introduç˜ao `a dinâmica n˜ao-linear e caos em economia
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Introducao a Dinamica Nao-Linear e
Caos em Economia
Ricardo L. Viana
Programa de Pos-Graduacao em Desenvolvimento Economico
Departamento de Fısica
Universidade Federal do Parana
Curitiba, Parana, Brasil
5 de agosto de 2009
2
Sumario
Introducao 9
I Metodos e Modelos em Dinamica Economica 15
1 Modelos contınuos unidimensionais 17
1.1 Equacoes diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.1 Equacoes diferenciais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.1.2 Existencia e unicidade das solucoes . . . . . . . . . . . . . . 201.1.3 Diagramas de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2 Exemplos em Economia: Modelos de crescimento populacional . . . . 231.2.1 Crescimento exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.2 Crescimento logıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.3 Modelo logıstico e o crescimento demografico . . . . . . . . . 27
1.3 Pontos de equilıbrio e estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.4 Solucoes numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.1 Metodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.4.2 Metodo de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.4.3 Uso de software matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5 Exemplos em Economia: Modelos de crescimento economico . . . . . 441.5.1 Macrovariaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.5.2 Modelo de Domar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.5.3 Modelo de Solow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.6 Equacoes nao-autonomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.7 Exploracao de recursos naturais renovaveis . . . . . . . . . . . . . . 56
1.7.1 Taxa de exploracao constante . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.7.2 Taxa de exploracao proporcional a populacao . . . . . . . . . 581.7.3 Modelo de exploracao com variacoes sazonais . . . . . . . . . 59
1.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2 Modelos contınuos bidimensionais lineares 65
2.1 Matrizes bidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.1.1 Operacoes elementares com matrizes . . . . . . . . . . . . . 652.1.2 Vetores e matrizes coluna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.1.3 Autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2 Modelos bidimensionais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.2.1 Pontos de equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.2.2 Conceitos de estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3
2.2.3 Solucao geral do modelo bidimensional linear . . . . . . . . . 73
2.3 Analise da estabilidade do equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.3.1 Autovalores reais e distintos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.3.2 Autovalores reais e iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.3.3 Autovalores complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.3.4 Criterio geral para estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.4 Exemplo em Economia: Modelo de inflacao e desemprego . . . . . . . 94
2.4.1 Macrovariaveis e logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.4.2 Curva de Phillips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.4.3 Equacoes e hipoteses do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.4.4 Ponto de equilıbrio e sua estabilidade . . . . . . . . . . . . . 98
2.5 Exemplo em Economia: Modelo macroeconomico IS-LM . . . . . . . 101
2.5.1 Macrovariaveis e hipoteses do modelo . . . . . . . . . . . . . 101
2.5.2 Modelo estatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.5.3 Modelo dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.5.4 Ponto de equilıbrio e sua estabilidade . . . . . . . . . . . . . 106
2.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3 Modelos contınuos bidimensionais nao-lineares 111
3.1 Trajetorias no plano de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.1.1 Existencia e unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.2 Diagramas de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.3 Solucoes numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.3.1 Uso de planilhas eletronicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.3.2 Programa em linguagem C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.3.3 Uso de software matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.4 Solucoes de equilıbrio e sua estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.4.1 Pontos hiperbolicos e o Teorema de Hartman e Grobman . . . 129
3.4.2 Exemplos de analise pelo diagramas de fase . . . . . . . . . . 132
3.5 Exemplo em Economia: Modelo de capital fısico e humano . . . . . . 137
3.5.1 Hipoteses do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.5.2 Derivacao das equacoes do modelo . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.5.3 Solucoes de equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.5.4 Diagrama de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.5.5 Estabilidade do equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.6 Direcoes e curvas invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.6.1 Auto-direcoes e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.6.2 Teorema das curvas invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.7 Trajetorias fechadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.7.1 Criterios para impossibilidade de trajetorias fechadas . . . . . 153
3.7.2 Indice de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.7.3 Criterios para existencia de trajetorias fechadas . . . . . . . . 159
3.7.4 Orbitas homoclınicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.8 Exemplo em Economia: Modelo de luta de classes de Goodwin . . . . 166
3.8.1 Macrovariaveis e hipoteses do modelo . . . . . . . . . . . . . 166
3.8.2 Solucoes de equilıbrio e sua estabilidade . . . . . . . . . . . . 169
3.8.3 Diagrama de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.9 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4
4 Modelos contınuos multidimensionais 177
4.1 Complementos de algebra linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1774.1.1 Autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1774.1.2 Espacos e sub-espacos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.1.3 Matrizes semelhantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804.1.4 Formas de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.1.5 Fatos sobre matrizes de terceira ordem . . . . . . . . . . . . 182
4.2 Modelos lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1834.2.1 Solucao geral do modelo linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.3 Solucoes de equilıbrio e sua estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 1864.3.1 Analise da estabilidade do equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . 1864.3.2 Criterio de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1874.3.3 Sub-espacos invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.4 Analise de estabilidade em alguns casos . . . . . . . . . . . . . . . . 1914.4.1 Tres autovalores reais e distintos . . . . . . . . . . . . . . . . 1914.4.2 Dois autovalores complexos e um real . . . . . . . . . . . . . 1934.4.3 Dois autovalores reais repetidos e outro distinto . . . . . . . . 197
4.5 Estabilidade do equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1994.5.1 Variedades invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
4.6 Exemplo em Economia: Modelo WKP de Tobin . . . . . . . . . . . . 2034.6.1 Hipoteses do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2044.6.2 Ponto de equilıbrio e sua estabilidade . . . . . . . . . . . . . 205
4.7 Solucoes numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2074.7.1 Uso de software matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.8 Exemplo em Economia: Modelo de Inovacao Tecnologica . . . . . . . 2174.8.1 Macrovariaveis e hipoteses do modelo . . . . . . . . . . . . . 2174.8.2 Pontos de equilıbrio e sua estabilidade . . . . . . . . . . . . . 2194.8.3 Exemplo numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
4.9 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5 Modelos discretos unidimensionais 227
5.1 Modelos discretos unidimensionais lineares . . . . . . . . . . . . . . 2275.1.1 Modelo discreto afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2275.1.2 Diagramas de escada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2295.1.3 Pontos fixos e sua estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.2 Exemplo em Economia: Modelo linear da teia de aranha . . . . . . . 2335.2.1 Versao tradicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2335.2.2 Expectativas adaptativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
5.3 Modelos discretos unidimensionais nao-lineares . . . . . . . . . . . . 2375.3.1 Modelo logıstico discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.4 Iteracoes sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2395.4.1 Pontos finalmente fixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
5.5 Estabilidade dos Pontos Fixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2425.5.1 Modelo logıstico discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.6 Orbitas periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2445.6.1 Estabilidade das orbitas periodicas . . . . . . . . . . . . . . 2465.6.2 Modelo logıstico discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
5.7 Solucoes numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2505.7.1 Uso de planilhas eletronicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2505.7.2 Programa de computador para iteracoes do modelo discreto . 253
5
5.7.3 Uso de software matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2555.8 Exemplos em Economia: Modelos nao-lineares de teia de aranha . . . 264
5.8.1 Modelo generalizado de teia de aranha . . . . . . . . . . . . 2655.8.2 Modelo generalizado com expectativas adaptativas . . . . . . 2665.8.3 Modelo sigmoide de Hommes . . . . . . . . . . . . . . . . . 2675.8.4 Pontos fixos e sua estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 2695.8.5 D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
5.9 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6 Modelos discretos bidimensionais 277
6.1 Modelos discretos bidimensionais lineares . . . . . . . . . . . . . . . 2776.1.1 Solucao geral do modelo linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
6.2 Estabilidade para modelos lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2796.2.1 Autovalores reais e distintos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2826.2.2 Autovalores reais e iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2866.2.3 Autovalores complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2886.2.4 Criterio geral de estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
6.3 Exemplo em Economia: Modelo de multiplicador-acelerador de Samu-
elson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2966.3.1 Hipoteses e equacoes do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 2966.3.2 Ponto fixo e sua estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
6.4 Modelos discretos bidimensionais nao-lineares . . . . . . . . . . . . . 2996.4.1 Pontos fixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3006.4.2 Orbitas periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
6.5 Estabilidade para modelos bidimensionais nao-lineares . . . . . . . . 3036.5.1 Estabilidade dos pontos fixos . . . . . . . . . . . . . . . . . 3036.5.2 Estabilidade de orbitas periodicas . . . . . . . . . . . . . . . 307
6.6 Direcoes e curvas invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3096.7 Solucoes numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
6.7.1 Uso de planilhas eletronicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3116.7.2 Programa de computador para iteracoes do modelo discreto . 3126.7.3 Uso de software matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
6.8 Exemplo em Economia: Modelo discreto com curva de Phillips nao-linear3166.8.1 Pontos fixos e estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
6.9 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
7 Modelos discretos multidimensionais 325
7.1 Modelos multidimensionais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3257.2 Pontos fixos e estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
7.2.1 Criterio de Jury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3287.2.2 Criterio de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
7.3 Exemplo em Economia: Multiplicadores numa economia aberta . . . . 3337.3.1 Modelo com tres paıses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3337.3.2 Estabilidade do ponto fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3377.3.3 Um caso particular: acoplamento unidirecional . . . . . . . . 338
7.4 Sub-espacos invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3397.5 Analise da estabilidade em alguns casos . . . . . . . . . . . . . . . . 340
7.5.1 Tres autovalores reais e distintos . . . . . . . . . . . . . . . . 3407.5.2 Dois autovalores reais repetidos e outro distinto . . . . . . . . 3417.5.3 Dois autovalores complexos e um real . . . . . . . . . . . . . 342
6
7.6 Modelos multidimensionais nao-lineares . . . . . . . . . . . . . . . . 3447.6.1 Pontos fixos e orbitas periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . 3447.6.2 Estabilidade para modelos nao-lineares . . . . . . . . . . . . 3457.6.3 Pontos Hiperbolicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3467.6.4 Variedades invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
7.7 Exemplo em Economia: Triopolio de Cournot . . . . . . . . . . . 3487.7.1 Variaveis e hipoteses do modelo . . . . . . . . . . . . . . . 3487.7.2 Obtencao do modelo dinamico . . . . . . . . . . . . . . . 3497.7.3 Ponto fixo e equilıbrio de Cournot . . . . . . . . . . . . . 3507.7.4 Estabilidade dos pontos fixos . . . . . . . . . . . . . . . . 3517.7.5 Exemplo numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
7.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
II Dinamica Nao-Linear e Caos 357
8 Bifurcacoes em modelos contınuos unidimensionais 359
8.1 Tipos elementares de bifurcacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3598.2 Bifurcacao do tipo sela-no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
8.2.1 Exemplo em economia: dinamica do mercado de trabalho 3648.3 Bifurcacao do tipo transcrıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3678.4 Exemplo em economia: modelo de crescimento de Solow . . . . . 3708.5 Bifurcacoes do tipo forquilha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3728.6 Exemplo em Economia: Modelo de Ciclos de Comercio . . . . . . 3778.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
9 Bifurcacoes em modelos discretos unidimensionais 3839.1 Diagrama de bifurcacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
9.1.1 Obtencao numerica do diagrama de bifurcacoes . . . . . . 3849.2 Tipos de bifurcacoes em modelos discretos unidimensionais . . . 389
9.2.1 Bifurcacao de duplicacao de perıodo . . . . . . . . . . . . 3909.2.2 Bifurcacao tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3939.2.3 Bifurcacao transcrıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
9.3 Cascata de bifurcacoes de duplicacao de perıodo . . . . . . . . . 3969.3.1 Universalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
9.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
10 Caos em modelos discretos unidimensionais 40110.1 Comportamento caotico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
10.1.1 Aperiodicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40210.1.2 Sensibilidade as condicoes iniciais . . . . . . . . . . . . . . 403
10.2 Janelas periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40610.2.1 “Perıodo 3 implica em caos” . . . . . . . . . . . . . . . . 40810.2.2 Sequencia-U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41010.2.3 Derivada Schwarziana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
10.3 Outras rotas para o caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41210.3.1 Intermitencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41210.3.2 Mecanismo da intermitencia do tipo I . . . . . . . . . . . 41410.3.3 Crise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
10.4 Expoente de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
7
10.4.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42210.4.2 Calculo do expoente de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . 42310.4.3 Um exemplo: o modelo discreto da tenda . . . . . . . . . 424
10.5 Determinacao numerica do expoente de Lyapunov . . . . . . . . 42510.5.1 Uso do Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42710.5.2 Uso do Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42710.5.3 Uso do Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42810.5.4 Diagrama de bifurcacao de Lyapunov . . . . . . . . . . . 42810.5.5 Uso do Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
10.6 Exemplo em Economia: Bifurcacoes e caos num modelo de teiade aranha nao-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43210.6.1 Diagrama de bifurcacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
10.7 Transitividade e caos forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44110.7.1 O deslocamento de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . 44110.7.2 Transitividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44410.7.3 Caos forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44610.7.4 Conjugacao Topologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
10.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
11 Bifurcacoes, caos e fractais em modelos discretos bidimensio-nais 45111.1 Diagrama de bifurcacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
11.1.1 Obtencao numerica do diagrama de bifurcacoes . . . . . . 45111.1.2 Cascata de bifurcacoes de duplicacao de perıodo . . . . . 454
11.2 Sistemas conservativos e dissipativos . . . . . . . . . . . . . . . . 45511.3 Atratores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
11.3.1 Atratores pontuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45911.3.2 Atratores estranhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
11.4 Fractais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46011.4.1 Auto-similaridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46011.4.2 Dimensao de contagem de caixas . . . . . . . . . . . . . . 46111.4.3 Conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46411.4.4 Junta de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46511.4.5 Curva de Koch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46511.4.6 Fractalidade do atrator de Henon . . . . . . . . . . . . . . 467
11.5 Expoentes de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46811.5.1 Dois expoentes negativos (−,−) . . . . . . . . . . . . . . 46911.5.2 Um expoente nulo e outro negativo (0,−) . . . . . . . . . 47011.5.3 Um expoente positivo e outro negativo (+,−) . . . . . . . 47011.5.4 Atrator de Henon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47111.5.5 Mecanismo estica-e-dobra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47211.5.6 Dimensao de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
11.6 Fronteiras fractais de bacias de atracao . . . . . . . . . . . . . . . 47411.7 Crise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
11.7.1 Crise de fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47711.7.2 Crise interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47911.7.3 Crise de fusao de atratores . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
11.8 Aplicacao em Economia: Caos, crise e fractais no modelo de in-flacao-desemprego de Soliman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48011.8.1 Diagrama de bifurcacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
8
11.8.2 Crise e fronteira fractal de bacia . . . . . . . . . . . . . . 482
Apendice A: Numeros complexos 484
Apendice B: Potencias e exponenciais de matrizes na forma deJordan 486.1 Autovalores reais e distintos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.2 Autovalores reais e iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.3 Autovalores complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
Apendice C: Determinacao dos expoentes de Lyapunov para ummodelo discreto bidimensional 489.1 Metodo geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489.2 Metodo de Diagonalizacao de Householder . . . . . . . . . . . . . 491.3 Algoritmo no caso bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.4 Exemplo: o modelo de Henon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
9
10
Introducao
A dinamica economica tem por finalidade estudar a evolucao temporal dasvariaveis economicas atraves de modelos matematicos. Por evolucao tempo-ral entendemos o modo pelo qual tais variaveis mudam seus valores a medidaem que o tempo passa, de um valor inicial ate um valor final (que pode, even-tualmente, ser um tempo infinitamente grande).
Na estatica comparativa, estuda-se a evolucao das variaveis economicas uni-camente no inıcio e no final de um dado processo. No entanto, nao se cogitacomo tais variaveis evoluem no intervalo entre esses tempos inicial e final. Etal conhecimento e frequentemente tao importante como aquele fornecido pelaestatica comparativa.
Consideremos, por exemplo, um modelo do tipo IS-LM, cuja analise estaticae feita em todos os textos de teoria macroeconomica. As variaveis economicassao a renda e a taxa de juros, e seus valores de equilıbrio sao obtidos pelaintersecao das retas IS e LM para os mercados de bens e moeda. Se alterarmosuma das duas variaveis os novos valores de equilıbrio sao obtidos deslocando-se as retas, o que muda a posicao do ponto de intersecao. Desejarıamos, porexemplo, saber mais: como as mudancas nao ocorrem instantaneamente qualdas duas variaveis chega mais rapidamente ao valor de equilıbrio. Alem disso,as variaveis convergem de forma monotonica ou com oscilacoes. Todas essasperguntas so podem ser respondidas uma vez que um modelo dinamico sejaconstruido (o que sera feito no Cap. 2 desse livro).
Modelos em dinamica economica sao amplamente utilizados na formulacaode polıticas macroeconomicas, pois podem ser utilizados para estudar possıveiscenarios que ocorram em funcao de mudancas realizadas nas variaveis dis-ponıveis. Por esse motivo, muitos dos exemplos a serem vistos nesse livro provemda macroeconomia, mas ha tambem varias situacoes em microeconomia ondeproblemas dinamicos sao importantes, como na teoria de formacao de precos,ou na dinamica da concorrencia. Na medida do possıvel tentaremos manter umequilıbrio nessa distribuicao entre exemplos macro e microeconomicos.
Ha diversas abordagens possıveis no estudo da dinamica economica. Umadelas e a analise separada de processos fundamentais, como a dinamica da in-flacao, a formacao de precos (teias de aranha), os modelos IS-LM, e assim pordiante. Outra abordagem, e que sera adotada neste trabalho, e tratar os mode-los gradativamente, partindo dos mais simples em direcao aos mais complexos.Fazemos isso introduzindo os metodos matematicos a medida em que sejamnecessarios, e usando os modelos como exemplos de utilizacao de tais metodos.
Num estudo de modelos dinamicos, seja em que area do conhecimento for,ha varios aspectos envolvidos. Um deles e a descricao matematica da evolucaotemporal do sistema estudado, como ja vimos. Mas tambem sera possıvel, uma
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vez identificado o mecanismo subjacente a dinamica, efetuar previsoes sobre ocomportamento futuro do sistema. Esse aspecto da dinamica e particularmenteimportante pela possibilidade que abre de controlar a evolucao do sistema, pelamanipulacao adequada das variaveis, no sentido de leva-lo a um estado futurodesejado. Esse ultimo enfoque e fundamental na elaboracao e conducao depolıticas macroeconomicas complexas, como inflation targeting por exemplo.
Este livro e dividido em duas partes complementares mas nao totalmenteinterdependentes, cada qual com objetivos bem definidos, e que atendem a de-mandas diferentes de pesquisadores e estudantes de pos-graduacao.
Primeira Parte: Metodos e Modelos em Dinamica Economica
Na primeira parte desse trabalho (que vai dos Capıtulos 1 a 7) objetivamos aapresentacao dos metodos basicos usados na dinamica economica, procurandosempre a maior generalidade, a fim de que o leitor possa usa-los proveitosamenteno estudo dos modelos de seu proprio interesse. Alem do mais, nos exemplos queapresentamos, procuramos nos deter rapidamente na derivacao dos modelos apartir das hipoteses economicas adotadas, de modo a auxiliar o leitor a formularseus proprios modelos, dentro do assunto particular em que trabalhe.
A classificacao dos modelos economicos seguira dois criterios: como o tempoe tratado, e quantas variaveis relevantes sao utilizadas. O tempo e a variavelcentral em modelos da dinamica economica, e que podem ser classificados comocontınuos ou discretos, caso o tempo seja representado por uma variavel real(contınua) ou inteira (discreta), respectivamente. No primeiro caso, temos aschamadas equacoes diferenciais, enquanto no segundo, as equacoes a diferencas.Ambas sao igualmente importantes na dinamica economica, embora os modelosdiscretos tendam a ser mais identificados com a maneira como os variaveis saoobtidos na pratica. Dessa forma, os modelos contınuos constituem uma apro-ximacao, as vezes ate algo grosseira, mas que tem importancia devido a grandequantidade de metodos matematicos disponıveis para equacoes diferenciais.
Por razoes pedagogicas, introduzimos primeiramente os modelos contınuos,ja que os conceitos matematicos envolvidos sao mais familiares aos estudantesque tenham feito um curso basico de calculo diferencial e integral. Alem disso, aapresentacao grafica dos resultados e mais direta para modelos onde o tempo euma variavel contınua. Num segundo momento abordamos os modelos discretos,onde os conceitos e tecnicas matematicas sao as vezes muito parecidos, mas comdiferencas essenciais com modelos contınuos.
O segundo criterio de classificacao dos modelos em dinamica economica eo numero de variaveis de interesse. Adotaremos uma representacao geometricaque introduz espaco abstrato, onde as dimensoes sao essas variaveis, tambemchamado espaco de fase. Por exemplo, no modelo IS-LM comentado anterior-mente, temos duas delas: a taxa de juros e a renda, donde o espaco de fasee bidimensional, assim como o modelo. A maioria dos modelos em dinamicaeconomica contidos em textos basicos de pos-graduacao sao uni e bidimensio-nais, donde o estudo dos mesmos e colocado em grande evidencia nesse trabalho(Capıtulos 1, 2 e 3 para modelos contınuos, e Capıtulos 5 e 6 para modelosdiscretos). No entanto, em estudos mais avancados (sobretudo em macroecono-mia), aparecem modelos com tres ou ate mais dimensoes (Capıtulos 4 e 7 paramodelos contınuos e discretos, respectivamente).
Embora a metodologia deste livro nao seja essencialmente diferente da litera-
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tura existente, adotei uma abordagem na linha da teoria dos sistemas dinamicos.Essa ultima, que tem raizes nos trabalhos matematicos de Henri Poincare nofinal do Seculo XIX, privilegia o conhecimento qualitativo das solucoes, emoposicao a enumeracao de metodos gerais e particulares de solucao dos pro-blemas dinamicos. Tal conhecimento enfatiza solucoes de equilıbrio e sua es-tabilidade, bem como possıveis alteracoes de tais solucoes, como as chamadasbifurcacoes (que sao mudancas qualitativas na natureza das solucoes quando umparametro e alterado).
Nao obstante, em paralelo as definicoes e demais resultados teoricos apre-sentados, procurei tambem dar uma base ao leitor para que este possa obtersolucoes numericas aos seus modelos com o auxılio de diversos recursos com-putacionais. Essa e uma circunstancia motivada pelo fato que apenas modeloslineares tem solucoes analıticas fechadas, o que nos forca ao uso de metodosnumericos se o modelo contiver uma nao-linearidade. E modelos nao-linearessao realmente mais comuns na pratica, embora frequentemente o desejo da sim-plicidade nos leve ao uso de modelos lineares (tratados em especial cuidado noCap. 3).
Uma expressiva fracao da primeira parte pode ser usada num curso basicode metodos quantitativos que enfatize os metodos da dinamica economica. Emparticular, os capıtulos 1, 2, parte do Cap. 3, parte do Cap. 4, 5, 6 e partedo Cap. 7, foram utilizados por mim em uma disciplina dessa natureza nocurso de pos-graduacao em desenvolvimento economico da UFPR, onde dividio programa com outro professor que desenvolveu topicos em otimizacao. Assecoes que constituem esse nucleo duro sao indicadas por asteriscos no livro.
Ja a parte do capıtulo 3 que aborda trajetorias cıclicas, bem como as secoessem asterisco dos capıtulos podem ser usadas em uma disciplina optativa dedinamica nao-linear aplicada a Economia, conforme descrevemos a seguir.
Segunda Parte: Dinamica Nao-linear e Caos em Economia
A segunda parte do livro (Capıtulos 8 e seguintes) aborda topicos mais avancadosem dinamica economica. As abordagens tradicionais (como o que e feito naprimeira parte do livro) tratam essencialmente dos pontos de equilıbrio e suaestabilidade, assim como de ciclos simples. Varias evidencias econometricas,entretanto, sugerem a existencia do que chamamos de dinamica complexa.
Uma dessas situacoes envolve as bifurcacoes que ocorrem nas solucoes de ummodelo quando um parametro e variado. Por exemplo, uma solucao de equilıbriopode perder a sua estabilidade ou mesmo desaparecer nessas circunstancias. Ouentao as solucoes podem tornar-se mais complicadas, mesmo irregulares, comono comportamento caotico.
A dinamica nao-linear, apos decadas de relativo abandono, sofreu um im-pulso consideravel em finais da decada de 70 com a disseminacao do uso de com-putadores pessoais para a solucao de modelos matematicos contınuos e discretos.Solucoes caoticas so podem ser convenientemente estudadas com o auxılio docomputador, com o que profissionais de diversas areas tornaram sua atencaopara as novas perspectivas abertas pela dinamica nao-linear.
Nao tardou muito para que os especialistas em dinamica economica tambemcomecassem a investigar comportamentos complexos em modelos nao-lineares,tanto discretos como contınuos. Por outro lado, acumulam-se evidencias eco-nometricas de que pode haver um componente determinıstico e nao-linear em
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series economicas que justifique o interesse em solucoes caoticas, por exemplo.A possibilidade de comportamento complexo aberta pela nao-linearidade dos
modelos economicos, juntamente com sua observacao empırica em series tempo-rais, torna a Dinamica Nao-Linear um topico de grande interesse na dinamicaeconomica a nıvel de pesquisa e pos-graduacao. Ha varios textos sobre o assuntona literatura, mas nenhum em portugues, na linha que adotamos neste traba-lho. Espero que a abordagem que utilizei, centrada nos aspectos qualitativos dateoria dos sistemas dinamicos, seja capaz de trazer o leitor a beleza conceituale a economia de linguagem que e ganha com esse enfoque. Mesmo o leitor queja tenha conhecimento nessa area, mas com um background dos textos maistradicionais, podera se beneficiar dessa forma atraente de estudar os sistemasdinamicos.
O estudo de bifurcacoes e caos e particularmente simples em modelos discre-tos unidimensionais, sendo por eles que comecaremos nosso estudo sistematico(Capıtulo 8). A extensao dos conceitos a sistemas multidimensionais e o ob-jeto do Capıtulo 9. A identificacao de comportamentos dinamicos em serieseconomicas e financeiras sera vista no Capıtulo 10. O Cap. 11 trata de bi-furcacoes em modelos contınuos, ao passo que o Cap. 12 trata de modelos comretardo.
Os conteudos da segunda parte desse trabalho foram estruturados de formamais ou menos independente, tal que o professor possa usa-los como subsıdiopara uma disciplina optativa de Dinamica Nao-Linear e Caos em Economia.Alem disso, o pesquisador podera encontrar fontes conceituais e bibliograficaspara um aprofundamento ulterior, bem como temas recentes de pesquisa emdinamica economica complexa. Na medida do possıvel, desejamos que o leitorchegue a um ponto onde possa acompanhar uma parte da literatura recentesobre dinamica economica, como o Journal of Economic Dynamics, Journal ofEconomic Behavior and Organization, entre outros.
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Parte I
Metodos e Modelos em
Dinamica Economica
15
Capıtulo 1
Modelos contınuos
unidimensionais
Na Economia, a determinacao dos valores assumidos pelas variaveis dinamicasocorre a intervalos de tempo discretos, que correspondem a anos, meses, sa-fras, estacoes, etc. Entao podemos dizer que modelos discretos seriam maisadequados, sob o ponto de vista da modelagem macro e microeconomica. Noentanto, em varios problemas e conveniente supor que o tempo seja uma variavelcontınua, de modo que a evolucao das variaveis dinamicas seja ditada porequacoes diferenciais, e possamos usar o vasto repertorio de ferramentas dis-ponıveis do calculo diferencial e integral. Formalmente, supomos que os inter-valos de tempo sejam tao pequenos (em comparacao com a escala de temporelevante da situacao estudada) que possamos substituir intervalos finitos detempo por intervalos infinitesimais.
1.1 Equacoes diferenciais
Admitimos a existencia de apenas uma variavel economica, que dependa dotempo continuamente: x = x(t), onde tanto x como t sao numeros reais. A taxainstantanea de variacao temporal de x, que e sua derivada dx/dt, e consideradacomo uma funcao f da variavel x no instante t:
dx(t)
dt= f(x(t), t), (1.1)
onde dizemos que o tempo t e a variavel independente, enquanto x e a variaveldependente. A eq. (1.2) e uma ”equacao diferencial ” de primeira ordem emrelacao ao tempo, pois temos apenas uma derivada de ordem 1. Em diversosproblemas de interesse economico a funcao f nao depende do tempo diretamente,e focalizaremos inicialmente apenas este tipo de equacao, que chamamos deautonoma:
dx
dt= f(x). (1.2)
Como as equacoes diferenciais surgem em modelos de dinamica economica?Vimos que, em princıpio, qualquer modelo dinamico, seja em macro ou em mi-croeconomia, e um modelo discreto, visto que o tempo e sempre uma variavel
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amostrada em intervalos finitos (dias, meses, anos, etc.), ou seja t = 0, 1, 2, . . ..Vamos designar por xt o valor da variavel x no instante t (para distinguir for-malmente do valor da funcao x(t) num modelo contınuo). Um modelo dinamicodiscreto pode ser encarado como uma regra que, dado o valor de x no instantet− 1, fornece o valor de x no instante de tempo posterior t;
xt = F (xt−1), (1.3)
onde F (.) e uma funcao arbitraria do seu argumento. A partir do capıtulo 5,estudaremos com mais detalhes os modelos discretos baseados nesse tipo deequacao, tambem denominada equacao a diferencas, mapeamento, ou simples-mente mapa.
Vamos supor que o intervalo de tempo seja pequeno o suficiente de modo quepossamos substitui-lo por uma diferencial: ∆t ≈ dt. A razao entre a variacaode x e a variacao do tempo, ou razao incremental, sera
xt − xt−1
∆t=
∆x
∆t. (1.4)
Como estamos interessados no caso em que o tempo e uma variavel contınua,formalmente tomamos o limite ∆t→ 0, e a razao incremental torna-se a derivadade x(t) em relacao a variavel t:
lim∆t→0
xt − xt−1
∆t= lim
∆t→0
∆x
∆t=dx
dt. (1.5)
Dada uma condicao inicial, ou seja, um valor para a variavel x no instanteinicial t = 0, denotada x0 = x(0), podemos (sob determinadas condicoes quediscutiremos mais tarde) encontrar uma solucao para a equacao (1.2), que de-signaremos por x = x(t). Em princıpio, conhecida a funcao f(x), e desde queela seja diferenciavel no intervalo de tempo considerado, podemos integrar aequacao (1.2) diretamente para obter a solucao, na forma implıcita, como
∫ x
x0
dx′
f(x′)=
∫ t
0
dt = t, (1.6)
onde x′ e uma variavel de integracao (”muda”). Nem sempre podemos efetuaranaliticamente a integral acima, para uma funcao f(x) arbitraria, mas quasesempre sera possıvel efetuarmos numericamente esta integral, de modo que sejapossıvel conhecer o valor de x para qualquer tempo t posterior (ou anterior),dentro de um certo domınio.
Embora um acompanhamento detalhado da evolucao dinamica da variavelx(t) requeira uma solucao explıcita (analıtica ou numerica) da equacao (1.6),frequentemente sera suficiente investigarmos propriedades gerais destas solucoes.Por exemplo, em Dinamica Economica interessam-nos as chamadas solucoes deequilıbrio ou estacionarias, para as quais as variaveis economicas nao mudamcom o passar do tempo. Alem disso, e importante conhecer a estabilidade detais solucoes, ou seja, como elas se comportam quando variamos ligeiramente osparametros e as condicoes iniciais do modelo. Como veremos, tais informacoessao as vezes ate mais importantes do que o conhecimento detalhado da solucaox(t), e muitas vezes mais faceis de serem obtidas.
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1.1.1 Equacoes diferenciais lineares
Um tipo particularmente importante de equacao diferencial e
dx
dt= ax+ b, (1.7)
onde a e b sao constantes. A sua solucao geral e dada por
x(t) = Ceat − b
a, (1.8)
onde C e uma constante, como podemos verificar por substituicao direta: aderivada de (1.8) e
dx
dt=
d
dt
(
Ceat − b
a
)
= Caeat
= a
(
Ceat − b
a
)
+ b = ax+ b. (1.9)
Como a equacao (1.7) e de primeira ordem em relacao ao tempo, a suasolucao geral (1.8) tem uma constante de integracao C arbitraria. Ela pode serfixada a partir da condicao inicial que adotamos: x(t = 0) = x0. Como
x(0) = C − b
a= x0, (1.10)
segue-se que a constante de integracao e
C = x0 +b
a, (1.11)
de forma que podemos reescrever a solucao geral (1.8) como
x(t) =
(
x0 +b
a
)
eat − b
a. (1.12)
O comportamento desta solucao geral depende do sinal do parametro a. Sea > 0, a solucao x(t) e uma funcao monotonicamente crescente do tempo, e naverdade vai a infinito (diverge) quando t → ∞ [Fig. 1.1(a)]. Por outro lado,se a < 0, a solucao x(t) tende, assintoticamente, ao valor −b/a = +b/|a| paratempos muito grandes, tambem de forma monotonica [Fig. 1.1(b)]. Em ambosos casos, o comportamento assintotico nao depende da condicao inicial.
O caso particular quando b = 0 e muito comum na pratica, descrevendo umasituacao onde a taxa de variacao de uma grandeza e proporcional ao valor atualda propria grandeza:
dx
dt= ax, (1.13)
sendo a a constante de proporcionalidade. A solucao (1.12), dada a condicaoinicial x0, e simplesmente
x(t) = x0eat, (1.14)
e representa, para a > 0, um crescimento exponencial; ao passo que, se a < 0,um decrescimento exponencial, tal que x tende a zero quando o tempo tende ainfinito.
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0 1 2 3 4 5t
0
6
12
18
x(t)
(a)
x0
0 5 10 15 20t
0
1
2
3
4
5
6
7
x(t)
(b)
x02
x01
Figura 1.1: Solucoes do fluxo linear x = ax+ b quando (a) a = 0, 25 > 0, b = 1e x0 = 2; (b) a = −0, 25 < 0, b = 1 e as condicoes iniciais x01 = 6 e x02 = 0, 5,sendo o valor assintotico b/|a| = 4.
1.1.2 Existencia e unicidade das solucoes
A equacao diferencial x = f(x) admite, a partir da condicao inicial x0, umae somente uma solucao. Esta afirmacao baseia-se no teorema de existencia eunicidade para equacoes diferenciais [1, 2, 3].
Teorema 1 (Existencia e Unicidade) Considere a seguinte equacao diferen-cial (problema de valor inicial):
dx
dt= f(x), x(0) = x0,
Suponha que f(x) e sua derivada f ′(x) sejam funcoes contınuas em um intervaloaberto I do eixo real, e suponha que x0 ∈ I. Entao o problema de valor inicialtem uma solucao x(t) para algum intervalo de tempo (−τ, τ) centrado em t = 0;e a solucao e unica.
Em outras palavras, o teorema de existencia e unicidade garante que existeum limite finito τ para o intervalo de tempo, no qual uma solucao x(t) existee e unica, desde que a funcao f(x) seja suficientemente suave. Por ”suficiente-mente suave”, queremos dizer que f(x) nao tenha pontos dentro do intervalo Ronde a derivada nao exista. Um exemplo pode ser visto na figura 1.9(b), ondemostramos o diagrama de fase da equacao
x = |x| =
{
+x, se x ≥ 0,
−x, se x < 0.(1.15)
No ponto x = 0 o campo vetorial f(x) = |x| nao e suave, pois a sua derivadaa esquerda de x = 0 vale −1, enquanto a direita vale +1. Como as derivadasa direita e a esquerda nao coincidem, a derivada de f(x) nao existe no pontox = 0. Neste caso o teorema de existencia e unicidade nao se aplica para todacondicao inicial x0 pertencente a um intervalo aberto arbitrario que contenhao ponto x = 0. Em outras palavras, nao podemos garantir a priori que existauma solucao, e nem que esta solucao (caso exista) seja unica. A mesma coisaocorre quando f(x) nao e contınua em algum ponto do seu domınio.
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-2 -1 0 1 2
-1
0
1
x’
x
(a)
-2 -1 0 1 2
0t
x
−π/2 π/2
(b)
Figura 1.2: (a) Diagrama de fase de x = x1/3. (b) Uma solucao para x = 1+x2.
Consideremos, agora, a equacao
x = x1/3. (1.16)
O ponto x = 0 e um ponto de equilıbrio, logo e uma solucao possıvel para acondicao inicial x0 = 0. No entanto, podemos facilmente encontrar uma segundasolucao para a mesma condicao inicial. Para tal, separamos variaveis de modoque possamos integrar separadamente os dois membros da equacao:
∫dx
x1/3=
∫
dt
3
2x2/3 = t+ C,
onde fundimos as constantes de integracao das duas integrais em uma so (C) .Como x(t = 0) = 0, temos que C = 0. Logo
x(t) =
(2
3t
)3/2
(1.17)
tambem e uma solucao possıvel, violando a unicidade das solucoes. Na verdade,neste exemplo podemos encontrar um numero infinitamente grande de solucoes,a partir da mesma condicao inicial x0 = 0. O diagrama de fase da equacao(1.16), mostrado na figura 1.2(a), indica que: (i) o ponto de equilıbrio x = 0 einstavel; (ii) como o grafico de f(x) e tangente ao eixo das ordenadas, a derivadaf ′(0) e infinita. Neste caso, o teorema de existencia e unicidade tambem naopode ser utilizado, pois f ′(x) nao e contınua em x = 0.
Outro ponto relevante e que o teorema de existencia e unicidade nao garantea existencia de solucoes para um tempo arbitrariamente grande. Ele apenasafirma a existencia de um tempo maximo τ para o qual as solucoes existemdentro do intervalo (−τ,+τ) centrado em t = 0. Um exemplo de solucao queexiste apenas ate um tempo finito e apresentado pela equacao
x = 1 + x2. (1.18)
Aqui, novamente, podemos separar variaveis para integrar ambos os lados:∫
dx
1 + x2=
∫
dt
arctanx = t+ C.
21
Com a condicao inicial x(0) = x0 = 0 obtemos C = 0. Logo, a solucao edada por
x(t) = tan t. (1.19)
Pelas propriedades da funcao tangente, sabemos que a solucao acima somenteexiste no intervalo de tempo −π/2 < t < +π/2, ja que a tangente vai a infinitonos pontos ±π/2, e a solucao x(t) diverge nestes pontos [Figura 1.2(b)]. Logo,mesmo o teorema de existencia e unicidade sendo aplicavel neste caso, nao segarante a existencia de solucoes para tempos arbitrariamente. Neste exemplo,o teorema aplica-se somente ate τ = π/2.
1.1.3 Diagramas de fase
E possıvel determinar analiticamente as solucoes de modelos contınuos unidi-mensionais da forma
dx
dt= f(x), (1.20)
mesmo quando a funcao f(x) e nao-linear, embora este procedimento estejalimitado a relativamente poucos casos, como a equacao logıstica. Mesmo emcasos onde nao podemos encontrar uma solucao analıtica fechada, ou ainda emcasos onde essa solucao possa existir mas seja muito complicada, podemos usartecnicas que focalizam nao a solucao em si, mas comportamentos qualitativosgerais das mesmas, como equilıbrio e estabilidade. Uma tecnica apropriadapara isso e a do diagrama de fase, e que permite uma serie de conclusoes uteisa respeito do sistema, prescindindo de uma solucao analıtica ou numerica paratodos os instantes de tempo.
O diagrama de fase e um grafico da funcao f(x) versus x. Se x fosse in-terpretado como a posicao de uma partıcula hipotetica movendo-se numa reta,entao x = dx/dt seria sua velocidade. Logo, a funcao f(x) forneceria o valor davelocidade da ”partıcula” para qualquer valor de sua posicao. Como a veloci-dade e uma grandeza vetorial (isto e, tem intensidade, direcao e sentido), usa-secomumente o termo campo vetorial para f(x). Desenhamos flechas no eixo xpara indicar o sentido da velocidade para cada valor de x: as flechas apontampara a direita se x e positivo, e para a esquerda se x for negativo.
Considere a chamada equacao logıstica, que sera vista com mais detalhes naproxima secao
dx
dt= rx(1 − x). (1.21)
O diagrama de fase esta representado na figura (1.3): o grafico de f(x) =rx(1 − x) e uma parabola com concavidade para cima, quando r > 0, e queintercepta o eixo das abscissas no ponto x = 1. Como x tem valores positivose negativos, as flechas tambem apontam em sentidos alternados. Por exemplo,para x entre 0 e 1, como x > 0 a flecha aponta para a direita, indicando que,se uma partıcula hipotetica fosse colocada em qualquer ponto x dentro desseintervalo, a sua velocidade seria para a direita, fazendo a partıcula deslocar-senessa direcao. Isso ocorre para qualquer ponto deste intervalo, entao podemospensar nas partıculas como uma especie de ”fluido” que desloca-se para a direitaem direcao ao ponto x = 1.
Como, no intervalo seguinte x > 1 o fluido escoaria para a esquerda (jaque x < 0), podemos imaginar que o ponto x = 1 funciona como um ”ralo”, ou
22
x
x
.
0 1
Figura 1.3: Diagrama de fase do fluxo x = rx(1 − x)
sumidouro desse fluido imaginario, que identificamos como o ”fluxo” das solucoesda equacao diferencial (1.27). A forma exata de como o fluxo se comportadepende, e claro, da solucao x(t). Entretanto, se o que nos interessa e apenas ocomportamento geral da solucao, podemos dizer imediatamente que uma solucaox(t) cuja condicao inicial pertence ao intervalo aberto 0 < x < 1 tende, com opassar do tempo para o ponto x = 1.
Este e um exemplo de ponto de equilıbrio, como veremos na proxima secao.Neste caso, se colocassemos a condicao inicial exatamente em x = 1, a solucaogerada seria simplesmente x(t) = 1 para todos os tempos posteriores. Alemdisso, x = 1 e um ponto estavel, pois qualquer perturbacao do mesmo gerariauma nova condicao inicial na sua vizinhanca, e a solucao que resultaria dessanova condicao inicial tenderia a voltar ao ponto x = 1. Assim como as solucoesaparentam ser atraidas pelo ponto x = 1, elas parecem ser repelidas pelo pontox = 0. O ponto x = 0 tambem e um equilıbrio possıvel (se nos iniciassemosa trajetoria exatamente em x = 0, ela permaneceria nesse ponto para todos ostempos posteriores), mas ele e instavel, pois qualquer pertubacao nos levariapara longe de x = 0.
1.2 Exemplos em economia: modelos de cresci-
mento populacional
Modelos de crescimento populacional estao presentes em varias aplicacoes emeconomia. Alem disso, eles se constituem em ilustrativas aplicacoes dos conceitose tecnicas empregadas em modelos contınuos unidimensionais.
1.2.1 Crescimento exponencial
Uma populacao biologica com alimento suficiente, espaco para crescer e ausenciade predadores reproduz-se e aumenta exponencialmente, de acordo com o mo-delo que veremos a seguir. Numa populacao animal, por exemplo, e costumefazer a contagem a tempos regulares, como anos ou meses, os quais podemosrepresentar por uma variavel discreta t = 0, 1, 2, . . .. Vamos designar por Pt o
23
0 1 2 3 4 5 6 7 8t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P(t
)/P 0
(a)
0 5 10 15 20t
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
P(t
)/P 0
(b)
Figura 1.4: Solucoes do modelo Malthusiano quando (a) r = 0, 3 > 0; (b)a = −0, 3 < 0.
tamanho da populacao no instante t. Quando a populacao e pouco numerosa,a cada perıodo t esta aumenta de um numero R, que e da ordem de 2 a 3 paramamıferos de pequeno porte. Logo, a populacao num instante t e dada, emfuncao da populacao no instante anterior, t− 1, pela relacao
Pt = RPt−1. (1.22)
Subtraindo Pt−1 em ambos os membros de (1.22) e dividindo por ∆t = 1, temosuma razao incremental
Pt − Pt−1
1= RPt−1 − Pt−1
∆Pt
∆t= (R− 1)Pt−1.
Formalmente, tomando o limite quando ∆t → 0, obtemos a derivada dafuncao populacao P (t), a qual satisfaz a seguinte equacao diferencial:
dP
dt= rP, (1.23)
onde
r ≡ R− 1 (1.24)
e a taxa de crescimento da populacao, igual a diferenca entre a taxa de nata-lidade e mortalidade. Se a primeira e maior do que a segunda (nascem maisindivıduos do que morrem), a taxa r e positiva; caso contrario r e negativa.
A equacao (1.23) e linear da forma (1.13), donde sua solucao e, de (1.14),dada por
P (t) = P0ert, (1.25)
sendo P0 = P (t = 0) a condicao inicial. Caso r > 0 essa solucao implica numcrescimento exponencial, ou seja, aumento ilimitado da populacao [Fig. 1.4(a)].Se r < 0, por outro lado, o decrescimo e exponencial, com a populacao extintaa longo prazo [Fig. 1.4(b)].
Associamos esse modelo ao nome de Thomas Malthus que, em seu ”Ensaiosobre o princıpio da populacao” (1798), estimou que a populacao da Inglaterra
24
0 K
r
P´/P
P
(a)
0 10 20 30t
1
2
3
4
5
6
P(t
)/P 0
(b)
Figura 1.5: (a) Taxa de crescimento per capita no modelo de crescimentologıstico.(b) Aumento populacional no modelo de crescimento logıstico (1.33)com r = 0, 3 e K = 5P0. A curva tracejada refere-se ao modelo de crescimentoexponencial com o mesmo valor de r.
dobrava seu valor a cada intervalo de 25 anos. Tomando t = 25 em (1.25), temosque a populacao sera o dobro da inicial quando
P (t = 25) = P0e25t = 2P0,
de modo que, simplificando P0 e aplicando logaritmos neperianos em ambos osmembros, obtemos
t =ln 2
25≈ 0, 028,
o que equivale a uma taxa de crescimento ligeiramente positiva. O cresci-mento ilimitado da populacao preconizado pelo modelo exponencial fez comque Malthus previsse para o futuro fome e miseria, uma vez que a producao dealimentos nao seguiria a mesma progressao que o aumento populacional.
1.2.2 Crescimento logıstico
Pierre-Francois Verhulst sugeriu, em 1838, que a previsao de Malthus exageravana capacidade que uma populacao tem de se multiplicar, dentro de restricoesnaturais. Na verdade, ha varios fatores que limitam o numero de indivıduos quepodem co-habitar em uma regiao geografica limitada, e com uma capacidadelimitada de producao de alimentos. A taxa de crescimento per capita P /P , queera uma constante (r) no modelo de Malthus, diminuiria na medida em que apopulacao aumentasse, podendo inclusive tornar-se negativa se P fosse maiorque um valor limite K, denominado capacidade de sustentacao [3].
Verhulst ainda propos que, se a populacao fosse pequena o suficiente, a suataxa de crescimento seria praticamente igual ao valor Malthusiano r. Numaprimeira aproximacao, a taxa de crescimento diminuiria linearmente com a po-pulacao [Figura 1.5(a)]:
P
P= r
(
1 − P
K
)
, (1.26)
de modo que, quando a populacao se aproximasse do seu valor limite K, essataxa seria muito pequena, e inclusive poderia ser negativa se, eventualmente, a
25
populacao excedesse K. Passando P para o segundo membro, decorre imedia-tamente a chamada equacao logıstica
dP
dt= rP
(
1 − P
K
)
. (1.27)
Vamos definir uma populacao ”reduzida” dividindo-a pelo seu valor crıticoK, que e a capacidade de sustentacao.
x ≡ P
K, (1.28)
Desta forma, enquanto P mede-se em numero de habitantes, x torna-se umaquantidade normalizada, ou seja, e um numero sem unidades. Com esta re-definicao, temos que mudar tambem a derivada temporal que, pela regra dacadeia, fornece
dP
dt=dP
dx
dx
dt= K
dx
dt, (1.29)
a qual, substituida em (1.27) fornece,
Kdx
dt= rKx(1 − x),
Apos a divisao de ambos os membros por K teremos a equacao logıstica nor-malizada
dx
dt= rx(1 − x). (1.30)
Essa equacao, embora seja nao-linear, pois contem um termo quadratico, tema particularidade de poder ser resolvida analiticamente. Separando as variaveis,como em (1.6), e integrando a partir da condicao inicial x(0) = x0:
∫ x
x0
dx
x(1 − x)=
∫ t
0
rdt (1.31)
Como r e constante, a segunda integral fornece simplemesmente rt. Ja a integralno primeiro membro pode ser encontrada numa tabela de integrais [4],
ln
(x
x− 1
)∣∣∣∣
x
x0
= rt
Pela definicao de integral definida,
ln
(x
x0
x0 − 1
x− 1
)
= rt
x
x0
x0 − 1
x− 1= ert
x(x0 − 1) = ertx0(x− 1).
Finalmente, isolando a variavel x obtemos, apos uma algebra elementar, asolucao geral da equacao logıstica
x(t) =x0
x0 + (1 − x0)e−rt. (1.32)
26
Tabela 1.1: Populacao dos Estados Unidos (em milhoes de habitantes). As deri-vadas foram calculadas a partir da prescricao de intervalos simetricos (1.34)[5].
Para as aplicacoes demograficas a serem detalhadas na proxima sub-secao,sera conveniente retornar a variavel original P = Kx. Colocando em (1.32)teremos
P
K=
P0/KP0
K +(1 − P0
K
)e−rt
onde P0 = Kx0 e a populacao inicial, de modo que, multiplicando ambos osmembros por K chega-se a
P (t) =KP0
P0 + (K − P0)e−rt(1.33)
a qual e mostrada na figura 1.5(b); onde tambem nos comparamos a solucaode (1.27) com a previsao do modelo Malthusiano, de crescimento exponencial,para o mesmo valor de r > 0. Vemos que, para populacao pequena, ambosos modelos produzem resultados muito parecidos. Para valores maiores de P ,entretanto, os modelos vao fornecendo solucoes progressivamente divergentes.Em particular, o modelo logıstico preve que, para t→ ∞, a populacao realmenteaproxima-se assintoticamente da capacidade de sustentacao K, como imaginadopor Verhulst. Com efeito, tomando o limite t→ ∞ em (1.33), obtemos
limt→∞
P (t) =KP0
P0 + 0= K.
1.2.3 Modelo logıstico e o crescimento demografico
Verhulst dispunha, em 1840, dos dados referentes aos primeiro cinco recensea-mentos feitos nos Estados Unidos [vide Tabela 1.1], e com base neles ajustou acurva de crescimento populacional previsto pelo modelo logıstico, Eq. (1.33) [5].
27
1790 1840 1890 1940 1990 2040 2090ano
0
50
100
150
200
250
300
P(t
) (m
ilhõe
s de
hab
itant
es)
dados do censoajuste ao modelo logístico (até 1940)
Figura 1.6: Crescimento populacional nos Estados Unidos de acordo com o mo-delo logıstico (1.33). Os sımbolos representam os valores constantes da Tabela1.1.
Com isso, fez uma previsao para a populacao americana em 1940 (um seculodepois) que foi verificada com um erro menor do que 1%. No entanto, comopodemos observar pela figura 1.6, foi justamente apos o censo de 1940 que osdados comecaram a nao ser mais descritos pelo modelo logıstico. Pelo contrario,os dados mais recentes sugerem que o crescimento americano pode ser melhordescrito pelo modelo exponencial Malthusiano.
Na figura 1.6, a curva representando a solucao prevista pelo modelo logısticofoi obtida a partir da analise dos dados da Tabela 1.1 somente ate 1940 [5]. APara estimar os parametros do modelo necessarios ao ajuste da curva logıstica,foi necessario inicialmente estudar a dependencia da taxa de aumento per capitaem funcao da populacao, conforme a Eq. (1.26). Inicialmente temos de estimaros valores das derivadas dP/dt a partir dos dados disponıveis. Podemos usardiferencas simetricas, como ilustrado pela Fig. 1.7(a), tal que a derivada a umdado ano do censo e aproximadamente a taxa de variacao comecando 10 anosantes, e terminando 10 anos depois. Por exemplo, o valor da derivada em 1830sera
(dP
dt
)
t=1830
=P (1840) − P (1820)
1840 − 1820=
17, 069 − 9, 638
20= 0, 37155, (1.34)
de modo que podemos calcular a razao P /P para todos os anos, desde queconhecamos pelo menos o valor da populacao um ano antes e um ano depois.Por isso, para o perıodo entre 1790 e 1940 nos computamos os dados entre 1800e 1930, conforme as duas ultimas colunas na Tabela 1.1. Com estes dados,construimos o grafico de P /P versus P [Fig. 1.7(b)]. Usando regressao linear,
28
������
������
��������
������
������
18301820 1840
(a)
0 50 100 150
P (milhões de habitantes)0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
P’/P
(po
r an
o)
0,0318 - 0,00017 P
(b)
Figura 1.7: (a) Determinacao da derivada a partir de intervalos simetricos. (b)P /P versus P para os dados do censo americano, de 1790 a 1940. A reta foiobtida a partir de regressao linear.
podemos ajustar uma reta aos dados
dP/dt
P= 0, 0318 − 0, 00017P. (1.35)
Comparando a equacao da reta ajustada aos dados com (1.26), concluimosque o parametro r e o coeficiente linear da reta ajustada, ou seja, 0, 0318; aopasso que a capacidade de sustentacaoK = −r/m = 187, 9, ondem = −0, 00017e o coeficiente angular da reta ajustada. A curva na Figura 1.6 foi construida apartir desses valores, mais P0 = 3, 929, que era a populacao quando o censo foiiniciado em 1790 (considerado o ponto onde t = 0). Observamos que a populacaomaxima prevista pelo modelo logıstico, K = 187, 9 milhoes de habitantes, seriaatingida por volta do ano 2050. O fato dos dados ajustarem-se bem ao modelologıstico somente ate 1940 indica que os pressupostos de Verhulst nao mais seaplicariam nos anos posteriores. Realmente, a partir do final da Segunda GuerraMundial, houve um aumento populacional sem precedentes nos Estados Unidos(chamado ”baby-boom”), causado pelo otimismo originado pela vitoria militaracompanhada pelo progresso economico.
1.3 Pontos de equilıbrio e estabilidade
Podemos, pois, formalizar estas observacoes. A partıcula hipotetica que usamosna secao anterior para exemplificar o comportamento das solucoes e chamadade ponto de fase, e a solucao x(t) (a partir de uma dada condicao inicial) etambem denominada de trajetoria de fase. O ponto de equilıbrio, ou ponto fixo,denotado por x∗, da equacao dx/dt = f(x), e definido pela condicao
x∗ = f(x∗) = 0, (1.36)
ou seja, se colocarmos uma condicao inicial exatamente sobre ele x0 = x∗, asolucao seria
x(t) = x∗ = constante, (1.37)
29
para todos os tempos posteriores. De (1.36) vemos imediatamente que os pon-tos fixos, no diagrama de fase, podem ser identificados como os zeros do campovetorial f(x), ou seja, os pontos onde o grafico de f(x) intercepta o eixo hori-zontal.
Mesmo uma vez conhecida uma solucao de equilıbrio, interessa-nos sabercomo ela se comporta quando alteramos ligeiramente as condicoes iniciais doproblema. Uma analogia fısica permite entender melhor essa questao: umabanqueta com tres pernas seguramente representa uma situacao de equilıbrio.Melhor ainda: esse equilıbrio e estavel, pois se retirarmos ligeiramente a ban-queta dessa situacao (tombando-a por um pequeno angulo, por exemplo), elavoltara com o tempo a situacao original de equilıbrio. E e por isso mesmo quea banqueta e util. Considere, no entanto, que a banqueta tivesse apenas umaperna. Do ponto de vista puramente mecanico, esta ainda e uma solucao deequilıbrio (um equiibrista, por exemplo, poderia manter-se sobre ela com a ne-cessaria habilidade). No entanto, ninguem gostaria de sentar-se numa banquetaassim! Por que? Pois ela e instavel, ou seja, se retirarmos ligeiramente a ban-queta da sua posicao de equilıbrio ela tombara rapidamente. A moral da historiae que nao basta encontrarmos solucoes de equilıbrio; e mister que saibamos sesao ou nao estaveis.
A determinacao da estabilidade de um ponto de equilıbrio de um modelocontınuo unidimensional pode ser feita de duas formas: qualitativamente, pelaobservacao do diagrama de fase; e quantitativamente: pela analise do compor-tamento de pequenos desvios em relacao a solucao de equilıbrio. Este segundometodo e, de certa forma, uma formalizacao do procedimento ilustrado anterior-mente pelo problema da banqueta. Para verificar a estabilidade da sua posicaode equilıbrio, nos ”perturbamos” a mesma e verificamos o que ocorre: se o des-vio, quando tombamos ligeiramente a banqueta, diminui tendendo a zero como passar do tempo, o equilıbrio e estavel. Caso contrario, se o desvio aumentacom o tempo, levando o sistema para longe da solucao de equilıbrio, o mesmosera instavel.
Seja x∗ um ponto de equilıbrio do campo vetorial x = f(x). Para investigar-mos sua estabilidade consideramos uma solucao proxima ao ponto de equilıbrio,na forma
x(t) = x∗ + δ(t), (1.38)
onde δ(t) e uma funcao definida como sendo o desvio da solucao em relacao aoponto de equilıbrio. Como estamos supondo que a solucao x(t) nao difere muitoda de equilıbrio, os desvios correspondentes devem ser sempre ”pequenos”, ouseja, o valor absoluto da funcao, |δ(t)|, deve ser sempre muito menor que o valorabsoluto da solucao de equilıbrio |x∗|. Na pratica, basta exigir que |δ(t)| ≪ 1para todos os tempos t dentro de um intervalo suficientemente longo. Logo,este metodo investiga a estabilidade local, ou seja, apenas nas proximidades doponto de equilıbrio.
Em seguida, estudamos o comportamento dos desvios δ(t) = x(t) − x∗ como passar do tempo. Isso pode ser feito linearizando, como veremos, o campovetorial na vizinhanca proxima a x∗, e analisando a solucao que, neste caso,pode ser obtida imediatamente. Caso os valores absolutos dos desvios |δ(t)|diminuirem gradualmente com o tempo, retornamos ao ponto de equilıbrio que,neste caso, e dito assintoticamente estavel. Caso contrario, se as perturbacoesaumentam com o tempo em valores absolutos, o ponto de equilıbrio sera entao
30
f ′(x∗) < 0 x∗ e estavelf ′(x∗) > 0 x∗ e instavelf ′(x∗) = 0 o criterio de linearizacao falha
Tabela 1.2: Estabilidade do ponto de equilıbrio de um modelo contınuo unidi-mensional
dito instavel.Substituindo x(t) = x∗ + δ(t) na equacao diferencial x = f(x) temos
dδ
dt=
d
dt(x(t) − x∗) =
dx
dt= f(x) = f(x∗ + δ), (1.39)
ja que, sendo x∗ uma constante, sua derivada temporal e nula. Se os desviosforem suficientemente pequenas (|δ(t)| ≪ 1) nos podemos expandir o campovetorial f(x) em serie de Taylor em torno de x = x∗:
f(x∗ + δ) = f(x∗) + δ
(df
dx
)
x=x∗
+ ..., (1.40)
onde desprezamos os termos de ordem igual ou superior a δ2, por serem muitomenores que δ. Lembramos que para que esta linearizacao seja valida, os valoresabsolutos de δ devem ser suficientemente pequenos. Por exemplo, se, para umcerto valor do tempo, temos que δ = 0, 1, entao δ2 = 0, 01 ≪ 0, 1, δ3 = 0, 001 ≪0, 1, e assim por diante. Desta forma, o erro cometido neste truncamento esempre significativamente menor que os termos que estamos retendo.
Definindo a seguinte constante
a ≡(df
dx
)
x=x∗
= f ′(x∗), (1.41)
e igualando (1.39) a (1.40), obtemos a seguinte equacao diferencial para o com-portamento das perturbacoes:
dδ
dt= aδ, (1.42)
onde usamos que f(x∗) = 0.A equacao linearizada (1.42) pode ser resolvida analiticamente, sendo ela
um caso particular da eq. (1.7) para b = 0. A sua solucao sera, em vista de(1.14), dada por
δ(t) = δ0eat, (1.43)
onde δ0 e a perturbacao inicial (no instante t = 0). O comportamento dasperturbacoes depende do sinal do coeficiente a: se a < 0 as perturbacoes tendema zero com o passar do tempo [Fig. 1.8(a)], de modo que o ponto fixo x∗ eassintoticamente estavel. Se a > 0, as perturbacoes crescem monotonicamentecom o tempo, e x∗ e instavel [Fig. 1.8(b)]. Temos, pois, o criterio de estabilidadelinear sintetizado na Tabela 1.3
Por ”falha do criterio”, queremos dizer que a linearizacao efetuada nao esuficiente para esclarecer se o ponto fixo e ou nao estavel. Se a = 0, (1.43)fornece δ(t) = δ0 para todos os tempos, ou seja, os desvios nao tornam-se maioresnem menores com o tempo, e nao se pode concluir algo sobre a estabilidade por
31
(a) (b)
a < 0a > 0
o tt
δ
δ
δ
δo
Figura 1.8: Solucao geral do fluxo linear (1.42), para (a) a < 0; (b) a > 0.
esse processo. Neste caso, e necessario analisar o campo vetorial f(x) com maisdetalhes.
No exemplo da equacao logıstica, x = rx(1 − x), os pontos fixos serao assolucoes da equacao quadratica
f(x∗) = rx∗(1 − x∗) = 0, (1.44)
de forma que x∗1 = 0 e x∗2 = 1 (estes sao os pontos onde a funcao f(x) cruza oeixo das abscissas no diagrama de fase). Para determinar sua estabilidade, noscalculamos inicialmente a derivada da funcao
f ′(x) = r(1 − 2x). (1.45)
Como a(x∗1) = f ′(0) = r > 0, o ponto de equilıbrio na origem x∗1 = 0 e instavelpara todo r positivo, ao passo que, como a(x∗2) = f ′(1) = −r < 0, o segundoponto de equilıbrio, x∗1 = 1, e assintoticamente estavel. Estas conclusoes jaforam antecipadas, como vimos, pela mera inspecao do diagrama de fase cor-respondente.
Se a = 0 o criterio que introduzimos falha, pois nao podemos dizer nadasobre a estabilidade do ponto fixo unicamente por meio da sua linearizacao.Neste caso, temos de olhar (no diagrama de fase) o campo vetorial nao-linearpara dizermos algo sobre a estabilidade de x∗. Por exemplo, consideremos ocampo vetorial
dx
dt= −x3, (1.46)
O seu ponto fixo e a origem (pois f(x∗) = x∗3 = 0), com um coeficiente dadopor
a =
∣∣∣∣
df
dx
∣∣∣∣x∗=0
= 3x∗2 = 0. (1.47)
No entanto, se analisarmos o diagrama de fase deste campo vetorial [Fig. 1.9(a)]vemos que ele e estavel, pois o fluxo e atraido por x∗ = 0 dos dois lados. Nestecaso, como a = 0, foi imperativo olharmos para a nao-linearidade de f(x) paradecidir sobre a estabilidade do ponto fixo.
32
-2 -1 0 1 2
-5
0
5
x’
x
(a)
-2 -1 0 1 2
0
1
2
x’
x
(b)
Figura 1.9: Diagrama de fase de (a) x = −x3;(b) x = |x|.
1.4 Solucoes numericas
A enfase que colocamos nas propriedades das solucoes para grandes intervalosde tempo nao pode nos alienar do que ocorre entre a condicao inicial t = 0 eo ponto de equilıbrio para o qual as solucoes eventualmente convergem quandot → ∞. Principalmente em dinamica economica, o comportamento transitorioe muito importante, e depende de um conhecimento mınimo das solucoes daequacao diferencial x = f(x). No caso linear, a solucao analıtica da equacaox = ax+ b permite-nos dizer que, tanto no caso divergente a > 0 como no casoconvergente a < 0 as solucoes x(t) tem um comportamento monotonicamentecrescente ou decrescente, respectivamente. Nao ha convergencia ou divergenciaoscilatorias; assim como nao existem solucoes periodicas, ou seja, solucoes queretornam periodicamente aos mesmos valores das variaveis. Veremos que taisfatos so comecam a ocorrer quando consideramos modelos com duas ou maisdimensoes.
Mesmo para as equacoes nao-lineares, as trajetorias podem aproximar de umponto fixo, ou entao divergir, sendo estas as unicas possibilidades para modeloscontınuos unidimensionais. Comportamentos oscilatorios aqui sao impossıveis,pois a velocidade do ponto de fase (no diagrama de fase) nunca muda de direcao.Logo, as propriedades gerais do comportamento transitorio sao as mesmas noscasos linear e nao-linear. Podemos tambem perguntar qual o valor (mesmoaproximado) de x(t) para um certo valor do tempo t. Neste caso, e forcoso utili-zar a solucao analıtica (se houver), ou entao resolver numericamente a equacaodiferencial. Os metodos numericos baseiam-se, por sua vez, numa discretizacaotanto da variavel independente (no caso, o tempo), como tambem da derivadaexistente na equacao diferencial.
1.4.1 Metodo de Euler
A solucao numerica x = x(t) de uma equacao do tipo x = f(x), sujeita acondicao inicial x0 = x(0), e obtida discretizando o tempo, fazendo-o assumiros valores t0, t1, t2, etc., onde tk = k(∆t), e ∆t e um intervalo que denominamosde ”passo da integracao”. A solucao, por sua vez, sera composta de um numerofinito de pontos x1 = x(t1), x2 = x(t2), x3 = x(t3), etc., onde xk ≡ x(tk) Figura1.10].
O metodo mais sımples, embora pouco preciso, para obter a solucao, e ometodo de Euler: supondo que o passo ∆t seja suficientemente pequeno, pode-
33
x
x
x
x
x
0
1
2
t t t t
t
1 2 43
4
3
∆ t
x
Figura 1.10: Discretizacao da solucao de uma equacao diferencial.
mos substituir a derivada temporal pela taxa de variacao
dx
dt≈ x(tk + ∆t) − x(tk)
∆t, (1.48)
de modo que a equacao diferencial e discretizada como
x(tk + ∆t) − x(tk)
∆t= f(x(tk)), (1.49)
tal quexk+1 = x(tk+1) = x(tk) + f(x(tk))∆t = xk + f(xk)∆t, (1.50)
ondetk+1 = tk + ∆t. (1.51)
A partir da condicao inicial x(t0 = 0) = x0 os pontos seguintes da solucaosao dados por (1.50) como:
x1 = x0 + f(x0)∆t (1.52)
x2 = x1 + f(x1)∆t, (1.53)
e assim por diante.Suponhamos que seja conhecida a solucao exata (analıtica) x(t) para a
condicao inicial x0. Nesse caso, podemos estimar, a cada etapa da integracaonumerica, o erro absoluto cometido:
Ek = |xk − x(tk)|. (1.54)
O metodo de Euler e de primeira ordem no passo, ou seja, em geral o erroaumenta linearmente com o passo de integracao: Ek ∝ (∆t)
1, como pode ser
mostrado a partir da Eq. (1.50). Em geral, se o passo de integracao for pequeno(da ordem de 0.1 ou inferior) e o tempo total de integracao nao for muito grande(da ordem de algumas dezenas de iteracoes numericas), o metodo de Eulerfornece resultados bons, mas certamente nao-satisfatorios em todos os casos.
34
Figura 1.11: Planilha e grafico da solucao da Eq. 1.55 para a condicao inicialx0 = 0, 1
Uso de planilhas eletronicas
A aplicacao computacional do metodo de Euler para a solucao numerica de umaequacao pode ser feita, por exemplo, usando uma planilha eletronica. Planilhaseletronicas sao bastante usadas para tabulacao e analise de dados. Elas tem,ainda, recursos graficos que permitem a visualizacao dos resultados [6].
Vamos exemplificar o procedimento para a equacao
x = f(x) = x(1 − 2x), (1.55)
usando como condicao inicial x0 = 0, 1, tendo como passo de integracao ∆t =0, 1 para integrar de t = 0 ate t = 1, 5. Isso vai requerer (1, 5 − 0)/0, 1 = 15iteracoes da equacao do metodo de Euler, Eq. (1.50). Na Fig. 1.11 reproduzimosa planilha correspondente a solucao desejada.
Uma planilha eletronica e constituida de celulas associadas a linhas (nume-radas como 1, 2, . . .) e colunas (indexadas por letras: A,B,C, . . .). A celula B2,por exemplo, encontra-se na intersecao da linha 2 com a coluna B. Na plani-lha mostrada na Fig. 1.11 a celula D3 esta ocupada pelas palavras ’dt=’ pararepresentar o sımbolo ∆t, e colocamos o seu valor (0, 1) na celula E3. O valorde x0 (0, 1), e posto na celula B6. A equacao do metodo de Euler, Eq. (1.52),e escrita simbolicamente na celula B7 de forma que o valor de x1 e dado por
= B6 +B6 ∗ (1 − 2 ∗B6) ∗ $E$3 (1.56)
onde o sımbolo $E$3 indica o endereco absoluto da variavel (a planilha semprebuscara o valor de ∆t na celula E3). Ja B6 e um endereco relativo. O numero nacelula B6 e copiado na area de transferencia (“clipboard ”). O valor armazenadona area de transferencia e copiado catorze (= 15 − 1) vezes para baixo, o quepode ser feito com o mouse copiando a celula e colando em bloco. O resultadoe o conjunto das quinze primeiras iteracoes do metodo de Euler na segundacoluna. Na primeira coluna representamos os valores do tempo colocando na
35
Figura 1.12: Planilha e grafico da solucao da Eq. 1.55 para a condicao inicialx0 = 0, 8
celula A7 a formula para o incremento do tempo (1.51)
= A6 + $E$3 (1.57)
que e copiada e colada nas celulas embaixo. Os valores de ambas variaveispodem ser mostradas em um grafico xt ”versus” t usando-se os recursos graficosespecıficos da planilha (veja a figura 1.11).
A operacao de colar em bloco faz cada celula referenciar a celula anterior,que e justamente o princıpio de recorrencia envolvido no metodo de Euler. Porexemplo, se deslocarmos o cursor (usando o mouse) para a celula B8, ondeencontra-s e o valor da segunda iteracao x2, vemos a seguinte operacao simbolica:= B7 + B7 ∗ (1 − 2 ∗ B7)∗E3, e assim por diante, ate o ultimo valor de t quecolocamos nas celulas da coluna A. Caso quisessemos obter as 50 primeirasiteracoes do metodo, colar a celula B7 no bloco que abrange todos estes valores,fazendo uma operacao semelhante para os valores do tempo na coluna A.
Uma das vantagens de usar uma planilha eletronica e a possibilidade de re-fazer os calculos simplesmente atualizando os valores das celulas. Suponha, porexemplo, que desejassemos refazer a sequencia de iteracoes para outro valor dacondicao inicial, digamos 0, 8. Para tal, basta alterar o valor de x0 na celula B6,de modo que os valores de x(t) na coluna B sao atualizados simultaneamente,bem como o grafico [Fig. 1.12]. Desta forma, podemos experimentar variaspossibilidades, tanto em termos da condicao inicial, como dos parametros daequacao diferencial, e tambem do passo de integracao [7, 6].
Programa de computador para solucao pelo metodo de Euler
Uma outra alternativa e escrever um programa para essa finalidade numa lin-guagem como C, Fortran, Pascal, etc. Vamos considerar a mesma equacao resol-vida anteriormente com o auxılio da planilha eletronica. Mostramos abaixo umprograma de computador, escrito na linguagem C, para resolver essa equacao,usando como condicao inicial x0 = 0, 1, e os valores dos parametros a = 1 e
36
b = 2, tendo como passo de integracao ∆t = 0, 1. Esse programa pode serfacilmente editado para incluir outros modelos contınuos unidimensionais.
/* euler.c: metodo de Euler para solucao numerica de um modelo
continuo unidimensional especificado na subrotina f
Saida dos dados no arquivo euler.dat (tabela com duas colunas) */
#include <stdio.h>
#include <math.h>
FILE *fp;
double f(double arg), fexato(double arg);
main( )
{
int k, points; /* declaracoes de variaveis */
double x, x_k, x_0, t_0, t_k, t_f, delta, err;
fp = fopen("euler.dat","w");/* abre arquivo */
points = 100; /* numero total de iteracoes */
x_0 = 0.1; /* condicao inicial */
t_0 = 0.0; /* tempo inicial */
t_f = 10.0; /* tempo final */
delta = fabs(t_f - t_0)/points; /* passo da integracao */
x_k = x_0; /* inicializa o valor de x_k */
t_k = t_0; /* inicializa o valor de t_k */
k = 0;
x = x_0;
err = 0.0;
fprintf(fp,"%d %f %f %f %f\n",k,t_k,x_k,x,err); /* imprime
condicoes iniciais no arquivo de saida */
for (k = 1; k <= points; ++k) { /* varre os valores de k */
t_k = t_k + delta; /* incremento no tempo */
x_k = x_k + f(x_k)*delta; /* calculo das iteracoes */
x = fexato(t_k); /* resultado exato */
err = fabs(x - x_k); /* erro em cada passo */
fprintf(fp,"%d %f %f %f %f\n",k,t_k,x_k,x,err); /* imprime
resultados no arquivo de saida */
}
fclose(fp); /* fecha o arquivo de dados */
}
/* especifica a equacao */
double f(double arg)
{
double a, b;
a = 1.0;
b = 2.0;
return(arg*(a - b*arg));
}
37
k tk xk x exato erro0 0.0 0.100000 0.100000 0.0000001 0.1 0.108000 0.108240 0.0002402 0.2 0.116467 0.116961 0.0004943 0.3 0.125401 0.126158 0.0007574 0.4 0.134796 0.135822 0.0010265 0.5 0.144642 0.145938 0.00129610 1.0 0.199848 0.202305 0.00245620 2.0 0.322278 0.324393 0.00211530 3.0 0.417431 0.416963 0.00046840 4.0 0.467362 0.465869 0.00149250 5.0 0.488059 0.486878 0.001181100 10.0 0.499937 0.499909 0.000028110 11.0 0.499978 0.499967 0.000011120 12.0 0.499992 0.499988 0.000005130 13.0 0.499997 0.499995 0.000002140 14.0 0.499999 0.499998 0.000001150 15.0 0.500000 0.499999 0.000000
Tabela 1.3: Algumas iteracoes do metodo de Euler para solucao numerica daequacao x′ = x(1 − 2x) com x0 = 0, 1.
/* especifica a solucao exata (analitica) */
double fexato(double arg)
{
double x_0,a,b,num,denom;
x_0 = 0.1;
a = 1.0;
b = 2.0;
num = a*x_0;
denom = (a - b*x_0)*exp(-a*arg) + b*x_0;
return(num/denom);
}
E interessante comparar a solucao numerica pelo metodo de Euler com asolucao analıtica para estimar o erro cometido na discretizacao da derivadatemporal. A equacao (1.55) pode ser resolvida analiticamente, tendo comoresultado:
x(t) =ax0
(a− bx0)e−at + bx0. (1.58)
Mostramos, na tabela 1.4.1, uma sequencia representativa de iteracoes do metodode Euler, mostrando a solucao numerica (xk), a analıtica (x(tk)) e o erro emcada etapa. Foi utilizado um passo de integracao igual a ∆ = 0.1.
Observe que, ao longo das 20 primeiras iteracoes do metodo de Euler, asolucao numerica afasta-se da exata; e posteriormente aproxima-se da mesma.Na Fig. 1.13 nos representamos graficamente as solucoes numerica e analıtica,esta ultima dada por (1.58). As solucoes praticamente coincidem, como podemos
38
0 2 4 6 8 100
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
solução numéricasolução analítica
4 5 60,45
0,475
0,5
Figura 1.13: Solucao numerica da equacao (1.55) pelo metodo de Euler.
observar na ampliacao de parte do grafico na Fig. 1.13. Em particular, ambasas solucoes convervem, para tempos grandes, para o valor 0, 5. De fato, sendoa > 0 e tomando o limite quando t→ ∞ em (1.58) temos que
limt→∞
x(t) =a
b=
1
2. (1.59)
Podemos refinar o metodo de Euler substituindo a derivada de f(.) no comecodo intervalo tk+1 − tk pela media das derivadas nos extremos. Para tal fazemosinicialmente uma tentativa como em (1.50):
xk → xk+1 = xk + f(xk)∆t. (1.60)
Depois tiramos a media nos extremos do intervalo:
xk → xk+1 = xk +
[f(xk) + f(xk+1)
2
]
∆t. (1.61)
E possıvel mostrar que, nesse caso, o erro cometido aumenta com o quadrado dopasso de integracao, Ek ∝ (∆t)
2. Como o passo e usualmente um numero muito
pequeno, (∆t ≪ 1), entao o erro propaga-se mais lentamente com o passar dotempo nessa versao mais refinada do metodo. Nesse caso, para um mesmo valordo passo, mais iteracoes do metodo podem ser realizadas com relativa confianca.
1.4.2 Metodo de Runge-Kutta
Podemos, no entanto, ir mais alem em busca de erros menores e, consequente-mente, resultados numericos mais confiaveis. Isso torna-se imperioso em mo-delos multidimensional, especialmente aqueles com dinamica complexa, devidoa riqueza de possibilidades para as trajetorias, o que nos exige uma precisaobem maior que a fornecida pelo metodo de Euler. Um metodo bastante util emuito usado em diversas aplicacoes, mesmo as que envolvem dinamica caotica,
39
(a) (b)
t t
soluçao"verdadeira"
soluçaonumerica
∆∆∆ t t t t t∆ t∆∆
Figura 1.14: (a) Uma solucao suave pode ser obtida com passos de integracaorelativamente grandes, ao passo que (b) solucoes com variacoes em pequenasescalas de tempo exigem passos de integracao muito menores.
e devido a Runge e Kutta. Ele e de quarta ordem, ou seja, o erro e E ∼ (∆t)4,
sendo pois muito mais preciso que o metodo de Euler, para um mesmo valor dopasso de integracao.
Seja, pois, o modelo unidimensional x = f(x) com a condicao inicial x(0) =x0. Partindo do valor xk no inıcio do intervalo (tk, tk+1), definimos uma primeiravariavel auxiliar r1, a qual e dada pela mesma formula do metodo de Euler
r1 = f(xk)∆t (1.62)
Definimos uma novas variaveis auxiliares r2 ate r4 dadas por (as respectivasdeducoes podem ser encontradas na Ref. [8], por exemplo)
r2 = f
(
xk +1
2r1
)
∆t, (1.63)
r3 = f
(
xk +1
2r2
)
∆t (1.64)
r4 = f (xk + r3) ∆t (1.65)
tal que o valor da variavel x no final deste intervalo, ou seja, em t = tk+1, seradado por:
xk+1 = xk +1
6(r1x + 2r2x + 2r3x + r4x) . (1.66)
Varios autores generalizaram as formulas de Runge e Kutta para obtermetodos de ordens bastante altas, como 12 ou ate mais. No entanto, um pro-blema comum aos metodos de Euler e de Runge-Kutta, tal como foram apresen-tados aqui, e o uso de um passo de integracao fixo ∆t. Se a solucao x(t) e umacurva que varia suavemente com o tempo, a escolha do passo de integracao naoe tao crıtica, pois a interpolacao obtida ligando os pontos aproxima-se uniforme-mente da solucao ”verdadeira” do problema [Fig. 1.14(a)]. Por outro lado, casoa solucao apresente variacoes repentinas numa escala de tempo muito pequena,um passo de integracao grande demais pode ignorar tais variacoes, fornecendoum resultado bastante diferente do verdadeiro [Fig. 1.14(b)].
Poderıamos ainda objetar que, escolhendo o menor passo possıvel estarıamospreparados para tais problemas. No entanto, essa nao e definitivamente uma
40
boa solucao, pois um passo pequeno demais implica num tempo de computacaomuito alto. Alem disso, boa parte desse tempo pode estar sendo gasto em tre-chos suaves da solucao, onde bastaria um passo menor. Por esse motivo, umrecurso extremamente util e o passo variavel, ou seja, o programa aumenta oudiminui automaticamente o passo de integracao conforme isso seja necessario.Boa parte dos metodos ”profissionais” usados para integracao emprega tais re-cursos, como as adaptacoes do metodo de Runge-Kutta propostas por Merson,Gill, e Fehlberg, entre outros. Maiores detalhes sobre metodos numericos podemser encontrados na monumental obra [9], que traz inclusive codigos em variaslinguagens para construcao de programas de computador.
1.4.3 Uso de software matematico
A solucao numerica de equacoes diferenciais pode ser feita, ainda, com o auxıliode software matematico comercialmente disponıvel em varios ambientes com-putacionais e sistemas operacionais diferentes, como Unix, Linux, Mackintoshe Windows. Estes pacotes oferecem vantagens substanciais em relacao ao pro-cedimento mais trabalhoso de elaborar, compilar e executar um programa, edepois ainda usar um programa grafico:
• Nao e necessario compilar os programas-fonte, pois os pacotes ja vemprontos para ser executados.
• O usuario apenas deve indicar a equacao a ser resolvida, a condicao inicial,os tempos inicial e final, e ainda o passo da integracao.
• A execucao e acompanhada da visualizacao grafica dos resultados.
• A mudanca de equacoes, parametros, e condicoes iniciais e facilmente re-alizada usando os recursos de edicao disponıveis.
A maioria dos softwares matematicos utiliza, para integrar numericamenteequacoes diferenciais ordinarias, metodos do tipo Runge-Kutta ou aperfeicoamentosdeste. Nem sempre conhecemos a priori qual integrador esta sendo usado, porisso tais metodos sao as vezes encarados como ”caixas-pretas”, e e sempre pru-dente tomarmos algumas precaucoes sobre os resultados com eles gerados. Emparticular, e importante conferir a eficacia de nosso pacote, preferencialmenteusando mais de um software dentre os disponıveis pelo usuario, e comparandoos resultados. Por esse motivo, vamos mostrar o uso de tres dos mais conhecidossoftwares matematicos encontrados no mercado brasileiro: o Maple, o Mathe-matica, e o Matlab.
Para exemplificar o uso de alguns desses pacotes, vamos retomar o exemplodas secoes anteriores, acrescentando um parametro variavel para servir comomodelo:
x = f(x) = x(1 − ax), (1.67)
onde a = 2, a condicao inicial e x0 = 0, 1 e integramos de t = 0 ate t = 1, 5,tendo como passo de integracao ∆t = 0, 05.
41
Maple
Maple e um software cientıfico que realiza diversos tipos de calculos, tantonumericos quanto algebricos. Os comandos em Maple podem ser escritos emarquivos chamados worksheets, com a extensao .mws A estrutura de um pro-grama em Maple e bastante semelhante a de outras linguagens como C e Fortran,mas ha varias funcoes pre-definidas que simplificam tarefas padronizadas, comoa solucao de uma equacao diferencial (problema de valor inicial). Nao entrare-mos em detalhes sobre a estrutura dos comandos em geral, mas mostraremosum modelo de worksheet para a solucao da equacao (1.67) que pode ser modifi-cado para todas as equacoes que aparecerao neste capıtulo. Maiores informacoessobre a linguagem e o software podem ser encontradas nas referencias [10, 11].
A funcao pre-definida no Maple para a integracao numerica de equacoesdiferenciais ordinarias e a consequente visualizacao da solucao e DEplot, que eapenas um dos muitos recursos contidos no pacote DEtools. Inicialmente nosespecificamos o valor do parametro a
a := 2:
Observe que o comando de atribuicao e :=, ao inves de =, como na linguagemC, e que o final de uma linha de comando e indicado pelo sımbolo :
O passo seguinte consistem em definir a equacao diferencial deq a ser resol-vida, atraves do comando diff(x(t),t), que especifica x e t como as variaveisdependente e independente, respectivamente:
deq := diff(x(t),t) = x*(1 - a*x):
O pacote DEtools deve ser carregado antes do uso do comando DEplot, daseguinte forma:
with(DEtools):
DEplot( deq, x, t=0..10.0, {x(0)=0.1}, stepsize=0.1,
scene = [t,x], linecolor=black, arrows=none);
onde indicamos a condicao inicial x0 = 0, 1, o intervalo de integracao 0 ≤ t ≤1, 5, e o passo de integracao δt = 0, 1. O comando acima produz o grafico de xversus t [Fig. 1.15].
Mathematica
O Mathematica e um software fabricado e comercializado pela Wolfram ResearchInc. que possui varias ferramentas de calculo algebrico e numerico. Recomenda-mos ao leitor a Referencia [12], que e um detalhado manual de instrucoes dessesoftware (outra boa referencia e [13]). Os comandos em Mathematica sao escri-tos em arquivos chamados notebooks, que tambem contem os graficos e demaisresultados obtidos. Nao e nosso objetivo aqui descrever em detalhes a lingua-gem usada no Mathematica, mas a sintaxe dos seus comandos e relativamentesimples, sendo muito semelhante a das linguagens de programacao. Ao invesde instrucoes detalhadas, mostraremos como e feita a solucao para o exemplodesta secao, que o leitor podera adaptar para a sua propria equacao, quandonecessario.
A funcao NDSolve e usada para resolver numericamente equacoes diferenciaisordinarias. Sua sintaxe geral e:
42
0,1
t
1086
x
4
0,5
2
0,4
0,3
0
0,2
Figura 1.15: Solucao numerica da equacao (1.67) usando o Maple.
NDSolve[{deq, x[0]==x0}, x[t], {t, tmin, tmax}]
para resolver a equacao deq (especificada na forma x’[t] == f(x[t]), onde x
e a variavel dependente e t e a variavel independente), com a condicao inicial naforma x[0]==x0, e no intervalo desde tmin ate tmax. No exemplo dessa secao,precisamos especificar antes o valor do parametro a:
a = 2;
depois definir a equacao diferencial
deq = x’[t] == x[t] * (1 - a*x[t]);
para usar NDSolve para obter a solucao numerica com a condicao inicial x(0) =0, 1 no intervalo de t = 0 ate t = 1, 5, que e armazenada na variavel soln:
soln = NDSolve[{deq, x[0]==0.1}, x[t], {t,0,10.0}];
Como desejamos visualizar o grafico de x contra t usamos o comando
Plot[Evaluate[ x[t] /. soln], {t,0,10.0}, AxesLabel -> {‘‘t’’,’’x’’}];
cujo resultado vemos na Figura 1.16.
Matlab
O Matlab e um software cientıfico com diversos recursos de calculo numerico ealgebrico desenvolvido por The MathWorks Inc.. O Matlab conta com varios pa-cotes para solucao numerica de equacoes diferenciais ordinarias, em ordem cres-cente de precisao e capacidade de lidar com equacoes numericamente instaveis(stiff). O proprio manual de referencia do Matlab [14, 15] recomenda que, paraequacoes nao-stiff e se uma precisao muito grande nao for necessaria, devemosusar ode45 pela economia de tempo computacional. Equacoes do tipo stiff exi-gem o uso do comando ode15s, por exemplo.
A sintaxe basica do comando ode45 e
43
2 4 6 8 10t
0.2
0.3
0.4
0.5
x
Figura 1.16: Serie temporal obtida por solucao numerica da equacao o (1.67),usando o Mathematica.
[t,x] = ode45(’funcao’, [tmin:deltat:tmax], x_0);
onde t e x correspondem as variaveis independente e dependente, respectiva-mente, onde tmin e tmax sao os valores inicial e final do tempo, deltat e opasso de integracao, e x0 e a condicao inicial.
A equacao a ser resolvida (1.67) e armazenada num arquivo com extensao.m denominado funcao.m
function xp = funcao(t,x)
% funcao.m
a = 2;
xp = x*(1 - a*x);
de modo que, no exemplo da equacao (1.67), para o intervalo 0 ≤ t ≤ 1.5 compasso de integracao 0, 1, o comando a ser usado e
[t,x] = ode45(’funcao’, [0:0.1:1.5], 0.1);
Para tracar o grafico de x em funcao de t usamos o comando
plot(t,x(:));
cujo resultado pode ser visto na Figura 1.17.
1.5 Exemplos em Economia: modelos de cresci-
mento economico
1.5.1 Macrovariaveis
Em modelos de crescimento economico, destacamos as seguintes macrovariaveisde interesse (consideradas funcoes contınuas do tempo): Y : renda total; Z:
44
0 1 2 3 4 5 6 7 80.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
t
x
Figura 1.17: Serie temporal obtida por solucao numerica da equacao o sistema(1.67), usando o Matlab.
demanda total por bens; C: despesas de consumo; I: investimento; G: gas-tos governamentais. Maiores detalhes sobre a interpretacao economica destasmacrovariaveis podem ser encontradas em textos classicos de Macroeconomia,como [16, 17], dentre outros.
Numa economia fechada (sem considerar importacoes ou exportacoes), e soba hipotese de equilıbrio macroeconomico, a renda total e igual a demanda total,e esta e composta pela soma do consumo, do investimento, e dos gastos dogoverno em cada tempo:
Y (t) = Z(t) = C(t) + I(t) +G(t). (1.68)
Nos suporemos inicialmente, por simplicidade, que tanto o investimentocomo os gastos governamentais sao variaveis exogenas, ou seja, que tem umvalor constante que nao depende da dinamica das outras variaveis (variaveisexogenas sao costumeiramente indicadas por uma barra superior):
I(t) = I , G(t) = G. (1.69)
Desconsiderando o papel de impostos e transferencias governamentais, vamostambem admitir que as despesas de consumo aumentem com a renda sob a formade uma funcao consumo linear afim:
C(t) = ϕ+ γY, (1.70)
onde 0 < γ < 1 e a propensao marginal de consumo; e supomos a existencia deum consumo residual (independente da renda) ϕ > 0. O fato de que γ e posi-tivo traduz a tendencia de aumento do consumo devido ao aumento da rendadisponıvel. Ja a limitacao em γ = 1 decorre da tendencia de consumir apenasparte da renda, poupando o restante da mesma. Estudos econometricos apon-tam valores de γ tipicamente superiores a 0.6. Entao a propensao marginal apoupar, denotada s, e igual ao complemento da propensao marginal a consumir:
45
s = 1 − γ. (1.71)
Substituindo (6.153) em (1.68) temos
Y = ϕ+ γY + I + G
(1 − γ)Y = sY = ϕ+ I + G,
de forma que a renda de equilıbrio sera dada por
Y = YE =ϕ+ I + G
s, (1.72)
onde aparece o multiplicador Keynesiano
1
s=
1
1 − γ. (1.73)
1.5.2 Modelo de Domar
Neste modelo o investimento torna-se uma variavel endogena, a partir da in-troducao das seguintes macrovariaveis adicionais: K(t): estoque de capital;κ(t): producao potencial; tal que o investimento e a taxa de variacao temporaldo estoque de capital:
I(t) =dK(t)
dt, (1.74)
e o fluxo de producao potencial esta relacionado a capacidade produtiva daeconomia.
No modelo de Domar, uma mudanca na taxa anual de investimento produzum efeito tanto sobre a demanda como a capacidade produtiva da economia[18, 19]. Partimos da analise estatica vista na sub-secao anterior, para explicitaro efeito do multiplicador, que quantifica o efeito sobre a demanda de mudancasno investimento I(t). Um aumento em I(t) produz um acrescimo na renda Y (t)dado pelo multiplicador 1/s, ou seja, usando (1.73) e (1.72) temos
∆Y =1
s∆I =
1
1 − γ∆I. (1.75)
Dividindo pelo intervalo de tempo e fazendo-o tender a zero,
dY
dt= lim
∆t→0
∆Y
∆t,
dI
dt= lim
∆t→0
∆I
∆t, (1.76)
teremos a seguinte relacao entre derivadas temporais:
dY
dt=
1
s
dI
dt. (1.77)
Para exprimir o efeito do investimento sobre a capacidade produtiva daeconomia, Domar propos uma relacao linear entre o fluxo de producao potenciale o estoque de capital na forma
κ(t) = ρK(t), (1.78)
46
onde ρ > 0 denota a relacao capacidade produtiva-capital. Diferenciando arelacao acima temos dκ = ρdK, e dividindo pelo intervalo de tempo dt chegamosa relacao
dκ
dt= ρ
dK
dt= ρI. (1.79)
Supomos que, no equilıbrio macroeconomico, a demanda seja igual a ca-pacidade produtiva potencial, de forma que esta seja usada plenamente (semociosidade):
Z(t) = Y (t) = κ(t). (1.80)
Considerando um intervalo de tempo, temos uma igualdade semelhante entrevariacoes (∆Y = ∆κ), bem como as derivadas temporais (fazendo o intervalode tempo tendendo a zero):
dY
dt=dκ
dt. (1.81)
Substituindo (1.77) e (1.79) em (1.81) temos
dY
dt=
1
s
dI
dt= ρI, (1.82)
ou seja,dI
dt= ρsI, (1.83)
que e um modelo unidimensional linear na forma geral x = ax+ b, onde x(t) =I(t), a = ρs e b = 0. Logo, sendo a condicao inicial I(0) = I0, a sua solucao edada por
I(t) = I0eρst. (1.84)
Interpretamos esta solucao como exigindo que, para que seja mantido como tempo o equilıbrio entre a capacidade produtiva e a demanda, o fluxo deinvestimento precisa crescer exatamente a taxa exponencial ρs. Logo, uma vezdeterminados os valores de ρ e s, a trajetoria de crescimento do investimentotorna-se rigidamente determinada, no que se conhece na literatura como ”fioda navalha”. Se a taxa real de crescimento do investimento for maior do queo valor ρs, resulta uma escassez de capacidade produtiva; ao passo que se formenor que ρs, havera um excesso da mesma. A utilizacao plena da capacidadeprodutiva so ocorrera se a taxa for precisamente ρs.
1.5.3 Modelo de Solow
Derivacao do modelo
A existencia de um equilıbrio tao delicado como o fio de navalha do modelode Domar e consequencia da suposicao extremamente restritiva na funcao deproducao κ = f(K) = ρK, de ter apenas o estoque de capital K como variavelindependente. Solow propos a inclusao do emprego, na forma da macrovariavelL(t), indicando a forca de trabalho (numero de empregados mais pessoas pro-curando emprego) [20, 19]. Sendo Q(t) o nıvel lıquido de producao (descontadaa depreciacao), a nova funcao de producao sera
Q = f(K,L), (1.85)
47
no lugar da producao potencial κ do modelo de Domar.Solow supos que a funcao producao tivesse as seguintes propriedades ma-
tematicas: (i) produtos marginais positivos:
∂f(K,L)
∂K> 0
∂f(K,L)
∂L> 0; (1.86)
(ii) rendimentos decrescentes para cada insumo (capital ou trabalho):
∂2f(K,L)
∂K2< 0
∂2f(K,L)
∂L2< 0; (1.87)
(iii) rendimentos sao constantes em escala: aumentando n vezes o nıvel dosinsumos (capital e trabalho), o nıvel de producao aumentara tambem em nvezes, ou seja, a funcao producao f(K,L) e linearmente homogenea de primeirograu: f(nK, nL) = nf(K,L). Fazendo n = 1/L, temos
f
(K
L,L
L
)
= f
(K
L, 1
)
= f(k, 1) =1
Lf(K,L), (1.88)
onde definimos a razao capital/trabalho
k ≡ K
L. (1.89)
Denotando a funcaoφ(k) ≡ f(k, 1), (1.90)
escrevemos a funcao producao homogenea como
Q = f(K,L) = Lφ(k). (1.91)
Derivando a funcao producao em relacao a K temos
∂f(K,L)
∂K= L
dφ(k)
dk
dk
dK= Lφ′(k)
(1
L
)
= φ′(k), (1.92)
onde φ′(k) denota a derivada da funcao φ(.) em relacao a seu argumento, eusamos a regra da cadeia.
Derivando novamente em relacao a k teremos:
∂2f(K,L)
∂K2=dφ(k)
dK=dφ′(k)
dk
dk
dK= φ′′(k)
(1
L
)
. (1.93)
Logo, as condicoes matematicas (1.86)-(1.87) implicam em que
φ′(k) > 0, φ′′(k) < 0, (1.94)
denominadas na literatura condicoes de Inada [21].Para determinar a forma explıcita da funcao producao, Solow supos ainda
que: (iv) e invertida uma proporcao constante s da producao, igual a propensaomarginal para poupar 0 < s < 1:
I(t) =dK(t)
dt= sQ(t), (1.95)
48
(a) (b)
φ
k
φ (k)(k)
k
Figura 1.18: Formas possıveis para a funcao φ(k) com φ′(k) > 0 e (a) φ′′(k) < 0;(b) φ′′(k) > 0.
()v A forca de trabalho cresce exponencialmente (de acordo com o modeloMalthusiano): de (1.25) temos
L(t) = L0eλt, (1.96)
onde L0 e a forca de trabalho no tempo inicial.Substituindo (1.91) e (1.96) em (1.95) temos
dK
dt= sLφ(k) = sL0e
λtφ(k), (1.97)
A derivada de K(t) pode ser escrita, ainda, lembrando que k = K/L, como
dK
dt=
d(Lk)
dt=
d
dt
(L0e
λtk)
(1.98)
= L0eλt dk
dt+ k
d
dt
(L0e
λt)
= L0eλt dk
dt+ kλL0e
λt,
de modo que, igualando (1.97) e (1.98), temos
sL0eλtφ(k) = L0e
λt dk
dt+ kλL0e
λt. (1.99)
Finalmente, dividindo ambos os membros por L0eλt, segue a equacao funda-
mental do modelo de Solow:
dk
dt= sφ(k) − λk. (1.100)
Analise no diagrama de fase
A equacao do modelo de Solow,
k = F (k) ≡ sφ(k) − λk, (1.101)
pode ser interpretada como um modelo contınuo unidimensional nao-linear.Como f(K,L) homogenea de primeiro grau temos que φ(0) = 0, e os argu-mentos k e L devem ser positivos. Alem disso, a condicao φ′(k) > 0 implica
49
k
s φ(k)
λ k
k ∗2
k ∗1= 0
k
k.
k∗0
(a) (b)
Figura 1.19: (a) Pontos de equilıbrio do modelo de Solow. (b) Diagrama de fasegenerico para o modelo de Solow.
que a funcao φ(k) deva ser monotonicamente crescente com k. Ha duas possibi-lidades, mostradas nas Figuras 1.18(a) e (b). No entanto, em vista da segundacondicao de Inada em (1.94), φ′′(k) < 0, apenas a funcao (a) representaria umaalternativa admissıvel no modelo de Solow.
Os pontos de equilıbrio do modelo de Solow k∗ sao dados pela solucao daequacao F (k∗) = 0, ou seja,
λk∗ = sφ(k∗) (1.102)
representando a intersecao dos graficos das funcoes sφ(k) (curva de producao)e λk (reta de perda de capital), como mostrado na Figura 1.19(a). Ha duassolucoes, uma trivial k∗1 = 0 (representando uma situacao onde nao ha capitalenvolvido), e uma nao-trivial k∗2 6= 0.
Podemos, ainda, analisar o diagrama de fase do fluxo k = F (k) esbocadona Figura 1.19(b). O fluxo F (k) tem valores positivos para 0 < k < k∗2 , enegativos para k > k∗2 , o que indica que o ponto de equilıbrio trivial k∗1 = 0e instavel, e o nao-trivial k∗2 e estavel. Partindo de uma condicao inicial k0
ha uma convergencia monotonica para o ponto de equilıbrio k∗2 , que representauma razao capital-trabalho constante no tempo. Do ponto de vista economico,isso significa que, uma vez alcancado este equilıbrio estavel, se a razao entre oestoque de capital K(t) e a forca de trabalho L(t) for constante, o capital crescea mesma taxa (λ)que a forca de trabalho.
Funcao de producao do tipo Cobb-Douglas
Uma funcao de producao homogenea de primeiro grau bastante utilizada e afuncao de Cobb-Douglas [22]:
Y = f(K,L) = KαL1−α, (1.103)
onde 0 < α < 1. A funcao φ(k) sera, portanto
φ(k) =1
Lf(K,L) =
(K
L
)α
= kα, (1.104)
50
de modo que a equacao diferencial fundamental do modelo de Solow e escritacomo
k = F (k) = skα − λk. (1.105)
Os pontos de equilıbrio sao dados por
F (k∗) = k∗(skα−1 − λ) = 0, (1.106)
ou seja
k∗1 = 0, k∗2 =
(λ
s
)1/(α−1)
, (1.107)
que sao as intersecoes entre os graficos de φ(k) e a primeira bissetriz.A estabilidade destes pontos de equilıbrio e determinada pela derivada do
fluxo em relacao a k nestes pontos:
F ′(k) = sαkα−1 − λ, (1.108)
Vamos investigar a estabilidade de k∗1 = 0. Lembremos que, como 0 < α < 1,o expoente α − 1 e negativo, entao se tomarmos o limite k∗1 → 0 em F ′(k∗1)resultara num valor infinito positivo , donde k∗1 = 0 sera sempre um pontode equilıbrio instavel. Ja para o ponto de equilıbrio nao-trivial k∗2 a derivadacorrespondente e
F ′(k∗2) = sαλ
s− λ = λ(α− 1). (1.109)
Como λ > 0 e 0 < α < 1, temos que α − 1 < 0, de modo que a condicaoF ′(k∗2) < 0 e sempre verificada, donde k∗2 e assintoticamente estavel.
