integral tak wajar stt
TRANSCRIPT
-
7/31/2019 Integral Tak Wajar Stt
1/12
MA1114 KALKULUS I
Integral Tak Wajar
-
7/31/2019 Integral Tak Wajar Stt
2/12
MA1114 KALKULUS I
Integral Tak Wajar
Dalam mendefinisikan integral tentu sebagai limit jumlahreiman ada dua syarat yang harus dipenuhi, yaitu :
b
a
dxxf )(
a. Batas pengintegralan berhinggab. Integran(f(x)) berhingga pada selang [a,b]
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi makaintegral tentu disebut integral t ak w ajar
Jenis-jenis integral tak wajar
a. Integral tak wajar dengan batas pengintegralan tak hingga
b. Integral tak wajar dengan integran tak hingga
-
7/31/2019 Integral Tak Wajar Stt
3/12
MA1114 KALKULUS I
a. Integral Tak Wajar , Batas Pengintegralan Tak HinggaDefinisi :
=
b
a
b
adxxfdxxf )(lim)(
=
b
aab
dxxfdxxf )(lim)(
Jika limit diruas kanan ada dan berhingga, integral tak wajardisebut konvergen, sebaliknya disebut divergen
(i)
(ii)
(iii)
+=c
c
dx)x(fdx)x(fdx)x(f
+=b
cb
c
aadx)x(flimdx)x(flim
c
dx)x(f
c
dx)x(f
dx)x(fJika dan konvergen,maka konvergen
-
7/31/2019 Integral Tak Wajar Stt
4/12
MA1114 KALKULUS I
Contoh Periksa kekonvergenan ITW
0
212 )x(
dxdx
xxe
4
2
++ )xx(
dx
522
a. b. c.
Jawab :
dxxedxx
xeb
x
b
=
4
2
lim
4
2
= 42
1lim
2 be x
ba.
2
1
)12(2
1
2
1lim =
+=
bb
Jadi integral tak wajar konvergen ke
b.
=
bxb
0
)12(2
1lim
1616
2
1
2
1 2
=
= eeelim bb
Jadi integral tak wajar konvergen ke 1/2
16
2
1 e
=
0
2)12(
lim0
2)12( b x
dx
x
dx
b
-
7/31/2019 Integral Tak Wajar Stt
5/12
MA1114 KALKULUS I
( ) ( )
+++
++=
++ 12
1
2525252
2 xxdx
xxdx
)xx(dx
+++
++=
1
1
2252
lim52
lim
a
b
ba xx
dx
xx
dx
( ) ( )b
x
ba
x
a1
2
11
1
2
11 tan2
1limtan
2
1lim +
+
+=
( ) ( )( ) ( ) ( )( )1tantan21
limtan1tan2
1
lim
1
2
11
2
111 +
+
+= b
b
a
a
+
=
422
1
242
1
c.
2
2
=
Jadi integral tak wajar konvergen ke
-
7/31/2019 Integral Tak Wajar Stt
6/12
MA1114 KALKULUS I
Soal-soal latihan
Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut
+
+02
4 x
dx
0
4 dxxe
1x
dx
1
2
1
x
dxe x
a. b. c. d.
+2
22)1( x
dxxe. f.
+ )162
(x
dx
2x
e
xdxg.
++ 1722
xx
dxh.
-
7/31/2019 Integral Tak Wajar Stt
7/12
MA1114 KALKULUS I
b. Integral Tak Wajar dengan Integran Tak Hingga
(i) Integran Tak Hingga di Ujung Selang
Jika kontinu pada [a,b) dan maka=)x(flim
bx
=t
abt
b
a
dx)x(flimdx)x(f
Jika kontinu pada (a,b] dan maka=+
)x(flimax
+
=b
sas
b
a
dx)x(flimdx)x(f
Jika limit ruas kanan ada, maka Integral tak wajar dikatakankonvergen, sebaliknya dikatakan divergen
-
7/31/2019 Integral Tak Wajar Stt
8/12
MA1114 KALKULUS I
(ii) Integran Tak Hingga di Titik Dalam Selang Pengintegralan
Jika f(x) kontinu pada [a,b], kecuali di cdengan a< c< b dan
=
)(lim xfcx
maka
+ =b
c
dxxfc
a
dxxfb
a
dxxf )()()( +
+
=b
s
dxxft
a cs
dxxf
ct
)(lim)(lim
I II
Jika I dan II ada dan berhingga maka integral tak wajar b
a
dxxf )(
konvergen.
-
7/31/2019 Integral Tak Wajar Stt
9/12
MA1114 KALKULUS I
Contoh Periksa kekonvergenan Integral Tak Wajar
1
0
dxx
xln
Jawab :
x
xln)x(f =Karena fungsi tidak kontinu di x=0 dan =
+ x
xlnlim
x 0
maka
+=1
0
1
0
lnlimlnt
tdx
xxdx
xx
tx
t
1)(ln
21lim 2
0+=
( ) ===+
22
0
)()(ln02
1lim tt
Integral tak wajar divergen
-
7/31/2019 Integral Tak Wajar Stt
10/12
MA1114 KALKULUS I
dxx
x
2
01
Contoh Periksa kekonvergenan integral tak wajar
Jawab
Fungsi diskontinu di x=1 danx
xxf = 1)( = x
x
x 1lim1
+
=
2
1
1
0
2
0111
dxx
xdx
x
xdx
x
x
+
=
+
s
tts
dxx
xdx
x
x
0
2
11 1lim
1lim
( ) = 0|1|lnlim1 sss( )==
ss
ss xxdxx
x
0011 |1|lnlim1lim
Karena
maka integral tak wajar divergendxx
x 2
01
-
7/31/2019 Integral Tak Wajar Stt
11/12
MA1114 KALKULUS I
Integral takwajar bisa juga muncul dalam bentuk gabungan
dari dua jenis diatas, yaitu batas pengintegralan takhingga danintegran tak hingga pada batas pengintegralan seperti contohberikut
Contoh Periksa kekonvergenan integral tak wajar
0
1dx
xx
Jawab :Integral diatas merupakan integral tak wajar karena
- batas atas integral tak hingga- integran tak hingga di x = 1 yang terletak didalam selangpengintegralan
sehingga
0
1dx
x
x
+
+
=
1
0
2
1 2111
dxx
xdxx
xdxx
x
-
7/31/2019 Integral Tak Wajar Stt
12/12
MA1114 KALKULUS I
+
+
=+
2
2
101 111
limlimlim dxx
xdx
x
xdx
x
x
btt
s
s
Karena
( ) ( ) ===
0|1|lnlim|1|lnlim
1
lim10
011
ssxxdx
x
x
s
ss
ss
Maka integral tak wajar divergen
0
1dx
x
x
Soal-soal latihanPeriksa kekonvergenan integral tak wajar berikut
1
13
1
x
dx
1
1
dxx
xe
1
1 x
dx
1
0 21 x
dxa. b. c. d.
++
0
2
2107xx
dxxe.
1
2
21x
dxx
+
1
2
21x
dxxf. g.
3
0ln xx
dxh.