introdução a geometria projetiva

8/12/2019 Introdução a Geometria Projetiva

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Introducao aGeometria Projetiva

Com tratamento vetorial

Abdenago Alves de BarrosPlacido Francisco de Assis Andrade

Universidade Federal do CearaCentro de Ciencias

Departamento de Matematica



i

Prefacio

Este livro foi elaborado para ser um texto de ”Introducao a Geometria Proje-tiva”, disciplina obrigatoria para os alunos do terceiro p erıodo dos cursos de Li-cenciatura e de Bacharelado de Matematica da Universidade Federal do Ceara. O

pre-requisito e Geometria Analıtica com tratamento vetorial. Foi dentro desta mol-dura que foi elaborado, mas ele e auto suficiente no que diz respeito a sua leitura.A escolha do tratamento vetorial nos obriga a uma rapida introducao de AlgebraLinear. Para isto, escolhemos um extrato do livro [An2].

Os topicos apresentados consideram o desenvolvimento da Geometria do pontode vista axiomatico, dos gregos ate Hilbert, embora nos fixemos na construcao demodelos, fugindo da apresentacao sintetica. Subjacente a estrutura do texto fica atrajetoria historica. Os autores nao sao especialistas em Historia da Matematica,portanto, para elaboracao desta parte coletamos as informacoes em varios e, acre-ditamos, bons livros sobre o assunto. Com isto, tentamos transmitir ao estudanteo esforco desprendido na sistematizacao da Geometria ao longo de milenios, bem

como tentamos valorizar o estudo da Historia da Matematica, relegada a um se-gundo plano nas nossas Graduacoes.

A apresentacao deixa claro as ideias e os conceitos surgidos ao longo do de-senvolvimento da Matematica. Alem disto, o tratamento vetorial torna o conheci-mento accessıvel a todos estudantes dos primeiros anos da Universidade nas areasde Ciencias Basicas ou Tecnologicas.

O conteudo esta programado para ser exposto em 50h, sem atropelos. O desen-volvimento culmina com o elegante estudo de conicas utilizando o Plano projetivo.

Agradecemos aos Professores do Departamento de Matematica da UFC, JoseAfonso de Oliveira, Francisco Pimentel, Aldir Brasil, Fernando Pimentel e, par-ticularmente, ao Professor Antonio Caminha pelas correcoes sugeridas. Ficamoslisonjeados e em debito com os organizadores da XIII Escola de Geometria 2004-USP pelo convite para lecionar um minicurso e pela publicacao do texto.

Abdenago Alves de Barros

Placido Francisco de Assis Andrade

Fortaleza, 23 de maio de 2004



Sumario

I HISTORIA E ARQUITETURA DO TEXTO 1

1 Historia 2

1.1 Geometria classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Os Elementos de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Os Axiomas de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Arquitetura do texto 11

2.1 Estrutura do livro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Genealogia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Isometria e Congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Leitura complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

II ALGEBRA LINEAR 18

3 O espaco vetorial Rn 19

3.1 O conjunto Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 O espaco vetorial Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Subespaco vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4 Independencia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5 Base e dimensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.6 Leitura complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Produto interno 33

4.1 Produto interno e norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Angulo entre vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3 Produto vetorial em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5 Transformacoes lineares 395.1 Transformacoes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39



SUMARIO iii

5.2 Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.3 Operacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.4 Invertibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.5 Operadores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.6 Autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.7 Teorema espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6 Isometrias do Rn 496.1 Translacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.2 Operadores ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.3 Classificacao das isometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.4 *Leitura complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

III GEOMETRIA EUCLIDIANA 56

7 Geometria Euclidiana 57

7.1 Esferas e hip erplanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.2 Um modelo de plano Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.3 Um modelo de espaco Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

IV GEOMETRIA ELIPTICA (dupla) 65

8 Geometria Elıptica 668.1 Distancia esferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.2 Plano elıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698.3 Retas elıpticas orientadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728.4 Plano elıptico dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.5 Isometrias de S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748.6 Congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9 Trigonometria elıptica 789.1 Lei dos senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799.2 Area de triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819.3 *Triangulo dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

V GEOMETRIA PROJETIVA E GEOMETRIA AFIM 86

10 Geometria Projetiva 8710.1 O plano projetivo RP2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88



iv SUMARIO

10.2 Relacao entre RP2 e S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8910.3 Retas projetivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9010.4 Plano projetivo dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9210.5 Incidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9210.6 Geometria Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

10.7 Retas afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9610.8 Leitura complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

11 Colineacao 10011.1 Operador linear e colineacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10011.2 Construcao de colineacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10211.3 Teorema fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10511.4 Teorema de Papus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11011.5 Teorema de Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

12 Conicas 11512.1 Cones em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

12.2 Quadricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11812.3 Correlacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12112.4 Polaridades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12212.5 Conicas em RP2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12412.6 Retas tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12712.7 Construindo conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12912.8 Teorema de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13312.9 Teorema de Brianchon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13612.10Leitura complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

VI APENDICE 140

13 Particao de conjuntos 14113.1 Particionando conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14113.2 Relacao de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14413.3 Classe de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145



Lista de sımbolos

Conjuntos

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjunto dos numeros reaisRn . . . . . . . . . . . . . . . . E s p a co vetorial das n-uplas ordenadas

E1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reta Euclidiana

E2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plano Euclidiano

E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaco Euclidiano

S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esfera unitaria

S2∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esfera u nitaria dual

RP2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plano pro jetivo

RP2∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P lano pro jetivo dual

AP2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P l a n o a fi m

Letras gregasα . . . . . . . . . . . . . . . a l f a

β . . . . . . . . . . . . . . b e t a

γ , Γ . . . . . . . . . . . gama

δ , ∆ . . . . . . . . . . . delta

, ε . . . . . . . . . . epsilon

ζ . . . . . . . . . . . . . . . zeta

η . . . . . . . . . . . . . . . . eta

θ, Θ, ϑ . . . . . . . . . . t e t a

ι . . . . . . . . . . . . . . . . i o t a

κ . . . . . . . . . . . . . . . k a p a

λ, Λ . . . . . . . . . lambda

µ . . . . . . . . . . . . . . . mu

ν . . . . . . . . . . . . . . . . . n i

ξ , Ξ . . . . . . . . . . . . . qui

ø . . . . . . . . . . . . . . . . . . o

π, Π, . . . . . . . . . . . p i

ρ, . . . . . . . . . . . . . . . ro

σ, Σ, ς . . . . . . . . s i g m a

τ . . . . . . . . . . . . . . . . tau

υ, Υ . . . . . . . . . upsilon

φ, ϕ, Φ . . . . . . . . . . . . fi

ψ, Ψ . . . . . . . . . . . . . p si

ω, Ω . . . . . . . . . . omega



Sımbolos classicosv = (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vetor v ∈ R2

v = (x,y,z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vetor v

∈R3

u, v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P r o d u t o i n t e r n o c a n onico de u, v ∈ Rn

v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Norma de um vetor v ∈ Rn

d( p, q ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distancia entre os pontos p, q ∈ Rn

θ(u, v) . . . . . . . . . . . . . D i s t ancia entre u, v ∈ S2; angulo entre os vetores u, v ∈ R3

[v1, v2,...,vk] . . . . . . . . . . . . . . . Matriz n × k cujas colunas sao os vetores vi ∈ Rn

[A], [B], [C ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M atrizes com entradas reais

[A(e1), A(e2),...,A(en)] . . . . . . . . . Matriz canonica de uma transformacao linear

det[A] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Determinante da matriz quadrada [A]

v = (x : y : z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P o n t o p r o j e t i v o v ∈ RP2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Particao de um conjunto

∼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relacao de equivalencia

A/ ∼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E s p a co quociente por uma relacao de equivalenciaP (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .O conjunto das partes de um conjunto A

Sımbolos especiais[[v1, v2,...,vn]] . . . . . . . . . . . . . . . Subespaco vetorial gerado por v1, v2,...,vn ∈ Rn

ηuv = u × v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produto vetorial de u, v ∈ R3

η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vetor em R3 normal a um plano

Γη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plano em R3 contendo a origem com vetor normal η

Γη( p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plano em R3 contendo p com vetor normal η

rη = Γη ∩ S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reta elıptica: grande cırculo de S2

rη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reta projetiva: subconjunto de RP2

η . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . .Reta projetiva: elemento do projetivo dual RP2∗



Parte I

HISTORIA E ARQUITETURADO TEXTO



Capıtulo 1

Historia

Para deixar claro a estrutura didatica na qual o texto esta desenvolvido, apre-sentaremos uma breve historia da Geometria. 1

1.1 Geometria classica

A palavra Geometria tem etimologia grega e significa ”medicao de terras”. Na

Antiga Mesopotamia e no Antigo Egito, o conhecimento geometrico resumia-se aum aglomerado de procedimentos praticos de mensuracao aplicados, principalmente,na agricultura. Eram calculos empıricos de comprimentos, areas e volumes com oemprego de formulas, muitas delas erroneamente utilizadas.

Devemos aos gregos a transformacao da Geometria de um conhecimento rudi-mentar e pratico num dos ramos da Matematica Pura. Eles tiveram a iniciativade abstrair as ideias do contexto fısico para o contexto puramente mental, processoque levou seculos para ser completado, aproximadamente de 600 aC ate 300 aC.

O mais antigo grego conhecido que adotou tal postura foi o mercador e enge-nheiro Tales de Mileto (± 624 aC − ± 547 aC), considerado o primeiro filosofo,

1Este capıtulo esta baseado nos livro de Boyer [BCB], Heath [Hea], Wallace & West [W-W] eno site [web1].



1.1. GEOMETRIA CLASSICA 3

cientista e matematico grego. Ele empregou argumentos logicos para demonstrarproposicoes basicas de Geometria, muitas delas de sua autoria, que nao tinhamimportancia alguma na medicao de terras. Tales foi a origem de uma escola queperdurou por um seculo e supoe-se que ele tenha aprendido em suas viagens os ru-dimentos de Geometria com os povos da Mesopotamia e Egito. E creditado a ele a

demonstracao de resultados tais como: um cırculo e bissectado por um diˆ ametro; os ˆ angulos da base de um triˆ angulo is´ osceles s˜ ao iguais ; um ˆ angulo inscrito num semicırculo e um ˆ angulo reto; os ˆ angulos opostos pelos vertices s˜ ao iguais.

Pitagoras de Samos (± 569 aC − ± 475 aC),possivelmente um aluno da escola de Tales, esta-beleceu uma sociedade filosofica e religiosa quemuito contribuiu para a formalizacao da Geo-metria com trabalhos nas Teorias de paralelas,figuras similares e uma combinacao de Teoria de

numeros e misticismo. O proprio Pitagoras in-troduziu as palavras Filosofia (amor a sabedoria)e Matematica (o que e aprendido). Apos a mortedo filosofo, a escola Pitagorica dividiu-se em duasfaccoes. Uma, formada por aqueles que aceita-vam a palavra do ”mestre” como uma revelacao ea outra, formada por aqueles seguidores que de-sejavam ”o novo aprendizado”, os matematicos.

Membros da ultima faccao desenvolveram novos resultados de Matematica exclu-sivamente por deducao logica, transformando-a numa Ciencia Dedutiva. Sua dou-trina sobreviveu por seculos. Ainda na decada de 1980 existiam seguidores mısticos

em Fortaleza, Ceara, que realizavam suas reunioes num velho casarao do centro dacidade, na Rua Major Facundo, cuja sede era chamada de Escola Pitag orica.

O avanco seguinte foi estabelecido por outro grego, um professor de Geometria,Hipocrates de Chios (± 470 aC, Grecia − ± 410 aC), ao escrever um livro texto,Elementos de Geometria , no qual os teoremas eram arranjados numa sequencia ondeos subsequentes eram provados tendo como base os teoremas anteriores. Tudo indicaque sua obra esta contida nos Livros I e II dos Elementos de Euclides. Com eletem-se o inıcio da sistematizacao do conhecimento Matematico, estabelecendo umaestrutura de apresentacao que sobrevive ate hoje. Hipocrates de Chios contribuiucom teoremas sobre circunferencias.

Por esta mesma epoca, foi fundada em Atenas pelo filosofo Platao (± 427 aC−± 347 aC), a famosa Academia , uma instituicao que congregava os maiores sabios



4 CAPITULO 1. HISTORIA

da epoca. Sobre seu portao estava escrito:

N˜ ao permitam a entrada de quem n˜ ao saiba geometria .

Com a Academia, a Matematica obteve o status de Ciencia Pura, seus membrosnao tinham a preocupacao em aplicar os conhecimentos adquiridos no seu trabalho

e a enfase era no desenvolvimento do pensamento matematico e filosofico.

Um dos membros da Academia, dos 17 aos 30 anos, foi o filosofo Aristoteles daMacedonia (± 384 aC - ± 322 aC). A contribuicao de Aristoteles para os fundamen-tos da Matematica foi indireta, construiu uma teoria de afirmacoes que comecavacom nocoes comuns, nocoes especiais, definicoes e um tratado sobre logica em Filo-sofia, estabelecendo a base para toda a Matematica grega. Aristoteles fundou umcentro cientıfico e filosofico chamado Liceu . Nos seiscentos anos seguintes foramcriadas centenas de Escolas pela regiao grega mas nenhuma delas comparavel emimportancia com essas duas, exceto o Museu de Alexandria.

Outro membro da Academia, Eudoxos de Cnido (± 408 aC − ± 355 aC), feza moldura de como deve ser uma teoria Matematica, sistematizando formalmenteo metodo axiomatico inspirado no trabalho de Aristoteles. Sua mais notavel con-tribuicao foi compreender as quantidades incomensuraveis que tanto pertubou ospitagoricos. Aceita-se que seu trabalho em Matematica e a base dos Livros V, VI eXII dos Elementos de Euclides. A Academia foi um centro no qual varios de seusmembros se destacaram na historia da Matematica e, em particular, na Geometria:

Teodoro de Cirene (± 465 aC − ± 398 aC), Teaetetus (± 417 aC − ± 369 aC), Meneacmus (± 380 aC − ± 320 aC) , Dinostrato (± 390 aC − ± 320 aC), irmao de Meneacmus, Autolicos de Pitane (± 360 aC − ± 290 aC ).

Com a morte de Alexandre da Macedonia, o Grande, (356 aC − 323 aC) aluno

de Aristoteles e Meneacmus, o territorio conquistado foi dividido entre seus generais.Alexandria, cidade fundada por ele, ficou no territorio governado por Ptolomeu I,



1.2. OS ELEMENTOS DE EUCLIDES 5

terras correspondentes ao atual Egito. Este general criou o Museu de Alexandria,2

e transformou-o numa Universidade insuperavel em seu tempo, em termos de co-nhecimento. Para dar uma grandeza da importancia do centro, notıcias da epocafalam numa biblioteca de 500 mil volumes. Muito dos intelectuais mudaram-se paraali, entre eles Euclides.

1.2 Os Elementos de Euclides

Toda esta construcao da mente humana, feita ao longo de 300 anos, ficou registradanuma obra monumental intitulada Elementos , constituıda de 13 livros (capıtulos).Nela, estao demonstradas 465 proposicoes deduzidas de um sistema axiomaticonuma forma didatica, cujo unico rival em numero de traducoes e a Bıblia. Tal obraexpoe sistematicamente toda a Matematica basica conhecida em seu tempo.

Devemos tal facanha ao matematico grego Euclides(± 330 aC - ± 270 aC) cuja biografia e praticamente

desconhecida. Provavelmente estudou na Academia emudou-se para Alexandria a convite de Ptolomeu Ipara ser o primeiro professor de Matematica do Mu-seu. Escreveu cerca de doze obras mas somente cincodelas resistiram ao tempo. Seu texto intitulado ´ Optica (Stoichia) foi um dos primeiros trabalhos escritos sobreperspectiva. A tıtulo de ilustracao listaremos os tıtulosdos Livros que compoem a obra de Euclides, que nao eapenas uma simples compilacao de resultados conheci-dos; supoe-se que varias proposicoes e provas sao do

proprio Euclides e, possivelmente, algumas delas foram acrescentadas posterior-

mente. A obra nao trata apenas de Geometria, inclui tambem resultados de Aritme-tica. No Livro IX ficou para a posteridade uma das mais belas e elegantes provas daMatematica, a prova do teorema: Existem infinitos n´ umeros primos . Certamente,um autor de uma obra como os Elementos deveria ser um matematico de primeiralinha. A lenda descreve-o como um professor excepcional, sendo caricaturado nafigura de um velhinho bondoso. Sua proposta didatica para o ensino da Matematicafoi espetacular. Ainda hoje, 2300 anos depois, e quase que integralmente adotadonas Escolas de todo o mundo.

ELEMENTOS Geometria Plana: I. Fundamentos da geometria pla-na. II. A Geometria de retangulos. III. A geometria do cırculo. IV.

2Local dedicado as nove musas gregas: Calıope (Poema epico, a musa mais importante), Clio

(Historia), Erato (Poemas de amor), Eutherp (Musica), Melpomene (Tragedia), Polınia (Musicasagrada), Therpsıcore (Danca), Talia (Comedia), Urania (Astronomia).




Polıgonos regulares no cırculo. V. A teoria geral de magnitudes emproporcoes. VI. A geometria plana de figuras similares. Teoria dosnumeros: VII. Aritmetica basica. VIII. Numeros em proporcoes. IX.Numeros em proporcoes; a teoria de numeros pares e ımpares, numerosperfeitos. Numeros irracionais: X. Segmentos de reta incomensuraveis.

Geomeria Solida: XI. Fundamentos da Geometria solida. XII. Areas evolumes; metodo de Eudoxos da exaustao. XIII. Os solidos de Platao.