Uma peculiaridade da equacao diferencial (1.105) e que podemos resolve-laanaliticamente, fazendo a seguinte transformacao (nao-linear) de variavel [21]:
x = k1−α, (1.110)
cuja derivada temporal e, pela regra da cadeia, dada por
dx
dt=
dx
dk
dk
dt= (1 − α)k−αF (k) = (1 − α)k−α(skα − λk)
= (1 − α)(s− λk1−α) = (1 − α)(s− λx), (1.111)
donde a equacao (1.105) pode ser reescrita como
x = −λ(1 − α)x+ s(1 − α), (1.112)
que e uma equacao linear da forma (1.7), com a = −λ(1 − α) e b = s(1 − α).A solucao geral da equacao do modelo de Solow sera, portanto, dada por
(1.12) como
x(t) =(
x0 −s
λ
)
eλ(α−1)t +s
λ, (1.113)
onde x0 = x(0) e a condicao inicial. Retornando a variavel original teremos
k(t) =[(
k1−α0 − s
λ
)
eλ(α−1)t +s
λ
] 11−α
, (1.114)
51
onde k0 = x1/(1−α)0 e a respectiva condicao inicial. Usando a funcao producao
de Cobb-Douglas (1.103) temos
K
Y=
K
f(K,L)=
K
KαL1−α=
(K
L
)1−α
= k1−α = x, (1.115)
de modo que a transformacao de variavel (1.110) que fizemos para resolver ana-liticamente o modelo e, na verdade, a relacao capital/produto que procuramospara caracterizar o processo de crescimento economico.
Variacoes do modelo de Solow
Podemos incluir dois efeitos no modelo de Solow, sem alterar significativamentesua estrutura e analise: (i) depreciacao do capital, e (ii) progresso tecnologicoexogeno [21]. Supondo que, devido a inflacao por exemplo, o capital seja depre-ciado numa taxa temporal δ > 0, a equacao para o investimento sera:
dK
dt= I(t) − δK(t). (1.116)
No modelo original de Solow, a taxa de crescimento economico dependeessencialmente da taxa de crescimento Malthusiano da forca de trabalho λ.No entanto, e possıvel incluir tambem o efeito do progresso tecnologico, queaumenta a produtividade a uma taxa τ > 0, de modo que a forca de trabalhoefetiva seja dada por
L(t) = L0eλteτt = L0e
νt, (1.117)
onde ν ≡ λ+ τ e a taxa de crescimento efetiva.Substituindo (1.91), (1.95) e (1.117) em (1.116) teremos
K = sQ− δK = sLφ(k) − δkL =
= L0e(λ+τ)t (sφ(k) − δk) . (1.118)
Por outro lado, como K = kL, derivando ambos os lados temos
K = kL+ kL = L0e(λ+τ)t
[
k + k(λ+ τ)]
, (1.119)
de tal modo que, igualando (1.118) e (1.119), chega-se a equacao diferencial
k = F (k) ≡ sφ(k) − (λ+ τ + δ)k. (1.120)
Supondo uma funcao de producao do tipo Cobb-Douglas (1.104) temos entao
k = F (k) ≡ skα − (λ+ τ + δ)k, (1.121)
cujos pontos de equilıbrio sao
k∗1 = 0, k∗2 =
(λ+ τ + δ
s
) 1α−1
. (1.122)
Como a derivada do fluxo e
F ′(k) = sαkα−1 − (λ+ τ + δ), (1.123)
52
k
k
k ∗
(λ+τ+δ)
φ (k)
s φ(k)
∗k
s
a b
a
b
k
k ∗
(λ+τ+δ) k (λ+τ+δ) k
φ(k)s
k ∗
b a
b a
(a) (b)
Figura 1.20: Pontos de equilıbrios do modelo de Solow quando (a) s aumenta;(b) λ aumenta
segue que k∗1 = 0 e instavel, pois a derivada e infinitamente grande (como no casoprecedente, alias); ao passo que k∗2 e assintoticamente estavel, pois a derivada esempre negativa, merce do fato que λ+ τ + δ > 0 e α− 1 < 0.
Representando graficamente tanto a funcao sφ(k) como (λ + τ + δ)k [Fig.1.20(a)] podemos encontrar em suas intersecoes os novos pontos de equilıbrio.Concentremo-nos apenas no ponto nao trivial, k∗2 . Para um dado valor doparametro s = sa, o ponto de equilıbrio seja designado k∗a. Suponhamos que ovalor de s seja aumentado de sa para sb, mantendo os demais parametros fixos.Neste caso, vemos que o ponto de equilıbrio aumenta seu valor, de k∗a para k∗b ,indicando que ha um novo patamar de crescimento economico a uma taxa maiorque a anterior.
Consideremos, agora, o efeito do aumento nos parametros λ, τ ou δ sobre ospontos de equilıbrio [Fig. 1.20(b)], mantendo-se o parametro s fixo. Suponha-mos, por exemplo, que a taxa de crescimento da forca de trabalho cresca de λa
para λb. Nesse caso, a reta de perda de capital fica mais inclinada, isto e, o seucoeficiente angular aumenta; e o ponto de equilıbrio diminui seu valor, de de k∗apara k∗b , indicando um patamar menor de crescimento economico.
1.6 Equacoes nao-autonomas
Quando a variavel independente, ou seja, o tempo t, aparece explicitamente nocampo vetorial f(x, t) nos dizemos que a equacao diferencial correspondente
dx
dt= f(x(t), t), (1.124)
e nao-autonoma. Assim como no caso autonomo, e conveniente comecar pelasequacoes lineares, que podem ser escritas na forma padrao
dx
dt= −G(t)x+ F (t) (1.125)
onde G(t) e F (t) sao funcoes arbitrarias do tempo.Uma propriedade fundamental da Eq. (1.125) e que sua solucao geral gepode
ser escrita como [23]x(t) = xH(t) + xNH(t) (1.126)
53
onde xH(t) e a solucao geral da equacao homogenea correspondente a (1.125),ou seja, a equacao sem o termo dependente unicamente do tempo F (t):
dx
dt= −G(t)x, (1.127)
onde xNH(t) e uma solucao particular da equacao nao-homogenea (1.125).A solucao geral da equacao homogenea (1.127) pode ser encontrada facil-
mente por separacao de variaveis, e e uma generalizacao da solucao geral (1.12)
xH(t) = Ce−R
G(t′)dt′ , (1.128)
onde C e uma constante determinada pela condicao inicial x(0), e usamos osımbolo t′ para enfatizar que e uma variavel de integracao. A prova desseresultado pode ser feita derivando-se (1.128), usando o teorema fundamental docalculo, e substituindo em (1.127), que resultara numa identidade.
Ja a solucao particular da equacao nao-homogenea (1.125) pode ser procu-rada a partir de um metodo chamado variacao de parametros, cuja ideia basicae encontrar uma funcao u(t) tal que possamos escrever
xNH(t) = u(t)e−R
G(t′)dt′ . (1.129)
Um calculo semelhante ao que levou a solucao homogenea fornece [[23], pgs. 61a 63]:
u(t) =
∫
dt′F (t′)eR
G(t′′)dt′′ . (1.130)
tal que, substituindo-se (1.130) em (1.128), e depois (1.128) em (1.126), obtemosa solucao geral da equacao nao-homogenea:
x(t) = Ce−R
G(t′)dt′ + e−R
G(t′)dt′∫
dt′F (t′)eR
G(t′′)dt′′ . (1.131)
Na pratica, no entanto, nao e conveniente o uso da formula geral acima,e sim o procedimento que segue. Multiplicamos (1.131) pelo chamado ”fatorintegrante” e
R
G(t′)dt′ :
xeR
G(t′)dt′ = C +
∫
dt′F (t′)eR
G(t′′)dt′′ , (1.132)
e agora derivamos ambos os membros em relacao ao tempo:
d
dt
[
xeR
G(t′)dt′]
= 0 + F (t)eR
G(t′)dt′ , (1.133)
Fazendo a derivada do produto no lado esquerdo
xeR
G(t′)dt′ + xG(t)eR
G(t′)dt′ = F (t)eR
G(t′)dt′ , (1.134)
e dividindo tudo pelo fator integrante obtemos novamente a forma padrao daequacao:
dx
dt= −G(t)x+ F (t) (1.135)
Dessa forma, um procedimento mais interessante para resolver um modelo nao-autonomo linear e o seguinte [23]:
54
1. Coloque o modelo na forma padrao (1.125);
2. Ache o fator integrante eR
G(t′)dt′ ;
3. Multiplique a equacao na forma padrao pelo fator integrante, de formaque o lado esquerdo da equacao resultante e automaticamente a derivadado produto do fator integrante por t:
d
dt
[
xeR
G(t′)dt′]
= F (t)eR
G(t′)dt′ ; (1.136)
4. Integre ambos os membros da equacao acima.
Como um exemplo sımples, vamos considerar a equacao nao-autonoma
dx
dt= x− t (1.137)
com a condicao inicial x(0) = 4. Comparando com a forma-padrao (1.125) temosque G(t) = 1 e F (t) = t, ambas funcoes contınuas na reta real. Calculamos ofator integrante
eR
G(t′)dt′ = eR
dt′ = et, (1.138)
onde a constante de integracao C nao precisa ser escrita aqui, ja que sera con-siderada apenas no final dos calculos. A equacao (1.136) sera
d
dt
[xet]
= tet, (1.139)
Integrando ambos os lados
∫
d(xet) =
∫
dttet,
xet = et(t− 1) + C,
tal que, dividindo por et chegamos, entao, a solucao geral
x(t) = Ce−t + e−tet(t− 1) = Ce−t + t− 1 (1.140)
Avaliando essa expressao em t = 0 temos que x(0) = C − 1. Como x(0) = 4,entao C = 4 + 1 = 5 e a constante de integracao, com a qual () e escrita como
x(t) = 5e−t + t− 1, (1.141)
cujo comportamento e representado graficamente na Fig. 1.21. Observe quex(t) inicialmente decresce ate um valor mınimo por volta de 1, 6 e depois crescemonotonicamente, indo a infinito para t → ∞. Embora o termo 5e−t decaialogo a zero, quem domina para grandes tempos e o termo linear t − 1, que fazcom que a solucao divirja.
Nem todas as equacoes nao-autonomas (mesmo lineares) tem solucoes analıticas,a nao ser em casos sımples como o do exemplo precedente onde as integrais po-dem ser calculadas numa forma fechada. Em geral, portanto, e necessario utili-zar tecnicas numericas de solucao, como o metodo de Euler visto anteriormente.
55
0 2 4 6 8 10t
0
2
4
6
8
10
x
Figura 1.21: Solucao da equacao (1.137) com a condicao inicial x(0) = 4.
No entanto, em se tratando de equacoes nao-autonomas e necessario fazer umamodificacao para que o modelo torne-se autonomo. Considere a equacao
dx
dt= f(x, t). (1.142)
Se tentarmos usar diretamente a formula do metodo de Euler (1.50) esbarramosna necessidade de expressar o campo vetorial sem o tempo. No entanto, podemosdefinir uma variavel auxiliar y = t, tal que sua derivada seja igual a um. Temos,portanto, um sistema de duas equacoes autonomas:
dx
dt= f(x, y), (1.143)
dy
dt= 1. (1.144)
No Capıtulo (3) vamos abordar a extensao do metodo de Euler para modelosbidimensionais como esse (bem como outros metodos numericos), de modo quepostergaremos a discussao desse tipo de solucao ate la.
1.7 Exploracao de recursos naturais renovaveis
Um dos objetivos da Economia Ambiental e a administracao de recursos re-novaveis, e um problema classico nessa area e a otimizacao de estrategias deexploracao de recursos naturais de ecossistemas [24]. Um modelo sımples paraa evolucao populacional e, como vimos, a equacao logıstica (1.27)
dP
dt= rP
(
1 − P
K
)
.
onde r e a taxa de crescimento, e K a capacidade de sustentacao.
1.7.1 Taxa de exploracao constante
Um modelo muito sımples para a exploracao (via colheita, caca, pesca, etc.) daespecie consiste em incluirmos na equacao logıstica um termo −h, com h > 0
56
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
P
-0,2
-0,1
0
0,1
f(P
)
P1
*P
2
*K/2 K
(rK/4)-h
-h
0 1 2 3 4 5t
-0,5
0
0,5
1
1,5
P(t
)
K
K/2
P1
*
tE
P2
*
Figura 1.22: (a) Diagrama de fase e (b) algumas solucoes possıveis para aequacao (1.145).
constante dito taxa de exploracao.
dP
dt= f(P ) = rP
(
1 − P
K
)
− h. (1.145)
O ponto de equilıbrio P ∗ deve ser a solucao de f(P ∗) = 0, que e uma equacaoquadratica cujas raızes sao
P ∗1,2 =
K ∓√
K2 − (4hK/r)
2. (1.146)
e que, no diagrama de fase da Fig. 1.22(a), sao as intersecoes do grafico de f(P )com o eixo das abscissas.
Pela inspecao da Fig. 1.22(a) concluimos que P ∗1 e um ponto de equilıbrio
instavel, ao passo que P ∗2 representa um equilıbrio assintoticamente estavel. Se a
populacao inicial P0 = P (0) for menor que P ∗1 os valores de P (t) diminuem com o
tempo. No entanto, como a populacao nao pode ter valores negativos, (P (t) ≥ 0)na pratica P (t) tende a zero com o passar do tempo, o que implica na extincaoda especie. Ja se P0 > P ∗
1 os valores da populacao tendem assintoticamentepara o ponto de equilıbrio P ∗
2 , que representa a populacao compatıvel com ataxa de exploracao constante. Algumas solucoes estao representadas na Fig.1.22(b) [veja tambem o Problema 11].
Observe que ha duas solucoes distintas de equilıbrio quando o radicando em(1.146) for positivo, o que implica em
K2 − 4hK
r> 0 ⇒ h < h∗ ≡ rK
4, (1.147)
Ja se h > h∗ nao ha solucoes reais, e portanto nao ha solucao de equilıbrio: sejaqual for a populacao inicial P0 ela tendera assintoticamente a extincao total.O caso limite ocorre quando h = h∗, e havera uma unica solucao de equilıbrio,P ∗ = K/2. Na literatura h∗ e denominada producao maxima sustentavel (PMS)pelo ecossistema.
Clark [[23], pg. 135] apresenta o exemplo das baleias da Antartida, paraas quais estima os valores numericos r = 0, 08 e K = 400.000, ambos comincertezas da ordem de 10%, e tomando o instante t = 0 no ano de 1976, com apopulacao inicial P0 = 70.000. A taxa de producao maxima sustentavel (PMS),
57
neste caso, e h∗ = rK/4 = 8000, compatıvel com uma populacao de equilıbrioP ∗ = K/2 = 200.000. No entanto, como P0 < P ∗ essa taxa de exploracaolevara inexoravelmente a extincao da especie! A taxa de exploracao maximahmax sera, portanto, aquela que permita uma populacao de equilıbrio nao-nula,ou seja, tal que P ∗
1 < P0 e, consequentemente, P (t) → P ∗2 quando t → ∞. Do
Problema 11(b), essa taxa sera
hmax = rP0
(
1 − P0
K
)
= 0, 08 × 70.000
(
1 − 70.000
400.000
)
= 4620. (1.148)
Devemos, no entanto, ter uma certa cautela com essas estimativas, uma vez queos valores de r e K tem margens de erro de ate 10% e, portanto, o valor acimapode ja estar acima do maximo previsto pelo modelo.
1.7.2 Taxa de exploracao proporcional a populacao
Um aperfeicoamento do modelo logıstico consiste em supor a taxa de exploracaocomo sendo linearmente proporcional a populacao, por meio de um termo −EPem (1.27)
dP
dt= f(P ) = rP
(
1 − P
K
)
− EP, (1.149)
onde E > 0 e chamado esforco, e representa a medida do desgaste na exploracaodo recurso na fonte, de modo que este modelo e dito de esforco constante. Osseus pontos de equilıbrio sao
P ∗1 = 0, P ∗
2 = K
(
1 − E
r
)
, (1.150)
tal que P ∗2 existe sempre que E < r, ou seja, que o esforco seja pequeno o
suficiente. Pela analise do diagrama de fase ou pelo criterio de linearizacaoconcluimos que P1∗ = 0 e P ∗
2 sao sempre instavel e estavel, respectivamente(veja o Problema 12).
A taxa de exploracao compatıvel com uma populacao de equilıbrio estavelsera, pois,
EP ∗2 = EK
(
1 − E
r
)
, (1.151)
Para obter a producao maxima sustentavel (PMS) deste modelo, determinamoso extremo da funcao EP ∗
2 em relacao ao esforco. Derivando (1.151) em relacaoa E obtemos:
∂
∂EEP ∗
2 = K − 2KE
r, (1.152)
que sera igual a zero para o esforco maximo Emax = r/2, que e compatıvel comuma populacao
P ∗2 (Emax) = K
(
1 − Emax
r
)
=K
2. (1.153)
Considerando novamente o exemplo das baleias da Antartida, supondo queo esforco seja maximo Emax = 0, 08/2 = 0, 04, teremos que a populacao deequilıbrio sera P ∗
2 = K/2 = 400.000/2 = 200.000 (igual ao modelo onde a taxade exploracao era constante). A taxa de exploracao no primeiro ano sera
EP0 = 0, 04 × 70.000 = 2800,
58
e a producao maxima sustentavel (PMS)
EP ∗2 = 0, 04 × 200.000 = 8000.
tem o mesmo valor previsto no modelo anterior. O uso de uma polıtica de ex-ploracao dependente da populacao e efetivo na recuperacao de especies ameacadasde extincao, pois limita-se severamente a exploracao inicial, para que possa ha-ver uma exploracao anual maior no futuro. Alem disso, como todos os valoresde P0 levam a um ponto de equilıbrio estavel, nao ha os problemas vistos nomodelo onde a taxa de exploracao e mantida constante.
1.7.3 Modelo de exploracao com variacoes sazonais
Uma caracterıstica comum a muitos ecossistemas e a sazonalidade das variacoesambientais, como os ciclos associados as estacoes do ano, e que afetam a dis-ponibiliade de alimento e a area disponıvel para a especie. Por exemplo, noinverno a quantidade de alimento disponıvel diminui pela queda na tempera-tura, a migracao de varias especies, e outros fatores. Neste caso, tanto a taxade crescimento como a capacidade de sustentacao podem ser modelados porfuncoes periodicas do tempo.
Implementamos essa condicao no modelo logıstico impondo que
r → a(t),r
K→ b(t) (1.154)
na Eq. (1.27), onde A(t) e B(t) sao funcoes de perıodo T , ou seja,
A(t+ T ) = A(t), B(t+ T ) = B(t). (1.155)
de modo quedP
dt= P [A(t) −B(t)P ]. (1.156)
A introducao destes termos representando variacoes sazonais torna mais de-licado o modelamento da exploracao, visto que esperam-se solucoes periodicas,onde a populacao tambem cresca nos perıodos de alimento abundante e decrescanaqueles onde ha falta de recursos naturais. Uma estrategia de exploracao nessecaso pode ser implementada por um esforco E(t) dependente do tempo, tambemdenominado polıtica de extracao:
dP
dt= P [A(t) −B(t)P ] − E(t)P. (1.157)
onde podemos supor que E(t) tambem seja uma funcao de perıodo T . Podemosespecificar uma cota mınima Emin e uma cota maxima Emax de extracao, demodo que E(t) ∈ [Emin, Emax]. Essa e uma condicao de vınculo para umproblema de otimizacao que consiste em maximizar um funcional de retornopara o agente extrator [25]. Nao iremos nos deter nesse problema especıfico massim estudar a dinamica da equacao nao-autonoma (1.157). Ela pode tornar-seuma equacao linear, por meio da transformacao de variavel z ≡ 1/P .
Mudando a derivada temporal pela regra da cadeia temos
dP
dt=dP
dz
dz
dt= − 1
z2
dz
dt, (1.158)
59
que, substituida em (1.157), fornece
− 1
z2
dz
dt=
1
z
(
A(t) − B(t)
z
)
− E(t)
z
Multiplicando ambos os membros por −z2 teremos a equacao normalizada
dz
dt= −z[A(t) − E(t)] +B(t). (1.159)
que tem a forma padrao (1.125), desde que facamos as seguintes identificacoes:
x→ z, G(t) → A(t) − E(t), F (t) → b(t). (1.160)
Calculamos o fator integrante
eR
G(t′)dt′ = eR
[A(t′)−E(t′)]dt′ (1.161)
tal que a equacao (1.136) sera
d
dt
[
zeR
[A(t′)−E(t′)]dt′]
= B(t)eR
[A(t′)−E(t′)]dt′ (1.162)
Integrando ambos os lados de 0 a t, sendo z0 = z(0) temos
zeR
t
0[A(t′)−E(t′)]dt′ − z0 =
∫ t
0
dt′B(t′)eR
t′
0[A(t′′)−E(t′′)]dt′′ (1.163)
tal que chegamos a solucao
z(t) = e−R
t
0[A(t′)−E(t′)]dt′
(
z0 +
∫ t
0
dt′B(t′)eR
t′
0[A(t′′)−E(t′′)]dt′′
)
. (1.164)
ou, voltando a variavel original, com P0 = 1/z0,
P (t) =P0e
R
t
0[A(t′)−E(t′)]dt′
1 + P0
∫ t
0dt′B(t′)e
R
t′
0[A(t′′)−E(t′′)]dt′′
. (1.165)
Se a taxa de extracao for maior que a taxa de crescimento para todos ostempos, E(t) > A(t), entao a diferenca entre elas sera negativa A(t)−E(t) < 0,tal que
limt→∞
∫ t
0
[A(t′) − E(t′)]dt′ = − limt→∞
∫ t
0
|A(t′) − E(t′)|dt′ = −∞
tal que eR
t
0[A(t′)−E(t′)]dt′ → 0, e a populacao P (t) tende a zero assintoticamente.
No entanto, em geral A(t) − E(t) sera uma funcao periodica, podendo assu-mir valores positivos e negativos. Neste caso, o comportamento assintotico dasolucao dependera do valor medio sobre um perıodo T da funcao A(t) − E(t),que denotamos:
< A− E >=1
T
∫ t+T
t
[A(t′) − E(t′)]dt′ (1.166)
60
Se < A − E >< 0 entao uma extensao do raciocınio anterior leva a conclusaode que a solucao tende a zero assintoticamente.
Alem da solucao P = 0 podemos tambem ter uma solucao perıodica Pp deperıodo T , definida como aquela para a qual Pp(t) = Pp(t+T ). Para encontra-lanos partimos da integral (1.163), integrando z sobre um ciclo completo, de t atet+ T :
zp(t+ T )eR
t+T
t[A(t′)−E(t′)]dt′ − zp(t)e
R
t
t[A(t′)−E(t′)]dt′ =
= zp(t)(eT<A−E> − 1
)=
∫ t+T
t
dt′B(t′)eR
t′
t[A(t′′)−E(t′′)]dt′′ ,
onde usamos que zp(t) = zp(t+ T ) e a Eq. (1.166). Logo Pp = 1/zp sera dadopor
Pp(t) =eT<A−E> − 1
∫ t+T
tdt′B(t′)e
R
t′
t[A(t′′)−E(t′′)]dt′′
. (1.167)
Para investigar a estabilidade (global) dessa solucao periodica, consideramosduas solucoes nao-nulas P1 e P2 da equacao (1.157), e definimos a variavel [25]
ζ =1
P1− 1
P2. (1.168)
cuja derivada temporal e:
dζ
dt= − 1
P 21
dP1
dt+
1
P 22
dP2
dt
= − 1
P 21
[P1(A− E) − P 21B] +
1
P 22
[P2(A− E) − P 22B]
= − 1
P1(A− E) +B +
1
P2(A− E) −B = −(A− E)
(1
P1− 1
P2
)
= −(A− E)ζ (1.169)
que e uma equacao diferencial linear cuja solucao e
ζ(t) = ζ(0)e−R
t
0[A(t′)−E(t′)]dt′ . (1.170)
Agora suponhamos que P1 e uma solucao periodica Pp, e que P2 seja umaperturbacao dessa solucao. Supondo que < A − E >> 0, entao fazendo t = Tem (1.170) teremos
ζ(T ) = ζ(0)e−T<A−E>, (1.171)
mostrando que, ao longo de um ciclo completo, a solucao P2 aproxima-se dasolucao periodica P1, de modo que esta e assintoticamente estavel.
1.8 Problemas
1. Sejam os fluxos unidimensionais: (a) x = sin x; (b) x = x2 −1. Faca o diagramade fase, ache os pontos de equilıbrio e investigue sua estabilidade.
2. Esboce o diagrama de fase para x = x−cos x, e discuta a estabilidade dos pontosde equilıbrio (nao e necessario determina-los para isso).
61
3. Discuta a estabilidade dos pontos de equilıbrio para os seguintes casos: (a)x = x3; (b) x = x2; (c)x = 0.
4. Considere o modelo contınuo unidimensional
dx
dt= −2 − x + x2, x(0) = 1,
Fazendo a transformacao de variaveis z ≡ 1/(y − 2) mostre que ele reduz-se aequacao linear
dz
dt= −3z − 1,
Resolva essa equacao e ache a solucao do modelo original. Esse e um exemplode equacao de Riccati.
5. O modelo de teia de aranha descreve a formacao do preco de equilıbrio de umcerto produto. Considere o preco p(t), e uma funcao demanda linear D(t) =a − bp(t), onde a > 0, e b > 0 e a elasticidade da demanda. Supomos tambemuma funcao oferta linear O(t) = c + dp(t), onde c > 0 e d > 0 e a elasticidadeda oferta; e ainda que a taxa temporal de variacao do preco seja proporcional ademanda lıquida, ou seja
dp(t)
dt= j(D(t) − S(t)),
onde j > 0 e um coeficiente de ajuste.
(a) Mostre que o modelo reduz-se ao fluxo unidimensional
p = −j(b + d)p + j(a − c).
(b) Ache os pontos de equilıbrio e estude sua estabilidade;
(c) Ache a solucao geral do modelo, ou seja, ache p como funcao de t.
6. Um modelo contınuo unidimensional que explica a perda de competitividade deeconomias com um grande hiato tecnologico Norte-Sul foi proposto e estudadoem 2006 por Curado, Porcile e Viana [26]. No caso de uma curva horizontal decrescimento economico, a variacao temporal da taxa de juros i e dada por
di
dt= v
»„
1
1 − a
«
(πyd − βSe − aǫz)
–
− b0i + b1i2,
onde v > 0, a representa a participacao de exportacoes nominais no faturamentototal devido ao comercio exterior, π > 0 e ǫ > 0 sao elasticidades da renda, yd
e a taxa de crescimento desejada, β > 0 e um parametro que depende daselasticidades das demandas por importacoes e exportacoes, Se < 0 dependeda razao entre as capacidades tecnologicas Norte-Sul, z > 0 e a taxa real decrescimento do Produto Interno Bruto do Norte, b0 > 0 e b1 > 0 sao coeficientesda taxa de crescimento da oferta de capital estrangeiro.
(a) Determine os pontos de equilıbrio do modelo e estude sua estabilidade.
(b) Obtenha a solucao analıtica para a taxa de juros i(t) como funcao do temponeste modelo e interprete sua resposta.
7. Uma consequencia interessante do modelo de Solow estendido (1.121) e que po-demos deduzir uma condicao para maximizar o consumo por unidade de trabalho(per capita), uma vez estando o sistema num estado de equilıbrio k∗. Mostreque isto e possıvel quando
φ′(k∗) = λ + δ + τ,
conhecida como ”regra de ouro de Phelps” [21].
62
8. Consisdere o modelo de Solow estendido (1.121). Estime o valor do parametroτ a partir dos seguintes dados: (a) funcao de producao do tipo Cobb-Douglascom α = 0, 25; (ii) em um ano, a forca de trabalho cresceu 2%, o estoque decapital 4%, e o produto 3%.
9. (a) Use uma planilha eletronica para resolver a equacao x = 4 − 2x, com acondicao inicial x0 = 1. Compare seu resultado com a solucao analıtica dessaequacao, que e x(t) = 2 − e−2t. Maiores detalhes podem ser encontrados nareferencia [6], pgs. 22-24. (b) Use um dos softwares matematicos mostrados notexto para obter a solucao numerica.
10. Resolva as equacoes nao-autonomas:
(a)dx
dt=
4x
t+ t5et, x(0) = 1,
(b)dx
dt=
8x
9 − t2, x(0) = 1,
11. (a) Mostre, usando o criterio de estabilidade linear, que as solucoes de equilıbriodo modelo (1.145), P ∗
1 e P ∗2 sao instavel e assintoticamente estavel, respectiva-
mente. (b) Mostre que a taxa de exploracao maxima tal que P0 > P ∗1 e
hmax = rP0
„
1 −P0
K
«
.
(c) Mostre que a solucao geral da equacao (1.145) pode ser escrita como
P (t) =P ∗
2 (P0 − P ∗1 ) − P ∗
1 (P0 − P ∗2 )e−σt
P0 − P ∗1 − (P0 − P ∗
2 )e−σt,
onde P0 = P (0) e
σ ≡r(P ∗
2 − P ∗1 )
K= r
r
1 −4h
Kr
12. Repita os ıtens (a) e (c) do problema anterior para o modelo de esforco constante(1.149).
13. Considere o exemplo da exploracao de baleias na Antartida sob os pontos devista de uma taxa de exploracao constante e proporcional a populacao. Usandoos valores numericos dados no texto, resolva numericamente as equacoes dife-renciais para obter a populacao como funcao do tempo (anualmente).
14. Um modelo de crescimento populacional alternativo ao logıstico foi proposto porGompertz
dP
dt= P (α − β ln P )
onde α e a taxa de crescimento, e eα/β a capacidade de sustentacao. Considereo problema de exploracao de recursos sob os tres pontos de vista: (i) taxa deexploracao constante; (ii) exploracao dependente da populacao; e (iii) variacaosazonal da exploracao. Determine os pontos de equilıbrio e sua estabilidade,interpretando os resultados do ponto de vista das estrategias de exploracao.Quando possıvel, mostre solucoes analıticas para a populacao como funcao dotempo.
63
64
Capıtulo 2
Modelos contınuos
bidimensionais lineares
Na maioria dos modelos de interesse economico ha duas ou mais variaveisdinamicas, e a evolucao de cada uma depende das demais, o que demandamodelos contınuos multidimensionais. Inicialmente vamos estudar com algumdetalhe o caso mais sımples, que e o de modelos bidimensionais. O caso de mode-los lineares e interessante de per si, pois ja serve ao modelamento de problemaseconomicos, alem de servir como base para o estudo de modelos nao-lineares.
2.1 Matrizes bidimensionais
A analise matematica de modelos bidimensionais pode ser feita de forma ele-gante na linguagem matricial. Por este motivo, nesta secao, vamos revisar algunsconceitos da algebra de matrizes bidimensionais e vetores no R2. No entanto,a maioria destes conceitos e facilmente generalizavel para matrizes de ordemarbitraria.
2.1.1 Operacoes elementares com matrizes
Sejam M e N duas matrizes reais 2 × 2, ou seja, que tem duas linhas e duascolunas cada, escritas na seguinte forma geral
M =
(M11 M12
M21 M22
)
, N =
(N11 N12
N21 N22
)
, (2.1)
onde o “elemento de matriz” Mij esta localizado na linha i = 1, 2 e na colunaj = 1, 2.
A adicao e subtracao de matrizes e feita diretamente sobre os seus elementos
M ± N =
(M11 ±N11 M12 ±N12
M21 ±N21 M22 ±N22
)
, (2.2)
e, dado um numero real α, o resultado da multiplicacao da matriz M por α e amatriz
αM =
(αM11 αM12
αM21 αM22
)
. (2.3)
65
Para estas operacoes, valem as seguintes propriedades:
1. associatividade I: M + (N + P) = (M + N) + P;
2. comutatividade I: M + N = N + M
3. associatividade II: α(βM) = (αβ)M;
4. comutatividade II: α(βM) = β(αM)
5. distributividade: α(M + N) = αM + αN;
Ja o produto das matrizes M e N, denotado M.N, e uma matriz C, cujoselementos sao obtidos a partir da seguinte regra
Cij =
2∑
k=1
MikNkj = Mi1N1j +Mi2N2j (2.4)
ou, em termos das matrizes bidimensionais correspondentes
(C11 C12
C21 C22
)
=
(M11N11 +M12N21 M11N12 +M12N12
M21N11 +M22N21 M21N12 +M22N22
)
. (2.5)
O produto de matrizes goza das seguintes propriedades
1. associatividade: M.(N.P) = (M.N).P,
2. distributividade: M.(N + P) = M.N + M.P
mas nao vale a comutatividade, ou seja M.N 6= N.M em geral. Potencias deuma matriz sao obtidas por multiplicacao sucessiva Mn = M.M. · · · .M.
Matrizes diagonais tem elementos nao-nulos apenas ao longo da sua diagonalprincipal
D =
(D11 00 D22
)
. (2.6)
Potencias sucessivas de matrizes diagonais tambem sao diagonais. Por exemplo:
D2 = D.D =
(D11 00 D22
)
.
(D11 00 D22
)
=
(D2
11 00 D2
22
)
(2.7)
ou, de modo geral, para t inteiro positivo,
Dt =
(Dt
11 00 Dt
22
)
, (2.8)
como pode ser demonstrado, usando inducao finita.Um caso particular de matriz diagonal e a matriz identidade:
I =
(1 00 1
)
, (2.9)
com a propriedade que, para qualquer matriz M,
I.M = M.I = M (2.10)
66
O chamado “traco” de uma matriz e a soma de seus elementos diagonais
Tr (M) = M11 +M22, (2.11)
e o determinante dessa matriz e dado pela seguinte definicao
detM =
∣∣∣∣
M11 M12
M21 M22
∣∣∣∣= M11M22 −M12M21 (2.12)
O determinante do produto de matrizes e
det(M.N) = (detM)(detN). (2.13)
Dada uma matriz M, se existir uma matriz T tal que
M.T = T.M = I (2.14)
entao T e dita “matriz inversa” de M, e sera denotada T = M−1. Uma matrizque possua uma inversa e dita inversıvel, ou nao-singular. E possıvel mostrarque uma matriz M e inversıvel se, e somente se, o seu determinante for diferentede zero: detM 6= 0. De (2.13) e (2.14) decorre que, para matrizes inversıveis,
det(M−1) =1
detM(2.15)
Para matrizes 2 × 2 da forma geral
M =
(a bc d
)
, (2.16)
a matriz inversa e dada por
M−1 =1
ad− bc
(d −b−c a
)
, (2.17)
desde que ad− bc 6= 0.
2.1.2 Vetores e matrizes coluna
Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, um ponto P tem coorde-nadas (x, y), e podemos construir um vetor ligando a origem O ao ponto P,o qual sera denotado v (Fig. 2.1). Podemos representar este vetor por umamatriz coluna (duas linhas e uma coluna), cujos elementos sao as coordenadasdo ponto P:
v =
(xy
)
(2.18)
Os vetores, considerados como matrizes coluna, gozam de propriedades in-teiramente semelhantes as das matrizes bidimensionais, quais sejam:
v + w =
(xy
)
+
(wx
wy
)
=
(x+ wx
y + wy
)
, (2.19)
αv = α
(xy
)
=
(αxαy
)
. (2.20)
67
y
x0
P
v
x
y
Figura 2.1: Vetor no R2
O produto de uma matriz por um vetor resulta em outro vetor, dado por:
w = M.v =
(M11 M12
M21 M22
)(xy
)
=
(M11x+M12yM21x+M22y
)
. (2.21)
O modulo de um vetor, designado por v ou |v|, representa a distancia entreos pontos O e P na Figura 2.1. Aplicando o teorema de Pitagoras, temos que
v = |v| =√
x2 + y2 (2.22)
Um vetor de modulo igual a um sera dito unitario, ou ainda versor. Qualquervetor pode ser normalizado se o dividirmos pelo seu modulo
v → w =v
|v| , (2.23)
tal que |w| = 1.
Em especial, nos introduzimos os vetores unitarios correspondentes aos eixosx e y, denotados i e j, respectivamente, tal que um vetor qualquer seja escritocomo uma combinacao linear dos vetores unitarios, na forma:
v = xi + yj. (2.24)
Usando (2.20), concluimos que as representacoes dos vetores unitarios, em ter-mos de matrizes coluna, sao:
i =
(10
)
, j =
(01
)
. (2.25)
O vetor nulo e a matriz nula sao representados pela mesma letra, mas defi-nidos de forma diferente, a saber:
0 =
(00
)
, 0 =
(0 00 0
)
. (2.26)
68
2.1.3 Autovalores e autovetores
Seja M uma matriz quadrada. O numero real ξ e dito um autovalor da matrizM se existir um vetor nao-nulo u tal que
M.u = ξu, (2.27)
onde u e o autovetor correspondente ao autovalor ξ.Podemos isolar o autovetor na equacao (2.27)
M.u − ξu = M.u − ξI.u = 0,
o que fornece a chamada “equacao dos autovetores”:
(M − ξI).u = 0, (2.28)
Considerando a seguinte matriz bidimensional
A =
(a bc d
)
, (2.29)
podemos escrever o seu autovetor na forma geral
u =
(ux
uy
)
. (2.30)
tal que a equacao de autovalores (2.28) seja
(A − ξI).u =
[(a bc d
)
− ξ
(1 00 1
)](ux
uy
)
=
(00
)
,
(a− ξ bc d− ξ
)(ux
uy
)
=
(00
)
. (2.31)
Igualando os elementos de matriz correspondentes dos lados esquerdo e di-reito dessa equacao, temos o seguinte sistema linear e homogeneo de equacoes:
(a− ξ)ux + buy = 0, (2.32)
cux + (d− ξ)uy = 0, (2.33)
que tem uma solucao trivial ux = uy = 0 correspondente ao vetor nulo. Solucoesnao-triviais deste sistema homogeneo sao possıveis se e somente se o determi-nante formado pelos coeficientes dessa equacao for nulo:
∣∣∣∣
a− ξ bc d− ξ
∣∣∣∣, (2.34)
ou, numa notacao mais compacta,
det(A − ξI) = 0, (2.35)
dita ”equacao secular”, e cuja solucao fornece os autovalores ξ procurados.No caso de (2.34), desenvolvendo o determinante pela definicao (2.12) temos
que
(a− ξ)(d− ξ) − bc = 0,
ξ2 − (a+ d)ξ + (ad− bc) = 0, (2.36)
ξ2 − τξ + ∆ = 0, (2.37)
69
onde identificamos duas quantidades fundamentais, que sao o traco
τ ≡ TrA = a+ d, (2.38)
e o determinante da matriz A:
∆ ≡ detA = ad− bc. (2.39)
Os autovalores da matriz A sao dados pelas raızes da equacao (2.37):
ξ1,2 =τ ±
√τ2 − 4∆
2=τ ±
√D
2, (2.40)
onde definimos o discriminante
D ≡ τ2 − 4∆, (2.41)
cujo sinal determina se os autovalores de A sao reais ou complexos. Podemoster as seguintes situacoes:
1. D > 0, (τ2 > 4∆): autovalores reais e distintos;
2. D = 0, (τ2 = 4∆): autovalores reais e iguais: ξ1 = ξ2 = µ;
3. D < 0, (τ2 < 4∆): autovalores complexos conjugados
(a) τ 6= 0: ξ1 = µ+ iσ, ξ2 = ξ∗1 = µ− iσ,
(b) τ = 0: imaginarios puros ξ1 = iσ, ξ2 = −iσ,
onde
µ ≡ τ
2, σ ≡
√
|D|2
. (2.42)
Conhecidos os autovalores de uma matriz, os autovetores correspondentes aeles sao determinados substituindo ξ1,2 na equacao (2.31). Nas proximas secoesveremos diversos exemplos do calculo de autovalores e autovetores.
2.2 Modelos bidimensionais lineares
A extensao natural dos modelos contınuos unidimensionais vistos no capıtuloanterior contempla, agora, duas variaveis dependentes, que denotaremos x(t) ey(t), ambas funcoes da mesma variavel dependente, o tempo t. Cada variaveldependente satisfaz uma equacao diferencial de primeira ordem em relacao aotempo, onde a derivada de cada variavel depende do valor das duas variaveis.Um modelo contınuo bidimensional linear e um conjunto de duas equacoes di-ferenciais obtido a partir de funcoes afins para cada variavel dependente:
dx
dt= ax+ by + j, (2.43)
dy
dt= cx+ dy + k, (2.44)
onde a, b, . . . k sao constantes. Na notacao matricial, podemos escrever osistema na forma
dv
dt= A.v + B, (2.45)
70
onde definimos
v =
(xy
)
, A =
(a bc d
)
, B =
(jk
)
. (2.46)
Assim como no caso unidimensional, estamos interessados em resolver o cha-mado problema de valores iniciais para as equacoes (2.43)-(2.44). Dados osvalores das variaveis dependentes no instante inicial x(t = 0) = x0 e y(t =0) = y0, desejamos determinar os valores das mesmas num instante t qualquer:(x(t;x0, y0), y(t;x0, y0)). O conjunto de pontos assim determinado determinauma solucao do problema de valor inicial para o qual, alias, tambem se aplica oteorema de existencia e unicidade visto no Capıtulo 1.
2.2.1 Pontos de equilıbrio
Assim como nos modelos discretos, os modelos contınuos tambem apresentamsolucoes estacionarias, ou de equilıbrio v∗, que sao constantes no tempo, ou seja:
v∗ =
(x∗
y∗
)
⇒ dv∗
dt= 0. (2.47)
Para o modelo linear (2.45), temos de resolver a equacao matricial
A.v∗ + B = 0. (2.48)
Supondo que a matriz A seja inversıvel, ou seja, que detA 6= 0, podemosmultiplicar ambos os membros de (2.48) a esquerda pela inversa da matriz,A−1, o que fornece um unico ponto de equilıbrio
v∗ = −A−1.B. (2.49)
Para conveniencia de calculos, podemos transladar o ponto de equilıbrio paraa origem, o que equivale a definir a nova variavel
w(t) =
(wx(t)wy(t)
)
≡ v(t) − v∗ = v(t) + A−1.B. (2.50)
Derivando em relacao ao tempo, e usando (2.47), temos
dw
dt=
dv
dt− dv∗
dt= A.v + B = A.(w + v∗) + B
= A.(w − A−1.B) + B = A.w − A.A−1.B + B,
ou seja, o novo vetor w satisfaz a equacao
dw
dt= A.w, (2.51)
cujo ponto de equilıbrio e a propria origem do plano de fase
w∗ = 0 =
(00
)
. (2.52)
Alem disso, para este novo problema,
w(0) =
(wx(0)wy(0)
)
=
(x(0) − x∗
y(0) − y∗
)
(2.53)
e o vetor de condicoes iniciais.
71
����
������
������
���
���
������
������
v*
U
(a)
v*
U
UU1 1
v
v0
0
(b)
Figura 2.2: (a) Equilıbrio estavel no sentido de Lyapunov, e (b) assintoticamenteestavel.
2.2.2 Conceitos de estabilidade
A estabilidade do ponto fixo na origem pode ser estudada da mesma formado que para os modelos unidimensionais: investigando o comportamento dassolucoes nas proximidades da solucao de equilıbrio. Se as trajetorias aproximam-se do ponto de equilıbrio quando o tempo tende a infinito, o ponto e estavel.Caso contrario, ou seja, se as trajetorias se afastam exponencialmente do pontode equilıbrio, ele e instavel.
No entanto, em mais de uma dimensao e necessario introduzir conceitosprecisos de estabilidade para dar conta da variedade de maneiras de aproximar-se (ou afastar-se) do equilıbrio. As definicoes a seguir estao formuladas emduas dimensoes, mas podem ser imediatamente generalizadas para um numeroarbitrario de dimensoes [3, 1].
Definicao 1 Um ponto de equilıbrio v∗ e dito estavel no sentido de Lyapu-nov se, para toda a vizinhanca U de v∗ no plano existe uma vizinhanca U1 ⊂ Utal que toda a solucao v(t) iniciada no ponto v(0) ∈ U1 e definida e permaneceem U para todo tempo t > 0.
Definicao 2 Um ponto de equilıbrio v∗ e dito atrativo se, para toda a vizi-nhanca U de v∗ existe uma vizinhanca U1 ⊂ U tal que toda a solucao v(t)iniciada no ponto v(0) ∈ U1 tende a v∗ no limite t→ ∞.
Definicao 3 Um ponto de equilıbrio v∗ e dito assintoticamente estavel (ouestavel, simplesmente) se ele for simultaneamente estavel no sentido de Lyapu-nov e atrativo.
Em outras palavras, v∗ e estavel no sentido de Lyapunov se todas as tra-jetorias que iniciam a partir de pontos proximos a v∗ permanecem proximas aele para todos os tempos [Fig. 2.2(a)]. Ja v∗ e atrativo se todas as trajetoriasiniciadas em pontos proximos a v∗ tendem a ele quando o tempo vai a infinito[Fig. 2.2(b)]. Por estas definicoes todo ponto atrativo e estavel no sentido deLyapunov mas a recıproca nao e verdadeira: ha equilıbrios onde as trajetoriaspermanecem orbitando nas suas proximidades sem, contudo, tender a ele paratempos infinitos, como veremos na sequencia deste capıtulo. Tais pontos seraoclassificados como sendo neutros ou marginalmente estaveis. Por outro
72
lado, basta que o equilıbrio nao seja estavel no sentido de Lyapunov para serconsiderado instavel.
No caso especıfico de modelos bidimensionais lineares, a existencia de solucoesgerais para condicoes iniciais arbitrarias faz com que as solucoes de equilıbriopossam ser (se for o caso) globalmente atrativas, ou seja, v∗ atrai todas as tra-jetorias do plano. Em contraposicao, em modelos nao-lineares arbitrarios naose pode afirmar, em geral, que isso seja verdade: contentamo-nos em descreverregioes do plano que contenham vizinhancas U e U1 para as quais as definicoesanteriores sejam validas.
2.2.3 Solucao geral do modelo bidimensional linear
A equacao matricial (2.51) e, formalmente, muito parecida com a equacao uni-dimensional dx/dt = ax, cuja solucao geral foi vista no Capıtulo 1 como:
x(t) = x0eat. (2.54)
No entanto, em se tratando de matrizes, o analogo dessa expressao envolve umaoperacao relativamente complicada, que e a exponencial de uma matriz. Essetratamento formal sera apresentado no Capıtulo 4, onde serao vistos modelosmultidimensionais. Neste Capıtulo, por razoes pedagogicas, seguiremos um ca-minho menos formal, porem mais direto para resolver a equacao (2.51), e queconsiste em procurar solucoes para ela na seguinte forma:
w(t) = eξtu, (2.55)
onde u e um vetor fixo, a ser determinado, e ξ pode ser interpretado como umataxa de aumento ou diminuicao do modulo do vetor w com o passar do tempo,caso ξ seja positivo ou negativo, respectivamente.
Dessa forma, a solucao w(t) representa um vetor, ao longo da direcao fixadapelo vetor u, e cujo modulo diminui ou aumenta com o passar do tempo a taxaξ [Fig. 2.3(a) e (b), respectivamente]. Essa caracterıstica da solucao geral domodelo linear permitira que facamos uma classificacao dos tipos de pontos deequilıbrio no plano, baseada no comportamento temporal do modulo dos desviosdas trajetorias em relacao a solucao de equilıbrio.
Substituindo a solucao tentativa (2.55) na equacao (2.51) temos
dw
dt=
d
dt
(eξtu
)= A.w = A.
(eξtu
),
eξtξu = eξtA.u, (2.56)
tal que, dividindo por eξt, chegamos a
A.u = ξu, (2.57)
que e a equacao de autovalores (2.28) para a matriz A, onde u e o autovetorcorrespondente ao autovalor ξ.
Na secao anterior, vimos que uma matriz bidimensional tem dois autovaloresque podem ser reais ou complexos. Alem disso, na Algebra Linear mostra-seque os autovetores correspondentes aos autovalores ξ1 e ξ2, que denotaremosu1 e u2, respectivamente, sao linearmente independentes [27]. Isso significa
73
u
w(0)
w(t)
w(t´´)0w(t´)
(a)
λ < 0
u
0
(b)
w(t´´)
w(0)
w(t)
w(t´)
λ > 0
Figura 2.3: Vetor com modulo (a) diminuindo e (b) aumentando exponencial-mente com o passar do tempo.
x
y
c
u
u
u
1
2
1
c2
u 1
2
w
Figura 2.4: Combinacao linear de dois vetores linearmente independentes.
que qualquer vetor no plano pode ser escrito como uma combinacao linear dosautovetores:
w = c1u1 + c2u2, (2.58)
onde c1 e c2 sao coeficientes reais arbitrarios. Esse vetor pode ser, por exemplo,a condicao inicial w0 = w(t = 0) [Figura 2.4].
Como a equacao
dw
dt= A.w (2.59)
representa matricialmente um sistema de duas equacoes diferenciais de primeiraordem, ela tera duas constantes de integracao arbitrarias. Tais constantes saojustamente os coeficientes c1 e c2 da combinacao linear em (6.36). Logo, asolucao geral de (2.59) pode ser escrita, em vista da solucao tentativa (2.55),como
w(t) = c1eξ1tu1 + c2e
ξ2tu2. (2.60)
74
2.3 Analise da estabilidade do equilıbrio
Vamos estudar os casos possıveis para os autovalores da matriz A, e que tipos desolucoes de equilıbrio a eles correspondem, do ponto de vista da sua estabilidade.Neste capıtulo apresentaremos os diversos casos possıveis por meio de exemplos.No Capıtulo 4 apresentaremos um enfoque mais geral para esse assunto.
2.3.1 Autovalores reais e distintos
Comecaremos pelo caso de autovalores reais e distintos, que apresentara variassituacoes para a estabilidade do ponto de equilıbrio.
No estavel: ξ1 < 0 e ξ2 < 0
Considere o seguinte exemplo
dx
dt= −2x+ y, (2.61)
dy
dt= x− 2y, (2.62)
ou, na forma matricial,dv
dt= A.v, (2.63)
onde
A =
(−2 11 −2
)
, B =
(00
)
, (2.64)
de modo que w = v, e o ponto de equilıbrio e a origem do plano: v∗ = 0.Para a matriz A, o traco e o determinante sao dados por (2.38) e (2.39),
respectivamente, como
τ = TrA = −2 − 2 = −4, (2.65)
∆ = detA = 4 − 1 = 3, (2.66)
tal que o discriminante seja
D = τ2 − 4∆ = 16 − 12 = 4 > 0, (2.67)
de modo que os autovalores de A sao reais e positivos. De fato, aplicando (2.40)temos que
ξ1 =−4 +
√4
2=
−4 + 2
2= −1, (2.68)
ξ2 =−4 −
√4
2=
−4 − 4
2= −3. (2.69)
Para determinar os autovetores usamos as equacoes (2.32)-(2.33)
(−2 − ξ)ux + uy = 0, (2.70)
ux + (−2 − ξ)uy = 0, (2.71)
75
Para o autovalor ξ1 = −1 teremos
−ux + uy = 0, (2.72)
ux − uy = 0. (2.73)
Da primeira equacao acima concluimos que ux = uy, mas a segunda equacaoe simplesmente a primeira com sinal trocado, de forma que o sistema (2.72)-(2.73) nao e suficiente para determinar univocamente as duas componentes doautovetor u1.
Como ha infinitas escolhas possıveis, optamos por uma que nos seja par-ticularmente simples, de sorte que arbitramos ux = uy = 1, e o autovetorcorrespondente ao autovalor ξ1 = −1 e
u1 =
(11
)
. (2.74)
De modo inteiramente analogo, o autovetor relativo ao autovalor ξ2 = −3 e
u2 =
(1−1
)
, (2.75)
e a solucao geral da equacao (2.61), tendo em vista (2.60), e dada por
v(t) = c1e−t
(11
)
+ c2e−3t
(1−1
)
, (2.76)
que equivale as seguintes expressoes
x(t) = c1e−t + c2e
−3t, (2.77)
y(t) = c1e−t − c2e
−3t. (2.78)
Podemos verificar que, no limite t → ∞, tanto x(t) como y(t) tendem a zero.Em outras palavras, o modulo do vetor, |v(t)| tende a zero quando t→ ∞. Deacordo com as definicoes vistas na secao anterior, o ponto de equilıbrio w∗ = 0e assintoticamente estavel. A condicao necessaria e suficiente para isso e queambos autovalores da matriz A sejam negativos.
As constantes de integracao c1 e c2, por sua vez, sao determinadas a partirdas condicoes iniciais x0 = x(t = 0) e y0 = y(t = 0), ou seja, das componentesdo ponto inicial no plano de fase. Do sistema acima temos que, para t = 0, asconstantes satisfazem o sistema linear
x0 = c1 + c2, (2.79)
y0 = c1 − c2, (2.80)
cujas solucoes sao
c1 =x0 + y0
2, (2.81)
c2 =x0 − y0
2. (2.82)
Substituindo (2.81) e (2.82) em (2.79) e (2.80) chegamos a solucao final
x(t) =
(x0 + y0
2
)
e−t +
(x0 − y0
2
)
e−3t, (2.83)
y(t) =
(x0 + y0
2
)
e−t −(x0 − y0
2
)
e−3t. (2.84)
76
0
1
2
3
4
5
x(t)
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
t0
0,5
1
1,5
y(t)
-2 -1 0 1 2-2
-1
0
1
2
x
y
u1
u2
(b)(a)
Figura 2.5: (a) Evolucao temporal das variaveis x e y para condicoes iniciaisx0 = 5 e y0 = 1. (b) No estavel.
Cada condicao inicial (x0, y0) produz uma trajetoria no plano de fase, naqual cada instante de tempo t corresponde um ponto da trajetoria. Por serum ponto assintoticamente estavel, a origem do plano de fase atrai todas astrajetorias possıveis. Por exemplo, considere o caso em que x0 = 5 e y0 = 1. Aevolucao temporal das variaveis x e y, de acordo com (2.77)-(2.78) e mostradana Figura 2.5(a).
Uma outra forma de visualizar tais solucoes e mostrada na Figura 2.5(b),onde exibimos algumas das trajetorias obtidas a partir de diferentes condicoesiniciais, as flechas sobre elas indicando o sentido do tempo. Figurativamente,e como se o ponto de equilıbrio fosse um sumidouro (ou “ralo”) do fluxo detrajetorias no plano de fase. Nesse caso, o ponto de equilıbrio e dito um noestavel. Indicamos, ainda, na Fig. 2.5(b), os autovetores correspondentes acada autovalor. Somente as trajetorias cujas condicoes iniciais pertencem asdirecoes determinadas pelos autovetores sao retilıneas. Como todos os pontosdessas trajetorias ficam rigorosamente contidos nessas direcoes, dizemos que asdirecoes dos autovetores sao invariantes. No capıtulo 4 iremos tratar com maisprofundidade este assunto.
No instavel: ξ1 > 0 e ξ2 > 0
Seja o seguinte sistema linear
dx
dt= x+ y, (2.85)
dy
dt= −2x+ 4y, (2.86)
para o qual a matriz dos coeficientes e
A =
(1 1−2 4
)
, (2.87)
e o ponto de equilıbrio e, novamente, a origem 0.O traco, determinante e discriminante de A sao
τ = 5, ∆ = 3, D = 25 − 24 = 1 > 0, (2.88)
77
0
5
10
15
20
x(t)
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
t0
2
4
6
8
y(t)
-0,002 0 0,002-0,01
0
0,01
y
x
u1
u2
Figura 2.6: (a) Evolucao temporal das variaveis x e y para condicoes iniciaisx0 = 0, 1 e y0 = 0, 3. (b) No instavel.
sendo seus autovalores iguais a
ξ1 = 3 e ξ2 = 2, (2.89)
correspondendo aos seguintes autovetores, respectivamente,
u1 =
(12
)
, u2 =
(11
)
. (2.90)
A solucao geral de (2.85) sera, pois,
v(t) = c1e3t
(12
)
+ c2e2t
(11
)
, (2.91)
ou
x(t) = c1e3t + c2e
2t, (2.92)
y(t) = 2c1e3t + c2e
2t. (2.93)
Para t → ∞, tanto x(t) como y(t) tendem a infinito. Como o modulo do vetorv cresce com o passar do tempo, dizemos que o ponto de equilıbrio v∗ = 0 einstavel; situacao que surgira sempre que um ou mais dos autovalores da matrizA sejam positivos, como nesse caso.
Supondo uma condicao inicial x(0) = x0 e y(0) = y0, as constantes seraosolucoes do sistema
x0 = c1 + c2, (2.94)
y0 = 2c1 + c2, (2.95)
dadas por c1 = y0 − x0 e c2 = 2x0 − y0, e portanto
x(t) = (y0 − x0)e3t + (2x0 − y0)e
2t, (2.96)
y(t) = 2(y0 − x0)e3t + (2x0 − y0)e
2t. (2.97)
que estao representadas graficamente na Figura 2.6(a) para as condicoes iniciaisx0 = 0, 1 e y0 = 0, 3.
78
Tais solucoes, para diferentes valores das condicoes iniciais, apresentam,no plano de fase, o comportamento ilustrado pela figura 2.6(b). O ponto deequilıbrio na origem parece ser uma fonte do fluxo representado pelas solucoesque afastam-se dela com o passar do tempo. Nesse caso, o ponto de equilıbrio edito um no instavel. Aqui, mais uma vez, as trajetorias sobre as direcoes de-terminadas pelos autovetores u1 e u1 sao retilıneas, e as direcoes sao invariantes,portanto.
Ponto de sela: ξ1 < 0 e ξ2 > 0 ou vice-versa
O exemplo representativo desse caso e
dx
dt= x+ y, (2.98)
dy
dt= 4x− 2y, (2.99)
correspondendo a matriz
A =
(1 14 −2
)
, (2.100)
com o ponto de equilıbrio na origem. O traco, determinante e discriminanteserao
τ = −1, ∆ = −6, D = 25 > 0, (2.101)
tal que os autovalores sao
ξ1 = 2 e ξ2 = −3 (2.102)
correspondendo aos seguintes autovetores, respectivamente:
u1 =
(11
)
, u2 =
(1−4
)
. (2.103)
Com esses dados, podemos escrever a solucao geral de (2.98) como
v(t) = c1e2t
(11
)
+ c2e−3t
(1−4
)
, (2.104)
ou ainda
x(t) = c1e2t + c2e
−3t, (2.105)
y(t) = c1e2t − 4c2e
−3t. (2.106)
Sendo a condicao inicial x(0) = x0, y(0) = y0 o sistema (2.105)-(2.106)torna-se, para t = 0,
x0 = c1 + c2, (2.107)
y0 = c1 − 4c2. (2.108)
Subtraindo membro a membro as equacoes acima temos que c1 = (4x0 + y0)/5e c2 = (x0 − y0)/5. Logo
x(t) =1
5(4x0 + y0)e
2t +1
5(x0 − y0)e
−3t, (2.109)
y(t) =1
5(4x0 + y0)e
2t − 4
5(x0 − y0)e
−3t. (2.110)
79
0
5
10
15
20
x(t)
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
t-4
-2
0
2
4
6
8
y(t)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
u1
u2
y
x
Figura 2.7: (a) Evolucao temporal das variaveis x e y para as condicoes iniciaisx0 = 2 e y0 = −3. (b)Ponto de sela.
que estao representadas graficamente na Fig. 2.7(a) para as condicoes iniciaisx0 = 2, y0 = −3.
Devido a existencia de um expoente positivo, se fizermos o tempo tender ainfinito, tanto x(t) como y(t) divergirao, entao o ponto de equilıbrio na origeme instavel. No entanto, como ha um expoente negativo, o comportamento dassolucoes e qualitativamente diferente dos casos anteriores, como mostra a Figura2.7(b). O autovetor u1 referente ao autovalor positivo ξ1 = 2 determina umadirecao invariante, onde as trajetorias sao retilıneas e afastam-se do ponto deequilıbrio. Dizemos que esta e uma direcao instavel. Ja o autovetor u2, quecorresponde ao autovalor negativo ξ1 = −3, fixa no plano de fase uma direcaoinvariante onde as trajetorias retilıneas convergem assintoticamente para a ori-gem. Essa e chamada uma direcao estavel, e pode ser imaginada como um “fiode navalha”: qualquer pequeno afastamento da mesma levara a um comporta-mento diferente.
Trajetorias geradas por condicoes iniciais fora destas direcoes invariantessao curvilıneas, o que da ao ponto de equilıbrio o nome de ponto de sela [Fig.2.7(b)]. As trajetorias aproximam-se da origem pela direcao estavel, e afastam-se da mesma pela direcao instavel. Em outras palavras, as direcoes estavel einstavel sao assıntotas para todas as trajetorias que passam por pontos foradelas. Pontos de sela ocorrem sempre que os autovalores forem reais e tiveremsinais diferentes. Como, na pratica, e impossıvel determinar uma condicao ini-cial com precisao infinitamente grande, a existencia de uma direcao estavel naoafeta o carater instavel do ponto de sela.
Um dos autovalores e nulo: feixe de retas paralelas
Suponha que ξ1 6= 0 e ξ2 = 0, correspondendo a matriz dos coeficientes, ja naforma diagonal
A =
(ξ1 00 0
)
, (2.111)
com o ponto de equilıbrio na origem. Os autovetores sao dados pelas Eqs.(2.32)-(2.32)
(ξ1 − ξ)ux = 0, (2.112)
−ξuy = 0. (2.113)
80
y
x
y
x
(a) (b)
Figura 2.8: Feixe de retas paralelas para o caso de um autovalor nulo, sendo ooutro (a) negativo, e (b) positivo.
Considerando o autovalor nao-nulo ξ1, decorre que ux = 0 para qualquer uy,situacao que se inverte quando levamos em conta o autovalor igual a zero, desorte que os autovetores correspondentes a eles podem ser escolhidos, respecti-vamente, como
u1 =
(10
)
, u2 =
(01
)
. (2.114)
Podemos, pois, escrever a solucao geral do modelo como
v(t) = c1eξ1t
(10
)
+ c2
(01
)
, (2.115)
ou ainda
x(t) = c1eξ1t, (2.116)
y(t) = c2. (2.117)
Em termos das condicoes iniciais x(0) = x0, y(0) = y0 o sistema (2.116)-(2.117) fornece, para t = 0, c1 = x0 e c2 = y0; donde
x(t) = x0eξ1t, (2.118)
y(t) = y0. (2.119)
Logo, apenas a variavel x muda com o tempo: se ξ1 < 0 os seus valores conver-gem assintoticamente para zero, e divergem caso ξ1 > 0. Ja os valores de y naose alteram: seja qual for a condicao inicial y0, seu valor permanecera constante,o que define um feixe de retas paralelas a direcao especificada pelo autovetoru2. No caso de ξ1 < 0 o movimento converge para esta direcao, divergindo delacaso contrario [Figuras 2.7(a) e (b), respectivamente].
A rigor, a solucao de equilıbrio no caso ξ1 < 0 e ξ2 = 0 so pode ser conside-rada estavel no sentido de Lyapunov, ja que as trajetorias no plano de fase quese originam proximo a origem permanecem proximos dela para tempos poste-riores. Como as trajetorias nao convergem a origem para tempo tendendo aoinfinito, o equilıbrio nao e atrativo, nem tampouco assintoticamente estavel.
81
2.3.2 Autovalores reais e iguais
Se a matriz A tiver autovalores reais e iguais, ξ1 = ξ2, ha duas possibilidadespara a solucao geral, dependendo se os autovetores correspondentes forem ounao linearmente independentes [8].
Dois autovetores linearmente independentes
Se existem dois autovetores linearmente independentes u1 e u2 associados aomesmo autovalor, entao a solucao geral sera semelhante a do caso anterior, asaber:
v(t) = c1eξ1tu1 + c2e
ξ1tu2 (2.120)
Como exemplo, considere o sistema
dx
dt= x, (2.121)
dy
dt= y, (2.122)
correspondendo a matriz
A =
(1 00 1
)
, (2.123)
que ja encontra-se na forma diagonal, sendo os autovalores dados diretamentepelos elementos da diagonal principal: ξ1 = ξ2 = 1. Nesse caso, a equacao dosautovalores (2.32)-(2.33) resulta em identidades triviais, pois:
(1 − ξ)ux + 0.uy = 0 ⇒ 0 = 0, (2.124)
0.ux + (1 − ξ)uy = 0 ⇒ 0 = 0 (2.125)
sao satisfeita por quaisquer valores de ux e uy. Logo, podemos escolher para opapel de autovetores quaisquer dois vetores no plano, como por exemplo
u1 =
(10
)
, u2 =
(01
)
. (2.126)
os quais sao linearmente independentes pois qualquer vetor no plano pode serescrito como uma combinacao linear dos mesmos
c =
(c1c2
)
= c1
(10
)
+ c2
(01
)
= c1u1 + c2u2. (2.127)
A solucao geral desse modelo sera dada, entao, por (2.120):
v(t) = c1et
(10
)
+ c2et
(01
)
, (2.128)
ou seja,
x(t) = c1et = x0e
t, (2.129)
y(t) = c2et = y0e
t, (2.130)
e que, divididas uma pela outra, fornecem
y(t)
x(t)=y0x0, (2.131)
82
-4 -2 0 2 4-4
-2
0
2
4
u2
u1
y
x
Figura 2.9: No estrela instavel.
que e a equacao de uma estrela de retas que passam pela origem, sendo osseus coeficientes angulares uma funcao das condicoes iniciais (x0, y0). Esse casoconfigura um no estrela instavel, pois os autovalores ξ1 = ξ2 sao positivos[Fig. 2.9]. Caso fossem negativos, a origem seria assintoticamente estavel (umno estrela estavel).
Apenas um autovetor linearmente independente
Se ha apenas um autovetor u1 associado ao autovalor repetido, a situacao ficaum pouco mais complicada. Nesse caso, precisamos de um segundo vetor line-armente independente u2 para que a solucao geral continue tendo duas cons-tantes de integracao, como exigido pelo Calculo Diferencial. Pode-se mostrar,na Algebra Linear, que este segundo vetor e dado por [23, 8]
u2 = tu1 + z, (2.132)
onde z e um vetor a ser determinado. Nesse caso, a solucao geral sera
v(t) = v1 + v2 = c1eξ1tu1 + c2e
ξ1t [tu1 + z] . (2.133)
Para encontrar o vetor z nos substituimos (2.133) na equacao geral v = A.v.Como v1 ja e uma solucao, temos que v1 = A.v1. Sobra
v2 = A.v2,
c2d
dt
[eξ1t (tu1 + z)
]= c2e
ξ1tA. (tu1 + z) ,
c2eξ1t [ξ1 (tu1 + z) + u1] = c2e
ξ1t (tA.u1 + A.z) .
Dividindo por c2eξ1t
t(ξ1u1 − A.u1) + u1 = A.z − ξ1z, (2.134)
A.z − ξ1I.z = u1, (2.135)
ja que o termo entre parenteses em (2.134) e nulo, por ser a propria equacao dosautovetores. Concluimos que o vetor z e determinado pela seguinte equacao:
(A − ξ1I) .z = u1. (2.136)
83
Vamos resolver o seguinte sistema linear, como exemplo
dx
dt= 3x− 18y, (2.137)
dy
dt= 2x− 9y, (2.138)
cuja matriz dos coeficientes e
A =
(3 −182 −9
)
, (2.139)
que tem traco, determinante e discriminante iguais, respectivamente, a
τ = −6, ∆ = 9, D = 0, (2.140)
sendo seus autovalores iguais a
ξ1 = ξ2 = −3, (2.141)
correspondendo a um unico autovetor, que e
u1 =
(31
)
. (2.142)
Para encontrar um segundo autovetor, precisamos calcular o vetor
z =
(zx
zy
)
. (2.143)
que satisfaz (2.136), que se escreve aqui como(
3 − ξ1 −182 −9 − ξ1
)(zx
zy
)
=
(31
)
. (2.144)
ou, substituindo ξ1 = −3,(
6 −182 −6
)(zx
zy
)
=
(31
)
. (2.145)
que e um sistema linear nao-homogeneo que, na verdade, representa apenas umaequacao: 6zy = 2zx − 1. Ja que temos a liberdade de escolher o valor de zx,vamos usar zx = 1/2, tal que zy = 0, e o vetor procurado sera
z =
(1/20
)
. (2.146)
A solucao geral sera dada por (2.133) como
v(t) = c1e−3tu1 + c2e
−3t [tu1 + z] , (2.147)
= c1e−3t
(31
)
+ c2e−3t
[
t
(31
)
+
(1/20
)]
, (2.148)
ou
x(t) = 3c1e−3t +
(
3t+1
2
)
c2e−3t, (2.149)
y(t) = c1e−3t + c2te
−3t. (2.150)
84
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
x(t)
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
t-1
0
1
2
3
y(t)
-15 -10 -5 0 5 10 15-4
-2
0
2
4
u1
z
y
x
Figura 2.10: (a) Evolucao temporal das variaveis x e y para as condicoes iniciaisx0 = 3 e y0 = 3. (b) No estavel degenerado.
Considerando a condicao inicial (x0, y0), as constantes de integracao seraosolucoes do sistema
x0 = 3c1 +1
2c2, (2.151)
y0 = c1 + 0, (2.152)
que sao dadas por c1 = y0 e c2 = 2(x0 − 3y0). Logo a solucao final do modelobidimensional linear e
x(t) = 3y0e−3t −
(
3t+1
2
)
2(x0 − 3y0)e−3t, (2.153)
y(t) = y0e−3t − 2(x0 − 3y0)te
−3t. (2.154)
Um exemplo para o caso onde x0 = y0 = 3 e mostrado na Fig. 2.10(a).Vamos considerar, agora, a estabilidade do ponto de equilıbrio a partir dessa
solucao geral. Para isso, precisamos analisar o comportamento da funcao teξt
quando t tende a infinito, se ξ = −|ξ| e um autovalor negativo. Nesse caso, afuncao teξt tende a zero pois o fator exponencial prevalece sobre o linear. Comefeito, usando a regra de L’Hopital temos [28]:
limt→∞
teξt = limt→∞
t
e−ξt= lim
t→∞
t
e|ξ|t=
∞∞ = lim
t→∞
1
|ξ|e|ξ|t =1
∞ = 0.
Isso nos mostra que o ponto de equilıbrio na origem e assintoticamenteestavel, nesse caso, e e dito um no estavel degenerado, sendo que as trajetoriasnas vizinhancas do mesmo parecem a princıpio afastar-se dele, para logo aposaproximarem-se da origem pela direcao invariante indicada pelo autovetor u1
[Figura 2.10(b)]. Em geral, mesmo onde haja apenas um autovetor linearmenteindependente, vale o mesmo criterio de estabilidade do caso nao degenerado(autovalor positivo relacionado a instabilidade, e negativo para estabilidade).
Dois autovalores nulos
Um caso extremo e o de dois autovalores nulos: ξ1 = ξ2 = 0, como por exemplono sistema bidimensional onde todos os elementos da matriz dos coeficientes A
85
sao iguais a zero. Podemos, ainda, descrever dois casos possıveis, no espıritoda discussao anterior [29]. No primeiro caso, ha dois autovetores linearmenteindependentes. De fato, como todos os elementos da matriz dos coeficientes saonulos, as equacoes (2.32)-(2.32) tem infinitas solucoes, ou seja, quaisquer valoresdas componentes dos autovetores ux e uy sao possıveis para ambos os autova-lores. Supondo que os autovetores nao sejam colineares, eles sao linearmenteindependentes. Neste caso, e imediato que, sendo x = 0 e y = 0, as solucoes saoconstantes, ou seja, iguais as proprias condicoes iniciais para quaisquer instantesde tempo:
x(t) = x0, y(t) = y0. (2.155)
Logo, todos os pontos do plano de fase sao solucoes de equilıbrio (nao so aorigem). Alem disso tais pontos sao estaveis apenas no sentido de Lyapunov,ja que, a rigor, nao nos afastamos nem nos aproximamos deles no decorrer dotempo.
No segundo caso, ha apenas um autovetor u1 associado ao autovalor nulorepetido (com componentes arbitrarias), e precisamos encontrar um segundoautovetor linearmente independente u2 que, de acordo com o procedimentovisto anteriormente, e dado por
u2 = tu1 + z, (2.156)
onde z e um vetor a ser determinado, de modo que a solucao geral sera
v(t) = c1u1 + c2(tu1 + z). (2.157)
Como u1 tem componentes arbitrarias, podemos escolhe-lo por simplicidadecomo
u1 =
(10
)
, (2.158)
tal que o segundo vetor, linearmente independente ao primeiro, pode ser esco-lhido como
z =
(01
)
, (2.159)
ja que este e perpendicular aquele. Nesse caso, (2.157) sera, em componentes,
x(t) = c1 + c2t = x0 + y0t, (2.160)
y(t) = c2 = y0, (2.161)
em vista das condicoes iniciais (x0, y0).
Apenas x muda com o tempo: caso y0 > 0, x(t) aumenta linearmente comt, e diminui linearmente quando y0 < 0. Por outro lado, os valores de y naose alteram: seja qual for a condicao inicial y0, seu valor permanecera o mesmopara quaisquer tempos, o que define um feixe de retas paralelas a direcao especi-ficada pelo autovetor u1. Os sentidos das trajetorias serao diferentes, conformeestivermos acima ou abaixo do eixo horizontal [Fig. 2.11]. Para esse segundocaso degenerado, os unicos pontos de equilıbrio sao os pertencentes a direcaou1, e sua estabilidade e considerada apenas no sentido de Lyapunov, tal comono caso anterior.
86
y
x
Figura 2.11: Feixe de retas paralelas quando dois autovalores sao nulos.
2.3.3 Autovalores complexos
Centro: Re(ξ1) = Re(ξ2) = 0
Vamos estudar o seguinte exemplo
dx
dt= 2y, (2.162)
dy
dt= −2x, (2.163)
para o qual a matriz dos coeficientes
A =
(0 2−2 0
)
(2.164)
tem traco, determinante, e discriminante iguais, respectivamente, a
τ = 0, ∆ = 4 > 0, D = −16 < 0 (2.165)
de modo que seus autovalores sao imaginarios puros
ξ1 = +2i ξ2 = −2i (2.166)
No caso de autovalores complexos, e conveniente trabalhar no plano usandocoordenadas polares (r, θ), definidas como [Fig. 2.12]
x = r cos θ, (2.167)
y = r sen θ, (2.168)
Quadrando as equacoes (2.167) e (2.168) obtemos x2 = r2 cos2 θ e y2 = r2 sen 2θque, somadas membro a membro, fornecem
x2 + y2 = r2 cos2 θ + r2 sen 2θ = r2(cos2 θ + sen 2θ) = r2, (2.169)
onde usamos a identidade trigonometrica cos2 θ + sen 2θ = 1. A coordenadaradial e, portanto,
r =√
x2 + y2. (2.170)
87
y
x0
P
x
y
r
θ
Figura 2.12: Coordenadas polares no plano.
Dividindo (2.168) por (2.167) obtemos
y
x=r sen θ
r cos θ= tan θ, (2.171)
de modo que a coordenada angular e obtida como
θ = arctan(y
x
)
. (2.172)
Devemos tambem transformar as equacoes diferenciais para este sistema decoordenadas, o que envolve a derivada total de uma funcao de duas variaveis(no caso, r e θ):
dx
dt=
∂x
∂r
dr
dt+∂x
∂θ
dθ
dt= cos θr − r sen θθ, (2.173)
dy
dt=
∂y
∂r
dr
dt+∂y
∂θ
dθ
dt= sen θr + r cos θθ, (2.174)
onde usamos (2.167), (2.168), e utilizamos por simplicidade o ponto acima davariavel quando designamos sua derivada em relacao ao tempo.
Multiplicando (2.173) por cos θ, (2.174) por sen θ, e substituindo ambas em(2.162) e (2.163), e
cos2 θr − r sen θ cos θθ = 2r sen θ cos θ, (2.175)
sen 2θr + r cos θ sen θθ = −2r sen θ cos θ, (2.176)
que, somadas membro a membro, resultam em
(cos2 θ + sen 2θ)r = r = 0, (2.177)
equacao esta tem uma solucao bastante simples, a saber
r = r0 = const. (2.178)
onde r0 =√
x20 + y2
0 , em termos das condicoes iniciais para as variaveis originais(x, y).
Substituindo esse ultimo resultado nas equacoes (2.175) e (2.176) chega-se a
−r0 sen θ cos θθ = 2r0 sen θ cos θ, (2.179)
+r0 cos θ sen θθ = −2r0 sen θ cos θ. (2.180)
88
-3
-2
-1
0
1
2
3
x(t)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9t
-3
-2
-1
0
1
2
3
y(t)
-5 0 5
-5
0
5
yM
xM
x
y
-yM
-xM
r0
θ
Figura 2.13: (a) Evolucao temporal das variaveis x e y para as condicoes iniciaisr0 = 2 e θ0 = 0. (b) Centro.
Simplificando tanto r0 como os senos e cossenos, verificamos que as equacoesreduzem-se a uma so
θ = −1, (2.181)
que pode ser imediatamente integrada, fornecendo
θ(t) = θ0 − t. (2.182)
onde tan θ0 = y0/x0.
Podemos, agora, interpretar as solucoes obtidas no sistema de coordenadaspolares, onde elas tornam-se particularmente simples: (2.178) e (2.182) indicamque a solucao procurada e um cırculo cujo centro encontra-se na origem (que,lembremos, e o ponto de equilıbrio) e de raio r0. Sendo a condicao inicial o pontode coordenadas (r0, θ0), com o passar do tempo a solucao percorre esse circulono sentido negativo (convencionalmente o sentido horario, ja que os anguloscrescem no sentido anti-horario). Nesse caso, as trajetorias no plano de faseexecutam cırculos concentricos (um para cada condicao inicial diferente)[Fig.2.13(b)].
O ponto de equilıbrio e dito um centro e, de acordo com as definicoes vistas nasecao precedente, e apenas estavel no sentido de Lyapunov, nao sendo atrativonem portanto assintoticamente estavel: os desvios da solucao de equilıbrio naose afastam indefinidamente nem se aproximam indefinidamente da origem, masoscilam em torno do valor de equilıbrio com o passar do tempo. Substituindo(2.178) e (2.182) em (2.167) e (2.168) resulta
x(t) = r0 cos(θ0 − t), (2.183)
y(t) = r0 sen (θ0 − t), (2.184)
de forma que os valores de x oscilam entre os valores maximo xM = r0 cos(θ0)e mınimo −xM . De forma analoga, a funcao y(t) e uma senoide com amplitudeyM = r0 sen (θ0) [Fig. 2.13(a)].
89
Foco estavel: Re(ξ1) < 0 e Re(ξ2) < 0
Para este caso, considere o exemplo
dx
dt= −2x+ 3y, (2.185)
dy
dt= −3x− 2y, (2.186)
equivalente a matriz
A =
(−2 3−3 −2
)
, (2.187)
a qual tem traco, determinante e discriminante dados por:
τ = −4, ∆ = 13, D = τ2 − 4∆ = −36 < 0, (2.188)
de modo que seus autovalores sao complexos conjugados, dados por (2.40), sao
ξ1,2 =−4 +
√−36
2= −2 ± 3i. (2.189)
Aqui tambem trabalharemos com coordenadas polares (r, θ), transformandoas equacoes do sistema (2.185)-(2.186) como segue
dx
dt= = cos θr − r sen θθ = −2r cos θ + 3r sen θ, (2.190)
dy
dt= = sen θr + r cos θθ = −3r cos θ − 2r sen θ. (2.191)
Multiplicando (2.190) por cos θ, (2.191) por sen θ
cos2 θr − r sen θ cos θθ = −2r cos2 θ + 3r sen θ cos θ, (2.192)
sen 2θr + r cos θ sen θθ = −3r sen θ cos θ − 2r sen 2θ, (2.193)
que, somadas membro a membro, fornecem
(cos2 θ + sen 2θ)r = −2r(cos2 θ + sen 2θ),
r = −2r,
a qual e uma equacao diferencial linear cuja solucao e
r(t) = Ce−2t, (2.194)
onde C e uma constante de integracao, fixada pela condicao inicial r(t = 0) = r0.Fazendo t = 0 em (2.194) concluimos que C = r0, de modo que (2.194) podeser reescrita como
r(t) = r0e−2t. (2.195)
Para obtermos a equacao que governa a evolucao temporal do angulo θ, tmosque multiplicar (2.173) por − sen θ, e (2.174) por cos θ, o que resulta em
− sen θ cos θr + r sen 2θθ = 2r cos θ sen θ − 3r sen 2θ, (2.196)
sen θ cos θr + r cos2 θθ = −3r cos2 θ − 2r sen θ cos θ, (2.197)
90
0
0,5
1
1,5
2
x(t)
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
t
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
y(t)
-5 0 5
-5
0
5
x
y
Figura 2.14: (a) Evolucao temporal das variaveis x e y para as condicoes iniciaisr0 = 2 e θ0 = 0. (b)
que, somadas membro a membro, fornecem
r(cos2 θ + sen 2θ)θ = −3r(cos2 θ + sen 2θ),
θ = −3,
ja que r 6= 0, e que e tambem uma equacao linear, cuja solucao e
θ(t) = −3t+ θ0. (2.198)
Para interpretar a solucao, expressa em coordenadas polares por (2.195) e(2.198), observamos inicialmente que as equacoes estao desacopladas, ou seja,que a evolucao de r so depende de r, o mesmo podendo ser dito de θ. Logo,pode-se fazer o limite t→ ∞ em (2.195), e concluimos que r tende a zero nessecaso. Logo, estamos nos aproximando do ponto de equilıbrio na origem, o que janos garante que este ponto e assintoticamente estavel. No entanto, ao contrariodo no estavel, agora temos uma convergencia oscilatoria, pois o angulo θ mudaseu valor com o passar do tempo, de acordo com (2.198). Inserindo (2.195) e(2.198) em (2.167) e (2.168) resulta
x(t) = r0e−2t cos(θ0 − 3t), (2.199)
y(t) = r0e−2t sen (θ0 − 3t), (2.200)
Os valores de x e y alternam-se entre valores positivos e negativos, mas as ampli-tudes decaem exponencialmente, como numa oscilacao amortecida, de forma queno limite t→ ∞ continuamos convergindo ao ponto de equilıbrio [Fig. 2.14(a)].Ja na Figura 2.14(b) mostramos o comportamento de varias trajetorias obtidasa partir de diferentes condicoes iniciais (r0, θ0). Da mesma forma que no caso docentro visto ha pouco, a trajetoria descreve uma trajetoria curvilınea no sentidohorario. Combinando uma diminuicao exponencial do raio com uma trajetoriacurva, chegamos a uma espiral convergente a origem. Nesse caso a solucao deequilıbrio v∗ = 0 e dita um foco estavel.
91
-80000
-40000
0
40000
80000
x(t)
3 4 5 6 7t
-80000
-40000
0
40000
y(t)
-5 0 5
-5
0
5
x
y
Figura 2.15: (a) Evolucao temporal das variaveis x e y para as condicoes iniciaisr0 = 2 e θ0 = 0. (b) Foco instavel.
Foco instavel: Re(ξ1,2) > 0
O exemplo que ilustra esse caso e uma pequena modificacao de sinal no sistemaanterior:
dx
dt= 2x+ 3y, (2.201)
dy
dt= −3x+ 2y, (2.202)
ou,
A =
(2 3−3 2
)
, (2.203)
cujos autovalores tambem sao complexos conjugados e dados por
ξ1,2 = 2 ± 3i. (2.204)
Uma analise em coordenadas polares, inteiramente analoga a precedente,leva as seguintes solucoes:
r(t) = r0e2t, (2.205)
θ(t) = −3t+ θ0. (2.206)
Observe que a unica alteracao em relacao ao exemplo anterior e o sinal doexpoente, desta vez positivo. A equacao em θ simplesmente nao se altera.Colocando (2.205) e (2.206) em (2.167) e (2.168) vem as solucoes
x(t) = r0e2t cos(θ0 − 3t), (2.207)
y(t) = r0e2t sen (θ0 − 3t). (2.208)
representando oscilacoes explosivas, ou seja, onde a amplitude diverge a umataxa exponencial [Fig. 2.15(a)].
Tomando o limite t → ∞ em (2.205) constatamos que o raio r diverge, ouseja, tende a infinito. Estamos, portanto, nos afastando com o passar do tempo,do ponto de equilıbrio na origem. Isso indica que esse equilıbrio e instavel. Adivergencia, aqui, e oscilatoria, pois o angulo θ muda seu valor com o passar do
92
Autovalores Condicao τ = TrA ∆ = detA Ponto fixo
reais D > 0 < 0 > 0 no estavelreais D > 0 > 0 > 0 no instavelreais D > 0 = 0 < 0 ponto de sela
complexos D < 0 = 0 > 0 centrocomplexos D < 0 < 0 > 0 foco estavelcomplexos D < 0 > 1 > 0 foco instavel
Tabela 2.1: Estabilidade do ponto fixo em modelos contınuos bidimensionaislineares.
tempo, de acordo com (2.206). Temos, portanto, a combinacao de um aumentoexponencial do raio com uma trajetoria curva no sentido horario, o que implicanuma trajetoria espiral que afasta-se da origem. A solucao de equilıbrio naorigem sera um foco instavel [Fig. 2.15(b)].
Outra situacao que escapa a classificacao de estabilidade consiste no caso emque um dos autovalores (reais) e nulo. Nestes casos, as trajetorias consistem emretas paralelas a uma reta que passa pela origem. Essa reta tem como direcaoo autovetor correspondente ao autovalor nao-nulo do sistema.
2.3.4 Criterio geral para estabilidade
Dentre os tres casos possıveis para os autovalores ξ1,2 da matriz A, podemosencontrar uma exigencia comum para a estabilidade do ponto de equilıbrio naorigem: os autovalores devem ser negativos, caso sejam reais, ou terem a partereal negativa, caso complexos.
v∗ = 0 e estavel se Re(ξ1,2) < 0. (2.209)
Lembremos que, para sistemas bidimensionais, a equacao secular e de se-gundo grau:
ξ2 + a1ξ + a2 = ξ2 − ( TrA)ξ + (detA) = 0, (2.210)
cujas solucoes podem ser reais ou complexas, dependendo do discriminante
D = a21 − 4a2 = ( TrA)
2 − 4(detA)2
= τ2 − 4∆, (2.211)
ondeτ = −a1 = TrA, ∆ = a2 = detA. (2.212)
E possıvel mostrar que as raızes de (2.210) terao partes reais negativas se, esomente se, as duas condicoes seguintes forem satisfeitas:
−a1 = τ < 0, (2.213)
a2 = ∆ > 0, (2.214)
Ja o comportamento das solucoes na vizinhanca do ponto de equilıbrio na ori-gem, tanto ao aproximarem-se de um ponto estavel como ao afastarem-se de umponto instavel, sera: (i) oscilatorio se os autovalores forem complexos (D < 0);e (ii) nao-oscilatorio se os autovalores forem reais (D ≥ 0).
93
0
τ
∆
D = 0
D < 0
D > 0
foco instavel
foco estavel
no estavel
no instavel
ponto
sela
de centro
no degen.
Figura 2.16: Diagrama de estabilidade no plano traco versus determinante damatriz A.
Na tabela 2.1 resumimos as diferentes situacoes de estabilidade para o pontode equilıbrio na origem, conforme os valores de τ , ∆ e D. Uma forma pratica devisualizarmos os diferentes casos de estabilidade consiste em tracarmos um dia-grama τ−∆, ou seja, do traco versus o determinante da matriz A (Figura 2.16).Pelas condicoes gerais de estabilidade (2.213)-(2.214), o ponto de equilıbrio naorigem sera estavel se os valores de τ e ∆ estiverem no quadrante inferior es-querdo do diagrama (τ negativo e ∆ positivo). A condicao de realidade dosautovalores define uma curva crıtica no diagrama da Figura 2.16, a saber,
D = τ2 − 4∆ = 0 ⇒ ∆ =1
4τ2, (2.215)
que e representada por uma parabola com vertice na origem e concavidade nadirecao dos ∆ negativos. Se ∆ < 0, os valores de τ e ∆ que fornecem autovalorescomplexos (focos estavel, instavel e centro) situam-se no interior da concavidadedeterminada pela parabola. Os casos onde ∆ = 0 levam a autovalores reaisdegenerados, que podem corresponder a nos do tipo estrela (dois autovetoresLI quaisquer), a nos degenerados (um unico autovetor LI), ou ainda a feixes deretas paralelas (um autovalor nulo), como vimos na secao precedente.
2.4 Exemplo em Economia: Modelo de inflacao
e desemprego
Como exemplo de modelo contınuo bidimensional linear em Economia, vamosabordar um modelo dinamico inflacao-desemprego que emprega a relacao co-nhecida na literatura macroeconomica como curva de Phillips. Inicialmenteveremos como as variaveis sao definidas, enfatizando o uso de logaritmos naelaboracao de modelos economicos. As hipoteses do modelo, principalmente no
94
que diz respeito a curva de Phillips, serao utilizadas para obter um sistema bi-dimensional linear, cujos pontos de equilıbrio serao estudados e interpretadoseconomicamente, bem como as suas condicoes de estabilidade.
2.4.1 Macrovariaveis e logaritmos
Sejam N(t) e U(t) os numeros de empregados e desempregados (procurandoemprego) no perıodo t, tal que L(t) = N(t)+U(t) seja a forca de trabalho nesteperıodo. A taxa de desemprego neste perıodo t e
u(t) =U(t)
L(t)=
U(t)
N(t) + U(t). (2.216)
O logaritmo natural, ou neperiano, lnx, tem propriedades matematicasque o tornam muito util na descricao a tempo contınuo de fluxos de variaveiseconomicas. A derivada da funcao logaritmo neperiano y(x) = lnx e
dy(x)
dx=
d
dxlnx =
1
x. (2.217)
Considerando a interpretacao da derivada como o limite de uma razao entreincrementos (vide Eq. (1.5) no Capıtulo 1), podemos considerar a seguinteaproximacao:
dy(x)
dx= lim
∆x→0
y(x+ ∆x) − y(x)
∆x≈ ∆y
∆x, (2.218)
e que e tanto melhor quanto menor for o intervalo ∆x. No caso do logaritmoneperiano:
∆y
∆x=
∆ lnx
∆x=
1
x, (2.219)
de modo que
∆y = ∆ lnx =∆x
x, (2.220)
ou seja, a variacao do logaritmo da variavel x e aproximadamente igual a mu-danca relativa (normalizada) dessa variavel. Como ∆x/x e comumente expressoem percentagens, e portanto conveniente exprimir fluxos de variaveis economicasem termos de logaritmos neperianos[6]. A razao
dy/dx
x=
d
dt(ln y(x)) (2.221)
e chamada derivada logarıtmica.Como um exemplo, seja P (t) o nıvel de precos no instante t. Definimos
a taxa de inflacao como a variacao normalizada do nıvel de precos entre doisperıodos sucessivos:
π(t) =dP/dt
p=
d
dt(lnP ), (2.222)
isto e, a derivada logaritmica do nıvel de precos. Para outro exemplo, sejaM(t) a base monetaria no ano t. A sua taxa nominal de variacao representa ofluxo de capital injetado ou retirado da economia naquele perıodo pela autori-dade monetaria. Aqui, tambem, podemos definir a derivada logarıtmica dessaquantidade como o fluxo de variacao da base monetaria
m(t) =dM/dt
M=
d
dt(lnM). (2.223)
95
Aqui seguimos a convencao usual de que letras minusculas representam deri-vadas logarıtmicas de quantidades escritas com letras maiusculas. Finalmente,podemos considerar a macrovariavel salarios W (t), com taxa de variacao dW/dt.Por analogia, o fluxo de variacao salarial e a derivada do logaritmo de W emrelacao ao tempo, ja que
w(t) =dW/dt
W=
d
dt(lnW ). (2.224)
2.4.2 Curva de Phillips
Em finais da decada de 60, Phillips [30], ao analisar as estatısticas de salarios etaxas de desemprego no Reino Unido, observou a existencia de uma relacao entreestas taxas: altas taxas de desemprego u forcam os fluxos de salarios nominaisw para baixo e vice-versa. Solow e Samuelson desenvolveram estudos similaresnos Estados Unidos [31]. Podemos escrever esta relacao genericamente como
w = f(u), (2.225)
onde df(u)/du < 0, ou seja, w diminui (aumenta) a medida em que u aumenta(diminui).
O chamado efeito de markup faz com que aumentos salariais (w > 0) car-reguem implicacoes inflacionarias. Em princıpio poderıamos admitir que astaxas de aumento salarial refletir-se-ıam diretamente nas taxas de inflacao:π(t) = w(t). No entanto, o efeito inflacionario de aumentos salariais pode serdiminuido pelo aumento da produtividade T (t) dos trabalhadores, o qual serasuposto exogeno (T ) de modo que
π = w − T , (2.226)
e a curva de Phillips (2.225) sera escrita como
π = f(u) − T . (2.227)
A curva de Phillips forneceu uma descricao razoavel do comportamento dastaxas de inflacao e desemprego ate o final da decada de 60, a partir da qualela aparentemente deixou de ser verificada: observaram-se altas taxas de de-semprego e de inflacao [32]. Friedman explicou esse comportamento a partirda hipotese de que, se uma tendencia de aumento da inflacao subsiste por umtempo suficientemente grande, os agentes economicos formam expectativas in-flacionarias, as quais tentam incorporar as suas demandas por aumentos desalario.
Nesse caso, entra em cena a taxa de inflacao esperada para o perıodo t, quesera expressa πe(t). Friedman propos que a curva de Phillips levasse em contatambem a taxa de inflacao esperada, na seguinte forma [33]:
π − aπe = f(u) − T , (2.228)
onde 0 < a < 1 e um coeficiente que mede a influencia da taxa de inflacaopassada na expectativa de inflacao presente.
No perıodo examinado por Phillips (no Reino Unido) [30] e Samuelson eSolow (nos Estados Unidos) [31], os agentes economicos ignoraram as inflacoes
96
f(u)
α /β
α
u
Figura 2.17: Curva de Phillips linear.
passadas, de modo que a era proximo a zero, ou πe(t) = 0, e a relacao entreinflacao e desemprego era fornecida pela curva de Phillips original (2.227). Namedida em que a taxa de inflacao aumentava de forma persistente, a taxa deinflacao esperada para um certo perıodo era igual a taxa do perıodo anterior, ea = 1. Nesse caso, a curva de Phillips relaciona, de fato, a taxa de desempregocom a variacao da taxa de inflacao.
Numa curva de Phillips modificada por expectativas, o baixo desempregoprovocara um aumento da taxa de inflacao e vice-versa. De fato, analisandoeconometricamente os dados para os Estados Unidos de 1970 a 1994, encontra-se uma relacao linear da forma [Fig. 2.17]
f(u) = α− βu, (2.229)
onde α = 7, 5 e β = 1, 15 (sendo as taxas expressas em percentuais) [16]. Umestudo semelhante, realizado para a Uniao Europeia no mesmo perıodo, apontatambem uma curva de Phillips modificada com α = 6, 1 e β = 0, 66.
Usando uma funcao de ajuste linear (6.279) numa curva de Phillips modifi-cada por expectativas (6.278), temos que a taxa de inflacao num instante t seradada por
π = aπe + α− T − βu. (2.230)
Tomando a = 1, o chamado nıvel natural de desemprego, ou NAIRU, e definidocomo a taxa de desemprego que nao provoca aceleracao inflacionaria, ou seja, eo valor de u = uE tal que f(uE) = 0 com π = πe e T = 0. De (2.230), temosque o nıvel natural de desemprego sera
uE =α
β. (2.231)
2.4.3 Equacoes e hipoteses do modelo
A primeira hipotese do modelo e supor que as expectativas sao formadas adap-tativamente, ou seja, a taxa de inflacao esperada num perıodo e ajustada emfuncao da diferenca entre as taxas esperada e realizada no perıodo anterior.Logo a taxa de variacao da inflacao esperada e proporcional a essa diferenca:
dπe
dt= c(π − πe). (2.232)
97
onde c > 0 e um coeficiente de incorporacao dos sucessos (ou insucessos) naformacao de expectativas inflacionarias. Se π > πe, ou seja, se a inflacao obser-vada for maior que a esperada, as expectativas sao puxadas para cima, ou seja,sua taxa de variacao sera positiva, ou dπe/dt > 0. Analogamente, se π < πe asexpectativas sao puxadas para baixo, e dπe/dt e negativa.
A segunda hipotese do modelo diz respeito ao efeito da polıtica monetariasobre as macrovariaveis: o Banco Central faz um aumento da taxa de expansaomonetaria real, que atua na diminuicao da taxa de desemprego via aumentona demanda. Em outras palavras, com mais dinheiro circulando na economia,ha um aquecimento geral das atividades provocado pelo aumento dos salariose que, por sua vez, estimula a criacao de mais empregos. Vamos modelar esteefeito por uma relacao linear entre a variacao na taxa de desemprego e a taxade expansao monetaria real. Esta ultima, por sua vez, e igual a taxa nominalm(t) dada por (6.283), e descontada a inflacao naquele perıodo:
ut+1 − ut ≈du
dt= −b(m− π), (2.233)
onde o parametro b > 0 e a elasticidade da taxa de desemprego em relacaoa variacoes da polıtica monetaria; e m, a taxa nominal de variacao da basemonetaria, que e considerada uma variavel exogena nesse modelo.
Substituindo (2.230) em (2.232) e (6.286) temos
dπe
dt= c(a− 1)πe − cβu+ c(α− T ), (2.234)
du
dt= abπe − bβu− b(m− α+ T ), (2.235)
e que tem a forma de um modelo bidimensional linear (2.45)
dv
dt= A.v + B,
onde
v =
(πe
u
)
, (2.236)
A =
(c(a− 1) −cβab −bβ
)
,
B =
(c(α− T )
−b(m− α+ T )
)
.
O determinante e o traco da matriz A sao, respectivamente
τ = detA = cbβ, (2.237)
∆ = TrA = c(a− 1) − bβ. (2.238)
2.4.4 Ponto de equilıbrio e sua estabilidade
O ponto de equilıbrio do modelo e dado por v∗ = −A−1.B, onde
A−1 =1
cbβ
(−bβ cβ−ab c(a− 1)
)
(2.239)
=
(−1/c 1/b−a/cβ (a− 1)/bβ
)
,
98
de forma que
v∗ =
(πe∗
u∗
)
=
(−1/c 1/b−a/cβ (a− 1)/bβ
)(c(α− T )
−b(m− α+ T )
)
, (2.240)
ou seja,
πe∗ = m, (2.241)
u∗ =(a− 1)m+ α− T
β. (2.242)
Logo, a taxa de inflacao esperada no equilıbrio e a propria taxa de expansaomonetaria. Ja a taxa de inflacao de equilıbrio u∗, no caso particular onde a = 1(incorporacao plena da inflacao passada na expectativa de inflacao futura) eT = 0, fornece
u∗ =α
β= uE . (2.243)
que e a taxa natural de desemprego (2.231).Estudaremos, agora, a estabilidade desta solucao de equilibrio. Na secao
anterior, vimos que as condicoes de estabilidade do ponto de equilıbrio saoτ < 0 [Eq. (2.213)] e ∆ > 0 [Eq. (2.214)]. De (2.237) e (2.238) temos, para umequilıbrio estavel, as seguintes condicoes sobre os parametros do modelo:
cbβ > 0,
c(a− 1) − bβ < 0.
Enquanto a primeira desigualdade e sempre verificada, uma vez que c, b e β saotodos coeficientes positivos, a segunda implica em que c(a − 1) < bβ. Como0 < a < 1, entao a − 1 < 0, e entao esta desigualdade tambem resulta sem-pre verificada. Concluimos, entao, que as taxas de inflacao e desemprego deequilıbrio sao sempre estaveis neste modelo.
Alem de conhecer a estabilidade do ponto fixo, e importante determinar se aconvergencia a ele sera oscilatoria ou nao. Por exemplo, se determinarmos umaconvergencia oscilatoria, a taxa de inflacao esperada sera alternadamente maiorou menor que a taxa de equilıbrio m (mas com o tempo tende a ele). Do pontode vista das expectativas dos agentes economicos, convergencias oscilatorias saomais complicadas pois nao oferecem uma visao clara do futuro, o que gera in-certezas. Matematicamente, isso implica em determinar se o ponto de equilıbrioe um foco ou no estavel, para os quais a convergencia ao equilıbrio e oscilatoriaou nao, respectivamente.
Para tal, devemos calcular o discriminante (2.211):
D = τ2 − 4∆ = [c(a− 1) − bβ]2 − 4cbβ. (2.244)
Comecemos pelo caso a = 1, para o qual D = bβ(bβ − 4c). Como bβ e semprepositivo, D > 0 (autovalores reais) sempre que bβ − 4c ≥ 0, ou seja, quando
b ≥ b∗1 ≡ 4c
β, (2.245)
o que fornece um no estavel para o ponto de equilıbrio. Se, por outro lado,0 < b < b∗1, teremos consequentemente autovalores complexos, ou um focoestavel.
