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INTEGRALE DI RIEMANN

1 DEFINIZIONE DI INTEGRALE DI RIEMANN 1

Integrale di Riemann

Indice

1 Definizione di integrale di Riemann 1

2 Condizioni di esistenza dell’integrale di Riemann 3

3 Proprieta dell’integrale di Riemann 4

4 Calcolo dell’integrale 54.1 La funzione integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2 Il teorema fondamentale del calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.3 Integrale di una f definita a tratti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.4 Funzione integrale di una f definita a tratti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5 L’integrale di Riemann generalizzato 95.1 Integrale generalizzato su intervallo non limitato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.2 Criteri di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.3 Integrale generalizzato di funzione non limitata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.4 Criteri di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6 Soluzioni degli esercizi 18

1 Definizione di integrale di Riemann

Definizione Sia [a, b] in intervallo chiuso e limitato. Chiamiamo partizione di [a, b] un sottoinsieme finito

{x0, x1, . . . , xN}

di punti di [a, b] tali che a = x0 < x1 < . . . xN = b. 1 L’insieme di tutte le possibili partizioni di [a, b] (ovviamentesono infinite) verra indicato con P[a, b].

ba

x0

bb

xN

b

x1

b

x2

b

x3. . .

Definizione Supponiamo in [a, b] sia definita una funzione f : [a, b]→ R e che f sia limitata.Ad ogni partizione P = {x0, x1, . . . , xN} di [a, b] possiamo associare la somma inferiore s(P ) e la somma

superiore S(P ) di Riemann, definite da

s(P ) =

N∑

i=1

mi

(

xi − xi−1

)

e S(P ) =

N∑

i=1

Mi

(

xi − xi−1

)

,

dovemi = inf

x∈[xi−1,xi]f(x) e Mi = sup

x∈[xi−1,xi]

f(x).

Le figure che seguono cercano di illustrare la costruzione di una somma inferiore e di una somma superiore di Riemannper una funzione data.

1E chiaro che l’insieme {x0, x1, . . . , xN} e fatto da N +1 punti e che questi punti con le caratteristiche richieste suddividono [a, b] in Nsottointervalli.

A. Peretti – Corso di Matematica UNIVR – Sede di Vicenza


1 DEFINIZIONE DI INTEGRALE DI RIEMANN 2

a bx1 x2 x3 x4

Somma inferiore di Riemann

a bx1 x2 x3 x4

Somma superiore di Riemann

Osservazione Nelle due figure sono rappresentate geometricamente la somma superiore e la somma inferiore di unafunzione positiva, relative alla partizione {a, x1, x2, x3, x4, b}. Si osservi infatti che ad esempio le quantitami

(

xi−xi−1

)

forniscono l’area dei rettangoli inscritti della figura di sinistra. Quindi la somma inferiore di Riemann fornisce l’areadell’unione di tutti i rettangoli inscritti, relativi alla data partizione.

Si definiscono ora integrale inferiore∫ b

af e integrale superiore

∫ b

af di Riemann di f in [a, b] rispettivamente

∫ b

a

f = supP∈P[a,b]

s(P ) e

∫ b

a

f = infP∈P[a,b]

S(P ).

Osservazione Quindi l’integrale inferiore si ottiene considerando l’insieme di tutte le possibili somme inferiori eprendendo di questo insieme (di numeri reali) l’estremo superiore. Invece l’integrale superiore si ottiene considerandol’insieme di tutte le possibili somme superiori e prendendo di questo insieme l’estremo inferiore. Naturalmente nessunoci garantisce che cosı facendo otteniamo la stessa quantita. Si consideri anche che almeno uno dei due potrebbe essereinfinito.

Si puo dimostrare che in generale∫ b

a

f ≤∫ b

a

f.

Ecco ora l’ultimo passo della definizione: se∫ b

af =

∫ b

af , diremo che f e integrabile secondo Riemann in [a, b]

e chiameremo integrale di Riemann di f in [a, b] il valore comune degli integrali inferiore e superiore di f , e lo

indicheremo con∫ b

af . 2 Per distinguerlo dall’integrale indefinito, questo viene spesso detto integrale definito.

Osservazione Riflettendo sulla definizione di integrale di Riemann, ci si puoconvincere che l’integrale ha in qualche modo a che fare con l’area della regionedi piano sottesa dal grafico di f . E bene ricordare che l’area e una quantitapositiva e che quindi quanto detto e vero solo se la f e non negativa nell’inter-vallo. Quindi l’integrale di una f non negativa e l’area della regione sottesa dalgrafico di f (puo essere questa un’interpretazione geometrica dell’integrale).Se la f cambia segno, non e vero che l’integrale sia l’area della regione sottesadal grafico di f . In tali casi si puo comunque dire che l’integrale e l’area con

segno di questa regione, intendendo con area con segno l’area, eventualmentecambiata di segno nelle regioni in cui la funzione e negativa.

a b

Esempi

• Supponiamo che a ≤ c ≤ b, che f(c) = 1 e che f(x) = 0 se x 6= c. Allora f e integrabile secondo Riemann e∫ b

a f = 0.

2Quando nella scrittura di f appare esplicitamente l’indicazione della variabile si usa scrivere∫ baf(x) dx, come gia visto con gli integrali

indefiniti.



2 CONDIZIONI DI ESISTENZA DELL’INTEGRALE DI RIEMANN 3

Infatti, data una qualunque partizione P dell’intervallo [a, b], le somme inferiori rela-tive a P sono nulle e le somme superiori si riducono ad un addendo (quello relativoall’intervallo [xi−1, xi] in cui cade il punto c). Avremo percio

s(P ) = 0 e S(P ) = f(c)(

xi − xi−1

)

.

Quindi∫ b

af = 0 e, prendendo l’estremo inferiore rispetto a tali partizioni, si ottiene

∫ b

af = 0, da cui la conclusione.

bc

b

b b

a c b

|1

• Sia f : [0, 1]→ R definita da

f(x) =

{

1 se x ∈ Q

0 se x /∈ Q.

Si puo provare che f non e integrabile secondo Riemann. Infatti, per le proprieta dei razionali e dei reali, si puoprovare che per ogni partizione P di [0, 1] si ha che

s(P ) = 0 e S(P ) = 1,

per cui∫ b

af 6=

∫ b

af e quindi f non e integrabile secondo Riemann.

2 Condizioni di esistenza dell’integrale di Riemann

Data la complessita della definizione, non e facile capire se una funzione e integrabile secondo Riemann. Si pone allorala seguente questione: ci sono proprieta di una funzione che assicurano la sua integrabilita? La risposta e affermativa.

Teorema Supponiamo che sia f : [a, b]→ R. Se vale una delle condizioni seguenti:

(i) f e continua in [a, b];

(ii) f e monotona in [a, b];

(iii) f e limitata e ha un numero finito di punti di discontinuita in [a, b],

allora f e integrabile secondo Riemann.

Osservazione Ribadisco che queste condizioni sono singolarmente sufficienti per l’integrabilita. Ciascuna quindi,indipendentemente dalle altre, garantisce l’integrabilita secondo Riemann della funzione.

Osservazione Il teorema permette di affermare che una grandissima parte delle funzioni, definite in un intervallo,che solitamente incontriamo sono integrabili secondo Riemann. Ad esempio un qualunque polinomio, considerato inun qualunque intervallo [a, b], lo e. Tutte le funzioni elementari, considerate in un intervallo [a, b] in cui risultanodefinite, lo sono (sono funzioni continue).3 Anche la funzione f(x) = |x|, pur non essendo una funzione elementare, econtinua in qualunque intervallo chiuso e limitato e quindi integrabile secondo Riemann in tale intervallo. La funzione

f(x) =

{

x x ∈ [0, 1)

x− 1 x ∈ [1, 2]

e integrabile secondo Riemann in [0, 2], dato che, pur non essendo continua nemonotona, e limitata e ha un solo punto di discontinuita.

b b

bbc

|

|

1 2

1

Un aspetto teoricamente rilevante e quello di individuare intere classi di funzioni integrabili. Le tre proprietaappena viste forniscono come detto classi significative, ma non coprono tutte le possibilita. La proposizione che segueindividua una classe sufficientemente ampia e dice che se componiamo una funzione integrabile (interna) con unafunzione continua (esterna) otteniamo una funzione integrabile.

Proposizione Supponiamo che f sia integrabile secondo Riemann in [a, b] e che g sia continua in f([a, b]). 4 Allorag ◦ f e integrabile secondo Riemann in [a, b].

3Si faccia attenzione: l’intervallo deve essere chiuso e limitato, almeno per ora. Quindi non possiamo dire ad esempio che lnx in (0, 1)sia integrabile.

4Che la g sia definita in f([a, b]) ormai non dovrebbe disorientare lo studente: si tratta della solita ipotesi che garantisce la possibilitadi parlare di funzione composta g ◦ f , cioe g(f).



