1

INTEGRAL PERMUKAAN

KELOMPOK 4 :

1. WINARSIH 14.05.0.0052. JELITA BAHAGIA 14.05.0.0063. ANITA RATNA SARI 14.05.0.0074. LIZA HANDAYANI 14.05.0.0195. EVA AGUSTINA 14.05.0.0276. FEKA SAPUTRA 14.05.0.037

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS RIAU KEPULAUANBATAM

2016

2

A. Definisi Integral Permukaan

3

Diberikan permukaan S dalam ruang, untuk S yang terbuka (bermuka dua), vektor tegak lurus S memiliki dua arah, arah positif dan negatif . Sebuah vektor satuan n disebarang titik dari S disebut satuan normal positif jika arahnya keatas dalam kasus ini.

Berkaitan dengan permukaan kecil dS dari permukaan S dapat dibayangkan adanya sebuah vektor permukaan dS yang besarnya sama dengan dS dan arahnya sama dengan n (normal) sehingga vektor permukaan dS adalah :

dS = n dS

Sehingga integral permukaan (fluks) akibat sebuah skalar fungsi (medan vektor Q) pada sebuah permukaan S adalah :

Untuk menghitung integral permukaan akan lebih sederhana dengan memproyeksikan S pada salah satu bidang koordinat, kemudian menghitung integral lipat dua dari proyeksinya.

∬SQ .dS=∬S

Q .ndS

4

Misalkan Sampel mempunyai proyeksi R pada bidang xy, xz dan yz maka integral permukaan :

Untuk permukaan f(x,y,z) = C, maka Ñ f merupakan vektor tegak lurus permukaan f (x,y,z) = C

ΔS=ΔS nΔS dapat diproyeksikan dalam bidang koordinat :ΔS =(ΔD1) i +( ΔD2 ) j +( ΔD3 )kdimana :ΔD1=|ΔS⋅i|=ΔS|n ⋅ i| (Proyeksi pada bidang yz )ΔD2=|ΔS⋅j|=ΔS|n ⋅ j| (Proyeksi pada bidang xz )ΔD3=|ΔS⋅k|=ΔS|n ⋅ k| (Proyeksi pada bidang xy )

maka ΔS=ΔD3

|n ⋅ k|=dxdy|n ⋅ k|

∬SQ⋅¿ndS=∬

RQ⋅ndxdy

|n⋅k|¿∬SQ⋅¿ndS=∬

RQ⋅ndxdz

|n⋅j|¿∬SQ⋅¿ndS=∬

RQ⋅ndydz

|n⋅i|¿

∇ f=(∂∂ x i+∂∂ y

j+∂∂ zk ) f=∂ f

∂ xi+∂ f

∂ yj+∂ f

∂ zk

n=∇ f|∇ f|

5

Contoh :

1. Hitunglah integral permukaan dengan Q = xy i - x2 j(x+z) k dan S adalah bagian bidang 2x + 2y + z = 6 yang terletak dikuadran pertama .

Penyelesaian :

ÑÑ

RS

SS

kndxdyyxxxydSnQ

dSyxxxydSnQ

PermukaanIntegral

yxxxyzxxxynQ

kjikzxjxixynQ

kjikjin

kjizyx

622231

622231

:

622231)(22

31

)31

32

32())( (

31

32

32

122

2222)622( S

:adalah S pada Normal

2

2

22

2

222

6

∬SA⋅ndS=1

3 ∬R

(2xy−2x2−x−2 y+6 )dxdy|n⋅k|

=13 ∬

R(2xy−2 x2−x−2 y+6 )dxdy

13

=0

3

y=0

3− x

(2xy−2x2−x−2 y+6 )dydx

=0

3

( xy2−2 x2 y−xy− y2+6 y ) ]03−xdx=27

4

7

B. Teorema Gauss

Jika V adalah volume yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup S dan A sebuah fungsi vektor dengan turunan-turunan yang kontinu, maka :

Dari rumus tersebut, integral permukaan dari sebuah vektor yang mengelilingi sebuah permukaan tertutup sama dengan integral dari divergensi dalam volume yang diselubungi oleh permukaan di atas. Jadi, dalam mencari integral permukaan dapat juga digunakan Teorema Gauss.

8

9

C. Teorema Stokes

Coba Anda perhatikan gambar di samping! Apa yang Anda lihat? Pada gambar tampak seorang ibu dan bapak sedang mendorong mobil. Jika mobil yang mereka dorong tersebut bergerak, berarti mereka telah melakukan usaha. Sebelumnya, kita telah mempelajari bahwa untuk menghitung besar usaha dapat kita gunakan perkalian titik atau integral garis tergantung pada bentuk lintasan. Namun ada kalanya kita kesulitan untuk menghitung besar usaha, misalnya pada bidang dimensi-3. Perhitungan untuk mencari besar usaha akan lebih mudah dengan menggunakan teorema Stokes.

Definisi Teorema Stokes

Misalkan S adalah permukaan berarah dalam ruang dengan batas-batasnya adalah kurva C yang tertutup, dan misalkan adalah fungsi vektor kontinu yang mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu dalam domain yang memuat S, maka

Dari rumus di atas dapat disimpulkan, integral garis dari sebuah vektor yang mengelilingi sebuah kurva tertutup sederhana C sama dengan integral permukaan dari curl melalui sebarang permukaan S dengan C sebagai batasnya.Contoh :

10

11

12

D. Teorema Green

Pada materi sebelumnya, kita telah mengenal teorema Stokes. Teorema Stokes berlaku untuk permukaan-permukaan S dalam ruang yang memiliki kurva C sebagai batasnya.

13

Sedangkan, teorema Green berlaku pada daerah tertutup dalam bidang xy yang dibatasi oleh kurva tertutup C. Istilahnya, teorema Green dalam bidang adalah hal khusus dari teorema Stokes. Jadi, tambah satu cara lagi untuk mencari besar usaha. Yaitu, dengan menggunakan teorema Green dalam bidang.

Definisi Teorema Green

Jika R adalah suatu daerah tertutup dalam bidang yang dibatasi oleh sebuah kurva tertutup sederhana C, M dan N adalah fungsi-fungsi kontinu dari dan yang memiliki turunan-turunan kontinu dalam R, maka

14

15

16

17

18

http://www.slideshare.net/642234/integral-permukaan-16960826