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2次の実対称行列の対角化
戸瀬 信之
AhPa1 S_PC1*h
kyRN年 y8月 �i 2K�i?X>*
戸瀬 信之 UAhPa1 S_PC1*hV 2 次の実対称行列の対角化kyRN 年 y8 月 �i 2K�i?X>* R f
Rj
Intro Lee 05 Pat 02
a.pt?でヨ回転
で、簱な点器に 爨
A = (まる ) は、- A
also11
たい =は こつ、いいかい) - 4
=a2-7× t f = A - 1 ) (小 6)
な ので A の 固有値 が 1, 6 .
1日 有 ベクトル
T が高い 峠のは (ながしま )っと (い た- A ) (なに か ぼが〇⇒ (さこ ) しま ) =で も 2つけ y = 0
(な) = ( En) = a (う) にも o ) が 固有ベクトル ・
tlgragsc EEA)しま) =た 。⇐」 (法)ほ) -で も が 28=0 た方 に、 )Aた= G 'にしない ( 望 ) = y (1 ) とも) が 固有ベクトル全て
。
だいたい~
蟲○節など𤎼のとてもと の
がないい た市 に、 )ら がT
に は、 心に高い ) や
"
は 四 車でない ができ t
AR = ( AT AE ) = I 6で ) = 何か町二 R で 8 ) ぼ。
玿i. が +6で
Ri 正 目 り 。
1で AR = ( ) が 回転行が-[ ( A はす ほ ) ) = 5 つに +4 に y +25 ニ
. . . .
A= (足 ) ほに R (さいか
がほに して)回転座標変換
.
A = (た ) R=高 (うら) が AR =( Y )い) 車2 .せまい
(な) = R (らい そん
こ らがいい 。 「って
→ し てた が ほ) . entire- にしてる )鳳鼎別
部(剝 = が しな ) = が時に 吹き的
」= は信に し てい S
驊州
(A (ま ) 、 ほ ) ) = 5が+4xyt yて 「 R = が
iyndi) = は RAR (えろ ぼ)= ( MARは、 倒 ) = ( し た )的 (別( 二 ( 信で
、動 たい 。ご
ど な 面2 → 内また を 得っ
こく が A (前 にとか)はそ)
はt.TO、鰶 ら = 一
2次実対称行列の固有⽅程式
2次正⽅行列 A = a cc b
!の固有多項式
�A(�) = |�I2 � A|
=
������� � a �c�c � � b
������
= �2 � (a + b)� + ab � c2
2次⽅程式�A(�) = 0の判別式 U/Bb+`BKBM�MiV
D = (a + b)2 � 4(ab � c2) = (a � b)2 + 4c2 � 0
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a, e, CE 1R .
× (けいと)
ffsmheした)
terre- 示せるか ?
P. 830 のとき ptq= o ←→ p = q = 0 .
2次実対称行列の固有⽅程式 ULQX kV
定理 2次実対称行列の固有値は実数である。注意 D = 0のとき
a = b, c = 0 従って A = aI2
以下 D > 0とする。�A(�) = 0の 2解を ↵と �として
↵ , �
このとき↵ + � = a + b, ↵� = ab � c2 = det(A)
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にと○ でも OK 。
-
Act)
= ハ - Late) × t at.cl二 Cx-2) CX - P )
↵ , �のときの固有ベクトル(準備)
定理 B 2 M2(R)とする。このとき ~x, ~y 2 R2 に対して
(B~x, ~y) = (~x, t B~y)
(証明)
(B~x, ~y) = (x1~b1 + x2~b2, ~y) = x1(~b1, ~y) + x2(~b2, ~y)
= x1t~b1~y + x2
t~b2~y =0BBBB@~x,
0BBBB@
t~b1~yt~b2~y
1CCCCA1CCCCA = (~x, t B~y)
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Bで EIR2 tBj EはPart 0 1 直交行るり . ( g Kで
GBいい)- でん
)
↵ , �のときの固有ベクトル
定理 A~p1 = ↵~p1、A~p2 = �~p2ならば
(~p1, ~p2) = 0
(証明) t A = Aだから (A~p1, ~p2) = (~p1, A~p2)
(A~p1, ~p2) = (↵~p1, ~p2) = ↵(~p1, ~p2)
(~p1, A~p2) = (~p1, �~p2) = �(~p1, ~p2)
↵(~p1, ~p2) = �(~p1, ~p2) ! (~p1, ~p2) = 0
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Ai 対称 とす
3.mg?i_tAiJ=A.mrne品
実対称行列は回転行列で対角化可能
A~p1 = ↵~p1、A~p2 = �~p2、~pi , ~0(i = 1, 2)とする。
~q1 =1||~p1||
~p1, ~q2 =1||~p2||
~p2
とすると(~q1, ~q2) = 0, ||~q1|| = ||~q2|| = 1
~q1 =
cos ✓sin ✓
!とするとき
~q2 =
� sin ✓cos ✓
!または
sin ✓� cos ✓
!