3 PROPRIETA DELL’INTEGRALE DI RIEMANN 4

Osservazione Conseguenza della Proposizione e quindi ad esempio che la funzione x 7→ |f(x)| e integrabile se eintegrabile f , dato che la funzione t 7→ |t| e continua.

Osservazione Il teorema precedente contiene, come caso particolare, l’implicazione

f integrabile in [a, b] =⇒ fn integrabile in [a, b], per ogni n ∈ N.

E interessante chiedersi se e vero anche il viceversa, cioe se, sapendo che fn e integrabile, possiamo dire che anchef lo e. Lo studente rifletta un po’, prima di leggere il seguito.

La risposta e che se n e dispari la cosa e vera, ma se n e pari puo non esserlo.Ad esempio, la funzione f : [a, b]→ R definita da

f(x) =

{

1 se x ∈ Q

−1 se x /∈ Q

non e integrabile in [a, b], mentre il suo quadrato, che e la funzione identicamente uguale a 1 in [a, b], lo e.5

3 Proprieta dell’integrale di Riemann

Teorema Supponiamo che [a, b] sia un intervallo chiuso e limitato e che f, g siano integrabili secondo Riemann in[a, b]. Allora valgono le proprieta seguenti:

(i) (linearita) se c1, c2 sono due costanti, allora c1f + c2g sono integrabili secondo Riemann in [a, b] e si ha

∫ b

a

(c1f + c2g) = c1

∫ b

a

f + c2

∫ b

a

g;

(ii) (monotonia) se f ≤ g, allora

∫ b

a

f ≤∫ b

a

g; 6

(iii) se a < c < b, allora∫ b

a

f =

∫ c

a

f +

∫ b

c

f ;

(iv) se |f(x)| ≤M , allora∣

∣

∣

∣

∣

∫ b

a

f

∣

∣

∣

∣

∣

≤M (b − a);

(v) fg e integrabile secondo Riemann in [a, b];

(vi) |f | e integrabile secondo Riemann in [a, b] e

∣

∣

∣

∣

∣

∫ b

a

f

∣

∣

∣

∣

∣

≤∫ b

a

|f |.

Osservazione Il punto (vi) ribadisce quindi che se f e integrabile allora anche |f | lo e e aggiunge una disuguaglianzatra gli integrali.

Osservazioni Supponiamo che a > 0 e che f sia integrabile secondo Riemann in [−a, a]. Si intuisce, e non sarebbedifficile dimostrarlo, che

• se f e dispari, allora∫ a

−a f = 0;

• se f e pari, allora∫ a

−af = 2

∫ a

0f .

5Ricordare che 3√

f3 = f , ma√

f2 = |f |. Si veda anche, nella sezione che segue, le proprieta che coinvolgono il valore assoluto.6Non si confonda la monotonia di una funzione con la monotonia dell’integrale. Qui si parla di monotonia dell’integrale.



4 CALCOLO DELL’INTEGRALE 5

Quindi, anche se non sappiamo ancora come calcolare gli integrali, possiamo dire che∫ 1

−1x3 dx = 0, dato che

la funzione x 7→ x3 e integrabile (in quanto monotona, o continua) e dispari, cioe simmetrica rispetto all’origine.

Possiamo anche dire che∫ 1

−1 x2 dx = 2

∫ 1

0 x2 dx, ma quest’ultimo non lo sappiamo ancora calcolare.

E importante il seguente

Teorema (della media integrale). Supponiamo che f sia continua in [a, b]. Allora esiste c ∈ [a, b] tale che

f(c) =1

b − a

∫ b

a

f oppure, analogamente,

∫ b

a

f = (b − a)f(c).

Il numero1

b− a

∫ b

a

f si chiama media integrale di f in [a, b].

Osservazione Il teorema ha una semplice interpretazione geometrica:scrivendo la tesi nella forma

∫ b

a

f = (b− a)f(c)

vi si legge che l’integrale e uguale all’area del rettangolo di base l’intervallo[a, b] e altezza f(c). Attenzione che questa interpretazione geometrica vale sepossiamo identificare l’integrale con l’area, cioe se la f e positiva.

a bc

f(c)

Osservazione La tesi puo essere falsa in assenza dell’ipotesi di continuita di f .

Consideriamo la funzione f : [0, 2]→ R definita da

f(x) =

{

1 se 0 ≤ x ≤ 1

2 se 1 < x ≤ 2.

La media integrale di f in [0, 2] e

1

2

∫ 2

0

f =3

2,

ma non esiste nessun punto c dell’intervallo [0, 2] in cui f(c) = 32 .

b b

bbc

|

1 2

1

2

3/2

Osservazione Un’interessante questione e se l’annullarsi dell’integrale comporta necessariamente che la funzione siasempre nulla. Qualche studente forse dira subito che questo e falso, ricordando uno degli esempi iniziali di calcolodell’integrale con la definizione (lo si cerchi). E notera che in quell’esempio la funzione non era continua. Infatti lacontinuita e importante in questo aspetto. Si potrebbe dimostrare che, se f e continua e non negativa in [a, b] e se∫ b

af = 0, allora f e identicamente nulla in [a, b]. Per esercizio lo studente verifichi che la conclusione puo essere falsa

se si omette l’ipotesi di non negativita di f o quella di continuita.

4 Calcolo dell’integrale

La definizione di integrale non e comoda per il calcolo operativo degli integrali. Occorre un metodo di calcolo piuefficace, e tra poco lo otteniamo.

4.1 La funzione integrale

Sia f una funzione integrabile nell’intervallo [a, b]. A partire da f possiamo definire una nuova funzione, che associaad ogni x ∈ [a, b] l’integrale di f tra a e x, cioe

F (x) =

∫ x

a

f , per ogni x ∈ [a, b].

Se vogliamo scrivere esplicitamente nell’integrale anche la variabile di integrazione e bene fare in modo di nonconfondere questa con la variabile della funzione F , cioe x. Si scrive allora

F (x) =

∫ x

a

f(t) dt , per ogni x ∈ [a, b].




La si veda cosı: per ogni x fissato in [a, b], t varia tra a e x ed e la variabile di integrazione.Questa nuova funzione F si chiama funzione integrale di f in [a, b] ed e una funzione molto importante.

a b← x→La figura qui sopra illustra che il valore della funzione integrale in x (di una funzione non negativa) e l’area sottesa

dal grafico tra a e x, al variare di x.

Osservazione Si puo dimostrare che la funzione integrale F di una funzione integrabile f e una funzione continua(nell’intervallo in cui e definita). Quindi, anche se f non e continua, la sua funzione integrale lo e. Si potrebbe direche la funzione integrale e piu regolare della funzione da cui proviene. Questa particolarita della funzione integrale econfermata anche dal seguente importantissimo teorema.

4.2 Il teorema fondamentale del calcolo

Teorema (fondamentale del calcolo). Supponiamo che f sia integrabile in [a, b] e che F sia la sua funzione integrale.Valgono le proprieta seguenti:

(i) se f e continua in [a, b], allora F e derivabile e F ′ = f in [a, b];

(ii) se f e continua in [a, b] e G e una qualunque primitiva di f in [a, b], allora

∫ b

a

f = G(b)−G(a).

Osservazione Il punto (i) del teorema afferma quindi che se f e continua allora la sua funzione integrale e una suaprimitiva. La funzione costruita con l’integrale di f e una funzione che ha per derivata f (legame profondo tra derivatae integrale).Il punto (ii) del teorema fondamentale fornisce invece un comodo metodo per il calcolo dell’integrale di Riemann∫ b

af(x) dx. Dice infatti che, se conosciamo una primitiva G di f in [a, b], allora l’integrale e dato da G(b) −G(a). E

chiaro che la parte difficile sta nel calcolo della primitiva che, abbiamo visto, puo non essere banale.

Osservazione Nel calcolo dell’integrale∫ b

af(x) dx, dopo aver trovato una primitiva G di f , per indicare che si

applica il teorema fondamentale e si calcola la variazione della primitiva agli estremi dell’intervallo, si scrive

∫ b

a

f(x) dx = G(x)∣

∣

∣

b

a, che sta ad indicare appunto G(b)−G(a).

Vediamo allora qualche esempio di calcolo di integrale definito.

Esempi

• Calcoliamo∫ 1

−1 x2 dx. Si ha

∫ 1

−1

x2 dx =x3

3

∣

∣

∣

∣

1

−1

=1

3−(

−1

3

)

=2

3. 7

• Calcoliamo∫ 1

03√xdx. Si ha

∫ 1

0

3√xdx =

∫ 1

0

x1/3 dx =x4/3

4/3

∣

∣

∣

∣

1

0

=3

4.