99
c
b
0
b = b
b = b
1
2
no
focoestavel
noestavel
estavel
Figura 2.18: Plano de parametros para o modelo da curva de Phillips
O caso 0 < a < 1 e um pouco mais trabalhoso. Desenvolvendo o discrimi-nante (2.244) temos que, para autovalores complexos, exige-se que
D = c2(a− 1)2 − 2c(a− 1)bβ + b2β2 − 4cbβ < 0,
= c2(a− 1)2 − 2cbβ(a+ 1) + b2β2 < 0,
O trinomio quadrado acima em b pode ser escrito na forma (b− b1)(b− b2) ondeas raızes sao dadas por
b1,2 =2cβ(a+ 1) ±
√
4c2β2(a+ 1)2 − 4c2β2(a− 1)
2
2β2,
=c(a+ 1)
β±
√(c
β
)2
[(a+ 1)2 − (a− 1)
2],
=c
β(a+ 1 ± 2
√a). (2.246)
Logo, D < 0 para b2 < b < b1 (autovalores complexos = foco estavel), e D ≥ 0para b > b1 ou para 0 < b < b2 (autovalores reais = no estavel). Evidentemente,se tomarmos o limite a = 1, obtemos que b1 = 4c/β = b∗1, e b2 = 0.
A analise fica particularmente simples no plano de parametros b versus c,onde fixamos o valor do coeficiente a. Podemos graficar as curvas correspon-dentes aos valores-limites em (2.246):
b = b1 =c
β(a+ 1 + 2
√a) (2.247)
b = b2 =c
β(a+ 1 − 2
√a) (2.248)
que sao retas que passam pela origem. Para valores de b na cunha delimitadapor essas duas retas, teremos uma convergencia oscilatoria para o equilıbrio, aopasso que no restante do plano de parametros, a convergencia e nao-oscilatoria.
Consideremos um exemplo numerico, tomando os coeficientes da curva dePhillips para os Estados Unidos: α = 7, 5, β = 1, 15 (as taxas de inflacao e
100
desemprego estao expressas em percentuais); e um coeficiente de expectativasinflacionarias como c = 0, 6. Neste caso a taxa natural de desemprego e
u∗ =α
β=
7, 5
1, 15≈ 6, 52%. (2.249)
De fato, estudos mais aprofundados mostram que a taxa natural de desempregodeve ser da ordem de 6%, portanto apenas um pouco menor do que aquela pre-vista pelo modelo aqui abordado. Tomaremos como valor para o coeficiente deinfluencia a = 0, 5, a “meio-caminho” entre os extremos 0 (nenhuma influenciasobre a inflacao futura) e 1 (repasse total da inflacao passada).
Vamos, agora, determinar se a convergencia ao equilıbrio e ou nao oscilatoria.Os limiares (2.247) e (2.247) para a elasticidade do desemprego tem os seguintesvalores
b1 =0, 6
1, 15(0, 5 + 1 + 2
√
0, 5) = 1, 520, (2.250)
b2 =0, 6
1, 15(0, 5 + 1 − 2
√
0, 5) = 0, 045, (2.251)
tal que 0, 045 < b < 1, 520 caracteriza um comportamento oscilatorio. Como b2e muito proximo a zero, um valor ”seguro”seria, por exemplo, b = 2, implicandoque cada 1% de aumento da base monetaria provocaria 2% de diminuicao dataxa de desemprego.
Independentemente dos valores dos parametros aqui escolhidos, este mo-delo preve taxas de inflacao e desemprego estaveis, o que de certa forma e umtanto irreal e mostra as limitacoes de um modelo tao simples para um contextotao complexo. Modelos macroeconomicos mais sofisticados para a dinamica in-flacao-desemprego levam em conta o equilıbrio nos mercados de bens e moeda, apartir da introducao de outras variaveis, como a taxa de juros [ver, por exemplo,o Capıtulo 6 da referencia [6]].
2.5 Exemplo em Economia: Modelo macroeconomico
IS-LM
Como um segundo exemplo de modelos contınuos bidimensionais lineares emEconomia, abordaremos o famoso modelo macroeconomico IS-LM, que consi-dera o equilıbrio nos mercados de bens e moeda numa economia fechada. Antesde abordar o modelo dinamico propriamente dito, vamos recordar alguns as-pectos do modelo estatico, o qual e estudado em todos os textos didaticos demacroeconomia [16]. Incluiremos a evolucao temporal no modelo estatico ad-mitindo que os mercados de moeda ajusta-se mais rapidamente que o mercadode bens, mediante variacoes em parametros do modelo, como a oferta de moeda(expansao monetaria) e o gasto governamental (expansao fiscal).
2.5.1 Macrovariaveis e hipoteses do modelo
Mercado de bens
As variaveis a serem empregadas na descricao do mercado de bens sao essen-cialmente as mesmas abordadas nos modelos de crescimento economico vistos
101
no Capıtulo 1: Y : renda ou produto, Z: demanda total por bens, C: despesasde consumo, I: despesas de investimento, G: gastos governamentais. Incluire-mos, ainda, os impostos (T ) e a taxa de juros (r). Na hipotese de equilıbrio, oproduto e igual a demanda total
Y = Z = C + I +G, (2.252)
Os gastos governamentais serao considerados exogenos G = G, ao passo quesuporemos o investimento como diminuindo linearmente com a taxa de juros
I = I0 − hr, (2.253)
onde I0 e o investimento autonomo, e h > 0 e a taxa de variacao dos investimen-tos em relacao a taxa de juros. A arrecadacao de impostos cresce linearmentecom a renda total na forma
T = T0 − θY, (2.254)
onde T0 e a parte fixa e 0 ≤ θ ≤ 1 e a taxa marginal de impostos. Ja o consumoaumenta com a renda disponıvel Yd = Y − T , ou seja, a renda total menos osimpostos:
C = a+ bYd = a+ b(Y − T ), (2.255)
onde a o consumo autonomo, e 0 ≤ b ≤ 1 e a propensao marginal de consumo.
Mercado de moeda
Sejam Ms e Md a oferta e a demanda por moeda, respectivamente. Considera-remos a oferta de moeda como uma variavel exogena
Ms = M, (2.256)
enquanto a demanda por moeda cresce linearmente com a renda (produtores pro-curam emprestimos para a aquisicao de maquinas e equipamentos, por exemplo)e diminui, tambem linearmente, com a taxa de juros. Escrevemos, pois
Md = M0 + kY − µr, (2.257)
onde M0 e a parte fixa, , e k > 0 e µ > 0 sao as respectivas taxas marginais.Tambem o mercado de moeda e suposto em equilıbrio, ou seja, a oferta pormoeda e sempre igual a demanda por moeda
Md = Ms. (2.258)
2.5.2 Modelo estatico
Por simplicidade, primeiramente vamos supor que as macrovariaveis sejam estaticas.A condicao de equilıbrio no mercado de bens implica, substituindo (5.84), (2.254)e (2.255) em (2.252), que
Y = (a− bT0 + I0 + G) + b(1 − θ)Y − hr (2.259)
de modo que, colocando a taxa de juros em evidencia, podemos escrever
r = A0 −A1Y, (2.260)
102
r
curva LM
curva IS
A o
AY
o
o
Y
o
B
/B1
/A1−BE
Figura 2.19: Curvas IS e LM no modelo estatico.
onde definimos as constantes
A0 ≡ a− bT0 + I0 + G
h, (2.261)
A1 ≡ b(1 − θ)
h, (2.262)
que, num grafico da taxa de juros r versus a renda Y , define a chamada curva IS,que e uma reta com coeficiente angular −A1 (inclinacao negativa) e coeficientelinear A0, interceptando o eixo das abscissas no ponto A0/A1 [Fig. 2.19].
O equilıbrio no mercado de moeda e descrito substituindo (2.256) e (2.257)em (2.258), fornecendo
µr = M0 + kY − M, (2.263)
ou, colocando a taxa de juros em evidencia,
r = B0 +B1Y, (2.264)
onde
B0 ≡ M0 − M
µ, (2.265)
B1 ≡ k
µ, (2.266)
que define a curva LM, que e uma reta com coeficiente angular B1 (inclinacaopositiva) e coeficiente linear B0 Fig. 2.19.
O ponto de intersecao entre as curvas IS e LM define a renda de equilıbrioYE e a taxa de juros de equilıbrio rE , as quais sao solucoes do sistema linear
rE = A0 −A1YE , (2.267)
rE = B0 +B1YE , (2.268)
103
r
A o
AY o
Y
/A1
r
Y
r
P
P
E1
E2
1
2
LM
IS
IS
1
2
E1 E2
(a) r
Y
Y
r
Y
E1
IS
E1 E2o 1
rE2
LM
LM1
2
/B−B
Bo
P1
P2
(b)
Figura 2.20: Curvas IS e LM no modelo estatico quando ha uma (a) expansaofiscal; (b) expansao monetaria.
a saber,
YE =A0 −B0
A1 +B1, (2.269)
rE =B1A0 +B0A1
A1 +B1. (2.270)
Na analise estatica comparativa estudamos como o ponto de equilıbrio domodelo P1 = (YE , rE) muda de posicao quando alteramos determinados parametrosdo mesmo. Por exemplo, se fazemos uma expansao fiscal, ou seja, se os gastosgovernamentais sao aumentados de uma certa quantidade G → G + ∆G. Pelaequacao (2.261) vemos que o parametro A0 crescera de uma quantidade ∆G/h,de modo que a reta IS desloca-se paralelamente para a direita (ja que os pontosde intersecao com ambos os eixos dependem de A0, conforme a Fig. 2.19). Se areta LM permanecer imovel, o ponto de intersecao deslocar-se-a para uma novaposicao P2, o que implica numa maior renda de equilıbrio, bem como numamaior taxa de juros [Fig. 2.20(a)].
Outra variacao possıvel e uma expansao monetaria, quando a oferta de mo-eda e aumentada de uma quantidade M → M + ∆M . Pela equacao (2.265),concluimos que o parametro B0 diminuira de ∆M/µ. Como os pontos de in-tersecao da reta LM com os eixos dependem ambos de B0 [Fig. 2.19], a retaLM desloca-se paralelamente para baixo, assim como o ponto de intersecao coma reta IS, implicando numa renda de equilıbrio maior, porem numa menor taxade juros [Fig. 2.20(b)].
2.5.3 Modelo dinamico
A despeito de fornecer uma descricao do que ocorre com os pontos de equilıbrioquando fazemos uma mudanca num parametro exogeno do modelo, a analiseestatica comparativa nada informa sobre como o sistema evoluiu de um pontoa outro. Essa questao e importante na medida em que o comportamento tran-sitorio pode apresentar uma evolucao nao-oscilatoria ou oscilatoria. Como umexemplo, vamos considerar o caso de uma expansao fiscal, para o qual a curvaIS desloca-se paralelamente para a direita, do ponto P1 para o ponto P2. NaFigura 2.21 nos consideramos tres trajetorias possıveis conectando estes pontos
104
r
Y
Y
r
Y
r
P
P
E1
E2
1
2
LM
IS
IS
1
2
E1 E2
12
3
Figura 2.21: Trajetorias no plano de fase do modelo dinamico IS-LM para umasituacao de expansao monetaria.
inicial e final, de modo que nos tres casos tanto a taxa de juros final como oproduto final sao os mesmos. No entanto, o modo como o sistema converge asituacao final sera diferente para os tres casos:
1. um segmento de reta ligando P1 e P2, e representando um ajuste ins-tantaneo do mercado de moeda (que, neste caso, sempre encontra-se emequilıbrio), com crescimento monotonico da taxa de juros e do produto;
2. um segmento de curva mostrando uma evolucao tambem monotonica, masa taxa de juros aumenta muito rapidamente no inıcio, e depois muitolentamente no final do processo;
3. um trecho de espiral convergente mostrando uma evolucao oscilatoria dasduas variaveis em direcao ao estado final, revelando um ´´overshooting´´da taxa de juros que inicialmente aumenta muito mais do que o desejado,para depois decrescer menos que o desejado, e so finalmente convergir (essecaso sera analisado em detalhes num exemplo numerico a seguir).
O primeiro pressuposto do modelo dinamico, alem da validade da analiseestatica vista na secao anterior, e uma relacao de ajuste no mercado de bens: arenda aumenta se ha um excesso de demanda (Z = C + I +G > Y ), e cai se haexcesso de oferta (Z < Y ), de modo que no equilıbrio Z = Y , conforme (2.252).
dY
dt= α(Z − Y ), (2.271)
onde α > 0 e a velocidade de ajuste no mercado de bens. O mesmo raciocıniovalera para o mercado de moeda: a taxa de juros ira aumentar se ha excesso dedemanda pela moeda (Md > Ms), e diminuir se ja excesso de oferta (Md < Ms),de acordo com a relacao
dr
dt= β(Md −Ms), (2.272)
sendo β > 0 a velocidade de ajuste no mercado de moeda.
105
A segunda hipotese do modelo dinamico e que o mercado de moeda ajusta-semais rapidamente que o mercado de bens, ou seja, que β > α. Como enfatizadopor Shone [6], as taxas de juros ajustam-se rapidamente na medida em que asinformacoes sao disseminadas pelo mercado. Ja o mercado de bens tem umajuste bem mais lento, pois as empresas tem que contratar mais trabalhadoresde forma que o produto aumente na proporcao desejada, o que consome tempo.Uma aproximacao bastante comum e supor ajustes instantaneos no mercado demoeda, o que implica formamente em tomar o limite β → ∞, de modo que omercado de moeda encontrar-se-a sempre em equilıbrio (ou seja, sobre a curvaLM). Nossa analise, porem, sera mais geral.
Substituindo (5.84), (2.254) e (2.255) em (2.271) obtemos
dY
dt= α[a+ b(Y − T0 − θY ) + I0 − hr + G− Y ], (2.273)
assim como, inserindo (2.256) e (2.257) em (2.272),
dr
dt= β[M0 − M + kY − µr], (2.274)
as quais, em vista de (2.261), (7.96), (2.265) e (2.266) podem ser reescritas como
dY
dt= αh(A0 −A1Y − r), (2.275)
dr
dt= βµ(B0 +B1Y − r). (2.276)
e que tem a forma de um modelo bidimensional linear (2.45) onde
v =
(Yr
)
, (2.277)
A =
(−αhA1 −αhβµB1 −βµ
)
,
B =
(αhA0
βµB0
)
.
O determinante e o traco da matriz A sao, respectivamente
τ = detA = −αhA1 − βµ, (2.278)
∆ = TrA = αβhµ(A1 +B1). (2.279)
2.5.4 Ponto de equilıbrio e sua estabilidade
O ponto de equilıbrio do modelo
v∗ =
(Y ∗
r∗
)
(2.280)
pode ser encontrado pela sua definicao v∗ = −A−1.B, mas tambem de formabem mais sımples impondo que Y ∗ e r∗ tenham derivada temporal nula em(2.275)-(2.276).
0 = αh(A0 −A1Y∗ − r∗), (2.281)
0 = βµ(B0 +B1Y∗ − r∗). (2.282)
106
que nos leva ao sistema (2.267)-(2.268), com as mesmas solucoes, a saber, a rendae a taxa de juros de equilıbrio para o modelo estatico: Y ∗ = YE e r∗ = rE .
Aplicando, agora, as condicoes de estabilidade do ponto de equilıbrio τ < 0[Eq. (2.213)] e ∆ > 0 [Eq. (2.214)], e necessario que
−αhA1 − βµ < 0, (2.283)
αβhµ(A1 +B1) > 0. (2.284)
para que (Y ∗, r∗) seja assintoticamente estavel. Vamos examinar a primeiradesigualdade , Eq. (2.283). Ela implica em que
A1 > −βµαh
.
Como todos os parametros do lado direito sao positivos, o lado direito e certa-mente um numero negativo. Mas, como vamos mostrar abaixo, A1 e necessaria-mente um numero nao-negativo, entao essa desigualdade sera sempre verificada.
Para mostrar que A1 > 0, usamos as propriedades que 0 ≤ θ ≤ 1 e 0 ≤ b ≤ 1.A primeira delas leva-nos a 1 − b ≤ A1h ≤ 1, enquanto a segunda conduz aθ ≤ A1h ≤ 1. Combinando as duas desigualdades temos que
max(1 − b, θ) ≤ A1h ≤ 1.
Como tanto 1 − b como θ sao nao-negativos, assim como h > 0, em qualquersituacao teremos A1 nao-negativo. Alem disso, decorre tambem que a segundadesigualdade, Eq. (2.284) e verificada sempre que A1 > 0 (ja que B1 > 0). Con-cluimos que (Y ∗, r∗) sao sempre solucoes de equilıbrio assintoticamente estaveis.
Para estudar se a convergencia ao equilıbrio sera ou nao oscilatoria, devemoscalcular o discriminante (2.211):
D = τ2 − 4∆ = (αhA1 + βµ)2 − 4αβhµ(A1 +B1),
= α2h2A21 + 2αβµhA1 + β2µ2 − 4αβhµ(A1 +B1),
= α2h2A21 − 2αβµhA1 + β2µ2 − 4αβhµB1,
= α2h2A21 − 2αβµh(A1 + 2B1) + β2µ2. (2.285)
Vamos estudar a possibilidade de autovalores complexos conjugados para amatriz A, que ocorre sempre que D < 0. Nesse caso, a solucao de equilıbrio seraum foco estavel no plano de fase, e as trajetorias irao convergir ao equilıbrioespiralando em torno deste. Como o discriminante em (2.285) tem a forma deum trinomio quadrado no parametro α, que pode ser escrito como
D = (α− α1)(α− α2),
onde α1 e α2 > α1 sao as raizes da expressao D = 0, sabemos que D seranegativo desde que α1 < α < α2. As raizes de (2.285) sao
α1,2 =αβµh(A1 + 2B1)
hA21
± βµ
hA1
√
4B21 + 4A1B1 − 3A2
1. (2.286)
Caso α < α1 ou α > α2 o discriminante sera positivo, e o ponto de equilıbriosera um no estavel.
107
Figura 2.22: Planilha eletronica para a solucao do modelo dinamico IS-LMquando ha uma expansao monetaria de M = 8 para 12.
Para um exemplo numerico, tomemos os valores sugeridos na Referencia [6],pg. 101: a = 15, b = 0, 75, θ = 0, 25, T0 = 0, I0 = 10, M0 = 0, h = 1, 525,G = 25, M = 8, k = 0, 25, µ = 0, 5. Para as velocidades de ajuste temosα = 0, 05 e β = 0, 8, que e significativamente maior que α porem nao infinito.Os parametros das curvas IS e LM serao
A0 = 32, 79 A1 = 0, 2869 B0 = −16 B1 = 0, 5
correspondendo aos pontos de equilıbrio (2.269)(2.270):
YE = 62, rE = 15.
O traco, determinante, e discriminante tem os respectivos valores:
τ = −0, 422 < 0, ∆ = 0, 024 > 0, D = 0, 0821 > 0,
mostrando ser este equilıbrio um no estavel.Com o objetivo de estudar a evolucao deste equilıbrio quando mudamos
os parametros exogenos, vamos considerar o exemplo da expansao monetariacaracterizada pelo aumento da oferta de moeda do valor inicial M = 8 para12, o que desloca a curva LM paralelamente para a direita, fazendo a renda deequilıbrio aumentar para o valor 12, 17 e a taxa de juros de equilıbrio cair para12, 08. Pode-se mostrar (veja o Problema 10) que o novo equilıbrio continuasendo um no estavel. Para descrever a evolucao da renda e da taxa de jurosdurante o processo de expansao monetaria, consideramos o ponto de equilıbrioantigo como a condicao inicial de uma trajetoria que evolui assintoticamentepara o ponto de equilıbrio novo, e que esta representada na Figura 2.22.
Embora ambos os pontos de equilıbrio sejam nos estaveis e nao haja con-vergencia oscilatoria, ela tambem nao e monotonica, como pode ser visto pelo
108
comportamento da taxa de juros: ela inicia no valor de equilıbrio antigo (15),cai para um valor proximo a 8, e depois volta a subir ate estacionar no valor deequilıbrio novo 12. Embora a taxa de juros caia, como esperado pelo modeloestatico, apenas o modelo dinamico e capaz de explicar o “overshooting” quefaz a taxa cair mais do que deveria, para depois subir novamente um pouco. Omercado pode reagir de forma inesperada a esses movimentos, pois as expecta-tivas sao revistas continuamente, e um “overshooting” como o que observamospode levar a uma alteracao em outros parametros do modelo.
2.6 Problemas
1. Seja a matriz [[34], pg. 136]A =
„
1 −20 3
«
. Ache o vetor coluna v =
„
xy
«
tal
que A.v =
„
01
«
.
2. Considere dois numeros reais α e β, tais que M =
„
−2α 1b 0
«
. Ache a relacao
entre α e β de forma que a matriz M tenha um autovalor real.
3. Se A e B sao matrizes bidimensionais, prove (por calculo direto) que det(A.B) =detAdetB.
4. Verifique explicitamente que o produto das seguintes matrizes [[27], pg. 64]:„
a bb a
«
e
„
c dd c
«
, e comutativo.
5. Se v1 =
„
x1
y1
«
e v2 =
„
x2
y2
«
sao duas solucoes linearmente independentes de
um modelo bidimensional linear (2.45), pode-se mostrar que o seguinte deter-minante, dito Wronskiano das solucoes, e diferente de zero:
W =
˛
˛
˛
˛
x1 x2
y1 y2
˛
˛
˛
˛
6= 0
Usando esse resultado, mostre que v1 = e−2t
„
1−1
«
e v2 = e6t
„
35
«
sao solucoes
linearmente independentes, de modo que a solucao geral do sistema x = x + 3y,y = 5x + 3y, sera uma combinacao linear das mesmas. Verifique esta ultimaafirmacao explicitamente.
6. Obtenha os autovalores e autovetores da matriz A para os modelos bidimensio-nais lineares listados abaixo, classifique o equilıbrio e determine analiticamentea solucao (x(t), y(t)) para as condicoes iniciais indicadas.
(a)dx
dt= −2x + y,
dy
dt= x − 2y, (x0, y0) = (1, 1);
(b)dx
dt= x + y,
dy
dt= 4x + y, (x0, y0) = (1, 2);
(c)dx
dt= 3x − 2y,
dy
dt= 2x − 2y, (x0, y0) = (2, 1);
109
(d)dx
dt= x + y,
dy
dt= 4x + y, (x0, y0) = (1, 1);
(e)dx
dt= −x − 3y,
dy
dt= 2y, (x0, y0) = (3, 2);
(f)∗
dx
dt= 6x − y,
dy
dt= 5x + 4y, (x0, y0) = (1, 1);
(g)∗
dx
dt= 2x + 8y,
dy
dt= −x − 2y, (x0, y0) = (2,−1);
7. Seja o seguinte campo vetorial linear:
dx
dt= x − y
dy
dt= x + 3y
(a) Mostre que os autovalores da matriz A sao iguais a 2 (raızes repetidas), eencontre os autovetores correspondentes. Que voce nota de diferente neste caso?
(b) Encontre a solucao geral do modelo. Para isso, voce precisara de novosautovetores. O primeiro novo autovetor e t vezes o autovetor u encontrado noıtem (a) . O segundo novo autovetor tem coeficientes a determinar. A solucaogeral e (detalhes em [7], pg. 133-134):
x(t) = c1e2t + c2(t − 1)e2t (2.287)
y(t) = c1e2t
− c2te2t (2.288)
(2.289)
8. Considere o seguinte sistema bidimensional:
dx
dt= ax
dy
dt= −y
Estude a estabilidade do equilıbrio na origem para os casos: a < −1, a = 1,−1 < a < 0, a = 0, e a > 0.
9. Encontre a solucao de equilıbrio do modelo IS-LM [Eq. (2.280)] diretamente apartir da equacao v∗ = −A−1.B.
10. Seja o modelo IS-LM estudado neste capıtulo, com os mesmos valores numericos.(a) Mostre que, apos uma expansao monetaria onde a oferta de moeda aumentade 8 para 12, o ponto de equilıbrio desloca-se para os valores YE = 72, 17 erE = 12, 08. (b) Mostre que este novo ponto de equilıbrio e um no estavel.(c) Ache os autovalores e autovetores do novo modelo bidimensional e encontrea solucao geral do modelo. (d) Use como condicao inicial o antigo ponto deequilıbrio, e descreva graficamente a trajetoria que o sistema executa ate o novoponto de equilıbrio.
110
Capıtulo 3
Modelos contınuos
bidimensionais nao-lineares
Neste capıtulo faremos um estudo mais geral de modelos dinamicos empregandoduas variaveis dependentes, que denotaremos x(t) e y(t), ambas funcoes damesma variavel dependente, o tempo t. Cada variavel dependente satisfaz umaequacao diferencial de primeira ordem em relacao ao tempo, onde a derivada decada variavel depende das duas variaveis. Nao consideraremos o caso em queas derivadas dependam explicitamente do tempo, ou seja, estudaremos apenassistemas autonomos de duas equacoes diferenciais de primeira ordem acopladas:
dx
dt= f(x, y), (3.1)
dy
dt= g(x, y), (3.2)
onde f(x, y) e g(x, y) sao funcoes dos seus argumentos. No capıtulo anteriorsupusemos que tais funcoes fossem afins, mas agora consideraremos casos maisgerais, onde f e g podem ser funcoes nao-lineares. Elas estarao apenas sujeitasaos requisitos matematicos necessarios a aplicacao do teorema de existencia eunicidade, que abordaremos na sequencia.
Nao apenas sistemas de duas equacoes diferenciais de primeira ordem levama modelos bidimensionais. Outra situacao possıvel e representada por equacoesdiferenciais de segunda ordem em relacao ao tempo, ou seja, equacoes onde aderivada de ordem mais alta e uma derivada segunda: d2f/dx2. Suponha, porexemplo, a equacao de segunda ordem para a variavel dependente x = x(t):
ad2x
dt2+ b
dx
dt+ cx+ d = 0. (3.3)
Introduzindo a variavel auxiliar
y ≡ dx
dt(3.4)
e derivando em relacao ao tempo ambos os lados da expressao,
dy
dt≡ d2x
dt2, (3.5)
111
de tal maneira que a equacao (6.5) fica
ady
dt+ by + cx+ d = 0. (3.6)
Isolando dy/dt temos, portanto, o seguinte sistema de duas equacoes diferenciaisde primeira ordem:
dx
dt= y, (3.7)
dy
dt= − b
ay − c
ax− d
a, (3.8)
que tem a forma geral da Eq. (3.1), para
f(x, y) = y (3.9)
g(x, y) = − b
ay − c
ax− d
a. (3.10)
Reescrevemos o sistema de equacoes diferenciais (3.1) de forma compactausando a notacao matricial. Definimos a matriz coluna das variaveis dependen-tes como
v(t) =
(x(t)y(t)
)
, (3.11)
e o campo vetorial
F(v) =
(f(x, y)g(x, y)
)
, (3.12)
de modo que (3.1) ficadv(t)
dt= F(v(t)), (3.13)
onde se subentende que a derivada da matriz coluna e a matriz das derivadasdos seus elementos. Nesta notacao, ainda, as condicoes iniciais sao descritaspelo vetor no R2:
v(0) =
(x(0)y(0)
)
=
(x0
y0
)
. (3.14)
3.1 Trajetorias no plano de fase
Assim como no caso linear, dados os valores iniciais das variaveis dependentes,x(t = 0) = x0 e y(t = 0) = y0, desejamos achar seus valores no tempo t, ouseja, (x(t;x0, y0), y(t;x0, y0)). Adotando a representacao de um plano de fase,em cujos eixos representamos os valores das variaveis x e y, a cada estado dosistema dinamico num dado instante de tempo corresponde a um ponto no planode fase. A condicao inicial (x0, y0), por exemplo, corresponde a um ponto nesseplano de fase [Fig. 3.1(a)]. A solucao do problema de valor inicial e, pois, umacurva no plano de fase que passa pelo ponto (x0, y0), que chamamos trajetoriado sistema dinamico no plano de fase.
Se mudarmos a condicao inicial para outro ponto, como (x′0, y′0) por exemplo,
a solucao sera uma outra trajetoria, e assim por diante. Na verdade, o sistemade equacoes diferenciais (3.1) define uma infinidade de trajetorias no plano de
112
x
y
yy
x
o
o
trajetoria
x
y
fluxo(a) (b)
Figura 3.1: (a) Trajetoria no plano de fase. (b) Fluxo de trajetorias no planode fase.
fase [Fig. 3.1(b)]. Podemos imaginar estas trajetorias como sendo as linhasde fluxo de um fluido se deslocando no plano de fase. Podemos nos referir aoconjunto de solucoes de um sistema de equacoes diferenciais como sendo umfluxo no plano (ou, em geral, no espaco) de fase.
Essas nocoes podem ser formalizadas adequadamente (e facilmente genera-lizaveis para um numero qualquer de dimensoes)[1]:
Definicao 4 Seja o sistema bidimensional
dv(t)
dt= F(v(t)), (3.15)
onde F e uma funcao (ou campo) vetorial suave definida sobre algum sub-conjunto do plano U ⊆ R2. Dizemos que F gera um fluxo ϕt : U → R2,onde ϕt(v) = ϕ(v, t) e uma funcao suave definida para todo v ∈ U e todot ∈ I = (a, b) ⊆ R se ϕ satisfaz a relacao:
d
dt(ϕ(v, t))t=τ = F(ϕ(v, τ)), (3.16)
para todo v ∈ U e τ ∈ I [Fig. 3.2(a)].
Definicao 5 Num problema de valores iniciais onde, para t = 0, temos o pontov(0) = v0 ∈ U , procuramos a solucao da Eq. (3.16) tal que
ϕ(v0, 0) = v0, (3.17)
Neste caso, a funcao ϕ(v0, .) : I → R2 define uma trajetoria ou curva-solucao da Eq. (3.15) baseada na condicao inicial v0 [Fig. 3.2(a)]. Nosusualmente escrevemos a trajetoria, por simplicidade, como v(t).
A princıpio nao parece muito evidente a diferenca entre o fluxo e a solucaopropriamente dita do sistema bidimensional. Quando definimos o fluxo geradopelo campo vetorial F estamos nos referindo a totalidade das solucoes possıveis,
113
����
��������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������
v0
U
R2
t
b
a
I
φ 0(v , . )
(a)
U
φt(U)
(b)
R2
Figura 3.2: (a) Trajetoria ϕt(v), e (b) fluxo ϕt no plano de fase.
cada qual com sua propria condicao inicial. Entao o fluxo ϕt(v) e, na verdade,uma funcao das coordenadas (x, y) e do tempo t. Podemos ´´evoluir´´ umconjunto de condicoes iniciais U no espaco de fase, e saber a imagem desseconjunto apos um tempo t, que denotamos ϕt(U) [Fig. 3.2(b)]. Se escolhemosuma dada condicao inicial v0, entao falamos da trajetoria propriamente dita.Logo, a trajetoria resulta da aplicacao do fluxo sobre a condicao inicial paratodos os instantes de tempo: ϕt(v0). Como ja havıamos comentado no Capıtulo1, neste curso daremos mais enfase as famılias de solucoes do que a curvas-solucao particulares. Focalizaremos, portanto, o comportamento global do fluxoϕt : U → R2 definido para todos os pontos em v ∈ U .
Outra forma de encarar as solucoes de um sistema de equacoes diferenciais elembrar que, num dado ponto das trajetorias, a inclinacao de uma reta tangentea curva e igual a derivada de y em relacao a x, dy/dx. Por outro lado, de (3.1),como
dy
dx=dy/dt
dx/dt=g(x, y)
f(x, y)(3.18)
no ponto de tangencia (x, y) a inclinacao da reta e dada pela razao entre asfuncoes f(x, y) e g(x, y) calculadas nesse mesmo ponto. Logo, mesmo sem resol-ver o sistema de equacoes diferenciais (3.1), e possıvel conhecer, aplicando (3.18)a um numero suficientemente grande de pontos no plano de fase, as inclinacoesdas tangentes as trajetorias. Por esse motivo, o sistema (3.1) e tambem cha-mado campo vetorial, ja que f(x, y) e g(x, y) nos dao as direcoes e sentidos devetores tangenciais as trajetorias em cada ponto.
O chamado campo de direcoes [Figura 3.3(a)] e uma representacao util docampo vetorial no plano de fase. A partir desses vetores, podemos esbocaralgumas trajetorias no plano construindo curvas que tangenciem os vetores emcada ponto. As chamadas isoclinas sao os lugares geometricos no plano onde oscampos vetoriais tem o mesmo valor. Como veremos a seguir, as isoclinas saoelementos valiosos para obter uma visao qualitativa das trajetorias possıveis.
114
x
y
P
x
y(b)(a)
Figura 3.3: (a) Campo de direcoes no plano de fase. (b) Duas falsas trajetoriasque se cruzam no plano de fase.
3.1.1 Existencia e unicidade
No capıtulo 1 mencionamos o teorema da existencia e unicidade para equacoesdiferenciais, bem como algumas de suas importantes consequencias. No caso demodelos bidimensionais (e multi-dimensionais, de maneira geral) vale, portanto,o
Teorema 2 (Existencia e Unicidade) Sejam U ⊆ R2 um subconjunto abertodo plano, F : U ⊆ R2 uma funcao vetorial continuamente diferenciavel, e v0 ∈U . Entao existe uma constante τ > 0 e uma solucao unica ϕ(v0, .) : I → U ,onde I = (−τ,+τ) e um intervalo centrado em t = 0, que satisfaz a equacaodiferencial (3.15) com a condicao inicial v(0) = v0.
Vamos explorar um pouco mais esse importante teorema, escrevendo ummodelo bidimensional nao-linear generico na forma
dx
dt= f(x, y), (3.19)
dy
dt= g(x, y), (3.20)
com as condicoes iniciais x(t = 0) = x0 e y(t = 0) = y0. Supondo as funcoes f eg contınuas num intervalo D do plano R2, assim como todas as suas derivadasparciais,
∂f
∂x,
∂f
∂y,
∂g
∂x,
∂g
∂y,
entao, para as condicoes iniciais dentro da regiao D, e um intervalo de tempo(−τ,+τ) centrado em t = 0, existe uma e somente uma solucao (x(t), y(t)) parao problema de valor inicial (3.19), representada por uma trajetoria no plano defase passando pelo ponto (x0, y0).
Uma consequencia imediata deste teorema e que trajetorias diferentes nuncase interceptam no plano de fase. Para mostrar esse resultado, podemos procederpor reducao ao absurdo, e imaginar que duas trajetorias quaisquer pudessem seinterceptar num ponto P do plano [Figura 3.3(b)]. Nesse caso, se imaginarmosque o ponto P pode ser usado como condicao inicial para o sistema (3.19),
115
(a)
x
y (b)
x
y
Figura 3.4: (a) Orbita periodica representada por uma trajetoria fechada noplano de fase. (b) Trajetoria dentro de uma orbita fechada.
entao haveria duas solucoes diferentes partindo da mesma condicao inicial, oque violaria a unicidade garantida pelo teorema.
Assim como em sistemas lineares, nos interessam particularmente as solucoesde equilıbrio, definidas como os pontos (x∗, y∗), tais que eles nao variem com otempo, ou seja
dx∗
dt= f(x∗, y∗) = 0, (3.21)
dy∗
dt= g(x∗, y∗) = 0, (3.22)
eles fazem o campo vetorial anular-se. No entanto, ha em sistemas bidimen-sionais nao-lineares outras solucoes estacionarias possıveis, alem dos pontos deequilıbrio, e que vem a ser as orbitas periodicas, representadas por trajetoriasfechadas no plano de fase [Figura 3.4(a)] tais que, iniciando de um ponto qual-quer sobre elas, apos um intervalo de tempo T bem-determinado, retornaremosao ponto de partida, ou seja,
x(t) = x(t+ T ) y(t) = y(t+ T ) (3.23)
para todos os valores do tempo t, sendo o perıodo T um numero real e positivo.Uma trajetoria no plano de fase proveniente de uma condicao inicial que se
encontre no interior de uma orbita fechada [veja Figura 3.4(b)] estara fadada apermanecer sempre nessa regiao. Para que essa trajetoria pudesse “escapar” daorbita fechada teria de cruza-la, e isso, como vimos, viola o teorema de existenciae unicidade.
3.2 Diagramas de fase
No capıtulo 1 introduzimos os diagramas de fase como uma tecnica que permite-nos conhecer muitas propriedades gerais das trajetorias de um sistema contınuo,como pontos de equilıbrio e sua estabilidade, simplesmente a partir do graficoda variavel versus sua derivada (no caso unidimensional, x em funcao de x).Como essa tecnica prescinde do conhecimento detalhado das solucoes, e comoestas nao sao conhecidas a priori para a maioria dos sistemas bidimensionais, einteressante utilizar diagramas de fase tambem nesse caso.
116
Como, para sistemas bidimensionais, temos quatro variaveis ao todo (a sa-ber, x, y, x e y), resulta impraticavel uma representacao grafica de x e y emfuncao de x e y. Vamos recorrer, pois, ao conceito de isoclinas para auxiliar narepresentacao dos sinais das derivadas x e y em diferentes regioes do plano defase x − y. Dentre as infinitas isoclinas que podemos construir, sao fundamen-tais os lugares geometricos dos pontos do plano de fase onde x = 0 e y = 0,tambem chamadas “nulclinas”. Tais isoclinas indicam as curvas sobre as quaiso fluxo das trajetorias e puramente vertical ou horizontal, correspondendo aoscasos onde x = 0 e y = 0, respectivamente.
Vamos considerar o seguinte exemplo [3]:
x = x+ e−y, (3.24)
y = −y, (3.25)
para o qual os pontos de equilıbrio sao dados pelas solucoes de
0 = x∗ + e−y∗
, (3.26)
0 = −y∗, (3.27)
ou seja, y∗ = 0 e x∗ = −e−y∗
= −e0 = −1.Uma particularidade deste exemplo e que a equacao (3.25) e linear, e por-
tanto sua solucao ey(t) = y0e
−t, (3.28)
onde y0 = y(t = 0) e a condicao inicial respectiva, tal que, para t → ∞,y(t) tende a zero. A outra equacao, (3.24), nao tem solucao analıtica, maspara tempos grandes vimos que y tende a zero, portanto uma aproximacao serax ≈ x+ e0 = x+ 1, a qual tem como solucao (veja a eq. 1.12)
x(t) = (x0 + 1)et − 1, (3.29)
a qual, para t→ ∞ leva a x(t) tambem tendendo ao infinito. Nesse caso, o pontode equilıbrio (x∗ = −1, y∗ = 0) e certamente instavel, e a existencia de umadirecao estavel (ja que y tende a zero) sugere um comportamento semelhante aum ponto de sela, no caso de modelos lineares.
Para construir o diagrama de fase deste exemplo, examinemos primeiramentesuas isoclinas (ou nulclinas). A condicao y = 0 implica em y = 0, ou seja, o eixox e uma isoclina, que denotaremos por A. Ja a condicao x = 0 leva a relacaoe−y = −x, ou seja
y =1
ln(−x) , (y < 0), (3.30)
que e a equacao da segunda isoclina, que denotaremos B, e e a curva no semi-plano a esquerda na figura 3.5. O ponto P de equilıbrio, de coordenadas (−1, 0),e a intersecao entre as duas isoclinas, por definicao.
A intersecao entre as isoclinas A : y = 0 e B : x = −e−y cria quatro“quadrantes” na figura 3.5. Analisamos os sinais das derivadas em (3.24)-(3.25),e os consequentes sentidos do campo vetorial para os quadrantes da seguinteforma:
• se y > 0 (acima de A), y = −y < 0, flecha para baixo na direcao y;
• se y > 0 (abaixo de A), y = −y > 0, flecha para cima na direcao y;
117
y
xP
A
B
Figura 3.5: Diagrama de fase para o sistema (3.24)-(3.25).
• se x < −e−y (a esquerda de B), x = x+ e−y < 0, flecha para esquerda nadirecao x;
• se x > −e−y (a direita de B), x > 0, flecha para direita na direcao x;
combinando essas possibilidades temos as flechas apontando nos sentidos indi-cados pelas flechas na figura 3.5. Evidentemente essa analise nos fornece apenasuma ideia qualitativa do campo vetorial, pois o valor exato das componentesdepende das coordenadas (x, y) de cada ponto no quadrante, de acordo com aEq. (3.18).
Alem disso:
• se y = 0 (sobre A), y = −y = 0, fluxo e puramente horizontal, para adireita ou esquerda, dependendo do valor de x;
• se x = −e−y (sobre B), x = x+ e−y = 0, fluxo e puramente vertical, paracima ou para baixo, dependendo do valor de y;
3.3 Solucoes numericas
Mesmo tendo uma ideia qualitativa do campo vetorial, o metodo das isoclinasnao nos permite conhecer com detalhes as possıveis trajetorias de fase do mo-delo em estudo. Em varias situacoes e importante conhecer o comportamentotransitorio das trajetorias no plano de fase, de modo que precisamos resolvernumericamente as equacoes do modelo bidimensional. O metodo de Euler, in-troduzido no Capıtulo 1 pode ser facilmente generalizado para duas (ou mais)equacoes.
No capıtulo 1 vimos que, do ponto de vista computacional, a solucao x = x(t)de uma equacao do tipo x = f(x), sujeita a condicao inicial x0 = x(t0), consistenuma sequencia de pontos xk = x(t = tk), onde
tk = tk−1 + ∆t = t0 + k∆t, (3.31)
118
fornece uma sequencia de valores discretizados do tempo. O parametro ∆t edenominado “passo da integracao”, e deve ser suficientemente pequeno parapermitir uma aproximacao da derivada x por uma razao incremental. Paraduas equacoes da forma
dx
dt= f(x, y), (3.32)
dy
dt= g(x, y), (3.33)
com as condicoes iniciais (x0, y0), consideramos a sequencia de coordenadas depontos no plano de fase: (xk, yk) = (x(tk), y(tk)); e podemos generalizar aequacao (1.50) na forma
xk+1 = xk + f(xk, yk)∆t, (3.34)
yk+1 = yk + g(xk, yk)∆t. (3.35)
3.3.1 Uso de planilhas eletronicas
O metodo de Euler para modelos bidimensionais pode ser implementado em pla-nilhas eletronicas. Consideremos, a tıtulo de exemplificacao, a solucao numericado sistema de equacoes diferenciais (3.24)-(3.25)
x = f(x, y) = x+ e−y, (3.36)
y = g(x, y) = −y, (3.37)
com as condicoes iniciais (x0 = −1/2, y0 = 1/4), com um passo de integracao∆t = 0, 05, de t = 0 ate t = 2, 5. Precisaremos de (2, 5− 0)/0, 05 = 50 iteracoesdas equacoes do metodo de Euler (3.34)-(3.35).
A planilha correspondente a solucao numerica esta reproduzida na Fig. 3.6.O valor do passo de integracao (0, 05) esta indicado na na celula F3 (enderecoabsoluto). O valores de x0 (−0, 5) e y0 (0, 25), sao inseridos nas celulas B8 e C8,respectivamente (enderecos relativos). A equacao (3.34) para k = 0, a saber,
x1 = x0 + f(x0, y0)∆t = x0 + (x0 + e−y0)∆t, (3.38)
e escrita na celula B9 como
= B8 + (B8 + EXP (−C8) ∗ $F$3 (3.39)
ao passo que a equacao (3.35),
y1 = y0 + g(x0, y0)∆t = y0(1 − ∆t), (3.40)
e escrita na celula C9 como
= C8 ∗ (1 − $F$3) (3.41)
Os numeros nas celulas B9 e C9 sao, entao, copiados para a area de trans-ferencia e colados nas celulas seguintes pelo numero de iteracoes do metodonecessarias, em nosso caso mais 49. Na coluna A temos os valores do tempoinserindo na celula A9 a Eq. (3.31):
= A8 + $F$3
119
Figura 3.6: Planilha e grafico da solucao das Eqs. (3.24)-(3.25) para a condicaoinicial x0 = −0, 5, y0 = 0, 25
Na Fig. 3.6, alem de um certo numero de pontos, apresentamos tambem ografico de y(t) versus x(t) correspondente a trajetoria de fase. Comparandocom a analise das isoclinas que fizemos para esse sistema [Fig. 3.5], a trajetoriaque encontramos numericamente concorda com os sentidos do campo vetorialno quadrante acima da isoclina A e a direita da isoclina B.
Trajetorias em outros quadrantes podem ser facilmente implementadas naplanilha eletronica alterando-se as condicoes iniciais nas celulas B8 e C8. Umexemplo esta ilustrado na Fig. 3.7, obtida para a condicao inicial x0 = −0, 5, y0 =−4, 0. O sentido do campo vetorial para a trajetoria de fase nesse caso corres-ponde ao quadrante em Fig. 3.5 abaixo da isoclina A e a direita da isoclinaB.
3.3.2 Programa em linguagem C
A mesma equacao tratada com o auxılio da planilha eletronica pode ser resolvidausando um programa em linguagem C, um exemplo do qual sendo mostrado aseguir. Na tabela 3.3.2 encontra-se uma sequencia representativa de cinquentaiteracoes do metodo de Euler, mostrando a solucao numerica (xk, yk) para umpasso de integracao igual a ∆ = 0, 05. Ja as 100 primeiras iteracoes podemser vistas como uma trajetoria no plano de fase da Figura 3.8, confirmando osresultados obtidos via planilha eletronica.
/* euler2.c: metodo de Euler para solucao numerica de um modelo
continuo bidimensional. Saida dos dados no arquivo
euler2.dat (tabela com duas colunas) */
#include <stdio.h>
#include <math.h>
FILE *fp;
120
Figura 3.7: Planilha e grafico da solucao das Eqs. (3.24)-(3.25) para a condicaoinicial x0 = −0, 5, y0 = −4, 0.
double f(double x,double y), g(double x,double y);
main( )
{
int k, points; /* declaracoes de variaveis */
double x_k, y_k, x_0, y_0, t_0, t_k, delta;
fp = fopen("euler2.dat","w");/* abre arquivo */
points = 100; /* numero total de iteracoes */
x_0 = -0.5; /* condicoes iniciais */
y_0 = 0.25;
x_k = x_0; /* inicializa os valores de x e y */
y_k = y_0;
t_0 = 0.0; /* tempo inicial */
t_k = t_0; /* inicializa o valor de t_k */
delta = 0.05; /* passo da integracao */
k = 0;
for (k = 1; k <= points; ++k) { /* varre os valores de k */
t_k = t_k + delta; /* incremento no tempo */
x_k = x_k + f(x_k,y_k)*delta; /* calculo das iteracoes */
y_k = y_k + g(x_k,y_k)*delta;
fprintf(fp,"%d %f %f %f \n",k,t_k,x_k,y_k); /* imprime
resultados no arquivo de saida */
}
fclose(fp); /* fecha o arquivo de dados */
}
/* especifica o campo vetorial */
double f(double x,double y)
{
121
k tk xk yk
0 0, 000000 −0, 500000 0, 2500001 0, 050000 −0, 486060 0, 2375002 0, 100000 −0, 470933 0, 2256253 0, 150000 −0, 454579 0, 2143444 0, 200000 −0, 436954 0, 2036275 0, 250000 −0, 418014 0, 1934456 0, 300000 −0, 397709 0, 1837737 0, 350000 −0, 375988 0, 1745848 0, 400000 −0, 352797 0, 1658559 0, 450000 −0, 328078 0, 15756210 0, 500000 −0, 301771 0, 14968420 1, 000000 0, 064868 0, 08962130 1, 500000 0, 690082 0, 05366040 2, 000000 1, 725937 0, 03212850 2, 500000 3, 423936 0, 019236
Tabela 3.1: Algumas iteracoes do metodo de Euler para solucao numerica dasequacoes (3.24)-(3.25) com as condicoes iniciais x0 = −0, 5 e y0 = 0, 25.
return(x + exp(-y));
}
double g(double x,double y)
{
return(-y);
}
Alem dessa, na figura indicamos tambem outras trajetorias possıveis queforam geradas a partir de outras condicoes iniciais. Em uma linha tracejadaindicamos tambem uma das isoclinas do sistema, de modo que o leitor podecomparar os resultados numericos com a analise do diagrama de fase da Figura3.5. E importante salientar que as isoclinas nao sao, em geral, trajetorias dosistema, a nao ser em casos particulares, como o eixo das abscissas que e aomesmo tempo uma isoclina e uma trajetoria do sistema.
Uma inspecao atenta da Fig. 3.8 nos sugere que o ponto de equilıbrio (x∗ =−1, y∗ = 0) e um ponto de sela, pois ha uma direcao - o eixo x - que correspondea uma trajetoria que afasta-se do equilıbrio e cujos pontos nunca deixam o eixo.De fato, o eixo x e uma direcao instavel para o ponto de sela. As trajetoriasconvergem para o ponto de equilıbrio de forma a sugerir a existencia de umadirecao estavel (e que tambem nao e a isoclina tracejada da figura).
3.3.3 Uso de software matematico
No capıtulo 1 abordamos a utilizacao de tres pacotes matematicos comerciaisdisponıveis para varios ambientes computacionais e sistemas operacionais comoLinux, Mackintosh e Windows: o Maple, Mathematica e Matlab. Tais paco-tes oferecem a comodidade de trazerem embutidas as rotinas computacionaispara integracao numerica das equacoes diferenciais, e ainda terem um ambiente
122
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8x
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2y
Figura 3.8: Trajetorias de fase obtidas por solucao numerica do sistema (3.24)-(3.25) com diferentes condicoes iniciais.
grafico para tracar diagramas como series temporais e retratos de fase. Va-mos, pois, indicar aqui as modificacoes necessarias para resolver as equacoes(3.36)-(3.37), bem como o tipo de graficos produzidos.
Maple
Necessitaremos apenas do pacote DEtools e da funcao DEplot. Escrevemos asequacoes (3.36)-(3.37) na seguinte forma:
deq1 := diff(x(t),t) = x + e^{-y}:
deq2 := diff(y(t),t) = -y:
Vamos considerar a trajetoria obtida a partir da condicao inicial x0 = −0, 5e y0 = 0, 25, para o intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 50 com passo de integracao∆t = 0, 05. Para tracar o retrato de fase contendo essa trajetoria, usamos oscomandos:
with(DEtools):
DEplot([deq1,deq2],[x,y],t=0..50, x=-8..8, y=-0.25..0.25,
{[x(0)=-0.5, y(0)=0.25]}, stepsize=0.05,linecolor=black, arrows=none);
onde os comandos linecolor e arrows dizem respeito a cor da curva a sertracada, e a presenca (ou nao) de flechas indicativas do sentido do tempo, res-pectivamente [Fig. 3.9].
Para tracar a serie temporal das variaveis x e y, procedemos assim [Fig.3.10]:
DEplot([deq1,deq2],[x,y],t=0..2.0,{[x(0)=-0.5, y(0)=0.25]},
stepsize=0.05,scene= [t,x], linecolor=black, arrows=none);
DEplot([deq1,deq2],[x,y],t=0..5.0,{[x(0)=-0.5, y(0)=0.25]},
stepsize=0.05,scene= [t,y], linecolor=black, arrows=none);
123
0
-0,1
-0,2
x
840-4-8
y
0,2
0,1
Figura 3.9: Retrato de fase obtidas por solucao numerica do sistema (3.24)-(3.25) usando o Maple.
0,5
t
0
-0,5
21,510,50
x
1,5
1
y
t
0,25
5
0,2
0,15
4
0,1
0,05
30
210
Figura 3.10: Series temporais obtidas por solucao numerica do sistema (3.24)-(3.25) usando o Maple.
124
1 2 3 4 5 6x
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
y
Figura 3.11: Retrato de fase obtidas por solucao numerica do sistema (3.24)-(3.25) usando o Mathematica.
Mathematica
No Mathematica tambem devemos antes especificar as equacoes diferenciais naseguinte forma:
deq1 = x’[t] == x[t] + Exp[-y[t]];
deq2 = y’[t] == -y[t];
Usamos o comando NDSolve para resolver numericamente esse sistema deequacoes. Para o intervalo 0 ≤ t ≤ 10 e condicao inicial (x0, y0) = (−0, 5, 0, 25,usamos
soln = NDSolve[{deq1,deq2, x[0]==-0.5, y[0]==0.25},{x[t],y[t]}, {t,0,10}];
Para representar a trajetoria correspondente no plano de fase, usamos o co-mando [Fig. 3.11]:
ParametricPlot[
Evaluate[{x[t],y[t]} /. soln], {t,0,3}, AxesLabel ->{’’x’’,’’y’’}];
enquanto, para as series temporais, usamos [Fig. 3.12]:
Plot[Evaluate[ x[t] /. soln], {t,0,10}, AxesLabel ->{’’t’’,’’x’’}];
Plot[Evaluate[ y[t] /. soln], {t,0,10}, AxesLabel ->{’’t’’,’’y’’}];
Matlab
No Matlab o sistema de equacoes diferenciais deve ser especificado por meio deum arquivo-m, que vamos chamar de exemplo.m, contendo uma funcao que de-nominaremos exemplo, onde as variaveis independentes sao o vetor de variaveisv e o tempo t e a variavel dependente e o vetor vp, contendo as derivadas docampo vetorial:
function vp = exemplo(t,v)
% exemplo.m
vp = v;
x = v(1);
125
2 4 6 8 10t
500
1000
1500
2000
2500
3000
x
2 4 6 8 10t
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
y
Figura 3.12: Serie temporal obtida por solucao numerica do sistema (3.24)-(3.25)usando o Mathematica.
−1 0 1 2 3 4 5 6 70
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
x
y
Figura 3.13: Retrato de fase obtidas por solucao numerica do sistema (3.24)-(3.25) usando o Matlab.
y = v(2);
vp(1) = x + exp(-y);
vp(2) = -y;
Para integrar numericamente o sistema de equacoes, o Matlab conta comvarios integradores. Recomendamos usar ode45, para obter uma solucao nointervalo 0 ≤ t ≤ 50, partindo da condicao inicial (x0, y0) = (−0, 5, 0, 25), e compasso de integracao 0, 05:
[t,v] = ode45(’exemplo’, [0:0.05:3.0], [-0.5,0.25]);
Para tracar os graficos correspondentes a trajetoria no plano de fase[Fig. 3.13],e as series temporais de x e y [Fig. 3.14], usamos os comandos:
plot(v(:,1),v(:,2))
plot(t,v(:,1), t,v(:,2))
126
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
t
x(t)
y(t)
Figura 3.14: Series temporais obtidas por solucao numerica do sistema (3.24)-(3.25) usando o Matlab.
3.4 Solucoes de equilıbrio e sua estabilidade
Para sistemas nao-lineares da forma geral (3.15) procuramos solucoes de equilıbriov∗, tais que
v∗ =
(x∗
y∗
)
⇒ dv∗
dt= 0, (3.42)
ou seja, as solucoes da equacao vetorial
F(v∗) = 0. (3.43)
No plano de fase, as solucoes de equilıbrio sao identificadas como o pontode coordenadas (x∗, y∗), que nao se alteram com o tempo. Para investigarsua estabilidade consideramos uma pequena vizinhanca em torno de (x∗, y∗)na forma de um cırculo de raio ǫ, onde ǫ ≪ |x∗| e ǫ ≪ |y∗| (Figura 3.15).Consideramos, agora, desvios da solucao de equilıbrio em ambas as direcoes
x(t) = x∗ + wx(t), (3.44)
y(t) = y∗ + wy(t), (3.45)
onde supomos que os modulos de tais desvios sejam pequenos o suficiente paraestarem contidos na vizinhanca definida anteriormente: |wx,y| ≤ ǫ. Como vimosno Capıtulo 1, isso nos permite truncar as series de potencias a partir dos termosquadraticos nos desvios.
Expandimos em serie de potencias as duas componentes do campo vetorial(3.12) f(x, y) e g(x, y), na vizinhanca do ponto (x∗, y∗); o que fornece, ate os
127
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������y
xx
y
0
v
∗
∗ v*ε
Figura 3.15: Estabilidade linear de um ponto de equilıbrio no plano de fase
termos lineares nos desvios, as seguintes expressoes
dx∗
dt+dwx
dt= f(x∗ + wx, y
∗ + wy) (3.46)
≈ f(x∗, y∗) + wx
(∂f
∂x
)
(x∗,y∗)
+ wy
(∂f
∂y
)
(x∗,y∗)
,
dy∗
dt+dwx
dt= g(x∗ + wx, y
∗ + wy) (3.47)
≈ g(x∗, y∗) + wx
(∂g
∂x
)
(x∗,y∗)
+ wy
(∂g
∂y
)
(x∗,y∗)
.
Por outro lado, pela definicao de solucao de equilıbrio,
x∗ = f(x∗, y∗) = 0, (3.48)
y∗ = g(x∗, y∗) = 0, (3.49)
de forma que, na aproximacao linear, a dinamica que os desvios satisfazem edada por:
dwx
dt= wx
(∂f
∂x
)
(x∗,y∗)
+ wy
(∂f
∂y
)
(x∗,y∗)
, (3.50)
dwy
dt= wx
(∂g
∂x
)
(x∗,y∗)
+ wy
(∂g
∂y
)
(x∗,y∗)
, (3.51)
e que, por sua vez, pode ser escrita na forma
dw
dt= DF(v∗).w(t), (3.52)
onde
w(t) =
(wx(t)wy(t)
)
, (3.53)
e um vetor de desvios em relacao a solucao de equilıbrio, e DF(v∗) e chamadamatriz Jacobiana do campo vetorial, cujos elementos sao as derivadas parciais
128
das componentes do campo vetorial, calculadas no ponto fixo (x∗, y∗):
DF(v∗) =
(∂f∂x
)
(x∗,y∗)
(∂f∂y
)
(x∗,y∗)(∂g∂x
)
(x∗,y∗)
(∂g∂y
)
(x∗,y∗)
(3.54)
A equacao (3.52) representa um modelo contınuo bidimensional linear, cujoequilıbrio na origem corresponde a solucao de equilıbrio v∗ do modelo nao-linear(3.13). Como vimos no capıtulo II, a estabilidade da solucoes de equilıbrio dosistema linear, e determinada pelos autovalores da matriz Jacobiana, calculadano ponto de equilıbrio A = DF(v∗). Neste caso, o equilıbrio sera assintoti-camente estavel se as partes reais dos autovalores forem negativas. Vimos, noCapıtulo 2, que as condicoes necessarias e suficientes para isso sao
τ = TrDF(v∗) < 0, (3.55)
∆ = detDF(v∗) > 0, (3.56)
Caso uma das condicoes acima nao seja satisfeita, a solucao de equilıbrio serainstavel. A convergencia (ou divergencia, no caso instavel) dos desvios a estasolucao de equilıbrio e oscilatoria se D < 0 e nao-oscilatoria se D > 0, ondeD = τ2 − 4∆ e o discriminante.
O teorema de existencia e unicidade 3.2 garante que, se a funcao vetorialF(v) for suficientemente suave, a solucao da equacao (3.13) e definida em algumintervalo de tempo (−τ,+τ) centrado em t = 0. Nesse caso, um fluxo localϕt : R2 → R2 pode ser definido por ϕt(v0) = v(t,v0) [1]. Em particular, ofluxo linearizado, que denotaremos Dϕt(v
∗)w, pode ser obtido integrando-sea equacao linearizada (3.52) em torno de v∗, o que como veremos no proximocapıtulo com mais detalhes.
3.4.1 Pontos hiperbolicos e o Teorema de Hartman e Grob-
man
A linearizacao do campo vetorial permite-nos classificar a estabilidade da solucaode equilıbrio. No entanto, como podemos saber se o resultado obtido via linea-rizacao pode ser estendido ao sistema nao-linear. Por exemplo: a analise linearrevela que um ponto de equilıbrio e do tipo foco estavel. Sera que ele manteraessa caracterıstica se forem considerados os termos ignorados durante a linea-rizacao. A resposta a essa pergunta e dada, na teoria dos sistemas dinamicos,por dois teoremas importantes, cujo conteudo iremos apresentar ao longo dessecapıtulo. Vamos comecar com a seguinte
Definicao 6 Um ponto de equilıbrio v∗ e dito hiperbolico (ou nao-degenerado)se todos os autovalores da matriz Jacobiana do sistema, calculada nesse ponto,DF(v∗) tiverem partes reais diferentes de zero.
Caso um ou mais autovalores tenham parte real nula, v∗ e dito nao-hiperbolico.Um importante teorema, que sera enunciado no final desta secao, garante que,se v∗ for um ponto hiperbolico, o comportamento das solucoes na sua vizi-nhanca (e, portanto, sua estabilidade) e determinado pela aproximacao linear.
129
No exemplo do paragrafo anterior, o no estavel (cujos autovalores sao reais e ne-gativos) e um ponto hiperbolico e, portanto, permanecera um no estavel mesmoquando consideramos o sistema nao-linear como um todo.
Caso contrario, ou seja, se um ou mais autovalores tiverem parte real nula,entao o criterio de linearizacao falha, ou seja, pela aproximacao linear em tornodo ponto de equilıbrio nao e possıvel dizer se o ponto de equilıbrio e estavel ouinstavel. Consideremos o exemplo:
x = f = y, (3.57)
y = g = −x− ǫx2y, (3.58)
cujo ponto de equilıbrio e facilmente identificado como sendo a origem do planode fase: x∗ = y∗ = 0. A matriz jacobiana do sistema e
DF(x, y) =
(∂f∂x
∂f∂y
∂g∂x
∂g∂y
)
=
(0 1
−1 − 2ǫxy ǫx2
)
, (3.59)
cujos elementos, quando calculados no ponto de equilıbrio, sao
A = DF(x∗ = y∗ = 0) =
(0 1−1 0
)
. (3.60)
cujos traco, determinante e discriminante sao, respectivamente
τ = TrA = 0, (3.61)
∆ = detA = 1, (3.62)
D = τ2 − 4∆ = −4. (3.63)
o que identifica o ponto de equilıbrio como um centro nao-hiperbolico, ja que osautovalores da Jacobiana tem partes reais nulas:
ξ1 =τ +
√D
2= +i, (3.64)
ξ2 =τ −
√D
2= −i. (3.65)
Vimos no capıtulo 2 que, neste caso, a solucao de equilıbrio e um centro,o qual e neutro ou marginalmente estavel: uma condicao inicial nas proximi-dades do ponto de equilıbrio gera trajetorias circulares em torno desse ponto[Fig. 3.16(a)]. Nao devemos esperar, entretanto, que a linearizacao de umainformacao confiavel. De fato, se retivermos os termo nao-linear ǫx2y, o pontode equilıbrio sera um foco estavel se ǫ > 0 [Fig. 3.16(b)] e um foco instavel seǫ < 0. Como essa afirmacao independe do valor de ǫ, os centros lineares sao“frageis”, pois sao alterados radicalmente devido a mudancas, mesmo que muitopequenas, no campo vetorial.
Enquanto pontos de equilıbrio hiperbolicos sao robustos, no sentido quesua estabilidade nao se altera alem da aproximacao linear, os pontos nao-hiperbolicos sao ”frageis”, pois sua estabilidade pode ser alterada por qualquerperturbacao devida aos termos nao-lineares. Nos e focos, bem como pontos desela sao robustos; ao passo que centros e demais pontos nao-hiperbolicos saomarginais.
A formalizacao destas ideias e o objeto do
130
-0,2 -0,1 0 0,1 0,2-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
-0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
(a) (b)
Figura 3.16: Retrato de fase do sistema (3.57)-(3.58) para (a) ǫ = 0 (centrolinear); (b) ǫ = 100 (foco estavel).
Teorema 3 (Hartman-Grobman) Se a matriz Jacobiana calculada no pontode equilıbrio, DF(v∗) nao tiver autovalores nulos ou puramente imaginarios,entao existe um homeomorfismo h, definido em alguma vizinhanca U do pontode equilıbrio v∗ ∈ R2, que leva trajetorias do fluxo nao-linear ϕt do sistema
dv(t)
dt= F(v(t)), v(0) = v0,
em trajetorias do fluxo linear Dϕt(v∗)w do sistema
dw
dt= DF(v∗).w(t).
Um homeomorfismo e uma aplicacao contınua, com uma inversa tambemcontınua. O homeomorfismo h citado pelo teorema de Hartman-Grobman ma-peia as trajetorias na vizinhanca do ponto de equilıbrio do sistema em trajetoriasdo fluxo linear equivalente. Nessa aplicacao o sentido do tempo (as flechas nastrajetorias) e preservado. Nao e realmente necessario conhecer a forma analıticadesse homeomorfismo (ate porque pode ela nao existir!), mas basta-nos saberque ele existe.
Uma maneira alternativa de exprimir o teorema de Hartman-Grobman edizer que as trajetorias do sistema nao-linear na vizinhanca do equilıbrio saotopologicamente equivalentes as do sistema linearizado [Fig. 3.17]. Conse-quentemente a estabilidade do equilıbrio e fielmente captada pela linearizacao.Uma forma intuitiva de entender essa equivalencia topologica e pensar que astrajetorias dos dois sistemas (nao-linear e linearizado) podem ser continuamentedeformadas uma em outra (e vice-versa): dobrar e esticar trajetorias sao, pois,operacoes permitidas, mas nao corta-las, por exemplo. Logo trajetorias fechadaspermanecem fechadas pela acao do homeomorfismo h, trajetorias conectandopontos de sela nao podem ser quebradas, etc. [3].
Podemos tambem dizer que o retrato de fase nas vizinhancas de um pontode equilıbrio hiperbolico, isto e, o conjunto das trajetorias nessa regiao, e estru-turalmente estavel, pois sua topologia nao pode ser alterada por pequenasperturbacoes do campo vetorial. O conceito de estabilidade estrutural formalizao de robustez introduzido anteriormente.
131
v*
VE
V
E
su
s
u
U
h(U)
h
Figura 3.17: Retratos de fase nas vizinhancas de um ponto de equilıbrio lineare nao-linear, relacionados entre si por um homeomorfismo, conforme o Teoremade Hartman-Grobman.
3.4.2 Exemplos de analise pelo diagramas de fase
1. Consideremos o sistema [adaptado de [7], pg. 200]
x = −0, 1x+ 5y, (3.66)
y = −20
x+ 0, 1y, (3.67)
com x > 0, y < 0, e cuja solucao de equilıbrio e dada por
−0, 1x∗ + 5y∗ = 0, (3.68)
−20
x∗+ 0, 1y∗ = 0. (3.69)
Isolando y∗ de (3.69) temos que y∗ = 200/x∗ a qual, substituıda em (3.68),fornece x∗2 = 10000. A unica solucao admissıvel e x∗ = 100, tal que y∗ =200/100 = 2.
Construimos agora a matriz jacobiana do sistema
DF(x, y) =
(∂f∂x
∂f∂y
∂g∂x
∂g∂y
)
=
(−0, 1 5
20x2 0, 1
)
, (3.70)
cujos elementos, quando calculados no ponto de equilıbrio, sao
A = DF(x∗ = 100, y∗ = 2) =
(−0, 1 50, 002 0, 1
)
. (3.71)
Calculando o traco, determinante e discriminante da matriz Jacobiana ob-temos, respectivamente, que:
τ = TrA = −0, 1 + 0, 1 = 0, (3.72)
∆ = detA = −0, 12 − 5 × 0, 002 = −0, 02, (3.73)
D = τ2 − 4∆ = −4 × (−0, 01) = 0, 08. (3.74)
132
y
x00
P2
100
Figura 3.18: Diagrama de fase para o sistema (3.66)-(3.67)
Como ∆ < 0 segue que a solucao de equilıbrio e um ponto de sela. Isso podeser confirmado pelos autovalores respectivos, que sao
ξ1 =τ +
√D
2=
√0, 08
2= 0, 14142, (3.75)
ξ2 =τ −
√D
2= −
√0, 08
2= −0, 14142. (3.76)
Para ter uma ideia do comportamento das trajetorias no plano de fase, vamosdeterminar as isoclinas do sistema:
A : x = −0, 1x+ 5y = 0 ⇒ y = 0, 02x, (3.77)
B : y = −20
x+ 0, 1y = 0 ⇒ y =
200
x, (3.78)
representadas, respectivamente, por uma reta que passa pela origem, e por umahiperbole no primeiro quadrante do plano (Figura 3.18). A intersecao dessasisoclinas produz quatro quadrantes, nos quais os sinais do campo vetorial saodeterminados como segue: vamos inicialmente reescrever o sistema (3.66)- (3.66)na forma equivalente
x = 5(y − 0, 02x), (3.79)
y = 0, 1
(
y − 200
x
)
. (3.80)
e podemos fazer agora a analise para cada quadrante:
• se y > 0, 02 (acima de A), y − 0, 02 > 0, e x = 5(y − 0, 02x) > 0, flechapara a direita na direcao x;
• se y < 0, 02 (abaixo de A), y − 0, 02 < 0, e x < 0, flecha para a direita nadirecao x;
133
0 50 100 150 200x
0
1
2
3
4
5
y
Figura 3.19: Trajetorias de fase obtidas por solucao numerica do sistema (3.66)-(3.67) com diferentes condicoes iniciais.
• se y = 0, 02 (sobre A), y − 0, 02 = 0, e x = 0, fluxo puramente vertical(para cima ou para baixo dependendo de x);
• se y > 200/x (acima de B), y − 200/x > 0 e y = 0, 1 (y − 200/x) > 0,flecha para cima na direcao y;
• se y < 200/x (abaixo de B), y − 200/x < 0 e y < 0, flecha para baixo nadirecao y;
• se y = 200/x (sobre B), y− 200/x = 0 e y = 0, fluxo puramentehorizontal(para a esquerda ou para a direita dependendo de y);
sendo a combinacao dessas possibilidades representada no diagrama de fase daFig. 3.18.
Na Fig. 3.19 mostramos trajetorias de fase obtidas por solucao numerica dosistema (3.66)-(3.67) com diferentes condicoes iniciais (linhas cheias) bem comoas isoclinas correspondentes (linhas tracejadas). Fica aparente a natureza deponto de sela da solucao de equilıbrio, ja que as trajetorias inicialmente conver-gem a ele, para depois divergirem rapidamente a infinito. Comparando com ossentidos do campo vetorial previstos pelo metodo das isoclinas observamos umaconcordancia qualitativa nos quatro quadrantes da Fig. 3.18.
2. Um exemplo mais complicado e o sistema [3]
x = x(3 − x− 2y), (3.81)
y = y(2 − x− y), (3.82)
onde x > 0, y < 0, e cujas solucoes de equilıbrio sao obtidas a partir de
x∗(3 − x∗ − 2y∗) = 0, (3.83)
y∗(2 − x∗ − y∗) = 0, (3.84)
134
que tem uma solucao imediata:
P1 : x∗1 = 0, y∗1 = 0. (3.85)
Outra solucao decorre de anularmos os termos entre parenteses em (3.81)-(3.82),caindo no sistema
x∗ + 2y∗ = 3, (3.86)
x∗ + y∗ = 2, (3.87)
que e verificado para
P2 : x∗2 = 1, y∗2 = 1. (3.88)
Ha duas outras possibilidades, facilmente verificadas por substituicao direta:
P3 : x∗3 = 0, y∗2 = 2, (3.89)
eP4 : x∗4 = 3, y∗4 = 0, (3.90)
num total de quatro solucoes de equilıbrio. A matriz jacobiana do sistema e
DF(x, y) =
(3 − 2x− 2y −2x
−y 2 − x− 2y
)
. (3.91)
Para o ponto de equilıbrio P1 : (0, 0) os elementos da matriz jacobiana sao
A(P1) = DF(x∗1 = 0, y∗1 = 0) =
(3 00 2
)
, (3.92)
com traco τ = 5, determinante ∆ = 6 e discriminante D = 52 − 4 × 6 = 1 > 0.Logo, P1 e um no instavel. De fato, a matriz Jacobiana acima ja esta na formadiagonal, e seus autovalores sao ξ1 = 3 e ξ2 = 2.
A matriz Jacobiana, calculada no segundo ponto de equilıbrio P2 : (1, 1) e
A(P2) = DF(x∗2 = 1, y∗2 = 1) =
(−1 −2−2 −1
)
, (3.93)
para qual o traco e τ = −2, determinante ∆ = −1 e discriminante D = 8 > 0,donde P2 e um ponto de sela, correspondendo aos autovalores ξ1,2 = −1 ±
√2
da matriz Jacobiana.O ponto de equilıbrio P3 : (0, 2) esta associado a matriz Jacobiana
A(P3) = DF(x∗2 = 0, y∗2 = 2) =
(−1 0−2 −2
)
, (3.94)
cujo traco e τ = −3, determinante ∆ = 2 e discriminante D = 1 > 0, donde P1
e um no estavel. A matriz Jacobiana tem autovalores: ξ1 = −1 e ξ2 = −2.E tambem um no estavel o quarto ponto de equilıbrio P4 : (3, 0), pois a
matriz Jacobiana
A(P4) = DF(x∗4 = 3, y∗4 = 0) =
(−3 −60 −1
)
(3.95)
135
y
x0 1 2 3
1
0
2
1,5
P P
P
1
2
4
P3
B
A
Figura 3.20: Diagrama de fase para o sistema (3.81)-(3.82)
tem traco, determinante e discriminante iguais, respectivamente, a τ = −4,∆ = 3 e D = 4 > 0., e autovalores ξ1 = −3 e ξ2 = −1.
As isoclinas do sistema sao obtidas a partir das equacoes x = 0 e y = 0. Oseixos das abscissas (y = 0) e ordenadas (x = 0) sao, portanto, isoclinas. Alemdeles, temos ainda
A : x = x+ 2y − 3 = 0 ⇒ y =3 − x
2, (3.96)
B : y = x+ y − 2 = 0 ⇒ y = 2 − x, (3.97)
representadas como duas retas no plano de fase. As intersecoes dessas quatroisoclinas fornecem os quatro pontos de equilıbrio ja estudados [Figura 3.20]. Asduas isoclinas determinam quatro setores, para os quais o sentido do campovetorial e determinado observando-se que podemos reescrever o sistema originalcomo
x = −2x
[
y −(
3 − x
2
)]
, (3.98)
y = −y[y − (2 − x)], (3.99)
de sorte que as possibilidades de sinal sao [Fig. 3.20]:
• y > (3−x)/2 (acima de A): y−(3−x)/2 < 0, logo x = −2x [y − (3 − x)/2] <0 (ja que sempre temos x > 0), flecha para a esquerda na direcao x;
• y < (3 − x)/2 (abaixo de A): y − (3 − x)/2 > 0, logo x > 0, flecha para adireita na direcao x;
• y = (3 − x)/2 (sobre A): x = 0, fluxo puramente vertical (para cima oupara baixo dependendo de x);
• y > 2 − x (acima de B): y − (2 − x) > 0, logo y = −y[y − (2 − x)] < 0 (jaque sempre temos y > 0), flecha para baixo na direcao y;
136
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3x
0
0,4
0,8
1,2
1,6
2y
Figura 3.21: Trajetorias de fase obtidas por solucao numerica do sistema (3.81)-(3.82) com diferentes condicoes iniciais.
• y < 2 − x (abaixo de B): y − (2 − x) < 0, logo y > 0, flecha para cima nadirecao y;
• y = 2 − x (sobre B): y = 0, fluxo puramente horizontal (para a esquerdaou para a direita dependendo de y);
Nos tracamos na Fig. 3.21 uma serie de trajetorias de fase obtidas porsolucao numerica do sistema (3.81)-(3.82) com diferentes condicoes iniciais, ondetambem indicamos as isoclinas do sistema por linhas tracejadas (excetos os eixoscoordenados). E imediato associarmos o ponto de equilıbrio P1 como um noinstavel, assim como P3 e P4 sao nos estaveis. Ja P1 e claramente um ponto desela, cuja direcao instavel parece encontrar-se entre as isoclinas tracejadas nafigura.
3.5 Exemplo em Economia: Modelo de capital
fısico e humano
No capıtulo 1 estudamos o modelo de Solow de crescimento economico, base-ado em dois fatores, a saber, o capital fısico e a forca de trabalho. A relacaocapital/trabalho de equilıbrio [vide Eq. (1.107)], ou seja, a taxa de crescimentoeconomico, depende essencialmente da taxa de crescimento da forca de trabalhoλ. E possıvel incluir tambem no modelo de Solow, de forma exogena, o efeitodo progresso tecnologico com o objetivo de aumentar a produtividade do traba-lhador, de forma que a taxa de crescimento efetiva aumente para λ+ τ , onde τrepresenta os ganhos de produtividade.
Podemos, no entanto, tornar o progresso tecnologico endogeno, incluindo nomodelo o conceito de capital humano, conforme os trabalhos de Romer e seuscolaboradores [35]. O capital humano pode ser aumentado, por exemplo, por
137
investimentos em educacao e aperfeicoamento tecnico do trabalhador, de modoa aumentar sua eficiencia, pelo conhecimento de tecnicas novas, implantacao demecanismos de controle de qualidade, aumento da auto-estima, etc. Na pratica,segundo Romer [35], o capital humano (denotado H) pode ser mensurado apartir dos salarios pagos aos trabalhadores, supondo que, quanto mais qualifi-cado for o trabalhador, maior sera sua remuneracao em media. Dessa forma,trabalharemos com as seguintes macrovariaveis: Y : renda; K: estoque de ca-pital fısico; H: estoque de capital humano; L: forca de trabalho; A: nıvel deprogresso tecnico (que leva a aumento de produtividade); I: investimento; e S:poupanca.
3.5.1 Hipoteses do modelo
Algumas das hipoteses do modelo de capital fısico/humano sao as mesmas domodelo de Solow:1. A forca de trabalho cresce exponencialmente a uma taxa λ > 0:
L(t) = L0eλt, (3.100)
2. A funcao producao depende nao so do capital fısico K e da forca de tra-balho L, como no modelo de Solow, mas tambem do capital humano H edo nıvel de progresso tecnico A. Tambem suporemos que a funcao producaoQ = f(K,H,A,L) seja homogenea de primeiro grau, e dada por uma forma dotipo Cobb-Douglas:
Y (t) = K(t)αH(t)
β[A(t)L(t)]
1−α−β, (3.101)
onde supomos que 0 < α < 1, 0 < β < 1, e tambem que α+ β < 1.3. O nıvel de progresso tecnico cresce exogenamente a uma taxa g > 0:
A(t) = A0egt, (3.102)
4. O capital fısico e o humano depreciam com o tempo a mesma taxa δ > 0:5. No equilıbrio, o investimento I(t) e igual a poupanca S(t), sendo uma pro-porcao s constante da renda poupada e invertida: I(t) = S(t) = sY (t). Partedo investimento o e em capital fısico (sk) e parte em capital humano (sh).
I = S = sY =dK
dt+dH
dt, (3.103)
onde
dK
dt= skY − δK, (3.104)
dH
dt= shY − δH, (3.105)
onde incluimos os efeitos da depreciacao, e tal que s = sk + sh.
3.5.2 Derivacao das equacoes do modelo
Assim como no modelo de Solow, e conveniente definir variaveis relativas: renda/trabalhoe capital/trabalho, da seguinte forma:
y ≡ Y
AL, k ≡ K
AL, h ≡ H
AL. (3.106)
138
Usando (3.100) e (3.102) temos
Y = yAL = yA0L0e(g+λ)t,
K = kAL = kA0L0e(g+λ)t,
H = hAL = hA0L0e(g+λ)t,
que, derivadas em relacao ao tempo, fornecem:
dY
dt=
dy
dtA0L0e
(g+λ)t + yA0L0(g + n)e(g+λ)t =d
dtQ(K,H,A,L),
dK
dt=
dk
dtA0L0e
(g+λ)t + kA0L0(g + n)e(g+λ)t = skY − δK,
dH
dt=
dh
dtA0L0e
(g+λ)t + hA0L0(g + n)e(g+λ)t = shY − δH,
onde tambem usamos (3.104) e (3.105), e a forma geral da funcao producao.Dividindo as tres equacoes acima por AL = A0L0e
(g+λ)t temos
dy
dt+ y(g + λ) =
1
A0L0e−(g+λ)t d
dtQ(K,H,A,L),
dk
dt+ k(g + λ) = sk
Y
AL− δ
K
AL= sky − δk, (3.107)
dh
dt+ h(g + λ) = sh
Y
AL− δ
H
AL= shy − δh. (3.108)
Como a funcao producao e suposta homogenea de primeiro grau em ALtemos que
Q(K,H,A,L) =1
ALQ(
K
AL,H
AL, 1, 1) =
1
ALQ(k, h, 1, 1).
No caso da funcao de producao do tipo Cobb-Douglas (3.101) temos
y =Y
AL=
1
ALQ(K,H,A,L) =
KαHβ(AL)1−α−β
AL
= KαHβ(AL)−α
(AL)−β
=
(K
AL
)α(H
AL
)β
= kαhβ , (3.109)
que, quando substituida em (3.107) e (3.108), fornece as equacoes do modelo:
dk
dt= f(k, h) = skk
αhβ − (λ+ g + δ)k, (3.110)
dh
dt= g(k, h) = shk
αhβ − (λ+ g + δ)h. (3.111)
3.5.3 Solucoes de equilıbrio
A solucao de equilıbrio deste modelo e
v∗ =
(k∗
h∗
)
, (3.112)
139
faz o campo vetorial (3.110)-(3.111) se anular:
skk∗αh∗β − (λ+ g + δ)k∗ = 0, (3.113)
shk∗αh∗β − (λ+ g + δ)h∗ = 0. (3.114)
Dividindo as equacoes (3.113) e (3.114) por sk e sh, respectivamente, temosque
k∗αh∗β =c
skk∗ =
c
shh∗ ⇒ h∗ =
sh
skk∗, (3.115)
onde definimos, por simplicidade de notacao:
c ≡ λ+ g + δ. (3.116)
Substituindo (3.115) em (3.113)
skk∗α
(sh
skk∗)β
− ck∗ = 0,
k∗
[
sk
(sh
sk
)β
k∗α+β−1 − c
]
= 0, (3.117)
que tem duas solucoes para a relacao capital fısico/trabalho de equilıbrio. Umadelas, que chamaremos de solucao trivial, e k∗ = 0. A solucao nao-trivial e
k∗ =
(
s1−βk sβ
h
c
) 11−α−β
=sk
ck∗αh∗β . (3.118)
Usando (3.115), a relacao capital humano/trabalho de equilıbrio (nao-trivial,pois tambem temos h∗ = 0 como uma solucao) sera
h∗ =
(sα
k s1−αh
c
) 11−α−β
=sh
ck∗αh∗β . (3.119)
Podemos simplificar consideravelmente a algebra envolvida na manipulacaodestas expressoes, definindo novas variaveis normalizadas aos seus valores deequilıbrio (nao-triviais), como
x1 ≡ k
k∗, x2 ≡ h
h∗. (3.120)
Quando modificamos variaveis dependentes em equacoes diferenciais, devemosutilizar a regra da cadeia do calculo para transformar as derivadas onde taisvariaveis ocorrem. Entao
dx1
dt=
dx1
dk
dk
dt=
1
k∗dk
dt, (3.121)
dx2
dt=
dx2
dh
dh
dt=
1
h∗dh
dt, (3.122)
Substituindo (3.120), (3.121) e (3.122) no campo vetorial (3.110)-(3.111):
k∗dx1
dt= skk
∗αh∗βxα1 x
β2 − ck∗x1,
h∗dx2
dt= shk
∗αh∗βxα1 x
β2 − ch∗x2.
140
Usando (3.118) e (3.119) as equacoes acima reduzem-se a
k∗dx1
dt= ck∗xα
1 xβ2 − ck∗x1,
h∗dx2
dt= ch∗xα
1xβ2 − ch∗x2,
e, dividindo ambos os membros por ck∗ e ch∗, respectivamente, temos o campovetorial nas novas variaveis
dx1
dt= f1(x1, x2) = c(xα
1 xβ2 − x1), (3.123)
dx2
dt= f2(x2, x2) = c(xα
1 xβ2 − x2). (3.124)
Para esta forma do campo vetorial, a solucao nao-trivial de equilıbrio efacilmente encontrada como sendo
x∗1 =k∗
k∗= 1, x∗2 =
h∗
h∗= 1, (3.125)
sendo (x∗1, x∗2) = (0, 0) a solucao trivial, que representa ausencia de crescimento
economico, ao passo que a solucao nao-trivial representa um crescimento a taxasestacionarias da razao capital/trabalho, tanto para o capital fısico como parao humano. No entanto, e fundamental que estudemos a estabilidade destassolucoes, visto que e desejavel (do ponto de vista economico), que a solucaotrivial seja instavel, e que a solucao nao-trivial (3.125) seja estavel.
3.5.4 Diagrama de fase
Antes de fazer uma analise quantitativa da estabilidade dos pontos de equilıbriopela aproximacao linear, e conveniente realizar uma analise qualitativa dassolucoes com o auxılio do diagrama de fase. Para isso, determinamos as isoclinasdo sistema:
x1 = f1(x1, x2) = c(xα1 x
β2 − x1) = 0 ⇒ xα
1xβ2 = x1, (3.126)
x2 = f2(x2, x2) = c(xα1 x
β2 − x2) = 0 ⇒ xα
1xβ2 = x2, (3.127)
ou seja
A : x2 = x(1−α)/β1 , (3.128)
B : x2 = xα/(1−β)1 , (3.129)
alem das isoclinas representadas por x1 = 0 e x2 = 0 [Figura 3.22] (veja oProblema 6). Para a analise do diagrama de fase, consideremos as derivadasparciais [21]
∂f1∂x2
= cβxα1 x
β−12 > 0, (3.130)
∂f2∂x1
= cαxα−11 xβ
2 > 0, (3.131)
ja que tanto x1 como x2 sao sempre positivos, e α− 1 > 0 e β− 1 > 0, uma vezque α e β sao menores do que 1 nas funcoes de Cobb-Douglas.
141
x00
x
P
1
2
1
1
A
B
Figura 3.22: Diagrama de fase para o sistema (3.123)-(3.124).
Tomemos um valor arbitrario de x1, que determina um ponto sobre a curvaA, para a qual f1 = 0. Mantendo x1 constante (isto e, dx1 = 0) e aumentandox2 de uma quantidade infinitesimal dx2, o ponto acima da curva A tera o novovalor de f1 dado por
f1 + df1 = 0 +∂f1∂x2
dx2 > 0.
Analogamente, tomando um valor qualquer de x2 sobre a isoclina B, para a qualf2 = 0; e aumentando x1 a partir desse ponto de dx1, um ponto a direita dacurva B tera o novo valor de f2 dado por
f2 + df2 = 0 +∂f2∂x1
dx1 > 0,
onde, em ambas as expressoes, usamos a expressao da diferencial total de umafuncao de duas variaveis [36].
O quadro de possibilidades e, portanto, o seguinte:
• acima da isoclina A: x1 = f1 > 0, flecha para a direita na direcao x1;
• abaixo da isoclina A: x1 = f1 < 0, flecha para a esquerda na direcao x1;
• a esquerda da isoclina B: x2 = f2 < 0, flecha para baixo na direcao x2;
• a direita da isoclina B: x2 = f2 > 0, flecha para cima na direcao x2;
o que delimita quatro regioes na figura 3.22.Os dois pontos de equilıbrio sao, como se esperaria, as intersecoes entre as
isoclinas A e B, ocorrendo em x1 = 0 e 1. Pelas direcoes das flechas em ambosos eixos, podemos imediatamente dizer que o ponto de equilıbrio trivial 0 : (0, 0)e instavel, ao passo que o ponto nao-trivial P : (1, 1) e assintoticamente estavel.Para sabermos que tipos de equilıbrio estes pontos representam, no entanto,faz-se mister analisar quantitativamente o problema linearizado.
142
3.5.5 Estabilidade do equilıbrio
Para estudar a estabilidade das solucoes de equilıbrio, devemos inicialmenteobter os elementos da matriz Jacobiana do campo vetorial (3.123)-(3.124)
J11 =∂f1∂x1
= c(αxα−1yβ − 1), (3.132)
J12 =∂f1∂x2
= cβxαyβ−1, (3.133)
J21 =∂f2∂x1
= cαxα−1yβ , (3.134)
J22 =∂f2∂x2
= c(βxαyβ−1 − 1), (3.135)
(3.136)
de forma que
DF = c
(αxα−1yβ − 1 βxαyβ−1
αxα−1yβ βxαyβ−1 − 1
)
. (3.137)
Vamos considerar a solucao trivial de equilıbrio 0 : (0, 0). Fazendo x = y = 0em (3.137) teremos que, ja que 0 < α < 1 e 0 < β < 1, os expoentes α − 1 eβ − 1 sao negativos, o que fornece resultados infinitos para todos os elementosda matriz Jacobiana. Neste caso, por extensao da analise feita anteriormente,os autovalores de DF(0, 0) tendem a infinito, e a solucao trivial e instavel.
Para a solucao nao-trivial de equilıbrio P : (1, 1) a matriz Jacobiana e escritacomo
DF(1, 1) = c
(α− 1 βα β − 1
)
, (3.138)
cujo traco e determinante sao, respectivamente, dados por
τ = TrDF(1, 1) = c(α+ β − 2), (3.139)
∆ = detDF(1, 1) = c2[(α− 1)(β − 1) − αβ] = c2(1 − α− β). (3.140)
A solucao de equilıbrio sera estavel se as duas desigualdades em (2.213)-(2.214) forem verificadas:
τ = c(α+ β − 2) < 0, (3.141)
∆ = c2(1 − α− β) > 0. (3.142)
Como c > 0, (3.141) implica em que α + β − 2 < 0, ou seja, que α + β < 2.Mas supomos que 0 < α < 1 e 0 < β < 1, logo α + β < 2 e sempre verificada.Ja (3.142) implica em que 1−α− β > 0, mas isto e tambem sempre verificado,pois presumimos que α + β < 1 (hipotese 2 do modelo). Logo, concluimos quea solucao de equilıbrio nao-trivial P e sempre estavel.
Para descobrir se P e no ou foco estavel, estudamos o comportamento dodiscriminante
D = τ2 − 4∆ = c2(α+ β − 2)2 − 4c2(1 − αβ)
= c2[(α+ β)2 − 4(α+ β) + 4 − 4(1 − αβ)
= c2(α+ β)2, (3.143)
143
0 0,5 1 1,5 2x
0
0,5
1
1,5
2
y
Figura 3.23: Trajetorias de fase para o modelo de capital humano (3.123)-(3.124)obtidas a partir de diferentes condicoes iniciais, quando α = 0, 50, β − 0, 25, ec = 1, 0.
que e sempre um numero nao-negativo. Portanto, os autovalores da matrizJacobiana sao reais, e P e um no estavel. Os autovalores e autovetores damatriz Jacobiana nesse ponto podem ser determinados analiticamente (veja oProblema 7).
As conclusoes obtidas pela linearizacao do sistema (3.123)-(3.124) em tornodo ponto de equilıbrio continuam validas no caso nao-linear, como pode-se inferirda Fig. 3.23, onde varias trajetorias obtidas numericamente sao tracadas apartir de condicoes iniciais diferentes. O equilıbrio e, de fato, um no estavel (jaque ele e um ponto hiperbolico), e um dos autovetores deve ter a direcao daprimeira bissetriz, ja que as trajetorias sao retilıneas nessa direcao. Alem disso,essa direcao parece representar um “canal” preferencial para as trajetorias queconvergem ao equilıbrio.
E interessante interpretar economicamente algumas dessas trajetorias, lem-brando que x1 e x2 sao proporcionais ao capital fısico e humano, respectiva-mente. Tomemos a condicao inicial (x∗ ≈ 0, 5, y∗ = 2), que correponde a umestado onde o capital fısico e quase nulo, e o capital e somente humano. Ocrescimento do capital fısico e acompanhado inicialmente por um decrescimo docapital humano, mas este volta a crescer e atingem ambos, finalmente, a situacaode equilıbrio, onde ambos sao iguais x∗1 = x∗2. Esse tipo de compensacao entrecapital fısico e humano e observado para outras trajetorias. Em particular, nadirecao da primeira bissetriz o crescimento ocorre a taxas iguais para ambos oscapitais.
144
3.6 Direcoes e curvas invariantes
Ate o momento, demos muita importancia aos autovalores da matriz Jacobianapara a investigacao da estabilidade das solucoes de equilıbrio na aproximacaolinear. Em contrapartida, pouca ou quase nenhuma atencao foi dada aos auto-vetores correspondentes a tais autovalores. De fato, nao e necessario, a rigor,conhecer os autovetores da matriz Jacobiana, se nosso intento e unicamente de-cidir se um ponto de equilıbrio e ou nao estavel, e qual o tipo de convergenciaou divergencia. No entanto, se desejarmos conhecer algo mais sobre a naturezadas trajetorias no plano de fase, alem da tecnica das isoclinas e do diagrama defase, podemos contar com os autovetores da matriz Jacobiana para investigaras chamadas direcoes e curvas invariantes.
3.6.1 Auto-direcoes e autovetores
Vamos retornar aos modelos bidimensionais lineares da forma
dv
dt= A.v, (3.144)
onde
v(t) =
(x(t)y(t)
)
, v0 =
(x(t = 0)y(t = 0)
)
. (3.145)
Vimos, no Capıtulo 2 que, substituindo a solucao tentativa v(t) = eξtu em(3.144) chegamos a equacao dos autovalores:
A.u = ξu, (3.146)
onde u e o autovetor correspondente ao autovalor ξ da matriz A, e que e umaraiz da equacao secular
det(A − ξI) = 0. (3.147)
Uma solucao geral da eq. (3.144) e portanto uma combinacao linear dos doisautovetores, na forma (2.60):
v(t) = c1eξ1tu1 + c2e
ξ2tu2 (3.148)
onde c1,2 sao constantes de integracao determinadas pelas condicoes iniciais x(0)e y(0).
Sera fundamental, nesse ponto, definirmos o conceito de invariancia na dinamica:
Definicao 7 Um conjunto S e dito invariante sob a dinamica gerada pelo campovetorial v = F(v) se, para qualquer v0 ∈ S tenhamos v(v0, t) ∈ S para todos ostempos t ∈ R.
Cada autovetor define uma direcao invariante no plano de fase, que pode serestavel ou instavel, caso o autovalor correspondente ao autovetor tenha partereal negativa ou positiva, respectivamente. Logo, as retas definidas pelos autove-tores sao tais que, colocando uma condicao inicial exatamente sobre elas, todosos demais pontos da trajetoria resultante estarao confinados a essa direcao.
Para mostrar esta afirmacao consideramos uma condicao inicial colocadasobre a direcao determinada por um dos autovetores, por exemplo, u1. Nessecaso, a condicao inicial sera escrita como
v0 = c1u1. (3.149)
145
Por outro lado, a solucao geral do modelo e dada por (2.76). Fazendo t = 0na mesma, teremos que v0 = v(0) = c1u1 + c2u2. Comparando com (3.149),vemos que c2 = 0. Logo, a solucao para tempos arbitrarios fica
v(t) = c1eξ1tu1, (3.150)
que representa vetores sempre na mesma direcao u1, ou seja, essa direcao einvariante. Caso Reξ1 > 0 sera dita uma auto-direcao instavel; e se Reξ1 < 0nos a chamaremos uma auto-direcao estavel.
Para um exemplo ilustrativo, vamos revisitar o sistema (2.98), ja estudadono Capıtulo anterior:
dx
dt= x+ y, (3.151)
dy
dt= 4x− 2y, (3.152)
para o qual a matriz dos coeficientes e
A =
(1 14 −2
)
, (3.153)
cujo traco, determinante e discriminante sao iguais, respectivamente, a τ−1 < 0,∆ = −6 < 0, e D = 25 > 0, tal que a origem (0, 0) e um ponto de sela. Osautovalores da matriz dos coeficientes sao ξ1 = 2 e ξ2 = −3, correspondentes,respectivamente, aos autovetores
u1 =
(11
)
, u2 =
(1−4
)
, (3.154)
Como ξ1 > 0, entao u1 identifica a auto-direcao instavel, que denotaremos Eu;ao passo que, como ξ2 < 0, u2 e a auto-direcao estavel, representada como Es
[Fig.3.24].Uma condicao inicial que fosse postada exatamente sobre a auto-direcao
estavel Es geraria uma trajetoria inteiramente contida nessa direcao, aproximando-se da origem quando o tempo vai a infinito. De forma semelhante, se co-locassemos tal condicao inicial sobre a auto-direcao instavel Eu, a trajetoriaresultante divergiria para infinito. No caso geral, as trajetorias nas vizinhancasdo ponto de sela na origem tem a forma de curvas cujas assıntotas sao as auto-direcoes determinadas pelos autovetores que acabamos de calcular [Fig. 3.24].
3.6.2 Teorema das curvas invariantes
O ponto de sela e um ponto de equilibrio hiperbolico (autovalores com partesreais nao-nulas). Gracas a isso, se a matriz dos coeficientes do exemplo anterior,A, fosse a matriz Jacobiana calculada no ponto de equilıbrio de um sistema nao-linear, entao o ponto de sela que determinamos subsiste tambem para o casonao-linear. Em outras palavras, os pontos de sela sao robustos na passagempara o caso nao-linear.
Nos exemplos analisados neste capıtulo encontramos confirmacoes dese fato.No sistema (3.66)-(3.67), o equilıbrio (x∗ = 100, y∗ = 2) e um ponto de selana aproximacao linear, e o comportamento das trajetorias de fase obtidas nu-mericamente [vide Fig. 3.19] confirma essa conclusao. Da mesma maneira, no
146
y
x
E E
u
u
O
1
2
us
Figura 3.24: Ponto de sela para o sistema (3.151)-(3.152).
modelo (3.81)-(3.82), o ponto de sela (x∗ = y∗ = 1) tambem subsiste no casonao-linear [vide Fig. 3.21].
Podemos, agora, indagar sobre o que ocorre com as auto-direcoes invari-antes (estavel e instavel) determinadas a partir dos autovetores calculados naaproximacao linear, quando passamos para o caso nao-linear. A resposta a essaquestao esta no teorema a ser enunciado mais adiante, e que afirma que, nocaso de um ponto de sela, onde determinamos auto-direcoes instaveis e estaveisinterceptando-se no ponto de equilıbrio, no caso nao-linear ha curvas invarian-tes na vizinhanca do ponto de sela e tangentes as direcoes invariantes (retas)definidas pelos autovetores.
Essas curvas sao invariantes no mesmo sentido dado anteriormente as auto-direcoes: se colocarmos uma condicao inicial exatamente sobre a curva invari-ante, a trajetoria obtida a seguir jaz inteiramente sobre essa curva para todosos tempos. Quando a curva invariante e estavel, denotada por V s, a trajetoriaaproxima-se do ponto de sela quando t → ∞. Analogamente, se a curva inva-riante e instavel, V u, a trajetoria afasta-se do ponto de sela quando o tempocresce indefinidamente. Alem disso, no ponto de sela, a curva estavel V s e tan-gente a auto-direcao estavel Es, e a curva instavel V u e tangente a auto-direcaoinstavel Eu [Figura 3.25].
Formalizamos estes conceitos (com generalizacoes imediatas para os casosmultidimensionais) atraves da seguinte
Definicao 8 Seja U ⊂ R2 uma vizinhanca do ponto de equilıbrio v∗. Defini-mos as curvas invariantes estavel e instavel locais de v∗, denotadas V s
loc(v∗) e
V uloc(v
∗), respectivamente, como os seguintes conjuntos:
V sloc(v
∗) = {x ∈ U |ϕt(x) → v∗ quando t→ ∞, eϕt(x) ∈ U, ∀t ≥ 0}, (3.155)
V uloc(v
∗) = {x ∈ U |ϕt(x) → v∗ quando t→ −∞, eϕt(x) ∈ U, ∀t ≤ 0}.(3.156)
Observe que definimos as curvas invariantes estavel e instavel apenas local-mente, ou seja, dentro de uma vizinhanca U que contem o ponto de equilıbrio
147
y
x
E EusV
s
Vu
v*
Figura 3.25: Variedades e auto-direcoes invariantes para um ponto de sela.
v∗. Alem disso, na definicao da curva instavel, usamos o expediente de fazero tempo diminuir, ao inves de aumentar. Isto e necessario pois, como a de-finicao acima so vale na vizinhanca do ponto de equilıbrio, se este for instavel atrajetoria afasta-se dele quando o tempo aumenta.
E possıvel, no entanto, definir curvas invariantes (globais) alem da vizinhancaU , considerando a uniao das imagens dos pontos das curvas invariantes locais.No caso da curva estavel, V s, consideramos os fluxos para tempos negativos,ao passo que, para a curva instavel, V u, tomamos as imagens para tempospositivos, ou seja
V s(v∗)) =⋃
t≤0
ϕt(Vsloc(v
∗)), (3.157)
V u(v∗)) =⋃
t≥0
ϕt(Vuloc(v
∗)), (3.158)
A tangencia das curvas e direcoes invariantes e garantida pelo (esta e umaversao reduzida do teorema das variedades estaveis, que sera enunciado comtoda sua generalidade apenas no proximo capıtulo)
Teorema 4 (Teorema das curvas invariantes) Suponha que o campo veto-rial v = F(v) tenha um ponto de equilıbrio hiperbolico. Entao existem curvaslocais invariantes estavel e instavel, denotadas V s(v∗) e V u(v∗), respectiva-mente, com as mesmas dimensoes das auto-direcoes invariantes Es e Eu dosistema linearizado w = DF(v∗).w, e tangentes as auto-direcoes no ponto v∗).
