intern´ı modely v neˇzivotn´ım pojiˇstˇen´ımazurova/imrijen15.pdf · chain ladder reserve...
TRANSCRIPT
-
Interńı modely v neživotńım pojǐstěńı
23.10. a 30.10.2015
-
Interńı modely v neživotńım pojǐstěńı
Deterministická bilance v čase t = 0 slouž́ı jako výchoźı báze pro
daľśı modelováńı. Pomoćı stochastického modelu zisk̊u a ztrát se
projektuj́ı hodnoty aktiv a pasiv v čase t = 1. Simulace vycházej́ı z
p̌redpokladů o novém obchodu i stávaj́ıćım kmeni. Výsledky
simulaćı se použij́ı k analýze rozděleńı vlastńıho kapitálu v čase
t = 1.
oceněńı fér hodnotou (co nejbĺıže pozorovaným tržńım cenám)
ekonomické scéná̌re - modelováńı exterńıch stochastických faktor̊u
-
Pojistně technické riziko
-riziko rezerv (nedostatečnost rezerv pro stávaj́ıćı kmen)
-riziko pojistného (nedostatečnost pojistného pro nový obchod)
-riziko vývoje škod (odlǐsný vývoj ve výplatách škod od očekáváńı)
Pojistně technický výsledek (PTV)
=pojistné (P) - náklady (N) - výplaty škod (S) - změna škodńı
rezervy (∆ R)
Všechny hodnoty očǐstěné od zajǐstěńı (netto pojistně technický
výsledek), pro jednoduchost se neuvažuje p̌renáška pojistného.
-
Pojistně technické riziko
S = S1 + S2,
S1 - výplaty za škody nastalé v aktuálńım roce, S2 - výplaty za
škody vzniklé v p̌redchoźıch letech.
∆R = ∆R1 + ∆R2,
∆R1 - změna rezervy na škody vzniklé v aktuálńım roce, ∆R2 -
změna rezervy na škody z p̌redchoźıch let.
(tvorba +, použit́ı -)
PTV = (P − N − S1 −∆R1) + (−S2 −∆R2)
Výraz v prvńı závorce odráž́ı riziko pojistného, výraz v druhé
závorce riziko rezerv.
-
Rezervy
R(0) - hodnota rezervy v čase 0 (deterministická)
R1 - rezerva v čase 1 (náhodná)
S1 - platby za škody během roku (náhodné)
Výsledek vývoje škod na konci roku:
V1 = R1 + S1 − R(0)
Klademe-li
R(0) = E R1 + E S1,
lze psát
V1 = (R1 − E R1) + (S1 − E S1).
-
Př́ıklad
Př́ıklad má ilustrovat závislost výsledku na použité metodě
stanoveńı rezervy. Předpokládá se vývoj škod po dobu 3 let.
Celkové škody modelovány normálńım rozděleńım se sťredńı
hodnotou 1000 a rozptylem 0,25.
Na konci prvńıho roku vyplaceno 0% z celkových škod, na konci
druhého roku vyplaceno v pr̊uměru 75% celkových škod, p̌ri použit́ı
normálńıho rozděleńı s rozptylem 0,2.
Uvažujeme pouze škody vzniklé v jednom roce.
Budeme uvažovat 2 r̊uzné metody odhadu celkových plněńı.
-
Př́ıklad
Obě metody odhaduj́ı na konci prvńıho roku celková plněńı
hodnotou 1000.
Odhad celkových plněńı na konci druhého roku:
Metoda 1: dosud vplacené škody/0,75
Metoda 2: max(dosud vyplacené škody,1000).
Tabulky ukazuj́ı výsledky pro několik prvńıch simulaćı, uváděné
sťredńı hodnoty a směrodatné odchylky byly zjǐstěny z 1000
simulovaných scéná̌r̊u.
-
Metoda 1
-
Metoda 2
-
Volatilita škodńıch rezerv
Možné p̌ŕıstupy ke zjǐst’ováńı volatility rezerv:
1) explicitńı vzorec pro odhad volatility - Mack̊uv model
2) odhad založený na simulaćıch - metoda bootstrap
ad 1)
T. Mack: Distribution-free Calculation of the Standard Error of
Chain Ladder Reserve Estimates. Astin Bulletin, Vol. 23, No. 2,
1993.
