interpolácia - uniba.skzenis.dnp.fmph.uniba.sk/vtv/interpolacia.pdf · fyz-230/00 algoritmy...

FYZ-230/00 Algoritmy vedeckotechnických výpo£tov

FYZ-230/00Algoritmy vedeckotechnických výpo£tov

Interpolácia

1


Obsah

• Úvod

• Priama interpolácia

• Newtonova interpolácia

• Lagrangeova interpolácia

• Spline

2


Úvod

• Výpo£et funk£ných hodnôt bol potrebný uº v staroveku pre kalendár a navigáciu

� 300 p.n.l. Babylon, Grécko � pozícia slnka, planét, mesiaca� 150 p.n.l. Grécko � opis sinusoidy pomocou lineárnych rovníc na výpo£et polôh kozmických

telies

• Aº do 20. storo£ia sa hodnoty funkcií ur£ovali tabu©kami.

� Tabu©ky obsahujú len kone£ný po£et hodnôt� �al²ie hodnoty sa získajú interpoláciou� Nové tabu©ky boli £asto plagiáty, chyby v tabu©kách sa mnoºili

• Metódy na zjednodu²enie výpo£tu interpolácií

� 1675 � Newtonova metóda� 1795 � Lagrangeova metóda

3


• Charles Babbage

� 1820 � navrhol diferenciálny stroj pre výpo£et hodnôt polynómov� Neskôr navrhol zdokonalený diferenciálny stroj £.2. Tento bol zostrojený pod©a pôvodných

plánov v rokoch 1989�1991.∗ Presnos´ 31 desatinných miest

� Návrh programovate©ného stroja∗ Taktovacia frekvencia 7Hz

Diferenciálny stroj. Diferenciálny stroj £.2.

4


Interpolácia

Majme body (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn). Interpoláciou nazývame funkciu f(x)prechádzajúcu týmito bodmi.

Extrapoláciou nazývame nájdenie parametrov modelu tak, aby model najlep²ie popisoval dané body. Model nemusí

prechádza´ týmito bodmi.

Ako funkcia f(x) sa £asto volí polynóm

• Vieme vypo£íta´ hodnotu polynómu

• Polynóm je derivovate©ný

• Polynóm je integrovate©ný

5


Interpolácia polynómom Pn(x)

Majme body (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn). Existuje práve jedna funkcia

f(x) = Pn(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n

prechádzajúca cez týchto n+ 1 bodov.

Koe�cienty získame rie²ením sústavy n+ 1 rovníc s n+ 1 neznámymi:

a0 + a1x0 + a2x20 + · · ·+ anx

n0 = y0

a0 + a1x1 + a2x21 + · · ·+ anx

n1 = y1... = ...

a0 + a1xn + a2x2n + · · ·+ anx

nn = yn

6


Interpolácia polynómom Pn(x) (2)

Predpokladajme, ºe existujú dva rôzne polynómy Pn(x) a P ′n(x), ktoré prechádzajú bodmi(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn). Rozdiel polynómov Pn(x) a P ′n(x) ozna£me akoQn(x).

Qn(x) = Pn(x)− P ′n(x) je polynóm najviac n-tého stup¬a. Pre i ∈ 0, 1, 2, . . . , n platí:

Qn(xi) = Pn(xi)− P ′n(xi) = yi − yi = 0

Poºadujeme, aby polynóm (najviac) n-tého stup¬a mal n+ 1 kore¬ov, £o je spor!

7


Príklad 1

Odmerali sme rýchlos´ rakety v nieko©kých £asoch.

t [s] v(t) [m/s]0 010 227.0415 362.7820 517.3522.5 602.9730 901.67

Aká je rýchlos´ rakety v £ase t = 17 s?

