MATEMATICKÁ STATISTIKABODOVÉ A INTERVALOVÉ ODHADY

ROMAN MAJDA

Roman Majda 2

OBSAH

1) Vývoj matematické statistiky

2) Matematická statistika vs. teorie pravděpodobnosti

3) Statistická indukce

4) Teorie odhadu

5) Požadavky na kvalitní odhad

6) Odhad střední hodnoty

7) Odhad rozptylu a směrodatné odchylky

Roman Majda 3

VÝVOJ MATEMATICKÉ STATISTIKY

• Paralelně s teorií pravděpodobnosti

• První postupy v 18. století

• Počátek 19. stol – Carl Friedrich Gauss a Adrien-Marie Legendre – metoda nejmenších čtverců

• Počátek 20. století – matematické metody statistiky se začaly rychle rozvíjet (biologický výzkum)

• Mat. stat. jako samostatná disciplína v dnešním pojetí – britský biolog Ronald Fisher

• Bouřlivý rozvoj – empirické vědy, získávání a interpretace dat

Roman Majda 4

MATEMATICKÁ STAT. VS. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

• v teorii pravděpodobnosti předpokládáme, že známe skutečné rozdělení pravděpodobností základních náhodných veličin resp. matematický model základního souboru náhodných jevů

• Statistická dedukce

• matematická statistika se snaží formulovat závěry a tvrzení o náhodných veličinách na základě dat získaných pokusem, pozorováním nebo měřením, tj. na základě známých realizací náhodných veličin

• Statistická indukce

Roman Majda 5

STATISTICKÁ INDUKCE

• Zobecnění (základní úloha mat. stat.)

• Jak informace zjištěné o prvcích výběru zobecnit na celou populaci – vždy riziko omylu

• Výběrová data pořízena náhodným výběrem

• Typy:

• Teorie odhadu • Bodovýodhad• Intervalový odhad

• Testování hypotéz

Roman Majda 6

TEORIE ODHADU

• Jak z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení

• Výběrový soubor >> konkrétní hodnoty sledovaných charakteristik. (Při dalším výběru >> pravděpodobně jiné hodnoty sledovaných charakteristik)

• >> Námi sledovaná charakteristika = náhodná veličina

• Velkou roli hraje rozdělení těchto charakteristik (statistik)

Roman Majda 7

ODHADY• Bodový

• odhad charakteristiky vyjádřen jediným číslem

• je bodovým odhadem µ

• Nemáme informaci o kvalitě odhadu

• rozdíl odhad-skutečnost?

• Intervalový

• 2 čísla (Dolní a Horní mez) a mezi nimi skutečná hodnota hledaného parametru s předem zvolenou pravděpodobností

• 100(1 – α)% interval spolehlivosti (konfidenční interval)

• 1 – α je koeficient spolehlivosti

• α hladina významnosti

• většinou α = 0,01 nebo častěji α = 0,05

Roman Majda 8

POŽADAVKY NA KVALITNÍ ODHAD

• Nestranost

Výběrová statistika (charakteristika) T je nestranným odhadem statistiky Θ, je-li střední hodnosta . Znamená to, že tento odhad systematicky nenadhodnocuje ani nepodhodnocuje odhadovaný parametr. Platí-li, že

pak je statistika T asymptoticky nestranným odhadem Θ.

Roman Majda 9

POŽADAVKY NA KVALITNÍ ODHAD

• Vydatnost

Nestranost ≠ „dobrý odhad“

Chceme aby bodové odhady byly rozloženy co nejtěsněji kolem odhadovaného parametru .

Ze dvou nestranných odhadů parametru Θ je lepší ten, který má menší rozptyl, protože pro tento odhad lze spíše očekávat, že se bude méně lišit od skutečné hodnoty Θ.

• Nejlepším nestranným odhadem parametru Θ nazýváme nestranný odhad, který má ze všech nestranných odhadů parametru Θ nejmenší rozptyl a tuto vlastnost nazýváme vydatnost.

Roman Majda 10

POŽADAVKY NA KVALITNÍ ODHAD

• Konzistence

Konzistence znamená, že čím větší bude rozsah výběru n, tím bude hodnota statistiky blíže ke skutečné hodnotě odhadovaného parametru.

Za konzistentní odhad statistiky Θ označíme takovou statistiku T která splňuje rovnost

pro libovolné reálné číslo .

Roman Majda 11

POŽADAVKY NA KVALITNÍ ODHAD• Robustnost

Za robustní odhad statistiky Θ označíme takovou statistiku T, u které nemají vychýlené hodnoty způsobené např. hrubou chybou měření příliš velký vliv na kvalitu odhadu

INTERVALOVÝ ODHAD• podstatou intervalového odhadu charakteristik Θ je

určit statistiky TD a TH, tak aby platilo (oboustranný)

Nebo pro jednostranné

Roman Majda 12

ODHAD STŘEDNÍ HODNOTY

• Bodovým odhadem střední hodnoty

je výběrový průměr

Je to nevychýlený odhad.

Roman Majda 13

ODHAD STŘEDNÍ HODNOTY• Intervalový

Pokud byl náš výběr získán z rozdělení , rozptyl není znám

• Oboustranný

odhad směrodatné odchylky výběru (standardní chyba)

přípustná chyba

• Jednostrané

Roman Majda 14

ODHAD ROZPTYLU A SMĚRODATNÉ ODCHYLKY

• Bodovým odhadem roptylu

je výběrový rozptyl

Je to nevychýlený a konzistentní odhad

15

ODHAD ROZPTYLU A SMĚRODATNÉ ODCHYLKY

• Intervalový

Když neznáme parametr a výběr byl proveden z rozdělení , pak je interval spolehlivosti

• Oboustranný

• Jednostranné

Roman Majda

Roman Majda 16

PŘÍKLAD

Útvar kontroly podniku Edison testoval životnost žárovek. Kontroloři vybrali z produkce podniku náhodně 50 žárovek a došli k závěru, že průměrná doba života těchto 50-ti žárovek je 950 hodin a příslušná výběrová směrodatná odchylka doby života je 100 hodin. Určete 95%-ní interval spolehlivosti životnosti žárovek firmy Edison.

Roman Majda 17

ŘEŠENÍ

Známe směrodatnou odchylku, pak

Tento interval spolehlivosti nám říká, že s 95% pravděpodobností se životnost produkovaných žárovek pohybuje od 922,3 do 977,7 hodin.

Roman Majda 18

DĚKUJI ZA POZORNOST