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Universidade Federal de Ouro Preto – UFOPInstituto de Ciências Exatas e Biológicas – ICEB
Departamento de Educação Matemática – DEEMAMestrado Profissional em Educação Matemática
INTERPRETAÇÃO DOS ENUNCIADOS DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS
Um estudo com alunos do sexto ano do Ensino Fundamental de uma escola pública do
interior de Minas Gerais.
Mestranda: Clarissa Alves de Oliveira
Orientador: Plinio Cavalcanti Moreira
Ouro Preto2018
INTERPRETAÇÃO DOS ENUNCIADOS DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS
Um estudo com alunos do sexto ano do Ensino Fundamental de uma escola pública do
interior de Minas Gerais.
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática daUniversidade Federal de Ouro Preto, MG, comorequisito parcial para obtenção do grau de Mestreem Educação Matemática.
Mestranda: Clarissa Alves de Oliveira Orientador: Plinio Cavalcanti Moreira
Ouro Preto2018
Dedico essa conquista aos três homens da minha vida:
Meu marido Icaro e meus filhos Gustavo e Felipe,
por quem vivo.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus, que está comigo em todos os momentos.
Agradeço ao meu marido Icaro pelo companheirismo e incentivo sempre.
Agradeço aos meus filhos Gustavo e Felipe, por todo amor, que me dá forças para seguir.
Agradeço ao meu orientador Plinio, por todo apoio e ensinamentos.
Agradeço à minha mãe Esmênia e minha irmã Cristina e meu irmão Raul, por sempre meincentivarem.
Agradeço ao meu pai José Alves, que lá do céu, sei que está torcendo por mim.
Agradeço ao meu amigo Paulo, porque sem o seu imenso coração, esse trabalho não seriapossível.
Agradeço aos amigos que fiz no mestrado e levarei para a vida: Vanessa, Pablo, Aline, Edmare Bruno, por todos momentos vividos, apertos e risos.
Agradeço aos professores e colegas da UFOP, por compartilharem suas experiências.
Agradeço aos professores da banca, Sarquis e Dilhermando, pelas valiosas colaborações.
Agradeço à professora Amanda pelo imenso apoio.
Agradeço aos alunos participantes, professores e diretores da escola em que a pesquisa foirealizada, por toda colaboração.
“A linguagem não é uma coisa morta em que cada palavra significa
algo de uma vez por todas” (WITTGENSTEIN, 2004, P. 35)
Interpretação dos enunciados de problemas matemáticos: um estudo com alunos do 6°ano do Ensino Fundamental de uma escola pública do interior de Minas Gerais
RESUMO
O presente trabalho vincula-se à linha de pesquisa Formação de Professores, Cultura eEnsino-Aprendizagem de Matemática do Mestrado Profissional em Educação Matemática daUFOP/MG. O objetivo da pesquisa é avaliar as contribuições que uma sequência deatividades relacionadas com a resolução de problemas pode oferecer para os processos deensino e de aprendizagem da matemática na Educação Básica. As atividades foram elaboradasa partir do estudo de pesquisas científicas do campo da Educação Matemática sobre essatemática. Em termos dos procedimentos metodológicos, foram realizados testes de sondagem(no início e no final dos trabalhos) e, posteriormente, durante cerca de cinco semanas em salade aula de sexto ano de uma escola pública de MG, trabalhamos um conjunto de atividadespreparadas especialmente com o propósito de proporcionar o desenvolvimento da capacidadede leitura e interpretação de textos matemáticos, mais particularmente, de enunciados deproblemas matemáticos. Como instrumentos de produção de dados foram utilizados:observação direta das aulas nas quais se desenvolveram as atividades propostas, diário decampo e gravação (em áudio e vídeo) das aulas realizadas durante o período de trabalho decampo, assim como registros das soluções dadas pelos alunos às questões propostas nasdiferentes atividades durante o trabalho de campo, o qual se desenvolveu durante o períodoregular de aulas da escola. Os resultados mostram que, embora haja limitações de vários tipose natureza, o conjunto de atividades proposto, considerando a prática escolar vigenteatualmente no Brasil, pode contribuir de várias maneiras para o desenvolvimento dacapacidade de interpretação dos enunciados de problemas matemáticos dos alunos do sextoano do Ensino Fundamental, entre elas as seguintes: promover maior atenção na leitura dosenunciados, de modo a obter-se um entendimento matemático mais completo e preciso dasituação-problema proposta; promover uma leitura mais crítica dos enunciados, de modo a sercapaz de avaliar a relevância ou irrelevância de cada um dos dados fornecidos; promover aconsideração da possibilidade de que o problema dado tenha uma, nenhuma ou váriassoluções; promover o reconhecimento e maior familiaridade com a linguagem própria damatemática escolar no que concerne a precisão das informações dadas nos enunciados deproblemas matemáticos. A partir deste relato de pesquisa foi elaborado um ProdutoEducacional, visando divulgar, especialmente entre professores de matemática do segundosegmento do Ensino Fundamental, os resultados obtidos, assim como uma descrição eavaliação crítica da experiência desenvolvida nessa turma de sexto ano.Palavras-chave: Educação Matemática, Resolução de Problemas; Linguagem Matemática;Interpretação de enunciados de problemas matemáticos.
Interpreting mathematical problems’ texts: a study with sixth grade students at a secondaryschool in Minas Gerais
ABSTRACT
This research aims to evaluate what types of contributions a set of problem solving tasks mayoffer to the mathematics teaching and learning processes in school education. The proposedtasks were designed according to research findings we came across as the outcome of areview of the specialized literature in the field of Mathematics Education. As to themethodological procedures in applying the tasks, we worked for five weeks, in a real sixthgrade school classroom, with 23 students, so as to expose them to situations that could help todevelop the skills associated to adequately interpreting the texts usually met in schoolmathematics problem solving tasks. As the instruments of data production we used directobservation of the students in the classroom, a field diary, audio and video recordings, as wellas the student’s written production along the work with the tasks. Results show that in spite ofmany constraints, the proposed set of tasks has contributed in various ways to the aimstargeted by the project, such as: to promote greater attention in the reading of the problemstexts, so as to get a better mathematics understanding of the situation described in theproblem; to engender a critic reading of the problems so as to help the students consider therelevance or irrelevance of each one of the given data; to take into account the possibility thatthe given problem may have one, more than one or none solution; to foster familiarity withthe school mathematical language as referred to the precision of the data given in themathematics problems texts. We have also produced an “Educational Product” aiming tospread, among the schoolteachers, the results obtained in the investigation, as well as adescription and a critic evaluation of the practice we have experienced as a sixth grade teacheralong the work developed with the sixth grade students.Key-words: Mathematics Education; Problem Solving; Mathematical Language; Interpretingschool mathematics problems texts.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Texto do exercício 1 do Bloco 1.............................................................................................23
Figura 2: Exercício 1 bloco 1, respostas dos itens a e b da aluna A7.....................................................25
Figura 3: Exercício 1 bloco 1, respostas a e b do aluno A9...................................................................25
Figura 4: Exercício 1 bloco 1, resposta de A8........................................................................................26
Figura 5: Exercício 1 bloco 1, resposta do aluno A9..............................................................................26
Figura 6: Exercício 1 bloco 1, resposta do aluno A3..............................................................................27
Figura 7: Exercício 1 bloco 1, resposta do aluno A1..............................................................................27
Figura 8: Exercício 1 bloco 1, resposta do aluno A6..............................................................................28
Figura 9: Exercício 1 bloco 1, resposta do aluno A17............................................................................28
Figura 10: Exercício 1 bloco 1, resposta do aluno A11..........................................................................28
Figura 11: Exercício 1 bloco 1, resposta do aluno A12..........................................................................29
Figura 12: Exercício 2 bloco 1, resposta do aluno A3............................................................................29
Figura 13: Exercício 2 bloco 1, resposta da aluna A7............................................................................30
Figura 14: Exercício 2 bloco 1, respostas da aluna A1..........................................................................30
Figura 15: Exercício 2 bloco 1, respostas do aluno A17........................................................................31
Figura 16: Exercício 2 bloco 1, resposta das letras a e b do aluno A15................................................32
Figura 17: Exercício 2 bloco 1, resposta da aluna A10..........................................................................32
Figura 18: Trecho de “A casa sonolenta” (Napping House) de Audrey Wood......................................34
Figura 19: Exercício 4 bloco 1, resolução da aluna A18........................................................................34
Figura 20: Exercício 4 bloco 1, resolução da aluna A6..........................................................................34
Figura 21: Exercício 4 bloco 1, resolução do aluno A12.......................................................................35
Figura 22: Exercício 4 bloco 1, resolução da aluna A8..........................................................................35
Figura 23: Exercício 4 bloco 1, resolução da aluna A7..........................................................................35
Figura 24: Exercício 4 bloco 1, resolução do aluno A21.......................................................................36
Figura 25: Exercício 4 bloco 1, resolução do aluno A20.......................................................................36
Figura 26: Exercício 5 bloco 1...............................................................................................................37
Figura 27: Exercício 5 bloco 1, resolução da aluna A1..........................................................................38
Figura 28: Exercício 5 bloco 1, resolução da aluna A8..........................................................................38
Figura 29: Exercício 5 bloco 1, resolução da aluna A7..........................................................................38
Figura 30: Exercício 6 bloco 1, resolução da aluna A10........................................................................39
Figura 31: Exercício 6 bloco 1, letra b...................................................................................................40
Figura 32: Exercício 6 bloco 1, letra b resolução de A6........................................................................40
Figura 33: Exercício 6 bloco 1, letra b, resolução de A13.....................................................................40
Figura 34: Exercício 6 bloco 1, letra b, resolução de A17.....................................................................41
Figura 35: Exercício 7 bloco 1, resolução de A12.................................................................................42
Figura 36: Exercício 7 bloco 1, resolução de A5...................................................................................43
Figura 37: Exercício 1 bloco 2...............................................................................................................44
Figura 38: Exercício 2 bloco 2...............................................................................................................45
Figura 39: Exercício 3 bloco 2...............................................................................................................47
Figura 40: Exercício 3 bloco 2, resolução da dupla A1 e A5.................................................................47
Figura 41: Exercício 3 bloco 2, resolução da dupla A20 e A21.............................................................48
Figura 42: Exercício 4 bloco 2...............................................................................................................48
Figura 43: Exercício 4 bloco 2, letra d, resolução da dupla A8 e A18...................................................49
Figura 44: Instrução geral da atividade do bloco 3................................................................................50
Figura 45: Construção do enunciado do Grupo 2 segundo o Grupo 1...................................................52
Figura 46: Construção do enunciado do Grupo 2 segundo o Grupo 5...................................................52
Figura 47: Construção do enunciado do Grupo 5 segundo Grupo 1......................................................54
Figura 48: Construção do enunciado do Grupo 5 segundo Grupo 2......................................................54
Figura 49: Construção do enunciado do Grupo 3 segundo Grupo 1......................................................55
Figura 50: Construção do enunciado do Grupo 3 segundo o Grupo 2...................................................55
Figura 51: Construção do enunciado do Grupo 3 segundo Grupo 5......................................................55
Figura 52: Construção do enunciado do Grupo 1 segundo o Grupo 2...................................................56
Figura 53: Construção do enunciado do Grupo 1 segundo o Grupo 5...................................................57
Figura 54: Construção do enunciado do Grupo 4, segundo o Grupo 5..................................................58
Figura 55: Construção do enunciado do Grupo 4 segundo o Grupo 3...................................................58
Figura 56: Construção do enunciado do Grupo 4 segundo o Grupo 2...................................................58
Figura 57: Construção do enunciado do Grupo 4 segundo Grupo 1......................................................59
Figura 58: Bloco 4, resolução do Grupo 1..............................................................................................61
Figura 59: Bloco 4, representação do Grupo 7.......................................................................................63
Figura 60: Bloco 4, resolução do problema do Grupo 5........................................................................64
Figura 61: Bloco 4, resolução do problema do Grupo 3........................................................................65
Figura 62: Bloco 5..................................................................................................................................65
Figura 63: Bloco 5 – Resolução de A12.................................................................................................66
Figura 64: Bloco 5 – Resolução A17......................................................................................................67
Figura 65: Bloco 5 – Formulação de Problemas....................................................................................68
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Análise da comparação entre as sondagens inicial e final......................................73Quadro 2 - Resultado por aluno da comparação entre as sondagens......................................119Quadro 3 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 1 do bloco 1.........................126Quadro 4 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 2 do bloco 1.........................132Quadro 5 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 3 do bloco 1.........................137Quadro 6 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 4 do bloco 1.........................141Quadro 7 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 5 do bloco 1.........................143Quadro 8 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 6 do bloco 1.........................145Quadro 9 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 1 do bloco 2.........................151Quadro 10 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 2 do bloco 2.......................154Quadro 11 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 3 do bloco 2.......................157Quadro 12 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 4 do bloco 2.......................160Quadro 13 - Análise dos desempenhos dos alunos nas atividades do bloco 3.......................164Quadro 14 - Análise dos desempenhos dos alunos nas atividades do bloco 4.......................168Quadro 15 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 1 do bloco 5.......................171Quadro 16 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 2 do bloco 5.......................174Quadro 17 - Resultado geral do desempenho dos alunos nas atividades................................179
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO..........................................................................................................................7
CAPÍTULO 1............................................................................................................................11
REVISÃO DE LITERATURA.................................................................................................11
1.1 Resolução de Problemas..................................................................................................11
1.2 Dificuldades usuais na resolução de problemas matemáticos.........................................13
1.3 O que dizem as pesquisas sobre o tema..........................................................................15
CAPÍTULO 2............................................................................................................................20
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS..............................................................................20
CAPÍTULO 3............................................................................................................................23
OS DADOS E ALGUMAS OBSERVAÇÕES PRELIMINARES..........................................23
3.1 Bloco 1............................................................................................................................23
3.2 Bloco 2............................................................................................................................44
3.3 Bloco 3............................................................................................................................50
3.4 Bloco 4............................................................................................................................59
3.5 Bloco 5............................................................................................................................65
CAPÍTULO 4............................................................................................................................70
ANÁLISE E RESULTADOS...................................................................................................70
4.1 Comparando os desempenhos nas sondagens.................................................................72
4.2 Desempenho nas atividades e na sondagem final: há correlação?................................124
CONSIDERAÇÕES FINAIS..................................................................................................184
REFERÊNCIAS......................................................................................................................187
APÊNDICES...........................................................................................................................192
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INTRODUÇÃO
Desde que comecei a lecionar matemática (aulas particulares), antes mesmo de
iniciar a graduação (Licenciatura em Matemática), notava certa dificuldade dos alunos
com a resolução de problemas. Pude perceber, ao longo do tempo, que uma parte dessa
dificuldade se relacionava com a interpretação dos enunciados dos problemas. Mesmo
que parecessem conhecer a matemática específica dos tópicos envolvidos nos
problemas, alguns alunos não conseguiam resolvê-los, em alguns casos porque não
conseguiam construir estratégias adequadas, em outros porque trabalhavam com uma
compreensão confusa dos enunciados. Sempre me interessei pela língua portuguesa,
mas durante os cinco anos em que permaneci trabalhando com aulas particulares, em
sua maioria de matemática, acabei me afeiçoando a esta disciplina e decidi que minha
graduação seria em Matemática (Licenciatura).
Durante o curso de graduação, me encantei ainda mais com a Matemática,
porém a questão da dificuldade dos alunos na interpretação de textos matemáticos e,
mais precisamente, dos enunciados dos problemas, ainda me inquietava. Fiz o curso de
Licenciatura em Matemática na Universidade Federal de São João del Rei – UFSJ,
depois fiz uma Especialização em Matemática, também na UFSJ, onde me iniciei na
pesquisa em Educação Matemática. Desde então, carreguei comigo o sentimento de que
precisava encontrar uma maneira de associar a língua portuguesa, a Matemática e a
Educação e foi no Mestrado Profissional em Educação Matemática na Universidade
Federal de Ouro Preto que vim a ter essa oportunidade. Após uma revisão inicial da
literatura especializada na Resolução de Problemas, pude perceber que existe uma
grande diversidade de pesquisas sobre esse assunto, algumas delas relacionadas
especificamente com a dificuldade de compreensão dos enunciados dos problemas, mas
ainda assim decidi desenvolver minha pesquisa de mestrado com o foco neste tema.
Um bom desempenho no que concerne à “Resolução de Problemas” é
considerado um dos objetivos principais do ensino da Matemática na Educação Básica.
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) a resolução de problemas é
o ponto de partida para a atividade matemática, sendo que, ainda segundo este
documento, o conhecimento matemático ganha significado quando os alunos são
expostos a situações desafiadoras e trabalham no sentido de desenvolver estratégias de
solução dos problemas que se apresentam a partir dessas situações.
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Pozo e Echeverria (1998) também destacam a necessidade e a importância da
resolução de problemas como conteúdo curricular da Educação Básica. Segundo eles:
Orientar o currículo para a solução de problemas significa procurar eplanejar situações suficientemente abertas para induzir nos alunos umabusca e apropriação de estratégias adequadas não somente para daremrespostas a perguntas escolares, como também às da realidadecotidiana (POZO E ECHEVERRIA, 1998, p.14).
De acordo com os PCN, os problemas não têm desempenhado, com o devido
vigor, seu papel no ensino escolar. Na maioria das vezes são utilizados apenas como
forma de aplicação de conhecimentos trabalhados anteriormente com os alunos:
[...] o saber matemático não se tem apresentado ao aluno como umconjunto de conceitos inter-relacionados, que lhes permite resolver umconjunto de problemas, mas como um interminável discursosimbólico, abstrato e incompreensível. Nesse caso, a concepção deensino e aprendizagem subjacente é a de que o aluno aprende porreprodução/imitação (Brasil, 1998, p.40).
Na mesma direção, Oliveira (2012), em uma análise de materiais didáticos para
a escola básica, conclui que atividades de reprodução ou repetição de algoritmos se
apresentam em grande número, enquanto situações desafiadoras aparecem em
quantidade bastante reduzida.
Outra questão fundamental referida na literatura é a constatação de uma grande
dificuldade de interpretação dos problemas pelos alunos, tornando-se, assim, rara e
esporádica a utilização da resolução de problemas como meio de estimular a
aprendizagem matemática. Brito e Oliveira (2008) destacam essa dificuldade de
interpretação dos enunciados e a relacionam com o pouco hábito de leitura dos
brasileiros. Além disso, segundo esses autores, o aluno não consegue transportar para a
sala de aula as mesmas estratégias que utiliza para interpretar questões do seu cotidiano.
Lorensatti concorda com Brito e Oliveira e afirma que “as mesmas operações realizadas
no dia-a-dia, quando propostas por professores ou organizadas nos livros didáticos, por
meio dos códigos matemático e linguístico, costumam se tornar verdadeiros enigmas”
(LORENSATTI, 2009, p.89). Assim, “em situações de ensino de matemática é
fundamental a mediação da Língua Materna que funciona como degrau natural na
aprendizagem da escrita” (MACHADO, 1994, p. 135). Castro (2003) também considera
que a ferramenta de trabalho mais importante do professor em sala de aula é a
linguagem e que esta participa da construção do conhecimento matemático.
9
Por outro lado, há que se considerar que a linguagem matemática não é
“natural”, como é a língua materna em sua versão usual no interior dos diferentes
grupamentos sociais. Esta última é aprendida num contexto social e familiar, intensiva e
extensivamente, enquanto a linguagem matemática só é trabalhada em contextos
particulares e específicos, normalmente tendo como base uma compreensão anterior da
língua portuguesa “culta”. Além disso, embora tenham estruturas e elementos de
precisão e de rigor bastante diferenciados, essas três categorias de linguagem
(matemática, linguagem oral cotidiana dos alunos e língua portuguesa culta) são
constituídas de muitas palavras em comum, em termos da pronúncia ou da escrita, mas
que possuem distintos significados em cada uma delas. Assim, é muito possível que um
professor, em sua fala em determinados momentos de suas aulas de matemática, esteja
utilizando palavras e expressões com significados próprios da linguagem matemática e
o aluno esteja tentando entender essa fala a partir dos significados usuais que essas
mesmas palavras e expressões possuem na linguagem que utiliza no cotidiano ou
mesmo na língua portuguesa culta. Isso pode ser um forte complicador no processo de
ensino e aprendizagem matemática, especialmente no Ensino Fundamental. Parece
importante, então, desenvolver uma atenção específica, na sala de aula de matemática,
ao trânsito frequente entre linguagens, de modo que esse trânsito se incorpore ao
processo de ensino. Além disso, é importante notar que os estudantes costumam ter
dificuldade com a própria língua portuguesa culta, fazendo com que a construção,
leitura e interpretação de textos não matemáticos no processo geral de escolarização
também não sejam tarefas simples para muitos deles.
De acordo com Smole e Diniz (2001), o cuidado na elaboração dos problemas e
o trabalho específico com a proposição de tarefas de interpretação de texto podem levar
os alunos a ler os enunciados dos problemas matemáticos com mais autonomia e
compreensão. Entretanto, é bom ter em mente que esses cuidados com a linguagem não
implicam, na realidade atual da escola brasileira, uma subordinação, simplista e
mecânica, da linguagem matemática e do português culto à linguagem oral cotidiana
dos alunos. Acreditamos que isso não seria produtivo no processo de desenvolvimento
da educação escolar nas condições vigentes nem seria de implementação viável como
inciativa individual de alguns professores de matemática da escola básica. O que nos
parece viável, neste momento histórico, é desenvolver um esforço didático-pedagógico
no sentido de tornar acessível ao aluno a possibilidade de reconhecer o contexto
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adequado, dentro do processo de aprendizagem matemática escolar, em que devem ser
interpretados os textos dos enunciados dos problemas matemáticos com os quais precisa
lidar nesse processo. Assim, nossa pesquisa buscou avaliar as limitações e as
potencialidades didáticas e pedagógicas de um conjunto de atividades em sala de aula
(elaboradas a partir de nossa experiência profissional e de indicações feitas em estudos
científicos já desenvolvidos sobre o tema). Avaliamos o trabalho didático com essas
atividades em termos de seu potencial de promover avanços significativos no processo
de compreensão, por parte de alunos do sexto ano da Educação Básica, dos enunciados
dos problemas matemáticos escolares e, a partir daí, na construção de estratégias
adequadas de resolução.
O presente relato está organizado em quatro capítulos, além desta Introdução,
das Considerações Finais, das Referências e dos apêndices. No primeiro capítulo
fazemos uma revisão da literatura que nos pareceu pertinente, comentando,
abreviadamente, os trabalhos que auxiliaram no embasamento da pesquisa. No segundo
capítulo, apresentamos os procedimentos metodológicos utilizados na estruturação e
aplicação das atividades. No terceiro, descrevemos os dados da pesquisa obtidos a partir
da realização das atividades em sala de aula e no quarto fazemos a análise desses dados,
apresentando nossa resposta para a questão de pesquisa. Encerramos o texto com as
Considerações Finais, em que situamos nossos resultados em relação à literatura
específica sobre a temática trabalhada e apresentamos as conclusões que o trabalho
permitiu extrair.
11
CAPÍTULO 1
REVISÃO DE LITERATURA
Neste capítulo, tratamos da temática Resolução de Problemas no ensino da
matemática, destacando as diferentes concepções que encontramos na literatura. Em
seguida são abordadas algumas dificuldades identificadas no trabalho escolar com o
tema. Finalmente mencionamos algumas questões referentes às relações entre a
linguagem matemática, a linguagem oral cotidiana e o português culto, tendo como
pano de fundo a interpretação de textos matemáticos. Apresentamos também os
resultados de um levantamento das pesquisas sobre a temática geral de Resolução de
Problema no ensino escolar feito a partir do Portal de teses e dissertações da CAPES.
1.1 Resolução de Problemas
Resolver problemas é uma prática intrínseca ao ser humano ao longo de sua
existência. “A História da Matemática mostra que ela é proveniente de diferentes
origens e contextos, motivada por problemas de ordem prática (divisão de terras,
cálculo de créditos) e por problemas vinculados a outras ciências (Física, Astronomia)
” (BRASIL, 1998, p.40). Segundo Kilpatrick e Stanic (1989), os problemas compõem
os currículos de matemática desde a antiguidade, estando registrados em documentos
milenares, como os papiros egípcios. Contudo, de acordo com esses autores, somente no
início do século XX surge a preocupação com o uso da resolução de problemas como
ferramenta de ensino de matemática. A abordagem da Resolução de Problemas começa
a se destacar nos currículos escolares em meados do século XX, depois da publicação
da obra A arte de Resolver Problemas, de G. Polya, em 1945. Machado (1987) vê a
Resolução de Problemas como uma forte tendência dentro da Educação Matemática
hoje, na medida em que expressa uma postura de educadores e professores engajados
em rever suas metodologias de ensino da matemática na escola. Onuchic (2003) destaca
que a Resolução de Problemas, como metodologia de ensino, pode contribuir para
substituir a postura passiva, tradicionalmente imposta aos alunos, por uma atitude mais
ativa e interessada frente ao aprendizado. Assim, a Resolução de Problemas tem sido
trabalhada também como uma metodologia em que o problema é visto como um ponto
de partida para a atividade matemática escolar.
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Através da resolução de problemas, o aluno pode desenvolver um tipo de
habilidade que lhe proporciona autonomia para a aprendizagem. Supõe-se que, se tiver
oportunidades, durante sua vida escolar, de matematizar diferentes situações-problema,
poderá desenvolver experiência e capacidade específica para enfrentar e resolver
problemas sociais mais gerais, eventualmente relevantes em seu dia a dia, e que sejam
passíveis de uma abordagem matemática. Além disso, desenvolverá, evidentemente, sua
capacidade de resolução de problemas matemáticos escolares. Enfim, teria adquirido
condições de apreciar melhor a força e o sentido da matemática escolar, tanto na escola
como fora dela.
Segundo os PCN (1997), um problema matemático demanda a realização de
uma sequência de ações ou operações mentais para obter uma resposta ou resultado.
Uma compreensão profunda da situação de onde emerge o problema permite ao aluno
construir uma solução que, em princípio, não se encontra disponível. Resolver um
problema pressupõe, portanto, que o aluno elabore uma ou várias estratégias de
resolução, execute os procedimentos correspondentes, realizando simulações, tentativas,
criticando e avaliando essas tentativas, formulando novas hipóteses, se for o caso.
Posteriormente, é importante comparar seus próprios resultados com os de outros alunos
engajados na resolução do mesmo problema, a fim de “validar” seus procedimentos.
Dessa maneira,
[...] o aluno precisa ser estimulado a questionar sua própria resposta, aquestionar o problema, a transformar um dado problema numa fontede novos problemas, evidenciando uma concepção de ensino e deaprendizagem não pela mera reprodução de conhecimentos, mas pelavia da ação refletida que constrói conhecimentos (BRASIL, 1997,p.33).
Para Pozo (1998), um problema é uma situação nova onde não cabem
procedimentos automáticos que permitem a solução de forma imediata, mas que exige
um processo de reflexão e construção de uma sequência de passos a serem
adequadamente realizados. Se a questão exige apenas a utilização de habilidades ou
técnicas já aprendidas, o aluno está só exercitando uma técnica, realizando tarefas já
conhecidas, não está efetivamente resolvendo um problema.
A literatura especializada costuma referir-se à temática que temos em foco sob
dois aspectos complementares: a heurística da resolução de problemas e o ensino de
matemática através da resolução de problemas. Sob o primeiro aspecto, destacam-se
quatro passos fundamentais, indicados no clássico livro de Polya (1977): 1) a
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compreensão do enunciado do problema; 2) a concepção de um plano de resolução; 3) a
execução do plano; 4) o exame retrospectivo da solução alcançada. Sob o segundo
aspecto, o processo é trabalhado como uma metodologia de ensino em que o problema
constitui um ponto inicial. Nesse caso, é importante que os problemas propostos estejam
atrelados ao cotidiano do aluno e que possibilitem o seu desenvolvimento matemático,
num exercício de reflexão a respeito da realidade que o cerca.
Dante (1988) identifica seis tipos de problemas matemáticos:
1. Exercícios de reconhecimento: têm o objetivo de testar se determinados
conceitos ou propriedades foram aprendidos;
2. Exercícios de algoritmos: resolver operações diretamente solicitadas;
3. Problemas-padrão: o aluno precisa “traduzir” para a linguagem matemática
para, então, produzir a solução;
4. Problemas-processo ou heurísticos: a resolução não pode ser encontrada
utilizando apenas os dados fornecidos no enunciado, necessitando mobilizar
conhecimentos específicos da situação-problema;
5. Problemas de aplicação: exigem o uso de conceitos, técnicas, procedimentos,
domínio da linguagem, abstrações etc. para matematizar situações reais;
6. Problemas de quebra-cabeça: desafios que dependem, quase sempre, de um
ou mais “truques”.
Em nossa pesquisa, trataremos prioritariamente dos problemas-padrão, já que
nosso principal interesse não é exercitar a resolução de problemas como metodologia de
ensino de tópicos ou conceitos matemáticos específicos, e sim realizar um trabalho com
a linguagem e interpretação de textos matemáticos, visando favorecer o
desenvolvimento da capacidade de resolução de problemas no sexto ano do Ensino
Fundamental. Para uma maior efetividade no ensino e aprendizagem da matemática em
geral, é importante que o aluno tenha uma adequada familiaridade com o texto
matemático. Conforme comentado anteriormente, dificuldades com a linguagem
matemática podem levar a interpretações errôneas e, consequentemente, a complicações
na compreensão dos textos matemáticos ao longo da vida escolar. É nessa direção de
desenvolvimento intelectual do aluno da escola que o nosso estudo pretende contribuir.
1.2 Dificuldades usuais na resolução de problemas matemáticos
14
Dentre as dificuldades encontradas diante de enunciados de problemas
matemáticos, Freitas (2015) destaca o vocabulário limitado dos alunos. Tais
dificuldades são mais ou menos naturais porque os alunos da escola, em geral, são ainda
crianças ou adolescentes, e, portanto, estão, naturalmente, por desenvolver uma maior
riqueza de vocabulário em função do correspondente desenvolvimento de sua
experiência de vida em geral. Mas também, observa-se que, muitas vezes, as palavras
utilizadas nesses enunciados não fazem parte do cotidiano de comunicação de ideias no
seio das comunidades a que pertence uma grande parcela do alunado escolar. É
importante destacar ainda que, além do pouco hábito de leitura dos brasileiros em geral,
há também que se considerar a questão do pertencimento a classes sociais com maior ou
menor acesso à “linguagem culta”, linguagem esta que é parte do capital simbólico e
cultural normalmente implícito nos valores subjacentes ao processo de escolarização
básica (Bourdieu, 2003). Entretanto, estudos indicam que tais limitações de acesso à
linguagem culta podem ser, se não superadas, pelo menos amenizadas, com a utilização
de estratégias de trabalho docente escolar que se concentrem especificamente na
valorização da compreensão dos enunciados dos problemas matemáticos, a partir de
suas particularidades discursivas. Tais pesquisas indicam que a compreensão bem-
sucedida dos enunciados dos problemas depende da familiaridade com o gênero
discursivo específico (enunciados de problemas matemáticos) e dos termos e expressões
que neles se encontram, além da retenção das informações contidas nos problemas e da
mobilização de conhecimentos prévios.
Para Wittgenstein “Ensinar uma linguagem [...] não é explicar, mas antes é
adestrar” (WITTGENSTEIN, 2005, p.39). Normalmente, o indivíduo é inserido num
ambiente em que se usam determinadas palavras, de modo que passa a entender o
sentido dessas palavras através do uso. Ainda de acordo com Wittgenstein, não existe
uma linguagem, mas sim linguagens, ou ainda, jogos de linguagem, com uma variedade
de usos em diferentes situações. Na atividade matemática, recorremos aos jogos de
linguagem, entre outras situações, na substituição de valores específicos numa fórmula,
na execução de um algoritmo, na interpretação de gráficos, na interpretação dos
enunciados dos problemas etc. Assim, na resolução de problemas, entendemos que não
seria o trabalho com uma linguagem artificialmente “mais simples” que levaria
necessariamente à superação, a médio prazo, das dificuldades de compreensão dos
enunciados. Acreditamos que a produção de familiaridade com o texto padrão a partir
15
de seu uso, tal como se apresenta no contexto escolar, poderia contribuir de modo mais
efetivo, uma vez que, desta forma, o aluno adequar-se-ia, gradativamente, ao sistema
padrão de comunicação das ideias matemáticas, bem como a um processo de
reconhecimento do contexto em que os textos matemáticos são produzidos. Smole e
Diniz (2001), por exemplo, afirmam que há necessidade de um trabalho pedagógico
específico com o texto de problemas nas aulas de matemática. Fonseca e Cardoso
(2005) também destacam a importância de um trabalho com os gêneros textuais.
Segundo as autoras [...] é necessário conhecer as diferentes formas em que o conteúdo
do texto pode ser escrito. Essas diferentes formas também constituem especificidades
dos gêneros textuais próprios da matemática, cujo reconhecimento é fundamental para
a atividade de leitura (FONSECA e CARDOSO, 2005, p.65).
1.3 O que dizem as pesquisas sobre o tema
Realizamos um levantamento de pesquisas feitas nos programas de pós-
graduação brasileiros, considerando, prioritariamente, aspectos ligados à interpretação
de textos e enunciados de problemas matemáticos. Nesse sentido, recorremos ao banco
de teses e dissertações da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível
Superior (CAPES) e à Biblioteca Digital de Teses e Dissertações do Instituto Brasileiro
de Informação em Ciência e Tecnologia (IBICT), utilizando os seguintes conjuntos de
palavras-chave: problemas matemáticos interpretação dificuldade, linguagem
matemática interpretação dificuldade, problemas matemáticos linguagem, resolução de
problemas interpretação, problemas matemáticos compreensão enunciados, problemas
matemáticos enunciados. Foram localizadas 355 pesquisas e a partir das informações
contidas nos resumos, foram selecionadas trinta produções que seriam de nosso
interesse direto. Inicialmente, a seleção teve como critério: (a) que a pesquisa tivesse
como objeto principal de estudo a dificuldade de interpretação dos enunciados de
problemas matemáticos, (b) relações entre problemas matemáticos e linguagem e (c)
utilização de problemas matemáticos no ensino escolar.
Das 30 pesquisas selecionadas, 03 são teses de doutorado e 27 dissertações de
mestrado. Podemos agrupá-las em três categorias: 14 tratam da importância do trabalho
com resolução de problemas para os processos de ensino e de aprendizagem da
matemática, 5 versam sobre as estratégias cognitivas utilizadas pelos alunos durante a
16
resolução dos problemas e 11 investigam a dificuldade de resolução dos problemas
matemáticos, alguns focando diretamente a interpretação dos textos matemáticos,
enquanto outros se ligam na compreensão do problema e na articulação dos dados com
estratégias de solução.
Dentre as pesquisas que enfatizam a importância da Resolução de Problemas
como metodologia de ensino, podemos citar Poffo (2011), Dantas (2011), Morais
(2010), Comério (2012), Hoffman (2012), Alves (2006), Redling (2011), Oliveira
(2012), Lima, (2012), Luna (2011), Müller (2015), Obst (2015), Lavigne (2015) e
Feitosa (2015). Todos os autores acima mencionados concordam com Onuchic e
Alevato a respeito da ideia geral de que ensinar matemática através da resolução de
problemas desenvolve a capacidade do aluno de pensar matematicamente e de utilizar
diferentes estratégias em diferentes problemas, melhora sua autoestima e confiança,
reforçando ou construindo uma crença de que a matemática faz sentido. Poffo, por
exemplo, constatou que
[...] os alunos utilizaram seus conhecimentos matemáticos comorecursos para interpretar, analisar e resolver problemas em diversoscontextos. [...] desenvolveram e aprimoraram sua capacidade deinvestigação e perseverança na busca de resultados para a solução dassituações-problema trabalhadas... (POFFO, 2011, p.101).
Os estudos de Santiago (2011), Silva (2012), Lima (2007), Leite (2014) e Lima
(2014) indicam, como já comentado, que há uma forte interação entre a linguagem
matemática e a língua portuguesa quando se foca a compreensão dos enunciados dos
problemas. Dentre outros aspectos, Lima (2014) comparou o uso de expressão oral e
escrita, na descrição das resoluções de problemas por parte dos sujeitos de sua pesquisa,
constatando que o registro oral é, em geral, mais rico do que o escrito e que a mediação
do professor durante a atividade é fundamental para que o aluno avance.
Nas investigações sobre as dificuldades no aprendizado matemático,
encontramos estudos voltados para a metodologia de ensino, para a linguagem
matemática em geral e para os processos de resolução de problemas (Weber, 2012;
Lorensatti, 2011; Moura, 2007; Ligeski, 2013; Rabelo, 1995; Albuquerque, 2007;
Yamasaki, 2014; Araújo, 2015; Freitas, 2015; Loureiro, 2013; Pereira, 2015).