Mackova metoda je založena na stochastickém modelu pro metodu
CHL.
-
Volatilita škodńıch rezerv - Mackova metoda
Mackova metoda je dále rozv́ıjena v článku
M. Merz, M.V. Wütrich: Modelling the claims development result
for solvency purposes. CAS E-Forum, Fall 2008.
Autǒri se zamě̌rili na výsledek vývoje škod za jeden rok
CDRj(t + 1) = E[Rtj |Dt ]− (Xj ,t−j+1 + E[Rt+1j |Dt+1]),
tj. rozd́ıl mezi rezervou na škody z roku z roku j stanovenou v čase
t na základě vývoje škod do času t (Dt) a součtem rezervy na
škody z roku j stanovené v čase t + 1 a výplat za škody z roku j
uskutečněných v roce (t,t+1).
-
Nový obchod
Modelováńı celkových škodńıch nákladů z obchodu uzav̌reného v
uvažovaném roce: brutto-̌skodńı náklady (výplata plněńı + tvorba
rezervy)=⇒ zajǐstěńı =⇒ netto-̌skodńı náklady.
Při modelováńı škodńıch nákladů se uvažuj́ı škody rozdělené do 3
skupin: základńı (běžné) škody, vysoké škody, kumulované
(katastrofické) škody.
Základńı škody - vysoká frekvence, ńızká pr̊uměrná výše, modeluj́ı
se obvykle v úhrnu za dané obdob́ı.
-
Nový obchod
Kumulované (katastrofické) škody - vznikaj́ı v důsledku (p̌ŕırodńı)
katastrofy, která postihne věťśı počet pojǐstěných rizik.
Pravděpodobnost události je ńızká, ńızké škody na jednotlivých
pojistných smlouvách, velmi vysoké úhrny škod způsobených
jednou událost́ı.
Vysoké škody - škody, jejichž velikost p̌rekračuje určitou
pojǐst’ovnou stanovenou hranici. Ńızká škodńı frekvence, vysoká
výše škody v jednotlivých p̌ŕıpadech. Uplatněńı komplexńıch
zajistných konstrukćı.
-
Brutto - model
Model škodńıch nákladů
Volba vhodného rozděleńı - statistické testy (χ2-test dobré shody,
Kolmogorov-Smirnov,...), grafické metody (mean-excess plot, P-P
plot, Q-Q plot,...).
V důsledku provedených test̊u může doj́ıt k posunut́ı hranice
definuj́ıćı vysoké škody. Modelováńı základńıch škod tedy muśı v
čase následovat po modelováńı vysokých škod.
Model kmene - vývoj pojistného, struktura obchodu, upisovaćı
politika, počty pojǐstěných rizik, pojistné částky,...
-
Základńı škody
Pro úhrn škod se už́ıvá kolektivńı model (složené rozděleńı)
S =N∑
i=1
Xi ,
N,X1, . . . nezávislé, X1,X2, . . . stejně rozdělené.
ν = ES = EN E X1
ξ2 = Var S = E N Var X1 + Var N (E X1)2.
Má-li N Poissonovo rozděleńı, je
ξ2 = EN (Var X1 + (E X1)2).
-
Základńı škody
S lze modelovat pomoćı známého rozděleńı na základě znalosti
některých charakteristik (prvńı 2 nebo 3 momenty)
nap̌r. logaritmicko - normálńı rozděleńı LN(µ, σ2), kde
σ =
√ln
[1 +
(ξ
ν
)],
µ = ln ν − 12
σ2.
Při odhadováńı E X1, Var X1 z dat je ťreba vźıt v úvahu vývoj škod
a rovněž p̌ŕıpadnou úpravu stařśıch dat pro srovnatelnost s
modelovaným rokem.
-
Základńı škody - p̌ŕıklad
-
Kumulované škody
Katastrofická událost: objevuje se nepravidelně, nelze p̌redpovědět,
má vliv na mnoho pojǐstěných rizik, mimǒrádně vysoký škodńı
potenciál, nebezpeč́ı kumulace - jedna událost má za následek
mnoho škod, nastává žŕıdka.
