integral sma kelas xii ipa
DESCRIPTION
memenuhi tugas Telaah Kurikulum Semester 6 Pend.MatematikaTRANSCRIPT
![Page 1: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/1.jpg)
TELAAH KURIKULUM
MATEMATIKA III
SMA KELAS XII IPASEMESTER 1
![Page 2: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/2.jpg)
INTEGRAL
Nama Kelompok :
1. Eka Ririn Haryati (112144172)
2. Endah Kusumaningrum (112144173)
![Page 3: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/3.jpg)
INSPIRASI
Pernahkan kalian berfikir cara menghitung luas suatu
bidang datar yang tidak beraturan? Atau mungkin
menghitung volume sebuah kaleng atau vas bunga?
Untuk menghitung luas atau volume benda tidak beraturan
yaitu dengan menggunakan integral.
![Page 4: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/4.jpg)
MERANCANG ATURAN INTEGRAL TAK TENTU
DARI ATURAN TURUNAN
1. Pengertian Integral
Operasi pendiferensialan adalah proses menentukan
turunan dari suatu fungsi F’(x) = f(x) diketahui.
Invers dari operasi pendiferensialan dan invers dari
operasi pendiferensialan ini dinamakan sebagai operasi
pengintegralan.
![Page 5: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/5.jpg)
Untuk memahami hubungan antara operasi
pengintegralan dengan operasi pendiferensialan
digunakan bantuan tabel sebagai berikut.
Pendiferensialan
F(x) F’(x)=f(x)
Pengintegralan
x2 2x
x2 – 1 2x
x2 + 3 2x
x2 – 4 2x
x2 + 10 2x
. .
. .
. .
x2 + C 2x
![Page 6: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/6.jpg)
2. Notasi Integral dan Pengertian Integral Tak Tentu
ʃf(x) dx = F(x) + C
• F(x) dinamakan fungsi integral umum dan F(x) bersifat
F’(x) = f(x)
• f(x) disebut fungsi integran
• C konstanta real sembarang dan sering disebut sebagai
konstanta pengintegralan.
![Page 7: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/7.jpg)
Integral Tak Tentu dari Fungsi Aljabar
Berikut ini rumus-rumus integral tak tentu dan fungsi
aljabar
1. (i) ʃdx = x + C
(ii) ʃa dx = ax + C
2. (i) ʃ{f(x) + g(x)} dx = ʃf(x) dx + ʃg(x) dx
(ii) ʃ{f(x) – g(x)} dx = ʃf(x) dx - ʃg(x) dx
3. (i) ʃxn dx = , dengan n bilangan rasional dan n ≠ -1
(ii) ʃaxn dx = , dengan n bilangan rasional dan n ≠ -1
![Page 9: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/9.jpg)
Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri
Turunan fungsi-fungsi trigonometri sebagaimana tertulis dalam
tabel berikut.
No. F(x) F’(x) = f(x)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
sin x
cos x
tan x
cot x
sec x
cosec x
cos x
-sin x
sec2 x
-cosec2 x
tan x . sec x
-cot x . cosec x
![Page 10: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/10.jpg)
Dengan menggunakan aturan integral tak tentu
yang mempunyai sifat bahwa F’(x) = f(x) dan turunan fungsi-fungsi
trigonometri dalam tabel maka integral tak tentu dari fungsi-fungsi
trigonometri dapat dirumuskan sebagai berikut.
![Page 11: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/11.jpg)
![Page 12: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/12.jpg)
Fungsi-fungsi trigonometri dalam veriabel sudut ax + b
(a dan b bilangan real dengan a ≠ 0) sebagai berikut.
No F(x) F’(x) = f(x)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
sin (ax + b)
cos (ax + b)
tan (ax + b)
cot (ax + b)
sec (ax + b)
cosec (ax + b)
a cos (ax + b)
-a sin (ax + b)
a sec2 (ax + b)
-a cosec2 (ax + b)
a tan (ax + b) . sec (ax+b)
-a cot (ax + b) . cosec (ax + b)
![Page 13: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/13.jpg)
Berdasarkan turunan fungsi-fungsi trigonometri dalam tabel tersebut,
maka aturan integral tak tentu dari fungsi-fungsi trigonometri dalam
variable sudut ax+b dapat dirumuskan sebagai berikut.
Dimana
a dan b
masing-masing
bilangan real
dengan a ≠ 0.
![Page 15: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/15.jpg)
Integral Tentu Sebagai Luas Daerah
di Bidang Datar
Menentukan Luas Daerah dengan Proses Limit
Misalkan L adalah luas di bidang datar yang dibatasi oleh kurvay = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, maka luas Lditentukan oleh hubungan
dinamakan integral tentu.