7Per quanto detto in precedenza sugli integrali di funzioni pari o dispari, si poteva anche fare∫ 1

−1x2 dx = 2

∫ 1

0x2 dx = 2 ·

x3

3

∣

∣

∣

∣

1

0

=2

3.




• Calcoliamo∫ e

1 lnxdx. Si ha (ricordo che l’integrazione di lnx si fa per parti)

∫ e

1

lnxdx = (x ln x− x)∣

∣

∣

e

1= 1.

• Calcoliamo∫ 1

−1 xe−x2

dx. Ricordando che

∫

xe−x2

dx = −1

2

∫

(−2)xe−x2

dx = −1

2e−x2

+ c,

si ha∫ 1

−1

xe−x2

dx = −1

2e−x2

∣

∣

∣

1

−1= 0.

Il risultato era prevedibile, dato che la funzione e dispari e l’intervallo e simmetrico rispetto all’origine.

Esempio Per concludere questa sezione vediamo come si puo scrivere l’espressione di una funzione integrale. Con-sideriamo ancora la funzione f(x) = xe−x2

nell’intervallo [−1, 1]. Troviamo l’espressione della funzione integrale di fin tale intervallo. Dalla definizione di funzione integrale abbiamo

F (x) =

∫ x

−1

te−t2 dt = −1

2

∫ x

−1

(−2)te−t2 dt = −1

2e−t2

∣

∣

∣

x

−1= −1

2

(

e−x2 − e−1)

.

A verifica del teorema fondamentale, possiamo osservare che calcolando la derivata di F otteniamo

F ′(x) = −1

2e−x2 · (−2x) = xe−x2

= f(x).

Non approfondisco molto questo aspetto, ma per evitare che qualche studente perda inutilmente del tempo nelcalcolo di qualche integrale (talvolta per fare qualche esercizio in piu ci si inventa una funzione e si prova ad integrarla)avverto che ci sono funzioni che non si possono integrare. Chiarisco il significato: ci sono funzioni che non hannoprimitive “elementari”. Ogni funzione continua ha primitive, in conseguenza del teorema fondamentale del calcolo: sef e continua in [a, b] allora F (x) =

∫ x

af e una primitiva di f , solo che non e detto che se f e una funzione ottenuta con

composizione di funzioni elementari tale primitiva sia ancora una funzione esprimibile attraverso funzioni elementari.Ci sono funzioni “elementari” per cui si puo dimostrare che la primitiva non e “elementare” e f(x) = e−x2

e la piu

“famosa” tra queste.8 Quindi possiamo certamente dire che F (x) =∫ x

0 e−t2 dt e una primitiva di e−x2

in tutto R, manon possiamo esprimere F mediante funzioni elementari (per esprimerla non possiamo fare a meno di usare l’integrale).

Esercizio 4.1 Calcolare i seguenti integrali di Riemann.

(a)

∫ 1

0

√xdx (b)

∫ 7/2

0

13√1 + 2x

dx

(c)

∫ 2

1

e1−x dx (d)

∫ 1/10

0

1

1 + 10xdx

(e)

∫ 1

0

x3

1 + x4dx (f)

∫ 4

1

e√x

√xdx

(g)

∫ 1

0

x2√

1 + x3 dx (h)

∫ e

1

√lnx

xdx

(i)

∫ e

1

x2 lnxdx (j)

∫ 2

1

x

1 + x2dx

(k)

∫ −2

−3

1

x(x+ 1)dx (l)

∫ 3

2

1

x(x − 1)2dx

8Nemmeno ex2

ha primitive elementari, ma “quella col meno” e piu famosa, essendo una funzione fondamentale nella teoria dellaprobabilita.




4.3 Integrale di una f definita a tratti

Se dobbiamo calcolare l’integrale di una funzione definita a tratti basta utilizzare la proprieta (iii) dell’integrale diRiemann, quella che afferma che se ho una partizione dell’intervallo di integrazione, il calcolo dell’integrale puo esserescomposto nella somma di piu integrali, ciascuno dei quali su di un sottointervallo della partizione.

Vediamo allora come si procede in un paio di semplici esempi.

• Se dobbiamo calcolare

∫ 2

0

|x2 − x| dx, dobbiamo anzitutto osservare che la funzione x 7→ x2 − x cambia segno

nell’intervallo di integrazione e quindi (dalla definizione di valore assoluto) si ha

f(x) =

{

x2 − x se x ∈ (−∞, 0] ∪ [1,+∞)

x− x2 se x ∈ (0, 1).

Pertanto, usando la proprieta (iii) dell’integrale, possiamo scrivere

∫ 2

0

|x2 − x| dx =

∫ 1

0

(x− x2) dx+

∫ 2

1

(x2 − x) dx

=

(

x2

2− x3

3

)∣

∣

∣

∣

1

0

+

(

x3

3− x2

2

)∣

∣

∣

∣

2

1

=1

2− 1

3+

(

8

3− 4

2

)

−(

1

3− 1

2

)

= 1.

1 2

2

x

y

• Se dobbiamo calcolare l’integrale in [−1, 2] della funzione

f(x) =

x+ 1 −1 ≤ x ≤ 0

−x 0 < x ≤ 1

x 1 < x ≤ 2,

(lo studente dica perche questa funzione e integrabile) possiamo scrivere

b

b

bc

b

bc

b

−1 1 2

1

−1

2

x

y

∫ 2

−1

f(x) dx =

∫ 0

−1

(x+ 1) dx+

∫ 1

0

(−x) dx+

∫ 2

1

xdx

=

(

x2

2+ x

)∣

∣

∣

∣

0

−1

− x2

2

∣

∣

∣

∣

1

0

+x2

2

∣

∣

∣

∣

2

1

=3

2.

Un utile esercizio e verificare il risultato utilizzando il grafico di f e calcolando con la geometria elementare learee dei triangoli/quadrati individuati nella figura.

Osservazione Si potrebbe dimostrare rigorosamente, ma mi limito ad enunciare questa semplice ed intuitiva que-stione: il valore dell’integrale non dipende dai singoli valori che la funzione assume in qualche punto (diciamo in unnumero finito di punti). Ad esempio, nel caso appena visto della funzione definita a tratti, noi potremmo cambiare ilvalore di f in 0 e in 1, cioe agli estremi degli intervalli, senza modificare con questo il valore dell’integrale. E forse siintuisce anche che farlo in due punti o in mille non fa differenza, il valore dell’integrale resterebbe sempre lo stesso.Diversa e la questione se cambiamo il valore di f in un numero infinito di punti, ma qui non vado oltre.

4.4 Funzione integrale di una f definita a tratti

Nel corso di Statistica gli studenti incontreranno anche questo problema: scrivere l’espressione di una funzioneintegrale di una funzione definita a tratti.



5 L’INTEGRALE DI RIEMANN GENERALIZZATO 9

Il problema e per molti aspetti simile a quello appena incontrato, con la piccoladifficolta aggiuntiva dovuta alla presenza della variabile x. Consideriamo ad esempiola funzione

f(x) =

0 −2 ≤ x ≤ −1−x −1 < x ≤ 0

1 0 < x ≤ 1.b b

bc

b

bc b

−2 −1 1

1

x

y

Questa funzione e integrabile nell’intervallo [−2, 1] (lo studente dica perche) e quindi possiamo scrivere la funzioneintegrale di f in tale intervallo, che per definizione e

F (x) =

∫ x

−2

f(t) dt.

Evidentemente e un problema analogo a quello gia incontrato poco fa quando abbiamo trovato l’espressione di unafunzione integrale. L’unica differenza e che ora la f e definita a tratti e quindi non abbiamo un’unica espressione di f ,ma in questo caso tre espressioni distinte, ciascuna valida in un certo intervallo. Allora dobbiamo distinguere tutti icasi possibili circa la posizione della x, che puo stare nel primo ([−2,−1]), nel secondo ((−1, 0]) o nel terzo intervallo((0, 1]). Quindi abbiamo:

• se x ∈ [−2,−1]F (x) =

∫ x

−2

f(t) dt =

∫ x

−2

0 dt = 0;

• se x ∈ (−1, 0]

F (x) =

∫ x

−2

f(t) dt =

∫ −1

−2

0 dt+

∫ x

−1

(−t) dt = − t2

2

∣

∣

∣

∣

x

−1

= −x2

2+

1

2;

• se infine x ∈ (0, 1]

F (x) =

∫ x

−2

f(t) dt =

∫ −1

−2

0 dt+

∫ 0

−1

(−t) dt+∫ x

0

1 dt = − t2

2

∣

∣

∣

∣

0

−1

+ t∣

∣

∣

x

0=

1

2+ x.

Quindi riassumento possiamo scrivere

F (x) =

0 se − 2 ≤ x ≤ −1−x2

2 + 12 se − 1 < x ≤ 0

12 + x se 0 < x ≤ 1.