Pacheco (2000, apud Moura 2007) identificou em sua pesquisa alguns fatores
que podem dificultar o trabalho docente com a resolução de problemas: a postura
impaciente do professor, diante das dificuldades apresentadas pelos alunos; vocabulário
17
utilizado nos enunciados dos problemas, inadequados à faixa de idade dos alunos;
insegurança do professor, que leva muitas vezes a uma espécie de algoritmização da
resolução através de passos a serem seguidos. Para Moura (2007), é preciso que o aluno
consiga ativar esquemas, evocar conceitos e criar representações mentais a fim de que
possa produzir soluções para um problema. Além disso, ainda segundo a autora, a
verbalização deve ser trabalhada, já que algumas crianças podem não ter familiaridade
com o conhecimento linguístico e conceitual necessário para entender a situação-
problema apresentada. Brito et.al (1994) concordam que a leitura interpretativa é muito
importante para se chegar à compreensão e resolução de um problema. Nesher e Teubal
(1975, apud Moura, 2007) evidenciaram dificuldades de alguns estudantes em traduzir a
formulação verbal dos problemas para a linguagem matemática correspondente. Os
autores constataram que alguns alunos têm dificuldade em compreender o problema
proposto, devido ao entendimento inadequado das palavras utilizadas no enunciado e do
não reconhecimento das relações matemáticas associadas à situação descrita.
Para tentar minimizar as dificuldades de interpretação dos enunciados, Hoffman
(2012) e Dantas (2011) utilizaram, em aulas de matemática, diversas técnicas de leitura
de textos em diferentes gêneros discursivos, conseguindo perceber avanços na
compreensão dos enunciados dos problemas matemáticos. Duarte et al. (2013)
consideram a atividade com a linguagem matemática peça primordial para a
compreensão dessa importante área do conhecimento. Os autores ainda destacam a
relevância do papel do educador no sentido de facilitar a compreensão e,
consequentemente, a aprendizagem dos alunos.
Podemos inferir que existe um consenso, na literatura científica especializada,
em torno da ideia de se trabalhar a leitura e a escrita em matemática, ainda que não se
consiga, tão frequentemente como seria desejável, colocar essa ideia em prática nas
salas de aula da escola. Segundo Cagliari (2010), há uma tendência, entre os professores
de matemática, de pensar que ler e compreender um texto é um problema que cabe ao
professor de língua portuguesa resolver. Existe ainda uma crença amplamente acatada,
embora muitas vezes não explicitada, de que a língua portuguesa e a matemática são
disciplinas opostas. Smole e Diniz (2001) ressaltam que as habilidades de ler e escrever,
por um lado, e resolver problemas, por outro, têm sido tratadas separadamente no ensino
e que atribuir exclusivamente às aulas de língua portuguesa a responsabilidade de tornar
os alunos competentes leitores e escritores distancia ainda mais a matemática do mundo
18
real, pois ela passa a ser vista apenas reduzida ao trabalho com números e, muitas vezes,
sem significado.
A importância da prática de leitura nas aulas de matemática, de acordo com
Carrasco (2001), está centrada nas possibilidades que ela oferece para o aluno, através
da imersão nos meandros de um texto, a oportunidade de extrair significados daquilo
que se lê. Outro recurso importante, segundo Smole e Diniz (2001), é a oralidade, que
deve ser utilizada para favorecer a aprendizagem da matemática na escola:
Estimulando esse falar, estamos permitindo que os alunos modifiquemconhecimentos prévios e construam novos significados para as ideiasmatemáticas. Dessa forma, simultaneamente, os alunos refletem sobreos conceitos e os procedimentos envolvidos na atividade proposta,apropriam-se deles, revisam o que não entenderam, ampliam o quecompreenderam, e, ainda, explicitam suas dúvidas e dificuldades.(DINIZ; SMOLE, 2001, p.17)
A formulação de problemas, também é considerada importante atividade no
desenvolvimento do ensino da matemática na escola. Para Medeiros e Santos,
[...] na Matemática, a atividade de formulação de problemasmatemáticos é tão importante quanto a resolução de problemas.Ao passarmos à sala de aula, aquela atividade passa a ter, ainda,uma importância primordial para os alunos, uma vez que estáassociada à sua criatividade. Sob este ponto de vista, aformulação de problemas matemáticos constitui um ricopotencial didático ...(MEDEIROS; SANTOS, 2007, p.88).
Pozo (1998) aponta também algumas técnicas que, se exercitadas, ajudariam a
avançar na compreensão dos enunciados de problemas matemáticos. Por exemplo:
expressar o problema com suas próprias palavras; explicar aos colegas em que consiste
o problema; representar o problema em diagramas, figuras etc.; indicar qual é a meta do
problema; apontar onde reside a dificuldade da tarefa; separar os dados relevantes dos
não relevantes; indicar os dados com os quais contamos para resolver a tarefa; indicar
quais os dados que não estão presentes no enunciado, mas que são necessários para
resolver a tarefa; procurar um problema semelhante e que já tenha sido resolvido;
analisar inicialmente alguns exemplos concretos, quando o problema é muito geral;
procurar diferentes situações (cenários, contextos, tarefas etc.) nas quais esse problema
possa fazer sentido.
Machado (2009) propõe o desenvolvimento da capacidade de imaginação, como
complemento à capacidade de contextualização. Segundo esse autor, precisamos saber
lidar com problemas de nossa realidade, mas as abstrações matemáticas residem
19
também no polo das extrapolações e da imaginação. E, nesse sentido, haveria uma
relação natural entre a matemática e os contos de fadas, como também entre a
matemática e a teatralização, esta última diretamente relacionada à imaginação vivida
pelos atores na representação de personagens em histórias fictícias.
A proposta da nossa pesquisa é entender as possibilidades didáticas (e as
limitações) de uma sequência de atividades de sala de aula, construída a partir das
conclusões e indicações da literatura especializada, revisada acima de forma abreviada,
e envolvendo leitura, escrita, formulação de problemas, narração de histórias,
representação através de teatros/mímicas, uso de diagramas e desenhos para a
construção de interpretações de enunciados e resolução de problemas matemáticos.
Assim, a nossa questão de investigação pode ser formulada da seguinte maneira:
Como uma sequência de atividades, elaboradas a partir dos resultados de estudos e
pesquisas sobre Resolução de Problemas, no campo da Educação Matemática, pode
contribuir para o desenvolvimento da capacidade de interpretação dos enunciados de
problemas matemáticos de alunos do sexto ano do Ensino Fundamental?
A decisão de desenvolver a pesquisa com alunos do sexto ano do Ensino
Fundamental se deve ao fato de que, nessa etapa, os alunos estão em uma fase de
transição do Ensino Fundamental I para o Fundamental II, em que se desenvolve ainda
um processo de adaptação ao trabalho com professores específicos para cada disciplina
e a um novo tipo de ambiente escolar. Acreditamos que um trabalho com a linguagem
matemática possa ser de extrema importância nessa transição. Além disso, alunos do
sexto ano podem estar um pouco mais familiarizados com certas expressões e jogos de
linguagem do que em anos escolares anteriores, o que facilitaria, em princípio, a
aceitação, o reconhecimento e o eventual domínio de um vocabulário diferenciado,
pertencente especificamente à linguagem matemática.
20
CAPÍTULO 2
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Construímos, em função das questões identificadas a partir da revisão de
literatura, um conjunto de atividades didáticas para uso em sala de aula, envolvendo
interpretação de enunciados: oralidade, formulação de problemas, descrições,
encenações e mímicas. Trabalhamos essas atividades numa turma do 6° ano do Ensino
Fundamental de uma escola pública do interior de Minas Gerais. A turma era composta
por 23 alunos, porém apenas 22 foram considerados participantes, já que um deles foi
faltoso à maioria dos encontros. Para preservarmos a identidade dos alunos, os
denominamos como A1, A2, A3, ..., A22. Na produção dos dados utilizamos o diário de
campo com as observações da pesquisadora e os registros das atividades realizadas
pelos alunos. Recorremos também ao auxílio de gravação (em áudio e vídeo) das aulas
durante o período de campo.
As atividades foram desenvolvidas pela pesquisadora durante as aulas da
professora de matemática regular da turma, que também auxiliou nos procedimentos de
sala de aula. A realização das atividades foi feita em 18 encontros, perfazendo o total de
4,5 semanas, distribuídas em 3 meses, de março a junho de 2017. As atividades foram
planejadas para cada grupo de encontros, sendo que no primeiro realizamos uma
sondagem inicial, com o objetivo de situar as possíveis dificuldades dos alunos em
relação à interpretação e resolução de problemas, bem como o de comparar com o
desempenho desses alunos na sondagem final, após a realização das atividades
planejadas.
A sondagem inicial constou de problemas variados envolvendo as quatro
operações com os números naturais. Os problemas tinham características diferentes:
alguns exigiam mais de um “passo” para sua resolução, outros demandavam alguma
familiaridade com o raciocínio combinatório, havia problemas que exigiam o uso de
operações sucessivas com números, problemas com mais de uma solução e também
exercícios simples de resolução “direta”, a fim de permitir reconhecer o que os alunos já
sabiam a respeito de certos elementos relacionados com as operações e seus algoritmos.
No segundo encontro, realizamos a discussão dos exercícios constantes da
sondagem inicial. A discussão foi um procedimento realizado sempre depois de cada
bloco de atividades e tinha a finalidade de permitir aos alunos avaliar a correção ou
21
incorreção de suas estratégias, bem como as possíveis limitações, além de oferecer-lhes
a possibilidade de expor e discutir as suas resoluções, proporcionando-nos um melhor
entendimento das dificuldades enfrentadas por eles no desenvolvimento das atividades.
No terceiro encontro iniciamos o primeiro bloco de atividades. Elas abordavam a
leitura e a escrita, bem como interpretação, descrição e formulação de problemas. Tais
tarefas foram realizadas individualmente. Smole e Diniz (2001), Carrasco (2001),
Fonseca e Cardoso (2005) dentre outros, afirmam que esses tipos de tarefa abrem
possibilidades didáticas de superação de dificuldades relativas à compreensão do
enunciado de problemas matemáticos. A formulação de problemas, para Dante (2009) e
Medeiros e Santos (2007), caracteriza uma metodologia útil no sentido de exercitar a
criatividade e de favorecer as percepções dos alunos a respeito da estrutura dos
problemas matemáticos. No quarto encontro prosseguimos com as atividades do Bloco
1 e no encontro seguinte, fizemos a discussão.
O sexto e sétimo encontros foram utilizados para as atividades do Bloco 2, que
envolviam leitura e interpretação de texto, problemas com “excesso” de dados (alguns
dados irrelevantes), problemas com várias soluções e problemas sem solução. De
acordo com Mandel (1994), os problemas sem solução permitem que os alunos
relativizem criticamente suas limitações no entendimento do problema, a partir da
percepção de que, em alguns casos, os dados fornecidos não permitem produzir uma
solução válida, o que reforça a compreensão estrutural do problema (verificação das
relações entre os dados e a pergunta). Além disso, o erro passa a ser visto, por muitos
alunos, como uma possibilidade que transcende o simples conhecimento matemático e
pode se localizar, de alguma forma, na própria formulação do problema (MANDEL,
1994). Esta atividade foi realizada em dupla. No oitavo encontro realizamos a discussão
das tarefas constantes desse bloco.
O nono, décimo e décimo primeiro encontros foram utilizados no
desenvolvimento das atividades do Bloco 3, que tratava de questões envolvendo a
teatralização de situações-problema, encenações, mímicas e desenhos. Machado (2009),
propõe as atividades de teatralização e mímica visando o desenvolvimento de diferentes
formas de linguagem na comunicação de ideias, além de servir como exercícios
concretos de aprofundamento, tanto da compreensão como da contextualização das
ideias envolvidas nos enunciados. Os desenhos e diagramas são enfaticamente sugeridos
por vários autores (e.g., Pozo, 1998), pois ajudam na compreensão e síntese dos textos
22
dos enunciados. A atividade foi realizada em grupos de 4 pessoas e a discussão das
tarefas desse bloco aconteceu simultaneamente com a execução da atividade.
No décimo segundo e décimo terceiro encontros realizamos as atividades do
Bloco 4, que envolviam identificação de dados relevantes e irrelevantes em problemas
matemáticos, baseadas nas técnicas propostas por Pozo (1998). A atividade foi realizada
em duplas e a discussão, assim como no bloco anterior, foi realizada à medida em que
as questões eram finalizadas pelos alunos.
Do décimo quarto ao décimo sexto encontro, trabalhamos o Bloco 5 que
envolvia problemas com dois ou mais passos. Desenvolvemos nesse bloco novas
atividades com formulação de problemas, de acordo com as sugestões de Dante (2009) e
Medeiros e Santos (2007). No décimo sétimo encontro realizamos a discussão das
tarefas do Bloco 5. Todas as tarefas envolviam, propositadamente, o trabalho com a
oralidade, conforme indicam Smole e Diniz (2001).
O décimo oitavo e último encontro foi destinado à sondagem final, com
atividades similares às da sondagem inicial, a fim de possibilitar algum tipo de
comparação.
O conjunto de questões compondo cada uma das atividades está mostrado nos
APÊNDICES, ao final deste texto.
23
CAPÍTULO 3
OS DADOS E ALGUMAS OBSERVAÇÕES PRELIMINARES
Apresentamos os dados juntamente com a descrição da realização das atividades,
separadas por blocos, comentando, no mesmo movimento, os registros e a participação
dos alunos.
3.1 Bloco 1
Foram realizadas, em 3 encontros, as atividades do bloco 1, que abordam leitura,
escrita, interpretação, descrição e formulação de problemas, desenvolvidas
individualmente. Os dois primeiros encontros foram destinados à realização das
atividades pelos alunos e no terceiro foi feita a discussão geral.
No primeiro dia trabalhamos leitura, escrita, interpretação e descrição. Pedi aos
alunos que lessem com atenção o texto “Tão visível e vivenciada quanto despercebida”
para depois responderem algumas questões relacionadas ao texto lido.
Figura 1: Texto do exercício 1 do Bloco 1
Fonte: Dantas 2011.
24
Ao final do texto, seguiam-se cinco perguntas:
a) Você gostou do texto? Por quê?
b) Podemos afirmar que esse texto é um poema? Por quê?
c) Você acha que a matemática está presente na sua vida? De que forma?
d) “Nos sólidos geométricos,
Das rochas a beira mar,”
Por que o autor classificou as rochas como sólidos geométricos?
e) Associe alguns elementos citados no texto a figuras geométricas que você
conhece.
Comentários da pesquisadora: A7, uma aluna que costuma conversar e brincar
muito durante as aulas e geralmente participa pouco das atividades, perguntou:
professora, o que é “ambrolhos”? (Referia à palavra “abrolhos”, do texto). Em outro
momento a mesma A7 pergunta, em voz alta: “professora, porque esse texto é um
poema?” (talvez querendo obter a resposta para a pergunta da letra b) e A17 responde:
“porque ele rima”.
Comparando o registro na folha de respostas com o que foi dito em sala durante
as atividades, pode-se conjecturar que A7 não fez uma leitura atenta do texto. Perguntar
o significado de “ambrolhos”, quando está escrito abrolhos no texto é uma indicação
dessa possível desatenção na leitura, num sentido estrito (a grafia da palavra). Por outro
lado, nas respostas apresentadas na figura 2 abaixo, quando perguntada se gostou do
texto, A7 responde simplesmente “As rimas” e explica: “Porque combina”. Essa é outra
indicação de desatenção na leitura, agora no sentido semântico, ou seja, a resposta não
parece ter sido construída para a pergunta efetivamente formulada. Talvez pudesse
constituir uma resposta adequada para uma pergunta do tipo “O que você gostou no
texto?”. Destacamos esse ponto por sua importância crucial na interpretação de textos
matemáticos, como referido recorrentemente na literatura que trata dessa temática,
especialmente na resolução de problemas. Um problema matemático, na escola, quase
sempre termina com uma pergunta, cuja resposta deve ser construída a partir do que foi
dado no enunciado. Assim, fica muito difícil, se não impossível, produzir estratégias
adequadas para a resolução do problema, se a pergunta não é muito bem compreendida.
25
Figura 2: Exercício 1 bloco 1, respostas dos itens a e b da aluna A7
Fonte: Dados da pesquisa.
As respostas para a pergunta da letra a) indicam que a maioria dos alunos gostou
do texto e soube expressar a razão que os levou a gostar. Eis algumas das razões
apresentadas: “Sim, porque a mensagem é boa”, “Sim, porque é muito criativo”, “Sim,
porque fala da importância da geometria”, “Sim, porque gosto de poemas”. Embora as
frases sejam curtas e pouco elaboradas em termos das ideias expressas no texto, estão
bem construídas, objetivas e adequadas, como respostas possíveis à pergunta formulada.
Durante a atividade em sala, perguntei aos alunos se haviam gostado do texto.
A9 respondeu que não. Em seu registro, fica confirmada essa negativa:
Figura 3: Exercício 1 bloco 1, respostas a e b do aluno A9
Fonte: Dados da pesquisa.
A9 afirma que o texto é um poema “porque ele tem muitos parágrafos”.
Como diz não gostar de poemas na letra a), pode-se inferir que este aluno não
gosta de textos com muitos parágrafos. Vários alunos responderam da mesma
forma, embora, ao contrário de A9, tenham gostado do texto. Outros citaram a
existência das rimas, dica dada em voz alta por A17. A8 diz que é “porque ele
tem as frases bem curtas”.
Figura 4: Exercício 1 bloco 1, resposta de A8
26
Na letra c) perguntava-se:
c) Você acha que a matemática está presente na sua vida? De que forma?Fonte: Dados da pesquisa.
A8 cita como exemplo o café da manhã, quando utiliza meia xícara de leite e “a
outra de café”, referindo-se provavelmente à outra metade, de modo a associar a
situação com o uso das frações.
Muitos alunos deram exemplos do cotidiano, como a expressão numérica da
quantidade de roupas, frutas, sapatos e também “pela soma de dinheiro que nós vamos
dar para comprar um pão na padaria”, conforme registro de A18. Alguns mencionaram
as formas geométricas, como quadros e cadernos retangulares etc.
A9 também cita a utilização do dinheiro no cotidiano:
Figura 5: Exercício 1 bloco 1, resposta do aluno A9
27
Fonte: Dados da pesquisa.
Podemos perceber uma dificuldade com a escrita e a expressão das ideias. As
palavras “condo”, “vomo”, “pissaria”, “lachonete”, “soma” (no lugar de somar)
compõem uma frase que, além das falhas gramaticais, não se finaliza adequadamente,
remetendo o leitor a não mais que uma conjectura do que se pretendia dizer. Esse tipo
de dificuldade na expressão de ideias por escrito pode facilmente se reverter para a
leitura, comprometendo a compreensão de um texto em que a precisão do significado
das sentenças tem um sentido fundamental, como nos enunciados de problemas
matemáticos.
A3 responde a pergunta da letra c) conforme figura abaixo.
Figura 6: Exercício 1 bloco 1, resposta do aluno A3
Fonte: Dados da pesquisa.
Neste caso também, não se pode saber exatamente a que A3 se refere. Pode ser
que esteja associando a matemática à resolução de problemas da “vida real”, mas
poderia estar se referindo a seus próprios problemas com a matemática, na escola.
Nas respostas à pergunta da letra d), temos diferentes registros parecidos com o
de A1, mostrado na figura abaixo.
Figura 7: Exercício 1 bloco 1, resposta do aluno A1
Fonte: Dados da pesquisa.
Como destacamos acima, alguns alunos responderam como A1, procurando
justificar a classificação do autor com argumentos de ‘figuras planas e não-planas’. No
28
caso de A1, se trocarmos a expressão figura geométrica por sólidos geométricos a
resposta fica bastante razoável (desconsiderando a gramática, no que tange à
concordância). Outras respostas semelhantes registradas foram: “Porque a rocha tem um
formato parecido com várias figuras geométricas”, “Porque cada uma delas tem seu
tamanho e formato”, “Porque eles tem o mesmo formato”.
Figura 8: Exercício 1 bloco 1, resposta do aluno A6
Fonte: Dados da pesquisa.
Também há registros parecidos com o de A6, em que fica claro o entendimento
de que um sólido tem 3 dimensões.
Outros, como A17 e A11, justificaram a classificação do autor pelo formato das
rochas serem o de sólidos curvilíneos, como se pode ver nas figuras abaixo.
Figura 9: Exercício 1 bloco 1, resposta do aluno A17
Fonte: Dados da pesquisa.
Figura 10: Exercício 1 bloco 1, resposta do aluno A11
Fonte: Dados da pesquisa.
De um modo geral, os alunos parecem ter entendido a pergunta, ainda que nem
todas as respostas tenham sido matematicamente corretas.
29
Na letra e), pedia-se para associar elementos do texto com figuras geométricas
que eles conheciam. A maioria dos alunos, como A12, desenhou figuras espaciais ou
planas, colocando os respectivos nomes, mas não fizeram a associação solicitada com os
elementos do texto, o que sugere que podem não saber o significado da palavra associar
ou que não viram necessidade de explicitar os elementos do texto associados às figuras
desenhadas. Ou, ainda, que fizeram uma leitura rápida, passando a responder a pergunta
sem uma releitura do texto e/ou da própria pergunta que procuravam responder. No
entanto, como foi explicado o significado de ‘associar’, quando da apresentação da
atividade aos alunos, talvez seja razoável concluir que a dificuldade esteja na execução
efetiva da associação pedida e menos no significado da palavra. Por outro lado,
observamos que não foi pedido que explicitassem os elementos do texto associados às
figuras geométricas, o que pode dar margem a um entendimento de que era necessário
listar apenas as figuras geométricas que o aluno conhece, supondo-se uma referência
implícita a certos elementos do texto, como no caso da resposta de A12, mostrada
abaixo.
Figura 11: Exercício 1 bloco 1, resposta do aluno A12
Fonte: Dados da pesquisa.
Na tarefa de número 2, houve dúvida geral sobre o que deveriam fazer. O
enunciado era:
2) Em cada caso desenhe a figura geométrica pedida e escreva uma frase (ou mais de uma) que descreva suas características essenciais.
a) Desenhe um retângulo Descrição
b) Desenhe um triângulo Descrição
c) Desenhe um quadrado Descrição
d) Desenhe um círculo Descrição
30
A3 perguntou o que poderia escrever na descrição, talvez por não saber atribuir
um significado a ‘características essenciais’.
Figura 12: Exercício 2 bloco 1, resposta do aluno A3
Fonte: Dados da pesquisa.
A maioria dos alunos demonstra confundir figuras planas com espaciais. A3
desenha um retângulo e diz que tem 6 lados. Talvez esteja contando com as “faces” do
retângulo (frente e verso), por exemplo.
Devido ao grande número de dúvidas nessa questão, expliquei que as
características essenciais precisam identificar a figura, frente a outras. Que explicassem
o que faz o triângulo ser triângulo e o que faz o quadrado ser quadrado, o que os
diferencia das outras figuras.
A7 escreveu “uma caixa de sapato”, e desenhou uma figura espacial que é
formada de faces retangulares.
Figura 13: Exercício 2 bloco 1, resposta da aluna A7
Fonte: Dados da pesquisa.
31
Figura 14: Exercício 2 bloco 1, respostas da aluna A1
Fonte: Dados da pesquisa.
A1 desenhou duas figuras e descreveu que é plano, mas “...se você juntar as
formas se forma não plano...” Na letra b, ela descreve o triângulo como “formado por 3
faces”. A1 parece estar confundindo faces com lados, além de mostrar certa confusão na
distinção entre figuras planas e espaciais. São várias as indicações de uso de uma
linguagem pouco precisa nas respostas a essas questões. Isso pode complicar bastante o
entendimento de enunciados de problemas matemáticos, não apenas pela linguagem
imprecisa, mas também pela falta de clareza nos conceitos.
A17 descreve e exemplifica, talvez pensando ainda na associação da tarefa
anterior.
Figura 15: Exercício 2 bloco 1, respostas do aluno A17
Fonte: Dados da pesquisa.
32
A15, quando diz que “seus lados não são idênticos”, parece estar tentando
diferenciar o retângulo do quadrado. No entanto, percebe-se que não concebe a figura
numa posição em que os lados maiores estejam na vertical. Como este aluno pensaria
um retângulo com os lados maiores transversalmente colocados em relação à vertical?
Será que conseguiria aceitar que um quadrado é um retângulo? Num determinado
problema, isso pode ser importante. Entretanto, essas classificações encaixantes (todo
quadrado é um retângulo, todo retângulo é um paralelogramo etc.) podem ser bastante
artificiais, considerando-se que, na linguagem natural, não se pensa um quadrado como
um retângulo, por exemplo. Quadrado é quadrado e retângulo é retângulo. A lógica de
uma classificação encaixante precisa ser fortemente trabalhada. Ver figura 16 abaixo.
Figura 16: Exercício 2 bloco 1, resposta das letras a e b do aluno A15
Fonte: Dados da pesquisa.
A10 apresentou uma descrição de círculo que poderia se aplicar igualmente à
esfera. Além disso, não parece fazer sentido para qualquer figura plana. Nenhuma figura
plana “pararia em pé”, exatamente por ser plana e não possuir uma dimensão que lhe
permitiria parar em “pé” (o apoio teria que ter três dimensões). Ver figura 17, abaixo.
Figura 17: Exercício 2 bloco 1, resposta da aluna A10
Fonte: Dados da pesquisa.
33
É muito importante, em termos da pesquisa, observar as dúvidas e eventuais
incorreções manifestadas pelos alunos, as quais se referem não apenas ao conhecimento
matemático em si, mas muitas vezes, e de modo fundamental, às interpretações das
perguntas e, consequentemente, ao encaminhamento da construção das respostas.
Limitações no vocabulário, tanto para se expressar como para entender o que se pede,
ficam claras nas respostas a esta questão. Por outro lado, a percepção dessas limitações
só se torna possível com a análise das respostas às questões da atividade. É claro que em
algum momento é preciso que o aluno da escola entenda o que significa a expressão
“propriedades que caracterizam” certa figura geométrica, mas parece que não basta que
o professor explique. É preciso vivenciar situações em que o significado dessa
expressão tenha um papel importante, como, por exemplo, nessa questão 2. Além disso,
pode-se notar ainda quão crucial para o desenvolvimento matemático dos alunos é o
professor não se restringir à matemática em si, na discussão das respostas apresentadas.
Mais do que conhecer ou vir a conhecer o que caracteriza matematicamente um
retângulo, por exemplo, talvez seja o aluno desenvolver uma reflexão e um eventual
entendimento do que significa, dentro do seu processo de aprender a matemática
escolar, características de uma figura. Entender que não se trata de apenas dizer
propriedades que uma determinada figura possui, mas perceber as propriedades que, em
seu conjunto, a distinguem de qualquer outra. É claro que isso envolve muita
matemática, em si, mas é importante notar que na discussão, em uma sala de sexto ano,
daquilo que caracteriza uma dada figura geométrica, correm inseparáveis as ideias
estritamente matemáticas e a busca de uma precisão no uso e na interpretação da
linguagem, adequando-se esses dois aspectos, ao estágio de escolaridade dos alunos. Por
exemplo: as respostas de A3 e A7 à tarefa 2 do bloco 1 que foram descritas acima nas
figuras 12 e 13 respectivamente, mostram que ambos têm noção do que seja um
retângulo. Porém, muitas vezes é preciso ir além de uma noção vaga, embora isso não
signifique necessariamente tentar alcançar precocemente (isto é, sem um contato
suficientemente familiar com o objeto) as definições formais que podem ser em certos
casos até impossíveis de serem trabalhadas em determinado estágio do processo de
escolarização. Achar o ponto de equilíbrio, em cada caso, precisa ser uma preocupação
constante do professor. É bem provável que não haja regras gerais, quanto a este ponto.
No encontro seguinte, prosseguimos com a realização das atividades do bloco 1,
que envolviam interpretação de texto e formulação de problemas.
34
No primeiro exercício, foi exposto um cartaz cujo texto os alunos foram
solicitados a reproduzir, depois de visualizá-lo por 5 minutos. Foi pedido que deixassem
as folhas das atividades viradas para baixo. Colei o cartaz no quadro e eles começaram a
ler imediatamente.
O cartaz ficou exposto durante o tempo pré-determinado, quando, então, foi
retirado. Pedi que virassem a folha de atividades e disse que deveriam recontar o texto
com suas próprias palavras. Mais precisamente, o pedido era assim: 4) Reconte, com
suas palavras, o trecho do texto que lhes foi apresentado. Eles pediram diversas vezes,
reclamando muito, para que eu retornasse com o cartaz. Respondi que não seria possível
e pedi novamente que escrevessem com suas palavras o que lembravam do texto. A
intenção da atividade era exercitar a memória de leitura deles (sentido e enredo do texto
do cartaz), além de perceber como estaria seu vocabulário na reprodução do que haviam
apreendido.
Figura 18: Trecho de “A casa sonolenta” (Napping House) de Audrey Wood
Fonte: Fábulas e Contos (2013)
Um aluno disse que se lembrava do cachorro apenas. Outro aluno disse: o
cachorro estava dormindo! Alguns disseram: na barriga da avó! E assim foram
desenvolvendo suas atividades. Nos registros das atividades, encontramos três
categorias de reproduções do texto. Sete alunos reproduziram com mais detalhes,
conforme registro de A18 abaixo.
35
Figura 19: Exercício 4 bloco 1, resolução da aluna A18
Fonte: Dados da pesquisa.
Dez alunos fizeram uma espécie de resumo, conforme registros abaixo.
Figura 20: Exercício 4 bloco 1, resolução da aluna A6
Fonte: Dados da pesquisa.
Figura 21: Exercício 4 bloco 1, resolução do aluno A12
Fonte: Dados da pesquisa.
A6 foi bem sucinta, mas conseguiu mencionar as informações principais do
texto. A12 trouxe menos aspectos do texto original, lembrou-se do cachorro que dormiu
e lembrou-se de que estava em cima da avó. Porém traz uma referência à avó que pode
ter associado com a palavra ‘roncando’ do texto original. Ele escreveu “redonda”, talvez
por começar com a letra r também, talvez por associar com alguma ideia matemática.
E a outra categoria são de alunos que não recontaram o trecho, escrevendo
apenas uma frase, talvez por não saber o significado de ‘recontar’, ou por não se
lembrarem do texto (apesar de alguns alunos terem falado alto em sala vários aspectos
do trecho em questão). Em alguns casos, talvez, também por falta de interesse no
trabalho.
36
Figura 22: Exercício 4 bloco 1, resolução da aluna A8
Fonte: Dados da pesquisa.
A8 escreveu apenas “É um poema.” A8 é uma aluna que participou fortemente
das atividades em grupo, onde utilizava a oralidade. Percebo que na escrita e em
atividades individuais ela parece não ter interesse ou não se envolver por ter
dificuldades que não se sente capaz de enfrentar de forma positiva.
Figura 23: Exercício 4 bloco 1, resolução da aluna A7
Fonte: Dados da pesquisa.
A7 escreve “cochicha” conforme figura acima. Talvez ela possa ter associado
com a palavra ‘cochilar’, que constava no texto original. Como não é o primeiro registro
de troca de palavras por A7, podemos incluir a possiblidade de algum tipo de dislexia,
que, de acordo com International Dyslexia Association, é “considerada um transtorno
específico de aprendizagem, caracterizada por dificuldade no reconhecimento preciso e/
ou fluente da palavra, na habilidade de decodificação e em soletração” (IDA, 2002,
apud ABD, 2016). Não podemos considerar que ela tenha recontado o texto, apenas
registrou uma das ideias do texto, talvez a principal, que é a de ‘dormir’.
37
Figura 24: Exercício 4 bloco 1, resolução do aluno A21
Fonte: Dados da pesquisa.
No registro de A21, podemos notar que ele menciona algumas ideias do texto
original, mas de forma bastante confusa.
Figura 25: Exercício 4 bloco 1, resolução do aluno A20
Fonte: Dados da pesquisa.
A20 também refere-se à ideia de dormir, mas sem recontar e numa construção
que parece sem sentido.
Recordemos que na resolução de um problema, um elemento que acaba
ajudando bastante é a retenção na mente, a partir de certo número de releituras do
enunciado, da situação problemática como um todo, de modo a poder trabalhar sobre as
relações entre os dados e a pergunta, sem uma dependência total de reler a cada vez o
enunciado desde o começo. Isso permite tornar a situação mais “real” para quem está
tentando entendê-la, colocando-se como alguém que poderia estar participando da
situação. É claro que pode-se abrir mão do quantitativo exato dos dados, mas em algum
momento é preciso reter na memória quais são os elementos fornecidos pelo problema,
ainda que não se retenha os valores exatos. Outro elemento importante que faz uso
dessa retenção é a construção de figuras ou diagramas que sintetizam a situação,
38
facilitando a fixação da atenção, durante o planejamento de estratégias de resolução,
apenas nos aspectos matematicamente relevantes da situação e desprezando dados
irrelevantes. Portanto, esse tipo de atividade, proposta e comentada acima, não se
restringe à memória pura e simples, mas também e, principalmente, à retenção das
ideias centrais da situação descrita.
A questão seguinte foi essa, dada na figura 26, abaixo.
Figura 26: Exercício 5 bloco 1
Fonte: Tudo Interessante (2015)
Os alunos responderam essa questão de modo mais ou menos semelhante.
Citaram que havia um menino e uma menina deitados em uma cama, alguns disseram
ser mãe e filho, outros disseram ser um casal. Mencionaram que o menino lia um livro e
a menina mexia no celular, comentaram que havia almofadas, xícara na janela etc. Um
aluno ainda disse ser uma casa de praia. Alguns destacaram que o casal se olha,
conforme descrição de A1, a seguir.
39
Figura 27: Exercício 5 bloco 1, resolução da aluna A1
Fonte: Dados da pesquisa.
Alguns registros ficaram diferentes dos demais. No registro de A8, ela apenas
enumera o que vê na imagem, sem criar uma situação conforme figura abaixo.
Figura 28: Exercício 5 bloco 1, resolução da aluna A8
Fonte: Dados da pesquisa.
A8 ainda cita algumas partes do corpo separadamente, talvez isso seja para ela
uma descrição com o máximo de detalhes. Cita a palavra “braco” duas vezes,
provavelmente querendo escrever braço.
Outro registro diferente foi o de A7, que não descreveu com detalhes a imagem,
apenas escreveu: “eles gostavam de ler livros”.
Figura 29: Exercício 5 bloco 1, resolução da aluna A7
Fonte: Dados da pesquisa.
O próximo exercício era sobre formulação de problemas:
6) Invente problemas, cujas soluções sejam dadas pelas formas apresentadas
abaixo.
40
a) Solução: 1.345 + 208 = 1553
b) Solução: 288 – 322 = 144
144 + 12 = 156
c) Solução: 90 + 15 = 105
d) Solução: 12.467 árvores.
e) Solução: Cada um recebeu 75 figurinhas.
Surgiram algumas dúvidas de como teriam que ser os problemas, recebendo
então a informação de que os enunciados teriam que estar de acordo com as soluções
dadas abaixo.
O problema relativo à solução dada na letra a), que apresentava apenas uma adição, a
turma conseguiu formular bem.
Figura 30: Exercício 6 bloco 1, resolução da aluna A10
Fonte: Dados da pesquisa.
Na letra b, houve um erro na digitação do exercício, porém, depois de impresso,
resolvemos deixar para ver o que aconteceria. Podemos notar que há uma subtração de
um número menor por um maior (eles ainda não conhecem os números negativos) e
além disso, mesmo que fosse 322 – 288, a resposta não seria 144 e sim 34.
Figura 31: Exercício 6 bloco 1, letra b
Fonte: Elaborado pelo autor.
41
Alguns alunos questionaram, disseram não estar entendendo. Disse a eles que
fizessem do jeito que conseguissem. Alguns deixaram em branco e outros fizeram
trocando o 288 e o 322 de lugar, porém deixando o 144 como resposta, sem conferir se
realmente estava certo.
Figura 32: Exercício 6 bloco 1, letra b resolução de A6
Fonte: Dados da pesquisa.
Figura 33: Exercício 6 bloco 1, letra b, resolução de A13
Fonte: Dados da pesquisa.
A13 utiliza “meu pai comeu” para representar a subtração e “emprestei” no
sentido de ‘dar’ para representar a adição em seguida.
Figura 34: Exercício 6 bloco 1, letra b, resolução de A17
Fonte: Dados da pesquisa.
42
A17, apesar de utilizar termos coerentes com as operações como “perdeu” e
“ganhei”, começa falando do professor, depois diz “ganhei” (falando dele próprio) e na
pergunta final escreve “ Com quanto ela ficou.”
Na letra c), que envolvia apenas uma adição, como na letra a), a turma em geral
foi bem.
c) Solução : 90 + 15 = 105
Escreveram problemas do tipo: “Juliana foi para a rua e comprou uma blusa de
15 reais e uma calça de 90 reais. Quantos reais Juliana gastou?” ou “ Eu tenho 90 reais e
meu avô me deu mais 15, quantos reais tenho agora?”
Na letra d), cuja solução era: 12.467 árvores, alguns utilizaram adição de dois
valores para chegar a este, outros utilizaram a subtração ou também divisão, em geral
foram bem.
A4 por exemplo escreveu: “Em um parque tem 9.578 árvores. Os alunos de uma
escola plantaram mais 2.889. Quantas árvores o parque tem agora?”
Alguns alunos utilizaram o valor da solução dado no problema formulado,
porém sem ele ser a solução. Por exemplo, A11 escreveu: “Em um parque gigante tem
12.467 árvores, foram cortadas 10.005 árvores, quantas árvores sobraram?”
