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Intégration d'un filtre de Kalman dans le modèlehydrologique HBV pour la prévision des débitsRIM OUACHANI a , ZOUBEIDA BARGAOUI a & TAHA OUARDA ba Ecole Nationale d'Ingénieurs de Tunis (ENIT), Laboratoire de Modélisation enHydraulique et Environnement (LMHE) , BP 37, Le Belvédère, 1002, Tunis, Tunisie E-mail:b Institut National de Recherche Scientifique—Eau, Terre et Environnement , 490 Rue dela Couronne, Québec, Québec, G1K 9A9, CanadaPublished online: 18 Jan 2010.

To cite this article: RIM OUACHANI , ZOUBEIDA BARGAOUI & TAHA OUARDA (2007) Intégration d'un filtre de Kalman dansle modèle hydrologique HBV pour la prévision des débits, Hydrological Sciences Journal, 52:2, 318-337, DOI: 10.1623/hysj.52.2.318

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Hydrological Sciences–Journal–des Sciences Hydrologiques, 52(2) avril 2007

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Intégration d’un filtre de Kalman dans le modèle hydrologique HBV pour la prévision des débits RIM OUACHANI1, ZOUBEIDA BARGAOUI1 & TAHA OUARDA2

1 Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis (ENIT), Laboratoire de Modélisation en Hydraulique et Environnement (LMHE), BP 37, Le Belvédère, 1002 Tunis, Tunisie [email protected]

2 Institut National de Recherche Scientifique – Eau, Terre et Environnement, 490 Rue de la Couronne, Québec, Québec G1K 9A9, Canada Résumé Un filtre de Kalman standard a été développé en vue de la mise à jour de certaines variables d’état de la fonction du sous-sol et de la sortie du modèle HBV. La version globale du modèle HBV, fonctionnant au pas de temps horaire, a été calée par essais et erreurs sur les bassins tunisiens des Oueds Barbara et Mellila. Le pas de temps journalier a été considéré pour évaluer la qualité de la recon-stitution. Le modèle a été ensuite couplé avec le filtre en reformulant le modèle conceptuel en un système d’équations d’état dynamiques et en implémentant la procédure du filtre de Kalman. L’hydrogramme des débits horaires constitue la mesure introduite pour la correction des états. Malgré un choix suivant la littérature des erreurs sur les mesures et les états du système, ce filtre a permis de réduire nettement l’incertitude sur le débit engendré par le processus pluie–débit et la pluie d’entrée. Mots clefs assimilation des données; filtre de Kalman; modèle HBV; mise à jour; modélisation pluie–débit; temps réel

Integration of a Kalman filter in the HBV hydrological model for runoff forecasting Abstract A standard Kalman filter was developed with the purpose of updating certain state variables of the lower zone function and the output of the HBV model. The global version of the HBV model, functioning with an hourly time step, was calibrated by trial and error to the Tunisian basins of the Barbara and Mellila Wadis. The daily time step was considered for evaluating the quality of the data reconstitution. The model was then coupled with the Kalman filter by reformulating the conceptual model as a system of dynamic state equations and implementing the Kalman filter procedure. The hourly discharge hydrograph constitutes the introduced measurement to correct state variables. Despite a literature-driven selection of the errors on measurements and system states, this filter clearly allowed reduction of the uncertainty on discharge produced by the rainfall–runoff process and the precipitation input. Key words data assimilation; Kalman filter; HBV model; updating; rainfall–runoff modelling; real time INTRODUCTION La gestion des crues nécessite des prévisions en temps réel des débits des bassins versants. Le filtre de Kalman (Kalman, 1960) est l’un des outils statistiques utilisés à cet effet depuis 1960 dans le domaine de la propagation des crues et depuis 1980 dans le domaine de la transformation pluie–débit. Il permet de prendre en compte l’information acquise en temps réel pour l’amélioration de la prévision des débits futurs. La modélisation de la réponse d’un bassin versant aux forçages atmosphériques, ou modélisation pluie–débit, en raison de la complexité des processus transformant la pluie en débit, introduit beaucoup d’incertitudes dans les sorties (Drécourt, 2003). Nash & Sutcliffe (1970) ont déjà affirmé que la prévision opérationnelle des crues exige, en plus du modèle pluie–débit, une méthode pour la correction continue de la prévision à partir de l’erreur observée des premières prévisions (feedback). Ainsi la performance de la prévision des modèles pluie–débit peut être améliorée avec l’aide de cette information provenant de ce feedback. Les procédures de mise à jour actualisent une ou plusieurs des variables suivantes: variables d’entrée, variables d’état, para-mètres, ou variables de sortie.

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Parmi les techniques permettant de réduire ces incertitudes figurent les procédures de mise à jour qu’on peut combiner avec le modèle pluie–débit. Ces procédures peuvent être représentées soit par des méthodes automatisées (par exemple le filtre de Kalman) soit par des méthodes manuellement interactives (par exemple l’essai-erreur). Le filtre de Kalman est un algorithme d’estimation optimale des plus utilisés pour l’estimation de l’état du système à partir de (Bras & Rodriguez, 1993): – l’équation d’état ou d’évolution et la loi de comportement pour les sorties en