Nelle due figure qui sotto ho riportato nuovamente a sinistra il grafico di f e a destra quello di F .

b b

bc

b

bc b

−2 −1 1

1

x

y

b

b

−2 −1 1

1/2

3/2

x

y

Osservazione Il grafico di F rende evidente una proprieta (peraltro gia individuabile nell’espressione di F (x)) ecioe la continuita di F nell’intervallo considerato. Si noti che invece f non e continua. Questo non deve sorprendere:ho gia parlato in precedenza di questa proprieta: se f e integrabile, allora F e continua. Lo studente attento notera aquesto punto che F non e invece derivabile (in −1 e in 0), e si intuisce che cio dipende dalla non continuita della f .

Osservazione Metto quindi in guardia lo studente su questo punto: se, in un esercizio analogo al precedente, allafine dei calcoli otteniamo una funzione integrale che non e continua, abbiamo sicuramente commesso un errore.

5 L’integrale di Riemann generalizzato

L’integrale di Riemann richiede, come abbiamo visto, che la funzione sia limitata in un intervallo limitato. Nelcaso cadano queste ipotesi, si parla di integrale di Riemann generalizzato. Esistono quindi due possibili situazioni daconsiderare: funzione non limitata o intervallo non limitato. Cominciamo con la situazione dell’intervallo non limitato.




5.1 Integrale generalizzato su intervallo non limitato

Definizione Sia f : [a,+∞)→ R e sia f integrabile secondo Riemann in [a, b] qualunque sia b > a.

Se limb→+∞

∫ b

a

f esiste finito, diciamo che f e integrabile in senso generalizzato in [a,+∞), e chiamiamo

integrale generalizzato di f in [a,+∞) il numero reale

∫ +∞

a

f = limb→+∞

∫ b

a

f (figura sotto a sinistra).

Analogamente, con f : (−∞, b] → R, integrabile secondo Riemann in [a, b] qualunque sia a < b, se lima→−∞

∫ b

a

f

esiste finito, diciamo che f e integrabile in senso generalizzato in (−∞, b], e chiamiamo integrale generalizzato di f in(−∞, b] il numero reale

∫ b

−∞f = lim

a→−∞

∫ b

a

f (figura al centro).

Infine diciamo che f : R → R e integrabile in senso generalizzato in (−∞,+∞) (in R) se f e integrabile in sensogeneralizzato in (−∞, 0] e in [0,+∞). Chiamiamo integrale di f in (−∞,+∞) (in R) il numero reale

∫ +∞

−∞f =

∫ 0

−∞f +

∫ +∞

0

f (figura a destra).

Si faccia attenzione che quindi entrambi gli integrali a destra dell’uguale devono essere finiti.Se una funzione f e integrabile in senso generalizzato in qualche intervallo, si dice anche che il corrispondente

integrale generalizzato converge. Altrimenti diciamo che l’integrale generalizzato diverge.

a b→ b← a ← a b→Le figure qui sopra illustrano che, se f ≥ 0, il suo integrale generalizzato e l’area della regione (ora non limitata)

sottesa dal grafico di f . Quest’area puo essere finita (se l’integrale converge) oppure infinita (se l’integrale diverge).Dalla definizione di integrale generalizzato e dalla linearita dell’integrale di Riemann, si deduce la proprieta

seguente:

• se f e g sono integrabili in senso generalizzato in [a,+∞) lo stesso vale per c1f + c2g, e si ha

∫ +∞

a

(c1f + c2g) = c1

∫ +∞

a

f + c2

∫ +∞

a

g (analogamente se l’intervallo e (−∞, b] o (−∞,+∞)).

Vale inoltre la seguente importante proprieta:

• se f e integrabile in [a, b] per ogni b > a e se |f | e integrabile in senso generalizzato su [a,+∞),9 allora anche flo e e

∣

∣

∣

∣

∫ +∞

a

f

∣

∣

∣

∣

≤∫ +∞

a

|f |.

Attenzione. Non vale il viceversa di quest’ultima, cioe dall’integrabilita in senso generalizzato di f non si puodedurre integrabilita in senso generalizzato di |f |. 10

Esempio La funzione x 7→ e−x e integrabile in senso generalizzato in [0,+∞) e

∫ +∞

0

e−x dx = 1.

9Enunciati analoghi si hanno naturalmente per funzioni definite in intervalli del tipo (−∞, b] o (−∞,+∞).10Si noti che per l’integrale di Riemann classico invece, come abbiamo visto, dall’integrabilita di f segue l’integrabilita di |f |, e non

viceversa. Ecco quindi in questo ultimo enunciato l’importanza dell’ipotesi iniziale, che cioe f sia Riemann integrabile in [a, b] per ognib > a.




Infatti,

∫ +∞

0

e−x dx = limb→+∞

∫ b

0

e−x dx

(teorema fond. calcolo) = limb→+∞

(

−e−x)

∣

∣

∣

b

0

= limb→+∞

(

1− e−b)

= 1.

Si verifichi che invece non e finito∫ +∞−∞ e−x dx.

Esempio Consideriamo l’integrale di una funzione potenza, in particolare consideriamo

∫ +∞

1

1

xαdx con α > 0, 11

distinguendo i vari casi.Se α = 1, si ha

∫ +∞

1

1

xdx = lim

b→+∞

∫ b

1

1

xdx


lnx∣

∣

∣

b

1

= limb→+∞

ln b

= +∞.

Se α 6= 1, abbiamo

∫ +∞

1

1

xαdx = lim

b→+∞

∫ b

1

x−α dx


x−α+1

−α+ 1

∣

∣

∣

∣

b

1

=1

1− αlim

b→+∞

(

b1−α − 1)

.

Il limite e infinito se 0 < α < 1 ed e invece finito se α > 1.Quindi, riassumendo, l’integrale converge se α > 1 e diverge se 0 < α ≤ 1. 12

Ad esempio,∫ +∞1

1x2 dx converge, dato che α = 2 > 1. Invece

∫ +∞1

1x dx e

∫ +∞1

1√xdx non convergono, dato che

in entrambi α ≤ 1.

Osservazione Negli esempi visti la funzione integranda e infinitesima (cioe tende a zero) all’infinito. Puo nascerequindi la domanda se, per poter essere integrabile in senso generalizzato, una funzione non negativa debba tendere azero all’infinito. Lo studente ci rifletta un po’ su prima di continuare.

Presentata cosı, la questione ha subito risposta negativa: si consideri ad esempio la funzione in [0,+∞) nulladappertutto tranne che sui numeri naturali, dove vale 1. Essa e integrabile secondo Riemann in un qualunque intervallo[0, b] (e limitata e ha un numero finito di punti di discontinuita) e l’integrale in [0, b] e nullo. Quindi e integrabile insenso generalizzato in [0,+∞), con integrale nullo. Il suo limite all’infinito pero non esiste.

A questo punto si potrebbe riproporre la questione in questi termini: per poter essere integrabile in sensogeneralizzato, una funzione non negativa e continua deve tendere a zero all’infinito?

La risposta e ancora negativa, anche se un controesempio non e semplice come quello di prima (e non lo vediamo).Si intuisce forse pero che anche cosı una funzione di controesempio puo esserci, a patto che non abbia limite all’infinito.

Se ponessi la domanda: per poter essere integrabile in senso generalizzato, una funzione non negativa, continua,che abbia limite all’infinito, deve tende a zero? Allora la risposta sarebbe sı, e potrei anche togliere la richiesta sullacontinuita.

11Si noti che il caso piu significativo e quello di una funzione potenza che tenda a zero quando x → +∞, e quindi il modello piu ragionevolee appunto 1

xα con α > 0. Se la potenza tende all’infinito l’integrale non puo convergere.12Per ricordare piu facilmente il risultato: l’integrale converge se la potenza per x → +∞ tende a zero rapidamente, quindi con α > 1.




5.2 Criteri di convergenza

Lo studio dell’integrabilita in senso generalizzato di una funzione attraverso la definizione, cioe attraverso il calcolodel limite dell’integrale, risulta talvolta impraticabile, perche richiede il calcolo di una primitiva della funzione, cosanon sempre possibile. Sono utili allora criteri che permettano di stabilire la convergenza dell’integrale generalizzatosenza dover calcolare una primitiva.

In questa sezione presento alcuni criteri di convergenza per integrali generalizzati. Per brevita enuncio i criteri

relativi agli integrali generalizzati del tipo∫ +∞a

f ; criteri analoghi valgono per integrali del tipo∫ b

−∞ f .

