intro a finanzas
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Finanzas, matemáticas financierasTRANSCRIPT
Matemáticas FinancierasCopyright © 2002 by The McGraw-Hill
Companies, Inc. All rights reserved.
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Profesor: Marcelo González A.
INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS
Copyright © 2002 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
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Outline
4.2 El Caso de Múltiples Períodos
4.3 Períodos de Composición
Copyright © 2002 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
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4.1 El Caso de un Solo Período: Valor Futuro
Si se fuera a invertir $10.000 a un 5% de interés por año, la inversión crecería a $10.500
$500 sería interés ($10.000 × .05)
$10,000 es el pago del principal ($10.000 × 1)
$10,500 es el total. Esto puede ser calculado como:
$10.500 = $10.000×(1.05).
La cantidad total al final de la inversión es llamado Valor Futuro (VF).
McGraw-Hill/Irwin
Copyright © 2002 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
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4.1 El Caso de un Solo Período: Valor Futuro
En el caso de un período, la fórmula para VF puede ser escrita como:
VF = C0×(1 + r)
Dónde C0 es un flujo de caja a la fecha 0 y
r es la tasa de interés apropiada.
McGraw-Hill/Irwin
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4.1 El Caso de un Solo Período: Valor Presente
Si fueran prometidos $10.000 en un año cuando la tasa de interés es 5%, la inversión valdría $9.523,81 en moneda de hoy.
La cantidad que quién pide prestado necesitaría reservar hoy para ser capaz de cumplir con el pago de $10.000 en un año es llamado el Valor Presente (VP) de $10.000.
Notar que $10.000 = $9.523,81×(1.05).
McGraw-Hill/Irwin
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4.1 El Caso de un Solo Período: Valor Presente
En el caso de un período, la fórmula para VP puede ser escrita como:
Dónde C1 es un flujo de caja a la fecha 1 y
r es la tasa de interés apropiada.
McGraw-Hill/Irwin
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4.1 El Caso de un Solo Período: Valor Actual Neto
ElValor Actual Neto (VAN) de una inversión es el valor presente de los flujos de caja esperados, menos el costo de la inversión.
Suponga que una inversión que promete pagar $10.000 en un año es ofrecida por $9.500. La tasa de interés es 5%. ¿Se debería aceptar?
Sí!
McGraw-Hill/Irwin
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4.1 El Caso de un Solo Período: Valor Actual Neto
En el caso de un período, la fórmula para el VAN puede ser escrita como:
Si no hubiesemos tomado el proyecto con VAN positivo del slide anterior, y hubiesemos invertido los $9.500 en otra cosa al 5%, el VF sería menor que los $10,000 prometidos por la inversión y estaríamos indudablemente peor también en términos de VF:
$9.500×(1.05) = $9.975 < $10.000.
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4.2 El Caso Multiperíodo: Valor Futuro
La fórmula general para el valor futuro de una inversión sobre varios períodos puede ser escrita como:
VF = C0×(1 + r)T
r es la tasa de interés apropiada, y
T es el número de períodos sobre los cuales el efectivo es invertido.
McGraw-Hill/Irwin
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4.2 El Caso Multiperíodo: Valor Futuro
Suponga que Jay Ritter invirtió en la Oferta Pública Inicial de la compañía Modigliani. Modigliani paga actualmente un dividendo de $1,10, el cual es esperado a crecer al 40% por año por los próximos 5 años.
Cuál será el dividendo en 5 años?
VF = C0×(1 + r)T
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Valor Futuro y Composición
Note que el dividendo en 5 años, $5,92, es considerablemente más alto que la suma del dividendo original más incrementos de 40% sobre el dividendo original de $1,10:
$5,92 > $1,10 + 5×[$1,10×0.40] = $3,30
Esto es debido a la composición.
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Valor Presente y Composición
¿Cuánto debería un inversionista reservar hoy en orden de tener $20.000, 5 años desde ahora si la tasa presente es 15%?
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¿Cuánto Esperar?
Si depositamos $5.000 hoy en una cuenta que paga 10%, cuánto le toma para crecer a $10.000?
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Asuma que el costo total de la educación universitaria será $50 M cuando un hijo entre a la universidad en 12 años. Se tienen $5 M para invertir hoy. ¿Qué tasa de interés debe ganar la inversión para cubrir el costo de la educación del niño?
¿Qué Tasa es Suficiente?
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4.3 Períodos de Composición
Componer una inversión m veces al año por T años provee una riqueza en valor futuro de:
Por ejemplo, si se invierte $50 por 3 años al 12% compuesto semi-anualmente, la inversión crecerá a:
McGraw-Hill/Irwin
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Tasa Anual de Interés Efectiva
Una pregunta razonable de hacerse en el ejemplo anterior es ¿Cuál es la tasa anual de interés efectiva sobre la inversión?
