integrales 2015
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UNIVERSIDAD PARTICULAR SAN MARTIN
TEMA : INTEGRALES 2015
INTEGRALES
Definición de Antiderivada
F(x) es la antiderivada de la función f,
F´ (x) = f (x)
Nota: una vez que se haya encontrado la antiderivada de una función, la respuesta siempre puede comprobarse mediante la derivación para obtenerse la función original
INTEGRALES¿Cuál es la función que dio origen a la siguiente derivada:
f ´ (x) = 3 ?
Respuesta: F(x) =
Por que:
F ´(x) =
f ’ (x) = 3 También se cumple:
F(x) = k
f ’(x) = 3 En general, si F es una antiderivada de f, toda función obtenida al agregar una constante a F será también una antiderivada de f, luego tendremos que: F(x) + k es la solución general, donde k es una constante
INTEGRALES
2x
INTEGRALES INDEFINIDASSe denomina así a la antiderivada general de la función. Es decir, si: f(x) es F´(x) ; , entonces: G(x) = F(x) + C ; De la notación se lee:
Sign
o in
tegr
al
Inte
gran
do
Varia
ble
resp
ecto
a la
cua
l se
inte
gra
Antid
eriv
ada
o d
eriv
ada
de f(
x)
Cons
tant
e de
Inte
grac
ion
INTEGRAL INDEFINIDATambién se cumple:
Es decir, la derivada y la integral son operaciones inversas. Ejemplo: P = P = P =
INTEGRALES INDEFINIDASPropiedades elementales de la integral indefinida:
a) = x + c
b) = ax + c
c) (n n
d) = + c
INTEGRALES indefinidase)
f)
g) =
h) (
INTEGRALES INDEFINIDASHallar las siguientes integrales:
Solución
2) Solución = =
INTEGRALES INDEFINIDAS
3) Solución
4) Solución
INTEGRALES INDEFINIDAS
5) Solución
6)
INTEGRALES INDEFINIDAS7) Solución
8) Solución =
9) Solución
INTEGRALES INDEFINIDAS
10) Solución
INTEGRALES INDEFINIDAS
11) Solución : Si entonces se divide: = x +1 + Ahora integramos: dx =
dx = + x +
INTEGRAL INDEFINIDA
METODO DEL CAMBIO DE VARIABLE =
EJEMPLO 1. Hallar: Hacemos: u = du= 2xdx = = = + K
INTEGRAL INDEFINIDA2. Hallar: Solución
Hacemos: u = x – 2 du= dx u + 2 = x
= =
INTEGRAL INDEFINIDAINTEGRALES POR PARTES
Ejemplo 1. Hacemos: u = x dv = du = dx v= = x. = x - + K
u
dv
INTEGRAL INDEFINIDA2. Hallar: Solución
u = x dv = dx du = dx v = = x. -
= + c
INTEGRAL INDEFINIDA3.Hallar : Solución u = ln x du = dv = dx v = x = x = x = x
INTEGRAL DEFINIDA
Integral Definida Sea f(x) una función continua definida en el intervalo [a; b]. Supongamos que la función F es continua en [a; b] y con derivada F´(x) = f(x) para todo x [a: b]. ∈ La integral definida de f en [a; b] es: (Teorema Fundamental del Cálculo)
INTEGRALES DEFINIDASPROPIEDADES IMPORTANTES:
INTEGRALES DEFINIDASEJERCICIOS DE APLICACIÓN.En cada uno de los siguientes ejercicios calcular la integral:
Solución = = =
= 4 - =
1 1
INTEGRAL DEFINIDA
Solución = =
= = u dv u = dv = du = 2x dx v = Integrando por partes: = - = [ - =
INTEGRAL DEFINIDA
3.
Solución
= = = = - 3 =
INTEGRALES DEFINIDAS4. Solución = x + Entonces: = - = - [ - 2 ]
= - [ - 2(] = - [
00
1 1
INTEGRAL DEFINIDASuponga que el tamaño de una población, denominado N(t), cumple la ecuaciónpara t0.Determine N(t) si N(0)=10.Solución:N(t)=dt u= dv= du= 1/35 v= Integramos por partes: = uv - = - +c N(0)=10 c= - 7,14 = - - 7,14