Criteri del confronto. Siano f, g funzioni continue in [a,+∞), a valori non negativi.Valgono le affermazioni seguenti:

(i) se f ≤ g, e g e integrabile in senso generalizzato in [a,+∞), allora anche f e integrabile in senso generalizzatoin [a,+∞);

(ii) se f ≥ g, e g non e integrabile in senso generalizzato in [a,+∞), allora nemmeno f e integrabile in sensogeneralizzato in [a,+∞);

(iii) se f(x) = o(g(x)), per x→ +∞,13 e g e integrabile in senso generalizzato in [a,+∞), allora anche f e integrabilein senso generalizzato in [a,+∞);

(iv) se g(x) = o(f(x)), per x → +∞, e g non e integrabile in senso generalizzato in [a,+∞), allora nemmeno f eintegrabile in senso generalizzato in [a,+∞);

(v) se f(x) ≍ g(x), per x → +∞,14 allora f e g hanno lo stesso carattere, cioe una e integrabile se e solo se eintegrabile l’altra.

Osservazione Si faccia attenzione che i criteri si applicano a funzioni a valori non negativi.

Osservazione Si noti che, se si ha f(x) ∼ g(x), per x→ +∞, cioe se limx→+∞

f(x)

g(x)= 1, allora si ricade nel caso (v).

Osservazione In realta (iii) e (iv) sono conseguenze rispettivamente di (i) e (ii). Questo perche (punto (iii)), sef(x) = o(g(x)) per x → +∞, allora f e definitivamente minore o uguale a g,15 diciamo da b in poi. Ma allora perle ipotesi in [b,+∞) f e integrabile e quindi lo e anche in [a,+∞), dato che in [a, b] e continua e quindi integrabile.Stesso discorso per il punto (iv).

I criteri presentati hanno utili conseguenze (confronti con le potenze).Supponiamo che f sia continua e positiva in [a,+∞).

Corollario Se

f(x) = o

(

1

xα

)

, per x→ +∞ e α > 1,

allora f e integrabile in senso generalizzato in [a,+∞). E conseguenza della (iii) e del fatto che, essendo α > 1, 1/xα

e integrabile.

Corollario Se1

xα= o

(

f(x))

, per x→ +∞ e α ≤ 1,

allora f non e integrabile in senso generalizzato in [a,+∞). E conseguenza della (iv) e del fatto che, essendo α ≤ 1,1/xα non e integrabile.

Corollario Se

f(x) ≍ 1

xα, per x→ +∞, e α > 1,

allora f e integrabile in senso generalizzato in [a,+∞); e conseguenza della (v) e del fatto che, essendo α > 1, 1/xα eintegrabile. Quando invece la relazione vale con α ≤ 1, allora f non e integrabile in senso generalizzato in [a,+∞).

13Ricordo che la scrittura significa che limx→+∞f(x)g(x)

= 0 (f e trascurabile rispetto a g).

14Ricordo che la scrittura significa che limx→+∞f(x)g(x)

esiste finito e diverso da zero (f e dello stesso ordine di grandezza di g).15Definitivamente significa “da un certo punto in poi”. Quindi dire che una proprieta vale definitivamente vuol dire che non vale

dappertutto ma vale da un certo punto (valore reale) in poi.




Osservazione Si faccia attenzione. Se per una certa funzione f vale la proprieta f(x) ≍ 1/xα per x → +∞,possiamo sempre stabilire se la funzione f e integrabile in senso generalizzato oppure no. Se vale invece la proprietaf(x) = o

(

1/xα)

per x→ +∞, possiamo concludere solo se α > 1. Quindi, ad esempio, se trovo che f(x) = o(

1/x)

perx→ +∞, non posso concludere nulla.16

Esempi

• Consideriamo

∫ +∞

1

lnx

x3dx.17

Dopo aver osservato che la funzione integranda e continua e non negativa nell’intervallo di integrazione, ricor-dando che lnx ≤ x per ogni x > 0, possiamo dire che ln x

x3 ≤ xx3 = 1

x2 . Quindi, essendo 1/x2 integrabile in sensogeneralizzato in [1,+∞), per la (i) dei Criteri del confronto il nostro integrale converge.

• L’integrale

∫ +∞

2

1

lnxdx non converge. Infatti in [2,+∞) la funzione e continua e positiva, si ha x ≥ lnx, e

quindi 1ln x ≥ 1

x . Dato che 1/x non e integrabile in senso generalizzato in [2,+∞), dalla (ii) dei Criteri delconfronto segue allora che nemmeno f(x) = 1

ln x e integrabile in senso generalizzato in [2,+∞).

• Consideriamo

∫ +∞

0

x e−x dx.18

La funzione f(x) = x e−x e continua e non negativa nell’intervallo considerato. Confrontando f(x) con 1/x2

possiamo osservare che

limx→+∞

f(x)

1/x2= lim

x→+∞

x3

ex

= 0 (confronto standard).

Pertanto f(x) = o(1/x2), per x → +∞. Dall’integrabilita di x 7→ 1/x2 in [1,+∞), per la (iii) dei Criteri delconfronto, allora anche f e integrabile in senso generalizzato in [1,+∞), e quindi in [0,+∞).

• L’integrale

∫ +∞

1

x+ lnx

x3 + ln3 xdx converge. Infatti, f(x) = x+lnx

x3+ln3 xe continua e non negativa in [1,+∞), e

f(x) ≍ x

x3=

1

x2per x→ +∞ (in realta sono equivalenti, cioe f(x) ∼ 1

x2 );

quindi, dato che 1/x2 e integrabile in senso generalizzato in [1,+∞), anche f lo e (per la (v)).

• Consideriamo

∫ +∞

−∞e−x2

dx e si tratta di un esempio importante (fondamentale nella teoria della probabilita).

La funzione f(x) = e−x2

non ha primitive elementari, cioe le sue primitive non si possono esprimere attraversofunzioni elementari o loro composizioni. Quindi non siamo in grado di calcolare l’integrale con la definizione.Possiamo pero provare che l’integrale in questione e finito, cioe che f e integrabile in senso generalizzato in(−∞,+∞). Vediamo perche. Si tratta di una funzione continua in tutto R, positiva e pari (simmetrica rispettoall’asse y). Possiamo considerarla nell’intervallo [0,+∞). Possiamo ora osservare che

limx→+∞

e−x2

1/x2= lim

x→+∞

x2

ex2

= limt→+∞

t

et

= 0 (confronto standard).

16Si considerino ad esempio le due funzioni f1(x) = 1/x2 e f2(x) = 1/(x lnx) nell’intervallo [2,+∞). Entrambe sono o(1/x), perx → +∞. La prima e integrabile in senso generalizzato in [2,+∞), la seconda no.

17Per la verita questo integrale si potrebbe calcolare anche con la definizione, dato che di questa funzione siamo in grado di trovare unaprimitiva (lo studente provi per esercizio: il risultato e 1

4).

18Anche questo integrale si potrebbe calcolare con la definizione, dato che siamo in grado di trovare una primitiva della funzione (lostudente provi per esercizio: il risultato e 1).




Pertanto e−x2

= o(1/x2), per x → +∞. Dato che la funzione x 7→ 1/x2 e integrabile in senso generalizzato in[1,+∞), per i Criteri del confronto anche f e integrabile in senso generalizzato in [1,+∞), e quindi e integrabilein senso generalizzato in [0,+∞), dato che tra 0 e 1 l’integrale e certamente finito. Dalla simmetria segue

che anche l’integrale generalizzato in (−∞, 0] esiste (ed e uguale a quello in [0,+∞)). Quindi f(x) = e−x2

eintegrabile in senso generalizzato in (−∞,+∞).

E una funzione (e un integrale) assolutamente fondamentale nel calcolo delle probabilita (li incontrerete nuova-

mente nel corso di Statistica). Si puo dimostrare che∫ +∞−∞ e−x2

dx =√π.

Osservazione Faccio nuovamente osservare che con i Criteri del confronto possiamo studiare l’integrabilita in sensogeneralizzato di funzioni di cui non siamo in grado di trovare una primitiva.19

Osservazione Se f e una funzione integrabile in senso generalizzato a −∞, e possibile scrivere la sua funzioneintegrale con primo estremo −∞, cioe la funzione

F (x) =

∫ x

−∞f(t) dt.

Ad essa e applicabile il teorema fondamentale del calcolo integrale, che garantisce, nel caso f sia continua, la derivabilitadi F e l’uguaglianza F ′(x) = f(x). Ritroverete anche questa particolare situazione nel corso di Statistica. Per gli scopidel calcolo delle probabilita e ad esempio importante la funzione

x 7→∫ x

−∞e−t2 dt.

Qui l’applicazione del teorema fondamentale porta a dire facilmente che questa funzione e monotona crescente. Inoltreessa e positiva e limitata. Le due figure qui sotto illustrano f(x) = e−x2

e la sua funzione integrale F (x) =∫ x

−∞ e−t2 dt.

f√π

√π2

F

Passiamo ora a considerare la seconda situazione possibile, quella della funzione non limitata.

5.3 Integrale generalizzato di funzione non limitata

Sia f : (a, b]→ R una funzione integrabile in [c, b], per ogni a < c < b. Sia inoltre limx→a+

f(x) = ±∞.

