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Especialización Gerencia de Proyectos Esumer - Carlos Mario Morales C © 2009
Curso Matemáticas Financieras
Capitulo 3
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Contenido
Capitulo 3 - Interés Compuesto Concepto de interés compuesto Tasa efectiva de interés Tasa Nominal Equivalencia de tasas de interés Ecuaciones de valor
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Interés Compuesto
ConceptoEn general las operaciones financieras se realizan utilizando interés compuesto
En el interés compuesto cada vez que se liquidan los intereses, éstos se acumulan al capital para formar un nuevo capital (monto), sobre el cual se vuelven a liquidar los intereses.
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Interés Compuesto
ilustraciónSe invierte un capital de $1000 al 10% trimestral, durante un año.
$1000
1
10%
2 3 4
10% 10% 10%
100 100 100 100
1000
Trimestres
Interés Simple
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Interés Compuesto
$1000
1 2 3 4
1000
1100
1331
1210
1464,1
Trimestres
Interés Compuesto
Al final del primer trimestre se liquidan los primeros intereses (1000x0,1 = 100) y se acumulan al capital para obtener el primer monto 1.100; al final del 2do periodo se liquidan los segundos intereses sobre el monto anterior (1100x0,1 = 110 y el acumulado será 1210; y así sucesivamente hasta 1464,10
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Interés Compuesto
Periodo Capital Inicial Interés Capital Final
1 P PiS1 = P + Pi S1 = P(1+i)
2 P(1+i) P(1+i)i S2 = P(1+i) + P(1+i)i S2 = P(1+i)2
3 P(1+i)2 P(1+i)2 i S2 = P(1+i)2 + P(1+i)2iS2 = P(1+i)3
…. ….. ….. …….
N P(1+i)n-1 P(1+i)n-1 i Sn = P(1+i)n
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Interés Compuesto
Formula de Interés CompuestoLa formula básica del interés compuesto, relaciona el valor futuro (S), con el capital inicial (P), la tasa de Interés y el número de periodos.
S = P(1+i)n
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Interés CompuestoTasa EfectivaLa tasa del periodo (n), la denominamos tasa efectiva y se representa por i.
Si “n” son trimestres entonces X% Efectivo trimestral (ET)
Si “n” son meses entonces X% Efectivo Mensual (EM)
Si “n” son semestres entonces X% Efectivo semestral (ES)
Si “n” es anual se puede omitir el calificativo, es decir: X% Efectivo (E o EA)
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Interés CompuestoTasa NominalLa tasa del año la denominaremos tasa nominal y se representa por la letra j. ya que en el año pueden haber varias liquidaciones, es necesario indicar cuales hay.
Denominación:
Si i=10% ET (Efectiva trimestral) ya que el año tiene 4 trimestres entonces se puede nombrar la Tasa Nominal como: j= 40%CT o 40%NT o 40%TV
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Interés Compuesto
Relación entre Tasa Efectiva y NominalLa tasa Nominal es igual a la efectiva multiplicada por el número de periodos (m) que hay en un año.
J = i x m i = j / m
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Ejemplo 1
Dado el 3% EM, entonces m=12 y J= 36%CM ó 36%NMV
Dado el 5% EB (Bimestral), entonces m=6 y J= 30%NMV
Dado el 28% NS, entonces m=2 y i= 28/2 = 14% ES
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Ejemplo 2Se invierten $200 millones en un deposito a termino fijo (CDAT) a 6 meses en un banco que paga el 28,8% NM. Determine el monto de la entrega al vencimiento
$ 200 millones
¿ S? Tasa Nominal Mensual
Periodos Meses; m=12
Interés Efectivo: i=28,8/12 = 2,4% EM
Número de periodos de Inversión: 6
S = P(1+i)n = 200(1+0,024)6
S = 230,584 millones
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Ejemplo 3¿Cuál debe ser el deposito que se haga hoy en una cuenta de ahorros que paga el 8% ET, para retira una suma de $2´000.000 al cabo de 18 meses?
$ P
S=2´000.000
Periodos trimestres; m=6
Tasa de Interés = 8% ET
P = S/(1+i)n = 2´000.000/(1+0,08)6
P = 1´260.339,25 millones
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Ejemplo 4¿A que tasa Efectiva Mensual se triplica un capital en 2 años y medio?
$ X
S=3X
1 2 … 29 30
S = P(1+i)n
3x = x(1+i)30
3 = (1+i)30
30√3 = (1+i)30√3 - 1= i
i = 3,7%
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Ejemplo 5¿En cuanto tiempo se duplica un capital al 24% NMV?
$ x
S=2x
1 2 … n-1 n
i efectivo mensual = 24/12 = 2%EM
2x = x(1+0,02)n
2 = (1+i)n
Log 2 = Log (1+0,02)n
Log 2 = n Log (1+0,02)
n= 35
j=24 NMV
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Equivalencia de TasasTasas equivalentes son aquellas que teniendo diferente efectividad producen el mismo monto al final del año.
