integral indefinida
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Teoría de la integral indefinida y ejemplos.TRANSCRIPT
Tema II. La integral indefinida Definición: una función F se llama antiderivada de una función f, en un intervalo I, si F’(x)=f(x) para todo valor de x en I. Definición: La antidiferenciación es el proceso de determinación de todas las antiderivadas de una
función dada. El símbolo denota la operación de antidiferenciación y se escribe como
donde y . Leibniz estableció esta
notación, la cual tiene una gran aplicación al momento de calcular antiderivadas. Fórmulas de integración.
a) ;
b)
c)
d)
e) donde a es una cte.
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
Complementarias:
o)
p)
Regla de sustitución para integrales. Si es una función diferenciable cuyo contradominio es el intervalo I y f es continua en I, entonces:
donde y . Ejemplos:
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con
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10. Calcular: utilizando: a) y
b) , analizar los resultados.
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Integración por partes
Supongamos que tenemos la multiplicación de dos funciones, es decir:
de tal forma que si deseamos obtener la derivada de con respecto a , tenemos:
si integramos ambos miembros de la igualdad:
despejando el término
sustituyendo tenemos la fórmula de integración por partes:
la cual muchas veces aparece como:
donde y
Ejemplos:
1.
si tomamos
entonces aplicando la fórmula de integración por partes:
2.
si tomamos
entonces
aplicando la fórmula de integración por partes:
3.
si tomamos
entonces aplicando la fórmula de integración por partes:
para resolver esta segunda integral debemos volver a aplicar la integración por partes donde si:
entonces y
4.
si tomamos
entonces
volvemos a aplicar la integración por partes y tenemos:
como podemos observar se vuelve un proceso cíclico por lo cual aplicamos un despeje:
Para integrales definidas, al integración por partes queda como:
Ejercicio:
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Integrales trigonométricas
Si tenemos donde y son enteros.
a) Si la potencia de la función Coseno es impar , factorizar de tal forma que se
tenga un término y utilizar para expresar los factores restantes en términos del Seno:
Utilizamos la identidad y
y utilizamos la sustitución con Ejemplo:
Obtener
Como la potencia del Coseno es impar, factorizamos Coseno y tenemos:
por la identidad tenemos:
Efectuamos la sustitución con
sustituyendo ahora
b) Si la potencia de la función Seno es impar , factorizar de tal forma que se tenga
un término y utilizar para expresar los factores restantes en términos del Coseno:
Utilizamos la identidad
y la sustitución con Ejemplo:
Obtener:
Como la potencia de la función Seno es impar, tenemos:
Utilizando la identidad
Efectuamos la sustitución con
sustituyendo ahora
c) Si las potencias de las funciones Seno y Coseno son pares, utilizar las identidades del semi-
ángulo:
Ejemplo:
Obtener
Utilizando las identidades del semi-ángulo
Si tenemos donde y son enteros.
a) Si la potencia de la función Secante es par , factorizar de tal forma que sobre un
factor y usar para expresar los factores restantes en términos de la Tangente:
y en este caso efectuamos la sustitución con Ejemplo:
Obtener
Como la potencia de la secante es par, tenemos:
se utiliza con y
Sustituyendo de nuevo
b) Si la potencia de la función Tangente es impar , factorizar de tal forma que se
tenga y usar para expresar los factores restantes en términos de la Secante.
y sustituir con Ejemplo:
Obtener
Como la potencia de la tangente es impar, tenemos que:
sustituyendo y
sustituyendo ahora por
Resolver:
Resolver
tomamos
En algunos casos debemos emplear la integración por partes:
donde
Pero también tenemos casos en donde se aplican varias técnicas d e integración:
*
Otra identidad que se utiliza para resolver integrales es
con la sustitución:
y o la sustitución:
y Ejemplo:
Obtener
Descomponemos la Cosecante de tal forma que se tenga en términos de :
Utilizamos
y sustituimos y
regresamos a términos de la Cotangente
Derivadas de funciones trigonométricas
Identidades trigonométricas
Obtener
Integración por sustitución trigonométrica Se aplica al integrar funciones que contienen la expresión de la forma , ó
que se sustituyen por funciones trigonométricas.
Caso 1. Cuando la integral contiene
Se introduce la variable tal que , donde y
Sustituyendo en , tenemos que
Entonces , y
Obtener
u a
x
y
Caso 2. Cuando la integral contiene
En este caso utilizamos y
Entonces
, y
Obtener
x
u
a
y
Caso 3. El integrando contiene la expresión
Utilizaremos la sustitución y Para este caso:
, y
Obtener
u
a x
y
Resumen Caso1
Hip. =a C.O. =u
C.A. =
Caso 2
Hip. = C.O. =u C.A. =a
Caso 3
Hip. =u
C.O. = C.A. =a
Tarea: a) Obtener las siguientes integrales utilizando las técnicas de integración. b) Práctica 2 de Mathematica: Realizar las siguientes integrales utilizando el paquete Mathematica
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Integración de funciones racionales por fracciones parciales
Definición: es racional si , donde y son polinomios y si el grado
de es mayor que el grado de tenemos una fracción impropia, si el grado de es
mayor que el de tenemos una fracción propia. Por ejemplo, si tenemos la integral de una fracción impropia:
efectuamos la división de los polinomios y la integral se convierte en
en donde la fracción racional es una fracción racional propia.
Entonces nos interesa la integración de fracciones propias. En este caso es necesario factorizar en factores lineales y cuadráticos, y dependiendo de la naturaleza de los mismos el
procedimiento para integrar varía. Caso 1. Los factores de son lineales y no se repiten. Consideramos entonces
y en este caso tomamos:
donde toda es constante
de tal forma que la integral la convertimos en:
Obtener
Caso 2. Los factores de son lineales y algunos están repetidos. Si un factor se repite veces, entonces:
Obtener
Caso 3. Los factores del denominador contiene términos lineales y cuadráticos y ninguno de los cuadráticos se repite.
Para este caso tendremos que descomponer la fracción en términos para los i factores
lineales y en los términos correspondientes a los j términos cuadráticos.
De tal forma que si
Entonces, la fracción propia es igual a:
Ejemplo.
Obtener
4. Los factores de son lineales y cuadráticos, donde algunos de los factores cuadráticos se repiten. Si es un factor de que se repite p veces, entonces correspondiente a este
factor se tiene la suma de p fracciones parciales:
Ejemplo:
Obtener