Intervalo de confianza para una proporcin[editar]El intervalo de confianza para estimar una proporcinp, conocida como una proporcin muestralpnde una muestra de tamaon, a un nivel de confianza del (1-)100% es:

En la demostracin de estas frmulas estn involucrados elTeorema Central del Lmitey la aproximacin de unabinomialpor unanormal.7Ejemplo prctico[editar]

Una mquina llena tazas con lquido, y se supone que est ajustada para verter la cantidad de 250g. Como la mquina no puede llenar cada taza con exactamente 250g, el contenido que se aade a cada taza individual presenta cierta variacin y se le asigna una variable aleatoria X. Se asume que esta variacin se ajusta a unadistribucin normalde alrededor del porcentaje promedio deseado de 250g, con unadesviacin estndarde 2.5g. Para determinar si la mquina est adecuadamente calibrada, se toma una muestra aleatoria den=25 tazas de helado para pesarlas. La medicin resultante de sustancia helada esX1,...,X25, una muestra aleatoria desde X.Para tener una apreciacin de la expectativa, es suficiente con dar una estimacin. Elestimadoradecuado es la media muestral:

La muestra seala los pesos efectivosx1,...,x25, con media:

Al tomar otra muestra de 25 tazas, es esperable, de igual manera, que la masa presente valores como 250.4 o 251.1gramos. Un valor medio muestral de 280gramos en cambio, sera extremadamente excepcional si el contenido medio de las tazas est en la prctica cerca de 250gramos. Hay un intervalo ntegro en torno al valor observado de 250.2gramos de la media muestral por el que si la media de la poblacin completa efectivamente toma un valor en este rango, los datos observados no podran ser considerados particularmente inusuales. Tal intervalo se denomina intervalo de confianza para el parmetro. Cmo se calcula tal intervalo? Los extremos del intervalo deben calcularse a partir de la muestra para que resulten funciones estadsticas de la muestraX1,...,X25y de este modo son variables aleatorias a su vez.En este caso, se determinar los extremos considerando la media muestralXa partir de la muestra en distribucin normal est tambin normalmente distribuida con la misma expectativa, pero con unerror estndarde:

Porestandarizacin, se obtiene una variable aleatoria:

dependiente del parmetroa ser estimado, pero con una distribucin normal estndar independiente del parmetro. Por lo tanto, es posible hallar nmeros zyz, independientes de, entre los cuales yaceZcon probabilidad 1, una medida de cunconfiadosqueremos estar.Tomamos 1 = 0.95, por ejemplo. As, tenemos:

El nmerozsigue desde lafuncin de distribucin acumulada, en este caso laFuncin de distribucin normal acumulativa:

y se obtiene:

En otras palabras, el lmite inferior de un intervalo deconfianzadel 95% es:

y el superior de tal intervalo es:

Con los valores de este ejemplo, el intervalo de confianza es:

Esto podra interpretarse como: con probabilidad del 0.95 encontramos un intervalo de confianza en el que se cumple con el parmetroentre los lmites estocsticos

y

Esto no implica que hay una probabilidad de 0.95 de encontrar el parmetroen el intervalo obtenido usando el valor efectivamente establecido para el valor medio de la muestra.

Sin embargo, cada vez que se repitan las mediciones, darn otro valor para la mediaXde la muestra. En el 95% de los casosestar entre los lmites calculados a partir de la media, pero en el 5% de los casos no lo estar. El intervalo de confianza efectivo se calcula anotando los valores de masas de helado medidas en la frmula. Este intervalo de confianza de 0.95 resulta:

Elsegmentovertical representa 50 realizaciones de un intervalo de confianza para.En otras palabras, el intervalo de confianza del 95% est entre el lmite inferior de 249.22 g y el superior de 251.18 g.Como el valor deseado 250 deest dentro del intervalo de confianza resultante no hay razn para creer que la mquina no est correctamente calibrada.El intervalo calculado tiene lmites fijos, donde podra o no estar all acotado. As, este evento tiene probabilidad o 0 o1. No es posible decir: "con probabilidad (1) el parmetroyace en el intervalo de confianza." Slo sabemos que por repeticin en 100(1)% de los casos,estar en el intervalo calculado. En 100% de los casos, sin embargo no sucede. Desafortunadamente, no se conoce en cules de los casos esto sucede. Por eso se puede decir: "connivel de confianza100(1)%, yace en el intervalo de confianza."El error mximo se calcula de 0.98 dado que es la diferencia ente el valor en que se conserva la confianza dentro de los lmites superior e inferior.La figura ilustra 50 realizaciones de un intervalo de confianza para una poblacin media dada. Si aleatoriamente se selecciona una realizacin, la probabilidad es del 95% de finalmente haber elegido un an intervalo que contenga el parmetro; sin embargo, podra darse la desafortunada situacin de haber elegido la errnea.