fonction des variables d’état; – les hypothèses sur les caractéristiques des erreurs de modélisation et de mesure; et – les informations sur les conditions initiales. On parle de filtrage lorsque l’instant auquel l’estimation est réalisée correspond à celui où les observations sont obtenues. Cet article présente les résultats du développement du filtre de Kalman en vue de la mise à jour des variables d’état du modèle HBV. En première partie, une brève revue de l’utilisation du filtrage de Kalman en modélisation pluie–débit est présentée. En deuxième partie des rappels sur le modèle hydrologique conceptuel HBV et sur l’algorithme du filtre de Kalman sont exposés. La troisième partie est consacrée à la méthodologie suivie pour l’intégration du filtre de Kalman dans un modèle tel que HBV. Enfin, les résultats obtenus pour un bassin versant frontalier de Tunisie sont discutés. ETAT DE L’ART DE L’APPLICATION DU FILTRE DE KALMAN EN HYDROLOGIE Les techniques d’assimilation des données sont couramment employées dans des domaines aussi différents que l’hydrologie, la médecine ou la physique spatiale, notamment pour l’estimation des trajectoires lorsque les moyens de mesure sont multiples (Boudevillain, 2003). Le filtre de Kalman est adapté au filtrage linéaire récursif de données discrètes. Le filtre fournit une estimation du vecteur d’état et de sa matrice de covariance des erreurs qui contient les informations concernant la précision des variables. Pour les systèmes linéaires, c’est le filtre de Kalman standard qui est appliqué. Cependant, pour les systèmes non-linéaires, une variante du filtre, qui est le filtre de Kalman étendu, et dans laquelle le modèle est linéarisé pourrait être envisagée. Plusieurs nouvelles variantes du filtre de Kalman sous-optimal ont été développées durant les dernières années, tels que le filtre de Kalman d’ensemble (EnKF) et le filtre de rang réduit. Ces variantes ont été principalement appliquées en météorologie et en océanographie (Hoteit, 2001), mais jusqu’ici leur emploi en modélisation hydrologique est limité. Depuis la fin des années 1970, de nombreuses études utilisant le filtre de Kalman dans la modélisation pluie–débit (Bàlint, 2002) ont été présentées dans la littérature. Un grand nombre de ces études a utilisé des modèles très simples de prévision du débit, tel que les modèles à moyenne mobile auto-regressive (ARMA) et les modèles à réservoir linéaire. Peu d’études ont été réalisées sur le filtre de Kalman en combinaison avec des approches plus avancées de modèle conceptuel pluie–débit. Quelques exemples importants et représentatifs des filtres de Kalman en combinaison avec des

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modèles pluie–débit sont les contributions de Wood & Szöllösi-Nagy (1978) et Kitanidis & Bras (1980a,b). Un filtre Kalman étendu a été intégré dans le Système de Prévision de Rivière du Service National Météo (NWSRFS) des Etats Unis qui est basé sur le modèle conceptuel non-linéaire Sacramento d’humidité du sol. L’état du système y est représenté par le contenu en eau dans les différents réservoirs constituant le modèle et les sorties sont les débits. Wood & O’Connell (1985) ont intégré dans le NWSRFS un filtre de Kalman standard. Ils ont testé différentes méthodes pour l’estimation simultanée des variables d’état et des paramètres. Les concepts de l’hydrogramme unitaire et de la précipitation antérieure ont été utilisés par Husain (1985) avec un filtre de Kalman standard pour simuler divers événements de crue. Georgakakos (1986a,b) a développé un modèle hydrométéorologique conceptuel qui consiste en un modèle de la précipitation, un modèle d’humidité du sol (une modification du modèle Sacramento d’humidité du sol) et un modèle d’acheminement de l’écoulement. Le modèle stochastique a été traduit en une forme d’état spatial et a été utilisé en combinaison avec un filtre de Kalman étendu, donnant une bonne performance comparativement à d’autres méthodes de prévision. Le même modèle conceptuel a été utilisé par Puente & Bras (1987) pour tester plusieurs variantes du filtre de Kalman non-linéaire. Georgakakos & Smith (1990) ont utilisé le même modèle d’humidité du sol et un modèle d’écoulement en combinaison avec un filtre de Kalman étendu. Ils rapportent une prévision généralement améliorée et concluent que cette approche est faisable dans un environnement opérationnel pour la prévision en temps réel. Lee & Singh ont intégré un filtre de Kalman standard avec le modèle de la cascade de réservoirs linéaires de Nash (Lee & Singh, 1998) et un modèle à réservoir (Lee & Singh, 1999). Ils ont trouvé que la précision des deux modèles a augmenté, son incertitude ayant été réduite. Un filtre de Kalman standard a été intégré avec succès dans le modèle conceptuel pluie–débit IHACRES par Schreider et al. (2001). Quesney et al. (2000) ont utilisé un filtre de Kalman étendu pour l’assimilation de mesures d’humidité de surface (par télédétection Radar ERS/SAR) dans un modèle hydrologique conceptuel global. Un modèle dynamique linéaire spatio-temporel a été développé par Amisigo & van de Giesen (2005) pour combler les lacunes dans des séries de débit journalier. Ils utilisent à cet effet un filtre de Kalman pour l’estimation des variables d’état. Il y a peu d’exemples qui illustrent la capacité d’un filtre de Kalman d’ensemble en modélisation pluie–débit. Cependant un des exemples en hydrologie est présenté par Hartnack & Madsen (2001) où un filtre de Kalman d’ensemble a été utilisé pour améliorer la performance de la partie hydraulique du modèle MIKE 11. Les tests qui ont été exécutés admettent l’existence d’erreurs dans la condition aux limites du débit du modèle MIKE 11 et proposent de les rectifier en utilisant le niveau d’eau et les mesures de débit. Les auteurs concluent que la performance totale du filtre était très satisfaisante dans tous les tests réalisés. Un autre exemple tout récent est présenté par Moradkhani et al. (2005) qui utilisent une approche d’estimation paramètre-état basée sur le filtre de Kalman d’ensemble (EnKF) pour l’estimation séquentielle à la fois des paramètres et des variables d’états d’un modèle hydrologique conceptuel. Troch et al. (2003), dans un essai sur les méthodes d’assimilation dans la modélisation hydrologique, affirment que l’accent devrait être mis dans les études futures sur l’intégration à l’échelle du bassin versant du filtre de Kalman à travers la modélisation pluie–débit.