Na maioria dos sistemas nao-lineares, as curvas estavel e instavel so podemser obtidas por metodos computacionais [37]. Uma tecnica numerica simplespara obter a curva instavel e partir da auto-direcao instavel e colocar um grande
148
numero de pontos num pequeno intervalo centrado no ponto de equilıbrio. Re-solvemos numericamente o sistema de equacoes encontrando as imagens destespontos para tempos posteriores. No entanto, pela analise das trajetorias de fasenas vizinhancas de um ponto de sela e possıvel ter uma ideia qualitativa daforma dessas curvas invariantes. Ha um exemplo onde isso pode ser feito deforma analıtica [1]:
dx
dt= f(x, y) = x, (3.159)
dy
dt= g(x, y) = −y + x2, (3.160)
para o qual a solucao de equilıbrio e dada por
x∗ = 0, −y∗ + x∗2 = 0, (3.161)
ou seja, x∗ = 0, y∗ = 0.Construimos agora a matriz jacobiana do sistema
DF(x, y) =
(∂f∂x
∂f∂y
∂g∂x
∂g∂y
)
=
(1 02x −1
)
, (3.162)
que, no ponto de equilıbrio, e
A = DF(x∗ = 0, y∗ = 0) =
(1 00 −1
)
, (3.163)
que ja esta na forma diagonal. Podemos, portanto, determinar imediatamenteos seus autovalores, que sao ξ1 = 1 e ξ2 = −1; o que caracteriza o equilıbrio naorigem como um ponto de sela.
As autodirecoes serao determinadas pelos autovetores respectivos, os quaisverificam a equacao secular (3.146)
(A − ξI).u =
(1 − ξ 0
0 −1 − ξ
)(ux
uy
)
=
(00
)
. (3.164)
Para o primeiro autovalor, ξ1 = 1 > 0, obtem-se
(0 00 −2
)(ux
uy
)
=
(00
)
, (3.165)
que implica em uy = 0, sendo ux arbitrario. Escolhendo ux = 1 temos oautovetor
u1 =
(10
)
, (3.166)
ou seja, a auto-direcao instavel Eu e o proprio eixo das abscissas. Analogamente,para o outro autovalor, ξ2 = −1 < 0, a auto-direcao estavel Es e determinadapelo autovetor correspondente, a saber
u2 =
(01
)
, (3.167)
que e o eixo das ordenadas.
149
y
x
O
Es
Vu
Eu
Vs
=
Figura 3.26: Curvas e direcoes invariantes para o sistema (3.159)-(3.160).
Dividindo membro a membro as equacoes (3.159) e (3.160) chegamos a
y
x=dy
dx=
−y + x2
x= −y
x+ x, (3.168)
que tem como solucao analıtica,
y(x) =x2
3+c
x, (3.169)
onde c e uma constante de integracao, como pode ser verificado por substituicaode (3.169) e sua derivada em (3.168).
Pelo teorema anterior, sabemos que a curva instavel local V uloc deve ser tan-
gente a auto-direcao instavel Eu no ponto de equilıbrio. Logo, a curva instaveldeve ser tangente ao eixo x na origem. Por outro lado, a curva invariante deveser necessariamente uma trajetoria possıvel para o sistema, De (3.169) vemosque isso so e possıvel se c = 0, de outra forma na origem terıamos um termoinfinito. Concluimos que
y(x) =x2
3(3.170)
e a equacao da curva instavel do ponto de equilıbrio na origem [Fig. 3.26].
Podemos, ainda, mostrar diretamente que o eixo y e a “curva” estavel V s
do sistema. Para isso tomemos uma condicao inicial sobre ela, ou seja, x0 =0 para y0 arbitrario. De (3.159) resulta que x = 0, ou seja, x = 0 e umaconstante. Isso significa que a trajetoria resultante dessa condicao inicial estafadada a permanecer sobre o eixo y para todos os tempos. Colocando x = 0 em(3.160) temos uma equacao linear y = −y, cuja solucao e y(t) = y0e
−t, ou seja,aproximamo-nos da origem para t → ∞. Logo o eixo y, alem de ser a auto-direcao estavel Es, e tambem a “curva” estavel V s. No capıtulo 4 definiremoso termo variedade invariante para generalizar o conceito de curva invariante,de modo que as aspas que aqui usamos serao desnecessarias.
150
0 0,5 1 1,5 2 2,5x
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3y
Figura 3.27: Ciclo-limite num modelo contınuo bidimensional
3.7 Trajetorias fechadas
Ha dois tipos de trajetoria fechada num modelo contınuo bidimensional: (i) astrajetorias em torno de um centro nao-linear; e (ii) os ciclos-limite. Em ambosos casos, elas correspondem a solucoes periodicas do modelo que repetem-seciclicamente apos um dado perıodo T :
(x(t+ T ), y(t+ T )) = (x(t), y(t)).
A existencia das trajetorias em torno de um centro nao-linear tem uma peculi-aridade: cada condicao inicial leva a uma trajetoria fechada diferente. E maiscomum nos modelos bidimensionais a existencia dos chamados ciclos-limite,que sao trajetorias fechadas isoladas, para as quais convergem ou divergemtrajetorias proximas a elas. Por outro lado, as trajetorias em torno de um cen-tro nao sao isoladas: se (x(t), y(t)) e uma destas trajetorias fechadas, entao(cx(t), cy(t)), para c arbitrario, tambem e uma trajetoria fechada possıvel.
Um ciclo-limite pode ser estavel (instavel), quando atrai (repele) as tra-jetorias que se originam de pontos na sua proximidade [Fig. 3.28(a) e (b)] .Tambem pode ser semi-estavel, quando atrai trajetorias vindas de seu interiore repele trajetorias provenientes do seu exterior, ou vice-versa. Trajetorias or-bitando em torno de um centro podem existir em sistemas lineares, como vimosno Cap. 2, mas ciclos-limite sao exclusividade de modelos nao-lineares.
Um exemplo de ciclo-limite ocorre para o modelo bidimensional
dx
dt= x(1 − x2 − y2) − y, (3.171)
dy
dt= y(1 − x2 − y2) + x. (3.172)
Aqui sera mais conveniente trabalharmos em coordenadas polares, como fizemosno Cap. 2 x = r cos θ, y = r sin θ (veja as Eqs. 2.167-2.168 e os desenvolvimentos
151
-1 0 1x
-1
0
1
y
(a)
-2 -1 0 1 2x
-2
-1
0
1
2
y
(b)
Figura 3.28: Ciclo-limite (a) estavel, (b) instavel.
algebricos subsequentes se tiver alguma duvida quanto a essa transformacao).Derivando x e y em relacao ao tempo, e levando em conta que ambas sao funcoesdas coordenadas r e θ, temos
dx
dt= cos θr − r sin θθ, (3.173)
dy
dt= sin θr + r cos θθ. (3.174)
Multiplicando (3.173) por cos θ, (3.174) por sin θ e somando membro a mem-bro, obtemos a primeira das seguintes equacoes
dr
dt= cos θx+ sin θy, (3.175)
=x
rx+
y
ry,
dθ
dt= cos θ
y
r− sin θ
x
r, (3.176)
=x
r2y − y
r2x,
sendo que a segunda pode ser obtida analogamente, multiplicando (3.173) por− sin θ, (3.174) por cos θ e novamente somando as duas.
Lembrando, ainda, que, de (2.170), r2 = x2 + y2, o sistema (3.171)-(3.172)assume, entao, a seguinte forma em coordenadas polares:
dr
dt= r(1 − r2), (3.177)
dθ
dt= 1. (3.178)
onde r ≥ 0. A escolha dessas coordenadas e conveniente porque, com elas, osistema desacopla em duas equacoes independentes, que podem ser analisadasseparadamente. Na Figura 3.29 mostramos o diagrama de fase (unidimensional)relativo a Eq. (3.177), que evidencia a existencia de dois pontos de equilibrio:r∗ = 0 (instavel) e r∗ = 1 (estavel). Ja a equacao (3.178) tem, como solucaogeral, θ(t) = θ(0) + t.
152
0 0,5 1 1,5r
-1
-0,5
0
0,5
dr/d
t
Figura 3.29: Diagrama de fase unidimensional para a equacao (3.177).
Em termos do sistema bidimensional, a solucao r∗ = 0 representa um focoinstavel, pois as trajetorias nas suas proximidades afastam-se dele na forma deespirais (uma vez que tanto r como θ aumentam com o passar do tempo). Asolucao r∗ = 1 e representada por um cırculo no plano de fase, o qual e umatrajetoria fechada do tipo ciclo-limite estavel, pois as trajetorias que vem do seuinterior e exterior sao atraidas a ele com o passar do tempo [Figura 3.30].
3.7.1 Criterios para impossibilidade de trajetorias fecha-
das
E relativamente simples saber se ha ou nao pontos de equilıbrio para um mo-delo bidimensional, bastando achar as solucoes do sistema de equacoes (3.21).Por outro lado, e bem mais difıcil saber se ha ou nao trajetorias fechadaspara um modelo nao-linear qualquer. Ha, no entanto, diversos resultados ma-tematicos que podem ser usados para explorar a possibilidade ou impossibilidadeda existencia de trajetorias fechadas. Dada a natureza introdutoria desse livro,nao vamos demonstrar a maioria dos resultados mostrados nesta secao, masremetemos o leitor interessado a bibliografia especıfica [2, 3].
Sistemas gradientes
Um modelo contınuo bidimensional e dito um sistema gradiente se tiver a formageral
dx
dt=
∂V
∂x, (3.179)
dy
dt=
∂V
∂y, (3.180)
onde V (x, y) e uma funcao qualquer, desde que seja contınua e diferenciavelnos seus argumentos 1 E possıvel mostrar que trajetorias fechadas nao podemocorrer em sistemas gradientes [3].
1As derivadas de V em relacao a x e y sao as componentes do gradiente de V , que e umoperador diferencial vetorial [36].
153
-2 -1 0 1 2x
-2
-1
0
1
2
y
Figura 3.30: Ciclo-limite e trajetorias de fase do sistema (3.177)-(3.178).
Considere, por exemplo, o sistema:
dx
dt= y(2x− y), (3.181)
dy
dt= x(x− 2y). (3.182)
nao pode exibir trajetorias fechadas, pois trata-se de um sistema gradiente, ondeV (x, y) = xy(x− y), como pode ser verificado por substituicao direta.
Funcoes de Lyapunov
Teorema 5 Seja um modelo bidimensional escrito na forma vetorial
dv
dt= F(v), (3.183)
onde v e F sao dados por (3.11) e (3.12), respectivamente, e que tem um pontode equilıbrio v∗ dado por (3.42). Seja, ainda, uma funcao (de Lyapunov) L(v) :W → R onde W ⊂ R2 e uma vizinhanca de v∗, com as seguintes propriedades:
• L e continuamente diferenciavel e tem valores reais;
• L(v∗) = 0;
• L(v) > 0 para todo v 6= v∗;
• L < 0 para todo v 6= v∗.
Entao v∗ e globalmente assintoticamente estavel, ou seja, para todas as condicoesiniciais em R2 temos que v(t) → v∗ quando t→ ∞.
Observe que, no presente contexto, a derivada temporal da funcao de Lya-punov e calculada ao longo das trajetorias no plano de fase:
L =∂L∂x
x+∂L∂y
y =∂L∂x
f(x, y) +∂L∂y
g(x, y). (3.184)
154
����
x
y
L(x,y)
Figura 3.31: Esquema da funcao de Lyapunov no entorno de um ponto deequilıbrio x∗ = y∗ = 0.
Na Figura 3.31 mostramos esquematicamente o grafico da funcao de Lyapu-nov L(x, y) que satisfaz as propriedades acima enunciadas: todas as trajetoriasmovem-se na direcao do “fundo do poco”, que e o proprio ponto de equilıbrio.Uma das consequencias, portanto, e que nao podem haver trajetorias fechadas.Note que essa afirmacao sobre a estabilidade de v∗ nao se baseia na linearizacaodo sistema, como fizemos no inıcio deste capıtulo. O metodo das funcoes deLyapunov fornece, portanto, um metodo global para a determinacao da estabi-lidade dos equilıbrios. A funcao V (x, y) nos sistemas gradientes representa umexemplo importante da funcao de Lyapunov.
Considere, por exemplo, o sistema [[2], pg. 13].
dx
dt= y, (3.185)
dy
dt= −x+ ǫx2y, (3.186)
onde ǫ e um parametro variavel. Esse sistema tem um ponto de equilıbrio naorigem (x∗ = 0, y∗ = 0), como pode ser verificado diretamente substituindo em(3.185) e (3.186). Para mostrar que (0, 0) e assintoticamente estavel nos usamosa funcao de Lyapunov
L(x, y) =x2 + y2
2, (3.187)
que satisfaz as condicoes (1), (2): L(0, 0) = 0; (3)L(x, y) > 0 para qualquerx 6= 0 e y 6= 0. Para verificar a condicao (4) nos calculamos a derivada total dafuncao de Lyapunov, a saber
L(x, y)
dt=
∂L∂x
dx
dt+∂L∂y
dy
dt,
= xy + y(−x+ ǫx2y) = ǫx2y2. (3.188)
155
Logo L < 0 para todo x 6= 0 e y 6= 0, desde que ǫ < 0. Nesse caso todas ascondicoes iniciais no plano geram trajetorias que convergem para (0, 0), o queexclui automaticamente a possibilidade de existirem trajetorias fechadas nestesistema.
Poderıamos perguntar como achar a funcao de Lyapunov em geral. O pro-blema esta em que e relativamente raro encontrarmos uma funcao de Lyapunovdado um sistema nao-linear arbitrario, e infelizmente nao ha metodos geraispara essa investigacao.
Um criterio util para excluir a possibilidade de existirem trajetorias fechadase o
Teorema 6 (Bendixson) Seja um sistema bidimensional da forma (3.1). Se,numa regiao simplesmente conexa D do plano de fase 2 a expressao
B(x, y) =∂f
∂x+∂g
∂y(3.189)
nao for identicamente nula nem mudar de sinal em D, entao o sistema naoexibe trajetorias fechadas inteiramente contidas em D [2].
Considere o sistema
dx
dt= f = y (3.190)
dy
dt= g = x− x3 − 5y, (3.191)
onde D e todo o plano de fase. A expressao (3.189) sera igual a
B(x, y) =∂f
∂x+∂g
∂y= −5 < 0 (3.192)
para todo x e y, ou seja, ela nao muda de sinal nem e nula, de sorte que nao hatrajetorias fechadas no plano.
Uma generalizacao do criterio de Bendixson e o [2]
Teorema 7 (Dulac) Seja h(x, y) uma funcao contınua e diferenciavel na regiaosimplesmente conexa D. Se a expressao
H(x, y) =∂(hf)
∂x+∂(hg)
∂y(3.193)
nao for identicamente nula nem mudar de sinal, entao nao ha trajetorias fecha-das em D.
Por exemplo, no modelo [[3], pg. 202]
dx
dt= f = x(2 − x− y), (3.194)
dy
dt= g = y(4x− x2 − 3), (3.195)
2Aqui o termo simplesmente conexo implica nao existirem “buracos” na regiao, ou seja,ausencia de singularidades do campo vetorial
156
onde D e o quadrante positivo: x > 0 e y > 0, vamos tomar h(x, y) = 1/xy, talque (3.193) seja
H(x, y) =∂
∂x
(x(2 − x− y)
xy
)
+∂
∂y
(y(4x− x2 + 3)
xy
)
=
= −1
y< 0 (3.196)
que nunca muda de sinal, desde que nos restrinjamos a D, o que exclui portantoa possibilidade de haver trajetorias fechadas contidas inteiramente no primeiroquadrante.
3.7.2 Indice de Poincare
A teoria do ındice, devida a Poincare, e que veremos de forma muito breveaqui, e uma ferramenta util para analisar a impossibilidade da existencia detrajetorias fechadas. Consideremos um modelo bidimensional escrito na formaexplıcita
dx
dt= f(x, y), (3.197)
dy
dt= g(x, y), (3.198)
e seja C uma curva fechada sımples, ou seja, uma curva que nao se auto-intercepta (uma curva na forma de ´´numero oito´´, por exemplo, nao seriapossıvel) e que nao passe por ponto de equilıbrio algum. A curva C nao precisaser necessariamente uma trajetoria fechada do sistema.
O campo vetorial (f(x, y), g(x, y)), quando calculado num ponto qualquerdessa curva, pode ser representado por um vetor (de componentes f e g aolongo das direcoes x e y, respectivamente) que faz um angulo ψ com o eixo xpositivo dado por [Fig. 3.32(a)]:
ψ ≡ arctang(x, y)
f(x, y)(3.199)
Percorrendo a curva C no sentido anti-horario, por convencao, o vetor iraapontar numa direcao diferente em cada ponto, dependendo dos valores de f eg, de modo que o angulo ψ tambem aumenta continuamente. Apos uma voltacompleta ao longo da curva C, em geral o vetor tera girado de um multiplode 2π radianos, ou seja, ∆ψ = 2πk, onde k e um numero inteiro (positivo ounegativo), dito ındice da curva C, ou seja, IC = ∆ψ/2π.
E possıvel mostrar que o ındice de uma curva nao depende da sua formaespecıfica, mas sim do numero e da natureza dos pontos de equilıbrio envolvidospor ela. Se a curva C for escolhida tal que ela envolva apenas um ponto deequilıbrio v do sistema, entao o ındice da curva e tambem chamado de ındicedo ponto de equilıbrio. Na Figura 3.32(b) mostramos uma trajetoria circularC envolvendo um no instavel degenerado do tipo estrela. Devido a simetriado campo vetorial, sempre afastando-se do ponto de equilıbrio, e facil ver que,percorrendo C no sentido horario, o campo vetorial gira de um angulo igual a2π, de maneira que o ındice desse ponto de equilıbrio e +1.
As propriedades do ındice que nos interessam mais diretamente sao o con-teudo do
157
C
ψ
(f,g)(a)
C
(b)
v*
ψ
Figura 3.32: (a) Definicao do ındice de uma curva. (b) Indice de um no instaveldo tipo estrela.
Teorema 8 1. Se a curva C e continuamente deformada para tornar-se umacurva C ′ sem passar por um ponto de equilıbrio, entao IC = IC′ ;
2. Se C nao envolve ponto de equilıbrio algum, entao IC = 0;
3. Se C coincidir com uma trajetoria fechada, entao IC = +1;
4. Se C envolver n pontos de equilıbrio isolados, IC sera igual a soma dosındices de cada ponto de equilıbrio;
5. O ındice de um no ou foco (estavel ou instavel), bem como de nos dege-nerados e centros e +1;
6. O ındice de um ponto de sela e −1.
Caso a curva C coincida com uma trajetoria fechada no plano de fase, oteorema anterior exige que o ındice da curva seja +1. Se houver mais de umponto de equilıbrio sendo envolvido por C, entao a soma dos ındices de cadaponto deve ser igual a +1. Logo, deve haver pelo menos um ponto de equilıbriono interior de uma trajetoria fechada. Se ele for o unico ponto, nao pode serum ponto de sela (mas pode ser um no, foco, ou centro).
Uma aplicacao mais concreta do teorema do ındice e o sistema (3.81)-(3.82),estudado anteriormente nesse capıtulo. Vimos que ele possui quatro pontos deequilıbrio: (0, 0), que e um no instavel, (0, 2) e (3, 0), que sao nos estaveis, e(1, 1), que e um ponto de sela. Na Figura 3.33 mostramos esses quatro pontose as possıveis trajetorias fechadas que os circundam, denotadas C1, C2, e C3
(lembremos que outras trajetorias podem ser continuamente deformadas paraessas tres, sem mudar o seu ındice). A primeira delas, C1, e impossıvel por naoenvolver ponto de equilıbrio algum. Da mesma forma, C2 nao pode existir, poiso seu ındice seria −1 ao inves e +1, como requerido pelo teorema anterior.
O teorema do ındice nao impede a existencia da trajetoria C3. Porem,usando outros resultados podemos ver que C3 tambem e inadmissıvel. Observeque C3 intercepta o eixo x ou o eixo y (ou, ainda, ambos os eixos, como na figura
158
x
y
+1
−1
+1 +1
C
C
C
1
2
3
Figura 3.33: Candidatos a trajetorias fechadas no modelo bidimensional (3.81)-(3.82).
3.33). Mas estes eixos contem trajetorias retilıneas do sistema, como pode serimediatamente verificado inspecionando-se a Figura 3.20. Logo, se C3 fosse re-almente uma trajetoria fechada, ela necessariamente cruzaria outras trajetoriasdo sistema, o que viola o teorema de existencia e unicidade. Como esgotamostodos os tipos possıveis, concluimos que o modelo bidimensional (3.81)-(3.82)nao apresenta trajetorias fechadas.
3.7.3 Criterios para existencia de trajetorias fechadas
Todos os criterios anteriores tinham como objetivo provar que trajetorias fecha-das eram impossıveis em uma dada regiao do plano de fase. Ha, no entanto,alguns resultados matematicos rigorosos para explorar a possibilidade de havertrajetorias fechadas, ainda que nem sempre tais criterios possam prever ondeestas trajetorias estao. Nestes casos, o uso de integracao numerica para obteras trajetorias no plano de fase e obrigatorio numa investigacao.
Um resultado central na teoria dos sistemas dinamicos e o
Teorema 9 (Poincare, Bendixson) Sejam
1. U ⊆ R2 e um conjunto fechado e limitado do plano;
2. v = F(v) e um campo vetorial continuamente diferenciavel num conjuntoaberto contendo U ;
3. U nao contem pontos de equilıbrio;
4. Existe uma trajetoria C confinada no interior da regiao U , ou seja, sev(0) ∈ U , entao v(t) ∈ U para todo tempo t > 0.
Entao C e uma trajetoria fechada ou converge espiralando em direcao a umatrajetoria fechada, quando t → ∞. Em qualquer um dos casos, U contem umatrajetoria fechada [Fig. 3.34(a)].
159
P
(a) (b)
U
C
U
Figura 3.34: (a) Teorema de Poincare-Bendixson: a regiao U sempre contemuma orbita fechada; (b) U e uma regiao de aprisionamento: o campo vetorialsempre aponta “para dentro” de U .
O teorema de Poincare-Bendixson pode ser usado para sabermos se podeou nao haver trajetorias fechadas numa dada regiao do plano de fase. Temosbasicamente que mostrar que ha uma trajetoria confinada no interior da regiaoU do plano de fase. Isto nao e uma tarefa facil, em geral. Uma forma de levaristo a cabo e encontrar uma regiao de aprisionamento, onde o campo vetorialaponta para dentro em todos os pontos da fronteira da regiao U [Fig. 3.34(b)].Mais precisamente,[1]
Definicao 9 Seja ϕt(.) o fluxo das solucoes de v = F(v). Uma regiao deaprisionamento e um conjunto simplesmente conexo U ⊆ R2 tal que ϕt(U) ⊆ Upara todo tempo t > 0.
Se conseguirmos encontrar uma regiao de aprixionamento U para um sistemadinamico, podemos garantir que todas as trajetorias originadas de condicoesiniciais pertencentes a U estarao confinadas em U por todos os tempos subse-quentes. Logo, caso nao haja pontos de equilıbrio em U , o teorema de Poin-care-Bendixon assegura a existencia de uma trajetoria fechada contida em U[3].
Alem desse papel na analise da existencia de trajetorias fechadas, o teoremade Poincare-Bendixson constitui uma severa limitacao nos tipos de compor-tamento dinamico possıveis em modelos bidimensionais nao-lineares. Se umatrajetoria esta confinada a uma regiao fechada e limitada do plano de fase quenao contem pontos de equilıbrio, entao essa trajetoria deve necessariamenteespiralar convergindo para uma trajetoria fechada.
Sistemas de Lienard
Uma grande classe de modelos contınuos bidimensionais pode ser escrita naforma geral
dx
dt= y, (3.200)
dy
dt= −G(x) − F (x)y, (3.201)
160
onde F e G sao funcoes arbitrarias de seus parametros. Para estes sistemas, haum resultado matematico que demonstra a existencia de um ciclo limite unicoe estavel circundando a origem do plano de fase (0, 0), desde que as funcoes Fe G satisfacam certas hipoteses, na forma do
Teorema 10 (Lienard) Seja um modelo bidimensional da forma geral (3.200)-(3.201), onde F e G sejam tais que:
1. F (x) e G(x) sao continuamente diferenciaveis para todo x;
2. G(−x) = −G(x) para todo x (G e uma funcao ımpar);
3. G(x) > 0 para todo x > 0;
4. F (−x) = F (x) para todo x (F e uma funcao par);
5. a funcao
F(x) =
∫ x
0
F (x)dx
tem exatamente uma raiz positiva em x = a, e negativa para 0 < x < a, epositiva e nao-decrescente para x > a, e vai a infinito quando x→ ∞.
Entao o sistema (3.200)-(3.201) tem um ciclo limite unico e estavel envolvendoa origem (0, 0).
Um exemplo notavel e a chamada equacao de Van der Pol, que tem aplicacoeseconomicas na teoria dos ciclos de negocios [38]:
dx
dt= y, (3.202)
dy
dt= −µ(x2 − 1)y − x. (3.203)
onde µ ≥ 0 e um parametro do modelo. Comparando (3.202) e (3.203) com(3.200) e (3.201) vemos que o sistema tem a forma de Lienard, com
F (x) = −µ(x2 − 1), (3.204)
G(x) = x. (3.205)
que sao continuamente diferenciaveis para todo x real (condicao 1); e tem asseguintes propriedades: G(−x) = −x = −G(x) (condicao 2); G(x) = x > 0 se
x > 0 (condicao 3); e F (−x) = −µ((−x)2 − 1) = F (x) (condicao 4).Para verificar a condicao 5 construimos a funcao auxiliar
F(x) =
∫ x
0
F (x)dx = −µ∫ x
0
(x2 − 1)dx,
= −µ(x3
3− x
)
=1
3µx(x2 − 3), (3.206)
que tem tres raizes, a saber: x1 = 0, x2 =√
3, e x3 = −√
3. Apenas uma delase positiva, donde podemos tomar a =
√3. Se 0 < x <
√3 temos que x2−3 < 0,
donde tambem F(x) < 0. Para x >√
3 e x2 − 3 > 0, e F(x) > 0, alemde ser monotonicamente crescente Fig. [3.35], e de tambem tender ao infinito
161
-3 -2 -1 0 1 2 3x
-1
-0,5
0
0,5
1
F(x
)
x*3
x*1
x*2
Figura 3.35: Funcao auxiliar F(x), Eq. (3.206), com /mu = 1.
-2 0 2x
-2
0
2
y
Figura 3.36: Trajetorias de fase para o sistema (3.202)-(3.203), com /mu = 1.
162
v*
(a)
v* v*1 2
(b)
v* v*1 2
(c)
V
V
V
V
V
V
V
u
s
u sV
su
us
Figura 3.37: Orbitas (a) homoclınica e (b) heteroclınica. (c) Conexao de sela
quando x → ∞. Logo, pelo teorema de Lienard, as equacoes de Van der Pol(3.202)-(3.203) apresentam um unico ciclo limite estavel.
Ja a forma desse ciclo limite nao e prevista pelo teorema de Lienard. Emborahaja argumentos matematicos solidos para esbocar a forma do ciclo [1], podemosusar a integracao numerica das equacoes (3.202)-(3.203) para mostrar esse fato.Na Fig. 3.36 exibimos varias trajetorias que convergem ao ciclo limite, o qual euma trajetoria fechada com um formato que lembra um losango arredondado.Observamos que as trajetorias que iniciam-se de pontos no interior do ciclo limiteconvergem para ele em espirais no sentido horario, assim como aquelas iniciadasde pontos no seu exterior, de certa forma sendo uma versao “deformada” dosistema (3.171)-(3.172), com as variaveis x e y assumindo valores dentro dointervalo [2,+2], aproximadamente.
3.7.4 Orbitas homoclınicas
Para que o teorema da existencia e unicidade nao seja violado, duas trajetoriasem geral nao podem se cruzar no plano de fase. Ha um caso particular, noentanto, que merece uma analise em separado: ha trajetorias, ditas orbitashomoclınicas, que comecam e terminam em um mesmo ponto de sela [Fig.3.37(a)]. Neste caso, a orbita homoclınica funde um ramo da curva invarianteestavel V s e um ramo da curva invariante instavel V u, que emanam do pontode sela P . Por isso mesmo uma orbita homoclınica nao e uma trajetoria fe-chada do sistema, a despeito das aparencias: lembre que uma condicao inicialcolocada exatamente sobre a curva estavel (instavel) gera uma trajetoria queaproxima-se do ponto de sela quando o tempo tende a +∞ (−∞). Logo, umaorbita homoclınica representa uma trajetoria que levaria um tempo infinita-mente grande para ser completada, o que conflita com a definicao que demospara uma trajetoria fechada.
Se uma trajetoria conecta dois pontos de equilıbrio (sela) diferentes, ela edita uma orbita heteroclınica [Fig. 3.37(b)]. Podemos ter percursos fechadosformados por trajetorias heteroclınicas, e chamados conexoes de sela [Fig.
163
-2 -1 0 1 2x
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
E =
H(x
,0)
E > 0
E < 0
E = 0
centro centro
ponto de sela
Figura 3.38: Hamiltoniana para o sistema (3.210) e (3.211), calculada no planoy = 0.
3.37(c)]. Pelo mesmo motivo anterior, as conexoes de sela tambem nao saotrajetorias fechadas do sistema.
As orbitas homo e heteroclınicas sao comuns em modelos bidimensionaisditos sistemas hamiltonianos, que podem ser escritos na forma geral
dx
dt=
∂H
∂y, (3.207)
dy
dt= −∂H
∂x, (3.208)
onde a funcao H(x, y) : R2 → R e dita hamiltoniana do sistema. Uma pro-priedade notavel deste tipo de sistema e que as trajetorias no plano de fasesao curvas de nıvel da hamiltoniana, ou seja, lugares geometricos para os quaisH(x, y) = constante. Para mostrar esta importante propriedade, calculamos aderivada temporal da hamiltoniana,
H(x, y)
dt=
∂H∂x
dx
dt+∂H∂y
dy
dt,
=∂H∂x
∂H
∂y− ∂H∂y
∂H
∂x= 0, (3.209)
onde usamos (3.207) e (3.208). Logo H e uma constante para as trajetorias dosistema.
A guisa de exemplo, vamos considerar o modelo bidimensional
dx
dt= y, (3.210)
dy
dt= x− x3, (3.211)
164
-2 -1 0 1 2-2
-1
0
1
2y
x
Figura 3.39: Trajetorias de fase para o sistema (3.210) e (3.211).
cujos pontos de equilıbrio sao (x∗, y∗) = (0, 0) e (±1, 0), que sao, na aproximacaolinear, um ponto de sela e dois centros, respectivamente (veja o problema 1).Podemos identificar este modelo como um sistema hamiltoniano, onde
H(x, y) =y2
2− x2
2+x4
4, (3.212)
que, ao ser substituida em (3.207) e (3.208), fornece imediatamente as equacoesdo modelo (3.210) e (3.211).
Devido ao termo quadratico em y em (3.212), ha uma importante simetriada hamiltoniana na troca de y por −y (o sinal desaparece na hora de elevarao quadrado). Neste caso, podemos analisar simplesmente a funcao E(x) ≡H(x, y = 0), ou seja, a hamiltoniana calculada nos pontos do plano y = 0 [Fig.3.38]. Os pontos de equilıbrio sao os extremos da funcao: (0, 0) e um maximolocal e (±1, 0) sao mınimos locais. As trajetorias no plano de fase, que saocurvas de nıvel da funcao H(x, y), podem ser estudadas de acordo com o valorde E no plano y = 0. Essa analise nos permite concluir sobre a existencia detres tipos qualitativamente diferentes de trajetorias no plano, e que podem seridentificadas na [Fig. 3.39]:
• Se E > 0: trajetorias fechadas com uma forma ovalada, e algo ´´espremi-das´´ na direcao do eixo y;
• Se E < 0: duas trajetorias fechadas distintas em torno dos centros (±1, 0).Logo, estes pontos sao tambem centros nao-lineares (uma conclusao que,naturalmente, nao provem da linearizacao, ja que sao pontos nao-hiperbolicos);
• Se E = 0: duas orbitas homoclınicas unindo os ramos direito e esquerdodas curvas invariantes do ponto de sela (0, 0).
165
3.8 Exemplo em Economia: Modelo de luta de
classes de Goodwin
Ate o momento estudamos unicamente modelos economicos onde as solucoesde equilıbrio sao pontos fixos, cuja estabilidade estudamos tanto qualitativa-mente pelo diagrama de fase, como quantitativamente pela aproximacao linear.No entanto, como vimos no inıcio deste capıtulo, tambem trajetorias fechadassao possıveis para sistemas bidimensionais nao-lineares, e representam solucoesperiodicas, ou seja, trajetorias que se repetem apos um determinado perıodo detempo.
Orbitas periodicas em economia representam ciclos economicos, ou seja,fenomenos que se repetem a intervalos de tempo mais ou menos bem-determinados.Um modelo que apresenta tal comportamento foi proposto por R. Goodwin em1967 [39], abordando a relacao entre o nıvel de emprego e a participacao dossalarios. O modelo baseia-se na luta de classes entre os capitalistas e os tra-balhadores, tornando-se uma versao do famoso problema do predador-presa,descrito no inıcio do seculo XX por Lotka e Volterra [23].
3.8.1 Macrovariaveis e hipoteses do modelo
O modelo de Goodwin usa, como macrovariaveis, Y : produto total; N : numerototal de trabalhadores; L: numero de trabalhadores empregados; U : numero detrabalhadores desempregados; w: salario medio dos trabalhadores; P : lucro doscapitalistas; S: poupanca; K: estoque de capital; e I: investimento.
Sendo w o salario medio per capita, a participacao dos salarios no produtototal da economia sera wL. Nesse caso o lucro dos capitalistas sera igual aoproduto lıquido
P = Y − wL, (3.213)
Definindo o produto per capita como
λ ≡ Y
L, (3.214)
a fracao dos salarios dos trabalhadores em relacao ao produto total sera
x ≡ wL
Y=w
λ, (3.215)
ao passo que a fracao dos lucros dos capitalistas sera, usando (3.213), dada por
P
Y= 1 − wL
Y= 1 − w
λ. (3.216)
Uma das hipoteses centrais do modelo e que os capitalistas poupam todo olucro auferido
S = P = Y − wL = Y
(
1 − wL
Y
)
= Y(
1 − w
λ
)
, (3.217)
e, alem disso, o reinvestem inteiramente:
I =dK
dt= S = Y
(
1 − w
λ
)
. (3.218)
166
Nessas condicoes, a taxa (normalizada) de crescimento do estoque de capitalsera 3
K ≡ dK/dt
K=d lnK
dt=Y
K
(
1 − w
λ
)
=1
v
(
1 − w
λ
)
(3.219)
onde definimos a razao capital-produto
v ≡ K
Y, (3.220)
e suporemos que essa ela seja constante: de K = vY decorre que K = vY e
K
K=vY
vY=Y
Y, (3.221)
de modo que a taxa (normalizada) de crescimento de capital seja igual a taxade crescimento do produto.
Outra hipotese e a de que ha progresso tecnologico contınuo, de modo quea produtividade do trabalho, ou seja, o produto per capita cresce exponencial-mente com o passar do tempo, de modo que
λ = λ0eθt, (3.222)
onde θ > 0 e a taxa de crescimento da produtividade devido ao progresso tecnico.Como λ = Y/L, tomando logaritmos e derivando temos
lnλ = ln
(Y
L
)
= lnY − lnL,
d
dtlnλ =
d
dt(lnY − lnL) =
d lnY
dt− d lnL
dt,
dλ/dt
λ=
dY/dt
Y− dL/dt
L=dK/dt
K− dL/dt
L,
λ =dλ/dt
λ=
1
v
(
1 − w
λ
)
− dL/dt
L, (3.223)
onde usamos (3.221) e (3.219).Derivando (3.222) em relacao ao tempo resulta que
dλ
dt= λ0θe
θt = θλ, (3.224)
que, substituida em (3.223), fornece a seguinte taxa de crescimento do numerode trabalhadores empregados
L =dL/dt
L=
1
v
(
1 − w
λ
)
− θ (3.225)
Supoe-se, ainda, que o numero de trabalhadores (o qual nao e igual a forca detrabalho, por nao estarmos supondo pleno emprego) cresce Malthusianamentecom o tempo com uma taxa n > 0, de modo que
N = N0ent, (3.226)
3Usaremos aqui a convencao tradicional de denotar as derivadas logarıtmicas de ma-crovariaveis por um acento circunflexo. Outros autores preferem representa-las por letrasminusculas.
167
cuja derivada fornecedN
dt= N0ne
nt = nN. (3.227)
Definimos, tambem, a taxa de emprego como
y ≡ L
N, (3.228)
Sendo N = L+U a soma do numero de empregados e desempregados, dividindopor N resulta em que 1 = y+ u, onde u = U/N e a taxa de desemprego. Entaoy e uma variavel que assume valores entre 0 e 1.
Tomando logaritmos de ambos os membros de (3.228) e derivando em relacaoao tempo,
ln y = ln
(L
N
)
= lnL− lnN,
d
dtln y =
d
dt(lnL− lnN) =
d lnL
dt− d lnN
dt,
dy/dt
y=
dL/dt
L− dN/dt
N=dL/dt
L− n,
y =dy/dt
y=
1
v
(
1 − w
λ
)
− θ − n, (3.229)
onde usamos (3.225). Repetimos esse procedimento para (3.215):
lnx = ln(w
λ
)
= lnw − lnλ,
d
dtlnx =
d lnw
dt− d lnλ
dt,
x =dx/dt
x=
dw/dt
w− dλ/dt
λ= w − θ (3.230)
onde usamos (3.224), e batizamos w = w/w a taxa normalizada de crescimentodos salarios.
Uma ultima hipotese do modelo de Goodwin e a de que os salarios reaisaumentam na situacao proxima ao pleno emprego, e que haja uma curva dePhillips do tipo
w = f(y), (3.231)
onde f(y) e uma funcao monotonicamente crescente com df/dy > 0, do tipomostrado na figura 3.40(a). Em termos economicos, ela expressa o aumentorelativo nos salarios provocado pela aproximacao da situacao ideal de plenoemprego (y = 1). Nesse caso, os trabalhadores sao cada vez mais valorizadospelos capitalistas, que aumentam seus salarios devido a escassez de mao deobra. Ja numa situacao de grande desemprego (y proximo a zero) os salariospodem inclusive diminuir em valores reais, devido a grande oferta de mao deobra. Por isso a funcao f(y) assume valores negativos para y suficientementepequeno. Uma aproximacao linear da curva de Phillips, adequada para descrevero comportamento proximo a essa situacao, e [Figura 3.40(b)]:
w = −α+ βy, (3.232)
onde α e β sao coeficientes positivos.
168
y10
(a)(dw/dt)/w
y10
(b)
−β
α
(dw/dt)/w
Figura 3.40: Curva de Phillips para a taxa de variacao dos salarios. (a) Nao-linear; (b) Linear.
Substituindo (3.232) em (3.230) temos
x =dx/dt
x= −α+ βy − θ, (3.233)
e, finalmente, usando (3.215), podemos exprimir (3.229) e (3.233) na forma deum modelo bidimensional nao-linear
dx
dt= [−(α+ θ) + βy]x, (3.234)
dy
dt=
[
−xv− (θ + n) +
1
v
]
y. (3.235)
3.8.2 Solucoes de equilıbrio e sua estabilidade
O sistema (3.234)-(3.235) tem a forma das equacoes de Lotka-Volterra, que des-crevem um problema ecologico onde coexistem duas populacoes: um predadore uma presa [vide a Ref. [21], pg. 461]:
x = (−a1 + b1y)x, (3.236)
y = (a2 − b2x)y, (3.237)
onde os coeficientes sao identificados como
a1 = α+ θ, (3.238)
b1 = β, (3.239)
a2 = −(θ + n) +1
v, (3.240)
b2 =1
v. (3.241)
169
Nesse caso, a variavel x, que esta relacionada a taxa de desemprego, e apopulacao de presas; ao passo que y, ou a fracao dos salarios dos empregados,faz o papel do predador. Como veremos a seguir, essa e uma imagem utilpara interpretar economicamente os resultados do modelo matematico. Tantox como y tem valores entre 0 e 1, enquanto os parametros a1, b1 e b2 sao, pordefinicao, positivos. Conforme [21] podemos imaginar que 0, 2 seja um limiteinferior seguro para b2 = 1/v, e que 0, 12 seja um limite superior seguro paraθ + n, de modo que 1/v > θ + n e podemos supor entao que tambem a2 sejapositivo.
Os pontos de equilıbrio, (x∗, y∗), serao as solucoes de
(a1 − b1y∗)x∗ = 0, (3.242)
(−a2 + b2x∗)y∗ = 0, (3.243)
que fornece um total de quatro solucoes, tres das quais sao triviais: (0, 0), (0, y∗),e (x∗, 0) e uma quarta nao-trivial,(x∗, y∗), onde:
x∗ =a2
b2= 1 − (θ + n)v, (3.244)
y∗ =a1
b1=α+ θ
β. (3.245)
Para estudar a estabilidade da solucao de equilıbrio nao-trivial, devemosobter os elementos da matriz Jacobiana do campo vetorial (3.236)-(3.237)
DF(x, y) =
((a1 − b1y) −b1x
b2y (−a2 + b2x)
)
, (3.246)
cujos elementos, calculados no ponto (3.244)-(3.245), sao
DF(x∗, y∗) =
((a1 − b1y
∗) −b1x∗b2y
∗ (−a2 + b2x∗)
)
=
(0 −b1 a2
b2b2
a1
b10
)
. (3.247)
O seu traco, determinante e discriminante sao, respectivamente,
τ = TrDF(x∗, y∗) = 0, (3.248)
∆ = detDF(x∗, y) = b1a2
b2b2a1
b1= a1a2 > 0, (3.249)
D = τ2 − 4∆ = −4a1a2 < 0, (3.250)
o que identifica a solucao de equilıbrio como um centro. De fato, os autovaloresda matriz Jacobiana sao complexos conjugados, a saber:
ξ1,2 =−τ ±
√D
2= ±i
√
4a1a2
4= ±i√a1a2. (3.251)
As trajetorias nas vizinhancas de um centro sao fechadas, correspondendo aorbitas periodicas diferentes para cada condicao inicial. A interpretacao dessesciclos pode ser feita a partir de conceitos Marxistas-Keynesianos: um alto nıvelde emprego gera reajustes salariais que aumentam a participacao da massasalarial dos trabalhadores no produto, o que naturalmente reduz o lucro dos
170
x
y
0x
y
*
* x´ = 0
y´ = 0
Figura 3.41: Diagrama de fase para o sistema (3.236)-(3.237).
capitalistas. Esse fato, conforme Kalecki, reduz o investimento futuro e con-sequentemente o proprio produto total. Essa reducao no produto reduz a de-manda por trabalhadores e uma menor pressao inflacionaria dos salarios (podeate ocorrer deflacao), reduzindo portanto a participacao do salario dos traba-lhadores no produto. Mas isso aumenta os lucros dos capitalistas e tambemseu investimento, o que levara a um novo aumento do numero de trabalhadoresempregados, e a uma melhora no seu poder de barganha. Como esse fato detonanovas pressoes por aumentos de salarios, o ciclo se repete.
No entanto, o proprio ponto de equilıbrio (x∗, y∗) nao tem sua estabilidadedeterminada pelo criterio linear, visto que as partes reais dos autovalores saonulas (τ = 0). Isso significa que o ponto de equilıbrio nao e hiperbolico. Logo,o resultado da analise linear pode nao se confirmar para o sistema nao-linear.Para aferir se isso ocorre ou nao, somos obrigados a olhar o diagrama de fasesistema nao-linear. Em particular, o sistema de Goodwin nao e estruturalmenteestavel, na acepcao que demos neste capıtulo: relaxando alguma das suposicoesoriginais do modelo, os ciclos darao origem a outras solucoes de equilıbrio, comopontos de equilıbrio ou ciclos-limite [40].
3.8.3 Diagrama de fase
Reescrevemos o modelo (3.236)-(3.237) na forma conveniente
x = b1(y∗ − y)x, (3.252)
y = b2(x− x∗)y, (3.253)
Para construir o diagrama de fase do modelo (3.252)-(3.253) nos determinamosinicialmente as suas isoclinas:
0 = b1(y∗ − y)x, (3.254)
0 = b2(x− x∗)y, (3.255)
as quais sao, respectivamente, os eixos x = 0 e y = 0, e as retas A : y = y∗ eB : x = x∗, que sao paralelas a esses eixos e que interceptam-se no ponto deequilıbrio nao-trivial.
171
0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4x
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
y
Figura 3.42: Trajetorias de fase para o sistema (3.236)-(3.237).
O sentido do campo vetorial para as trajetorias nos quatro quadrantes de-terminados pelas isoclinas na figura 3.41 e obtido pela analise a seguir:
• y > y∗ (acima de A): y− y∗ < 0, logo x < 0 (ja que sempre temos x > 0),flecha para a esquerda na direcao x;
• y < y∗ (abaixo de A): y − y∗ > 0, logo x > 0, flecha para a direita nadirecao x;
• y = y∗ (sobre A): x = 0, fluxo puramente vertical (para cima ou parabaixo dependendo de x);
• x > x∗ (a direita de B): x − x∗ > 0, logo y > 0 (ja que sempre temosy > 0), flecha para cima na direcao y;
• x < x∗ (a esquerda de B): x − x∗ < 0, logo y < 0, flecha para baixo nadirecao y;
• x = x∗ (sobre B): y = 0, fluxo puramente horizontal (para a esquerda oupara a direita dependendo de y);
A tecnica do diagrama de fase permite-nos dizer como sera qualitativamenteo campo vetorial nas vizinhancas do ponto de equilıbrio (x∗, y∗), o qual e umcentro segundo a aproximacao linear. Podemos verificar explicitamente que astrajetorias do sistema nao-linear na vizinhanca do ponto de equilıbrio tambemsao fechadas por integracao numerica das equacoes do modelo, como mostraa Fig. 3.42. As trajetorias fechadas lembram ovoides, tanto mais excentricasquanto mais distantes do ponto de equilıbrio, e sempre percorridas no sentidoanti-horario (como, alias, e previsto pela aproximacao linear). Logo, o ponto deequilıbrio e um centro nao-linear.
172
y
xxx
y
y
y
*
*
2
1
1 2x
45o
z
z
F(y)
G(x,C)
Figura 3.43: Diagrama para curvas fechadas do sistema (3.236)-(3.237).
Ha uma tecnica analıtica engenhosa para mostrar a existencia de trajetoriasfechadas no modelo (3.236)-(3.237). Introduzindo uma variavel “muda” z pelasrelacoes:
z ≡ F (y) = −a1 ln y + b1y (3.256)
z ≡ G(x,C) = a2 lnx− b2x+ C (3.257)
Podemos nos valer do fato de usarmos somente o primeiro quadrante do plano defase xy para fazer uma construcao engenhosa usando os outros tres quadrantesociosos [Fig. 3.43]. Nos usamos os semi-eixos que estao sobrando para indicar avariavel muda z. Podemos passar do segundo para o quarto quadrante por meioda funcao identidade, representada no terceiro quadrante pela bissetriz (reta de45o). Os pontos da trajetoria no primeiro quadrante sao aqueles que satisfazemsimultaneamente ambos os graficos de F e G nos respectivos quadrantes. Pode-se mostrar que y∗ e um mınimo e x∗ e um maximo local para os graficos de Fe G, respectivamente (veja o Problema 16)
3.9 Problemas
1. Considere o sistema bidimensional nao-linear
dx
dt= y,
dy
dt= x − x3,
(a) Ache os pontos de equilıbrio no plano, e determine sua estabilidade na aro-ximacao linear;
173
(b) Encontre as variedades invariantes para cada ponto de equilıbrio;
(c) Ache as isoclinas e esboce o diagrama de fase.
2. Idem para os seguintes sistemas
(a)
dx
dt= y − y3
dy
dt= −x − y2
(b)
dx
dt= y
dy
dt= x − x2
(c)
dx
dt= −2 cos x − cos y
dy
dt= −2 cos y − cos x
(d)
dx
dt= y
dy
dt= x − x3
− δy + x2y
3. Seja o sistema bidimensional nao-linear
dx
dt= −y + ax(x2 + y2)
dy
dt= x + ay(x2 + y2)
(a) Ache os pontos de equilıbrio no plano, e determine sua estabilidade na aro-ximacao linear
(b) Faca uma transformacao para coordenadas polares x = r cos θ e y = r sin θ(veja o Capıtulo II), e mostre que o sistema reduz-se a forma
dr
dt= ar3
dθ
dt= 1
(c) Ache os pontos de equilıbrio do sistema em coordenadas polares e estude suaestabilidade sem recorrer a aproximacao linear
4. Determine as auto-direcoes estavel e instavel para o ponto de equilıbrio do mo-delo (3.66)-(3.67). Comparando essas direcoes com as trajetorias na vizinhancado ponto de equilıbrio, que podemos afirmar sobre as curvas invariantes doequilıbrio?
174
5. Repita a analise do problema anterior para o ponto de sela do modelo (3.81)-(3.82).
6. Construa as isoclinas e o respectivo diagrama de fase, e compare seus resultadoscom trajetorias obtidas numericamente (adaptando o programa euler2.c doapendice ??) para:
dx
dt= −x + y + x2y
dy
dt= 1 − y − x2y
7. Sejam as isoclinas A e B do modelo (3.123)-(3.124). Obtenha algebricamenteas derivadas dx2/dx1 e d2x2/dx2
1 para ambas, bem como os limites de dx2/dx1
quando x1 tende para 0 e para infinito, justificando assim as formas das curvaspara as isoclinas representadas na figura 3.22. Detalhes em [21], pg. 288 e 289.
8. Mostre que, no modelo de capital fısico/humano, os autovalores da matriz Ja-cobiana na solucao nao-trivial de equilıbrio sao
ξ1 = c(α + β − 1) ξ2 = −c
e que os autovetores correspondentes sao, respectivamente, dados por
u1 =
„
11
«
, u2 =
„
1−α/β
«
,
Com estes elementos, esboce no plano de fase (x1, x2) as trajetorias na vizi-nhanca da solucao de equilıbrio.
9. Mostre que (3.169) e uma solucao da equacao diferencial (3.168).
10. Mostre, usando a funcao de Lyapunov L(x, y) = x2 + 4y2, que o sistema
dx
dt= −x + 4y
dy
dt= −x − y3
nao pode exibir trajetorias fechadas.
11. Considere o exemplo dos falsos centros obtidos por linearizacao [Equacoes (3.57)-(3.58)]. Ache uma funcao de Lyapunov conveniente para mostrar que, se ǫ > 0o ponto de equilıbrio e um foco estavel, e se ǫ < 0, um foco instavel.
12. Determine os pontos de equilıbrio e sua estabilidade, na aproximacao linear,para o sistema
dx
dt= y
dy
dt= x − x3
− δy + x2y
Aplique o criterio de Bendixson para determinar, no plano de fase, as possi-bilidades para a existencia de trajetorias fechadas, nos casos em que δ > 1 e0 < δ < 1.
175
13. Mostre, usando o criterio de Dulac, que o sistema
dx
dt= y,
dy
dt= −x − y + x2 + y2,
nao tem trajetorias fechadas no plano de fase. Sugestao: use h = e−2x.
14. Mostre, usando o teorema de Poincare-Bendixson, que o sistema
dr
dt= r(1 − r2) + µr cos θ,
dθ
dt= 1,
tem um ciclo limite estavel se µ < 0, desde que µ seja suficientemente pequeno.Sugestao: procure dois cırculos concentricos com raios rmin e rmax tais quer > 0 no cırculo interno e r < 0 no cırculo externo, de forma que o anel rmin ≥
r ≥ rmax seja a regiao de aprisionamento necessaria a aplicacao do teorema dePoincare-Bendixson.
15. Considere o modelo de luta de classes de Goodwin na forma (3.236)-(3.237). (a)Mostre que, dividindo as equacoes membro a membro, pode-se fazer uma duplaseparacao de variaveis e integrar as expressoes resultantes, de modo a obter aseguinte relacao
−a1 ln y + b1y = a2 ln x − b2x + C
onde fundimos todas as constante de integracao em C. Cada trajetoria fechadado sistema e individualizada por um valor diferente de C. (b) Mostre que y∗ eum mınimo e x∗ e um maximo local para os graficos de F e G, respectivamente.
176
Capıtulo 4
Modelos contınuos
multidimensionais
4.1 Complementos de algebra linear
Nos capıtulos anteriores consideramos apenas matrizes reais 2× 2. Para descre-ver modelos multidimensionais, no entanto, e necessario trabalhar com matrizesreais N ×N . Praticamente todos os resultados matematicos que abordamos narevisao de algebra de matrizes 2 × 2, do capıtulo 2, sao facilmente extensıveisa matrizes N × N . No entanto, para uma discussao mais geral dos autovalo-res e autovetores, necessaria a analise de estabilidade das solucoes de equilıbrio,serao necessarios conceitos adicionais da algebra linear, em particular do calculomatricial.
4.1.1 Autovalores e autovetores
Na discussao a seguir, consideraremos matrizes reais N × N escritas, na suaforma geral, como
M =
M11 M12 · · · M1N
M21 M22 · · · M2N
......
. . ....
MN1 MN2 · · · MNN
. (4.1)
Os seus autovalores ξ, correspondentes aos autovetores u, sao as solucoes daequacao
(M − ξI).u = 0, (4.2)
onde I e a matriz identidade N ×N . Os autovetores sao vetores coluna com Nlinhas:
u =
u1
u2
...uN
, (4.3)
177
de forma que a equacao (4.2) e, de fato uma equacao matricial:
M11 M12 · · · M1N
M21 M22 · · · M2N
......
. . ....
MN1 MN2 · · · MNN
− ξ
1 0 · · · 00 1 · · · 0...
.... . .
...0 0 · · · 1
u1
u2
...uN
=
00...0
M11 − ξ M12 · · · M1N
M21 M22 − ξ · · · M2N
......
. . ....
MN1 MN2 · · · MNN − ξ
u1
u2
...uN
=
00...0
.(4.4)
Esse e um sistema linear e homogeneo de N equacoes algebricas. Em geral,ha sempre uma solucao trivial para esse sistema, que e o vetor nulo: u = 0. Paraque haja tambem uma solucao nao-trivial desse sistema linear, pelo teorema deRouche-Capelli, e necessario e suficiente que o determinante dos coeficientes dosistema seja nulo [41]:
det(M − ξI) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
M11 − ξ M12 · · · M1N
M21 M22 − ξ · · · M2N
......
. . ....
MN1 MN2 · · · MNN − ξ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0, (4.5)
condicao essa conhecida como equacao secular, a qual e uma equacao algebricade N -esimo grau, cujas raızes sao os autovalores ξ.
Pelo teorema fundamental da algebra, sabemos que uma equacao de grauN tem sempre N raızes, reais ou complexas: (ξ1, ξ2, · · · ξN ) [41]. Para N = 2a formula resolutiva e bastante simples, mas ja no caso N = 3, embora existauma expressao analıtica para as raızes (formula de Cardano), essa e usualmentedifıcil de aplicar na pratica. O mesmo pode ser dito sobre alguns casos deequacoes de ordem N = 4. Como, para N > 5, nao ha expressoes fechadas (pormeio de radicais) para as raızes de uma equacao algebrica, sao frequentementeempregados metodos numericos para a obtencao das mesmas.
Um exemplo e o metodo de Newton-Raphson, que usa aproximacoes suces-sivas para a determinacao numerica das raızes de uma equacao qualquer. Noentanto, na discussao da estabilidade de pontos de equilıbrio, nao sera real-mente necessario obter explicitamente os autovalores de uma matriz N ×N . Ascondicoes de estabilidade linear poderao ser obtidas diretamente a partir doscoeficientes da equacao secular.
4.1.2 Espacos e sub-espacos vetoriais
A linguagem de espacos vetoriais e essencial para a compreensao da estabilidadede solucoes de equilıbrio em modelos contınuos e discretos multidimensionais.Nesta secao, limitar-nos-emos a dar as definicoes essenciais para as aplicacoes aserem desenvolvidas neste e em proximos capıtulos, bem como alguns exemplossımples para fixar os conceitos matematicos abstratos. No entanto, para o leitorque deseje (ou necessite) de um maior aprofundamento, e essencial consultarbons textos de algebra linear, como [42, 27].
178
Nos capıtulos 2 e 3 abordamos modelos contınuos bidimensionais, para osquais definimos um plano de fase, cujas coordenadas sao as variaveis dinamicas.A generalizacao dessa ideia, para N dimensoes, remete-nos ao conceito de espacovetorial:
Definicao 10 Um espaco vetorial sobre o conjunto F e um sistema constituidopor
1. Um conjunto nao-vazio V cujos elementos v serao chamados de vetores
2. Uma operacao binaria chamada adicao vetorial com as propriedades
• Associatividade: se vi ∈ V, (i = 1, 2, 3), v1 +(v2 +v3) = (v1 +v2)+v3,
• Comutatividade: v1 + v2 = v2 + v1,
• Elemento neutro: existe um unico vetor 0 ∈ V (vetor nulo) tal que,para todo v ∈ V, v + 0 = 0 + v = v,
• Elemento inverso: existe um unico vetor −v ∈ V (vetor oposto) talque, para todo v ∈ V: v + (−v) = −v + v = 0.
3. Uma conjunto F cujos elementos sao chamados de escalares (c)
4. Uma aplicacao de F × V em V, dita multiplicacao de vetor por escalar,com as propriedades
• Associatividade: se c, c′ ∈ F e v ∈ V, c(c′v) = (cc′)v,
• Distributividade I: c(v1 + v2) = cv1 + cv2.
• Distributividade II: (c+ c′)v = cv + c′v,
• Elemento neutro: existe um unico escalar 1 ∈ F tal que, para todov ∈ V, 1v = v.
O espaco vetorial mais conhecido e aquele para o qual F = R (escalares reais)e V e o conjunto dos vetores geometricos representados por flechas no espacoeuclidiano tridimensional (R3). Neste capıtulo os modelos a serem estudadosestao associados a um espaco vetorial real no R
N . As operacoes de adicao devetores e multiplicacao de escalar por vetor sao obtidas como a generalizacaodas respectivas operacoes no caso bidimensional vistas nos dois capıtulos prece-dentes.
Definicao 11 Um vetor v pertencente ao espaco vetorial V sobre F e umacombinacao linear dos vetores vi ∈ V, (i = 1, 2, · · ·N), e existem escalaresci ∈ F, (i = 1, 2, · · ·N), tais que
v = c1v1 + c2v2 + · · · + cNvN
Definicao 12 Um sub-conjunto nao-vazio S do espaco vetorial V sobre F edito linearmente independente (LI) se, para quaisquer vetores vi ∈ S, (i =1, 2, · · ·N), e escalares ci ∈ F, (i = 1, 2, · · ·N), a seguinte combinacao linear
c1v1 + c2v2 + · · · + cNvN = 0
implica em que c1 = c2 = · · · = cN = 0, ou seja, todos os coeficientes escalaressao nulos.
179
Definicao 13 Uma base para o espaco vetorial V sobre F e um sub-conjuntoS de V formado por vetores linearmente independentes, e que gera V, ou seja,todo vetor em V pode ser escrito como uma combinacao linear de vetores debase S.
Como um exemplo sımples, tomando o espaco dos vetores geometricos no R3,
se considerarmos um sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z). Os versores(vetores unitarios) (i, j,k) dos eixos num sistema de coordenadas cartesianasortogonais (em tres dimensoes) sao linearmente independentes, pois o vetor nulose escreve 0i + 0j + 0k = 0, ou seja, os coeficientes escalares sao identicamentenulos. O conjunto (i, j,k) forma uma base para esse espaco, pois todo vetorpode ser escrito como uma combinacao linear dos mesmos
v = xi + yj + zk
onde os escalares (x, y, z) sao as componentes do vetor v nas direcoes x, y ez, respectivamente. Dizemos, entao, que o conjunto (i, j,k) gera este espacovetorial. O conjunto de vetores de base e completo, ou seja, se tentassemosadicionar outro vetor de base, ele poderia ser escrito como combinacao lineardos outros, e portanto nao seria vetor de base. A dimensao de um espaco vetoriale o numero de vetores de base usados para gera-lo.
Definicao 14 Seja o espaco vetorial constituido do conjunto V de vetores e F
de escalares. Um sub-espaco vetorial consiste num sub-conjunto S ⊂ V se esomente se, para todo c ∈ F e vi ∈ V, (i = 1, 2), temos: (i) v1 + v2 ∈ S, (ii)cvi ∈ S.
No exemplo do espaco dos vetores geometricos no R3, os planos (x, y), (x, z)
e (y, z) sao sub-espacos vetoriais no R2. Estes sub-espacos sao gerados pelos ve-
tores unitarios dos eixos correspondentes: {i, j}, {i,k}, e {j,k} respectivamente.
4.1.3 Matrizes semelhantes
Duas matrizes M e N sao ditas “semelhantes” se existir uma matriz inversıvelT, denominada “matriz de similaridade”, tal que
T.M = N.T, (4.6)
e escrevemos que M ∼ N (le-se: “M e semelhante a N (por meio de S)”).Por exemplo, as matrizes
M =
(1 1−2 4
)
, N =
(2 00 3
)
,
sao semelhantes por meio da matriz
T =
(−2 11 −1
)
,
pois(
−2 11 −1
)(1 1−2 4
)
=
(2 00 3
)(−2 11 −1
)
.
180
Da definicao (4.6) decorre que, dada uma matriz N, podemos obter umamatriz semelhante M, por meio da seguinte “transformacao de similaridade”:
M = T−1.N.T (4.7)
Matrizes semelhantes tem potencias tambem semelhantes, o que e uma proprie-dade notavel, e que sera utilizada mais a frente em nosso estudo. Para mostraresse fato, escrevemos a t-esima potencia (com t inteiro positivo) da eq. (4.7):
Mt = (T−1.N.T)t
(4.8)
=
t vezes︷ ︸︸ ︷
(T−1.N.T).(T−1.N.T). · · · .(T−1.N.T)
= T−1.N.I.N.I. · · · .I.N.T = T−1.Nt.T
ou seja, Mt ∼ Nt.
4.1.4 Formas de Jordan
E possıvel mostrar que duas matrizes semelhantes tem autovalores (ξ1, ξ2, · · · ξN )identicos (veja o Problema 2). Um importante teorema da Algebra Linear mos-tra que uma matriz real N×N qualquer e semelhante a uma forma normal, dita“forma de Jordan”, dependendo dos seus autovalores. No caso bidimensional,ha tres formas de Jordan, a saber:
1. dois autovalores reais e distintos, ξ1 6= ξ2;
J =
(ξ1 00 ξ2
)
, (4.9)
2. dois autovalores reais e identicos ξ1 = ξ2 = ξ;(ξ 01 ξ
)
, (4.10)
3. dois autovalores complexos (conjugados): ξ1 = µ + iσ, ξ2 = µ − iσ, paraµ e σ reais;
(µ −σσ µ
)
. (4.11)
Para matrizes N × N as formas de Jordan sao semelhantes, mas poderaoocorrer casos mais complicados do que emN = 2, visto que parte dos autovalorespode ser real e parte complexa. No entanto, um teorema da teoria das equacoesalgebricas garante que, se houver um autovalor complexo da forma ξ = µ+ iσ,entao o seu complexo conjugado, ξ = µ−iσ, tambem sera um autovalor possıvel.
Por exemplo, se N = 3 e ja houver um par de autovalores complexos conju-gados entre si (ξ1,2 = µ ± iσ), o outro autovalor (ξ3) deve ser necessariamentereal. Na forma de Jordan correspondente, a matriz 3 × 3 sera diagonal emblocos, onde cada bloco e uma forma de Jordan do tipo (4.10):
J =
µ −σ 0σ µ 00 0 ξ3
. (4.12)
181
De modo geral, uma matriz N×N pode ser reduzida, por uma transformacaode similaridade, a uma matriz diagonal em blocos de Jordan, de acordo como tipo dos autovalores. A matriz de similaridade que transforma uma dadamatriz A a uma das suas formas de Jordan possıveis e construida a partirdos autovetores de A. Sejam eles escritos como (o primeiro ındice refere-se acomponente, e o segundo ao autovalor correspondente):
u1 =
u11
u21
...uN1
, u2 =
u12
u22
...uN2
, · · · uN =
u1N
u2N
...uNN
. (4.13)
Entao a matriz A e similar a uma das formas de Jordan J dadas por (4.9),(4.10), ou(4.11), tal que existe uma matriz de similaridade T tal que
J = T−1.A.T, (4.14)
onde os autovetores de A sao as colunas dessa matriz:
T =
u11 u12 · · · u1N
u21 u22 · · · u2N
......
. . ....
uN1 uN2 · · · uNN
. (4.15)
Como um exemplo, considere a matriz
A =
(1 14 −2
)
, (4.16)
cujos dois autovalores, reais e distintos, sao ξ1 = 2 e ξ2 = 3, correspondendo,respectivamente, aos autovetores
u1 =
(11
)
, u2 =
(1−4
)
, (4.17)
que sao tomados como colunas da matriz de similaridade
T =
(1 11 −4
)
, (4.18)
Para verificar explicitamente que a matriz A e similar a respectiva forma deJordan
J =
(2 00 −3
)
, (4.19)
bastara ao leitor mostrar que T · J = A · T.
4.1.5 Fatos sobre matrizes de terceira ordem
Para referencia posterior, dada a matriz de terceira ordem com elementos genericos
A =
a b cd e fg h i
, (4.20)
182
sua inversa e dada por
A−1 =1
δ
ei− fh hc− ib bf − cegf − di ai− gc dc− afdh− ge gb− ah ae− db
, (4.21)
onde∆ = detA = aei+ bfg + cdh− gec− hfa− icb (4.22)
Outro resultado util e a equacao secular para uma matriz de terceira ordemdo tipo (7.127), cujas raızes sao seus autovalores.
det(A − ξI) =
∣∣∣∣∣∣
a− ξ b cd e− ξ fg h i− ξ
∣∣∣∣∣∣
= 0,
(a− ξ)(e− ξ)(i− ξ) + dhc+ gbf − cg(e− ξ) − fh(a− ξ) − bd(i− ξ) = 0,
−ξ3 + (a+ e+ i)ξ2 − [(ae− bd) + (ai− gc) + (ei− hf)]ξ+
(aei+ dhc+ gbf − ceg − fha− dbi) = 0,
ξ3 − TrAξ2 + c2ξ − detA = 0, (4.23)
onde definimos a soma dos menores principais da matriz A, ou seja, dos menoresobtidos a partir dos elementos de sua diagonal principal.
c2 = (ae− bd) + (ai− gc) + (ei− hf). (4.24)
4.2 Modelos lineares
Consideraremos, neste capıtulo, a presenca deN variaveis dependentes do tempoxi = xi(t), com i = 1, 2, . . . N . Modelos contınuos multidiimensionais sao taisque a taxa temporal de variacao, ou seja, a derivada em relacao ao tempo decada variavel xi e dada por funcoes arbitrarias Fi de todas as outras variaveis,o que configura um sistema de N equacoes diferenciais de primeira ordem emrelacao ao tempo.
A forma geral de um modelo contınuo multidimensional e
dx1
dt= F1(x1, x2, · · ·xN ),
dx2
dt= F2(x1, x2, · · ·xN ),
... =... (4.25)
dxN
dt= FN (x1, x2, · · ·xN ).
Definindo uma matriz coluna N × 1 das variaveis dependentes:
v(t) =
x1(t)x2(t)
...xN (t)
, (4.26)
183
e o campo vetorial
F(v(t)) =
F1(v(t))F2(v(t))
...FN (v(t))
, (4.27)
o sistema de N equacoes (4.25) pode ser escrito na compacta forma vetorial
dv(t)
dt= F(v(t)) (4.28)
Um modelo multidimensional linear afim e dado por
dv(t)
dt= A.v(t) + B, (4.29)
onde as matrizes constantes A e B sao
A =
A11 A12 · · · A1N
A21 A22 · · · A2N
......
. . ....
AN1 AN2 · · · ANN
, B =
B11
B12
...B1N
. (4.30)
4.2.1 Solucao geral do modelo linear
A equacao linear matricial (4.29) e, formalmente, muito parecida com a equacaolinear (1.7) estudada no Capıtulo 1, dx/dt = ax + b, cuja solucao e dada por(1.12) como
x(t) =
(
x0 +b
a
)
eat − b
a.
No caso multidimensional, em se tratando de matrizes, podemos indagar se epossıvel escrever a solucao de (4.29), por analogia, como
v(t) =(v(0) + A−1.B
)etA − A−1.B. (4.31)
desde que, naturalmene, a matriz A seja nao-singular e portanto inversıvel, oque exige que detA 6= 0. Caso, ainda, o sistema linear seja tal que B = 0, ouseja, quando
dv
dt= A.v, (4.32)
a solucao, para a condicao inicial v(0), sera simplesmente
v(t) = v(0)eAt. (4.33)
onde aparece uma nova operacao algebrica, que e a exponencial de uma matrizA, e que e o analogo da exponencial de um escalar, ex, a qual escreveremos eA.Partimos da expansao em serie de Taylor da exponencial de uma variavel, quee a soma infinita
ex = 1 + x+1
2!x2 +
1
3!x3 + . . . =
∞∑
n=0
1
n!xn (4.34)
184
A despeito de somarmos um numero infinito de termos, a soma resulta finita,e e igual a ex. Em outras palavras, a serie infinita acima e convergente paraqualquer valor de x, o que se demonstra nos livros-texto de calculo [36].
De forma analoga, podemos definir a exponencial de uma matriz A como aserie infinita
eA = I + A +1
2!A2 +
1
3!A3 + . . . =
∞∑
n=0
1
n!An (4.35)
que, tal como no caso anterior, e sempre convergente. No caso de (4.33) temosa seguinte exponencial
etA = I + tA +1
2!t2A2 +
1
3!t3A3 + . . . =
∞∑
n=0
1
n!tnAn. (4.36)
Em geral, a exponencial de uma matriz e uma tarefa trabalhosa, e normalmentepensamos nela do ponto de vista de uma solucao computacional, a menos quea matriz esteja numa forma de Jordan. Esse assunto sera visto com detalhesquando abordarmos a questao da estabilidade do equilıbrio de modelos multi-dimensionais.
Uma solucao geral de (4.32) pode ser obtida como a combinacao linear deN solucoes linearmente independentes {v1(t),v2(t), · · · ,vN (t)}, na forma
v(t) =
N∑
j=1
cjvj(t), (4.37)
onde cj sao coeficientes constantes a serem determinados a partir das condicoesiniciais adotadas. Generalizando o procedimento adotado no Capıtulo 2 [videEq. 2.55], vamos adotar como solucoes linearmente independentes
vj(t) = eξjtuj (4.38)
onde uj e o autovetor da matriz A correspondente ao autovalor ξj , onde j vaide 1 ate N .
A partir dessas N solucoes linearmente independentes podemos formar achamada matriz fundamental de solucao, que e montada com os N autovetoresservindo como colunas:
V(t) = (v1(t),v2(t), · · · ,vN (t)) (4.39)
que esta associada a exponencial da matriz pela relacao (vide o Problema 3):
etA = V(t)V(0)−1. (4.40)
E instrutivo considerar o fluxo das solucoes do modelo linear no espaco defase N -dimensional R
N : a matriz eAt e uma transformacao de RN em R
N , talque dado qualquer ponto (condicao inicial) v(0) ∈ R
N , entao v(0)eAt e o pontoque caracteriza a solucao num tempo t posterior. Logo ϕt = eAt define um fluxode trajetorias sobre R
N gerado pelo campo vetorial A.v. Como isso vale paraqualquer ponto v(0), o fluxo ϕt contem uma informacao global sobre a naturezadas trajetorias no espaco de fase [1].
185
4.3 Solucoes de equilıbrio e sua estabilidade
Os modelos contınuos tambem apresentam solucoes de equilıbrio v∗, que saoconstantes no tempo, e que representamos por um vetor (matriz coluna)
v∗ =
x∗1x∗2...x∗N
, (4.41)
que, para um modelo multidimensional geral da forma (7.7), e dado pela seguinteequacao
dv∗
dt= F(v∗) = 0. (4.42)
No caso linear, a solucao ja foi vista no Capıtulo 2, e e
v∗ = −A−1.B, (4.43)
desde que, naturalmente, A seja inversıvel.Com o auxılio de (2.49), a solucao geral (4.31) pode ser reescrita como
v(t) = (v(0) − v∗) etA + v∗, (4.44)
onde a exponencial da matriz e definida como em (4.35).Para conveniencia de calculos, podemos transladar o ponto de equilıbrio para
a origem, o que equivale a definir a nova variavel
w(t) =
w1(t)w2(t)
...wN (t)
≡ v(t) − v∗ = v(t) + A−1.B (4.45)
Derivando em relacao ao tempo, e usando (4.42), temos que o novo vetor satisfaza equacao
dw
dt= A.w, (4.46)
cuja solucao geral e
w(t) = w(0)etA, (4.47)
e o ponto de equilıbrio e a propria origem do espaco de fase N -dimensional.
4.3.1 Analise da estabilidade do equilıbrio
A estabilidade da solucao de equilıbrio v∗ pode ser estudada investigando ocomportamento das solucoes nas proximidades de v∗. Desde que a vizinhanca doponto de equilıbrio seja suficientemente pequena, podemos usar a aproximacaolinear para o campo vetorial. Estudamos, entao, o comportamento dos desviosdo equilıbrio w(t) = v(t) − v∗, cuja evolucao e governada pelo campo vetoriallinearizado (7.184), onde A e a matriz jacobiana do fluxo nao-linear, cujoselementos sao calculados no ponto de equilıbrio (e, portanto, sao constantes).
186
A solucao do modelo linearizado para um tempo t arbitrario depende, comopode-se ver em (4.47), da exponencial da matriz At. Esta ultima, por sua vez,so pode ser obtida analiticamente numa forma fechada se A for similar a umamatriz na forma de Jordan (ou seja, a matriz e diagonal em blocos de Jordanelementares). Essa analise envolve a determinacao dos autovalores ξ da matrizA, que sao as solucoes da equacao secular
det(A − ξI) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
A11 − ξ A12 · · · A1N
A21 A22 − ξ · · · A2N
......
. . ....
AN1 AN2 · · · ANN − ξ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0, (4.48)
que, ao ser desenvolvido o determinante, fornece uma equacao algebrica de grauN , na forma geral
aoξN + a1ξ
N−1 + . . .+ aN−1ξ + aN = 0, (4.49)
que possui N raızes, reais ou complexas. Consequentemente, a matriz A terasempre N autovalores, ξi, com i = 1, 2, . . . N ; associados a N autovetores ui
que satisfazem a relacao caracterıstica
A.ui = ξiui (4.50)
A partir da analise ja realizada nos capıtulos (2) e (3) para o caso bidimensio-nal, generalizamos dizendo que o equilıbrio na origem e assintoticamente estavelse todos os autovalores da matriz A tiverem partes reais negativas. Basta queum dos autovalores tenha parte real positiva para que, tecnicamente, o equilıbrioseja considerado instavel. Como ha varias possibilidades de isso acontecer, o queja vimos no caso bidimensional, tambem ha diversas maneiras de um equilıbrioser instavel. Para explicitar melhor o significado dessa afirmacao, precisare-mos inicialmente retornar a equacao caracterıstica (4.50). Quando a matriz Atem autovalores reais e distintos, a cada autovalor ξi calculado corresponde umautovetor ui.
Dependendo do numero de autovalores com partes reais negativas (positivas),tambem sera diferente a dimensao do sub-espaco invariante estavel (instavel),que e igual ao numero de autovetores linearmente independentes corresponden-tes a tais autovalores. Com algumas modificacoes, este cenario tambem se aplicanos casos em que alguns (ou todos) os autovalores sejam reais e iguais, ou entaocomplexos. No entanto, ha diversas complicacoes tecnicas associadas a definicaode subespacos nestas condicoes. Em geral, falamos de autovetores generalizadosquando queremos tratar estes casos, mas seu estudo foge ao escopo desta obra(ver, por exemplo, as Referencias [23, 8, 43]).
4.3.2 Criterio de Routh-Hurwitz
E possıvel determinar condicoes gerais para a estabilidade de um ponto deequilıbrio a partir do conhecimento da equacao secular da matriz A. Como vi-mos, todos os seus autovalores (sejam eles reais ou complexos) devem ter partereal negativa para que a origem seja um equilıbrio assintoticamente estavel. Fe-lizmente nao e necessario resolver a equacao secular para saber quando todas assuas raızes terao partes reais negativas.
187
Os autovalores da matriz A sao as raızes da equacao secular (4.49)
ξN + a1ξN−1 + a2ξ
N−2 + · · · + aN−1ξ + aN = 0, (4.51)
Mesmo que o termo em ξN tenha um coeficiente qualquer, podemos dividir todaa equacao secular por este coeficiente, de modo que qualquer equacao pode sercolocada na forma da Eq. (4.51).
O criterio de Routh-Hurwitz estipula condicoes necessarias e suficientes paraque as raızes de (4.51) tenham partes reais negativas. Isto ocorre se e somentese os N determinantes a seguir forem todos positivos [19]:
∆1 > 0, ∆2 > 0, · · · ∆N > 0, (4.52)
onde o determinante generico de ordem k e
∆k =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a1 1 0 0 0 0 · · · 0a3 a2 a1 1 0 0 · · · 0a5 a4 a3 a2 a1 1 · · · 0...
......
......
.... . .
...a2k−1 a2k−2 a2k−3 a2k−4 a2k−5 a2k−6 · · · ak
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(4.53)
e onde tomamos am = 0 sempre que m > k.A seguir analisaremos alguns casos particulares desse importante e muito
utilizado criterio de estabilidade
N=1
E um caso trivial, pois a equacao secular, ξ+a1 = 0, tem uma solucao imediataξ = −a1. Pelo criterio anterior a parte real do autovalor sera negativa se e sose ∆1 = a1 > 0, como de fato deve se-lo.
N=2
A equacao secular e do segundo grau
ξ2 + a1ξ + a2 = 0, (4.54)
de modo que a3 = 0, etc. Nesse caso, o criterio (4.52) impoe que ℜξ1,2 < 0 se esomente se ∆1 > 0 e ∆2 > 0. De (4.53) temos, entao, que
∆1 = a1 > 0, (4.55)
∆2 =
∣∣∣∣
a1 10 a2
∣∣∣∣= a1a2 > 0, (4.56)
uma vez que a3 = 0 para N = 2. Como a1 e positivo a segunda condicao implicanecessariamente em que a2 > 0.
Comparando com (2.37) reconhecemos que a1 = −TrA e a2 = detA, dondeas condicoes podem ser reescritas na forma
TrA < 0, (4.57)
detA < 0, (4.58)
e que sao justamente as inequacoes (2.213)-(2.214) empregadas no Capıtulo 2.
188
N=3
Os autovalores serao as raızes da equacao secular do terceiro grau
ξ3 + a1ξ2 + a2ξ + a3 = 0, (4.59)
com a4 = a5 = · · · = 0. As condicoes para que as raızes tenham partes reaisnegativas sao ∆1 > 0, ∆2 > 0, e ∆3 > 0; as quais, calculando-se os respectivosdeterminantes, conduzem a
∆1 = a1 > 0, (4.60)
∆2 =
∣∣∣∣
a1 1a3 a2
∣∣∣∣= a1a2 − a3 > 0, (4.61)
∆3 =
∣∣∣∣∣∣
a1 1 0a3 a2 a1
0 0 a3
∣∣∣∣∣∣
= a1a2a3 − a23 = a3(a1a2 − a3) > 0. (4.62)
ja que a4 = a5 = 0. Observe que a condicao (4.62), em vista de (4.61), implica,simplesmente, em que a3 > 0.
No capıtulo 4 [vide Eq. (7.114)] mostramos que a equacao secular para umamatriz 3 × 3 e dada por
ξ3 − TrAξ2 + c2ξ − detA = 0, (4.63)
onde c2 e a soma dos menores principais da matriz A, de sorte que os coeficientessao a1 = − TrA, a2 = c2, e a3 = −detA. Dessa forma, as condicoes (4.60)-(4.62) podem ser reescritas na forma alternativa
TrA < 0, (4.64)
detA − c2 TrA > 0, (4.65)
detA < 0, (4.66)
N=4
A equacao secular sera
ξ4 + a1ξ3 + a2ξ
2 + a3ξ + a4 = 0, (4.67)
cujas raızes terao partes reais negativas se, e somente se
∆1 = a1 > 0, (4.68)
∆2 =
∣∣∣∣
a1 1a3 a2
∣∣∣∣= a1a2 − a3 > 0, (4.69)
∆3 =
∣∣∣∣∣∣
a1 1 0a3 a2 a1
0 a4 a3
∣∣∣∣∣∣
= a1a2a3 − a21a4 − a2
3 > 0, (4.70)
∆4 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
a1 1 0 0a3 a2 a1 10 a4 a3 a2
0 0 0 a4
∣∣∣∣∣∣∣∣
= (−1)4+4
a4
∣∣∣∣∣∣
a1 1 0a3 a2 a1
0 a4 a3
∣∣∣∣∣∣
= a4∆3 > 0,(4.71)
onde a5 = a6 = a7 = 0 e, no calculo do determinante de quarta ordem, usamoso teorema de Laplace na quarta linha para reduzir a ordem do determinante.Como a1 e positivo, entao imediatamente temos que a4 > 0.
189
4.3.3 Sub-espacos invariantes
O conceito de auto-direcao invariante foi introduzido no capıtulo 2 para des-crever as direcoes, determinadas pelos autovetores da matriz dos coeficientes deum modelo bidimensional linear. Tais direcoes sao invariantes pois quaisquertrajetorias iniciadas em pontos das retas que as indicam permanecem nestasretas para todos os tempos posteriores. A auto-direcao instavel (estavel) estaassociada ao autovalor da matriz cuja parte real seja positiva (negativa); e ascondicoes iniciais que ali se coloquem geram trajetorias que se afastam (aproxi-mam) do ponto de equilıbrio quando t tende ao infinito.
Esse conceito pode ser generalizado para uma matriz N -dimensional, quetenha N autovalores (reais ou complexos), dos quais
• s autovalores tem partes reais negativas;
• u autovalores tem partes reais positivas;
• c autovalores tem partes reais nulas;
onde N = s+ u+ c.A estes autovalores estarao relacionados N autovetores correspondentes ui,
i = 1, 2, . . . N , que podem ser classificados da seguinte forma:
• s autovetores: u1, · · ·us;
• u autovetores: us+1, · · ·us+u;
• c autovetores: us+u+1, · · ·uN ;
e os quais, por serem linearmente independentes, servem de base para sub-espacos do RN , denominados:
• Es: sub-espaco estavel, gerado pelos autovetores {u1, · · ·us};
• Eu: sub-espaco instavel, gerado pelos autovetores {us+1, · · ·us+u};
• Es: sub-espaco central gerado pelos autovetores {us+u+1, · · ·uN}.
Esses sub-espacos sao invariantes em relacao ao fluxo linear ϕt = etA : RN →
RN . Se uj e um autovetor de A correspondendo a um autovalor real e distinto
ξj , entao ele tambem e autovetor de etA. Suponha que uj gere um sub-espacoE, e que coloquemos uma condicao inicial exatamente nesse sub-espaco:
v(0) = cjuj ∈ E (4.72)
Entao a solucao correpondente para tempos posteriores sera dada por (4.38)como
v(t) = cjeξjtuj , (4.73)
que naturalmente tambem pertence a E, o qual portanto e invariante. Essaprova tambem pode ser estendida a autovalores complexos e reais e repetidos,com pequenas modificacoes.
Se uma condicao inicial for colocada exatamente em Es (Eu), a trajetoriaresultante permanecera sempre nesse sub-espaco, e ira aproximar-se assintotica-mente (afastar-se) da origem quando t tende ao infinito. Assim, os sub-espacos
190
estavel e instavel sao generalizacoes diretas do conceito de auto-direcao estavel einstavel. No entanto, a variedade central so ocorre para autovalores com partesreais nulas, o que torna o ponto de equilıbrio nao-hiperbolico, e muito cuidadodeve-se tomar ao lidar com esse caso, ja que nessa situacao a aproximacao linearpode ou nao nos fornecer uma informacao confiavel sobre o comportamento dosistema nao-linear.
4.4 Analise de estabilidade em alguns casos
Embora facamos uso de criterios gerais de estabilidade, que nao dependem dadeterminacao explıcita de autovalores, nem da solucao geral do modelo N -dimensional, e importante conhecer maiores detalhes sobre o comportamentodas trajetorias no espaco de fase, usando as informacoes obtidas pela apro-ximacao linear. Essa observacao vale mesmo que tenhamos disponıveis amplosrecursos para integracao numerica das equacoes. Devemos explorar a grandevantagem existente nos modelos lineares para ter uma ideia global da naturezadas solucoes, o que nem sempre se consegue apenas tracando algumas trajetoriasno espaco de fase. Vamos restringir nossa abordagem a sistemas lineares comN = 3 dimensoes, por simplicidade.
4.4.1 Tres autovalores reais e distintos
Suponhamos que a matriz A tenha tres autovalores reais e distintos: ξ1, ξ2e ξ3, correspondendo aos autovetores linearmente independentes u1,u2, e u3,respectivamente. Como vimos no inıcio deste capıtulo, podemos encontrar umamatriz de similaridade T que satisfaz
T−1.A.T = J, (4.74)
ou seja, a matriz A e similar a seguinte forma de Jordan
J =
ξ1 0 00 ξ2 00 0 ξ3
, (4.75)
e que e uma matriz diagonal. Em outros termos, a matriz A e “diagonalizada”por meio da transformacao de similaridade T, que e obtida justapondo os tresautovetores da matriz A, coluna a coluna. Pode-se mostrar que a exponencialde uma matriz diagonal 2 × 2 e a matriz cujos elementos sao as exponenciaisdos elementos diagonais, o que pode ser estendido para tres dimensoes:
eJt =
eξ1t 0 00 eξ2t 00 0 eξ3t
. (4.76)
Vimos anteriormente que matrizes semelhantes tem as mesmas potencias[veja a Eq. (4.8)]. Como a exponencial de uma matriz nada mais e do que umasoma de um numero infinito de potencias, assim tambem se A e semelhante amatriz de Jordan (diagonal) J, entao a matriz etA e semelhante a etJ. Sabemosque a solucao geral do modelo linear (7.184) e dada por w(t) = eAt.w(0). Como
191
-10-5
05
10x
-10
-5
05
10y
-10
-5
0
5
10
z
-10-5
05
10x
-10
-5
05
10y
-1
0
1x -0.5
0
0.5
y
-0.5-0.2500.250.5
z
-1
0
1x
-0.5-0.2500.25
Figura 4.1: Comportamento das trajetorias quando (a) ξ1 = −0.8, ξ2 = −0, 6,e ξ3 = −0, 5, e (b) ξ1 = 0.8, ξ2 = 0, 6, e ξ3 = 0, 5
eAt e semelhante a eJt, entao existe uma matriz de similaridade T, que tem comosuas colunas os autovetores da matriz A, com a seguinte propriedade
eAt = T.eJt.T−1, (4.77)
de modo que, multiplicando por w(0) obtemos
w(t) = T.eJt.T−1.w(0). (4.78)
Definindo o vetor
z(t) ≡ T−1.w(t), (4.79)
a Eq. (4.78) fica
z(t) = eJt.z(0), (4.80)
cujas componentes sao
z1(t)z2(t)z3(t)
=
eξ1t 0 00 eξ2t 00 0 eξ3t
z1(0)z2(0)z3(0)
, (4.81)
o que desacopla as equacoes, fornecendo imediatamente as solucoes desejadas:
z1(t) = eξ1tz1(0), (4.82)
z2(t) = eξ2tz2(0), (4.83)
z3(t) = eξ3tz3(0). (4.84)
Desta maneira, podemos fazer uma classificacao dos tipos de ponto de equilıbrioa partir dos valores (reais e distintos) dos autovalores da matriz A:
192
I. ξ1 < 0, ξ2 < 0, e ξ3 < 0
Como as exponenciais eξit tendem a zero quando t → ∞, entao zi(t) → 0,de modo que a origem e um ponto de equilıbrio assintoticamente estavel. Osub-espaco estavel e, portanto, todo o R
3, nao havendo sub-espaco instavel. Astrajetorias convergem para a origem como num no estavel em tres dimensoes,um exemplo sendo mostrado na Fig. 4.1(a).
II. ξ1 < 0, ξ2 < 0, e ξ3 > 0
Neste caso apenas as respectivas exponenciais anulam-se quando t tende a infi-nito. Por outro lado, como ξ3 > 0, a exponencial vai a infinito quando t → ∞.O sub-espaco estavel e o plano gerado pelos autovetores u1 e u2; enquanto osub-espaco instavel e a direcao definida pelo terceiro autovetor, u3. Pelo exem-plo representado na Figura 4.2(a), vemos que as trajetorias no espaco de fasetridimensional aproximam-se do ponto de equilıbrio ao longo de direcoes para-lelas ao sub-espaco estavel, e depois escapam ao longo de direcoes paralelas aosub-espaco instavel. Nesse sentido, a Figura 4.2(a) mostra um analogo ao pontode sela, em tres dimensoes.
III. ξ1 < 0, ξ2 > 0, e ξ3 > 0
Agora u1 gera o sub-espaco estavel, e u2 e u3, o sub-espaco instavel, o qual eum plano. As trajetorias aproximam-se ao longo de direcoes paralelas a u1 eafastam-se paralelamente ao plano [veja o exemplo da Fig. 4.2(b)]. O ponto deequilıbrio na origem e classificado formalmente como instavel, e constitui umoutro tipo de ponto de sela.
IV. ξ1 > 0, ξ2 > 0, e ξ3 > 0
Essa situacao implica na instabilidade do ponto de equilıbrio ao longo das tresdirecoes, o que configura um analogo de um no instavel, onde o sub-espacoinstavel e todo o R
3, e o sub-espaco estavel nao existe. A Figura 4.1(b) traz umexemplo deste caso.
4.4.2 Dois autovalores complexos e um real
Supomos, agora, que dois dos autovalores de A sejam complexos conjugados,dados por
ξ1 = µ+ iσ, ξ2 = ξ∗1 = µ− iσ, (4.85)
enquanto um terceiro autovalor ξ3 e real. De (4.12), a matriz A e similar a umamatriz diagonal em blocos de Jordan:
J =
µ −σ 0σ µ 00 0 ξ3
, (4.86)
onde o bloco 2× 2 corresponde aos autovalores complexos e o elemento solteiroao autovalor real.
A exponencial de um bloco de Jordan 2×2 relativo a um par de autovalorescomplexos pode ser efetuada a partir das series de Taylor das funcoes seno e
193
-0.1-0.05
00.05
0.1
x
-0.1-0.05
00.05
0.1
y
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
z
-0.0500.05
0.1
-0.1-0.0500.050.1x
-0.5
0
0.5
y
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
z
-0.1-0.0500.05
-0.5
0
0.5
y
Figura 4.2: Comportamento das trajetorias quando (a) ξ1 = −0.8, ξ2 = −0, 6,e ξ3 = 0, 5, e (b) ξ1 = −0.8, ξ2 = 0, 6, e ξ3 = 0, 5
194
cosseno. Ja a exponencial do elemento solteiro e semelhante ao caso anterior,de forma, a exponencial da matriz (4.86) fica
eJt =
eµt cos(σt) eµt sin(σt) 0−eµt sin(σt) eµt cos(σt) 0
0 0 eξ3t
, (4.87)
e que e, por sua vez, similar a matriz eAt.Definindo o vetor z(t) como em (4.79), e substituindo (4.87), teremos para
as suas componentes
z1(t)z2(t)z3(t)
=
eµt cos(σt) eµt sin(σt) 0−eµt sin(σt) eµt cos(σt) 0
0 0 eξ3t
z1(0)z2(0)z3(0)
, (4.88)
ou seja,
z1(t) = eµt[cos(σt)z1(0) + sin(σt)z2(0)] (4.89)
z2(t) = eµt[− sin(σt)z1(0) + cos(σt)z2(0)] (4.90)
z3(t) = eξ3tz3(0) (4.91)
As equacoes acima mostram que a dinamica na direcao do autovetor u3
e completamente independente da dinamica no sub-espaco gerado pelos auto-vetores u1 e u2. No capıtulo 2 consideramos situacoes onde ha autovalorescomplexos, mostrando que a matriz
R(θ) =
(cos θ sin θ− sin θ cos θ
)
(4.92)
representa geometricamente uma rotacao do vetor z de um angulo θ em torno daorigem, no caso bidimensional. Para o caso tridimensional, podemos interpretarθ como o angulo de rotacao (dado por σt) no sub-espaco estavel, que e o planodeterminado pelos autovetores u1 e u2.
Para descobrirmos o efeito da combinacao de uma rotacao R(σt) com o fatoreµt, vamos calcular diretamente o modulo do vetor z(t) como funcao do tempo:
||z(t)||2 = z21(t) + z2
2(t) + z23(t)
= e2µt[cos(σt)z1(0) + sin(σt)z2(0)]2
+
+ e2µt[− sin(σt)z1(0) + cos(σt)z2(0)]2
+ e2ξ3tz23(0)
= e2µt[cos2(σt)z2
1(0) + 2 sin(σt) cos(σt)z1(0)z2(0) + sin2(σt)z22(0)+
sin2(σt)z21(0) − 2 sin(σt) cos(σt)z1(0)z2(0) + cos2(σt)z2
2(0)]+
e2ξ3tz23(0)
= e2µt[(
sin2(σt) + cos2(σt))(z2
1(t) + z22(t))
]e2ξ3tz2
3(0)
= e2µt(z21(t) + z2
2(t)) + e2ξ3tz23(0), (4.93)
que representa a combinacao de uma dilatacao (ou encolhimento) do vetor z(t)com uma rotacao em torno da origem, dependendo do fator µ, que e a partereal dos autovalores complexos. Temos, pois, novas possibilidades:
195
-10
1
x
-1
-0.500.5
1y
-2
-1
0
1
2
z
-1
-0.500.5
1y
-100
10
x
-10
0
10y
-20
-10
0
10
20
z
-10
0
10y
Figura 4.3: Comportamento das trajetorias quando (a) µ = −0.5, σ = 3, eξ3 = 0, 3, e (b) µ = 0.5, σ = 3, e ξ3 = 0, 3
I. Re(ξ1) = Re(ξ2) = µ < 0, e ξ3 > 0
O sub-espaco estavel Es e gerado por u1 e u2, ao passo que, como ξ3 < 0,o sub-espaco instavel Eu e a autodirecao indicada por u3. Como o terceiroautovalor e real e positivo (ξ3), o seu autovetor u3 define uma direcao instaveltransversal ao subespaco estavel, ao longo da qual as trajetorias escapam. Comoo termo e2µt tende a zero quando t → ∞, o que representa um encolhimentocom o tempo dos termos que contem essa exponencial. Por outro lado, o fatore2ξ3t aumenta indefinidamente, o que representa uma dilatacao com o tempo.A rotacao de um angulo θ = σt em torno da origem, valida para o sub-espacoestavel, combinada com uma dilatacao do modulo de z, resulta em trajetoriasque espiralam em relacao ao sub-espaco instavel, mas que vao para infinito aolongo do mesmo, como ilustra o exemplo da Figura 4.3(a). Isso significa, napratica, que o ponto de equilıbrio ainda e instavel, mas as trajetorias mesclamo comportamento de um foco estavel com o de um ponto de sela, ja que ha umescape ao longo de uma direcao.
II. Re(ξ1) = Re(ξ2) = µ < 0, e ξ3 < 0
O sub-espaco estavel Es e todo o R3, posto que e gerado por u1, u2, e u3.
Usando o raciocınio exposto anteriormente, as trajetorias de fase serao as com-binacoes de espirais convergentes a direcao u3, e as trajetorias aproximam-se daorigem ao longo da mesma. A origem e um ponto de equilıbrio estavel, e e umamistura de foco e no estaveis, um exemplo sendo exibido pela Figura 4.4(a).
196
III. Re(ξ1) = Re(ξ2) = µ > 0, e ξ3 < 0
O sub-espaco instavel Es e gerado por u1 e u2, enquanto o estavel por u3. Astrajetorias aproximam-se da origem ao longo da auto-direcao u3, mas afastam-seconcomitantemente dela por meio espirais divergentes a direcao u3. A origem eum equilıbrio instavel, sendo um tipo generalizado de foco instavel [Fig. 4.4(b)].
IV. Re(ξ1) = Re(ξ2) = µ > 0, e ξ3 > 0
O sub-espaco instavel Es e todo o R3, e as trajetorias divergem para infinito
tanto ao longo de u3 como por meio de espirais fugitivas, fazendo que a origemseja um tipo peculiar de foco instavel, como exemplificado pelo caso mostradona Figura 4.3(b).
4.4.3 Dois autovalores reais repetidos e outro distinto
Consideramos, agora, o caso onde ha dois autovalores reais repetidos (ξ1 = ξ2)e um terceiro real porem distinto dos outros dois ξ3 6= ξ1,2. Enquanto, paramodelos bidimensionais, a matriz A dos coeficientes e similar a seguinte formade Jordan (
µ 10 µ
)
, (4.94)
para o modelo tridimensional em analise, a matriz A e similar a uma matrizdiagonal em blocos de Jordan, com um elemento solteiro que refere-se ao terceiroautovalor real e diferente dos outros dois:
µ 1 00 µ 00 0 ξ3
. (4.95)
A exponencial de uma matriz-bloco de Jordan 2 × 2 da forma (4.95), e
eJt =
eµt teµt 00 eµt 00 0 eξ3
(4.96)
Da mesma forma que nos casos anteriormente abordados, as matrizes eAt eeJt sao similares [vide Eq. (4.77)]. As componentes do vetor z(t) sao obtidassubstituindo (4.96) em (4.88):
z1(t)z2(t)z3(t)
=
eµt teµt 00 teµt 00 0 eξ3
z1(0)z2(0)z3(0)
, (4.97)
ou seja,
z1(t) = eµtz1(0) + teµtz2(0) (4.98)
z2(t) = eµtz2(0) (4.99)
z3(t) = eξ3tz3(0) (4.100)
Pela similaridade em muitos aspectos com a situacao de autovalores reais edistintos, apresentaremos apenas dois casos dos varios possıveis:
197
-10
1
x
-1-0.5
00.5
1y
-5
-2.5
0
2.5
5
z
-0.500.5
1
-10
1
x
-1
0
1y
-2
0
2
z
-1
0
1y
Figura 4.4: Comportamento das trajetorias quando (a) µ = −0.5, σ = 3, eξ3 = −0, 3, e (b) µ = 0.5, σ = 3, e ξ3 = −0, 3
198
I. ξ1 = ξ2 = µ < 0, e ξ3 > 0
Os autovetores correspondentes aos dois primeiros, a saber, u1,2, geram o sub-espaco (bidimensional) estavel, pois a funcao teξt tende a zero se ξ < 0. Vimos,no capıtulo 2, que mesmo quando somente um autovetor e obtido diretamentea partir da equacao de autovalores, e possıvel encontrar um segundo vetor li-nearmente independente. Ja o terceiro autovetor u3 define uma direcao corres-pondente ao sub-espaco instavel, pois a funcao teξt tende a infinito se ξ ≥ 0. Astrajetorias proximas ao ponto de equilıbrio instavel na origem sao exemplificadaspelo sistema mostrado na Figura 4.5(a).
II. ξ1 = ξ2 = µ < 0, e ξ3 < 0
Aqui o sub-espaco estavel e todo o R3, e as trajetorias convergem para o ponto
de equilıbrio, que e um tipo de no estavel degenerado, como ilustrado pela Fig.4.5(b).