Na letra e), cuja solução era: Cada um recebeu 75 figurinhas. A11 escreveu: “Eu
tem 150 figurinhas, vou dividir em entre eu e meu irmão. Cada um recebeu 75
figurinhas, perdi 30. Com quantas fiquei.” A11 formula o problema com uma divisão de
150 por 2 para chegar aos 75, porém parece não perceber que o problema precisaria
terminar por aí para se ter a solução desejada. Ele acrescentou dados como “perdi 30” e
a pergunta final não se refere à solução dada no exercício. Cerca de metade dos alunos
que fizeram a lera d), formularam problemas com a ideia da divisão, mesmo que alguns
não tenham realizado a operação corretamente. A outra metade formulou problemas
com ideia de soma ou subtração: “Eu tinha 50 figurinhas e ganhei mais 25, com quantas
eu fiquei?” ou também conforme A10 “Pedro quer dar figurinhas para um amigo, no
momento ele tem 150. Quantas vai dar para o amigo?” Já supondo talvez, que ‘Pedro’
daria a metade de suas figurinhas para o amigo.
O número 7, último exercício do bloco, também tratava de formulação de
problemas. Um pouco diferente do exercício anterior, ele coloca como solução uma
expressão envolvendo multiplicação e soma. Seu enunciado é:
43
7) Imagine que é um professor do sexto ano e que pretende colocar para seus alunos
um problema que possa ser resolvido através da conta 3 x 5 + 2. Invente um problema
cuja solução seja dada por essa conta.
Nesse exercício, 6 alunos deixaram em branco, três fizeram incompleto, como é
o caso de A21, que escreveu apenas “tenho o quíntuplo de 3”, sete alunos formularam
um problema em que se pedia apenas para resolver a expressão, ou citando os valores e
operações como o exemplo de A12, o qual, embora quase tautológico, mostra que o
aluno entendeu que a expressão 3x5+2 indica que a multiplicação por 5 deve ser feita
em primeiro lugar e só então se faz a soma com 2.
Figura 35: Exercício 7 bloco 1, resolução de A12
Fonte: Dados da pesquisa.
Apenas cinco alunos conseguiram formular um problema, onde a solução seria
encontrada através da expressão dada, como foi o caso de A5.
Figura 36: Exercício 7 bloco 1, resolução de A5
Fonte: Dados da pesquisa.
44
No terceiro encontro foi realizada a discussão das atividades do bloco 1.
Durante a discussão, muitos se propuseram a expor suas soluções para a turma.
Conversamos sobre todas as atividades e pude notar que a maioria dos alunos participou
bastante na hora de contar para a turma os problemas que formulados.
Em minha percepção, as atividades do bloco 1 foram interessantes para
trabalhar, entre outros aspectos, a memória, o vocabulário, a imaginação, especialmente
importantes para fortalecer a capacidade de retenção mental de uma situação-problema,
juntamente com o que é conhecido (dado) e o que é pedido (incógnita) na situação em
questão. Senti que foi importante também, para os estudantes, a oportunidade de criar e
expor para a turma seus próprios enunciados de problemas. A experiência de formular
problemas parece ter contribuído para o desenvolvimento de maior segurança para
expor suas ideias, uma vez que eles mesmos haviam criado os problemas. Sentiram-se
confiantes para falar a respeito do que eles próprios haviam inventado. Estar numa
situação de inventar um problema pode deslocar o aluno de uma posição subalterna em
relação ao saber (“tenho que entender a lógica que vem de outrem”) para uma posição
em que os outros precisam entender a lógica de sua própria criação. Isso pode lhes dar a
segurança referida acima, no sentido de que se sentem capazes de criar e não apenas de
receber, prontas, as criações de outrem (seja do professor, do livro, do colega mais
aplicado etc.). Isso vai ao encontro das ideias de Dante (2009) e Medeiros e Santos
(2007).
3.2 Bloco 2
As atividades do bloco 2 foram realizadas em três encontros. Envolviam leitura,
interpretação de texto, problemas com excesso de dados, problemas com várias soluções
e problemas sem solução. As atividades foram realizadas em dupla.
No primeiro encontro trabalhamos leitura e interpretação de texto. No segundo,
trabalhamos problemas com excesso de dados, problemas com várias soluções e
problemas sem solução; e no terceiro realizamos a discussão.
O primeiro exercício tratava de um problema, seguido de 5 questões
relacionadas a ele, conforme figura abaixo.
45
Figura 37: Exercício 1 bloco 2
Fonte: Adaptado de Ferraz (2016)
Formaram-se 8 duplas e 2 trios. Na letra a), não tiveram dúvidas. A maioria
realizou a multiplicação de 52 por 40, demonstrando entender o que se pedia no
problema. Apenas um trio não resolveu a questão, escrevendo respostas para as quais
não conseguimos dar sentido.
Na letra b), durante a realização da atividade, os alunos tiveram dúvidas com
relação à palavra ‘lucro’. Explicamos várias vezes o que significava lucro neste
contexto, porém, apenas 4 duplas realizaram a subtração de 120 por 52. Duas duplas
multiplicaram 120 por 40, sendo que uma delas deixou o resultado dessa conta como
resposta; e a outra subtraiu 2080 do resultado, calculando o lucro de José em toda a
encomenda. Um dos trios multiplicou 120 por 52 e o outro escreveu respostas para as
quais não encontramos sentido. Uma dupla subtraiu 120 de 2080. Talvez essa questão
tenha ficado difícil pelo fato do significado da palavra ‘lucro’ ser desconhecido da
maioria. Durante a discussão desse exercício, perguntei o que era lucro. Responderam:
“É quanto ele vai ganhar a mais”. Reforcei que era a diferença entre o que ele recebeu e
o que ele gastou. Expliquei que ele teria que incluir, no custo, o tempo de trabalho gasto
para fazer os armários.
Quanto à letra c), seis duplas realizaram a multiplicação das fileiras dos azulejos
16 x14 e, dessas, apenas 4 dividiram o resultado por 18, que era a quantidade de
azulejos por caixa. As demais fizeram a soma de 16 com 14, multiplicação de 14 por 18
46
e até divisão de 16 por 14. Durante a discussão, perguntei a eles quantos azulejos havia
na parede e alguns disseram que precisava somar 14 com 16. Alguns disseram que teria
que multiplicar.
Na letra d), apenas 3 duplas realizaram a multiplicação de 12 por 34. Esse
exercício dependia da dupla ter conseguido resolver a letra anterior. Uma dupla
multiplicou 52 por 34, talvez pensando no gasto de José, na letra a), que era 52 reais.
Na letra e), a maioria realizou corretamente a soma de 120 com 60, totalizando
os 180 que José gastaria, por dia, com a mão de obra. Apenas 3 duplas pareceram não
ter entendido o que era pedido. Uma delas multiplicou 120 por 60.
No exercício 2 deste bloco, havia uma bula de remédio, seguida de cinco
perguntas relacionadas à bula.
Figura 38: Exercício 2 bloco 2
47
Fonte: Cócco e Hailer (1999)
Os alunos em geral parecem ter conseguido interpretar corretamente o texto da
bula e entender o que era pedido. Na letra a), todas as duplas e um dos trios marcaram a
resposta correta, indicando entender que a ‘composição’ do medicamento são ‘os
elementos que estão presentes no remédio.’ Também responderam qual era a
composição do medicamento. O outro trio deixou em branco a questão. Na letra b)
também não houve dúvida.
Na letra c), a maioria respondeu “1 comprimido por dia”. Embora alguns tenham
respondido somente “1 vez ao dia”, parecem ter entendido a questão, já que a dosagem
para adultos era ‘um comprimido duas vezes ao dia’. O mesmo trio seguiu escrevendo
respostas que nos pareceram sem sentido, sem apresentarem dúvidas ou pedirem ajuda à
professora.
Na letra d) não houve dúvidas e a maioria conseguiu interpretar quais eram os
componentes encontrados em maior e menor quantidade no medicamento.
A maioria também conseguiu resolver corretamente a letra e), apesar de
precisarem relacionar a posologia para adultos com a quantidade de comprimidos por
embalagem. Uma dupla dividiu 50 por 2, e outra respondeu “1 embalagem”, talvez por
terem confundido com a posologia para crianças.
No segundo encontro, pedi que continuassem com suas duplas e trabalhamos
problemas com excesso de dados, problemas com várias soluções e problemas sem
solução. O exercício 3 pedia que sublinhassem as informações que não eram necessárias
para a resolução dos problemas dados, conforme segue abaixo.
48
Figura 39: Exercício 3 bloco 2
Fonte: Elaborado pelo autor.
Em geral grifaram conforme registro da dupla A1 e A5, a seguir:
Figura 40: Exercício 3 bloco 2, resolução da dupla A1 e A5
Fonte: Dados da pesquisa
Parecem ter percebido quais informações eram irrelevantes para a resolução dos
problemas, embora na letra b), ainda pudessem ter grifado o trecho “(...) na sexta-feira,
na sessão das 20 h”. A maioria não grifou esse trecho.
49
Figura 41: Exercício 3 bloco 2, resolução da dupla A20 e A21
Fonte: Dados da pesquisa.
Durante a discussão desse exercício, os alunos em geral mostraram-se
interessados, quiseram expor para a turma as informações que haviam grifado. Notei
que estavam usando corretamente os termos ‘relevante’ e ‘irrelevante’, os quais já
haviam sido usados por mim em algumas situações na sala.
O exercício 4, último do bloco 2, pedia que resolvessem os problemas e
explicassem com haviam pensado para resolver.
Figura 42: Exercício 4 bloco 2
Fonte: Elaborado pela pesquisadora, inspirada no livro L’age du Captain.
Na letra a), em geral realizaram a soma 25 mais 32 para responderem quantas
pessoas havia no total. Algumas duplas ignoraram a segunda pergunta, outras
50
responderam não saber quantas aeromoças estavam no vôo. Note-se que “não saber
responder” é bastante diferente de “não há dados suficientes para responder”. Apenas
um trio respondeu “57 pessoas, a quantidade de aeromoças não da para saber pois o
problema não dá informações”. Nem todas as duplas explicaram como pensaram para
resolver, mas as que explicaram, disseram ter somado para descobrir o total de pessoas.
Durante a discussão, notei que estavam debatendo entre as duplas o modo como
haviam resolvido o exercício. Sobre a quantidade de aeromoças, uns disseram que
precisava subtrair, embora nos registros ninguém tenha subtraído. Outros disseram que
não tinha jeito de resolver. Depois da discussão, perguntei novamente quantas pessoas
havia no total e responderam “57”. Perguntei quantas aeromoças e responderam
prontamente “não dá pra saber”.
Na letra b), temos respostas como: “15 de 10 e uma de 5”, “10 de 10 e 11 de 5”.
Duas duplas responderam: “2 notas de 5 e 10 notas de 10”. Durante a discussão li o
problema para a turma e alguém disse: “ele usou 10 de 10 e 11 de 5!” Perguntei se
alguém havia feito diferente e responderam: “15 de 10 e 1 de 5!” Então dei outros
exemplos e mostrei a eles que era um problema com mais de uma solução. Na minha
percepção eles se mostraram surpresos.
Na letra c) em geral responderam “3 sabonetes” explicando que dividiram 12 por
4 para saber. Algumas duplas ignoraram a segunda pergunta, apenas uma a respondeu:
“4 tipos de sabonete”. Durante a discussão, quando fiz a segunda pergunta para a turma,
uns responderam 4 e outros responderam 2. Perguntei: “será que o tipo é diferente?”
Responderam em ‘coro’: “não tem como saber!” Percebi, com a discussão desse
exercício, que estavam mais atentos às informações dos problemas.
Na letra d), estava o clássico problema da Idade do Capitão. Em seis registros
realizaram a soma 26 + 10, alguns explicando que somaram a quantidade de cabras e
carneiros para encontrar a idade. Nos outros 3 registros responderam: “não dá para
responder”, “não dá para saber” e “está perguntando coisa que não tem nada haver
(sic)”, conforme registro do exercício da dupla formada por A8 e A18 (a seguir).
Figura 43: Exercício 4 bloco 2, letra d, resolução da dupla A8 e A18
Fonte: Dados da pesquisa
51
Percebi, após esse bloco de atividades, que os alunos estavam mais atentos, não
aceitando qualquer informação como verdadeira, além de parecerem mais seguros em
suas falas e exposições das resoluções para a turma. As atividades realizadas até então,
parecem ter desenvolvido certa segurança nos alunos mais engajados, indo ao encontro
das ideias de Smole, Diniz e Candido (2000), que afirmam que, quando o professor
oportuniza essas situações ativas de expressão, os alunos podem “conectar suas
experiências pessoais com as dos colegas, refletir sobre o significado das ações que
realizaram, avaliar seu desempenho, ao mesmo tempo que ampliam seus vocabulários e
suas competências linguísticas” (SMOLE, DINIZ, CÂNDIDO, 2000, p.18).
3.3 Bloco 3
O bloco 3 trazia atividades envolvendo teatro, encenações, mímicas e desenhos.
A atividade foi realizada em grupo, durante 3 encontros. Formaram-se quatro grupos de
4 pessoas e um de 5 pessoas.
Cada grupo recebeu uma folha com a mesma instrução sobre a atividade:
Figura 44: Instrução geral da atividade do bloco 3
Fonte: Elaborado pelo autor.
Abaixo da instrução vinham os problemas, cada grupo tinha um problema
diferente. Os problemas eram:
Problema - Grupo 1 (A11, A13, A17, A22)
Três novelos de lã pesam 200 gramas. São necessários exatamente seis desses novelos para fazer um pulôver. Quantos gramas de lã estarão incorporadas ao pulôver?
Problema - Grupo 2 (A3, A12, A19, A20)
52
O 6° ano fará uma apresentação para toda a escola. Para isso, a diretora alugou 350cadeiras para organizá-las na quadra, em fileiras. Cada fileira terá 10 cadeiras.Quantas fileiras ela organizará?
Problema - Grupo 3 (A1, A5, A6, A14)
Eu e mais quatro amigos fomos a um restaurante. A conta de 65 reais foi divididaigualmente entre nós. Paguei minha parte e ainda fiquei com 11 reais. Que quantia eutinha quando entrei no restaurante?
Problemas - Grupo 4 (A7, A9, A15, A21)
Cristina foi a uma livraria para comprar 5 cadernos e 1 livro. O total da conta foi 22reais. Como o livro custou 7 reais e todos os cadernos têm o mesmo preço, quanto elapagou por caderno?
Problema - Grupo 5 (A2, A4, A8, A16, A18)
Numa partida de basquete, Júnior fez o triplo dos pontos feitos por Manuel. Os doisjuntos marcaram 52 pontos. Quantos pontos Júnior marcou nessa partida?
Pedi que cada grupo resolvesse seu problema e depois (sem deixar os outros
grupos verem os seus respectivos enunciados) combinassem uma maneira de representar
esse problema na frente da sala, para que os outros grupos tentassem adivinhar o
enunciado. A ideia inicial era conduzir a atividade para que eles montassem uma
encenação de teatro, mas eles foram se sentindo mais à vontade para fazer mímicas e
deixei que prosseguissem nessa direção.
Assim que resolveram os problemas, foram surgindo dúvidas de como fariam
para representar. Os integrantes do grupo 2 perguntaram se podiam utilizar as carteiras
da sala. Outra aluna perguntou se a turma teria que adivinhar só o enunciado ou se teria
que adivinhar a resposta também. Resposta: só o enunciado. Ela perguntou como fariam
para dizer se a turma estava errando ou acertando. Disse para fazerem o sinal de joia.
Ela perguntou também como faria para expressar os números. Disse para serem
criativos com os sinais, mas sem falar. Avisei a toda a turma que poderiam usar o
quadro para desenhar o cenário, mas que não poderiam escrever nada, nem os números.
O grupo 2 foi o primeiro a representar. Desenharam carteiras no quadro e os
alunos foram dando os palpites. Expliquei que eles teriam que ir direcionando os
colegas, se estavam falando certo ou quase certo, ou errado.
O grupo estava muito apegado ao desenho e se esquecendo de representar. A3
fez alguns pontinhos (querendo mostrar fileiras provavelmente).
53
A17 levantou-se, foi ao quadro e contou a quantidade de pontinhos, gritando:
“Dez vezes oito!” A12 pegou uma carteira da sala e fez o gesto de colocá-la no chão e
mostrou com os dedos os números 3, depois 5 e depois zero. Em meio a muita gritaria
A8 levantou-se e disse: “350 cadeiras!” A19 mostrou que sim. A8 falou algo parecido
com “cada fileira com 10 cadeiras” e A12 disse que havia acertado. O grupo
comemorou.
Em meio a muitos outros palpites, pedi a todos os grupos que construíssem o
enunciado da maneira que achavam que seria. Disse a eles que o grupo que conseguisse
escrever o enunciado mais parecido ganharia um prêmio. Os grupos se uniram na sala,
tentando formular. Percebi que o incentivo do prêmio havia estimulado os alunos. A
ideia de oferecer o prêmio surgiu porque havia muito tumulto e gritaria na sala, então,
para que conseguíssemos prosseguir com a atividade, fiz essa tentativa.
A3 começou a fazer gestos de futebol e A9 levantou-se e disse: “Um estádio tem
350 cadeiras!” A8 gritou: “Na quadra!” A12 acenou positivamente.
A9 e A8 são alunos que geralmente não participam ativamente nas aulas
tradicionais e têm dificuldade com o conteúdo, porém, se envolveram e participaram
ativamente dessa atividade. Pedi novamente aos grupos que construíssem da maneira
que conseguissem, pois daria início à apresentação do próximo grupo.
O enunciado original do grupo 2 era:
O 6° ano fará uma apresentação para toda a escola. Para isso, a diretora alugou 350cadeiras para organizá-las na quadra, em fileiras. Cada fileira terá 10 cadeiras.Quantas fileiras ela organizará?
As construções do enunciado do problema do grupo 2 ficaram da seguinte
maneira:
Figura 45: Construção do enunciado do Grupo 2 segundo o Grupo 1
Fonte: Dados da pesquisa.
54
Figura 46: Construção do enunciado do Grupo 2 segundo o Grupo 5
Fonte: Dados da pesquisa.
Os grupos 3 e 4 escreveram em suas folhas somente: “Numa quadra...” e “Em
uma quadra...” não concluindo a escrita do enunciado.
A construção do enunciado do grupo 2 feita pelo grupo 1 ficou então: “Em uma
apresentação na quadra tem 350 cadeiras em 10 fileiras. Quantas cadeiras há em cada
fileira?” O grupo 5 escreveu: “Uma quadra da escola tem 10 carteiras com 350 filheiras
cada uma. Quantas carteiras?” Apesar dos dados principais constarem no problema, eles
parecem não ter pensado na impossibilidade de haver 10 carteiras com 350 fileiras. Ou
podem ter pensado em 10 fileiras com 350 cadeiras cada uma e não souberam registrar.
A pergunta final também não ficou completa, além de redundante com o dado que
assegurava que a quadra da escola tinha 10 cadeiras.
O grupo 5 foi o próximo a representar. Desenharam no quadro uma cesta de
basquete e um placar com um ponto de interrogação. Esclareci que poderiam desenhar
apenas o cenário e representar, com gestos, o problema.
A12 disse: “Já sei! Numa partida de basquete...” E as integrantes do grupo
acenaram positivamente. As integrantes do grupo faziam o número 3 com a mão.
Alguns alunos disseram: “Eu acertei três cestas...” Elas acenaram que não. Disseram
também: “O placar ficou 3 a 3.” A8 fazia um ‘x’ com os dedos. E disseram: “Ela
acertou 3 vezes?” Ou então: “3 vezes 3...”, “3 a 3!” Também disseram: “3 cestas de 3
pontos!” Em meio a muitos gestos e palpites, percebi que a turma em geral parecia bem
envolvida com a atividade. A8 fez gesto de 5 e 2 com as mãos. Alguém gritou: “52
pontos!” Ela acenou positivamente. A18 fez gestos de 52 x 3 com as mãos e apontando
para a colega. Os alunos estavam falando: “A18 marcou 52 pontos, A4 marcou...”
A3 reclamou que estava se confundindo, pois o grupo mostrava sinal de vezes,
depois de mais, depois de menos. Pedi para os grupos escreverem seus enunciados
conforme haviam entendido, pois daria início ao próximo grupo.
55
O enunciado original do grupo 5 era: Numa partida de basquete, Júnior fez o
triplo dos pontos feitos por Manuel. Os dois juntos marcaram 52 pontos. Quantos
pontos Júnior marcou nessa partida?
As construções do enunciado do problema do grupo 5 pelos outros grupos
ficaram da seguinte maneira:
Figura 47: Construção do enunciado do Grupo 5 segundo Grupo 1
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 48: Construção do enunciado do Grupo 5 segundo Grupo 2
Fonte: Dados da pesquisa
Nas duas construções podemos perceber que os grupos não mencionaram nada
relacionado com ‘triplo’, apesar do grupo 5 ter tentado representar isso com alguns
gestos. Em ambas as construções, os grupos citaram um total de 52 pontos. Foi o
máximo que conseguiram deduzir da representação. O fato importante é que toda a
turma, inclusive os grupos 3 e 4, que não registraram suas construções, participaram
ativamente da atividade, trabalhando as expressões corporais, criatividade e oralidade.
O grupo 3 foi o próximo a representar seu problema que tinha o seguinte
enunciado: Eu e mais quatro amigos fomos a um restaurante. A conta de 65 reais foi
dividida igualmente entre nós. Paguei minha parte e ainda fiquei com 11 reais. Que
quantia eu tinha quando entrei no restaurante?
A1 fez gestos apontando para si, depois o sinal de mais e o número 4 e apontou
para si novamente. A8, atenta, gritou prontamente: “Eu e mais 4 pessoas!” Elas
acenaram positivamente. E então continuaram, mostraram gestos como se estivessem
comendo. Alguém gritou: “Eu e mais quatro pessoas ‘tava comendo’!” Elas acenaram
que não. A8 estava muito participativa novamente, se empenhando em adivinhar o
problema. As aulas diferenciadas claramente motivam A8. A1 fez um desenho no
quadro, tentando fazer a conta do restaurante. A12, que também estava participativo na
atividade, ficou de pé e perguntou: “Isso é um papel? Um cardápio? Dinheiro?” A8 se
56
levantou e foi na frente do grupo, apontou para o quadro e disse alto: “Isso é a conta de
uma lanchonete!” Depois de muitos gestos e palpites, alguns integrantes se dirigem para
a frente da sala, na tentativa de elaborar o enunciado.
As construções do enunciado do problema do grupo 3, de acordo com os outros
grupos ficaram da seguinte maneira:
Figura 49: Construção do enunciado do Grupo 3 segundo Grupo 1
Fonte: Dados da pesquisa.
Na construção do grupo 1, temos um problema que faz sentido. O grupo não
mencionou o restaurante ou lanchonete conforme foi dito em sala, mas construiu um
problema que poderia existir, embora faltem dados do problema original.
Figura 50: Construção do enunciado do Grupo 3 segundo o Grupo 2
Fonte: Dados da pesquisa.
O grupo 2 menciona os 11 reais, porém como sendo o troco da conta toda.
Figura 51: Construção do enunciado do Grupo 3 segundo Grupo 5
Fonte: Dados da pesquisa.
O grupo 5 menciona alguns dados do problema original também, porém a
pergunta final “Qual foi sua conta?” fica sem sentido ou redundante, já que
mencionaram que gastaram 65 reais.
57
O fato é que os grupos em geral se empenharam para representar, adivinhar e
redigir. Trabalhando vocabulário, criatividade, trabalho em equipe e oralidade. Apenas
o grupo 4 não foi, novamente, muito participativo e não construiu um enunciado.
O próximo grupo a apresentar foi o grupo 1, cujo problema era:
Três novelos de lã pesam 200 gramas. São necessários exatamente seis desses novelos para fazer um pulôver. Quantos gramas de lã estarão incorporadas ao pulôver?
Somente foram para a frente da sala para representar A11 e A17. As outras duas
integrantes do grupo A13 e A22 disseram não querer participar da atividade.
A11 desenhou uma balança com os três novelos de lã no quadro. Alguém disse:
“É uma balança!” Outros disseram: “Três novelos pesam...?”, “Três novelos de lã da pra
fazer 1 travesseiro...?”, “Uma almofada?”, “Uma camisa?”, “Quanto eles 3 pesam
juntos?” Depois de muitos gestos e palpites, alguns concluíram que 3 novelos de lã
pesavam 200 gramas. A11 mostrou o 5 e o 1 com as mãos e A8 gritou: “51!” Na
sequência alguém disse: “3 novelos dá pra fazer 51 camisas!” Alguém disse: “6!” E A11
acenou positivamente.
Depois de algum tempo, disse à turma que achava que já tinham todos os dados
necessários e então passaríamos para o próximo grupo. A8 disse: “Quantas camisas se
pode fazer com cada novelo?”
Comparando o enunciado original com os construídos temos:
Três novelos de lã pesam 200 gramas. São necessários exatamente seis desses novelos para fazer um pulôver. Quantos gramas de lã estarão incorporadas ao pulôver?
Figura 52: Construção do enunciado do Grupo 1 segundo o Grupo 2
Fonte: Dados da pesquisa.
O grupo 2 menciona que 3 novelos de lã pesam juntos 200 gramas e que 6
novelos “da para fazer uma camisa” depois perguntam “quantos novelos de lã da para
fazer cada camisa”. Apesar de terem construído um enunciado com os detalhes
principais do problema, a pergunta final fica redundante, já que mencionaram que
seriam necessários 6 novelos para fazer uma camisa.
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O grupo 3 fez um desenho parecido com o que foi feito no quadro pelo grupo 1 e
escreveram “ 6 novelo de lã faz uma camisa. Quantos novelos de lã faz 4 camisa”. Seria
uma possibilidade, porém menos elaborada que o enunciado original.
Figura 53: Construção do enunciado do Grupo 1 segundo o Grupo 5
Fonte: Dados da pesquisa.
O grupo 5 fez uma construção parecida com a do grupo 2, em que, apesar de já
terem mencionado que 3 novelos de lã “da para fazer 6 camisas”, na pergunta final
escrevem: quantos novelos de lã serão usados para fazer 6 camisas?
A pergunta do problema original pode ter dificultado ao grupo 1 na
representação, pois os termos ‘incorporados’ e ‘pulôver’ não parecem comuns ao seu
vocabulário, dificultando também as tentativas de interpretação.
Em seguida, passamos à representação do grupo 4, formado por A7, A9, A15 e
A21. O problema tinha o seguinte enunciado:
Cristina foi a uma livraria para comprar 5 cadernos e 1 livro. O total da conta foi 22reais. Como o livro custou 7 reais e todos os cadernos têm o mesmo preço, quanto elapagou por caderno?
A7 desenhou no quadro vários quadradinhos, provavelmente querendo
representar os cadernos e o livro do problema. Pedi ao grupo que não apenas
desenhasse, mas fizesse a mímica ou representação. A9 começou a fazer gestos de ler e
escrever com a folha que estava em sua mão. Já haviam falado cadernos e o grupo
acenou positivamente. O grupo não estava fazendo muita representação, então disse que
também tentaria adivinhar. Como não me lembrava do enunciado do problema deles,
comecei a falar coisas que A7 havia representado para tentar incentivar os alunos a
falarem e o grupo a representar também. A9 mostrou o número 7. Eu disse: “22
cadernos custam 7...” e A9 acenou positivamente. Olhando para o enunciado agora, vejo
que era 22 reais o preço de 5 cadernos e 1 livro e que o livro havia custado 7 reais. Mas
A9 parece não ter percebido isso quando acenou positivamente para mim, parece que o
59
fato de terem sido mencionados os números e palavras que apareciam no enunciado já
bastava para ele. O grupo foi se empenhando na representação e apenas A21 não
representou, nem participou em momento algum. Depois de várias tentativas, encerrei a
atividade e informei que analisaria qual grupo seria o vencedor.
Figura 54: Construção do enunciado do Grupo 4, segundo o Grupo 5
Fonte: Dados da pesquisa.
A construção do grupo 5 ficou bem parecida com a original. Apesar de faltarem
alguns detalhes como ‘cadernos de mesmo preço’, os dados principais, o sentido do
problema e a pergunta final estão coerentes.
Figura 55: Construção do enunciado do Grupo 4 segundo o Grupo 3
Fonte: Dados da pesquisa.
Na construção do grupo 3, usaram 22 para a quantidade de cadernos, quando
este foi o valor pago.
Figura 56: Construção do enunciado do Grupo 4 segundo o Grupo 2
Fonte: Dados da pesquisa.
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O grupo 2 diz “ cada um custa 7 reais” e pergunta “ quanto ela pagou” sendo que
já havia mencionado que “custou 22 reais”.
Figura 57: Construção do enunciado do Grupo 4 segundo Grupo 1
Fonte: Dados da pesquisa.
O grupo 1 quase consegue construir o enunciado de acordo com o original,
faltando apenas informar que o livro custava 7 reais.
Pode-se observar que, no geral, os alunos parecem se empenhar muito mais em
imaginar o que poderia ser o enunciado, isto é, dar uma possibilidade de resposta para a
tarefa, do que verificarem as chances de terem elaborado uma boa resposta. Em outras
palavras, talvez se possa detectar uma preponderância do exercício da imaginação sobre
a ação analítica a respeito da legitimidade daquilo que a imaginação sugere. Talvez,
uma participação mais frequente nesse tipo de atividade poderia levá-los, com a ajuda
do professor, ao desenvolvimento de uma crítica de suas próprias tentativas e a um
eventual avanço nessa direção.
3.4 Bloco 4
Iniciei a aula apresentando para eles os enunciados que haviam construído no
encontro anterior, referentes ao bloco 3. Li todas as construções dos enunciados,
comentando e comparando com os originais. Os grupos 3 e 4 praticamente não
construíram nada. Os grupos 2 e 5 construíram enunciados confusos. Todos
concordaram que o grupo 1 havia se saído melhor. O grupo 1, formado por A11, A13,
A22 e A17, foi considerado vencedor, ou seja, o grupo que apresentou a construção dos
enunciados mais próximos dos originais. Suas construções ficaram próximas de um
problema razoavelmente estruturado, ainda que não traduzissem as propostas originais.
Estavam todos aparentemente ansiosos para a premiação. O grupo vencedor ganhou
uma caixa de bombom e os outros grupos receberam, cada um, uma caixa de “Bis”,
como prêmio de participação.
61
Encerrei a premiação e dei início ao Bloco 4, que trata de identificação de dados
dos problemas. Pedi a eles que formassem duplas e cada uma recebeu um problema.
Havia uma instrução em cada folha com os seguintes dizeres:
Cada grupo explicará, para a turma, do que se trata o problema, identificará os dadosrelevantes e irrelevantes (poderá usar desenhos ou diagramas) e explicará porque elessão ou não relevantes.
Dei um tempo para resolverem e A9, que ficou sem par, se dispôs a iniciar.
Problema - Grupo 10 (A9)
Como dividir igualmente 2 gatos pretos e um amarelo entre três crianças?
A9 leu o problema e alguns colegas disseram: “cada um receberá 1”. Alguém
disse: “cada um receberá 2 gatos”. A9 então gritou: “são três crianças e três gatos”.
Gritaram: “um pra cada um”.
Perguntei para A9 se tinha informação desnecessária no problema. Ele disse que
não. Perguntei a ele se para saber com quantos gatos cada criança ficaria, era necessário
informar as cores dos gatos. Ele disse que não. Então pedi a ele que escrevesse no
quadro os dados irrelevantes e ele escreveu “dados irrelevantes: cor dos gatos”. No seu
registro, ele apenas resolveu o problema, mas não seguiu as instruções de identificar os
dados relevantes e irrelevantes.
O próximo grupo a apresentar foi o Grupo 1, formado pela dupla A11 e A12.
Problema - Grupo 1 (A11 e A12)
Pedro está escrevendo um grande letreiro com a palavra "canguru", pintando uma
letra por dia. Ele começou a escrever o letreiro na quarta-feira e trabalha todos os
dias. Em que dia da semana ele irá terminar o letreiro?
A11 leu o problema para a turma e mal terminou de ler a turma já começou a
gritar: “sexta-feira”, “sábado”. Alguns pediram para ler de novo e outros continuaram
‘chutando’. A11 leu de novo e os colegas começaram a gritar: “terça-feira”, “quarta-
feira”. Pedi que escrevessem “canguru” no quadro. A8 disse: “Começou na quarta,
então quinta, sexta, sábado, domingo, segunda e terça, porque é canguru”. Perguntei a
eles quais dados eram necessários e quais seriam desnecessários para a resolução do
problema. A12 disse que não precisava dizer que ele trabalhava todos os dias. Então
perguntei a ele, se o cara trabalhasse dia sim dia não, por exemplo, influenciaria no dia
que ele iria terminar? Ele disse não. Depois perguntou: “Ele trabalha todos os dias na
palavra canguru, ou é no trabalho dele?” A partir desse comentário pode-se entender seu
62
raciocínio: foi dado que ele pinta uma letra por dia, então não interessa se ele trabalha
(no seu trabalho regular, isto é, fora da pintura da palavra canguru) ou não. Aliás,
podemos inclusive dizer que o enunciado realmente gera essa dúvida pois alguém que
pinta apenas uma letra por dia, deve estar ocupado com outras coisas, provavelmente do
seu trabalho regular.
Em seu registro, o grupo 1 classificou como dado irrelevante, a frase “Trabalha
todos os dias”, explicando que no problema já diz que Pedro pinta uma letra por dia.
Como dados relevantes eles mencionaram os dados essenciais para a resolução e
explicaram que a palavra, o dia em que começou e quantas letras ele pinta por dia são
necessários para a resolução do problema. Na sequência escrevem a resposta, conforme
podemos ver abaixo. Observa-se que a dupla seguiu as instruções da atividade,
demonstrando entendimento do que era para ser feito, além de compreensão do
enunciado do problema.
Figura 58: Bloco 4, resolução do Grupo 1
Fonte: Dados da pesquisa.
Problema – Grupo 2 (A17 e A19)
Simão levantou-se faz uma hora e meia. Daqui a três horas e meia irá tomar o trem
para a cidade de sua avó. Quanto tempo antes da partida do trem ele se levantou?
O grupo 2 leu seu problema para a turma e montou a operação no quadro 01:30
+ 03:30, totalizando 04:60. Alguns colegas disseram: “04 horas e 60 minutos é 5 horas!
63
Então é 5 horas!” Perguntei aos membros da dupla sobre os dados relevantes e
irrelevantes e A17 respondeu que era irrelevante dizer que ia tomar o trem pra ir para a
cidade de sua avó. Em seu registro demostraram ter compreendido as instruções e o
problema.
Problema – Grupo 9 (A2 e A16)
Caio é um garoto de 6 anos e gosta muito de brincar com bolinhas de gude.
Todos os dias acorda às 8 horas, toma o seu café com leite, come uma fruta, um
pãozinho integral com queijo e corre para a casa de seu amigo Júnior para brincar.
Caio levou 2 dúzias de bolinhas coloridas para jogar. Dezesseis dessas bolinhas eram
azuis e as demais eram verdes. No final do jogo ele havia perdido um quarto de suas
bolinhas verdes e Júnior ficou muito contente, pois agora tinha três vezes mais bolinhas
azuis do que restou ao Caio. Quantas bolinhas Júnior tinha ao iniciar o jogo?
A dupla leu o problema, porém, talvez pelo fato de o problema ter um enunciado
mais longo, a turma se dispersou. Pedi a A2 que lesse novamente. Durante a leitura, os
colegas apontavam os dados irrelevantes que iam surgindo. A12 estava empenhado em
ajudar na resolução das colegas, mas não adiantou muito. Os meninos ficaram
visivelmente perdidos diante da profusão de dados e, ao mesmo tempo, da ausência de
dados suficientes para a resolução. Resolvi não insistir e passar adiante para o problema
seguinte. As alunas registraram em sua folha os dados que consideraram relevantes, os
que consideraram irrelevantes, mas não mencionaram a ausência de dados relevantes
(por exemplo, quantas bolinhas verdes o Júnior tinha ao iniciar o jogo).
Problema- Grupo 7 (A8 e A18)
Pâmela subiu num banquinho de madeira escura e ficou exatamente com a
mesma altura de seu pai. Qual é o valor da diferença entre a altura de Pâmela e a de
seu pai?
A8 foi apresentar sozinha, A18 não compareceu à aula nesse dia. A8 leu o
problema e desenhou no quadro. Assim que A8 leu, alguns alunos disseram que a cor
escura do banco era irrelevante, mostrando estarem mais atentos aos dados dos
problemas. Em seguida, A14 se levanta, vai até o quadro e mede o banco do desenho de
A8, como podemos ver na figura abaixo.
64
Figura 59: Bloco 4, representação do Grupo 7
Fonte: Dados da pesquisa.
Perguntei à turma como faríamos para saber o valor da diferença de altura entre
Pâmela e o pai. A8 disse que estava faltando dados, que faltava a altura da menina, a
altura do banquinho e a altura do pai. Observe-se, no entanto, que dada a altura do
banquinho, as demais se tornariam irrelevantes, ou, por outro lado, dadas as alturas da
menina e do pai, a do banquinho se tornaria irrelevante. Quando A14 foi medir o
banquinho, sua colega do lado disse: “Mas o banco de verdade é maior do que esse!”