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LE MODELE HBV DE SIMULATION DES DEBITS Présentation du modèle Le modèle hydrologique universel HBV (Lindström, 1997) est un modèle conceptuel global à l’échelle du bassin versant qui est capable de calculer le débit pour divers forçages et mécanismes. Ce modèle est connu pour sa robustesse, malgré sa simplicité relative. Pour simplifier d’avantage le modèle, certaines composantes peuvent être rendues inactives. Ce modèle simule le débit horaire en utilisant comme entrées la température et la précipitation horaires, ainsi que les estimations mensuelles de l’évapotranspiration potentielle. Il prend en compte les caractéristiques topographiques comme la superficie et l’altitude pour la discrétisation spatiale du domaine d’étude en zones homogènes. Le modèle HBV consiste en une fonction de production pour l’écoulement vertical (Fig. 1) où la fonte de la neige est calculée par la méthode des degrés-jours, où la recharge de la nappe et l’évapotranspiration réelle sont des fonctions du stockage en eau actuel dans le réservoir sol et où la formation de l’écoulement de surface se fait à travers trois réservoirs dont le premier est non-linéaire. Pour les fonctions de production neige et sol, les calculs sont réalisés pour chaque zone. Ainsi le modèle est semi-distribué alors que les paramètres de la fonction de transfert sont globaux par sous-bassin. Le modèle HBV et ses variantes ont été appliqués dans un grand nombre de pays et d’environnements (Graham, 2000). Bergström (1992) mentionne des applications à plus de 200 bassins dans 30 pays, y compris des bassins nivaux et glaciaires des Alpes, de l’Himalaya, de Nouvelle-Zélande, du Groenland et d’Amérique du Nord, des bassins arctiques en Scandinavie et en Alaska du nord, et des bassins à environnements de basse latitude tant humides que semi-arides comme au Panama. Le modèle HBV a également été appliqué à des bassins de la Tunisie (Ouachani, 2003, 2004). Les équations du modèle Le bilan hydrique prend en compte la répartition des précipitations (pluie ou fonte de neige) entre écoulement direct sur les zones imperméables, interception, recharge de l’humidité du sol dans la zone non saturée ZNS (réservoir sol), évapotranspiration réelle, recharge de la nappe (réservoir nappe), écoulement superficiel, rapide et lent (réservoirs de transfert) (Fig. 1). Les différents termes du bilan sont calculés à partir d’une formulation semi-empirique ou conceptuelle. La couche végétale qui représente la fonction d’interception, permet l’écoulement de surface et la génération du débit direct. Le débit de ruissellement Qs est calculé en fonction de la précipitation moyenne d’entrée Pe, d’un certain seuil de ruissellement direct ou paramètre de végétation HL1 et d’un coefficient de ruissellement AUFT.

1( ) /s c STQ AUFT Pe HL A TΔ = − (1)

où Ac est la superficie du sous-bassin et TST est le pas de temps de calcul du modèle. La précipitation modifiée PE alimentant le sol est calculée par:

1 1(1 )( )PE HL AUFT Pe HL= + − − (2)

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Percolation (cperc2)

Percolation (cperc1)

…

Excès d’eau dans le sol

Zone nZone 2

Évapotranspiration

Évaporation Interception

Eau dans le sol

Réservoir supérieur(K1, α)

Réservoir inférieur1 (K2)

Réservoir inférieur2 (K3)

Fonction de transfert (MAXBAS)

Entrées Températurede l’air Précipitation Évaporation potentielle

Zone 1

Débit direct

Débit de base 1

Débit de base 2

Processus

Débit total

Débit de surface

Fig. 1 Structure du modèle HBV

Le taux d’évapotranspiration potentielle journalière EVP, qui est une entrée du modèle, est calculé en utilisant les valeurs mensuelles à long terme, corrigées en fonction de la température mensuelle moyenne TM et de la température moyenne journalière T:

(1 ( ))MEVP CFA T T EP= + − (3)

où CFA est un coefficient d’ajustement. L’évapotranspiration réelle est un terme source pour le réservoir sol. Le contenu d’humidité de sol (SW va de zéro (pour un sol sec) à un maximum FC représentant la capacité de stockage de la ZNS. Le taux d’évapotranspiration réelle (EVR) augmente linéairement de zéro quand le sol est sec au taux potentiel atteint pour un contenu d’humidité critique LP (équation (4)). Il peut être fixé à des valeurs plus hautes dans des zones forestières et diminuer avec l’altitude.

si

si

SWEVR EVP SW LPLP

EVR EVP SW LP

⎧ ⎛ ⎞= <⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎨

⎪ = ≥⎩

(4)

La recharge de l’humidité du sol calcule l’augmentation du débit de recharge ΔQ. A cet effet, le rapport d’une nouvelle précipitation modifiée provenant de la fonction d’interception ΔPE (pluie et/ou neige) à ΔQ dépend de façon non-linéaire de l’humidité du sol SW (équation (5)). En effet, le rapport est nul quand le sol est sec

Sortie

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alors qu’il est égal à l’unité quand le sol est à la capacité maximale de stockage FC. Un paramètre β détermine la forme de la courbe dans l’intervalle [0,1].

β

FCSW

PEΔQΔ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (5)

L’eau non retenue pour la recharge de la ZNS est acheminée par deux réservoirs, un supérieur interprété conceptuellement comme celui de l’écoulement hypodermique et un inférieur représentant l’écoulement de base. Entre ces deux réservoirs a lieu la percolation vers la nappe, qui est représentée comme fonction linéaire de STW1 (le niveau du premier réservoir) avec un coefficient de percolation cper1:

1 1 1 Percolation cper STW= (6)

La sortie du réservoir supérieur Q1 vers la rivière suppose un réservoir non-linéaire dans la version HBV-96. Dans la version utilisée le réservoir est linéaire (α = 0).

1 1 1 1 ( ) Q K STW α+= (7)

Dans des versions précédentes le réservoir était linéaire jusqu’à ce qu’un deuxième exutoire plus rapide entre en opération au-dessus d’un niveau indiqué. La version PULSE utilise un seul réservoir, mais avec trois niveaux de sortie se vidant progressivement et plus rapidement du plus haut au plus bas. C’est la version que nous utilisons dans le cadre de ce travail. Sachant que cper2 représente le coefficient de percolation du réservoir 2 et STW2 son niveau, l’eau passant du deuxième au troisième réservoir est donnée par:

222 STWcpernPercolatio = (8)

Les débits sortants du deuxième et du troisième réservoir sont des fonctions des niveau de chaque réservoir (STW2 et STW3) et des coefficients de vidange dans le réseau hydrographique (K2 et K3) et sont représentés respectivement par:

2 2 2 Q K STW= (9)

3 3 3 Q K STW= (10)

Pour passer de la colonne de sol au versant, les écoulements lent et rapide sont superposés puis transformés par un filtre triangulaire (hydrogramme unitaire de paramètre MAXBAS). La propagation du nœud d’un versant au nœud d’un versant situé plus à l’aval se fait par la méthode de Muskingum modifiée de paramètres k et x. Les paramètres du modèle

Le modèle utilise dix-huit paramètres qui commandent: (a) la fonte et l’accumulation de la neige (TT et Degd), (b) l’interception par la couverture végétale (Vinterc), (c) le ruissellement direct (AUFT et HL1), (d) le réservoir sol (LP, CFA, β), (e) la correction de l’évapotranspiration (CEF), (f) la vidange des réservoirs souterrains (α, K1, K2, K3, cperl et cper2), (g) le transfert au niveau d’un sous-bassin (MAXBAS) au nœud de la rivière, et (h) le transfert dans le réseau hydrographique (k et x).

