interpolasi -...
TRANSCRIPT
![Page 1: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/1.jpg)
Para rekayasawan dan ahli ilmu alam sering bekerja dengan sejumlah data diskrit (yang umumnya disajikan dalam bentuk tabel). Data didalam tabel mungkin diperoleh dari hasil pengamatan dilapangan, hasil pengukuran dilaboratorium, atau tabel yang diambil dari buku-buku acuan.
INTERPOLASI
![Page 2: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/2.jpg)
Contoh :
Sebuah pengukuran fisika untuk menentukan hubungan antara tegangan yang diberikan kepada baja tahan karat dan waktu yang diperlukan hingga baja tsb patah.
x = Tegangan yang diterapkan, kg/mm2
y = waktu patah , jam
x 5 10 15 20 25 30 35
y 40 30 25 40 18 20 22
![Page 3: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi pada ke-2 titik tersebut sudah diketahui
dpl. : cara menentukan harga fungsi f dititik x* ε [x0,xn] dengan menggunakan informasi dari seluruh atau sebagian titik-titik yang diketahui ( x0, x1, …., xn)
x x0 x1
x2 ……. xn
f(x) f(x0)
f(x1)
f(x2) ……. f(xn)
![Page 4: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/4.jpg)
Perbedaan Interpolasi dan Ekstrapolasi
![Page 5: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Teknik Umum yang digunakan :
(i) Membentuk polinomial berderajat ≤ n yg mempunyai harga fungsi di titik-
titik yang diketahui Polinomial
Interpolasi
(ii) Masukkan titik yang ingin dicari harga fungsinya ke dalam polinomial interpolasi
![Page 6: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Interpolasi Linier
Interpolasi Kuadrat
Interpolasi Lagrange
Interpolasi Newton
Jenis Interpolasi
![Page 7: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/7.jpg)
x0 x1 x
f(x)
L(x)
Interpolasi Linier
![Page 8: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/8.jpg)
Interpolasi Kudrat
x0 x1 x
f(x)
x2 h h
L(x)
![Page 9: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/9.jpg)
Interpolasi Qubic
x0 x1 x
f(x)
x2 h h
L(x)
x3 h
![Page 10: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/10.jpg)
10
INTERPOLASI LINIER (1)
Misalkan ada m bilangan : x1, x2, …., xm dan bilangan lain yang berkaitan : y1, y2 , …., ym
maka masalahnya : berapa harga y* pada
x* ε [xk,xk+1] ?
y
x
yk+1
xk+1
yk
xk
y*
x*
?
![Page 11: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Ambil ruas garis yang menghubungkan titik (xk,yk) dan (xk+1,yk+1)
Diperoleh persamaan garisnya :
)(*
* 1
1
kk
kk
k
k yyxx
xxyy
)(*
* 1
1
kk
kk
k
k yyxx
xxyy
kk
kk
k
k
xx
yy
xx
yy
1
1
*
*
INTERPOLASI LINIER (2)
![Page 12: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Jadi persamaan garisnya adalah :
)(*
* 1
1
kk
kk
k
k yyxx
xxyy
y
x
yk+1
xk+1
yk
xk
y*
x*
?
INTERPOLASI LINIER (3)
![Page 13: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Diketahui data sebagai berikut :
Tentukan harga y pada x = 6,5 !
Jawab : x = 6,5 terletak antara x=6 & x=7
)( 1
1
kk
kk
k
k yyxx
xxyy
5,42)3649()67(
)65,6(36
y
Contoh – 1 : (1)
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
y 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49
Hasilnya
![Page 14: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Alternatif 2 :
x = 6,5 terletak antara x=1 & x=7
)( 1
1
kk
kk
k
k yyxx
xxyy
45)48()6(
)5,5(1)149(
)17(
)15,6(1
y
Hasilnya
Contoh – 1 : (2)
![Page 15: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Bandingkan hasil kedua jawaban tersebut !!
Mana yang mendekati jawaban yang
sesungguhnya ..??
Karena hub. x & y adalah y = x2 maka untuk harga x = 6,5 didapat y = (6,5)2 = 42,25
=> Kesalahan mutlak (E) : |42,5 – 42,25| = 0,25
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
y 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49
Contoh – 1 : (3)
![Page 16: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Kesalahan mutlak (E), untuk :
y = 42,5 |42,5 – 42,25| = 0,25 = 25 %
Sedangkan untuk
y = 45 |45 – 42,25| = 3,25 = 325 %
Contoh – 1 : (4)
![Page 17: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Contoh-2 : Diketahui tabel akar bilangan sbb :
Tentukan akar dari 2,155
(2,155)1/2 = 1,46629 + (0,005/0,010) (1,46969 – 1,46629)
= 1,46629 + 0,00170
(2,155)1/2 = 1,46799
Kesalahan mutlaknya |1,4679918 -1,46799| = 0,0000018
Tentukan akar dari 2,153 dan Kesalahan mutlaknya !
N …. 2,14 2,15 2,16 ….
N1/2 …. 1,46287 1,46629 1,46969 ….