Gambar hal.10
![Page 16: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/16.jpg)
MENGHITUNG INTEGRAL TENTU
1. Luas di Bawah Kurva dan Teorema Dasar Integral
Kalkulus
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X,
garis x = a, dan garis x = x (x>a) atau luas daerah AA1P1P
ditentukan oleh:
Gambar hal.15
![Page 17: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/17.jpg)
Misalkan kurva f(x) kontinu dalam interval tertutup
[a, b]. Luas daerah L yang dibatasi oleh kurva y = f(x),
sumbu X, garis x = a, dan garis x = b ditentukan dengan
rumus
Notasi Kurung Siku
F(b) – F(a) dapat diringkas dengan menggunakan kurungsiku [ ], maka
![Page 18: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/18.jpg)
2. Menghitung Integral Tentu dengan Menggunakan
Teorema Dasar Integral Kalkulus
Jika y = f(x) adalah fungsi kontinu dan terdefinisi dalam
interval tertutup [a, b]. Maka integral tentu f(x) terhadap x
dari x = a dampai x = b dinyatakan
dengan F(x) adalah pengintegralan dari f(x).
![Page 19: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/19.jpg)
Sifat-sifat Integral Tentu
![Page 21: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/21.jpg)
Pengintegralan Dengan Rumus Integral
Substitusi
1. Pengintegralan yang dapat diubah ke dalam bentuk ʃ f(u) du
Jika f(u) adalah pengintegralan dari f(x), maka
Langkah-langkah menggunakannya:
.
2. Tentukan fungsi integral umum f(u) yang bersifat F’(du) = f(u).
![Page 22: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/22.jpg)
Rumus integral umum yang dikembangkan denganmenggunakan rumus-rumus integral tak tentu dari fungsialjabar atau fungsi trigonometri, dirangkumkan sebagaiberikut:
1. Pengintegralan Fungsi Aljabar
![Page 23: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/23.jpg)
2. Pengintegralan Fungsi Trigonometri
![Page 24: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/24.jpg)
CONTOH
Hal. 24
![Page 25: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/25.jpg)
PENGINTEGRALAN DENGAN
RUMUS INTEGRAL PARSIAL
Misalkan u (x) dan v (x) masing- masing adalah fungsi
dalam variable x, maka pengintegralan ʃ u dv ditentukan
oleh hubungan:
![Page 26: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/26.jpg)
2. Luas Daerah yang Dibatasi oleh Beberapa Kurva
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f (x), kurva y = g
(x) , garis x = a, dan garis x = b ditentukan dengan rumus:
Dengan catatan f(x) ≥ g (x) dalam interval tertutup a ≤ x ≤ b
![Page 27: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/27.jpg)
PENGGUNAAN INTEGRAL TENTU
UNTUK MENGHITUNG
LUAS DAERAH
1. Luas Daerah yang dibatasi oleh distribusi Kurva dengan
Sumbu x
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X,
garis x = a, dan garis x = b ditentukan oleh :
dan
![Page 28: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/28.jpg)
PENGGUNAAN INTEGRAL TENTU
UNTUK MENGHITUNG VOLUME
BENDA PUTAR
1. Volume Benda Putar dari Daerah yang Diputar terhadap
Sumbu x
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y= f(x), sumbu X, garis x
= a, dan garis x=b diputar 360ᵒ mengelilingi sumbu X, maka
volume atau isi benda putar yang terjadi ditentukan dengan
rumus :
![Page 29: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/29.jpg)
2. Volume Benda Putar dari Daerah yang Diputar terhadap
Sumbu Y
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x = g (y), sumbu Y, garis y =
c, dan garis y = d diputar sejauh 360⁰ mengelilingi sumbu Y,
maka volume atau isi benda putar yang terjadi ditentukan dengan
rumus :
![Page 30: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/30.jpg)
3. Volume Benda Putar dari Daerah Antara Dua Kurva yang
Diputar terhadap Sumbu X
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), kurva y = g(x),
garis x = a, dan garis x=b diputar sejauh 360⁰ mengelilingi
sumbu X, maka volume atau isi benda putar yang terjadi
ditentukan dengan rumus :
Dengan catatan bahwa y1 = f(x) ≥ y2 = g(x) dalam interval
tertutup a ≤ x ≤ b.
![Page 31: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/31.jpg)
4. Volume Benda Putar dari Daerah Antara Dua Kurva yang
Diputar terhadap Sumbu Y
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), kurva y = g(x),
garis x = a, dan garis x=b diputar sejauh 360⁰ mengelilingi sumbu
X, maka volume atau isi benda putar yang terjadi ditentukan
dengan rumus :
Dengan catatan bahwa x1 = f(y) ≥ x2 = g(y) dalam interval
tertutup c ≤ y≤ d.
![Page 32: Integral SMA Kelas XII IPA](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042422/559e330b1a28abf95d8b4579/html5/thumbnails/32.jpg)