integral menggunakan maple
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
1. Integral Tentu
Integral tentu dimisalkan sebagai berikut. Misalkan f fungsi
kontinu yang didefinisikan untuk a ≤ x ≤ b . Selanjutnya
interval [a,b] dibagi menjadi n subinterval yang sama
denganlebar ∆x = (b-a)/ n . Dimisalkan x0(=a), x1, x2, …, x n(=b)
adalah titik-titik ujung subinterval tersebut dan dipilih titik-titik
x1*, x 2*, …, x n* pada setiap subinterval sehingga xi * terletak
pada setiap selang [x I-1, x i ], maka definisi integral tentu f dari a
sampai b adalah
∫a
b
f ( x )dx= limn → ∞
∑i=1
n
f (x1*)∆x
yang muncul pada definisi integral tentu dinamakan jumlahan
Riemann. Pada subbab ini akan dibahas bagaimana menentukan
integral tentu dengan menggunakan konsep jumlahan Riemann
dan juga perintah khusus dalam Maple untuk menghitung
integral tentu.
1. Jumlahan Riemann
Jumlahan Riemann ini menghitung integral tentu secara
pendekatan. Nilai integral tentu f(x) dari [a, b] dihitung dengan
mencari luas seluruh persegi panjang yang ada antara garis
kurva dan sumbu x. Dalam Maple telah tersedia perintah untuk
memvisualisasikan jumlahan Riemann ini secara grafis dan juga
menghitung nilai integral tentu tersebut.
Perintah untuk menghitung jumlahan Riemann suatu fungsi f(x)
dengan batas kiri a dan batas kanan b menggunakan metode
tertentu (jenis metode ditambahkan pada option).
1. Macam-macam method yang digunakan: left, right,
midpoint, upper, lower, atau random
a) method = left, metode ini memilih yaitu titik di
paling kiri subinterval.
b) method = right, metode ini memilih yaitu titik di
paling kanan subinterval
c) method = midpoint, metode ini memilih yaitu titik di
tengah subinterval. Metode ini adalah sebagai default
dari perintah RiemannSum, sehingga apabila option
methodtidak disertakan, maka metode inilah yang
digunakan oleh Maple.
d) method = upper, metode ini memilih yaitu titik yang
paling besar nilai fungsinya dalam subinterval
e) method = lower, metode ini memilih yaitu titik yang
paling kecil nilai fungsinya dalam subinterval
f) method = random, metode ini memilih secara
random dalam subinterval
2. output = value, plot, sum, animation
a) output = value, digunakan untuk menampilkan
output dalam bentuk hasil pendekatan jumlahan
Riemann (default)
b) output = plot, digunakan untuk menampilkan output
dalam bentuk grafik yang memvisualisasikan
jumlahan Riemann.
c) output = sum, digunakan untuk menampilkan output
dalam bentuk formulasi jumlahan
d) output = animation, digunakan untuk menampilkan
output dalam bentuk animasi.
3. partition = n
Option ini digunakan untuk menentukan jumlah partisi
/subinterval dalam interval [a,b]. Secara default jumlah
partisi adalah 10. Sedangkan apabila ingin mempartisi
interval menjadi 20 subinterval, maka tambahkan
perintah partition=20 pada option ini.
4. Title = string
Judul/title dari visualisasi dapat diatur menggunakan
option ini.
Contoh :
1. Tentukan integral tentu dari dengan jumlahan
Riemann menggunakan 20 partisi/subinterval. Metode yang
digunakan adalah titik kiri (left). Tampilkan pula visualisasi
secara grafis jumlahan Riemann ini.
Jawab :
- Tulis rumus f(x):= kemudian tekan enter
- Ketik perintah : with(Student[Calculus1]):
- ReamannSum(f(x),x=0..5,partition=20,method=left,ou
tput=value), kemudian tekan enter
- Ketik evalt(%)
- Enter
- Maka akan muncul hasilnya seperti gambar dibawah
ini:
Selanjutnya, kita akan memvisualisasikan jumlahan
Riemann untuk kasus ini. Ketikkan perintah seperti yang dibawah
ini:
>RiemannSum(f(x),x=0..5,partition=20,method=left,
output=plot,title=“Jumlahan Riemann f(x)=sin x”);
Kemudian enter maka akan muncul gambar grafik seperti:
Pada gambar tersebut terlihat bahwa interval [0,5] dibagi
menjadi 20 partisi. Nilai pendekatan integral tentu diperoleh
dengan menjumlahkan luasan persegi panjang-persegi panjang
yang dibatasi oleh kurva dengan sumbu x.