La Tasa Anual de Interés Efectiva (EAR) es la tasa anual que daría la misma riqueza final después de 3 años (en el ejemplo):
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Tasa Anual de Interés Efectiva (Cont.)
Así, invertir al 12.36% compuesto anualmente es lo mismo que invertir al 12% compuesto semi-anualmente.
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Composición Continua
La fórmula general para el valor futuro de una inversión compuesta continuamente sobre varios períodos puede ser escrita como:
VF = C0×erT
r es la tasa de interés estipulada anualmente,
T es el número de períodos sobre los cuales el efectivo es invertido, y
e es el número trascendental aproximadamente 2,718.
*
e is a transcendental number because it transcends the real numbers.
McGraw-Hill/Irwin
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Perpetuidad Creciente
Una corriente de flujos de caja que crecen a una tasa constante infinitamente.
Anualidad
Una corriente constante de flujos de caja que duran un número fijo de períodos.
Anualidad Creciente
Una corriente de flujos de caja que crecen a una tasa constante por un número fijo de períodos.
McGraw-Hill/Irwin
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Perpetuidad
…
La fórmula para el valor presente de una perpetuidad es:
0
1
C
2
C
3
C
McGraw-Hill/Irwin
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Perpetuidad: Ejemplo
¿Cuál es el valor de un consol que promete pagar £15 cada año, hasta que el Sol se convierta en un gigante rojo y deje al planeta como papita frita?
La tasa de interés es 10%.
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Perpetuidad Creciente
…
La fórmula para el valor presente de una perpetuidad creciente es:
0
1
C
2
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Perpetuidad Creciente: Ejemplo
El dividendo esperado para el próximo año es $1,30 y se espera que crezca al 5% por siempre.
Si la tasa de descuento es 10%, ¿Cuál es el valor de esta corriente de dividendos prometidos?
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Anualidad
Una corriente de flujos de caja constantes por un plazo fijo.
La fórmula para el valor presente de una anualidad es:
0
1
C
2
C
3
C
N
C
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Anualidad: Ejemplo
Si se pueden pagar $400k mensuales por un auto, ¿Qué tan caro puede ser el auto a comprar si la tasa de interés es de 7% en un préstamo de 36 meses?
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Anualidad Creciente
Una corriente de flujos de caja creciente por un plazo fijo.
La fórmula para el valor presente de una anualidad creciente es:
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C
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Anualidad Creciente: Ejemplo
Un plan de retiro ofrece pagar $200.000 por año por 40 años e incrementar el pago anual en 3% cada año. ¿Cuál es el valor presente de este plan de retiro si la tasa de descuento es 10%?
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Las tasas de interés son expresadas comúnmente sobre una base anual, pero existen arreglos con tasas de interés compuestas semi-anualmente, trimestralmente, mensualmente e incluso continuamente.
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05.1
000.10$
81,523.9$
r
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INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS
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4.2 El Caso de Múltiples Períodos
4.3 Períodos de Composición
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4.1 El Caso de un Solo Período: Valor Futuro
Si se fuera a invertir $10.000 a un 5% de interés por año, la inversión crecería a $10.500
$500 sería interés ($10.000 × .05)
$10,000 es el pago del principal ($10.000 × 1)
$10,500 es el total. Esto puede ser calculado como:
$10.500 = $10.000×(1.05).
La cantidad total al final de la inversión es llamado Valor Futuro (VF).
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4.1 El Caso de un Solo Período: Valor Futuro
En el caso de un período, la fórmula para VF puede ser escrita como:
VF = C0×(1 + r)
Dónde C0 es un flujo de caja a la fecha 0 y
r es la tasa de interés apropiada.
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4.1 El Caso de un Solo Período: Valor Presente
Si fueran prometidos $10.000 en un año cuando la tasa de interés es 5%, la inversión valdría $9.523,81 en moneda de hoy.
La cantidad que quién pide prestado necesitaría reservar hoy para ser capaz de cumplir con el pago de $10.000 en un año es llamado el Valor Presente (VP) de $10.000.
Notar que $10.000 = $9.523,81×(1.05).
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4.1 El Caso de un Solo Período: Valor Presente
En el caso de un período, la fórmula para VP puede ser escrita como:
Dónde C1 es un flujo de caja a la fecha 1 y
r es la tasa de interés apropiada.
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4.1 El Caso de un Solo Período: Valor Actual Neto
ElValor Actual Neto (VAN) de una inversión es el valor presente de los flujos de caja esperados, menos el costo de la inversión.
Suponga que una inversión que promete pagar $10.000 en un año es ofrecida por $9.500. La tasa de interés es 5%. ¿Se debería aceptar?
Sí!