8


Príklad 1, lineárna interpolácia

v(t) = a0 + a1t

v(15) = a0 + a1 15 = 362,78

v(20) = a0 + a1 20 = 517,35

Vyrie²ením získame: a0 = −100,93, a1 = 30,914.

v(t) = a0 + a1t

v(t) = −100,93 + 30,914 t

v(17) = −100,93 + 30,913 17 = 424,6m/s

9


Príklad 1, kvadratická interpolácia

v(t) = a0 + a1t+ a2t2

v(10) = a0 + a1 10 + a2 102 = 227,04

v(15) = a0 + a1 15 + a2 152 = 362,78

v(20) = a0 + a1 20 + a3 202 = 517,35

Vyrie²ením získame: a0 = 12,05, a1 = 17,733, a2 = 0,3766.

v(t) = a0 + a1t+ a2t2

v(t) = 12,05 + 17,733 t+ 0,3766 t2

v(17) = 12,05 + 17,733 17 + 0,3766 172 = 422,3m/s

Relatívny rozdiel od lineárnej interpolácie: ε2 =∣∣∣422,3−424,6422,3

∣∣∣ 100% = 0,55%

10


Príklad 1, integrovanie interpolácie

Akú dráhu preletela raketa od 11-tej do 22-hej sekundy?

Vzdialenos´ je daná integrálom22∫11

v(t) dt.

Pouºijeme kubickú interpoláciu a rýchlos´ rakety v £asoch 10, 15, 20 a 22,5 s.

v(t) = a0 + a1t+ a2t2 + a3t

3

v(10) = a0 + a1 10 + a2 102 + a3 10

3 = 227,04

v(15) = a0 + a1 15 + a2 152 + a3 15

3 = 362,78

v(20) = a0 + a1 20 + a2 202 + a3 20

3 = 517,35

v(22,5) = a0 + a1 22,5 + a2 22,52 + a3 22,5

3 = 602,97

a0 = −4,2540, a1 = 21,266, a2 = 0,13204, a3 = 0,0054347

v(t) = −4,2540 + 21,266 t+ 0,13204 t2 + 0,0054347 t3

11


d =

22∫11

v(t) dt

d =

22∫11

−4,2540 + 21,266 t+ 0,13204 t2 + 0,0054347 t3 dt

d =

[−4,2540 t+ 21,266

t2

2+ 0,13204

t3

3+ 0,0054347

t4

4

]2211

d = 5839,72− 1318,27 = 4521,45m

12


Príklad 1, derivovanie interpolácie

Aké je zrýchlenie rakety v £ase t = 17 s?

Zrýchlenie je dané deriváciou a(t) = dv(t)dt .

Pouºijeme uº získanú kubickú interpoláciu:

a(t) =dv(t)

dt=

d

dt

(−4,254 + 21,266 t+ 0,13204 t2 + 0,0054347 t3

)a(t) = 21,266 + 0,26408 t+ 0,0163041 t2

a(17) = 21,266 + 0,26408 17 + 0,0163041 172 = 30,467m/s2

13


Newtonova interpolácia

Interpolácia polynómom.

Polynóm h©adáme v tvare

Pn(x) = b0 + b1(x− x0) + b2(x− x0)(x− x1) + · · ·+ bn(x− x0)(x− x1) . . . (x− xn−1)

14


Newtonova interpolácia, lineárny prípad

Interpolácia lineárnou funkciou P1(x) = b0 + b1(x− x0).

Funkcia prechádza bodmi (x0, f(x0)), (x1, f(x1)).

P1(x0) = b0 + b1(x0 − x0) = f(x0)

P1(x1) = b0 + b1(x1 − x0) = f(x1)

b0 = f(x0)

b1 =f(x1)− f(x0)

x1 − x0

15


Newtonova interpolácia, kvadratický prípad

Interpolácia kvadratickou funkciou P2(x) = b0 + b1(x− x0) + b2(x− x0)(x− x1).

Funkcia prechádza bodmi (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), (x2, f(x2)).

b0 = f(x0)

b1 =f(x1)− f(x0)

x1 − x0

b2 =

f(x2)−f(x1)x2−x1

− f(x1)−f(x0)x1−x0

x2 − x0

16


Newtonova interpolácia, kvadratický prípad, odvodenie

Máme polynóm P2(x) = f(x) = b0 + b1(x− x0) + b2(x− x0)(x− x1).