Sekarang menggunakan jumlah partisi yang lebih banyak, yaitu
dengan menggunakan 80 partisi. Maka akan menghasilkan grafik
yang semakin rapat, sehingga luasan semua persegi panjang
semakin mendekati luasan bidang yang dibatasi kurva dengan
sumbu x. Dengan demikian semakin banyak partisi yang diambil
maka hasil pendekatan integral tentu semakin mendekati
eksaknya.
Sebelumnya, kita dapat menghitungnya dengan Maple. Berikut
ini adalah urutan perintahnya.
> with(Student[Calculus1]):
> RiemannSum(f(x),x = a..b, partition=n,output=sum);
> limit(%,n=infinity);
Untuk mencari formula jumlahan Riemaan dengan partisi
sejumlah n. Maka formula Riemann yang telah diperoleh dicari
limitnya untuk n → ∞. Untuk perintah terakhir tersebut dapat
pula diubah menjadi:
> evalf(limit(%,n=infinity));
untuk menyatakan hasil integral tentu dalam bentuk floating
point .
Contoh:
Dengan menggunakan perhitungan sesuai dengan definisi
integral tentu, tentukan
Penyelesaian:
> with(Student[Calculus1]): atau loading Student:-Calculus1
(Pilih tools, load package, Student Calculus 1
> f :=x -> x*cos(x);
> RiemannSum(f(x),x = Pi..2*Pi, partition=infinity,output=value);
Secara perhitungan, hasil integral tentu untuk contoh ini adalah
0.
2. Integral Tentu dan Tak Tentu
Integral tak tentu dari suatu fungsi merupakan kebalikan dari
turunan/derivatif sehingga integral tak tentu ini juga disebut anti derivatif.
Misalkan F(x) adalah suatu fungsi dan f(x) merupakan derivatif dari F(x)
tersebut, maka integral tak tentu dari f(x) dinotasikan sebagai ∫ f (x)dx = F(x).
Sedangkan integral tentu adalah fungsi f(x), dari x=a sampai x=b.Fungsi
f(x) disebut integran a dan b masing-masing disebut batas bawah dan batas atas
dari integrasi (Pengintegralan). Jadi, jika f(x) kontinu pada interval a ≤ x ≤ b dan
F(x) adalah suatu anti turunan dari f(x) maka integral tentu ditentukan oleh :
∫a
b
f ( x )dx=F (b )−F (a)
a. CARA PENGERJAAN INTEGRAL
Dalam mengerjakan soal-soal integral dalam maple ada tiga cara yang biasa
di gunakan, yaitu:
1. Cara Manual
2. Cara Klik Kanan
3. Cara Expression
Cara manual dapat digunakan untuk menghitung Integral
Tak Tentu. Adapun langkah-langkahnya sebagai berikut:
Tulis rumus fungsi
Tekan enter
Tulis int(f,x);
Tekan enter
Cara manual juga dapat digunakan menghitung Integral Tentu
Tulis int(f(x),x=a..b);
Tekan enter
Contoh soal Integral Tak Tentu : Carilah nilai dari ∫ 4 x3 + 11
Penyelesaian:
Tulis rumus fungsi, misal f:=4x3+11;
Tekan enter
Tulis int(f,x);
Tekan enter
Contoh soal Integral Tentu:
Carilah nilai dari ∫0
4
4 x3 +11
Penyelesaian:
Tulis : Int(4x3+11,x=0..4);
Tekan enter
CARA KLIK KANAN
a) Integral Tak Tentu
Tulis Persamaan yang akan dicari hasilnya, misal: 3x2+4x
Klik kanan, pilih integrate, x.
b) Integral Lipat
Misalkan diketahui fungsi dua variabel f(x,y). Fungsi ini
akan diintegralkan terhadap y (dengan menganggap x tetap).