Ela respondeu: “ah, já sei!” E voltou ao quadro para medir o desenho de Pâmela e do
pai.
Em seu registro da atividade, o grupo 7 respondeu que “não dá para resolver,
porque não sabemos a altura de nenhum dos dois e assim não dá para ver a diferença”. E
mencionaram como dados irrelevantes a palavra ‘escura’. A8 disse que a diferença era a
altura do banco. É a melhor resposta possível, considerado o enunciado fornecido.
Problema- Grupo 4 (A3 e A20)
Numa prova de matemática do terceiro ano do Ensino Médio, a maioria dos
alunos foi muito bem. Na realidade, 3/5 dos alunos da classe obtiveram nota máxima
nesta prova. A prova tinha quatro questões, valendo 5 pontos cada questão. Dessa
forma, qual é o número de alunos que não obtiveram nota máxima nessa prova?
A3 leu o problema e disse que não teria como resolver porque não era dado o
total de pessoas que fizeram a prova. A3 disse que os alunos que não haviam tirado nota
65
máxima eram 2/5 do total, mas não tinha como calcular. Em seu registro o grupo
escreveu: “não dá para resolver porque não fala quantas questões eles acertaram”.
Observe-se que há um foco equivocado no dado ausente. Parece uma resposta feita só
pra apresentar alguma coisa à professora.
Os outros grupos não quiseram ir ao quadro, então li as questões e fui resolvendo
junto com a turma. Exponho aqui apenas os registros das duplas que deveriam
apresentar mas não quiseram.
Problema - Grupo 8 (A4 e A10)
Júlia e Sandro têm, juntos, 50 reais. Quanto dinheiro tem o Sandro sozinho?
Em seu registro a dupla escreveu: “Está faltando o dinheiro que Júlia tem”.
Problema - Grupo 5 (A7 e A15)
Um carro da marca FIATWAGEN possui um tanque de combustível cuja capacidademáxima é de 60 litros. O motorista, ao passar em frente ao campo de futebol deCachoeira Branca, percebeu que o tanque estava apenas com 1/4 da capacidade decombustível e, portanto, não seria possível completar a viagem planejada entre ascidades de Cachoeira Branca e Ouro do Campo, que distam entre si mais ou menos200 km, sem colocar mais combustível no carro. O motorista, então, vai ao posto degasolina, que se localiza ao lado do campo de futebol e pede ao frentista para enchercompletamente o tanque. Quantos litros, aproximadamente, foram colocados notanque?
Figura 60: Bloco 4, resolução do problema do Grupo 5
Fonte: Dados da pesquisa.
Problema - Grupo 3 (A5 e A6)Um criador de galinhas, chamado José Bonifácio, tem caixas de papelão paraarmazenar 6 ovos e caixas de um material plastificado para armazenar 12 ovos. Qual éo menor número de caixas que ele precisa para armazenar 66 ovos?
66
Figura 61: Bloco 4, resolução do problema do Grupo 3
Fonte: Dados da pesquisa.
As discussões geradas durante essas atividades foram importantes, a meu ver. O
exercício de verificar se os dados dos problemas eram ou não relevantes permitiu aos
alunos desenvolver uma reflexão não usual, para eles, acerca da importância de
reconhecer e organizar os dados matematicamente importantes para a resolução do
problema. Ao final desse bloco, percebi nos alunos uma atitude mais crítica, discutindo
uns com os outros sobre a relevância ou não dos dados, inclusive em atividades, que não
diziam respeito diretamente a essa questão. Além disso, eles parecem, no geral, ter
passado a organizar melhor as suas resoluções e respostas.
3.5 Bloco 5
As tarefas se referem a problemas com um ou mais passos e à formulação de
problemas.
Figura 62: Bloco 5
Fonte: Ferraz (2016)
67
Vários alunos perguntaram se eram 6 carrinhos juntos que custavam 78 reais,
referindo-se ao dado do problema 1 acima. A9 fez essa pergunta, respondi que sim, ele
então respondeu que não sabia quanto custava cada um. Então perguntei a ele: “Se você
comprar 3 chicletes por 1,50, quanto terá custado cada chiclete?” Ele respondeu
prontamente: “50 centavos!” Eu disse: “Então veja quanto custou cada carrinho.” No
registro de sua atividade, na letra a) ele dividiu 78 por 6 e encontrou o preço de cada
carrinho, porém não fez tudo que foi pedido. Na letra b) ele dividiu 13 por 4, na letra c)
apenas somou 84+84 resultando em 168, porém não conseguiu expressar a resposta e na
letra d) parece ter tentado usar o mesmo raciocínio da letra c): soma 78+78 e deixa a
resposta 156.
A maior parte dos alunos resolveu conforme A12 abaixo.
Figura 63: Bloco 5 – Resolução de A12
Fonte: Dados da pesquisa.
Na letra a), A12 resolveu os dois passos, calculando o preço de cada carrinho,
multiplicando-o em seguida por 18. Na letra b), multiplicou 13 por 3, para saber o preço
de 3 carrinhos. Na letra c), também realizou os dois passos, dividindo 84 por 4 para
saber o preço de cada carrinho e, em seguida dividiu 168 por 21, para saber quantos
carrinhos da marca FLASH André poderia comprar. Na letra d), dividiu 168 por 13,
encontrando 12. No total, 10 alunos resolveram dessa maneira. A17 resolveu de forma
diferente.
68
Figura 64: Bloco 5 – Resolução A17
Fonte: Dados da pesquisa.
Na letra a), somou 78+78+78. Na letra b), com o mesmo raciocínio, dividiu 78
por 2, pois 6:2=3. Na letra c) realizou os dois passos explicitamente, talvez por não ter
percebido que 168 é o dobro de 84. Na letra d), dividiu 168 por 13, embora não tenha
feito em nenhum momento a conta 78:6=13 para achar o preço de cada carrinho da
marca Tanque.
Alguns alunos escreveram simplesmente valores aleatórios, aos quais não
conseguimos dar sentido. Outros, apesar de terem tentado, mostraram dificuldade e não
completaram totalmente a tarefa.
Durante a discussão, perguntei à turma se eles entenderam a maneira que A17
resolveu e alguns disseram que haviam entendido. Pedi a ele, A 17, que explicasse para
a turma seu jeito de resolver e pedi a duas alunas que resolvessem no quadro, cada uma
de um dos jeitos, a fim de que confirmassem que os resultados eram os mesmos.
A17 resolveu a questão b) no quadro, explicando aos colegas como havia feito.
A11 e A8 resolveram as letras c) e d), explicando aos colegas.
Em seguida, para completar esse bloco, apresentamos seis problemas faltando
dados, pedindo aos alunos que completassem os enunciados com os dados que estavam
faltando. Os problemas foram os do quadro abaixo:
69
Figura 65: Bloco 5 – Formulação de Problemas
Fonte: Elaborado pelo autor.
Na letra a) tivemos respostas como: “Ele perdeu 15 figurinhas porque competiu
com seu amigo que tinha 15” ou “Ganhou 15 na partida 1 e 5 na partida 2, depois
perdeu 7 no ônibus.” Tivemos alguns registros mais simples como: “ Deu 10 para seu
irmão.” Tivemos dados com valores altos como: “Ganhou mais 85 de seu pai e 60 de
sua mãe” Em geral formularam e resolveram bem os problemas, embora alguns poucos
não tenham apresentado a resolução.
Na letra b) em geral completaram com os valores e resolveram a subtração para
encontrar o número de galinhas que havia antes. Apenas 2 alunos somaram os valores
que colocaram.
Na letra c), a maioria inventou valores para a quantidade de peixes e a pergunta
final ficou do tipo “Quantos peixes há no total?” ou “Quantos peixes tem no aquário?”
Alguns acrescentaram antes da pergunta final: “Morreram 10, com quantos peixes ficou
o aquário?” ou “Eu vendi 7 vermelhos e 5 cinzas, com quantos peixes eu fiquei?”
70
Houve também o seguinte registro de A19: “Quantos peixes vermelhos tem a mais que
os cinzas?” Em geral foram bem nesse item, como também na resolução.
Na letra d) deram valores para a quantidade de cachorros que nasceram e
morreram, porém para a resposta final, não contaram com os dois que já havia na casa.
A letra e) foi bem tranquila, todos foram bem.
Na letra f), a maioria resolveu como ‘a mais’ e não como ‘vezes mais’, embora
alguns mesmo tendo realizado subtração para saber quantas crianças ‘a mais’ tinham,
colocaram na resposta “1 vez” ou “duas vezes mais”. Alguns inventaram os valores e na
resolução fizeram a multiplicação dos valores inventados, talvez induzidos pelo termo
‘vezes’. Apenas dois alunos, A19 e A15, resolveram corretamente, fazendo a divisão
dos valores que atribuíram. Nota-se claramente a falta de percepção da diferença entre
uma comparação aditiva e uma comparação multiplicativa.
Em todas as atividades trabalhadas, tivemos problemas com indisciplina da
turma. Os alunos gritam muito, parecendo querer falar sempre mais alto que o outro.
Nem a professora regular conseguia manter os alunos calmos. Em contrapartida, são
crianças muito carinhosas, fui recebida desde o primeiro encontro com muito carinho e
muitos abraços. A cada encontro que passava, esse carinho e afeto parecia aumentar. O
último encontro foi destinado à aplicação da sondagem final. Pedi aos alunos que
resolvessem com atenção, pois era um momento importante da pesquisa. Disse a eles
que provavelmente seria meu último dia e a atividade ocorreu num clima tranquilo.
Alguns alunos solicitavam de vez em quando que fôssemos às suas carteiras para tirar
dúvidas, mas poucas relacionadas à interpretação.
71
CAPÍTULO 4
ANÁLISE E RESULTADOS
Conforme dito anteriormente, as atividades de sondagem inicial e final foram
planejadas, entre outros objetivos, para que pudéssemos ter, ao final do trabalho, a
possibilidade de avaliar qualitativamente os efeitos da experiência vivenciada ao longo
das atividades sobre o desenvolvimento da competência dos alunos para compreender
os enunciados e, a partir daí, resolver problemas matemáticos adequados ao estágio de
escolarização em que se encontram (sexto ano). Assim, num primeiro movimento de
análise, fazemos uma comparação entre os resultados da sondagem inicial e final para
cada aluno participante da pesquisa, apresentando, ao final, um quadro que sintetiza os
resultados gerais dessa comparação. Num segundo movimento, selecionamos um grupo
de 10 alunos, segundo critérios que serão apresentados mais adiante, e procuramos obter
elementos que, na medida do possível, indicassem a existência (ou não) de uma
correlação positiva, entre o desempenho ao longo das atividades e o desempenho na
sondagem final. Comentaremos os nossos resultados, em maiores detalhes, ao final
deste capítulo.
Antes de apresentarmos os resultados da análise, talvez seja interessante
abrirmos um pequeno parêntesis para esclarecer como pensamos a noção de
aprendizagem, uma vez que as estratégias de análise buscam comparar os desempenhos
dos participantes em diferentes etapas do processo de ensino com eles trabalhado,
inferindo dessas comparações elementos que permitam avaliar as possíveis
contribuições e limitações do conjunto de atividades propostas, em termos das
manifestações de aprendizagem eventualmente ocorridas.
Há, como se sabe, muitas teorias de aprendizagem, agrupadas segundo seus
fundamentos, sejam de bases behavioristas, cognitivistas, socioculturais etc. Não
caberia aqui (nem nos sentimos capazes de) desenvolver, com a profundidade adequada,
uma discussão geral sobre essas teorias e seus conceitos fundamentais (o que se entende
por aprendizagem, por exemplo). Piaget associa aprendizagem a um processo de
adaptação, que ocorreria em quatro etapas, de modo contínuo: desequilibração,
acomodação, assimilação, reequilibração. Vergnaud (1994, p.50) enfatiza a adaptação
de esquemas a situações novas: “Há várias maneiras de desenvolver a complexidade
cognitiva [...]. Uma das mais essenciais é aprender a trabalhar com uma classe de
72
situações para a qual os esquemas mentais já desenvolvidos não funcionam”. Algumas
vezes são distinguidos os processos de aprender um conceito matemático, de aprender a
executar um algoritmo, de aprender a resolver problemas em geral, de aprender a andar
de bicicleta, de aprender certos comportamentos e/ou valores sociais. Fala-se até mesmo
em aprender a aprender. Vê-se, assim, a complicação envolvida na empreitada de dizer
o que se entende por aprendizagem. Por isso, vamos nos restringir, neste trabalho, a
comentar de modo simples, mas que acreditamos seja suficiente para os nossos
propósitos, a ideia de aprendizagem que nos interessa especificamente no contexto da
pesquisa que é objeto deste relato. Como já colocado, nosso foco é a interpretação dos
enunciados de problemas matemáticos. Sabemos, tanto a partir da nossa experiência,
como a partir da revisão de literatura apresentada, que os alunos da escola, em geral,
enfrentam dificuldades na resolução de problemas matemáticos e uma das mais
fundamentais (no sentido de que tudo o mais depende dela) é a de construir uma
interpretação apropriada dos enunciados dos problemas. Há que se considerar que uma
interpretação adequada dos enunciados depende, muitas vezes, do domínio de
conhecimentos matemáticos que permitem estabelecer formas de “traduzir” ou
expressar, na linguagem matemática, aquilo que se entende como enunciado no
problema (por exemplo, pode ser difícil – ou mesmo impossível - expressar uma
interpretação correta de uma situação multiplicativa através de uma conta de dividir se
não se conhecem os diferentes significados da divisão). Assim, o conjunto de atividades
que propusemos visou desenvolver uma aprendizagem específica, qual seja, aprender a
interpretar os enunciados. A ideia foi, então, expor os alunos participantes da pesquisa a
uma série de situações que, segundo a literatura, proporcionariam uma experiência de
enfrentamento com as principais dificuldades observadas nesse processo de construção
de um entendimento eficiente da situação-problema apresentada nos enunciados. Nossa
expectativa era a de que uma vivência refletida e interessada dessa experiência pudesse
desencadear um processo de mudança positiva nos sujeitos participantes, mudança essa
que se manifestaria no avanço da competência para interpretar enunciados de problemas
matemáticos. Esse processo de mudança, que se manifesta como avanço na competência
para a interpretação dos enunciados, é o que entendemos por aprendizagem, no contexto
deste trabalho.
Assim, coerentes com a noção de aprendizagem descrita acima, gostaríamos de
destacar alguns dos fundamentos que orientaram o desenvolvimento da análise que
73
apresentaremos nas duas seções seguintes deste capítulo: prestamos atenção especial a
aspectos ligados às mudanças percebidas na criticidade da leitura dos enunciados, de
modo a desenvolver a capacidade de distinguir diferenças conceitualmente importantes
entre expressões de linguagem “parecidas” (quantas vezes mais/quantas a mais, entre
outras); mudanças na postura de avaliação da relevância/irrelevância dos dados de um
problema; mudanças na capacidade de redigir enunciados de problemas matemáticos,
dada a solução; mudanças na atenção em relação à pergunta final do problema, entre
outros aspectos. Além disso, como entendemos que o processo de aprendizagem só se
realiza plenamente com uma vivência reflexiva e interessada do aprendiz, prestamos
atenção também no nível de engajamento com que os participantes vivenciaram a
experiência que lhes foi proposta através do conjunto de atividades elaboradas. Por isso,
consideramos o nível de engajamento dos participantes como um aspecto importante na
relativização dos resultados da comparação de desempenhos, tanto no caso da sondagem
inicial versus sondagem final, como no caso da possível correlação entre desempenho
nas atividades e desempenho na Sondagem Final. É claro que não se pode penetrar no
cérebro ou no coração dos aprendizes para determinar categoricamente o nível de
engajamento nas atividades propostas, mas é sempre possível detectar sinais e
evidências de um maior ou menor engajamento. Foi o que fizemos, com o aval da
professora regular da turma, que avaliou positivamente nossa avaliação. Isso explica os
parâmetros utilizados nos quadros em que sintetizamos os resultados gerais da nossa
análise.
4.1 Comparando os desempenhos nas sondagens
Inicialmente traçamos um breve perfil de cada um dos alunos participantes e, em
seguida, comparamos seus respectivos desempenhos nas sondagens inicial e final. Para
facilitar a leitura e eventual retorno aos dados mais relevantes de qualquer dos
participantes, decidimos apresentar um quadro para cada aluno(a), sintetizando a análise
desenvolvida na comparação. Ao final desta seção, apresentamos um quadro geral com
informações sobre o desempenho de todos os participantes e, logo em seguida, as
conclusões a que chegamos nesta etapa da análise. Na seção seguinte, cotejamos os
desempenhos dos participantes ao longo das atividades com o desempenho
correspondente na sondagem final.
74
Os desempenhos nas sondagens foram avaliados a partir de um critério que foca
especificamente a interpretação dos enunciados. Assim, mesmo quando um aluno não
tenha conseguido chegar às soluções corretas de alguns problemas, mas os aspectos
observados por nós evidenciaram a compreensão, parcial ou completa do que era pedido
nos problemas (e.g., o tipo de operação armada pelo aluno, as respostas dadas etc.), o
desempenho pode ter sido considerado bom. Desse modo, consideramos como corretas
as questões que julgamos corretamente interpretadas, mas nem sempre com a resposta
matematicamente esperada.
Embora a avaliação de desempenho nas sondagens tenha sido de caráter
qualitativo, com o foco na interpretação dos enunciados, decidimos atribuir pontos a
cada questão de cada uma das sondagens, a fim de assegurar maior precisão nos
registros e facilitar a comparação. E estabelecemos o seguinte critério para nomear os
desempenhos em cada sondagem: um desempenho correspondente a até 59% do total
dos pontos de uma sondagem foi considerado fraco; de 60 a 79% foi considerado
regular e de 80 a 100%, consideramos um forte desempenho. Insistimos em destacar
que as avaliações foram essencialmente qualitativas e as pontuações serviram apenas
para nos guiar nos fundamentos da comparação e evitar a necessidade de uma descrição
alongada das avaliações para cada questão, permitindo-nos retornar eventualmente a
cada uma delas e compará-las de modo rápido e eficiente. Enfim, a decisão pela
pontuação adequada em cada questão exige muita reflexão, mas uma vez realizada, a
pontuação ajuda a abreviar o prosseguimento do processo de comparação.
Cabe ainda ressaltar que houve um espaço de tempo de aproximadamente 3
meses entre as duas sondagens, que foi o período em que as diversas atividades foram
trabalhadas. Por isso, não nos preocupou o fato de haver, nas duas sondagens,
problemas semelhantes, pois a nosso ver, seria impossível relembrar a solução de cada
um deles na sondagem final, sem havê-la compreendido bem, na sondagem inicial.
Abaixo, apresentamos um quadro comparativo com os enunciados dos
problemas semelhantes das sondagens inicial e final, bem como a maneira como cada
aluno interpretou e resolveu. Logo abaixo das soluções dadas pelos alunos, vêm nossos
comentários. Alguns problemas foram omitidos, dependendo do aluno, mas todos foram
analisados, segundo o critério mencionado acima. Aqui apresentamos apenas uma
mostra do que consideramos mais interessante, em termos da análise desenvolvida.
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Quadro 1 - Análise da comparação entre as sondagens inicial e final
A1: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, sempre questionando, expondosuas resoluções e discutindo com os colegas. Sondagem inicial Sondagem finalOs problemas que seguem envolvem dois passos, nesse caso duas operaçõessucessivas de subtração. Vovó recebeu 36 rosas. Uma dúzia foimandada pelos netos e as outras rosaspelos filhos. Quantas rosas os filhosmandaram a mais que os netos?
Marina tem um canil com 46 cães. Desses,11 foram resgatados nas ruas e os outrosforam deixados em sua porta. Quantos cãesa mais foram deixados em sua porta emrelação à quantidade dos que foramresgatados?
Nesse caso, A1 realizou a divisão de36 por 12, mostrando umacompreensão equivocada do que oproblema pedia.
Aqui A1 interpreta e resolve corretamente oproblema.
Os problemas j e i envolvem noção de proporção.João tem 13 carrinhos e Carlos tem52. Quantas vezes mais carrinhos queJoão Carlos tem?
Kelly tem 12 reais e seu irmão tem 48.Quantas vezes mais dinheiro o irmão temem relação a Kelly?
A1 fez uma interpretação aditiva dacomparação entre o número decarrinhos de João e Carlos (quantoscarrinhos a mais), quando o problemademandava uma interpretaçãomultiplicativa (quantas vezes mais
A1 realiza a divisão, percebendo a diferençaentre ‘quanto a mais’ e ‘ quantas vezesmais’, (ainda que tenha respondido “4 vezesa mais”).
76
carrinhos).
Os problemas abaixo k e g, são problemas que admitem mais de uma solução.Eu e você temos, juntos, 120 reais.Quanto dinheiro tem cada um de nós?
Carlos e Pedro têm juntos 280 figurinhas,quantas figurinhas tem cada um?
Ao dividir 120 por 2, A1 supõe quecada amabas as pessoas têm a mesmaquantidade, o que não é dado doproblema. Parece pressupor que todoproblema matemático tenha uma esomente uma solução.
No problema equivalente da sondagem final,A1 responde demonstrando senso crítico,observando que o problema “(...) não falaque eles têm a mesma quantidade”,admitindo, assim, a possibilidade deinsuficiência de dados para determinar umaúnica solução
Os problemas abaixo envolvem 2 passos, nesse caso primeiro uma subtração e emseguida uma adição.Maria tem 18 anos e Joana tem 5 anosa menos que Maria. Se Margarida tem7 anos a mais que Joana, quantos anosMargarida tem?
Victor tem 25 anos e Igor tem 6 anos amenos que Victor. Se João tem 8 anos amais do que Igor, quantos anos João tem?
Esses são problemas que envolvemoperações sucessivas. A1 realiza duasadições, sem perceber, talvez por faltade atenção ou por não ter o hábito dareleitura, que a primeira deveria seruma subtração.
No problema equivalente da sondagem final,A1 parece ter tido mais atenção na leitura doproblema. Além disso, como podemosobservar neste caso e em outros, A1 nãoapenas circula o número (como fezreiteradamente na sondagem inicial), masenuncia de modo claro sua resposta,demonstrando maior objetividade eorganização na comunicação de ideias.
Os problemas abaixo envolvem três passos com raciocínio aditivo e multiplicativo.Júlia e sua prima Joana compraram108 caixas de bombom (todas demesmo preço) e pagaram R$ 216,00no total. Deste valor, Joana pagou R$126,00 pelas suas caixas. Quantascaixas são da Júlia?
Sandro e Diego compraram 15 jogos devídeo game (todos de mesmo preço) epagaram o total de R$ 45,00. Desse valor,Diego pagou R$ 21,00 pelos seus jogos.Quantos jogos são do Sandro?
77
Aqui A1 parece ter tido dificuldade naresolução. Há sinais de terdesmanchado algumas vezes o quetinha escrito. Além disso, a operaçãoque origina 90 não aparece (seria asubtração 216 – 126). Porém conseguechegar no resultado correto.
No problema equivalente na sondagem final,A1 parece não ter percebido que a respostaque deu era para a quantidade de jogos deDiego. Apesar de uma maior organização naresolução, apresentou uma respostaincorreta, não tendo verificado se o númeroque encontrou respondia a pergunta doproblema.
A2: Demonstrou certo interesse nas atividades em que participou, procurando tirardúvidas e expor suas soluções. Apresentou grande dificuldade na matemática játrabalhada em anos anteriores e, além disso faltou frequentemente às aulas. Sondagem inicial Sondagem finalO exercício abaixo é de resolução direta, aplicado para verificar o desempenho dosalunos em relação a conteúdos básicos, como as quatro operações fundamentais.Calcule quanto dá 144 dividido por18.
Calcule quanto dá 156 dividido por 13.
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Nesse exercício podemos verificar queA2 teve dificuldade com a divisão.
Aqui A2 consegue realizar o cálculo.
Os problemas que seguem envolvem dois passos, nesse caso duas operaçõessucessivas de subtração.Vovó recebeu 36 rosas. Uma dúzia foimandada pelos netos e as outras rosaspelos filhos. Quantas rosas os filhosmandaram a mais que os netos?
Marina tem um canil com 46 cães. Desses,11 foram resgatados nas ruas e os outrosforam deixados em sua porta. Quantos cãesa mais foram deixados em sua porta emrelação à quantidade dos que foramresgatados?
Nesse problema A2 realiza apenas oprimeiro passo. Podemos inferir que adificuldade aqui está na interpretação,pois ela parece entender a perguntacomo ‘quantas rosas foram enviadaspelos filhos?’
Aqui A2 também realiza apenas o primeiropasso. Analogamente ao problemaequivalente da sondagem inicial, A2interpreta equivocadamente a pergunta doproblema. Talvez tenha feito leitura rápida,sem atenção. Parece não ter evoluídosignificativamente, neste sentido, ao longodas atividades.
Os problemas que seguem envolvem operações sucessivas, incluindo adição emultiplicação.Beto tinha 23 figurinhas. Num jogo,ganhou 2 figurinhas de cada um deseus 6 colegas e, depois comprou mais10 figurinhas. Com quantas figurinhasBeto ficou?
Bruna tinha 28 figurinhas. Num jogo,ganhou 3 figurinhas de cada um de seus 5colegas e, depois comprou mais 6figurinhas. Com quantas figurinhas Brunaficou?
Aqui A2 troca o número 23 por 32,apesar de ter realizado mentalmente amultiplicação de 6 por 2. De novo, háindícios de uma leitura rápida, sem
Nesse problema equivalente, A2 organizamelhor os dados e consegue chegar àsolução correta.
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verificação se a resposta está correta.Os problemas abaixo envolvem três passos, nesse caso divisão e subtração.Júlia e sua prima Joana compraram108 caixas de bombom (todas demesmo preço) e pagaram R$ 216,00no total. Deste valor, Joana pagou R$126,00 pelas suas caixas. Quantascaixas são da Júlia?
Sandro e Diego compraram 15 jogos devídeo game (todos de mesmo preço) epagaram o total de R$ 45,00. Desse valor,Diego pagou R$ 21,00 pelos seus jogos.Quantos jogos são do Sandro?
A2 soma 126 com 108, monstrandouma compreensão equivocada doenunciado do problema.
Aqui A2 realiza a subtração de 45 e 25,porém não percebe a necessidade de obter opreço de cada jogo para chegar à respostacorreta.
Os problemas abaixo envolvem multiplicação, divisão e subtração.
Dona Márcia comprou 7 dúzias debananas. Distribuiu duas bananas paracada macaco do zoológico que visitoue levou 12 bananas para casa. Quantosmacacos ela alimentou com asbananas?
Paula gasta 3 ovos para fazer 1 bolo. Ela foiao mercado e comprou 4 dúzias de ovospara fazer bolos. No caminho de volta,quebraram-se 3 ovos. Quantos bolos Paulaconsegue fazer com os ovos que sobraram?
Podemos inferir que A2 tevedificuldade para compreender oenunciado. Ela apenas divide 84 por12.
Aqui A2 parece já ter realizado a operação4x12 para saber quantos ovos Paulacomprou. Parece também ter compreendidoparte do enunciado, já que realizou asubtração dos ovos que se quebraram.Porém ela não conclui a resolução doproblema.
Os problemas j e i envolvem noção de proporção.
80
João tem 13 carrinhos e Carlos tem 52.Quantas vezes mais carrinhos queJoão Carlos tem?
Kelly tem 12 reais e seu irmão tem 48.Quantas vezes mais dinheiro o irmão temem relação a Kelly?
A2 realiza a multiplicação de 52 por13. Talvez por causa da palavra‘vezes’ que aparece no enunciado.Porém fica claro que A2 nãocompreendeu o enunciado.
A2 realiza a subtração de 48 por 12,mostrando uma interpretação aditiva dacomparação, em lugar de umamultiplicativa, como pede o problema.
Os problemas abaixo k e g, são problemas com várias soluções.Eu e você temos, juntos, 120 reais.Quanto dinheiro tem cada um de nós?
Carlos e Pedro têm juntos 280 figurinhas,quantas figurinhas tem cada um?
A2 resolve como a maioria da turma,demonstrando não perceber aexistência das várias soluções.
A2 mantém seu raciocínio e resolve comona sondagem inicial.
Os problemas abaixo envolvem 2 passos, nesse caso primeiro uma subtração e emseguida uma adição.Maria tem 18 anos e Joana tem 5 anosa menos que Maria. Se Margarida tem7 anos a mais que Joana, quantos anosMargarida tem?
Victor tem 25 anos e Igor tem 6 anos amenos que Victor. Se João tem 8 anos amais do que Igor, quantos anos João tem?
81
A2 simplesmente multiplica 18 por 7,demonstrando uma compreensãoprecária do enunciado.
Aqui A2 consegue organizar os dados einterpretar o problema corretamente, apesarde ter apagado desnecessariamente aprimeira operação resolvida.
A3: Demonstrou interesse em algumas atividades de que participou, mas é um alunoque conversa muito durante as aulas.
Sondagem inicial Sondagem finalExercícios de resolução direta.
Efetue a seguinte conta: 1326 – 548. Efetue a seguinte conta: 5231 – 389
Na sondagem inicial A3 conseguerealizar a subtração.
Na sondagem final A3 teve dificuldade nasubtração.
Os problemas abaixo envolvem noção de multiplicação.
Se cada passagem de ônibus para ocentro da cidade custa 2,50 quanto sepagará por seis dessas passagens?
Se cada salgado da cantina da escola custaR$ 1,50, quanto se pagará por 5 salgados?
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Aqui A3 parece ter desmanchado oresultado da conta e escrito 15,00 apóster olhado de algum colega, pois naresposta ele escreve 13,30.
Aqui A3 realiza a multiplicação semmaiores dificuldades.
Os problemas que seguem envolvem dois passos, nesse caso duas operaçõessucessivas de subtração.
Vovó recebeu 36 rosas. Uma dúzia foimandada pelos netos e as outras rosaspelos filhos. Quantas rosas os filhosmandaram a mais que os netos?
Marina tem um canil com 46 cães. Desses,11 foram resgatados nas ruas e os outrosforam deixados em sua porta. Quantos cãesa mais foram deixados em sua porta emrelação à quantidade dos que foramresgatados?
Nesse problema A3 realiza apenas oprimeiro passo. Como no caso deoutros colegas, parece entender apergunta como ‘quantas rosas foramenviadas pelos filhos?’
Aqui A3 também realiza apenas o primeiropasso. Analogamente ao problemaequivalente, A3 interpreta erroneamente apergunta do problema, mostrando não terevoluído, neste sentido, ao longo dasatividades.
Os problema que seguem envolvem operações sucessivas, incluindo adição emultiplicação.
Beto tinha 23 figurinhas. Num jogo,ganhou 2 figurinhas de cada um deseus 6 colegas e, depois comprou mais10 figurinhas. Com quantas figurinhasBeto ficou?
Bruna tinha 28 figurinhas. Num jogo,ganhou 3 figurinhas de cada um de seus 5colegas e, depois comprou mais 6figurinhas. Com quantas figurinhas Brunaficou?
83
Aqui A3 soma todos os valores, semperceber que 6 é o número de colegase dois é o número de figurinhas porcolega.
Aqui A3 organiza melhor os dados e realizaa multiplicação e as adições corretamente,mostrando uma boa compreensão dasituação descrita no problema.
Os problemas abaixo envolvem três passos, nesse caso divisão e subtração.Júlia e sua prima Joana compraram108 caixas de bombom (todas demesmo preço) e pagaram R$ 216,00no total. Deste valor, Joana pagou R$126,00 pelas suas caixas. Quantascaixas são da Júlia?
Sandro e Diego compraram 15 jogos devídeo game (todos de mesmo preço) epagaram o total de R$ 45,00. Desse valor,Diego pagou R$ 21,00 pelos seus jogos.Quantos jogos são do Sandro?
A3 demonstra ter feito uma corretainterpretação do problema,construindo adequadamente aresolução, embora não tenha deixadoclaro de que modo surge o número 90e também não tenha apresentado aresposta final de modo explícito.
Já na sondagem final, A3 demonstra tercompreendido o problema também, porémse confunde na pergunta final, respondendoo número de jogos de Diego e não deSandro. Falha de atenção na leitura dapergunta do problema.
Os problemas abaixo envolvem multiplicação, divisão e subtração.
Dona Márcia comprou 7 dúzias debananas. Distribuiu duas bananas paracada macaco do zoológico que visitoue levou 12 bananas para casa. Quantosmacacos ela alimentou com asbananas?
Paula gasta 3 ovos para fazer 1 bolo. Ela foiao mercado e comprou 4 dúzias de ovospara fazer bolos. No caminho de volta,quebraram-se 3 ovos. Quantos bolos Paulaconsegue fazer com o restante dos ovos quesobraram?
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A3 parece ter compreendido seuenunciado, consegue organizar osdados, porém responde quantasbananas dona Márcia utilizou paraalimentar os macacos e não quantosmacacos foram alimentados. De novo,constata-se uma desatenção na leiturado enunciado, o que é crucial naprodução de uma resposta incorreta.
No problema correspondente da sondagemfinal, A3 interpreta corretamente oenunciado e resolve corretamente.
Os problemas j e i envolvem noção de proporção.
João tem 13 carrinhos e Carlos tem 52.Quantas vezes mais carrinhos queJoão Carlos tem?
Kelly tem 12 reais e seu irmão tem 48.Quantas vezes mais dinheiro o irmão temem relação a Kelly?
Aqui A3 interpretou como ‘a mais’,tendo em vista que realizou asubtração e sua resposta foi 39. Noentanto, aparece a divisão, que podeter sido copiada de algum colega.
A3 interpreta corretamente o enunciado naforma de comparação multiplicativa (e nãoaditiva), mas parece ter se confundido comos dados do problema.
Os problemas abaixo k e g, são problemas com várias soluções.Eu e você temos, juntos, 120 reais.Quanto dinheiro tem cada um de nós?
Carlos e Pedro têm juntos 280 figurinhas,quantas figurinhas tem cada um?
85
Como a maioria dos colegas, A3divide por 2, sem perceber que não hádados que justifiquem a suposição deque ambos possuem a mesmaquantidade de dinheiro.
A3 mantém o raciocínio da divisão por 2.
Os problemas abaixo envolvem 2 passos, nesse caso primeiro uma subtração e emseguida uma adição.Maria tem 18 anos e Joana tem 5 anosa menos que Maria. Se Margarida tem7 anos a mais que Joana, quantos anosMargarida tem?
Victor tem 25 anos e Igor tem 6 anos amenos que Victor. Se João tem 8 anos amais do que Igor, quantos anos João tem?
A3 realiza duas subtrações. Podemospensar mais numa falta de atençãocom a leitura do que dificuldade deinterpretação.
Na sondagem final A3 parece ter realizado aleitura com mais atenção e consegueresolver corretamente o problema.
A4: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, sempre questionando, expondosuas resoluções e discutindo com os colegas.
Sondagem inicial Sondagem finalOs problemas que seguem envolvem dois passos, nesse caso duas operaçõessucessivas de subtração.Vovó recebeu 36 rosas. Uma dúzia foimandada pelos netos e as outras rosaspelos filhos. Quantas rosas os filhosmandaram a mais que os netos?
Marina tem um canil com 46 cães. Desses,11 foram resgatados nas ruas e os outrosforam deixados em sua porta. Quantos cãesa mais foram deixados em sua porta emrelação à quantidade dos que foramresgatados?
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Nesse caso, A4 resolve apenas aprimeira parte do problema, tendo,talvez, interpretado a pergunta como‘quantas rosas foram mandadas pelosfilhos?’
Na sondagem final A4 organiza melhor osdados e resolve os dois passos do problema,demonstrando ter interpretado corretamenteo que se pedia.
Os problemas abaixo envolvem 2 passos, nesse caso primeiro uma subtração e emseguida uma adição.Maria tem 18 anos e Joana tem 5 anosa menos que Maria. Se Margarida tem7 anos a mais que Joana, quantos anosMargarida tem?
Victor tem 25 anos e Igor tem 6 anos amenos que Victor. Se João tem 8 anos amais do que Igor, quantos anos João tem?
A4 parece ter entendido ‘ a menos’ enão ‘a mais’. Nessa caso podemospensar em uma leitura rápida e sematenção.
Na sondagem final, A4 organiza melhor osdados e demonstra ter compreendido o quese pedia no problema, resolvendo-ocorretamente.
Os problemas abaixo k e g, são problemas com várias soluções.Eu e você temos, juntos, 120 reais.Quanto dinheiro tem cada um de nós?
Carlos e Pedro têm juntos 280 figurinhas,quantas figurinhas tem cada um?
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Como a maioria da turma, A4 realiza adivisão por 2, sem perceber as váriassoluções do problema.
Porém, A4 demonstra senso crítico, nasondagem final, em relação aos dados doproblema, produzindo uma respostaconsistente.
A5: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, sempre questionando, expondosuas resoluções e discutindo com os colegas. Apresentamos neste quadro, apenas osproblemas em que A5 teve dificuldade na interpretação/resolução. Os outrosproblemas foram todos resolvidos corretamente. A5 conseguiu interpretar bem osenunciados e organizar o uso dos dados na resolução.Sondagem inicial Sondagem finalOs problemas que seguem envolvem dois passos, nesse caso duas operaçõessucessivas de subtração.