O aspecto que nos interessa e o sistema axiomatico adotado por Euclides:

1. Nocoes comuns

a) Coisas que sao iguais a uma mesma coisa tambem sao iguais;b) Se iguais sao adicionados a iguais, os totais sao iguais;c) Se iguais sao subtraıdos de iguais, os restos sao iguais;d) Coisas que coincidem uma com a outra sao iguais;e) O todo e maior que qualquer uma de suas partes.

2. Axiomas da Geometria Euclidiana plana

3

i) Incidencia: pode-se tracaruma reta ligando quaisquer dois pontos;

ii) Pode-se continuar qualquer reta finitacontinuamente em uma reta;

iii) Pode-se tracar um cırculo comqualquer centro e qualquer raio;

iv) Todos os angulos retos sao iguais;v) Por um ponto fora de uma reta pode-se tracar

uma unica reta paralela a reta dada.

3. Definicoes

i) 23 definicoes que dizem respeito a ponto,reta, angulo, cırculo, triangulo, quadrilatero, etc.

A escola de Alexandria sobreviveu ate 450 dC e muito contribuiu com o desenvol-vimento da Geometria pos-Euclides, sendo seu maior expoente o ex-aluno siciliano

3O quinto postulado e conhecido como Axioma de Playfair. No livro Elementos e posto umaxioma equivalente: se uma reta ao cortar duas outras, forma angulos internos, no mesmo lado,

cuja soma e menor do que dois angulos retos, entao as duas retas, se continuadas, encontra-se-ao no lado onde estao os angulos cuja soma e menor do que dois angulos retos.



1.2. OS ELEMENTOS DE EUCLIDES 7

Arquimedes de Siracusa (287 aC − 212 aC) considerado um dos tres maiores ma-tematicos de todos os tempos, junto com o ingles Isaac Newton (1643 − 1727) e oalemao Johann Carl Friedrich Gauss (1777 − 1855). Seu metodo para calculo deareas guarda muita semelhanca com o Calculo Integral utilizado nos dias atuais.

Outros notaveis do Museu foram o ex-aluno Apolonius dePerga (262 aC - 190 aC), com o estudo das c onicas, eum professor do Museu, Papus de Alexandria (290 dC −350 dC) que ampliou o trabalho de Euclides, com resulta-dos cujo espırito era totalmente diferente do que foi feitoate entao, demonstrando teoremas novos que diziam res-peito apenas aos axiomas de incidencia. Papus foi o ultimogrande geometra grego e seu trabalho e tido como a baseda Geometria Projetiva.

A morte de Hipatia de Alexandria (± 370 dC − ± 415 dC)professora do Museu e primeira mulher a destacar-se no es-tudo da Matematica, marca os inıcios do declınio daquelecentro como polo intelectual e do perıodo das trevas para ascivilizacoes ocidentais. Hipatia teve morte cruel, foi descar-nada com conchas de ostras e queimada em praca publicapor uma turba de cristaos incentivada pelo Patriarca de

Alexandria, Cirilo.

Cem anos depois da morte de Hipatia, em 527 dC, a Academia Platonica deAtenas ja com 900 anos, bem como outras escolas, foi fechada e seus membrosdispersos por Justiniano, Imperador Romano Catolico. E por muitos seculos o de-senvolvimento da Matematica esteve a cargo de outras civilizacoes, como a Arabecuja maior contribuicao foi na Algebra. O conhecimento geometrico ficou, prati-camente, estagnado e esquecido por dez seculos. Acredita-se que com a fuga dosprofessores gregos para a Persia, a civilizacao Arabe tomou o impulso relatado noslivros de Historia.




1.3 Os Axiomas de Hilbert

Dezoito seculos depois da publicacao dos Elementos (1482), em plena Renascenca,comecaram a surgir as primeiras traducoes dos Elementos para as lınguas europeiasmodernas, passando aquela obra a receber um estudo crıtico pelos interessados.

Com a retomada do estudo dos Elementos de Euclides surgiram varios resultadossurpreendentes que diziam respeito apenas a ideia de incidencia. Por exemplo,Girard Desargues (1591 − 1661) e Blaise Pascal (1623 − 1662) demonstraram muitaspropriedades nao metricas de conicas que eram bem diferentes daquelas examinadaspor Apolonio dezoito seculos antes. O estudo de geometrias com poucos axiomasperdurou por mais dois seculos, as vezes de forma esporadica e desorganizada, outrascom intensidade e imaginacao.

Como pano de fundo ficava o postulado das paralelas, a secular duvida se eleera ou nao um axioma Euclidiano independente dos demais, sendo o mais instigantetopico de interesse dos geometras. Muitos acreditaram que podia ser um teorema.Nao e! Ao longo da historia muitas demonstracoes, erradas e claro, foram apresen-

tadas, inclusive por matematicos importantes em sua epoca. Ainda no tempo deEuclides, Ptolomeu I acreditou que tinha dado uma demonstracao para o Axiomasdas Paralelas e tudo leva a crer que o proprio Euclides ficou relutante em aceita-lo como postulado, utilizando-o apenas a partir da 29a proposicao dos Elementos.Algumas tentativas foram dramaticas, como aquela feita pelo padre jesuıta italianoGiovanni Saccheri (1667 − 1773). Simplesmente ele demonstrou todos os resulta-dos basicos da hoje chamada Geometria hiperbolica, mas nao teve a ousadia paraacreditar que p oderiam existir outros tipos de modelos geometricos para a Naturezaque nao a Geometria Euclidana.

Na metade do seculo XIX ja tinham sido coletadas varias hipoteses assumi-das por Euclides e utilizadas nas suas argumentacoes sem que tivessem tido uma

demonstracao ou uma axiomatizacao anterior. Listemos algumas delas.

4. Hipoteses nao mencionadas mas utilizadas por Euclides

α) Retas sao conjuntos ilimitados;β ) Vale o postulado de Dedekind: as retas sao contınuas;γ ) No axioma i) a reta que podemos tracar ligando

dois pontos e unica;δ ) No axioma ii) pode-se continuar uma reta de

uma unica maneira;) Axioma de Pasch: sejam A, B e C tres pontos nao coline-

ares e r uma reta que nao contem nenhum destes

pontos. Se r corta o segmento AB entao ela tambemcorta o segmento BC ou o segmento AC .




i) Sao estabelecidos cinco axiomas que dizem respeito a con-gruencia de angulos, segmentos e triangulos.

V Axioma das paralelas

i) Por um ponto fora de uma reta pode-se tracar uma unica

reta paralela `a reta dada.

VI Axiomas de Continuidade

i) Completude de uma reta.ii) Propriedade Arquimediana de uma reta.

Varios outros sistemas axiomaticos equivalentesao de Hilbert foram propostos. Dois deles se des-tacam. Aquele estabelecido por George David

Birkhoff (1864 - 1944), com forte enfase no con-ceito de distancia, e um outro conhecido pelasigla SMSG (School Mathematics Study Group)feito na decada de 1960 por uma equipe de pro-fessores americanos dirigidos por Edward G. Be-gle. Aqui, mais uma vez fatos polıticos interfe-rem nos caminhos da Matematica.

Com o lancamento do primeiro satelite artificial pela extinta Uniao Sovietica, oGoverno Americano decidiu reformular o ensino de Ciencias nas escolas, nomeandoe financiando grupos de estudos para elaborar as propostas da reforma. SMSG foium dos grupos.

Logo apos a fixacao dos axiomas de Hilbert, o matematico americano OswaldVeblen (1880 − 1960) estabeleceu os axiomas da Geometria Projetiva na sua obraProjective Geometry em conjunto com John Wesley Young. Atualmente, o inglesH. M. S. Coxeter (1907 − ) e considerado o maior geometra sintetico, tendo varioslivros publicados na area.



Capıtulo 2

Arquitetura do textoUm dos nossos interesses ao apresentar o sistemaaxiomatico de Hilbert e deixar claro como estaraoorganizados ao longo do livro os topicos que estu-daremos. Daremos a seguir uma visao rapida da

estrutura didatica escolhida. Assumiremos que oleitor esta familiarizado com os principais resulta-dos de Geometria Euclidiana, pois as outras Ge-ometrias serao estudadas estabelecendo analogiascom ela.

2.1 Estrutura do livro

A primeira grande pergunta que surge e saber se

existe um conjunto que satisfaca os axiomas de Hilbert. O proprio sistema axiomati-co ja apresenta a resposta positiva.

Primeiro. O conjunto dos numeros reais, R, pode ser considerado uma retaEuclidiana modelo. Os grupos de axiomas de ordem, continuidade e congruencia,permitem estabelecer uma relacao biunıvoca entre o conjunto dos numeros reais eos pontos de qualquer reta E1. Assumiremos a identificacao pontos de uma reta e n´ umeros reais , como e apresentado aos estudantes do Ensino Medio, sem nenhumaformalizacao ou rigor.

Segundo. O produto interno canonico no espaco Rn, n = 2, 3, e uma ferramentaessencial, pois possibilita precisar varios termos indefinidos, como reta, congruencia,etc. bem como utilizar processos algebricos para verificar que aqueles conjuntossatisfazem, de fato, os axiomas de Hilbert. O produto interno seria o equivalentea regua e ao transferidor, simultaneamente. Como a linguagem escolhida para

a apresentacao do texto foi a linguagem vetorial iniciamos com um capıtulo de



12 CAPITULO 2. ARQUITETURA DO TEXTO

Algebra Linear.

Com isto, surge a Geometria Analıtica, que nao e um ramo da Geometria comoo termo nos induz a pensar, mas um poderoso metodo para solucionar problemas.Fixado um sistema de eixos cartesianos, podemos fazer uma identificacao canonicaentre um plano Euclidiano E2 com o conjunto algebrico R2 e entre um espaco

Euclidiano E3 com o R3. Tais identificacoes permitem transcrever varios problemasgeometricos para uma linguagem algebrica.

Alem disto, e possıvel construir e estudar modelos (superfıcies bidimensionais)para as outras principais Geometrias classicas surgidas a partir do historicamentecontrovertido Axioma das Paralelas.

Antecipemos que a ideia de continuidade estara sempre presente e sera utilizadosem formalizacao maior. Se denotamos por P2 um dos modelos, as retas r ⊂ P2

serao contınuas no seguinte sentido.

1. Tipo 1 As retas sao como retas Euclidianas: existe uma correspondencia

biunıvoca (e contınua) entre ela e os numeros reais.2. Tipo 2 Ao retirarmos um dos seus pontos o restante e como reta Euclidiana.

Portanto, podemos imagina-las como um cırculo usual.

As retas em cada modelo sao do mesmo tipo.

2.2 Genealogia

Como ressaltamos, o sistema axiomatico de Hilbert e organizado em cinco grupos:

1. incidencia;

2. ordem;

3. congruencia;

4. paralelismo;

5. continuidade.

As superfıcies que estudaremos sao criadas a partir desta divisao axiomatica. Postula-se grupos de axiomas, algumas vezes com pequenas modificacoes dos Axiomas deHilbert, para criar um modelo para a Geometria estabelecida.

A Geometra Projetiva e certamente a mais simples, com dois grupos axiomaticos,o de incidencia e o de continuidade.

Na Geometria Elıptica sao considerados todos os grupos, exceto o de ordem;

nega-se a existencia do paralelismo e nao e exigido a unicidade de intersecao deretas.



2.3. ISOMETRIA E CONGRUENCIA 13

Na Geometria Afim , eliminamos apenas o grupo de congruencia do sistemaaxiomatico de Hilbert, o restante pemanece igual ao da Geometria Euclidiana.

A Geometria Hiperb´ olica , que nao estudaremos aqui, tem todos os axiomas iguaisao da Geometria Euclidiana, exceto o postulado das paralales onde nao e exigida aunicidade.

Um esquema hereditario da Geometria mais simples para a mais complexa emtermos axiomaticos fica resumido nesta arvore genealogica.

Projetiva

Elıptica

Afim

Parabolica

(ou Euclidiana)

Hiperbolica

.

Isto provoca uma diferenca substancial entre elas sob varios aspectos, inclusive sobreas propriedades do polıgono mais simples, o triangulo. Um resumo das diferencas,levando em conta o postulado das paralelas, pode ser feito da seguinte forma.

a) Geometria Parabolica (ou Euclidiana): por um ponto fora de uma reta passaapenas uma reta paralela a ela. O modelo considerado sera o R2, ponto dereferencia em torno do qual o texto se desenvolve. Como sabemos, nestaGemetria a soma das medidas dos angulos internos de um triangulo e igual aπ.

b) Geometria Elıptica: por um ponto fora de uma reta nao passam retas paralelasa ela. Estudaremos como modelo a esfera unitaria S2. Neste caso, a soma das

medidas dos angulos internos de um triangulo e maior que π .c) Geometria Hiperbolica (Nao Euclidiana1) por um ponto fora de uma reta

passa mais de uma reta paralela a ela. Usualmente o modelo considerado eo disco unitario do plano Euclidiano, chamado de disco de Poincare. Aqui, asoma das medidas dos angulos internos de um triangulo e menor que π .

2.3 Isometria e Congruencia

As retas contidas nas superfıcies que examinaremos neste texto podem ser estabe-lecidas a partir de uma funcao distancia que, por sua vez, e uma funcao distanciainduzida do produto interno canonico do R3. Em ultima instancia, as retas sao

1Geometria Nao Euclidiana: e um termo introduzido por Gauss.




as geodesicas definidas e estudadas mais amplamente na Geometria Diferencial,embora este fato nao seja explorado.

Na Geometria sintetica, em geral, nao e considerado o conceito de distancia nosistema axiomatico. Nos modelos, a metrica esta ressaltada para realizar a ideia decongruencia, que e muito proxima ao conceito de distancia: dois segmentos de reta

(ou dois angulos) sao congruentes se existe uma isometria que aplica um segmentono outro (ou um angulo no outro). Veremos que todo o esforco para classificarisometrias fica restrito ao caso Euclidiano.O conjunto das isometrias de uma superfıcie forma umgrupo quando esta equipado com a operacao de com-posicao de funcoes. Ao definir uma distancia na su-perfıcie, nos aproximamos de abordagens mais recentespara o estudo de geometrias, seguindo a ideia do ma-tematico prussiano Felix Christian Klein (1849 − 1925),que descrevia a Geometria como o estudo das proprie-dades de uma figura que permaneciam invariantes sob a

acao de um particular grupo de transformacoes, no nossocaso, as isometrias.

A obsessao de Klein em fazer a analise sob o ponto de vista funcional permeouessa ideia por praticamente toda teoria que surgiu na Matematica ao longo do seculoXX. Ele foi o introdutor do termo Geometria Elıptica.

2.4 Leitura complementar

1. Axiomas da Geometria Euclidiana plana proposto por Hilbert [W-W].

I Termos indefinidos1. Ponto, reta, plano, pertence, esta entre e congruencia.

II Axiomas de incidencia

1. Para cada dois pontos distintos existe uma (unica) retaque os contem.

2. Toda reta contem pelo menos dois pontos.

3. Existem pelo menos tres pontos que nao estao sobre umamesma reta e todos os pontos estao sobre o mesmo plano.

III Axiomas de Ordem.

1. Se um ponto B esta entre A e C , entao os tres pontospertencem a uma mesma reta e B esta entre C e A.



2.4. LEITURA COMPLEMENTAR 15

2. Para quaisquer dois pontos distintos A e C , existe pelomenos um ponto B pertencente a reta AC tal que B estaentre A e C .

3. Se tres pontos distintos estao sobre uma mesma reta, naomais que um ponto esta entre os outros dois.

4. (Pasch) Sejam A, B e C tres pontos que nao estao sobreuma mesma reta e seja l uma reta do plano que nao contemalgum dos tres pontos. Entao, se l intercepta o segmentoAB, ela tambem intercepta o segmento AC ou o segmentoBC .

IV Axiomas de Congruencia

1. Se A e B sao dois pontos numa reta l e A e um outro pontode uma reta l, nao necessariamente distinta da anterior,entao e sempre possıvel encontrar um ponto B em (umdado lado da reta) l tais que os segmentos AB e AB saocongruentes ().

2. Se um segmento AB e um segmento AB sao congruentesa um mesmo segmento AB entao os segmentos AB e AB

sao congruentes entre si.

3. Sobre uma reta l, sejam AB e B C dois segmentos da mesmaque, exceto por B nao tem pontos em comum. Alem disto,sobre uma outra ou a mesma reta l , sejam AB

e B C dois

segmentos que, exceto por B nao tem pontos em comum.Neste caso, se AB AB e BC BC , entao AC AC .

4. Se ∠ABC e um angulo e se−−→BC e um raio, entao existe

exatamente um raio−−→AB em cada lado de BC tal que

∠A

B

A

∠ABC . Alem disto, cada angulo e congruentea si mesmo.

5. Se para dois triangulos ∆ABC e ∆ABC as congruenciasAB AB, AC AC e ∠BAC ∠BAC sao validas, entaoa congruencia ∠ABC ∠ABC e satisfeita.

V Axioma das Paralelas

1. Seja l uma reta e A um ponto nao em l. Entao existe nomaximo uma reta no plano que passa por A e nao inter-cepta l.


1. Axioma de Arquimedes: Se AB e CD sao segmentos, entaoexiste um numero natural n tal que n copias de CD con-




truıdas contiguamente de A ao longo do raio −−→AB passara

alem do ponto B.

2. Axioma da Completude da Reta: Uma extensao de um con-junto de pontos sobre uma reta com suas relacoes decongruencia e ordem que poderiam preservar as relacoes

existentes entre os elementos originais, bem como as pro-priedades fundamentais de congruencia e ordem que se-guem dos axiomas acima (menos o das Paralelas), e im-possıvel.