Selanjutnya hasil integral akan diintegralkan kembali terhadap x
(dengan menganggap y tetap). Hal tersebut merupakan integral
lipat dua yang dinotasikan sebagai
∫ ∫ f (x,y)dy dx Atau ∫ [∫ f x,y dy] dx
Cara Pengerjaan
• Tulis Persamaannya
• Tekan enter
• Ketik int(f(x,y),x);
• Tekan enter
• Ketik int(%,y);
• Tekan enter
Contoh soal:
Tentukan integral dari
Cara Penyelesaian:
a) Tulis int(x10 y17+56 x8 y+ 52
x4 y , y ); b) Tekan enter
c) Tulis int(%,x)
d) Tekan enter
Cara expression
Klik simbol sehingga menjadi seperti ,
ketik rumus fungsi yang akan dicari, misal
Tekan enter
Ganti dx yang pertama dengan dy
Tekan enter
Contoh soal :
Tentukan nilai dari
Cara klik kanan
Ketiklah fungsi yang akan dicari integralnya misal
Klik kanan, pilih integrate y
Setelah diketahui hasilnya, klik kanan lagi, pilih integrate x
Integral Lipat dengan Batas
Carilah nilai dari
Penyelesaian:
a) Ketik int(f(x),y=a..b); enter
b) Ketik int(%,x=a..b); enter
Luasan Daerah yang dibatasi Kurva
Seperti telah dibahas pada pembahasan sebelumnya bahwa
integral tentu suatu fungsi y=f(x) dari x=a…b merupakan luas
daerah yang dibatasi kurva y=f(x) dengan sumbu x untuk x=a
sampai x=b. Berdasarkan konsep tersebut, integral dapat
digunakan untuk mencari luasan yang dibatasi oleh beberapa
kurva.
Luas suatu daerah A yang dibatasi oleh kurva y=f(x), y=g(x), dan
garis x=a, x=b dengan f dan g kontinu serta f(x) ≥ g(x) untuk
semua x pada selang [a, b] adalah
Contoh:
- Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2-8x+4
dan sumbu x pada interval -1≤x≤1
Penyelesaian :
a) cara ekspresion
- Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2 dan
y=2x-x2.
Penyelesaian :
Cara manual
> f1 :=x -> x2;
> f2 := x-> 2*x-x2;
>plot([f1(x),f2(x)],x=0..1.5,color=[red,blue],legend=["y=
x2","y=2x-x2"]);
Grafik 1(dengan sumbu-x batas 0 sampai 1,5)
Grafik 2.(tanpa batas)
Pada grafik terlihat ada 2 titik perpotongan. Titik-titik tersebut
ditentukan dengan perintah berikut ini.
titikpot := evalf(solve(f1(x)=f2(x),x));
Selanjutnya untuk mencari luasnya yaitu:
Luas := int(f2(x)-f1(x),x=titikpot[1]..titikpot[2]);
VOLUME BENDA PUTAR
Misalkan diketahui suatu kurva y=f(x) pada selang [a, b] yang
kontinu pada selang tersebut. Apabila daerah antara kurva dan
sumbu x diputar 360o maka akan diperoleh sebuah benda pejal
bervolume. Selanjutnya akan dibahas bagaimana menggambar
benda putar serta menghitung volumenya menggunakan Maple.
Menggambar Volume Benda Putar
• Untuk menggambar benda putar dengan Maple, dapat
menggunakan Calculus1Student Package. Adapun option yang
dapat diberikan antara lain:
a. axis=horizontal ,vertical Apabila diinginkan sumbu
putarnya adalah sumbu x, maka axis=horizontal.
Sedangkan apabila sumbu y maka axis=vertical.
b. output=value, plot, integral
Apabila hanya diinginkan menampilkan besarnya volume,
maka output=value. Sedangkan output=integral dipilih
apabila ingin menampilkan formulasi integral yang
menyatakan perhitungan besarnya volume benda putar
tersebut.
c. title=string
Title dari plot benda putar dapat diubah melalui option ini.