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Ils sont susceptibles d’être classés en paramètres de production ayant un effet sur le bilan d’eau (Cmelt, TT, FC, β, LP, CEF, HL1, AUFT, cper1, cper2, K1, K2, K3 et α), et paramètres de transfert ayant un effet sur la forme de l’hydrogramme de sortie (cper1, cper2, K1, K2, K3, α, k et x). Ce modèle adopte au total cinq variables d’état donnant les niveaux des différents réservoirs (niveau du réservoir d’interception du réservoir sol (stockage d’humidité), et les trois niveaux des réservoirs du sous-sol). Ne disposant que des précipitations journalières, la pluie horaire est obtenue en supposant une répartition uniforme sur la journée. Ainsi, le pas de temps de calcul du modèle est horaire mais les résultats sont évalués au pas de temps journalier. Des pas de temps plus courts que la journée ont été utilisés dans quelques applications (par exemple Hinzman & Kane, 1991). LE FILTRE DE KALMAN

Convenablement réécrites, les équations du modèle HBV de la transformation pluie–débit peuvent être mises sous une forme représentant un système dynamique. Les variables d’état y sont les niveaux des réservoirs et les sorties intermédiaires, la pluie et la température y sont les variables d’entrée et enfin les mesures de débit y sont les variables de sortie. Système dynamique

Dans sa formulation générale, un système dynamique est en effet décrit par la transition d’un vecteur d’état à l’instant t connaissant l’état à t − 1:

tttttt wUΓXΦX ++= −1 (11)

où Xt est le vecteur d’état à l’instant t de dimension (n × 1); Φt est la matrice de transition des états à t (n × n); Γt est la matrice de transition des entrées (m × n); et Ut est le vecteur des entrées. Les informations concernant la précision sur le vecteur d’état sont contenues dans la matrice de covariance des erreurs Pt. Nous considérons que les erreurs du modèle wt sont non biaisées (de moyenne nulle) et suivent une distribution gaussienne. Leur matrice de covariance est définie par Qt = E[wtwt

T]. La loi de comportement relie les variables d’état du système aux observations (mesures):

= +tt t tHY X v (12)

où Yt est le vecteur des mesures à l’instant t, et Ht est la matrice de transition que nous considérons indépendante du temps. Comme la mesure est, elle aussi, imparfaite, elle s’accompagne d’une erreur vt dont les caractéristiques sont également supposées sans biais et distribuées selon une loi de Gauss. On définit la matrice de covariance des erreurs de mesure par Rt = E[vtvt

T]. Algorithme du filtre de Kalman

L’algorithme du filtre de Kalman est bien décrit par Boudevillain (2003) et Welch & Bishop (2003). Le filtre fonctionne suivant deux étapes. La première est une phase de

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prévision; la seconde, une phase de validation suivie d’une phase d’estimation. S’agissant d’un filtre récursif (itératif), l’état estimé à l’instant t − 1 est utilisé dans la phase de prévision à l’instant t. Phase de prévision La première étape consiste à prévoir la valeur du vecteur d’état (Xt

P) au moyen de l’équation d’état au temps t (équation (13)) ainsi que sa précision (équation (14)), à travers sa matrice de covariance des erreurs (Pt

P), à partir de l’état estimé au temps t − 1 (Xt-1

E):

ttEtt

Pt UΓXΦX += −1 (13)

tTt

Ett

Pt QΦPΦP += −1 (14)

Phase de validation Elle consiste à calculer l’innovation Innt et le gain du filtre Kt selon les équations (15) et (16) à partir de la mesure disponible.

Pt t t tInn Y H X= − (15)

-1( )= +P Pt t t

T Tt t t tHK P H P H R (16)

Phase d’estimation La phase d’estimation utilise le gain et l’innovation précéd-emment calculés pour mettre à jour les prévisions (équations (17) et (18)):

( )Ptttt

Pt

Et XHYKXX −+= (17)

( )ttP

tE

t HKIPP −= (18) COUPLAGE DU MODELE HBV AVEC LE FILTRE DE KALMAN (HBV-K)

Le couplage consiste en l’écriture du modèle conceptuel sous la forme dynamique et l’implémentation de la procédure de filtre de Kalman. L’écriture du modèle sous forme dynamique utilise les équations d’actualisation des variables d’état (nivaux des réservoirs, sorties intermédiaires), ainsi que les équations reliant les variables d’état aux mesures (débit total). Ce qui est plus problématique est le choix pertinent des variables d’état qui seront utilisées pour le filtre de Kalman. Compte tenu des non-linéarités dans le modèle, il est en effet impensable d’appliquer le filtre à toutes les variables d’état du modèle. Choix des variables d’état En notant par Ut le vecteur d’entrée, Xt le vecteur d’état, Yt le vecteur des sorties et f et g des fonctions non-linéaires et discontinues, les équations des entrées, des variables d’état et des sorties du modèle sont transformées en des équations de la forme générale des équations (19) et (20):

1= ( , ) + t t t tX f X U w− (19)

relativement aux variables d’état et aux entrées, et ( ) ttt vXgY += (20)

relativement aux observations.

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Tableau 1 Nomenclature des variables d’états.

