integrales con funciones logarÃtmicas - unam
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INTEGRALES CON FUNCIONES LOGARÍTMICAS
• RECORDANDO QUE LA PARTE MEDULAR DE LA INTEGRACIÓN ES ENCONTRAR FUNCIONES QUE
AL SER DERIVADAS SEAN LAS FUNCIONES QUE SE ENCUENTRAN EN EL INTEGRANDO,
PODEMOS DEDUCIR FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN A PARTIR DE LAS DE DERIVACIÓN.
• EN CÁLCULO DIFERENCIAL SE ABORDÓ LA DERIVACIÓN DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS.
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DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS
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EJEMPLO
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EJEMPLO
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FUNCIONES EXPONENCIALES
• LAS FUNCIONES EXPONENCIALES TIENEN LA FORMA F(X) = AX, DONDE A > 0 Y A ≠ 1. AL
IGUAL QUE CUALQUIER EXPRESIÓN EXPONENCIAL, A SE LLAMA BASE Y X SE
LLAMA EXPONENTE.
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• CON LA DEFINICIÓN F(X) = AX Y LAS RESTRICCIONES DE A > 0 Y A ≠ 1, EL DOMINIO DE LA
FUNCIÓN EXPONENCIAL ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS NÚMEROS REALES. EL RANGO ES EL
CONJUNTO DE TODOS LOS NÚMEROS REALES POSITIVOS.
• EJEMPLOS DE FUNCIONES EXPONENCIALES:
LA SIGUIENTE GRÁFICA MUESTRA F(X) = 2X.
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PROPIEDADES
• 𝑎 = 𝑎 𝑎
• 𝑎 =
• 𝑎 =
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RELACIÓN ENTRE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES
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EJEMPLOS
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FUNCIONES LOGARÍTMICAS
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PROPIEDADES
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FUNCIÓN EXPONENCIAL: F(X) =
• LA FUNCIÓN EXPONENCIAL, ES CONOCIDA FORMALMENTE COMO LA FUNCIÓN REAL F(X) = EX, ES UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL CON BASE “E” DONDE ”E” ES EL NÚMERO DE EULER.
• EL NÚMERO “E”, TAMBIÉN CONOCIDO COMO NÚMERO DE EULER O CONSTANTE DE NAPIER ES UNO DE LOS NÚMEROS REALES MÁS RELEVANTES, CONSIDERADO COMO EL NÚMERO DEL CÁLCULO POR EXCELENCIA.
• SU VALOR APROXIMADO ES:
• E ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995
• EL DESCUBRIMIENTO DEL NÚMERO E SE LE ACREDITA A JAKOB BERNOULLI, QUE ESTUDIABA UN PROBLEMA LLAMADO INTERÉS COMPUESTO.
• “E” ES UN NÚMERO IRRACIONAL QUE PUEDE EXPRESARSE CON CUALQUIER GRADO DE EXACTITUD USANDO UNA SERIE INFINITA.
• A LA FUNCIÓN EXPONENCIAL SE SE SUELE LLAMAR FUNCIÓN EXPONENTE NATURAL.
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• SE DENOTA COMO F(X)=EX O EXP(X), DONDE E ES LA BASE DE LOS LOGARITMOS NATURALES Y
CORRESPONDE A LA FUNCIÓN INVERSA DEL LOGARITMO NATURAL.
• UNA DEFINICIÓN HABITUAL ES:
LN E = 1
• ESTA FUNCIÓN TIENE POR DOMINIO DE DEFINICIÓN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES,
Y TIENE LA PARTICULARIDAD DE QUE SU DERIVADA ES LA MISMA FUNCIÓN.
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FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL
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FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL• SE DENOMINA LOGARITMO NATURAL AL LOGARITMO CUYA BASE ES EL NÚMERO E.
• EL LOGARITMO NATURAL SE DENOTA COMO LN(X), COMO LOGE(X).
• EL LOGARITMO NATURAL DE UN NÚMERO X ES ENTONCES EL EXPONENTE AL QUE DEBE SER
ELEVADO EL NÚMERO E PARA OBTENER X. POR EJEMPLO, EL LOGARITMO NATURAL DE
7,38905... ES 2, YA QUE E2=7,38905... EL LOGARITMO NATURAL DE E ES 1, YA QUE E1=E.
• EL LOGARITMO NATURAL, LN(X), ES EL INVERSO DE LA FUNCIÓN
EXPONENCIAL E DEFINIDO EN X SÓLO PARA NÚMEROS REALES POSITIVOS.
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• EL LOGARITMO NATURAL ES UNA FUNCIÓN REAL CON DOMINIO DE DEFINICIÓN LOS
NÚMEROS REALES POSITIVOS.
• EL LOGARITMO NATURAL CORRESPONDE A LA FUNCIÓN INVERSA DE LA FUNCIÓN
EXPONENCIAL NATURAL:
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PROPIEDADES
• 𝑛𝐿𝑛𝑥 = 𝐿𝑛𝑥
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• DESDE EL PUNTO DE VISTA ANALÍTICO, PUEDE DEFINIRSE PARA CUALQUIER NÚMERO REAL
POSITIVO X>0 COMO EL ÁREA BAJO LA CURVA Y=1/T ENTRE 1 Y X.
• FUE LLAMADO FORMALMENTE COMO LOGARITMO HIPERBÓLICO,4 PUESTO QUE SUS VALORES
CORRESPONDÍAN CON LOS DEL ÁREA HALLADA BAJO LA HIPÉRBOLA.
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INTEGRALES CON FUNCIONES LOGARÍTMICAS
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