2. Axiomas da Geometria Euclidiana Espacial Devemos acrescentar unspoucos axiomas aos axiomas da Geometria plana, a maioria deles sobre existen-cia e incidencia. Nao separaremos por grupos. A Geometria Euclidiana Es-pacial algumas vezes tambem e chamada de Geometria Euclidiana Solida.

VII Axiomas sobre planos

1. Em todo plano existe ao menos tres pontos nao colinea-res.

2. Nem todos os pontos pertencem ao mesmo plano.

3. Tres pontos nao colineares pertencem a um unico plano.

4. Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, entaotoda a reta esta contida no plano.

5. Se dois planos tem um ponto em comum eles tem um se-gundo ponto em comum.

3. Aristoteles descendia de uma abastada famılia da Macedonia. Seu pai foramedico do avo de Alexandre, o grande. Estudou na Academia de Platao eali ficou ate a morte do fundador (± 347 aC), quando emigrou para a AsiaMenor, indo desposar Pıtia, a filha de um pequeno tirano da regiao. Com

a invasao e conquista da regiao pelos persas, emigrou para a ilha de Lesbosonde sua esposa morreu ao dar a luz a uma filha.



Parte II

ALGEBRA LINEAR



Capıtulo 3

O espaco vetorial Rn

Neste capıtulo, estudaremos os conjuntosalgebricos R2 e R3. Ressaltamos que discor-reremos sobre dois tipos de objetos, um delesalgebrico, o Rn, enquanto o outro e Euclidiano.

O terceiro objeto, a figura, serve apenas paraorganizar as ideias. Usaremos os termos func˜ ao eaplicac˜ ao com o mesmo significado. Esta parte dotexto e um extrato de [An2].

3.1 O conjunto Rn

Denotamos por Rn o conjunto das n-uplas ordenadas de numeros reais, ou seja,

Rn = (v1, v2,...,vn); vi ∈ R para todo inteiro i, 1 ≤ i ≤ n.

Os elementos deste conjunto sao chamados de pontos e, por simplicidade, muitas

vezes indicaremos um ponto de Rn como v = (v1, v2,...,vn). Num primeiro mo-mento, estes sao os conjuntos para os quais voltaremos nosso interesse. Observeque v = (v1, v2,...,vn) e w = (w1, w2,...,wn) sao iguais, v = w, se, e somentese, vi = wi para todo i = 1, 2,...,n. Para organizar a escrita utilizaremos letrasminusculas para indicar os pontos de Rn. Por exemplo,

a = (a1, a2,...,an), p = ( p1, p2,...,pn), w = (w1, w2,...,wn), etc.

A maior parte do texto esta relacionada com os conjunto R2 e R3, e por isto reserva-remos uma notacao especial para indicar seus elementos. Para o primeiro conjuntoindicaremos um par ordenado por v = (x, y) e uma tripla ordenada em R3 seraregistrada na forma v = (x,y ,z).

As ideias expressas pelos termos ponto, reta , plano e espaco empregadas na Geo-metria Euclidiana sao auto-explicaveis, nao suportam uma definicao. Denotaremos



20 CAPITULO 3. O ESPACO VETORIAL RN

uma reta, um plano e um espaco Euclidianos por E1, E2 e E3, respectivamente. Arelacao entre os conjuntos algebricos R1, R2 e R3 com aqueles e do conhecimentode todos, mas recapitulemos a construcao que justifica a existencia da GeometriaAnalıtica. Observamos que devemos distinguir o conjunto algebrico, o conjuntoEuclidiano e as figuras feitas no papel.

O conjunto das 1-upla ordenadas, R1 = (x); x ∈ R, e canonicamente identifi-cado com o conjunto dos numeros reais R. Nao distinguiremos uma 1-upla ordenada(x) ∈ R1 de um numero real x ∈ R. Para construir uma correspondencia um a umentre os numeros reais R e os pontos de uma reta Euclidiana E1, fixamos uma uni-dade e associamos a cada ponto de uma reta Euclidiana E1 um unico numero real,o qual e chamado de abscissa do ponto. Comisto, temos definido uma aplicacao P : R →E1, onde P (x) e o ponto da reta Euclidianacuja abscissa e x.

Seja (x, y) ∈ R2. Escolhidos dois eixos Cartesianos num plano Euclidiano E2,digamos ox e oy, definimos P : R2

→E2, onde P (x, y) e o ponto do plano Euclidiano

cuja abscissa e x e a ordenada e y. Reciprocamente, cada ponto no plano e associadoa um unico par ordenado. Fixado o sistema de eixos, o plano Euclidiano passa aser chamado de plano Cartesiano.

Da mesma forma, seja v = (x,y,z) ∈ R3. Fixados tres eixos Cartesianos em E3,ox, oy e oz , definimos a aplicacao P : R3 → E3, onde P (x,y,z) e o ponto do espacoEuclidiano tal que a abscissa e x, a ordenada e y e a altura e z . Certamente o leitoresta acostumado com a notacao P (x,y,z). Quando fixamos um sistema de eixosem E3 passamos a chama-lo de espaco Cartesiano.

Indicamos pontos de En, n = 1, 2, 3, por letras maiusculas. Por exemplo, U ∈ E2

significa um ponto do plano Euclidiano. Ao escrevermos U (2, 3) estamos supondoque ja fixamos os eixos Cartesianos e o ponto e imagem de u = (2, 3)

∈ R2, pela

aplicacao P : R2 → E2. Esta sera uma regra notacional. O ponto v = (v1, v2) tera



3.2. O ESPACO VETORIAL RN 21

sua imagem pela aplicacao P indicada por V (v1, v2) em lugar de P (v1, v2), o pontow = (w1, w2) tera sua imagem indicada por W (w1, w2), etc. Uma regra notacionalsimilar sera utilizada para R3.

Comentario Neste texto, nao estudaremos Geo-metria Analıtica, mas lancaremos mao de uns pou-

cos resultados desta disciplina que sao do conheci-mento de todos desde o Ensino Medio. No desen-volvimento da teoria nos depararemos com variossubconjuntos Γ ⊂ R2 definidos por uma equacaolinear homogenea, por exemplo, Γ = (x, y) ∈R2; x − 3y = 0.

Um tal conjunto tem como imagem pela aplicacao P : R2 → E2 uma reta quecontem a origem do plano Cartesiano cuja equacao linear homogenea que a define e amesma, P (x, y) ∈ E2; x−3y = 0. A identificacao e tao natural que continuaremosa designar pela mesma letra a imagem, Γ = P (x, y) ∈ E2; x − 3y = 0, embora osdois sejam subconjuntos de conjuntos diferentes.

Do mesmo modo, os subconjuntos do R3 definidospor uma equacao linear homogenea, por exemplo,Γ = (x,y,z) ∈ R3; x + y + z = 0, tem comoimagem pela aplicacao P : R3 → E3 um conjuntodefinido pela mesma equacao linear homogenea,P (x,y ,z) ∈ E3; x + y + z = 0. Como sabemos,este ultimo conjunto e um plano que contem a ori-gem do espaco Cartesiano. Tambem a imagem deΓ sera indicada pela mesma letra.

3.2 O espaco vetorial Rn

Em Rn definimos duas operacoes binarias, a soma de dois elementos e a multi-plicac˜ ao de um elemento por um escalar . Aqui, o termo escalar significa numeroreal. As operacoes sao definidas dos seguintes modos. Se v = (v1, v2,...,vn), w =(w1, w2,...,wn) ∈ Rn e λ ∈ R estabelecemos que

v + w = (v1 + w1, v2 + w2,...,vn + wn),

λv = (λv1, λv2,...,λvn).

Diz-se que as operacoes equipam Rn com uma estrutura de espaco vetorial e oselementos de Rn passam a ser chamados de vetores . Na secao Leitura Complementar

deste capıtulo e apresentada a definicao de espaco vetorial. O espaco Rn

possui todasas propriedades ali enumeradas.




Utilizamos uma terminologia propria quando estamos falando acerca do espacovetorial Rn. Por exemplo, escalar significa um numero real, como ja foi dito. Ovetor nulo e o vetor o = (0, 0,..., 0). Dois vetores v, w ∈ Rn sao colineares quandoexiste um escalar λ ∈ R tal que v = λw ou w = λv.

Anteriormente, exibimos uma identificacao entre os conjuntos Rn com os con-

juntos Euclidianos, En, para n = 1, 2, 3. Depois, definimos uma operacao de somade dois elementos e um produto de um elemento por um escalar em Rn, passandoa chama-los de espaco vetorial. Novamente, iremos interpretar geometricamenteos vetores para explicitar a existencia da estrutura algebrica em Rn. A diferencaentre o conjunto e o conjunto com a estrutura algebrica (espaco vetorial) e sutil masexiste, e a diferenca e visualizada utilizando-se segmento orientado.

Sejam R, S ∈ En. Um segmento orientado em En e opar ordenado (R, S ) que por conveniencias graficas e

indicado por −→RS , em lugar da notacao classica para

pares ordenados. Esta grafia registra a ideia de umaseta com ponto inicial em R e ponto final em S . O

conjunto de todos os segmentos orientados de En in-

dicamos sugestivamente por −→

E n.

Sejam R(r1, r2,...,rn) e S (s1, s2,...,sn) pontos de En.

Diz-se que o segmento orientado −→RS representa o ve-

tor v = (v1, v2,...,vn) ∈ Rn se, e somente se, as coor-denadas dos pontos e as coordenadas do vetor estaorelacionadas pelas equacoes como descrito ao lado

v1 = s1 − r1v2 = s2 − r2

. . .vn = sn − rn

.

Exemplo 3.2.1 Um vetor pode ser representado por varios segmentos orientados

diferentes. Vejamos duas representacoes para v = (1, 2) ∈ R2

. Se escolhermos ospontos R(2, 0) e S (3, 2) em E2, o segmento orientado

−→RS representa v pois

1 = 3 − 22 = 2 − 0

.

Se escolhermos os pontos U (1, 1) e V (2, 3) o segmento orientado −−→U V tambem re-

presenta o mesmo vetor v pois 1 = 2 − 12 = 3 − 1

.

O segmento orientado canonico para representar o vetor v = (v1, v2,...,vn) e

aquele que tem como ponto inicial a origem O e ponto final V (v1, v2,...,vn). Numalinguagem informal, dizemos que obtido um representante do vetor com ponto inicial



3.2. O ESPACO VETORIAL RN 23

a origem O, qualquer outro representante e obtido por transporte paralelo daquele.Feitas estas consideracoes passemos as contrucoes.

a) A representacao geometrica dos reais R e feita definindo-se a aplicacao −→

P :

R

→−→E 1, onde

−→P (x) e o segmento orientado

−−→OP cujo ponto inicial e a origem

O e o ponto final e o ponto da reta Euclidiana cuja abscissa e P (x) = x.

b) Da mesma forma, definimos uma representacao do espaco vetorial R2 estabe-

lecendo que a aplicacao −→

P : R2 → −→E 2 tem como regra:

−→P (x, y) e o segmento

orientado −−→OP cujo ponto inicial e a origem e o ponto final e P (x, y).

c) Similarmente, fazemos a representacao de um vetor do espaco vetorial R3,agora utilizando o espaco Cartesiano E3.

Comentario Dentre as muitas utilidades do determinante, existe uma interpreta-cao geometrica que sera utilizada ao longo do texto, embora nao seja demonstradaaqui. Aos vetores u = (u1, u2) e v = (v1, v2) em R2, associamos um parelogramonum plano Cartesiano, O U V P , cujos vertices sao O(0, 0), U (u1, u2), V (v1, v2) e

P (u1 + v1, u2 + v2). Observe que os segmentos orientados −−→OU e

−−→V P sao dois repre-

sentantes do vetor u e os segmentos orientados −−→OV e

−−→U P sao dois representantes

do vetor v. O valor absoluto do determinante da matriz cujas colunas sao as co-ordenadas dos vetores, | det[u, v]|, e o valor da area do paralelogramo. Quando odeterminante e nulo, significa que o paralelogramo e degenerado, nao tem o com-

primento ou nao tem altura. A diagonal do paralelogramo representa o vetor somau + v.




Da mesma forma, podemos interpretar o valor absoluto do determinante de umamatriz 3 × 3 construıda com tres vetores do R3, u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) ew = (w1, w2, w3), ou seja, o valor absoluto do determinante da matriz

[u,v,w] =

u1 v1 w1

u2 v2 w2

u3 v3 w3

,

como sendo o volume de um paralelepıpedo no espaco Cartesiano, construıdo de tal

forma que suas arestas sao obtidas pelo transporte paralelo dos segmentos orientadosrepresentando os tres vetores. A diagonal do paralelepıpedo representa a soma dostres vetores, u + v + w.

3.3 Subespaco vetorial

Dentre todos os subconjuntos de Rn alguns sao especiais, nao apenas para a com-preensao do texto, mas para a Algebra Linear como um todo. Sao os chamadossubespacos vetoriais.

Definicao 3.3.1 Diz-se que um subconjunto Γ ⊂ Rn e um subespaco vetorial

quando possuir as seguintes propriedades:1. Γ e um conjunto n˜ ao vazio;

2. se v, w ∈ Γ ent˜ ao v + w ∈ Γ; (fechado em relac˜ ao a soma de vetores)

3. se v ∈ Γ e λ ∈ R ent˜ ao λv ∈ Γ. (fechado em relac˜ ao ao produto por escalar)

Por simplicidade, diremos que Γ e um subespaco. O termo subespaco vetorialesta bem empregado, uma vez que o leitor pode verificar que Γ satisfaz todas ascondicoes listadas na definicao de espaco vetorial, ficando o prefixo sub por conta deΓ ser um subconjunto de Rn. Naquela definicao e exigido que o conjunto tenha umelemento neutro em relacao a soma de vetores. De fato, um subespaco Γ contem o

vetor nulo. Senao vejamos. Como Γ e nao vazio, escolhemos um vetor qualquer v ∈ Γe o escalar λ = 0. Pelo item 3, p odemos garantir que o produto λv = (0, 0,..., 0) ∈ Γ.



3.3. SUBESPACO VETORIAL 25

Destacamos dois exemplos de subespacos de Rn, a saber, o subespaco trivial constituıdo apenas pelo vetor nulo, Γ = (0, 0,..., 0), e aquele formado por todosos vetores, Γ = Rn. E claro, que estaremos tambem interessados em estudar ossubespacos pr´ oprios , aqueles que satisfazem a condicao

(0, 0,..., 0)

Γ Rn.

Empregaremos duas tecnicas para descrever um subespaco. A primeira lancandomao de equacoes lineares homogeneas.

Exemplo 3.3.1 Dado o subconjunto Γ = (x,y,z) ∈ R3; x − 2y + 3z = 0 ⊂ R3.

Verifica-se que Γ e um subespaco do R3 mostrando que ele possui as tres pro-priedades enumeradas na definicao de subespaco. Como a sentenca que define oconjunto Γ e a equacao linear homogenea com tres incognitas x − 2y + 3z = 0, oconjunto correspondente no espaco Cartesiano e um plano contendo a origem.

Para apresentar uma segunda maneira de descrever um subespaco e conveniente

fixar uma terminologia que sera empregada inumeras vezes.

Definicao 3.3.2 Diremos que um vetor w ∈ Rn e uma combinacao linear dos ve-tores v1, v2,...,vk ∈ Rn se existem escalares a1, a2,...,ak ∈ R, chamados coeficientesda combinac˜ ao linear, tais que w = a1v1 + a2v2 + · · · + akvk.

O conjunto formado por todos os vetores que sao combinacoes lineares dos ve-tores v1, v2,...,vk ∈ Rn sera indicado por [[v1, v2,...,vk ]] ⊂ Rn. Mais precisamente,

[[v1, v2,...,vk]] = w ∈ Rn; w = a1v1 + a2v2 + · · · + akvk, ai ∈ R.

Relacionemos os dois tipos acima de apresentacoes de subespacos.

Exemplo 3.3.2 Consideremos um subespaco definido por uma equacao linear ho-mogenea, digamos Γ = (x,y,z) ∈ R3; x − y + 3z = 0.

Facamos uma manipulacao algebrica. Um ve-tor v = (x,y ,z) pertence a Γ se, e somente se,v = (y − 3z ,y ,z). As igualdades

v = (y − 3z ,y ,z)

= (y,y, 0) + (−3z, 0, z)

= y(1, 1, 0) + z(

−3, 0, 1),

nos dizem que v e uma combinacao linear de




v1 = (1, 1, 0) e v2 = (−3, 0, 1). Isto mostra a inclusao Γ ⊂ [[v1, v2]]. Reciprocamente.Seja v = (x,y,z) ∈ [[v1, v2]]. Entao

(x,y,z) = v= a1v1 + a2v2

= a1(1, 1, 0) + a2(

−3, 0, 1)

= (a1 − 3a2, a1, a2).

E imediato concluir que v = (x,y ,z) satisfaz a equacao linear homogenea x = y −3z,pois y = a1, z = a2 e x = 2a1−3a2, Portanto, qualquer vetor v = (x,y,z) ∈ [[v1, v2]]tambem pertence a Γ. Isto mostra a inclusao [[v1, v2]] ⊂ Γ.

Observe que v1 ∈ [[v1, v2]] = Γ pois ele e a combinacao linear v1 = 1v1 + 0v2.Da mesma forma mostramos que v2 ∈ [[v1, v2]] = Γ.

Comentario Quando consideramos um unico vetor, v1 ∈ Rn, ao dizermos quew ∈ Rn e uma combinacao linear de v1 estamos apenas afirmando que w e ummultiplo de v1, em outras palavras, w = a1v1.

