1

INTEGRASI NUMERIK

2

Metode secara numerik

A. Metode Pendekatan Persegi Panjang

B. Metode Trapesium

A. Metode Pendekatan Persegi Panjang

Bagi interval a sampai b atas n sub-interval Hitung nilai fungsi pada ujung-ujung sub-interval tersebut f (xk ) Hitung luas tiap-tiap persegi panjang tersebut Pk = h * f (xk ) Jumlahkan semua luas persegi panjang tersebut

( ) = na - bh

)f(x . h = L k

h

1k

METODE PERSEGI PANJANGMETODE PERSEGI PANJANG

3

METODE PERSEGI PANJANGMETODE PERSEGI PANJANG

Selain mengambil tinggi persegi panjang ke-k, sama dengan f (xk ) yaitu nilai fungsi pada ujung kanan sub-interval ke-k tersebut, juga dapat mengambil tinggi sama dengan f (xk-1 ) yaitu nilai fungsi pada ujung kiri sub-interval, ataupun juga pada :

2) / )x+ f((x k1-k yaitu nilai fungsi pada titik tengah sub-interval

Contoh:

Cari luas daerah di bawah kurva f(x) = x2, antara x = 0 sampai x = 4

Solusi: Interval (0, 4) dibagi menjadi 4 bagian sama panjang, n = 4 h = (4 - 0)/4 = 1 Luas persegi panjang P1 = 1 * f(1) = 1 * 1 = 1

P2 = 1 * f(2) = 1 * 4 = 4

P3 = 1 * f(3) = 1 * 9 = 9

P4 = 1 * f(4) = 1 * 16 = 16

Luas Total = 30

Penyimpangannya = 30 – 21.33 = 8.66

+

4

Jika interval (0, 4) dibagi menjadi 8 sub-interval, n = 8 h = (4 - 0)/8 = 0.5 Luas persegi panjang P1 = 1 * f(0.5) = 1 * 1 = 0.125

P2 = 1 * f(1.0) = 1 * 4 = 1

P3 = 1 * f(1.5) = 1 * 9 = 1.125

P4 = 1 * f(2.0) = 1 * 16 = 2

P5 = 1 * f(2.5) = 1 * 4 = 3.125

P6 = 1 * f(3.0) = 1 * 9 = 4.5

P7 = 1 * f(3.5) = 1 * 16 = 6.125

P8 = 1 * f(4.0) = 1 * 16 = 8

Luas Total = 26

Penyimpangannya = 26 – 21.33 = 4.67

Jika banyaknya sub-interval diperbanyak lagi, misal n = 40, diperoleh L = 22.14, dan untuk n = 100 diperoleh L = 21.6544

+

METODE PERSEGI PANJANGMETODE PERSEGI PANJANG

5

Jika diambil tinggi adalah nilai fungsi pada ujung kiri sub-interval

Luas P1 = 0.5 * f(0.0) = 0.5 * 0 = 0

P2 = 0.5 * f(0.5) = 0.5 * 0.25 = 0.125

P3 = 0.5 * f(1.0) = 0.5 * 1 = 1

P4 = 0.5 * f(1.5) = 0.5 * 2.25 = 1.125

P5 = 0.5 * f(2.0) = 0.5 * 4 = 2

P6 = 0.5 * f(2.5) = 0.5 * 6.25 = 3.125

P7 = 0.5 * f(3.0) = 0.5 * 9 = 4.5

P8 = 0.5 * f(3.5) = 0.5 * 12.25 = 6.125

Luas Total = 18

+

METODE PERSEGI PANJANGMETODE PERSEGI PANJANG

6

Jika tinggi sama dengan titik tengah interval, diperoleh:

Luas P1 = 0.5 * f(0.25) = 0.03125

P2 = 0.5 * f(0.75) = 0.28125

P3 = 0.5 * f(1.25) = 0.78125

P4 = 0.5 * f(1.75) = 1.53125

P5 = 0.5 * f(2.25) = 2.53125

P6 = 0.5 * f(2.75) = 3.78125

P7 = 0.5 * f(3.25) = 5.23125

P8 = 0.5 * f(3.75) = 7.03125

Luas Total = 21.2000

+

Perhatikan bahwa hasil terakhir ini adalah yang terbaik.