4.5 Estabilidade do equilıbrio
Modelos contınuos multidimensionais nao-lineares da forma geral
dv
dt= F(v) (4.101)
tem solucoes de equilıbrio, definidas como vetores de N componentes constantesno decorrer do tempo, ou seja, que anulam o campo vetorial F
F(v∗) = 0. (4.102)
A estabilidade do ponto de equilıbrio e investigada pela linearizacao docampo vetorial na vizinhanca de v∗, cujas coordenadas sao (x∗1, · · · , x∗N ), talque a vizinhanca seja uma hiper-esfera de raio ǫ, onde ǫ ≪ x∗i . Para linearizaro modelo, e verificar se o ponto fixo e estavel dentro dessa vizinhanca limitadapor ǫ, nos expandimos em serie as N funcoes Fi(v). Escrevemos o vetor nasvizinhancas do ponto fixo como
v(t) = v∗ + w(t), (4.103)
onde
w(t) =
w1(t)w2(t)
...wN (t)
=
x1(t) − x∗1x2(t) − x∗2
...xN (t) − x∗N
, (4.104)
tal que (4.101) fique
w1 + x∗1 = F1(w1 + x∗1, w2 + x∗2, . . . wN + x∗N ),
w2 + x∗2 = F2(w1 + x∗1, w2 + x∗2, . . . wN + x∗N ),
... =... (4.105)
wN + x∗N = FN (w1 + x∗1, w2 + x∗2, . . . wN + x∗N ).
199
-0.1-0.05 00.05
0.1
x
-0.1-0.0500.050.1
y
-0.5
0
0.5
z
-0.1-0.05
00.05
0.1x
-0.1
-0.05
00.05
0.1y
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
z
-0.1-0.05
00.05
0.1x
-0.1
-0.05
00.05
0.1y
Figura 4.5: Comportamento das trajetorias quando (a) µ = −0.8, ξ3 = 0, 5, e(b) µ = −0.8, ξ3 = −0, 5
200
Vamos tambem supor que os incrementos wi(t) = xi(t) − x∗i sejam suficien-temente pequenos (||xi(t)−x∗i || < ǫ≪ 1), tal que possamos expandir cada umadas N componentes Fi do campo vetorial em serie de potencias nos N incre-mentos wi, com i indo de 1 ate N . Sendo ǫ suficientemente pequeno, podemosreter apenas os termos lineares, desprezando todos os outros. Resulta de (7.187)o seguinte conjunto de equacoes acopladas:
w1 = w1
(∂F1
∂x1
)
v∗
+ w2
(∂F1
∂x2
)
v∗
+ . . .+ wN
(∂F1
∂xN
)
v∗
,
w2 = w1
(∂F2
∂x1
)
v∗
+ w2
(∂F2
∂x2
)
v∗
+ . . .+ wN
(∂F2
∂xN
)
v∗
,
... =... (4.106)
wN = w1
(∂FN
∂x1
)
v∗
+ w2
(∂FN
∂x2
)
v∗
+ . . .+ wN
(∂FN
∂xN
)
v∗
,
onde usamos tambem (4.102) para eliminar os pontos de equilı brio de ambosos membros das expressoes.
Temos um total de N2 derivadas parciais das funcoes Fi em relacao a todasas variaveis dinamicas xj , calculadas no ponto fixo v∗. Definimos a matrizJacobiana como
J(v∗) =
(∂F1
∂x1
)
v∗
(∂F1
∂x2
)
v∗
. . .(
∂F1
∂xN
)
v∗(∂F2
∂x1
)
v∗
(∂F2
∂x2
)
v∗
. . .(
∂F2
∂xN
)
v∗
......
. . ....
(∂FN
∂x1
)
v∗
(∂FN
∂x2
)
v∗
. . .(
∂FN
∂xN
)
v∗
, (4.107)
tal que (7.187) pode ser escrita na forma compacta
dw
dt= J(v∗).w, (4.108)
e que e um modelo linear da forma (4.32), cujo ponto de equilıbrio e a origemno espaco N -dimensional. Alem disso, de (4.33), a solucao geral para os desviosdo equilıbrio pode ser escrita na forma
w(t) = w(0)etJ(v∗). (4.109)
O teorema de Hartman-Grobman, que introduzimos no Capıtulo 2, e na-turalmente valido no caso multidimensional: se a matriz Jacobiana calculadano ponto de equilıbrio, J(v∗) nao tiver autovalores nulos ou puramente ima-ginarios, entao existe um homeomorfismo, definido em alguma vizinhanca doponto de equilıbrio v∗ ∈ RN , que leva trajetorias do fluxo nao-linear ϕt dosistema (4.101) em trajetorias do fluxo linear Dϕt(v
∗)w do sistema (7.189).Como consequencia, para estudar a estabilidade do ponto fixo v∗ do modelo
nao-linear (4.32) nos investigamos a estabilidade da origem para o modelo line-arizado (7.189), ou seja, estudar os autovalores da matriz Jacobiana. Caso ummais autovalores tenham parte real nula, ou seja, se houver um sub-espaco cen-tral gerado pelos autovetores a eles correspondentes, o criterio de linearizacaofalha (e, neste caso, o ponto de equilıbrio e nao-hiperbolico). Nesse tipo desituacao, faz-se necessario a analise dos termos nao-lineares desprezados na li-nearizacao do campo vetorial.
201
E
W
E
Wu
u
s
s
Figura 4.6: Variedades e sub-espacos estavel e instavel.
4.5.1 Variedades invariantes
No capıtulo 2 definimos curvas invariantes relacionadas a um ponto de equilıbriode um modelo bidimensional. Podemos generalizar essa ideia definindo o con-ceito de variedade W , a qual, para nossos propositos, pode ser vista como umsub-conjunto do espaco RN . Uma variedade W e invariante pelo campo ve-torial v = F(v) se, para qualquer condicao inicial v(0) pertencente a W , nostenhamos v(t) ∈ W para todos os tempos, ou seja, que a trajetoria permanecasempre restrita a variedade W [2].
Analogamente, podemos definir variedades invariantes locais estavel (W sloc)
e instavel (Wuloc) associadas ao ponto de equilıbrio v∗, da seguinte forma: seja
U ⊂ RN uma vizinhanca de v∗. Entao
W sloc(v
∗) = {x ∈ U |ϕt(x) → v∗ quando t→ ∞, e ϕt(x) ∈ U, ∀t ≥ 0},(4.110)
Wuloc(v
∗) = {x ∈ U |ϕt(x) → v∗ quando t→ −∞, e ϕt(x) ∈ U, ∀t ≤ 0}.(4.111)
As variedades estavel e instavel sao, pois, obtidas pela uniao das imagens dasvariedades locais pelo fluxo ϕt, ou
W s(v∗)) =⋃
t≤0
ϕt(Vsloc(v
∗)), (4.112)
Wu(v∗)) =⋃
t≥0
ϕt(Vuloc(v
∗)), (4.113)
Se o ponto de equilıbrio e hiperbolico, ou seja, caso nao haja sub-espacocentral a ele associado (Ec = Ø), pode-se demonstrar o teorema das variedadesinvariantes: existem variedades locais invariantes estavel W s
loc e instavel W sloc
com as mesmas dimensoes dos sub-espacos invariantes Es e Eu do sistema line-arizado (7.189) e tangentes a eles no ponto v∗ [Fig. 4.6] [1, 2]. Em particular,as variedades sao tao suaves como o campo vetorial nao-linear F. Isto querdizer que, se F e uma funcao vetorial de classe Cr, ou seja, r vezes diferenciavelno ponto de equilibrio, entao tambem as variedades podem ser descritas porequacoes de classe Cr.
202
E
E
W
E
W
c
c
ss
W
u
u
Figura 4.7: Variedades e sub-espacos estavel, instavel e central.
Quanto a variedade central W c, se houver autovalores com parte real nula, anatureza das trajetorias nela restritas nao pode ser inferida a partir do respectivosub-espaco central Ec. Ha tecnicas matematicas sofisticadas, como a teoria dasformas normais, que permitem-nos trabalhar com tais situacoes e investigara estabilidade do equilıbrio [2, 1]. E possıvel, ainda, generalizar o teoremaanterior para incluı-lo neste estudo: a variedade local central Wu
loc tambem etangente ao sub-espaco central Ec no ponto de equilıbrio v∗ mas, enquanto asvariedades estavel e instavel sao unicas e de classe Cr, a variedade central naoe necessariamente unica, e e de classe Cr−1 [Fig. 4.7].
4.6 Exemplo em Economia: Modelo WKP de
Tobin
O modelo WKP (Walras + Keynes + Phillips) foi introduzido por J. Tobin em1975 em seu estudo dos modelos Keynesianos de recessao e depressao [44]. Asmacrovariaveis a serem utilizadas sao (a notacao utilizada nao e a sempre amesma de Tobin, seguindo as vezes a da Ref. [45]): Y : produto real agregado;E: demanda real efetiva agregada; M : estoque nominal de moeda; p: nıvel deprecos; π: taxa de inflacao; πe: taxa de inflacao esperada; T : impostos lıquidos;r: taxa nominal de juros; e L: demanda por moeda.
Temos a relacao
E = C + I +G, (4.114)
onde C, I e G denotam o consumo, investimento e gastos governamentais, res-pectivamente. Supomos que G, assim como os impostos T e o estoque de moedaM , sejam constantes.
203
4.6.1 Hipoteses do modelo
A hipotese fundamental do modelo WKP e a relacao IS-LM de equilıbrio ma-croeconomico, representada pelas equacoes ([45]):
YE = E(YE − T, rE − πe), (4.115)
M
p= L(YE , rE), (4.116)
onde YE e rE representam a demanda e a taxa nominal de juros de equilıbrio,respectivamente. De forma equivalente, o ponto (YE , rE) e a intersecao dascurvas IS e LM. Como usualmente a curva IS e monotonicamente decrescente,e a curva LM monotonicamente crescente, este ponto de equilıbrio e unico.
A funcao demanda E(Y −T, r−πe) depende da taxa de juros reais, ou seja,a taxa nominal menos a inflacao esperada. As concavidades das curvas IS e LMimplicam nas seguintes relacoes para as derivadas parciais da funcao demanda
EY ≡ ∂E
∂(Y − T )> 0, (4.117)
Er ≡ ∂E
∂(r − πe)< 0, (4.118)
onde usamos a notacao compacta yx para a derivada parcial de y em relacao a x,∂y/∂x. Sabemos que EY e a propensao marginal de consumo, logo restringimosseus valores dentro do intervalo 0 < EY < 1.
Fora do equilıbrio macroeconomico E = Y o mercado de bens nao se ajustarapidamente; o que esta de acordo com o ponto de vista Keynesiano de que, acurto prazo, salarios e precos sao estabelecidos e o produto responde as variacoesda demanda [44]. A equacao que descreve a evolucao do produto sera, portanto
dY
dt= α[E(Y, r, πe) − Y ], (4.119)
onde α > 0 e uma constante que mede a velocidade do ajuste do produto emrelacao a alteracoes nos valores de equilıbrio.
Por outro lado, supomos que o mercado de moeda ajusta-se muito rapida-mente as flutuacoes da taxa de juros, tal que a equacao (4.116) vale para todosos tempos (nao so no equilıbrio). A funcao demanda por moeda L(Y, r) tem nataxa de juros nominais uma de suas variaveis. Podemos formalmente resolver(4.116) para obter r em funcao de Y e p, a qual escrevemos como
r = r(Y, p, M), (4.120)
e cujos produtos marginais sao supostos positivos:
rY ≡ ∂r
∂Y> 0, (4.121)
rp ≡ ∂r
∂p> 0. (4.122)
Finalmente, supomos a demanda por moeda e os gastos governamentais comoexogenos (M = M,G = G). Neste espırito, podemos reescrever a equacao(4.119) como
dY
dt= α[E(Y, p, πe) − Y ]. (4.123)
204
O nıvel de precos, por sua vez, esta relacionado com a taxa de inflacao π por
π =dp/dt
p=
d
dt(ln p), (4.124)
e supomos que as expectativas da taxa de inflacao sao feitas de forma adaptativa,ou seja,
dπe
dt= β(π − πe), (4.125)
onde β > 0 e o coeficiente de expectativas.A terceira suposicao do modelo WKP e uma versao da curva de Phillips a
taxas naturais, ou seja, uma relacao entre a variacao da taxa de inflacao e avariacao do produto:
π − πe = γ(Y − YE), (4.126)
onde γ > 0 e tal que, no equilıbrio macroeconomico, YE e o valor do produtono pleno emprego, entendendo-se esse ultimo termo no sentido da taxa de de-semprego nao ser aceleradora da inflacao (NAIRU) [45]. Substituindo (4.124)em (4.126) obtemos
dp/dt
p− πe = γ(Y − YE)
dp
dt= p [γ(Y − YE) + πe] .
Usamos (4.124) e (4.126) para eliminar π da equacao (4.125):
dπe
dt= β
(dp/dt
p− πe
)
= β (πe + γ(Y − YE) − πe) = βγ(Y − YE). (4.127)
4.6.2 Ponto de equilıbrio e sua estabilidade
Coletando as equacoes (4.123), (4.127), e (4.127), obtemos as equacoes do mo-delo WKP na forma de um fluxo tridimensional:
dY
dt= α[E(Y, p, πe) − Y ], (4.128)
dp
dt= p [γ(Y − YE) + πe] , (4.129)
dπe
dt= βγ(Y − YE). (4.130)
As coordenadas (Y ∗, p∗, πe∗) do ponto de equilıbrio sao, portanto, as solucoesdo sistema de equacoes
0 = α[E(Y ∗, p∗, πe∗) − Y ∗], (4.131)
0 = p∗ [γ(Y ∗ − YE) + πe∗] , (4.132)
0 = βγ(Y ∗ − YE). (4.133)
De (4.133) segue imediatamente que Y ∗ = YE , ou seja, a solucao de equilıbriodinamico coincide com o ponto de equilıbrio macroeconomico. Como supusemosque as curvas IS e LM tem uma unica intersecao, so havera um valor parao equilibrio dinamico; o que, alias, ja era esperado, visto que o modelo foiconstruido tendo esse fato em mente. De (4.132), temos p∗πe∗ = 0. Como no
205
equilıbrio o nıvel de precos nao pode ser nulo, decorre que πe∗ = 0. Finalmente,de (4.131),
E(YE , p∗, 0) = YE , (4.134)
relacao esta que determina implicitamente o nıvel de precos no equilıbrio p∗.Para estudar a estabilidade desta solucao, precisamos obter inicialmente a
matriz Jacobiana do sistema (4.128)-(4.130), o que implica em calcular novederivadas parciais, a saber:
J11 =∂Y
∂Y= α(EY − 1), J12 =
∂Y
∂p= αEp, (4.135)
J13 =∂Y
∂πe= αEπe , J21 =
∂p
∂Y= γp, (4.136)
J22 =∂p
∂p= γ(Y − YE) + πe, J23 =
∂p
∂πe= p, (4.137)
J31 =∂πe
∂Y= βγ, J32 =
∂πe
∂p= J33 =
∂πe
∂πe= 0. (4.138)
as quais, computadas no ponto de equilıbrio (YE , p∗, 0), fornecem
A ≡ J(YE , p∗, 0) =
A B Cp∗γ 0 p∗
βγ 0 0
, (4.139)
onde introduzimos as seguintes abreviacoes:
A ≡ α[EY (YE , p∗, 0) − 1] = α
[
∂E
∂Y
∣∣∣∣(YE ,p∗,0)
− 1
]
, (4.140)
B ≡ αEp(YE , p∗, 0) = α
∂E
∂p
∣∣∣∣(YE ,p∗,0)
, (4.141)
C ≡ αEπe(YE , p∗, 0) = α
∂E
∂πe
∣∣∣∣(YE ,p∗,0)
, (4.142)
Os autovalores ξ da matriz acima sao obtidos a partir da equacao secular,det[A − ξI] = 0, que se escreve na forma do determinante
∣∣∣∣∣∣
A− ξ B Cp∗γ − ξ 0 p∗
βγ 0 −ξ
∣∣∣∣∣∣
= 0. (4.143)
Utilizando a regra de Sarrus temos
(A− ξ)ξ2 + βγp∗B + βγCξ + γp∗Bξ = 0,
ξ3 −Aξ2 − γ(βC + p∗B)ξ − βγp∗B = 0, (4.144)
apos multiplicar todos os termos por −1 para trocar os sinais. Sendo umaequacao do terceiro grau, sabemos que havera tres raızes reais ou complexas.
Comparando (4.144) com a forma geral da equacao secular de terceiro grau(7.113) identificamos os seguintes coeficientes:
a0 = 1, (4.145)
a1 = −A, (4.146)
a2 = −γ(βC + p∗B), (4.147)
a3 = −βγp∗B. (4.148)
206
O criterio de Routh-Hurvicz atesta que os autovalores ξ1,2,3 terao partes reaispositivas se e somente se as desigualdades (??)-(??) forem satisfeitas simulta-neamente, ou seja,
a1 = −A > 0 ⇒ A < 0, (4.149)
a2 = −γ(βC + p∗B) > 0 ⇒ γ(βC + p∗B) < 0, (4.150)
a3 = −βγp∗B > 0 ⇒ βγp∗B < 0, (4.151)
a1a2 − a0a3 = γA(βC + p∗B) + βγp∗B > 0. (4.152)
Como A = α[EY (YE , p∗, 0) − 1] e α > 0, temos que EY − 1 < 0 para que
(4.149) seja satisfeita, o que e sempre o caso, ja que, por hipotese, 0 < EY < 1(propensao marginal de consumo no equilıbrio). Analogamente, uma vez queB = αEp(YE , p
∗, 0), a condicao (4.151) sera cumprida quando Ep < 0, quepode-se mostrar sempre satisfeita [45]. A condicao (4.152) e a mais importante.Como γ > 0 podemos dividir por esse fator
A(βC + p∗B) + βp∗B > 0,
α2[EY − 1] (βEπe + p∗Ep) + βp∗αEp > 0,
onde todas as derivadas parciais sao calculadas no ponto de equilıbrio. Dividindonovamente por α > 0 temos:
[EY − 1]α (βEπe + p∗Ep) + βp∗Ep > 0. (4.153)
Como EY − 1 < 0 e Ep < 0, para que a soma das duas parcelas acima depositiva, resulta necessario que o termo entre parenteses seja negativo, que e acondicao encontrada no artigo original de Tobin [44]:
(βEπe + p∗αEp) < 0. (4.154)
4.7 Solucoes numericas
Para modelos contınuos multidimensionais nao existem, em geral, solucoes analıticas,de forma que nosso conhecimento sobre as trajetorias no espaco de fase esta con-dicionado a obtencao de solucoes numericas. Aqui, da mesma forma que noscapıtulos 1 e 3, usamos os metodos de Euler (nao-recomendavel) e Runge-Kutta,ou adaptacoes dos mesmos. Pode-se usar, igualmente, planilhas eletronicas ouescrever programas em alguma linguagem, como C, para executar estas tarefas.No entanto, pela praticidade do seu uso, abordaremos neste capıtulo apenas ouso de software matematico.
Como exemplo de solucao numerica consideraremos o seguinte modelo tridi-mensional contınuo, proposto por Roessler em 1976 para estudo dos atratorescaoticos [46].:
dx
dt= −(y + z), (4.155)
dy
dt= x+ ay, (4.156)
dz
dt= b+ z(x− c), (4.157)
207
500 510 520 530 540 550t
-5
0
5
10
x
passo = 0,1passo = 0,01passo = 0,001
Figura 4.8: Solucoes numericas para o sistema de Rossler pelo metodo de Runge-Kutta com diferentes valores do passo de integracao.
para a = 0, 2, b = 0, 2 e c = 4, 7. Como condicoes iniciais adotaremos:
x(0) = −5, 0 y(0) = z(0) = 5, 0 (4.158)
e integraremos de ti = 0 ate tf = 10, 0.
Como nao ha solucao analıtica para estes sistema de equacoes, em princıpionao poderıamos avaliar a priori se estes resultados estao corretos. Na pratica,entretanto, ha uma forma bastante empregada de verificar a consistencia destetipo de solucao numerica: nos utilizamos 1000 pontos na integracao, o queequivale a um passo 0, 01. Se multiplicarmos o numero de pontos por 10, porexemplo, o passo sera dez vezes menor. Isto, em princıpio, devera dar umresultado mais preciso que o anterior. Caso a diferenca entre os resultados sejapequena o suficiente (menor que uma tolerancia especificada, como um numeroda ordem de 10−7), podemos considerar a solucao numerica consistente e valida,para a maioria dos propositos. Esse procedimento e usado quando fazemos aintegracao por meio de programa de computador ou se o software matematicoempregado permite a especificacao do passo de integracao.
Um exemplo de como esse metodo converge e mostrado na figura 4.8, ondemostramos uma solucao numerica obtida a partir das mesmas condicoes iniciaisdadas por (), mas com diferentes valores do passo de integracao (para melhorar avisualizacao dos resultados, mostramos apenas uma parte do grafico). Podemosobservar que um passo igual a 0, 1 fornece resultados muito piores do que umpasso de 0, 01 ou 0, 001, sendo que os dois ultimos ja sao bem mais proximos.Do ponto de vista pratico, no entanto, e preciso lembrar que um passo muitopequeno (como 0, 001) necessita de um numero de pontos muito maior, ja queeste e inversamente proporcional ao passo desejado. Por exemplo, se desejamosdiminuir o passo de um fator de 10, precisamos aumentar o numero de pontos(e o tamanho do arquivo de dados) em 10 vezes.
Os resultados mostrados na figura 4.8 foram obtidos a partir da integracaodas equacoes pelo metodo de Runge-Kutta de quarta ordem, descrito no Capıtulo
208
1 e aqui adaptado para um modelo contınuo multidimensional. O programa estareproduzido abaixo:
/* runge.c: metodo de Runge-Kutta de quarta ordem para solucao
numerica de um modelo continuo tridimensional. Saida dos
dados no arquivo runge.dat */
#include <stdio.h>
#include <math.h>
FILE *fp;
double f(double x,double y,double z),g(double x,double y,double z),
h(double x,double y,double z);
void main()
{
int k, points;
double xk, yk, zk, x0, y0, z0, tk, ti, tf, delta;
double kx1, kx2, kx3, kx4, ky1, ky2, ky3, ky4, kz1, kz2,
kz3, kz4;
fp = fopen("runge.dat","w");
/* inicializacoes */
points = 1000; /* numero de pontos calculados */
ti = 0.0; /* tempo inicial */
tf = 10.0; /* tempo final */
delta = fabs(tf - ti)/points; /* passo de integracao */
x0 = -5.0; /* condicoes iniciais */
y0 = 5.0;
z0 = 5.0;
/* coloca os valores iniciais nas variaveis */
k = 0;
xk = x0;
yk = y0;
zk = z0;
tk = ti;
fprintf(fp,"%d %f %f %f %f\n",k,tk,xk,yk,zk);
/* varre intervalos de ti a tf */
for(k = 1;k <= points;++k) {
tk = tk + delta; /* inicio do intervalo */
/* vetor auxiliar r1 */
kx1 = f(xk,yk,zk)*delta;
ky1 = g(xk,yk,zk)*delta;
kz1 = h(xk,yk,zk)*delta;
/* vetor auxiliar r2 */
kx2 = f(xk+(kx1/2),yk+(ky1/2),zk+(kz1/2))*delta;
ky2 = g(xk+(kx1/2),yk+(ky1/2),zk+(kz1/2))*delta;
kz2 = h(xk+(kx1/2),yk+(ky1/2),zk+(kz1/2))*delta;
/* vetor auxiliar r3 */
kx3 = f(xk+(kx2/2),yk+(ky2/2),zk+(kz2/2))*delta;
209
ky3 = g(xk+(kx2/2),yk+(ky2/2),zk+(kz2/2))*delta;
kz3 = h(xk+(kx2/2),yk+(ky2/2),zk+(kz2/2))*delta;
/* vetor auxiliar r4 */
kx4 = f(xk+kx3,yk+ky3,zk+kz3)*delta;
ky4 = g(xk+kx3,yk+ky3,zk+kz3)*delta;
kz4 = h(xk+kx3,yk+ky3,zk+kz3)*delta;
/* variaveis no final do intervalo */
xk = xk + (kx1+(2*kx2)+(2*kx3)+kx4)/6;
yk = yk + (ky1+(2*ky2)+(2*ky3)+ky4)/6;
zk = zk + (kz1+(2*kz2)+(2*kz3)+kz4)/6;
/* imprime k, t, x, y, z no arquivo de dados */
fprintf(fp,"%d %f %f %f %f\n",k,tk,xk,yk,zk);
}
fclose(fp);
}
/* Equacoes do campo vetorial
Exemplo: sistema de Roessler
x’ = -(y+z), y’= x + 0.2y, z’= 0.2 + z(x-4.7) */
double f(double x,double y,double z)
{
return(-y-z);
}
double g(double x,double y,double z)
{
return(x+(0.2*y));
}
double h(double x,double y,double z)
{
return(0.2+z*(x-4.7));
}
4.7.1 Uso de software matematico
Maple
Escrevemos inicialmente as equacoes diferenciais (4.155)-(4.157) como
a := 0.2;
b := 0.2;
c := 4.7;
deq1 := diff(x(t),t) = -y(t) - z(t):
deq2 := diff(y(t),t) = x(t) + a*y(t):
deq3 := diff(y(t),t) = b + z(t)*(x(t) - c):
Vamos considerar a trajetoria obtida a partir da condicao inicial x0 = −5 ey0 = 5 e z0 = 5, no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 100, com passo de integracao0, 01. Para tracar essa trajetoria, usamos os comandos:
with(DEtools):
210
y
x
10
10
5
05
-5
-10
0-5-10
z
y
20
10
15
10
5
5
00-5-10
z
x
20
10
15
10
5
5
00-5-10
Figura 4.9: Projecoes sobre os planos (a) xy, (b) yz e (c) xz da trajetoria obtidapor solucao numerica do sistema (4.155)-(4.156) usando o Maple.
DEplot([deq1,deq2,deq3], [x,y,z], t=0..100, x=-10..10, y=-10..10,
z=0..20, {[x(0)=-5, y(0)=5, z(0)=5]}, stepsize=0.01, scene=[x,y],
linecolor=black, arrows=none);
cujo resultado leva a trajetoria cuja projecao sobre o plano xy pode ser vista naFigura 4.9(a). Naturalmente a trajetoria nao pode se autointerceptar no espacode fase tri-dimensional, mas sua projecao sobre qualquer um dos planos pode,como neste caso. Embora nao divirja nem convirja com o tempo, tampoucoparece ser uma trajetoria fechada. Como veremos mais a frente trata-se, defato, de uma trajetoria caotica. Nestes casos, a precisao com que realizamosa integracao numerica e um fator crucial na confiabilidade dos resultados. Asprojecoes dessa trajetoria ao longo dos planos yz e xz sao obtidas usando omesmo comando anterior e trocando a opcao scene= [x,y] por scene= [y,z]
[Fig. 4.9(b)] e scene= [x,z] [Fig. 4.9(c)], respectivamente.O Maple permite, ainda, a visualizacao tridimensional da trajetoria, pelo
comando DEplot3d:
DEplot3d([deq1,deq2,deq3], [x,y,z], t=0..100,
211
20
15
-10
10z
-5
5
00-10
x-5
50
y
5
1010
Figura 4.10: Trajetoria no espaco de fase obtida por solucao numerica do sistema(4.155)-(4.156) usando o Maple.
x=-10..10, y=-10..10, z=0..20,{[x(0)=-5,y(0)=5,z(0)=5]},
stepsize=0.01,linecolor=black, arrows=none);
cujo resultado pode ser visto na Fig. 4.10. Na verdade, a perspectiva mostradana figura pode ser alterada com o mouse, quando ainda a figura e tracada natela do computador (worksheet), de forma a exibir o maior numero possıvel dedetalhes.
Para tracar as series temporais das variaveis dinamicas, empregamos o co-mando
DEplot([deq1,deq2,deq3], [x,y,z], t=0..100, x=-10..10, y=-10..10,
z=0..20, {[x(0)=-5,y(0)=5,z(0)=5]}, stepsize=0.01, scene= [t,x],
linecolor=black, arrows=none);
como mostra a Fig. 4.11(a). As Figuras 4.11(b) e (c) sao obtidas aplicando nocomando anterior as opcoes scene= [t,y] e scene= [t,z], respectivamente.
Mathematica
Para usar o Mathematica especificamos o campo vetorial como:
a = 0.2;
b = 0.2;
c = 4.7;
deq1 = x’[t] == -y[t] -z[t];
deq2 = y’[t] == x[t] + a*y[t];
deq3 = z’[t] == b + z[t]*(x[t] - c);
212
t
1008060
x
40
10
5
200
-5
0
-10
t
1008060
y
40
10
5
200
-5
0
-10
t
1008060
z
40
20
15
20
10
5
00
Figura 4.11: Series temporais obtidas por solucao numerica do sistema (3.24)-(3.25) usando o Maple.
213
-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10x
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
y
-7.5 -5 -2.5 2.5 5y
0.5
1
1.5
2
z
-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10x
0.5
1
1.5
2
2.5
z
Figura 4.12: Projecao sobre os planos yz e xz da trajetoria obtida por solucaonumerica do sistema (4.155)-(4.156) usando o Mathematica.
A trajetoria originada pela condicao inicial x0 = −5 e y0 = 5 e z0 = 5, aolongo do intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 500 pode ser visualizada a partir das suasprojecoes sobre os planos com os comandos [Fig. 4.12]:
soln = NDSolve[{deq1,deq2,deq3,x[0]=-5.0,y[0]=5.0,z[0]=5.0},
{x[t],y[t],z[t]}, {t,0,500}];
ParametricPlot[
Evaluate[{x[t],y[t]} /. soln], {t,0,100},
AxesLabel ->{’’x’’,’’y’’}];
ParametricPlot[
Evaluate[{y[t],z[t]} /. soln], {t,0,100},
AxesLabel ->{’’y’’,’’z’’}];
ParametricPlot[
Evaluate[{x[t],z[t]} /. soln], {t,0,100},
AxesLabel ->{’’x’’,’’z’’}];
sendo que o Mathematica tambem conta com um comando especıfico para visu-alizacao tridimensional da trajetoria [Fig. 4.13]:
ParametricPlot3D[
Evaluate[{x[t],y[t],z[t]} /. soln], {t,0,200},
PlotRange -> All, PlotPoints -> 10000,
AxesLabel ->{’’x’’,’’y’’,’’z’’}];
Para representar as series temporais, usamos [Fig. 4.14]:
Plot[Evaluate[ x[t] /. soln], {t,0,100},
AxesLabel ->{’’t’’,’’x’’}];
Plot[Evaluate[ y[t] /. soln], {t,0,100},
214
-5
0
5
10
x
-5
0
5y
0
5
10
15
z
-5
0
5x
-5
0
5y
Figura 4.13: Trajetoria no espaco de fase obtida por solucao numerica do sistema(4.155)-(4.156) usando o Mathematica.
AxesLabel ->{’’t’’,’’y’’}];
Plot[Evaluate[ z[t] /. soln], {t,0,100},
AxesLabel ->{’’t’’,’’z’’}];
Matlab
Para resolver as equacoes (3.24)-(3.25) no Matlab, elas tem de ser especificadasno arquivo rossler.m:
function rp = rossler(t,v)
% rossler.m
a = 0.2;
b = 0.2;
c = 4.7;
rp = v;
x = v(1);
y = v(2);
z = v(3);
vp(1) = -y - z;
vp(2) = x + a*y;
vp(3) = b + z*(x-c);
Da mesma forma que nos casos anteriores, podemos visualizar as projecoesda trajetoria ao longo do intervalo 0 ≤ t ≤ 100 [Fig. 4.15], partindo da condicaoinicial (x0, y0, z0) = (−5, 5, 5), e com passo de integracao 0, 05, bem como asseries temporais resultantes [Fig. 4.16], por meio da seguinte sequencia de co-mandos:
[t,v] = ode45(’rossler’, [0:0.05:100], [-5,5,5]);
215
20 40 60 80 100t
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10x
20 40 60 80 100t
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
y
20 40 60 80 100t
0.5
1
1.5
2
z
Figura 4.14: Serie temporal obtida por solucao numerica do sistema (3.24)-(3.25)usando o Mathematica.
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
x
y
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80
2
4
6
8
10
12
14
16
18
y
z
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100
2
4
6
8
10
12
14
16
18
x
z
Figura 4.15: Projecao sobre os planos xy, yz, e xz da trajetoria obtida porsolucao numerica do sistema (4.155)-(4.156) usando o Matlab.
216
0 20 40 60 80 100−10
−5
0
5
10
15
20
t
x(t)y(t)z(t)
Figura 4.16: Series temporais obtidas por solucao numerica do sistema (4.155)-(4.156) usando o Matlab.
plot(v(:,1),v(:,2))
plot(t,v(:,1), t,v(:,2))
O Matlab conta, ainda, com um comando para visualizacao tri-dimensionaldos resultados [Fig. 4.17].
plot3(v(:,1),v(:,2),v(:,3))
4.8 Exemplo em Economia: Modelo de Inovacao
Tecnologica
Vamos estudar um modelo proposto por Goodwin em 1990 que incorpora ainovacao tecnologica na dinamica do produto e salarios, baseado em ideias an-teriores de Schumpeter [47]. Os avancos tecnologicos ocorrem de modo rapido(swarms), deslocando o equilıbrio macroeconomico para um novo ponto, tal quea trajetoria do sistema para este ultimo seja cıclica, ao inves de monotonica.
4.8.1 Macrovariaveis e hipoteses do modelo
As macrovariaveis definidas sao q: produto corrente; qd: demanda corrente total;w: fluxo de salarios reais; e k: capacidade inovadora. As hipoteses do modelo,e as equacoes dinamicas resultantes, sao as seguintes:1. O produto e dinamicamente ajustado a demanda total:
dq
dt= e(qd − q), (4.159)
onde e > 0 e um coeficiente de ajuste. A demanda corrente total e dada por
qd = aq + wd + Ik + d, (4.160)
217
−10−5
05
10
−10
−5
0
5
100
5
10
15
20
xy
z
Figura 4.17: Trajetoria no espaco de fase tridimensional obtida por solucaonumerica do sistema (4.155)-(4.156) usando o Matlab.
onde aq representa a demanda industrial, (sendo a > 0 um coeficiente querepresenta a influencia do produto na demanda), wd a demanda ligada aossalarios, Ik o investimento em inovacoes, e d representa outros componentes dademanda. Estes ultimos serao supostos exogenos e constantes no tempo, paraque se possa isolar, no modelo, o impacto da inovacao na variacao do produtoe dos salarios.2. Supomos um crescimento do tipo logıstico para a capacidade inovadora
dk
dt= bk
(
1 − k
c
)
, (4.161)
onde b > 0 e uma taxa de crescimento da capacidade inovativa, e c > 0 repre-senta uma capacidade-limite, acima da qual o crescimento passa a ser negativo,ao inves de positivo. Estudamos essa equacao no Capıtulo 1, a qual tem umasolucao na forma de um S elongado, que modelaria os swarms representados porinovacoes tecnologicas.3. Supomos uma relacao linear entre investimento em inovacoes e o crescimentoda capacidade produtiva
Ik = mdk
dt= mbk
(
1 − k
c
)
, (4.162)
onde m e a razao capacidade inovadora/produto.4. A demanda ligada aos salarios depende da taxa real de salarios w e doproduto q na forma
wd = aℓwq, (4.163)
onde aℓ e um coeficiente renda/trabalho, nao-constante. Seu inverso representaa produtividade do trabalho, a qual e afetada pelo crescimento logıstico dacapacidade de inovacao, na seguinte forma:
aℓ(t) = h(1 − sk(t)), (4.164)
218
onde s e um coeficiente que mede o efeito das inovacoes tecnologicas sobre aprodutividade, e h = aℓ(0) e a produtividade inicial.
Substituindo (4.164) em (4.163) temos, pois
wd = wqh(1 − sk(t)), (4.165)
tal que a taxa de variacao do produto e obtida colocando (4.165), (4.162) e(6.152) em (4.159):
dq
dt= e
{
aq + wqh(1 − sk) +mbk
(
1 − k
c
)
+ d− q
}
,
= e
{
d+ [a+ (1 − sk)hw]q +mbk
(
1 − k
c
)
− q
}
. (4.166)
5. Ha um nıvel de equilıbrio de emprego n, tal que a taxa real de salariopermanece estacionaria, sem pressoes de alta ou baixa devido a carencia ouexcesso de mao-de-obra disponıvel. A taxa real de salarios varia com o tempo,portanto, conforme a diferenca entre o nıvel de emprego corrente aℓq e seu valorde equilıbrio numa forma linear:
dw
dt= f(aℓq − n) = f((1 − sk)hq − n), (4.167)
onde f e um parametro de ajuste dinamico do salario as flutuacoes do nıvel deemprego.
O modelo contınuo tridimensional que iremos estudar compoe-se, pois, dasEqs. (4.166), (4.167), e (4.161):
dq
dt= e
{
d+ [a+ (1 − sk)hw]q +mbk
(
1 − k
c
)
− q
}
, (4.168)
dw
dt= f [(1 − sk)hq − n], (4.169)
dk
dt= bk
(
1 − k
c
)
. (4.170)
4.8.2 Pontos de equilıbrio e sua estabilidade
O produto de equilibrio, q∗, o nıvel salarial de equilıbrio w∗, e a capacidadeinovativa de equilıbrio k∗ serao solucoes do seguinte sistema de equacoes:
e
{
d+ [a+ (1 − sk∗)hw∗]q∗ +mbk∗(
1 − k∗
c
)
− q∗}
= 0, (4.171)
f [(1 − sk∗)hq∗ − n] = 0, (4.172)
bk∗(
1 − k∗
c
)
= 0. (4.173)
A equacao (4.173) tem duas solucoes, a saber,
k∗1 = 0, k∗2 = c. (4.174)
A primeira delas corresponde a ausencia de crescimento, o que nao teria in-teresse economico, mas ainda sera considerada do ponto de vista matematico.
219
A segunda solucao e o nıvel assintotico de inovacao tecnologica, que decorretambem do fato da solucao k(t) (que tem uma forma analıtica, vide Eq. (1.58))tender a c quando o tempo vai a infinito.
Isolando q∗ de (4.172) temos
q∗ =n
h(1 − sk∗), (4.175)
que corresponde, conforme (4.174) a duas solucoes de equilıbrio para o produto
q∗1 =n
h, q∗2 =
n
h(1 − sc). (4.176)
Dividindo a Eq, (4.171) por e e levando em conta (4.173), temos
q∗ = d+ [a+ (1 − sk∗)hw∗]q∗, (4.177)
e, isolando w∗, temos o nıvel salarial de equilıbrio:
w∗ =(1 − a)q∗ − d
q∗, (4.178)
que, em vista das duas solucoes em (4.176), tambem tem duas solucoes possıveis,que sao
w∗1 = 1 − a− hd
n, w∗
2 =1 − a
1 − sc− hd
n. (4.179)
Resumindo, temos os dois vetores de equilıbrio:
v∗1 =
nh
1 − a− hdn
0
, v∗2 =
nh(1−sc)
1 − a− hdn − hd
nc
. (4.180)
A estabilidade destes equilıbrios, na aproximacao linear, depende dos au-tovalores da matriz Jacobiana do sistema de equacoes (4.168)-(3.104), cujoselementos sao as derivadas parciais seguintes:
J11 =∂q
∂q= e[(a− 1) + hw(1 − sk)], (4.181)
J12 =∂q
∂w= ehq(1 − sk), (4.182)
J13 =∂q
∂k= e
[
−shqw +mb
(
1 − 2k
c
)]
, (4.183)
J21 =∂w
∂q= fh(1 − sk), J22 =
∂w
∂w= 0, (4.184)
J23 =∂w
∂k= −fshq, J31 =
∂k
∂q= 0, (4.185)
J32 =∂k
∂w= 0, J33 =
∂k
∂k= b
(
1 − 2k
c
)
.
(4.186)
220
Analisamos separadamente cada uma das solucoes de equilıbrio (4.180). Amatriz Jacobiana correspondente a solucao v1 e
J(v∗1) =
e[(a− 1)(1 − h) − h2dn ] en e[sn(1 − a) + shd+mb]
fh 0 −fsn0 0 b
, (4.187)
no enquanto para a solucao bfv1 a matriz e
J(v∗2) =
e[(a− 1)(1 − h) − h2d(1−sc)n ] en esn(1−a)
(1−sc)2+ eshd
1−sc − emb
fh(1 − sc) 0 −fsn1−sc
0 0 −b
.
(4.188)Para facilitar os calculos, observamos que ambas as matrizes Jacobianas podemser colocadas numa forma comum, que e
J(v∗i ) =
αi en γi
βi 0 δi0 0 −(−1)
ib
, (4.189)
onde i = 1, 2, e definimos os seguintes sımbolos
α1 = e
[
(a− 1)(1 − h) − h2d
n
]
, β1 = fh, (4.190)
γ1 = e[sn(1 − a) + shd+mb], δ1 = −fsn, (4.191)
α2 = e
[
(a− 1)(1 − h) − h2d(1 − sc)
n
]
, β2 = fh(1 − sc), (4.192)
γ2 =esn(1 − a)
(1 − sc)2 +
eshd
1 − sc− emb, δ2 =
−fsn1 − sc
. (4.193)
Os autovalores da matriz Jacobiana sao as solucoes da respectiva equacaosecular,
det[J(v∗i − ξI] =
∣∣∣∣∣∣
αi − ξ en γi
βi −ξ δi0 0 −(−1)
ib− ξ
∣∣∣∣∣∣
= 0, (4.194)
a qual, desenvolvida pela regra de Sarrus, fornece uma equacao cubica para osautovalores:
[ξ(αi − ξ) + enβi][(−1)ib+ ξ] = 0, (4.195)
−ξ3 + [αi − (−1)ib]ξ2 + [enβi + αi(−1)
ib]ξ + [(−1)
ienβib] = 0.
Comparando com a forma geral da equacao cubica (7.113) achamos os coe-ficientes
a0 = −1, a1 = αi − (−1)ib, (4.196)
a2 = enβi + αi(−1)ib, a3 = (−1)
ienβib, (4.197)
221
Pelo criterio de Routh-Hurwitz, os pontos de equilıbrio v∗i serao assintotica-
mente estaveis se e somente se, os coeficientes da equacao secular satisfizeremsimultaneamente as inequacoes (??)-(??), que assumem as seguintes formas
αi − (−1)ib > 0, (4.198)
[αi − (−1)ib][enβi + αi(−1)
ib] + (−1)
ienβib > 0, (4.199)
(−1)ienβib > 0. (4.200)
Observe que os termos γi e δi nao participam da analise da estabilidade, aomenos nessa etapa.
Para a solucao de equilıbrio v∗1 a condicao de estabilidade (4.200) implica
em que β1 = fh < 0. Mas, como tanto f como h sao supostos positivos, essadesigualdade nunca e verificada. Entao sabemos que essa solucao de equilıbrio esempre instavel. Isso nao e surpreendente de todo, pois vimos que esse equilıbriocorresponde a uma ausencia de capacidade inovativa (k∗1 = 0), e sem interessemaior. Ja para a outra solucao, v∗
2, o mesmo raciocınio leva a condicao β2 =fh(1 − sc) > 0, ou seja, que sc < 1. Alem disso, as desigualdades (4.198) e(4.199) necessarias a que o equilıbrio seja estavel sao
α2 = e[(a− 1)(1 − h) − h2d
n] > b, (4.201)
(α2 − b)(enβ2 + α2b) + enβ2b > 0. (4.202)
4.8.3 Exemplo numerico
Consideremos os seguintes valores numericos estudados por Goodwin para oscoeficientes do modelo: a = 0, 2, b = 0, 12, c = 4, 0, d = 4, 0, e = 0, 161,h = 0, 3, s = 0, 05, m = 3, 0, e n = 2, 4. Nos conservaremos como parametrovariavel apenas f . Neste caso particular as solucoes de equilıbrio (4.180) sao,respectivamente,
v∗1 =
8, 00, 30
, v∗2 =
10, 00, 54, 0
, (4.203)
independentemente do valor escolhido para f , e cuja estabilidade depende docalculo dos seguintes coeficientes
α1 = −0, 06601 β1 = 0, 3f
γ1 = 0, 052164 δ1 = −0, 12f
α2 = −0, 10948 β2 = 0, 24f
γ2 = −0, 70035 δ2 = −0, 15f.
Podemos, agora, verificar as condicoes (4.201)-(4.202) para que o ponto v∗2seja estavel (ja que, como vimos, v∗1 e sempre instavel para parametros positivosdo modelo), uma vez que sc = 0, 04 × 4 = 0, 8 < 1. Como α2 < b entao, paraessa escolha de coeficientes, tambem o ponto 2 e instavel. A condicao restante everificada se f > 0, 29694617 o que, naturalmente, nao altera nossa conclusao.
Para ter uma ideia mais concreta da evolucao das variaveis do modelo, fa-zemos a integracao numerica do sistema tridimensional de equacoes com asseguintes condicoes iniciais:
q(0) = 8, 0 w(0) = 1, 0 k(0) = 0, 1.
222
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
q(t)w(t)k(t)
Figura 4.18: Solucoes numericas para o sistema de Goodwin pelo metodo deRunge-Kutta com f = 0, 0.
e o mesmo conjunto de parametros adotado na analise da estabilidade, alemde tomar f = 0. Na figura 4.18 mostramos a evolucao temporal das tres ma-crovariaveis, de t = 0 ate t = 108, 0. Observamos que os salarios permanecemconstantes, o que e uma consequencia de fazer f = 0 em (4.169), donde tiramosque
dw
dt= 0, w(t) = w(0). (4.204)
Alem disso, o comportamento da capacidade inovativa e uma curva sigmoide,o que decorre imediatamente do fato da equacao (3.104) possuir tal solucao,inclusive na forma analıtica [vide Eq. (1.58)]. Ja o produto inicialmente cresceate atingir um valor maximo por volta de 8, 25, para depois diminuir alcancandoum patamar por volta de 7, 16 para t = 108, 0, e inclusive permanecendo nessevalor para todos os tempos posteriores.
Alterando o valor do parametro f para 0, 07 observamos na Figura 4.19modificacoes significativas no comportamento do produto e dos salarios (umavez que a capacidade inovativa evolui de forma independente das outras ma-crovariaveis, como vimos). O produto praticamente nao cresce em relacao aoseu valor inicial, e logo inicia uma trajetoria descendente dentro do intervaloconsiderado (ate t = 108, 0). Ja os salarios (reais) tem uma evolucao tambemdescendente, chegando mesmo a assumir valores negativos espurios.
4.9 Problemas
1. Determine os autovalores da matriz
A =
0
@
1 2 16 −1 0−1 −2 −1
1
A ,
223
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100t
-6
-4
-2
0
2
4
6
8q(t)w(t)k(t)
Figura 4.19: Solucoes numericas para o sistema de Goodwin pelo metodo deRunge-Kutta com f = 0, 07.
2. (a) Mostre que duas matrizes semelhantes tem os mesmos determinantes. (b)Mostre que duas matrizes semelhantes tem os mesmos autovalores.
3. Se V(t) e a matriz fundamental de solucao, mostre que
etA = V(t)V(0)−1.
4. Considere a matriz [[1], pg. 9]
A =
0
@
2 1 30 2 01 0 0
1
A ,
(a) Ache etA
(b) Resolva o sistema v = A.v para as seguintes condicoes iniciais:
v0 =
0
@
111
1
A ,
0
@
−202
1
A ,
0
@
5−32
1
A .
5. Seja a matriz
M =
0
@
−1 −1 01 −1 00 0 2
1
A ,
Determine os sub-espacos estavel, instavel e central associados a origem.
6. Um modelo tridimensional importante na historia da teoria do caos foi propostopor Lorenz em 1963:
dx
dt= σ(y − x)
dy
dt= rx − y − xz
dz
dt= xy − bz
224
onde σ, r e b sao parametros positivos.
(a) Mostre que, para toda trajetoria no espaco de fase (x(t), y(t), z(t)) haverauma trajetoria simetrica (−x(t),−y(t),−z(t));
(b) Mostre que as solucoes de equilıbrio sao
0 = (0, 0, 0)
C+ = (p
b(r − 1),p
b(r − 1), r − 1)
C− = (−p
b(r − 1),−p
b(r − 1), r − 1)
(c) Construa a matriz Jacobiana, e estude a estabilidade da solucao 0.
(d) Usando os valores numericos σ = 10, e b = 8/3 estude a estabilidade dassolucoes C+ e C− quando r = 10 e r = 28.
(e) Considere o caso σ = 10, b = 8/3, e r = 28. Ache solucoes numericas paraas trajetorias de fase nesse caso, e comente seus resultados. Qual o aspecto dastrajetorias no espaco de fase?
7. Considere o modelo Marshalliano introduzido por Tobin como contraponto domodelo WKP (as notacoes e interpretacao sao as mesmas):
dY
dt= σ(Y − YE) (4.205)
π = λ[E(Y, p, πe) − Y ] + πe (4.206)
dπe
dt= β(π − πe) (4.207)
Determine as solucoes de equilıbrio e estude sua estabilidade.
225
226
Capıtulo 5
Modelos discretos
unidimensionais
Varios modelos economicos de interesse tem o tempo como variavel discreta (ouseja, o tempo assume apenas valores inteiros t = 0, 1, 2, . . .). Se considerarmos,por exemplo, os rendimentos de uma aplicacao financeira, sera conveniente mediro tempo em meses. Caso estejamos tratando da producao agrıcola de um deter-minado bem, o tempo pode ser medido em safras. Num modelo macroeconomicoque envolva taxas de desemprego, inflacao, etc. a unidade conveniente de temposera um ano, e assim por diante. Tais modelos discretos sao tambem denomina-dos equacoes a diferencas, mapeamentos, ou simplesmente mapas (este ultimotermo e mais empregado na literatura de Dinamica Nao-Linear [3, 34, 48]).
5.1 Modelos discretos unidimensionais lineares
Nossa analise seguira a sequencia dos capıtulos anteriores para modelos contınuos,e comecara pelos modelos discretos unidimensionais lineares, cuja forma maisgeral e a do chamado modelo discreto afim.
5.1.1 Modelo discreto afim
Vamos imaginar uma aplicacao financeira a uma taxa de juros ǫ×100% ao mes,onde 0 < ǫ < 1. Vamos denominar xt o montante (em reais) da aplicacao nomes t = 0, 1, 2, . . ., de modo que x0 e o montante inicial da mesma, no mes t = 0.O montante no mes t, em funcao do montante no mes anterior t− 1, sera dadopor
xt = xt−1 + ǫxt−1 = (1 + ǫ)xt−1. (5.1)
Agora suponhamos que, a cada mes, o investidor faca um deposito fixo de Areais. O modelo discreto resultante sera
xt = (1 + ǫ)xt−1 +A. (5.2)
Este e um exemplo de modelo discreto unidimensional (onde ha uma unicavariavel, no caso, o montante da aplicacao) denominado modelo discreto afim,
227
e que e escrito de forma geral como
xt = f(xt−1) = αxt−1 + β, (5.3)
onde α e β sao numeros reais. O modelo discreto (5.2) corresponde a escolhaα = (1 + ǫ) e β = A.
O modelo discreto (5.3) e uma relacao de recorrencia para a qual, dado ovalor da variavel num dado instante, obtemos o valor da variavel no instanteseguinte. Por exemplo, supondo conhecida a condicao inicial x0, no proximoinstante teremos
x1 = f(x0) = αx0 + β,
e no instante seguinte
x2 = f(x1) = αx1 + β = α(αx0 + β) + β = α2x0 + β(1 + α).
Usaremos a seguinte notacao: x2 = f(x1) = f(f(y0)) ≡ f [2](x0), onde f [2](x) ≡f(f(x)) denota a segunda iterada da funcao f(x), ou seja, a funcao compostacom ela mesma, e que nao deve ser confundida com a funcao elevada ao qua-drado, ou [f(x)]
2. Da mesma forma, f [t](x) e a t-esima iterada de f , ou seja, a
funcao f(x) composta com ela mesma t vezes.Analogamente, as iteradas subsequentes do modelo discreto resultam da
composicao da funcao f repetidas vezes:
x3 = f(x2) = f(f(x1)) = f(f(f(x0))) ≡ f [3](x0)
= αx2 + β = α(α2x0 + β(1 + α)) + β
= α3x0 + β(1 + α+ α2) (5.4)
A sequencia de iteradas sucessivas do modelo discreto, {x0, x1, x2, . . . xn, . . .},e chamada de orbita gerada pelo modelo discreto f(x), a partir da condicaoinicial x0. Podemos usar o princıpio de inducao finita para determinar o valorda t-esima iterada xt, em funcao da condicao inicial x0.
xt = f(xt−1) = αxt−1 + β
= α(αxt−2 + β) + β = α2xt−2 + β(1 + α)
... =...
= αtx0 + β(1 + α+ α2 + . . . αt−1). (5.5)
A expressao entre parenteses na ultima das equacoes anteriores e igual a somados t primeiros termos de uma progressao geometrica de razao α e termo inicial1. Usando a formula para a soma dos termos de uma progressao geometrica,temos
t−1∑
n=0
αn = 1 + α+ α2 + . . . αt−1 =1(αt − 1)
α− 1, (5.6)
de modo que
xt = αtx0 +β(αt − 1)
α− 1=
(
x0 +β
α− 1
)
αt − β
α− 1, (5.7)
que e a solucao geral do modelo discreto afim (5.3), pois fornece o valor de xt
para qualquer valor do tempo t > 0, sem a necessidade de se calcular as iteradasintermediarias. So nos foi possıvel obter esta solucao geral devido ao fato dafuncao f(x) ser linear.
228
xt+1
xt+1
= xt
xt
f(x ) =
θ
α xt+βt
β
α = tg θ
xt+1
xt+1
= xt
xt
x x
x
xxx
1
2
3
*
10x
2x
3x*
(b)(a)
Figura 5.1: (a) Modelo Discreto afim. (b) Diagrama de escada de um modelodiscreto afim.
5.1.2 Diagramas de escada
Uma maneira conveniente de visualizar as sucessivas iteradas de um modelodiscreto unidimensional
xt = f(xt−1), (5.8)
seja ele linear ou nao, e construir o diagrama de escada correspondente. Comoveremos posteriormente, eles sao bastante parecidos com os diagramas do tipo“teia de aranha”, que aparecem em diversos modelos economicos de oferta edemanda.
Usamos dois eixos cartesianos representando as variaveis xt (eixo das orde-nadas) e xt−1 (eixo das abscissas), e neste sistema tracamos o grafico da funcaof(x). No caso da funcao afim αx + β o grafico e uma reta com coeficientesangular e linear iguais, respectivamente, a α e β [Fig. 5.1(a)]. Da geometriaanalıtica, sabemos que α = tan θ, onde θ e o angulo entre a reta e o eixo horizon-tal, medido no sentido anti-horario (declividade da reta); e β e a ordenada doponto de intersecao da reta com o eixo vertical. Tracamos tambem a primeirabissetriz, que e o grafico da funcao identidade xt = xt−1, e que e uma reta quepassa pela origem e faz 45O com o eixo horizontal.
Localizamos no eixo horizontal o valor correspondente a condicao inicialx0, e subimos uma perpendicular ate encontrar o grafico da funcao f(x), nocaso a reta αx + β [Fig. 5.1(b)]. O valor correspondente no eixo vertical serax1 = f(x0). Nos tracamos uma paralela ao eixo horizontal a partir deste pontoate interceptar a primeira bissetriz. A abscissa do ponto de intersecao e ob-viamente igual a x1. A partir deste ponto repetimos o processo: construimosuma perpendicular ao eixo horizontal passando por x1 ate encontrar o graficoda funcao obtendo x2 = f(x1), rebatemos no eixo horizontal e assim por diante.O diagrama resultante assemelha-se a uma escada, onde o inıcio de cada degrauindica o valor da iterada do modelo discreto.
229
xt+1
xt
x*
x *
x1
x2
x0
x1
x2
xt+1
= xt
xt+1
xt
x*
x *
xt+1
= xt
x0 x 1
x2
1x
x2
(a) (b)
Figura 5.2: (a) Modelo Discreto afim com inclinacao maior que 45o. (b) ModeloDiscreto afim com inclinacao negativa.
5.1.3 Pontos fixos e sua estabilidade
Na figura 5.1(b) observamos que a sequencia de iteracoes aproxima-se do pontode intersecao entre o grafico da funcao afim e a primeira bissetriz. A coordenadax∗ deste ponto e a solucao da equacao
x∗ = αx∗ + β,
ou seja
x∗ =β
1 − α, (5.9)
desde que α 6= 1. Caso α = 1 e β 6= 0, nao ha ponto de intersecao entre a retada funcao e a primeira bissetriz - elas sao retas paralelas. Se α = 1 e β = 0 asduas retas coincidem, de modo que todos os seus pontos satisfazem (5.9).
O ponto x∗ e mais comumente chamado ponto fixo do modelo discreto f(x),pois ele e um ponto que “mapeia” a si proprio. Esta definicao se aplica aqualquer tipo de modelo discreto, seja ele linear ou nao-linear. De modo geral,para o modelo discreto unidimensional
xt = f(xt−1), (5.10)
o ponto fixo e a solucao da equacao
x∗ = f(x∗). (5.11)
Voltando ao modelo discreto afim (5.3), podemos usar o ponto fixo (5.9)para reescrever a sua solucao geral (5.7) como
xt = (x0 − x∗)αt + x∗. (5.12)
Os pontos fixos desempenham para os modelos discretos um papel analogoas solucoes de equilıbrio em modelos contınuos. Ambos representam solucoesestacionarias do modelo em analise. Consequentemente, e necessario tambem
230
xt+1
xt
x x
x1
10
xt+1
= xt
x2
x2
xt+1
xt
x
x
xt+1
= xt
0
0
(a) (b)
Figura 5.3: Diagrama de escada de um modelo discreto afim para (a) α = 1 eβ 6= 0, (b) α = 1 e β = 0.
estudar sua estabilidade em relacao a pequenos desvios. Vamos, pois, analisarcom mais detalhes as situacoes ilustradas pelas Figuras 5.1(b) e 5.2(a). Noprimeiro caso, as iteracoes do modelo discreto aproximam-se do ponto fixo x∗
quando t→ ∞, o que ocorrera tanto se x0 estiver a esquerda como a direita doponto fixo. Neste caso, o ponto fixo x∗ e assintoticamente estavel, pois pequenasperturbacoes fazem o sistema retornar a ele quando o tempo t tende a infinito.Por outro lado, na Figura 5.2(a), tomando-se uma condicao inicial proxima aoponto fixo, observamos que as iteradas subsequentes do modelo discreto afastam-se de x∗. Se fizermos o tempo tendendo ao infinito, tambem o valor das iteradastendera ao infinito. Neste caso o ponto fixo e instavel, pois qualquer condicaoinicial em sua vizinhanca produz uma orbita que afasta-se do ponto fixo.
Para obter um criterio que determine se um ponto fixo e estavel ou instavel,vamos tomar a solucao geral do modelo discreto afim (5.12), lembrando que xt
depende do tempo basicamente segundo as potencias αt. Se |α| < 1 as sucessivaspotencias de α vao fornecendo numeros cada vez menores, e αt → 0 quando ttende ao infinito. Usando (5.12) temos, portanto, que xt → x∗ quando t → 0,ou seja, o ponto fixo x∗ e assintoticamente estavel. Por outro lado, se |α| > 1,as potencias de α vao crescendo com o passar do tempo, e αt → ∞ quando ttende ao infinito, de forma que tambem xt diverge, e o ponto fixo x∗ e instavel.
Como α = tan θ, onde θ e o angulo que o grafico faz com o eixo das abscissas,se α > 0 o ponto fixo e estavel desde que o angulo θ seja agudo e menorque 450 (ja que tan 450 = 1). Podemos ter, ainda, um grafico com inclinacaonegativa, como exemplificado pela Figura (5.2(b). Agora, para α negativo oponto fixo e estavel se −1 < α < 0, desde que o angulo θ seja obtuso e maiorque 900 + 450 = 1350.
Na situacao onde |α| = 1, ha duas possibilidades: caso α = 1 e β 6= 0, comotan 450 = 1, a reta do grafico e paralela a primeira bissetriz e nao havera pontofixo x∗. O diagrama de escada mostra que, partindo de uma condicao inicialqualquer x0 as iteracoes subsequentes vao para infinito [Fig. 5.3(a)]. Se β = 0,a reta do grafico passara pela origem e, na verdade, coincidira com a primeirabissetriz [Fig. 5.3(b)]. Podemos dizer, entao, que ha infinitos pontos fixos, que
231
xt+1
xt
x*
x*
xt+1
= xt
x 1x
0
1x
x0
(a) (b)x
t
t0 1 2 3 4 5
Figura 5.4: (a) Diagrama de escada de um modelo discreto afim para α = −1 eβ 6= 0; (b) Serie temporal correspondente.
nao podem ser classificados nem como estaveis nem como instaveis.
Se α = −1, entao αt e igual a 1 se t for par, e −1, se t for ımpar. Comox∗ = β/1 − (−1) = β/2, as iteracoes subsequentes serao
x1 = (−1)1(x0 − x∗) + x∗ = β − x0,
x2 = (−1)2(x0 − x∗) + x∗ = x0,
e assim sucessivamente, formando um ciclo de perıodo 2
{x0, β − x0, x0, β − x1, . . .},
ja que a cada duas iteracoes o valor inicial se repete. O diagrama de escadacorrespondente e uma figura fechada, diferente para cada condicao inicial [Fig.5.4(a)]. Esse tipo de ciclo e muito semelhante, em que pese as diferencas ma-tematicas, as trajetorias no plano de fase em torno de um centro (vistas noCapıtulo 2): as iteracoes oscilam indefinidamente em torno do ponto fixo x∗
sem jamais alcanca-lo, seja qual for a condicao inicial [Fig. 5.4(b)]. Novamente,podemos associar esse tipo de comportamento a um equilıbrio indiferente. Fi-nalmente, se β = 0 a mesma situacao repetir-se-a, mas com o ponto fixo naorigem x∗ = 0.
Podemos resumir nossa analise no seguinte criterio de estabilidade para mo-delo discretos lineares afins:
• |α| < 1: x∗ e assintoticamente estavel,
• |α| > 1: x∗ e instavel,
• α = 1
– β 6= 0: nao existe ponto fixo,
– β = 0: existem infinitos ponto fixos (nem estaveis nem instaveis),
• α = −1: ciclo de perıodo 2 em torno do ponto fixo.
232
5.2 Exemplo em Economia: Modelo linear da
teia de aranha
O modelo de teia de aranha descreve o preco de equilıbrio de um certo produto,num mercado simples com um hiato de oferta. Ele e particularmente util na des-cricao de precos de produtos agrıcolas. Um fazendeiro tem de decidir o quantovai produzir de um certo bem em um certo perıodo, antes que o preco destebem seja determinado pelo mercado, e antes que o produto da sua venda sejarecebido. Logo, a quantidade deste bem a ser ofertada num perıodo depende dopreco esperado do bem neste perıodo, que por sua vez pode ser uma funcao maisou menos complicada do preco deste bem no perıodo anterior (ou anteriores).Matematicamente, o modelo de teia de aranha pode ser representado por ummodelo discreto unidimensional.
O equilıbrio entre oferta e procura, numa situacao idealizada de mercadoonde nao haja excedentes de producao nem insatisfacao da demanda, implicana existencia de um preco de equilıbrio para o bem, determinado pelo propriomercado. As origens desse modelo remontam aos trabalhos de Ezekiel e Leon-tiev, na decada de 30 [49, 50]. No entanto, estudos econometricos apontaramque tal preco de equilıbrio seria frequentemente instavel [51]. Nerlove, em 1958,mostrou que a introducao de expectativas melhoraria a estabilidade do preco deequilıbrio [52]. Estas expectativas representariam a incorporacao da experienciaanterior na fixacao de precos esperados sobre os precos futuros. Contribuicoesmais recentes ao modelo de teia de aranha foram dadas por Carlson [53] e Man-ning [54, 55].
5.2.1 Versao tradicional
Seja t = 0, 1, 2, . . . o perıodo correspondente, por exemplo, a uma safra de umproduto agrıcola. Vamos denominar pt o preco do produto no perıodo t. Ademanda pelo produto, ou seja, a quantidade deste produto, Dt, procuradapelos seus consumidores no perıodo t, decresce com o seu preco neste perıodo(quanto menor o preco, maior a demanda, e vice-versa). Usa-se comumente umafuncao-demanda linear [21]
Dt = a− bpt, (5.13)
onde a > 0 e b > 0 sao coeficientes conhecidos a priori. O parametro b e aelasticidade da demanda, e indica o quanto a demanda dimuinui para um dadoaumento de preco. Considerando dois instantes de tempo, onde D1 = a− bp1 eD2 = a− bp2, a variacao da demanda e ∆D = D1 −D2 = −b(p1 − p2) = −b∆p.Por exemplo, se b = 0, 3, um aumento de 20% no preco do produto provocarauma diminuicao na sua demanda de 0, 2 × 0, 3 = 0, 06 × 100% = 6%.
A quantidade do produto oferecida pelos produtores sera denotada Ot. Nomodelo tradicional de teia de aranha, a oferta num dado perıodo t e determinadapelo preco no perıodo anterior t− 1. Quanto maior o preco num dado perıodo,tambem maior sera a oferta do produto para o perıodo seguinte. Adotamos umarelacao linear entre estas duas variaveis
Ot = c+ dpt−1, (5.14)
onde c > 0, e d > 0 e a elasticidade da oferta.
233
*
*
0 2
1
2
p
pp p
p
p
p p p p3
p1
t+1
t+1 t=
p3
pt
(a)p
p *
0 1 2 43 5 t
p2
tp1
p0
p3
p4
(b)������������������
������������������
(b)
Figura 5.5: Modelo tradicional de teia de aranha. Preco de equilıbrio assintoti-camente estavel. (a) Diagrama de escada; (b) Serie temporal
Supomos que o mercado define o preco final do produto tal que a demandapor ele absorva completamente a sua oferta, ou seja, nem os consumidores ficamprivados do produto, nem os produtores retem estoques do mesmo
Dt = Ot. (5.15)
Substituindo (5.14) e (5.13) em (5.15) obtemos entao para o preco do produtonum certo perıodo, em funcao do seu valor no perıodo precedente, a seguinterelacao
pt =
(a− c
b
)
−(d
b
)
pt−1, (5.16)
que tem a forma de um modelo discreto afim xt = αxt−1 + β, fazendo-se asseguintes substituicoes:
xt → pt, β → a− c
b, α→ −d
b. (5.17)
Na abordagem estatica do modelo de teia de aranha, o preco final que omercado estabelece para o produto, dito seu preco de equilıbrio, pE , e encontradopela intersecao das retas que identificam as funcoes oferta e demanda.
pE =a− c
b+ d. (5.18)
Dado um preco inicial maior ou menor que pE , a sua evolucao pode ser acom-panhada tracando retas paralelas aos eixos vertical e horizontal (daı o apelidode ”teia de aranha” para o grafico resultante), e que tendem para o preco finalde equilıbrio. O preco de equilıbrio e o ponto fixo do modelo discreto (5.16),dado por
p∗ =β
1 − α=a− c
b+ d= pE . (5.19)
O ponto fixo sera assintoticalmente estavel, como vimos na secao anteior, se|α| < 1, ou seja, se
∣∣∣∣−db
∣∣∣∣=d
b> 1,
234
p
p
t+1
p
pt
(a)
p*p0 1
p2
p3
p*1
p2
p3
pt+1
= pt
p
0 1 2 43 5 t
t (b)
1p
p*p0
p2
3p
p4
��������������������
��������������������
(b)
Figura 5.6: Modelo tradicional de teia de aranha com preco de equilıbrioinstavel. (a) Diagrama de escada; (b) Serie temporal
ja que tanto d quanto b sao supostos positivos. Logo, o preco de equilıbriosera estavel se b < d, ou seja, caso a elasticidade da oferta seja menor quea da demanda. Neste caso o grafico do modelo discreto e uma reta com in-clinacao negtiva e menor do que 45o (Figura 10.19a). Um preco inicial proximoao preco de equilıbrio ira se aproximando deste em cada perıodo (oscilacoesamortecidas)(Figura 10.19b). Em cada iteracao, o preco do produto sera alter-nadamente um pouco maior ou um pouco menor que o valor de equilıbrio. Sefizermos o diagrama de escada para as iteracoes sucessivas do modelo discreto,obteremos uma figura bastante semelhante a teia de aranha que da nome aomodelo.
Caso |α| > 1 (ou seja, se b > d) o preco de equilıbrio sera instavel: setomarmos um preco inicial proximo a ele, as iteracoes sucessivas irao divergirdeste, na forma de oscilacoes ”explosivas”, cujas amplitudes ficam cada vezmaiores e tendem para o infinito (Figura 10.20b). Para este caso, o graficodo modelo discreto e uma reta com inclinacao negativa e superior a 45o, e odiagrama de escada ainda e uma teia de aranha, so que divergente (Figura10.20a). O caso |α| = 1 leva ao ciclo periodico visto na secao anterior, uma vezque α = −d/b < 0, e a hipotese d = b resulta em α = −1. O preco de equilıbrio,neste caso, nao pode ser classificado como estavel ou instavel, e qualquer precoinicial gerara um ciclo de perıodo 2: {p0, p1, p0, p1, . . .} (Figura 5.7), registradopela primeira vez por Leontiev [50].
5.2.2 Expectativas adaptativas
O modelo tradicional de teia de aranha pode ser interpretado em termos deexpectativas. Denominando pe
t o preco do produto esperado pelos produtores,podemos reescrever a funcao-oferta na seguinte forma
Ot = c+ dpet , (5.20)
onde o preco esperado num dado perıodo e o preco corrente no perıodo anterior
pet = pt−1, (5.21)
235
p
p
t+1
p
pt
(a)
1
1
pt+1
= pt
p0
p*
p*
p0
p
0 1 2 43 5 t
t (b)
p*
p0
p1
���������������
���������������
(b)
Figura 5.7: Modelo tradicional de teia de aranha. Preco de equilıbrio indiferente(a) Diagrama de escada; (b) Serie temporal
o que comumente e denominado expectativa ingenua. A razao dessa terminologiadepreciativa e facil de entender: todos aprendemos pela experiencia, e com elasabemos (ou pensamos saber) como adequar nossas previsoes, tendo em vistao sucesso ou insucesso das mesmas. Desta forma, os precos esperados devemmudar conforme sejam mais ou menos bem-sucedidas.
Uma maneira de formular as expectativas, ja descrita por Nerlove em 1958[52], consiste em revisar, ou adaptar as expectativas em cada perıodo com basena diferenca entre o preco efetivamente observado e aquele previamente espe-rado. Se o preco alcancado num perıodo for maior do que o valor esperado(pt−1 > pe
t−1), entao o preco esperado para o perıodo seguinte e revisado paracima (pe
t > pet−1); caso contrario, e revisado para baixo. Emprega-se, tambem,
uma relacao linear na forma
pet = pe
t−1 + w(pt−1 − pet−1), (5.22)
onde 0 < w < 1 e um coeficiente de incorporacao da experiencia pregressa anovas expectativas de precos. O caso w = 1 reduz-se ao modelo tradicional (ex-pectativas ingenuas), ao passo que w = 0 representa uma expectativa “mıope”,no sentido que o preco esperado nao e alterado ao longo do tempo
E util reescrever a relacao anterior como
pet = (1 − w)pe
t−1 + wpt−1, (5.23)
de forma que o preco esperado para um perıodo e uma media ponderada en-tre o preco esperado anterior e o preco real anterior. Alem disso, de (5.20),considerada no perıodo t− 1, temos que
Ot−1 = c+ dpet−1.
Isolando pet de (5.20), e pe
t−1 da expressao anterior, e substituindo os resultadosem (5.23), obtemos
Ot = (1 − w)Ot−1 + wc+ wdpt−1. (5.24)
Aplicando, agora, a hipotese de que a oferta iguale a demanda para quaisquerperıodos, temos que
Ot−1 = Dt−1 = a− bpt−1,
236
donde podemos eliminar Ot e Ot−1 em favor de pt e pt−1, respectivamente. Oresultado final e um novo modelo discreto para o preco
pt =
(
1 − w − wd
b
)
pt−1 +w
b(a− c), (5.25)
que tem a forma de um modelo discreto afim, desde que
α → 1 − w
(
1 − d
b
)
,
β → w(a− c)
b.
O ponto fixo do modelo discreto com expectativas adaptativas continuasendo o preco de equilıbrio do modelo tradicional de teia de aranha
p∗ =β
1 − α=a− c
b+ d= pE , (5.26)
e que e assintoticamente estavel se |α| < 1, ou seja, se
−1 < 1 − w
(
1 +d
b
)
< +1. (5.27)
Subtraindo 1, multiplicando por −w, e novamente subtraindo 1 a ambos os ladosda desigualdade acima, chegamos ao seguinte resultado
−1 <d
b<
2
w− 1. (5.28)
Como tanto b como d sao positivos, essa condicao e simplesmente 0 < d/b <2/w−1. Mas 0 < w < 1, de modo que (2/w)−1 > 1. Lembremos que a condicaode estabilidade do ponto fixo no modelo tradicional e d/b < 1. Concluimos quea adocao de expectativas aumenta o tamanho do intervalo de estabilidade dopreco de equilıbrio por um fator 2/w; ou seja, a introducao das expectativasmelhora as propriedades de estabilidade do preco de equilıbrio, tendo em vistaque a nova condicao e menos restritiva do que a do modelo tradicional.
5.3 Modelos discretos unidimensionais nao-
lineares
Aprendemos que o modelo discreto afim possui uma solucao geral, ou seja, dadoqualquer perıodo de tempo t, podemos saber qual o valor de xt. Ha poucos com-portamentos dinamicos possıveis nesse caso: os valores de xt podem convergirassintoticamente para um ponto fixo, divergir para infinito, ou ainda estacio-nar num equilıbrio nem estavel nem instavel (e que pode ser um unico pontoou um ciclo com dois pontos). Modelo Discretos nao-lineares, por outro lado,apresentam uma dinamica bem mais rica e complicada, que nao se restringe aoscomportamentos listados acima, incluindo outras possibilidades, como orbitasperiodicas, bifurcacoes, caos, crise, intermitencia, etc.
Como um modelo discreto nao-linear nao tem uma solucao geral, somosquase sempre obrigados a determinar numericamente as iteradas sucessivas, apartir de uma dada condicao inicial. Embora existam infinitos modelo discretosque possam ser classificados como nao-lineares, nos tradicionalmente introduzi-mos o seu estudo a partir de um paradigma, que e o modelo logıstico discreto.
237
5.3.1 Modelo logıstico discreto
O modelo logıstico discreto tem a forma
xt = f(xt−1) = rxt−1(1 − xt−1), (5.29)
onde 0 ≤ xt ≤ 1 e 0 > r ≤ 4. O grafico do modelo discreto e uma parabolacujo vertice (ponto de maximo) tem coordenadas (xt−1 = 1/2, xt = r/4) [Fig.??(a)]. Quando r = 4 o vertice da parabola logıstica esta em x = 1; logo ser > 4 a condicao que x esteja no intervalo [0, 1] deixa de ser satisfeita. Damesma forma, se r = 0 a parabola reduz-se ao eixo horizontal, e para valoresnegativos de r a concavidade da parabola e invertida, o que tambem leva x avalores fora do domınio [0, 1].
O nome “logıstico” para o modelo discreto (5.29) vem do fato deste ser umaversao discreta do modelo logıstico de Verhulst para o crescimento populacio-nal que estudamos no Capıtulo 1. Consideremos xt como a populacao de umdeterminado grupo. A suposicao, feita inicialmente por Malthus, de que o cres-cimento dessa populacao deva ser exponencial, leva a um modelo discreto linear:xt = γxt−1, onde t = 0, 1, 2 . . . indica as sucessivas geracoes populacionais, eγ > 1 representa a sua taxa lıquida de crescimento (ou seja, a taxa de natali-dade menos a taxa de mortalidade). Em cada instante de tempo a populacaoe xt = γtx0, o que rapidamente leva a populacoes muito grandes. E comum,em aplicacoes economicas, descrever o crescimento exponencial de uma certavariavel discreta vt como v0(1 + g)
t, onde 0 < g < 1 e uma taxa de crescimento,
e v0 e um valor inicial. Supondo, agora, que a taxa de crescimento seja limi-tada pelo aumento da populacao, a taxa lıquida de crescimento nao sera maisconstante, porem diminuira com o aumento da populacao:
γ → r(1 − xt−1),
o que resulta no modelo logıstico discreto (5.29).Um outro exemplo de problema que resulta neste modelo discreto e uma
aplicacao financeira com taxas de juros auto-limitadas [56]. Como vimos noinıcio deste capıtulo, o montante zt de uma aplicacao, no mes t = 0, 1, 2, . . ., edado por (5.1)
zt+1 = (1 + ǫ)zt, (5.30)
onde 0 < ǫ < 1 e a taxa de juros. Suponhamos que, para coibir um enri-quecimento ilimitado por meio desta aplicacao, algum polıtico ou tecnocrataimponha que a taxa de juros seja auto-limitada, ou seja, que ela seja reduzidaproporcionalmente a diferenca entre o montante e um certo valor maximo zmax:
ǫ→ ǫ0
(
1 − zt
zmax
)
, (5.31)
onde ǫ0 e a taxa de juros inicial.Substituindo (5.31) em (5.30), e definindo um montante normalizado como
xt ≡(
ǫ01 + ǫ0
)zt
zmax, (5.32)
podemos escreverxt = (1 + ǫ0)xt−1(1 − xt−1), (5.33)
238
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
xt
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
xt+1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
xt
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
xt+1
(a) (b)
Figura 5.8: Primeira iterada do modelo logıstico discreto com (a) r = 0, 7; (b)r = 1, 5.
que, definindo-se r = 1 + ǫ0, reduz-se ao modelo logıstico discreto (5.29).
Os pontos fixos do modelo logıstico discreto sao dados por
x∗a = 0, x∗b = 1 − 1
r. (5.34)
No entanto, se r < 1 segue que x∗b e necessariamente negativo, ou seja, fora dointervalo de definicao do modelo discreto [0, 1]. Neste caso, portanto, apenas oponto fixo na origem, x∗a = 0, existe. Podemos conferir este fato no exemplo dafigura 5.8(a), que mostra haver apenas uma intersecao do grafico da funcao (nocaso para r = 0, 7) e a primeira bissetriz.
5.4 Iteracoes sucessivas
Nao possuimos uma solucao geral para o modelo logıstico discreto, nem paramodelos nao-lineares, no caso de tempo t arbitrario e r qualquer. Temos, pois,de calcular as iteracoes sucessivas a partir de uma condicao inicial x0, para obterxt:
x1 = f(x0) = rx0(1 − x0)
x2 = f(x1) = f(f(x0)) = f [2](x0) = rx1(1 − x1)
x3 = f(x2) = f(f(f(x0))) = f [3](x0) = rx2(1 − x2)
......
xt = f(xt−1) = f(f(· · · f(x0) · · · )) = f [t](x0). (5.35)
As iteradas sucessivas podem se tornar funcoes extremamente complicadas.
239
x
xt+1
t0 1__
21x*
1
x
xt+1
t0 1__
23__ 14
1__4
[2]f(f(x))=f (x)
x1* x* x
2*
�����
�����
�����������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������������������
2(a) (b)
T(x) T(T(x))
Figura 5.9: (a) Primeira e (b) segunda iteradas do modelo da tenda
Por exemplo, a segunda iterada do modelo logıstico discreto e a funcao
f [2](x) = f(f(x)) = rf(x)(1 − f(x))
= r[rx(1 − x)][1 − rx(1 − x)]
= r2x(1 − x) − r3x2(1 − x)2, (5.36)
cujo grafico e mostrado na [Fig. ??(b)]. Esse procedimento leva rapidamente afuncoes polinomiais de grau bastante alto.
Um modelo discreto cujas iteradas sucessivas sao relativamente mais faceisde ser obtidas, e que nos permitira chegar a resultados analıticos em secoesfuturas, e o chamado “modelo da tenda” [34]
xt = T (xt−1) =
{2xt−1 se 0 ≤ xt−1 ≤ 1
2 ,2(1 − xt−1) se 1
2 < xt−1 ≤ 1,(5.37)
cujo grafico tem a forma de uma tenda [Fig. 5.9(a)], sendo linear por partesnos intervalos [0, 1/2] e (1/2, 1]. No ponto x = 1/2 a funcao T (x) e contınua,mas nao diferenciavel, o que significa que a derivada do modelo discreto T (x)em relacao a x neste ponto nao e unica, ou seja, depende se estamos olhando aesquerda ou a direita de x = 1/2 1. Um modelo discreto linear por partes, comoo modelo da tenda, comporta-se de forma mais proxima de um modelo discretonao-linear, como o logıstico.
O modelo da tenda tem dois pontos fixos, que sao as solucoes da equacaox∗ = T (x∗). Como T (x) e definida de forma diferente nos intervalos [0, 1/2] e(1/2, 1], temos de impor ambas as formas do modelo discreto na equacao quefornece o ponto fixo. No intervalo [0, 1/2] a condicao x∗ = 2x∗ e satisfeita porx∗ = 0; ao passo que no intervalo (1/2, 1] temos que x∗ = 2(1 − x∗) resulta emx∗ = 2/3.
Na Figura 5.9(b) mostramos a segunda iterada do modelo da tenda, que e
1As derivadas sao diferentes numa vizinhanca do ponto crıtico xc = 1/2: T ′(x−c ) = 2 e
T ′(x+c ) = −2. Dizemos tambem que T (x) nao e suave neste ponto.
240
dada em quatro intervalos:
T [2](x) =
4x, se 0 ≤ x ≤ 1/4,2(1 − 2x), se 1/4 < x ≤ 1/2,
4(−1 + 2x), se 1/2 < x ≤ 3/4,4(1 − x), se 3/4 < x ≤ 1.
(5.38)
Neste caso, a funcao tem tres pontos crıticos, a saber: x = 1/4, 1/2 e 3/4.Observe que a segunda iterada e uma especie de “copia” reduzida e duplicadada primeira iterada do modelo da tenda. De forma semelhante, a terceira iteradaduplica novamente o grafico, o que pode ser visto na figura 5.10(b).
A primeira iterada do modelo da tenda T (x) = T [1](x) tem um (= 20)vertice no ponto crıtico x = 1/2, e a declividade (coeficiente angular) das retase (1)/(1/2) = 2 = 21. A segunda iterada, T [2](x), tem dois (= 21) vertices,sendo a declividade (1)/(1/4) = 4 = 22; ao passo que a terceira iterada T [3](x)tem quatro (= 22) vertices e declividade (1)/(1/8) = 8 = 23. Por inducaofinita, o grafico da t-esima iterada do modelo da tenda deve ter 2t−1 vertices, ea declividade de cada segmento de reta e 2t.
5.4.1 Pontos finalmente fixos
Pontos que, se usados como condicoes iniciais num modelo discreto f(x), levamdepois de um certo numero finito de iteracoes ao ponto fixo x∗ sao chamados depontos finalmente fixos. Dito de maneira mais formal, x e um ponto finalmentefixo de f(x) se existe um inteiro positivo n tal que f [n](x) e um ponto fixo de f .
Como um exemplo, no modelo da tenda x = 1/8 e um ponto eventualmentefixo, pois as imagens de x por meio do modelo discreto T (x) convergem a oponto fixo x∗ = 0 em n = 4 iteracoes:
T (1/8) = 1/4, T (1/4) = 1/2, T (1/2) = 1, T (1) = 0, T (0) = 0.
De forma geral pode-se mostrar (veja o Problema 1) que, se x = k/2n, onde ke m sao inteiros positivos, e 0 < k/2n ≤ 1, entao x e um ponto finalmente fixodo modelo da tenda.
Se o modelo discreto f(x) for inversıvel, ele possui uma unica funcao inversaf [−1]. Nesse caso, os pontos finalmente fixos sao dados pelas suas imagensinversas (ou pre-imagens) f [−t], ou seja, as suas imagens pela t-esima iterada dafuncao inversa. No entanto, mesmo que o modelo discreto nao seja inversıvel,como no exemplo do modelo da tenda (onde a funcao inversa nao e unica),ainda assim podemos falar nas imagens inversas de um ponto fixo e associa-lasaos pontos finalmente fixos.
O conceito de pre-imagens aplica-se mesmo quando x nao e um ponto fixodo modelo discreto. Como um exemplo, 2/5 e a imagem de dois pontos pelomodelo da tenda, a saber, x = 1/5 e 4/5. Logo ha duas pre-imagens do ponto2/5 pela primeira iterada,
1/5 = T [−1](2/5), 4/5 = T [−1](2/5)
quatro pre-imagens pela segunda iterada,
1/10 = T [−2](2/5), 2/5 = T [−2](2/5), 11/20 = T [−2](2/5), 11/10 = T [−2](2/5),
241
e assim por diante. Concluimos que um modelo discreto inversıvel tem umaunica orbita para tempos negativos, ao passo que se ele for nao-inversıvel, haum numero infinito de pre-imagens (e orbitas) possıveis.
5.5 Estabilidade dos Pontos Fixos
No caso de modelo discretos lineares, a analise da estabilidade de um pontofixo e importante para que saibamos: (i) se ele e assintoticamente estavel, casocontrario nao sera alcancado por condicoes iniciais tıpicas; (ii) se as iteracoesdo modelo discreto convergem ao ponto fixo (estavel) de forma amortecida ouoscilatoria. O criterio que usamos anteriormente para a determinacao da estabi-lidade do ponto fixo no caso linear depende da existencia de uma solucao gerale, portanto, nao se aplica para modelo discretos nao-lineares, como o logıstico,nem para modelo discretos lineares por partes, como o da tenda. Para eles, umnovo criterio deve ser deduzido, baseado nas propriedades do modelo discretonas vizinhancas do ponto fixo.
De forma analoga ao procedimento empregado para modelos contınuos unidi-mensionais, faremos a linearizacao do modelo discreto nas vizinhancas do pontofixo, o que e valido apenas se esta vizinhanca for muito pequena em comparacaocom o domınio da variavel do modelo discreto. Por exemplo, no caso do modelologıstico discreto, o ponto fixo x∗ = 2/3 pertencente ao intervalo [0, 1] sera es-tudado em um pequeno intervalo aberto nele centrado (2/3 − δ, 2/3 + δ), ondeδ ≪ 2/3. Consideremos, pois, um modelo discreto nao-linear xt = f(xt−1) componto fixo x∗ = f(x∗), e seja xt uma iteracao do modelo discreto proxima aoponto fixo, ou seja, vamos supor que xt pertence a uma pequena vizinhanca dex∗. Vamos definir uma distancia entre estes pontos como
δt = |xt − x∗|. (5.39)
Naturalmente, como o valor de xt muda conforme iteramos o modelo discreto,assim tambem esperamos que a distancia δt varie com o tempo. Se ela dimi-nuir a medida em que passa o tempo t, (δt < δt−1) entao o ponto fixo x∗ eassintoticamente estavel; se aumentar, (δt > δt−1) o ponto fixo e instavel.
Calculando δt−1 teremos
δt = |xt − x∗| = |f(xt−1) − x∗| = |f(x∗ + δt−1) − x∗)|, (5.40)
tal que, sendo δt−1 um numero pequeno por hipotese, podemos expandir afuncao do modelo discreto f(x) em uma serie de Taylor em torno de x = x∗,em potencias de δt−1:
f(x∗ + δt−1) = f(x∗) + δt−1df(x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
+1
2δ2t−1
d2f(x)
dx2
∣∣∣∣x=x∗
+ . . . , (5.41)
onde desprezaremos os termos da expansao contendo potencias de δt de ordemigual ou superior a 2. Lembramos que para que esta linearizacao seja valida,δt−1 deve ser suficientemente pequeno: por exemplo, se δt−1 = 0, 1, entao δ2t−1 =0, 01 ≪ 0, 1, δ3t−1 = 0, 001 ≪ 0, 1, e assim por diante. Desta forma, o errocometido neste truncamento e sempre significativamente menor que os termosque estamos retendo. O termo que multiplica δt e a derivada do modelo discreto
242
|Λ| < 1 x∗ e estavel|Λ| = 0 x∗ e super-estavel|Λ| > 1 x∗ e instavel|Λ| = 1 o criterio de linearizacao falha
Tabela 5.1: Estabilidade do ponto de equilıbrio de um modelo discreto unidi-mensional
0 < Λ < 1 convergencia monotonica a x∗,−1 < Λ < 0 convergencia oscilatoria a x∗,
Λ > 1 divergencia monotonica de x∗,Λ < −1 divergencia oscilatoria de x∗,
Tabela 5.2: Comportamento das orbitas na vizinhanca de um ponto fixo de ummodelo discreto unidimensional
f(x), calculada no ponto fixo x = x∗, portanto uma constante, que vamosescrever como
Λ ≡ df(x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
. (5.42)
tal que a equacao (5.40) fica
δt ≈ |f(x∗) + δt−1Λ − x∗| = |δtΛ| , (5.43)
onde usamos a definicao de ponto fixo x∗ = f(x∗). Observe que, segundo (5.43),as distancias na vizinhanca do ponto fixo obedecem a um modelo discreto afimda forma (5.3), onde α = |Λ| e β = 0.
Se o ponto fixo x∗ for localmente estavel (instavel), entao as distancias aele diminuem (aumentam) com o passar do tempo, o que leva ao criterio deestabilidade linear resumido na Tabela (5.5). Por “falha do criterio”, queremosdizer que a linearizacao efetuada nao e suficiente para esclarecer se o ponto fixoe ou nao estavel. O intervalo de estabilidade e −1 < |Λ| < +1, ou seja, quantomais afastados estivermos dos seus limites, “mais estavel” sera o ponto fixo.Em particular, o ponto mais estavel (super-estavel) e aquele equidistante dosextremos, tal que Λ = 0.
Finalmente, o sinal de Λ determina o tipo de comportamento dos pontosda orbita, de forma analoga ao caso linear: se 0 < Λ < 1 a convergencia (oudivergencia) das iteracoes ao ponto fixo e monotonica, ou seja, as distancias δttem sempre o mesmo sinal, seja positivo ou negativo. Ja se −1 < Λ < 0, asiteracoes que convergem assintoticamente a x∗ tem sinais alternados, de formaque a convergencia (ou divergencia) e oscilatoria. Os quatro casos possıveisestao listados na Tabela (5.5). A tıtulo de exemplo, considere o modelo datenda (10.27). Como Λ = T ′(x) = 2 > 1, seja qual for o valor de x, os pontosfixos x∗ = 0 e 2/3 sao instaveis, e a divergencia das iteracoes e monotonica.
5.5.1 Modelo logıstico discreto
Lembramos que o modelo logıstico discreto tem dois pontos fixos, a saber, x∗a =0, e x∗b = 1 − 1/r. A estabilidade da origem e determinada pela derivada do
243
modelo discreto, calculada no ponto fixo
df
dx
∣∣∣∣x=x∗
a
= r(1 − 2xt)|x=x∗
a= r. (5.44)
Logo, como impusemos que r > 0, o ponto fixo x = 0 sera estavel desde quer < 1, caso contrario sera instavel. Quando r = 1 sabemos que o criteriolinear adotado nao e suficiente para determinar a estabilidade. Alem disso, aconvergencia ao ponto assintoticamente estavel e monotonica, e nao oscilante.
Ja para o segundo ponto fixo a derivada do modelo discreto e
df
dx
∣∣∣∣x=x∗
b
= r(1 − 2xt)|x=x∗
b= r
[
1 − 2
(
1 − 1
r
)]
= 2 − r, (5.45)
tal que x∗b sera assintoticamente estavel se |f ′(x∗b)| = |2 − r| < 1, ou seja,para −1 < 2 − r < +1. Subtraindo 2 e invertendo o sinal de todos os termosdas desigualdades, obtemos que o intervalo de estabilidade e 1 < r < 3. Ser < 2, podemos facilmente verificar que o ponto fixo x∗b e menor que o pontocrıtico 1/2, e maior que ele caso contrario [veja a figura 5.8(b)]. A proposito,como para r = 2 a derivada do modelo discreto se anula, entao o ponto fixox∗b = 1 − (1/2) = 1/2 e super-estavel.
Vejamos o que ocorreu ate o momento: para 0 < r ≤ 1 apenas a origem eponto fixo, e e estavel. Quando r passa pelo valor 1, a origem torna-se instavel,e surge o segundo ponto fixo, x∗b = 1 − (1/r), que e estavel ate que r = 3. Estee um exemplo de bifurcacao, no sentido ja empregado no Capıtulo anterior, ouseja, uma alteracao abrupta na estabilidade um ponto fixo ou orbita periodica,a medida em que um parametro do sistema e variado.
5.6 Orbitas periodicas
Modelos contınuos unidimensionais tem uma dinamica relativamente simples,no sentido de possuir apenas pontos de equilıbrio, como vimos no capıtulo 1.Modelos discretos unidimensionais, por outro lado, ja possuem comportamentosmais complexos, como a presenca de orbitas periodicas, bifurcacoes e ate mesmocaos. Recordemos que um ponto fixo x∗ de um modelo discreto xt = f(xt−1)e um ponto que mapeia a si proprio, ou seja, tal que x∗ = f(x∗). Uma orbitaperiodica de perıodo 2, tambem chamada 2-ciclo, e um conjunto de dois pontos{x∗1, x∗2} tais que um mapeia no outro, e vice-versa:
x∗1 = f(x∗2), x∗2 = f(x∗1), (5.46)
Como x∗2 = f(x∗1) = f(f(x∗2)) = f [2](x∗2), entao x∗2, assim como x∗1, e um pontofixo da segunda iterada do modelo discreto f(x). Logo, os pontos de uma orbitade perıodo 2 sao solucoes de
x∗ = f [2](x∗) = f(f(x∗)). (5.47)
Vamos tomar como um exemplo o modelo da tenda T (x), visto na secaoanterior. Os pontos {x∗1, x∗2} pertencentes a uma orbita de perıodo 2 sao solucoesde x∗ = T [2](x∗), onde a segunda iterada do modelo da tenda e dada por(5.38). Como ha quatro intervalos onde e definida a segunda iterada, precisamosanalisar os quatro casos possıveis [Fig. 5.10(a)]:
244
x
xt+1
t0 1__
23__ 14
1__4
[2]f(f(x))=f (x)
x1* x* x
2*
������
������
��������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������
x
xt+1
t0 1__
23__ 14
1__4
f(f(x))=f (x)[3]
1
1__8
��������
��������
����������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������
2
T(T(x))
3
T(T(T(x)))
(b)(a)
Figura 5.10: (a) Segunda e (b) terceira iteradas do modelo da tenda
• x ∈ [0, 1/4]: a equacao x∗ = 4x∗ tem apenas a solucao x∗ = 0, que e umdos pontos fixos do modelo discreto;
• x ∈ (1/4, 1/2]: a equacao do primeiro grau x∗ = 2(1 − 2x∗) tem raizx∗1 = 2/5, que e um dos pontos do 2-ciclo;
• x ∈ (1/2, 3/4]: o segundo ponto fixo x∗ = 2/3 do modelo discreto e asolucao de x∗ = 2[1 − 2(1 − x∗)];
• x ∈ (3/4, 1]: o segundo ponto do 2-ciclo, x∗2 = 4/5 e raiz da equacaox∗ = 4(1 − x∗).
Observe que ha quatro pontos com essa propriedade, dos quais dois ja sao ospontos fixos, restando apenas dois pontos que compoem a orbita de perıodo 2:{2/5, 4/5}.
Para generalizar essa discussao, dizemos que x∗ e um ponto de perıodo m(ou m-periodico) do modelo discreto f(x) se ele for um ponto fixo da m-esimaiterada do modelo discreto:
x∗ = f [m](x∗). (5.48)
e se, adicionalmente, os pontos x∗, f(x∗), f [2](x∗), · · · f [m−1](x∗) forem distin-tos. Se x∗ for um ponto de perıodo m, as suas imagens formam uma orbita deperıodo m (ou m-ciclo):
{x∗, f(x∗), f [2](x∗), · · · f [m−1](x∗)} (5.49)
Em outras palavra, um m-ciclo e um conjunto de m pontos de perıodo m{x∗1, x∗2, x∗3, . . . x∗m}, tais que um mapeia o outro, de forma cıclica, ou seja:
x∗i+1 = f(x∗i ), (i = 1, 2, . . .m− 1), (5.50)
x∗1 = f(x∗m).
Aplicando sucessivamente as condicoes acima a qualquer um dos pontos do m-ciclo, por exemplo x∗m, vemos que
x∗m = f(x∗m−1) = f(f(x∗m−2)) = f(f(f(x∗m−3))) = . . . = f [m](x∗m), (5.51)
245
E importante salientar que nem todos os pontos de perıodo m pertencema um m-ciclo, como vimos no exemplo do modelo da tenda para m = 2. Aterceira iterada do modelo da tenda, T [3](x) tem quatro vertices, delimitandooito regioes, de forma que ha um total de oito pontos de perıodo 3 [Fig. 5.10(b)].Desses oito pontos, dois ja sao os pontos fixos de T , mas nao estao aqui incluidosos pontos do 2-ciclo, ja que 2 nao divide 3 (isto e, sao primos entre si). Entaorestam 8 − 2 = 6 pontos de perıodo 3 para T . Como cada 3-ciclo contem3 pontos, ha dois 3-ciclos. Um deles e {2/7, 4/7, 6/7}, como pode-se mostrarfacilmente.
De forma geral, ha 2m pontos fixos da m-esima iterada do modelo discreto,T [m](x). Alguns desses pontos sao tambem pontos fixos de T [k](x) com k <m; os pontos restantes juntando-se para formar orbitas de perıodo m. Paraencontrar o numero dem-ciclos (orbitas de perıodom), nos subtraimos o numerototal de pontos de perıodo k para todos os valores de k < m e tais que k dividem.Por exemplo, quando m = 4, ha 24 = 16 pontos fixos da quarta iterada T [4](x).Dois desses pontos fixos tambem sao pontos fixos de T (x), e dois outros saopontos fixos de T [2](x). Sobram 16 − 2 − 2 = 12 pontos fixos de T [4](x) queformam 12/4 = 3 orbitas de perıodo quatro.
Pontos eventualmente perıodicos sao aqueles cujas imagens pelo modelo dis-creto f(x) levam, apos um numero finito de iteracoes, a um ponto periodico domodelo discreto. Por exemplo, x = 7/10 e um ponto eventualmente periodicopara o modelo da tenda, pois suas imagens levam, apos duas iteradas de T (x),a um 2-ciclo:
T (7/10) = 3/5, T (3/5) = 4/5, T (4/5) = 2/5, T (2/5) = 4/5, · · ·
Pode-se mostrar que, para o modelo da tenda, se x e um numero racional per-tencente ao intervalo (0, 1), entao x e um ponto eventualmente periodico e vice-versa. Em particular, se x = k/m, onde k e um inteiro par e m e um inteiroımpar, entao x e ponto periodico, sendo a recıproca verdadeira. Um ponto eeventuamente fixo se e so se ele tiver a forma x = k/2m ou k/(3.2m), sendo k em inteiros nao-negativos [34].
5.6.1 Estabilidade das orbitas periodicas
Assim como os pontos fixos, tambem as orbitas periodicas podem ser estaveis ouinstaveis. Por exemplo, um 2-ciclo {x∗1, x∗2} e assintoticamente estavel se, dadauma condicao inicial suficientemente proxima a ele, as iteracoes subsequentesdo modelo discreto vao aproximando-se, alternadamente, dos pontos periodicos.A analise de estabilidade de uma orbita de perıodo m, ou m-ciclo, pode ser feitaa partir da observacao que todos os m pontos dessa orbita sao pontos fixos domodelo discreto m vezes iterado f [m](x): x∗i = f [m](x∗i ), para i = 1, 2, . . .m.Caso um destes pontos seja estavel, todos os outros tambem o serao, e o ciclocomo um todo sera assintoticamente estavel. A mesma observacao vale para osoutros casos de estabilidade tal que, desta forma, podemos adaptar o criteriodeduzido na secao anterior.
No caso de orbitas periodicas (que formam um sub-conjunto dos pontos deperıodo m), o parametro determinante da estabilidade e a derivada do modelodiscreto m vezes iterado em relacao a x, calculada em qualquer um dos pontos
246
do m-ciclo, por exemplo x∗1:
Λm ≡ df [m](x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
1
, (5.52)
Sendo as iteradas sucessivas nada mais que funcoes compostas, podemos utilizara chamada “regra da cadeia” do calculo para computar a derivada de funcoescompostas. Por exemplo, se f(x) e g(x) sao duas funcoes do mesmo argumento,a derivada da funcao composta h(x) = f(g(x)) e
dh(x)
dx=df(g(x))
dx=df(g)
dg
dg(x)
dx=df(x)
dx
∣∣∣∣x=g(x)
dg(x)
dx. (5.53)
Para calcular a derivada da composicao de m funcoes, usamos a propriedadeevidente f [m](x) = f(f [m−1](x)) na regra da cadeia (5.53). Logo
df [m](x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
1
=df(f [m−1](x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
1
=df(x)
dx
∣∣∣∣x=f [m−1](x∗
1)
df [m−1](x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
1
.