Proposicao 3.3.1 Sejam v1, v2,...,vk ∈ Rn. O conjunto das combinac˜ oes lineares destes vetores,

[[v1, v2,...,vk]] = w ∈ Rn; w = a1v1 + a2v2 + · · · + akvk, ai ∈ R,

e um subespaco vetorial de Rn.

A proposicao ensina um pouco mais. E facil construir subespacos vetoriais,basta escolher uma colecao nao vazia de vetores, v1, v2,...,vk ∈ Rn, e considerar oconjunto de todas as suas combinacoes lineares, [[v1, v2,...,vk ]].

Como sempre, fixado um conceito surgem as p erguntas. Dado um subespaco

Γ ⊂ Rn.

1. Existem vetores v1, v2,...,vk ∈ Rn tais que Γ = [[v1, v2,...,vk]]?

2. Se existem, qual o numero mınimo de vetores que podemos utilizar paradescreve-lo como subespaco de combinacoes lineares Γ = [[w1, w2,...,wl]]?

A resposta para a primeira pergunta e sim e o numero mınimo de vetores quepodemos utilizar chama-se de dimens˜ ao de Γ. Em portugues, dependendo do con-texto, a palavra dimens˜ ao transmite a nocao de comprimento, largura e altura.Fisicamente, dizemos que um segmento de reta tem comprimento, uma figura planacomo um retangulo tem comprimento e largura e um solido como um paralelepıpedotem comprimento, largura e altura. A nocao de dimens˜ ao de um subespaco transfere

estas nocoes fısicas para a Matematica, mas para transferı-la precisamos de termi-nologias apropriadas. Este e o objetivo das proximas secoes, definir e determinar a



3.4. INDEPENDENCIA LINEAR 27

dimensao de um subespaco, no sentido Matematico do termo. Antes de avancarmos,resumiremos o conteudo desta secao com um conceito.

Diz-se que um subconjunto ordenado β = v1, v2,...,vk ⊂ Rn e um conjuntoordenado de geradores do subespaco Γ ⊂ Rn quando β ⊂ Γ e Γ = [[v1, v2,...,vk]].

A segunda condicao p ode ser dita de outra forma: dado qualquer vetor w ∈ Γexistem escalares a1, a2,...,ak ∈ R tais que w = a1v1 + a2v2 + · · · + akvk.

A expressao ”subconjunto ordenado” significa que existe um primeiro elemento,e ele esta indexado por 1, um segundo elemento que esta indexado por 2, etc.Eventualmente, dois elementos podem ser iguais.

Deste ponto em diante, a menos que seja dito explicitamente o contr ario, pas-

samos a supor que os subespacos considerados Γ ⊂ Rn n˜ ao s˜ ao o subespaco trivial

e os conjuntos ordenados β = v1, v2,...,vk s˜ ao formados por vetores n˜ ao nulos.

Exercıcios propostos 3.1

1. Existem varias outras tecnicas para construir subespacos vetoriais. Por exemplo,mostre que se Γ1 e Γ2 sao dois subespacos vetoriais de Rn, entao a intersecao Γ1 ∩ Γ2

tambem o e.

2. Seja β = v1, v2,...,vk−1, vk um conjunto ordenado de Rn.

1. E verdade que vi ∈ [[v1, v2,...,vk]]?

2. Mostre que [[v1, v2,...,vk−1]] ⊂ [[v1, v2,...,vk−1, vk]].

3. Pode ocorrer a igualdade [[v1, v2,...,vk−1]] = [[v1, v2,...,vk−1, vk]]?

3.4 Independencia linear

Anteriormente, utilizamos o conceito de combinacao linear para dar significado aostermos ”conjunto ordenado de geradores de um subespaco vetorial Γ”. O proximopasso e classificar os conjuntos ordenados de geradores em dois tipos:

1. aqueles conjuntos com os quais expressamos cada vetor do espaco de maneiraunica, tecnicamente falando, os linearmente independentes ,

2. e aqueles que nao possuem esta propriedade, os linearmente dependentes .

Combinando os dois conceitos, geradores e independencia linear, definimos base ordenada de um subespaco,

Base ordenadaConjunto ordenado de geradores

eConjunto linearmente independente

.




Diremos que um conjunto ordenado β = v1, v2,...,vk ⊂ Rn e linearmente inde-pendente se a unica combinacao linear possıvel com os vetores de β para expressar ovetor nulo e a combinacao linear cujos coeficientes sao todos iguais ao escalar zero.Formalizemos estes comentarios numa definicao.

Definicao 3.4.1 Um conjunto ordenado β = v1, v2,...,vk ⊂ Rn e linearmente independente se, e somente se, (0, 0,..., 0) = a1v1 + a2v2 + · · · + akvk ent˜ ao a1 =a2 = · · · = ak = 0.

Chamamos a atencao para dois pontos.

1) Quando o conjunto ordenado e constituıdo de um unico vetor nao nulo, β =v1, ele e linearmente independente.

ii) Quando existe uma combinacao linear para o vetor nulo com coeficientes naotodos nulos, diremos que o conjunto ordenado β e linearmente dependente .

Uma das facilidades da Algebra Linear e que muitas propriedades gerais saoconhecidas examinando ap enas se o vetor nulo possui aquela propriedade. Este e ocaso da combinacao linear. Se soubermos que o vetor nulo e escrito de modo unicocomo uma combinacao linear, garantiremos que o mesmo ocorrera com todos osoutros vetores, e reciprocamente.

Existe uma cota superior para o numero de vetores de um conjunto ordenadolinearmente independente em Rn.

Proposicao 3.4.1 Seja β = v1, v2,...,vk ⊂ Rn um conjunto ordenado de vetores.Se k > n ent˜ ao β e linearmente dependente.

Um conjunto de geradores linearmente dependente de um subespaco pode sersimplificado, eleminando-se um determinado vetor e continuando com um conjuntode geradores.

Proposicao 3.4.2 Suponha que β = v1,...,vi,...,vk e um conjunto ordenado de vetores nao nulos de Rn. As seguintes afirmac˜ oes s˜ ao equivalentes:

a) O conjunto β e linearmente dependente;

b) Existe um vetor vi que e uma combinac˜ ao linear dos vetores v1, v2,...,vi−1;

c) [[v1,..., vi,...,vk]] = [[v1,...,vi,...,vk]] (o sinal vi indica que o vetor vi foi su-primido da lista).



3.5. BASE E DIMENSAO 29

O procedimento indicado na proposicao pode ser aplicado reiteradamente. Aosimplificar o conjunto ordenado de geradores β = v1,...,vi,...,vk retirando do conjunto o primeiro elemento vi que seja combinacao linear dos anteriores, concluımosque o subespaco das combinacoes lineares de

β i = v1,...,

vi,...,vk e o mesmo,

[[v1,..., vi,...,vk]] = [[v1,...,vi,...,vk]].

Ao conjunto ordenado de geradores β i, aplicamos o mesmo processo, retiramos oprimeiro elemento v j que seja combinacao lineares dos anteriores, e claro que j > i,

obtendo β ij = v1,..., vi,..., v j ,...vk e a igualdade dos subespacos das combinacoeslineares

[[v1,..., vi,... v j ,...,vk]] = [[v1,..., vi,...,vk]] = [[v1,...,vi,...,vk]]

No final do processo temos construıdo um conjunto ordenado de geradores, digamosα, contendo pelo menos o vetor v1 e gerando o mesmo subespaco original. Noconjunto α, um vetor qualquer nao e combinacao linear de seus antecessores. Comuma releitura da ultima proposicao na forma contrapositiva, concluımos que α eum conjunto linearmente independente.

3.5 Base e dimensao

Na secao anterior consideramos um subespaco [[v1, v2,...,vk]] e simplificamos o conjunto de geradores suprimindo alguns de seus vetores ate obter um conjunto degeradores linearmente independente para o subespaco. Tendo em vista aqueles co-mentarios fixaremos a seguinte terminologia e um corolario cuja demonstracao eimediata.

Definicao 3.5.1 Seja Γ um subespaco vetorial n˜ ao trivial de Rn. Uma base orde-

nada para Γ e um conjunto ordenado de geradores α ⊂ Γ linearmente independente.

Corolario 3.5.1 Dado o subespaco [[v1, v2,...,vk]] ⊂ Rn, podemos escolher um sub-conjunto α ⊂ v1, v2,...,vk que e uma base ordenada do subespaco.

A base canˆ onica do Rn e o subconjunto ordenado de n vetores C = e1, e2,...,ende Rn, onde

e1 = (1, 0,..., 0), e2 = (0, 1,..., 0), . . . en = (0, 0,..., 1).

Dado um subespaco Γ ⊂ Rn, podemos escolher, sucessivamente, vetores v1,v2,...,vk em Γ, linearmente independentes, ate obter uma base ordenada e concluir

que Γ = [[v1, v2,...,vk]]. Todo subespaco nao trivial do Rn

possui uma base, alias,podemos construir muitas bases para o subespaco.




Teorema 3.5.1 Seja Γ ⊂ Rn um subespaco n˜ ao trivial. Ent˜ ao existe uma base ordenada α = v1, v2,...,vk ⊂ Γ. Alem de Γ = [[v1, v2,...,vk ]] podemos afirmar:

a) o n´ umero de elementos de α e menor ou igual a n;

b) se o n´ umero de elementos de α e igual a n ent˜ ao Γ = Rn;

c) todas bases ordenadas de Γ tem o mesmo n´ umero de elementos.

O teorema acima permite a seguinte definicao.

Definicao 3.5.2 A dimens˜ ao de um subespaco n˜ ao trivial Γ ⊂ Rn e o n umero de elementos de uma de suas bases. A dimens˜ ao do espaco trivial e zero.

Pela definicao a dimensao de Rn e n. Com as tecnicas utilizadas acima p odemosdemonstrar que qualquer conjunto linearmente independente pode ser estendido auma base.

Corolario 3.5.2 Seja γ = v1, v2,...,vk uma base ordenada de um subespacopr´ oprio Γ Rn. Ent˜ ao existe uma extens˜ ao α = v1, v2,...,vk ,...,vn, que e uma base ordenada de Rn.

Comentario Vale um comentario sobre as dimensoes possıveis para os subespacosnao triviais do R2. Como todo subespaco Γ ⊂ R2 possui uma base ordenada β podemos escreve-lo como o subespaco das combinacoes lineares dos vetores de β .Mas sabemos que mais de dois vetores em R2 sao linearmente dependentes, portanto,sendo o conjunto linearmente independente, β tem um ou dois vetores. Quandoβ = v1 diz-se que Γ = [[v1]] tem dimensao um. Sua representacao no planoCartesiano e uma reta que contem a origem. Caso β = v1, v2, pelo visto noultimo teorema, podemos afirmar que Γ = R2. Recordamos que a base canonica deR2 tem dois elementos, logo sua dimensao e dois.

Quanto ao estudo das dimensoes possıveis para os subespacos nao triviais Γ ⊂ R3

os comentarios sao semelhantes. Se β e uma base ordenada de Γ podemos escreve-lo como o subespaco das combinacoes lineares dos vetores de β . Mas sabemos quemais de tres vetores em R3 sao linearmente dependentes, portanto β tem um, doisou tres vetores. Quando β = v1, Γ = [[v1]] tem dimensao um. Sua representacaono espaco Cartesiano e uma reta que contem a origem. Quando β = v1, v2, osubespaco Γ = [[v1, v2]] tem dimensao dois. A representacao de Γ e um plano quecontem a origem. Da mesma forma, Γ = R3 quando β tem tres elementos.

Existem varios algoritmos para detectar se um subconjunto ordenado de n ve-

tores do Rn

e uma base ordenada ou nao. Um muito pratico utiliza determinantes.Recordamos que




o determinante de uma matriz quadrada e igual a zero se, e somente se,uma coluna e combinac˜ ao linear de outras colunas.

Desta informacao decorre um criterio utilizado reiterada vezes ao longo do texto.Dado um conjunto ordenado de n vetores β =

v1, v2,...,vn

⊂ Rn para saber se

eles sao linearmente independentes ou nao, calculamos o determinante da matrizquadrada [v1, v2,...,vn] e verificamos se o determinante e diferente de zero ou nao.

Proposicao 3.5.1 Dado um conjunto ordenado de n vetores β = v1, v2,...,vn ⊂Rn. As seguintes afirmac˜ oes s˜ ao eq¨ uivalentes:

i) β = v1, v2,...,vn e uma base ordenada;

ii) det[v1, v2,...,vn] = 0;

iii) a1v1 + a2v2 + · · · + anvn = 0 se e somente se, a1 = a2 = · · · = an = 0.

A base ordenada tem orientac˜ ao positiva se det[v1, v2,...,vn] > 0, caso contrariodiremos que ela tem orientac˜ ao negativa .


1. Definicao de Espaco Vetorial Um espaco vetorial real consiste de

I Um conjunto V cujos elementos sao chamados de vetores.

II O corpo R cujos elementos sao chamados de escalares.

III Uma operacao chamada de adicao de vetores em que cada par de vetores

u, v ∈ V e associado ao vetor u + v ∈ V , chamado de soma de u e v,satisfazendo os seguintes axiomas:

a) a adicao e comutativa, u + v = v + u;

b) a adicao e associativa, (u + v) + w = u + (v + w);

c) existe um unico elemento 0 tal que v + 0 = v para todo v ∈ V ;

d) para cada vetor v ∈ V existe um unico vetor −v ∈ V tal que v +(−v) = 0.

IV Uma operacao chamada de multiplicacao por escalar em que um vetorv ∈ V e um escalar λ ∈ R sao associados ao vetor λv ∈ V , chamado deproduto de v por λ, satisfazendo os seguintes axiomas:

a) 1v = v para todo v ∈ V ;b) a multiplicacao por escalar e associativa, λ1(λ2v) = (λ1λ2)v;




c) a multiplicacao por escalar e distributiva em relacao a adicao devetores, λ(u + v) = λu + λv;

d) a multiplicacao por escalar e distributiva em relacao a adicao deescalares, (λ1 + λ2)v = λ1v + λ2v.



Capıtulo 4

Produto internoNo capıtulo anterior apresentamos um conjunto algebrico formado pelas n-uplasordenadas de numeros reais, Rn, e induzimos no conjunto uma estrutura de espacovetorial real. Nosso ob jetivo e relacionar Rn, n = 1, 2, 3 com a Geometria Euclidi-ana. Para isto, e conveniente introduzir uma funcao bilinear, chamada de produto

interno em Rn

que servira para estabelecer conceitos tais como medida de segmentose medida de angulos.

4.1 Produto interno e norma

Sejam v = (v1, v2,...,vn) e w = (w1, w2,...,wn) dois vetores de Rn. A aplicacao

, : Rn × Rn → R definida por v, w = v1w1 + v2w2 + · · · + vnwn,

e chamada de produto interno canˆ onico do Rn. Para simplificar a escrita, diremosapenas produto interno. Alguns texto tambem referem-se ao produto interno comoproduto escalar . Registremos as propriedades basicas do produto interno.

Proposicao 4.1.1 O produto interno , : Rn × Rn → R possui as seguintes propriedades para quaisquer vetores v, w ∈ Rn e qualquer escalar λ ∈ R:

P 1 v, v ≥ 0 e v, v = 0 ⇔ v = 0; (positiva definida)

P 2 v, w = w, v; (simetria)

P 3 v + w, u = v, u + w, u; (aditividade)

P 4 λv,w = λv, w. (linearidade)

Definido o produto interno, podemos iniciar a transposicao dos conceitos decomprimento, angulo e distancia originarias na Geometria. Iremos estudar nesta

secao a aplicacao : Rn → [0, +∞), v = v, v.



34 CAPITULO 4. PRODUTO INTERNO

O seu valor num vetor v ∈ Rn sera chamado de norma de um vetor. Se desejarmosescreve-la utilizando coordenadas do vetor, v = (v1, v2,...,vn), obtemos a expressao

v =

v21 + v2

2 + · · · + v2n.

O valor v e interpretado, geometricamente, como o comprimento de um segmento orientado −−→P Q que representa o vetor v ∈ Rn.

Diremos que um vetor v e unit´ ario quando v = 1.

Definicao 4.1.1 Diz-se que uma aplicac˜ ao : Rn → R e uma norma em Rn se a aplicac˜ ao possui as seguintes propriedades. Para quaisquer vetores u, v ∈ Rn e escalar λ ∈ R valem as afirmac˜ oes:

N 1 v 0 e v = 0 ⇔ v = 0; (positiva definida)

N 2 λv =| λ | v;

N 3 v + w ≤ v + w. (desigualdade triangular)

Recordamos que | λ | indica o valor absoluto de um numero real. Para de-monstrar as propriedades N 1, N 2, N 3, necessitamos de uma das mais importantedesigualdades associadas a um produto interno.

Teorema 4.1.1 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Sejam , : Rn × Rn →R o produto interno e : Rn → [0, +∞) a norma associada, v =

v, v.Ent˜ ao para quaisquer v, w ∈ Rn vale a desigualdade

| v, w |≤ vw,

e a igualdade ocorre se, e somente se, v e w s˜ ao vetores colineares.

Proposicao 4.1.2 (Norma associada) Seja , : Rn × Rn → R o produto in-terno. A aplicac˜ ao : Rn → R, v =

√ < v, v >, e uma norma.

4.2 Angulo entre vetores

A desigualdade de Cauchy-Schwarz, permite demonstrar que a norma associada aoproduto interno e de fato uma norma. Com a norma transpomos para o Rn a ideiade comprimento. Mas a desigualdade de Cauchy-Schwarz tambem permite definirmedida de angulos. A unica informacao extra que necessitaremos e bem conhecida,

para cada t ∈ [−1, 1] existe um unico θ ∈ [0, π] tal que cos θ = t.