Vovó recebeu 36 rosas. Uma dúzia foimandada pelos netos e as outras rosaspelos filhos. Quantas rosas os filhosmandaram a mais que os netos?
Marina tem um canil com 46 cães. Desses,11 foram resgatados nas ruas e os outrosforam deixados em sua porta. Quantos cãesa mais foram deixados em sua porta emrelação à quantidade dos que foramresgatados?
Nesse caso, A5 realizou simplesmentea divisão de 36 por 12, mostrando umainterpretação equivocada do problema.
Aqui A5 demonstra ter conseguidointerpretar corretamente a situação-problemae apresentou uma resolução consistente,embora não tenha deixado a respostaexplicitada.
Os problemas abaixo k e g, são problemas com várias soluções.Eu e você temos, juntos, 120 reais.Quanto dinheiro tem cada um de nós?
Carlos e Pedro têm juntos 280 figurinhas,quantas figurinhas tem cada um?
88
Como a maioria da turma, A5 realiza adivisão por 2, assumindo a hipótese deque as duas pessoas tivessem a mesmaquantidade de dinheiro.
Aqui A5 realiza a divisão por 2, porémescreve “o anunciado não fala que eles tem amesma quantidade”, demonstrando terdesenvolvido certo senso crítico em relaçãoa esse tipo de questão.
A6: Demonstrou interesse nas atividades realizadas questionando, expondo suasresoluções e discutindo com os colegas. Os problemas não referidos abaixo foramcorretamente resolvidos em ambas as sondagens.
Sondagem inicial Sondagem finalOs problemas abaixo envolvem noção de multiplicação.
Se cada passagem de ônibus para ocentro da cidade custa 2,50 quanto sepagará por seis dessas passagens?
Se cada salgado da cantina da escola custaR$ 1,50, quanto se pagará por 5 salgados?
Aqui A6 realiza normalmente amultiplicação.
Já na sondagem final ela parece ter seconfundido (tanto na indicação do sinal deadição em lugar de multiplicação, comotambém na execução da operação – queestaria incorreta tanto se fosse um casocomo o outro). Mostra também dificuldadecom a verificação da viabilidade doresultado (dois salgados já custariam 3 reais.
Os problemas que seguem envolvem dois passos, nesse caso duas operaçõessucessivas de subtração.
Vovó recebeu 36 rosas. Uma dúzia foimandada pelos netos e as outras rosaspelos filhos. Quantas rosas os filhosmandaram a mais que os netos?
Marina tem um canil com 46 cães. Desses,11 foram resgatados nas ruas e os outrosforam deixados em sua porta. Quantos cãesa mais foram deixados em sua porta emrelação à quantidade dos que foramresgatados?
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A6 consegue compreender oenunciado e resolve corretamente oproblema.
Aqui A6 resolve apenas a primeiraoperação. Interessante notar que tenha seequivocado em duas questões muitopróximas das que havia feito de modocorreto na sondagem inicial.
Os problemas que seguem envolvem operações sucessivas, incluindo adição emultiplicação.Beto tinha 23 figurinhas. Num jogo,ganhou 2 figurinhas de cada um deseus 6 colegas e, depois comprou mais10 figurinhas. Com quantas figurinhasBeto ficou?
Bruna tinha 28 figurinhas. Num jogo,ganhou 3 figurinhas de cada um de seus 5colegas e, depois comprou mais 6figurinhas. Com quantas figurinhas Brunaficou?
A6 soma todos os valorescorrespondentes a figurinhas (observe-se que ela deixa de fora o 6), semperceber 2 era o número de figurinhaspor colega e são 6 colegas.
Aqui A6 já consegue compreender oproblema, organizar os dados e resolvercorretamente.
Os problemas j e i envolvem implicitamente a noção de proporção.
João tem 13 carrinhos e Carlos tem 52.Quantas vezes mais carrinhos queJoão Carlos tem?
Kelly tem 12 reais e seu irmão tem 48.Quantas vezes mais dinheiro o irmão temem relação a Kelly?
A6 resolve como a maioria da turma,considerando ‘quantos a mais’ e nãocomo ‘quantas vezes mais’.
Na sondagem final A6 já conseguecompreender bem o enunciado do problemae o resolve corretamente.
Os problemas abaixo k e g, são problemas com várias soluções.Eu e você temos, juntos, 120 reais.Quanto dinheiro tem cada um de nós?
Carlos e Pedro têm juntos 280 figurinhas,quantas figurinhas tem cada um?
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A6 resolve como a maioria da turma,sem perceber as inúmeraspossibilidades de resposta.
Aqui A6 mostra senso crítico, percebendoque faltam dados para que o problema tenhauma única resposta.
Os problemas abaixo envolvem 2 passos, nesse caso primeiro uma subtração e emseguida uma adição.Maria tem 18 anos e Joana tem 5 anosa menos que Maria. Se Margarida tem7 anos a mais que Joana, quantos anosMargarida tem?
Victor tem 25 anos e Igor tem 6 anos amenos que Victor. Se João tem 8 anos amais do que Igor, quantos anos João tem?
A6 realiza duas subtrações. Talveztenha lido o problema sem muitaatenção.
Aqui A6 consegue realizar uma leitura maisatenta e resolve o problema corretamente.
A7: Demonstrou desinteresse nas atividades realizadas, conversando e brincandomuito durante as aulas. Na sondagem final deixou em branco muitas questões. Masconseguiu resolver as de resolução direta (cálculos algorítmicos) na sondagem inicial.
Sondagem inicial Sondagem finalProblemas de dois passos que envolvem divisão e multiplicação.
Se três picolés de certo tipo custamseis reais, quanto se terá que pagar porsete picolés do mesmo tipo?
Se 4 barras de chocolate custam 24 reais,quanto se pagará por 6 barras iguais a essas?
Não fez.
A7 pegou dois dos númerosmencionados no enunciado e montou amultiplicação. Além de problemascom o entendimento da situação,podemos notar a dificuldade ao efetuara conta de multiplicar.Os problemas abaixo envolvem a noção de multiplicação por número natural.
Se cada passagem de ônibus para ocentro da cidade custa 2,50 quanto sepagará por seis dessas passagens?
Se cada salgado da cantina da escola custaR$ 1,50, quanto se pagará por 5 salgados?
91
De novo, errou na conta, embora tenhapercebido corretamente que deveriamultiplicar
Evitou a multiplicação e fez uma somaiterada, acertando o resultado.
Os problemas que seguem envolvem dois passos, nesse caso duas operaçõessucessivas de subtração.
Vovó recebeu 36 rosas. Uma dúzia foimandada pelos netos e as outras rosaspelos filhos. Quantas rosas os filhosmandaram a mais que os netos?
Marina tem um canil com 46 cães. Desses,11 foram resgatados nas ruas e os outrosforam deixados em sua porta. Quantos cãesa mais foram deixados em sua porta emrelação à quantidade dos que foramresgatados?
Embora tenha montado as contas demodo estranho, chegou ao resultadocorreto, ou seja, parece ter feito umainterpretação adequada da situação.
Aqui, A7 apenas faz uma subtração,mostrando ter prestado pouca atenção àpergunta do problema.
Os problemas abaixo envolvem três passos, nesse caso divisão e subtração.Júlia e sua prima Joana compraram108 caixas de bombom (todas demesmo preço) e pagaram R$ 216,00no total. Deste valor, Joana pagou R$126,00 pelas suas caixas. Quantascaixas são da Júlia?
Sandro e Diego compraram 15 jogos devídeo game (todos de mesmo preço) epagaram o total de R$ 45,00. Desse valor,Diego pagou R$ 21,00 pelos seus jogos.Quantos jogos são do Sandro?
92
Falha no entendimento da situação eexecução incorreta do algoritmo.
Falha no entendimento da situação, emboratenha conseguido fazer a conta de subtraçãocorretamente.
A8: Demonstrou interesse, principalmente nas atividades em equipe e com utilizaçãoda oralidade, liderando suas equipes, auxiliando os colegas e se envolvendo nasatividades dos outros grupos também. A8, segundo a professora da turma, é umaaluna com dificuldade nas atividades em geral e pouco participativa em aulastradicionais.
Sondagem inicial Sondagem inicial
Problemas de dois passos que envolvem divisão e multiplicação (e implicitamente aideia de proporção).
Se três picolés de certo tipo custamseis reais, quanto se terá que pagar porsete picolés do mesmo tipo?
Se 4 barras de chocolate custam 24 reais,quanto se pagará por 6 barras iguais a essas?
A8 efetua a multiplicação, dando aimpressão de ter compreendido oenunciado, embora não tenhaexplicitado a origem do 2 (talvezporque tenha feito mentalmente aconta 6 dividido por 3)
Aqui, A8 parece confusa com os dados doproblema. Primeiro realiza incorretamente aconta de divisão 24 por 4. Em seguidamultiplica 24 por 4. Interessante observarque ela faz a divisão, mas não utiliza oresultado obtido na outra conta, nemapresenta uma resposta explícita para apergunta.
Esse é um exercício de resolução direta, aplicado para verificar o desempenho dosalunos em relação a conteúdos básicos, como as quatro operações fundamentais.
Calcule quanto dá 144 dividido por18.
Calcule quanto dá 156 dividido por 13.
93
A8 tem clara dificuldade para realizara divisão.
A dificuldade permanece na sondagem final.
Problemas que envolvem noção intuitiva de contagem, através da multiplicaçãoassociada ao raciocínio combinatório.
Se uma padaria vende 3 tipos desanduíche (misto quente, peito defrango, hambúrguer) e 5 tipos de suco(uva, morango, abacaxi, laranja emelancia), de quantas maneiras épossível montar uma refeiçãocomposta de um sanduíche e um suco?
Joana tem 2 calças e 3 camisetas de coresdiferentes. Quantos conjuntos de calça ecamiseta Joana consegue usar sem repetirum mesmo conjunto?
Aqui A8 parece querer realizar amultiplicação de 3 por 5, porém, comoela faz através da soma, pode ter seesquecido de um 3. A8 geralmenterealiza a multiplicação através desomas e diz que não sabe fazer contade divisão. De todo modo, parece tercompreendido o enunciado doproblema.
Na sondagem final A8 realiza amultiplicação, demonstrando ter entendido asituação e utilizando a multiplicação emlugar da soma iterada (talvez porque osnúmeros são “pequenos”).
Esse é um exercício de resolução direta, aplicado para verificar o desempenho dosalunos em relação a conteúdos básicos, como as quatro operações fundamentais.
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Efetue a seguinte conta: 1326 – 548. Efetue a seguinte conta: 5231 – 389.
Aqui, A8 não demonstra dificuldadecom a subtração, como no caso dadivisão e multiplicação.
A8 novamente não demonstra dificuldadecom a subtração.
Os problemas abaixo envolvem o raciocínio multiplicativo.
Se cada passagem de ônibus para ocentro da cidade custa 2,50 quanto sepagará por seis dessas passagens?
Se cada salgado da cantina da escola custaR$ 1,50, quanto se pagará por 5 salgados?
A8 realiza a multiplicação através desoma e novamente parece ter seesquecido de um termo. Apesar disso,demonstra ter compreendido oenunciado do problema. Não podemosafirmar, no entanto, se ela raciocinaaditivamente em situaçõesmultiplicativas ou apenas evita oalgoritmo da multiplicação porque nãoconsegue executá-lo corretamente
A8 demonstra ter compreendidomultiplicativamente a situação, executandocorretamente o algoritmo da multiplicaçãopara encontrar a solução do problema.
Os problemas que seguem envolvem dois passos, nesse caso duas operaçõessucessivas de subtração.
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Vovó recebeu 36 rosas. Uma dúzia foimandada pelos netos e as outras rosaspelos filhos. Quantas rosas os filhosmandaram a mais que os netos?
Marina tem um canil com 46 cães. Desses,11 foram resgatados nas ruas e os outrosforam deixados em sua porta. Quantos cãesa mais foram deixados em sua porta emrelação à quantidade dos que foramresgatados?
A8 demonstra compreender oenunciado e consegue chegar àsolução correta.
A8 parece ter compreendido mal oenunciado, realizando uma soma na segundaetapa da resolução. Será que foi influenciadapela expressão “a mais” no enunciado?
Os problemas que seguem envolvem operações sucessivas, incluindo adição emultiplicação.
Beto tinha 23 figurinhas. Num jogo,ganhou 2 figurinhas de cada um deseus 6 colegas e, depois comprou mais10 figurinhas. Com quantas figurinhasBeto ficou?
Bruna tinha 28 figurinhas. Num jogo,ganhou 3 figurinhas de cada um de seus 5colegas e, depois comprou mais 6figurinhas. Com quantas figurinhas Brunaficou?
A8 demonstra ter compreendido oenunciado, porém se confunde aorealizar a adição.
A8 demonstra ter compreendido oenunciado e, apesar de ter realizado amultiplicação de 3 por 5 como somassucessivas, consegue chegar ao resultadocorreto.
Os problemas abaixo envolvem três passos.Júlia e sua prima Joana compraram108 caixas de bombom (todas demesmo preço) e pagaram R$ 216,00no total. Deste valor, Joana pagou R$
Sandro e Diego compraram 15 jogos devídeo game (todos de mesmo preço) epagaram o total de R$ 45,00. Desse valor,Diego pagou R$ 21,00 pelos seus jogos.
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126,00 pelas suas caixas. Quantascaixas são da Júlia?
Quantos jogos são do Sandro?
A8 parece não ter compreendido oenunciado. Realizou apenas a adiçãocom os dados (relativos a dinheiro)que constavam no problema.
Aqui, apesar de não ter conseguido chegar àsolução, A8 demonstra ter compreendido oenunciado. Quando ela realiza a subtraçãode 45 e 21, parece entender que os 24 reaisseria o valor que Sandro pagou pelos seusjogos. Ela também arma a divisão de 45 por15, parecendo entender que encontraria opreço de cada jogo, porém não chega a umaresposta final. Mostra evolução noentendimento da situação-problemaapresentada.
Os problemas abaixo envolvem multiplicação, divisão e subtração.
Dona Márcia comprou 7 dúzias debananas. Distribuiu duas bananas paracada macaco do zoológico que visitoue levou 12 bananas para casa. Quantosmacacos ela alimentou com asbananas?
Paula gasta 3 ovos para fazer 1 bolo. Ela foiao mercado e comprou 4 dúzias de ovospara fazer bolos. No caminho de volta,quebraram-se 3 ovos. Quantos bolos Paulaconsegue fazer com o restante dos ovos quesobraram?
Aqui A8 demonstra não tercompreendido completamente oenunciado e chega a um resultadoincorreto na conta de multiplicação.
A8 parece ter compreendido o enunciado,executou os dois primeiros passoscorretamente, confundindo-se na últimaoperação, quando multiplica ao invés dedividir.
Os problemas j e i envolvem noção de comparação multiplicativa.João tem 13 carrinhos e Carlos tem 52.Quantas vezes mais carrinhos queJoão Carlos tem?
Kelly tem 12 reais e seu irmão tem 48.Quantas vezes mais dinheiro o irmão temem relação a Kelly?
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A8 realiza uma adição com os dadosque constam no enunciado, parecendonão compreender a situação e o que éperguntado.
Aqui A8 parece interpretar como quanto oirmão tem ‘a mais’ do que Kelly, ou seja,faz uma comparação aditiva.
Os problemas abaixo k e g, são problemas com várias soluções.Eu e você temos, juntos, 120 reais.Quanto dinheiro tem cada um de nós?
Carlos e Pedro têm juntos 280 figurinhas,quantas figurinhas tem cada um?
A8 realiza divisão por 2 e tambémmultiplicação por 2. Podemosperceber que ela não compreende asituação fazendo várias contas semchegar a uma resposta final para oproblema apresentado.
Aqui A8 parece manter o raciocínio dadivisão por 2. Entretanto, não chega aoresultado da divisão. Assume um dado nãofornecido que se refere à possibilidade deque o número de figurinhas dos dois seja omesmo (talvez para que o problema admitauma só solução).
Os problemas abaixo envolvem 2 passos, nesse caso primeiro uma subtração e emseguida uma adição.Maria tem 18 anos e Joana tem 5 anosa menos que Maria. Se Margarida tem7 anos a mais que Joana, quantos anosMargarida tem?
Victor tem 25 anos e Igor tem 6 anos amenos que Victor. Se João tem 8 anos amais do que Igor, quantos anos João tem?
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A8 parece compreender apenas aprimeira parte do enunciado.
A8 pode ter se confundido com os dados. Deonde surge esse 18?
A9: Demonstrou um pouco mais de interesse nas atividades em grupo, mas no geralmostrou-se desinteressado e deixou muitos problemas sem fazer na sondagem final.Apresentaremos apenas os problemas que podemos comparar, tendo em vista que orestante da sondagem inicial foi resolvido corretamente, sem maiores intercorrênciasno que diz respeito às interpretações. Na comparação podemos observar que A9compreende bem os enunciados (tanto da sondagem inicial quanto da final). Ao queparece, deixou problemas sem fazer na sondagem final por desinteresse.Os problemas abaixo envolvem a noção de multiplicação.
Se cada passagem de ônibus para ocentro da cidade custa 2,50 quanto sepagará por seis dessas passagens?
Se cada salgado da cantina da escola custaR$ 1,50, quanto se pagará por 5 salgados?
A9 demonstra compreender oenunciado do problema, traduzindo-ocorretamente para a linguagemmatemática
A9 demonstra compreender o enunciado doproblema, traduzindo-o corretamente para alinguagem matemática.
Os problemas que seguem envolvem dois passos, nesse caso duas operaçõessucessivas de subtração.
Vovó recebeu 36 rosas. Uma dúzia foimandada pelos netos e as outras rosas
Marina tem um canil com 46 cães. Desses,11 foram resgatados nas ruas e os outros
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pelos filhos. Quantas rosas os filhosmandaram a mais que os netos?
foram deixados em sua porta. Quantos cãesa mais foram deixados em sua porta emrelação à quantidade dos que foramresgatados?
A9 demonstra compreender oenunciado do problema, resolvendo-ocorretamente.
A9 demonstra compreender o enunciado doproblema e o resolve corretamente.
Os problemas abaixo envolvem três passos, nesse caso divisão e subtração.Júlia e sua prima Joana compraram108 caixas de bombom (todas demesmo preço) e pagaram R$ 216,00no total. Deste valor, Joana pagou R$126,00 pelas suas caixas. Quantascaixas são da Júlia?
Sandro e Diego compraram 15 jogos devídeo game (todos de mesmo preço) epagaram o total de R$ 45,00. Desse valor,Diego pagou R$ 21,00 pelos seus jogos.Quantos jogos são do Sandro?
A9 demonstra compreender oenunciado do problema, traduzindo-ocorretamente para a linguagemmatemática
A9 demonstra compreender o enunciado doproblema, mas se confunde em relação aoque é pedido ao final. Encontra o número dejogos de Diego e não o de Sandro.
A10: Tímida, apresentando interesse na maioria das atividades individuais e escritas,porém não demonstrando interesse nas atividades orais.
Esse é um exercício de resolução direta, aplicado para verificar o desempenho dosalunos em relação a conteúdos básicos, como as quatro operações fundamentais.
Calcule quanto dá 144 dividido por18.
Calcule quanto dá 156 dividido por 13.
100
Não fez.
Podemos perceber a dificuldade deA10 com a realização da divisão.
Problemas que envolvem raciocínio multiplicativo, na forma de contagem e cálculocombinatório.
Se uma padaria vende 3 tipos desanduíche (misto quente, peito defrango, hambúrguer) e 5 tipos de suco(uva, morango, abacaxi, laranja emelancia), de quantas maneiras épossível montar uma refeiçãocomposta de um sanduíche e um suco?
Joana tem 2 calças e 3 camisetas de coresdiferentes. Quantos conjuntos de calça ecamiseta Joana consegue usar sem repetirum mesmo conjunto?
A10 respondeu: “6”.
A10 parece ter compreendido oenunciado do problema e o resolveu,possivelmente, efetuando a conta demultiplicar mentalmente.
Parece ter feito a conta de multiplicarmentalmente.
Os problemas abaixo envolvem noção de multiplicação.
Se cada passagem de ônibus para ocentro da cidade custa 2,50 quanto sepagará por seis dessas passagens?
Se cada salgado da cantina da escola custaR$ 1,50, quanto se pagará por 5 salgados?
A10 parece ter compreendido oenunciado, apesar de realizar umasoma sucessiva ao invés damultiplicação.
A10 parece ter realizado o cálculomentalmente.
101
102
Quando A10 realiza a subtração de216 por 126, podemos pensar que elateria compreendido corretamente partedo enunciado do problema (subtraindopara encontrar o valor que Júliapagará). Porém responde “são dela 90caixas”, o que desfaz esseentendimento.
A10 não mostra como chegou a essenúmero. De qualquer forma parece não terpercebido que a pergunta do problema serefere aos jogos de Sandro e não aos deDiego.
Os problemas abaixo envolvem multiplicação, divisão e subtração.
Dona Márcia comprou 7 dúzias debananas. Distribuiu duas bananas paracada macaco do zoológico que visitoue levou 12 bananas para casa. Quantosmacacos ela alimentou com asbananas?
Paula gasta 3 ovos para fazer 1 bolo. Ela foiao mercado e comprou 4 dúzias de ovospara fazer bolos. No caminho de volta,quebraram-se 3 ovos. Quantos bolos Paulaconsegue fazer com o restante dos ovos quesobraram?
A10 parece ter compreendido oenunciado do problema, apesar de terrealizado a divisão incorretamente.
A10 demonstra novamente tercompreendido o enunciado do problema,traduzindo-o corretamente para a linguagemmatemática e resolvendo com acerto.
Os problemas abaixo envolvem 2 passos, primeiro uma subtração e em seguida umaadição.Maria tem 18 anos e Joana tem 5 anosa menos que Maria. Se Margarida tem7 anos a mais que Joana, quantos anosMargarida tem?
Victor tem 25 anos e Igor tem 6 anos amenos que Victor. Se João tem 8 anos amais do que Igor, quantos anos João tem?
103
Não consegui entender o que A10pensou. De onde aparece esse 16?
Nessa outra resolução, apesar de não terchegado à resposta correta, A10 demonstrater compreendido corretamente o enunciado.
A11: Conversa muito durantes as aulas, mas parece não ter muita dificuldade com amatemática. A maioria dos problemas foram resolvidos corretamente. A11 parececompreender bem os enunciados. Deixou vários problemas sem fazer na sondagemfinal.Os problemas que seguem envolvem dois passos, nesse caso duas operaçõessucessivas de subtração.
Vovó recebeu 36 rosas. Uma dúzia foimandada pelos netos e as outras rosaspelos filhos. Quantas rosas os filhosmandaram a mais que os netos?
Marina tem um canil com 46 cães. Desses,11 foram resgatados nas ruas e os outrosforam deixados em sua porta. Quantos cãesa mais foram deixados em sua porta emrelação à quantidade dos que foramresgatados?
A11 resolve corretamente o problema. Podemos perceber que A11 conseguecompreender corretamente o enunciado,apesar de não ter colocado na resposta queforam 24 cães ‘a mais’.
Os problemas abaixo envolvem três passos.Júlia e sua prima Joana compraram108 caixas de bombom (todas demesmo preço) e pagaram R$ 216,00no total. Deste valor, Joana pagou R$126,00 pelas suas caixas. Quantascaixas são da Júlia?
Sandro e Diego compraram 15 jogos devídeo game (todos de mesmo preço) epagaram o total de R$ 45,00. Desse valor,Diego pagou R$ 21,00 pelos seus jogos.Quantos jogos são do Sandro?
A11 demonstra entender perfeitamenteo problema, expondo sua solução demaneira organizada e clara.
Aqui A11, como a maioria dos alunosparticipantes, confunde e dá como resposta onúmero de jogos de Diego, não o de Sandro.
Os problemas abaixo envolvem multiplicação, divisão e subtração.
Dona Márcia comprou 7 dúzias debananas. Distribuiu duas bananas paracada macaco do zoológico que visitoue levou 12 bananas para casa. Quantosmacacos ela alimentou com asbananas?
Paula gasta 3 ovos para fazer 1 bolo. Ela foiao mercado e comprou 4 dúzias de ovospara fazer bolos. No caminho de volta,quebraram-se 3 ovos. Quantos bolos Paulaconsegue fazer com o restante dos ovos quesobraram?
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A11 não interpreta de modo correto asituação. Talvez por falta de atenção,não percebeu que foram dadas duasbananas para cada macaco.
Aqui A11 realiza somente a divisão,deixando subentendido que tenha realizadoos outros cálculos mentalmente. Podemosperceber que compreende bem o enunciadodo problema.
Os problemas j e i envolvem noção de proporção.João tem 13 carrinhos e Carlos tem 52.Quantas vezes mais carrinhos queJoão Carlos tem?
Kelly tem 12 reais e seu irmão tem 48.Quantas vezes mais dinheiro o irmão temem relação a Kelly?
A11 entende a situação como umacomparação aditiva e nãomultiplicativa.
A11 mantém o raciocínio da sondageminicial.
A12: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, fazendo perguntas, expondosuas resoluções e discutindo com os colegas. Apresentou um avanço na interpretaçãodos enunciados, quando comparamos seu desempenho nas sondagens inicial e final.
Os problemas que seguem envolvem dois passos, nesse caso duas operaçõessucessivas de subtração.
Vovó recebeu 36 rosas. Uma dúzia foimandada pelos netos e as outras rosaspelos filhos. Quantas rosas os filhosmandaram a mais que os netos?
Marina tem um canil com 46 cães. Desses,11 foram resgatados nas ruas e os outrosforam deixados em sua porta. Quantos cãesa mais foram deixados em sua porta emrelação à quantidade dos que foramresgatados?
A12 parece não ter compreendidoadequadamente o enunciado. Nãorespondeu a pergunta feita.
Aqui A12 realiza as duas subtrações,monstrando uma compreensão completa doenunciado.
Os problemas abaixo envolvem três passos na resolução.Júlia e sua prima Joana compraram108 caixas de bombom (todas de
Sandro e Diego compraram 15 jogos devídeo game (todos de mesmo preço) e
105
mesmo preço) e pagaram R$ 216,00no total. Deste valor, Joana pagou R$126,00 pelas suas caixas. Quantascaixas são da Júlia?
pagaram o total de R$ 45,00. Desse valor,Diego pagou R$ 21,00 pelos seus jogos.Quantos jogos são do Sandro?
A12 parece não ter compreendidoadequadamente o enunciado. Nãoresponde a pergunta feita.
Aqui A12 demonstra melhora nacompreensão do enunciado, mas nãoresponde quantos são os jogos do Sandro esim os de Diego.
Os problemas abaixo envolvem multiplicação, divisão e subtração.
Dona Márcia comprou 7 dúzias debananas. Distribuiu duas bananas paracada macaco do zoológico que visitoue levou 12 bananas para casa. Quantosmacacos ela alimentou com asbananas?
Paula gasta 3 ovos para fazer 1 bolo. Ela foiao mercado e comprou 4 dúzias de ovospara fazer bolos. No caminho de volta,quebraram-se 3 ovos. Quantos bolos Paulaconsegue fazer com o restante dos ovos quesobraram?
A12 parece não ter compreendido oenunciado. Ele apenas realiza adivisão de 84 por 12 e dá 7 comoresposta final.
aqui, A12 expressa claramente todos ospassos realizados, demonstrando tercompreendido todo o enunciado doproblema.
Os problemas abaixo envolvem 2 passos, nesse caso primeiro uma subtração e emseguida uma adição.Maria tem 18 anos e Joana tem 5 anosa menos que Maria. Se Margarida tem7 anos a mais que Joana, quantos anosMargarida tem?
Victor tem 25 anos e Igor tem 6 anos amenos que Victor. Se João tem 8 anos amais do que Igor, quantos anos João tem?
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A12 parece não ter compreendido oenunciado, realizando uma adição quenão tem muito sentido no contexto doproblema.
Aqui A12 realiza a subtração e em seguida aadição demonstrando ter compreendido bemo enunciado do problema.
A13: Mostrou pouco interesse nas atividades realizadas, conversando muito duranteas aulas. Desempenho fraco em ambas as sondagens, demonstrando dificuldade comos conteúdos e com a interpretação dos enunciados. Deixou algumas questões embranco na sondagem final.Esse é um exercício de resolução direta (algoritmo), proposto para verificar odesempenho dos alunos em relação a conteúdos básicos, como as quatro operaçõesfundamentais.
Calcule quanto dá 144 dividido por18.
Calcule quanto dá 156 dividido por 13.
Não fez.
Podemos perceber que A13 temdificuldade com a divisão.
A13 pode ter deixado em branco por terdificuldade com a divisão ou apenas pordesinteresse.
Os problemas abaixo envolvem três passos, nesse caso divisão e subtração.Júlia e sua prima Joana compraram108 caixas de bombom (todas demesmo preço) e pagaram R$ 216,00no total. Deste valor, Joana pagou R$126,00 pelas suas caixas. Quantascaixas são da Júlia?
Sandro e Diego compraram 15 jogos devídeo game (todos de mesmo preço) epagaram o total de R$ 45,00. Desse valor,Diego pagou R$ 21,00 pelos seus jogos.Quantos jogos são do Sandro?
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A13 soma 2 valores, um deles está noenunciado e o outro não. Além de nãoentender o enunciado, A13 aindademonstra falta de atenção com aleitura e dificuldades com a adição, jáque o resultado correto é 382.
Aqui A13 parece ter compreendido parte doenunciado quando realiza a subtração,porém ela para no meio do caminho e nãofinaliza a resolução.
Os problemas abaixo envolvem multiplicação, divisão e subtração.
Dona Márcia comprou 7 dúzias debananas. Distribuiu duas bananas paracada macaco do zoológico que visitoue levou 12 bananas para casa. Quantosmacacos ela alimentou com asbananas?
Paula gasta 3 ovos para fazer 1 bolo. Ela foiao mercado e comprou 4 dúzias de ovospara fazer bolos. No caminho de volta,quebraram-se 3 ovos. Quantos bolos Paulaconsegue fazer com o restante dos ovos quesobraram?
Não fez.
A13 pode ter compreendido apenas oinício do enunciado, porém, além denão finalizar a resolução, mostra terdificuldade com a multiplicação. Os problemas j e i envolvem a comparação multiplicativa.João tem 13 carrinhos e Carlos tem 52.Quantas vezes mais carrinhos queJoão Carlos tem?
Kelly tem 12 reais e seu irmão tem 48.Quantas vezes mais dinheiro o irmão temem relação a Kelly?
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A13 não compreendeu o enunciado doproblema, além de mostrar dificuldadecom a adição.
Aqui A13 pode ter interpretado como‘quanto dinheiro a mais’ e não ‘quantasvezes mais’, porém sinalizou uma subtraçãoe realizou uma adição.
Os problemas abaixo k e g, são problemas com mais de uma solução.Eu e você temos, juntos, 120 reais.Quanto dinheiro tem cada um de nós?
Carlos e Pedro têm juntos 280 figurinhas,quantas figurinhas tem cada um?
A13 parece não ter compreendido oque se pedia no enunciado.
Aqui A13 adiciona 280 com 280, talvezentendendo que cada um tem 280 figurinha.Percebe-se claramente que ela nãocompreende o enunciado (ou nem tentouentender).
Os problemas abaixo envolvem 2 passos.Maria tem 18 anos e Joana tem 5 anosa menos que Maria. Se Margarida tem7 anos a mais que Joana, quantos anosMargarida tem?
Victor tem 25 anos e Igor tem 6 anos amenos que Victor. Se João tem 8 anos amais do que Igor, quantos anos João tem?
A13 apenas escreve “158”. Talveztenha escrito algo apenas para nãoentregar a atividade em branco.
A13 realiza (incorretamente) umamultiplicação. Provavelmente não entendeuo enunciado.
A14: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, sempre expondo suasresoluções e discutindo com os colegas.
Os problemas abaixo envolvem três passos.
Júlia e sua prima Joana compraram108 caixas de bombom (todas demesmo preço) e pagaram R$ 216,00no total. Deste valor, Joana pagou R$126,00 pelas suas caixas. Quantascaixas são da Júlia?
Sandro e Diego compraram 15 jogos devídeo game (todos de mesmo preço) epagaram o total de R$ 45,00. Desse valor,Diego pagou R$ 21,00 pelos seus jogos.Quantos jogos são do Sandro?
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A14 realiza todos os passos dasolução, demonstrando tercompreendido o enunciado doproblema.
A14 se confunde com a pergunta final,respondendo o número de jogos de Diego.
Os problemas abaixo k e g, são problemas com várias soluções.Eu e você temos, juntos, 120 reais.Quanto dinheiro tem cada um de nós?
Carlos e Pedro têm juntos 280 figurinhas,quantas figurinhas tem cada um?
A14 divide por 2, sem perceber asvárias soluções.
A14 parece ter adquirido certo senso críticoem relação a esse tipo de problema.
A15: Não demonstrou interesse nas atividades realizadas, conversando muito duranteas aulas.
Esse é um exercício de resolução direta, aplicado para verificar o desempenho dosalunos em relação a conteúdos básicos, como as quatro operações fundamentais.Calcule quanto dá 144 dividido por18.
Calcule quanto dá 156 dividido por 13.
Podemos perceber a dificuldade emrealizar a operação.
Aqui A15 consegue fazer corretamente adivisão. E responde: “a equação da 12”.
Os problemas abaixo envolvem três passos.Júlia e sua prima Joana compraram108 caixas de bombom (todas demesmo preço) e pagaram R$ 216,00no total. Deste valor, Joana pagou R$126,00 pelas suas caixas. Quantascaixas são da Júlia?
Sandro e Diego compraram 15 jogos devídeo game (todos de mesmo preço) epagaram o total de R$ 45,00. Desse valor,Diego pagou R$ 21,00 pelos seus jogos.Quantos jogos são do Sandro?
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A15 parece não compreender oenunciado.
A15 parece ter compreendido o enunciado,porém, como a maioria dos alunos, respondeo número de jogos de Diego e não o deSandro.
Os problemas abaixo envolvem multiplicação, divisão e subtração.
Dona Márcia comprou 7 dúzias debananas. Distribuiu duas bananas paracada macaco do zoológico que visitoue levou 12 bananas para casa. Quantosmacacos ela alimentou com asbananas?
Paula gasta 3 ovos para fazer 1 bolo. Ela foiao mercado e comprou 4 dúzias de ovospara fazer bolos. No caminho de volta,quebraram-se 3 ovos. Quantos bolos Paulaconsegue fazer com o restante dos ovos quesobraram?
A15 parece ter compreendidoparcialmente o enunciado, masresponde que 72 macacos foramalimentados, não percebendo que esseera o número de bananas utilizadas naalimentação dos macacos. Nãoresponde corretamente a perguntafeita, porque para antes do passo final.
Aqui A15 parece não ter lido o problemacom atenção, ou não se esforçou paraentender o enunciado.
Os problemas j e i envolvem noção de proporção.João tem 13 carrinhos e Carlos tem 52.Quantas vezes mais carrinhos queJoão Carlos tem?
Kelly tem 12 reais e seu irmão tem 48.Quantas vezes mais dinheiro o irmão temem relação a Kelly?
111
A15 mostra um raciocínio correto,embora a multiplicação não seja tãonaturalmente adequada, no contexto,como a divisão.
A15 demonstra compreender bem oenunciado e apresenta uma resoluçãocorreta.
Os problemas abaixo k e g, são problemas com várias soluções.Eu e você temos, juntos, 120 reais.Quanto dinheiro tem cada um de nós?
Carlos e Pedro têm juntos 280 figurinhas,quantas figurinhas tem cada um?
A15 assume que as pessoas possuem amesma quantidade de dinheiro, o quenão é mencionado no enunciado.
A15 mantém o raciocínio de igualquantidade para cada um.
Os problemas abaixo envolvem 2 passos.Maria tem 18 anos e Joana tem 5 anosa menos que Maria. Se Margarida tem7 anos a mais que Joana, quantos anosMargarida tem?
Victor tem 25 anos e Igor tem 6 anos amenos que Victor. Se João tem 8 anos amais do que Igor, quantos anos João tem?
A15 demonstra ter compreendido bemo enunciado e apresenta umaresolução correta.
Aqui também demonstra entendercorretamente o enunciado do problema.
A16: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, expondo suas resoluções ediscutindo com os colegas. São expostos aqui apenas os problemas em que A16mostra algum problema de interpretação.
Os problemas que seguem envolvem dois passos, nesse caso duas operaçõessucessivas de subtração.
Vovó recebeu 36 rosas. Uma dúzia foimandada pelos netos e as outras rosaspelos filhos. Quantas rosas os filhosmandaram a mais que os netos?
Marina tem um canil com 46 cães. Desses,11 foram resgatados nas ruas e os outrosforam deixados em sua porta. Quantos cãesa mais foram deixados em sua porta emrelação à quantidade dos que foramresgatados?
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A16 demonstra ter compreendidoparte do enunciado.
A16 mantém o raciocínio e parececompreender parte do enunciado.
Os problemas abaixo envolvem multiplicação, divisão e subtração.
Dona Márcia comprou 7 dúzias debananas. Distribuiu duas bananas paracada macaco do zoológico que visitoue levou 12 bananas para casa. Quantosmacacos ela alimentou com asbananas?
