31
31
3dt t
0 tAtA)(t g A)(t g A21
21
2dtt
2 AA)(t g A)(t g A111dt
311
3001100
1
1-
41
1-
3
211
2001100
1
1-
31
1-
2
11001100
1
1-
21
1-
1011001
1-
1
1-
t
t
t
t
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Quadratura de Gauss
cuja solução é
0tAtA2/3tAtA0tAtA
2AA
311
300
211
200
1100
10
obtêm-se o sistema
1AA 33 t
33t 1010
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Quadratura de Gauss
Da teoria dos polinômios ortogonais, segue que os tk são as raízes de polinômios de Legendre e os coeficientes Ak (da Equação (*) ) são obtidos da solução do sistema de equações resultantes, cujos valores são indicados na tabela a seguir:
Para F(t) correspondendo aos polinômios tk para k = 0, 1, ..., 2n+1, tem-se
par ék se 1k
2ímpar ék se 0
dt t1
1
k
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Quadratura de Gaussn tk Ak k
1 -0,57735027 1,00000000 0
0,57735027 1,00000000 1
2 -0,77459667 0,55555556 0
0,00000000 0,88888889 1
0,77459667 0,55555556 2
3 -0,86113631 0,34785485 0
-0,33998104 0,65214515 1
0,86113631 0,34785485 2
0,33998104 0,65214515 3
4 -0,90617985 0,23692689 0
-0,53846931 0,47862867 1
0,00000000 0,56888889 2
0,90617985 0,23692689 3
0,53846931 0,47862867 4
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Quadratura de Gauss
Solução: Observe que, pela tabela
Exemplo: Integre f (t) = t3 + 2 em (-1,1) por quadratura gaussiana com n=2.
)(t fA)(t fA)(t fA2)dt(tI 221100
1
1-
3
t0 = - 0,77459667 A0 = 0,55555556
t1 = 0,00000000 A1 = 0,88888889
t2 = 0,77459667 A2 = 0,55555556Desta forma,
I = 0,55555556 [(-0,77459667)3 + 2] + 0,88888889 [(0,00000000)3+2] + 0,55555556 [( 0,77459667)3 + 2] = 4,0
Exemplo ...
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Funções mal condicionadas
Exemplo: Discuta o procedimento de solução de
Funções singulares ou mal condicionadas são aquelas de difícil convergência para o resultado real. O exemplo que segue torna clara a situação.
Se x = 1, esta função apresenta singularidade, que precisa ser evitada. Através da substituição
x = sen(u) e dx = cos(u) du
dx x1
senx1
02
resulta
du u)(sen sen du (u) cos sen1
u)(sen sen dx x1
senx )(sen
0
)(sen
02
1
02
-1-1
uu
u
Após a mudança qualquer método pode ser empregado para obter a solução.
1. Integre f (x) = no intervalo [2,6] com a fórmula dos trapézios considerando h = 1. Refaça os cálculos para h = 0,1 e compare os resultados.
2. Determine h para que por Simpson a integral tenha erro menor que 10-4.
3. Determine h de forma que o erro máximo de
seja da ordem de 10-5 por trapézios. O valor de h seria o mesmo no caso da fórmula de Simpson?
4. Calcule por Simpson com erro menor que 10-4.
20
Exercícios
53 x
dxe2
1
x I
3
1 2xdxI
dx x1
11
02
I
21
Exercícios
3
2
x-5 )dxe-(x
8
2
4xdxe
5. Determine a integral de pelo método numérico mais preciso.
6. Via Gauss com n = 3 obtenha e compare com a solução exata.
7. Calcule o valor de a partir da relação com 4 sub- intervalos por Simpson.
8. A função
é usada em termodinâmica para o cálculo do calor específico a volume constante de certas substâncias. Calcule uma aproximação para esta função no ponto x = 2 com 3 subintervalos.
π
1
02x1
dx4π
dy 1e
yx3)(
x
0y
3
3 xD
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Exemplos da aulaTrapézios:
Na tabela é fornecida a velocidade (km/h) de um cavalo em função do tempo. Deseja-se determinar a distancia percorrida pelo cavalo após 24 min
t (h) 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40v (t) 4,2 7,5 9,0 10,5 7,0
Solução: A distância percorrida (d) é dada por 0,4
0
v(t)dtd
Pela fórmula dos trapézios para n = 4 e h = 0,1 resulta
7,0]10,5)9,0(7,5 2[4,22
0,1h)T(v,
Desta forma, a distância percorrida é de aproximadamente
km 3,26h)T(v,d
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Exemplos da aulaSimpson:
Determine o volume de uma racha supondo que a mesma possa ser aproximada pelos pontos da tabela, onde R(x) é o raio médio na posição x.
Solução: Por Simpson com n = 3 e h = 1 obtêm-se
x 0 1 2 3 4R (x) 0,7 2,6 3,9 2,1 0,2
79,20
]04,0(15,21) 2)41,4(6,76 4[0,493π
](0,2) )(3,9) ( 2)(2,1) ((2,6) 4(0,7) [3π
])(x f))(x f ( 2))(x f)(x f ( 4)(x [f3π V
22222
24
22
23
21
20
24
Exemplos da aulaQuadratura Gaussiana:
Aproxime a integral por quadratura gaussiana com n=2
Solução: O intervalo I = [0,4] deve ser transformado para [-1,1]. Assim, deve-se calcular
4
02x
dx
1
1
4
02
F(t)dt2
abxdx
Via mudança de variáveis
1)(t 22
042
04t 2
ba2
abt x
resulta
6,0
2)(2t1 0,555556
2)(2t1 0,888889
2)(2t1 0,555556 2
)]F(tA)F(tA)F(t[A 2
04xdx
22
21
20
221100
4
02
com t0 = -0,7745967, t1 = 0,000000 e t2 = 0,7745967.
Fonte:•Material do professor Dr. Régis Quadros;•RUGIERO, Márcia A. G. & LOPES, Vera L. R. Cálculo Numérico aspectos Teóricos e Computacionais. 2. Ed. São Paulo, Makron Books do Brasil, 1996.
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