Variables Nomenclature Signification Qs x1 Débit direct (pour chaque zone) PE x2 Partie de la précipitation (sans débit direct) ou entrée

vers le sol SW x3 Stock d’humidité dans le réservoir sol Qd x4 Débit vers les réservoirs du sous-sol (pour chaque

zone) EV x5 Évaporation STW1 STW2 STW3 x6 x7 x8 Stock d’eau dans les trois réservoirs de transfert

Variables d’états

Q1 Q2 Q3 x9 x10 x11 Débit à partir des trois réservoirs du sous-sol Pe u1 Précipitation horaire T u2 Température moyenne mensuelle

Entrées

EVP u3 Évaporation potentielle mensuelle QT z1 Débit de sortie aux nœuds Sorties EVR z2 Évapotranspiration réelle

Nous adoptons en première analyse tous les niveaux de réservoirs et toutes les sorties intermédiaires comme variables d’état et les débits aux nœuds du bassin comme sorties. Il en résulte 11 variables d’état et deux sorties. Ces variables seront notées xi (i = 1,11) et ui (i = 1,3) et sont décrites dans le Tableau 1. En notant u1 la précipitation horaire d’entrée Pe, x1 le débit de surface QS, x2 la précipitation horaire modifiée alimentant le sol PE, μ le paramètre AUFT et enfin x2

0 le paramètre HL1; et sachant que A_C représente la superficie du sous basin et TST le pas de temps de calcul, les équations aux variables d’états de la fonction d’interception sont données par:

01 1 1 1 2

02 1 1 1 2

( ) ( 1) ( ( ) ) _ /

( ) ( ) ( ( ) )STx t x t g u t x A C T

x t u t g u t x

= − + −

= − −

μ

μ (21)

où g1 est une fonction indicatrice de l’état du système. Ou, sous une autre forme aux derivées partielles:

01 1 1 2

02 2 1 1 1 2

( ( ) ) _ /

( ) ( ( ) )STx g u t x A C T

x x u t g u t x

= −

= − + − −

&

&

μ

μ (22)

Ces transformations permettent d’aboutir à la matrice de transition des variables d’état et des entrées d’une part et des sorties ou observations (débits aux nœuds) d’autre part. Cependant, ce choix des variables de sortie présente des défauts majeurs: tout débit intermédiaire entre deux réservoirs ne peut être considéré comme sortie du modèle puisqu’il va participer à la variation des variables d’état. Au contraire, il doit être considéré comme variable d’état du système. McLaughlin (2002) affirme que beau-coup de problèmes qui surviennent dans l’assimilation des données en hydrologie sont le résultat direct de ce type de non-linéarité. Pour dépasser ces limites, nous avons utilisé dans une deuxième tentative la méthode de linéarisation statistique décrite par Crandall (2001, 2004) pour les systèmes mécaniques non-linéaires en utilisant des distributions de Gauss. Cette tentative de linéarisation de la variable d’état représentant le niveau du réservoir sol, n’a pu aboutir en raison de la très haute non-linéarité, ce qui nous a amené à envisager la stratégie d’assimilation que nous décrivons dans la suite.

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327

Sous Modèle A-1

Evaporation [x5]

Précipitation

Débit direct [x2] Couche végétale [x1]

Q1 [x9]

Débit total [z1]

Réservoir sol [x3]

Réservoir du sous-sol 1 [x6]



Q2 [x10]

Q3 [x11]

Débit de surface [x4] Sous Modèle A-2

Evapotranspi-ration [z2]

Fig. 2 Sous modèles d’assimilation du modèle HBV.

Stratégie d’assimilation proposée Il est proposé de subdiviser la transformation opérée par la fonction sol en deux sous-modèles. Un sous-modèle A-1 ayant comme entrées la précipitation, la température et l’évapotranspiration potentielle et pour sorties d’une part l’évapotranspiration réelle et d’autre part le débit alimentant le sous-sol. Le sous-modèle A-2 aura pour entrée la sortie du premier sous-modèle A-1, c’est-à-dire le débit alimentant le sous-sol (x4), et pour sorties les débits aux nœuds (Fig. 2). Dans le sous-modèle A-2, les variables d’état mises à jour sont x6, x7, x8, x9, x10 et x11 (voir l’Annexe pour les équations aux variables d’états), dont trois sont des niveaux de réservoirs et trois sont des débits. D’autre part, l’entrée est le débit x4 et la sortie est la somme des débits sortants. Seule la mise à jour du sous-modèle A-2 fait l’objet de ce travail. APPLICATION ET ANALYSE DES RESULTATS Zone d’étude Les bassins frontaliers des Oueds Barbara (217.5 km2) et Mellila (104 km2) (Fig. 3) sont situés à l’extrême nord-ouest Tunisien, sur la frontière Tuniso-Algérienne, près de la région de Ain Drahem (Kallel, 1997). Le bassin de Mellila est formé par des forêts denses de chênes liège et de chênes zen. Celui de Barbara est à végétation plus dispersée.

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Fig. 3 Situation géographique de la zone d’étude (Ouachani, 2004).

Le réseau pluviométrique dans ces bassins est relativement limité vu le relief très accidenté dans ces régions forestières. Ce réseau est assez ancien (la station de Ain Drahem a été ouverte en 1885), toutefois une dizaine de pluviomètres seulement contrôle la région. Le réseau hydrométrique, très limité, est formé de deux stations de mesure: la première (Jouaouda) contrôle une partie d’environ la moitié du bassin de l’Oued Barbara et la deuxième (Hammam Bourguiba) est sur l’Oued Mellila. Une mobilisation des eaux se fait grâce à deux barrages situés sur ces oueds. Le volume mobilisé sur l’oued Barbara est estimé à 100 × 106 m3 alors que celui sur Mellila est de 30 × 106 m3 (Abdelhedi, 2003). D’après le réseau climatologique de l’Institut National de la Météorologie Tunisien (INM), la station climatologique de Ain Drahem fournit les températures minimales et maximales journalières. Pour la modélisation hydrologique, nous disposons d’une série hydro-pluviométrique de quatre années d’observation de la Direction Générale des Ressources en eau (DGRE), s’étalant de 1994–1995 à 1997–1998, et une série de température de la même longueur. Le calcul se fait au pas de temps horaire et les sorties sont analysées au pas journalier. Le modèle a été calé à l’échelle globale pour chaque bassin contrôlé. La reconstitution des débits moyens journaliers observés est réalisée pour la période 1994–1995 à 1996–1997. La validation du modèle HBV utilise l’année 1997–1998. Les paramètres issus du calage sont en Tableau 2.