Exemplo 4.2.2 Seja Γ ⊂ R3, definido por uma equacao linear homogenea, agoracom tres variaveis. Por exemplo, examinemos o subespaco Γ = (x,y,z) ∈ R3; x −3y + 7z = 0. Denotando por η = (1, −3, 7) o vetor do R3 formado pelos coeficientesda equacao, o subespaco pode ser descrito como sendo aquele formado por todosvetores v = (x,y,z) que sao ortogonais ao vetor η. Explicitamente, Γ =

v =

(x,y,z) ∈ R3; v, η = 0. Novamente, o vetor η e dito ser o vetor normal aosubespaco Γ.

Deixaremos para a proxima secao o estudo de subespacos propios do R3 definidospor duas equacoes lineares homogeneas. Recordamos que o sımbolo δ ij chama-sedelta de Kronecker e seu significado e

δ ij =

1 se i = j0 se i = j

.

Um conjunto ordenado γ = v1, v2,...,vk ∈ Rn e dito ser um conjunto orto-normal quando para todos 1 ≤ i, j ≤ k vale vi, v j = δ ij. Em outras palavras, o

conjunto e formado por vetores unitarios dois a dois ortogonais. Quando o conjuntoordenado γ e uma base ordenada de Rn (portanto k = n), chamaremos γ de base ortonormal . Por exemplo, a base canonica do Rn e ortonormal.

4.3 Produto vetorial em R3

O espaco Euclidiano R3 admite uma operacao especial entre dois vetores chamadode produto vetorial . Sejam v e w vetores de R3. O produto vetorial de v por w,denotado por v × w, e o vetor em R3 tal que para qualquer vetor u ∈ R3, vale aidentidade

u, v

×w

= det[u,v,w].

O produto vetorial goza de varias propriedades importantes. A seguir, relacionare-mos algumas delas e um algoritmo para calcular o produto vetorial de dois vetores.

Proposicao 4.3.1 Sejam v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3) vetores de R3. Ent˜ ao:

i) v × w e perpendicular aos vetores v e w, simultaneamente;

ii) o produto vetorial de v por w e calculado pelo algoritmo

v × w =

det

v2 w2

v3 w3

, − det

v1 w1

v3 w3

, det

v1 w1

v2 w2

;

iii) v × w2 = det[v,w ,v × w] ≥ 0.



4.3. PRODUTO VETORIAL EM R3 37

Exemplo 4.3.1 Apresentaremos um outro algoritmo para avaliar mais rapida-mente o produto vetorial e diminuir erros de calculo. Sejam v = (3, 1, −4) ew = (0, 2, 1) dois vetores do R3. Para avaliarmos v × w, calculamos, formalmente,o determinante de uma matriz do tipo [e,v,w], onde este sımbolo significa

[e,v,w] = e1 3 0

e2 1 2e3 −4 1

.

Portanto, ao desenvolver o determinante pela primeira coluna e obtido

v × w = det[e,v,w] = 9e1 − 3e2 + 6e3 = (9, −3, 6).

Verifica-se facilmente que v, v × v = 0 e que w, v × w = 0.

Examinemos o conteudo geometrico do item iii)da proposicao, v×w2 = det[v,w ,v×w] = 126.Como comentado no capıtulo anterior, o valorabsoluto de det[v,w ,v × w] e o volume do pa-ralelepıpedo no espaco Cartesiano construıdo de

tal forma que as arestas sao segmentos orientadosrepresentando os vetores v, w e v × w. Observeque o segmento orientado representando o vetorv×w e p erpendicular a base e esta base e o para-lelogramo cujos lados sao segmentos orientadosrepresentando os vetores v e w .Sendo assim, como o volume e a area da base multiplicado pela altura h = v × we o volume e ||v × w||2, segue que, geometricamente, a norma do vetor v × w e aarea do paralelogramo cujos lados sao segmentos orientados representando v e w.

Exemplo 4.3.2 Sejam Γ1 = (x,y,z) ∈ R3; x −y + z = 0 e Γ2 = (x,y,z) ∈ R3; 2x + y + z = 0dois subespacos do R3. Como sabemos eles temdimensao dois (sao plano) e sao formados porvetores ortogonais aos vetores η1 = (1, −1, 1) eη2 = (2, 1, 1), respectivamente. A intersecao Γ1∩Γ2

tambem e um subespaco e tem dimensao um (euma reta) e seus vetores sao simultaneamente or-togonais aos vetores normais η2 e η2. Logo, qual-quer vetor na intersecao e colinear com o produtovetorial η1 × η2 = (−2, 1, 3). Portanto, Γ1 ∩ Γ2 =[[η1 × η2]].

Proposicao 4.3.2 (Formula de Lagrange) Para quaisquer dois vetores v e w




do R3 vale a identidade

v × w2 = v2w2 − v, w2.

Em particular, se θ(v, w) e a medida do ˆ angulo entre os vetores v e w, ent˜ ao

v

×w

=

v

w

senθ(v, w).

Exercıcio 4.3.1 Existem varias relacoes entre os produtos interno e vetorial. De-monstre algumas delas.

1. (u × v) × w = u, wv − v, wu. (Produto vetorial duplo)

2. u, v × w = w, u × v = v, w × u. (Identidade cıclica)

3. u × v, w × t = det

u, w u, tv, w v, t

. (Identidade de Lagrange)


1. Mostre as identidades utilizando propriedades de determinantes.

(a) u × (v + w) = u × v + u × w.

(b) u × v = −v × u.

2. Sejam u e v vetores unitarios e perpendiculares de R3. Mostre que β = u,v,u × ve uma base ortonormal.

3. Dados quatro vetores t, u,v, w ∈ R3, e verdade que (t×u)×(v×w) = (t×v)×(u×w)?

4. Sejam v, w ∈ R3 vetores nao nulos e u ∈ R3 um vetor unitario tal que u ⊥ v e u ⊥ w.Mostre que o angulo entre os vetores v e w e igual ao angulo entre os vetores u × ve u

×w, em outras palavras, θ(v, w) = θ(u

×v, u

×w). Interprete geometricamente

fazendo uma figura. Generalize o resultado. E necessario que u seja unitario? Enescessario que u seja perpendicular aos outros dois vetores?

5. Mostre que dados os vetores v e w em R3, entao v × w = 0 se, e somente se, v e wsao colineares.



Capıtulo 5

Transformacoes linearesFaremos uma rapida revisao de transformacoes lineares enfatizando os algoritmosclassicos relacionando transformacoes lineares e matrizes. Uma transformacao linearcujo domınio e contradomınio sao iguais e chamada de operador linear .

5.1 Transformacoes lineares

Diz-se que uma aplicacao A : Rm → Rn e uma transformac˜ ao linear se para quais-quer vetores v, w ∈ Rn e para qualquer escalar λ ∈ R as seguintes condicoes saoverificadas:

1. A(v + w) = A(v) + A(w);

2. A(λv) = λA(w).

Uma transformacao linear possui duas propriedades basicas, quais sejam, A(o) = oA(

−v) =

−A(v), qualquer que seja v

∈Rn.

Exemplo 5.1.1 Seguem exemplos para o leitor familiarizar-se com o conceito.

1. Verifica-se utilizando a definicao que a aplicacao A : R2 → R2, A(x, y) =(−x, 3y), e uma transformacao linear.

2. A : R2 → R3, A(x, y) = (3x + y, x − y, x + y), e uma transformacao linear.

Construir ou identificar transformacoes lineares e bastante simples. Suponhaque A : Rm → Rn seja uma transformacao linear. Como sabemos um vetor v =(x1, x2,...,xm) no domınio da transformacao linear e uma combinacao linear dos

elementos da base canonica C = e1, e2,...,em, a saber, v = x1e1+x2e2+· · ·+xmem.Utilizando a definicao de transformacao linear temos que



5.2. MATRIZ 41

5.2 Matriz

Como vimos, uma transformacao linear A : Rm → Rn fica completamente determi-nada quando conhecemos os valores de A na base canonica, A(e1), A(e2),...,A(em).Por este e outros motivos guardamos os valores A(ei), i = 1,...,m, numa matriz.

Definicao 5.2.1 Seja A : Rm → Rn uma transformac˜ ao linear. A matriz canonicaassociada e a matriz n × m denotada e definida por

[A] = [A(e1), A(e2),...,A(em)].

Exemplo 5.2.1 Seja A : R3 → R3, A(x,y,z) = (x − z, −2x + 2y + 4z, −y + 2z).Nao e difıcil verificar que A e um operador linear. A matriz 3×3 do operador lineare obtida avaliando

A(1, 0, 0) = ( 1, −2, 0),

A(0, 1, 0) = ( 0, 2, 1),A(0, 0, 1) = (−1, 4, 2).

Logo, a matriz e [A] = 1 0 −1

−2 2 40 −1 2

.

Ressaltamos que conhecida a matriz [A] recuperamos a transformacao.

Exemplo 5.2.2 Suponha que a matriz de um operador linear A : Rm → Rn seja

[A] =

10 −1−2 31

0 5

, entao

1. A : R2 → R3,

2. A(x, y) = (10x − y, −2x + 31y, 5y).

Exemplo 5.2.3 Calculemos a matriz canonica associada ao operador linear A :R3 → R3, A(x,y,z) = (2x − 3y, x + y − z, y − 4z). Avaliando

A(e1) = (2, 1, 0)A(e2) = (−3, 1, 1),A(e3) = (0, −1, −4),

obtemos a matriz 3 × 3

[A] =

2 −3 01 1 −10 1 −4

.

Avancemos um pouco mais. Considere os vetores

u = (1, 1, 0), v = (−

1, 2, 1), w = (0, 3,−

2).

Existe uma relacao entre as matrizes [A(u), A(v), A(w)], [A] e [u,v,w]. Como



42 CAPITULO 5. TRANSFORMAC OES LINEARES

A(u) = (−1, 2, 1), A(v) = (−8, 0, −2), A(w) = (−9, 5, 11),

temos a sequencia de igualdades matriciais,

[A(u), A(v), A(w)] = −1 −8 −9

2 0 −

51 −2 11

=

2 −3 01 1 −10 1 −4

1 −1 01 2 30 1 −2

= [A][u,v,w].

Registraremos o algoritmo acima pois sera explorado p osteriormente.

Proposicao 5.2.1 Seja A : Rm

→ Rn

uma transformac˜ ao linear e u1, u2,...,um ∈Rm. Valem as seguintes afirmac˜ oes.

a) [A(u1), A(u2),...,A(um)] = [A][u1, u2,...,um].

b) Se m = n ent˜ ao as matrizes descritas no item anterior s˜ ao quadradas e

det[A(u1), A(u2),...,A(um)] = det[A]det[u1, u2,...,um].

Comentario O ultimo item da proposicao contem uma informacao geometricarelacionada com operadores lineares que nao esta explicitada no enunciado. Exa-

minemos o caso do operador linear A : R2

→ R2

, A(x, y) = (2x − y, x + y). ´E facilcalcular o determinante de [A], seu valor e det[A] = 3. Este e o fator de trans-

formacao de area, no seguinte sentido. Considere a area de um paralelogramo cujasarestas sao segmentos orientados que representam os vetores v e w. Como sabemoso valor da area e | det[v, w]|. O operador linear A transforma este paralelogramonum outro cujas arestas sao representantes dos vetores A(v) e A(w). A area desteultimo paralelogramo e |det[A(v), A(w)]|. O determinante det[A] = 3 e o fator querelaciona as areas do paralelogramo no domınio e a area do paralelogramo imagem,| det[A(v), A(w)]| = | det[A] det[v, w]|.

Para operadores lineares A : R3 → R3 a interpretacao e semelhante. O valor| det[A]| e o fator de transformacao de volumes quando consideramos um parale-

lepıpedo cujas arestas sao segmentos orientados representando os vetores u, v, w ∈R3.



5.3. OPERAC OES 43

Exemplo 5.2.4 E possıvel calcular a matriz de uma transformacao linear A :Rm → Rn utilizando o produto interno. Mostre que as entradas da matriz [A] = [aij]sao determinadas por aij = ei, A(e j ).

Para avancar no entendimento de transformacoes lineares precisaremos de umresultado, conhecido como Teorema do nucleo e da imagem, do qual decorrem muitoscorolarios. Intuitivamente falando, a dimensao do nucleo de A : Rm → Rn, estamedindo o quanto de dimensao foi perdida quando transformamos linearmente Rm

no subespaco I m(A) do contradomınio Rn.

Teorema 5.2.1 (Teorema do nucleo e da imagem) Seja A : Rm → Rn uma transformac˜ ao linear. Ent˜ ao

dim Rm = dim Nuc(A) + dim Im(A).

5.3 Operacoes

Sejam A, B : Rm → Rn duas transformacoes lineares. Ressaltamos que o domınio eo contradomınio de ambas sao os mesmos. Definimos a aplicacao soma das trans-formacoes lineares, A + B : Rm → Rn, por (A + B)(v) = A(v) + B(v). A novaaplicacao linear assim construıda e tambem uma transformacao linear.

Dado um escalar µ ∈ R, definimos a aplicacao multiplicacao µA : Rm → Rn,por (µA)(v) = µA(v). E rotina verificar que µA e uma transformacao linear.

Proposicao 5.3.1 Sejam A, B : Rm → Rn duas transformac˜ oes lineares e λ ∈ R.

Ent˜ ao vale a relac˜ ao matricial [A − λB] = [A] − λ[B].

Uma outra operacao que efetuamos com transformacoes lineares e a composic˜ ao.Se A : Rm → Rn e C : Rn → Rk sao duas transformacoes lineares, construımos umaoutra transformacao linear denotada por C A : Rm → Rk, chamada de compostade C e A, definindo

C A

(v) = C (A(v)) para cada vetor v ∈ Rm. Para efetuar a

operacao de composicao e necessario que o contradomınio de A seja o domınio deC . A composta e tambem uma transformacao linear. Observe a relacao entre asmatrizes [C A] [C ], [A] descrita na proposicao abaixo.

Proposicao 5.3.2 Sejam A : Rm

→ Rn e C : Rn

→ Rk duas transformac˜ oes

lineares. Entao a composta C A : Rm → Rk e uma transformac˜ ao linear e sua matriz e [C A] = [C ][A].




5.4 Invertibilidade

A operacao de composicao nos p ermite fixar um novo conceito. Uma transformacaolinear A : Rm → Rn e invertıvel se existe uma aplicacao B : Rn → Rm tal que

B

A = I d : Rm

→Rm, e A

B = I d : Rn

→Rn.

Aqui, o sımbolo Id indica a aplicacao identidade do espaco considerado. Quandoexiste uma tal aplicacao diremos que B e a inversa de A e denotaremos a aplicacaoinversa por A−1 : Rn → Rm.

Da Teoria de conjuntos sabemos que uma funcao entre dois conjuntos e invertıvelse, e somente se, a funcao e biunıvoca. Logo, por um criterio para sobrejetividade einjetividade citado anteriormente, podemos afirmar que uma transformacao linearA : Rm → Rn e invertıvel se, e somente se, Im(A) = Rn e N uc(A) = 0. Peloteorema do nucleo e da imagem, segue que m = n. Temos provado a

Proposicao 5.4.1 Uma transformac˜ ao linear A : Rm → Rn, e invertıvel, se, e

somente se, Im(A) = R

n

e Nuc(A) = 0. Em particular, se A e invertıvel ent aom = n.

Quando A : Rn → Rn e invertıvel, sua matriz [A] e uma matriz quadrada n × n.E mais, a matriz da inversa A−1 : Rn → Rn, tambem e uma matriz quadradan × n e valem as igualdades matriciais [Id] = [A A−1] = [A] [A−1]. No que segue,desejamos relacionar transformacoes lineares invertıveis com matrizes quadradas invertıveis . Uma matriz quadrada n × n, digamos M , e invertıvel quando existeuma matriz n × n, N , tal que o produto de ambas, nao importa a ordem, e a matrizidentidade n × n,

M N = N M = 1 0 · · · 0

0 1 · · · 0· · ·0 0 · · · 1

.

Neste caso, seguiremos a notacao N = M −1. Informamos que

uma matriz quadrada e invertıvel se, e somente se, o seu determinante e n˜ ao nulo.

Proposicao 5.4.2 Se A : Rn → Rn e invertıvel, ent ao valem as afirmac˜ oes:

a) s´ o existe uma inversa para A;

b) a inversa A−1 e uma transformac˜ ao linear;

c) a matriz de A e uma matriz invertıvel n × n e [A−1] = [A]−1.



5.5. OPERADORES LINEARES 45

O ultimo item do teorema ensina como explicitar a inversa de uma transforma caolinear invertıvel. Devemos ter em maos a matriz da transformacao linear [A] que equadrada, inverter a matriz, [A]−1, e recuperar a transformacao linear A−1. Existemvarios algoritmos para inverter matrizes quadradas. O leitor pode escolher um deles.

Corolario 5.4.1 Seja A : Rn → Rn uma transformac˜ ao linear. Ent˜ ao as seguintes afirmac˜ oes s˜ ao equivalentes:

a) A e invertıvel;

b) Nuc(A) = 0;

c) Im(A) = Rn;

d) a imagem por A de uma base de Rn e uma base de Rn.

5.5 Operadores lineares

O restante do capıtulo e dedicado aos operadores lineares e tem como ob jetivo finalapresentar o Teorema espectral, ultimo teorema de qualquer livro texto introdutorioa Algebra Linear. Antes, veremos como podemos contruir operadores lineares espe-cificando seus valores numa base qualquer, e nao apenas na base canonica.