![Page 18: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/18.jpg)
Contoh 3:
Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan. Data percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang dibutuhkan untuk menghentikan kendaraan.
Perkirakan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kenderaan yang melaju dengan kecepatan 45 mil/jam.
![Page 19: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/19.jpg)
Contoh 3:
maka untuk mencari nilai x=45 maka,
![Page 20: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/20.jpg)
20
INTERPOLASI KUADRAT
Banyak kasus, penggunaan interpolasi linier tidak memuaskan karena fungsi yang diinterpolasi berbeda cukup besar dari fungsi linier
Untuk itu digunakan polinomial lain yg berderajat dua (interpolasi kuadrat) atau lebih mendekati fungsinya
Caranya : - Pilih 3 titik & buat polinomial berderajat dua melalui
ke - 3 titik tsb., shg dpt dicari harga fgs. pada x = x* - Pemilihan ke-3 ttk tsb., dapat : - xk-1 < xk < xk+1 atau - xk-1 < x* < xk < xk+1
![Page 21: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Persamaan umum Polinomial kuadrat :
P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 …..(*)
3 titik (xk-1,yk-1), (xk,yk) & (xk+1,yk+1) dilalui fgs. P(x) berarti:
yk-1 = a0 + a1 xk-1 + a2 xk-12
yk = a0 + a1 xk + a2 xk2 …………………………. (**)
yk+1 = a0 + a1 xk+1+ a2 xk+12
=> Akan diperoleh dari 3 pers. yaitu a0, a1 dan a2 kemudian subst. ke (*) & diperoleh pers. kuadrat, shg dapat dicari nilai fgs. untuk x = x* yaitu P(x*) = a0 + a1 x* + a2 x*2
=> Sistim pers. non homogen (**) memp. solusi dan solusinya unik (tunggal)
![Page 22: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/22.jpg)
Contoh :
Diberikan titik ln(8) = 2.0794, ln(9) = 2.1972, ln(9.5) = 2.2513. Tentukan nilai ln(9.2) dengan interpolasi kuadrat
Sistem Pers Linier yang terbentuk. 64 a + 8 b + c = 2.0794
81 a + 9 b + c = 2.1972
90.25 a + 9.5 b + c = 2.2513
Penyelesaian a= -0.0064 b = 0.2266
c = 0.6762
Sehingga p2(9.2) = 2.2192
![Page 23: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/23.jpg)
23
INTERPOLASI LAGRANGE
Interpolasi Lagrange adalah salah satu formula untuk interpolasi berselang tidak sama selain formula interpolasi Newton umum & metoda Aitken. Walaupun demikian
dapat digunakan pula untuk interpolasi berselang sama. Misalkan fgs. y(x) kontinu & diferensiabel sampai turunan
(n+1) dalam interval buka (a,b). Diberikan (n+1) titik (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn) dengan nilai x tidak perlu berjarak sama dengan yang lainnya, dan akan dicari suatu polinom berderajat n. Untuk pemakaian praktis, formula interpolasi Lagrange dapat dinyatakan sbb. :
![Page 24: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Formula Interpolasi Lagrange
Jika y(x) : nilai yang diinterpolasi; x : nilai yg berkorespondensi dg y(x)
x0, x1, …., xn : nilai x dan y0, y1, …., yn : nilai y
0
02010
21
))...()((
))...()(()( y
xxxxxx
xxxxxxxy
n
n
1
12101
20
))...()((
))...()((y
xxxxxx
xxxxxx
n
n
n
nnnn
n
yxxxxxx
xxxxxx
))...()((
))...()((
.
.
110
110
![Page 25: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Contoh 1:
Nilai yg. berkorespondensi dengan y = 10log x adalah :
Carilah 10log 301 ?
Untuk menghitung y(x) = 10log 301 dimana x = 301, maka nilai diatas menjadi
X 300 304 305 307
10log x 2,4771 2,4829 2,4843 2,4871
x0 = 300 x1 = 304 x2 = 305 x3 = 307
y0 = 2,4771 y1 = 2,4829 y2 = 2,4843 y3 = 2,4871
![Page 26: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Dengan menggunakan interpolasi lagrange
4771,2
)307300)(305300)(304300(
)307301)(305301)(304301()(xy
4829,2
)307304)(305304)(300304(
)307301)(305301)(300301(
4843,2
)307305)(304305)(300305(
)307301)(304301)(300301(
4871,2)305307)(304307)(301307(
)305301)(304301)(300301(
7106,04717,49658,42739,1
4786,2)( xy
![Page 27: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/27.jpg)
Polinom Newton
Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek karena : Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali
interpolasi adalah besar. Interpolasi untuk nilai x yang lain memerlukan jumlah komputasi yang sama karena tidak ada bagian komputasi sebelumnya yang dapat digunakan.
Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan. Karena tidak ada hubungannya antara pn-1(x) dan pn(x) pada polinom Lagrange
Polinom yang dibentuk sebelumnya dapat digunakan untuk membentuk polinom derajat yang lebih tinggi.