Typy katastrof:
- boǔre (hurikány, tajfuny, vicȟrice)
- krupobit́ı
- povodně
- zeměťreseńı
-
Kumulované škody
Kumulované škody se od základńıch škod odlǐsuj́ı velkými úhrny a
malými pravděpodobnostmi vzniku události.
Kumulované škody je ťreba eliminovat z celkových dat p̌red
modelováńım základńıch škod.
Při modelováńı se nevycháźı z jednotlivých škod, ale z jednotlivých
událost́ı.
Kolektivńı model rizika neńı použitelný (porušen p̌redpoklad
nezávislosti počtu a výš́ı škod).
-
Kumulované škody
Pojǐst’ovny obvykle využ́ıvaj́ı komerčńı modely pro riziko katastrof.
Jde o komplexńı fyzikálńı (meteorologické) modely, které jsou
kombinovány s modelováńım pojistně - technických dopadů
katastrofických událost́ı.
Tabulka škodńıch událost́ı (Event Loss Table): modelová sada
událost́ı, která je výstupem modelu katastrofických škod.
Ke každé události se stanov́ı expozice obsažená v daném pojistném
kmeni (̌rada údaj̊u - lokalita, typ stavby, pojistná částka,...).
Dat̊um jsou p̌rǐrazeny referenčńı kódy podle územńı p̌ŕıslušnosti.
-
Kumulované škody - p̌ŕıklad
-
Vysoké škody
1)Modelováńı založené na EVT (zobecněné Paretovo rozděleńı).
2)Modelováńı úhrnu vysokých škod pomoćı složeného rozděleńı.
Modeluj́ı se zvlášt’ jednotlivé škody a jejich počty.
Pro výše škod vhodné nap̌ŕıklad Paretovo rozděleńı.
-
Zajǐstěńı a typy škod
1) základńı škody - kvótové zajǐstěńı
2) vysoké škody - individuálńı XL-zajǐstěńı
3) kumulované (katastrofické škody) - XL-zajǐstěńı na událost
simulačńı model - simulace škod, uplatněńı dané zajistné struktury,
za opakovaných simulaćı stanoveny charakteristiky brutto a netto
škodńıch úhrnů
-
XL-zajǐstěńı vysokých škod - p̌ŕıklad
počet škod: Poisson (λ = 4, 52)
výše škod: Pareto (α = 3.57, a = 5, E X = 6.94)
očekávaný úhrn škod brutto: E S = 29.99
zajǐstěńı: 50 XS 5, počet škod ≤ 8
-
XL-zajǐstěńı vysokých škod - p̌ŕıklad
-
XL-zajǐstěńı kumulovaných škod - p̌ŕıklad
-
oceněńı fér hodnotou
FV oceněńı - oceněńı stochastického finančńıho toku vedoućı ke
stanoveńı tržńı ceny
NPV - sťredńı současná hodnota (p̌ri bezrizikové úrokové ḿı̌re)
na straně aktiv: FV>NPV
na straně pasiv: FV
-
oceněńı fér hodnotou - p̌ŕıklad
Předpokládejme bezrizikovou úrokovou ḿıru 4% a dodatečnou
sazbu 6%.
Jednoročńı závazek s rozděleńım
P (X = 1200) = 0, 6
P (X = 700) = 0, 4
Odtud
E X = 1000,√
Var X = 244, 95,
NPV= 1000/1, 04 = 961, 5.
-
oceněńı fér hodnotou - p̌ŕıklad
Při aproximaci rozděleńı X normálńım rozděleńım a p̌ri použit́ı VaR
na hladině 99,5%, dostaneme alokovaný kapitál
EC =√
Var X z99,5% = 632, 1.
Náklady na kapitál:
CC =0, 06.632, 1
1, 04= 36, 5.
Fér hodnota:
FV = NPV + CC = 998.