Como visto anteriormente, para construir um operador linear A : Rn → Rn

basta estabelecer os valores de A nos vetores da base canonica C = e1, e2,...,en.Recapitulemos os procedimentos para n = 3. Se v = (x,y,z) e um vetor do R3 edesejamos que A seja um operador linear devemos ter

A(x,y,z) = A(xe1 + ye2 + ze3) = xA(e1) + yA(e2) + zA(e3).

Portanto, basta estabelecermos os valoresA(e1) = u, A(e2) = v, A(e2) = w,

para definir o operador linear e obter imediatamente a sua matriz na base canonica,

[A] = [A(e1), A(e2), A(e3)] = [u,v,w].

Quando o conjunto u,v,w for uma base de R3 o operador linear e invertıvelpois o conjunto u,v,w sendo uma base temos que 0 = det[u,v,w] = det[A]. Porum criterio mostrado anteriormente, garantimos que A e invertıvel.

Podemos ir um pouco mais longe com a construcao. Coloquemos a questao.

Questao Construir um operador linear C : R3 → R3 que aplica uma baseordenada α =

u,v,w

num conjunto ordenado β =

u, v, v

.

Solucao Basta seguir os procedimentos abaixo.




1o Construımos um operador linear A que aplica a base canonica C = e1, e2, e3na base α = u,v,w. Neste caso, como sabemos, a matriz e [A] = [u,v,w].

2o Construımos um operador linear B que aplica a base canonica C = e1, e2, e3no conjunto ordenado β = u, v, v. Neste caso, a matriz e [B] = [u, v, v].

3o

Consideramos o operador linear cuja matriz na base canonica e [C ] = [B][A]−1

.

E claro que se o conjunto β tambem for uma base, o operador e invertıvel.

5.6 Autovalores e autovetores

Nesta secao examinaremos a seguinte pergunta:

Dado um operador linear A : Rn → Rn. Existe um vetor n˜ ao nulo v ∈ Rn e um escalar λ ∈ R tal que A(v) = λv?

Antes de tudo, fixemos alguns termos.

Definicao 5.6.1 Quando existe um vetor n˜ ao nulo v ∈ Rn e existe um escalar λ ∈ R tais que A(v) = λv, diremos que o vetor v e um autovetor de A associadoao autovalor λ.1

Existe um procedimento padrao aplicado a qualquer operador A : Rn → Rn

para calcular seus autovetores e autovalores. Consideramos o operador identidadeId : Rn → Rn e fazemos uma pergunta equivalente aquela feita no inıcio da secao.

Existe um escalar λ tal que o n´ ucleo de λId − A : Rn → Rn e nao trivial?

De fato, se o nucleo de λI d−A nao for trivial, existe um vetor nao nulo v pertencente

ao nucleo, isto e, λI d(v)−A(v) = 0, de onde concluımos que A(v) = λv. A recıprocatem verificacao imediata. Nesta altura da teoria, temos condicoes de responder aultima pergunta.

Existir´ a um escalar λ se, e somente se, λId − A e um operador n˜ ao invertıvel!

Em outras palavras, podemos responder da seguinte forma:

Existir´ a um escalar λ se, e somente se, det[λId − A] = 0!

Definicao 5.6.2 Seja A : Rn → Rn um operador linear.

a) O n´ ucleo do operador linear λId − A : Rn → Rn, e chamado de autoespacoassociado a λ, e iremos registr´ a-lo como V λ =

v

∈Rn; A(v) = λv

.

1Em alguns livros encontramos a terminologia valor pr´ oprio e vetor pr´ oprio.



5.7. TEOREMA ESPECTRAL 47

b) O polinˆ omio de grau n, p(λ) = det[λId − A], e chamado de polinomio carac-terıstico de A.

Fixados os termos acima, reescrevamos a resposta de outra meneira:

Existir´ a um vetor n˜ ao nulo v ∈ Rn

tal que A(v) = λv se, e somente se, λ for uma raiz real do polinˆ omio caracterıstico de A!

Recordemos que, sendo V λ um subespaco, podemos encontrar uma base orde-nada de autovetores, isto e, podemos escrever V λ = [[v1, v2,...,vk]], onde A(vi) = λvi

e αλ = v1, v2,...vk e uma base ordenada para o subespaco.

Sendo o polinomio caracterıstico de um operador linear A : Rn → Rn um po-linomio com grau n, pode ocorrer que suas raızes reais sejam distintas ou nao.Portanto, pode ocorrer um numero de autovalores entre 0 e n, inclusive, contadasas repeticoes.

Lema 5.6.1 Sejam A : Rn

→ Rn

um operador linear e β = v1, v2,...,vk um conjunto formado por autovetores de A associados aos autovalores λ1, λ2,...,λk,respectivamente. Se os autovalores s˜ ao distintos dois a dois entao β e um conjuntolinearmente independente.

5.7 Teorema espectral

Existe uma classe de operadores lineares A : Rn → Rn cujo polinomio caracterısticopossui todas as raızes reais. Para descreve-los, necessitamos do produto interno.

Para cada operador linear A : Rn → Rn, desejamos construir um outro operador

linear, chamado de operador transposto de A, denotado por At

: Rn

→ Rn

, quepossua a propriedade

v, A(w) = At(v), w,

para quaisquer v, w ∈ Rn. Para identificar matricalmente o operador linear At,observamos que as entradas da matriz [A] = [aij] (ou qualquer outra matriz de umatransformacao linear) sao determinadas por aij = ei, A(e j ). Logo, as entradas bij

da matriz [At] devem ser

bij = ei, At(e j) = At(e j), ei = e j, A(ei) = a ji.

Portanto, a matriz do operador transposto de A e a transposta da matriz de A,e registramos esta afirmacao notacionalmente como [At] = [A]t. Como existe uma

correspondencia biunıvoca entre operadores lineares em Rn

e matrizes n×n, tambemmostramos que o operador transposto de A e unico.




Diz-se que um operador linear A : Rn → Rn e simetrico se sua matriz [A]e simetrica. Segue dos comentarios acima que se A e simetrico vale a igualdadev, A(w) = A(v), w para quaisquer dois vetores v, w ∈ Rn.

Na ultima secao, tomamos conhecimento que autovetores associados a auto-valores distintos sao linearmente independentes. Quando o operador e simetrico

podemos afirmar mais.

Lema 5.7.1 Sejam A : Rn → Rn um operador linear simetrico e β = v1, v2,...,vkum conjunto formado por autovetores de A associados aos autovalores λ1, λ2,...,λk,respectivamente. Se os autovalores s˜ ao distintos dois a dois entao os vetores de β s˜ ao ortogonais dois a dois.

A existencia de uma base ortonormal de autovetores de um operador linearsimetrico e um dos mais importantes teoremas de Algebra Linear.

Teorema 5.7.1 (Teorema espectral) Se o operador linear A : Rn

→ Rn

e sime-trico ent˜ ao:

a) o polinˆ omio caracterıstico do operador linear, p(t) = det[tId − A], possui nraızes reais, contando as repetic˜ oes, λ1, λ2,...,λn;

b) existe uma base ortonormal de autovetores u1, u2,...,un, onde A(ui) = λiui.

Um operador linear simetrico A : Rn → Rn e dito ser positivo quando v, A(v) >0, qualquer que seja o vetor nao nulo v ∈ Rn. O leitor pode mostrar que um operadorlinear simetrico e positivo se, e somente se, todos os seus autovalores sao positivos.Definimos um operador linear simetrico negativo de forma analoga e concluımos que

todos os seus autovalores sao negativos.



50 CAPITULO 6. ISOMETRIAS DO RN

6.1 Translacoes

Sabemos calcular o comprimento de vetores de Rn utilizando a norma . Agora,iremos considerar uma funcao d : Rn × Rn → R, chamada de distˆ ancia , cuja in-terpretacao geometrica e medir a distancia entre dois pontos do conjunto Rn. Por

definicao ela sera d(v, w) = w − v.

Geometricamente a distancia entre os pontos v e w e o comprimento do segmento

orientado −−→V W . Se v = (v1, v2,...,vn) e w = (w1, w2,...,wn) entao podemos escreve-

la na forma

d(v, w) =

(w1 − v1)2 + (w2 − v2)2 + · · · + (wn − vn)2.

Proposicao 6.1.1 A aplicac˜ ao d : Rn → R, d(v, w) = w − v, e uma distˆ ancia.

A demonstracao ficara como exercıcio. O restante deste capıtulo sera dedicadoa estudar as isometrias de Rn em relacao a esta distancia. Vejamos um primeirotipo de isometria.

Fixado um vetor a ∈ Rn. Uma translac˜ ao por a e a funcao T a : Rn → Rn,T a(v) = v + a. Verifiquemos que uma translacao e uma isometria do Rn:

d(T a(u), T a(v)) = T a(v) − T a(u) = (v + a) − (u + a) = v − u = d(u, v).

Isto mostra que T a preserva distancia. Examinemos a injetividade. Suponha queT a(u) = T a(v). Como u + a = v + a, e imediato concluırmos que u = v. Paramostrar a sobrejetividade considere w ∈ R3. E claro que que T a(w − a) = w.


1. Explicite T a+b : R3 → R3 quando a = (1, 1, 2) e b = (3, −1, 2).

2. Dadas as translacoes T a : Rn → Rn e T b : Rn → Rn. Prove que T a T b e T −a saotranlacoes e que T −a e a inversa de T a. E verdade que T a T b = T b T a?

3. Dados os vetores u0 = (1, 2, 1) e v0 = (−1, 1, 0) determine uma translacao T a : R3 →R3 tal que T a(u0) = v0.

4. Dados quaisquer dois pontos u0, v0 ∈ R3, mostre que existe uma unica translacaoT : R3 → R3 tal que T (u0) = v0.

5. Verifique que o operador linear U : R3 → R3 e isometria quando

a) U (x,y,z) = (x , z , y); b) U (x,y,z) = (z,x,y).

6. Sejam f : R3 → R3 e g : R3 → R3 isometrias. Prove que a composta f g : R3 → R3

e uma isometria.




Prova ⇒) Iniciemos mostrando o item a). Faremos a demonstracao para aplicacoesortogonais em R3, mas ela e analoga para o Rn. Seja C = e1, e2, e3 a base canonicado R3. Por definicao de aplicacao ortogonal temos

< U (ei), U (e j ) >=< ei, e j >= δ ij.

Isto significa que o conjunto U (β ) = U (e1), U (e2), U (e3) e um conjunto ortonor-mal. Recordando que para verificarmos que o conjunto de tres vetores U (β ) ⊂ R3 euma base basta verificarmos que seja linearmente independente. Vamos supor queexistam escalares a1, a2, a3 tais que a1U (e1) + a2U (e2) + a3U (en) = o. Calculandoo produto interno de U (e j) com o vetor nulo temos que

0 = o, U (e j )= a1U (e1) + a2U (e2) + a3U (e3), U (ei)= a1U (e1), U (e j ) + a2U (e2), U (ei) + a3U (e3), U (ei)= ai.

Logo, U (β ) e um conjunto linearmente independente e consequentemente uma basedo R3, provando o item a).

b) Pelo item anterior, sabemos que U (C) = U (e1), U (e2), U (en) e uma baseortonormal do R3. Sendo assim, dado o vetor v = (v1, v2, v3) ∈ R3 podemos ex-pressa-lo como uma combinacao linear da forma

U (v) = a1U (e1) + a2U (e2) + a3U (e3),

onde os coeficientes sao unicos. Identifiquemos os coeficientes da combinacao linear.Lembrando-se que U e uma aplicacao ortogonal,

ai = U (v), U (ei) = v, ei = vi.

Logo,U (v1, v2, v3) = v1U (e1) + v2U (e2) + v3U (e3).

Como b em sabemos, esta e a maneira de definir uma transformacao linear.

⇐) Seja U : R3 → R3 um operador linear tal que U (C) = U (e1), U (e2), U (e3)seja uma base ortonormal. Mostremos que U e uma aplicacao ortogonal. Dados osvetores v =

3i=1 viei e w =

3i=1 wiei, sendo U um operador linear temos que

U (v) =3

i=1 viU (ei), U (w) =3

j=1 w j U (e j ).

Como o produto interno e linear em cada variavel e U preserva produto interno,temos que

U (v), U (w)

= 3

i=1a

ib

iU (e

i), U (e

i)

= 3

i=1a

ib

i =

v, w

.

Isto conclui a demonstracao da proposicao.



6.3. CLASSIFICAC AO DAS ISOMETRIAS 53


1. Seja U : Rn → Rn um operador ortogonal. Mostre que

a) U preserva a norma, U (u) = u;

b) U preserva angulo entre vetores, θ(U (u), U (v)) = θ(u, v);

c) U e injetiva.

2. Mostre que U : Rn → Rn e um operador ortogonal se, e somente se, [U ]t[U ] = [Id].

3. Mostre que U : R2 → R2 e um operador ortogonal se, e somente se, sua matrizcanonica tem uma das duas formas

[U ] =

cos θ −sen θ

sen θ cos θ

ou [U ] =

cos θ sen θsen θ − cos θ

.

6.3 Classificacao das isometrias

Chegamos ao nosso objetivo final. Provar que toda aplicacao que preserva distancia

em Rn

e a composta de uma translacao com um operador ortogonal. Como feitoantes, demonstraremos para n = 3 mas os argumentos utilizados valem pra qualquern > 1.

Teorema 6.3.1 (Classificacao das isometrias) Uma aplicac˜ ao f : Rn → Rn e uma isometria, se e somente se, existe uma translac˜ ao T a : Rn → Rn e um operador ortogonal U : Rn → Rn tal que f (x) = T U (x).

Prova ⇒) Denote por a = f (0) e considere a aplicacao U : R3 → R3 definida porU (v) = f (v) − a. Desejamos mostrar que U e uma aplicacao ortogonal. Mostremosprimeiro que U (v) − U (w) = v − w, para todo v, w ∈ R3. Mas isto e verdade

pois, sendo f uma aplicacao que preserva distancia, temos as igualdades

U (v) − U (w) = f (v) − a − f (w) + a= f (v) − f (w)= d(f (w), f (v))

= d(w, v)

= v − w.

Passemos a mostrar que U e uma aplicacao ortogonal. Por um lado temos que

U (v) − U (w)2 = U (v) − U (w), U (v) − U (w)

= U (v)2

− 2U (v), U (w) + U (w)2

= v2 − 2U (v), U (w) + w2,




por outro lado, com um calculo simples verificamos que v −w2 = v2 −2v, w+w2. Logo, U (v), U (w) = v, w. Como U e uma aplicacao ortonormal, segueque U e um op erador linear ortonormal, de onde concluımos que f (v) = U (v) + a,ou seja, f (v) = T a U (v).

A recıproca deixaremos aos cuidados do leitor. Siga o roteiro abaixo.

1o Mostre que um operador ortogonal U preserva norma.2o U preserva distancia.3o Mostre que a imagem da base canonica e uma base.4o U e bijetivo.5o Mostre que a composta de U com uma translacao e uma isometria.


1. Considere os planos em R3,

Γη( p), onde η = (3, 1, −1) e p = (0, 0, 0)Γν (q ), onde ν = (1, 1,

−1) e q = (2, 1, 2)

.

a) Existe translac˜ ao T v0 : R3 → R3 que aplica o primeiro plano no segundo?

b) Construa uma isometria S : R3 → R3 que aplica o primeiro plano no segundo.

2. A mesma questao anterior para os planos Γη( p) onde η = (1, −1, 2) e p = (0, 1, 1)Γν (q ) onde ν = (2, 1, −2) e q = (3, 2, 2)

.

3. Encontre a equacao parametrica de um cırculo de raio r = 2 quando ele esta

a) centrado no ponto p = (1, 2, 1) e contido no plano Γη( p), onde η = (3, −1, 2);

b) centrado no ponto p = (1, 2, 0) e contido no plano Γη( p), onde η = (0, 0, 1).

4. Encontre a equacao parametrica de uma elipse cujo eixo maior mede a = 2 e eixomenor mede b = 1 centrada no ponto p = (3, 2, 0) e contido no plano Γη( p), onde

η = (0, 0, 1).

5. Defina uma funcao g : R3 → R3 que deixa o plano Γ1 = (x,y,z) ∈ R3 : z = 0invariante e transforma o cırculo do exercıcio 3.a) na elipse do exercıcio 4.

6. Encontre a equacao parametrica de uma elipse centrada no ponto (1, 2, 1) ∈ Γ1 =(x,y,z) ∈ R3 : x − y + 2z = 1 cujo eixo maior mede 3 e eixo menor mede 1.

7. Seja U : R3 → R3 um operador ortogonal tal que U (e3) = e3. Mostre que existeθ ∈ [0, 2π] tal que U (e1) = (cosθ,senθ, 0) e U (e2) = (−sen θ, cosθ, 0).

8. Prove que conjunto G formado por todas as isometrias de R3 equipado com a operacaode composicao de funcoes e um grupo.

9. Encontre uma isometria de R3 que transforma o triangulo ∆ cujos vertices sao a =

(1, 1, 1), b = (2, 3, 1) e c = (3, 4, 5) num triangulo contido no plano z = 0 congruenteao triangulo ∆ com um dos vertices na origem.



6.4. *LEITURA COMPLEMENTAR 55

6.4 *Leitura complementar

1. Processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt Na demonstracao daproposicao a seguir esta descrito um processo para construir uma base orto-normal para um subespaco nao trivial qualquer de Rn.

Proposicao 6.4.1 Todo subespaco n˜ ao trivial Γ ⊂ Rn possui uma base orto-normal.