S = P(1+i1)m1
S = P(1+i2)m2
(1+i1)m1= (1+i2)m
2
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Interés Compuesto
Equivalencia entre tasas
j
i i
j1
2 3
4
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Interés CompuestoEjemplo 6Dado el 5% EB, calcular una tasa efectiva trimestral equivalente
(1+i1)m1= (1+i2)m
2
(1+0,05)6 = (1+i2)41,34 = (1+i2)4√1,340 = (1+i2) √1,340 -1= i2i2 = 7,6%
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Interés CompuestoEjemplo 7Dado el 36%NM; hallar una Tasa Nominal Semestral equivalente
La tasa del 36% NM la convertimos en efectiva: i = j/m
= 36/12 = 3% EM.(1+0,03)12 = (1+i2)2
(1+0,03)12 = (1+i2)2
i2= 19,4% ES
J = ix2 = 0,388 = 38,8 NS
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Interés CompuestoRelación entre tasa anticipada y tasa vencidai= I/P (1)
I = Sd (2)
P = VL = S(1-d) (3)
(2) Y (3) en (1) i = Sd/S(1-d) = d/(1-d)
d tasa de descuento es una tasa anticipada por lo cual la podemos llamar ia, remplazando, obtenemos:
i = ia/(1- ia)ia= i / (1+
i)
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Relación entre tasa anticipada y tasa vencida (Nominal)
ja= iax m ia= ja / m
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Equivalencia entre tasas
j 1
2 3
4
i i
j
iaja iaja
5 6 7 8
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Ejemplo 8Dado el 36%NM; hallar: Una Tasa Efectiva Anual
Partimos de j = 36% NM Convertimos j a i, i = j/m = 36/12 = 3%
EM(1+0,03)12 = (1+i2)1
i2= 42,57% EA
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Ejemplo 9Dado el 36%NM; hallar: Una Tasa Efectiva Bimestral
Partimos de j = 36% NM Convertimos j a i, i = j/m = 36/12 = 3% EMHallamos i EB; (1+0,03)12 = (1+i2)6 =
6,09%EB
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Ejemplo 10Dado el 36%NM; hallar: Una Tasa Nominal Semestral
Partimos de j = 36% NM Convertimos j a i, i = j/m = 36/12 = 3% EMHallamos i ES; (1+0,03)12 = (1+i2)2 =
19,40%
Convertimos i en j; j = ix2 =19,4x2 = 38,81%NS
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Interés CompuestoEjemplo 11Dado el 36%NM; hallar: Una Tasa Nominal Semestre AnticipadoPartimos de j = 36% NM
Convertimos j a i, i = j/m = 36/12 = 3% EMHallamos i ES; (1+0,03)12 = (1+i2)2 =
19,40%Convertimos i en ia; ia = i/(1+i) = 16,26%
ESAConvertimos ia en ja = iax2 =
32,5%NSA
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Ecuaciones de ValorPermite igualar valores ubicados en una sola fecha denominada fecha focal (ff).
Fecha Focal: fecha en la cual debe hacerse la igualdad entre ingresos y egresos.
Principio Fundamental: establece que la sumatoria de los Ingresos debe ser igual a la sumatoria de los egresos ubicados ambos en la fecha focal
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Ecuaciones de Valor
∑ Ingresos = ∑ Ingresos (en ff)
∑ Deudas = ∑ Pagos (en ff)
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Interés CompuestoEjemplo 12Una persona se comprometió a pagar b$250.000 en tres meses, $300.000 en ocho meses y $130.000 en 15 meses. Ante la dificultad de cumplir con las obligaciones tal como están pactadas solicita una nueva forma de pago así: $60.000 hoy; $500.000 en doce meses y el saldo en 18 meses. Si el rendimiento normal de la moneda es del 3% EM, determinar el valor del saldo
3 8
12 18
15
250.000 300.000 130.000 Situación Inicial
60.000 500.000 X
Situación propuesta
Fecha Focal
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Interés CompuestoEjemplo 12 – Solución
3 8
12 18
15
250.000 300.000 130.000
60.000 500.000 X
Análisis 1) Deuda mes 3 – trasladada al mes 8; será
250.000(1+0,03)5
2) Deuda mes 8 – No requiere conversión
3) Deuda mes 15 – trasladada al mes 8; será 130.000(1+0,03)-7
4) Pago mes 0 – trasladado al mes 8; será: 60.000(1+0,03)8
5) Pago mes 12 – trasladado al mes 8; será: 500.000(1+0,03)-4
6) Pago mes 18- trasladado al mes 8; será: X(1+0,03)-10
250.000(1+0,03)5 +300.000+ 130.000(1+0,03)-7=60.000(1+0,03)8+ 500.000(1+0,03)-4+ X(1+0,03)-10
X =235.549,16
Ecuación de Valor