(5.54)Como os pontos de um m-ciclo mapeiam uns aos outros pela funcao f(.), y∗m−1 =
f [m−1](x∗1), temos que
df [m](x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
1
=df(x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
m−1
df [m−1](x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
1
. (5.55)
Procedendo de forma analoga para a derivada de f [m−1], teremos
df [m](x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
1
=df(x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
m−1
df(x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
m−2
df [m−2](x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
1
, (5.56)
que podemos generalizar, usando inducao finita, pra o produto de m fatores,iguais as derivadas do modelo discreto em cada ponto da orbita periodica:
df [m](x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
1
=df(x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
m−1
df(x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
m−2
· · · df(x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
2
df(x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
1
,
(5.57)ou, na notacao mais convencional de produtorio,
Λm =df [m](x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
1
=
m−1∏
i=0
df(x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
i
. (5.58)
Assim, os pontos do m-ciclo serao:
• Assintoticamente estaveis se |Λm| < 1,
• Super-estaveis se Λm = 0,
• Instaveis caso |Λm| > 1.
No caso estavel, a convergencia a orbita periodica sera:
• Monotonica se 0 < Λm < 1,
247
• Oscilatoria se −1 < Λm < 0.
Se a orbita periodica for instavel, a divergencia sera:
• Monotonica se Λm > 1,
• Oscilatoria se Λm < −1.
Finalmente, se |Λm| = 1, a linearizacao nao e suficiente para decidir sobre aestabilidade do m-ciclo.
Considere novamente o modelo da tenda (10.27), como um exemplo simplesde aplicacao desse criterio. Como sabemos, por inducao, que a m-esima iteradado modelo discreto consiste numa sucessao de m tendas de altura 1 e largura
da base 1/2m, a derivada e (T [m])′
= Λm = 2m que e sempre maior que um,para m 6= 0, logo todas as orbitas de perıodo m que possamos encontrar paraeste modelo discreto serao instaveis, com divergencia monotonica.
5.6.2 Modelo logıstico discreto
Retornando, a guisa de exemplo, ao modelo logıstico discreto f(x) = rx(1− x),vamos analisar agora a existencia e a estabilidade de orbitas de perıodo superior,a partir do caso mais sımples, as orbitas de perıodo 2, ou 2-ciclos: {x∗1, x∗2}, cujosintegrantes sao pontos fixos da segunda iterada do modelo: x∗ = f [2](x∗). Asegunda iterada e, por sua vez,
f [2](x) = rf(x)(1 − f(x))
= r[rx(1 − x)][1 − rx(1 − x)]
= r2[−rx4 + 2rx3 − (1 + r)x2 + x], (5.59)
tal que os pontos do 2-ciclo sejam solucoes da seguinte equacao algebrica dequarto grau
x∗ = r2[−rx∗4 + 2rx∗3 − (1 + r)x∗2 + x∗]. (5.60)
Pelo teorema fundamental da algebra [41], esta equacao tera quatro raızes,reais ou complexas. No entanto, como ja vimos na secao 2.8, os pontos fixos daprimeira iterada do modelo discreto f(x), tambem sao pontos fixos da segundaf [2](x), ja que
f [2](x∗) = f(f(x∗)) = f(x∗) = x∗. (5.61)
Logo, das quatro solucoes esperadas para (5.60), duas ja sao conhecidas, a saber:x∗a = 0, e x∗b = 1− (1/r). A forma canonica de uma equacao algebrica do quartograu e
(x− x∗1)(x− x∗2)(x− x∗3)(x− x∗4) = 0, (5.62)
onde x∗i , i = 1, 2, 3, 4, sao as raızes, das quais x∗3 = x∗a e x∗4 = x∗b . Logo os pontosdo 2-ciclo sao os zeros restantes do polinomio
P (x) ≡ (x− x∗1)(x− x∗2)(x− 0)
[
x−(
1 +1
r
)]
(5.63)
= r2[−rx4 + 2rx3 − (1 + r)x2 + x].
248
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
xt
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
xt+1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1x
t
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
x t+1
Figura 5.11: Segunda iterada do modelo logıstico discreto para (a) r = 1, 5; (b)r = 3, 2.
Como x− (1−1/r) e um divisor do polinomio P (x), usando divisao sintetica[41], obtemos
P (x) = rx
(
x− 1 +1
r
)
[−r2x2 + r(1 + r)x− r − 1], (5.64)
donde os pontos do 2-ciclo sao as raızes do trinomio quadratico entre colchetes:
x∗1,2 =−r(r + 1) ±
√
r2(r + 1)2 − 4r2(r + 1)
2, (5.65)
onde o sinal positivo refere-se a x∗1, e o negativo a x∗2.O discriminante desta solucao e
∆ = r2(r + 1)2 − 4r2(r + 1)
= r2(r2 − 2r − 3). (5.66)
O trinomio quadratico entre parenteses tem raızes r = −1 e r = 3. Logo,se −1 < r < 3 este trinomio sera negativo. Como r2 e sempre positivo, odiscriminante sera negativo para 0 < r < 3, e consequentemente os pontos x∗1,2
serao complexos, ou seja, nao ha um 2-ciclo neste caso. O diagrama da escadada figura 5.11(a) ajuda a entender o porque: a excecao dos pontos fixos, nao haoutras intersecoes da segunda iterada com a reta de 45o.
Ja para r > 3 os pontos do 2-ciclo sao as raızes (reais) dadas por (5.65) [Fig.5.11(b)]
x∗1,2 =1
2+
1
2r± 1
2r
√
(r − 3)(r + 1). (5.67)
A estabilidade desta orbita periodica e determinada pelo fator
Λ2 = f ′(x∗1)f′(x∗2) = r(1 − 2x∗1).r(1 − 2x∗2)
= r2 − 2r2(x∗1 + x∗2) + 4r2x∗1x∗2
= r2 − 2r2(
1 +1
r
)
+ 4r
(
1 +1
r
)
= −r2 + 2r + 4. (5.68)
249
Figura 5.12: Planilha e grafico das 16 primeiras iteracoes do modelo logısticodiscreto para r = 0, 5.
O 2-ciclo sera assintoticamente estavel se |Λ2| = |r2−2r−4| = |(r − 1)2−5| <
1, que e equivalente ao par de inequacoes do segundo grau: −1 < (r − 1)2−5 <
1. Resolvendo para r, temos que o intervalo de valores para os quais o ciclo eestavel e 3 < r < 1 +
√6 ≈ 3, 4495. O aparecimento do 2-ciclo no ponto r = 3
e a consequente perda de estabilidade do ponto fixo x∗b e um segundo exemplode bifurcacao, ja que houve em r = 3 uma mudanca subita tanto na existenciacomo na estabilidade de orbitas periodicas.
5.7 Solucoes numericas
5.7.1 Uso de planilhas eletronicas
O carater recursivo do calculo das iteracoes de um modelo discreto faz comque esta seja uma tarefa bastante sımples para planilhas eletronicas. Vamosexemplificar o procedimento para o modelo logıstico discreto (5.29) para o valordo parametro r = 0, 5:
xt = f(xt−1) = 0, 5xt−1(1 − xt−1). (5.69)
Considerando a condicao inicial x0 = 0, 1, por exemplo, vamos computar asequencia das quinze primeiras iteracoes do modelo discreto.
Colocamos o valor de r (0, 5), na celula C1, e o valor de x0 (0, 1), na celulaB1. A formula matematica do modelo discreto, Eq. (5.69), e escrita simbolica-mente na celula B2 como
+$C$1 ∗B1 ∗ (1 −B1) (5.70)
onde o sımbolo $C$1 indica o endereco absoluto da variavel (a planilha semprebuscara o valor de r na celula C1). Ja B1 e um endereco relativo. O numerona celula B1 e copiado na area de transferencia. O valor armazenado na areade transferencia e copiado quatorze (= 16 − 2) vezes para baixo, o que podeser feito com o mouse copiando a celula e colando em bloco. O resultado e o
250
Figura 5.13: Planilha e grafico das 16 primeiras iteracoes do modelo logısticodiscreto para r = 2, 0.
conjunto das quinze primeiras iteracoes do modelo discreto na segunda coluna(a primeira coluna lista os tempos t = 0, 1, 2, . . .), e que podem ser mostradasem um grafico xt “versus” t usando-se os recursos graficos especıficos da planilha(Fig. 5.12)
A operacao de colar em bloco faz cada celula referenciar a celula anterior,que e justamente o princıpio de recorrencia envolvido na iteracao de um modelodiscreto. Por exemplo, se deslocarmos o cursor (usando o mouse) para a celulaB3, onde encontra-se o valor da segunda iteracao x2, vemos a seguinte operacaosimbolica: +$C$1 ∗ B2 ∗ (1 − B2), e assim por diante, ate o ultimo valor de tque colocamos nas celulas da coluna A. Caso quisessemos obter as 50 primeirasiteracoes, deverıamos colocar os respectivos valores em A, e colar a celula B2no bloco que abrange todos estes valores.
Podemos observar, pela Fig. 5.12, que as iteracoes do modelo logıstico con-vergem para o ponto fixo na origem. Este e, de fato, assintoticamente estavel,pois, computando a derivada da funcao logıstica
df(x)
dx=
d
dx(rx(1 − x)) = r(1 − 2x), (5.71)
e calculando seu valor no ponto fixo, para r = 0, 5, vemos que
Λ(0) =df(x)
dx
∣∣∣∣x=0
= 0, 5
(
1 − 2 × 1
2
)
= 0, 5 < 1. (5.72)
Uma das vantagens de usar uma planilha eletronica e a possibilidade derefazer os calculos simplesmente atualizando os valores das celulas. Suponha,por exemplo, que desejassemos refazer a sequencia de iteracoes para outro valordo parametro r, digamos 2, 0. Para tal, basta alterar o valor de r na celulaC1, de modo que os valores na coluna B sao atualizados simultaneamente, bemcomo o grafico [Fig. 5.13].
No caso exemplificado pela Figura 5.13, observamos pela serie temporal que,apos cinco iteracoes (que chamamos transitorias) a orbita do modelo discretoconverge para o ponto fixo x∗ = 1 − (1/r) = 1 − (1/2) = 0, 5. Para saber da
251
Figura 5.14: Planilha e grafico das 16 primeiras iteracoes do modelo logısticodiscreto para r = 3, 2.
estabilidade deste ponto fixo, nos calculamos o fator de estabilidade correspon-dente
Λ(x∗) =df(x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
= r
[
1 − 2
(
1 − 1
r
)]
= (5.73)
= r
(
−1 +2
r
)
= 2 − r = 2 − 2 = 0 < 1 (5.74)
Alem disso, para este valor de r, o ponto fixo em x∗ = 0 e instavel, ja que
Λ(0) =df(x)
dx
∣∣∣∣x=0
= 2 (1 − 2 × 0) = 2 > 1. (5.75)
Mudando o valor de r para 3, 2, vemos na figura 5.14 que as iteracoes con-vergem para uma orbita de perıodo 2, ou 2-ciclo, apos cerca de 15 iteracoestransitorias:
x∗1 ≈ 0, 799 → x∗2 ≈ 0, 513 → x∗1 → x∗2 → · · · .O fator de estabilidade correspondente a esta orbita e, por (5.52), dado por
Λ2 =df [2](x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
1
=df(x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
1
df(x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
2
= [r(1 − 2x∗1)][r(1 − 2x∗2)]
≈ (3, 2)2(1 − 2 × 0, 80)(1 − 2 × 0, 51) ≈ 0, 12 < 1, (5.76)
mostrando que este ciclo e, de fato, assintoticamente estavel, e com uma con-vergencia monotonica.
Alem disso, o ponto fixo x∗ = 1 − 1/r tornou-se instavel para esse valor der, ja que o fator de estabilidade
Λ(x∗) =df(x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
= 2 − 3, 2 = −1, 2 (5.77)
tem modulo maior que um.
252
Figura 5.15: Planilha e grafico das 16 primeiras iteracoes do modelo logısticodiscreto para r = 3, 54.
Uma orbita de perıodo 4 pode ser observada quando aumentamos o valor doparametro r para 3, 54, por exemplo. Apos menos de 10 iteracoes transitorias,temos o 4-ciclo (Fig. 5.15)
x∗1 ≈ 0, 517 → x∗2 ≈ 0, 884 → x∗3 ≈ 0, 367 → x∗2 ≈ 0, 822 → x∗1 → x∗2 → · · · ,
o fator de estabilidade correspondente sendo
Λ4 =df [4](x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
1
=
4∏
i=1
df(x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
i
= r44∏
i=1
(1 − 2x∗i ) ≈ 0, 943 < 1, (5.78)
confirmando ser esta uma orbita assintoticamente estavel com convergencia mo-notonica. No Capıtulo 8 aprofundaremos essa analise de estabilidade das orbitasperiodicas, mostrando a existencia de bifurcacoes, que sao alteracoes da estabi-lidade e da natureza de pontos fixos e orbitas periodicas.
5.7.2 Programa de computador para iteracoes do modelo
discreto
Podemos usar um programa simples para calcular um certo numero de iteracoesdo modelo logıstico discreto, para valores dados do parametro r e da condicaoinicial x0. Os passos necessarios para programacao desta tarefa sao os seguintes
1. Escolhemos um valor para o parametro r (por exemplo, r = 2, 0);
2. Escolhemos a condicao inicial x0 (por exemplo, x0 = 0, 1);
3. Inicializamos o valor da iteracao com a condicao inicial;
4. Iteramos o modelo logıstico discreto f(x) = rx(1 − x). Nao e necessarioo uso de duas variaveis, para xt e xt−1. O uso do comando de atribuicao(que em linguagem C e o sımbolo ”=”) permite que o valor de xt sejasempre atualizado a cada chamada da funcao f(x);
253
0 10 20 30 40 50
t
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
xt
0 10 20 30 40 50
t
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
xt
(a) (b)
0 10 20 30 40 50
t
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
xt
Figura 5.16: Iteracoes do modelo logıstico discreto para (a) r = 2, 0, (b) r = 3, 2,(c)r = 3, 54.
254
5. Repetimos o passo anterior ate o numero de pontos desejado, por exemplo100.
Incluimos abaixo um programa de computador em linguagem C que imple-menta este procedimento. Nas Figuras 5.16(a), (b), e (c) mostramos os resulta-dos da aplicacao do programa acima para valores do parametro iguais a r = 2, 0,3, 2, e 3, 54, respectivamente.
/* iteracoes_logistico.c: produz uma serie temporal
para o modelo logistico discreto. Saida dos dados no arquivo
iteracoes_logistico.dat (tabela com duas colunas) */
#include <stdio.h>
#include <math.h>
FILE *fp;
main( )
{
int n, points; /* declaracoes de variaveis */
float x_n, x_0, r;
fp = fopen("iteracoes_logistico.dat","w");/* abre arquivo */
r = 2.0; /* valor inicial de r */
points = 100; /* numero total de iteracoes */
x_ 0 = 0.1; /* condicao inicial */
x_n = x_0; /* inicializa o valor de x_n */
n = 0;
fprintf(fp,"\%d \%f \n", n, x_n);
for (n = 1; n <= points; ++ n) { /* varre os valores de n */
x_ n = r * x_n * (1 - x_n); /* calculo das iteracoes */
fprintf(fp,"\%d \%f \n", n, x_n); /* imprime resultados */
no arquivo de saida */
}
fclose(fp); /* fecha o arquivo de dados */
}
5.7.3 Uso de software matematico
Os softwares matematicos disponıveis permitem, alem da determinacao dasiteracoes de um modelo discreto nao-linear, tambem a visualizacao dos respecti-vos diagramas de escada, o que facilita bastante a interpretacao dos resultados.No entanto, a especificidade das tarefas anteriores faz com que nao haja co-mandos proprios, como no caso de solucoes numericas de equacoes diferenciais.Logo, havera a necessidade de alguma programacao, na respectiva linguagemdo software.
Maple
Tarefas como o calculo de orbitas sao executadas pelo Maple por meio deprocedures. Vamos descrever a procedure chamada orbita, cujos argumen-tos sao a funcao do modelo discreto F, a condicao inicial x0, o numero deiteracoes transitorias transit que eventualmente nao queiramos levar em conta,
255
e linhas, que e o numero total de linhas do arquivo de dados onde serao arma-zenados os resultados. Os valores do tempo t e de xt sao salvos num arquivo deseis colunas (para economia de espaco) correspondente a uma tabela chamadaorbita, de forma que o numero total de iteracoes mostradas e 3×linhas [57]:
orbita := proc(f, x0, transit, pontos)
local x, k, c, orbita;
x := x0;
for k from 1 to transit do x := f(x); od:
orbita := array(1..pontos,1..6);
for c from 1 to 3 do
for k from 1 to pontos do
orbita[k,2*c-1] := transit+(c-1)*pontos+k-1;
orbita[k,2*c] := x;
x := f(x);
od:
od:
op(orbita);
end:
Vamos exemplificar para o modelo logıstico discreto quando r = 3, 2, x0 =0, 1, e queremos um total de 30 iteracoes (isto e, 10 linhas no arquivo), aposdescartar as primeiras 100 transitorias.
f := (x) -> r*x*(1-x):
r := 3.2:
orbita(f, 0.1, 100, 10);
cujo resultado e o seguinte:
[[100, .5130445093, 110, .5130445093, 120, .5130445093],
[101, .7994554906, 111, .7994554906, 121, .7994554906],
[102, .5130445093, 112, .5130445093, 122, .5130445093],
[103, .7994554906, 113, .7994554906, 123, .7994554906],
[104, .5130445093, 114, .5130445093, 124, .5130445093],
[105, .7994554906, 115, .7994554906, 125, .7994554906],
[106, .5130445093, 116, .5130445093, 126, .5130445093],
[107, .7994554906, 117, .7994554906, 127, .7994554906],
[108, .5130445093, 118, .5130445093, 128, .5130445093],
[109, .7994554906, 119, .7994554906, 129, .7994554906]]
Para visualizar o grafico de xt em funcao do tempo usamos a procedureorbitagraf, onde o primeiro parametro e o modelo discreto F, o segundo acondicao inicial x0, o terceiro(list) e uma lista de pares de numeros, e o quarto(legenda) a legenda do grafico. O primeiro numero em cada par e o numero deiteracoes transitorias a serem descartadas e o segundo e o numero de iteracoesa serem colocadas no grafico, etc. Por exemplo, para descartar as primeiras100 iteracoes, tracar as 200 iteracoes seguintes, voltar a descartas 100 iteralcoese tracar as proximas 100, usamos a lista [100, 200, 100, 100], o que gera doisgraficos para as series temporais.
orbitagraf := proc(f, x0, lista)
256
local x, xf, i1, i2, s, k, intervalo, pontos,
p1, p2, transit, iter;
x := x0:
i1 := 0;
i2 := 0;
for s from 1 to nops(lista)/2 do
transit := op(2*s-1,lista);
iter := op(2*s,lista);
i1 := i2 + transit;
i2 := i1 + iter;
for k from 1 to transit do x := f(x); od:
pontos := array(1..iter+1);
for k from 1 to iter+1 do
pontos[k] := [i1+k-1, x];
xf := x;
x := f(x);
od:
x := xf;
intervalo := i1..i2, 0..1;
p1 := plot(pontos, intervalo, color=black, style=LINE):
p2 := plot(pontos, intervalo, color=black, symbol=BOX, style=POINT):
print(plots[display]([p1, p2]));
od:
end:
As Figuras 5.17(a) ate (d) exemplificam o comportamento do modelo logısticodiscreto para ponto fixo na origem, fora da origem, 2-ciclo e 4-ciclo, respectiva-mente, que sao geradas, por sua vez, pelos seguintes comandos:
f := x -> r*x*(1-x):
r := 0.5: orbitagraf(f, 0.8, [0,50]);
r := 2.00: orbitagraf(f, 0.1, [0,50]);
r := 3.20: orbitagraf(f, 0.1, [0,50]);
r := 3.54: orbitagraf(f, 0.1, [0,50]);
Outro recurso disponıvel no Maple e a construcao do diagrama de escada.Para o caso de r = 0, 5 o respectivo diagrama e obtido usando a seguintesequencia de comandos
f := (r,x) -> r*x*(1-x):
r := 0.5: n := 20: x[0] := 0.9:
for i from 1 to n do x[i] := f(r,x[i-1]); od:
p := seq( op([[x[i-1],x[i]],[x[i],x[i]]]),i=1..n):
OPTS := x=0.0..0.25, color=black:
diag := plot(x,OPTS):
stair := plot([p],OPTS):
parabola := plot(f(r,x),OPTS):
plots[display]([diag,parabola,stair],scaling=CONSTRAINED);}
cujo resultado pode ser visto na Fig. 5.19(a). Para os outros valores de r jaconsiderados anteriormente alteramos a segunda linha para r := 2.0: n :=
20: x[0] := 0.01: [Fig. 5.19(b)], r := 3.2: n := 50: x[0] := 0.01:
[Fig. 5.19(c)], e r := 3.54: n := 100: x[0] := 0.01: [Fig. 5.19(d)].
257
0,4
30
0,2
020100
1
50
0,8
40
0,6
0,4
30
0,2
020100
1
50
0,8
40
0,6
0,4
30
0,2
020100
1
50
0,8
40
0,6
0,4
30
0,2
020100
1
50
0,8
40
0,6
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.17: Iteracoes do modelo logıstico discreto, obtidas com o uso do Maple,para (a) r = 0, 5; (b) r = 2, 0; (c) r = 3, 2; (d) r = 3, 54.
258
0,150,1 0,20,050
0,25
0,25
0,1
0,05
x
0
0,2
0,15
0,30,2 0,40,10
0,5
0,5
0,2
0,1
x
0
0,4
0,3
0,6
0,2
0,80
10,40,20
1
x
0,8
0,4
0,6
0,60,4
0,8
0,2
1
0,2 0,8 10
0
0,6
x
0,4
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.18: Diagramas de escada do modelo logıstico discreto, obtidos com ouso do Maple, para (a) r = 0, 5; (b) r = 2, 0; (c) r = 3, 2; (d) r = 3, 54.
259
4 6 8 10n
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
x
4 6 8 10n
0.2
0.3
0.4
0.5
x
10 20 30 40 50n
0.2
0.4
0.6
0.8
x
10 20 30 40 50n
0.2
0.4
0.6
0.8
x
(d)(c)
(a) (b)
Figura 5.19: Series temporais do modelo logıstico discreto, obtidas com o usodo Mathematica, para (a) r = 0, 5; (b) r = 2, 0; (c) r = 3, 2; (d) r = 3, 54.
Mathematica
A iteracao de modelos discretos unidimensionais pode ser feita facilmente noMathematica por meio da funcao NestList. Para obter, por exemplo, as 10primeiras iteracoes do modelo logıstico discreto quando r = 0, 5, a partir dacondicao inicial x0 = 0.1, podemos usar os comandos
r = 0.9;
NestList[r # (1 - #) &, 0.1, 10];
para obter a Fig. ??(a). Mudando o valor de r para 2, 0, 3, 20, e 3, 54, resultamas Figuras ??(b) a (e), respectivamente.
Para tracar os graficos da primeira iteracao do modelo logıstico discreto, bemcomo os diagramas de escada, podemos usar a seguinte sequencia de comandos(para r = 0, 5, com condicao inicial x0 = 0, 3, e desenhando 8 “degraus” daescada):
T[x_] := 0.5 x (1- x);
o = {{0.3, T[0.3]}};
p = {{0.3,0},{0.3,T[0.3]}};
Do[I = Last[Last[o]];
o = Append[o,{I,I}];
o = Append[o,{I,T[I]}],{8}];
Show[Plot[{T[x],x},{x,0,1}],Graphics[{Line[p],Line[o]}]];
resultando na Fig. 5.20(a). O resultado, quando o valor de r e alterado para2, 0, 3, 20, e 3, 54, pode ser visto nas Figuras 5.20(b) a (e), respectivamente.
260
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.20: Diagramas de escada do modelo logıstico discreto, obtidos com ouso do Mathematica, para (a) r = 0, 5; (b) r = 2, 0; (c) r = 3, 2; (d) r = 3, 54.
Matlab
Para gerar series temporais do modelo logıstico discreto usando o Matlab, escre-vemos um pequeno programa que usa o comando de repeticao for, e onde osvalores das iteracoes sao armazenados num vetor (matriz coluna) de dados x(i).Por exemplo, para r = 0, 5, e condicao inicial x0 = 0, 9, usamos os seguintescomandos para tracar as 50 primeiras iteracoes:
r = 0.5; x0 = 0.9; N = 50;
x(1) = x0;
for i=1:N
x(i+1) = r * x(i) * (1 - x(i));
end
figure(1); hold off;
plot(x,’k*’); hold on; plot(x,’k’);
axis([1 N 0 1]);
mostradas na Fig. 5.21(a). Alterando o valor de r para 2, 0, 3, 20, e 3, 54,obtemos as Figuras 5.21(b) a (e), respectivamente.
O diagrama de escada para o modelo logıstico discreto e obtido por meio deum programa dividido em tres partes: a primeira traca os graficos da funcaologıstica e da primeira bissetriz. A segunda calcula os pontos do grafico, tal comona geracao das series temporais. A terceira e ultima parte traca os degraus daescada usando os comandos line e plot. O programa-exemplo para r = 0, 5 e:
fplot(’2.0*y*(1-y)’,[0,1],’k’);hold on;
axis(’square’); axis([0 1 0 1]);
261
5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.21: Series temporais do modelo logıstico discreto, obtidas com o usodo Matlab, para (a) r = 0, 5; (b) r = 2, 0; (c) r = 3, 2; (d) r = 3, 54.
262
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
(b)
(c) (d)
(a)
Figura 5.22: Diagramas de escada do modelo logıstico discreto, obtidos com ouso do Matlab, para (a) r = 0, 5; (b) r = 2, 0; (c) r = 3, 2; (d) r = 3, 54.
set(gca,’XTick’,(0:0.1:1),’YTick’,(0:0.1:1))
grid on;
fplot(’1*y’,[0 1],’k’);
r=2.0;x0=0.9;N=50;
x(1) = x0;
for i=1:N
x(i+1)=r*x(i)*(1-x(i));
end
line([x(1) x(1)],[0 x(2)],’Color’,’k’)
plot(x(1),x(1),’ko’);
for j=1:N-1
line([x(j) x(j+1)],[x(j+1) x(j+1)],’Color’,’k’)
line([x(j+1) x(j+1)],[x(j+1) x(j+2)],’Color’,’k’)
plot(x(j+1),x(j+1),’ko’);
end
conforme mostrado na Fig. 5.22(a); ao passo que os casos r = 2, 0; 3, 2 e 3, 54estao representados nas Figs. 5.22(b) a (d), respectivamente.
263
5.8 Exemplos em Economia: Modelos nao-lineares
de teia de aranha
Anteriormente estudamos o modelo de teia de aranha linear para formacao deprecos num mercado idealizado, onde a procura por um determinado produtoe totalmente satisfeita pela sua oferta pelos produtores. O modelo tradicional,que pressupoe expectativas ingenuas para o preco, leva a um valor de equilıbriocuja estabilidade pode ser consideravelmente melhorada pela adicao de expec-tativas, as quais tambem levam a modelo discretos lineares. Em todos os casosanteriormente estudados, a dinamica dos precos tem apenas tres possibilidades:
• ponto fixo estavel → precos tendem de forma monotonica ou oscilatoriapara um valor de equilıbrio;
• ponto fixo instavel → precos sofrem oscilacoes explosivas e divergem como passar do tempo;
• ciclo (indiferente) de perıodo 2 → dois precos repetem-se indefinidamente,nem estavel nem instavelmente.
Devido a esta relativamente pequena gama de comportamentos possıveis, osmodelos lineares de teia de aranha eram considerados de aplicabilidade restrita,e sua validade face aos dados econometricos era questionada, por varias razoes[58]
• nao existe um mercado explosivo, com precos e quantidades negativas, deforma que a solucao instavel nao tem significado economico real;
• o ciclo de perıodo 2 e estruturalmente instavel: qualquer mudanca nosparametros do modelo levaria ao desaparecimento do ciclo;
• a flutuacao de precos num mercado pode ser tambem encarada como oefeito de choques exogenos de natureza aleatoria.
No inıcio da decada de 80, com o surgimento dos trabalhos de Feigenbaume outros sobre dinamica complexa em modelo discretos unidimensionais, variosautores retomaram o modelo de teia de aranha de um ponto de vista nao-linear, a partir da premissa que um mecanismo endogeno (e determinıstico)do mercado poderia gerar tambem series temporais irregulares, ou caoticas. Anao-linearidade pode entrar no modelo de teia de aranha a partir das curvas deoferta e demanda. Artstein [59], Jensen e Urban [60], Chiarella [61] e Hommes[62] mostraram que o uso de curvas nao-lineares de oferta e demanda podelevar a series caoticas para precos e quantidades de bens. Uma outra fonte denao-linearidade vem da aversao ao risco presente nos mercados [58].
O modelo de teia de aranha nao-linear proposto por Chiarella [61] assumeuma curva de oferta nao-linear que leva a um modelo discreto semelhante aologıstico que, no entanto, nao e satisfatorio por possuir apenas um ponto crıtico.Um modelo quadratico similar foi proposto por Jensen e Urban [60] (veja oProblema 10). Hommes propos modelos nao-lineares nos quais a curva de ofertae sigmoide [63], de tal sorte que o modelo discreto da teia de aranha seja nao-monotonico. E sobre este modelo, em particular, que vamos fixar nossa atencao.Para isso, no entanto, e conveniente antes exprimir o modelo de teia de aranhanuma forma generalizada, o que permitira sua adaptacao a varios casos que temsido estudados na literatura recente.
264
D
p
t
t
D
p
t
t
(a) (b)
Figura 5.23: (a) Funcao demanda generica. (b) Funcao demanda linear.
5.8.1 Modelo generalizado de teia de aranha
Vamos supor que a procura pelo produto dependa do seu preco corrente pt deacordo com uma funcao demanda generica
Dt = D(pt). (5.79)
que e monotonicamente decrescente [Fig. 5.23(a)], ou seja, quanto maior o precodo produto, menor a demanda por ele pelos consumidores. Logo D′(p) < 0 paratodo p no domınio de interesse.
No modelo tradicional de teia de aranha, a funcao demanda e afim [Fig.5.23(b)]
D(p) = a− bp. (5.80)
onde a > 0 e b > 0. Onozaki e colaboradores [64] propuseram uma funcaodemanda nao-linear do tipo “lei de potencia”, na forma
D(p) =
(c
p
)1/β
, (5.81)
onde 1/β > 0 e a elasticidade do preco, e c > 0 e um parametro representandoa extensao do mercado.
Analogamente, introduzimos uma funcao oferta, caracterizando o numero deunidades do produto ofertadas num certo perıodo. Os produtores determinamesta quantidade em funcao do preco esperado para o dado perıodo, pe
t :
Ot = S(pet ). (5.82)
No modelo tradicional de teia de aranha a funcao oferta, (5.14), e afim e mo-notonicamente crescente, S ′(pe) > 0, representando o aumento da oferta emfuncao do tambem aumento do preco esperado pelos produtores [Fig. 5.24(a)]:
S(pe) = c+ dpe. (5.83)
O preco esperado segue algum dos seguintes tipos de expectativa dos produ-tores
265
p
t
t
OD(p)
S(p)
p
(b)(a)
Figura 5.24: (a) Funcao oferta linear. (b) Funcoes oferta e demanda mo-notonicas.
• Ingenuas: pet = pt−1;
• Adaptativas: pet = (1 − w)pe
t−1 + wpt−1;
• Normais: pet = pt−1 + k(pE − pt−1) (vide o Problema 9)
onde pE = (a− c)/(b+ d) e o preco de equilıbrio do produto, e tanto 0 ≤ k ≤ 1como 0 ≤ w ≤ 1 sao coeficientes representando o grau com que as experienciasprecedentes influenciam na formacao de novas expectativas. Hommes [65] de-fine uma funcao expectativa H = H(pt−1, pt−2, . . . pt−L), que incorpora a ex-periencia de um numero maior de perıodos precedentes, e que pode dependerde pesos estatısticos, que decrescem com o aumento do retardo L. Tais modelosnao serao considerados neste trabalho.
5.8.2 Modelo generalizado com expectativas adaptativas
Supondo que a demanda absorva completamente a oferta, temos que Dt = Ot.Aplicando as equacoes (5.82) e (5.79), o preco em cada perıodo e dado por umacomposicao de funcoes:
pt = D−1(S(pet )), (5.84)
onde D−1 e a funcao demanda inversa. Repetindo este procedimento para otempo t − 1, e substituindo pt−1 na relacao para expectativas adaptativas, opreco esperado sera
pet = (1 − w)pe
t−1 + wD−1(S(pet−1)). (5.85)
Vamos definir uma funcao fw pela relacao (z e um argumento real qualquer):
fw(z) ≡ (1 − w)z + wD−1(S(z)), (5.86)
de modo que (5.85) pode ser escrita numa forma simples:
pet = fw(pe
t−1). (5.87)
266
Vamos supor que tanto D como S sejam funcoes monotonicamente decres-cente e crescente, respectivamente, de seus argumentos [Fig. 5.24(b)]. Dessamaneira, podemos trabalhar com o modelo discreto (5.87) para os precos espe-rados, ja que as outras variaveis - os precos reais, a oferta e a demanda - temqualitativamente a mesma dinamica de pe. O preco de equilıbrio preconizadopor este modelo, p∗, e o ponto fixo do modelo discreto (5.87), ou seja, a solucaoda equacao
p∗ = fw(p∗) = (1 − w)p∗ + wD−1(S(p∗)),
que reduz-se ap∗ = D−1(S(p∗)), (5.88)
tal que o preco de equilıbrio nao depende do grau das expectativas adaptativas,resultado este que ja havıamos deduzido no modelo linear (cf. Eq. (5.26)).
A estabilidade deste ponto fixo e determinado pelo modulo da derivada domodelo discreto (5.87) neste ponto:
Λ = f ′w(p∗) = (1 − w) + w
[d
dp
(D−1(S(p))
)]
p=p∗
(5.89)
= (1 − w) + w
[(dD−1(p)
dp
)
p=S(p∗)=p∗
(dS(p)
dp
)
p=p∗
]
= (1 − w) + w
[S ′(p∗)
D′(p∗)
]
.
Como p∗ e assintoticamente estavel se |Λ| < 1, devemos satisfazer as seguintesdesigualdades:
−1 < (1 − w) + w
[S ′(p∗)
D′(p∗)
]
< +1
1 − 2
w<
S ′(p∗)
D′(p∗)< 1. (5.90)
Lembrando que o caso de expectativas ingenuas, pet = pt−1 corresponde
a w = 1, a correspondente condicao de estabilidade, −1 < S ′/D′ < +1 emais restritiva do que (5.90), ja que 1 − (2/w) > 1. Logo, a introducao dasexpectativas adaptativas aumenta o intervalo de parametros para os quais opreco de equilıbrio e estavel, como ja havıamos mostrado no caso do modelolinear.
5.8.3 Modelo sigmoide de Hommes
Hommes investigou a classe mais geral de modelo discretos para a evolucaodinamica do preco esperado num modelo de teia de aranha com expectativasadaptativas: nela, tanto as funcoes oferta como demanda sao monotonicas econtınuas, tais que S ′(p) ≥ 0 e D′ < 0, de forma que o modelo discreto fw(z),dado por (5.86), seja uma funcao contınua, e sua derivada satifaca a seguintedesigualdade
−∞ < f ′w(p) ≤ d < 1, (5.91)
para algum d > 0. Nesse caso, o modelo discreto fw pode ser nao-monotonico,com um ou mais pontos crıticos.
267
S(p)
p
O
p ee_
O_
S
x
(b)(a)
Figura 5.25: (a) Curva de oferta sigmoide. (b) Curva de oferta do tipo arco-tangente
Um modelo discreto nao-linear que satisfaz ao criterio de Hommes apresentauma funcao demanda linear, como em (5.80), e uma funcao oferta sigmoide [Fig.5.25(a)], tendo em vista as seguintes consideracoes economicas:
1. se os precos de um certo produto sao baixos, entao sua oferta cresce len-tamente, devido a custos iniciais e custos fixos de producao;
2. se os precos forem altos, entao a oferta tambem crescera lentamente, de-vido a limitacoes de oferta e capacidade de producao;
Isso implica em que a curva tenha uma baixa inclinacao tanto para precos baixoscomo altos, e que sua inclinacao seja maxima para um preco intermediario, quechamaremos pe. A oferta do produto correspondente a este preco sera denotadaO. O ponto (pe, O), e um ponto de inflexao para a curva de oferta S(p).
E conveniente redefinir as variaveis
St ≡ Ot − O, xt ≡ pet − pe, (5.92)
tal que o ponto de inflexao fique na origem do novo sistema de coordenadasx − S. Neste caso, tanto a oferta como o preco podem ser tanto positivoscomo negativos. Introduziremos, tambem, um parametro σ que caracteriza ainclinacao maxima da curva de oferta. Hommes propos a seguinte funcao deoferta sigmoide:
S(x) = arctan(σx), (5.93)
de modo que, quanto maior for o parametro σ, mais ıngreme e a inclinacao dacurva sigmoide na origem [vide Figs. 5.26(a) e (b)]. Outra funcao que apresentaresultados similares ao arco-tangente para a curva sigmoide e a funcao tangentehiperbolica [65]:
S(x) = tanh(σx) =eσx − e−σx
eσx + e−σx. (5.94)
268
-2 -1 0 1 2x
-2
-1
0
1
2
S(x)
(a)
-2 -1 0 1 2x
-2
-1
0
1
2
S(x)
(b)
Figura 5.26: Funcao de oferta do topo arco-tangente para (a) σ = 1 e (b) σ = 5.
Substituindo (5.80) em (5.86), temos que
fw(x) = (1 − w)x+ wD−1(S(x))
= (1 − w)x+ w
[a
b− S(x)
b
]
= (1 − w)x+ wa
b− w
bS(x). (5.95)
Usando, agora a funcao arco-tangente (5.93) para a curva de oferta, o modelodiscreto nao-linear que descreve a evolucao dos precos esperados (normalizados)e
xt = fw(xt−1) = −wb
arctan(σxt−1) + (1 − w)xt−1 +aw
b. (5.96)
Podemos verificar explicitamente que o modelo discreto arco-tangente (5.96)satisfaz o criterio de admissibilidade de Hommes (5.91). Tanto a funcao ofertacomo demanda sao monotonicas, respectivamente crescente e decrescente emseus argumentos. Alem disso, a derivada do modelo discreto (5.96) e
f ′w(x) = (1 − w) − w
b
σ
1 + σ2x2≤ 1 − w, (5.97)
ja que w, b e σ sao nao-negativos. Fazendo d ≡ 1−w, tal que 0 < d < 1 temos,portanto, satisfeito o criterio dado por (5.91), e o modelo discreto sigmoide eaceitavel como descricao do modelo de teia de aranha. Isso ja nao acontece,no entanto, para o modelo logıstico discreto fr = rx(1 − x), introduzido porChiarella [61] e Jensen e Urban [60], como possıveis modelos de teia de aranhaquadraticos. O motivo e que a derivada do modelo logıstico discreto, dada porf ′r = r−2rx = r(1−2x), pode ter valores maiores que 1 ou menores que −1, demodo que nao existe um limite superior 0 < d < 1 para a derivada, e o criteriode Hommes (5.91) nao e satisfeito.
5.8.4 Pontos fixos e sua estabilidade
Para um modelo sigmoide geral como (5.95) o ponto fixo x∗, satisfazendo
x∗ = (1 − w)x∗ + wa
b− w
bS(x∗),
e a solucao da equacaoS ′(x∗) = a− bx∗, (5.98)
269
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x
-2
-1
0
1
2
arctg(4,8 x)0,3 - 0,25 x
x* = 0,07
Figura 5.27: Solucao grafica da Eq. (5.99) para a = 0, 3, b = 0, 25, e σ = 4, 8.
que, no caso da funcao arco-tangente (5.93), torna-se a equacao trigonometrica
arctan(σx∗) = a− bx∗, (5.99)
que nao tem solucao analıtica exata. No entanto, podemos encontrar a solucaodeterminando graficamente o(s) ponto(s) de intersecao dos graficos dos ladosesquerdo e direito de (5.99).
Tomemos, como exemplo, o caso em que a = 0, 3, b = 0, 25, e σ = 4, 8. NaFigura 5.27 mostramos a solucao grafica da Equacao (5.99), a qual e x∗ ≈ 0, 07.Como a funcao arco-tangente tem sempre o mesmo comportamento sigmoide(variando a inclinacao da parte proxima a origem), a reta da funcao demandaso pode interceptar a funcao oferta em um unico ponto; logo ha sempre umunico ponto fixo para o modelo sigmoide.
Alem disso, podemos constatar que o ponto fixo esta proximo a origem, o quenos provoca a obter uma solucao analıtica aproximada para Eq. (5.99) supondoque, se x∗ e suficientemente pequeno podemos aproximar arctan(σx∗) ≈ σx∗
(onde σx∗ e subentendido um arco a ser medido em radianos). Neste caso, aEq. (5.99) ficaria, simplesmente,
σx∗ ≈ a− bx∗, x∗ ≈ a
σ + b. (5.100)
a qual, no exemplo da Fig. 5.27 , corresponderia a x∗ ≈ 0, 3/(4, 8+0, 25) = 0, 06,portanto em boa concordancia com o resultado da solucao grafica.
5.8.5 D
eterminacao numerica do ponto fixoMesmo assim, solucoes numericas confiaveis para Eq. (5.99) devem ser pro-
curadas a partir do uso do metodo de Newton-Raphson. O ponto fixo sera a(unica) raiz da funcao erro:
ψ(x) = − arctan(σx) + a− bx, (5.101)
270
ou seja, que ψ(x∗) = 0. O metodo de Newton requer, ainda, a derivada dafuncao erro, a saber
ψ′(x) = −b− d
dx(arctan(σx)) = −b−
(σ
1 + σ2x2
)
. (5.102)
Como sabemos que a raiz e proxima de x = 0, podemos adotar este valorcomo nosso chute inicial x0. As aproximacoes sucessivas no metodo de Newton(o qual e, tambem, um modelo discreto unidimensional!) serao dadas por [9]:
xi+1 = xi −ψ(xi)
ψ′(xi), (i = 0, 1, 2, · · · ), (5.103)
e esperamos que xi → x∗ apos um numero suficientemente grande de iteracoesde (5.103), desde que obviamente ψ′(xi) nunca seja um numero muito proximode zero (caso em que o metodo falharia). Abaixo mostramos um programaem linguagem C que implementa o metodo de Newton-Raphson para o modelosigmoide:
/* root.c: determina os pontos fixos
para o modelo sigmoide de Hommes pelo metodo de Newton */
#include <stdio.h>
#include <math.h>
double psi(double arg), dpsi(double arg);
main( )
{
int n,points; /* declaracoes de variaveis */
double xnew,xold,x0,tol,dif,der;
points = 100; /* numero total de iteracoes */
x0 = 0.0; /* condicao inicial */
xold = x0; /* inicializa o valor de x_n */
n = 0;
tol = 1e-6;
for (n=1; n<=points;++n) { /* varre os valores de n */
xnew = xold - (psi(xold)/dpsi(xold));
dif = fabs(xnew - xold);
xold = xnew;
}
der = 0.7 - (5.76/(1+(23.04*xnew*xnew)));
printf("%f %f\n",xnew,der);
}
/* especifica a equacao */
double psi(double arg)
{
double a, b,sigma;
a = 0.0;
b = 0.25;
271
-1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25a
-0,5
-0,25
0
0,25
0,5
x*
solução analítica aproximadasolução numérica
Figura 5.28: Solucao numerica da Eq. (5.99) para b = 0, 25, σ = 4, 8, e avariavel.
sigma = 4.8;
return(a - b*arg - atan(sigma*arg));
}
/* especifica a derivada */
double dpsi(double arg)
{
double b,sigma,aux;
b = 0.25;
sigma = 4.8;
aux = sigma/(1+(sigma*sigma*arg*arg));
return(-b-aux);
}
Na Figura 5.28 mostramos o resultado da aplicacao do metodo de Newtonquando b = 0, 25, σ = 4, 8, e fazemos o parametro a variar de −1, 25 a +1, 25.Podemos constatar que x∗ = 0 para a = 0, e que x∗(a) e uma funcao ımpardo seu argumento, ou seja, x∗(−a) = −x∗(a). Alem disso, a solucao analıticaaproximada (10.35) so e aceitavel para valores −0, 25 . a . 0, 25. Para valoresmaiores de a a solucao analıtica aproximada subestima a solucao real de formacrescente.
O ponto fixo sera assintoticamente estavel se |f ′w(x∗)| < 1 ou, em vista de(5.95) e (5.102), caso sejam verificadas as inequacoes
−1 < (1 − w) − w
bS ′(x∗) < 1,
−1 <S ′(x∗)
b<
2
w− 1. (5.104)
No caso da funcao oferta dada por (5.93), a condicao de estabilidade do ponto
272
-1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25a
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
f’w(x
*)
a* = 1,053a* = -1,053
estável
instável instável
estável
Figura 5.29: Estabilidade do ponto fixo da Eq. (5.99) para w = 0, 3, b = 0, 25,σ = 4, 8, e a variavel.
fixo se exprime como
−1 <σ
b[
1 + σ2(x∗)2] <
2
w− 1. (5.105)
Vamos analisar a estabilidade dos pontos fixos determinados numericamentepara o modelo discreto sigmoide. No caso particular a = 0, quando x∗ = 0,temos que
f ′w(0) = 1 − w − σ
b [1 + σ2]. (5.106)
Tomando o caso em que w = 0, 3, b = 0, 25 e σ = 4, 8, temos que |f ′w(0)| =5, 06 > 1, logo o ponto fixo e instavel. Recordamos que x∗ = 0 correspondeeconomicamente a um preco de equilıbrio igual ao ponto de inflexao da curvade oferta. Quando a = 0, portanto, esse preco de equilıbrio e instavel. Alemdisso, como f ′w(0) = −5, 06 < 0 os precos afastam-se do equilıbrio atraves deoscilacoes explosivas, com violentas quedas e subidas de preco a cada perıodo.
Na figura 5.29 tracamos o grafico de f ′w(x∗) versus o parametro a paraw = 0, 3, b = 0, 25, e σ = 4, 8, usando (5.105) e os pontos fixos determi-nados numericamente. Observamos que o ponto fixo e instavel sempre que−1, 053 . a . a∗ = 1, 053. Para a > a∗ a derivada do modelo discreto e maiorque um, em modulo, e o ponto fixo tornar-se-a estavel. Essa mudanca de es-tabilidade abrupta num ponto fixo quando um parametro passa por um valorcrıtico e denominada bifurcacao, e sera estudada com mais detalhes no Capıtulo??.
Dependendo da inclinacao do grafico da curva sigmoide na origem, σ, omodelo discreto (5.96) pode ter um, mais de um, ou mesmo nenhum pontocrıtico. Pontos crıticos do modelo discreto, ci, sao tais que f ′w(ci) = 0. De(5.95) temos
S ′(ci) =b(1 − w)
w≡ β, (5.107)
273
que, para o modelo discreto arco-tangente (5.93), implica em
σ
b[
1 + σ2(ci)2] = β,
donde os pontos crıticos do modelo discreto sao
c1,2 = ± 1
w
√w
β− 1. (5.108)
Como σ = S ′(0) e a inclinacao da curva sigmoide na origem, concluimos que, seσ > β, o modelo discreto tem dois pontos crıticos, c2 = −c1, ao passo que, seσ ≤ β, o modelo discreto e monotonicamente crescente (nao tem ponto crıtico).No capıtulo ?? retornaremos a analise desse modelo, agora sob o ponto de vistada teoria de bifurcacoes e comportamento caotico, o qual e possıvel para essaclasse de modelo discretos sigmoides.
5.9 Problemas
1. Encontre os pontos fixo do modelo discreto xt = x2t−1 e discuta sua estabilidade.
Faca o diagrama de escada e verifique graficamente suas respostas.
2. Mostre que a estabilidade do ponto fixo do modelo discreto xt = sin(xt−1), comxt ∈ [0, π), nao pode ser determinada pelo criterio de linearizacao. Faca um di-agrama de escada, no entanto, para mostrar que o ponto fixo e assintoticamenteestavel.
3. (a) Mostre que (2/7, 4/7, 6/7) e uma orbita de perıodo 3 para o modelo da tendaT (x). Este ciclo e estavel ou instavel? (b) Determine todos os pontos fixos daterceira iterada do modelo da tenda, T [3](x). (c) Ache o numero de pontos fixosde T [m](x), o numero de pontos de perıodo m para T (x), e o numero de orbitasde perıodo m para T (x), quando m = 1, 2, 3, 4, 5.
4. Considere a seguinte generalizacao do modelo da tenda [34]:
xt = Ta(xt−1) =
2axt−1 se 0 ≤ xt−1 ≤ 12,
2a(1 − xt−1) se 12
< xt−1 ≤ 1,
(a) Determine os pontos fixos do modelo discreto e estude sua estabilidade, deacordo com os valores do parametro a.
(b) Ache uma orbita de perıodo 2 e estude sua estabilidade.
5. Obtenha numericamente e trace o grafico correspondente das iteracoes do mo-delo discreto xt = x2
t−1+µ, onde xt ∈ [0, 1] e µ ≥ 0. Escolha valores diversos parao parametro µ, bem como para as condicoes iniciais x0, usando uma planilhaeletronica, adaptando o programa “iteracoeslogistico.c”, ou algum dos softwaresmatematicos.
6. Considere um modelo macroeconomico Keynesiano onde Ct e o consumo numdado perıodo, Yt a renda nacional, e It e o investimento, satisfazendo a relacaoYt = Ct + It. Suponha: (i) que o consumo num perıodo dependa da renda noperıodo anterior:
Ct = a + bYt−1
274
onde a ≥ 0 e 0 < b < 1 (propensao marginal de consumo); (ii) que o investimentoseja totalmente autonomo. Ele parte de um valor inicial I0 e e aumentado deuma parcela ∆I, sendo mantido nesse nıvel pelos perıodos subsequentes:
It = I0 + ∆I
(a) Mostre que a renda nacional evolui de acordo com um modelo discreto afim;
(b) Determine o ponto fixo e sua estabilidade;
(c) Interprete seus resultados em termos economicos.
7. Uma adaptacao do modelo de multiplicadores do exercıcio anterior supoe ser oinvestimento parcialmente autonomo e pacialmente dependente da renda ante-rior, tal que
It = I0 + ∆I + hYt−1
onde 0 < h < 1 e a propensao marginal de investimento. Repita os passos (a),(b) e (c) do exercıcio anterior.
8. Um modelo sımples de expectativas futuras leva em conta o chamado “preconormal”, denotado pN , ou aquele que se acredita ser o preco que o mercado, cedoou tarde, estabelecera para o produto. Caso os produtores tiverem conhecimentoperfeito da dinamica do mercado, poderiam estabelecer como preco normal opreco de equilıbrio pN = pE = (a−c)/(b+d). Desta forma o preco esperado numcerto perıodo poderia ser alterado em funcao deste, num perıodo precedente,estar mais ou menos proximo do preco normal.Uma relacao linear para taisexpectativas pode ser escrita como [21]:
pet = pt−1 + k(pE − pt−1)
onde 0 < k < 1 e um coeficiente que representa o grau com que as diferencas dosprecos correntes com o valor normal sao incorporadas a formacao de expectativaspara os precos futuros. Por exemplo, se o preco efetivamente observado forinferior ao valor normal (pt−1 < pN ), ajustamos o preco esperado no proximoperıodo para cima (pe
t > pt−1); caso contrario, para baixo. Caso ja tenhachegado ao valor normal, nao havera o que ajustar.
(a) Estude os casos particulares deste modelo, k = 0 e k = 1. Mostre que 1/kpode ser interpretado como o tempo necessario para que os precos atinjam seuvalor normal.
(b) Mostre que o preco obedece ao seguinte modelo discreto afim:
pt =
„
a − c − kdpE
b
«
−
„
d(1 − k)
b
«
pt−1
(c) Determine o ponto fixo deste modelo e estude sua estabilidade, comparandocom a do modelo de teia de aranha tradicional.
9. Em 1984, Jensen e Urban [60] propuseram um modelo de teia de aranha supondouma curva de demanda linear D(p) = c−dp, expectativas ingenuas, e a seguintecurva de oferta nao-linear:
S(pet ) = a + bpe
t − e(pet )
2.
(a) Mostre que o preco evolui de acordo com um modelo discreto quadratico daforma
pt = α − βpt−1 + γp2t−1,
275
onde α = (c − a)/d, β = b/d, e γ = e/d. Trace o grafico e alguns diagramas deescada para este modelo discreto.
(b) Determine os pontos fixos e estude sua estabilidade;
(c) Ache as condicoes necessarias para que os precos nao divirjam a infinito;
10. O chamado modelo de Ricker
xt = xt−1erxt−1(1−xt−1)
e um modelo usado no estudo de populacoes animais, sendo x a populacao e ra taxa de crescimento.
(a) Determine analiticamente os pontos fixos e estude sua estabilidade.
(b) Use algum dos softwares matematicos para tracar series temporais e diagra-mas de escada para valores do parametro r que levem a pontos fixos, orbitas deperıodo 2 e 4.
(c) Use o Mathematica (ou outro software) para determine numericamente umaorbita de perıodo 2, estudando sua estabilidade. Como um exemplo, para acharo ponto fixo do modelo logıstico discreto, usamos o comando
Solve[x = rx(1-x), x]
11. Use o Mathematica (ou outro software) para determinar analiticamente os pon-tos da orbita de perıodo 2 do modelo logıstico discreto (veja o ıtem (c) doproblema anterior).
276
Capıtulo 6
Modelos discretos
bidimensionais
A extensao imediata do tratamento visto no Capıtulo precedente contemplamodelos a tempo discreto com duas variaveis dinamicas. A base matematicapara tratar tais modelos, a algebra matricial, foi vista em detalhes nos Capıtulos2 e 4, de forma que poderemos empregar com fluencia essa linguagem.
6.1 Modelos discretos bidimensionais lineares
Consideremos duas variaveis dinamicas discretas, xt e yt. A forma mais geralde um modelo bidimensional envolvendo tais variaveis e
xt = f(xt−1, yt−1), (6.1)
yt = g(xt−1, yt−1), (6.2)
onde f e g sao funcoes de seus respectivos argumentos. Nos inicialmente estu-daremos o caso onde elas sao funcoes lineares afins, ou seja, quando f(x, y) =ax + by + j, e g(x, y) = cx + dy + k, onde a, b, c, d, k e j sao numeros reais.Neste caso, um modelo discreto bidimensional linear e dado por
xt = axt−1 + byt−1 + j, (6.3)
yt = cxt−1 + dyt−1 + k. (6.4)
Modelos discretos bidimensionais podem aparecer, principalmente em aplicacoesem economia, a partir de equacoes a diferencas de segunda ordem. Nestas, avariavel num perıodo t depende do seu valor nos dois perıodos precedentes (t−1e t− 2). Por exemplo, considere a equacao
xt = 2xt−1 − 3xt−2 + 4. (6.5)
Definindo yt = xt−1 temos que yt−1 = xt−2, de modo que xt = 2xt−1−3yt−1+4.Obtemos, assim, um modelo bidimensional linear na forma (6.3)-(6.4), ondea = 2, b = −3, j = 4, c = 1, d = 0, e k = 0.
Definindo a matriz coluna 2 × 1 das variaveis dinamicas num certo tempo tcomo
vt =
(xt
yt
)
, (6.6)
277
podemos escrever as equacoes (6.3)-(6.4) na forma compacta
vt = A · vt−1 + B, (6.7)
onde introduzimos as matrizes dos coeficientes
A =
(a bc d
)
, B =
(jk
)
, (6.8)
Modelos discretos bidimensionais estao associados a um vetor de pontos fixos
v∗ =
(x∗
y∗
)
, (6.9)
o qual mapeia a si proprio, resultando na equacao matricial
v∗ = A · v∗ + B,
(I − A) · v∗ = B. (6.10)
Supondo que a matriz I − A seja nao-singular, ou seja, que
det(I − A) =
∣∣∣∣
1 − a −b−c 1 − d
∣∣∣∣= (1 − a)(1 − d) − bc 6= 0, (6.11)
entao existe a matriz inversa, dada por
(I − A)−1
=1
(1 − a)(1 − d) − bc
(1 − d bc 1 − a
)
. (6.12)
Multiplicando essa matriz por ambos os membros de (6.10) obtemos o pontofixo
v∗ = (I − A)−1 · B (6.13)
=1
(1 − a)(1 − d) − bc
(1 − d bc 1 − a
)(jk
)
=1
(1 − a)(1 − d) − bc
((1 − d)j + bkcj + (1 − a)k
)
. (6.14)
6.1.1 Solucao geral do modelo linear
E possıvel estudar detalhadamente o comportamento das iteradas sucessivas domodelo linear (6.3)-(6.4) pois ele exibe uma solucao geral. Tomando a formamatricial (6.7),
vt = M(vt−1) = A · vt−1 + B, (6.15)
onde as matrizes A e B foram definidas em (6.8), partimos de uma condicaoinicial
v0 =
(x0
y0
)
, (6.16)
e iteramos uma vez para obter
v1 =
(x1
y1
)
= M(v0) = A · v0 + B. (6.17)
278
As iteradas seguintes sao conhecidas a partir do princıpio de inducao finita:
v2 = M[2](vt) = A · v1 + B = A · (A · v0 + B) + B = A2 · v0 + A · B + B,
v3 = M[3](vt) = A3 · v0 + (I + A + A2) · B,... =
... (6.18)
vt = M[t](vt) = At · v0 + (I + A + A2 + · · ·At−1) · B,onde a somatoria de matrizes pode ser obtida, numa forma fechada, a partirda generalizacao da formula da soma dos t primeiros termos de uma progressaogeometrica
I + A + A2 + . . .+ At−1 = (I − At) · (I − A)−1, (6.19)
desde que, naturalmente, a matriz I − A seja inversıvel.Substituindo (6.19) em (6.18), a solucao geral do modelo discreto bidimen-
sional linear e dada por
vt = At · v0 + [(I − At) · (I − A)−1
] · B,= At · v0 + (I − A)
−1 · B − At · [(I − A)−1 · B],
= At · [v0 − (I − A)−1 · B] + (I − A)
−1 · B, (6.20)
onde aplicamos sucessivamente as propriedades associativa e distributiva damultiplicacao de matrizes. A matrix constante (I − A)
−1 ·B e o proprio pontofixo v∗, de modo que podemos reescrever a solucao geral (6.20) como
vt = M[t](v0) = At · [v0 − v∗] + v∗. (6.21)
Infelizmente, para modelo discretos bidimensionais nao contamos com o re-curso dos diagramas de escada para visualizar as iteracoes sucessivas. A deter-minacao da estabilidade dos pontos fixos, portanto, necessita do uso de criteriosanalıticos, como sera visto na proxima secao.
6.2 Estabilidade para modelos lineares
O conceito de estabilidade para o ponto fixo de um modelo discreto bidimen-sional linear e uma generalizacao do caso unidimensional. Nos acompanhamoso comportamento das iteracoes do modelo discreto nas proximidades do pontofixo, de tal modo que, se elas convergem ao ponto fixo com o passar do tempot, este e assintoticamente estavel. Caso contrario, se as iteracoes afastam-se doponto fixo, este sera instavel.
Dada uma condicao inicial v0 nas proximidades de um ponto fixo v∗, as dife-rencas entre as iteradas sucessivas e o ponto fixo sao dadas pelo vetor-diferenca
wt ≡ vt − v∗. (6.22)
Vamos investigar como evolui o vetor-diferenca com o passar do tempo. Subs-tituindo (6.22) em (6.7)
wt + v∗ = A · (wt−1 + v∗) + B,
wt = A · wt−1 + A · v∗ − v∗ + B = A · wt−1 − (I − A) · v∗ + B,
= A · wt−1 − (I − A) · (I − A)−1 · B + B = A · wt−1 − I · B + B,
= A · wt−1, (6.23)
279
0
w w
w0
12
w3w
x
wy
0
w w
w
ww
x
wy
0
1 2
3
Figura 6.1: Ponto fixo (a) estavel, (b) instavel.
Finalmente, a solucao geral do modelo discreto e obtida fazendo-se B = 0 em(6.20), o que resulta em
wt = At · w0, (6.24)
Nas novas variaveis do vetor-diferenca, o ponto fixo e a origem w∗ = 0. Issosignifica que a substituicao de variaveis (6.22) equivale a transladar o sistemade coordenadas, de modo que a origem recaia sobre o ponto fixo original v∗.Escrevemos o vetor (6.22) em componentes
wt =
(wxt
wyt
)
=
(xt − x∗
yt − y∗
)
, (6.25)
tal que a distancia entre o ponto de coordenadas (wx, wy) e a origem e o modulodo vetor w
|wt| =√
wx2t + wy
2t . (6.26)
O ponto fixo na origem w∗ = 0 e assintoticamente estavel se, dada umacondicao inicial w0, as iteracoes subsequentes, At ·w0, sao tais que as distanciasa origem aproximam-se de zero quando o tempo t tende a infinito
|wt| → 0 se t→ ∞. (6.27)
Essa situacao esta representada na Fig. 6.1(a). Para auxiliar na visualizacaoda evolucao temporal, nos ligamos as pontas dos vetores-diferenca, de modoque o resultado lembra uma trajetoria no plano de fase, tal como vimos noCapıtulo 3. No entanto, devemos enfatizar que nao ha tais trajetorias, de fato,ja que a evolucao ocorre a intervalos de tempo discretos, ao inves de contınuos.Da mesma forma, nao ha um teorema de existencia e unicidade para orbitasde modelos discretos, de forma que as linhas que ligam as pontas dos vetorespodem interceptar-se, ao contrario de trajetorias no plano de fase de sistemascontınuos. Analogamente, a origem sera instavel se a distancia a origem tendepara infinito com o passar do tempo [Fig. 6.1(b)]
|wt| → ∞ se t→ ∞. (6.28)
Logo, para determinar a estabilidade do ponto fixo e necessario conhecer aspotncias sucessivas da matriz dos coeficientes At. Assim como a exponencialde uma matriz, no caso de modelos contınuos, tambem a potenciacao de uma
280
matriz e uma tarefa difıcil em geral, a nao ser que nos escrevamos a matriz emtermos dos seus autovalores ξ1 e ξ2. Eles sao dados, como vimos no Capıtulo 2,por
ξ1,2 =τ ±
√D
2, (6.29)
onde
τ ≡ TrA, (6.30)
∆ ≡ detA, (6.31)
D ≡ τ2 − 4∆. (6.32)
e que podem ser reais ou complexos, iguais ou diferentes, dependendo do discri-minante D, de modo que ha varias situacoes possıveis, a saber:
1. D > 0: raızes reais (ξ1 6= ξ2);
2. D = 0: raızes reais e iguais (ξ1 = ξ2);
3. D < 0: raızes complexas (ξ2 = ξ∗1).
Podemos escrever a solucao geral dada por (6.24):
wt = At · w0, (6.33)
em termos dos autovalores e autovetores da matriz A, que satisfazem
A · u = ξu. (6.34)
Multiplicando a matriz A pela equacao acima temos, por inducao finita,
A · (A · u) = A · (ξu),
A2 · u = ξA · u = ξ2u,
......
At · u = ξtu. (6.35)
Comparando (6.35) com (6.33) vemos que wt deve ser proporcional a ξtu. Defato, como temos dois autovalores, ξ1 e ξ2, temos a combinacao linear de ambos:
wt = c1ξt1u1 + c2ξ
t2u2, (6.36)
onde c1 e c2 sao dois coeficientes ainda a determinar, a partir das condicoesiniciais do problema, que sao as componentes do vetor w0.
A natureza do ponto fixo, bem como das orbitas do modelo discreto na suavizinhanca, dependem dos autovalores da matriz dos coeficientes, tal como emmodelos contınuos. Vamos, assim, discutir separadamente as diversas situacoespossıveis por meio de exemplos, para os quais exibiremos as solucoes analıticasna forma (6.36). Um tratamento mais geral, usando as propriedades das formasde Jordan, sera deixado para o proximo capıtulo. Alem disso, nos exemplos aserem tratados a seguir o ponto fixo estara na origem do plano de fase, de talsorte que w(t) = v(t).
281
6.2.1 Autovalores reais e distintos
No estavel (|ξ1| < 1 e |ξ2| < 1)
Como um exemplo, vamos considerar o modelo discreto bidimensional
xt =1
2xt−1 + 2yt−1, (6.37)
yt = −1
4yt−1, (6.38)
com os coeficientes formando a matriz
A =
(1/2 20 −1/4
)
, (6.39)
cujos autovalores sao ξ1 = 1/2 e ξ2 = −1/4. Como B = 0 o ponto fixo temcoordenadas (x∗ = 0, y∗ = 0).
Os autovetores da matriz dos coeficientes sao as solucoes da equacao (A −ξI) · u = 0, ou seja
(1/2 − ξ 2
0 −1/4 − ξ
)(ux
uy
)
=
(00
)
. (6.40)
As componentes do autovetor correspondendo ao autovalor ξ1 = 1/2 sao assolucoes do sistema 2uy = 0, −(3/4)uy = 0, cuja unica solucao e uy = 0, ficandoa outra componente indeterminada. Arbitrando, por simplicidade, ux = 1 oautovetor (nao-normalizados) e
u1 =
(10
)
. (6.41)
Analogamente, o autovetor correspondente ao autovalor ξ2 = −1/4 e
u2 =
(8−3
)
. (6.42)
Aplicando a combinacao linear destes dois autovetores, em vista da equacao(6.36), temos
(xt
yt
)
= c12−t
(10
)
+ c2(−4)−t
(83,
)
(6.43)
ou entao
xt = c12−t + 8c2(−4)
−t, (6.44)
yt = −3c2(−4)−t. (6.45)
Quando o tempo t tende ao infinito, as potencias acima tendem a zero,de modo que xt e yt tendem a zero, de modo que o ponto fixo na origem eassintoticamente estavel, tambem chamado de no estavel (em analogia com aterminologia introduzida no Capıtulo 2 para modelos contınuos). Para termosuma ideia de como os pontos da orbita aproximam-se do ponto fixo, vamosconsiderar a seguinte condicao inicial
v0 =
(x0
y0
)
, (6.46)
282
-4 -2 0 2 4x
t
-2
-1
0
1
2
y t
u2
Figura 6.2: Orbitas do modelo (6.37)-(6.38) na vizinhanca de um no estavel naorigem. As linhas pontilhadas servem apenas para indicar a ordem em que ospontos sucedem-se, nao correspondendo a trajetorias do modelo.
de modo que, colocando t = 0 em (6.44)-(6.45), resulta no sistema
x0 = c1 + 8c2, (6.47)
y0 = −3c2, (6.48)
cuja solucao fornece os coeficientes
c1 = x0 +8
3y0, (6.49)
c2 = −13y0, (6.50)
A solucao final do modelo sera, portanto,
xt = x0.2−t +
8
3y0(2
−t − (−4)−t
), (6.51)
yt = y0(−4)−t. (6.52)
Nos representamos graficamente algumas das solucoes, para diferentes valo-res das condicoes iniciais (x0, y0) na Fig. 6.2. Como os pontos de cada orbitacorrespondem a instantes de tempo discretos as linhas pontilhadas foram inclui-das apenas como auxılio a visualizacao da evolucao dos valores de x(t) e y(t).Observamos que, ao longo da direcao u2 (correspondente ao autovalor negativo)o comportamento das iteracoes e oscilatorio na sua convergencia a origem, aopasso que ao longo do eixo x, que e a auto-direcao relativa ao autovalor positivo,as iteracoes proximas ao no tendem a zero de forma nao-oscilatoria. Em geral, asiteracoes correspondentes a autodirecao com autovalor negativo (positivo) apre-sentam um comportamento predominantemente oscilatorio (nao-oscilatorio).
283
No instavel (|ξ1| > 1 e |ξ2| > 1)
Exemplificaremos com o modelo
xt = xt−1 + yt−1, (6.53)
yt = −4xt−1 − 2yt−1, (6.54)
com os coeficientes formando a matriz
A =
(1 14 −2
)
, (6.55)
cujos autovalores sao ξ1 = 2 e ξ2 = −3, correspondendo aos seguintes autoveto-res (nao-normalizados)
u1 =
(11
)
, u2 =
(1−4
)
. (6.56)
Aplicando a combinacao linear destes dois autovetores, em vista da equacao(6.36), temos
(xt
yt
)
= c12t
(11
)
+ c2(−3)t
(1−4
)
, (6.57)
tal que
xt = c12t + c2(−3)
t, (6.58)
yt = c12t − 4c2(−3)
t. (6.59)
Para o tempo t tendendo ao infinito, as potencias acima tambem tendem aoinfinito tal qual xt e yt, de modo que o ponto fixo na origem e instavel (noinstavel). Considerando a condicao inicial (x0, y0) e fazendo t = 0 em (6.58)-(6.59), obtemos o sistema
x0 = c1 + c2, (6.60)
y0 = c1 − 4c2, (6.61)
cuja solucao e
c1 =4x0 + y0
5, (6.62)
c2 =x0 − y0
5, (6.63)
Substituindo (6.62)-(6.63) em (6.58)-(6.59) chegamos a solucao geral do modelo
xt =
(4x0 + y0
5
)
2t +
(x0 − y0
5
)
(−3)t, (6.64)
yt =
(4x0 + y0
5
)
2t − 4
(x0 − y0
5
)
(−3)t. (6.65)
Na Fig. 6.3 representamos orbitas originadas de alguns valores de (x0, y0).Quando a condicao inicial e colocada exatamente sobre a direcao do autove-tor u1 (correspondente ao autovalor positivo) as iteracoes sucessivas do modelopermanecem sobre essa auto-direcao, como esperado, e divergem de forma mo-notonica. Ja ao longo da direcao definida por u2, cujo autovalor e negativo, essadivergencia ocorre de forma oscilatoria.
284
-2 -1 0 1 2x
t
-2
-1
0
1
2
y t
u2
Figura 6.3: Orbitas do modelo (6.53)-(6.54) na vizinhanca de um no instavel naorigem.
Ponto de sela (|ξ1| < 1 e |ξ2| > 1 ou vice-versa)
Um exemplo representativo e
xt = −1
2xt−1, (6.66)
yt = −3xt−1 + 2yt−1, (6.67)
com os coeficientes formando a matriz
A =
(−1/2 0
3 2
)
, (6.68)
com autovalores ξ1 = −1/2 e ξ2 = 2, correspondendo respectivamente aos auto-vetores (nao-normalizados)
u1 =
(5−6
)
, u2 =
(01
)
. (6.69)
A solucao geral e a combinacao linear
(xt
yt
)
= c1(−2)−t
(56
)
+ c22t
(01
)
, (6.70)
fornecendo
xt = 5c1(−2)−t, (6.71)
yt = −6c1(−2)−t
+ c22t. (6.72)
que, para t = 0, resulta em
x0 = 5c1, (6.73)
y0 = −6c1 + c2, (6.74)
285
-4 -2 0 2 4x
t
-6
-4
-2
0
2
4
6
y t
auto-direção instável
auto-direção estável
Figura 6.4: Orbitas do modelo (6.66)-(6.67) na vizinhanca de um ponto de selana origem.
cuja solucao fornece
c1 =1
5x0, (6.75)
c2 =6
5x0 + y0, (6.76)
de forma que
xt = x0(−2)−t, (6.77)
yt = −6
5x0(−2)
−t+
(6
5x0 + y0
)
2t. (6.78)
O ponto fixo na origem e um ponto de sela. Se colocarmos a condicao ini-cial sobre a auto-direcao u1, que corresponde ao autovalor com modulo menorque um, os pontos subsequentes da orbita aproximam-se da origem assintotica-mente, nunca deixando a direcao onde estao (auto-direcao invariante estavel).Alem disso, a convergencia e oscilatoria, ja que o autovalor e negativo. Se(x0, y0) forem escolhidos ao longo da direcao u2, eles afastar-se-ao da origemsem abandonar essa direcao (auto-direcao invariante instavel). Como o autova-lor e tambem positivo, essa divergencia e monotonica. Para condicoes iniciaisem geral as orbitas afastam-se da origem, divergindo ao longo da auto-direcaoinstavel de forma monotonica e oscilando ao longo da auto-direcao estavel [Fig.6.4].
6.2.2 Autovalores reais e iguais
Ha diversas situacoes onde os autovalores sao reais e iguais, mas, para tornar aexposicao mais concisa limitar-nos-emos a um unico exemplo:
xt = 3xt−1 − 18yt−1, (6.79)
yt = 2xt−1 − 9yt−1, (6.80)
286
que fornece a matriz de coeficientes
A =
(3 −182 −9
)
, (6.81)
com autovalores iguais a ξ1 = ξ2 = −3.Na secao 2.3 vimos como determinar dois autovetores linearmente indepen-
dentes para este exemplo, a saber,
u1 =
(31
)
, u2 =
(3t+ 1/2
t
)
, (6.82)
de forma que podemos escrever a solucao geral em termos de uma combinacaolinear destes autovetores, segundo (6.36),
(xt
yt
)
= c1(−3)t
(31
)
+ c2(−3)t
(3t+ 1/2
t
)
, (6.83)
que e desdobrada como
xt = 3c1(−3)t+ c2(3t+ 1/2)(−3)
t, (6.84)
yt = c1(−3)t − tc2(−3)
t. (6.85)
Vimos, no capıtulo 2, que, usando a regra de L’Hopital, temos
limt→∞
tat−1 =
{
0, se |a| < 1,
∞, se |a| ≥ 1.(6.86)
Logo quando o tempo t tende ao infinito, os valores de xt e yt tambem divergem,ou seja, tendem ao infinito, de sorte que o ponto fixo na origem e um no instaveldegenerado. Considerando a condicao inicial (x0, y0), tomando t = 0 em (6.84)-(6.85), resulta o sistema
x0 = 3c1 + 1/2c2, (6.87)
y0 = c1, (6.88)
de modo que as constantes na solucao geral sao dadas por
c1 = y0, (6.89)
c2 = 2(x0 − 3y0), (6.90)
ou seja,
xt = 3y0(−3)t+
(
3t+1
2
)
2(x0 − 3y0)(−3)t, (6.91)
yt = y0(−3)t+ 2t (x0 − 3y0) (−3)
t. (6.92)
Representamos algumas orbitas na Fig. 6.5 para diferentes condicoes iniciais(x0, y0) (os pontos das orbitas sao representados por sımbolos diferentes paramaior clareza). Observamos que os pontos afastam-se da origem a partir de umadirecao predominante nas primeiras iteracoes, que e justamente a determinadapelo autovetor u1. Essa concentracao dos pontos na autodirecao correspondenteao autovalor degenerado (comum) e uma caracterıstica dessa situacao, ocorrendotambem, por exemplo, para o no estavel degenerado. Em outros casos temos,ainda, nos estavel e instavel degenerados do tipo estrela.
287
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10x
t
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
y t
u1
Figura 6.5: Orbitas do modelo (6.79)-(6.80) Solucoes na vizinhanca de um noinstavel degenerado na origem.
6.2.3 Autovalores complexos
Vamos inicialmente considerar um modelo discreto bidimensional mais generico,que servira de paradigma aos exemplos que virao mais a frente:
xt = axt−1 − byt−1, (6.93)
yt = bxt−1 + ayt−1 (6.94)
onde a e b sao coeficientes formando a seguinte matriz
A =
(a −bb a
)
, (6.95)
cujo autovalores sao as raızes da equacao secular
det(A − ξI) =
∣∣∣∣
a− ξ −bb a− ξ
∣∣∣∣= (a− ξ)
2+ b2 = 0, (6.96)
(a− ξ) = ±ib2 = 0,
ξ = a∓ bi, (6.97)
ou seja, ξ1 = a− bi e ξ2 = a+ bi.Os autovetores correspondentes a esses autovalores sao as solucoes da equacao
matricial
(A − ξI)u = 0, (6.98)(a− ξ −bb a− ξ
)(ux
uy
)
=
(00
)
, (6.99)
que desdobra-se no sistema
(a− ξ)ux − buy = 0, (6.100)
bux + (a− ξ)uy = 0, (6.101)
288
ambas fornecendo a mesma informacao: uy = (a − ξ)ux/b com ux arbitrario.Para o autovalor ξ1 = a − bi temos que uy = iux. Tomando, por simplicidade,ux = 1, entao uy = i, de modo que o autovetor (complexo) correspondente e
u1 =
(1i
)
. (6.102)
Analogamente, o autovetor correspondente ao autovalor ξ2 = a+ bi e
u2 =
(1−i
)
. (6.103)
Como os autovalores sao numeros complexos, e conveniente trabalhar comos mesmos na forma trigonometrica, o que equivale a empregar coordenadaspolares no plano complexo, a partir das relacoes
a = r cos θ, (6.104)
b = r sin θ, (6.105)
Elevando ao quadrado as equacoes acima e somando membro a membro, tendoem conta a identidade trigonometrica sin2 θ + cos2 θ = 1,
a2 + b2 = r2 =⇒ r =√
a2 + b2, (6.106)
ja que o raio r e positivo por definicao. Dividindo (6.105) por (6.104) temos,lembrando que tan θ = sin θ/ cos θ,
tan θ =
(b
a
)
=⇒ θ = arctan
(b
a
)
. (6.107)
Podemos, agora, escrever a solucao geral do modelo em termos de umacombinacao linear dos autovetores complexos, usando a equacao (6.36):
(xt
yt
)
= c1(a− bi)t
(1i
)
+ c2(a+ bi)t
(1−i
)
, (6.108)
As potencias dos autovalores complexos podem ser efetuadas usando a formaexponencial dos mesmos:
(a± bi)t= (r cos θ ± ir sin θ)
t= (re±iθ)
t= rte±itθ, (6.109)
de forma que (6.108) fica
xt = c1rte−itθ + c2r
teitθ, (6.110)
yt = ic1rte−itθ − ic2r
teitθ. (6.111)
Supondo a condicao inicial (x0, y0) e colocando t = 0 em (6.110)-(6.111),
x0 = c1 + c2, (6.112)
y0 = ic1 − ic2, (6.113)
289
de modo que as constantes na combinacao linear dos autovetores sao tambemnumeros complexos
c1 =x0 − iy0
2, (6.114)
c2 =x0 + iy0
2= c∗1, (6.115)
ou seja,
xt =
(x0 − iy0
2
)
rte−itθ +
(x0 + iy0
2
)
rteitθ, (6.116)
yt = i
(x0 − iy0
2
)
rte−itθ − i
(x0 + iy0
2
)
rteitθ. (6.117)
As expressoes acima tornam-se mais praticas se empregarmos as seguintes relacoesentre funcoes trigonometricas e exponenciais complexas
cos θ =eitθ + e−itθ
2, (6.118)
sin θ =eitθ − e−itθ
2i, (6.119)
com as quais temos, para (6.116)-(6.117), a solucao geral do modelo bidimensi-onal
xt = rt [x0 cos(tθ) − y0 sin(tθ)] , (6.120)
yt = rt [x0 sin(tθ) + y0 cos(tθ)] . (6.121)
Sabemos que os autovalores da matriz dos coeficientes, quando complexos,sao mutuamente conjugados: ξ1 = ξ∗2 . Por exemplo, se ξ1 = a + bi, entaoξ2 = a − bi, de modo que seus modulos sao iguais: |ξ1| = a2 + b2 = |ξ2|. Logo,basta analisar um dos autovalores para saber se o ponto fixo e estavel ou instavel.Ha, pois, tres casos possıveis:
Centro (|ξ1| = |ξ2| = 1)
Esse tipo de ponto fixo pode ser exemplificado pelo modelo discreto bidimensi-onal
xt = yt−1, (6.122)
yt = −xt−1, (6.123)
cuja matriz dos coeficientes,
A =
(0 1−1 0
)
, (6.124)
e um caso particular do sistema geral, para o qual a = 0 e b = −1. Temos, pois,que de (6.106) e (6.107),
r =√
02 + 11 = 1 (6.125)
θ = arctan
(−1
0
)
= arctan(−∞) = −π2
rad. (6.126)
290
-2 -1 0 1 2x
t
-2
-1
0
1
2
y tR
Figura 6.6: Orbitas do modelo (6.122)-(6.123) na vizinhanca de um centro naorigem.
Como os autovalores nesse caso, ξ1 = i e ξ2 = −i, tem modulo igual aum, pelo criterio de estabilidade linear nao e possıvel saber se o ponto fixo naorigem e estavel ou instavel. No entanto, podemos investigar o comportamentodas iteracoes do modelo nas vizinhancas do ponto fixo, usando a solucao geraldada por (6.120)-(6.121).
xt = x0 cos(π
2t)
+ y0 sin(π
2t)
, (6.127)
yt = −x0 sin(π
2t)
+ y0 cos(π
2t)
(6.128)
onde usamos que cos(−θ) = cos θ e que sin(−θ) = − sin θ. Elevando ambas aoquadrado chegamos as equacoes
x2t = x2
0 cos2(π
2t)
+ 2x0y0 sin(π
2t)
cos(π
2t)
+ y20 sin2
(π
2t)
, (6.129)
y2t = x2
0 sin2(π
2t)
− 2x0y0 sin(π
2t)
cos(π
2t)
+ y20 cos2
(π
2t)
, (6.130)
que, somadas membro a membro, tendo em conta a identidade trigonometricasin2 θ + cos2 θ = 1, fornecem
x2t + y2
t = x20 + y0 ≡ R2, (6.131)
que e a equacao de um cırculo no plano de fase (x, y) com centro na origeme raio R. Interpretamos esse resultado dizendo que as iteracoes sucessivas domodelo jazem sobre um cırculo de raio R e centro no ponto fixo. Este e, por suavez, chamado centro, e nao pode ser classificado a rigor nem como estavel nemcomo instavel, pois as orbitas permanecem nesse cırculo nem aproximando-senem afastando-se indefinidamente da origem [Fig. 6.6].
291
-4 -2 0 2 4 6x
t
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y t
Figura 6.7: Orbitas do modelo (6.132)-(6.133) na vizinhanca de um foco estavelna origem.
Foco estavel (|ξ1| = |ξ2| < 1)
Consideremos o seguinte exemplo
xt =1
2xt−1 + yt−1, (6.132)
yt = −xt−1 +1
2yt−1, (6.133)
com a matriz de coeficientes
A =
(1/2 1−1 −1/2
)
, (6.134)
que e um caso particular do sistema geral, onde a = 1/2 e b = −1. Usando(6.106) e (6.107), temos
r =
√
(1/4)2
+ 11 =
√3
2≈ 0, 8 < 1, (6.135)
θ = arctan
(−1
1/2
)
= arctan(−2) ≈ −1, 107. (6.136)
Os autovalores da matriz dos coenficientes tem modulo r menor que um, talque o ponto fixo na origem e assintoticamente estavel. Como os autovaloressao complexos, esperamos que a convergencia ao ponto fixo seja oscilatoria paraambas as direcoes do plano de fase. Esse fato pode ser observado diretamentepor meio da solucao geral (6.120)-(6.121):
xt = (0, 8)t[x0 cos (1, 107t) + y0 sin (1, 107t)] , (6.137)
yt = (0, 8)t[−x0 sin (1, 107t) + y0 cos (1, 107t)] . (6.138)
A distancia dos pontos (xt, yt) a origem diminui a cada iteracao, ao mesmotempo que os seus valores oscilam em torno de zero, de modo que a aproximacao
292
a origem e feita segundo uma espiral convergente de pontos [Fig. 6.7].O pontofixo e dito um foco estavel, nesse caso. Como θ < 0 o sentido da rotacao dospontos das orbitas e horario (negativo).
Foco instavel (|ξ1| = |ξ2| > 1)
Um exemplo ilustrativo para este caso e
xt =3
2xt−1 − 2yt−1, (6.139)
yt = 2xt−1 +3
2yt−1, (6.140)
com coeficientes
A =
(3/2 −22 3/2
)
, (6.141)
que recaem no sistema geral, para a = 3/2 e b = 2, donde
r =
√
(3/2)2
+ 21 =5
2= 2, 5 > 1 (6.142)
θ = arctan
(2
3/2
)
= arctan(4/3) ≈ 0, 927 (6.143)
Tendo os autovalores modulos maiores que um, o ponto fixo sera instavel.Os pontos da orbita afastam-se do ponto fixo com o tempo de forma oscilatoriaem ambas as direcoes, de forma que a origem seja um foco instavel [Fig. 6.8].A solucao geral (6.120)-(6.121) para esse exemplo sera
xt = (2, 5)t[x0 cos (0, 927t) − y0 sin (0, 927t)] , (6.144)
yt = (2, 5)t[x0 sin (0, 927t) + y0 cos (0, 927t)] . (6.145)
Uma vez que θ > 0 o sentido da rotacao dos pontos ao longo da espiral divergentee anti-horario (positivo).
6.2.4 Criterio geral de estabilidade
Independentemente de qual o caso considerado, dentre os anteriormente estu-dados, podemos estabelecer um criterio geral para que o ponto fixo w∗ = 0 sejaassintoticamente estavel: os autovalores da matriz A devem ter modulo menordo que um (isto e, devem estar dentro do cırculo unitario, no plano complexo):
w∗ = 0 e estavel se |ξ1| < 1, |ξ2| < 1, (6.146)
onde, se os autovalores forem reais (casos I e II), o modulo e o proprio valorabsoluto; caso sejam complexos (caso III), o modulo e calculado como
|ξ1,2|2 = µ2 + σ2. (6.147)
Para modelos bidimensionais os autovalores sao do que as raızes da equacaoquadratica (2.34)
ξ2 + a1ξ + a2 = ξ2 − τξ + ∆ = 0. (6.148)
293
-4 -2 0 2 4x
t
-4
-2
0
2
4
y t
Figura 6.8: Orbitas do modelo (6.139)-(6.140) na vizinhanca de um foco instavelna origem.
Se o ponto fixo e assintoticamente estavel as raızes de (6.148) terao modulosmenores do que um. Pode-se demonstrar que isso acontece se, e somente se, astres inequacoes abaixo forem satisfeitas simultaneamente:
1 + a1 + a2 = 1 − τ + ∆ > 0, (6.149)
1 − a2 = 1 − ∆ > 0, (6.150)
1 − a1 + a2 = 1 + τ + ∆ > 0. (6.151)
que sera visto, no proximo capıtulo, como o caso particular de um criterio maisgeral (Schur) para estabilidade de pontos fixos.
Podemos representar graficamente as tres condicoes de estabilidade acimapor meio de um diagrama, em cujos eixos horizontal e vertical representamos,respectivamente, o traco e o determinante da matriz dos coeficientes. A condicao(6.149), 1 − τ + ∆ > 0 define uma reta crıtica I : ∆ = τ − 1 no diagrama [Fig.6.9(a)], de modo que os valores de τ e ∆ para os quais o ponto fixo e estavelsituam-se a esquerda da reta I. Ja a segunda condicao (6.150): 1−∆ > 0 defineuma outra reta crıtica II : ∆ = 1, paralela ao eixo horizontal do diagrama[Fig. 6.9(b)], de modo o ponto fixo e estavel para valores abaixo da reta II.Finalmente, o requisito (6.151), 1+ τ +∆ > 0 define uma reta crıtica III : ∆ =−τ − 1 no diagrama [Fig. 6.9(c)], tal que os pontos que fornecem a estabilidadeencontram-se a direita da reta III.
A uniao das tres condicoes fornece, como domınio de estabilidade do pontofixo, um triangulo limitado pelas retas I, II e III [Fig. 6.10]. Da equacao (6.32),os autovalores serao reais se o discriminante da equacao secular for nao-negativo,ou seja, se D = τ2 − 4∆ ≥ 0 que, por sua vez, determina uma curva crıticaIV : ∆ = τ2/4. Esta e uma parabola com vertice na origem e concavidade paracima, a qual e tangente, tanto ao eixo horizontal do diagrama, como tambem aoslados do triangulo de estabilidade nos seus vertices superiores, de coordenadas(±2, 1). Logo, os valores de τ e ∆ para os quais o ponto fixo e um no estavel(autovalores reais) situam-se abaixo da curva IV (mas dentro do triangulo).
294
∆
τ
(a)
I
1
−1
III∆
τ−1
(c)
−1
τ
II
∆ (b)
1
−1
∆1
−2 1−1 τ
(d)
2
Figura 6.9: Retas correspondentes as condicoes gerais de estabilidade do pontofixo no plano determinante versus traco da matriz A.
−1
∆1
τ21−1−2 no estavel
foco instavel
no instavel
IV
foco estavel
Figura 6.10: Triangulo de estabilidade para o ponto fixo de modelos bidimensi-onais.
295
Os pontos dentro do triangulo, porem acima da parabola IV correspondema um foco estavel, ja que os autovalores sao complexos conjugados. Usandoo triangulo de estabilidade, pois, podemos determinar graficamente o tipo deestabilidade do ponto fixo, bem como o modo de convergencia (monotonica ouoscilatoria) a ele.
6.3 Exemplo em Economia: Modelo de multiplicador-
acelerador de Samuelson
O modelo de interacao multiplicador-acelerador, introduzido por P. Samuelsonem 1939, descreve a dinamica da renda nacional a partir da combinacao do mul-tiplicador Keynesiano com um princıpio de aceleracao. Nossa descricao seguirao tratamento classico encontrado, por exemplo, em [21] e [19].
6.3.1 Hipoteses e equacoes do modelo
Sejam Ct o consumo num perıodo t, Yt a renda correspondente, Zt a demandapor bens, Gt o gasto governamental, e It o investimento. Numa economiafechada (sem considerar importacoes ou exportacoes) a demanda e igual a somado consumo, do investimento induzido, e dos gastos governamentais:
Zt = Ct + It +Gt, (6.152)
onde suporemos que os gastos governamentais representam uma variavel exogena:Gt = G.
Desconsiderando o papel de impostos e transferencias governamentais, po-demos supor que o consumo num certo perıodo e uma funcao linear da rendano perıodo anterior:
Ct = γYt−1, (6.153)
onde 0 < γ < 1 e a propensao marginal de consumo.O investimento num dado perıodo, por sua vez, dependera da variacao do
consumo entre o perıodo atual e o precedente:
It = α(Ct − Ct−1), (6.154)
onde α > 0 e dito o “coeficiente de aceleracao”. Substituindo (6.153) em (6.154)teremos
It = αγ(Yt−1 − Yt−2), (6.155)
que e uma forma alternativa. O coeficiente αγ e o volume de capital necessariopara produzir uma unidade de bens durante um perıodo de tempo. Se o in-vestimento induzido fosse suprimido do modelo, este redundaria num modelounidimensional descrevendo o multiplicador Keynesiano usual. E justamente oinvestimento induzido que gera a interacao multiplicador-acelerador e a conse-quente obtencao de um modelo bidimensional.
A hipotese de equilıbrio macroeconomico e a de que, em cada perıodo, arenda seja igual a demanda, de modo que
Yt = Zt. (6.156)
296
Substituindo (6.152), (6.153) e (6.155) em (6.156), temos
Yt = Ct + It +Gt = Ct + It + G,
= γYt−1 + αγ(Yt−1 − Yt−2) + G,
= γ(1 + α)Yt−1 − αγYt−2 + G, (6.157)
que pode ser transformada num modelo discreto bidimensional linear definindoas seguintes variaveis:
yt ≡ Yt, (6.158)
xt−1 = Yt−2 ⇒ xt = Yt−1. (6.159)
Usando-as em (6.157) resulta
xt = yt−1, (6.160)
yt = −αγxt−1 + γ(1 + α)yt−1 + G, (6.161)
que tem a forma geral (6.7) onde as matrizes dos coeficientes sao dadas por
A =
(0 1
−γα γ(1 + α)
)
, B =
(0G
)
, (6.162)
6.3.2 Ponto fixo e sua estabilidade
Sabemos que o ponto fixo de um modelo discreto linear e dado por
v∗ =
(x∗
y∗
)
= (I − A)−1 · B, (6.163)
onde, em nosso modelo,
I − A =
(1 −1γα 1 − γ(1 + α)
)
, (6.164)
cujo determinante e
det(I − A) = 1 − γ(1 + α) + γα = 1 − γ, (6.165)
de modo que a matriz (I − A)−1
existe desde que γ 6= 1, sendo dada por
(I − A)−1
=1
1 − γ
(1 − γ(1 + α) 1
−γα 1
)
. (6.166)
Logo, o ponto fixo e o vetor(x∗
y∗
)
=1
1 − γ
(1 − γ(1 + α) 1
−γα 1
)(0G
)
=G
1 − γ
(11
)
. (6.167)
Podemos interpretar economicamente este resultado dizendo que a renda deequilıbrio e dada por
Y ∗ = x∗ = y∗ =1
1 − γG, (6.168)
297
onde o fator 1/(1− γ) e o “multiplicador” Keynesiano. Como 0 < γ < 1, entaotambem 0 < 1 − γ < 1, ou seja, 1/(1 − γ) > 1, de modo que espera-se que estefator multiplique o gasto governamental, traduzindo-o num aumento da renda,ou seja, criando um “cırculo virtuoso”. Quanto maior for a propensao marginalao consumo, ou seja, quanto mais γ aproximar-se de 1, maior sera o valor domultiplicador correspondente.
A estabilidade deste ponto fixo depende dos autovalores da matriz A, osquais dependem do seu traco, determinante e discriminante, a saber:
τ = trA = γ(1 + α), (6.169)
∆ = detA = γα. (6.170)
D =
(γ(1 + α)
2
)2
− γα. (6.171)
Os autovalores ξ1,2 serao reais se D ≥ 0, ou seja, caso
γ2(1 + α)2 − 4γα ≥ 0,
γ2(1 + α)2 ≥ 4γα,
γ ≥ γ∗ ≡ 4α
(1 + α)2 , (6.172)
e complexos caso contrario. Se γ = γ∗ o discriminante e nulo e os autovaloressao iguais. O ponto fixo w∗ = 0 sera assintoticamente estavel se os autovalorestiverem modulos menores que 1, o que, pelas condicoes (6.149), (6.150) e (6.151),ocorrera se e somente se as seguintes desigualdades forem satisfeitas:
1 − τ + ∆ = 1 − γ(1 + α) + γα = 1 − γ > 0, (6.173)
1 − ∆ = 1 − γα > 0, (6.174)
1 + τ + ∆ = 1 + γ(1 + α) + γα = 1 + γ(1 + 2α) > 0. (6.175)
A condicao (6.173) e sempre satisfeita, uma vez que 0 < γ < 1. A terceira,(6.175), tambem e trivialmente satisfeita para γ e α positivos. Ja a condicao(6.174) implica em que o ponto fixo sera assintoticamente estavel se
γ <1
α, (6.176)
tanto no caso de autovalores reais como complexos. As varias situacoes possıveispodem ser esquematizadas na Tabela 6.3.2.
Uma maneira conveniente de visualizar estas condicoes de estabilidade con-siste em construir um grafico da propensao de consumo γ versus o coeficientedo multiplicador α (Fig. 6.11), lembrando que, enquanto α pode ter qualquervalor real, γ esta limitado ao intervalo [0, 1]. Pela Tabela 6.3.2, as diferentespropriedades de estabilidade do ponto fixo estao delimitadas graficamente pelasseguintes curvas
A : γ = γ∗ =4α
(1 + α)2 , B : γ =
1
α.
Os pontos acima (abaixo) da curva A sao nos (focos); enquanto os pontos aesquerda (direita) da curva B sao estaveis (instaveis). Pode-se ver claramente
298
Autovalores Condicao Modulos Condicao Ponto fixo
reais γ ≥ γ∗ < 1 γ < (1/α) no estavelreais γ ≥ γ∗ > 1 γ > (1/α) no instavelreais γ ≥ γ∗ > 1, < 1 γ = (1/α) ponto de sela
complexos γ < γ∗ < 1 γ < (1/α) foco estavelcomplexos γ < γ∗ < 1 γ > (1/α) foco instavel
Tabela 6.1: Estabilidade do ponto fixo no modelo de multiplicador-aceleradorde Samuelson
0 1 2 3 4 5α
0
0,5
1
1,5
γ
B
A
foco estável
foco instável
nó estável nó instável
ponto de sela
Figura 6.11: Plano de parametros no modelo de multiplicadores
que ha um unico par de valores no plano de parametros que corresponde aum ponto de sela, justamente a intersecao das duas curvas, em γ = α = 1.Como e desejavel que a renda de equilıbrio seja assintoticamente estavel, eque a convergencia a ela seja monotonica, ou seja, um no estavel, uma escolhaconveniente de parametros e uma alta propensao de consumo, combinada comum baixo coeficiente do multiplicador (menor do que 1).
6.4 Modelos discretos bidimensionais nao-lineares
Seja o modelo discreto bidimensional nao-linear geral
xt = f(xt−1, yt−1), (6.177)
yt = g(xt−1, yt−1), (6.178)
onde f(x, y) e g(x, y) sejam funcoes reais suficientemente suaves de seus argu-mentos, ou seja, contınuas e derivaveis nos seus respectivos domınios. Podemosescrever este modelo discreto na forma matricial
vt = F(vt−1), (6.179)
299
definindo os vetores-coluna
vt =
(xt
yt
)
, (6.180)
e a funcao vetorial de argumento tambem vetorial
F(vt−1) =
(f(xt−1, yt−1)g(xt−1, yt−1)
)
. (6.181)
6.4.1 Pontos fixos
Um ponto fixo de um modelo discreto bidimensional como (7.178) e o vetor
v∗ =
(x∗
y∗
)
, (6.182)
que mapeia a si proprio pela acao do modelo discreto, ou seja
v∗ = F(v∗). (6.183)
Como um exemplo, vamos considerar o modelo discreto bidimensional nao-linear proposto por Henon em 1976 [?]
xt = f(xt−1, yt−1) = a− x2t−1 + byt−1, (6.184)
yt = g(xt−1, yt−1) = xt−1, (6.185)
onde a e b sao ambos parametros positivos. O ponto fixo sera dado pela solucaodo sistema de equacoes (6.181)
x∗ = a− (x∗)2
+ by∗, (6.186)
y∗ = x∗. (6.187)
Substituindo a segunda equacao na primeira obtemos uma equacao do segundograu para x∗:
(x∗)2
+ (1 − b)x∗ − a = 0, (6.188)
cuja solucao e
x∗+,− = y∗+,− =b− 1 ±
√
(b− 1)2
+ 4a
2, (6.189)
ou seja, ha dois pontos fixos em geral (um para o sinal positivo, outro para osinal negativo). Na notacao matricial:
v∗+ =
(x∗+y∗+
)
= x∗+
(11
)
, v∗− =
(x∗−y∗−
)
= x∗−
(11
)
. (6.190)
noindent Para que ambos sejam reais, e necessario que o radicando em (11.5)seja nao-negativo, o que implica em
4a ≥ −(1 − b)2. (6.191)
300
6.4.2 Orbitas periodicas
Uma orbita periodica de perıodo 2, tambem chamada 2-ciclo, e um conjuntode dois vetores {v∗
1,v∗2} tais que um mapeia no outro, e vice-versa, da mesma
forma que em modelos discretos unidimensionais
v∗1 = F(v∗
2), v∗2 = F(v∗
1), (6.192)
tal que v∗2 = F(F(v∗
2)) = F[2](v∗2). Consequentemente tanto v∗
2 como v∗1 sao
um ponto fixo da segunda iterada do modelo discreto F(v). Logo, os pontos deuma orbita de perıodo 2 sao solucoes de
v∗ = F[2](v∗) = F(F(v∗)). (6.193)
De modo geral, diz-se que v∗ e um ponto de perıodo m (ou m-periodico) domodelo discreto F(v) se ele for um ponto fixo da sua m-esima iterada
v∗ = F[m](v∗), (6.194)
sendo distintos os demais pontos v∗, F(v∗), F[2](v∗), · · ·F[m−1](v∗) forem dis-tintos. Se v∗ for um ponto de perıodo m, as suas imagens formam uma orbitade perıodo m (ou m-ciclo):
{v∗,F(v∗),F[2](v∗), · · ·F[m−1](v∗)}. (6.195)
Dessa forma, um m-ciclo e um conjunto de m pontos de perıodo m{v∗
1,v∗2,v
∗3, . . .v
∗m} que satisfazem
v∗i+1 = F(v∗
i ), (i = 1, 2, . . .m− 1), (6.196)
v∗1 = F(v∗
m).
Aplicando tais condicoes acima a um ponto generico do m-ciclo, x∗k, obtemos
v∗k = F(v∗
k−1) = F(F(v∗k−2)) = F(F(F(v∗
k−3))) = · · · = F[m](v∗k), (6.197)
onde k = 1, 2, · · ·m. Nem todos os pontos de perıodo m pertencem a um m-ciclo, ja que alguns dos pontos de perıodo m sao tambem pontos de perıodom− 1 e assim por diante. Essa discussao foi aprofundada no Capıtulo 5.