-
Posouzeńı účinnosti zajǐstěńı
kritéria:
- sńıžeńı poťreby vlastńıho kapitálu, úspora nákladů na kapitál
tradičńı p̌ŕıstup:
netto výsledek = netto pojistné - netto náklady
-netto škodńı výplaty - změna netto škodńı rezervy
FV - p̌ŕıstup:
FV netto výsledku = současná hodnota netto pojistného
-současná hodnota netto nákladů
-současná hodnota netto výplat škod
-změna FV netto škodńı rezervy
-
XL-zajǐstěńı vysokých škod - posouzeńı účinnosti
-
XL-zajǐstěńı vysokých škod - p̌ŕıklad 2
-
XL-zajǐstěńı vysokých škod - posouzeńı účinnosti 2
-
XL-zajǐstěńı kumulovaných škod - posouzeńı účinnosti
-
Optimalizace zajǐstěńı
Interńı model lze využ́ıt k posouzeńı alternativńıch zajistných
struktur:
- změny priorit, struktury vrstev, proviźı, nákladů, ...
- ťreba vźıt v úvahu stanoveńı zajistného, rating zajǐst’ovny,
kapacitu zajistného trhu, dostupnost uvažovaných forem zajǐstěńı
-
Riziko kapitálových investic
Tržńı riziko - riziko ztráty na tržńı hodnotě aktiv (u akcíı ztráty v
tržńı hodnotě, které nelze eliminovat diverzifikaćı, u nemovitost́ı
koĺısáńı cen na trhu)
Úrokové riziko - koĺısáńı kurzu pevně úročených cenných paṕır̊u,
způsobené změnami tržńıch úrokových měr
Měnové riziko - u aktiv v ciźı měně, vzniká v důsledku změn
měnových kurz̊u
-
Riziko kapitálových investic
Bonitńı riziko - u pevně úročených cenných paṕır̊u, riziko defaultu
emitenta, vede ke kurzovým ztrátám
Riziko z korelace mezi stranou aktiv a pasiv
Př́ıklad: pojǐst’ovna drž́ı ve věťśım objemu akcie pr̊umyslového
podniku, který s ńı má uzav̌reno pojǐstěńı odpovědnosti. Věťśı
škoda způsob́ı zvýšeńı škodńıch rezerv a zároveň pokles hodnoty
akcíı.
-
Modelováńı kapitálových investic
V rámci modelováńı je ťreba projektovat tržńı ceny všech
kapitálových investic pro následuj́ıćı rok.
Základńı prvky:
- model portfolia
- generátor ekonomických scéná̌r̊u
- vlastńı model aktiv
-
Model portfolia kapitálových investic
Aktiva rozdělená do ťŕıd: obligace, akcie, fondy, nemovitosti,
hypotéky, hotovost,..
Účelné je děleńı podle modelovaných ekonomických parametr̊u
(nap̌r. doba splatnosti a ratingová kategorie u dluhopis̊u,
geografická p̌ŕıslušnost u akcíı). Proto by měly být ťŕıdy aktiv dále
děleny do podťŕıd podle relevantńıch aspekt̊u: doba trváńı, region,
bonita, měna,..
Přitom je ťreba udržet počet podťŕıd v p̌rimě̌rených meźıch s
ohledem na náročnost modelováńı.
-
Generátor ekonomických scéná̌r̊u
- slouž́ı ke stanoveńı exterńıch tržńıch parametr̊u pomoćı vhodných
simulačńıch postupů
Modelovanými parametry mohou být:
výnosové ǩrivky, akciové indexy, kreditńı spread pro dluhopisy,
měnové kurzy, vývoj inflace, indexy cen nemovitost́ı,...
-
Př́ıklad generováńı ekonomických scéná̌r̊u
-
Př́ıklad generováńı ekonomických scéná̌r̊u
V p̌ŕıkladu bylo pro generováńı bezrizikové úrokové ḿıry použito
logaritmicko-normálńı rozděleńı se sťredńı hodnotou 4% a
variačńım koeficientem 20%.
Pro kreditńı spread bylo užito logaritmicko normálńı rozděleńı se
sťredńı hodnotou 3%, variačńım koeficientem 20% a koeficientem
korelace s bezrizikovou úrokovou ḿırou 50%.
-
Př́ıklad užit́ı generovaných scéná̌r̊u
Cena bezkuponovéno dluhopisu - užije se hodnot ze scéná̌re č. 7.
-
Př́ıklad užit́ı generovaných scéná̌r̊u
Cena akciového portfolia - p̌redpokládá se kapitalizace dividend.