Paula gasta 3 ovos para fazer 1 bolo. Ela foiao mercado e comprou 4 dúzias de ovospara fazer bolos. No caminho de volta,quebraram-se 3 ovos. Quantos bolos Paulaconsegue fazer com o restante dos ovos quesobraram?
A16 parece ter compreendido oenunciado, embora tenha seconfundido na obtenção do resultadoda multiplicação.
A16 não realiza o último passo da resoluçãocorreta.
A17: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, expondo suas resoluções ediscutindo com os colegas.
Os problemas abaixo envolvem três passos.Júlia e sua prima Joana compraram108 caixas de bombom (todas demesmo preço) e pagaram R$ 216,00no total. Deste valor, Joana pagou R$126,00 pelas suas caixas. Quantascaixas são da Júlia?
Sandro e Diego compraram 15 jogos devídeo game (todos de mesmo preço) epagaram o total de R$ 45,00. Desse valor,Diego pagou R$ 21,00 pelos seus jogos.Quantos jogos são do Sandro?
A17 não desenvolve todos os passosde uma resolução correta.
A17 parece ter compreendido parcialmenteo enunciado, confundindo-se na resposta àpergunta feita, como a maior parte doscolegas.
113
Os problemas abaixo envolvem multiplicação, divisão e subtração.
Dona Márcia comprou 7 dúzias debananas. Distribuiu duas bananas paracada macaco do zoológico que visitoue levou 12 bananas para casa. Quantosmacacos ela alimentou com asbananas?
Paula gasta 3 ovos para fazer 1 bolo. Ela foiao mercado e comprou 4 dúzias de ovospara fazer bolos. No caminho de volta,quebraram-se 3 ovos. Quantos bolos Paulaconsegue fazer com o restante dos ovos quesobraram?
A17 parece não ter compreendido bemo enunciado.
A17 demonstra ter compreendido bem oenunciado, apresentando uma resoluçãocorreta do problema.
Os problemas abaixo envolvem 2 passos, nesse caso primeiro uma subtração e emseguida uma adição.Maria tem 18 anos e Joana tem 5 anosa menos que Maria. Se Margarida tem7 anos a mais que Joana, quantos anosMargarida tem?
Victor tem 25 anos e Igor tem 6 anos amenos que Victor. Se João tem 8 anos amais do que Igor, quantos anos João tem?
A17 parece ter compreendido parte doenunciado, porém quando realiza asegunda subtração, podemos pensarque ele confundiu as informações.
Aqui A17 parece ter realizado a atividadecom mais atenção e, portanto, chega àsolução correta.
A18: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, expondo suas resoluções ediscutindo com os colegas.
Problemas que envolvem o raciocínio combinatório e a contagem, via multiplicação.
Se uma padaria vende 3 tipos desanduíche (misto quente, peito defrango, hambúrguer) e 5 tipos de suco(uva, morango, abacaxi, laranja emelancia), de quantas maneiras épossível montar uma refeiçãocomposta de um sanduíche e um suco?
Joana tem 2 calças e 3 camisetas de coresdiferentes. Quantos conjuntos de calça ecamiseta Joana consegue usar sem repetirum mesmo conjunto?
114
Aqui A18 parece não tercompreendido o enunciado.
Aqui A18 parece ter compreendido bem oenunciado e apresenta uma resolução corretado problema.
Os problemas abaixo envolvem três passos.Júlia e sua prima Joana compraram108 caixas de bombom (todas demesmo preço) e pagaram R$ 216,00no total. Deste valor, Joana pagou R$126,00 pelas suas caixas. Quantascaixas são da Júlia?
Sandro e Diego compraram 15 jogos devídeo game (todos de mesmo preço) epagaram o total de R$ 45,00. Desse valor,Diego pagou R$ 21,00 pelos seus jogos.Quantos jogos são do Sandro?
A18 não realiza todos os passos daresolução.
A18 parece ter compreendido bem oenunciado, mas, como a maioria doscolegas, não responde a pergunta feita.
Os problemas abaixo envolvem multiplicação, divisão e subtração.
Dona Márcia comprou 7 dúzias debananas. Distribuiu duas bananas paracada macaco do zoológico que visitoue levou 12 bananas para casa. Quantosmacacos ela alimentou com asbananas?
Paula gasta 3 ovos para fazer 1 bolo. Ela foiao mercado e comprou 4 dúzias de ovospara fazer bolos. No caminho de volta,quebraram-se 3 ovos. Quantos bolos Paulaconsegue fazer com o restante dos ovos quesobraram?
A18 parece ter compreendido parte doenunciado, porém não desenvolve umdos passos essenciais da resolução.
Aqui A18 mostra um raciocíniointeressante: ela divide 48 por 3 e emseguida subtrai 1 do resultado, parecendoperceber que 1 bolo corresponde a 3 ovos e,assim, chega à solução correta.
A19: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, expondo suas resoluções ediscutindo com os colegas apesar de ser um aluno muito conversador.
115
Os problema que seguem envolvem operações sucessivas, incluindo adição emultiplicação.
Beto tinha 23 figurinhas. Num jogo,ganhou 2 figurinhas de cada um deseus 6 colegas e, depois comprou mais10 figurinhas. Com quantas figurinhasBeto ficou?
Bruna tinha 28 figurinhas. Num jogo,ganhou 3 figurinhas de cada um de seus 5colegas e, depois comprou mais 6figurinhas. Com quantas figurinhas Brunaficou?
A19 parece não compreendercompletamente o enunciado.
Aqui a resolução é corretamente delineada,demonstrando uma compreensão completado enunciado do problema.
Os problemas abaixo envolvem multiplicação, divisão e subtração.
Dona Márcia comprou 7 dúzias debananas. Distribuiu duas bananas paracada macaco do zoológico que visitoue levou 12 bananas para casa. Quantosmacacos ela alimentou com asbananas?
Paula gasta 3 ovos para fazer 1 bolo. Ela foiao mercado e comprou 4 dúzias de ovospara fazer bolos. No caminho de volta,quebraram-se 3 ovos. Quantos bolos Paulaconsegue fazer com o restante dos ovos quesobraram?
Percebe-se que A19 compreende oenunciado, porém se confunde aorealizar a divisão.
Aqui A19 expõe os dados organizadamentee consegue chegar à solução correta.
Os problemas j e i envolvem noção de proporção.João tem 13 carrinhos e Carlos tem 52.Quantas vezes mais carrinhos que JoãoCarlos tem?
Kelly tem 12 reais e seu irmão tem 48.Quantas vezes mais dinheiro o irmão temem relação a Kelly?
A19 parece entender o problema comouma comparação aditiva (quanto amais) e não como uma comparaçãomultiplicativa (quantas vezes mais).
Aqui A19 demonstra entender corretamenteo enunciado e apresenta uma solução semerros.
A20: Demonstrou pouco interesse nas atividades realizadas. Segundo a professoraregular, tem dificuldade em todas as disciplinas, conversas dispersivas durante asaulas.
Problemas de dois passos que envolvem divisão e multiplicação.
116
Se três picolés de certo tipo custamseis reais, quanto se terá que pagar porsete picolés do mesmo tipo?
Se 4 barras de chocolate custam 24 reais,quanto se pagará por 6 barras iguais a essas?
Podemos perceber que A20 nãocompreende matematicamente oenunciado. Ele apenas soma algunsdados do problema.
Aqui também, A20 demonstra não tercompreendido corretamente o enunciado doproblema.
Os problemas abaixo envolvem a noção de multiplicação de um decimal por númerointeiro.Se cada passagem de ônibus para ocentro da cidade custa 2,50 quanto sepagará por seis dessas passagens?
Se cada salgado da cantina da escola custaR$ 1,50, quanto se pagará por 5 salgados?
Podemos perceber que A20 nãocompreende matematicamente oenunciado.
Aqui A20 parece ter compreendido oenunciado. Mas preferiu realizar a somasucessiva ao invés da multiplicação.
Os problemas que seguem envolvem dois passos.
Vovó recebeu 36 rosas. Uma dúzia foimandada pelos netos e as outras rosaspelos filhos. Quantas rosas os filhosmandaram a mais que os netos?
Marina tem um canil com 46 cães. Desses,11 foram resgatados nas ruas e os outrosforam deixados em sua porta. Quantos cãesa mais foram deixados em sua porta emrelação à quantidade dos que foramresgatados?
117
Podemos perceber que A20 tambémnão compreende o enunciado, eleapenas multiplica os números queaparecem no enunciado.
Aqui A20 parece ter compreendidoparcialmente o enunciado, porém nãofinaliza a resolução.
Os problemas abaixo envolvem três passos.Júlia e sua prima Joana compraram108 caixas de bombom (todas demesmo preço) e pagaram R$ 216,00no total. Deste valor, Joana pagou R$126,00 pelas suas caixas. Quantascaixas são da Júlia?
Sandro e Diego compraram 15 jogos devídeo game (todos de mesmo preço) epagaram o total de R$ 45,00. Desse valor,Diego pagou R$ 21,00 pelos seus jogos.Quantos jogos são do Sandro?
A20 não compreende o enunciado, eleapenas soma os números do problema.
A20 parece ter compreendido a situação,mas não percebe que a pergunta se refereaos jogos de Sandro e não de Diego.
A21: Demonstrou pouco interesse nas atividades realizadas. Muito conversador.
Problemas de dois passos que envolvem divisão e multiplicação.
Se três picolés de certo tipo custamseis reais, quanto se terá que pagar porsete picolés do mesmo tipo?
Se 4 barras de chocolate custam 24 reais,quanto se pagará por 6 barras iguais a essas?
118
Não fez.
A21 parece não ter compreendidocorretamente o enunciado.
Esse é um exercício de resolução direta (uma conta a fazer), aplicado para verificar odesempenho dos alunos em relação a conteúdos básicos, como as quatro operaçõesfundamentais.
Calcule quanto dá 144 dividido por 18. Calcule quanto dá 156 dividido por 13.
Não fez.
Podemos perceber claramente adificuldade com a divisão.
Os problemas que seguem envolvem operações sucessivas, incluindo adição emultiplicação.
Beto tinha 23 figurinhas. Num jogo,ganhou 2 figurinhas de cada um deseus 6 colegas e, depois comprou mais10 figurinhas. Com quantas figurinhasBeto ficou?
Bruna tinha 28 figurinhas. Num jogo,ganhou 3 figurinhas de cada um de seus 5colegas e, depois comprou mais 6figurinhas. Com quantas figurinhas Brunaficou?
Não fez.
119
Percebe-se a dificuldade de A21 com aquestão.
Os problemas abaixo envolvem três passos, nesse caso divisão e subtração.Júlia e sua prima Joana compraram108 caixas de bombom (todas demesmo preço) e pagaram R$ 216,00no total. Deste valor, Joana pagou R$126,00 pelas suas caixas. Quantascaixas são da Júlia?
Sandro e Diego compraram 15 jogos devídeo game (todos de mesmo preço) epagaram o total de R$ 45,00. Desse valor,Diego pagou R$ 21,00 pelos seus jogos.Quantos jogos são do Sandro?
A21 apenas soma 216 com 216,demonstrando não ter compreendidobem o enunciado.
Neste caso, A21 parece ter compreendido oenunciado, embora tenha dado comoresposta o número de jogos de Diego e nãode Sandro.
A22: Mostrou-se desinteressada em todos os encontros da pesquisa, conversandomuito. Apresentou muita dificuldade de interpretação (talvez por desinteresse) nasondagem inicial e deixou muitas questões em branco na sondagem final.Os problemas abaixo envolvem três passos, nesse caso divisão e subtração.Júlia e sua prima Joana compraram108 caixas de bombom (todas demesmo preço) e pagaram R$ 216,00 nototal. Deste valor, Joana pagou R$126,00 pelas suas caixas. Quantascaixas são da Júlia?
Sandro e Diego compraram 15 jogos devídeo game (todos de mesmo preço) epagaram o total de R$ 45,00. Desse valor,Diego pagou R$ 21,00 pelos seus jogos.Quantos jogos são do Sandro?
A22 apenas soma dois valores queaparecem no problema.
Aqui A22 demonstra compreender parte doenunciado ao realizar a subtração, porémem seguida ela divide 45 por 5, parecendonão compreender corretamente o que épedido.
Os problemas abaixo envolvem multiplicação, divisão e subtração.
Dona Márcia comprou 7 dúzias de Paula gasta 3 ovos para fazer 1 bolo. Ela
120
bananas. Distribuiu duas bananaspara cada macaco do zoológico quevisitou e levou 12 bananas para casa.Quantos macacos ela alimentou comas bananas?
foi ao mercado e comprou 4 dúzias de ovospara fazer bolos. No caminho de volta,quebraram-se 3 ovos. Quantos bolos Paulaconsegue fazer com o restante dos ovos quesobraram?
Não fez.
Aqui A22 parece compreender apenasuma parte do enunciado. Mostradificuldade com a tabuada.
Os problemas j e i envolvem noção de proporção.João tem 13 carrinhos e Carlos tem 52.Quantas vezes mais carrinhos que JoãoCarlos tem?
Kelly tem 12 reais e seu irmão tem 48.Quantas vezes mais dinheiro o irmão temem relação a Kelly?
Não fez.
A22 novamente apenas soma os valoresque aparecem no problema. Além dissoainda apresenta dificuldade em realizara soma.Os problemas abaixo k e g, são problemas com várias soluções.Eu e você temos, juntos, 120 reais.Quanto dinheiro tem cada um de nós?
Carlos e Pedro têm juntos 280 figurinhas,quantas figurinhas tem cada um?
Não fez.
121
A22 demonstra não ter lido o enunciadocom atenção, já que usa dados que nãoconstam no problema.
A23: Aluno com problema de saúde e devido a isso faltoso em quase todos osencontros da pesquisa, portanto foi excluído do rol dos participantes.
A seguir, apresentamos os resultados, por aluno, da comparação entre as sondagens.
Em seguida, uma síntese geral desta primeira etapa da análise.
Quadro 2 - Resultado por aluno da comparação entre as sondagens
Resultado da comparação entre as sondagensA1: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, sempre questionando, expondosuas resoluções e discutindo com os colegas. Quando comparadas as sondagensinicial e final, A1 mostra evolução em questões envolvendo operações sucessivas, naquestão que envolve proporção (‘a mais’/ ‘vezes mais’), percebendo a diferença dostermos e dos conceitos envolvidos. A1 demonstra senso crítico ao perceber oproblema que admite mais de uma solução. A aluna mostra maior organização naresolução dos problemas, além de evidenciar maior atenção com os enunciados.Dentro dos critérios escolhidos para nossa classificação, A1 passa de um desempenhofraco para forte quando comparamos as sondagens.A2: Demonstrou certo interesse nas atividades de que participou, procurando tirardúvidas e expor suas soluções, porém apresentou grande dificuldade na matemática játrabalhada em anos anteriores e, além disso, faltou frequentemente às aulas. Quandocomparadas as sondagens, mostrou evolução em algumas questões, principalmentenas de resolução direta, o que pode configurar uma maior atenção/organizaçãodurante a resolução. Porém, na maioria das questões, manteve o mesmo nível dedificuldade da sondagem inicial. Permanece com fraco desempenho na sondagemfinal.A3: Demonstrou interesse em algumas atividades de que participou, mas foi umaluno que conversou muito e pareceu disperso muito frequentemente. Quandocomparadas as sondagens, verificamos certa evolução em problemas que envolviamoperações sucessivas, evidenciando maior atenção durante a resolução. Mostrou aindacerta evolução na interpretação, ao perceber a diferença entre os termos ‘a mais’ e‘vezes mais’, apesar de não chegar à resposta correta na solução do problema. Porém,na grande maioria das questões manteve o desempenho da sondagem inicial,permanecendo com fraco desempenho na sondagem final.A4: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, sempre questionando, expondosuas resoluções e discutindo com os colegas. Comparando as sondagens, mostrouevolução em vários tipos de problemas. Apresentou melhor organização dos dadosem geral, além de senso crítico no problema envolvendo várias soluções, produzindoresposta consistente. Dentro dos critérios escolhidos para nossa classificação, passade um desempenho regular para forte.A5: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, sempre questionando, expondosuas resoluções e discutindo com os colegas. Apresentou evolução na interpretaçãode vários problemas, produzindo resoluções mais bem organizadas e consistentes,
122
além de demonstrar senso crítico para problema com várias soluções. Dentro doscritérios escolhidos para nossa classificação, evolui de um desempenho regular paraforte.A6: Demonstrou interesse nas atividades realizadas questionando, expondo suasresoluções e discutindo com os colegas. Apesar de apresentar confundir-se em algunsproblemas que havia resolvido corretamente na sondagem inicial, mostra evoluçãoem vários aspectos, demonstrando maior organização e senso crítico, além deevidenciar uma leitura mais atenta. Dentro dos critérios escolhidos para nossaclassificação, evolui de um desempenho regular para forte.A7: Demonstrou desinteresse nas atividades realizadas, conversando e brincandomuito durante as aulas. Teve muita dificuldade com o conteúdo matemático e isso sereflete na interpretação. Deixou em branco algumas questões da sondagem finalevidenciando a falta de interesse com as atividades. Dentro dos critérios escolhidospara nossa análise, A7 permanece com fraco desempenho.A8: Demonstrou interesse, principalmente nas atividades em grupo e com utilizaçãoda oralidade, liderando suas equipes, auxiliando os colegas e se envolvendo nasatividades dos outros grupos também. Apesar de apresentar certa evolução nainterpretação dos problemas, evidenciada ao armar corretamente determinadasoperações, A8 demonstra muita dificuldade com o conteúdo matemático mesmo emexercícios de resolução direta (algoritmos). Dentro dos critérios escolhidos para nossaanálise, A8 permanece com fraco desempenho na sondagem final.A9: Demonstrou um pouco mais de interesse nas atividades em grupo, mas no geralmostrou-se desinteressado. Parece ter compreendido bem os enunciados na sondageminicial, obtendo um desempenho regular, tanto nas interpretações quanto nasresoluções, porém deixou muitos problemas sem fazer na sondagem final, o que nãonos permitiu classificar esse aluno, segundo o desempenho neste sondagem.A10: Demonstrou pouco interesse em atividades envolvendo oralidade. Apesar decompreender corretamente alguns enunciados, apresenta dificuldade com conteúdomatemático e pouca organização, mantendo um nível fraco de desempenho, quandocomparadas as sondagens.A11: Demonstrou pouco interesse nas atividades e conversou muito durantes asaulas, mas parece não ter muita dificuldade com o conteúdo matemático em geral. Amaioria dos problemas da sondagem inicial foram resolvidos corretamente,demonstrando compreender bem os enunciados, porém deixou muitas questões embranco na sondagem final, não nos possibilitando afirmar algo sobre seu desempenhona comparação das sondagens.A12: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, fazendo perguntas, expondosuas resoluções e discutindo com os colegas. A12 apresentou evolução nainterpretação de vários problemas, produzindo resoluções mais organizadas econsistentes. Quando comparamos as sondagens, passa de um desempenho fraco paraforte.A13: Demonstrou pouco interesse nas atividades realizadas, conversando muitodurante as aulas. Apresentou muita dificuldade na interpretação e resolução dosproblemas, mesmo naqueles de resolução direta. Na sondagem final deixou algumasquestões em branco, contudo podemos dizer que, de acordo com os critérios,permanece com fraco desempenho.A14: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, sempre expondo suasresoluções e discutindo com os colegas. Mostrou facilidade com o conteúdomatemático, obtendo forte desempenho na sondagem inicial e ainda apresentando
123
evolução em certas questões, chegando a obter 100% dos pontos na sondagem final.Portanto, quando comparamos as sondagens, se mantem com forte desempenho.A15: Mostrou desinteresse nas atividades realizadas, conversando muito durante asaulas. Teve dificuldades em questões que envolviam operações sucessivas e mesmoem questões de resolução direta (algoritmos), tanto na sondagem inicial quanto nasondagem final. Desempenho fraco nas duas sondagens.A16: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, expondo suas resoluções ediscutindo com os colegas. Mostrou evolução na interpretação de várias questões,passando de desempenho fraco para forte segundo nossos critérios de análise.A17: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, expondo suas resoluções ediscutindo com os colegas. Demonstrou evolução em problemas com vários passos eoperações sucessivas, apresentando maior organização e atenção nas interpretações enas resoluções. Em nossa análise, passa de um desempenho regular para forte quandocomparamos as sondagens.A18: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, expondo suas resoluções ediscutindo com os colegas. Apresentou evolução em várias questões. Evoluiu de umdesempenho fraco para forte, de acordo com nossos critérios.A19: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, porém muito conversador. Temfacilidade com o conteúdo matemático e mostrou evolução na interpretação dosenunciados. Quando comparamos as sondagens, se mantem com forte desempenho.A20: Demonstrou pouco interesse nas atividades realizadas. Segundo a professoraregular da turma, tem dificuldade em todas as disciplinas e sempre se envolve emconversas dispersivas durante as aulas. De todo modo, A20 apresentou evolução emalgumas interpretações, como no problema de multiplicação de decimal por inteiro eproblemas envolvendo mais de um passo. Mesmo assim, permanece com fracodesempenho na sondagem final.A21: Se mostrou desinteressado em todos os encontros da pesquisa, conversandomuito. Muita dificuldade na sondagem inicial, deixou várias questões em branco nasondagem final, não nos permitindo uma comparação de desempenho.A22: Mostrou-se desinteressada em todos os encontros da pesquisa, conversando muito. Teve muita dificuldade na sondagem inicial e deixou muitas questões em branco na sondagem final, não nos permitindo comparar os desempenhos.A23: Aluno com problema de saúde e devido a isso faltoso em quase todos osencontros da pesquisa. Por isso, foi excluído da análise.
Observando nosso quadro comparativo, vê-se que 8 alunos (A2, A3, A7, A8,
A10, A13, A15 e A20) mantiveram, na sondagem final, o fraco desempenho da
sondagem inicial, 4 alunos (A1, A12, A16 e A18) evoluíram de fraco desempenho
(sondagem inicial) para forte (sondagem final), 4 alunos (A4, A5, A6 e A17) passaram
de regular para forte desempenho e 2 alunos (A14 e A19) se mantiveram com forte
desempenho. Para quatro alunos (A9, A11, A21 e A22), ficamos impossibilitados de
fazer a comparação de desempenhos nas duas sondagens por haverem deixado muitas
questões em branco na sondagem final.
Agrupamos os desempenhos comparativos dos alunos em três categorias:
124
a) Categoria M-M, formada pelos desempenhos comparativos dos alunos A2, A3,
A7, A8, A10, A13, A15 e A20, que se mantiveram na classificação Fraco nas
duas sondagens.
b) Categoria M-B, desempenhos comparativos dos alunos A1, A4, A5, A6, A12,
A16, A17 e A18, que evoluíram de Fraco ou Regular para Forte.
c) Categoria B-B, desempenhos comparativos dos alunos A14 e A19, que se
mantiveram Forte nas duas sondagens.
Pode-se inferir dessa análise que, de um total de 18 alunos cujos desempenhos
comparativos pudemos classificar, 8 não foram afetados significativamente pelo
conjunto de atividades realizadas, 8 foram positivamente afetados e 2 permaneceram no
mesmo patamar em que já estavam antes das atividades (embora possam ter sido
positivamente afetados). É de se notar que apenas 2 (cerca de 11%) dentre os 18 alunos
cujos desempenhos categorizamos, estavam, no início das atividades, num patamar de
Forte desempenho. Ao final das atividades essa quantidade de alunos subiu para 10 em
18 (cerca de 55%,) ou seja, aumentou 5 vezes. É claro que isso nos diz algo bastante
positivo em relação à construção e execução do conjunto de atividades. No entanto,
olhando por outro ângulo, observamos que 45% dos alunos se encontravam num
patamar de desempenho Fraco, e aí permaneceram, ou seja, para esses alunos, o
conjunto de atividades proposto não conseguiu alavancar um salto de qualidade no
desenvolvimento da capacidade de interpretação de enunciados de problemas
matemáticos.
Várias hipóteses podem ser levantadas para explicar a dificuldade de alcançar a
todos, numa experiência desse tipo. Vamos colocar aqui algumas delas, ressaltando que
são apenas hipóteses, ou seja, uma confirmação só poderia ser feita através de pesquisas
específicas, que ficam sugeridas, a nós mesmos, em trabalhos futuros, ou aos possíveis
leitores interessados.
Em primeiro lugar, como já comentamos, partimos do princípio de que a
aprendizagem só acontece efetivamente quando há interesse e engajamento do aprendiz.
Contudo, não conseguimos alcançar boa parcela dos participantes, em termos da
chamada “motivação” para a aprendizagem: com uma única exceção (A8), todos os que
permaneceram com desempenho Fraco na sondagem final mostraram pouco interesse no
desenvolvimento dos trabalhos, ao longo das atividades. Nesse sentido, pode-se sempre
indicar essa incapacidade de envolver todos os participantes num nível de engajamento
125
minimamente produtivo, como uma limitação do trabalho relatado, tanto do ponto de
vista da concepção, como da execução. Mesmo não conseguindo alcançar a todos,
talvez pudéssemos ter reduzido, além do que efetivamente conseguimos, a porcentagem
dos que permaneceram com fraco desempenho.
Outro elemento a ser considerado é a dificuldade de alguns dos participantes
com certos aspectos conceituais da matemática envolvida na interpretação eficiente dos
enunciados de problemas matemáticos. Aqui vamos dar um exemplo bem simples
apenas para esclarecer a ideia geral: uma dificuldade em termos dos significados das
operações de divisão ou multiplicação, pode impossibilitar a interpretação correta de um
problema que envolve o raciocínio multiplicativo. Em outras palavras, uma pessoa pode
saber fazer uma conta de multiplicar ou de dividir e não saber quando, numa dada
situação, é preciso fazer essa conta para chegar à resposta correta do problema. E essa
deficiência conceitual também pode ter ajudado a limitar o alcance e as contribuições
positivas das atividades propostas. Por outro lado, há que se considerar que a escola tem
um ritmo próprio, que lhe é imprimido pelas recomendações curriculares, entre outros
fatores. Assim, seria muito difícil, talvez até incompatível com o desenvolvimento usual
do programa curricular do sexto ano, que revisitássemos as operações fundamentais
com os números, trabalhadas nos anos iniciais do Ensino Fundamental, juntamente com
seus diferentes significados e algoritmos, numa abordagem adequada, agregando esse
objetivo ao de desenvolver a capacidade de interpretação de enunciados de problemas
matemáticos.
Por último, mas ainda deixando intocados outros aspectos que limitaram o
alcance das atividades propostas, devemos levar em conta que a professora regular
daquela sala de sexto ano nos cedeu suas aulas para que implementássemos esse
trabalho específico, não éramos a professora regular da turma. Tínhamos um prazo para
terminar o trabalho de campo e “devolver” as aulas para a professora regular, assim
como tínhamos um prazo para terminar a construção deste relato visando a diplomação
no Programa da UFOP. Esses prazos impõem certas condições ao desenvolvimento das
atividades. Por outro lado, cada aluno tem um ritmo, segundo o qual se sente mais ou
menos pronto para enfrentar as dificuldades que surgem no desenrolar de um processo
de aprendizagem matemática. Como tínhamos um período definido para começar e
terminar o trabalho, não poderíamos nem abusar da boa vontade da professora que nos
cedeu o tempo das aulas, nem extrapolar os limites impostos pelo Programa de pós-
126
graduação de que somos parte discente. Nesse sentido, percebemos que atividades como
as de mímica e representação/teatro, por exemplo, se levadas a cabo reiteradas vezes ao
longo de todo o ano letivo, poderiam oferecer uma contribuição maior na direção de
favorecer o desenvolvimento da capacidade geral de expressar ideias e de entender
ideias expressas por outrem, ou seja, de favorecer o desenvolvimento da capacidade de
interpretação dos enunciados de problemas matemáticos. Além disso, tais atividades,
colocadas como um desafio reiteradas vezes ao longo do ano letivo, seguramente
contribuiriam para promover maior disposição e engajamento dos alunos no processo de
aprender. Talvez essa reiteração das atividades ao longo do ano letivo possa ser feita
com mais propriedade no caso em que a própria pesquisadora seja efetivamente a
professora regular da turma.
Há, por fim, aspectos, a serem considerados, que se ligam à origem social dos
alunos e suas relações com os valores subjacentes à prática real de formação escolar,
aspectos ligados às limitações da eficácia de uma ação individual de determinado
professor, às normas de funcionamento rotineiro da instituição escolar etc. Tudo isso
pode afetar a construção e a execução de uma proposta de atividades como a que aqui
relatamos, mas seriam necessárias muitas outras pesquisas para entender a contento
como tais aspectos limitam ou contribuem para o avanço da aprendizagem na
interpretação e resolução de problemas matemáticos. São pesquisas que ficam como
sugestões de trabalho futuro para quem se interessar por este que agora relatamos.
4.2 Desempenho nas atividades e na sondagem final: há correlação?
O segundo movimento de análise envolve a comparação de desempenho no
desenvolvimento das atividades e o desempenho na sondagem final, a fim de verificar
se estão correlacionados. O primeiro nos forneceu três categorias (M-M, M-B e B-B) de
desempenhos comparativos nas duas sondagens e informou a respeito dos efeitos das
atividades trabalhadas sobre o desempenho dos participantes, em termos de
interpretação e resolução de problemas matemáticos, como comentado na seção
anterior.
Para esta segunda etapa, selecionamos alguns alunos de cada categoria para
avaliarmos a existência ou não de uma correlação positiva entre os respectivos
desempenhos ao longo das atividades e na sondagem final. A amostragem foi necessária
127
dada a dificuldade de fazer a análise para todos os participantes, tendo em vista o prazo
de que dispúnhamos e o fato de que são muitas as atividades que compuseram os cinco
blocos. Nesse sentido, de um total de 8 alunos da categoria M-B, foram selecionados os
4 que mostraram maior evolução de desempenho na comparação entre as sondagens.
São eles A1, A4, A6 e A12. Da categoria B-B, temos apenas 2 alunos no total, portanto
analisamos os desempenhos de ambos. São eles A14 e A19. De 8 alunos no total da
categoria M-M, selecionamos uma amostra de 4, com os índices mais baixos na
comparação de desempenho nas duas sondagens. São eles A2, A7, A8 e A13.
Apresentamos os resultados e comentários por bloco de atividades e por aluno.
Bloco 1 – Leitura, escrita, interpretação e descrição
A primeira atividade tratava de um texto que abordava formas geométricas,
relacionando-as com certas formas encontradas na natureza. Pedimos que os alunos
lessem o texto e em seguida respondessem cinco perguntas.
128
Quadro 3 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 1 do bloco 1
Categoria M-B
129
A1A primeira pergunta era se o aluno
havia gostado do texto e por quê.
A1 responde de acordo com o que
foi perguntado, tanto na letra a)
como na letra b). Mostra ter
compreendido as perguntas, além de
parecer ter lido o texto com atenção.A1 se empenha em responder a
questão, justificando com vários
exemplos sua resposta.A1 afirma que a rocha é uma “figura
não plana” demonstrando perceber a
diferença entre figuras espaciais e
planas. Percebemos novamente o
empenho de A1, ao procurar
justificar sua resposta.Aqui A1 desenha uma esfera e um
cubo. O texto cita explicitamente a
esfera, referindo-se, provavelmente,
ao planeta Terra, mas A1 não parece
identificar isso claramente. Cita a
janela, associando-a ao cubo.
Percebe-se que realiza a atividade
com empenho, procurando fazer o
que foi pedido.A4
A4 demonstra entender as perguntas
e justifica suas respostas. Assim
como A1, ela parece ter lido o texto
e os enunciados das perguntas com
atenção.
130
Aqui A4 justifica com vários
exemplos a presença da matemática
em sua vida.
Empenho nas justificativas e
atenção com a leitura do texto e das
perguntas.
A4 apenas desenha uma esfera,
mostrando certa acomodação, não
fazendo uma releitura do texto em
busca de outras possíveis respostas
para essa pergunta.
A6A6 responde que gostou do texto
porque “parece uma música”.
Podemos notar que ela compreende
a pergunta e responde de acordo
com o que é perguntado. Na letra b,
A6 afirma que o texto é um poema
porque tem rimas. A6 responde as perguntas
exemplificando. Apesar de não usar
as vírgulas para separar os exemplos
citados, nota-se que A6 mostra-se
focada no que é pedido.Aqui A6 demonstra, além de
compreender o enunciado, que
entende os sólidos como figuras
tridimensionais.
131
Aqui, ela apenas desenha duas
figuras, porém não associa com
elementos do texto, como é pedido.
A12A12 é sucinto, mas responde o que
lhe é perguntado.
Na letra b afirma que o texto é um
poema “porque tem versos”.
Novamente breve na resposta,
porém demonstra compreender a
pergunta respondendo de acordo
com o que é perguntado.A12 demonstra compreender a
natureza tridimensional dos sólidos.
A12 desenha o cubo e um
paralelepípedo genérico, porém não
associa com os elementos do texto.
Categoria B-BA14 - Não compareceu nesse dia.A19
132
A19 também é sucinto em sua
resposta, porém responde o que foi
perguntado, mostrando compreender
o que se pede. Como a maioria dos
alunos, afirma que o texto é um
poema por conter rimas.
Lembramos que essa frases foi dita
na sala durante a atividade, talvez
por isso vários alunos tenham dado
tal resposta.Aqui A19 parece entender a palavra
‘forma’, na pergunta, no sentido de
forma geométrica.A19 afirma que as rochas são “não-
planas” e diz que “os sólidos
geométricos são divididos em
planos e não-planos”. Distingue
figuras planas das espaciais, porém
não se expressa de forma precisa.Aqui A19 faz uma associação, de
acordo com o que é pedido.
Categoria M-MA3
A3 afirma ter gostado do texto,
porém podemos notar certa
dificuldade na escrita: “(...) ela nos
encina (...)”. Escreve “ela” para
referir-se ao texto, e “encina”,
confundindo a grafia da palavra.A3 parece fazer uma associação dos
problemas da vida real com os
problemas matemáticos. Ele
demonstra compreender o que é
pedido e ainda faz uma brincadeira
com a resposta.
133
Letra d) Por que o autor classificou as rochas
como sólidos geométricos?
A3 deixou em branco. Talvez não
tenha compreendido bem a pergunta
ou não conseguiu encontrar uma
resposta no texto.A3 faz uma associação de janelas e
portas com retângulo e quadrado.
A7Percebe-se certa dificuldade de se
expressar por escrito e de manter
atenção no que é pedido na
pergunta. “As rimas” não é uma
resposta precisa para a primeira
pergunta e, na segunda, A7 não
explica o que combinaria com quê.Aqui A7 responde o que é
perguntado, porém, podemos notar
dificuldades com pontuação e
grafia. A7 escreve “rimo”, querendo
dizer ‘rima’. Provavelmente tenha
dado essa resposta pelo fato de A17
ter dito isso em voz alta na hora da
realização da atividade.Ela afirma que a matemática está
presente na sua vida nas compras da
casa. Aqui A7 responde o que é
pedido, mesmo que ainda demonstre
dificuldades com grafia e
pontuação.
134
A7 responde a pergunta feita,
apenas grafa incorretamente a
palavra comprimento.
Aqui A7 parece não ter
compreendido bem a pergunta e não
faz a associação pedida. A8
A8 afirma que gostou do texto
porque gosta de poemas.
Ela afirma que o texto é um poema
por ter “frases bem curtas”.
Responde o que é perguntado.A8 diz que a matemática está
presente em sua vida e cita o
exemplo do uso de meia xícara de
café, associando com as frações.Apesar de demonstrar não
compreender bem o conteúdo
matemático, A8 responde o que foi
perguntado.Faz a associação pedida, pensando
talvez em uma face da borracha
(embora as borrachas normalmente
tenham faces retangulares).A13 – Não compareceu no dia.
No exercício de número 2, foi pedido que desenhassem figuras geométricas
planas básicas e escrevessem a descrição delas. Apresentamos abaixo as resoluções dos
alunos.
Quadro 4 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 2 do bloco 1
Categoria M-BA1
135
Talvez A1 tenha desenhado as duas
figuras tentando fazer uma
associação. Parece confundir faces de
uma figura tridimensional com lados
de uma figura plana.
A4A4 também desenhou duas figuras e,
na sua descrição, podemos perceber
certa confusão de conceitos,
linguagem e conteúdo.
A6
136
A6 demonstra compreender bem o
que foi pedido, explicando na
descrição que as figuras planas têm
duas dimensões.
Descreve as figuras com algumas
falhas na essencialidade (por
exemplo, não se refere à
perpendicularidade dos lados do
retângulo).
A12A12 só fez as letras c e d. Desenha as
figuras pedidas, porém demonstra
falhas conceituais graves.
Categoria B-BA14 – Não compareceu nesse dia.
137
A19A19 desenha o que foi pedido e
descreve as figuras como se fossem
tridimensionais: refere-se a faces,
vértices e arestas.
Categoria M-MAluno A3
A3 desenha todas as figuras pedidas.
Na descrição, podemos notar grande
dificuldade com o conteúdo e com a
linguagem. Porém tenta realizar a
descrição pedida.
Aluna A7
138
A7 mistura figuras planas e espaciais
na hora de desenhar. Demonstra não
compreender bem o que seja uma
descrição das características
essenciais, cita apenas objetos
parecidos com as figuras que ela
desenhou.
