Prctica IV: Integracin por partes y fracciones parciales

Prctica IV: Integracin por partes y fracciones parcialesClculo II

Carlos Andrs Prez Ramrez21/05/2008

M.I Claudia Razo HernndezIngeniera en Comunicaciones y Electrnica

[Escriba aqu una descripcin breve del documento. Una descripcin breve es un resumen corto del contenido del documento. Escriba aqu una descripcin breve del documento. Una descripcin breve es un resumen corto del contenido del documento.]

Introduccin: Investigue en la ayuda de Matlab y describa cuales son las diferencias entre los siguientes tipos de comandos: limit(F,x,a): Calcula el lmite de la funcin F cuando x tiende hacia a

limit(F,a): Usa findsym(F) como la variable independiente

limit(F): Usa a=0 como el nmero hacia donde tiende la variable.

limit(F,x,a,left): limit(F,x,a,right): Calcula el lmite lateral indicado, en donde, en la funcin F, x tiende hacia a.

As, haciendo un breve resumen, las diferencias son muy simples, en el comando limit, se puede indicar la letra que es la variable independiente y hacia donde tiende dicha variable. Cuando se usa, la instruccin es limit(F.x,a). Cuando se indica solamente hacia donde tiende la variable, se utiliza el comando Findsym(F), que normalmente usa x como la variable independiente, el comando utilizado limit(F,a). Cuando solamente se indica la funcin, se usa a 0 como el lmite de la funcin (hacia donde tiende dicha funcin). Cuando, adems de indicar la variable y el valor hacia donde tiende sta, se indica por qu lado se desea evaluar (limite lateral), entonces el comando a utilizar es limit(F,x,a,right) o limit(F,x,a,left)

Objetivo: El alumno ser capaz de analizar los lmites de una funcin en un intervalo cerrado o abierto.

Desarrollo:1. Analice la siguiente funcin y encuentre el lmite si existe:

%Evaluacion del limite de la funcion %Formas indeterminadassyms x;disp('*******************************************************')f=(1+cos(2*x))/(1-sin(x));disp(' Limite por formas indeterminadas');s=limit(f,x,pi)%Verficar si el limite existe[n,d]=numden(f);disp('*******************************************************')disp(' limite del numerador');sn=limit(n,x,pi)disp(' limite del denominador');sd=limit(d,x,pi)disp(' Verificacion del limite');disp(' El limite es');slh=sn/sd%Usando la regla de L'Hopitaldisp('*******************************************************')disp(' Limite por el metodo de L`Hopital');dn=diff(n);dd=diff(d);sln=limit(dn,x,pi);sld=limit(dd,x,pi);slh=sln/sld

******************************************************* Limite por formas indeterminadas s = 2 ******************************************************* limite del numerador sn = -2 limite del denominador sd = -1 Verificacion del limite El limite es slh = 2 ******************************************************* Limite por el metodo de L`Hopital slh = 0

2. Realice un cdigo similar al anterior y evalu los limites de las siguientes funciones por formas indeterminadas, el mtodo de LHopital y verifique si el limite existe.

Respuestas:

%Evaluacion del limite de la funcion %Formas indeterminadassyms t;disp('*******************************************************')f=(sin(t))/(log(2*exp(t)-1);disp(' Limite por formas indeterminadas');s=limit(f,t,0)%Verficar si el limite existe[n,d]=numden(f);disp('*******************************************************')disp(' limite del numerador');sn=limit(n,t,0)disp(' limite del denominador');sd=limit(d,t,0)disp(' Verificacion del limite');disp(' El limite es');slh=sn/sd%Usando la regla de L'Hopitaldisp('*******************************************************')disp(' Limite por el metodo de L`Hopital');dn=diff(n);dd=diff(d);sln=limit(dn,t,0);sld=limit(dd,t,0);slh=sln/sld

******************************************************* Limite por formas indeterminadas s = ******************************************************* limite del numerador sn = 0 limite del denominador sd = 0 Verificacion del limite El limite es slh = NaN (not a number, no es un nmero) ******************************************************* Limite por el metodo de L`Hopitalslh =

%Evaluacion del limite de la funcion %Formas indeterminadassyms x;disp('*******************************************************')f=(1/x^2-2*atan(1/x))/(1/x);disp(' Limite por formas indeterminadas');s=limit(f,x,inf)%Verficar si el limite existe[n,d]=numden(f);disp('*******************************************************')disp(' limite del numerador');sn=limit(n,x,inf)disp(' limite del denominador');sd=limit(d,x,inf)disp(' Verificacion del limite');disp(' El limite es');slh=sn/sd%Usando la regla de L'Hopitaldisp('*******************************************************')disp(' Limite por el metodo de L`Hopital');dn=diff(n);dd=diff(d);sln=limit(dn,x,inf);sld=limit(dd,x,inf);slh=sln/sld ******************************************************* Limite por formas indeterminadas s = -2 ******************************************************* limite del numerador sn = -Inf limite del denominador sd = Inf Verificacion del limite El limite es slh = NaN ******************************************************* Limite por el metodo de L`Hopital slh = NaN

%Evaluacion del limite de la funcion %Formas indeterminadassyms x;disp('*******************************************************')f=((log(x))^3)/(sqrt(x));disp(' Limite por formas indeterminadas');s=limit(f,x,inf)%Verficar si el limite existe[n,d]=numden(f);disp('*******************************************************')disp(' limite del numerador');sn=limit(n,x,inf)disp(' limite del denominador');sd=limit(d,x,inf)disp(' Verificacion del limite');disp(' El limite es');slh=sn/sd%Usando la regla de L'Hopitaldisp('*******************************************************')disp(' Limite por el metodo de L`Hopital');dn=diff(n);dd=diff(d);sln=limit(dn,x,inf);sld=limit(dd,x,inf);slh=sln/sld