Demonstracao Escolha γ = w1, w2,...,wk uma base ordenada qualquer deΓ. Defina o subespaco de dimensao i, Γi = [[w1,...,wi]]. Sendo assim, valemas inclusoes proprias de subespacos

Γ0 = 0 Γ1 Γ2 · · · Γk = Γ.

Feitos estas preliminares iniciemos a construcao indutiva de uma base ortogo-nal pelo processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt. A base ortogonal deΓ1

sera β 1

=

v1

em que v1

= w1

. Para construir uma base ortogonal paraΓ2 consideramos o conjunto ordenado β 2 = β 1 ∪ v2 onde

v2 = w2 − w2,v1v1,v1

v1.

O vetor v2 esta bem definido pois v1 nao sendo nulo temos que v1, v1 > 0.Note que tambem o vetor v2 nao e nulo, caso contrario concluımos que w1 e w2

sao vetores linearmente dependentes, contrariando o fato de γ ser uma basede Γ. Por outro lado verificamos facilmente que v1, v2 = 0 de onde segueque β 2 ⊂ Γ2 e um conjunto linearmente independente num espaco vetorial dedimensao dois, implicando que β 2 = β 1 ∪ v2 e uma base ortogonal de Γ2.

Por hipotese de inducao, vamos assumir que ja construımos uma base ortogo-nal β i =

v1, v2,...,vi

para o subespaco Γi. Seja β i+1 = β i

∪ vi+1

, onde

vi+1 = wi+1 − wi+1,v1v1,v1

v1 − wi+1,v2v2,v2

v2 − · · · − wi+1,vivi,vi

vi.

Novamente, vi+1 esta bem definido e e um vetor em Γi+1. O vetor vi+1

nao e nulo, caso contrario teremos wi+1 ∈ Γi contrariando a hipotese de γ ser linearmente independente. Uma simples verificacao mostra que β i+1 eum conjunto de vetores nao nulos dois a dois ortogonais no subespaco Γi+1,cuja dimensao e i + 1. Segue que β i+1 e uma base ortogonal deste espaco.Continuando o processo um numero de vezes igual a dim Γ, obtemos umabase ortogonal de Γ.

Para finalizar, dividimos cada vetor de β k por sua norma para obter uma baseortonormal.



Parte III

GEOMETRIA EUCLIDIANA



58 CAPITULO 7. GEOMETRIA EUCLIDIANA

a r. Na Geometria Euclidiana espacial uma esfera com centro C ∈ E3 e raio r > 0e definida como sendo o conjunto dos pontos que distam de C por uma distancia r.Iniciemos a construcao definindo os dois conceitos. Recordamos que indicamos p ord a distancia no espaco Rn induzida pelo produto interno canonico.

Definicao 7.1.1 Uma esfera em Rn de raio r > 0 e centro c ∈ Rn e o subconjuntodenotado e definido por Sn−1

r (c) = v ∈ Rn; d(c, v) = r.

Como na equacao d(c, v) = r a distancia e o raio sao nao negativos, esta equacaoem termos de coordenadas dos pontos, v = (x1, x2,...,xn) e c = (c1, c2,...,cn), eequivalente a equacao

(x1 − c1)2 + (x2 − c2)2 + · · · + (xn − cn)2 = r2.

Uma esfera em R2 recebe o nome de cırculo. Quando o cırculo tem raio r = 1e centro na origem, c = (0, 0), diremos que ele e o cırculo unit ario canˆ onico edenotamos por S1. Em resumo,

S1 = (x, y) ∈ R2; x2 + y2 = 1.

A esfera em R3 centrada na origem, c = (0, 0, 0), e de raio r = 1 e denotada porS2 e e chamada de esfera unit´ aria canˆ onica . Pelo visto,

S2 = (x,y ,z) ∈ R3; x2 + y2 + z2 = 1.

Recordamos que indicamos o produto interno canonico do Rn por , .

Definicao 7.1.2 Um hiperplano com vetor normal η ∈ Rn contendo o ponto p ∈ Rn

e o subconjunto denotado e definido por Γη( p) = v ∈ Rn; v − p, η = 0.

Nomearemos a equacao de um hiperplano na forma Γη( p) :v

− p, η

= 0.


1. Determine a equacao do cırculo centrado em c ∈ R2 e raio r, onde

i) c = (1, 0) e r = 12 . ii) c = (1, 1) e r =

√ 2. iii) c = (−3, 4) e r = 5.

2. Identifique as curvas e faca um esboco grafico das seguintes equacoes em R2.

i) x2 + 2x + y2 = 0. ii) x2 − x + y2 − y = 7. iii) x2 + 6x + y2 + 8y = 0.

3. Determine a equacao do hiperplano Γη( p) ⊂ R3 em que

i) η = (1, 0, −1) e p = (−2, 1, 1). ii) η = (−2, 1, 1) e p = (1, 0, −1).

4. Determine a equacao do hiperplano Γη( p)⊂

R2 em que

i) η = (1, −1) e p = (−2, 1). ii) η = (−2, 1) e p = (1, −1).



7.2. UM MODELO DE PLANO EUCLIDIANO 59

7.2 Um modelo de plano Euclidiano

Iniciemos a construcao.

Chamaremos R2 de plano e seus elementos de pontos.

Um hiperplano em R2 sera chamado de reta.Examinemos com mais vagar a definicao de reta em R2. E conveniente fixar uma

notacao para indica-la. Sejam p = ( p1, p2) e η = (η1, η2) pontos em R2. O plano comvetor normal η contendo o ponto p tem equacao lη( p) : (x, y)−( p1, p2), (η1, η2) = 0,ou seja,

lη( p) : η1x + η2y + η3 = 0,

onde η3 = − p, η. Ao tomarmos como vetor normal um multiplo nao nulo de η,digamos λη com λ = 0, as retas sao iguais como conjuntos, lη( p) = lλη( p), pois aequacao desta ultima fica sendo lλη( p) : λη1x + λη2y + λη3 = 0 e, como λ = 0, ospontos v = (x, y) ∈ R2 que satisfazem a uma equacao tambem satisfazem a outra

equacao e vice-versaUm caso particular, porem importante, sao as retas que contem a origem. Re-

servamos uma notacao especial para elas, em lugar de escrevermos lη(o) quandoo = (0, 0), omitiremos do sımbolo o ponto o escrevendo simplesmente lη. Sendoassim, a equacao da reta e homogenea,

lη : η1x + η2y = 0.

Anteriormente, utilizamos equacoes lineares homogeneas para definir um subespacovetorial, portanto, a reta lη contendo a origem e um subespaco vetorial proprio doR2 de dimensao 1. Uma base ordenada e formada por qualquer vetor nao nulo nosubespaco, por exemplo η⊥ = (−η2, η1) ∈ lη.

Facamos um resumo do que temos ate o momento: um conjunto, R2, chamado de plano;

elementos deste conjunto chamados de pontos;

subconjuntos lη( p) nomeados de retas;

entendemos o conceito de um ponto pertencer a uma reta (incidencia).

Desejamos que R2 seja um modelo algebrico do plano Euclidiano. Somente com ostermos fixados acima ja podemos verificar que o grupo de axiomas de incidencia esatisfeito. Por exemplo.

Dois pontos distintos determinam uma reta

Dados dois pontos distintos de R2

, digamos que sejam p = ( p1, p2) e q = (q 1, q 2).Consideramos o vetor nao nulo η⊥ = q − p = (q 1 − p1, q 2 − p2), tomamos η =




(−q 2 + p2, q 1 − p1) e escolhemos a reta lη( p). Verifica-se que as coordenadas dospontos p e q satisfazem a equacao, logo, os pontos pertencem a reta lη( p).

O objetivo deste texto nao e verificar todos os detalhes da construcao de ummodelo para a Geometria Euclidiana. Estamos mais interessados em exibir modelospara outras geometrias, quais sejam, elıptica, projetiva e afim. Como o leitor ja

estudou em Geometria Analıtica a maioria dos conceitos e tecnicas aqui utilizados,deixaremos apenas um roteiro desta construcao.

Ficara como exercıcio a verificacao da validade dos dois outros axiomas do grupode axiomas de incidencia.

Esta entre

Dada a reta lη( p), defina a funcao biunıvoca f : R → lη( p), f (t) = p + tη⊥.Recordamos que se η = (η1, η2) entao η⊥ = (−η2, η1). Diremos que o ponto p =f (t1) est´ a entre n = f (t0) e q = f (t2) se, e somente se, t0 < t1 < t2. Com isto,estabelecemos um significado para este termo indefinido e demonstramos todos osaxiomas de ordem e continuidade, alem de podermos definir segmentos de reta. E

necessario verificar que o conceito nao depende do vetor normal nem do ponto p.

Por definicao, o segmento de reta [ p, q ] e o conjunto formado por p, q e ospontos da reta determinada pelos pontos p e q que estao entre eles. A medida docomprimento de um segmento [ p, q ] e a distancia entre os pontos extremos, d( p, q ).

Dois segmentos de reta sao congruentes se existe uma isometriado R2 que aplica biunivocamente um segmento no outro.

Para definir ˆ angulo necessitaremos do conceito de reta orientada . Antecipamosque os procedimentos que seguem serao semelhantes em qualquer outro modelo degeometria que estudaremos posteriormente.

A notacao lη, alem de indicar que o conjunto e uma reta e tem como vetor normal

o vetor nao nulo η, indicara que a reta esta orientada por η. Ao escrevermos l−η,a reta e a mesma, como conjunto, entretanto como reta orientada sao distintas.Precisemos o comentario. Ao dizermos ”a reta esta orientada pelo vetor normalη” transmitiremos a infomacao que o lado de ”cima” da reta e precisamente o ladopara o qual o vetor η esta apontando. Isto pode ser formalizado estabelecendo queum vetor v esta no semi-plano positivo Hη( p) definido por lη quando v − p, η ≥ 0.Algebricamente temos

Hη( p) = v ∈ R2; v − p, η ≥ 0.

Se o produto interno nao e positivo, o vetor v esta no semi-plano negativo. Observeque a reta e definida como o conjunto dos pontos cujo produto interno e zero.

Sendo assim, uma reta lη( p) pode ser orientada somente de dois modos, pelos



7.2. UM MODELO DE PLANO EUCLIDIANO 61

vetores que sao multiplos positivos de η e pelos vetores que sao multiplos negativosde η .

Um ˆ angulo e o conjunto obtido pela intersecao entre dois semiplanos positivos,

Hη( p) ∩ Hµ(q ).

Dois angulos sao congruentes se existe uma isometria de R2 queaplica biunivocamente um angulo no outro.

Apos estas definicoes verifica-se todos os axiomas de congruencia.

A medida do angulo Hη( p) ∩ Hµ(q ) e, por definicao, o angulo entre os vetores ηe −µ. Na notacao aqui utilizada a medida fica indicada por θ(η, −µ).

Axioma das paralelas

Seja q um ponto que nao esteja esteja na reta lη( p). A reta lη(q ) e a uma retaparalela a primeira reta e e a unica reta paralela que incide em q . Isto e mostradoverificando-se que o sistema de equacoes lineares fomado pelas equacoes que definemas retas nao tem solucao.


1. Dado os segmentos [ p, q ] e [m, n] em R2. Mostre que as afirmacoes sao equivalentes.

(a) Os segmentos sao congruentes.

(b) Existe uma isometria U : R2 → R2 tal que U ( p) = m e U (q ) = n.

(c) d( p, q ) = d(m, n).

2. Mostre que os segmentos [ p, q ] e [m, n] do R2 sao congruentes e construa a isometriade congruencia quando:

a) p = (1, −1), q = (0, 1), m = (−1, 0) e n = (1, 1);b) p = (1,

−1), q = (0, 1), m = (2, 0) e n = (1, 2);

c) p = (2, −5), q = (1, −4), m = (2, 0) e n = (1, 1).3. Considere o angulo Hη( p) ∩ Hµ(q ). Mostre as afirmacoes.

(a) A medida do angulo e α = π − θ(η, µ).

(b) Dois angulos sao congruentes se, e somente se, as medidas de seus angulos saoiguais.

4. Calcule as medidas dos angulos determinados pelas retas orientadas lη( p) e lµ(q )quando:

a) η = (1, 2), p = (1, 2), ν = (2, −1) e q = (0, 1);b) η = (1, −2), p = (0, 0), ν = (1, 2) e q = (0, 1).

5. Diremos que os segmentos [ p, q ] e [m, n] do R2 sao equivalentes (∼) se, e somente se,eles sao congruentes. Mostre que

∼ e uma relacao de equivalencia.

6. Mostre que semi-planos e angulos sao conjuntos convexos.




7.3 Um modelo de espaco Euclidiano

Passemos a contruir um modelo para a Geometria solida (espacial).

R3 sera chamado de espaco e seus elementos de pontos.

Um hiperplano em R3 sera chamado de plano.

Sejam p = ( p1, p2, p3) e η = (η1, η2, η3). O plano Γη( p) com vetor normal ηcontendo o ponto p tem a seguinte equacao em termos de coordenadas,

Γη( p) : η1x + η2y + +η3z + k = 0,

onde k = − p, η. Novamente, reservaremos uma notacao especial para um planoque contem a origem. Em lugar de escrevermos Γη(o) omitiremos o ponto o =(0, 0, 0) da notacao e escrevemos Γη. Neste caso particular, a equacao do plano ehomogenea,

Γη : η1x + η2y + η3z = 0.

Como ja sabemos, Γη e um subespaco vetorial de R3 e podemos encontrar dois

vetores nao colineares, v0, w0 ∈ Γη, tais que qualquer outro vetor u ∈ Γη e comouma combinacao linear u = sv0 + tw0, onde s, t ∈ R. Para saber se os vetores geramo plano basta verificar se o conjunto β = v0, w0, η e uma base de R3. Pelo criterioestabelecido, e suficiente verificar que det [v0, w0, η] = 0.

Resumindo, temos:

um conjunto, R3, que sera chamado de espaco;

elementos deste conjunto que chamamos de pontos;

subconjuntos Γη( p) nomeados de plano;

entendemos o conceito de um ponto pertencer a um plano (incidencia).

Como feito na modelagem com R2 deverıamos definir todos os outros termosenvolvidos na axiomatizacao. Mas a construcao e tao semelhante que deixaremosaos cuidados do leitor esbocar a construcao. Apresentemos dois exemplos numericosque ilustram quais os procedimentos utilizados.

Exemplo 7.3.1 [Plano determinado por tres pontos nao colineares] Dadostres pontos distintos de R3, digamos a = (1, 0, 1), b = (2, 1, 1) e c = (−1, −2, −3).Primeiro verifiquemos que eles sao nao colineares calculando

det[a,b,c] =

1 2 −10 1 −21 1 −3

= −3 = 0.

O determinante ser diferente de zero implica que eles sao nao colineares. Agoraconsideremos os vetores



7.3. UM MODELO DE ESPACO EUCLIDIANO 63

u = b − a = (1, 1, 0)v = c − a = (−2, −2, −4)

.

e tomemos como vetor normal ao plano que desejamos construir, contendo os pontosa, b e c, o vetor η = u×v = (−4, 4, 0). Agora, se v = (x,y,z), calculando v−a, η =0 em termos de coordenadas, obtemos a equacao Γη :

−4x + 4y + 4 = 0. E simples

verificar que as coordenadas dos pontos a, b e c satisfazem esta equacao. Portanto,eles pertencem ao plano Γη.

Exemplo 7.3.2 [Retas em R3] Uma reta em R3 e o conjunto determinado pelaintersecao de dois planos nao paralelos. Seja s a reta obtida por intersecao dosplanos Γη( p) e Γν (q ). Como os planos nao sao paralelos os vetores normais nao saocolineares. Para informar o fato, podemos escrever s = Γη( p) ∩ Γν (q ) ou nomear osistema de equacoes na forma

s :

η1x + η2y + η3z + k1 = 0

ν 1x + ν 2y + ν 3z + k2 = 0.

Quando os dois planos passam pela origem obtemos equacoes lineares homogeneas,k1 = k2 = 0. Nesse caso, s e um subespaco vetorial de R3 e todo vetor de s escreve-secomo multiplo do vetor η × ν .


1. Calcule uma equacao para o plano contendo os pontos a, b e c do R3 quando:

a) a = (1, −2, 1), b = (1, −1, 2) e c = (0, −2, −1);b) a = (1, 1, 1), b = (2, 2, 2) e c = (−1, −1, −1).

2. Determine uma equacao para o plano Γη paralelo a Γη( p) quando η = (3, −1, 2) e

p = (1, 1, 1).3. Mostre que dois segmentos [ p, q ] e [m, n] em R3 sao congruentes, se e somente se,

d( p, q ) = d(m, n).

4. Mostre que os segmentos [ p, q ] e [m, n] do R3 sao congruentes quando:

a) p = (1, −1, 1), q = (0, 1, 1), m = (−1, 0, 1) e n = (1, 1, 1);b) p = (2, 1, −1), q = (1, 0, 1), m = (2, 2, 0) e n = (1, 1, 2);c) p = (2, −5, 3), q = (1, −4, 2), m = (2, 0, 1) e n = (1, 1, 0).

5. Sejam p um ponto e s uma reta em R3. Se v , w ∈ s, mostre que a distancia de p a se dada por

d( p, s) = (w−v)×( p−v)

w−v .

6. Mostre que a distancia de um ponto q ∈

Rn ao hiperplano Γη

( p) e calculada por

d(q, Γη( p)) = |q− p,η|

η .




7. Considere o vetor η = (1, 1, 1) e o ponto p = (1, 2, 1) em R3. Calcule a distancia deq = (3, 0, −1) ao plano Γη( p).

8. Mostre que o plano Γη( p) : x + z =√

2 e tangente a esfera S2(c) = (x,y,z) ∈R3; x2 + z2 = 2y − y2.