Menghitung Volume Benda Putar
Misalkan S sebuah benda pejal yang diperoleh dengan memutar
daerah di bawah kurva y=f(x) antara x=a … b di sekeliling
sumbu x, maka volumenya (V) adalah
Sedangkan apabila S diperoleh dengan memutar daerah di
bawah kurva x=f(y) antara y=a … b di sekeliling sumbu y,
volumenya adalah
Volume benda putar yang dibatasi oleh 2 buah kurva
Misalkan S diperoleh dengan memutar daerah yang dibatasi
kurva y=f1(x) dan y=f2(x) dengan f1(x) ≥f2(x) pada x=a sampai
x=b disekeliling sumbu x, volumenya adalah
Sedangkan apabila S diperoleh dengan memutar daerah yang
dibatasi kurva x=f1(y) dan x=f2(y) dengan f1(y)≥f2(y) pada y=a
sampai y=b di sekeliling sumbu y, volumenya adalah
Contoh:
Diketahui daerah yang dibatasi kurva y=x3 (untuk x=0 sampai
dengan 4) dan sumbu x. Sebuah benda pejal diperoleh dengan
memutar daerah tersebut pada sumbu x dan hitung berapa
volumenya. Gambarlah benda pejal tersebut. Selanjutnya
gambar pula benda pejal yang diperoleh dengan memutar
daerah tersebut pada sumbu y serta hitung volumenya.
Penyelesaian:
Volume mengelilingi sumbu Y
Cara Mencari Besar Volume
1. klik tool
2. pilih Tutors
3. pilih calculus single variable
4. pilih volume of revolusion kemudian atur option yang
sesuai.
Mencari Volume Benda yang Dibatasi Dua Kurva
Contoh :
Sebuah daerah dibatasi oleh kurva y=6x-x2 dan y=x (pada
kuadran I). Daerah tersebut diputar pada sumbu x dan
terbentuklah benda pejal. Gambarkan benda pejal yang
terbentuk tersebut.
Penyelesaian:
CARA KEDUA
Latihan soal
1. ∫ x+ 1
x2−√ x dx=¿
2. ∫ 2 x2+3 x−2√ x
dx=¿
3. ∫( 14
x+1)3
dx=¿
4. ∫ 74 x+3
dx=¿¿
5. ∫5 sin ( π−5 x ) dx=¿¿
6. ∫8sin (3 x ) cos ( x ) dx=¿¿
7. ∫ tan (2x−1 )cos (2x−1 )− sin (5x+3)cos (5 x+3)2 dx=¿
8. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2 dan garis y=x+2
9. Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y=4-x2 dan y=-
x+2 pada interval 0≤x≤2 !
10. Luas daerah yang dibatasi oleh y=x2 dan y=5x-4
11. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva berikut ini
dan sumbu x pada interval -3≤x≤1
i. y = 1 - x2
ii. y = x2 - 3x
12. Luas daerah yang dibatasi kurva y=x2-4x+3 dengan
sumbu x pada interval 0≤x≤5
13. Gambarlah jumlahan reimann untuk luas pendekatan dari
daerah yang dibatasi oleh kurva dengan sumbu x
untuk 1≤x≤4. gunakan method right, dengan jumlah
partisi 35. dan tentukan pula luas daerah dan gambar
grafiknya?
14. Gunakan jumlah reimann untuk menentukan pendekatan
integral berikut ini dengan aturan :
a) Midpoint
∫0
10
sin √x dx, n= 5
b) Right
∫o
π
sec(x /3)dx, n= 10
c) Left
∫2
4x
x2+1dx, n= 30
d) Left
∫1
2
√1+x2 dx, n= 20
15. Tentukan isi benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y=x3 , sumbu X dan 0 ≥x ≥2 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600 !
16. Daerah antara kurva y=√ x dan y=3 dalam selang 0 sampai 4 diputar mengitari sumbu-x untuk membentuk suatu benda padat.Tentukan volume benda padat ini
17. Daerah antara kurva y=4x-x2dan y=x dengan batas 0 sampai 3diputar mengitari sumbu-x, tentukan volume benda padat yang diperoleh.
18. Bagian kurva f(x)=y=√9− x2 pada selang 0 sampai 3 diputar mengitari sumbu-x sejauh 3600berapakah volume benda putar yang dihasilkan.
Jawaban
8.
9. 6,666666667
10.4,5
11.a.
b.
12.
13.
14a.
14b.
14c.
14d.
15.
16.
16.
17.
18.