V bode x0 platí:

f(x0) = b0 + b1(x0 − x0) + b2(x0 − x0)(x0 − x1)

f(x0) = b0

b0 = f(x0),

V bode x1 platí:

f(x1) = b0 + b1(x1 − x0) + b2(x1 − x0)(x1 − x1)

f(x1) = b0 + b1(x1− x0)

f(x1) = f(x0) + b1(x1 − x0)

b1 =f(x1)− f(x0)

x1 − x0

17


V bode x2 platí:

f(x2) = b0 + b1(x2 − x0) + b2(x2 − x0)(x2 − x1)

f(x2) = f(x0) +f(x1)− f(x0)

x1 − x0(x2 − x0) + b2(x2 − x0)(x2 − x1)

b2 =

f(x2)−f(x0)x2−x0

− f(x1)−f(x0)x1−x0

x2 − x1

18


Výraz pre b2 potrebujeme upravi´ do poºadovaného tvaru

b2(x2 − x0)(x2 − x1) =(f(x2)− f(x0))(x2 − x0)

x2 − x0− (f(x1)− f(x0))(x2 − x0)

x1 − x0

b2(x2 − x0)(x2 − x1) = f(x2)

=0︷︸︸︷−f(x1) + f(x1)−f(x0)−

(f(x1)− f(x0))(x2 − x0)

x1 − x0

b2(x2 − x0)(x2 − x1) = f(x2)− f(x1) +(f(x1)− f(x0))(x1 − x0)

x1 − x0−

− (f(x1)− f(x0))(x2 − x0)

x1 − x0

b2(x2 − x0)(x2 − x1) = f(x2)− f(x1) +f(x1)− f(x0)

x1 − x0(x1 − x0 − (x2 − x0))

b2(x2 − x0)(x2 − x1) = f(x2)− f(x1)−f(x1)− f(x0)

x1 − x0(x2 − x1)

b2(x2 − x0) =f(x2)− f(x1)

x2 − x1− f(x1)− f(x0)

x1 − x0

b2 =

f(x2)−f(x1)x2−x1

− f(x1)−f(x0)x1−x0

x2 − x0

19


Newtonova interpolácia, kvadratický prípad, záver

Dosadíme koe�cienty b0, b1, b2 do f(x) = b0 + b1(x− x0) + b2(x− x0)(x− x1)

f(x) = f(x0) +f(x1)− f(x0)

x1 − x0(x− x0) +

f(x2)−f(x1)x2−x1

− f(x1)−f(x0)x1−x0

x2 − x0(x− x0)(x− x1)

Zavedieme zjednodu²ený zápis: f [xi] ≡ f(xi), f [xj, xi] ≡f(xj)−f(xi)

xj−xi

f(x) = f [x0] + f [x1, x0](x− x0) +f [x2, x1]− f [x1, x0]

x2 − x0(x− x0)(x− x1)

f(x) = f [x0] + f [x1, x0](x− x0) + f [x2, x1, x0](x− x0)(x− x1)

20


Newtonova interpolácia, polynóm n-tého stup¬a

Pn(x) = b0 + b1(x− x0) + b2(x− x0)(x− x1) + · · ·+ bn(x− x0)(x− x1) . . . (x− xn−1)

b0 = f [x0] ≡ f(x0)

b1 = f [x1, x0] ≡f(x1)− f(x0)

x1 − x0

b2 = f [x2, x1, x0] ≡f [x2, x1]− f [x1, x0]

x2 − x0

b3 = f [x3, x2, x1, x0] ≡f [x3, x2, x1]− f [x2, x1, x0]

x3 − x0

...

bn = f [xn, xn−1, . . . , x2, x1, x0] ≡f [xn, xn−1, . . . , x2, x1]− f [xn−1, xn−2, . . . , x1, x0]

xn − x0

21


Lagrangeova interpolácia

H©adáme funkciu f(x) ako sú£et n+ 1 polynómov (najviac) n-tého stup¬a.

f(x) = P 0n(x) + P 1

n(x) + · · ·+ Pnn (x)

Polynómy P in(x) pouºijeme v tvare

P in(x) ∼ ci(x− x0)(x− x1) . . . (x− xn) = ci

∏j∈...

(x− xj)

Máme k dispozícii n+1 £lenov (x−xj), pre kaºdý polynóm ich potrebujeme len n. Pre polynómP in vynecháme £len (x− xi).