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risen
- 二認識 が
.io/-.で選ばない 直交 _
Y で二 段
実対称行列は回転行列で対角化可能 ULQXkV
(~q1 ~q2)または (~q1 � ~q2)は回転行列である。定理 2次対称行列 Aは回転行列で対角化可能である。すなわち、回転行列 Rが存在して
AR = R ↵ 00 �
!
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コ A = a (ど ) = (En )
と べとかAR = (8 fs )
「 a =心が (8 g )AR = CAT AT) = は 同 pで)
A で この E→ Aで 二 入 Aで 二 入 の お = の いで ) 」
2次形式の標準形
2次正⽅行列 A = a cc b
!が定める 2次形式
A
xy
!,
xy
!!= ax2 + 2cxy + by2
R�1が回転行列で、内積を保つから
A xy
!,
xy
!!=
R�1 A
xy
!, R�1
xy
!!
=
R�1 AR · R�1
xy
!, R�1
xy
!!
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(な) = RE)がいい GD
t
-。(な) た疒は
2次形式の標準形 ULQXkV
回転座標変換 ⇠⌘
!= R�1
xy
!すなわち
xy
!= ⇠~r1 + ⌘~r2
A
xy
!,
xy
!!=
↵ 00 �
! ⇠⌘
!,
⇠⌘
!!
= ↵⇠2 + �⌘2
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Patdteg 国有 的な 式 」 が IEAに (公 ) たいに 忙し さ、 1
= G - 1 ) ( x - 7) - 1- 4)2
= が -8×-9 A の 固有値 は二 G - 9 ) (かい ) is a = - 1
, 9 .
に_
で は しなに的かだいしま) =習 に芯 )は)っくか xt 2 y = o
=で
→は 二 (な ) = y (かいも 0 ) が 固有ベクトル
がないが高い527 で 自分第i.で
# A (ま に 9 しま ) も (9を- A ) (ま )で⇐」 (きた )は)が(ニ) 2つく - y = 0
(な) = (金 ) = x (え) にも 0) が 固有ベクトル温禰で活に) たくで ない高にし ) は回転
化が 1 .AD = CA が AT ) ことが 9な) = IT) に し )= p (さと )
P は 正はり な ので が AP = HG ) と 回転行列で対角化 。
なにsiii= ぼだ」 (き)= p (え)
(な) = A (ま ) ー るが
劇が (な) a.gg _に
箭漿詠 」奥憖ニに G )は 9だ だ Aほ ) = (高で別
」Thru
= (さい ら
( Aは、となる) はなくない かとなり こくがAP - がくまい がくか )
で一沙「
こ
じいば、(別
( Aは北部) = 0 = -82 +7で②
が 回転 ですら直交 ss
ii.鼈が貎※メ① I
- を 2+9で= 1 -349た fhgyyを = 0,S = エ 1 . J
y
2次形式の正値性
2次形式の正値性(負値性)
(A~v,~v) > 0 (~v , ~0) , ↵, � > 0
(A~v,~v) < 0 (~v , ~0) , ↵, � < 0
正値性について() )R = (~r1 ~r2)のとき
(A~r1,~r1) = (↵~r1,~r1) = ↵ · ||~r1||2 = ↵ > 0
(A~r2,~r2) = (�~r2,~r2) = � · ||~r2||2 = � > 0
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2次形式の正値性 ULQXkV
正値性について(( ) xy
!, ~0 ,
⇠⌘
!, ~0 に注意。
(A~v,~v) = ↵⇠2 + �⌘2 � 0
さらに
↵⇠2 + �⌘2 = 0 ! ↵⇠2 = �⌘2 = 0! ⇠ = ⌘ = 0 ! x = y = 0
LX"X A, B � 0のとき
A + B = 0 , A = B = 0
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2次形式の正値性 ULQXjV
正値性を Aの係数で判定する
↵, � > 0 , a > 0, det(A) = ab � c2 > 0
↵, � < 0 , a < 0, det(A) = ab � c2 > 0
(注意)a + b = ↵ + �と ↵� = ab � c2
(注意)↵, � > 0 , ↵ + � > 0, ↵� > 0(正値性)U)V
ab � c2 = ↵� > 0 ! ab > 0a + b = ↵ + � > 0 ! a + b > 0 ! a, b > 0
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2次形式の正値性 ULQX9V
(正値性)U(V
ab � c2 > 0 ! ab > 0a > 0, ab > 0 ! b > 0
↵ + � = a + b > 0↵� = ab � c2 > 0
注意 det(A) = ab � c2 < 0のとき ↵� < 0
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