******************************************************* Limite por formas indeterminadas s = 0 ******************************************************* limite del numerador sn = Inf limite del denominador sd = Inf Verificacion del limite El limite es slh = NaN ******************************************************* Limite por el metodo de L`Hopital slh = NaN

3. A continuacin se determinara si una integral es convergente o divergente, para esto realizara primero la integral y se determinara si es convergente, si lo es se evaluara su lmite. Para esto se ha desarrollado el siguiente ejemplo:

Determine si la siguiente funcin es convergente o divergente y si es convergente evalu su lmite

%Analisis de Integrales impropiassyms x a b;f=3*x/((3*x^2+2)^3);disp('la integral de la funcion desde -inf a +inf es: ');s=int(f,-Inf,Inf)pretty(s)%Ahora utilizando el lmite:disp('Integral de f respecto a x desde a a 0');f1=int(f,x,a,0)disp('Integral de f respecto a x desde 0 a b');f2=int(f,x,0,b)disp('El limite de la integral es: ');sn=limit(f1,a,-inf,'right')+limit(f2,b,inf,'left')

La integral de la funcion desde -inf a +inf es: s = 0 Integral de f respecto a x desde a a 0 f1 = -3/16*a^2*(3*a^2+4)/(3*a^2+2)^2 Integral de f respecto a x desde 0 a b f2 = 3/16*b^2*(3*b^2+4)/(3*b^2+2)^2 El lmite de la integral es: sn = 0

4. Basndose en el cdigo anterior determine si las siguientes integrales son convergentes o divergentes y si es convergente evalela, reporte los cdigos y los resultados obtenidos.

%Analisis de Integrales impropias syms x a b;f=(1)/(x*sqrt(x^2-4));disp('la integral de la funcion desde 2 a inf es: ');s=int(f,2,Inf)pretty(s)%Ahora utilizando el lmite:disp('Integral de f respecto a x desde a a 0');f1=int(f,x,a,2)disp('Integral de f respecto a x desde 0 a b');f2=int(f,x,2,b)disp('El limite de la integral es: ');sn=limit(f1,a,2,'right')+limit(f2,b,inf,'left')

la integral de la funcion desde 2 a inf es: s = 1/4*pi 1/4 piIntegral de f respecto a x desde a a 0Warning: Explicit integral could not be found.> In sym.int at 58 In Untitled2 at 10 f1 = int(1/x/(x^2-4)^(1/2),x = a .. 2) Integral de f respecto a x desde 0 a bWarning: Explicit integral could not be found.> In sym.int at 58 In Untitled2 at 12 f2 = int(1/x/(x^2-4)^(1/2),x = 2 .. b) El lmite de la integral es: sn =1/4*pi

%Analisis de Integrales impropias syms x a b;f=(x^2)*(exp(x));disp('la integral de la funcion desde -inf a 0 es: ');s=int(f,-Inf,0)pretty(s)%Ahora utilizando el lmite:disp('Integral de f respecto a x desde a a 0');f1=int(f,x,a,0)disp('Integral de f respecto a x desde 0 a b');f2=int(f,x,0,b)disp('El limite de la integral es: ');sn=limit(f1,a,-inf,'right')+limit(f2,b,0,'left')

La integral de la funcion desde -inf a 0 es: s = 2 Integral de f respecto a x desde a a 0 f1 = -2*exp(a)+2*exp(a)*a-exp(a)*a^2+2 Integral de f respecto a x desde 0 a b f2 = -2+2*exp(b)-2*exp(b)*b+exp(b)*b^2 El lmite de la integral es: sn = 2

%Analisis de Integrales impropias syms t a b;f=(1)/(t*(log(t)^(1/5)));disp('la integral de la funcion desde 1/2 a 2 es: ');s=int(f,1/2,2)pretty(s)%Ahora utilizando el lmite:disp('Integral de f respecto a x desde 1/2 a 1');f1=int(f,t,1/2,1)disp('Integral de f respecto a x desde 0 a b');f2=int(f,t,1,2)disp('El limite de la integral es: ');sn=limit(f1,a,1/2,'right')+limit(f2,b,2,'left')

la integral de la funcion desde 1/2 a 2 es: s = -5/4*log(2)^(4/5)*(-1)^(4/5)+5/4*log(2)^(4/5) 4/5 4/5 4/5 - 5/4 log(2) (-1) + 5/4 log(2)

Integral de f respecto a x desde 1/2 a 1 f1 = -5/4*log(2)^(4/5)*(-1)^(4/5) Integral de f respecto a x desde 0 a b f2 = 5/4*log(2)^(4/5) El lmite de la integral es: sn = -5/4*log(2)^(4/5)*(-1)^(4/5)+5/4*log(2)^(4/5)

Conclusiones personales Una buena prctica, sin embargo me dio algunos problemillas al ajustar a los ejercicios, pero se debi a un pequeo error de instalacin del programa, una vez superado esto, pudimos trabajar de manera adecuada. Como se ve en el desarrollo, el nico problema que tuve fue con el primer ejercicio de las integrales impropias, dado que por ms que le la ayuda del programa y repase los apuntes, no pude corregir el error que marca el programa al momento de ejecutar. No encuentro explicacin alguna.

No saba que existiese la posibilidad de refinar el clculo de lmites, saba que se poda indicar hacia que lateralidad se poda calcular, pero no saba que se pudiese trabajar con el infinito.