A8A8 desenha todas as figuras
corretamente. Tenta realizar uma
descrição, como foi pedido.
139
A13 – Não compareceu nesse dia.
No exercício 3, foi pedido que relacionassem as duas colunas. Em uma estavam
os problemas e na outra coluna as contas que levavam às soluções.
Além disso, pedimos que explicassem como fizeram tal associação.
Quadro 5 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 3 do bloco 1
Categoria M-BA1
A1 resolveu os problemas
corretamente e explicou como fez
para resolvê-los.
A4
140
A4 faz a associação e explica.
A6 A6 relaciona as colunas, porém
explica apenas as letras a e b. A
associação parece ter sido feita
em função dos números dados em
cada problema e não pela
resolução.
A12Apenas fez a associação, sem a explicação.
Associou corretamente.Categoria B-BA14 – Não compareceu nesse dia.A19
141
A19 fez a associação
corretamente. Respondeu para
todas as alternativas “Eu li o
probleminha e pensei”. Ficamos
sem saber se ela associou
simplesmente pelos números
dados nos problemas e nas contas
ou se realmente resolveu e
associou a partir das resoluções.
Categoria M-MA3
A3 fez a associação pedida e
explicou que, em geral,
relacionou por causa dos números
e das contas.
142
A7A7 fez a associação correta. Na
primeira explicação ela diz “o
tanto que tem e que colocou e o
que faltou” demonstrando
relacionar seu raciocínio com os
termos usados no problema. Na
última explicação diz “porque o
tanto que ele ganhou da família e
o tanto que falta”.
Nas outras duas explicações,
relaciona com os números do
problema.
A8A8 não faz a associação correta e
escreve apenas “Porque a
operação de mais”, “Porque era a
divisão”, “Porque era a
multiplicação” e “Porque é
divisão”. Em nenhum dos
problemas foi utilizada a
multiplicação ou a divisão. A8
parece entender o que precisaria
fazer no exercício, mas
demonstra dificuldade com os
conceitos matemáticos.
A13 – Não compareceu nesse dia.
No exercício 4, foi feita a exposição, durante 5 minutos, de um cartaz com o
seguinte texto:
143
Passados os 5 minutos, o texto foi retirado e pedimos aos alunos que
recontassem, com suas palavras o trecho que lhes foi apresentado.
Quadro 6 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 4 do bloco 1
Categoria M-BA1
A1 parece ter retido algumas
informações do trecho. Ao recontar
ela se lembra de quase todos os
termos utilizados.A4
A4 se lembra dos personagens e de
alguns fatos e expressões: estavam
dormindo, na barriga da avó. A
casa sonolenta.A6
A6 resume bem todo o trecho com
os personagens e fatos principais.
Além de reter as informações, ela
consegue trabalhar com elas,
estruturando bem a recontagem.A12
A12 retém os personagens e apenas
algumas informações. Apesar
disso, consegue resumir
144
razoavelmente a situação. A12
inclui o termo “redonda”, que não
fazia parte do trecho.Categoria B-BA14
A14 reteve muitas informações do
texto. E procura recontar no mesmo
estilo do trecho apresentado.
A19A19 reteve também muitas
informações e reconta em discurso
indireto a situação.
Categoria M-MA3
A3 reteve poucas informações do
trecho. Além disso, acrescenta
informações por conta própria,
como “dorminhoco” e “adora”.
A7A7 parece não compreender o que
se pede. Ela apenas retém uma
ideia fundamental do trecho, que é
a de dormir, mas não consegue
estruturar o texto.A8
A8 também parece não
compreender que foi pedido para
recontar e responde apenas “É um
poema”. A13
145
A13 reteve poucas, porém
qualificadas, informações do
trecho. Conseguiu estruturar essas
informações e recontar.
No exercício 5, era pedido que descrevessem com o máximo de detalhes a
imagem abaixo.
Quadro 7 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 5 do bloco 1
Categoria M-BA1
A1, além de descrever o que vê,
parece criar uma situação,
descrevendo também uma
circunstância quando diz que “eles
pararam o que estão fazendo e
estão olhando um para o outro”.A4
A4 descreve o cenário, citando
alguns elementos.
A6A6 descreve apenas a
circunstância, dando ênfase para o
momento da imagem.A12
146
A12 também não descreve a
imagem com detalhes, cita apenas o
que imagina que acontece no
momento.
Categoria B-BA14
A14 realiza a descrição do cenário
e vai além, imagina que o quarto
seja numa casa de praia.
A19A19 descreve basicamente o
cenário, porém com poucos
detalhes.
Categoria M-MA3
A3 não faz a descrição pedida, mas
cria uma situação possível para
aquele cenário.
A7A7 também não descreve.
Restringe-se apenas a dois
elementos do cenário: os livros e a
leitura.A8
A8 enumera os elementos que vê
na imagem, inclusive partes do
corpo, procurando talvez descrever
com o máximo de detalhes como é
pedido.A13
147
A13 descreve com poucos detalhes.
No exercício 6, trabalhamos com formulação de problemas. Apresentamos as
soluções e pedimos que inventassem problemas de acordo com as soluções dadas.
Lembrando que a solução da letra b continha um erro, além de ter uma subtração de um
número menor por um maior (eles ainda não aprenderam números negativos). O
resultado também estava errado, porém como já foi dito, só percebemos depois de
impresso e resolvemos deixar assim para ver o que aconteceria. Seguem as resoluções,
por categoria.
Quadro 8 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 6 do bloco 1
Categoria M-BA1
Nas letras a, c e e, A1 elaborou
problemas simples e de acordo com
as soluções. Na letra b, onde havia
o erro, A1 elaborou o problema
como se a subtração fosse do maior
pelo menor. Na letra d, ela também
elaborou um problema cujo
resultado era dado pela conta,
porém, a situação do problema não
parecia tão real, já que não é uma
situação corriqueira: “Tenho
24.934 árvores, quero dar a metade
para um homem(...)”.
148
A4Todos os problemas de A4 foram
bem elaborados, abordando os
dados importantes em situações
reais. Na letra b, ela também troca
os números para ser possível
realizar a conta. Apesar de ter
confundido a última conta, já que
375: 8 não totaliza 75, ela consegue
se expressar bem.
A6
149
As letras a e b foram elaboradas de
maneira correspondente às contas.
Na letra c, A6 diz que 15 galinhas
tiveram filhotes, mas não especifica
quantos. Faltou dizer que cada
galinha teve um filhote (que
também era fêmea) para adequar o
problema à solução. Na letra d, o
problema, não se encaixa com a
solução. Na letra e, A6 parece
descrever uma situação utilizando a
solução fornecida, porém não
elabora um problema.
A12 A12 faz apenas as letras a, c e d,
todas corretamente (a menos de
ajustes em alguns pontos, como por
exemplo, um jardim com 12.000
árvores).
150
Categoria B-BA14
A14 elabora problemas
correspondentes às soluções dadas,
porém na letra e), a resposta não
fica condizente com a pergunta do
problema.
A19A19 elaborou problemas
condizentes com as soluções dadas.
Na letra b) ele troca os números
para tornar possível a subtração.
151
Categoria M-MA3
Na letra a, A3 diz “Maria tinha
1345 e ganhou mais 208 (...)” mas
não especifica o quê Maria tinha.
Apesar de o problema estar de
acordo com a solução dada, não
fica claramente enunciado. Na letra
b, ele troca a ordem dos números
também. Na letra c, o enunciado
fica confuso e não corresponde à
solução apresentada: “(...) ganhei
só 15 reais. Qual foi minha medida
de dinheiro?”
Na letra d o enunciado é claro e na
letra e), a pergunta não condiz com
a resposta.A7
Na letra a, A7 consegue elaborar
um problema condizente com a
solução dada. Na letra b, ela
também troca os termos de lugar e
elabora um problema de acordo
com a solução. Na letra c, o
problema elaborado não
corresponde à conta dada como
solução. A letra d), ela deixa em
branco e na letra e) ela elabora um
problema adequado à solução dada.
A8
152
A8 elabora enunciados condizentes
com as soluções nos itens a, b, c e
d. Porém na letra d, ela diz que as
árvores estavam “Em um campo” e
“na floresta” e depois pergunta
“Quantas árvores tem na estufa”
deixando a situação confusa, além
de não ter usado a pontuação
adequada.
Na letra e, A8 não elabora
problema condizente com a
solução.
A13A13 é bem confusa em sua escrita,
além de não utilizar pontuação
adequada. De toda forma, na letra
a), elaborou problema condizente
com a solução. Na letra b, ela
inverte os dados, como os outros
alunos, porém coloca uma situação
um pouco exagerada para a vida
real. Ela diz “(...) meu pai comeu
288” (galinhas).
Na letra d, ela diz “(...) eu
arranquei”, com relação às árvores,
o que também soa meio estranho,
além da solução não poder ser dada
pelo problema. Na letra e) o
enunciado é inconsistente com a
solução.
Bloco 2 – Leitura, escrita, interpretação e descrição
153
O bloco 2 foi realizado em duplas, portanto, alguns dos alunos que aparecem na
análise não fazem parte de nossa amostra. De qualquer forma, especificamos a qual
categoria os alunos pertencem.
Quadro 9 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 1 do bloco 2
A1 (M-B) e A5 (M-B)Podemos perceber que as alunas
armaram e fizeram as contas
corretamente. Na letra e, que não
aparece na imagem, elas realizam a
divisão de 120 por 2 e na sequência
somam 120 com 60, mostrando boa
compreensão da situação.A6 (M-B) e A9 (não categorizado)
A6 e A9 não tiveram bom
desempenho nesse exercício. Na
letra b) multiplicam 120 por 52, ao
invés de subtrair e na letra c)
somam 224 e 18 ao invés de
dividir. Na letra e) multiplicam 120
por 60 ao invés de somar. Mostram
dificuldade na compreensão
matemática da situação.
154
A12 (M-B) e A19 (B-B)A12 e A19 realizam corretamente
todo o exercício demonstrando
terem compreendido bem os
enunciados.
A14 (B-B) e A4 (M-B)A14 e A4, apesar de terem errado a
conta da letra b), demostram
compreender bem os enunciados do
problema.A3 (M-M)
A3 realiza a multiplicação na letra
a), demonstrando compreender o
enunciado. Nas letras b), c) e d)
demonstra não ter compreendido o
que se pedia e na letra e) consegue
resolver corretamente.
A7 (M-M)Não compareceu no dia.A8 (M-M) e A18 (M-B)
155
As alunas parecem ter
compreendido corretamente os
enunciados a), b) e e). Na letra c)
dividem 16 por 14, quando
deveriam multiplicar. Na letra d)
multiplicam 34 por 20.A13, A15 e A22 (todas M-M)
As alunas demonstram clara falta
de compreensão da situação.
O exercício 2 apresentou uma bula de remédio para que os alunos respondessem
algumas questões relacionadas ao texto da bula.
156
Quadro 10 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 2 do bloco 2
A1 (M-B) e A5 (M-B)As alunas demonstram ter
interpretado o texto da bula
corretamente.
A6 (M-B) e A9 (não categorizado)A dupla demonstra ter interpretado
o texto da bula corretamente.
A12 (M-B) e A19 (B-B)
157
A dupla demonstra ter interpretado
o texto da bula corretamente.
A14 (B-B) e A4 (M-B)A dupla demonstra ter interpretado
o texto da bula corretamente.
A3 (M-M)A3 parece ter entendido a questão,
porém na letra e), responde
incorretamente “1 embalagem”.
A7 (M-M) Não compareceu nesse dia.A8 (M-M) e A18 (M-B)
158
A dupla demonstra ter interpretado
o texto da bula corretamente.
A13, A15 e A22 (todos M-M)O trio parece ter dado respostas
aleatórias, incoerentes em relação
às perguntas. Parece que não leram
a bula com a devida atenção.
O exercício 3, pedia que sublinhassem as informações que não eram necessárias
para resolução dos problemas.
Quadro 11 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 3 do bloco 2
A1 (M-B) e A5 (M-B)
159
As alunas sublinharam dados
desnecessários em todos os itens,
porém, havia mais algumas
informações que elas podiam ter
destacado em a), b) e c).
A6 (M-B) e A9 (não categorizado)A dupla destacou dados
desnecessários em todos os itens,
porém, havia mais algumas
informações que podiam ter sido
destacadas em a), b) e c).
A12 (M-B) e A19 (B-B) A dupla destacou dados
desnecessários em todos os itens,
porém, havia mais algumas
informações que poderiam ter sido
destacadas em a), b) e c).
A14 (B-B) e A4 (M-B)
160
A dupla destacou dados
desnecessários em todos os itens,
porém, havia mais algumas
informações que podiam ter sido
destacadas em a) e b).
A3 (M-M)A3 destacou dados desnecessários
em todos os itens, porém, havia
mais algumas informações que
poderiam ter sido destacadas em a),
b) e c).
A7 (M-M)Não compareceu nesse dia.A8 (M-M) e A18 (M-B)
A dupla destacou dados
desnecessários em todos os itens,
porém, havia mais algumas
informações que podiam ter sido
destacadas em a), b) e c).
A13, A15 e A22 (todos M-M)
161
O trio destacou dados
desnecessários em todos os itens,
porém, havia mais algumas
informações que podiam ter sido
destacadas em a), b) e c).
O exercício 4 pedia que resolvessem os problemas e explicassem como
pensaram para resolvê-los.
Quadro 12 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 4 do bloco 2
A1 (M-B) e A5 (M-B)
162
Na letra a), A1 e A5 somaram a
quantidade de homens e mulheres e
explicam que precisariam somar
para obter o total de pessoas,
porém, não mencionam nada sobre
a quantidade de aeromoças. Na
letra b), apresentam uma solução
sem considerar outras possíveis. Na
letra c), dividem 12 por 4 supondo
que os sabonetes eram de mesmo
preço e ignoram a pergunta sobre
os tipos diferentes de sabonete que
poderiam estar à venda. Na letra d),
mostram certo senso crítico, ao
afirmarem: “Não dá pra
responder”.A6 (M-B) e A9 (não categorizado)
A6 e A9 também ignoram a
pergunta sobre a quantidade de
aeromoças na letra a).
Na letra b), apresentam apenas uma
solução. Na letra c) também
ignoram a pergunta sobre os tipos
diferentes de sabonete. Na letra d),
somam a quantidade de carneiros e
cabras para responder qual a idade
do capitão e ainda explicam que
fizeram isso.
A12 (M-B) e A19 (B-B)
163
A12 e A19 subtraem o número de
homens e mulheres e não explicam
porque o fizeram. Ignoram a
pergunta sobre a quantidade de
aeromoças. Na letra b) apresentam
apenas uma solução, sem explicar.
Na letra c) apenas dividem 12 por
4, também sem explicar e na letra
d) somam o números de carneiros e
cabras. Mostram entendimento
precário do enunciado. A14 (B-B) e A4 (M-B)
A14 e A4 também somam 25 com
32 e ignoram a pergunta sobre a
quantidade de aeromoças. Na letra
b) apresentam apenas 1 solução. Na
letra c), respondem ‘3 reais’ como
as outras duplas, sem explicar nem
considerar a pergunta sobre os tipos
diferentes de sabonetes. E na letra
d) somam o número de carneiros e
cabras, também sem explicar.A3 (M-M)
A3 soma a quantidade de homens e
mulheres e responde que não sabe a
quantidade de aeromoças, o que
mostra pelo menos que considerou
a pergunta. As outras respostas
seguiram como as duplas
anteriores, porém com tentativas
(insatisfatórias) de explicar como
pensou para resolver.
A7 (M-M) Não compareceu no dia.A8 (M-M) e A18 (M-B)
164
A8 e A18 somaram e explicaram
como fizeram na letra a), porém
não responderam adequadamente a
pergunta. Na letra b) apresentaram
uma solução, explicando que
multiplicaram 15 por 10,
desconsiderando outras possíveis.
Na letra c) deram a resposta 3,
porém mencionaram que havia 2
sabonetes de uma marca e 2 de
outra.A13, A15 e A22 (M-M)
O trio responde que não dá para
saber a quantidade de aeromoças,
pois o problema não dá
informações, demonstrando senso
crítico e autoconfiança na resposta.
Na letra b) apresenta uma solução,
sem explicar. Na letra c) responde
‘3 reais’ e dizem que há 4 tipos de
sabonete, sem explicação. E na
letra d), mostram senso crítico
novamente.
Bloco 3 - Enunciados de Problemas Matemáticos (Atividades envolvendo Teatro,
Encenações, Mímicas)
O bloco 3 foi realizado em grupo. Cada grupo recebeu um problema e teria que
montar uma apresentação gestual para a turma, de modo que os outros grupos pudessem
construir o enunciado do problema, na forma mais aproximada possível. A turma foi
dividida em 5 grupos e cada grupo recebeu uma folha com a seguinte instrução:
165
Abaixo, seguia um problema diferente para cada grupo.
Problema - Grupo 1 (A11, A13, A17, A22)
Três novelos de lã pesam 200 gramas. São necessários exatamente seis desses novelos
para fazer um pulôver. Quantos gramas de lã estarão incorporadas ao pulôver?
Problema - Grupo 2 (A3, A12, A19, A20)
O 6° ano fará uma apresentação para toda a escola. Para isso, a diretora alugou 350
cadeiras para organizá-las na quadra, em fileiras. Cada fileira terá 10 cadeiras.
Quantas fileiras ela organizará?
Problema - Grupo 3 (A1, A5, A6, A14)
Eu e mais quatro amigos fomos a um restaurante. A conta de 65 reais foi dividida
igualmente entre nós. Paguei minha parte e ainda fiquei com 11 reais. Que quantia eu
tinha quando entrei no restaurante?
Problema - Grupo 4 (A7, A9, A15, A21)
Cristina foi a uma livraria para comprar 5 cadernos e 1 livro. O total da conta foi 22
reais. Como o livro custou 7 reais e todos os cadernos têm o mesmo preço, quanto ela
pagou por caderno?
Problema - Grupo 5 (A2, A4, A8, A16, A18)
Numa partida de basquete, Júnior fez o triplo dos pontos feitos por Manuel. Os dois
juntos marcaram 52 pontos. Quantos pontos Júnior marcou nessa partida?
Quadro 13 - Análise dos desempenhos dos alunos nas atividades do bloco 3
Categoria M-BA1 – Grupo 3
166
A1 se empenhou bastante na
atividade, fazendo gestos e
desenhos. Também se empenhou
em adivinhar os enunciados dos
outros grupos. As construções dos
enunciados do seu grupo, em geral,
foram razoáveis.A4 – Grupo 5
A4 também mostrou empenho na
atividade, juntamente com seu
grupo, além de ter se empenhado
na construção dos problemas
apresentados pelos outros grupos.A6- Grupo 3
A aluna A6 também demonstrou
interesse nas atividades, além de se
empenhar na apresentação do seu
grupo. Esforçou-se em tentar
adivinhar os problemas dos outros
grupos.
A12 – Grupo 2A12 foi um dos alunos mais
empenhados da turma, tanto em sua
apresentação, quanto na
apresentação dos outros grupos.
Fez gestos, deu palpites, perguntou
e respondeu muito.
Categoria B-BA14 – Grupo 3
167
A14 também demonstrou interesse
na atividade, se prontificando a
tentar adivinhar os problemas dos
outros grupos e colaborando com o
seu grupo na apresentação.
A19 – Grupo 2A19, apesar de muitas brincadeiras
e conversas, fazia tudo que era
pedido. Colaborou com seu grupo
nas apresentações, além de se
envolver nas apresentações dos
outros grupos.
M-MA7 – Grupo 4
A7 se empenhou pouco. Fez
algumas tentativas na apresentação
do seu grupo e se dispersava nas
dos outros grupos.
A8 – Grupo 5A8, foi a aluna que mais
demonstrou interesse nas atividades
que envolviam oralidade. Se
engajou nas apresentações de seu
grupo, além de se empenhar nas
apresentações de todos os outros
grupos.A13 – Grupo 1Não possui imagens. Se recusou a apresentar com seu
grupo, além de não demonstrar
interesse nas apresentações de
168
outros grupos.
Bloco 4 - Identificação de dados dos problemas
O bloco 4 foi realizado em duplas, portanto, alguns dos alunos que aparecem na
análise não fazem parte de nossa amostra. De qualquer forma, especificamos a qual
categoria todos os alunos pertencem. As duplas teriam que explicar para a turma seu
problema, identificar dados relevantes e irrelevantes e explicar porque são ou não
relevantes para a resolução do problema. Havia uma instrução em comum em cada folha
conforme imagem abaixo:
Seguia então um problema diferente para cada dupla.
Problema - Grupo 1
Pedro está escrevendo um grande letreiro com a palavra "canguru", pintando uma
letra por dia. Ele começou a escrever o letreiro na quarta-feira e trabalha todos os
dias. Em que dia da semana ele irá terminar o letreiro?
Problema - Grupo 2
Simão levantou-se faz uma hora e meia. Daqui a três horas e meia irá tomar o trem
para a cidade de sua avó. Quanto tempo antes da partida do trem ele se levantou?
Problema - Grupo 3
Um criador de galinhas, chamado José Bonifácio, tem caixas de papelão para
armazenar 6 ovos e caixas de um material plastificado para armazenar 12 ovos. Qual é
o menor número de caixas que ele precisa para armazenar 66 ovos?
Problema - Grupo 4
169
Numa prova de matemática do terceiro ano do Ensino Médio, a maioria dos alunos foi
muito bem. Na realidade, 3/5 dos alunos da classe obtiveram nota máxima nesta prova.
A prova tinha quatro questões, valendo 5 pontos cada questão. Dessa forma, qual é o
número de alunos que não obtiveram nota máxima nessa prova?
Problema - Grupo 5
Um carro da marca FIATWAGEN possui um tanque de combustível cuja capacidade
máxima é de 60 litros. O motorista, ao passar em frente ao campo de futebol de
Cachoeira Branca, percebeu que o tanque estava apenas com 1/4 da capacidade de
combustível e, portanto, não seria possível completar a viagem planejada entre as
cidades de Cachoeira Branca e Ouro do Campo, que distam entre si mais ou menos
200 km, sem colocar mais combustível no carro. O motorista, então, vai ao posto de
gasolina, que se localiza ao lado do campo de futebol e pede ao frentista para encher
completamente o tanque. Quantos litros, aproximadamente, foram colocados no
tanque?
Problema - Grupo 6
Joana começou a ler um livro de filosofia, que estava escrito em inglês e tinha mais de
100 páginas. Ela leu 20 páginas no primeiro dia e 10 novas páginas no dia seguinte.
Quantas páginas ainda faltam para Joana terminar de ler o livro?
Problema - Grupo 7
Pâmela subiu num banquinho de madeira escura e ficou exatamente com a mesma
altura de seu pai. Qual é o valor da diferença entre a altura de Pâmela e a de seu pai?
Problema - Grupo 8
Júlia e Sandro têm, juntos, 50 reais. Quanto dinheiro tem o Sandro sozinho?
Problema - Grupo 9
Caio é um garoto de 6 anos e gosta muito de brincar com bolinhas de gude. Todos os
dias acorda às 8 horas, toma o seu café com leite, come uma fruta, um pãozinho
integral com queijo e corre para a casa de seu amigo Júnior para brincar. Caio levou 2
dúzias de bolinhas coloridas para jogar. Dezesseis dessas bolinhas eram azuis e as
demais eram verdes. No final do jogo ele havia perdido um quarto de suas bolinhas
170
verdes e Júnior ficou muito contente, pois agora tinha três vezes mais bolinhas azuis do
que restou ao Caio. Quantas bolinhas Júnior tinha ao iniciar o jogo?
Problema - Grupo 10
Como dividir igualmente 2 gatos pretos e um amarelo entre três crianças?
Quadro 14 - Análise dos desempenhos dos alunos nas atividades do bloco 4
Categoria M-BA1Não compareceu no dia. A4 e A10 (M-M) – Grupo 8
A dupla não quis apresentar para a
turma. Monstra senso crítico ao
escrever que estava “faltando o
dinheiro que Júlia tem.” Apesar
disso, não especifica os dados
pedidos.A6 e A5 (M-B) – Grupo 3
A dupla julgou relevante para a
resolução do problema o tipo de
material das caixas para armazenar
os ovos. Porém, aponta todos os
dados relevantes também. Ainda
apontam dados irrelevantes
corretamente.
A12 (M-B) e A11 (não categorizado) – Grupo 1
171
A dupla julgou irrelevante a
informação ‘trabalha todos os dias’,
justificando que “...no problema já
fala que ele pinta uma letra por
dia”. Dessa maneira, perguntei a
A12 o seguinte: se Pedro
trabalhasse dia sim dia não por
exemplo, terminaria na terça-feira
também? Ele disse que não. E
perguntou se Pedro trabalhava
todos os dias na palavra canguru ou
no trabalho dele. A pergunta faz
sentido, uma vez que não foi
mencionado, no enunciado, que
Pedro era pintor, por exemplo.
Poderia ter outro trabalho regular e
pintar apenas uma letra por dia, nas
horas de folga.Categoria B-BA14
A14 não compareceu no dia da
realização e portanto ficou sem
grupo para apresentar. Entretanto,
mostrou-se interessada nas
apresentações dos outros grupos no
outro dia. A imagem ao lado
mostra A14 se envolvendo na
apresentação do grupo 7, medindo
o tamanho do banquinho desenhado
por A8, na tentativa de descobrir a
diferença entra a altura de Pâmela e
do pai, conforme o enunciado do
problema do grupo 7.A19 e A17 (M-B) – Grupo 2
172
A dupla demonstrou compreender
bem as instruções do problema e
deram respostas satisfatórias.
Categoria M-MA3 e A20 (M-M) – Grupo 4
A dupla não fez a classificação de
dados relevantes ou irrelevantes.
A7 e A15 (M-M) – Grupo 5A dupla parece ter compreendido
bem a atividade. Apesar de não ter
apresentado para a turma, realizou
bem a classificação dos dados.A8 e A18 (M-B) – Grupo 7
A8 realizou a apresentação sozinha,
pois A18 não compareceu no dia.
Mostrou-se engajada, explicando
para toda a turma quais eram os
dados relevantes e irrelevantes.
Durante a discussão, percebeu que
a diferença entre as alturas pedidas
era a altura do banquinho e
mencionou o fato para a turma.A13 e A22 (M-M) – Grupo 6Não fizeram e não apresentaram.
173
Bloco 5 - Problemas com um ou mais passos e formulação de problemas
As atividades do bloco 5 foram realizadas individualmente. A primeira tratava
de 4 questões referentes às informações fornecidas no enunciado.
Quadro 15 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 1 do bloco 5
Categoria M-BA1
Compreendeu bem os enunciados,
desenvolvendo todos os passos para
resolver as questões, apesar de ter
errado a multiplicação na letra a).
A4A4 mostra um raciocínio bem
desenvolvido. Multiplica 78 por 3
na letra a), percebendo a proporção.
Na letra c), ela também percebe
que 168 é o dobro de 84 e dobra a
174
quantidade de carrinhos. Na letra
d), utiliza o mesmo raciocínio.A6
A6 demonstra compreender bem os
enunciados e realiza todas as
operações necessárias para a
resolução dos problemas.
A12 A12 demonstra compreender bem
os enunciados e realiza todas as
operações necessárias para a
resolução dos problemas.
Categoria B-BA14Não compareceu nesse dia.A19
A19 demonstra compreender bem
os enunciados e realiza todas as
operações necessárias para a
resolução dos problemas. No
entanto, erra a conta de
multiplicação da letra a).
Categoria M-MA3
A3 demonstra compreender bem os
enunciados e realiza todas as
operações necessárias para a
resolução dos problemas.
A7A7 arma contas que não nos parece
fazer muito sentido no problema.
Talvez não tenha compreendido o
175
que se pede.A8
A8 realiza algumas operações,
parecendo perceber as proporções
envolvidas no problemas, porém se
responde incorretamente as letras c)
e d). Parece ter desmanchado
contas realizadas anteriormente em
todas as questões. Além disso, os
números que “sobem” nas contas,
não condizem com o desenrolar das
contas, dando-nos a impressão de
que copiou de alguém.A13
Na letra a), A13 parece
compreender bem a proporção
envolvida a proporção envolvida,
apesar da dificuldade com a
multiplicação, optando por realizar
uma soma reiterada. Na letra b),
A13 divide por 3, ao invés de
dividir por 2. Não responde a letra
d).
A segunda atividade envolvia formulação de problemas. Foram dados 6
problemas faltando informações, de modo que precisariam completar e resolver.
Vejamos as soluções abaixo.
Quadro 16 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 2 do bloco 5
Categoria M-BA1
176
A1 foi direta e sucinta nas suas
formulações. Apesar de errar a
subtração na letra b), esforçou-se
para completar os dados dos
problemas e para solucioná-los. Na
letra d) não conta com as cadelas
para dar a resposta e na letra f),
confunde ‘quantas vezes mais’ com
‘quantas a mais’.
A4
177
A4 demonstra empenho na
elaboração e solução dos seus
problemas. Utiliza números
maiores e realiza as operações com
atenção. Na letra d) não conta com
as cadelas e na letra f) confunde
‘quantas vezes mais’ com ‘quantas
a mais’.
A6A6 elabora problemas sucintos e
não os resolve, o que mostra certa
distração com o enunciado da
questão. Deixa em branco a letra f).
A12
178
A12 demonstra empenho e atenção
em suas elaborações e resoluções.
Categoria B-BA14Não compareceu nesse dia.A19
A19 demonstra empenho em suas
elaborações e resoluções. Além
disso foi o único que na letra d)
conta com as duas cadelas e na
letra f) percebe que a pergunta é
‘quantas vezes mais’, fazendo a
diferença em relação à comparação
aditiva.
Categoria M-MA3
179
A3 parece se esforçar para elaborar
e resolver os problemas, apesar de
cometer alguns equívocos.
A7A7 demonstra certo empenho nas
elaborações, porém não resolve
nenhum dos problemas. Talvez
falta de atenção na leitura das
instruções.
A8
180
A8 demonstra empenho na
elaboração e dificuldade nas
resoluções. Na letra d) não resolve
e na letra f) responde “1 vez”.
A13A13 demonstra dificuldade na
elaboração do problema da letra a).
Parece não perceber que já existe
uma pergunta final e cria outra
pergunta, deixando o problema sem
sentido. Na letra b) tem dificuldade
de elaboração, já que depois de
nascerem 4 galinhas fica um total
de três. Para resolver realiza
adição, demonstrando dificuldade
com a resolução também. Na letra
e) não interpreta corretamente, pois
soma os valores com os quais
completa o problema, sem atentar
para a pergunta. Na letra f) parece
não compreender o problema, tanto
na elaboração quanto na resolução.
181
Em nossa análise de desempenho nas atividades, consideramos vários quesitos
como: leitura, escrita, organização, retenção de dados, criatividade, articulação,
reconhecimento de dados essenciais, senso crítico, além do empenho nas atividades
escritas e orais, individuais e em grupo. Apresentamos abaixo o desempenho geral de
cada aluno nas atividades.
Quadro 17 - Resultado geral do desempenho dos alunos nas atividades
Categoria M-BA1A1 demonstrou atenção com a leitura e a escrita em geral, procurando sempre
justificar suas soluções para os problemas propostos. Apresenta falhas no domínio
de certos conteúdos, mas conseguiu interpretar bem os enunciados dos problemas
propostos, formulou problemas simples, porém de acordo com as soluções
apresentadas nas questões. Desempenho forte nas atividades.A4Demonstrou atenção com a leitura e escrita em geral. Resoluções organizadas e
justificativas corretas para as respostas. Além de empenho e boa interpretação dos
enunciados, formulou os problemas corretamente. No geral, desenvolveu bem as
atividades. Desempenho forte.A6Demonstrou atenção com a leitura e escrita em geral. Também apresenta resoluções
bem organizadas justificativas corretas para suas respostas, citando exemplos.
Mostrou capacidade de retenção de informações, quando reconta o trecho (exposto
durante cinco minutos) de maneira sucinta, com as informações essenciais e bem
estruturado. Apesar de não formular todos os problemas corretamente, desenvolveu
bem as atividades, no geral. Desempenho forte.A12 A12 também demonstrou atenção com a leitura e escrita em geral. Apresentou
respostas sucintas porém sempre com justificativas plausíveis, demostrando
empenho para realizar tudo que foi pedido. Elaborou os problemas corretamente,
criando situações de acordo com as soluções dadas. Interpretou corretamente os
enunciados. No geral, desenvolveu bem as atividades. Forte desempenho.Categoria B-BA14
182
Apresenta boa capacidade de retenção de informações na atividade em que deveria
reproduzir o texto exposto durante cinco minutos. Interpretou bem os enunciados
dos problemas propostos, formulou os problemas corretamente, de modo geral,
descreveu bem a situação do quadro, com criatividade e se empenhou nas atividades
realizadas. Forte desempenho.A19Também demonstrou atenção com a leitura e escrita em geral. Apresentou boa
interpretação dos enunciados e justificativas corretas, além de respostas sucintas.
Compreendeu bem os enunciados, realizando exatamente o que foi pedido. A19
demonstrou facilidade com a resolução dos problemas, com resoluções que mostram
um raciocínio matemático bem desenvolvido. Descreveu a situação apresentada em
uma das atividades de forma sucinta, mas com as informações essenciais. Elaborou
bem os problemas e se empenhou nas atividades em geral. Forte desempenho.Categoria M-MA3Apresentou boa organização, porém demonstra dificuldades com a escrita em geral
e com os conteúdos matemáticos, o que prejudicou seu desempenho, especialmente
na interpretação matemática da situação descritas nos enunciados. Reteve poucas
informações do trecho apresentado (cinco minutos de exposição), acrescentando, na
recontagem, informações que não constavam do texto original. Não fez uma boa
descrição do cenário apresentado, mencionando poucas informações sobre o
referido cenário. Mostrou dificuldades na formulação de problemas, com
enunciados confusos e soluções incoerentes. Apesar de aparentar certo empenho em
algumas atividades, no geral mostrou-se disperso ao longo das atividades. Fraco
desempenho.A7Apresentou dificuldades com a leitura, com a escrita e com a interpretação dos
enunciados das atividades em geral. A7 também apresentou dificuldades com os
conteúdos de geometria. Apesar da dificuldade em se expressar, A7 fez boas
associações no caso dos problemas e suas soluções. Não realizou a descrição
solicitada da imagem apresentada aos alunos, citando apenas um elemento da
imagem. Fraco desempenho.A8Dificuldades com a leitura, com a escrita e com os conteúdos matemáticos em geral.
A8 demonstrou dificuldade no caso das associações dos problemas com as soluções,
confundindo as operações matemáticas envolvidas. Não podemos afirmar nada
183
sobre o nível de retenção de informações de A8, já que na atividade proposta a
aluna não reconta o trecho, demonstrando dificuldade para interpretar o enunciado
da atividade. A8 também apresentou dificuldade com a descrição do cenário
apresentado numa das atividades. Empenhou-se na formulação dos problemas,
apesar da dificuldade em estruturar os textos dos problemas. Apesar de demonstrar
empenho nas atividades, especialmente naquelas que envolviam a oralidade, teve
um desempenho fraco.A13Não compareceu às aulas nas quais trabalhamos a descrição de figuras espaciais.
Reteve as principais informações do trecho que ficou exposto por cinco minutos,
recontando-o de maneira sucinta e bem estruturada. Conseguiu descrever bem o
cenário apresentado para descrição, apesar de ter mencionado poucos detalhes.
Trabalhando em trio, demonstrou falta de empenho/interesse e dificuldade com a
interpretação e resolução de alguns problemas propostos. Em certos momentos,
demonstrou senso crítico, identificando problemas sem solução. Recusou-se a
apresentar as atividades do Bloco 3 com seu grupo, além de não demonstrar
interesse nas apresentações dos outros grupos. Não realizou as atividades do Bloco
4, deixando a folha em branco. Nas atividades do Bloco 5, teve dificuldade na
elaboração e na resolução dos problemas. No geral, ao que parece, não se sentiu
motivada o suficiente para participar com maior emprenho nas atividades. Talvez
esta seja a principal razão de seu fraco desempenho.
Examinando o quadro geral acima, podemos constatar uma correlação clara
entre os desempenhos nas atividades e na sondagem final. A1, A4, A6, A12, A14 e
A19, que tiveram forte desempenho na sondagem final, desenvolveram bem as
atividades. A3, A7, A8 e A13, que tiveram fraco desempenho nas atividades, também
tiveram fraco desempenho na sondagem final. Como interpretamos essa constatação?
Não é possível, a nosso ver, atribuir a causa do forte (ou fraco) desempenho na
sondagem final ao correspondente forte (ou fraco) desempenho constatado na realização
das atividades. Em outras palavras, uma correlação, por si só, não estabelece um vínculo
causal entre o bom ou mau desempenho em cada uma das atividades cujos desempenhos
estão correlacionados. Entretanto, tendo em vista os resultados da primeira etapa da
análise, essa correlação constatada na segunda etapa pode ser entendida como um
reforço da conclusão de que o conjunto de atividades proposto tenha contribuído para
184
ajudar muitos alunos a avançar na compreensão dos enunciados e na competência para a
resolução de problemas matemáticos. Não obstante, como já comentado no final da
primeira etapa da análise, uma série de fatores devem se conjugar para caracterizar-se
efetivamente esse avanço: engajamento nas atividades, conhecimento prévio
minimamente compatível com o nível correspondente de formação escolar (no nosso
caso, o sexto ano do EF), tempo de maturação do aprendizado de cada aluno etc.