Novamente, nosso exemplo sera o modelo de Henon (11.19)-(11.20) , para oqual os pontos de uma orbita de perıodo 2 serao denotados como
v∗1 =
(x∗1y∗1
)
, v∗2 =
(x∗2y∗2
)
, (6.198)
e que satisfazem v∗k = F[2](v∗
k), ou seja, como
xt = f(xt−1, yt−1) = a− x2t−1 + byt−1, (6.199)
yt = g(xt−1, yt−1) = xt−1, (6.200)
procuramos a solucao (x, y) do seguinte sistema de equacoes algebricas acopla-das:
x = f(f(x, y), g(x, y)) = a− f(x, y)2
+ bg(x, y),
= a− (a− x2 + by)2
+ bx, (6.201)
y = g(f(x, y), g(x, y)) = f(x, y) = a− x2 + by. (6.202)
301
Podemos abrir (6.201) na forma
x = a− [(a− x2) + by]2
+ bx,
0 = −x+ bx+ a− [(a− x2)2
+ 2(a− x2)by + b2y2],
0 = (b− 1)x+ a− (x2 − a)2 − 2b(a− x2)y − b2y2, (6.203)
Isolando y em (6.202) temos
y =a− x2
1 − b, (6.204)
que, substituida em (6.203), fornece
0 = (b− 1)x+ a− (x2 − a)2 − 2b(a− x2)
(a− x2
1 − b
)
− b2(a− x2
1 − b
)2
,
=1
(1 − b)2
[
−(1 − b)2x+ a(1 − b)
2 − (x2 − a)2(1 − b)
2
−2b(1 − b)(a− x2) − b2(a− x2)2]
,
= (x2 − a)2
+ (1 − b)3x− (1 − b)
2a. (6.205)
Em princıpio, o desenvolvimento desta expressao daria uma equacao doquarto grau, cujas raızes forneceriam pontos da orbita de perıodo 2. No entanto,podemos usar o fato de que duas destas raızes sao os pontos fixos anteriormentedeterminados, (11.5), ja que eles tambem sao solucoes da equacao obtida:
F[2](v∗) = F(F(v∗)) = (F(v∗)) = v∗. (6.206)
Portanto, podemos fatorar o segundo membro de (6.205) de modo a obtermos oproduto do trinomio quadratico que fornece os pontos fixos: x2+(1−b)x−a e deum trinomio quadratico que podemos escrever como αx2+βx+γ. Os coeficientesdeste ultimo podem ser encontrados aplicando o princıpio da identidade depolinomios:
(x2 − a)2
+ (1 − b)3x− (1 − b)
2a = [x2 + (1 − b)x− a][αx2 + βx+ γ]. (6.207)
Expandindo ambos os membros desta expressao, e igualando potencias se-melhantes de x obtemos
α = 1, (6.208)
β = −α(1 − b) = −1 + b, (6.209)
γ = −2a+ aα− β(1 − b) = −a+ (1 − b)2, (6.210)
de forma que podemos reescrever
(x2 − a)2+(1 − b)
3x−(1 − b)
2a = [x2 +(1−b)x−a][x2−(1−b)x−a+(1 − b)
2].
(6.211)Os pontos da orbita de perıodo 2 serao as raızes deste segundo trinomio quadratico
x2 − (1 − b)x− a+ (1 − b)2
= 0, (6.212)
302
ou seja
x∗1,2 =1 − b±
√
4a− 3(1 − b)2
2, (6.213)
e, usando (6.204),
y∗1,2 =a− x∗1,2
2
1 − b, (6.214)
que serao numeros reais desde que
a ≥ 3
4(1 − b)
2. (6.215)
6.5 Estabilidade para modelos bidimensionais
nao-lineares
6.5.1 Estabilidade dos pontos fixos
Podemos obter a estabilidade do ponto fixo, como fizemos no caso unidimen-sional, pela linearizacao do modelo discreto nao-linear F(x, y) nas vizinhancasdo ponto v∗; o que gera um modelo discreto linear, cujas propriedades foramestudadas na secao precedente. Analogamente a modelos contınuos bidimensio-nais, trabalhamos num sistema de coordenadas cartesianas, onde a cada direcaoassociamos uma das variaveis. Centrada no ponto fixo de coordenadas (x∗, y∗)nos consideramos uma “pequena” vizinhanca representada por um cırculo deraio ǫ, onde ǫ≪ x∗ e ǫ≪ y∗ [vide a Fig. 3.15 do Cap. 3].
Para verificar se o ponto fixo e ou nao estavel localmente, nos expandimos emserie de Taylor as duas funcoes de duas variaveis f(x, y) e g(x, y) que aparecemno modelo discreto nao-linear na vizinhanca do ponto (x∗, y∗), escrevendo
xt−1 = x∗ + ∆xt−1, (6.216)
yt−1 = y∗ + ∆yt−1, (6.217)
e supomos que os incrementos ∆xt−1 e ∆yt−1 sejam pequenos o suficiente paraestarem contidos na vizinhanca de raio ǫ em volta do ponto fixo (x∗, y∗), ouseja, tal que |∆x, y| ≤ ǫ. Assim, teremos
f(xt−1, yt−1) = f(x∗ + ∆xt−1, y∗ + ∆yt−1), (6.218)
= f(x∗, y∗) + ∆xt−1
(∂f
∂x
)
(x∗,y∗)
+ ∆yt−1
(∂f
∂y
)
(x∗,y∗)
+ · · · ,
g(xt−1, yt−1) = g(x∗ + ∆xt−1, y∗ + ∆yt−1), (6.219)
= g(x∗, y∗) + ∆xt−1
(∂g
∂x
)
(x∗,y∗)
+ ∆yt−1
(∂g
∂y
)
(x∗,y∗)
+ · · · .
Sendo os incrementos ∆xt−1 e ∆yt−1 suficientemente pequenos, podemostruncar as series (6.218) e (6.219) de forma a reter apenas termos em primeiraordem nos incrementos. Usando a definicao de ponto fixo,
x∗ = f(x∗, y∗), (6.220)
y∗ = g(x∗, y∗), (6.221)
303
podemos escrever o seguinte conjunto de equacoes acopladas para o modelolinearizado
∆xt = ∆xt−1
(∂f
∂x
)
(x∗,y∗)
+ ∆yt−1
(∂f
∂y
)
(x∗,y∗)
, (6.222)
∆yt+1 = ∆xt−1
(∂g
∂x
)
(x∗,y∗)
+ ∆yt−1
(∂g
∂y
)
(x∗,y∗)
. (6.223)
Definimos o vetor-diferenca nas direcoes x e y no instante t:
∆vt =
(∆xt−1
∆yt−1
)
, (6.224)
podemos reescrever as equacoes linearizadas (6.222)-(6.223) na forma
∆vt = DF(v∗) · ∆vt−1, (6.225)
onde
DF(v∗) =
(∂f
∂xt−1
)
(x∗,y∗)
(∂f
∂yt−1
)
(x∗,y∗)(∂g
∂xt−1
)
(x∗,y∗)
(∂g
∂yt−1
)
(x∗,y∗)
(6.226)
e a matriz Jacobiana, cujos elementos sao as derivadas calculadas no ponto fixo(x∗, y∗), tendo, portanto, valores constantes.
O ponto fixo do modelo discreto linearizado (6.225) e a propria origem∆v∗ = 0, e que corresponde ao ponto fixo v∗ do modelo discreto nao linear(6.177). Logo, para estudar a estabilidade do ponto fixo v∗ devemos investigara estabilidade da origem para o modelo discreto linearizado, a qual e determi-nada pelos autovalores da matriz DF(v∗), que escrevemos ξ1 e ξ2. O ponto fixosera assintoticamente estavel se |ξ1| < 1 e |ξ2| < 1. Caso os autovalores sejamreais, os | · · · | indicam valores absolutos; caso sejam complexos, eles indicam oseu modulo. Se algum dos autovalores tiver modulo maior do que 1, alguma dasdirecoes sera instavel para o ponto fixo. Finalmente, se algum dos modulos forunitario, o criterio de estabilidade falha.
Usando o criterio geral de estabilidade, as condicoes necessarias e suficientespara que a matriz DF(v∗) tenha autovalores com modulos menores do que 1sao:
1 − τ + ∆ > 0, (6.227)
1 − ∆ > 0, (6.228)
1 + τ + ∆ > 0. (6.229)
onde
τ ≡ trDF(v∗), (6.230)
∆ ≡ detDF(v∗), (6.231)
Vamos exemplificar novamente com o modelo discreto de Henon (11.19)-(11.20), cuja matriz Jacobiana e
J =
(∂f∂x
∂f∂y
∂g∂x
∂g∂y
)
=
(−2x b
1 0
)
. (6.232)
304
Para os valores a = 0 e b = 0, 4 o modelo de Henon possui pontos fixos reais,uma vez que, de acordo com (6.191), temos
4a = 0 ≥ −(1 − b)2, (6.233)
para qualquer valor de b. Como
√
(1 − b)2
+ 4a = (1 − 0, 4)2
= 0.36, de (11.5)
x∗+ = y∗+ =−0, 6 +
√0, 36
2= 0, (6.234)
x∗− = y∗− =−0, 6 −√
0, 36
2= −0, 6. (6.235)
A matriz Jacobiana, calculada no ponto fixo v∗+ = (0, 0)
T 1 e
J(v∗+) =
(0 0, 41 0
)
, (6.236)
cujos traco e determinante sao iguais, respectivamente, a τ = 0 e ∆ = −0, 4.Neste caso, podemos usar (6.237) para encontrar os seus autovalores
ξ1,2 = ±√D = ±
√−4∆ = ±
√
0, 4 ≈ ±0, 632. (6.237)
Como os autovalores sao ambos reais e tem modulos menores do que um, entaoo ponto fixo v∗
+ = (0, 0)T
e um no estavel.Analogamente, avaliando a matriz Jacobiana no segundo ponto fixo v∗
− =
(−0, 6,−0, 6)T:
J(v∗−) =
(1, 2 0, 41 0
)
, (6.238)
com traco e determinante iguais a τ = 1, 2 e ∆ = −0, 4, respectivamente, dondeos seus autovalores sao
ξ1,2 =
(1, 2
2
)
±
√(
1, 2
2
)2
+ 0, 4 = 0, 60 ±√
0, 76, (6.239)
ou seja, ξ1 = 0, 60 + 0, 871 = 1, 472, e ξ2 = 0, 60− 0, 871 = 0, 272; ambos reais etem modulos maior e menor do que um, respectivamente. Logo, v∗
− e um pontode sela (instavel).
Podemos, agora, tornar a discussao um pouco mais geral supondo a e b quais-quer, e investigando as condicoes sob as quais os pontos fixos v∗
± sao estaveis.Para isso temos que escrever a matriz Jacobiana nos pontos fixos
J(v∗±) =
(−2x∗± b
1 0
)
, (6.240)
tal que o seu traco e determinante sejam
τ(v∗±) = −2x∗± = 1 − b∓
√
(1 − b)2
+ 4a (6.241)
∆(v∗±) = −b (6.242)
1O sımbolo T denota, aqui, a matriz transposta de uma matriz linha, que e uma matrizcoluna.
305
Utilizamos, agora, o criterio geral (6.227)-(6.229), para determinar as condicoespelas quais os pontos fixos (x∗1,2, y
∗1,2) serao estaveis. A primeira condicao,
(6.227), fornece
1 − τ + ∆ = ±√
(1 − b)2
+ 4a > 0, (6.243)
que sempre e verificada para v∗+, mas nunca para v∗
−. Imediatamente concluimosque v∗
− nao podera ser estavel para quaisquer valores de a ou de b. Ja a segundacondicao, (6.228) leva a
1 − τ = 1 + b > 0, (6.244)
ou b > −1. Alem disso, tambem e necessario que, de (6.229),
1 + τ + ∆ = 2 − 2b∓√
(1 − b)2
+ 4a > 0, (6.245)
para que v∗+ seja estavel. Essa desigualdade implica, elevando ao quadrado os
termos, que
(2 − 2b)2
> (1 − b)2
+ 4a,
4 − 8b+ 4b2 > 1 − 2b+ b2 + 4a,
4a < 3b2 − 6b+ 3,
a <3
4[1 + b(b− 2)]. (6.246)
Alem disso, para que o ponto fixo seja real e necessario tambem que (6.191)seja satisfeita, de modo que a condicao de estabilidade de v∗
+ implica que oparametro a deva estar contido dentro do seguinte intervalo
−1
4(1 − b)
2 ≤ a <3
4[1 + b(b− 2)]. (6.247)
Se fixamos b = 0, 4 (que e maior que −1 e portanto satisfaz (6.244)) temos queo intervalo de estabilidade e −0, 09 ≤ a < 0, 27. O valor a = 0 tomado noexemplo visto ha pouco pertence a este intervalo, de fato. Finalmente, comotodos os pontos fixos vistos aqui sao hiperbolicos (nenhum tem modulo iguala um), as conclusoes sobre a estabilidade advindas da linearizacao continuamvalidas quando consideramos o modelo nao-linear como um todo.
Caso o ponto fixo seja nao-hiperbolico, no entanto, o criterio de linearizacaonao e capaz de nos informar se o ponto fixo e estavel ou instavel, outros metodossendo necessarios para investigar sua estabilidade. Como um exemplo de pontofixo nao-hiperbolico, seja o seguinte exemplo de modelo discreto bidimensional
xt = f(xt−1, yt−1) = xt−1 + xt−1yt−1, (6.248)
yt = g(xt−1, yt−1) = yt−1 + x2t−1, (6.249)
cujo ponto fixo (x∗, y∗) e determinado pela solucao de
x∗ = f(x∗, y∗) = x∗ + x∗y∗, (6.250)
y∗ = g(x∗, y∗) = y∗ + x∗2, (6.251)
e que e a origem (x∗ = 0, y∗ = 0).
306
A matriz Jacobiana desse modelo discreto, com seus elementos calculadosno ponto fixo, e dada por
DF(v∗) =
(∂f∂x
)
(0,0)
(∂f∂y
)
(0,0)(∂g∂x
)
(0,0)
(∂g∂y
)
(0,0)
=
(1 00 1
)
, (6.252)
e que tem dois autovalores reais iguais a um. Pelo criterio de linearizacao, naose pode concluir se o ponto fixo e ou nao estavel.
A extensao do teorema de Hartman-Grobman para difeomorfismos (modelosdiscretos), a qual sera vista em detalhes no proximo capıtulo, garante que sev∗ for um ponto fixo tal que nao haja autovalores com modulo igual a um, aestrutura das orbitas nas vizinhanca do ponto fixo e topologicamente a mesma,tanto se estudada pelo sistema original (nao-linear em geral) como pelo modelodiscreto linearizado equivalente.
6.5.2 Estabilidade de orbitas periodicas
A analise da estabilidade de uma orbita de perıodo m, cujos pontos sao{v∗
1,v∗2,v
∗3, . . .v
∗m}, segue do fato destes serem pontos fixos da m-esima ite-
rada do modelo, ou seja, v∗i = F[m](v∗
i ), com i = 1, 2, . . .m. Caso um dosvetores pertencentes a essa orbita seja estavel, por exemplo v∗
1, todos os demaistambem o serao, donde e suficiente analisar os autovalores da matriz Jacobianado modelo m vezes iterado, com os elementos calculados neste ponto da orbita.
DF ij(v∗1) =
(
∂F[m]i
∂xj
)
(v∗
1)
. (6.253)
No capıtulo 5, usamos a regra da cadeia do calculo diferencial para determi-nar a derivada da funcao composta com ela propria m vezes (cf. Eq. 10.31).
df [m](x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
1
=df(x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
1
df(x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
2
· · · df(x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
m
=m−1∏
i=0
df(x)
dx
∣∣∣∣x=x∗
i
.
(6.254)
No caso da funcao F[m]i temos que fazer o mesmo para os componentes da
correspondente matriz Jacobiana, que sera denotada DF[N ]. A demonstracaoe bastante trabalhosa, e nao sera feita aqui, mas o resultado e semelhante aoobtido para modelos unidimensionais:
DF[N ](v∗1) = DF(v∗
1).DF[N ](v∗2) . . . .DF(v∗
m) =
m−1∏
k=0
DF(v∗k), (6.255)
ou seja, a Jacobiana da matriz da funcao m vezes iterada e o produto de mJacobianas, uma para cada elemento da orbita de perıodo m. Uma vez encon-trada este produto de matrizes Jacobianas, podemos investigar a natureza e osinal da parte real dos seus autovalores para descobrir se a orbita e estavel ouinstavel, e se a convergencia a ela e monotonica ou oscilatoria.
Uma propriedade curiosa deste produto de matrizes e sua simetria, ou seja,poderıamos ter escolhido qualquer outro elemento da orbita, v2 ao inves de v1
307
por exemplo, e obterıamos como resultado o mesmo produto de matrizes. Istonao e trivial, pois o produto de matrizes definido em (6.255) tem uma ordembem definida, e o produto em geral muda quando trocamos os fatores de lugar.No entanto, devido a esta simetria (chamada cıclica), o resultado final nao sealtera. Isto significa que a estabilidade e uma propriedade da orbita como umtodo, e nao de seus pontos individualmente.
Vamos considerar a seguinte escolha de valores para os coeficientes do modelode Henon (11.19)-(11.20): a = 0, 43 e b = 0, 4. Usando (6.213)-(11.7), como
4a− 3(1 − b)2
= 4 × 0, 43 − 3(1 − 0, 4)2
= 0, 64, os pontos de perıodo 2 sao
x∗1 =1 − 0, 4 +
√0, 64
2= 0, 7, y∗1 =
0, 43 − 0, 72
1 − 0, 4= −0, 1, (6.256)
x∗2 =1 − 0, 4 −√
0, 64
2= −0, 1, y∗2 =
0, 43 − (−0, 1)2
1 − 0, 4= 0, 7. (6.257)
A matriz Jacobiana calculada nestes pontos e:
J(v∗1) =
(−2x∗1 b
1 0
)
=
(−1, 4 0, 4
1 0
)
, (6.258)
J(v∗1) =
(−2x∗2 b
1 0
)
=
(0, 2 0, 41 0
)
, (6.259)
tal que a matriz Jacobiana da segunda iterada do modelo de Henon e dada peloproduto
J[2](v∗1) = J(v∗
2).J(v∗1) (6.260)
=
(−1, 4 0, 4
1 0
)(0, 2 0, 41 0
)
=
(0, 12 0, 08−1, 4 0, 4
)
.
O traco e o determinante desta matriz sao
trJ[2](v∗1) = 0, 52 detJ[2](v∗
1) = 0, 16 (6.261)
de modo que os seus autovalores, de acordo com (6.237), sao dados por
ξ1,2 =
(TrJ
2
)
±
√(TrJ
2
)2
− detJ
=
(0, 52
2
)
±
√(
0, 52
2
)2
− 0, 16
= 0, 26 ± 0, 30i, (6.262)
cujos modulos sao menores que um, ja que
|ξ1,2| =√
0, 262 + 0, 302 =√
0, 1576 ≈ 0, 4 < 1. (6.263)
Como os autovalores sao complexos, segue que a orbita de perıodo 2 (v∗1,v
∗2) e
um foco estavel.Podemos fazer uma analise mais geral da estabilidade da orbitas de perıodo
2, em funcao dos parametros a e b do modelo de Henon. Vamos escrever amatriz Jacobiana do modelo discreto duas vezes iterado na forma literal:
J[2](v∗1) =
(−2x∗1 b
1 0
)(−2x∗2 b
1 0
)
=
(4x∗1x
∗2 + b −2x∗2b
−2x∗1 b
)
, (6.264)
308
Calculando seu traco e determinante obtemos
τ(2) = trJ[2] = 4x∗1x∗2 + 2b,
=
(
1 − b+
√
4a− 3(1 − b)2
)(
1 − b−√
4a− 3(1 − b)2
)
+ 2b,
= (1 − b)2 − 4a+ 3(1 − b)
2+ 2b,
= 1 − 2b+ b2 − 4a+ 3(1 − 2b+ b2),
= 4 − 4a+ 4b2 − 6b, (6.265)
∆(2) = detJ[2] = (4x∗1x∗2 + b)b− 4x∗1x
∗2b = b2. (6.266)
As condicoes (6.149)-(6.151) sao necessarias e suficientes para que a orbitade perıodo 2 (v∗
1,v∗2) seja estavel:
1 − τ(2) + ∆(2) > 0, (6.267)
1 − ∆(2) > 0, (6.268)
1 + τ(2) + ∆(2) > 0. (6.269)
A condicao (6.268) implica em que 1 − b2 > 0, ou seja, que b2 < 1. Ja (6.267)fornece
−3 − 3b2 + 6b+ 4a > 0,
4a− 3 > 3b(b− 2),
a >3
4[1 + b(b− 2)] ≡ a∗1, (6.270)
ao passo que (6.269) leva-nos a
5 + 5b2 − 6b− 4a > 0,
−4a+ 5 > b(−5b+ 6),
4a− 5 < b(5b− 6),
a <5 + b(5b− 6)
4≡ a∗2. (6.271)
Resumindo: a orbita sera estavel se e somente se os parametros do modelodiscreto estiverem dentro dos seguintes intervalos: a∗1 < a < a∗2 e −1 < b < 1.Por exemplo, se b = 0, 4, teremos o intervalo 0, 27 < a < 0, 85. O valor adotadono exemplo acima, a = 0, 43, pertence naturalmente a este intervalo.
6.6 Direcoes e curvas invariantes
Considere um ponto fixo hiperbolico, tal que a matriz dos coeficientes tenhaautovalores especificados. Cada autovetor define uma direcao invariante noplano, que sera dita estavel ou instavel, caso o autovalor correspondente aoautovetor tenha modulo menor ou maior que um, respectivamente. Logo, asretas definidas pelos autovetores sao tais que, colocando uma condicao inicialexatamente sobre elas, todos os demais pontos da orbita pertencem a respectivadirecao. Nesse sentido, a auto-direcao e invariante.
Recordemos que, de (6.36), a solucao geral de um modelo discreto linear vt =A.vt−1 e a combinacao linear dos autovetores associados aos dois autovalores
309
����
����
����
����
����
����
����
��������
����
����
����
������
������
u
s
E (v*)
E (v*)
v*
1u
u2
s
u
W (v*)
W (v*)
Figura 6.12: Variedades e auto-direcoes invariantes para um ponto fixo do tiposela.
de A, escritos como ξ1 e ξ2 (la supostos reais e distintos, mas a ideia tambemse aplica aos demais casos):
vt = c1ξt1u1 + c2ξ
t2u2, (6.272)
onde c1 e c2 sao dois coeficientes ainda a determinar, a partir das condicaoinicial v0. Colocando essa ultima exatamente sobre a direcao determinada peloautovetor u1, a condicao inicial pode ser escrita como
v0 = c1u1. (6.273)
Fazendo t = 0 em (6.275) temos que
v0 = c1u1 + c2u2, (6.274)
de sorte que c2. A solucao geral para todos os tempos posteriores sera, pois
vt = c1ξt1u1, (6.275)
ou seja, vt pertence a direcao determinada por u1 para todos os tempos, comoquerıamos demonstrar.
Considerando, sem perda de generalidade, um ponto de sela v∗ para o qual|ξ1| < 1 e |ξ2| > 1, temos que os autovetores u1 e u2 definem as auto-direcoesestavel Es e instavel Eu, respectivamente[Fig. 6.12]. Se v0 for colocada exa-tamente sobre Es as iteracoes subsequentes aproximar-se-iam do ponto fixo,ou seja, vt = Atv0 → v∗ quando t tende a infinito. Analogamente, casov0 ∈ Eu as iteracoes subsequentes afastar-se-iam do ponto fixo para tem-pos positivos, ou ainda aproximar-se-iam para pre-iteradas (tempos negativos):v−t = A−tv0 → v∗ quando t→ ∞.
Outro exemplo de conjunto invariante sao curvas invariantes estavel e instavel,denotadas porW s(v∗) eWu(v∗), respectivamente. Assim como nos sub-espacos,uma condicao inicial colocada exatamente sobre W s(v∗) ou Wu(v∗) gera uma
310
Figura 6.13: Planilha eletronica com iteracoes do modelo de Henon, bem comoo retrato de fase.
orbita cujos pontos aproximam-se ou afastam-se do ponto fixo, respectivamente.No proximo capıtulo enunciaremos um teorema de variedades invariantes quegarante que (i) as variedades estavel e instavel interceptam-se mutuamente numponto de sela, e (ii) as variedades sao tangentes aos sub-espacos respectivos noponto de intersecao [Fig. 6.12]; sendo essa uma extensao do teorema equivalenteque vimos nos Capıtulos 3 e 4 para modelos contınuos. Como enfatizado porGuckenheimer e Holmes, deve-se ter sempre em mente aqui a diferenca entremodelos discretos e contınuos: enquanto uma trajetoria de um modelo contınuoe uma curva no R2, a orbita de um modelo discreto e uma sequencia de pontos[1]. Logo, enquanto as curvas invariantes de modelos contınuos sao unioes decurvas no R2, para modelo discretos as curvas invariantes acima definidas saounioes de pontos discretos de orbitas.
6.7 Solucoes numericas
Uma vez que nao existem solucoes gerais para modelos discretos bidimensio-nais nao-lineares, somos obrigados a empregar metodos numericos para obtersolucoes para eles. Nessa secao exemplificaremos tais metodos usando, comoexemplo padrao, o modelo de Henon visto anteriormente nesse capıtulo:
xt = a− x2t−1 + byt−1, (6.276)
yt = xt−1, (6.277)
onde escolheremos valores de a = 1, 4 e b = 0, 3.
6.7.1 Uso de planilhas eletronicas
O procedimento para a obtencao das iteradas de um modelo bidimensional,usando-se planilhas eletronicas, e uma extensao simples do que realizamos nocapıtulo 5 para modelos unidimensionais. Primeiramente colocamos os valoresdos parametros a e b nas celulas D1 e D2, respectivamente (serao consideradoscomo enderecos absolutos, ja que seus valores nao sao alterados durante asiteracoes do modelo).
311
Figura 6.14: Planilha eletronica com iteracoes do modelo de Henon, bem comouma das series temporais.
Na coluna A serao representados os valores (inteiros e positivos) do tempo,enquanto nas colunas B e C estao os valores de xt e yt, respectivamente. Ascondicoes iniciais t = 0, x0 = 0, 1 e y0 = 0, 3 sao colocados respectivamente nascelulas A1, B1 e C1. As equacoes do modelo (6.199) sao escritas nas celulas A2,B2 e C2 da seguinte forma:
= 1 +A1
= +$D$1 −B1 ∗B1 + $D$2 ∗ C1
= B1
Para obter as 16 primeiras iteracoes do modelo nos copiamos com o mouseo conteudo das celulas A2, B2 e C2 para a area de transferencia e colamos embloco nas 14 linhas abaixo, ou seja, da celula A3 a celula C17 [Fig. 6.13]. Comotemos, agora, tres variaveis, devemos escolher duas delas para fazer os graficospossiveis: (i) series temporais xt versus t ou yt versus t; (ii) retrato de fase:yt versus xt. Esta ultima opcao esta ilustrada na Fig. 6.13, ao passo que aprimeira serie temporal na Fig. 6.14.
6.7.2 Programa de computador para iteracoes do modelo
discreto
Um programa para tracar as iteracoes do modelo de Henon e uma extensaobastante sımples do correspondente para o modelo logıstico discreto, e estaexemplificado abaixo:
/* henon.c: produz o grafico no plano de fase das trajetorias
do modelo de Henon. Saida dos dados no arquivo
henon.dat (tabela com duas colunas) */
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
312
FILE *fp;
void main()
{
double a,b,xold,xnew,yold,ynew,x0,y0;
int t,tf;
fp = fopen("henon.dat","w");
a = 1.4;
b = 0.3;
t = 0;
tf = 20; /* tempo final */
x0 = 0.1; /* condic~oes iniciais */
y0 = 0.3;
xold = x0; /* inicializando variaveis */
yold = y0;
fprintf(fp,"%d %f %f\n", t, xold, yold);
for(t=1;t<=tf;++t) /* malha de calculo das func~oes x(t) e y(t) */
{
xnew = a -xold*xold + b*yold;
ynew = xold;
fprintf(fp,"%d %f %f\n", t, xold, yold);
xold = xnew;
yold = ynew;
}
fclose(fp);
}
Em princıpio, poderıamos aproveitar a facilidade do comando de atribuicao(=) para usar a mesma variavel para xt e xt−1. No entanto, em modelos comduas ou mais dimensoes e conveniente evitar esse recurso. Se usarmos tal co-mando para calcular xt a partir de xt−1 em (6.276), quando precisarmos nova-mente de xt para calcular tt−1 em () ja nao teremos o valor antigo, e sim o valoratualizado.
Para evitar esse problema nos criamos duas variaveis: xold para xt−1 e xnewpara xt. Somente depois de calcularms os valores para as variaveis x e y e queatualizamos as variaveis fazendo xold = xnew e yold = ynew, de forma que ospvalores de xt−1 na proxima iteracao sao os atuais valores de xt. Os resultadosda aplicacao do programa henon.c podem ser apreciados na Fig. 6.15.
6.7.3 Uso de software matematico
Os softwares matematicos descritos no capıtulo anterior tambem sao uteis para otratamento de modelos discretos bidimensionais e, essencialmente, sao extensoessımples das rotinas ja descritas.
Maple
No programa descrito na secao anterior, os valores de xt e yt sao calculadose depois ”esquecidos”, uma vez que sao armazenados num arquivo de dados.Outra forma de proceder, algo mais custosa em termos de espaco de memoria
313
-2 -1 0 1 2x
t
-2
-1
0
1
2
y t
0 5 10 15 20t
-2
-1
0
1
2
x t
(a) (b)
Figura 6.15: (a) Retrato de fase e (b) serie temporal para o modelo de Henon,obtidas a partir de um programa em linguagem C.
do computador, e criar matrizes coluna (ou arrays) onde sao armazenados todosos valores calculados de xt−1 e yt−1, nos elementos x[i] e y[i], respectivamente.Os valores novos, xt e yt, sao armazenados nos elementos x[i + 1] e y[i + 1],respectivamente. De certa forma, o Maple tambem pode ser considerado umalinguagem de programacao, que executa tarefas repetitivas como o calculo deorbitas do modelo de Henon, por meio do comando for. A sintaxe desse co-mando e semelhante ao seu similar em linguagem C.
Apresentamos, abaixo, um programa em Maple para representar grafica-mente as imax = 5000 primeiras iteracoes do modelo de Henon, descartadasas primeiras 300 iteracoes transientes (que podem ser omitidas para mostrarapenas o estado assintotico do sistema).
x := array(0..10000):
y := array(0..10000):
a := 1.4:
b := 0.3:
x[0] := 0.1:
y[0] := 0.3:
imax := 5000:
for i from 0 to imax do
x[i+1] := a - (x[i])^2 + b*y[i]:
y[i+1] := x[i]:
end do:
with(plots)
points := [[x[n],y[n]] \$ n=300..imax]:
pointplot(points,style=point,symbol=circle,
symbolsize=1,color=black,axes=BOXED);
O programa acima ja traca o grafico de yt em funcao de xt, ou seja, o retratode fase do sistema, que pode ser visto na figura 6.16.
314
Figura 6.16: Iteracoes do modelo de Henon , obtidas com o uso do Maple, paraa = 1, 4 e b = 0, 3.
Mathematica
A iteracao de modelos discretos bidimensionais tambem e implementada noMathematica pela funcao NestList, onde os argumentos sao as equacoes domodelo de Henon. Para obter, por exemplo, as 2000 primeiras iteracoes deHenon para os valores dos parametros a = 1, 4 e b = 0, 3, a partir das condicoesiniciais (x0, y0) = (0, 1, 0, 3), bem como colocar os resultados num grafico (re-trato de fase) de xt versus yt, podemos empregar os comandos:
a := 1.4;
b := 0.3;
H[x_,y_] := {a - x^2 + b y, x};
pontos := NestList[H,{0.1,0.3},2000];
ListPlot[pontos, AxesLabel -> {x,y}]
para obter a Fig. 6.17.
Matlab
Podemos gerar o retrato de fase das iteracoes do modelo de Henon usando oMatlab, criando duas funcoes, ou arquivos-m: (i) henon: que calcula os valoresde xt e yt dados os valores no tempo anterior; e (ii) iterate: que calcula e tracaas N primeiras iteracoes do modelo, dadas as condicoes iniciais x0 e y0:
function [x,y] = henon(x0,y0)
\% henon.m
315
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5x
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
y
Figura 6.17: Iteracoes do modelo de Henon , obtidas com o uso do Mathematica,para a = 1, 4 e b = 0, 3.
a = 1.4;
b = 0.3;
x = a - x0 * x0 + b * y0;
y = x0;
end
function iterate (x0,y0,N)
\% iterate.m
x(1) = x0;
y(1) = y0;
for t=1:N,
[x(t+1),y(t+1)] = henon(x(t),y(t));
end
plot(x,y,’.’);
Para gerar, por exemplo, as 1000 primeiras iteracoes do modelo, usandocomo condicoes iniciais (x0, y0) = (0, 1, 0, 3), digitamos
iterate(0.1,0.3,1000)
o resultado podendo ser visto na Fig. 6.18.
6.8 Exemplo em Economia: Modelo discreto com
curva de Phillips nao-linear
Neste exemplo vamos revisitar o modelo de inflacao e desemprego, cuja versaoa tempo contınuo foi estudada no Capıtulo 2, desta vez supondo uma curvade Phillips nao-linear. As macrovariaveis dinamicas sao as taxas de inflacaoobservada, esperada, e a taxa desemprego no tempo t, denotadas como πt, π
et ,
e ut, respectivamente.A curva de Phillips modificada por expectativas sera representada por
πt − aπet = f(ut) (6.278)
316
Figura 6.18: Iteracoes do modelo de Henon , obtidas com o uso do Matlab, paraa = 1, 4 e b = 0, 3.
onde 0 < a < 1 e um coeficiente que mede o grau em que as expectativasinflacionarias sao incorporadas na inflacao observada; e adotaremos, de acordocom [66], a seguinte forma exponencial (Fig. 6.19):
f(u) = β1 + β2e−u, (6.279)
onde β1 < 0 e β2 > 0 sao coeficientes de ajuste nao-linear. Observe que a curvanao-linear obedece a condicao df/du < 0, indicando que o aumento da inflacaoleva a uma diminuicao da taxa de desemprego e vice-versa. A curva de Phillipsaumentada por expectativas (6.278) torna-se, pois,
πt − aπet = β1 + β2e
−ut , (6.280)
Em nosso modelo, as expectativas inflacionarias sao formadas adaptativa-mente, ou seja,
πet = πe
t−1 + c(πt−1 − πet−1), (6.281)
onde 0 ≤ c ≤ 1 e um coeficiente de expectativas. Substituindo (6.280) em(6.281) temos
πet = πe
t−1 + c(β1 + β2e−ut−1 + (a− 1)πe
t−1),
= [1 + c(a− 1)]πet−1 + c(β1 + β2e
−ut−1), (6.282)
Seja Mt a base monetaria no ano t. A sua taxa nominal de variacao (nor-malizada), ou
mt =Mt −Mt−1
Mt−1, (6.283)
representa o fluxo de capital injetado ou retirado da economia naquele perıodopela autoridade monetaria. A taxa real de expansao da base monetaria e obtida
317
0 2 4u
0
5
10
15
20
f(u)
β1
β1+β2
Figura 6.19: Curva de Phillips nao-linear.
descontando-se da taxa nominal determinada por (6.283) a taxa de inflacaonaquele mesmo perıodo:
mt = mt − πt. (6.284)
O efeito da polıtica monetaria sobre as macrovariaveis sera modelado poruma relacao linear entre a variacao na taxa de desemprego e a taxa de expansaomonetaria real
ut = ut−1 − bmt−1 = ut−1 − b(m− πt−1), (6.285)
onde tambem supusemos que a taxa de expansao monetaria nominal e umavariavel exogena: mt ≡ m. O parametro b e a elasticidade da taxa de desem-prego em relacao a variacoes da polıtica monetaria. Substituindo (6.280) em(6.283) resulta
ut = ut−1 − b(m− β1 − β2e−ut−1 − aπe
t−1). (6.286)
Reunindo (6.282) e (6.286) temos um modelo discreto bidimensional nao-linear
πet = [1 + c(a− 1)]πe
t−1 + c(β1 + β2e−ut−1), (6.287)
ut = ut−1 − b(m− β1 − β2e−ut−1 − aπe
t−1), (6.288)
para as variaveis πet e ut.
6.8.1 Pontos fixos e estabilidade
O ponto fixo do modelo (11.14)-(11.15), denotado (πe∗, u∗) e dado pela solucaodo seguinte sistema de equacoes
πe∗ = [1 + c(a− 1)]πe∗ + c(β1 + β2e−u∗
), (6.289)
u∗ = u∗ − b(m− β1 − β2e−u∗ − aπe∗), (6.290)
318
De (6.290) temos
β1 + β2e−u∗
=bm− baπe∗
b= m− aπe∗, (6.291)
que, substituida em (6.289), fornece
0 = c(a− 1)πe∗ + c(m− aπe∗),
πe∗(−ca+ c+ ca) = cm,
πe∗ = m. (6.292)
Colocando (6.292) em (6.291) temos
β1 + β2e−u∗
= m− am = m(1 − a),
e−u∗
=m(1 − a) − β1
β2. (6.293)
Aplicando logaritmos neperianos a ambos os membros obtemos finalmente
u∗ = − ln
[m(1 − a) − β1
β2.
]
. (6.294)
O ponto fixo do modelo representa, pois, a taxa de inflacao esperada deequilıbrio, a qual e igual a taxa de expansao da base monetaria: π∗
e = m.Esse resultado curiosamente nao depende da forma da curva de Phillips f(u).Considerando a = 1 a taxa de inflacao esperada e igual a taxa de inflacao doperıodo anterior. Nesse caso a taxa de desemprego de equilıbrio,
u∗ = − ln
(−β1
β2
)
= ln
(β2
|β1|
)
, (6.295)
(ja que β1 < 0) pode ser identificada como uma taxa de desemprego nao-aceleradora da inflacao, ou ”NAIRU”. Vamos, na sequencia, considerar apenasessa importante situacao particular, deixando o caso de a arbitrario para a listade problemas.
πet = f(πe
t−1, ut−1) = πet−1 + c(β1 + β2e
−ut−1), (6.296)
ut = g(πet−1, ut−1) = ut−1 − b(m− β1 − β2e
−ut−1 − πet−1). (6.297)
Estudaremos, agora, a estabilidade deste ponto fixo. Inicialmente calculamosos elementos da matriz Jacobiana, que sao as derivadas parciais de (11.14) e(11.15) para a = 1, a saber:
∂f
∂πet−1
= 1, (6.298)
∂f
∂ut−1= −cβ2e
−ut−1 , (6.299)
∂g
∂πet−1
= b, (6.300)
∂g
∂ut−1= 1 − bβ2e
−ut−1 , (6.301)
319
tal que a matriz Jacobiana, calculada no ponto fixo, sera:
DF =
(1 −cβ2e
−u∗
b 1 − bβ2e−u∗
)
=
(1 −c|β1|b 1 − b|β1|
)
, (6.302)
uma vez que, por (6.293), e−u∗
= |β1|/β2.Na sequencia, analisamos o traco e o determinante dessa matriz,
τ = trDF = 2 − b|β1|, (6.303)
∆ = detA = 1 + b(c− 1)|β1|, (6.304)
e empregamos as condicoes (6.227)-(6.229) para que o ponto fixo seja estavel.Verificando a condicao (6.227) temos que
1 − τ + ∆ = bc|β1| > 0, (6.305)
que e sempre satisfeita, uma vez que b > 0 e 0 ≤ c ≤ 1. O mesmo ocorre paraa condicao (6.228) ja que sempre teremos
1 − ∆ = b|β1|(1 − c) > 0. (6.306)
Ja para a ultima condicao (6.229) resulta
1 + τ + ∆ = 4 + b|β1|(c− 2) > 0, (6.307)
ou sejabβ(c− 2) > −4, (6.308)
para que o ponto fixo seja estavel. Como 0 ≤ c ≤ 1 segue que −2 ≤ c− 2 ≤ −1,ou seja, seguramente c−2 e negativo. Multiplicando a desigualdade (6.308) por1/(|β1|(c− 2)) ela invertera o sentido, portanto
b < b1 ≡ 4
|β1|(2 − c)(6.309)
e a condicao de estabilidade.A convergencia oscilatoria esta ligada a existencia de autovalores complexos
da matriz jacobiana; o que, por sua vez, ocorre se o discriminante for negativo.Em contrapartida, para convergencia monotonica temos
D = τ2 − 4∆ ≥ 0, (6.310)
a qual, em substituindo-se (6.303) e (6.304), pode ser reescrita como
(−2 + b|β1|)2 ≥ 4[1 + b|β1|(c− 1)],
b2|β1|2 − 4b|β1| ≥ 4b|β1| − 4bc|β1|,b2|β1|2 ≥ 4b(2 − c)|β1|c,
que, dividindo-se por b|β1| > 0, fornece
b ≥ b2 =4(2 − c)
|β1|. (6.311)
320
0 0,5 1c
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
bb = b
2
*
b = b1
*
foco estável
foco instável
nó instável
Figura 6.20: Plano de parametros para o modelo da curva de Phillips nao-linear
Logo, se b ≥ b2 os autovalores serao reais e a convergencia ou divergencia seramonotonica (nos); enquanto se b < b2 os autovalores serao complexos, e a con-vergencia ou divergencia sera oscilatoria (focos).
Usando (6.309) e (6.311) temos que
b∗1b∗2
=4
|β1|(2 − c)
|β1|4(2 − c)
=1
(2 − c)2 . (6.312)
Como 0 ≥ c ≥ 1 segue que 1−c ≥ 0, 2−c 1, ou ainda 1/(2−c) ≤ 1. Elevando-se
ao quadrado e 1/(2 − c)2 ≤ 1. Multiplicando-se por b∗2 ≥ 0 decorre, entao, que
b∗1 =b∗2
(2 − c)2 ≤ b∗2. (6.313)
Entao, se b < b∗1 entao necessariamente b < b∗2, tal que, se o ponto fixo forestavel devera ser um foco estavel. Caso contrario, ou seja, se b > b∗1 podemoster um foco instavel se b∗1 < b < b∗2, e um no instavel se b > b∗2. Observe, ainda,que nao existe a possibilidade de um no estavel nesse modelo.
Essas tres possibilidades podem ser representadas num grafico de b versus c,onde tracamos as curvas b = b1 = 4/(|β1|(2−c)) e b = b2 = |β1|/4(2−c) [cf. Fig.6.20].Concluimos, entao, que as taxas de inflacao e desemprego de equilıbriosao estaveis se a elasticidade do desemprego em relacao a variacoes na basemonetaria for mantida abaixo de um limiar b∗1. Se b > b∗1, como o ponto fixo seriainstavel, as taxas de inflacao e desemprego nunca aproximar-se-iam das taxasde equilıbrio, e tenderiam a infinito com o tempo. Uma aceleracao inflacionaria(πe
t → ∞) combinada com uma taxa de desemprego tambem crescente (ut → ∞)e um cenario conhecido como estagflacao.
Consideremos um exemplo numerico, tomando os coeficientes da curva dePhillips usados por Soliman: β1 = −2, 5, β2 = 20 (as taxas de inflacao e desem-prego estao expressas em percentuais) [66]. Neste caso a taxa de desemprego deequilıbrio e, de (6.294), dada por
u∗ = ln20
2, 5≈ 2, 08%. (6.314)
321
Usando um coeficiente de expectativas inflacionarias c = 0, 75, o limiar da elas-ticidade do desemprego vale
b1 = − 4
|β1|(c− 2)= − 4
2, 5 × (2 − 0, 75)≈ 1, 28, (6.315)
de modo que um limiar de elasticidade igual, por exemplo, a b = 1, implicariaque a cada 1% de aumento da base monetaria haveria 1% de diminuicao dataxa de desemprego. Se essa elasticidade for alta demais, no entanto, ao invesde diminuir a taxa de desemprego, a mesma aumenta de forma incontrolavel.Quanto a convergencia ao ponto fixo, esta sera sempre oscilatoria.
6.9 Problemas
1. Determine a estabilidade do ponto fixo, e esboce as trajetorias no plano de fase,para os seguintes modelo discretos lineares, onde B e o vetor nulo:
(a)
A =
„
1/2 00 1/4
«
,
(b)
A =
„
1 1−2 4
«
,
(c)
A =
„
2 00 1/2
«
,
(d)
A =
„
0 −11 0
«
.
2. Ache os pontos fixos do modelo discreto bidimensional nao-linear
xt = x2t−1 − y2
t−1 + c1xt−1 + c2yt−1, yt = 2xt−1yt−1 + c3xt−1 + c4yt−1,
e estude sua estabilidade linear.
3. Considere o seguinte modelo discreto bidimensional
xt = 2xt−1 (mod2π), yt = αyt−1 + y2t−1 + β cos(xt−1),
onde α > 0, β > 0, e a prescricao z(mod2π) significa tomar o resto da divisaode z por 2π. Por exemplo, 3π(mod2π) = π.
(a) Ache os pontos fixos do modelo discreto;
(b) Estude a estabilidade dos pontos fixos;
(c) Trace, no plano de fase, uma centena de iteracoes do modelo utilizando algumdos metodos numericos abordados neste Capıtulo.
4. Considere o seguinte modelo de ajustes de mercado e expectativas racionais [21]:as variaveis sao o consumo Ct, a producao Pt, o preco pt, o preco esperado pe
t ,o efeito de fatores exogenos (como o clima) sobre a oferta xt, e o estoque It. Ashipoteses do modelo sao:
• o consumo depende do preco atual: Ct = βpt, com β > 0;
322
• a producao tem um hiato temporal e depende do preco esperado paraaquele perıodo, bem como dos fatores exogenos: Pt = γpe
t + xi, ondeγ > 0;
• o estoque (com fins especulativos) e proporcional a diferenca entre o precoreal e o esperado para o proximo perıodo: It = α(pe
t+1 − pt)
• condicao de equilıbrio do mercado: a oferta total (Pt + It−1) e igual ademanda total (Ct + It)
• expectativas racionais: pet = pt
(a) Formule uma equacao a diferencas para o preco pt como funcao de pt−1 ept−2;
(b) Transforme a equacao a diferencas num modelo discreto bidimensional;
(c) Determine os pontos fixos e estude sua estabilidade ;
(d) Trace, no plano de fase, uma centena de iteracoes do modelo utilizandoalgum dos metodos numericos abordados neste Capıtulo.
5. Goodwin propos uma generalizacao do modelo de teia de aranha com expec-tativas extrapolativas e regressivas. As hipoteses do modelo, usando a mesmanotacao do Capıtulo I, sao:
• funcao oferta linear: Ot = c + dpet , com c > 0, d > 0;
• funcao demanda linear: Dt = a − bpt, com a > 0, b > 0;
• equilıbrio do mercado: Dt = Ot;
• expectativas: pet = pt−1 +ρ(pt−1−pt−2), onde ρ > 0 implica extrapolacao,
ρ < 0 implica regressao (o caso ρ = 0 corresponde a expectativas ingenuas).
(a) Formule uma equacao a diferencas para o preco pt como funcao de pt−1 ept−2;
(b) Transforme a equacao num modelo discreto bidimensional;
(c) Determine os pontos fixos e estude sua estabilidade. Interprete seus resulta-dos.
6. Hicks modificou o modelo de multiplicador/aceleracao de Samuelson, incluindoneste modelo um investimento autonomo que aumenta exponencialmente com otempo a uma taxa g > 0. Neste caso, a funcao investimento, ao inves de (6.154)e
It = I ′t + I ′′
t = α(Ct − Ct−1) + A0(1 + g)t
onde A0 e uma constante positiva. Usando a mudanca de variavel
Zt =Yt
(1 + g)t ,
formule o modelo de Samuelson-Hicks na forma de um modelo discreto bidi-mensional linear. Determine o ponto de equilıbrio e estude sua estabilidade.Faca uma analise no plano de parametros. Interprete economicamente seus re-sultados. Detalhes em [67], onde tambem funcoes lineares por partes para oinvestimento autonomo sao consideradas.
7. Estude novamente o modelo discreto para inflacao-desemprego abordado nessecapıtulo, mas usando agora uma curva de Phillips linear do tipo f(u) = α−βu.Ache o ponto fixo e estude sua estabilidade no plano de parametros b versus c.Use valores numericos para α e β (os mesmos do capıtulo 2).
323
324
Capıtulo 7
Modelos discretos
multidimensionais
Toda a discussao feita no capıtulo precedente sobre modelos discretos bidimen-sionais pode ser generalizada para o caso de varias dimensoes. A linguagemmatricial desenvolvida para o caso bidimensional e a ferramenta essencial nesseprocesso de generalizacao, e relativamente poucos conceitos novos precisam serintroduzidos.
7.1 Modelos multidimensionais lineares
Temos, em geral, N variaveis dinamicas discretas, as quais denotaremos por xi,com i = 1, 2, . . . N . Se N = 2, por exemplo, batizamos x1 = x e x2 = y. Notempo t = 0, 1, 2, . . . escrevemos (x1)t, (x2)t, · · · , (xN )t. A forma geral de ummodelo discreto multidimensional e
(x1)t = F1((x1)t−1, (x2)t−1, . . . (xN )t−1)
(x2)t = F2((x1)t−1, (x2)t−1, . . . (xN )t−1)
... =... (7.1)
(xN )t = FN ((x1)t−1, (x2)t−1, . . . (xN )t−1)
onde fi, i = 1, 2, . . . N sao funcoes, em princıpio, de todas as variaveis. Nanotacao matricial, podemos definir uma matriz coluna N × 1 das variaveisdinamicas no instante t:
vt =
(x1)t
(x2)t...
(xN )t
, (7.2)
e uma matriz coluna contendo as respectivas funcoes
F(vt) =
F1(vt)F2(vt)
...FN (vt)
, (7.3)
325
de modo que o modelo discreto multidimensional geral pode ser escrito numaforma extremamente compacta como
vt = F(vt−1). (7.4)
Interessa-nos, em particular, o modelo N -dimensional linear, para o qual afuncao vetorial e afim:
F(vt) = A.vt + B. (7.5)
onde definimos matrizes com elementos constantes:
A =
A11 A12 · · · A1N
A21 A22 · · · A2N
......
. . ....
AN1 AN2 · · · ANN
, B =
B11
B12
...B1N
, (7.6)
de modo que o mapa e escrito numa forma inteiramente analoga ao caso bidi-mensional
vt = A.vt−1 + B. (7.7)
7.2 Pontos fixos e estabilidade
A similaridade com o caso bidimensional permite a de muitos resultados doCapıtulo 6. Por exemplo, podemos definir um vetor (matriz coluna) de pontosfixos
v∗ =
(x1)∗
(x2)∗
...(xN )
∗
, (7.8)
que e dado pela mesma formula deduzida no capıtulo anterior, ja que a formageral do modelo e a mesma, na notacao matricial:
v∗ = (I − A)−1.B, (7.9)
desde que a matriz (I − A) nao seja singular (possua inversa).Analogamente, tambem, a solucao geral do modelo N -dimensional e dada
porvt = At.[v0 − v∗] + v∗, (7.10)
onde v0 e o vetor de variaveis dinamicas no instante t = 0.Com relacao a estabilidade do ponto fixo, argumentos semelhantes aos do
capıtulo precedente serao aplicados, ainda que haja determinadas complexidadesmatematicas que nao abordaremos no escopo deste livro. E conveniente, comovimos, transladar o ponto fixo para a origem do espaco N -dimensional, ou seja,para o ponto de coordenadas xi = 0, com i = 1, 2, . . . N ; fazendo:
wt ≡ vt − v∗, (7.11)
o que leva ao modelo mais sımples (sem o termo constante):
wt = A.wt−1. (7.12)
326
A estabilidade do ponto fixo na origem depende, pois, da distancia Eucli-diana no espaco N -dimensional das variaveis dinamicas que, por sua vez, e anorma Euclidiana do vetor wt:
||wt|| =
√
(w1)2t + (w2)
2t + . . .+ (wN )
2t (7.13)
onde (wi)t = xi−x∗i , para i = 1, 2, . . . N . O ponto fixo na origem w∗ = 0 e assin-toticamente estavel se, dada uma condicao inicial w0, as iteracoes subsequentes,At.w0, sao tais que as distancias a origem aproximam-se de zero quando t tendea infinito. De forma analoga, a origem sera instavel se a distancia diverge parainfinito quando t → ∞. Dessa forma, a determinacao da estabilidade do pontofixo demanda a analise dos autovalores da matriz A.
A matriz quadrada N×N A tem autovalores ξ dados pelas raızes da equacaosecular, que e dada por
det(A − ξI) = 0, (7.14)
onde I e a matriz identidade de ordem N :
I =
1 0 · · · 00 1 · · · 0...
.... . .
...0 0 · · · 1
. (7.15)
A equacao secular e obtida igualando a zero um determinante de ordem N , ouseja
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
A11 − ξ A12 · · · A1N
A21 A22 − ξ · · · A2N
......
. . ....
AN1 AN2 · · · ANN − ξ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0, (7.16)
que fornece uma equacao algebrica de grau N da forma
aoξN + a1ξ
N−1 + . . .+ aN−1ξ + aN = 0, (7.17)
onde ai, i = 0, 1, 2, . . . N − 1 sao coeficientes dependentes dos elementos damatriz A. Naturalmente podemos dividir toda a equacao por a0 6= 0 tal queo coeficiente do primeiro termo pode ser tomado igual a um, sem perda degeneralidade.
Pelo teorema fundamental da Algebra, uma equacao algebrica de grau Ntem N raızes, reais ou complexas. Logo, a matriz A tera sempre N autovalores,denotados ξi, com i = 1, 2, . . . N ; assim como N autovetores associados ui, taisque
A.ui = ξiui. (7.18)
Em princıpio, conhecer os autovalores da matriz requer a solucao da euqacao(7.16). Sabemos que solucoes analıticas (usando radicais) existem apenas paraN ≤ 4 porem, tirando o caso N = 2, tais solucoes sao extremamamente com-plicadas e mesmo difıceis de interpretar (o caso N = 3, por exemplo, pode serresolvido usando a famosa formula de Cardano). Quando, na pratica, se requero calculo explıcito dos autovalores, recorre-se a solucoes numericas da equacaosecular, o que pode tambem ser muito complicado quando todas ou parte das
327
raızes sao complexas. Em todo caso, um teorema da Algebra garante que, sehouver uma raiz complexa ξ = µ+iσ, tambem existira uma outra raiz complexaconjugada desta: ξ∗ = µ − iσ. De modo geral, podemos ter parte das raızesreais e parte delas complexas, e pode haver algumas raızes reais iguais (mul-tiplicidade ou “degenerescencia”), o que torna o problema em geral bastantecomplicado. Mais difıcil ainda e obter os autovetores no caso geral. Quandoha raızes reais repetidas, ou raızes complexas da equacao secular, devem serdefinidos autovetores generalizados.
O tratamento geral deste problema pode ser encontrado em textos de AlgebraLinear, mas, para nossos propositos, nao sera necessario encontrar (analitica ounumericamente) todos os autovalores ξi da matriz A. Sabemos, pela analise feitano caso bidimensional, que o ponto fixo na origem e assintoticamente estavel see somente se todos os autovalores tiverem modulos menores que um. Caso osautovalores sejam reais, entao seus valores absolutos sao tais que |ξi| < 1. Casosejam complexos (ξi = µ + iσ), entao o modulo deve ser calculado no plano
complexo |ξi| = |ξ∗i | =√
µ2 + σ2 < 1, tal que os autovalores devem estar dentrodo cırculo unitario |ξi| = 1.
Caso algum dos autovalores tenha modulo maior do que um, isso ja bastapara que o ponto fixo seja considerado instavel. Na verdade, ha varias manei-ras de um ponto fixo ser instavel, dependendo do numero de autovalores commodulo maior que um, e que estao relacionados com o numero de autoveto-res correspondentes a direcoes instaveis. No entanto, do ponto de vista dasaplicacoes economicas, na maioria dos casos basta-nos saber se o ponto fixo einstavel ou nao, sendo de menor relevancia a determinacao das direcoes em queos pontos divergem para infinito quando t→ ∞.
Alem de determinar a estabilidade do ponto fixo na origem, podemos tambemindagar sobre como a solucao converge para ela (ou, caso seja instavel, comodiverge para infinito), se monotonicamente ou oscilatoriamente. Como vimosno capıtulo II, a convergencia e monotonica se os autovalores tiverem parte realpositiva, e oscilatoria se tiverem parte real negativa. Em N dimensoes este eum problema bastante complicado, pois alguns autovalores podem ter partesreais positivas e outros partes reais negativas, entao podemos ter convergenciamonotonica para algumas variaveis, e oscilatoria para outras.
7.2.1 Criterio de Jury
Felizmente nao e preciso encontrar todos os autovalores da matriz A para saberse o ponto fixo na origem e ou nao estavel. E possıvel determinar, a partirdo chamado criterio de Jury, condicoes necessarias e suficientes para que osmodulos das raızes da equacao secular sejam menores que um; ou seja, quetodos os autovalores estejam dentro do cırculo unitario. Tais condicoes envolvemrelacoes entre os coeficientes da equacao secular, o que nos alivia da tarefapropriamente dita de resolve-la.
Seja a equacao algebrica de grau N :
P (ξ) = ξN + a1ξN−1 + . . .+ aN−1ξ + aN = 0 (7.19)
As raızes desta equacao, reais ou complexas, terao modulos menores que 1 se esomente se as seguintes condicoes forem satisfeitas [68, 69]:
328
|an| < 1, (7.20)
P (1) > 0, (7.21)
P (−1)
{
> 0 se n e par,
< 0 se n e ımpar;, (7.22)
|bn−1| > |b0|, (7.23)
|cn−2| > |c0|, (7.24)
......,
|q2| > |q0|, (7.25)
onde definimos os seguintes determinantes
bj =
∣∣∣∣
an an−1−j
1 aj+1
∣∣∣∣, (j = 0, 1, 2, · · · , n− 1) (7.26)
cj =
∣∣∣∣
bn−1 an−2−j
b0 bj+1
∣∣∣∣, (j = 0, 1, 2, · · · , n− 2) (7.27)
......
...
qj =
∣∣∣∣
p3 p2−j
p0 pj+1
∣∣∣∣, (j = 0, 1, 2). (7.28)
Na aplicacao da condicao (7.23) do criterio de Jury, devemos observar que osdeterminantes bj sao calculados diretamente a partir dos coeficientes da equacaosecular aj . Os determinantes cj sao obtidos a partir dos determinantes bj , eassim por diante. Continuamos o processo ate chegar aos determinantes qj ,que sao apenas tres, e sao escritos em funcao dos determinantes anteriores, quechamamos pj .
Vamos considerar inicialmente o caso particular em que n = 2, ou seja, o deuma equacao quadratica
P (ξ) = ξ2 + a1ξ + a2 = 0, (7.29)
As condicoes prescritas pelo criterio de Jury sao
|a2| < 1, (7.30)
P (1) = 1 + a1 + a2 > 0, (7.31)
P (−1) = 1 − a1 + a2 > 0, (7.32)
que sao as condicoes de estabilidade (6.149)-(6.151)) utilizadas no Capıtulo 6.Na verdade, a condicao |a2| < 1 e mais restritiva do que (6.150), a saber, a2 < 1,mas isso nao representa problema. Quando levamos as outras condicoes deestabilidade, gerando o triangulo de estabilidade da Figura ??, a condicao a2 < 1implica em |a2| < 1, pois o triangulo de estabilidade tem um vertice em a2 = −1.Note, ainda, que, no caso n = 2, a condicao (7.23) nao se aplica pois, emborapossamos escrever b0 e b1, ao tentar escrever o determinante b2 encontrarıamosum ındice negativo do coeficiente aj . Por outro lado, na condicao (7.23) eobrigatorio termos pelo menos tres determinantes bj .
329
Para uso posterior neste capıtulo, mostraremos explicitamente os calculospara o caso n = 3, onde temos uma equacao cubica
P (ξ) = ξ3 + a1ξ2 + a2ξ + a3 = 0, (7.33)
cujas raızes terao modulos menores que um desde que:
|a3| < 1, (7.34)
P (1) = 1 + a1 + a2 + a3 > 0, (7.35)
P (−1) = 1 + a1 − a2 + a3 < 0, (7.36)
|b2| > |b0| (7.37)
onde
b0 =
∣∣∣∣
a3 a2
1 a1
∣∣∣∣, (j = 0) (7.38)
b1 =
∣∣∣∣
a3 a1
1 a2
∣∣∣∣, (j = 1) (7.39)
b2 =
∣∣∣∣
a3 a0
1 a3
∣∣∣∣, (j = 2) (7.40)
|a23 − 1| > |a3a1 − a2|, (7.41)
pois a0 = 1.No caso n = 4, a equacao secular tem a forma
P (ξ) = ξ4 + a1ξ3 + a2ξ
2 + a3xi+ a4 = 0, (7.42)
e as condicoes para que o criterio de Jury seja satisfeito sao
|a4| < 1, (7.43)
P (1) = 1 + a1 + a2 + a3 + a4 > 0, (7.44)
P (−1) = 1 − a1 + a2 − a3 + a4 > 0, (7.45)
|b3| > |b0|, (7.46)
|c2| > |c0|, (7.47)
onde
b0 =
∣∣∣∣
a4 a3
1 a1
∣∣∣∣= a1a4 − a3, (7.48)
b1 =
∣∣∣∣
a4 a2
1 a2
∣∣∣∣= (a4 − 1)a2, (7.49)
b2 =
∣∣∣∣
a4 a1
1 a3
∣∣∣∣= a4a3 − a1, (7.50)
c0 =
∣∣∣∣
b3 a2
b0 b1
∣∣∣∣= b1b3 − b0b2 (7.51)
= a2(a4 + 1)(a4 − 1)2 − (a1a4 − a3)(a4a3 − a1),
c1 =
∣∣∣∣
b3 b2b0 b1
∣∣∣∣= b3(b2 − b0), (7.52)
c2 =
∣∣∣∣
b3 b0b0 b3
∣∣∣∣= b23 − b20 (7.53)
= (a24 − 1)
2 − (a1a4 − a3)2,
330
o que implica nas duas condicoes a seguir
|a24 − 1| > |a1a4 − a3|, (7.54)
|(a24 − 1)
2 − (a1a4 − a3)2| > (7.55)
> |a2(a4 + 1)(a4 − 1)2 − (a1a4 − a3)(a4a3 − a1)|.
7.2.2 Criterio de Schur
Alem do criterio de Jury, temos tambem o criterio de Schur, enunciado a seguir:seja a equacao algebrica de grau n:
aoξn + a1ξ
n−1 + . . .+ an−1ξ + an = 0. (7.56)
As raızes desta equacao, reais ou complexas, terao modulos menores que 1 se esomente se os n determinantes a seguir forem todos positivos [19]:
∆1 =
∣∣∣∣
a0 an
an a0
∣∣∣∣> 0, (7.57)
∆2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
a0 0 an an−1
a1 a0 0 an
an 0 a0 a1
an−1 an 0 a0
∣∣∣∣∣∣∣∣
> 0, (7.58)
∆3 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a0 0 0 an an−1 an−2
a1 a0 0 0 an an−1
a2 a1 a0 0 0 an
an 0 0 a0 a1 a2
an−1 an 0 0 a0 a1
an−2 an−1 an 0 0 a0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
> 0, (7.59)
......
...
∆n =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a0 0 · · · 0 an an−1 · · · a1
a1 a0 · · · 0 0 an · · · a2
......
. . ....
......
. . ....
an−1 an−2 · · · a0 0 0 · · · an
an 0 · · · 0 a0 a1 · · · an−1
an−1 an · · · 0 0 a0 · · · an−2
......
. . ....
......
. . ....
a1 a2 · · · an 0 0 · · · a0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
> 0. (7.60)
Observe que cada determinante ∆k, com k = 1, 2, · · ·n tem ordem 2k e podeser dividido em quatro quadrantes, cada qual com ordem k. No quadrante supe-rior esquerdo todos os elementos da diagonal principal sao iguais a a0, e todos oselementos acima dela sao iguais a zero, os elementos abaixo sendo preenchidosprogressivamente pelos coeficientes da equacao secular. O quadrante inferior di-reito e obtido pela transposicao dos elementos do quadrantes superior esquerdo(isto e, trocando linha por coluna e vice-versa). O quadrante superior direitotem como elementos da diagonal principal os coeficientes an, sendo nulos todos
331
os elementos abaixo destes. Os elementos acima sao obtidos a partir dos coefi-cientes seguintes a an, ate estes se esgotarem. O quadrante inferior esquerdo ea transposicao do quadrante superior direito.
Para ilustrar esse criterio, vamos considerar o caso em que n = 2:
aoξ2 + a1ξ + a2 = 0. (7.61)
O criterio de Schur impoe a positividade dos seguintes determinantes:
∆1 =
∣∣∣∣
a0 a2
a2 a0
∣∣∣∣> 0, (7.62)
∆2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
a0 0 a2 a1
a1 a0 0 a2
a2 0 a0 a1
a1 a2 0 a0
∣∣∣∣∣∣∣∣
> 0. (7.63)
Do primeiro determinante decorre imediatamente a condicao
∆1 = a20 − a2
2 > 0. (7.64)
Ja o segundo determinante, 7.63, pode ser desenvolvido pelo Teorema de Laplacena soma de, no maximo, quatro determinantes de terceira ordem. Esse numeropode ser ainda menor, pois varios elementos sao zero. Escolhendo a segundacoluna para referencia, teremos
∆2 = (−1)2+2
a0
∣∣∣∣∣∣
a0 a2 a1
a2 a0 a1
a1 0 a0
∣∣∣∣∣∣
+ (−1)4+2
a2
∣∣∣∣∣∣
a0 a2 a1
a1 0 a2
a2 a0 a1
∣∣∣∣∣∣
=
= a0(a30 + a2
1a2 − a21a0 − a0a
22) + a2(a
21a0 + a3
2 − a2a20 − a2
1a2)
= a40 + 2a0a
21a2 − a2
1a20 − 2a2
0a22 − a2
1a22 − a2
1a22 + a4
2, (7.65)
e que pode ser reescrita em termos de produtos notaveis, tal que o resultadofinal torna-se
∆2 = (a20 − a2
2)2 − a2
1(a0 − a2)2> 0. (7.66)
Supondo que a0 = 1 (o que sempre pode ser feito, como vimos), a equacao(7.64) implica em
1 − a2 > 0, (7.67)
que nao conflita com a sua similar |a2| < 1 dada pelo criterio de Jury pois asduas sao de fato equivalentes, tendo em vista o triangulo de estabilidade vistono Capıtulo 6.
Ja a segunda condicao, (7.66), recai numa inequacao do segundo grau, cujasolucao pode ser escrita como o seguinte par de desigualdades:
−(1 − a22) < a1(1 − a2) < 1 − a2
2, (7.68)
cada qual fornecendo uma condicao adicional, a saber:
1 + a1 + a2 > 0, (7.69)
1 − a1 + a2 > 0, (7.70)
e que sao as condicoes de estabilidade (6.149)-(6.151).
332
Para o caso n = 3, o criterio de Schur preconiza as seguintes condicoes sobreos coeficientes da equacao secular:
∆1 =
∣∣∣∣
a0 a3
a3 a0
∣∣∣∣> 0, (7.71)
∆2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
a0 0 a3 a2
a1 a0 0 a3
a3 0 a0 a1
a2 a3 0 a0
∣∣∣∣∣∣∣∣
> 0, (7.72)
∆3 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a0 0 0 a3 a2 a1
a1 a0 0 0 a3 a2
a2 a1 a0 0 0 a3
a3 0 0 a0 a1 a2
a2 a3 0 0 a0 a1
a1 a2 a3 0 0 a0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
> 0. (7.73)
No entanto, na pratica o criterio de Schur nao e muito conveniente pois, jano caso de n = 3 implica no calculo de determinantes de ordem 6. Por issonormalmente referir-nos-emos ao criterio de Jury para uso futuro.
7.3 Exemplo em Economia: Multiplicadores numa
economia aberta
Com a atual enfase na globalizacao da economia, estudos sobre a interacaoeconomica entre varios paıses tem se tornado cada vez mais comuns. No capıtulo6 estudamos o modelo de multiplicador-acelerador de Samuelson para um unicopaıs. E possıvel incluir neste modelo os efeitos de trocas comerciais, porem deforma exogena. Para tornar as questoes de importacao-exportacao endogenas epreciso considerar o comportamento dinamico da economia de mais de um paıs.
7.3.1 Modelo com tres paıses
Vamos considerar um modelo onde tres paıses interagem numa economia aberta[21], como exemplo de um modelo discreto multidimensional, e que pode ser ge-neralizado para um numero arbitrario de paıses (veja o problema XXX). Vamosdar o ındice i = 1, 2, 3 a cada paıs, cuja economia sera descrita pelas seguintesmacrovariaveis:
• Ct(i): consumo do paıs i no tempo t;
• Yt(i): renda do paıs i no tempo t;
• It(i): investimento do paıs i no tempo t;
• Mt(i): exportacoes do paıs i no tempo t;
• Xt(i): importacoes do paıs i no tempo t.
Para cada paıs, adotaremos uma funcao de consumo linear com um hiato detempo de uma unidade, tal como no modelo de Samuelson [vide Eq. (6.153)]:
Ct(i) = b(i)Yt−1(i), (7.74)
333
1
2 3
M
M
MM
M
M
X
X
X
X
X
X
12
12
13
1331
31
32
3233
33
21
21
Figura 7.1: Exportacoes e importacoes entre tres paıses.
onde 0 < b(i) < 1 e a propensao marginal de consumo do paıs i. Da mesmaforma, iremos adotar uma funcao de investimento linear com hiato:
It(i) = I0(i) + h(i)Yt−1(i), (7.75)
onde I0(i) e o investimento autonomo do paıs i, e 0 < h(i) < 1 e a correspondentepropensao marginal a investir.
A importacao de cada paıs e suposta ser linearmente proporcional a rendano tempo anterior:
Mt(i) = M0(i) +m(i)Yt−1(i), (7.76)
onde M0(i) representa as importacoes autonomas, ou seja, aquelas obrigatoriascomo generos alimentıcios, insumos ou energia que o paıs i nao produz e naopode deixar de importar. A parte dependente da renda e representada pelapropensao marginal a importar mi.
Considerando um modelo com dois paıses, i = 1 e 2, e economias mutu-amente abertas, a importacao de um corresponde a exportacao do outro, evice-versa
Xt(1) = Mt(2), Xt(2) = Mt(1). (7.77)
Para tres ou mais paıses, porem, a situacao e mais complexa, ja que o paıs i = 1pode exportar e importar dos paıses 2 e 3 com diferentes propensoes, devidoa acordos comerciais ou barreiras tarifarias e/ou protecionistas, por exemplo(Figura 7.1).
334
Para tal, vamos considerar inicialmente o total de importacoes autonomasfeitas pelo paıs dos dois outros paıses:
M0(1) = M0(21) +M0(31),
M0(2) = M0(12) +M0(32), (7.78)
M0(3) = M0(13) +M0(23).
Da mesma forma, determinamos a propensao total do paıs i a importar dosoutros dois paıses,
m(1) = m(21) +m(31), (7.79)
m(2) = m(12) +m(32), (7.80)
m(3) = m(13) +m(23), (7.81)
onde somamos as propensoes parciais, m(ij), do paıs i importar do paıs j.Substituindo (7.78) em (7.80) temos
Mt(1) = (M0(21) +M0(31)) + (m(21) +m(31))Yt−1(1), (7.82)
Mt(2) = (M0(12) +M0(32)) + (m(12) +m(32))Yt−1(2), (7.83)
Mt(3) = (M0(13) +M0(23)) + (m(13) +m(23))Yt−1(3). (7.84)
A exportacao total do paıs i = 1, por exemplo, corresponde as importacoesdos paıses i = 2 e i = 3, tanto na parte autonoma quanto naquela que dependedas rendas dos dois paıses. Portanto
Xt(1) = (M0(12) +M0(13)) + (m(12)Yt−1(2) +m(13)Yt−1(3)),
Xt(2) = (M0(21) +M0(23)) + (m(21)Yt−1(1) +m(23)Yt−1(3)), (7.85)
Xt(3) = (M0(31) +M0(32)) + (m(31)Yt−1(1) +m(32)Yt−1(2)).
Para cada paıs, supomos a existencia de equilıbrio macroeconomico ondea oferta agregada, dada pela renda nacional mais o total das importacoes, eigual a demanda agregada que, por sua vez, e igual a soma do consumo, doinvestimento, e das exportacoes:
Yt(i) +Mt(i) = Ct(i) + It(i) +Xt(i), (i = 1, 2, 3) (7.86)
onde desconsideramos gastos governamentais. Substituindo (7.74), (7.75), (7.83)e (7.85) em (7.86), temos, para a renda de cada paıs as seguintes equacoesdinamicas:
Yt(1) = a(11)Yt−1(1) +m(12)Yt−1(2) +m(13)Yt−1(3) +H(1), (7.87)
Yt(2) = m(21)Yt−1(1) + a(22)Yt−1(2) +m(23)Yt−1(3) +H(2), (7.88)
Yt(3) = m(31)Yt−1(1) +m(32)Yt−1(2) + a(33)Yt−1(3) +H(3), (7.89)
onde definimos
m(ii) ≡ b(i) + h(i) +m(i), (i = 1, 2, 3) (7.90)
H(1) ≡ I0(1) + (M0(12) −M0(21)) + (M0(13) −M0(31)), (7.91)
H(2) ≡ I0(2) + (M0(21) −M0(12)) + (M0(23) −M0(32)), (7.92)
H(3) ≡ I0(3) + (M0(31) −M0(13)) + (M0(32) −M0(23)). (7.93)
335
Desse modo, podemos escrever as equacoes (7.87)-(7.89) na forma de ummodelo discreto multidimensional linear
vt = A.vt−1 + B (7.94)
onde
vt =
Yt(1)Yt(2)Yt(3)
, (7.95)
e as matrizes com elementos constante
A =
m(11) m(12) m(13)m(21) m(22) m(23)m(31) m(32) m(33)
, B =
H(1)H(2)H(3)
. (7.96)
Para encontrar o ponto fixo deste modelo, ou seja, a renda de equilıbrio decada paıs, utilizaremos (7.9), ou seja
v∗ = (I − A)−1.B =
Y (1)∗
Y (2)∗
Y (3)∗
, (7.97)
de modo que
Y (1)∗
Y (2)∗
Y (3)∗
=
1 −m(11) m(12) m(13)m(21) 1 −m(22) m(23)m(31) m(32) 1 −m(33)
,
−1
H(1)H(2)H(3)
.
(7.98)Precisamos inverter a matriz I − A, o que faremos utilizando as formulas
(4.21) e (4.22) do Capıtulo 4. Teremos entao que
(I − A)−1
=1
∆
a(11) a(12) a(13)a(21) a(22) a(23)a(31) a(32) a(33)
, (7.99)
onde
∆ = det(I − A) (7.100)
= (1 −m(11))(1 −m(22))(1 −m(33)) +m(21)m(32)m(13) +
m(31)m(12)m(23) −m(13)m(31)(1 −m(22)) −m(23)m(32)(1 −m(11)) −m(12)m(21)(1 −m(33)),
a(11) = (1 −m(22))(1 −m(33)) −m(23)m(32), (7.101)
a(12) = m(12)(1 −m(33)) −m(13)m(32), (7.102)
a(13) = −m(13)(1 −m(22)) +m(23)m(12), (7.103)
a(21) = −m(21)(1 −m(33)) −m(23)m(31), (7.104)
a(11) = (1 −m(11))(1 −m(33)) −m(13)m(31), (7.105)
a(23) = −m(23)(1 −m(11)) +m(21)m(13), (7.106)
a(31) = −m(31)(1 −m(22)) +m(21)m(32), (7.107)
a(32) = −m(32)(1 −m(11)) +m(31)m(12), (7.108)
a(33) = (1 −m(22))(1 −m(11)) −m(12)m(21). (7.109)
336
e, finalmente, as rendas de equilıbrio para cada paıs sao dadas por
Y ∗(1) =1
∆(a(11)H(1) + a(12)H(2) + a(13)H(3)) , (7.110)
Y ∗(2) =1
∆(a(21)H(1) + a(22)H(2) + a(23)H(3)) , (7.111)
Y ∗(3) =1
∆(a(31)H(1) + a(32)H(2) + a(33)H(3)) , (7.112)
7.3.2 Estabilidade do ponto fixo
Uma vez encontrado o ponto fixo, sua estabilidade e determinada pelos au-tovalores da matriz A. Sendo a matriz de terceira ordem, a equacao seculardet(A − ξI) = 0 leva a uma equacao algebrica do terceiro grau da forma
ξ3 + a1ξ2 + a2ξ + a3 = 0 (7.113)
e cujas raızes ξ1,2,3 sao os autovalores procurados. No capıtulo refmcm [videEq. (refsecA3)] mostramos que a equacao secular para uma matriz de terceiraordem e dada por
ξ3 − TrAξ2 + c2ξ − detA = 0, (7.114)
apos multiplica-la por −1 a fim de tornar igual a um o coeficiente do termocubico, e onde c2 e a soma dos menores principais da matriz A. Comparando(grau3) com (refsecA3) temos os coeficientes
a1 = − TrA, (7.115)
a2 = c2, (7.116)
a3 = −detA, (7.117)
O ponto de equilıbrio (7.110)-(7.112) sera assintoticamente estavel se, pelocriterio de Jury (autovalores da matriz A com modulos menores que um) tiver-mos satisfeitas as seguintes desigualdades [vide (refjury1) e condicoes associa-das]:
verta3| = |detA| < 1, (7.118)
1 + a1 + a2 + a3 = 1 − TrA + c2 − detA > 0, (7.119)
1 + a1 − a2 + a3 = 1 − TrA − c2 − detA < 0, (7.120)
|a23 − 1| > |a3a1 − a2|, (7.121)
|(detA)2 − 1| > |detA TrA − c2|, (7.122)
As condicoes de estabilidade acima foram escritas numa forma geral parapoderem ser usadas, quando necessario, em outros modelos. No modelo queestamos analisando em particular nessa secao temos que
TrA = m(11) +m(22) +m(33), (7.123)
c2 = m(11)m(22) −m(21)m(12) +m(11)m(33) (7.124)
−m(13)m(31) +m(22)m(33) −m(23)m(32),
detA = m(11)m(22)m(33) +m(21)m(32)m(13) +m(31)m(12)m(23)(7.125)
−m(13)m(22)m(31) −m(23)m(32)m(11) −m(33)m(12)m(21),
337
que, naturalmente, dao origem a expressoes algebricas tao grandes que seriampraticamente inviaveis para manipulacao puramente simbolica. Temos, pois,duas alternativas: ou colocamos valores numericos nas constantes do modelo,ou procuramos analisar alguns casos particulares mais simples que permitamuma abordagem analıtica. A seguir vamos levar a cabo essa segunda alternativa,ficando a primeira para os exercıcios deste capıtulo.
7.3.3 Um caso particular: acoplamento unidirecional
Um caso particular, embora algo artificial, da situacao apresentada consisteno chamado acoplamento unidirecional, ou seja, as relacoes de exportacao-importacao so ocorrem num sentido. Por exemplo, o paıs 1 so exporta parao paıs 2, mas nao importa dele; senao apenas do paıs 3, que so importa do paıs2. Isso implica em que as seguintes propensoes parciais sao nulas:
m(21) = m(32) = m(31) = 0, (7.126)
o que significa que a matriz A e triangular superior, ou seja, os elementos abaixoda diagonal principal sao nulos:
A =
m(11) m(12) m(13)0 m(22) m(23)0 0 m(33)
. (7.127)
Neste caso, I − A tambem e triangular superior, o que simplifica a deter-minacao de sua inversa por meio de (2.17):
I − A =1
δ× (7.128)
(1 −m(22))(1 −m(33)) −m(12)(1 −m(33)) m(13)m(12)m(13)(1 −m(22))0 (1 −m(11))(1 −m(33)) −(1 −m(11))m(23)0 0 (1 −m(11))(1 −m(22))
,
onde
δ = det(I − A) = (1 −m(11))(1 −m(22))(1 −m(33)), (7.129)
tal que o ponto fixo v∗ seja dado por
Y ∗(1) =1
δ[(1 −m(22))(1 −m(33))H(1) −m(12)(1 −m(33))H(2)+
m(13)m(12)m(13)(1 −m(22))H(3)] , (7.130)
Y ∗(2) =1
δ[(1 −m(11))(1 −m(33))H(2) − (1 −m(11))m(23)H(3)] ,(7.131)
Y ∗(3) =1
δ[(1 −m(11))(1 −m(22))(1 −m(33))H(3)] . (7.132)
A estabilidade deste ponto fixo e determinada pela natureza (real ou com-plexa) e pelo modulo (menor ou maior que um) dos autovalores da matriz A. Nocaso de matrizes triangulares superiores ou inferiores, pode-se mostrar que osautovalores sao iguais aos elementos da diagonal principal. No caso de (7.127)temos, portanto, que os autovalores sao:
ξ1 = m(11), ξ2 = m(22), ξ3 = m(33). (7.133)
338
Neste caso, tambem, e certamente mais facil analisar a estabilidade do pontofixo diretamente a partir dos autovalores do que usando o criterio de Schur.Para que o ponto fixo v∗ seja estavel e necessario e suficiente queos modulosdos coeficientes mii sejam menores que um, ou seja,
|b(1)+h(1)−m(1)| < 1, |b(2)+h(2)−m(2)| < 1, |b(3)+h(3)−m(3)| < 1.(7.134)
Em modelos de um unico paıs onde as exportacoes sao exogenas, o fator1/(1− b− h+m) e o multiplicador Keynesiano usual. Neste caso, se tomarmosuma unidade de aumento da renda, isso causa um incremento tanto no consumocomo no investimento, quantificado por b+h (a condicao de estabilidade de umaeconomia fechada e 0 < b + h < 1). Logo, b + h −m representa a propensaomarginal a gastar em bens domesticos (nao importados), donde b+ h−m > 0,ou b + h > m [21]. Estendendo essa ideia para nosso contexto de interacoesunidirecionais entre os paıses, teremos rendas de equilıbrio estaveis para o i-esimo paıs se 0 < b(i) + h(i) −m(i) < 1, que leva a mesma situacao de quandoas exportacoes eram exogenas.
7.4 Sub-espacos invariantes
Os conceitos de sub-espacos e variedades invariantes generalizam os de auto-direcoes e curvas invariantes de modelos discretos bidimensionais vistos noCapıtulo 6. Seja o modelo discreto multidimensional linear
vt = A · vt−1 + B, (7.135)
com um ponto fixo v∗. No caso bidimensional, uma auto-direcao invariante edeterminadas pelos autovetores da matriz A, sendo que a auto-direcao instavel(estavel) esta associada ao autovalor da matriz cujo modulo seja maior (menor)do que um.
Para o caso N -dimensional, supomos que a matriz dos coeficientes A tenhaN autovalores (reais ou complexos), dos quais
• s autovalores tem modulos menores do que um;
• u autovalores tem modulos maiores do que um;
• c autovalores tem modulos iguais a um;
onde N = s + u + c. A estes autovalores correspondem N autovetores ui,i = 1, 2, . . . N , que podem ser classificados da seguinte forma:
• s autovetores: u1, · · ·us;
• u autovetores: us+1, · · ·us+u;
• c autovetores: us+u+1, · · ·uN ;
Estes autovetores, por serem linearmente independentes, servem de basepara sub-espacos do RN , denominados:
• Es: sub-espaco estavel, gerado pelos autovetores {u1, · · ·us};
• Eu: sub-espaco instavel, gerado pelos autovetores {us+1, · · ·us+u};
339
• Ec: sub-espaco central gerado pelos autovetores {us+u+1, · · ·uN}.
Os sub-espacos acima definidos sao invariantes, no sentido que quaisquerorbitas do modelo obtidas a partir de condicoes iniciais pertencentes ao sub-espaco deverao continuar pertencendo ao sub-espaco para todos os tempos po-sitivos e negativos.
7.5 Analise da estabilidade em alguns casos
Vamos considerar um modelo multidimensional linear com B = 0 dado por
vt = A.vt−1, (7.136)
que tem um unico ponto fixo para origem do RN , ou v∗ = {(0, 0, · · · , 0)}T; e
cuja solucao geral e dada por (7.10) como
vt = At.v0 (7.137)
onde v0 e a condicao inicial. Uma vez conhecidos os autovalores de A, suaspotencias podem ser encontradas de forma mais simples a partir da forma de Jor-dan correspondente. Vamos, portanto, considerar os diferentes casos possıveis.Assim como no Capıtulo 4, limitaremos nossa analise a modelos discretos tridi-mensionais, embora os conceitos envolvidos possam ser generalizados sem muitadificuldade para quatro ou mais dimensoes.
7.5.1 Tres autovalores reais e distintos
Aprendemos, no Capıtulo 4, que, quando os autovalores da matriz A sao reaise distintos (ξi, i = 1, 2, 3), a matriz A e similar a seguinte forma de Jordan
J =
ξ1 0 00 ξ2 00 0 ξ3
, (7.138)
atraves da matriz de similaridade T que satisfaz
J = T−1 · A · T, (7.139)
e que e, por sua vez, construida usando como colunas os autovetores de A [videEq. (4.15)].
Como matrizes semelhantes em tem as mesmas potencias [vide Eq. (4.8)],resulta que:
Jt = T−1 · At · T,⇒ At = T · Jt · T−1. (7.140)
donde a solucao geral (7.137) pode ser reescrita na forma alternativa
vt = T · Jt · T−1 · v0. (7.141)
Definindo o novo vetor coluna
zt =
z1t
z2t
z3t
≡ S−1 · vt, (7.142)
340
podemos colocar a Eq. (7.141) nessa nova variavel
zt = Jt · z0, (7.143)
a qual representa a generalizacao da expressao
zt = J · zt−1. (7.144)
No Apendice 11.8.2 mostramos que a potenciacao de uma matriz na formade Jordan fornece
Jt =
ξt1 0 00 ξt
2 00 0 ξt
3
, (7.145)
de tal sorte que a eq. (7.143) pode ser escrita, matricialmente, como
z1t
z2t
z3t
=
ξt1 0 00 ξt
2 00 0 ξt
3
z10z20z30
, (7.146)
implicando no seguinte sistema de equacoes
z1t = ξt1z10, (7.147)
z2t = ξt2z20, (7.148)
z3t = ξt3z30, (7.149)
De forma geral, se o autovalor correspondente a uma dada direcao i = 1, 2, 3tiver modulo menor que um (|ξi| < 1), entao limt→∞ |ξi| = 0 e as iteracoesda orbita convergem ao ponto fixo na origem (limt→∞ zit = 0), o qual seraconsiderado estavel em relacao a esta direcao. Caso |ξi| > 1 entao limt→∞ zit =∞ e ao longo dessa direcao o ponto fixo e instavel. O caso |ξi| = 1 nao econclusivo, pois as iteracoes nem se afastam nem se aproximam assintoticamentedo ponto fixo.
Assim como vimos no Capıtulo 4 pode haver diversos tipos de estabilidadedo ponto fixo, uma vez que ha tres direcoes principais e podemos ter estabilidadeou instabilidade ao longo de cada uma destas direcoes. No caso bidimensional ostipos de ponto fixo, quanto a sua estabilidade, foram apresentado (por meio deexemplos) no Capıtulo 6. Para tres ou mais dimensoes, estendemos os cenceitosde forma semelhante ao que fizemos no caso de modelos contınuos. Por exemplo,se |ξ1| < 1, |ξ2| < 1 e |ξ3| < 1, entao o sub-espaco invariante estavel sera o planogerado pelas direcoes x1 e x2, ao passo que o sub-espaco instavel sera a direcaox3, e assim por diante.
7.5.2 Dois autovalores reais repetidos e outro distinto
Consideramos, agora, o caso onde ha dois autovalores reais repetidos (ξ1 = ξ2)e um terceiro real porem distinto dos outros dois ξ3 6= ξ1,2. A matriz A doscoeficientes e similar a uma matriz diagonal em blocos de Jordan, com um blococomo em () [cf. Cap. 4] e ao terceiro autovalor
µ 1 00 µ 10 0 ξ3
. (7.150)
341
As potencias do bloco de Jordan superior podem ser escritas numa forma fechada[vide Apendice 11.8.2], enquanto o elemento isolado e tratado identicamente aocaso anterior. O resultado e
Jt =
µt tµt−1 00 µt tµt−1
0 0 ξt3
. (7.151)
De (7.143), as iteradas sucessivas de um ponto sao
zt =
z1t
z2t
z3t
= Jt · z0 =
µt tµt−1 00 µt tµt−1
0 0 ξt3
z10z20z30
, (7.152)
e que pode ser desdobrada em tres equacoes
z1t = µtz10 + tµt−1z20, (7.153)
z2t = µtz20 + tµt−1z30, (7.154)
z3t = ξt3z30, (7.155)
Suponhamos que |µ| < 1 e |ξi| > 1. Como limt→∞ tµt−1 = 0 para |µ| < 1,o ponto fixo w = 0 sera estavel nas direcoes x1 e x2 (as quais geram o sub-espaco invariante estavel), enquanto x3 gera o sub-espaco invariante instavel.Se tambem tivessemos |µ| > 1, como limt→∞ tµt−1 = ∞ o sub-espaco estavelnao mais existiria e o sub-espaco instavel seria tridimensional.
7.5.3 Dois autovalores complexos e um real
Supomos, agora, que dois dos autovalores de A sejam complexos conjugadosξ1 =µ + iσ, ξ2 = ξ∗1 , enquanto um terceiro autovalor ξ3 e real. De (4.12), a matrizA e similar a uma matriz diagonal em blocos de Jordan:
J =
µ −σ 0σ µ 00 0 ξ3
, (7.156)
onde o bloco 2× 2 corresponde aos autovalores complexos e o elemento solteiroao autovalor real.
Ao inves de trabalhar, como antes, calculando diretamente potencias da ma-triz dos coeficientes, vamos proceder como no Capıtulo 6 e escrever a solucaogeral deste modelo em termos dos autovalores e autovetores. Um calculo se-melhante ao do capıtulo anterior fornecera para esses ultimos (veja o problemaXXX)
u1 =
1−i0
, (ξ1 = µ+ iσ), (7.157)
u2 =
1i0
, (ξ2 = µ− iσ), (7.158)
u3 =
001
, (ξ3), (7.159)
342
Usando a forma trigonometrica para o par de autovalores complexos
µ = r cos θ, (7.160)
σ = r sin θ, (7.161)
tal que
r =√
µ2 + σ2, θ = arctan
(b
a
)
. (7.162)
A solucao geral do modelo discreto tridimensional e uma combinacao lineardos autovetores, por meio da generalizacao da expressao (6.36):
z1t
z2t
z3t
= c1(µ+ iσ)t
1−i0
+ c2(µ− iσ)t
1i0
+ c3ξt3
001
, (7.163)
de modo que, usando a forma polar dos autovalores complexos para a sua po-tenciacao, chegamos a
z1t = c1rteitθ + c2r
te−itθ, (7.164)
z2t = −ic1rteitθ + ic2rte−itθ, (7.165)
z3t = c3ξt3, (7.166)
Substituindo t = 0 de modo a explicitar as condicoes iniciais,
z10 = c1 + c2, (7.167)
z20 = i(−c1 + c2), (7.168)
z30 = c3, (7.169)
cuja solucao e
c1 =z10 + iz20
2, (7.170)
c2 =z10 − iz20
2, (7.171)
c3 = z30, (7.172)
que, substituidas novamente em (7.166)-(7.166), apos alguma algebra fornecem
z1t = rt [z10 cos(tθ) − z20 sin(tθ)] , (7.173)
z2t = rt [z10 sin(tθ) + z20 cos(tθ)] . (7.174)
z3t = ξt3z30. (7.175)
A interpretacao geometrica dessas solucoes foi apresentada no Capıtulo an-terior para o caso bidimensional. O modulo dos autovalores complexos e igual ar. Suponha, por exemplo, que r = 1. O par de autovetores (tambem complexos)u1 e u2 gera um sub-espaco invariante, que pode ser representado pelo planoz3t = 0. Nesse caso particular as coisas ficam um pouco mais simples pois
zt =
z1t
z2t
0
, (7.176)
343
e as equacoes (7.173) e (??) representam uma rotacao de um angulo θ do vetorzt−1, transformando-o num novo vetor zt, com o mesmo modulo de zt−1 (nessecaso o ponto fixo seria um centro em relacao a esse subespaco).
Podemos, agora, relaxar a suposicao inicial e considerar r diferente de um.O termo rt provoca uma mudanca no modulo do vetor zt, correspondendo auma dilatacao se r > 1, ou seja, |zt| =
√
z210 + z2
20 tende a infinito quandot → ∞ e um encolhimento se r < 1, tal que limt→∞ |zt| = 0. Logo, r <1 e r > 1 correspondem a focos estavel e instavel, respectivamente. Essescomportamentos no plano z3t = 0 devem ser associados ao comportamento emrelacao a direcao 3. Se ξ3 > 1, por exemplo, o plano z3t = 0 e um sub-espacoinvariante estavel e a direcao x3 e o sub-espaco invariante instavel.
7.6 Modelos multidimensionais nao-lineares
7.6.1 Pontos fixos e orbitas periodicas
A analise dos modelos lineares permite tambem, em muitos casos, determinar aestabilidade dos pontos fixos de modelos nao-lineares da forma
vt = F(vt−1), (7.177)
Um ponto fixo de um modelo multidimensional e um vetor (7.8) de N compo-nentes que mapeia a si proprio:
v∗ = F(v∗). (7.178)
Outro conceito aplicavel em mais de uma dimensao e o de orbitas periodicas,que vimos no capıtulo 5. Comecemos pelo caso de uma orbita de perıodo 2, quee composta pelos dois vetores {v∗
1,v∗2} tais que um mapeia em outro pela acao
do modelo F:
v∗1 = F(v∗
2) v∗2 = F(v∗
1). (7.179)
Como v∗2 = F(v∗
1) = F(F(v∗2)) = F[2](v∗
2), entao v∗2 e v∗
1 sao pontos fixos dasegunda iterada de F(v). Logo, tais vetores sao solucoes da equacao
v∗ = F[2](v∗) = F(F(v∗)). (7.180)
De forma analoga, uma orbita periodica de perıodo m, ou m-ciclo, e um con-junto de m vetores {v∗
1,v∗2,v
∗3, . . .v
∗m}, tais que um mapeia o outro ciclicamente
v∗i+1 = F(v∗
i ) (i = 1, 2, . . .m− 1), (7.181)
v∗1 = F(v∗
m).
Aplicando sucessivamente essas a qualquer um dos vetores do m-ciclo, comov∗
m, temos
v∗m = F(v∗
m−1) = F(F(v∗m−2)) = F(F(F(v∗
m−3))) = . . .F[m](v∗m), (7.182)
de modo que os elementos de um m-ciclo sao pontos fixos da m-esima iteradado modelo F(x).
344
7.6.2 Estabilidade para modelos nao-lineares
A estabilidade do ponto fixo do modelo multidimensional nao-linear vt+1 =F(vt) e investigada pela sua linearizacao nas vizinhancas do ponto v∗. Damesma forma que no caso bidimensional, trabalhamos no espaco N -dimensionaldas variaveis dinamicas e, em torno do ponto fixo, cujas coordenadas sao (x∗1, · · ·x∗N ),nos analisamos uma hiper-esfera de raio ǫ, onde ǫ ≪ x∗i e um numero pequeno(em comparacao com a unidade).
Para linearizar o modelo, e verificar se o ponto fixo e estavel dentro dessavizinhanca limitada por ǫ, nos expandimos em serie as N funcoes Fi(v). Escre-vemos o vetor nas vizinhancas do ponto fixo como
vt = v∗ + wt, (7.183)
onde
wt =
(w1)t
(w2)t...
(wN )t
=
(x1)t − x∗1(x2)t − x∗2
...(xN )t − x∗N
, (7.184)
tal que (7.1) fique
(w1)t + x∗1 = F1((w1)t−1 + x∗1, (w2)t−1 + x∗2, . . . (wN )t−1 + x∗N ),
(w2)t + x∗2 = F2((w1)t−1 + x∗1, (w2)t−1 + x∗2, . . . (wN )t−1 + x∗N ),
... =... (7.185)
(wN )t + x∗N = FN ((w1)t−1 + x∗1, (w2)t−1 + x∗2, . . . (wN )t−1 + x∗N ).
Vamos tambem supor que os incrementos (wi)t = (xi)t − x∗i estejam dentroda hıper-esfera de raio ǫ:
||(xi)t − x∗i || < ǫ≪ 1. (7.186)
Dessa forma, podemos expandir cada uma das N componentes Fi da funcaovetorial, em serie de potencias nos N incrementos wi, com i indo de 1 ateN . Sendo ǫ suficientemente pequeno, podemos reter apenas os termos lineares,desprezando todos os outros. Resulta de (7.187) o seguinte conjunto de equacoesacopladas:
(w1)t+1 = (w1)t
(∂F1
∂x1
)
(v∗)
+ (w2)t
(∂F1
∂x2
)
(v∗)
+ . . . (wN )t
(∂F1
∂xN
)
(v∗)
+ . . . ,
(w2)t+1 = (w1)t
(∂F2
∂x1
)
(v∗)
+ (w2)t
(∂F2
∂x2
)
(v∗)
+ . . . (wN )t
(∂F2
∂xN
)
(v∗)
+ . . . ,
... =... (7.187)
(wN )t+1 = (w1)t
(∂FN
∂x1
)
(v∗)
+ (w2)t
(∂FN
∂x2
)
(v∗)
+ . . . (wN )t
(∂FN
∂xN
)
(v∗)
+ . . . ,
onde usamos tambem (7.178) para eliminar os pontos fixos de ambos os ladosdas expressoes.
345
Temos um total de N2 derivadas parciais das funcoes Fi em relacao a todasas variaveis dinamicas xj , calculadas no ponto fixo v∗. Definimos a matrizJacobiana como
DF(v∗) =
(∂F1
∂x1
)
(v∗)
(∂F1
∂x2
)
(v∗). . .
(∂F1
∂xN
)
(v∗)(∂F2
∂x1
)
(v∗)
(∂F2
∂x2
)
(v∗). . .
(∂F2
∂xN
)
(v∗)
......
......
(∂FN
∂x1
)
(v∗)
(∂FN
∂x2
)
(v∗). . .
(∂FN
∂xN
)
(v∗)
, (7.188)
tal que (7.187) pode ser escrita na forma compacta
wt+1 = DF(v∗).wt, (7.189)
e que e um modelo linear da forma (7.7), cujo ponto fixo e a origem no espacoN -dimensional.
Logo, para estudar a estabilidade do ponto fixo v∗ do modelo nao-linear,basta investigar a estabilidade da origem para o modelo linearizado (7.189), ouseja, estudar os autovalores da matriz Jacobiana, cujos elementos sao constantes:
DFij(v∗) =
(∂Fi
∂xj
)
(v∗)
(7.190)
O ponto fixo v∗ sera estavel se todos os autovalores da matriz Jacobiana tiveremmodulos menores do que um. A partir dos coeficientes da equacao secularsatisfeita pela matriz Jacobiana, e do criterio de Schur, e possıvel determinar ascondicoes de estabilidade para o ponto fixo, na aproximacao linear.
7.6.3 Pontos Hiperbolicos
Nesse ponto de nosso estudo dos modelos bidimensionais nao-lineares, deparamo-nos com a mesma questao levantada no Capıtulo 3 acerca da validade da analiseda estabilidade quando passamos do modelo linear para o nao-linear. Aqui,como la, comecamos definindo
Definicao 15 Um ponto fixo v∗ e dito hiperbolico (ou nao-degenerado) se todosos autovalores da matriz Jacobiana do sistema, calculada nesse ponto, DF(v∗)tiverem modulos diferentes de um.
O ponto fixo v∗ sera nao-hiperbolico caso um ou mais autovalores tenhammodulos iguais a um, ou seja, estejam exatamente sobre o cırculo unitario noplano complexo. O Teorema de Hartman-Grobman tem uma versao para mo-delos discretos, e nos assegura que, caso v∗ seja um ponto fixo hiperbolico, ocomportamento das solucoes na sua vizinhanca (e, portanto, sua estabilidade) edeterminado pela linearizacao, como vimos na secao precedente. Caso o pontofixo seja nao-hiperbolico o criterio de linearizacao nao e capaz de nos informare o ponto fixo e estavel, outros metodos sendo necessarios.
Para formalizar as ideias apresentadas nessa secao, e necessario que o modelodiscreto seja o que, em termos matematicos, denominamos um difeomorfismo.Sejam M e N dois sub-conjuntos do R2. Um difeomorfismo de classe Ck F :
346
M → N e uma aplicacao (tambem chamado mapeamento, ou mapa) bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora, com a propriedade de que tanto F como suainversa F−1 sao k vezes diferenciaveis.