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4.1 El Caso de un Solo Período: Valor Actual Neto
En el caso de un período, la fórmula para el VAN puede ser escrita como:
Si no hubiesemos tomado el proyecto con VAN positivo del slide anterior, y hubiesemos invertido los $9.500 en otra cosa al 5%, el VF sería menor que los $10,000 prometidos por la inversión y estaríamos indudablemente peor también en términos de VF:
$9.500×(1.05) = $9.975 < $10.000.
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4.2 El Caso Multiperíodo: Valor Futuro
La fórmula general para el valor futuro de una inversión sobre varios períodos puede ser escrita como:
VF = C0×(1 + r)T
r es la tasa de interés apropiada, y
T es el número de períodos sobre los cuales el efectivo es invertido.
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4.2 El Caso Multiperíodo: Valor Futuro
Suponga que Jay Ritter invirtió en la Oferta Pública Inicial de la compañía Modigliani. Modigliani paga actualmente un dividendo de $1,10, el cual es esperado a crecer al 40% por año por los próximos 5 años.
Cuál será el dividendo en 5 años?
VF = C0×(1 + r)T
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Valor Futuro y Composición
Note que el dividendo en 5 años, $5,92, es considerablemente más alto que la suma del dividendo original más incrementos de 40% sobre el dividendo original de $1,10:
$5,92 > $1,10 + 5×[$1,10×0.40] = $3,30
Esto es debido a la composición.
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Valor Presente y Composición
¿Cuánto debería un inversionista reservar hoy en orden de tener $20.000, 5 años desde ahora si la tasa presente es 15%?
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¿Cuánto Esperar?
Si depositamos $5.000 hoy en una cuenta que paga 10%, cuánto le toma para crecer a $10.000?
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Asuma que el costo total de la educación universitaria será $50 M cuando un hijo entre a la universidad en 12 años. Se tienen $5 M para invertir hoy. ¿Qué tasa de interés debe ganar la inversión para cubrir el costo de la educación del niño?
¿Qué Tasa es Suficiente?
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4.3 Períodos de Composición
Componer una inversión m veces al año por T años provee una riqueza en valor futuro de:
Por ejemplo, si se invierte $50 por 3 años al 12% compuesto semi-anualmente, la inversión crecerá a:
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Tasa Anual de Interés Efectiva
Una pregunta razonable de hacerse en el ejemplo anterior es ¿Cuál es la tasa anual de interés efectiva sobre la inversión?
La Tasa Anual de Interés Efectiva (EAR) es la tasa anual que daría la misma riqueza final después de 3 años (en el ejemplo):
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Tasa Anual de Interés Efectiva (Cont.)
Así, invertir al 12.36% compuesto anualmente es lo mismo que invertir al 12% compuesto semi-anualmente.
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Composición Continua
La fórmula general para el valor futuro de una inversión compuesta continuamente sobre varios períodos puede ser escrita como:
VF = C0×erT
r es la tasa de interés estipulada anualmente,
T es el número de períodos sobre los cuales el efectivo es invertido, y
e es el número trascendental aproximadamente 2,718.
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Perpetuidad Creciente
Una corriente de flujos de caja que crecen a una tasa constante infinitamente.
Anualidad
Una corriente constante de flujos de caja que duran un número fijo de períodos.
Anualidad Creciente
Una corriente de flujos de caja que crecen a una tasa constante por un número fijo de períodos.
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Perpetuidad
…
La fórmula para el valor presente de una perpetuidad es:
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C
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Perpetuidad: Ejemplo
¿Cuál es el valor de un consol que promete pagar £15 cada año, hasta que el Sol se convierta en un gigante rojo y deje al planeta como papita frita?
La tasa de interés es 10%.
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Perpetuidad Creciente
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La fórmula para el valor presente de una perpetuidad creciente es:
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Perpetuidad Creciente: Ejemplo
El dividendo esperado para el próximo año es $1,30 y se espera que crezca al 5% por siempre.
Si la tasa de descuento es 10%, ¿Cuál es el valor de esta corriente de dividendos prometidos?
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Anualidad
Una corriente de flujos de caja constantes por un plazo fijo.
La fórmula para el valor presente de una anualidad es:
0
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C
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Anualidad: Ejemplo
Si se pueden pagar $400k mensuales por un auto, ¿Qué tan caro puede ser el auto a comprar si la tasa de interés es de 7% en un préstamo de 36 meses?
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Anualidad Creciente
Una corriente de flujos de caja creciente por un plazo fijo.
La fórmula para el valor presente de una anualidad creciente es:
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Anualidad Creciente: Ejemplo
Un plan de retiro ofrece pagar $200.000 por año por 40 años e incrementar el pago anual en 3% cada año. ¿Cuál es el valor presente de este plan de retiro si la tasa de descuento es 10%?
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Las tasas de interés son expresadas comúnmente sobre una base anual, pero existen arreglos con tasas de interés compuestas semi-anualmente, trimestralmente, mensualmente e incluso continuamente.
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05.1
000.10$
81,523.9$
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