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329

Tableau 2 Paramètres calés sur la période 1994/95 à 1996/97.

Paramètres Signification Unités Limites (Reihan & Kovalenko, 2001)

Jouaouda Hammam Bourguiba

α Coefficient puissance de vidange du réservoir supérieur

- - 0 0

AUFT Coefficient de ruissellement - 100 0.6 0.01 β Paramètre puissance du

modèle de teneur en eau du sol

- 1–6 1.05 2.2

CFA Coefficient de correction de l’évapotranspiration

- - 0.030 0.042

DD Quantité d’eau provenant de la neige accumulée pour 1°C au-dessus de TT

mm/°C/j 1–10 1–10 1–10

FC Seuil de saturation du sol mm 50–500 200 200 HL1 Seuil du ruissellement direct mm/h 1.2 0.1 K1 K2 K3

Coefficients de vidange dans le réseau hydrographique

j-1 0.1–0.5 0.05–0.3 0.001–1

0.01 0.1 1

0.04 0.1 1

MAXBAS Temps de base de l’hydrogramme unitaire

H 1–7 2 2

cper1 cper2

Coefficients de percolation mm/j 0–4 10-2 9 × 10-2

10-2 9 × 10-4

LP Seuil à partir duquel l’évapotranspiration est potentielle

mm 0.3 FC à FC 60 160

Vinterc Seuil maximal de stockage dans le réservoir d’interception

mm 0–0.2 0–0.2 0–0.2

TT Température critique de fonte de la neige

°C –1.5 à 2.5 0 0

x, k Paramètres du modèle Muskingum

x (-), k (j-1)

0–.5 pour x 0.2 15

0.2 15

Résultat du calage et analyse des erreurs sans mise à jour Nous présentons l’hydrogramme du débit calé (Fig. 4(a) et (b)) aux deux stations hydrométriques pour l’année 1994–1995. L’analyse des graphiques des résidus (Fig. 5(a) et (b)) en fonction des débits simulés montre une hétéroscédasticité en calage de même qu’en validation. En effet les erreurs augmentent en valeur absolue pour les forts débits pour les deux stations. Ces résidus ont une moyenne de 1.26 et –0.15, pour chaque station. L’analyse des corrélogrammes des résidus (Fig. 6(a) et (b)) à l’aide du coefficient de corrélation de Pearson met en évidence un modèle autorégressif d’ordre 3. On remarque que les erreurs sont très corrélées ρ > ρ(95%) = 0.051, ce qui motive la mise à jour. Résultats du couplage (HBV en mode de mise à jour, HBV-K) La procédure du filtre de Kalman pour la mise à jour des variables d’état du sous-modèle A-2 a été appliquée pour la crue du 30 novembre au 19 décembre 1997 pour

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Rim Ouachani et al.


330

Jouaouda

0

5

10

15

20

25

30

1-sept.-94 31-déc.-94 1-mai-95 30-août-95Temps (Jours)

Déb

it (m

3 /s)

0

40

80

120

160

Pluie (mm

)(a)

Hammam Bourguiba

0

5

10

15

20

25

01-sept.-94 31-déc.-94 01-mai-95 30-août-95

Temps (Jours)

Déb

it (m

3/s)

0

40

80

120

160

Pluie (mm

)

(b)

Fig. 4 Hydrogramme des débits moyens journaliers: (a) Jouaouda, et (b) Hammam Bourguiba (période de calage).

-35-25-15

-55

152535

0 5 10 15 20 25 30 35

Débit simulé (m3/s)

Rés

idus

(m3 /s

)

-35-25-15

-55

152535

0 5 10 15 20 25 30 35

Débit simulé (m3/s)

Rés

idus

(m3 /s

)

Fig. 5 Résidus en période de validation: (a) Jouaouda, et (b) Hammam Bourguiba.

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30Temps (Jours)

Coe

ffic

ient

de

corr

élat

ion

R2Seuil MaxSeuil Min

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30Temps (Jours)

Coe

ffic

ient

de

corré

latio

n

R2Seuil MaxSeuil Min

Fig. 6 Corrélogramme des résidus: (a) Jouaouda, et (b) Hammam Bourguiba.

laquelle on dispose de l’hydrogramme horaire. Cette crue a un débit maximum horaire de 98.8 m3/s et un débit maximum journalier de 21.9 m3/s. Elle est constituée de deux pics. La mise à jour du débit horaire a été réalisée en considérant un état initial des réservoirs à l’échelle journalière. Les résultats ont été obtenus en choisissant un horizon de mise à jour variable entre 1 et 6 h. Ainsi la correction des états du système se fait de 1 à 6 h selon l’horizon choisi. Les résultats obtenus ont été comparés avec le débit observé pour chaque horizon aux échelles horaire et journalière.

(b) (a)

(a) (b)

(b) (a)

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331

Interprétation des résultats La mise à jour a concerné le vecteur d’état formé des trois niveaux de réservoirs et les trois débits engendrés. Les états initiaux donnés par 0

TX ont été choisis tels que obtenus par le modèle après calage et validation sur la série de données.

[ ]4667640 1000.9;1079.4;1078.5;1003.5;1026.2;1003.9 −−−−−− ××××××=TX

La matrice de covariance des erreurs de mesure Rt du vecteur des erreurs de mesure vt est supposée R0 = 1. La matrice de covariance des erreurs du système de modèle Qt du vecteur des erreurs du système wt est supposée Q0 = 1. La matrice de mesure reliant le vecteur des sorties au vecteur d’état est Ht = [34.72; 34.72; 34.72; 0; 0;0]. Les états les plus sensibles sont ceux reliés au réservoir 1 (x6 et x9) dont le premier est le niveau du réservoir et le deuxième est le débit engendré. La dynamique de la variable d’état x6 (STW1) estimée (mise à jour) par filtre de Kalman et réelle (obtenue par le modèle) est illustrée par la Fig. 7. Les débits mis à jour à l’échelle horaire sont reportés à la Fig. 8, comparativement aux débits mesurés et simulés. On voit que la mise à jour améliore l’estimation mais

0 50 100 150 200 250 300

0.5

1

1.5

2

Temps (heures)

Niv

eau

du ré

serv

oir S

W1

(mm

)

SW1-ESW1-R

Fig. 7 Variable d’état (niveau du réservoir du sous-sol 1, STW1): STW1-E estimée par mise à jour et STW1-R réelle simulée par le modèle.