Diciamo che f e integrabile in senso generalizzato in (a, b] se

limc→a+

∫ b

c

f esiste finito (figura sotto a sinistra).

In questo caso chiamiamo integrale generalizzato di f in [a, b) tale limite, e lo indichiamo naturalmente con∫ b

af .

Analogamente per una funzione non limitata in prossimita del secondo estremo: se f : [a, b) → R e integrabile in[a, c], per ogni a < c < b, e se lim

x→b−f(x) = ±∞, diciamo che f e integrabile in senso generalizzato in [a, b) se

limc→b−

∫ c

a

f esiste finito (figura al centro).

a b← c a bc→ a b c|

t|

z

19E chiaro che in questi casi si puo dire solo se l’integrale e finito o infinito, ma non si riesce in genere, se e finito, a calcolarlo.




Si puo poi generalizzare la definizione estendendola al caso di una funzione f definita in un intervallo (a, b), adeccezione eventualmente di un insieme finito di punti in prossimita dei quali f e illimitata (figura a destra). Bastasuddividere opportunamente l’intervallo (a, b) in sottointervalli in modo che in ciascuno di questi f sia illimitata inprossimita di un solo estremo. L’integrale su (a, b) esiste se esistono (finiti) tutti gli integrali sui vari sottointervalli.

A titolo di esempio (sempre figura sopra a destra), sia f : (a, b)∪ (b, c)→ R, Riemann integrabile su ogni intervallochiuso contenuto in (a, b) ∪ (b, c). Siano inoltre

limx→a+

f(x) , limx→b−

f(x) , limx→b+

f(x) , limx→c−

f(x)

tutti infiniti. Allora, se a < t < b e b < z < c,∫ c

a

f =

∫ t

a

f +

∫ b

t

f +

∫ z

b

f +

∫ c

z

f,

se tutti e quattro integrali a destra sono finiti.

Esempio Chiediamoci se converge l’integrale generalizzato∫ 1

01x dx.

Anzitutto, con questo tipo di integrali occorre fare attenzione: in apparenza l’integrale si presenta come un integraledi Riemann. A differenza di quelli dove un estremo e infinito (per cui e facile vedere che sono generalizzati) qui sitratta intanto di accorgersi che sono generalizzati. Quello che rende generalizzato un integrale e il fatto che la funzioneintegranda e infinita (cioe tende all’infinito) in qualche punto dell’intervallo (estremi o punti interni). Quindi ladomanda che ci si deve fare e appunto: la funzione e illimitata nell’intervallo?

Nel nostro caso evidentemente la funzione 1x e infinita in zero e quindi questo e un integrale generalizzato. Si ha

allora con la definizione∫ 1

0

1

xdx = lim

c→0+

∫ 1

c

1

xdx = lim

c→0+lnx

∣

∣

∣

1

c= lim

c→0+(− ln c) = +∞.

Quindi l’integrale non converge.Come fatto prima con l’altro tipo di integrale generalizzato, risolviamo questa questione in generale: in quali casi

converge l’integrale di una funzione non limitata di “tipo potenza”? Volendola affrontare con la massima generalita,dobbiamo prevedere due parametri: l’esponente della potenza e il punto in prossimita del quale la funzione e illimitata.Un modello sufficientemente generale di funzione potenza nell’intervallo [a, b), non limitata in prossimita di b (dasinistra) e la funzione

f(x) =1

(b− x)α, per x→ b−. 20

Sia quindi a < b e consideriamo

∫ b

a

1

(b− x)αdx, con α > 0. 21

Se α = 1 abbiamo∫ b

a

1

b− xdx = lim

c→b−

∫ c

a

1

b − xdx

= limc→b−

(

− ln(b− x))

∣

∣

∣

c

a

= limc→b−

(

− ln(b− c) + ln(b − a))

= +∞.

Se α 6= 1 abbiamo∫ b

a

1

(b− x)αdx = lim

c→b−

∫ c

a

1

(b− x)αdx

= limc→b−

(

− (b− x)1−α

1− α

)∣

∣

∣

∣

c

a

= limc→b−

(

− (b− c)1−α

1− α+

(b − a)1−α

1− α

)

.

20Ovviamente se volessi la funzione potenza in (a, b], non limitata in prossimita di a (da destra) considererei la funzione

f(x) =1

(x− a)α, per x → a+.

21Con α ≤ 0 la funzione non e illimitata e l’integrale non e piu un integrale generalizzato, ma un integrale di Riemann “tradizionale”.




Il limite e finito se e solo se α < 1. Pertanto l’integrale

∫ b

a

1

(b− x)αdx converge se e solo se α < 1. 22

Quindi ad esempio∫ 1

01√1−x

dx converge, mentre∫ 2

01

(2−x)2 dx non converge.

Osservazione Regole analoghe si hanno per l’integrale∫ b

a1

(x−a)α dx. Quindi ad esempio∫ 0

−11√x+1

dx converge,

mentre∫ 2

11√

(x−1)3dx non converge.

Esempio Consideriamo

∫ 1

0

lnxdx. La funzione lnx e non limitata per x→ 0+. Si ha

∫ 1

0

lnxdx = lima→0+

∫ 1

a

lnxdx = lima→0+

(

x lnx− x∣

∣

∣

1

a= lim

a→0+

(

− 1− a lna+ a)

= −1,

quindi l’integrale converge.

Anche per questo tipo di integrali generalizzati si possono dimostrare le consuete proprieta di linearita dell’integrale(si vedano quelle analoghe per gli integrali generalizzati su intervalli non limitati).

Vale anche qui inoltre la proprieta che, se f e Riemann integrabile in [a, c] per ogni a < c < b e se |f | e integrabilein senso generalizzato su [a, b), allora anche f lo e e

∣

∣

∣

∣

∣

∫ b

a

f

∣

∣

∣

∣

∣

≤∫ b

a

|f |.

5.4 Criteri di convergenza

Valgono criteri di convergenza analoghi a quelli dell’integrale generalizzato su intervalli non limitati.In particolare valgono i seguenti criteri del confronto (per brevita enuncio i criteri relativi al caso di funzioni non

limitate in prossimita del secondo estremo di integrazione; criteri analoghi valgono per gli altri casi).

Criteri del confronto. Siano f, g funzioni continue in [a, b), a valori non negativi. Valgono le affermazioni seguenti:

(i) se f ≤ g, e g e integrabile in senso generalizzato in [a, b), allora anche f e integrabile in senso generalizzato in[a, b);

(ii) se f ≥ g, e g non e integrabile in senso generalizzato in [a, b), allora nemmeno f e integrabile in senso generalizzatoin [a, b);

(iii) se f(x) = o(g(x)), per x → b−, e g e integrabile in senso generalizzato in [a, b), allora f e integrabile in sensogeneralizzato in [a, b);

(iv) se g(x) = o(f(x)), per x→ b−, e g non e integrabile in senso generalizzato in [a, b), allora nemmeno f e integrabilein senso generalizzato in [a, b);

(v) se f(x) ≍ g(x), per x→ b−, allora f e g hanno lo stesso carattere, cioe una e integrabile se e solo se e integrabilel’altra.

Osservazione Come in precedenza, il caso delle funzioni equivalenti (f(x) ∼ g(x)) rientra nel caso (v). Inoltre anchequi i punti (iii) e (iv) sono conseguenza rispettivamente di (i) e (ii).

Come per l’integrale su intervalli illimitati, conseguenza dei criteri del confronto sono i seguenti ulteriori importantirisultati (confronti con le potenze). Sia f continua e positiva in [a, b).

Corollario Se

f(x) = o

(

1

(b− x)α

)

per x→ b−

e α < 1, allora f e integrabile in senso generalizzato in [a, b).

Corollario Se1

(b− x)α= o

(

f(x))

, per x→ b−, e α ≥ 1,

22Per ricordare piu facilmente il risultato: l’integrale converge se la potenza tende all’infinito lentamente, quindi con α < 1.




allora f non e integrabile in senso generalizzato in [a, b).

Corollario Se

f(x) ≍ 1

(b− x)αper x→ b−

e α < 1, allora f e integrabile in senso generalizzato in [a, b); quando invece la relazione vale con α ≥ 1, allora f none integrabile in senso generalizzato in [a, b).

Esempi

• Consideriamo

∫ 1

0

1√x(x + 1)

dx.

Dopo aver osservato che la funzione e positiva nell’intervallo (0, 1] (e non limitata in un intorno destro di zero),possiamo notare che nell’intervallo si ha x+1 > 1 e quindi 1√

x(x+1)< 1√

x. Dato che 1/

√x e integrabile in senso

generalizzato in (0, 1], allora per la (i) dei Criteri del confronto il nostro integrale converge.23

• Consideriamo

∫ 1/2

0

1√x ln2 x

dx.