-
Př́ıklad užit́ı generovaných scéná̌r̊u
Měnové riziko u nemovitosti - použije se cenový index a měnový
kurz.
-
Model aktiv
V modelu aktiv jsou použity generované scéná̌re na jednotlivé
podťŕıdy aktiv z modelu portfolia. Agregaćı se stanov́ı položky
vstupuj́ıćı do rozvahy a výkazu zisk̊u a ztrát.
likvidńı saldo - prosťredky z pojistného (po odečteńı škodńıch
výplat), jeho investováńı se ř́ıd́ı manažerskými pravidly.
Složeńı portfolia aktiv na konci roku je jiné než na začátku.
K určeńı likvidńıho salda je ťreba výstupů z pojistně-technické části
modelu.
-
Optimalizace portfolia
Interńı model může být využit p̌ri hledáńı struktury portfolia, která
by p̌ri odpov́ıdaj́ıćım kapitálovém požadavku generovala optimálńı
výnos.
Varianty ćılové funkce:
1) RORAC (Return on Risk Adjusted Capital)
RORAC = (očekávaný výnos)/(kapitálový požadavek)
- procentńı sazba výnosu vzhledem ke kapitálovému požadavku
-
Optimalizace portfolia
2) EVA (Economic Value Added)
EVA = očekávaný výnos - náklady na kaptiál
náklady na kapitál = (kapitálový požadavek)*(sazba nákladů na
kapitál)
- udává, o kolik může být zvýšena hodnota kapitálu p̌ri zohledněńı
dané sazby nákladů na kapitál
-
Riziko selháńı zajistitele
Použijeme metodu nákladů na kapitál k vyjáďreńı fér hodnoty
cedované (p̌redané k zajǐstěńı) části škodńı rezervy:
FV cedované rezervy = NPV plněńı zajistitele
+ NPV cedovaných nákladů na kapitál
- bonitńı p̌rirážka
Cedované náklady na kapitál p̌redstavuj́ı úsporu nákladů, bonitńı
p̌rirážka p̌redstavuje zvýšeńı nákladů, které záviśı na bonitě
(ratingu) zajistitele.
-
Modelováńı selháńı zajistitele
Mohou nastat 2 p̌ŕıpady:
1) V simulovaném roce dojde k selháńı zajistitele
→ sńıžeńı plněńı od zajistitele, zvýšeńı rezervy na očekávané ztráty
2) V simulovaném roce nedojde k selháńı zajistitele
→ pouze změna bonitńı p̌rirážky v důsledku zlepšeńı nebo zhořseńıbonity zajistitele
Ve stochastickém modelu je ťreba modelovat pravděpodobnost
selháńı a velikost selháńı.
-
Model pravděpodobnosti selháńı
Pokud pro jednoduchost p̌redpokládáme, že v p̌ŕıpadě selháńı jde
výpadek ve výši 100%, redukuje se modelováńı na otázku
pravděpodobnosti selháńı.
V literatǔre se doporučuje modelovat pravděpodobnost selháńı jako
náhodnou veličinu pomoćı vhodného rozděleńı na intervalu
< 0, 1 >, které dostatečně umožňuje odddělit situaci, kdy událost
nenastane, nebo nastane jen v malém rozsahu, od situace, kdy
událost nastane plně, nebo ve značném rozsahu.
-
Model pravděpodobnosti selháńı
Př́ıklad - rozděleńı s hustotou
f (x) = y1, x ∈< 0, x0)
f (x) = y2, x ∈< x0, 1 > .
Přitom má platit
P(X ∈< 0, x0)
)= 1− q
P(X ∈< x0, 1 >
)= q
E X = p.
Odtud lze odvodit: x0 = 2p− q, Var X = 1/3(q(1− q) + (p− q)2).
-
Př́ıklad
v čase t = 0: expozice 1000, pravděpodobnost selháńı 1,02%
⇒ FV rezervy = 1000, FV selháńı (bonitńı p̌rirážka) = 10.2
v čase t = 1: expozice 1150, pravděpodobnost selháńı 0,8%
(náhodná)
⇒ FV rezervy = 1150, FV selháńı (bonitńı p̌rirážka) = 9,2
výsledek: 151
-
Operačńı riziko
Definice OR dle Solventnosti II (totožná s Basel II):
Operačńı riziko je riziko ztráty vyplývaj́ıćı z nedostatečnosti nebo
selháńı vniťrńıch proces̊u, osob , systémů, nebo z vněǰśıch událost́ı.