P in(x) = ci(x− x0)(x− x1) . . . (x− xi−1)(x− xi+1) . . . (x− xn) = ci

n∏j=0j 6=i

(x− xj)

22


Lagrangeova interpolácia, výpo£et ci

Máme:

f(x) = P 0n(x) + P 1

n(x) + · · ·+ Pnn (x)

P in(x) = ci

n∏j=0j 6=i

(x− xj)

Poºadujeme, aby funkcia f(x) prechádzala bodmi (x0, y0), (x1, y1), . . . , (xn, yn):

f(xk) = yk

Dostaneme:

f(xk) =

n∑i=0

ci

n∏j=0j 6=i

(xk − xj) = yk

f(xk) =

n∑i=0

ci

n∏j=0j 6=i

0 pre k=j︷︸︸︷(xk − xj) = yk

23


f(xk) =

n∑i=0

ci

6=0pre i=k︷︸︸︷n∏

j=0j 6=i

0 pre k=j︷︸︸︷(xk − xj) = yk

f(xk) = ck

n∏j=0j 6=k

(xk − xj) = yk

ck =yk

n∏j=0j 6=k

(xk − xj)

ci =yi

n∏j=0j 6=i

(xi − xj)

Dostaneme:

P in(x) =

yin∏

j=0j 6=i

(xi − xj)

n∏j=0j 6=i

(x− xj) =

n∏j=0j 6=i

(x− xj)

n∏j=0j 6=i

(xi − xj)yi

24


Lagrangeova interpolácia, záver

Polynomiálnu funkcia f(x) prechádzajúcu bodmi (x0, y0), (x1, y1), . . . , (xn, yn) nájdemev tvare:

f(x) =

n∑i=0

n∏j=0j 6=i

(x− xj)

n∏j=0j 6=i

(xi − xj)yi =

n∑i=0

n∏j=0j 6=i

x− xj

xi − xj

yi =

n∑i=0

Li(x)yi =

n∑i=0

Li(x)f(xi)

Kde Li(x) je váhovacia funkcia:

Li(x) =

n∏j=0j 6=i

x− xj

xi − xj

25


Spline

Interpolácia po £astiach.

Máme body (x0, y0), (x1, y1), . . . , (xn, yn). Interpoláciu h©adáme na jednotlivých intervaloch(x0, x1), (x1, x2), . . . , (xn−1, xn) zvlá²´.

Lineárny spline. Pouºijeme lineárne funkcie na intervaloch (xi, xi+1). Tieto funkciemusia prechádza´ hrani£nými bodmi intervalov (xi, yi), (xi+1, yi+1). Lineárna funkcia nakaºdom intervale má 2 parametre a pre kaºdú funkciu máme 2 podmienky. Jednozna£nérie²enie. Získame spojitú funkciu na celom intervale (x0, xn). Vo vnútorných bodoch(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn−1, yn−1) môºe by´ nespojitá prvá derivácia.

Kvadratický spline. Pouºijeme kvadratické funkcie na intervaloch (xi, xi+1). Tietofunkcie musia prechádza´ hrani£nými bodmi intervalov (xi, yi), (xi+1, yi+1). Kvadratickáfunkcia na kaºdom intervale má 3 parametre a pre kaºdú funkciu máme 2 podmienky.Na získanie jednozna£ného rie²enie potrebujeme ¤al²ie podmienky. Zvy£ajne sa poºadujespojitá prvá derivácia na vnútorných hrani£ných bodoch (n − 1 podmienok). Ako poslednúpodmienku môºeme poºadova´ lineárnu funkciu na prvom intervale. Získame spojitúfunkciu so spojitou prvou deriváciou na celom intervale (x0, xn). Vo vnútorných bodoch(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn−1, yn−1) môºe by´ nespojitá druhá derivácia.

26


Kubický spline. Ak poºadujeme spojitú druhú deriváciu na celom intervale (x0, xn) môºemepouºi´ kubický spline. Postupujeme podobne ako pri kvadratickom spline. Poºadujeme spojitúprvú a druhú deriváciu na vnútorných hrani£ných bodoch (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn−1, yn−1).

Spline vy²²ieho rádu. Ak by sme potrebovali. . .

27


Záver

• Interpolácia umoº¬uje dopo£íta´ chýbajúce hodnoty. Takto získané hodnoty nemusia

zodpoveda´ skuto£ným hodnotám.

• Pri pouºití polynómu vysokého rádu hrozí �oscilujúca katastrofa� alebo numerická nestabilita.

• Spline sa £asto pouºíva na optické vylep²enie obrázkov nameraných alebo vypo£ítaných dát.Nejedná sa o interpretáciu dát. Spline dokáºe zvidite©ni´ neexistujúce úkazy!

28

interpolácia - uniba.skzenis.dnp.fmph.uniba.sk/vtv/interpolacia.pdf · fyz-230/00 algoritmy...

Documents