La funzione e positiva nell’intervallo (0, 12 ] e non limitata in un intorno destro di zero (esercizio). Se la

confrontiamo con 1/√x otteniamo

limx→0+

1√x ln2 x

1√x

= limx→0+

1

ln2 x= 0.

Quindi 1√x ln2 x

= o(1/√x), per x→ 0+. Ma allora, essendo 1/

√x integrabile in senso generalizzato in (0, 1], per

la (iii) dei Criteri del confronto il nostro integrale converge.

• Consideriamo

∫ 1

0

e1/x dx.

La funzione integranda e illimitata in zero da destra. Se la confrontiamo con 1/x e calcoliamo il

limx→0+

e1/x

1/x= lim

t→+∞

et

t= +∞,

otteniamo che allora 1/x = o(e1/x) e quindi, dato che 1/x non e integrabile in senso generalizzato in (0, 1], perla (iv) l’integrale dato diverge.

• Consideriamo

∫ 1

0

x+√x

x+ x2dx.

La funzione integranda e illimitata in zero da destra. Ricordando che x2 = o(x) e x = o(√x), per x → 0+,

possiamo scriverex+√x

x+ x2∼√x

x=

1√x

, per x→ 0+.

Quindi, dato che 1/√x e integrabile in senso generalizzato in (0, 1], per la (v) l’integrale converge.

• Alla conclusione che l’integrale generalizzato∫ 1

0lnxdx (che abbiamo calcolato con la definizione poco fa) con-

verge si puo arrivare con il confronto. Occorre osservare anzitutto che la funzione e negativa nell’intervallo di

integrazione. Possiamo procedere cosı: consideriamo∫ 1

0| lnx| dx. Abbiamo

limx→0+

| lnx|1/√x= lim

x→0+|√x lnx| = 0,

e quindi | lnx| = o(

1/√x)

, per x → 0+. Dato che 1/√x e integrabile in senso generalizzato in (0, 1], allora per

i Criteri del confronto anche | lnx| e integrabile in senso generalizzato in (0, 1], e questo ci consente di dire cheanche lnx lo e.

23Si poteva anche, forse piu semplicemente, osservare che 1√x(x+1)

e equivalente a 1√x, per x → 0+.



6 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 18

• E istruttivo l’integrale

∫ 1/2

0

1

x ln2 xdx.

Si trova facilmente che 1x ln2 x

= o(1/x) e che 1/√x = o( 1

x ln2 x), per x → 0+. Questo pero non consente di

concludere nulla in quanto 1/x non e integrabile in (0, 1] e 1/√x e invece integrabile. L’integrale si puo calcolare

con la definizione, dato che siamo in grado di trovare una primitiva della funzione integranda. Lo lascio peresercizio.24

Esercizio 5.1 Calcolare i seguenti integrali generalizzati, utilizzando la definizione.

(a)

∫ 0

−∞ex dx (b)

∫ +∞

4

1√xdx

(c)

∫ +∞

−∞xe−x2

dx (d)

∫ +∞

1

1

x lnxdx

(e)

∫ 1

0

1

x ln2 xdx (f)

∫ 1

0

1

1− x2dx

Esercizio 5.2 Stabilire se i seguenti integrali generalizzati convergono, utilizzando i criteri di convergenza.

(a)

∫ +∞

0

1

x3 + x+ 1dx (b)

∫ +∞

0

x2 + x+ 1

x3 + x2 + x+ 1dx

(c)

∫ +∞

−∞x2e−x2

dx (d)

∫ +∞

1

1 + e−x

xdx

(e)

∫ +∞

1

1 + e−2x

x2dx (f)

∫ +∞

1

1

x2 + 2−xdx

(g)

∫ 1

0

1

x3 − x2dx (h)

∫ 1

0

ln(1 + x)

x3/2dx

(i)

∫ 1

0

1√ex − 1

dx (j)

∫ +∞

0

1

x2 +√xdx

6 Soluzioni degli esercizi

Esercizio 4.1

(a)

∫ 1

0

√xdx. Si ha

∫ 1

0

√xdx =

x3/2

3/2

∣

∣

∣

1

0=

2

3.

(b)

∫ 7/2

0

13√1 + 2x

dx. Si ha

∫ 7/2

0

13√1 + 2x

dx =1

2

(1 + 2x)2/3

2/3

∣

∣

∣

∣

7/2

0

=3

4(82/3 − 1) =

9

4.

(c)

∫ 2

1

e1−x dx. Si ha∫ 2

1

e1−x dx = −e1−x∣

∣

∣

2

1= 1− 1/e.

24Il risultato e che l’integrale converge e vale 1ln 2

.




(d)

∫ 1/10

0

1

1 + 10xdx. Si ha

∫ 1/10

0

1

1 + 10xdx =

1

10ln(1 + 10x)

∣

∣

∣

1/10

0=

1

10ln 2. 25

(e)

∫ 1

0

x3

1 + x4dx. Si ha

∫ 1

0

x3

1 + x4dx =

1

4

∫ 1

0

4x3

1 + x4dx =

1

4ln(1 + x4)

∣

∣

∣

1

0=

1

4ln 2.

(f)

∫ 4

1

e√x

√xdx. Si ha

∫ 4

1

e√x

√xdx = 2

∫ 4

1

e√x

2√xdx = 2e

√x∣

∣

∣

4

1= 2e(e− 1).

L’integrale e stato risolto riconducendolo ad un integrale immediato del tipo∫

efDf . Si poteva anche risolverlocon un cambio di variabile. A tale proposito, ricordo che una buona procedura e la seguente: risolvere anzituttol’integrale indefinito, operando il cambio di variabile. Una volta trovata la primitiva, calcolare l’integrale definito.Alternativamente si puo anche operare il cambio di variabile sull’integrale definito, ma in questo caso occorrericordarsi di cambiare anche gli estremi di integrazione. Ad esempio, nell’integrale in questione, questo secondomodo di procedere porterebbe a scrivere (con la sostituzione

√x = t, da cui x = t2 e quindi dx = 2t dt)

∫ 4

1

e√x

√xdx =

∫ 2

1

et

t· 2t dt = 2

∫ 2

1

et dt = 2et∣

∣

∣

2

1= 2(e2 − e).

Cosı facendo non c’e ovviamente la necessita di tornare alla variabile x.

(g)

∫ 1

0

x2√

1 + x3 dx. Si ha

∫ 1

0

x2√

1 + x3 dx =1

3

∫ 1

0

3x2√

1 + x3 dx =1

3

(1 + x3)3/2

3/2

∣

∣

∣

∣

1

0

=2

9(2√2− 1).

(h)

∫ e

1

√lnx

xdx. Si ha

∫ e

1

√lnx

xdx =

∫ e

1

(ln x)1/2 · 1xdx =

(lnx)3/2

3/2

∣

∣

∣

∣

e

1

=2

3.

(i)

∫ e

1

x2 lnxdx. Qui serve prima un’integrazione per parti per risolvere l’integrale indefinito.

∫

x2 lnxdx = lnx · x3

3−∫

x3

3· 1x=

x3

3lnx− x3

9+ c =

1

9x3(3 lnx− 1) + c.

Quindi∫ e

1

x2 lnxdx =

(

1

9x3(3 lnx− 1)

∣

∣

∣

∣

e

1

=1

9(2e3 + 1).

(j)

∫ 2

1

x

1 + x2dx. L’integrale si riconduce facilmente ad un integrale immediato:

∫ 2

1

x

1 + x2dx =

1

2

∫

2x

1 + x2dx =

1

2ln(1 + x2)

∣

∣

∣

2

1=

1

2log

5

2.

25Il valore assoluto qui si puo omettere dato che l’argomento e positivo nell’intervallo di integrazione.




(k)

∫ −2

−3

1

x(x+ 1)dx. Si ha

∫ −2

−3

1

x(x + 1)dx =

∫ −2

−3

(

1

x− 1

x+ 1

)

dx =(

ln |x| − ln |x+ 1|∣

∣

∣

−2

−3= 2 ln 2− ln 3. 26

(l)

∫ 3

2

1

x(x − 1)2dx. Qui serve prima la decomposizione in frazioni semplici di 1/(x(x− 1)2). Poniamo

1

x(x − 1)2=

A

x+

Bx+ C

(x − 1)2.

Si ottieneA

x+

Bx+ C

(x− 1)2=

(A+B)x2 + (−2A+ C)x+A

x(x− 1)2

da cui

A+B = 0

−2A+ C = 0

A = 1

e cioe

A = 1

B = −1C = 2.

Pertanto∫ 3

2

1

x(x − 1)2dx =

∫ 3

2

(

1

x+

2− x

(x− 1)2

)

dx =

(

ln |x| − 1

x− 1− ln |x− 1|

∣

∣

∣

∣

3

2

= ln 3− 2 ln 2 + 1/2. 27

Esercizio 5.1

(a)

∫ 0

−∞ex dx. Si ha

∫ 0

−∞ex dx = lim

a→−∞

∫ 0

a

ex dx = lima→−∞

ex∣

∣

∣

0

a= lim

a→−∞(1− ea) = 1.