0 50 100 150 200 250 3000

20

40

60

80

100

Temps (heures)

Déb

it ho

raire

(m3 /s

)

PrévuSimuléObservé

Fig. 8 Débit horaire mesuré, simulé et mis à jour.

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que cette amélioration reste insuffisante du fait que la pluie horaire n’est pas connue. En effet, la précipitation n’étant introduite qu’à l’échelle journalière, elle est supposée uniformément répartie sur toute la journée. Malgré tout, à l’échelle journalière, les débits moyens après mise à jour ont des erreurs nettement plus faibles (Fig. 9 et Tableau 3). Le coefficient de Nash-Sutcliffe (resp. l’erreur sur le volume) entre le débit moyen journalier mesuré et celui simulé est de 58.5% (resp. 18.4%.) alors que celui avec le débit mis à jour du modèle HBV-K est de 91.2% (resp. 14.4%). Le Tableau 3 prouve que le filtre de Kalman réduit énormément l’incertitude sur le débit engendré par le processus pluie–débit et la pluie d’entrée. Le premier essai a été de corriger les états du système à chaque heure (un pas d’une heure est très efficace pour une mise à jour mais pas très opérationnel dans le cas d’étude). Ainsi on a essayé d’augmenter cet horizon jusqu’à 6 h. La comparaison est effectuée à l’échelle horaire ainsi qu’à l’échelle journalière.

01-Déc-97 03-Déc-97 05-Déc-97 07-Déc-97 09-Déc-97-10

0

10

Temps (Jours)

Rés

idus

(m3 /s

) SimulationPrévision

Fig. 9 Biais sur le débit moyen journalier.

Tableau 3 Performance du modèle.

C.N. Critère de performance (%) Simulation Mise à jour 1 Nash-Sutcliffe 58.5 91.2 2 Coefficient de corrélation 98.9 99.5 3 Erreur quadratique moyenne 15.35 3.27 4 Biais 1.94 1.52 5 Erreur sur le volume 18.4 14.4

01-Déc-1997 03-Déc-1997 05-Déc-1997 07-Déc-1997 09-Déc-19970

5

10

15

20

25

30

Temps (Jours)

Déb

it m

oyen

jour

nalie

r (m3 /s

)

ObservéSimulé (HBV)Prévu (HBV-KF)

Fig. 10 Débit moyen journalier mesuré, simulé et mis à jour.

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Une comparaison de l’hydrogramme observé, de l’hydrogramme calculé par le modèle HBV, et de l’hydrogramme calculé par le modèle HBV en utilisant le filtre de Kalman est réalisée d’après la Fig. 10. L’hydrogramme obtenu avec le modèle en mode de mise à jour est en meilleure concordance avec l’hydrogramme observé que ne l’est celui obtenu par le modèle uniquement. Ceci est notamment vrai pour les pointes de crue. Ceci prouve que la procédure de mise à jour améliore nettement le résultat et permet de bien réduire l’incertitude. La Fig. 11 illustre l’innovation du filtre. Comme, cette innovation à l’échelle horaire est assez variable, ceci nous permet de déduire que si on utilisait le hyétogramme horaire on aboutirait à de meilleurs résultats et à une innovation plus petite. La Fig. 12 illustre les covariances d’erreurs d’estimation pour le niveau du réservoir 1 et son débit sortant. Elle montre une allure qui débute élevée mais qui se stabilise au bout d’un certain temps. Ceci indique que l’initialisation de la matrice de covariance des erreurs est a priori mal choisie. L’incertitude provient essentiellement du fait qu’on n’a pas d’information sur l’humidité du sous-sol. Ceci nous permet de déduire qu’un calage du filtre de Kalman est nécessaire pour aboutir à des résultats très satisfaisants. Nous remarquons également que le gain du filtre (pour les variables d’état STW1 et Q1) se stabilise à la faible valeur de 0.1 × 10-4 (Fig. 12). Ceci montre que, dans ce cas, les observations n’interviennent que faiblement pour modifier la valeur prévue par le

0 50 100 150 200 250 300-40

-20

0

20

40

60

Temps (Heures)

Inno

vatio

n IN

N(t)

Fig. 11 Innovation du filtre.

0 50 100 150 200 250 3009.5998

9.5998

9.5998

9.5998

9.5998

9.5998x 10

-3

Temps (Heures)

Gai

n de

Kal

man

K(t)

0 50 100 150 200 250 3000.96

0.98

1

1.02

1.04

1.06x 10

-4

Temps (Heures)

Cov

aria

nce

des

erre

urs

P(t)

Fig. 12 Gain du filtre et covariance des erreurs d’estimation sur la variable x1.

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modèle et donc qu’il leur est accordé une confiance moindre qu’au modèle; alors que le gain sur les autres variables mises à jour (x6 à x11) s’approche de 1. Ainsi, la plus grande confiance est accordée aux observations. Jusqu’à ce niveau on a adopté une entrée à ce sous-modèle mis à jour qui n’est pas accompagnée d’une erreur. En réalité, les entrées sont dans la majorité des temps associées à des erreurs de mesure et de calcul (l’estimation de la pluie moyenne des sous-bassins). De futurs travaux pourront être consacrés à considérer les erreurs associées aux entrées. CONCLUSION A notre connaissance, le modèle HBV n’a jamais été utilisé en mode de mise à jour avec un filtre de Kalman. L’utilisation du modèle HBV s’est toujours limitée aux modèles autorégressifs tels que ARMA. Le travail présenté dans le présent article constitue une première expérience avec cette technique d’assimilation des données. Plusieurs auteurs ont déjà recommandé l’utilisation du filtre de Kalman (vu son efficacité) en combinaison avec un modèle de transformation pluie–débit. La procédure présentée dans le présent article a été testée pour la mise à jour des variables d’état (x6 à x11) du modèle HBV. Elle constitue une solution possible pour l’analyse de l’incertitude dans les modèles hydrologiques conceptuels. Le modèle HBV couplé au filtre de Kalman donne des résultats encore meilleurs que ceux du modèle HBV en mode simulation uniquement, en termes d’hydrogramme aux échelles journalière et horaire et en termes d’erreurs. Remerciements Ce travail s’inscrit dans le cadre du projet “Les outils d’aide à la prévision hydrologique” financé par l’Agence Universitaire de la Francophonie (AUF). REFERENCES Abdelhedi, T. (2003) Inondation et gestion. Séminaire à l’occasion de la Journée Météorologique Mondiale 2003 “Le

