intervalske ocene merenja jednake preciznosti
TRANSCRIPT
INTERVALSKE OCENE
MERENJA JEDNAKE
PRECIZNOSTI
Teorija grešaka geodetskih merenja
Profesor dr Branko Božić, dipl.geod.inž.
Građevinski fakultet – Odsek za geodeziju i geoinformatiku
Verzija 01.02.2020
SADRŽAJ
• POJAM I KARAKTERISTIKE INTERVALSKIH OCENA
• INTERVAL POVERENJA SREDNJE VREDNOSTI
• VELIČINA UZORKA
• INTERVAL POVERENJA VARIJANSE POPULACIJE
• INTERVAL POVERENJA KOLIČNIKA DVE VARIJANSE
POJAM I OSNOVNE KARAKTERISTIKE
INTERVALSKIH OCENA
Intervalske ocene definišu granice prostiranja slučajne promenljive
Odnos pouzdanosti
ocena I broja
elemenata skupa.
Razlicite ocene za razlicite
uzorke istih dimenzija i iz iste
populacije
Parametri populacije: = 19.9 i 2 =8.5
Ocene parametara iz
uzorka različitih
dimenzija
• Nepoznata varijansa
• Poznata varijansa
INTERVAL POVERENJA SREDNJE VREDNOSTI
POPULACIJE – nepoznata varijansa
INTERVAL POVERENJA SREDNJE VREDNOSTI
POPULACIJE – nepoznata varijansa
)n()x(z
ns
xt
1,2/ fttP
α1tns
μxP fα/2,
1
22
n
stx
n
stxP
f,/f,/
n
stxμ
n
stx
f,2
αf,
2
α
Kvantil studentove raspodele za verovatnocu
/2 i f stepeni slobode
Kako definisati interval poverenja srednje vrednosti ?
Standardizovana srednja vrednost slučajne promenljive koja se
ponaša po zakonu t rasporeda
Dvostrani interval
tα/2- t α/2
INTERVAL POVERENJA SREDNJE VREDNOSTI
POPULACIJE – nepoznata varijansa
n
stxμ
n
stx
f,2
αf,
2
α
1
n
stxP
f,
Jednostrani interval
Dvostrani interval
tα/2- t α/2
Za 1-=95% i f=n -1=10
/2=0.025
t/2,10=2.228
Kvantil studentovog rasporeda za verovatnocu
i f stepeni slobode
Dvostrani interval
Kvantil studentovog rasporeda za verovatnocu
/2 i f stepeni slobode
tα,f
1-α
INTERVAL POVERENJA SREDNJE VREDNOSTI
POPULACIJE – poznata varijansa
nzx
nzx 22
1
nzxP
95.0n
96.1xn
96.1xP
Dvostrani interval poverenja srednje vrednosti populacija pri
poznatoj varijansi
Kvantil normalnog rasporeda za dati nivo značajnosti α
Dvostrani interval poverenja srednje vrednosti populacija pri poznatoj
varijansi i za dato α =0.05
Jednostrani interval poverenja srednje vrednosti populacija pri
poznatoj varijansi
Kvantil normalnog rasporeda za dati nivo značajnosti α/2
PRIMER 4.2.2: Skripta
INTERVAL POVERENJA SREDNJE
VREDNOSTI POPULACIJE
EXCEL funkcija
=CONFIDENCE.NORM(0.05,0.3162,8)
Od 10.1-0.22 do 10.1+0.22
ili
od 9.88 do 10.32
VELIČINA UZORKA
n
stx 2/ Raspon prostiranja srednje vrednosti populacije
n
stI 2/ Polovina intervala
2
2/
I
stn
Broj merenja
2
2
I
zn /
nepoznato s
22 //zt
s
Veličina intervala
Kvantil normalnog rasporeda za α /2
Poznata varijansa merenja
Broj merenja = Veličina uzorkaDrugi način određivanja veličine uzorka:
U primenama, pouzdanost standardnog odstupanja jednog merenja može se oceniti veličinom
)n(
s
12
Standardno odstupanje vrednosti standardnog odstupanja
jednog merenja (= pouzdanost ocene s)
sk
1uslov
u %
2
2
11 kn Za svako n može se odrediti
k i odnos
Za 1/k=25%
9n
4
VELIČINA UZORKA
Izraz (4.3-5) se može primeniti i na primeru 4.3-1. Naime, željena vrednost standardnog odstupanja
merenja u više girusa prema uslovima zadatka je manja za oko 23% u odnosu standardno
odstupanje merenja ugla u jednom girusu ((2.6-2)/2.6)*100%), što znači da je k=4.3, pa kada se
primeni izraz (4.3-5) sledi da broj merenja treba da bude najmanje 10 ( =10), (ili 5
girusa). Broj girusa je nešto veći, ali je i procenat dozvoljene razlike dva standardna odstupanja
nešto manji (23% umesto 25%).
234
2
11 .n
INTERVAL POVERENJA
VARIJANSE POPULACIJE
22P
Povrsina ispod krive Hi-kvadrat rasporeda od gornje granice do beskonacnosti za
odredjeni stepen slobode
Hi-kvadrat kriva gustina nije simetrična.
Pitanje: Kako odrediti donju granicu?
Mora se odrediti2
1
1P2
1
2
1P2
2/
22
2/1
Jednostrani interval
Dvostrani interval
2
2
2/
22
2
2/12
2/2
22
2/1sf
1
sfP
sfP
1sfsf
P2
2/1
22
2
2/
2
2
2/1
22
2
2/
2sfsf
Dvostrani interval poverenja varijanse
populacije
Broj stepeni slobode uzorka - f
Varijansa uzorka – s2
Kvantil Hi-kvadrat rasporeda
/2
Obostrani
interval
1-α /2
2
21 /
2
2/
Jednostrani interval
1-
2
1
INTERVAL POVERENJA
VARIJANSE POPULACIJE
INTERVAL POVERENJA KOLIČNIKA DVE
VARIJANSE POPULACIJE
2
2
2
1
2
1
f
fF
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
22
1
2
1
2
11
s
s
/s
/s
)f//(sf
)f//(sfF
Interval poverenja = odrediti donju i gornju granicu intervala
12
21
f,f,
f,f,1dF
1FF
1)FFF(P2121 f,f,2/f,f,2/1
12
21
f,f,2/2
2
2
1
2
2
2
1
f,f,2/
2
2
2
1 Fs
s
F
1
s
s
(1- α) interval poverenja količnika dve varijanse
/2/2
1-
Količnik varijansi dva uzorka – F raspored
Raspodela nesimetrična Tablice ne sadrže donju granicu
Donja granica intervala
Verovatnoća intervala poverenja količnika dve varijanse iste populacije
...
Donja granica Gornja granica
Kvantili Fišerovog rasporeda –
Napomena: f1 i f2 zamejuju mesta
u donjoj i gornjoj granici intervalaF1- α /2,f1,f2
α /2,f1,f2
INTERVAL POVERENJA KOLIČNIKA DVE
VARIJANSE POPULACIJE
Tablice rasporeda verovatnoća standardizovane slučajne promenljive normalne raspodele
Tablice kvantila studentove raspodeleDvostrani test
Jednostrani test
Tablice vrednosti kvantila Hi-kvadrat raspodele