![Page 28: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/28.jpg)
Polinom Newton
Persamaan Polinom Linier
Bentuk pers ini dapat ditulis :
Yang dalam hal ini (1)
Dan (2)
Pers ini mrpk bentuk selish terbagi (divided-difference)
)()(
)()( 0
01
01
01 xxxx
yyyxp
)()( 0101 xxaaxp )( 000 xfya
)(
)()(
)(
)(
01
01
01
01
1xx
xfxf
xx
yya
],[ 011 xxfa
![Page 29: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/29.jpg)
Polinom Newton
Polinom kuadratik
Atau
Dari pers ini menunjukkan bahwa p2(x) dapat dibentuk dari pers sebelumnya p1(x). Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2 untuk mendapatkan (3)
Nilai a0 dan a1 pada pers 1 dan 2 dimasukkan pada pers 3
))(()()( 1020102 xxxxaxxaaxp
))(()()( 10212 xxxxaxpxp
))((
)()(
1202
02102
2xxxx
xxaaxfa
12
01
01
02
02
2
)()()()(
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
a
![Page 30: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/30.jpg)
Polinom Newton
Dengan melakukan utak-atik aljabar, pers ini lebih disukai
02
0112
02
01
01
12
02
2
],[],[
)()()()(
xx
xxfxxf
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
a
![Page 31: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/31.jpg)
Polinom Newton
Jadi tahapan pembentukan polinom Newton :
)()()( 0101 xxaxpxp
)()( 0101 xxaaxp
))(()()( 1020102 xxxxaxxaaxp
))(()()( 10212 xxxxaxpxp
))()(()()( 210323 xxxxxxaxpxp
))()(())(()()( 21031020103 xxxxxxaxxxxaxxaaxp
![Page 32: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/32.jpg)
Polinom Newton
Nilai konstanta a0, a1, a2,…, an, merupakan nilai selisih terbagi , dg nilai
Yang dalam hal ini
],,...,,[
],,[
],[
)(
011
0122
011
00
xxxxfa
xxxfa
xxfa
xfa
nnn
0
012111
011
),,...,,[],...,,[],,...,,[
],[],[],,[
)()(],[
xx
xxxxfxxxfxxxxf
xx
xxfxxfxxxf
xx
xfxfxxf
n
nnnn
nn
ki
kjji
kji
ji
ji
ji
![Page 33: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Karena a0, a1,a2, …an, merupakan nilai selisih terbagi, maka polinom Newton dinamakan polinom interpolasi selisih terbagi Newton. Nilai selisih terbagi dapat dihitung dengan menggunakan tabel yng disebut tabel selisih terbagi.
![Page 34: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/34.jpg)
Polinom Newton
Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai :
Rekurens
basis
Atau dalam bentuk polinom yang lengkap sbb :
],,...,,[))...()(()()( 0111101 xxxxfxxxxxxxpxp nnnnn
)()( 00 xfxp
],,...,,[))...()((
],,[))((],[)()()(
011110
012100100
xxxxfxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxxfxp
nnn
n
![Page 35: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/35.jpg)
Contoh Soal :
Bentuklah polinom Newton derajat satu, dua, tiga dan empat yang menghampiri f(x)=cos(x) dalam range[0.0, 4] dan jarak antar titik adalah 1.0. Lalu taksirlah f(x) dengan x=2.5 dengan Polinom Newton derajat 3.
xi yi ST-1 ST-2 ST-3 ST-4
0.0 1 -0.4597 -0.2484 0.1466 -0.0147
1.0 0.5403 -0.9564 0.1913 0.0880
2.0 -0.4161 -0.5739 0.4551
3.0 -0.99 0.3363
4.0 -0.6536
![Page 36: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/36.jpg)
Contoh Soal :
Contoh cara menghitung nilai selisih terbagi pada tabel :
2484.002
4597.09564.0
)(
],[],[],,[
9564.012
5403.04161.0
)(
)()(],[
4597.001
15403.0
)(
)()(],[
02
0112
012
12
1212
01
01
01
xx
xxfxxfxxxf
xx
xfxfxxf
xx
xfxfxxf
![Page 37: INTERPOLASI - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43839/Interpolasi.pdf · Ekstrapolasi . 5 Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050701/5a769b0a7f8b9a93088d4540/html5/thumbnails/37.jpg)
Contoh Soal :
Maka polinom Newton derajat 1,2 dan 3 dengan x0 = 0 sebagai titik pertama :
Nilai sejati f(2.5) adalah F(2.5) = cos(2.5)=-0.8011
)0.3)(0.2)(0.1)(0.0(0147.0)0.2)(0.1)(0.0(1466.0
)0.1)(0.0(2484.0)0.0(4597.00.1)()cos(
)0.2)(0.1)(0.0(1466.0
)0.1)(0.0(2484.0)0.0(4597.00.1)()cos(
)0.1)(0.0(2484.0)0.0(4597.00.1)()cos(
)0.0(4597.00.1)()cos(
4
3
2
1
xxxxxxx
xxxxpx
xxx
xxxxpx
xxxxpx
xxpx