Para finalizar essa seção, retomamos nossa questão de investigação: Como uma
sequência de atividades, elaboradas a partir dos resultados de estudos e pesquisas
sobre Resolução de Problemas, no campo da Educação Matemática, pode contribuir
para o desenvolvimento da capacidade de interpretação dos enunciados de problemas
matemáticos de alunos do sexto ano do Ensino Fundamental? Apresentamos a seguir
uma síntese geral da análise realizada, que pode ser entendida como a nossa resposta à
questão de pesquisa. A sequência de atividades que construímos e aplicamos aos alunos
do sexto ano do Ensino Fundamental contribuiu para o desenvolvimento da capacidade
de interpretação dos enunciados de problemas matemáticos, de acordo com nossas
análises, pelo menos das seguintes maneiras:
a) promovendo maior atenção na leitura dos enunciados, de modo a obter-se um
entendimento mais completo e preciso do texto desses enunciados, em termos
dos conceitos matemáticos associados à situação-problema proposta, em termos
da identificação e da organização mental daquilo que o texto fornece como
dados e em termos daquilo que é perguntado;
b) promovendo uma leitura mais crítica dos enunciados de problemas matemáticos,
de modo a desenvolver a capacidade de avaliar a relevância ou irrelevância de
certos dados para a obtenção de uma resposta correta para o problema;
c) promovendo a consideração da possibilidade de que o problema tenha apenas
uma solução, não tenha solução, ou tenha mais de uma solução.
d) promovendo o reconhecimento de uma linguagem típica da matemática escolar,
no que se refere, por exemplo, à precisão das informações fornecidas pelo
enunciado (e.g., no caso “João e Maria têm juntos 120 reais. Quanto tem cada
um?” não se afirma nada sobre terem ambos a mesma quantidade de dinheiro,
mas não é incomum o aluno do sexto ano acrescentar esse dado de modo a
tornar o problema “resolvível”, ou seja, com uma solução única e determinada.
185
Esse tipo de acréscimo aos dados fornecidos pelo enunciado não é permissível
na matemática escolar e uma solução que use esse fato não seria válida).
É claro que outras contribuições podem ser associadas ao conjunto de atividades
realizadas, mas essas são, a nosso ver, as mais diretamente vinculadas ao bom
desempenho na interpretação dos enunciados de problemas matemáticos no nível de
escolaridade em que trabalhamos.
Quanto às limitações do conjunto de atividades propostas e analisadas nesta
pesquisa, há que se retomar os comentários ao final da primeira etapa da análise, o que
solicitamos encarecidamente ao leitor que assim faça, para que não sejamos repetitivos
e estendamos ainda mais o já volumoso número de páginas deste trabalho.
186
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Parece consensual que uma boa capacidade de interpretação e compreensão dos
enunciados de problemas matemáticos é fundamental para a formação escolar do aluno.
Daí a importância de um trabalho voltado para a linguagem matemática nas salas de
aula da escola desde os anos iniciais, de forma que o aluno se sinta familiarizado com o
texto matemático ao longo de toda sua vida escolar. Nesse sentido, desenvolvemos,
apoiando-nos fortemente na literatura especializada, um conjunto de atividades, com a
expectativa de envolver o aluno no reconhecimento das especificidades do contexto da
linguagem matemática escolar e visando abrandar as dificuldades encontradas por ele
no que se refere à leitura e interpretação dos enunciados de problemas da matemática
escolar.
Nosso trabalho foi direcionado para uma resposta à seguinte questão de
investigação: Como uma sequência de atividades, elaboradas a partir dos resultados de
estudos e pesquisas sobre Resolução de Problemas, no campo da Educação
Matemática, pode contribuir para o desenvolvimento da capacidade de interpretação
dos enunciados de problemas matemáticos de alunos do sexto ano do Ensino
Fundamental?
Para testar esse conjunto de atividades, fizemos, num primeiro momento, uma
sondagem inicial, trabalhando, em seguida, cinco blocos de atividades que envolviam
leitura, escrita, formulação de problemas, descrição, representação através de mímicas,
uso de diagramas e desenhos para a interpretação dos enunciados e para a resolução dos
problemas propostos. Incentivamos o uso da oralidade, propusemos atividades
individuais e em grupo. Ao final, fizemos nova sondagem, para verificar os resultados
do trabalho. O trabalho de campo durou cerca de 3 meses, desde a sondagem inicial, em
março de 2017, até a sondagem final, em junho do mesmo ano.
Nossa análise dos dados foi realizada em duas etapas. Em um primeiro
momento comparamos o desempenho dos alunos nas sondagens inicial e final, o que
nos permitiu obter uma ideia geral do efeito do conjunto das atividades sobre a
capacidade de interpretação dos enunciados. Dos 22 alunos participantes da pesquisa,
descartamos 4 por razões técnicas e, de acordo com os resultados da sondagem inicial,
apenas 2 tiveram um forte desempenho. Na sondagem final, a quantidade de alunos com
187
o maior nível de desempenho (forte) ficou cinco vezes maior, passando a 10, o que
representa 55% dos alunos acompanhados na pesquisa. Assim, podemos concluir que o
conjunto de atividades contribuiu positivamente para o desenvolvimento da
competência dos alunos para interpretar os problemas propostos.
Na segunda etapa da análise constatamos a existência de uma correlação entre
o desempenho dos alunos ao longo das atividades e o correspondente desempenho na
sondagem final, o que veio reforçar a conclusão obtida na primeira etapa da análise.
Entretanto, não podemos deixar de mencionar que cerca de 45% dos alunos não
avançaram significativamente em relação ao desempenho observado na sondagem
inicial, o que projeta elementos que limitam o alcance do trabalho realizado, como
comentado no Capítulo 4.
Percebemos que o conjunto de atividades trabalhado produziu mudanças
significativas na atenção e precisão da leitura dos enunciados, levando a um
entendimento matemático produtivo das situações-problema apresentadas,
principalmente para aqueles alunos que se engajaram com mais motivação e interesse
nas atividades trabalhadas. Percebemos também o desenvolvimento de uma maior
autonomia nesses alunos, gerada pelo trabalho em atividades de formulação de
problemas e exposições orais ou de representações através de mimica.
Apesar dos resultados positivos, sabemos que existem limitações em nossa
pesquisa, as quais podem interferir diretamente nas potenciais contribuições do conjunto
de atividades. O nível de interesse dos alunos é um dos fatores essenciais para que as
atividades sejam mais proveitosas e nem sempre fomos capazes de engajar, com o nível
adequado de interesse, todos os alunos nas atividades. Outra limitação observada foi o
fato de que a pesquisadora não era a professora regular da turma, o que pode interferir
nas relações interpessoais e na programação das tarefas, que talvez devessem se
distribuir ao longo do ano, em reiteradas ocasiões, considerando a importância e a
necessidade de um trabalho a longo prazo, retomando por diversas vezes cada uma das
atividades trabalhadas. Um professor regular que deseje trabalhar nesse sentido,
precisaria “driblar” essa limitação, pois, como sabemos, deve cumprir um planejamento
curricular para o qual, normalmente, não há tempo “sobrando” para atividades de longo
ou médio prazo.
De toda forma, estamos seguros de termos produzido um trabalho que pode
servir de exemplo, com as adaptações necessárias, para muitos professores de sexto ano
188
do Ensino Fundamental e, possivelmente, inspirar outros professores, de todos os
estágios da escolarização básica, que compartilhem a visão de que é necessário um
trabalho específico com os alunos para o desenvolvimento de uma forte qualificação
para a interpretação dos enunciados de problemas matemáticos.
189
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194
APÊNDICES
195
APÊNDICE 1
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Eu, ____________________________________ pai (mãe) ou responsável legalpelo(a) aluno(a) __________________________________________________, fuiinformado(a) de que meu(minha) filho(a) foi convidado(a) pela professora ClarissaAlves de Oliveira, aluna do Mestrado Profissional em Educação Matemática daUniversidade Federal de Ouro Preto, a participar de sua pesquisa, a qual se realizarána Escola Municipal Professor Nilce Ramos Moreira, escola em que meu filho estámatriculado. Sei que tal pesquisa conta com o apoio da direção e da coordenação dessaescola.
Estou ciente de que o trabalho envolverá a participação ativa dos alunos nasatividades propostas pela pesquisadora, com o objetivo de melhorar o desempenho dosmesmos na disciplina Matemática.
Estou ciente de que as atividades ocorrerão durante as aulas de Matemática eque meu filho não terá que retornar à escola após o horário normal de aulas paraparticipar. Todos os materiais utilizados durante as aulas serão providenciados pelapesquisadora, não acarretando assim nenhum ônus para mim nem para meu(minha)filho(a). Sei que as atividades da pesquisa não atrasarão o cumprimento do programa deMatemática. Também que os materiais utilizados não envolvem nenhum elementotóxico, inflamável ou venenoso e, assim, não haverá riscos à saúde ou à integridadefísica de meu(minha) filho(a).
Autorizo a gravação em áudio dos momentos de atividades referentes à pesquisae sei que nenhum aluno ou aluna terá seu nome mencionado nos relatórios da pesquisa.Sei também que os materiais serão arquivados nas dependências do Curso de MestradoProfissional em Educação Matemática na UFOP, sob a responsabilidade da coordenaçãodeste, sendo, após cinco anos de armazenamento, incinerados. Além disso, estou cientede que eu e meu(minha) filho(a) podemos desistir de participar da pesquisa a qualquermomento e por qualquer motivo.
Finalmente, estou ciente de que a escola terá acesso aos resultados do estudo tãologo os mesmos estejam disponíveis.
Sinto-me esclarecido(a) acerca da proposta e concordo com a participação demeu(minha) filho(a) na pesquisa.
Sei que posso a qualquer momento consultar o Comitê de Ética da Newton Paivae os pesquisadores responsáveis (contatos abaixo e no verso) para me informar sobrequestões éticas da pesquisa.
Pai, mãe ou responsável do(a) aluno(a)
_____________________________________
Conselheiro Lafaiete, _______ de _____________________ de 2017
196
Comitê de Ética em Pesquisa (CEP/Newton Paiva)Endereço: Avenida Carlos Luz, 987 CaiçaraCep 31.230-070 Belo Horizonte, MG – BrasilE-mail: [email protected] – Fone: (31)3516-2547
Imprimir a outra página no verso e não em duas folhas separadas.
____________________________Plinio Cavalcanti MoreiraPesquisador responsável (31)98859-9427
pliniocavalcan�[email protected]
_____________________________Clarissa Alves de Oliveira Pesquisadora (31)98746-4866
197
APÊNDICE 2
CARTA DE ANUÊNCIA
198
APÊNDICE 3
TERMO DE AUTORIZAÇÃO DO (A) PROFESSOR (A)
Autorizo os professores Clarissa Alves de Oliveira (Orientanda) e Plínio CavalcantiMoreira (Orientador) do Mestrado Profissional em Educação Matemática da UFOP arealizarem a pesquisa intitulada “Interpretação dos enunciados de problemasmatemáticos: Um estudo com alunos do sexto ano do Ensino Fundamental de umaescola pública do interior de Minas Gerais” com alunos do sexto ano do EnsinoFundamental, de acordo com as tarefas previstas no projeto de pesquisa.
Conselheiro Lafaiete, Minas Gerais, _______de _______ de 2017.
_________________________________________________Professor (a) da turma
199
APÊNDICE 4
TERMO DE AUTORIZAÇÃO DA ESCOLA
Autorizo os Professores Clarissa Alves de Oliveira (Orientanda) e Plinio CavalcantiMoreira (Orientador) do Mestrado Profissional em Educação Matemática daUniversidade Federal de Ouro Preto a realizarem a pesquisa intitulada “ Interpretaçãodos enunciados de problemas matemáticos: Um estudo com alunos do sexto ano doEnsino Fundamental de uma escola pública do interior de Minas Gerais” de acordo comas tarefas previstas no projeto de pesquisa.
Conselheiro Lafaiete, Minas Gerais, _______de _______ de 2017.
_________________________________________________Diretor (a) da Escola
200
APÊNDICE 5
Sondagem inicial
Aluno:____________________________________________________________
Ano______ Turma_______ Turno______________________ Data ___/___/___
Resolva os problemas abaixo:
a) Se três picolés de certo tipo custam seis reais, quanto se terá que pagar por sete picolés do mesmo tipo?
b) Calcule quanto dá 144 dividido por 18.
c) Se uma padaria vende 3 tipos de sanduíche (misto quente, peito de frango, hambúrguer) e 5 tipos de suco (uva, morango, abacaxi, laranja e melancia), de quantas maneiras é possível montar uma refeição composta de um sanduíche e um suco?
d) Efetue a seguinte conta: 1326 – 548.
e) Se cada passagem de ônibus para o centro da cidade custa 2,50 quanto se pagará por seis dessas passagens?
f) Vovó recebeu 36 rosas. Uma dúzia foi mandada pelos netos e as outras rosas pelos filhos. Quantas rosas os filhos mandaram a mais que os netos?
g) Beto tinha 23 figurinhas. Num jogo, ganhou 2 figurinhas de cada um de seus 6 colegas e, depois comprou mais 10 figurinhas. Com quantas figurinhas Beto ficou?
h) Júlia e sua prima Joana compraram 108 caixas de bombom (todas de mesmo preço) e pagaram R$ 216,00 no total. Deste valor, Joana pagou R$ 126,00 pelas suas caixas. Quantas caixas são da Júlia?
i) Dona Márcia comprou 7 dúzias de bananas. Distribuiu duas bananas para cadamacaco do zoológico que visitou e levou 12 bananas para casa. Quantosmacacos ela alimentou com as bananas?
j) João tem 13 carrinhos e Carlos tem 52. Quantas vezes mais carrinhos que João Carlos tem?
k) Eu e você temos, juntos, 120 reais. Quanto dinheiro tem cada um de nós?
l) Maria tem 18 anos e Joana tem 5 anos a menos que Maria. Se Margarida tem 7 anos a mais que Joana, quantos anos Margarida tem?
201
APÊNDICE 6
Atividades - Bloco 1 – Leitura, escrita, interpretação e descrição
Aluno:____________________________________________________________Ano______ Turma_______ Turno______________________ Data ___/___/___
1) Leia o texto abaixo:
Tão visível e vivenciada quanto despercebida
A geometria se vê,No contorno da peneira,No formato da tv,No gingado da capoeira,Nas portas e nas janelas,Na forma do pãozinho,Nas tamancas e chinelas,Na xícara do cafezinho,Na fachada das casas,Nas curvas do caminho,Das borboletas, nas asas,E também no meu cantinho,Nos sólidos geométricos,Das rochas a beira mar,Ou nos cristais assimétricos,Que não flutuam no ar.A esfera que gira no espaço,Em movimento de rotação,Na translação está o passo,Para a sua evolução.E, então?Chegamos à conclusão,De a geometria estar,Em todo e qualquer lugar,Na beleza dos abrolhos,Nas estrelas do mar,Ou no formato dos olhos,Que nos enchem de amor sem par,Deus deu ao homem inteligência,Para aprender a contar,E evoluindo na ciência,Sua vida melhorar,Da geometria a importância,Levou-o a compreender,E diante das circunstanciasSeus cálculos desenvolver.
Fonte: http://www.somatematica.com.br/poemas/p61.htmlRuth Nunes Dualibi
202
Agora responda as perguntas:
f) Você gostou do texto? Por quê?
g) Podemos afirmar que esse texto é um poema? Por quê?
h) Você acha que a matemá�ca está presente na sua vida? De que forma?
i) “Nos sólidos geométricos,
Das rochas a beira mar,”
Por que o autor classificou as rochas como sólidos geométricos?
j) Associe alguns elementos citados no texto a figuras geométricas que você conhece.
203
3) Em cada caso desenhe a figura geométrica pedida e escreva uma frase (ou mais de uma) que descreva suas características essenciais.
e) Desenhe um retângulo Descrição
f) Desenhe um triângulo Descrição
g) Desenhe um quadrado Descrição
h) Desenhe um círculo Descrição
204
4) O seguinte trecho será apresentado aos alunos durante 5 minutos. Cada um receberá uma cópia com o texto ou será exposto a ele através de um datashow. Em seguida, serão ocultados os textos e será pedido aos alunos que recontem o que lhes foi apresentado, por via oral ou escrita.
Trecho de “A casa sonolenta”. Napping House de Audrey WoodRetirado de: http://www.fabulasecontos.com/a-casa-sonolenta/
5) Descreva com o máximo de detalhes que puder, a imagem abaixo.
http://www.tudointeressante.com.br/2015/04/o-amor-esta-nas-pequenas-coisas
205
6) Invente problemas, cujas soluções sejam dadas pelas formas apresentadas
abaixo.
f) Solução: 1.345 + 208 = 1553
g) Solução: 288 – 322 = 144
144 + 12 = 156
h) Solução: 90 + 15 = 105
i) Solução: 12.467 árvores.
j) Solução: Cada um recebeu 75 figurinhas.
7) Imagine que é um professor do sexto ano e que pretende colocar para seus
alunos um problema que possa ser resolvido através da conta 3 x 5 + 2. Invente
um problema cuja solução seja dada por essa conta.
206
APÊNDICE 7
Atividades Bloco 2– Leitura, escrita, interpretação e descrição
DESAFIOS DE MATEMÁTICA!
Aluno(a):__________________________________________Data___/___/_________
1 - O PROBLEMA DO JOSÉ
José é um ótimo marceneiro e faz armários para vender. Quando recebeu umaencomenda de uma empresa para fazer 40 armários de uma vez, ficou preocupado.Quanto dinheiro seria necessário para comprar os materiais para fazer tantos armáriosde uma vez?
a) Sabendo que cada armário gasta cerca de 52 reais em materiais, ajude José a
calcular quanto dinheiro precisará investir para atender à encomenda.
b) José é caprichoso e seus armários são bem acabados. Assim, ele gasta várias
horas para produzi-los. Ao final, ele vende cada armário por 120 reais. Qual é
o lucro do José na venda de cada armário?
c) Os armários do José fazem muito sucesso e ele ficou animado porque percebeu
que, economizando um pouco de cada venda, poderia reformar sua marcenaria,
que está com infiltração na parede. A parede com problema tem atualmente 16
fileiras de azulejos no comprimento e 14 fileiras de azulejos na altura. Se José
quiser comprar azulejos novos com as mesmas medidas dos que precisam ser
substituídos, quantos azulejos deverão ser comprados para revestir toda a
parede? Cada caixa de azulejo vem com 18 azulejos. Quantas caixas ele
precisará comprar?
d) Após pesquisar bastante, José escolheu um tipo de azulejo cuja caixa custa 34
reais. Quanto ele gastará em azulejos nessa reforma?
e) O pedreiro que José contratou cobra 120 reais por dia e o ajudante cobra a
metade do valor cobrado pelo pedreiro. Quanto ele vai gastar por dia com mão
de obra?
2- BULA DE REMÉDIO
VITAMIN COMPRIMIDOSembalagens com 50 comprimidos
COMPOSIÇÃOSulfato ferroso .................... 400 mgVitamina B1 ........................ 280 mgVitamina A1 ........................ 280 mgÁcido fólico ......................... 0,2 mg
207
Cálcio F .............................. 150 mg
INFORMAÇÕES AO PACIENTEO produto, quando conservado em locais frescos e bem ventilados, tem validade de 12meses. É conveniente que o médico seja avisado de qualquer efeito colateral.
INDICAÇÕESNo tratamento das anemias.
CONTRA-INDICAÇÕESNão deve ser tomado durante a gravidez.
EFEITOS COLATERAISPode causar vômito e tontura em pacientes sensíveis ao ácido fólico da fórmula.
POSOLOGIAAdultos: um comprimido duas vezes ao dia. Crianças: um comprimido uma vez ao dia.
LABORATÓRIO INFARMA S.A.Responsável - Dr. R. Dias Fonseca
a) Marque a resposta correta e em seguida responda a pergunta indicada. No texto, a palavra COMPOSIÇÃO indica:
(A) as situações em que o remédio não deve ser tomado.(B) as vitaminas que fazem falta ao homem.(C) os elementos que estão presentes no remédio.(D) os produtos que causam anemias.
Qual é a composição do medicamento?
b) O remédio apresentado serve para tratar qual tipo de problema de saúde ?
c) Quantos comprimidos por dia são recomendados para crianças?
d) Qual componente da fórmula se encontra em maior quantidade? E em menor?
e) O médico indicou o medicamento para Dona Lúcia por 50 dias. Quantas caixas serão necessárias, se ela tomar conforme a posologia da bula?
208
3- Leia com atenção os seguintes problemas matemáticos e sublinhe as informações que não são necessárias para a resolução.
a) Victor foi ao supermercado comprar sucos. Comprou 7 garrafas de suco de caju, 5 de suco de morango, 8 de suco de abacaxi e pagou no caixa de número 6. Quantas garrafas de suco ele comprou?
b) Mariana resolveu ir ao cinema na sexta-feira, na sessão das 20 h. A carteira de dinheiro estava vazia, então ela pediu duas notas emprestadas à sua mãe. Colocou R$ 20,00 de gasolina na sua moto e gastou R$ 35,00 no cinema. Quando chegou em sua casa, sua mãe já estava dormindo. Tomou um copo de leite e foi para o seu quarto. Abriu a carteira e viu que ainda tinha R$ 45,00. Qual a quantia que a mãe de Mariana emprestou para ela ir ao cinema?
c) Em uma escola, no interior de Minas Gerais, a diretora, que era amiga da professora, deu a ela 100 lápis para serem divididos igualmente entre seus alunos. Na sala, havia 50 alunos no total, sendo que metade da classe era de alunos altos e a outra metade de alunos baixos. Quantos lápis cada aluno receberá?
d) Joana tem 235 figurinhas da Frozen e seu irmão Fábio tem o triplo dessa quantidade, só que do Capitão América. Quantas figurinhas Fábio tem?
4 – Resolva os problemas abaixo e explique como pensou para resolvê-los.
a) Num avião, estão 25 mulheres e 32 homens. Quantas pessoas no total? Quantas aeromoças estão nesse vôo?
b) Joca comprou um relógio por R$ 155,00. Ele usou notas de R$ 5,00 e de R$10,00. Quantas notas de cada valor ele usou para pagar o relógio?
c) Na farmácia havia a seguinte oferta: “comprando 4 sabonetes, pague apenas R$12,00”. Quanto custa cada sabonete? Quantos tipos diferentes de sabonete estão à venda?
d) Num navio há 26 carneiros e 10 cabras. Qual é a idade do capitão?
209
APÊNDICE 8
Atividades Terceiro Bloco– Enunciados de Problemas Matemáticos (Atividadesenvolvendo Teatro, Encenações, Mímicas)
Alunos:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ano______ Turma_______ Turno______________________ Data ___/___/___
Todos os integrantes do grupo deverão ler o enunciado do problema abaixo, resolverjuntos e combinar uma forma de representar para a turma (poderá usar: teatro,encenações ou mímicas). Um grupo de cada vez, apresentará para toda a turma, e osgrupos formados, deverão, entre si, reconstruir o enunciado do problema conformeimaginam estar coerente com a representação.
Problema - Grupo 1
Três novelos de lã pesam 200 gramas. São necessários exatamente seis desses novelos para fazer um pulôver. Quantos gramas de lã estarão incorporadas ao pulôver?
210
Atividades Terceiro Bloco – Enunciados de Problemas Matemáticos (Atividadesenvolvendo Teatro, Encenações, Mímicas)
Alunos:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ano______ Turma_______ Turno______________________ Data ___/___/___
Todos os integrantes do grupo deverão ler o enunciado do problema abaixo, resolverjuntos e combinar uma forma de representar para a turma (poderá usar: teatro,encenações ou mímicas). Um grupo de cada vez, apresentará para toda a turma, e osgrupos formados, deverão, entre si, reconstruir o enunciado do problema conformeimaginam estar coerente com a representação.
Problema - Grupo 2
O 6° ano fará uma apresentação para toda a escola. Para isso, a diretora alugou 350 cadeiras para organizá-las na quadra, em fileiras. Cada fileira terá 10 cadeiras. Quantas fileiras ela organizará?
211
Atividades Terceiro Bloco – Enunciados de Problemas Matemáticos (Atividadesenvolvendo Teatro, Encenações, Mímicas)
Alunos:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ano______ Turma_______ Turno______________________ Data ___/___/___
Todos os integrantes do grupo deverão ler o enunciado do problema abaixo, resolverjuntos e combinar uma forma de representar para a turma (poderá usar: teatro,encenações ou mímicas). Um grupo de cada vez, apresentará para toda a turma, e osgrupos formados, deverão, entre si, reconstruir o enunciado do problema conformeimaginam estar coerente com a representação.
Problema - Grupo 3
Eu e mais quatro amigos fomos a um restaurante. A conta de 65 reais foi divididaigualmente entre nós. Paguei minha parte e ainda fiquei com 11 reais. Que quantia eutinha quando entrei no restaurante?
212
Atividades Terceiro Bloco – Enunciados de Problemas Matemáticos (Atividadesenvolvendo Teatro, Encenações, Mímicas)
Alunos:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ano______ Turma_______ Turno______________________ Data ___/___/___
Todos os integrantes do grupo deverão ler o enunciado do problema abaixo, resolverjuntos e combinar uma forma de representar para a turma (poderá usar: teatro,encenações ou mímicas). Um grupo de cada vez, apresentará para toda a turma, e osgrupos formados, deverão, entre si, reconstruir o enunciado do problema conformeimaginam estar coerente com a representação.
Problemas - Grupo 4
Cristina foi a uma livraria para comprar 5 cadernos e 1 livro. O total da conta foi 22 reais. Como o livro custou 7 reais e todos os cadernos têm o mesmo preço, quanto ela pagou por caderno?
213
Atividades Terceiro Bloco – Enunciados de Problemas Matemáticos (Atividadesenvolvendo Teatro, Encenações, Mímicas)
Alunos:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ano______ Turma_______ Turno______________________ Data ___/___/___
Todos os integrantes do grupo deverão ler o enunciado do problema abaixo, resolverjuntos e combinar uma forma de representar para a turma (poderá usar: teatro,encenações ou mímicas). Um grupo de cada vez, apresentará para toda a turma, e osgrupos formados, deverão, entre si, reconstruir o enunciado do problema conformeimaginam estar coerente com a representação.
Problema - Grupo 5
Numa partida de basquete, Júnior fez o triplo dos pontos feitos por Manuel. Os dois juntos marcaram 52 pontos. Quantos pontos Júnior marcou nessa partida?
214
215
APÊNDICE 9
Atividades Quarto Bloco– Identificação de dados dos problemas.
Alunos:_______________________________________________________________________________________________________________________________
Ano______ Turma_______ Turno______________________ Data ___/___/___
Cada grupo explicará para a turma do que se trata o problema, identificará os dadosrelevantes e irrelevantes ( poderá usar desenhos ou diagramas) e explicará porque elessão ou não relevantes.
Problema - Grupo 1
Pedro está escrevendo um grande letreiro com a palavra "canguru", pintando uma letrapor dia. Ele começou a escrever o letreiro na quarta-feira e trabalha todos os dias. Emque dia da semana ele irá terminar o letreiro?
216
Atividades Quarto Bloco– Identificação de dados dos problemas.
Alunos:_______________________________________________________________________________________________________________________________
Ano______ Turma_______ Turno______________________ Data ___/___/___
Cada grupo explicará para a turma do que se trata o problema, identificará os dadosrelevantes e irrelevantes ( poderá usar desenhos ou diagramas) e explicará porque elessão ou não relevantes.
Problema - Grupo 2
Simão levantou-se faz uma hora e meia. Daqui a três horas e meia irá tomar o trem paraa cidade de sua avó. Quanto tempo antes da partida do trem ele se levantou?
217
Atividades Quarto Bloco– Identificação de dados dos problemas.
Alunos:_______________________________________________________________________________________________________________________________
Ano______ Turma_______ Turno______________________ Data ___/___/___
Cada grupo explicará para a turma do que se trata o problema, identificará os dadosrelevantes e irrelevantes ( poderá usar desenhos ou diagramas) e explicará porque elessão ou não relevantes.
Problema - Grupo 3
Um criador de galinhas, chamado José Bonifácio, tem caixas de papelão para armazenar6 ovos e caixas de um material plastificado para armazenar 12 ovos. Qual é o menornúmero de caixas que ele precisa para armazenar 66 ovos?
218
Atividades Quarto Bloco– Identificação de dados dos problemas.
Alunos:_______________________________________________________________________________________________________________________________
Ano______ Turma_______ Turno______________________ Data ___/___/___
Cada grupo explicará para a turma do que se trata o problema, identificará os dadosrelevantes e irrelevantes ( poderá usar desenhos ou diagramas) e explicará porque elessão ou não relevantes.
Problema - Grupo 4
Numa prova de matemática do terceiro ano do Ensino Médio, a maioria dos alunos foimuito bem. Na realidade, 3/5 dos alunos da classe obtiveram nota máxima nesta prova.A prova tinha quatro questões, valendo 5 pontos cada questão. Dessa forma, qual é onúmero de alunos que não obtiveram nota máxima nessa prova?
219
Atividades Quarto Bloco– Identificação de dados dos problemas.
Alunos:_______________________________________________________________________________________________________________________________
Ano______ Turma_______ Turno______________________ Data ___/___/___
Cada grupo explicará para a turma do que se trata o problema, identificará os dadosrelevantes e irrelevantes ( poderá usar desenhos ou diagramas) e explicará porque elessão ou não relevantes.
Problema - Grupo 5
Um carro da marca FIATWAGEN possui um tanque de combustível cuja capacidademáxima é de 60 litros. O motorista, ao passar em frente ao campo de futebol deCachoeira Branca, percebeu que o tanque estava apenas com 1/4 da capacidade decombustível e, portanto, não seria possível completar a viagem planejada entre ascidades de Cachoeira Branca e Ouro do Campo, que distam entre si mais ou menos 200km, sem colocar mais combustível no carro. O motorista, então, vai ao posto degasolina, que se localiza ao lado do campo de futebol e pede ao frentista para enchercompletamente o tanque. Quantos litros, aproximadamente, foram colocados no tanque?
220
Atividades Quarto Bloco– Identificação de dados dos problemas.
Alunos:_______________________________________________________________________________________________________________________________
Ano______ Turma_______ Turno______________________ Data ___/___/___
Cada grupo explicará para a turma do que se trata o problema, identificará os dadosrelevantes e irrelevantes ( poderá usar desenhos ou diagramas) e explicará porque elessão ou não relevantes.
Problema - Grupo 6
Joana começou a ler um livro de filosofia, que estava escrito em inglês e tinha mais de100 páginas. Ela leu 20 páginas no primeiro dia e 10 novas páginas no dia seguinte.Quantas páginas ainda faltam para Joana terminar de ler o livro?
221
Atividades Quarto Bloco– Identificação de dados dos problemas.
Alunos:_______________________________________________________________________________________________________________________________
Ano______ Turma_______ Turno______________________ Data ___/___/___
Cada grupo explicará para a turma do que se trata o problema, identificará os dadosrelevantes e irrelevantes ( poderá usar desenhos ou diagramas) e explicará porque elessão ou não relevantes.
Problema - Grupo 7
Pâmela subiu num banquinho de madeira escura e ficou exatamente com a mesma alturade seu pai. Qual é o valor da diferença entre a altura de Pâmela e a de seu pai?
222
Atividades Quarto Bloco– Identificação de dados dos problemas.
Alunos:_______________________________________________________________________________________________________________________________
Ano______ Turma_______ Turno______________________ Data ___/___/___
Cada grupo explicará para a turma do que se trata o problema, identificará os dadosrelevantes e irrelevantes ( poderá usar desenhos ou diagramas) e explicará porque elessão ou não relevantes.
Problema - Grupo 8
Júlia e Sandro têm, juntos, 50 reais. Quanto dinheiro tem o Sandro sozinho?
223
Atividades Quarto Bloco– Identificação de dados dos problemas.
Alunos:_______________________________________________________________________________________________________________________________
Ano______ Turma_______ Turno______________________ Data ___/___/___
Cada grupo explicará para a turma do que se trata o problema, identificará os dadosrelevantes e irrelevantes ( poderá usar desenhos ou diagramas) e explicará porque elessão ou não relevantes.
Problema - Grupo 9
Caio é um garoto de 6 anos e gosta muito de brincar com bolinhas de gude. Todos osdias acorda às 8 horas, toma o seu café com leite, come uma fruta, um pãozinho integralcom queijo e corre para a casa de seu amigo Júnior para brincar. Caio levou 2 dúzias debolinhas coloridas para jogar. Dezesseis dessas bolinhas eram azuis e as demais eramverdes. No final do jogo ele havia perdido um quarto de suas bolinhas verdes e Júniorficou muito contente, pois agora tinha três vezes mais bolinhas azuis do que restou aoCaio. Quantas bolinhas Júnior tinha ao iniciar o jogo?
224
Atividades Quarto Bloco– Identificação de dados dos problemas.
Alunos:_______________________________________________________________________________________________________________________________
Ano______ Turma_______ Turno______________________ Data ___/___/___
Cada grupo explicará para a turma do que se trata o problema, identificará os dadosrelevantes e irrelevantes ( poderá usar desenhos ou diagramas) e explicará porque elessão ou não relevantes.
Problema - Grupo 10
Como dividir igualmente 2 gatos pretos e um amarelo entre três crianças?
225
APÊNDICE 10
Atividades Bloco 5 – Significados das operações com números naturais
Problemas com um ou mais passos (Atividade individual)
Alunos:______________________________________________________________________________________________________________________________________Ano______Turma______Turno__________________Data_____________________
1) Observe os preços dos carrinhos em uma loja e ajude os vendedores a calcularem quanto cada cliente precisa pagar:
a) Carlos comprou 18 carrinhos da marca TANQUE. Quanto ele pagou?
b) João comprou apenas 3 carrinhos da marca TANQUE. Quanto ele pagou?
c) André tem R$168,00. Quantos carrinhos da marca FLASH ele pode comprar?
d) E se André usar esse dinheiro para comprar carrinhos da marca TANQUE. Quantos carrinhos poderá comprar?
Formulação de problemas
1) Complete os problemas criando dados e em seguida resolva-os.
a) Fernando tinha 25 figurinhas. ________________________________________
___________________________________________________________________________________________. Com quantas figurinhas Fernando ficou?
b) No sítio do meu avô havia algumas galinhas. Nasceram mais _____ galinhas.
Agora tem _____ galinhas. Quantas galinhas havia antes no sítio?
226
c) Um aquário tem ____ peixes de cor vermelha e ____ peixes de cor cinza.
_______________________________________________________________?
d) Em uma casa havia 2 cadelas e elas tiveram filhotes. Nasceram __ cachorrinhos.
Mas ____ filhotinhos morreram. Quantos cachorros restaram ao todo na casa?
e) Na sala do 2° ano há ____ alunos. Na sala do 3° ano há ____ alunos. Quantos
alunos a mais têm na sala do 3° ano?
f) A casa de Maria tem ____ crianças. A casa de João tem ____ crianças. Quantas
vezes mais crianças tem a casa de Maria?
227
APÊNDICE 11
Sondagem final
Aluno:___________________________________________________________Ano____ Turma____ Turno______________ Data ____/____/____
Resolva os problemas abaixo:
a) Marina tem um canil com 46 cães. Desses, 11 foram resgatados nas ruas e os outros foram deixados em sua porta. Quantos cães a mais foram deixados em suaporta em relação à quantidade dos que foram resgatados?
b) Sandro e Diego compraram 15 jogos de vídeo game (todos de mesmo preço) e pagaram o total de R$ 45,00. Desse valor, Diego pagou R$ 21,00 pelos seus jogos. Quantos jogos são do Sandro?
c) Se cada salgado da cantina da escola custa R$ 1,50, quanto se pagará por 5 salgados?
d) Efetue a seguinte conta: 5231 – 389
e) Joana tem 2 calças e 3 camisetas de cores diferentes. Quantos conjuntos de calçae camiseta Joana consegue usar sem repetir um mesmo conjunto?
f) Paula gasta 3 ovos para fazer 1 bolo. Ela foi ao mercado e comprou 4 dúzias de ovos para fazer bolos. No caminho de volta, quebraram-se 3 ovos. Quantos bolos Paula consegue fazer com o restante dos ovos que sobraram?
g) Carlos e Pedro têm juntos 280 figurinhas, quantas figurinhas tem cada um?
h) Victor tem 25 anos e Igor tem 6 anos a menos que Victor. Se João tem 8 anos a mais do que Igor, quantos anos João tem?
i) Kelly tem 12 reais e seu irmão tem 48. Quantas vezes mais dinheiro o irmão temem relação a Kelly?
j) Se 4 barras de chocolate custam 24 reais, quanto se pagará por 6 barras iguais a essas?
k) Bruna tinha 28 figurinhas. Num jogo, ganhou 3 figurinhas de cada um de seus 5 colegas e, depois comprou mais 6 figurinhas. Com quantas figurinhas Bruna ficou?
l) Calcule quanto dá 156 dividido por 13.