Teorema 11 (Hartman-Grobman) [1] Seja F : RN → RN um difeomor-fismo de classe C1 com um ponto fixo hiperbolico v∗. Entao existe um home-omorfismo h, definido em alguma vizinhanca U do ponto fixo v∗ tal que, paratodo v∗ ∈ U
h(F(v∗)) = DF(v∗).h(v∗).
ou seja, h leva orbitas geradas pelo modelo discreto nao-linear
vt = F(vt−1),
em orbitas do modelo discreto linear
∆vt = DF(v∗) · ∆vt−1.
Uma importante consequencia do teorema de Hartman-Grobman e dizer queas orbitas do modelo nao-linear na vizinhanca do ponto fixo sao topologicamenteequivalentes as orbitas do modelo linearizado [vide a Fig. 3.17 do Cap. 3], demodo que a estabilidade do ponto fixo e determinada pela linearizacao. Oconjunto das possıveis orbitas nas vizinhancas de um ponto fixo hiperbolico(chamado retrato de fase) e portanto estruturalmente estavel, uma vez que suatopologia nao pode ser alterada por perturbacoes do modelo F → F + δF. Sobesse ponto de vista, nos e focos, bem como pontos de sela sao estruturalmenteestaveis, por subsistirem mesmo mediante “pequenas” perturbacoes δF. Ja umcentro ou um no degenerado (como o do exemplo visto nessa secao) sao frageis,pois qualquer perturbacao mudara em geral o tipo de estabilidade do ponto fixo.
7.6.4 Variedades invariantes
O conceito de sub-espaco invariante e tao importante em modelos discretosquanto o era em modelos contınuos, e merece portanto um tratamento igual-mente rigoroso. O proprio conceito de invariancia deve ser alterado:
Definicao 16 Um conjunto S e dito invariante sob a dinamica gerada pelomodelo nao-linear vt = F(vt−1) se, para qualquer v0 ∈ S tenhamos vt ∈ S paratodos os tempos t ∈ R.
Por isso adaptamos as definicoes pertinentes dadas no Cap. 3:
Definicao 17 Seja U ⊂ R2 uma vizinhanca do ponto fixo v∗ do modelo nao-linearvt = F(vt−1). Definimos as curvas invariantes estavel e instavel locais dev∗, denotadas V s
loc(v∗) e V u
loc(v∗), respectivamente, como os seguintes conjuntos:
V sloc(v
∗) = {v ∈ U |F[t](v) → v∗ se t→ ∞, eF[t](v) ∈ U,∀t ≥ 0}, (7.191)
V uloc(v
∗) = {v ∈ U |F[−t](v) → v∗ se t→ ∞, eF[−t](v) ∈ U,∀t ≥ 0},(7.192)
onde a notacao F[n](v) indica a n-esima iterada do mapa, ou seja, F(F(· · ·F(v))).
347
Existem, tambem, curvas invariantes (globais) definidas alem da vizinhancaU do ponto fixo, considerando a uniao das imagens dos pontos das curvas inva-riantes locais.
V s(v∗)) =⋃
t≤0
F[−t](V sloc(v
∗)), (7.193)
V u(v∗)) =⋃
t≥0
F[t](V uloc(v
∗)), (7.194)
Como enfatizado por Guckenheimer e Holmes, deve-se ter sempre em mentea diferenca entre modelos discretos e contınuos: enquanto uma trajetoria deum modelo contınuo e uma curva no R2, a orbita de um modelo discreto euma sequencia de pontos. Logo, enquanto as curvas invariantes de modeloscontınuos sao unioes de curvas no R2, para modelos discretos as curvas invari-antes acima definidas sao unioes de pontos discretos de orbitas [veja novamentea Fig. 6.12]. A tangencia das curvas e das auto-direcoes invariantes no pontode sela e garantida pelo
Teorema 12 (Teorema das curvas invariantes para o ponto fixo) Seja F :RN → RN um difeomorfismo de classe C1 com um ponto fixo hiperbolico v∗.Entao existem curvas invariantes locais V s
loc(v∗) e V u
loc(v∗) tangentes as auto-
direcoes invariantes Eu e Es do mapa linear DF(v∗) no ponto fixo v∗ e com asmesmas dimensoes. As curvas invariantes do mapa nao-linear V s
( v∗) e V u( v∗)
sao tao suaves como o proprio difeomorfismo F.
7.7 Exemplo em Economia: Triopolio de Cour-
not
O oligopolio e uma situacao intermediaria entre o monopolio e a concorrenciaperfeita, e e mais complexa que estes dois casos extremos pois o oligopolistadeve levar em conta tanto o comportamento dos consumidores como de seusconcorrentes. Na teoria classica de oligopolio de Cournot, proposta em 1838,cada oligopolista adota os valores mais recentes da producao de seus concorren-tes, sem levar em conta suas reacoes futuras. O ajuste dos oligopolistas leva aum preco de equilbrio, dito equilıbrio de Cournot.
Embora seja generalmente presumido que esse equilıbrio exista e seja estavel,existem diversas situacoes onde isso nao e verdade, sobretudo se houver nao-linearidades no modelo. Rand, em 1978, por exemplo, mostrou que o comporta-mento de precos pode nao somente ser instavel como tambem ter uma dinamicacomplexa (incluindo bifurcacoes e caos) [?]. Puu e colaboradores tem estudadosistematicamente duo e triopolios de Cournot com dinamica complexa, sendoque escolheremos um dos modelos propostos por ele como exemplo de modelodiscreto tridimensional nao-linear [?, ?, ?].
7.7.1 Variaveis e hipoteses do modelo
Um triopolio e um oligopolio de Cournot com tres participantes, onde q(i) e aoferta do concorrente i = 1, 2, 3, sendo
q = q(1) + q(2) + q(3) (7.195)
348
a oferta agregada, suposta igual a demanda agregada d. Essa ultima, por suavez, depende do preco de mercado p do bem comercializado por meio de umafuncao demanda d = d(p) ou, como e mais comum, p = p(d) = p(q). Pode-seusar curvas de demanda lineares p(q) = a− q, expressando o fato basico que opreco cai com o aumento da oferta [6, ?].
Nesta secao vamos usar uma funcao demanda nao-linear, dita iso-elastica
p(q) =1
d=
1
q, (7.196)
que, embora traduza a mesma ideia da funcao linear, tem o inconveniente delevar a um preco infinito quando a oferta e nula. No entanto, no contexto deum modelo de oligopolio de Cournot, a existencia presumida de um preco deequilıbrio nao-infinito afasta-nos dessa situacao incomoda.
O custo total do participante i e proporcional a sua oferta, na forma
TC(i) = c(i)q(i), (7.197)
onde c(i) e o custo marginal do competidor i, supostos todos distintos em vir-tude das diferencas naturais existentes entre as firmas, refletindo as vantagense desvantagens que determinam o custo de cada uma delas.
A receita total do participante i e igual ao produto da oferta pelo preco
TR(i) = p(q)q(i), (7.198)
tal que o faturamento do participante i e dado por
V (i) = TR(i) − TC(i) = (p(q) − c(i))q(i), (7.199)
Substituindo (7.196) em (7.199) temos
V (i) =
(1
q(1) + q(2) + q(3)− c(i)
)
q(i). (7.200)
7.7.2 Obtencao do modelo dinamico
Cada participante maximiza seu faturamento a partir da suposicao que os outrosparticipantes manterao seu resultado constante (variacao conjectural). Essamaximizacao leva a uma funcao de reacao r(i)(q(1), q(2), q(3)) que expressa omodo pelo qual o participante i alterara sua oferta no perıodo subsequente emfuncao da sua propria oferta e das ofertas dos concorrentes no perıodo anterior.Derivando o faturamento do participante i em relacao a sua oferta, supondo asofertas dos competidores como constantes, temos
∂V (i)
∂q(i)=
1
q(1) + q(2) + q(3)− q(i)
(q(1) + q(2) + q(3))2 − c(i) =
1
q− q(i)
q2− c(i),
de modo que a funcao de reacao e obtida igualando a derivada a zero
0 =∂V (i)
∂q(i)=
1
q− q(i)
q2− c(i), (7.201)
1
q=
q(i)
q2+ c(i) =
q(i) + q2c(i)
q2,
q − q(i) = q2c(i),
q =
√
q − q(i)
c(i).
349
Somando q(i) a ambos os lados da ultima igualdade anterior chegamos a funcaoreacao do participante i:
q(i) = r(i)(q(1), q(2), q(3)) =
√
q − q(i)
c(i)− q + q(i). (7.202)
O modelo dinamico e expresso supondo que, no tempo t, os concorrentesagem todos simultaneamente no sentido de ajustarem suas ofertas a partir dafuncao de reacao, onde as ofertas sao tomadas no tempo anterior t− 1:
qt(i) = r(i)(qt−1(1), qt−1(2), qt−1(3)) =
√
qt−1 − qt−1(i)
c(i)− qt−1 + qt−1(i).
(7.203)onde qt−1 = qt−1(1) + qt−1(2) + qt−1(3). Dessa forma teremos tres equacoesdinamicas do modelo discreto:
qt(1) =
√
qt−1(2) + qt−1(3)
c(1)− qt−1(2) − qt−1(3), (7.204)
qt(2) =
√
qt−1(1) + qt−1(3)
c(2)− qt−1(1) − qt−1(3), (7.205)
qt(3) =
√
qt−1(1) + qt−1(2)
c(3)− qt−1(1) − qt−1(2), (7.206)
7.7.3 Ponto fixo e equilıbrio de Cournot
O ponto fixo do modelo (7.204)-(7.206) e o vetor cujas componentes sao assolucoes do seguinte sistema de equacoes
q∗(1) =
√
q∗(2) + q∗(3)
c(1)− q∗(2) − q∗(3), (7.207)
q∗(2) =
√
q∗(1) + q∗(3)
c(2)− q∗(1) − q∗(3), (7.208)
q∗(3) =
√
q∗(1) + q∗(2)
c(3)− q∗(1) − q∗(2), (7.209)
Uma solucao trivial do sistema (7.207)-(7.209) e aquela para a qual todas asofertas sao nulas,
q∗1 = 0 =
000
, (7.210)
ao passo que ha um segundo ponto fixo cujas componentes sao os valores dasofertas de cada competidor na situacao de equilıbrio de Cournot
q∗1 = E =
q∗(1)q∗(2)q∗(3)
, (7.211)
350
O leitor podera mostrar, por substituicao direta, que (veja o problema XXX)
q∗(1) =2(−c(1) + c(2) + c(3))
(c(1) + c(2) + c(3))2 , (7.212)
q∗(2) =2(c(1) − c(2) + c(3))
(c(1) + c(2) + c(3))2 , (7.213)
q∗(3) =2(c(1) + c(2) − c(3))
(c(1) + c(2) + c(3))2 , (7.214)
7.7.4 Estabilidade dos pontos fixos
Inicialmente vamos construir a matriz Jacobiana do modelo discreto (7.204)-(7.206), cujos elementos sao as derivadas parciais
∂qt(1)
∂qt−1(1)= 0, (7.215)
∂qt(1)
∂qt−1(2)=
1
2√
c(1)(qt−1(2) + qt−1(3))− 1, (7.216)
∂qt(1)
∂qt−1(3)=
1
2√
c(1)(qt−1(2) + qt−1(3))− 1 =
∂qt(1)
∂qt−1(2), (7.217)
∂qt(2)
∂qt−1(1)=
1
2√
c(2)(qt−1(1) + qt−1(3))− 1, (7.218)
∂qt(2)
∂qt−1(2)= 0, (7.219)
∂qt(2)
∂qt−1(3)=
1
2√
c(2)(qt−1(1) + qt−1(3))− 1 =
∂qt(2)
∂qt−1(1), (7.220)
∂qt(3)
∂qt−1(1)=
1
2√
c(3)(qt−1(1) + qt−1(2))− 1, (7.221)
∂qt(3)
∂qt−1(2)=
1
2√
c(3)(qt−1(1) + qt−1(2))− 1 =
∂qt(3)
∂qt−1(1), (7.222)
∂qt(3)
∂qt−1(3)= 0. (7.223)
ou, na forma matricial,
DF(qt) =(7.224)
0 1
2√
c(1)(qt−1(2)+qt−1(3))− 1 1
2√
c(1)(qt−1(2)+qt−1(3))− 1
1
2√
c(2)(qt−1(1)+qt−1(3))− 1 0 1
2√
c(2)(qt−1(1)+qt−1(3))− 1
1
2√
c(3)(qt−1(1)+qt−1(2))− 1 1
2√
c(3)(qt−1(1)+qt−1(2))− 1 0
.
Substituindo as componentes do ponto fixo na origem, chegamos a incomodaconstatacao que os elementos nao-diagonais da matriz Jacobiana sao infinitos, oque naturalmente leva tambem a autovalores infinitos. De qualquer modo, comoe necessario e suficiente que o modulo dos autovalores seja maior que um paraque o ponto fixo seja considerado instavel, vemos que esse seguramente sera o
351
caso para a origem. Esse resultado matematico vem apenas corroborar o bomsenso economico, o qual descarta por inviavel um equilıbrio estavel desse tipo.
A analise da estabilidade do ponto fixo correspondente ao equilıbrio de Cour-not e um pouco mais trabalhosa, pois necessita que substituamos (7.212)-(7.214)na matriz Jacobiana
DF(E) = (7.225)
0 1
2√
c(1)(q∗(2)+q∗(3))− 1 1
2√
c(1)(q∗(2)+q∗(3))− 1
1
2√
c(2)(q∗(1)+q∗(3))− 1 0 1
2√
c(2)(q∗(1)+q∗(3))− 1
1
2√
c(3)(q∗(1)+q∗(2))− 1 1
2√
c(3)(q∗(1)+q∗(2))− 1 0
.
Para nao nos estendermos em manipulacoes algebricas repetitivas, vamoscalcular um termo representativo dessa matriz
1
2√
c(1)(q∗(2) + q∗(3))− 1 =
=1
2√
c(1)
[
2(c(1) − c(2) + c(3)) + 2(c(1) + c(2) − c(3))
(c(1) + c(2) + c(3))2
]−1/2
− 1,
=1
2√
c(1)
1√
4c(1)(c(1) + c(2) + c(3)) − 1,
=c(1) + c(2) + c(3)
4c(1)− 1,
=−3c(1) + c(2) + c(3)
4c(1),
tal que a matriz Jacobiana (7.225) possa ser escrita como
DF(E) =
0 −3c(1)+c(2)+c(3)4c(1)
−3c(1)+c(2)+c(3)4c(1)
c(1)−3c(2)+c(3)4c(2) 0 c(1)−3c(2)+c(3)
4c(2)c(1)+c(2)−3c(3)
4c(3)c(1)+c(2)−3c(3)
4c(3) 0
. (7.226)
Para facilitar nossa analise de estabilidade vamos definir as variaveis auxili-ares
h ≡ c(2)
c(1), k ≡ c(3)
c(1), (7.227)
em termos dos quais os elementos da matriz Jacobiana podem ser expressoscomo segue
−3c(1) + c(2) + c(3)
4c(1)=
h+ k − 3
4≡ A, (7.228)
c(1) − 3c(2) + c(3)
4c(2)=
k + 1 − 3h
4h≡ B, (7.229)
c(1) + c(2) − 3c(3)
4c(1)=
1 + h− 3k
4k≡ C, (7.230)
o que leva a
DF(E) =
0 A AB 0 BC C 0
, (7.231)
352
cujos autovalores sao as solucoes da equacao secular
det(DF(E) − ξI) =
∣∣∣∣∣∣
−ξ A AB −ξ BC C −ξ
∣∣∣∣∣∣
= 0. (7.232)
Abrindo o determinante pela regra de Sarrus chegamos a
−ξ3 + ξ(AC + BC + AB) + 2ABC = 0
ξ3 − Pξ −D = 0 (7.233)
onde definimos
P ≡ AC + BC + AB, (7.234)
D ≡ 2ABC. (7.235)
Comparando a equacao (7.233) com a forma geral da equacao secular cubica(7.113) temos, como coeficientes, a1 = 0, a2 = −P, e a3 = −D. Pelo criterio deJury, o equilıbrio de Cournot sera assintoticamente estavel se e somente se asseguintes condicoes forem satisfeitas (vide Eq. 7.20):
2|D| < 1, (7.236)
1 − P −D > 0 (7.237)
−1 + P −D < 0 (7.238)
|D2 − 1| > |P|, (7.239)
cuja analise literal levaria a expressoes algebricas muito extensas e igualmentepouco uteis, sendo mais interessante nesse ponto explorar exemplos numericos.
7.7.5 Exemplo numerico
Vamos considerar, de acordo com [?], os seguintes valores para os custos mar-ginais dos participantes do tripolio (em unidades adequadas):
c(1) = 1, c(2) = 3, 8, c(3) = 3, (7.240)
tal que o equilıbrio de Cournot (7.212)-(7.214) seja
q∗(1) = 0, 158, q∗(2) = 0, 006, q∗(3) = 0, 059, (7.241)
de modo que a firma 1 seja a lıder de mercado, seguida pelas firmas 3 e 2.Usando a curva de demanda (7.196) o preco no equilıbrio sera
p =1
q∗(1) + q∗(2) + q∗(3)= 4, 484.
As constantes auxiliares que definimos na secao precedente terao os seguintesvalores: h = 3, 8, k = 3, e
A = 0, 950, B = −0, 487, C = −0, 35,
P = −0, 439 < 0, D = 0, 324,
353
Podemos verificar as condicoes de estabilidade a seguir
2|D| = 0, 647 < 1,
1 − P −D = 1, 116 > 0,
−1 + P −D = −1, 763 < 0,
|D2 − 1| = 0, 895 > |P| = 0, 439,
e o equilibrio de Cournot e, com efeito, assintoticamente estavel como desejaveldo ponto de vista da teoria do oligopolio.
No entanto, temos de levar em conta que o uso de funcoes demanda nao-lineares (ou outros expedientes que possam levar a modelos multidimensio-nais nao-lineares) trazem varias novas possibilidades para o comportamentodinamico do oligopolio:
• pode haver mais de um equilıbrio de Cournot;
• pode nao haver equilıbrio algum;
• pode ser que todos os equilıbrios encontrados sejam instaveis
• pode ser que haja orbitas periodicas, dessa forma o preco oscilaria entredois ou mais valores com o passar do tempo
• pode haver comportamento caotico, a ser estudado no Capıtulo ??.
7.8 Exercıcios
1. Determine os autovalores da matriz
A =
0
@
1 2 16 −1 0−1 −2 −1
1
A ,
2. Prove que as matrizes coluna (7.157)-(7.159) sao, de fato, autovetores para amatriz (7.156): (i) diretamente, pela solucao da equacao de autovetores; (ii)mostrando que os vetores sao linearmente independentes.
3. O modelo de multiplicadores em economias abertas que apresentamos para ocaso de 3 paıses pode ser generalizado para N paıses interagindo mutuamente.Nesse caso, a soma das importacoes autonomas do paıs i e dada pelo seguintesomatorio:
M0(i) =N
X
j=1,j 6=i
M0(ji), (i = 1, 2, . . . N)
onde explicitamente retiramos o termo onde i = j da soma, visto que um paısnao pode importar de si proprio. Da mesma forma, a propensao total a importardo paıs i e a soma das propensoes parciais de importacao de todos os outrospaıses (exceto, novamente, ele proprio):
m(i) =N
X
j=1,j 6=i
m(ji), (i = 1, 2, . . . N)
Ja as exportacoes totais do paıs i dependem da soma das importacoes de todosos outros paıses j = 1, 2, . . . N , com j 6= 1; tanto as autonomas quanto aquelas
354
dependentes das rendas dos outros paıses, e que por sua vez dependem daspropensoes marginais a importar m(ij):
Xt(i) =
NX
j=1,j 6=i
M0(ij) +
NX
j=1,j 6=i
m(ij)Yt−1(j)
(a) Obtenha a equacao da renda agregada
Yt(i) = (bi+hi−mi)Yt−1(i)+
NX
j=1,j 6=i
m(ij)Yt−1(j)+I0(i)+M0(i)+
NX
j=1,j 6=i
M0(ij)
(b) Escreva a equacao na forma de um modelo discreto multidimensional linear,
(c) Ache o ponto fixo e expresse as condicoes para que ele seja estavel. Maioresdetalhes no [21].
4. Substitua (7.212)-(7.214) em (7.207)-(7.209) e verifique que aquelas sao as ofer-tas de cada competidor no equilıbrio de Cournot de um oligopolio.
355
356
Parte II
Dinamica Nao-Linear e
Caos
357
Capıtulo 8
Bifurcacoes em modelos
contınuos unidimensionais
8.1 Tipos elementares de bifurcacao
Uma bifurcacao e, de modo geral, qualquer alteracao qualitativa num pontode equilıbrio, ciclo, orbita periodica, etc. quando um parametro do sistemaatinge um determinado valor crıtico. As bifurcacoes dizem respeito, portanto,ao comportamento a longo prazo (assintotico) do modelo dinamico, e nao aoseu comportamento a curto prazo (transitorio). Como vimos nos capıtulos ??,se o modelo for contınuo, as bifurcacoes podem ocorrer em pontos de equilıbrioou orbitas fechadas. Ja se o modelo for discreto, de acordo com os capıtulos ??os estados estacionarios sao pontos fixos ou orbitas periodicas.
A alteracao qualitativa de que falamos quando referimo-nos a uma bifurcacaopode ser tanto a criacao ou destruicao de um ponto fixo (ou de equilıbrio) ouorbita periodica (ou fechada) como a mudanca de sua estabilidade. Por exemplo,num modelo contınuo onde ha um parametro variavel p (que denominaremosdoravante parametro de bifurcacao) ha um ponto de equilıbrio x∗ que suporemosassintoticamente estavel. Se, aumentando esse parametro tal que, apos o valorcrıtico p = p∗ o ponto de equilıbrio torna-se instavel, dizemos que houve umabifurcacao nos pontos (x∗, p∗).
Logicamente, se no ponto de bifurcacao houve uma mudanca na estabili-dade, o ponto de equilıbrio fica nao-hiperbolico, e qualquer alteracao no valordo parametro pode mudar qualitativamente a dinamica do sistema. Nesse sen-tido, no ponto de bifurcacao o sistema perde estabilidade estrutural, no sentidodefinido no Cap. 3. Pode, ainda, ocorrer que, antes do valor crıtico p∗ simples-mente nao haja um ponto de equilıbrio, e que este seja subitamente criado noponto de bifurcacao, e subsista depois do mesmo.
O estudo das bifurcacoes e fundamental para conhecermos o comportamentodinamico de um modelo contınuo ou discreto. Em particular, as rotas parao comportamento caotico passam quase todas por algum tipo de bifurcacao,razao pela qual seu estudo nessa etapa e uma pre-condicao para explorarmos adinamica complexa em modelos economicos. Alem disso, mudancas qualitati-vas subitas no comportamento dinamico podem ser observadas empiricamentena economia. Ainda que se possa reputar a causa de muitas delas a choques
359
(a) (b) (c)
x x x
xx x
.
. . .
Figura 8.1: Diagramas de fase de x = r − x2 quando (a) r < 0, (b) r = 0, e (c)r > 0.
exogenos, e possıvel tambem associar tais mudancas bruscas a bifurcacoes ocor-ridas no seio do proprio modelo.
Neste capıtulo abordaremos os tipos elementares de bifurcacao que ocorremem modelos contınuos unidimensionais (tambem chamadas de bifurcacoes decodimensao um):
• Bifurcacao do tipo sela-no
• Bifurcacao do tipo transcrıtica
• Bifurcacao do tipo forquilha
Para cada tipo de bifurcacao acima, estudaremos um modelo contınuo pa-radigmatico, e posteriormente uma aplicacao economica onde tal bifurcacaoocorre. Nos seguiremos de perto o tratamento dado por Strogatz [3] e Egwald[71] o qual, por sua vez, baseia-se fortemente na analise feita por Lorenz [70].No proximo capıtulo retornaremos a esse assunto, do ponto de vista dos modelosdiscretos unidimensionais.
8.2 Bifurcacao do tipo sela-no
A bifurcacao sela-no e um mecanismo pelo qual pontos fixos sao criados oudestruidos. Dois pontos fixos, quando um parametro e variado, aproximam-se,colidem e finalmente aniquilam-se mutuamente [3]. Como paradigma de modelocontınuo unidimensional para este tipo de bifurcacao consideraremos a seguinteequacao diferencial
dx
dt= f(x, r) = r − x2, (8.1)
onde x ∈ R e r ∈ R e o parametro de bifurcacao. Conforme a teoria vista noCapıtulo 1, os pontos de equilıbrio desta equacao sao dados por 0 = r − (x∗)
2,
ou x1,2 = ±√
−|r|.Caso r < 0, entao |r| = −r, logo x∗1,2 = ±√
r sao pontos de equilıbriodistintos. Na medida em que r aproxima-se de zero por valores negativos, esses
360
x
r
instavel
estavel
(a) x
r
(b)
instavel
estavel
Figura 8.2: Diagrama de bifurcacao para (a) x = r − x2; (b) x = r − x2.
pontos de equilıbrio aproximam-se mutuamente e colidem em x∗ = 0 quandor = 0. Para r > 0, no entanto, |r| = r e nao ha ponto de equilıbrio real.
Para estudar a estabilidade destes pontos de equilıbrio, consideramos a de-rivada parcial da funcao em relacao a variavel x, ou seja,
∂f
∂x= fx(x, r) = −2x, (8.2)
que, calculada nos pontos de equilıbrio que existem somente quando r e negativo,fornece
fx(x∗1, r) = −2x∗1 = −2√r < 0, (8.3)
fx(x∗2, r) = −2x∗2 = +2√r > 0, (8.4)
provando que x∗1 e x∗2 sao pontos de equilıbrio assintoticamente estavel e instavel,respectivamente, conclusao a que tambem se chega pela analise do diagrama defase correspondente [Fig. 8.1(a)]. Quando r = 0, a estabilidade do unico pontode equilıbrio, x∗ = 0, nao pode ser determinada pelo criterio da linearizacao,ja que fx(0, 0) = 0 [Fig. 8.1(b)]. Nesse caso, o ponto x∗ = 0 e dito nao-hiperbolico, utilizando a terminologia introduzida no Capıtulo 3 para modelosbidimensionais nao-lineares.
Dizemos, para esse exemplo, que ocorreu uma bifurcacao no-sela no pontox∗ = 0 e valor de parametro r∗ = 0: para r < r∗ ha dois pontos de equilıbrio(instavel e estavel) que colidem em r = r∗ e desaparecem para r > r∗. O nomeno-sela vem da bifurcacao equivalente a esta em duas dimensoes (onde atuamum no estavel e um ponto de sela instavel). Costuma-se tracar um diagramade bifurcacoes, onde colocamos no eixo das abscissas os valores do parametror, e no eixo das ordenadas os valores assintoticos da variavel x [Fig. 8.2].Para valores negativos de r representamos as curvas que fornecem os pontos deequilıbrio x∗1,2 = ±√
r em funcao de r (curvas cheias e tracejadas sao usadas paradiferenciar os pontos estaveis dos instaveis, respectivamente). Valores positivosde r nao terao, naturalmente, pontos de equilıbrio associados. E costume, ainda,indicar no proprio diagrama de bifurcacoes o sentido do fluxo (para cima ou parabaixo), da mesma forma que no diagrama de fase, so que na direcao vertical. ] Oexemplo paradigmatico que vimos nao esgota, naturalmente, todos os modelos
361
x x x
xx x
.
. . .(b)(a) (c)
Figura 8.3: Diagrama de fase de x = f(x, r) nas vizinhancas de uma bifurcacaono-sela quando (a) r < r∗, (b) r = r∗, e (c) r > r∗.
contınuos unidimensionais que podem exibir bifurcacoes do tipo no-sela. Paraencontrar a forma mais geral, dita forma normal, de um modelo que tenha essemesmo comportamento de bifurcacao, consideramos uma equacao generica dotipo
dx
dt= f(x, r), (8.5)
onde r e o parametro de bifurcacao. Supondo que haja uma bifurcacao no-selaem x = x∗ para o valor crıtico r = r∗, temos o seguinte cenario [Fig. 8.3]: parar < r∗ ha dois pontos de equilıbrio, e nenhum para r > r∗. Na situacao limiteos dois pontos de equilıbrio encontram-se no ponto x∗, que e o ponto onde acurva no diagrama de fase tangencia o eixo das abscissas.
Para transpor esse raciocınio heurıstico numa linguagem matematica maisadequada, expandimos a funcao no lado direito em serie de potencias na vizi-nhanca do ponto de bifurcacao (x = x∗, r = r∗):
f(x, r) = f(x∗, r∗) + (x− x∗)
(∂f
∂x
)
(x∗,r∗)
+ (r − r∗)
(∂f
∂r
)
(x∗,r∗)
+(x− x∗)
(∂f
∂x
)
(x∗,r∗)
+1
2!(x− x∗)
2
(∂2f
∂x2
)
(x∗,r∗)
+ · · · (8.6)
Pela definicao de ponto de equilıbrio, e pelo fato de que este e nao-hiperbolicona bifurcacao,
f(x∗, r∗) = 0 (8.7)
Como, segundo a Fig. 8.3, a funcao f(x) tem uma tangencia com o eixo dasabscissas no ponto de bifurcacao, temos um extremo (maximo ou mınimo) nesseponto, ou seja,
(∂f
∂x
)
(x∗,r∗)
= fx(x∗, r∗) = 0, (8.8)
362
(a) (b) (c)
x x x
xx x
.
. . .
Figura 8.4: Diagramas de fase de x = r − x2 quando (a) r < 0, (b) r = 0, e (c)r > 0.
Escrevendo, ainda,
(∂f
∂r
)
(x∗,r∗)
= fr(x∗, r∗) ≡ a 6= 0, (8.9)
1
2
(∂2f
∂x2
)
(x∗,r∗)
=1
2fxx(x∗, r∗) ≡ b 6= 0, (8.10)
a forma normal (8.6) e escrita como
dx
dt= a(r − r∗) + b(x− x∗)
2+ · · · (8.11)
Interpretamos esse resultado da seguinte forma: todos os modelos continuosunidimensionais que exibem uma bifurcacao no-sela tem, na vizinhanca dessa bi-furcacao, seu comportamento governado pela forma normal (8.11). As equacoes(8.7)-(8.10) sao as condicoes para que ocorra uma bifurcacao no-sela. Alemdisso, conforme os sinais exibidos pelos coeficientes a e b podemos classificar asbifurcacoes no-sela em quatro categorias:
1. Tipo I: a > 0, b > 0 - O exemplo paradigmatico visto nesta secao, (8.1),e classificado nessa categoria, onde x∗ = 0, r∗ = 0, a = 1 e b = 1. Odiagrama de bifurcacoes, nesse caso, e exemplificado pela Figura 8.2(a).
2. Tipo II: a > 0, b < 0 - Um exemplo nessa categoria e x = r − x2, para oqual x∗ = r∗ = 0, como no caso anterior, mas com a = 1 e b = −1. Tantopelo diagrama de fases [Fig. 8.4] quando pelo diagrama de bifurcacoes [Fig.8.2(b)] vemos que, quando r < 0 nao ha ponto de equilıbrio, enquanto,para r > 0 ha dois deles, um estavel e outro instavel, ambos colidindo noponto de bifurcacao.
363
x
r
instavel
estavel
(a) x
r
estavel
instavel
(b)
Figura 8.5: Diagramas de bifurcacao para (a) x = −r + x2; e (b) x = −r − x2.
3. Tipo III: a < 0, b > 0 - Ilustrado pelo modelo x = −r + x2, para o quala = −1 e b = 1. Seu diagrama de bifurcacoes, mostrado na Fig. 8.5(a), esemelhante ao do caso II, mas com os pontos estavel e instavel trocados.
4. Tipo IV: a < 0, b < 0 - Como em x = −r − x2, onde a = −1 e b = −1,com diagrama de bifurcacoes semelhante ao do caso I, mas com os pontosestavel e instavel trocados [Fig. 8.5(b)].
8.2.1 Exemplo em economia: dinamica do mercado de tra-
balho
Denotaremos Ld a demanda por trabalhadores pelas empresas, e, por Ls, aoferta de trabalhadores. Ambas sao supostas reguladas, no mercado de trabalho,pelo nıvel salarial w. A demanda por trabalhadores decresce com o nıvel salarial,de forma que as empresas necessitam de mais empregos com menores salarios,e de menos empregos com maiores salarios. Suporemos, por simplicidade, umarelacao linear da forma
Ld = r − αw (8.12)
onde r > 0 e a demanda independente de salarios representada, por exemplo,por aquelas funcoes essenciais que a empresa necessita serem preenchidas. Estesera o nosso parametro de bifurcacao, ao passo que o coeficiente α > 0 seramantido fixo. Note que, dependendo dessa escolha de parametro para variar, adinamica poderia ser bem diferente.
Nos modelos tradicionais de mercado de trabalho a curva de oferta de tra-balhadores e monotonica e linearmente crescente, como na Fig. 8.6(a): comoos trabalhadores desejam melhores salarios, a oferta de trabalhadores aumentade acordo com o salario oferecido. O salario de equilıbrio, w∗, sera obtido pelaintersecao das curvas de oferta e procura (Ld = Ls).
No entanto, em nosso exemplo a oferta de trabalhadores sera suposta obede-cer a uma curva dobrada para tras (backward bending) com as seguintes propri-edades: a oferta cresce com o nıvel salarial ate um salario determinado e depoisdecresce na medida em que os salarios continuam aumentando, ate chegar azero. Essa forma dobrada refletiria, num primeiro momento, o maior interesse
364
(a) (b)w w
r r
N N0
c
2c
w*
w*
w*
bc
αr/r/α
00
0
1
2
2
L
L
L
L
d
ss
d
Figura 8.6: Curvas de oferta e demanda por trabalhadores. (a) Oferta de tra-balhadores monotonicamente crescente; (b) dobrada para tras.
dos trabalhadores em receber melhores salarios. Num segundo momento, noentanto, a alta qualificacao e maior experiencia exigidas de trabalhadores comaltos salarios diminuiria a oferta de trabalhadores para essas faixas salariais.Um modelo simples para implementar esse comportamento e a curva parabolicadada por
Ls = β[c2 − (w − c)2] (8.13)
onde β > 0 e c > 0 [Fig. 8.6(b)]. Observe que Ls(w) nao e uma funcao, nosentido matematico deste termo, o que nao impede, contudo, a analise que seraefetuada a seguir. Pela figura 8.6(b), vemos que 0, c e 2c correspondem aossalarios mınimo, medio, e maximo, devido a simetria da curva parabolica. Alemdisso, o numero de trabalhadores ganhando o salario medio e dado por bc2.
Num modelo estatico, o salario de equilıbrio no mercado de trabalho e de-terminado pela intersecao das curvas de oferta e demanda por trabalhadores.No caso de uma curva de demanda dobrada para tras, a novidade consistena possibilidade de termos dois, um, ou mesmo nenhum salario de equilıbrio,dependendo dos parametros do modelo. Ja num modelo dinamico, estamos in-teressados em como o nıvel salarial evolui em direcao (se for o caso) a estesvalores de equilıbrio. A hipotese fundamental do modelo dinamico e a de quea taxa de variacao dos salarios obedece a lei da oferta e da procura no mer-cado de trabalho, de modo que ela e proporcional ao excesso de demanda portrabalhadores.
dw
dt= γ(Ld − Ls), (8.14)
onde γ > 0. Se Ld > Ls o nıvel salarial cresce para estimular as contratacoes,ou dw/dt > 0, enquanto, se Ls > Ld o nıvel salarial ira decrescer devido aoexcesso de oferta de trabalhadores (dw/dt < 0). O coeficiente γ representa avelocidade com que o mercado de trabalho ajusta-se as variacoes do excesso dedemanda.
365
Substituindo (8.12) e (8.13) em (8.14) temos
dw
dt= γ
{
β[c2 − (w − c)2] − (r − αw)
}
,
= γ(βc2 − βw2 + 2βwc− βc2 − r + αw
),
= f(w, r) = −γβw2 + γ(α+ 2βc)w − γr. (8.15)
Uma inspecao superficial do modelo contınuo unidimensional (8.15) ja sugereque este pode ser reduzida a forma normal (8.11) para uma bifurcacao sela-no.O ponto de equilıbrio w∗ sera dado por f(w∗, r) = 0, que implica na solucao daequacao quadratica
γβ(w∗)2
+ γ(α+ 2βc)w∗ − γr = 0, (8.16)
ou seja,
w∗1,2 =
α+ 2βc±√
(α+ 2βc)2 − 4rβ
2β, (8.17)
Podemos ter duas, uma ou nenhuma solucao de equilıbrio, dependendo doradicando acima ser positivo, nulo ou negativo, respectivamente. O valor crıticodo parametro na bifurcacao no-sela, r = r∗, sera, portanto, dado pelo casointermediario:
√
(α+ 2βc)2 − 4r∗β = 0,
4r∗β = (α+ 2βc)2,
r∗ =(α+ 2βc)
2
4β(8.18)
ao passo que o valor de w para o qual ocorre a bifurcacao no-sela e obtidoanulando o radicando em (8.17), ou seja
w∗ =α+ 2βc
2β= c+
α
2β. (8.19)
Para estudarmos a estabilidade dos pontos de equilıbrio que ocorrem quandor < r∗, calculamos inicialmente a derivada parcial,
fw(w, r) = −γβw2 + γ(α+ 2βc) − γr (8.20)
e depois aplicamos (8.17)
fw(w∗1,2, r) = −γα− 2γβc∓ γ
√
(α+ 2βc)2 − 4rβ + γα+ 2γβc,
= ∓γ√
(α+ 2βc)2 − 4rβ (8.21)
de modo que fw(w∗1 , r) < 0 e fw(w∗
2 , r) > 0, ou seja, os pontos de equilıbrio w∗1
e w∗2 sao estavel e instavel, respectivamente, como deve de fato ocorrer nesse
tipo de bifurcacao.E instrutivo ver um exemplo numerico, usando como parametros α = 0, 8,
b = 0, 25, c = 3, 5 e γ = 1 , o correspondente diagrama de bifurcacao estandona Fig. 8.7. Podemos identificar o aparecimento de uma bifurcacao no-sela do
366
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10r
0
1
2
3
4
5
6
7
8
w
r*
w*
w1*
w2*
Figura 8.7: Diagrama de bifurcacao do modelo contınuo unidimensional (8.15).
tipo I, o valor do parametro r e do salario de equilıbrio no ponto de bifurcacaosendo, respectivamente, iguais a r∗ = 6, 5025 e w∗ = 5, 1. Logo, se a demandaautonoma r for menor que r∗, como por exemplo r = 6, haveria dois salarios deequilıbrio, w∗
1 = 5, 8089 e 4, 3911, mas apenas o primeiro seria observado, porser estavel. Note que esse salario e superior ao valor que ele teria na bifurcacao.Na medida em que r aproxima-se de r∗, o salario estavel aproximar-se-ia dew∗ e, apos o ponto de bifurcacao, nao haveria solucao de equilıbrio, o salarioaumentando indefinidamente para compensar a existencia permanente de umexcesso de demanda. Observe que esse comportamento nao seria possıvel se acurva de demanda por trabalhadores fosse monotonicamente crescente, comonos modelos tradicionais de mercado de trabalho, onde um salario de equilıbriosempre existe e cresce na mesma proporcao do excesso de demanda.
8.3 Bifurcacao do tipo transcrıtica
Numa bifurcacao transcrıtica um ou mais pontos de equilıbrio do modelo tro-cam sua estabilidade na medida em que o parametro de bifurcacao e variado.Estudaremos um exemplo representativo, que e
dx
dt= f(x, r) = rx− x2 (8.22)
cujos pontos de equilıbrio desta equacao sao dados por f(x∗, r = 0, ou seja
rx∗−(x∗)2
= 0, fornecendo x∗1 = 0 e x∗2 = r, que existem para quaisquer valoresde r.
Consideramos a derivada parcial em relacao a x,
fx(x) = r − 2x, (8.23)
367
(a) (b) (c)
x x x
xx x
.
. . .
Figura 8.8: Diagramas de fase de x = rx − x2 quando (a) r < 0, (b) r = 0, e(c) r > 0.
x
r
(b)x
r
(a)
estavel
instavel
estavel
instavel
Figura 8.9: Diagrama de bifurcacao para (a) x = rx− x2; (b) x = rx+ x2.
calculando nos pontos de equilıbrio e
fx(x∗1, r) = r, (8.24)
fx(x∗2, r) = −r, (8.25)
Se r < 0, x∗1 e x∗2 sao pontos de equilıbrio estavel e instavel, respectivamente[Fig. 8.8(a)]. Ja para r > 0 essas propriedades de estabilidade se invertem [Fig.8.8(c)]. Na situacao limite, quando r = 0, o criterio linear de estabilidade falha,e o (unico) ponto de equilıbrio, x∗ = 0, e nao-hiperbolico [Fig. 8.8(b)].
Nesse exemplo ocorreu uma bifurcacao transcrıtica no ponto x∗ = 0 e valorde parametro r∗ = 0: para r < r∗ ha dois pontos de equilıbrio (instavel eestavel) que aproximam-se e interceptam-se em r = r∗. Apos esse ponto, aestabilidade dos pontos de equilıbrio e invertida. Esse comportamento pode serconvenientemente representado no diagrama de bifurcacoes da Figura 8.9(a).
Assim como no caso da bifurcacao no-sela, podemos introduzir uma formanormal para a bifurcacao transcrıtica, que representa o comportamento universal
368
x
r
(b)x
r
(a)
estavel
instavel
instavel
estavel
Figura 8.10: Diagrama de bifurcacao para (a) x = −rx+ x2; (b) x = −rx− x2.
de todos os modelos contınuos unidimensionais nas vizinhancas dessa bifurcacao,e que e:
dx
dt= f(x, r) = a(r − r∗)(x− x∗) + b(x− x∗)
2+ · · · (8.26)
onde x∗ e um ponto de equilıbrio nao-hiperbolico, ou seja, satisfaz as condicoesnecessarias
f(x∗, r∗) = 0 (8.27)(∂f
∂x
)
(x∗,r∗)
= fx(x∗, r∗) = 0, (8.28)
e, onde, subsistem ainda as condicoes subsidiarias
(∂2f
∂x∂r
)
(x∗,r∗)
= fxr(x∗, r∗) ≡ a 6= 0, (8.29)
1
2
(∂2f
∂x2
)
(x∗,r∗)
=1
2fxx(x∗, r∗) ≡ b 6= 0, (8.30)
Tambem podemos enumerar quatro tipos de bifurcacao transcrıtica, con-forme os sinais dos coeficientes acima definidos:
1. Tipo I: a > 0, b > 0 - Como exemplo temos x = rx + x2, com pontode bifurcacao x∗ = r∗ = 0, e coeficientes a = 1 e b = 1. Pelo diagramade bifurcacoes [Fig. 8.9(a)] podemos ver que, para r < 0, o ponto deequilıbrio na origem e estavel, enquanto aquele com x positivo e instavel.Ja para r > 0 o ponto na origem torna-se instavel, ao passo que o pontode equilıbrio com x negativo e, agora, estavel. No ponto de bifurcacaoambos os pontos coincidem na origem, que e um ponto nao-hiperbolico.
2. Tipo II: a > 0, b < 0 - Que engloba o ja discutido exemplo (8.22), para oqual x∗ = 0, r∗ = 0, a = 1 e b = −1 [veja a Fig. 8.9(b)].
3. Tipo III: a < 0, b > 0 - Ilustrado por x = −rx + x2, para o qual a = −1e b = 1. Seu diagrama de bifurcacoes [Fig. 8.10(a)], e semelhante ao docaso II, mas com os pontos estavel e instavel trocados.
369
4. Tipo IV: a < 0, b < 0 - Como em x = −rx − x2, onde a = −1 e b = −1,com o diagrama de bifurcacoes, mostrado na Fig. 8.10(b), semelhante aodo caso I, mas com os pontos estavel e instavel trocados
8.4 Exemplo em economia: modelo de cresci-
mento de Solow
O modelo de crescimento neoclassico de Solow foi estudado no Capıtulo 1 comoexemplo economico de modelos contınuos unidimensionais. Nosso ponto de par-tida sera o modelo de Solow com a adicao da depreciacao de capital e de pro-gresso tecnologico exogeno, dado pela Equacao (1.120)
k = F (k) ≡ sφ(k) − (λ+ τ + δ)k. (8.31)
onde k > 0 e a razao capital/trabalho, 0 < s < 1 e a propensao ao consumo,λ > 0, τ > 0 e δ > 0 representam a taxa de crescimento populacional, a taxade depreciacao de capital, e a taxa de crescimento de progresso tecnologico,respectivamente. Por simplicidade, denotaremos n = λ+ τ + δ, e adotaremos scomo parametro de bifurcacao.
A funcao de producao, φ(k), deve satisfazer as condicoes de Inada (1.94).No Capıtulo 1 usamos a funcao de Cobb-Douglas, φ(k) = kα; ao passo que, napresente discussao, adotaremos a funcao
φ(k) = β ln(1 + k), (8.32)
onde β > 0. Podemos verificar que essa forma alternativa tambem satisfaz ascondicoes de Inada
dφ
dk=
β
1 + k> 0, (8.33)
d2φ
dk2= − β
(1 + k)2 < 0, (8.34)
Porem φ′(0) = β, ao passo que φ′(0) = ∞ para a funcao de Cobb-Douglas.Essa distincao e fundamental para podermos fazer uma analise de bifurcacoesno modelo de Solow.
Colocando (8.32) em (8.31) ter-se-a o modelo
k = F (k, s) = sβ ln(1 + k) − nk. (8.35)
cujos pontos de equilibrio sao dados pela condicao F (k∗, s) = 0, que nos leva aequacao transcendente
sβ ln(1 + k∗) = nk∗. (8.36)
a qual tem sempre uma solucao trivial k∗1 = 0 (pois representa ausencia decrescimento), e pode ter tambem uma solucao nao-trivial k∗2 6= 0, que naopode ser encontrada analiticamente de uma forma exata. No entanto, paranossos propositos atuais nao e tao importante assim achar o valor da ponto deequilıbrio, e sim estudar quando ele existe. Para isso basta considerarmos asolucao grafica da equacao (8.36), tracando as curvas correspondentes aos ladosdireito e esquerdo.
370
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 20
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
n k
ln(1+k)
s>s*
s<s*
k2*k
1* k
βs
Figura 8.11: Pontos de equilıbrio para n = 1, β = 0, 2 e dois valores de s: 7 > s∗
e 4 < s∗.
Como podemos ver da Fig. 8.11 o ponto de equilıbrio nao-trivial pode ounao ocorrer, dependendo do valor assumido pelo parametro s. Para que existaessa segunda intersecao entre as curvas A : nk∗ e B : sβ ln(1 + k∗) (a primeira,naturalmente, e a origem), e necessario e suficiente que a inclinacao da curva B
na origem seja maior que a da curva A. Pelo calculo diferencial, sabemos quea inclinacao de uma curva num dado ponto e a derivada da funcao calculadanesse ponto. A derivada da curva A na origem e n, ao passo que, para a curvaB a derivada na origem e sβ, tal que a intersecao havera se sβ > n. Na Fig.8.11, obtida para n = 1 e β = 0, 2, a curva com s = 7 > 1/0, 2 gera um segundoponto de equilıbrio, k∗2 ≈ 0, 9, ao passo que a curva com s = 4 < 1/0, 2 so tema intersecao na origem.
Para estudar a estabilidade dos pontos de equilıbrio calculamos as derivadasparciais em relacao a k:
Fk(k, s) = sβ1
1 + k− n (8.37)
Fk(k∗1 , s) = sβ − n (8.38)
Fk(k∗2 , s) = sβ1
1 + k∗2− n (8.39)
O valor do parametro s = s∗ no ponto de bifurcacao para k∗1 = 0 encontra-sepela condicao Fk(k∗1 , s
∗) = 0, o que fornece
s∗ =n
β. (8.40)
tal que, para s < s∗, a origem e um ponto de equilıbrio estavel, e que torna-se instavel apos a bifurcacao (s > s∗) [veja tambem o diagrama de fase na
371
(a) (b) (c)k k
.
. . .k
kkk
Figura 8.12: Diagramas de fase para (a) s < s∗; (b) s = s∗ e (c) s > s∗.
Fig.8.12(a)]. Alem disso, pela analise que fizemos da Fig.8.11, quando s > s∗
tambem aparece o ponto de equilıbrio nao-trivial k∗2 [Fig.8.12(c)].
Colocando (8.40) em () teremos
Fk(k∗2 , s) = sβ1
1 + k∗2− s∗β (8.41)
Como s > s∗ e s/(1+k∗2) < s, logicamente tambem s/(1+k∗2) < s∗, implicandoem que Fk(k∗2 , s) < 0. Logo, apos a bifurcacao o ponto de equilıbrio k∗2 e assin-toticamente estavel, o que tambem pode ser facilmente observado no diagramade fase [Fig.8.12(c)]. Temos, portanto, uma bifurcacao transcrıtica no pontos = s∗ envolvendo a troca de estabilidade do ponto de equilıbrio na origem[Fig.8.12(b).
8.5 Bifurcacoes do tipo forquilha
A bifurcacao forquilha e comum em sistemas dinamicos que exibem simetrias.Uma simetria, no sentido aqui adotado, e uma operacao matematica que naoaltera o modelo dinamico. Por exemplo, seja a seguinte equacao diferencial
dx
dt= f(x, r) = rx− x3, (8.42)
que e invariante (ou seja, simetrica) mediante a troca de sinal da variavel de-pendente: x→ −x, ja que
d(−x)dt
= f(−x, r) = r(−x) − (−x)3
implica em (8.42).
Numa bifurcacao do tipo forquilha, um dado ponto de equilıbrio muda sua es-tabilidade, e emergem ou colidem dois outros pontos de equilıbrio. E justamentea existencia de algum tipo de simetria que leva a esses pontos de equilıbrio adici-onais. No modelo (8.42), os pontos de equilıbrio sao dados por 0 = rx∗ − (x∗)
3
372
(a) (b) (c)
x x x
xx x
.
. . .
Figura 8.13: Diagramas de fase de x = rx − x3 quando (a) r < 0, (b) r = 0, e(c) r > 0.
que, a despeito de ser uma equacao cubica, tem raızes facilmente obtidas, asaber
x∗1 = 0, x2,3 = ±√r, (8.43)
sendo que estes dois ultimos obviamente nao existem se r < 0.A estabilidade destes pontos de equilıbrio e dada por
fx(x, r) = r − 3x2, (8.44)
fx(x∗1, r) = r, (8.45)
fx(x∗2,3, r) = r − 3(±√r)
2= r − 3r = −2r, (8.46)
informando que x∗1 sera assintoticamente estavel se r < 0 e instavel se r > 0.Ja os pontos de equilıbrio x∗2,3, que so existem para r positivo, sao estaveis,o que podemos tambem intuir a partir dos diagramas de fase correspondentes[Fig. 8.13]. No ponto (x, r) = (0, 0) o ponto de equilıbrio x∗1 passa de estavelpara instavel, e emergem dois pontos de equilıbrio estaveis, o que configura umabifurcacao forquilha subcrıtica. O nome forquilha vem da forma caracterısticado diagrama de bifurcacao [Fig. 8.14(a)].
A forma normal de um modelo contınuo unidimensional sujeito a uma bi-furcacao do tipo forquilha e
dx
dt= f(x, r) = a(r − r∗)x+ bx3 + · · · , (8.47)
tal que o lado direito deva ser uma funcao ımpar de x:
f(−x, r) = −f(x, r). (8.48)
Nesse caso a origem x∗1 sera sempre um ponto de equilıbrio. Observe que essacondicao tambem aparecia na forma normal da bifurcacao transcrıtica (8.26),mas a diferenca agora esta em que a condicao (8.30) nao e satisfeita, uma vez
373
x
r
instavel
(b)x
r
estavel
(a)
instavel
estavel
estavel estavel
instavel
instavel
Figura 8.14: Diagrama de bifurcacao para (a) x = rx− x3; (b) x = rx+ x3.
que
fx(x, r) = a(r − r∗) + 3bx2, (8.49)
fxx(x, r) = 6bx, (8.50)
fxx(x∗1 = 0, r) = 0. (8.51)
Logo nao podera ocorrer bifurcacao transcrıtica nesse caso.As outras condicoes para a existencia de uma bifurcacao forquilha sao obtidas
a partir do fato que x∗1 = 0 e um ponto de equilıbrio nao-hiperbolico no valorda bifurcacao
fx(x∗1 = 0, r∗) = 0, (8.52)
fx,r(x∗1 = 0, r∗) ≡ a 6= 0, (8.53)
1
6fxxx(x∗1 = 0, r∗) ≡ b 6= 0. (8.54)
Conforme os sinais desses coeficientes, podemos identificar quatro tipos debifurcacao forquilha:
1. Tipo I: a > 0, b > 0 - Colocando a = 1 e b = 1 na forma normal (8.55)temos x = rx+x3, com pontos de equilıbrio x∗1 = 0, e x∗2,3 = ∓
√−r, esses
dois ultimos so existindo para r negativo. A analise linear de estabilidademostra que x∗1 e estavel para r < 0 e instavel se r > 0, ao passo que x∗2,3
sao instaveis. Tais fatos podem ser observados tambem no diagrama debifurcacoes da Fig. 8.14(b)].
2. Tipo II: a > 0, b < 0 - correspondendo ao exemplo (8.42).
3. Tipo III: a < 0, b > 0 - Ilustrado por x = −rx + x3, para o qual a = −1e b = 1. Seu diagrama de bifurcacoes [Fig. 8.15(a)], e semelhante ao docaso II, mas com os pontos estavel e instavel trocados.
4. Tipo IV: a < 0, b < 0 - Como em x = −rx − x3 (a = b = −1), com odiagrama de bifurcacoes, mostrado na Fig. 8.15(b), semelhante ao do casoI, mas com os pontos estavel e instavel trocados.
374
x
r
(b)x
r
(a)
instavel
instavel
estavelinstavel instavel estavel
estavel
estavel
Figura 8.15: Diagrama de bifurcacao para (a) x = −rx+ x3; (b)x = −rx− x3.
Ha, ainda, outra classificacao para as bifurcacoes forquilha:
1. Supercrıtica: b < 0: engloba os tipos II e IV anteriores. O que ambastem em comum e o fato do termo cubico ter sinal negativo, o que esta-biliza a dinamica do sistema, no sentido de que, seja qual for a condicaoinicial x0 adotada, o estado assintotico do sistema algum dos pontos deequilıbrio’[convenca-se disso inspecionando as Figs. 8.14(a) e 8.15(b)] .
2. Subcrıtica: b > 0: abrange os tipos I e III anteriores. Nestes o termocubico tem sinal positivo, o que leva a uma instabilizacao dinamica. Antes(para o tipo III) ou depois (para o tipo I) da bifurcacao todas as condicoesiniciais levam a trajetorias que tendem para o infinito com o passar dotempo [veja as Figs. 8.14(b) e 8.15(a)]. Mesmo depois (tipo III) ou antes(tipo I) da bifurcacao ha apenas um restrito conjunto de condicoes iniciaisque leva a um ponto de equilıbrio que nao seja infinito
Para estabilizar o comportamento altamente instavel de bifurcacoes subcrıticas,do ponto de vista matematico, adiciona-se um termo cubico na forma normal(8.55) (nao e possıvel adicionar uma potencia par devido a exigencia da funcaof ser ımpar):
dx
dt= f(x, r) = a(r − r∗)x+ bx3 − x5 + · · · , (8.55)
Nesse caso podem haver um, tres ou ate cinco pontos de equilıbrio para osistema, cuja estabilidade e obtida pelo criterio de linearizacao (veja o ProblemaXXX), gerando o diagrama de bifurcacoes mostrado na Fig. 8.16. Observe que,nas vizinhancas da origem, o diagrama assemelha-se ao da Fig. 8.14(b). Noentanto, a existencia de uma dobra para um valor r = rs < 0 leva a pontos deequilıbrio estaveis adicionais, que atraem as solucoes eventualmente divergen-tes dos outros pontos de equilıbrio. Note, ainda, que para o valor r = rs doparametro ocorrem duas bifurcacoes do tipo sela-no.
A configuracao mostrada na Fig. 8.16 leva a um fenomeno curioso conhecidocomo histerese. Para ilustra-lo imaginemos que possamos, num dado sistemadinamico, variar ao nosso bel-prazer o parametro de controle (naturalmente,
375
sr 0
x
r
Figura 8.16: Diagrama de bifurcacao para x = rx+ x3 − x5.
376
em modelos economicos, isso nem sempre e possıvel). Suponhamos estar exata-mente sobre o ponto de equilıbrio na origem para um valor r = rs e diminuimosgradualmente o valor de r ate chegar a r = 0. Como existe nesse ponto umabifurcacao forquilha, a trajetoria do sistema e repelida desse ponto e ira paraum dos dois pontos de equilıbrio estavel existentes. Exatamente para qual de-les o sistema ira depende de perturbacoes infinitesimais que podem direcionaras trajetorias para um ou outro. De uma ou outra forma teremos um saltorepentino no valor assintotico de x.
Na sequencia, diminuimos gradualmente o valor de r de modo que o sistemapermanece no ponto de equilıbrio ate chegar novamente ao valor r = rs. Nesseponto a dinamica novamente tem um salto repentino e o sistema volta ao pontode equilıbrio na origem. O termo histerese refere-se ao fato do sistema ir e voltarpor caminhos diferentes num ciclo completo.
8.6 Exemplo em Economia: Modelo de Ciclos
de Comercio
Vamos considerar um unico bem produzido numa economia fechada. Seja Y oproduto e YE o produto de equilıbrio num modelo estatico. Segundo Kaldor,o investimento aumentara na medida da diferenca entre o produto e o seu va-lor de equilıbrio, y = Y − YE , na forma de uma funcao sigmoide centrada emy = 0. Logo, se o valor do produto for igual ao seu valor de equilıbrio, o investi-mento sera nulo; ao passo que um investimento positivo (negativo) acarreta umaumento (diminuicao) do produto em relacao a seu valor de equilıbrio.
Uma funcao sigmoide bem conhecida e a tangente hiperbolica, ja comentadano Capıtulo 5
tanh(βy) =eβy + e−βy
eβy + e−βy, (8.56)
cujo grafico esta exemplificado na Fig. 8.17 para diversos valores do parametroβ. A funcao tangente hiperbolica anula-se para y = 0 e aumenta de formapraticamente linear, com inclinacao inicialmente dada por beta, e aumentandopaulatinamente na medida em que y cresce, de forma que a funcao satura, ouseja, chega a um valor limite (igual a 1) para grandes valores de y. Logo,o parametro β mede a taxa de aumento da funcao para pequenos valores doseu argumento. E facil ver que a tangente hiperbolica e uma funcao ımpar,tanh(−βy) = − tanh(βy), de modo que, por simetria, esse mesmo comporta-mento sera observado para valores negativos de y.
Suporemos, entao, que o investimento seja dado, em funcao da diferenca doproduto, na forma
I = r tanh(βy), (8.57)
onde r > 0 e um parametro que denota o valor de saturacao do investimentoquando o produto e muito maior do que seu valor de equilıbrio; ou seja, tomandoo limite y → ∞ em (8.57) obtemos r. Como vimos ha pouco, o parametro β > 0quantificara a taxa de aumento do investimento quando o desvio do produto deequilıbrio e pequeno. A poupanca sera tambem proporcional ao produto, masdesta vez segundo uma funcao linear, na forma
S = sy, (8.58)
377
-10 -5 0 5 10y
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
tanh
(b y
)
β = 1β = 0,5β = 0,3β = 0,2
Figura 8.17: Funcao tangente hiperbolica.
onde 0 < s < 1 e uma propensao marginal a poupar.
Num modelo dinamico, suporemos tambem que a taxa de variacao do pro-duto sera proporcional a diferenca entre o investimento e a poupanca, com umfator α > 0 que mede a velocidade com que a variacao do produto responde adiferenca.
dy
dt= α(I − S), (8.59)
que, em se substituindo (8.57) e (8.58), levara ao modelo contınuo unidimensi-onal
dy
dt= f(y, r) = α[r tanh(βy) − sy] (8.60)
onde tomamos r como o parametro de bifurcacao.
Inicialmente computamos os pontos de equilıbrio, dos quais um e imediata-mente reconhecido: y∗1 = 0 (ja que o lado direito de 8.62 e uma funcao ımparde y). Os eventuais outros equilıbrios serao solucoes da equacao transcendente
r tanh(βy∗) = sy∗ (8.61)
que pode ser procurada graficamente, por nao ter solucao analıtica exata. NaFig. (8.18) mostramos os graficos das curvas A: r tanh(βy∗) e B: sy∗. Alemda ja citada solucao na origem, havera outras (duas) solucoes se a inclinacaoda curva A na origem (dada por rβ) for maior que a inclinacao da curva B, aqual e igual a s. Caso contrario apenas a solucao na origem existira. Devido asimetria esses dois pontos de equilıbrio serao tais que y∗3 = −y∗2 . No exemplonumerico s = 0, 25, r = 1, e β = 0, 8 mostrado na Fig. (8.18) estimamos essespontos de equilıbrio como y∗2,3 ≈ ±3, 8.
Como veremos a seguir, essas duas solucoes de equilıbrio surgem exata-mente no ponto de bifurcacao. Para acha-lo calculamos a derivada no ponto
378
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
y1* y
2*
y3*
r > r*r < r*
sy
Figura 8.18: Solucao grafica da equacao transcendente (8.64), para s = 0, 25,β = 0, 8, r = 1, 0 > r∗, e r = 0, 2 < r∗, com r∗ = s/β = 0, 3125.
de equilıbrio na origem, usando que (tanhu)′= ( sech 2u)u′:
fy(y, r) = α[rβ sech 2(βy) − s]
fy(y∗1 = 0, r) = α[rβ sech 2(0) − s] = α(rβ − s)
fy(y∗1 = 0, r∗) = α(r∗β − s) = 0 (8.62)
onde usamos que sechx = 1/ cosh(x), o que fornece o valor do parametro noponto de bifurcacao: r∗ = s/β.
Para caracterizar a bifurcacao em (x∗1 = 0, r∗ = s/beta) como do tipo for-quilha, uma vez que poderıamos confundi-la com o tipo transcrıtica, devemoscalcular os coeficientes da forma normal respectiva, dados por (8.53) e (8.54).Para isso usaremos as relacoes ( sechu)
′= − sechu tanhuu′ e tanh(0) = 0:
fyr(y, r) =∂fy
∂r= β sech 2(βy), (8.63)
a = fyr(y∗1 = 0, r∗) = β sech 2(0) = β > 0, (8.64)
fyy(y, r) =∂fy
∂y= 2rβ sech (βy)[−β sech (βy) tanh(βy)], (8.65)
fyyy(y, r) = −2rβ2{
sech (βy)[−β sech (βy) tanh(βy)] tanh(βy) + β sech 4(βy)},
fyyy(y∗1 = 0, r) = −2rβ3, (8.66)
b =1
6fyyy(y∗1 = 0, r∗) = −2
6r∗β3 = −1
3sβ2 < 0. (8.67)
Como a > 0 e b < 0, teremos aqui uma bifurcacao forquilha do tipo II (su-percrıtica), como pode ser tambem concluido a partir dos diagramas de fasemostrados na Figura 8.19.
379
-4 -2 0 2 4y
-1
-0,5
0
0,5
1
y’
r > r*
r = r*
r < r*
Figura 8.19: Diagramas de fase do modelo 8.62 para α = 1, s = 0, 25, β = 0, 8,e valores de r iguais a 0, 1, 0, 3125, e 1.
8.7 Problemas
1. Considere o modelo contınuo unidimensional x = r−x−e−x. Mostre que existeuma bifurcacao sela-no nos pontos (x∗, r∗) = (0, 1). Trace os diagramas de fasee de bifurcacao para os casos r < r∗, r = r∗, e r > r. Em qual tipo de bifurcacaono-sela esse modelo se encaixa.
2. Seja a equacao x = rx + x3 − x5. Mostre qualitativamente (isto e, nao e precisolevar os calculos ate o final) que ha uma bifurcacao forquilha subcrıtica nesse sis-tema. Voce pode dar valores para r e obter o diagrama de bifurcacao resolvendonumericamente as equacoes pelo Maple, Mathematica ou Matlab.
3. No Capıtulo refmcu vimos o modelo logıstico que pode descrever o crescimentode uma populacao animal P (t). Vamos considerar uma variacao desse modeloonde ha ainda uma taxa extra de mortalidade m(P ) devido a predadores
dP
dt= rP
„
1 −P
K
«
−BP 2
A2 + P 2,
onde r e K sao a taxa de crescimento e a capacidade de sustentacao (vide Eq.refeqlog) e A e B sao parametros ajustados por observacoes empıricas.
(a) Introduzindo variaveis reduzidas x = P/A, τ = Bt/A, ρ = rA/B, e k = K/A,mostre que o modelo pode ser escrito numa forma adimensional
dx
dτ= ρx
“
1 −x
k
”
−x2
1 + x2,
(b) Obtenha as solucoes de equilıbrio e mostre que pode haver uma, duas outres delas conforme o valor do parametro de bifurcacao k
(c) Mostre que ha bifurcacoes no-sela sempre que os valores de ρ e k estiveremsobre curvas de bifurcacao dadas por
r =2x3
(1 + x2)2, k =
2x3
x2 − 1
380
(d) Esboce as curvas de bifurcacao no plano ρ versus k. Detalhes no citestrogatz,pg. 73-79.
4. Para o modelo contınuo unidimensional 8.55 determine os pontos de equilıbrioe sua estabilidade, mostrando a ocorrencia de duas bifurcacoes do tipo sela-nopara r = rs = 1/4.
5.
381
382
Capıtulo 9
Bifurcacoes em modelos
discretos unidimensionais
Ate agora, concentramos nossa analise no comportamento periodico dos mode-los dinamicos, tanto a tempo discreto como contınuo. Vimos, basicamente, aexistencia de pontos fixos, interpretados como solucoes de equilıbrio; e orbitasperiodicas, indicando um comportamento repetitivo apos um certo intervalode tempo. Em ambos os casos, a dinamica nos fornece indicacoes precisas docomportamento futuro do sistema, caso este seja adequadamente descrito pelomodelo matematico adotado. A partir de uma condicao inicial, se esperarmosate os transientes decairem, teremos previsto o comportamento do sistema paraquaisquer tempos futuros.
No entanto, o comportamento periodico nao e a unica possibilidade para ossistemas dinamicos. Caos determinıstico pode evoluir a partir de diversas rotas,a partir da evolucao das orbitas periodicas, quando um parametro do sistema evariado. Esta evolucao pode ocorrer tanto pela criacao ou destruicao de pontosfixos e/ou orbitas periodicas, mas tambem pelas chamadas bifurcacoes, querepresentam alteracoes na sua estabilidade. Neste capıtulo, vamos abordar estesaspectos da dinamica de sistemas nao-lineares, focalizando os modelos discretosunidimensionais.
Vamos, em particular, revisitar o modelo logıstico discreto, introduzido noCapıtulo 5, e que sera usado como paradigma para a discussao de bifurcacoes ecaos em modelos discretos unidimensionais
xt = f(xt−1) = rxt−1(1 − xt−1), (9.1)
e que e definido para os seguintes intervalos 0 ≤ xt ≤ 1 e 0 > r ≤ 4. Fora deles,as iteracoes divergem, ou seja, tendem a menos infinito com o passar do tempo.
9.1 Diagrama de bifurcacoes
O diagrama de bifurcacoes e um grafico dos valores assintoticos da variavel deestado x versus o parametro de controle, suposto variavel dentro do seu intervalode definicao. Por valores assintoticos entendemos o comportamento das orbitasapos um intervalo de tempo suficientemente grande: podemos ter pontos fixos,
383
orbitas periodicas, ou caoticas; de modo que as iteracoes transitorias nao saoconsideradas.
No exemplo do modelo logıstico discreto, uma parte do diagrama de bi-furcacoes pode ser tracada com base nos resultados obtidos no Capıtulo 5. Con-forme a fig. 9.1, no eixo das abscissas representamos os valores do parametro r,e no eixo das ordenadas os valores assintoticos de xt. Para 0 < r < 1 so existe oponto fixo estavel na origem x∗a = 0, logo neste intervalo os valores assintoticosde xt sao iguais a zero, formando um segmento de linha cheia reta.
Para o intervalo 1 < r < 2, a origem torna-se instavel, donde o segmento dereta e tracejado; ao passo que aparece o segundo ponto fixo x∗b = 1− (1/r), quee estavel e menor que 1/2, sendo representado por um ramo de parabola cheiaem funcao de r variando dentro do intervalo (1, 2). Ja para o intervalo 2 < r < 3os mesmos fatos sao verificados, exceto o segundo ponto fixo, que e agora maiorque 1/2. O ponto fixo super-estavel em r = 2 corresponde a intersecao entreeste ramo de parabola e uma reta horizontal em x = 1/2. Se tracarmos umareta vertical neste intervalo veremos que a tendencia das iteracoes e atrativa emrelacao a x∗b , e repulsiva em relacao a origem.
Finalmente, no intervalo 3 < r < 1 +√
6 ≈ 3, 449 o segundo ponto fixoperde estabilidade, sendo representado por um ramo tracejado de parabola, aopasso que surge uma orbita de perıodo 2 estavel. Esta orbita e representada pordois ramos cheios de parabola, que correspondem aos dois sinais da expressaodada por (5.65), ou seja: x∗1 e x∗2. Este e o estado assintotico da imensa maioriadas orbitas. Na verdade, as unicas excecoes seriam orbitas cujas condicoesiniciais fossem colocadas exatamente sobre os pontos fixos instaveis - e que nelespermaneceriam por toda a eternidade. Entretanto, nos jamais conseguimosespecificar com precisao infinita um numero qualquer na pratica.
Por exemplo, se usarmos tres casas decimais (apos a vırgula) para umacondicao inicial, como x0 = 0, 004, a quarta casa decimal ja e completamenteincerta, no sentido que arredondamos o seu conteudo usando a regra conhecida.Os numeros 0, 0039, 0, 0041, 0, 0037, etc... seriam todos arredondados para0, 004, de modo que ha uma infinidade de valores proximos porem diferentes de0, 004, que sao para ele arredondados. No frigir dos ovos, e impossıvel colocaruma condicao inicial exatamente num ponto fixo ou orbita periodica instavel,pois qualquer pequeno desvio (como aquele provocado pelos erros de arredon-damento) ja e suficiente para afastar as iteracoes subsequentes do ponto fixo ouorbita instavel.
Para obter o 2-ciclo superestavel nos igualamos a zero o fator de estabilidadeλ2 = r2 − 2r − 4, o que fornece como unica raiz positiva o valor r2 = 1 +
√5 ≈
3, 236. E facil ver que x = 1/2 e um dos pontos deste 2-ciclo super-estavel, demodo que a reta horizontal que passa por ele intercepta o diagrama de bifurcacao(ramo cheio) nos pontos pertencentes a orbitas periodicas super-estaveis. Estefato subsiste para qualquer perıodo, e sera usado mais tarde na discussao darota de Feigenbaum para o caos.
9.1.1 Obtencao numerica do diagrama de bifurcacoes
Programa em linguagem C
Para r > 1+√
6 um estudo puramente analıtico, como o que foi mostrado aqui,e impraticavel, de forma que o diagrama de bifurcacoes para o modelo logıstico
384
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4r
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
x
3,449 3,57...
Figura 9.1: Diagrama de bifurcacoes do modelo logıstico discreto no intervalo0 < r < 4;
discreto deve ser feito numericamente. Vamos descrever a metodologia usadapara obter este diagrama:
1. Escolhemos um intervalo de valores para o parametro r. No caso do mo-delo logıstico discreto, [0, 4];
2. Fixamos o valor inicial do parametro r;
3. Escolhemos uma condicao inicial x0 (por exemplo, 0, 2);
4. Iteramos o modelo logıstico discreto f(x) = rx(1− x) desconsiderando asprimeiras, digamos, trans = 100 iteracoes transitorias;
5. Continuamos iterando o modelo discreto por mais, digamos pontos = 100iteracoes onde nos presumimos observar o estado assintotico do sistema,e tracamos no diagrama os valores de xt correspondentes (havera eventu-almente uma grande superposicao de pontos);
6. Incrementamos o valor do parametro r por uma pequena quantidade (porexemplo, 0, 001);
7. Repetimos os passos de (3) a (6) ate o valor final do parametro r.
Mostramos abaixo uma implementacao dessa sequencia de calculos em lingua-gem C de programacao, a qual podera ser compilada pelo estudante para aobtencao de uma figura semelhante a Figura 9.1.
/* bifurcacao_logistico.c: produz o diagrama de bifurcacoes
para o mapa logistico. Saida dos dados no arquivo
lyapunov_logistico.dat (tabela com duas colunas) */
#include <stdio.h>
385
#include <math.h>
FILE *fp;
main( )
{
int n, trans, points, n_r;
float x_n, x_0, r, r_i, r_f, delta;
fp = fopen("bifurcacao_logistico.dat","w");/* abre arquivo */
r_i = 0.1; /* valor inicial de r */
r_f = 4.0; /* valor final de r */
n_r = 100; /* numero de valores de r */
points = 200; /* numero de iteracoes calculadas para cada
valor de r */
trans = 100; /* numero de pre-iteracoes transientes */
delta = (r_f - r_i)/n_r; /* incremento no valor de r */
x_0 = 0.2; /* condicao inicial */
for(r = r_i;r <= r_f;r = r + delta) /* varre os valores de r */
{
x_n = x_0; /* inicializa o valor de x */
for (n = 0;n <= points;++ n) /* varre os valores de n */
{
x_n = r * x_n * (1 - x_n); /* calculo das iteracoes */
if (n > trans) /* descontamos transientes */
{
fprintf(fp,"\% f \% f \n", r, x_n);
/* imprime resultados no arquivo de saida */
}
}
}
fclose(fp); /* fecha o arquivo de dados */
}
Observe que e necessario desconsiderar as iteracoes transitorias pois elas,caso superpostas no diagrama, poderiam mascarar os estados assintoticos, quesao os resultados nos quais estamos interessados. Como o numero de iteracoestransitorias (trans), pode variar bastante tanto com a escolha da condicaoinicial como com o valor do parametro (em particular, a duracao dos transitoriospode ser extremamente grande na vizinhanca de bifurcacoes), a indicacao de umvalor adequado para trans deve ser feita na base da tentativa-e-erro.
Outra caracterıstica importante dos diagramas obtidos numericamente e aausencia de orbitas periodicas instaveis. O motivo ja foi discutido ha pouco,e basicamente e a impossibilidade pratica de um numero com precisao finitaser colocado exatamente numa orbita instavel. Por outro lado, como veremos,o diagrama evidencia de forma bastante clara a existencia de orbitas caoticas,embora ele nao sirva por si so como demonstracao deste fato.
Na figura 9.1 mostramos o diagrama de bifurcacao do modelo logıstico dis-creto no intervalo [0, 4]. A parte referente ao sub-intervalo [0, 1 +
√6 ≈ 3, 449]
ja e conhecida, a menos dos ramos instaveis dos pontos fixos e do 2-ciclo quenao aparecem no diagrama obtido numericamente. Para r > 1+
√6 observamos
a existencia de uma orbita de perıodo 4 estavel, ao passo que o 2-ciclo existenteanteriormente “desaparece” (na verdade, ele torna-se instavel, e portanto deixa
386
de ser graficado). Esta e uma nova bifurcacao, bastante similar aquela ante-riormente descrita para r = 3, e que sera vista em mais detalhes na proximasecao.
Esta orbita de perıodo 4 dura relativamente pouco, sofrendo uma nova bi-furcacao em r ≈ 3, 544 e instabilizando-se, cedendo seu lugar a uma orbita deperıodo 8. Ha uma rapida acumulacao destas bifurcacoes e, para valores de rsuperiores a um valor r∞ ≈ 3, 57 observamos tracos mais ou menos contınuosde pontos no diagrama. Embora em princıpio possam ser orbitas de perıodosextremamente altos, ha evidencias solidas que tratam-se na verdade de orbitascaoticas, para as quais valem as duas caracterısticas basicas: (i) irregularidade;(ii) dependencia sensıvel as condicoes iniciais. Essas regioes caoticas alternam-secom “janelas” periodicas com uma estrutura bastante peculiar. Finalmente, aregiao caotica desaparece subitamente no final do intervalo de definicao, ou seja,em r = 4. Todos estes fatos serao discutidos em detalhes ainda neste capıtulo.
Uso do Maple
Ao inves de compilar e executar um programa numa linguagem como C, Fortran,etc. podemos usar a versatilidade e praticidade dos softwares matematicos des-critos ao longo deste livro. Vamos comecar pelo Maple. Nos usaremos o comandoplot para tracar os pontos correspondentes a uma lista de pontos denominadagraf, a qual e construida a partir da matriz xx[ ], cujos elementos sao:
• linhas: os valores do parametro de bifurcacao, desde r = 0 ate r = 4, comintervalos de Deltar =;
• os valores da variavel xt do modelo logıstico discreto, desde t = 40 (ouseja, descartamos as 40 primeiras iteracoes transientes) ate t = 80.
Um programa em Maple que implementa esse procedimento e mostradoabaixo, os resultados sendo exibidos na Figura 9.3.
with(plots):
imax:=80:
jmax:=400:
passo:=0.01:
lista:=array(0..10000):
xx:=array(0..10000,0..10000):
for j from 0 to jmax do
xx[j,0]:=0.5:
for i from 0 to imax do
xx[j,i+1]:=(passo*j)*xx[j,i]*(1-xx[j,i]):
end do:
lista[j]:=[[(passo*j),xx[j,n]]\$n=40..imax]:
end do:
graf := [seq(lista[j],j=0..jmax)]:
plot(graf,x=0..4,y=-0.1..1,style=point,symbol=circle,
symbolsize=1,labels=[r,x],color=black);
387
Figura 9.2: Diagrama de bifurcacoes do modelo logıstico discreto usando oMaple.
Uso do Mathematica
Para tracar o diagrama de bifurcacoes do modelo logıstico discreto usando oMathematica nos usamos o comando ListPlot, o qual traca um grafico a partirde uma lista de dados, que denominamos lista [12]. Esta ultima e construidade forma recursiva, acrescentando dados a cada passo (isto e, a cada valor doparametro r) usando o comando Append, pela iteracao do modelo logıstico por100 iteracoes para cada valor do parametro r. Iniciamos pelo valor ri = 2, 8 eterminamos no valor rf = 4, 0 usando um intervalo ∆r = 0, 01 entre dois valoressucessivos de r.
A funcao que representa o modelo logıstico e introduzida como Logistico[
] e pode ser facilmente adaptada para outros modelos que o leitor esteja inte-ressado, tendo em vista os comandos a seguir [Fig. ??]
Logistico[x_] := r x (1-x);
lista = { };
Do[x = 0.25; Do[x = Logistico[x],{100}];
Do[x = Logistico[x];lista=Append[lista,{r,x}],
{100}],{0,2.8,4,0.01}];
ListPlot[lista,AxesLabel->{r,x_t}];
Uso do Matlab
O Matlab tambem oferece a possibilidade de tracarmos o diagrama de bi-furcacoes do modelo logıstico discreto a partir de uma function, descrita abaixo,
388
Figura 9.3: Diagrama de bifurcacoes do modelo logıstico discreto usando oMathematica.
e cuja estrutura lembra a usada no programa em linguagem C anteriormenteintroduzido. Os argumentos sao os valores inicial e final do parametro, respec-tivamente indicados por r0 e r1, e o numero de iteracoes. Para gerar a Fig. 9.4,por exemplo, usamos o comando bifurcacao(2.8,4.1000).
function bifurcacao(r0,r1,numero)
close
if nargin<1
r0=0; r1=4; numero=5000;
end
r=r0:(r1-r0)/numero:al;
x=0.25;
for i=1:20000
x=a.*x.*(1-x);
plot(r,x,’.k’,’MarkerSize’,0.5)
end
9.2 Tipos de bifurcacoes em modelos discretos
unidimensionais
Na discussao precedente sobre a estabilidade dos pontos fixos e orbitas periodicasdo modelo logıstico discreto nos defrontamos com alguns exemplos de mudancas
389
Figura 9.4: Diagrama de bifurcacoes do modelo logıstico discreto usando oMatlab.
na existencia ou estabilidade, que denominamos bifurcacoes. Para modelo dis-cretos unidimensionais ha tres tipos basicos de bifurcacoes, com varios aspectosem comum com as bifurcacoes estudadas no capıtulo ??, e que serao discutidoscom mais detalhes a seguir. A fim de tornar a nossa discussao um pouco maisgeral, vamos considerar um modelo discreto unidimensional
xt = fp(xt−1), (9.2)
cuja funcao depende de um parametro variavel p. Chamaremos de pB o pontoonde ocorre uma bifurcacao no respectivo diagrama. Nos suporemos que afuncao fp(x) seja “suave” no seu domınio de definicao, ou seja, que seja contınuae diferenciavel um numero suficientemente grande de vezes 1
9.2.1 Bifurcacao de duplicacao de perıodo
Tambem chamada de bifurcacao “flip”, ela ocorre quando uma orbita de perıodon estavel torna-se instavel no ponto de bifurcacao p = pB , de tal forma quesurge uma nova orbita estavel de perıodo 2n para valores de p superiores a pB .Representando esquematicamente na figura 9.5(a) uma bifurcacao de duplicacaode perıodo, vemos que surge no ponto de bifurcacao um ramo estavel de parabola(como uma forquilha), correpondente a nova orbita que surge para p > pB . Parauma orbita de perıodo n, havera tambem n forquilhas, ou seja 2n ramos estaveis.
1Isso implica que funcoes lineares por partes (ou seja, nao-suaves em um numero finito depontos), como o modelo discreto da tenda T (x), sao excluidas da presente discussao sobrebifurcacoes.
390
ppB
periodo n
periodo 2n
estavel
instavel
x
��������
��
����
����
p < pB
p > pp = pB B
f[2]
(x)p
primeira bissetriz
(b)(a)
Figura 9.5: (a) Bifurcacao de duplicacao do perıodo. (b) Segunda iterada deum modelo discreto na vizinhanca de uma bifurcacao de duplicacao do perıodo.
Poderıamos ter, ainda, esta duplicacao de perıodo quando p diminui passandopor pB , o que uma bifurcacao inversa de duplicacao de perıodo.
Considere o modelo logıstico discreto, para o qual o parametro variavel ep = r. O ponto fixo x∗b = 1 − (1/r) (que e uma orbita de perıodo n = 1)sobre uma bifurcacao de duplicacao de perıodo em rB = 3, tornando-se instavele dando origem a uma orbita de perıodo 2: {x∗1, x∗2}. Outra bifurcacao destetipo ocorre para r igual a 1 +
√6, onde a orbita anterior de perıodo 2 torna-se
instavel e surge um 4-ciclo.Para entender como ocorre uma destas bifurcacao de duplicacao do perıodo,
vamos considerar na figura 9.6 a segunda iterada do modelo logıstico discreto,
f [2](x) = rf(x)[1 − f(x)] = r2x(1 − x)[1 − rx(1 − x)], (9.3)
um pouco antes e um pouco depois da bifurcacao que ocorre quando r = 3. Parar < 3, vemos que o grafico de f [2](x) intercepta a primeira bissetriz apenas nospontos fixos, nao havendo portanto um 2-ciclo [Fig. 9.6(a)]. O ponto fixo x∗b eestavel, pois a derivada do modelo discreto calculada neste ponto tem moduloinferior a 1; isto e, a inclinacao da tangente ao grafico no ponto fixo e menordo que 450 (embora, como os eixos coordenados tenham tamanhos distintos,isso nao fique claro a princıpio no diagrama). Quando atingimos do ponto debifurcacao o grafico da segunda iterada tangencia a primeira bissetriz, de modoo ponto fixo outrora estavel torna-se indiferente [Fig. 9.6(b)]. Apos o ponto debifurcacao aparecem dois novos pontos periodicos, que sao membros de um ciclode perıodo 2, ambos estaveis pois as derivadas da segunda iterada tem modulosmenores que um nos mesmos [Fig. 9.6(b)].
Generalizamos essa discussao considerando a segunda iterada de um modelodiscreto generico, fp
[2](x), sendo pB o valor do parametro para o qual ocorre
a bifurcacao (pB = 3 no exemplo anteriormente citado para o modelo logısticodiscreto). Iniciando de um valor de p abaixo do seu valor crıtico pB , observamosque, a medida em que o valor de p aumenta, a inclinacao do grafico (ou melhor,da sua tangente no ponto fixo) vai aumentando, mas ainda assim e menor doque 1 (pois o grafico permanece abaixo da primeira bissetriz). A “corcova” do
391
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1x
t-2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
x t
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1x
t-2
0
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1x
t-2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
x t
(a) (b) (c)
estávelinstável
estável
estável
Figura 9.6: Segunda iterada do modelo logıstico discreto para (a) r = 2, 5; (b)r = 3, 0; (c) r = 3, 4.
grafico vai aproximando-se da primeira bissetriz ate intercepta-la no ponto debifurcacao p = pB [Fig. 9.5(b)].
Simultaneamente, a derivada do modelo discreto no ponto fixo atinge o valor−1, isto e, o modulo ultrapassa o valor 1 indicando perda de estabilidade. Parap > pB , a derivada do modelo discreto no ponto fixo e superior a um, em modulo,e o grafico da segunda iterada corta a reta de 45o nos pontos do 2-ciclo. O fatorde estabilidade desta orbita e superior a um, o que significa que tangentes aografico de f [2](x), tracadas por estes pontos, tem inclinacao menor que 45o.Este mecanismo basico ocorre em todas as bifurcacoes de duplicacao de perıodosubsequentes.
Quando p = pB, ou seja, exatamente no ponto de bifurcacao, a inclinacaodo grafico de fp
[2](x), ou sua derivada calculada no ponto fixo x∗, e igual a 1:
d
dxf [2]
p (x)
∣∣∣∣x=x∗,p=pB
= (f [2]pB
)′(x∗) = +1. (9.4)
No entanto, se considerarmos a primeira iterada do modelo discreto, veremosque no ponto de bifurcacao sua derivada devera ser igual a −1 (mas o modulocontinua sendo igual a 1 de qualquer forma):
d
dxfp(x)
∣∣∣∣x=x∗,p=pB
= (fpB)′(x∗) = −1. (9.5)
Para p > pB o ponto fixo x∗ torna-se instavel (inclinacao da segunda iteradamaior que 1), e emergira um par de pontos fixos estaveis, que compoem umaorbita estavel de perıodo 2.
392
Resumindo, uma bifurcacao de duplicacao de perıodo, onde este varia de npara 2n, e tal que as seguintes condicoes devam ser obedecidas pela primeira esegunda iteradas do modelo discreto no ponto fixo:
(f [n]pB
)′(x∗) = −1 (9.6)
(f [2n]pB
)′(x∗) = +1 (9.7)
Bifurcacao no modelo logıstico discreto em r = 3
Nos descrevemos no Capıtulo 5 a bifurcacao de duplicacao de perıodo que ocorrepara o modelo logıstico discreto em r = 3. O ponto fixo x∗ = 1 − 1/r, que eestavel para r pouco menor que 3, torna-se instavel para r pouco maior que 3.Ao mesmo tempo, emerge no ponto de bifurcacao uma orbita estavel de perıodo2. Vamos checar as condicoes formais (7.64)-(7.66) para a existencia de umabifurcacao de duplicacao de perıodo em r = 3, onde x∗ = 1 − 1/3 = 2/3.
Como fr(x) = rx(1 − x) e f ′r(x) = r(1 − 2x). Logo
(f3)′(x∗ = 2/3) = 3
(
1 − 22
3
)
= −1
Ja a segunda iterada do modelo logıstico pode ser escrita como
f [2]r(x) = r2x(1 − x)[1 − rx(1 − x)] = (r2x− r2x2)(1 − rx+ rx2)
cuja derivada e
(f [2]r)′(x) = r2(1 − 2x)[1 − rx(1 − x)] + r3x(1 − x)(−1 + 2x)
que, calculada no ponto de bifurcacao, fornece
(f [2]3)′(x∗ = 2/3) = 32(1 − 2
2
3)[1 − 3
2
3(1 − 2
3)] + 33 2
3(1 − 2
3)(−1 + 2
2
3) = +1
verificando, assim, as condicoes (7.64)-(7.66) para n = 1.
9.2.2 Bifurcacao tangente
Tambem chamada de bifurcacao no-sela, ou “fold”, ela ocorre quando: (i) antesdo ponto de bifurcacao pB nao ha ponto fixo (ou orbita periodica); (ii) depoisdo ponto de bifurcacao surge um par de pontos fixos (ou orbitas periodicas) -um estavel e outro instavel [Fig. 9.7(a)]. As palavras “antes” e “depois” doponto de bifurcacao significam casos onde p < pB e p > pB , respectivamente.Se trocarmos os papeis, teremos uma bifurcacao tangente inversa.
Embora esta bifurcacao tambem ocorra no modelo logıstico discreto, ondedesempenha um importante papel no aparecimento das chamadas janelas periodicas,vamos exemplificar esta situacao num modelo discreto mais sımples
xt = fp(xt−1) = pext−1 , (9.8)
onde p e o parametro variavel, dentro do intervalo [0,∞), e e = 2, 71824... e onumero de Euler. O valor crıtico, neste caso, e pB = 1/e ≈ 0, 367. Os pontosfixos desse modelo sao dados pelas solucoes da equacao transcendente
x∗ = pex∗
, (9.9)
393
ppB
x
estavel
instavel
(a)
p < pB B B
p = p p > p
primeira bissetriz(b)
[n]f (x)
p
Figura 9.7: (a) Bifurcacao tangente. (b) Primeira iterada de um modelo discretona vizinhanca de uma bifurcacao tangente.
que pode ou nao ter solucoes, dependendo do valor de p. A estabilidade destespontos fixos e determinada pelo fator
|f ′p(x∗)| = |pex∗ |. (9.10)
Na figura 9.8 indicamos o comportamento da primeira iterada do modelodiscreto 9.8 para valores maiores e menores que pB . Se p = 0, 2 < pB o graficode fp(x) intercepta a primeira bissetriz em dois pontos fixos, a saber, x∗1 ≈ 0, 25e x∗2 ≈ 2, 5 [Fig. 9.8(a)]. Como |0, 2ex∗
1 | ≈ 0, 26 < 1 e |0, 2ex∗
2 | ≈ 2, 44 > 1,os pontos x∗1 e x∗2 sao estavel e instavel, respectivamente. O ponto x∗1 e, comefeito, estavel pois a tangente do grafico neste ponto tem inclinacao menor que45o, ao passo que o outro, x∗2, e instavel (a inclinacao e maior que a da primeirabissetriz).
No ponto de bifurcacao p = pB , o grafico tangencia a reta de 45o no pontofixo x∗ = 1, ja que, de (9.9),
1 = pBe1 =
e
e. (9.11)
Observe que, quando p aproxima-se do valor crıtico por valores maiores queeste (p → p+
B), os pontos fixos x∗1 e x∗2 aproximam-se e coalescem no ponto detangencia x∗ = 1 [Fig. 9.8(b)]. Para valores de p maiores que pB nao ha solucaoda equacao (9.9) e, portanto, nao ha ponto fixo [Fig. 9.8(c)].
Este mecanismo e descrito esquematicamente na figura 9.7(b), onde apenas
a parte relevante do grafico da n-esima iterada de um modelo discreto, f[n]p , e
mostrada, para valores na vizinhanca do ponto de bifurcacao tangente pB . Paravalores abaixo de pB nao existe ponto fixo, ao passo que, em p = pB , o graficotangencia a primeira bissetrix em x∗, ou seja,
(f [n]pB
)′(x∗) = +1 (9.12)
que, para o modelo discreto (9.8), implica na equacao (9.11). Quando p e maiorque o valor crıtico, duas intersecoes sao observadas, correspondentes ao par depontos fixos (ou orbitas periodicas, de maneira geral) estavel e instavel criadospela bifurcacao.
394
0 1 2 3 4x
t-1
0
1
2
3
4
x t
0 1 2 3 4x
t-1
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4x
t-1
0
1
2
3
4
x t
(a) (b) (c)
estável
instável
Figura 9.8: Bifurcacao tangente no modelo discreto exponencial para (a) p =0, 2 < pB ; (b) p = pB = 1/e; (c) p = 0, 45 > pB .
9.2.3 Bifurcacao transcrıtica
Nesta situacao, antes do ponto de bifurcacao p = pB , temos dois pontos fixos,um estavel e outro instavel, que vao se aproximando na medida em que chegamosao ponto de bifurcacao. Apos a colisao estes pontos continuam existindo, mas aestabilidade deles e trocado: o ponto fixo estavel torna-se instavel e vice-versa[Fig. 9.9)(a)].
Um exemplo de bifurcacao transcrıtica pode ser observado no modelo logısticodiscreto, quando o parametro r e igual ao valor crıtico rB = 1. Quando oparametro r e menor que 1, vimos que o unico ponto fixo nao-negativo (e estavel)e a origem x∗ = 0. No entanto, se levarmos tambem em consideracao os valoresnegativos de x, poderıamos argumentar que o ponto x∗− = −(1 − 1/r) tambemseria um ponto fixo. Alem disso, como f ′(x∗−) = 1 − 2x∗− = 1 + 2(1 − 1/r) =1 − 2/r > 1 (ja que 0 < r < 1, segue que este ponto fixo negativo e instavel[Fig. 9.9(b)]. Quando r = 1 a origem torna-se instavel, como ja vimos anteri-ormente, e o ponto fixo x∗+ = 1 − 1/r “emerge” e e estavel. Isto corresponde auma “troca” de estabilidade entre os dois pontos fixos no ponto de bifurcacaotranscrıtica rB = 1.
De modo geral, no ponto onde ocorre a bifurcacao, o grafico da tangente aprimeira iterada do modelo discreto tem inclinacao de 45o, ja que neste pontoocorre uma mudanca de estabilidade; logo a derivada do modelo discreto e iguala 1 neste ponto:
(fpB)′(x∗) = +1. (9.13)
Por outro lado, ha ainda a seguinte condicao suplementar para a ocorrencia de
395
ppB
x
instavelestavel
r
x
instavel
1
0
estavel
(a) (b)
Figura 9.9: Bifurcacao transcrıtica no modelo logıstico discreto
uma bifurcacao transcrıtica [2]
(fpB)(x∗) = 0, (9.14)
a qual e triviamente satisfeita pelo ponto fixo na origem, para o modelo logısticodiscreto.
9.3 Cascata de bifurcacoes de duplicacao de perıodo
O diagrama de bifurcacoes da figura 9.1 mostra que ha uma sequencia de bi-furcacoes de duplicacao de perıodo, comecando em r = 3.0, e continuando ater ≈ 3, 57, apos o que teremos um comportamento radicalmente diferente doque ate agora estudamos. Para r > 3, 57... as iteracoes do modelo nao pa-recem mais estacionar numa orbita de perıodo bem definido, muito embora asımples observacao da figura nao nos permita de fato discernir entre uma orbitade perıodo muito alto, como 5000, e algo qualitativamente diferente. Na ver-dade, este comportamento e o que chamaremos posteriormente de caos, emboraprecisemos definir de maneira mais precisa o que isto significa. Por enquanto,vamos nos ater a cascata de bifurcacoes de perıodo, que foi estudada por Fei-genbaum no final da decada de 70 [72, 73], muito embora outros pesquisadorescomo Myrberg[74] e May [75] ja tivessem conhecimento de algumas de suaspropriedades.
Podemos observar na figura 9.10(a), que e uma ampliacao de parte do di-agrama de bifurcacoes da figura 9.1, que a sequencia de bifurcacoes de du-plicacao de perıodo nao ocorre em intervalos de mesma amplitude. Por exem-plo, a distancia entre a segunda e a terceira bifurcacoes e cerca de um quintoda distancia entre a primeira e a segunda. As demais ocorrem em intervalosainda menores, e aparentemente ha uma acumulacao de bifurcacoes [a qual naoe possıvel observar na figura 9.10(a)] no ponto r∞ ≈ 3, 57.
Feigenbaum determinou os valores do parametro r para os quais o modelologıstico discreto sofre bifurcacao de duplicacao de perıodo. Nos denominamosrn o valor do parametro r para o qual ha uma bifurcacao de perıodo 2n para operıodo 2 × 2n = 2n+1 [Fig. 9.10(b)]. Por exemplo, r1 = 3 marca a bifurcacao
396
3,1 3,15 3,2 3,25 3,3 3,35 3,4 3,45 3,5 3,55r
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
x
x
rr r r1 2 3
(a)(b)
Figura 9.10: (a) Ampliacao de parte do diagrama de bifurcacoes do modelologıstico discreto. (b) Esquema de uma cascata de bifurcacoes de duplicacao deperıodo no modelo logıstico discreto (nao esta em escala).
n perıodo = 2n rn rn − rn−1rn−1−rn−2
rn−rn−1
1 2 3, 0000000 - -2 4 3, 4494896 0, 4494896 -3 8 3, 5440903 0, 0946007 4, 75144 16 3, 5644073 0, 0203170 4, 65625 32 3, 5687594 0, 0043521 4, 66836 64 3, 5696916 0, 0009322 4, 66867 128 3, 5698913 0, 0001997 4, 6692
Tabela 9.1: Pontos de bifurcacao de duplicacao de perıodo no modelo logısticodiscreto
de um ponto fixo (perıodo 1) para um 2-ciclo (perıodo 2). Nos mostramosanaliticamente que bifurcacao seguinte ocorre para r2 = 1+
√6. Esses resultados
estao na Tabela 9.3, que ainda contem as bifurcacoes ate perıodo 256.Varias conclusoes interessantes emergem da analise dos resultados da tabela
9.3. Inicialmente, observamos que a razao entre as distancias entre bifurcacoessucessivas
rn−1 − rn−2
rn − rn−1
parece convergir para um valor constante, a medida em que cresce o perıododa orbita bifurcante. Se este valor fosse constante para todas as bifurcacoes,poderıamos classificar a sequencia de intervalos inter-bifurcacoes, rn − rn−1,como uma progressao aritmetica decrescente e infinita. No entanto, a razaoacima nao e propriamente constante, mas sim tende a um valor constante δ,aproximando-se dele a medida em que n tende a infinito. Este valor correspondeformalmente ao seguinte limite, devido a Feigenbaum
limn→∞
rn−1 − rn−2
rn − rn−1≡ δ = 4, 669201609 . . . (9.15)
397
n r∞ − rnc
δn
1 0,5699456 0,56482 0,1204560 0,12093 0,0258553 0,02594 0,0055383 0,00555 0,0011862 0,00126 0,0000254 0,000257 0,0000543 0,0000548 0,0000116 0,000011
Tabela 9.2: Acumulacao de bifurcacoes de duplicacao de perıodo no modelologıstico discreto
Outra observacao importante e que a cascata de bifurcacoes de duplicacaode perıodo acumula-se no ponto onde
limn→∞
rn ≡ r∞ = 3, 5699456 . . . (9.16)
Mais precisamente, podemos computar, com base nos dados da Tabela 9.3 asdistancias entre os varios pontos de bifurcacao e o valor onde elas se acumulam:
r∞ − rn ∼n→∞c
δn(9.17)
onde c = 2, 637 e δ e a constante de Feigenbaum.
9.3.1 Universalidade
Os resultados obtidos por Feigenbaum sao notaveis em varios aspectos, masnao seriam realmente importantes se fossem validos unicamente para o mo-delo logıstico discreto. Por exemplo, poderıamos indagar se o valor de acu-mulacao das bifurcacoes e a razao entre as suas distancias poderiam ser diferen-tes se usassemos outro modelo discreto, como por exemplo o modelo discretoquadratico
xt+1 = a− x2t (9.18)
com a como o parametro variavel, no caso desde a = 0 ate 2. Este modelodiscreto apresenta um diagrama de bifurcacoes muito parecido com o do modelologıstico discreto (Fig. 9.11).
As semelhancas nao param aı. Na tabela 9.3.1 nos mostramos os valores doparametro a, ditos an, para os quais uma bifurcacao de duplicacao do perıodoocorre, e o respectivo valor da razao entre as distancias.
Novamente, o valor da razao das distancias inter-bifurcacoes parece convergirpara um valor limite, que e a propria constante δ de Feigenbaum (evidentementeo valor do parametro a para o qual as bifurcacoes se acumulam e diferente).Uma inspecao cuidadosa da figura 9.11 mostra que ha uma segunda cascata debifurcacoes de duplicacao de perıodo iniciando-se em a = 1, 75 (dentro de uma“janela” do diagrama, como sera visto na proxima secao). Neste caso, partimosde uma orbita de perıodo 3, tal que as orbitas seguintes tem perıodos 6, 12, eassim por diante. Os valores correspondentes as bifurcacoes sao mostrados natabela 9.3.1. A razao converge para δ ≈ 4, 669... mesmo neste caso!
398