(b)

∫ +∞

4

1√xdx. Si ha

∫ +∞

4

1√xdx = lim

b→+∞

∫ b

4

1√xdx = lim

b→+∞2√x∣

∣

∣

b

4= lim

b→+∞(2√b− 4) = +∞.

(c)

∫ +∞

−∞xe−x2

dx. Si ha

∫ +∞

−∞xe−x2

dx =

∫ 0

−∞xe−x2

dx+

∫ +∞

0

xe−x2

dx

= lima→−∞

∫ 0

a

xe−x2

dx + limb→+∞

∫ b

0

xe−x2

dx

= lima→−∞

(

−1/2e−x2∣

∣

∣

0

a+ lim

b→+∞

(

−1/2e−x2∣

∣

∣

b

0

= −1/2 lima→−∞

(1 − e−a2

)− 1/2 limb→+∞

(e−b2 − 1)

= 0. 28

26Qui la scomposizione della funzione integranda in frazioni semplici era immediata, ma si poteva comunque procedere con la posizioneiniziale 1/(x(x + 1)) = A/x + B/(x + 1). Avremmo trovato A = 1 e B = −1. Si noti che in questo caso non si puo omettere il valoreassoluto nelle primitive, poiche la funzione e negativa nell’intervallo di integrazione.

27Qui l’integrazione del termine (2 − x)/(x − 1)2 si puo fare in modo “classico” con il cambio di variabile x− 1 = t, oppure osservandoche

2− x

(x− 1)2=

1− x+ 1

(x− 1)2=

1− x

(x− 1)2+

1

(x− 1)2= −

x− 1

(x− 1)2+

1

(x− 1)2= −

1

x− 1+

1

(x− 1)2.

Queste sono integrabili in modo immediato. In questo caso si poteva omettere il valore assoluto.




(d)

∫ +∞

1

1

x lnxdx. Si noti che la funzione e illimitata per x → 1+. Quindi occorre spezzare l’integrale in due

integrali, e per farlo possiamo scegliere un qualunque punto alla destra di 1 (prendiamo 2).

∫ +∞

1

1

x lnxdx =

∫ 2

1

1

x lnxdx+

∫ +∞

2

1

x lnxdx

= lima→1+

∫ 2

a

1

x lnxdx+ lim

b→+∞

∫ b

2

1

x lnxdx

= lima→1+

log lnx∣

∣

∣

2

a+ lim

b→+∞log lnx

∣

∣

∣

b

2.

Si vede allora che entrambi i limiti sono infiniti. Quindi l’integrale diverge.

(e)

∫ 1

0

1

x ln2 xdx. La funzione e illimitata per x→ 0+ e per x→ 1−. Anche qui occorre spezzare l’integrale in due

integrali, e per farlo possiamo scegliere un qualunque punto tra 0 e 1 (prendiamo 1/2).

∫ 1

0

1

x ln2 xdx =

∫ 1/2

0

1

x ln2 xdx+

∫ 1

1/2

1

x ln2 xdx

= lima→0+

∫ 1/2

a

1

x ln2 xdx+ lim

b→1−

∫ b

1/2

1

x ln2 xdx

= lima→0+

(

− 1

lnx

∣

∣

∣

∣

1/2

a

+ limb→1−

(

− 1

lnx

∣

∣

∣

∣

b

1/2

= lima→0+

(

1

ln 2+

1

ln a

)

+ limb→1−

(

− 1

ln b− 1

ln 2

)

.

Si vede allora che il primo integrale converge, mentre il secondo diverge. Quindi l’integrale dato diverge.

(f)

∫ 1

0

1

1− x2dx. La funzione non e limitata per x→ 1−. Quindi

∫ 1

0

1

1− x2dx = lim

b→1−

∫ b

0

1

1− x2dx

= limb→1−

∫ b

0

(

1/2

1− x+

1/2

1 + x

)

dx

= limb→1−

(

− 1/2 ln |1− x|+ 1/2 ln |1 + x|∣

∣

∣

b

0

= limb→1−

(

− 1/2 ln |1− b|+ 1/2 ln |1 + b|)

= +∞.

Esercizio 5.2

(a)

∫ +∞

0

1

x3 + x+ 1dx.

La funzione e continua e positiva in [0,+∞). Possiamo scrivere

1

x3 + x+ 1=

1

x3 + o(x3)≍ 1

x3, per x→ +∞.

Quindi per il criterio del confronto, dato che la funzione 1/x3 e integrabile all’infinito, l’integrale dato converge.

28Si noti che la funzione e dispari. Attenzione! Non e vero in generale che l’integrale generalizzato di una funzione dispari e sempre 0, inquanto l’integrale potrebbe non essere finito. E vero pero che, se una funzione dispari e integrabile in senso generalizzato, allora l’integralee zero.




(b)

∫ +∞

0

x2 + x+ 1

x3 + x2 + x+ 1dx.

La funzione e continua e positiva in [0,+∞). Possiamo scrivere

x2 + x+ 1

x3 + x2 + x+ 1=

x2 + o(x2)

x3 + o(x3)≍ x2

x3=

1

x, per x→ +∞.

Quindi per il criterio del confronto, dato che la funzione 1/x non e integrabile all’infinito, l’integrale dato nonconverge.

(c)

∫ +∞

−∞x2e−x2

dx.

Possiamo osservare che la funzione e pari. Allora consideriamo

∫ +∞

0

x2e−x2

dx. Facciamo un confronto con la

funzione 1/x2. Si ha

limx→+∞

x2e−x2

1/x2= lim

x→+∞

x4

ex2= lim

t→+∞

t2

et= 0.

Quindi abbiamo che x2e−x2

= o(1/x2), per x→ +∞. Allora per il criterio del confronto l’integrale dato converge.

(d)

∫ +∞

1

1 + e−x

xdx.

La funzione e positiva nell’intervallo di integrazione e

1 + e−x

x≍ 1

x, per x→ +∞.

Quindi l’integrale dato diverge.

(e)

∫ +∞

1

1 + e−2x

x2dx.

Questa volta1 + e−2x

x2≍ 1

x2, per x→ +∞.

Quindi l’integrale dato converge.

(f)

∫ +∞

1

1

x2 + 2−xdx.

La funzione e positiva nell’intervallo di integrazione e

1

x2 + 2−x=

1

x2 + o(x2)≍ 1

x2, per x→ +∞.

Quindi l’integrale dato converge.

(g)

∫ 1

0

1

x3 − x2dx.

La funzione e illimitata sia per x→ 0+ sia per x→ 1−. 29

Per x→ 0+ si ha1

x3 − x2=

1

−x2 + o(x2)≍ 1

x2

e quindi possiamo concludere che l’integrale dato diverge.30

Per x→ 1− avremmo avuto1

x3 − x2=

1

x2(x− 1)≍ 1

x− 1.

Anche da questa parte l’integrale diverge (in ogni caso, come detto nella nota, basta che uno dei due diverga perconcludere).

29Volendolo affrontare con la definizione questo andrebbe suddiviso in due integrali:∫ 1/20

e∫ 11/2

30Si noti che l’esercizio puo finire qui, nel senso che il risultato trovato a proposito del primo integrale (quello ad esempio tra 0 e 1/2)permette di concludere che l’integrale tra 0 e 1 non converge.




(h)

∫ 1

0

ln(1 + x)

x3/2dx.

La funzione e positiva nell’intervallo di integrazione e illimitata per x→ 0+.

ln(1 + x)

x3/2=

x+ o(x)

x3/2≍ 1

x1/2, per x→ 0+.

Quindi l’integrale dato converge. Si ricordi lo sviluppo di Taylor ln(1 + x) = x+ o(x), per x→ 0.

(i)

∫ 1

0

1√ex − 1

dx.

Funzione positiva e illimitata per x→ 0+.

1√ex − 1

=1

√

x+ o(x)≍ 1√

x, per x→ 0+.

Quindi l’integrale dato converge. Qui si ricordi lo sviluppo di Taylor ex = 1+ x+ o(x), da cui ex − 1 = x+ o(x)per x→ 0.

(j)

∫ +∞

0

1

x2 +√xdx.

Funzione positiva, ma illimitata per x→ 0+. 31

Per x→ 0+ si ha1

x2 +√x=

1√x+ o(

√x)≍ 1√

x

e quindi l’integrale in 0 converge. Per x→ +∞ si ha

1

x2 +√x=

1

x2 + o(x2)≍ 1

x2

e quindi l’integrale converge anche all’infinito. Pertanto l’integrale dato converge.

31Questo andrebbe suddiviso ad esempio in∫ 10

e∫+∞1

.


integrale di riemann indice -...

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