Pod tuto definici spadá právńı riziko, nezahrnuje strategické ani
reputačńı riziko.
-
Modelováńı OR - Loss Distribution Approach
LDA - modelováńı ročńıch úhrnů škod pomoćı složeného rozděleńı
S =N∑
i=1
Xi ,
Modeluj́ı se zvlášt’ výše škod a škodńı frekvence.
Typicky těžké chvosty (velká pravděp. vysokých hodnot).
Př́ıklady:
logaritmicko-normálńı rozděleńı:
f (x) = 1√2πσ x
exp
[−12
(ln x−µ
σ
)2], µ ∈ R, σ > 0,
Paretovo rozděleńı: f (x) = αθα
(x+θ)α+1, α > 0, θ > 0.
-
Modelováńı OR - POT-metoda
zobecněné Paretovo rozděleńı:
Wγ,β(x) = 1− (1 + γ x/β)−1/γ
pro γ 6= 0, resp.
Wγ,β(x) = 1− exp(−x/β)
pro γ = 0. Parametr β je v obou p̌ŕıpadech kladný. Pro γ ≥ 0 jezobecněné Paretovo rozděleńı definováno pro nezáporná x , v
p̌ŕıpadě γ < 0 je nosičem rozděleńı interval [0,−β/γ].
-
OR v interńım modelu - p̌ŕıklad
Př́ıklad:
úhrn škod z OR: logaritmicko-normálńı, E S = 13, 26,√
Var S = 55, 64
celková aktiva: normálńı, E A = 1000,√
Var A = 100
celková pasiva: logaritmicko-normálńı, E P = 650,√
Var P = 81, 25
bilance ve sťredńı hodnotě bez OR:
A P
1000 650
350 vl.kap.
1000 1000
-
OR v interńım modelu - p̌ŕıklad
Pro zahrnut́ı vlivu OR p̌redpokládejme tvorbu rezervy na hroźıćı
ztráty ve výši sťredńı hodnoty celkových škod:
bilance ve sťr. hodnotě:
A P
1000 650
13,26
336,74 vl.kap.
1000 1000
-
OR v interńım modelu - p̌ŕıklad
-
Manažerská pravidla
V realistickém modelu je ťreba zohlednit manažerská pravidla
odpov́ıdaj́ıćı vnitropodnikové praxi pojǐst’ovny (investičńı strategie,
upisovaćı politika, zajistná strategie,...)
Speciálně: pravidla investováńı a desinvestováńı - nakládáńı s
likvidńım saldem.
l.s. kladné → pravidla pro uḿıstěńı na kapit. trhu (regulovánop̌redpisy)
l.s. záporné → pravidla určuj́ı, které investice se maj́ı rozpustit jakoprvńı
-
Model aktiv
-
Stanoveńı kapitálového požadavku
Po definici všech vstupńıch parametr̊u a manažerských pravidel se
prováděj́ı simulace hodnoty vlastńıho kapitálu na konci roku:
EK1 = EK0 +∑
ZZi ,
EK0...deterministický vl. kapitál na začátku obdob́ı
ZZi ...výsledky jednotlivých modelovaných oblast́ı (poj.-tech. riziko,
kapitálové investice, OR,...)
-
Př́ıklad - simulace vlastńıho kapitálu
-
Stanoveńı kapitálového požadavku
Princip hodnoty v riziku:
ECα = E(EK1)− VaRα(EK1)
EKα...kapitálový požadavek ke konci roku
α = 0, 5%
Princip zbytkové hodnoty v riziku:
ECα = E(EK1)− TVaRα(EK1)
TVaRα(EK1) = E(EK1|EK1 ≤ VaRα(EK1))
-
Literatura
M. Heep-Altiner, H. Kaya, B. Krenzlin, D. Welter: Interne Modelle
nach Solvency II. Schritt für schritt zum internen Modell in der
Schadenversicherung. Verlag Versicherungswirtschaft 2010.