METODE PERSEGI PANJANGMETODE PERSEGI PANJANG

7

B. Metode Trapesium

Bagi interval (a, b) menjadi n sub-interval yang sama Hitung nilai fungsi pada ujung-ujung sub-interval tersebut f (xk ) Hitung luas trapesium Pk = h * f (xk )

Luas trapesium ke-1 = t1 = ½ ( f(x0) + f(x1) ) * h = h/2 ( f(x0) + f(x1) )

ke-2 = t2 = ½ ( f(x1) + f(x2) ) * h = h/2 ( f(x1) + f(x2) )

…………….

ke-n = tn = ½ ( f(xn-1) + f(xn) ) * h = h/2 (f(xn-1) + f(xn) )

Luas Total = t1 + t2 + ……. + tn

= h/2 ( f(x0) + f(x1) ) + h/2 ( f(x1) + f(x2) ) + ……. + h/2 (f(xn-1) + f(xn) )

( ) = na - bh

)f(x )f(x 2 )f(x 2

1

1nk0

n

k

h

METODE TRAPESIUMMETODE TRAPESIUM

8

METODE TRAPESIUMMETODE TRAPESIUM

9

Contoh:

Hitung luas daerah di bawah kurva f(x) = x2, antara x = 0 sampai x = 4

Solusi: Interval (0, 4) dibagi menjadi 4 sub-interval, n = 4 h = (4 - 0)/4 = 1

Luas total

xk 0 1 2 3 4

f(xk) 0 1 4 9 16

)f(x )f(x 2 )f(x 2

3

14k0

k

h

22 16 9)4(1 2 0 2

1

METODE TRAPESIUMMETODE TRAPESIUM

10

Rumusan yang paling akurat untuk integrasi numerik Tinjauan Gauss dalam perhitungan integral F(x) dx berdasarkan nilai f(x) dalam sub interval yang

tidak berjarak sama, melainkan simetris terhadap titik tengah interval

I = f(x) dx

= (a-b) [R1 (U1 ) + R2 (u2) + … + Rn (Un)]

U1,U2,…,Un adalah titik dalam interval [-1/2,1/2] (U) = f(x) = f[(b-a)u + ]X = (b-a)u + (Tersedia tabel nilai numerik parameter U dan R)

METODE KUADRATUR GAUSS

ba

ba

2

ba

2

ba

11

ALGORITMA KUADRATUR GAUSS

Algoritma:a) Inisialisasi tabel koefisien gaussb) Definisikan fungsi integranc) Tentukan batas pengintegralan a dan bd) Inisialisasi : sum = 0e) Hitung : sum = sum + Ri x (Ui), i = 1 sampai nf) Hitung : I = (b-a) x sumg) Tulis hasil integral

12

METODE SIMPSON

Paling luas pemakaiannya Untuk pendekatannya memakai parabola yang melalui 3

ordinat dari 2 interval berdampingan Eksak untuk polinim derajat dua atau kurang Lebih teliti dan rumus tidak lebih rumit dari metode

trapesium n = banyak interval h =

I = (Y0 + 4Y1 + 2Y2 + 4Y3 + 2Y4 +…+ 2Yn-4 + 4Yn-3 + 2Yn-2 +

4Yn-1 + Yn) Kesalahan pemotongan : eT ~ (b-a) f (Q), a<Q<b

n

ab

3

h

IV

180

4h

13

ALGORITMA METODE SIMPSON

Algoritma:a) Definisikan fungsi integranb) Tentukan batas pengintegralan a dan b dan

jumlah segmen n (harus genap)c) Hitung : h = (b-a)/nd) Inisialisasi sum = F (a) + 4 x F (a+h)e) Hitung untuk i = 2 sampai i = n-1 dengan

indeks pertambahan sama dengan 2 sum = sum + 2 x F (a+ixh) + 4 x F (a+(i+1)h)

f) Hitung nilai integral I = h/3 x (sum + F(b))g) Tulis hasil perhitungan