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ANNEXE Les équations de la fonction sol Nous changeons de notation pour quelques paramètres: x3

0 = FC; U20: température

moyenne mensuelle; x50: seuil d’évapotranspiration. Alors le système d’équations de

cette fonction est le suivant sachant que les fonctions indicatrices h1 et h2 prennent des valeurs de 0 ou 1 selon l’état du système et c’est le même cas pour tout le reste des fonctions indicatrices:

Dow

nloa

ded

by [

DU

T L

ibra

ry]

at 2

3:03

06

Oct

ober

201

4

http://www.imag.fr/

Rim Ouachani et al.


336

0 34 2 1 3 3 2 2 0

3

0 3 33 3 1 3 2 20 0

3 3

( 1)( ) ( ) ( ( 1) ) ( )(1 ( ) )

(A1)( 1) ( 1)

( ) ( 1) (1 ) ( )(1 ( ) )

x tx t x t h x t x h x t

xx t x t

x v t x t h x h x tx x

β

β

−⎧ = + − − + −⎪⎪⎨ − −⎪ = − + − + −⎪⎩

Les équations de la fonction d’évapotranspiration On aboutit à la première équation de sortie représentant l’évapotranspiration réelle et une équation finale pour la variable d’état niveau du réservoir sol.

( ){ }{ } ( ){ }

( ){ }

03 11 12 4 13 2 2 12

0 01 3 2 1 12 11 13 2 2 12

011 12 4 13 2 2 12

( ) (1 ) 1 ( ( ) ) / 1

( ) (1 ) 1 ( ( ) ) (A2)

(1 ) 1 ( (

) ) / 1

x t h h h h CFA u t u PEV PW h

h x h u t h h h h CFA u t u PEV h

h h h h CFA u t u PEV PW h

⎡ ⎤= − + − + − + −⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + − − + − −⎣ ⎦

⎡ ⎤− + − + − + −⎣ ⎦

31 3 2 1 0

3

( 1) ( 1) ( 1) ( )( )

x th x t h u t

xβ⎧ ⎫−

+ − −⎨ ⎬⎩ ⎭

{}

05 5 12 13 2 2

04 3 5

( ) ( 1) ( ) (1- ) 1 ( ( ) - ) (A3)

( ( ) / ( )) / _

3x t x t h x t h U t U

PEV h h x t x t A A C

⎡ ⎤= − + + +δ⎣ ⎦

⎡ ⎤+⎣ ⎦

Les équations des débits des trois réservoirs de transfert dans le sol Les équations générales des débits et des stocks en eaux des trois réservoirs de transfert pour chaque zone sont avec les nouvelles notations:

(1 )9 1 1 6 4 2 6 4( ) ( ( -1) ( ) / _ ) ( ( -1) ( ) / _ ) (A4)x t l K x t x t A A C l x t x t A A Cα+= + + +

{ []}

10 3 2 7 1 1 2 1 6 4

(1 )1 1 6 4 2 6 4

( ) ( -1) ( ) ( ( -1) ( ) / _ ) - (A5)

( ( ( -1) ( ) / _ ) ( ( -1) ( ) / _ ) )

x t h K x t h cper h l x t x t A A C

l K x t x t A A C l x t x t A A Cα+

= + + +

+ + +

11 3 3 8 1 2 2 3 2

7 1 1 2 1 6 4(1 )

1 1 6 4 2 6 4

( ) { ( 1) ( ) (1- ) [ ( 1) ( ) ({ ( -1) ( ) / _ ) - (A6)

( ( ( -1) ( ) / _ ) ( ( -1) ( ) / _ )})]}

x t f K x t f cper f h Kx t h cper h l x t x t A A C


= − + +− + + +

+ + +

{ [{(

}) }

8 3 3 8 1 2 2 3 2 7

1 1 2 1 6 4 1 1 6

(1 )4 2 6 4

( ) (1- ) ( 1) ( ) (1- ) ( 1)

( ) ( -1) ( ) / _ ) - ( ( ( -1) (A7)

( ) / _ ) ( ( -1) ( ) / _ ) ]

x t f K x t f cper f h K x t

h cper h l x t x t A A C l K x t

x t A A C l x t x t A A Cα+

= − + + − +

+ + +

+ +

(A1)

(A2)

(A3)

(A4)

(A5)

(A6)

(A7)

Dow

nloa

ded

by [

DU

T L

ibra

ry]

at 2

3:03

06

Oct

ober

201

4



337

{[

]}

7 4 1 2 3 2 7 1 1 2 1

6 4 1 1 6

(1 )4 2 6 4

( ) ( - ) (1- ) ( -1) ( )

( ( -1) ( ) / _ ) - ( ( ( -1) (A8)

( ) / _ ) ( ( -1) ( ) / _ ) )

x t f f cper h K x t h cper h l

x t x t A A C l K x t

x t A A C l x t x t A A Cα+

= + +

+ +

+ +

{[ ]}

6 1 1 1 6 4

(1 )1 1 6 4 2 6 4

( ) (1- ) ( ( -1) ( ) / _ ) - (A9)

( ( -1) ( ) / _ ) ( ( -1) ( ) / _ )

x t h cper l x t x t A A C


= +

+ + +

Reçu le 24 octobre 2005; accepté le 16 novembre 2006

(A8)

(A9)

Dow

nloa

ded

by [

DU

T L

ibra

ry]

at 2

3:03

06

Oct

ober

201

4

intégration d'un filtre de kalman dans le modèle hydrologique hbv pour la prévision des...

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