9. Dado um hiperplano Γη( p) =

v ∈

Rn :

v−

p, η

= 0

e um ponto q /∈

Γη( p) definao simetrico de q em relacao a Γη( p) como sendo o ponto q tal que d(q , Γη( p)) =d(q, Γη( p)). Prove que

q = q − 2q− p,ηη,η

η.

10. Considere o vetor η = (1, 0, 1) e o ponto p = (1, 2, 1) em R3. Determine o pontosimetrico de q = (3, 0, −5) em relacao ao plano Γη( p).



Parte IV

GEOMETRIA ELIPTICA(dupla)



Capıtulo 8

Geometria ElıpticaA esfera unitaria canonica S2 sera um modelo para o ”plano” de uma geometriachamada Geometria Elıptica.

O sistema agora considerado omite o grupo de ordem do sistema axiomaticopara a Geometria Euclidiana fixado por Hilbert. Como nao existe uma ordem nao

podemos definir segmentos de retas do mesmo modo pois um segmento de retaEuclidiana e um subconjunto de uma reta definido a partir da ordem.

Mas mesmo assim, no modelo para a Geometria Elıptica podemos definir oconceito de segmento, agora de outra forma. Ao falarmos num segmento de retaelıptico com extremos A e B, e necessario ser mais preciso indicando qual seriaseu ”interior” pois as retas elıpticas sao grandes cırculos da esfera S2 e dois pontosdistintos de um cırculo define dois segmentos de cırculo. Feito isso, ao realizarmoso termo indefinido congruencia podemos verificar todos os axiomas deste grupo.Uma pequena modificacao se faz necessaria no axioma 1. do grupo de congruencia.Como nao existe ordem deve-se omitir a expressao ... um dado lado da reta.

No axioma das paralelas, postula-se que sempre ocorre intersecao entre quais-quer duas retas e a intersecao e dupla, daı o nome Geometria elıptica dupla . Aregiao que no plano Euclidiano e denominada ˆ angulo tera como correspondente naGeometria Elıptica uma regiao classicamente denominada lua . No momento apro-priado descreveremos tal regiao.

Axiomas da Geometria Elıptica

I Termos indefinidos

1. Ponto, reta, plano, pertence e congruencia.


1. Para cada dois pontos distintos existe uma reta que os contem.2. Toda reta contem pelo menos dois pontos.



8.1. DISTANCIA ESFERICA 67

3. Existe pelo menos tres pontos que nao estao sobre uma mesmareta e todos os pontos estao sobre o mesmo plano.

IV Axiomas de Congruencia


1. Seja l uma reta e A um ponto nao em l. Entao toda reta quepassa por A intercepta l.


1. Existe uma correspondencia biunıvoca entre os numeros reaise os pontos de uma reta menos um dos seus pontos.

8.1 Distancia esferica

Estamos interessados em estudar a geometria da esfera unitaria canonica em R3,mais precisamente em estudar o conjunto

S2 = v ∈ R3; v = 1equipado com uma funcao distancia. Para medir a distancia entre pontos, utili-zaremos o conceito de angulo entre dois vetores. Dados u, v ∈ S2. Seja θ(u, v) ∈[0, π] a medida do angulo entre os vetores unitario u e v. Recordamos que esteangulo foi definido utilizando a desigualdade deCauchy-Schwarz. Por definicao,

cosθ(u, v) = u, vu v .

Do fato de u e v serem unitarios temos que

cosθ(u, v) = u, v, sen θ(u, v) = u × v.

Chamaremos de distˆ ancia em S2 a aplicacao

d : S2 × S2 → R, d(u, v) = θ(u, v).

Exercıcio 8.1.1 Demonstre os seguintes fatos sobre esta aplicacao:

a) 0 ≤ d(u, v) ≤ π; b) d(u, v) = π se, e somente se v = −u.



68 CAPITULO 8. GEOMETRIA ELIPTICA

Proposicao 8.1.1 A func˜ ao d, acima definida, e uma func˜ ao distˆ ancia em S2.

Prova Aconselhamos ao leitor rever a definicao de funcao distancia. As proprieda-des positiva definida e simetrica tem uma verificacao simples e serao deixadas comoexercıcios. Mostremos a desigualdade triangular. Dados tres pontos u, v, w

∈ S2,

por definicao de distancia esferica temos as igualdades

θ(u, v) = d(u, v), θ(v, w) = d(v, w), θ(u, w) = d(u, w).

Portanto, a desigualdade que desejamos demonstrar e

θ(u, w) ≤ θ(u, v) + θ(v, w),

cuja demonstracao sera dividida em dois casos.

1o caso: Vale a desigualdade π ≤ θ(u, v) + θ(v, w): neste caso, θ(u, v) ≤ π ≤θ(u, v) + θ(v, w).

2o caso: Vale a desigualdade θ(u, v)+θ(v, w) ≤ π: como a funcao cos : [0, π] → R

e decrescente, demonstrar a desigualdade triangular e equivalente a demonstrar a

desigualdadecos(θ(u, v) + θ(v, w)) ≤ cosθ(u, w).

Para isto, utilizaremos uma identidade trigonometrica para o cosseno da soma deangulos e algumas identidades envolvendo produto interno e produto vetorial. Lem-brando que consideramos apenas vetores unitarios, temos as igualdades

cos (θ(u, v) + θ(v, w)) = cosθ(u, v)cosθ(v, w) − senθ(u, v)senθ(v, w)

= u, v v, w − u × v · v × w.

Agora, a desigualdade de Cauchy-Schwarz garante que

−u

×v, v

×w

≥ − u

×v

v

×w

,

e a formula de Lagrange nos permiter escrever

u × v, v × w = u, vv, w − u, wv, v.

De v, v = 1 obtemos entao as desigualdades

cos (θ(u, v) + θ(v, w)) ≤ u, v v, w − u × v, v × w= u, vv, w − (u, vv, w − u, wv, v)

= u, w= cosθ(u, w).

Isto termina a demonstracao da proposicao.




8.2. PLANO ELIPTICO 69

1. Dados os pontos u, v ∈ S2, considere as distancias d(u, v), d(u, −v), d(−u, v) ed(−u, −v). Quais delas sao iguais?

2. Tres pontos u,v,w da esfera unitaria S2 sao ditos colineares se existe um grandecırculo S2 contendo estes pontos. Prove que u, v,w sao colineares se, e somente se,θ(u, v) ± θ(v, w) = θ(u, w).

8.2 Plano elıptico

Grandes cırculos da esfera unitaria sao equivalentes as retas da Geometria Euclidi-ana, no seguinte sentido: como sabemos, a menor distancia percorrida para irmosde um ponto a outro de um plano e obtida sobre uma trajetoria que descreve umsegmento de reta definida pelos pontos. Em S2, a menor distancia percorrida parairmos de um ponto a outro e obtida sobre uma trajetoria que descreve um grandecırculo definido pelos dois pontos. Nao mostraremos este fato.

Chamaremos S2 de plano (elıptico) e seus elementos de pontos(elıpticos).

Um plano Γ ⊂ R3 que contem a origem o e determinado pelo seu vetor normalη = (η1, η2, η3), que e um vetor n˜ ao nulo. A equacao linear do plano fica sendo

Γ : η1x + η2y + η3z = 0.

Como sabemos Γ e um subespaco vetorial de R3 de dimensao dois. Para destacar ovetor normal denotamos Γ por Γη:

Γη e o unico plano de R3 contendo a origem cujo vetor normal e η = (η1, η2, η3).

Exemplo 8.2.1 Se η = (13, −1, 40) ∈ R3, o plano que contem a origem e tem ηcomo vetor normal e o conjunto formado por todos os vetores v = (x,y,z) ∈ R3

cujas coordenadas satisfazem a equacao Γη

: 13x−

y + 40z = 0.

Um grande cırculo em S2 sera chamado de reta (elıptica).

Em outras palavras, diz-se que um subconjunto r ⊂ S2 e uma reta elıptica ser = S2 ∩ Γη. Para destacar que a reta elıptica r e obtida pela intersecao do planoΓη que contem cujo vetor normal e η utilizamos a notacao

rη = S2 ∩ Γη.

Portanto, uma reta elıptica e o subconjunto do plano elıptico formado p elos pontos(x,y,z) ∈ R3 satisfazendo as equacoes

rη : x2 + y2 + z2 = 1

η1x + η2y + η3z = 0.



8.2. PLANO ELIPTICO 71

Proposicao 8.2.2 (Concorrencia de duas retas) Duas retas elıpticas distintas,digamos, rη e rν , sempre se interceptam. Mais ainda, a intersec˜ ao ocorre em dois pontos, a saber,

u1 = 1η×ν η × ν e u2 = − 1

η×ν η × ν .

Prova Seguindo a notacao temos que

rη = Γη ∩ S2 e rν = Γν ∩ S2.

Portanto, a intersecao de rη e rν e o conjunto

rη ∩ rν = Γη ∩ Γν ∩ S2.

Como Γη ∩ Γν = λ η × ν ; λ ∈ R, os unicos vetores unitarios sao os pontos citadosno enunciado. .

Diz-se que tres pontos u,v,w ∈ S2 sao colineares se existe uma reta incidindonos pontos. Tambem existe um criterio simples para determinar quando tres pontossao colineares.

Proposicao 8.2.3 (Equacao de colinearidade para tres pontos) Dados tres pontos u,v,w ∈ S2. Temos:

u,v,w s˜ ao colineares se, e somente se det[u,v,w] = 0.

Prova Sejam u, v, w ∈ S2 tres pontos. Quando nao sao distintos ou quando v = −w,a demonstracao e trivial. Vamos assumir entao que eles sao distintos e que v = −w.

Por definicao, os pontos sao colineares se, e somente se, eles pertencem a umamesma reta elıptica, digamos rη = Γη ∩ S2, onde η e algum vetor normal ao plano.Escolheremos η = v

×w. Mas isto e equivalente a dizer que eles sao colineares no

plano elıptico S2 se, e somente se, u, v e w pertencem ao plano Γη, ou seja, se esomente se,

u, η = v, η = w, η = 0.

Portanto, eles sao, colineares em S2 se, e somente se,

0 = u, η = det[u,v,w].

Proposicao 8.2.4 (Equacao de concorrencia para tres retas) Dados tres re-tas elıpticas, digamos rη, rµ e rν . Temos:

rη, rµ e rν s˜ ao concorrentes se, e somente se, det[η,µ,ν ] = 0.

A prova desta proposicao e o axioma de continuidade ficarao como exercıcio.




Existe uma correspondencia biunıvoca entre os numeros reais eos pontos de uma reta elıptica menos um dos seus pontos.


1. Verifique se os pontos elıpticos m, p e q sao colineares e, caso sejam, determine a retaelıptica rη que os contem.

a) m = (1, 0, 0), p = ( 1√ 5

,√ 2√ 5

,√ 2√ 5

), q = (√ 2√ 11

,√ 7√ 11

,√ 2√ 11

);

b) m = ( 1√ 3

, 1√ 3

, 1√ 3

), p = (− 1√ 3

, 1√ 3

, 1√ 3

), q = (0, 1√ 2

, 1√ 2

).

8.3 Retas elıpticas orientadas

A notacao Γη tambem sinalizara que o plano esta orientado pelo vetor normal η.Ao dizermos ”o plano esta orientado pelo o vetor normal η” tentamos transmitir ainfomacao fısica que o lado de ”cima” do plano e o lado para o qual o vetor η estaapontando. Mais precisamente, um vetor v esta no semi-espaco positivo definidopelo plano Γη se v, η ≥ 0. Se este produto interno for nao-positivo, diremos queo vetor v esta no semi-espaco negativo. E claro, v pertence ao plano quando oproduto interno acima for zero.

Exercıcio 8.3.1 Para fixar os conceitos, mostre as afirmacoes.

1. Se λ > 0 entao Γη = Γλη como conjuntos e sao iguais como planos orientados.

2. Se λ < 0 entao Γη = Γλη como conjuntos e sao distintos como planos orienta-dos.

Pelo visto, para determinar um plano orientado contendo a origem precisamos apenas de um vetor unit´ ario η ∈ S2. Tal plano sera Γη. Se escolhermos o vetorantıpoda, −η ∈ S2, o plano Γ−η sera, como conjunto, igual ao anterior, mas comoplano orientado sera diferente. Dois vetores unitarios e simetricos esgotam todas aspossibilidades de orientacao de planos.

Tambem o ındice η utilizado para denotarmosuma reta elıptica, rη, informara um pouco mais,a reta e uma reta orientada . Nao nos detere-mos descrevendo tecnicidades sobre orientacaode cırculo, entretanto, a ideia tem um signifi-

cado fısico preciso, ela procura transmitir que opercurso de uma pessoa (sobre o plano orientado



8.4. PLANO ELIPTICO DUAL 73

Γη contendo rη) e positivo se a pessoa, posicionada como o vetor normal η, ao andarsobre esta reta deixa o disco do plano que ela delimita a sua esquerda. Observamosque rη e r−η sao iguais como conjuntos, mas as orientacoes sao opostas.

Formalizemos as ideias acima. Para cada ponto p ∈ rη, consideramos o vetorφη( p) = η

× p. Observe que φη( p) e um vetor tangente ao grande cırculo rη no ponto

p e, fisicamente, descreve a velocidade de um movimento de uma pessoa fazendo opercurso positivo sobre o grande cırculo.

Exercıcio 8.3.2 Para fixar os conceitos, mostre as afirmacoes.

1. Se λ > 0 entao rη = rλη e as orientacoes sao iguais.

2. Se λ < 0 entao rη = rλη e as orientacoes sao opostas.

3. Conclua que cada ponto η ∈ S2 determina um unico cırculo orientado.

Resumindo, para descrever uma reta elıptica precisamos apenas de um vetor

unitario η ∈ S2

. Tal grande cırculo orientado sera rη. Se escolhermos o vetorantıp oda −η ∈ S2 a reta elıptica r−η sera a mesma, como conjunto, mas como retaelıptica orientada sera diferente.

8.4 Plano elıptico dual

No que segue iremos examinar conjuntos cujos elementos sao subconjuntos de umconjunto dado. O leitor ja tomou contato com este fato em algum momento da vidade estudante. Dado um conjunto A denota-se por P (A) o conjunto das partes de A,isto e, o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. Por definicao de P (A),podemos escrever uma afirmacao notacionalmente estranha mas verdadeira,

C ⊂ A se, e somente se, C ∈ P (A).

Pense nesta sentenca. O fato de considerar um subconjunto como um elemento(”ponto”) de um outro conjunto sera explorado com o objetivo de construir novosespacos a partir de outros. Abaixo segue a primeira das construcoes.

Iremos considerar um conjunto formado por subconjuntos, a saber,

R e o conjunto formado pelas retas elıpticas orientadas.

Para construir um modelo geometrico para R precisamos fazer uma abstracao, consi-derando cada reta elıptica como um ”ponto” do conjunto R. O principal ingredienteda construcao ja foi apresentado na secao anterior, qual seja,

cada ponto η ∈ S2 determina uma ´ unica reta elıptica orientada rη e cada reta orientada rη determina um ´ unico ponto no plano elıptico η ∈ S2.




Estes comentarios nos permitem reescrever o conjunto R como

R = rη; η ∈ S2.

Ademais, podemos estabelecer a seguinte correspondencia biunıvoca entre os ele-mentos de R (retas elıpticas orientadas) e os elementos de S2:

rη ←→ η.

Isto mostra que existem tantas retas elıpticas orientadas quantos pontos elıpticos!Sendo assim, consideramos como modelo geometrico para R o pr´ oprio conjunto S2.

Com isto surge um problema notacional, qual seja, distinguir o registro de umareta elıptica orientada de um ponto na esfera. Como primeira providencia para quea confusao nao ocorra, o conjunto das retas elıpticas orientadas sera indicado porS2∗ e denominado de plano elıptico dual ou esfera dual . A segunda providencia edesignar os elementos de S2∗ pelas letras gregas minusculas η, µ, ν , etc. em lugarde rη, rµ, rν , etc. Assim

rη

⊂S2

⇔ η

∈ R= S2∗.

No conjuto S2∗ consideramos a mesma metrica ja definida na esfera, ou seja,d : S2 × S2 → R, d(η, ν ) = θ(η, ν ).

8.5 Isometrias de S2

Realizamos a ideia de congruencia utilizando o con-ceito de isometria.Uma isometria em S2 e uma aplicacao U : S2 → S2

que preserva distancia, ou seja, θ(U (v), U (w)) =θ(u, v) para quaisquer pontos u, v ∈ S2.

O proximo teorema e creditado ao matematicosuico Leonhard Euler (1707/83). Para acompanhara demonstracao o leitor nao pode ter omitido a lei-tura do capıtulo Isometrias de Rn.

Teorema 8.5.1 (Classificacao de isometrias em S2) Uma aplicac˜ ao U 0 : S2 →S2 e uma isometria se, e somente se, U 0 for a restric˜ ao de um operador ortogonal U : R3 → R3.

Prova Seja U : R3 → R3 um operador ortogonal. Como U preserva norma devetores, desde que

U (u)2 = U (u), U (u) = u, u = u2,




Na Geometria Euclidiana plana a intersecao dedois semiplanos positivos determina uma regiaochamada angulo. Iremos seguir aquela mesmacontrucao, agora no plano elıptico. E conveni-ente considerar retas elıpticas orientadas para

conseguirmos nomear precisamente de qual dosdois semiplanos estamos nos referindo. O semi-plano positivo Hη definido pela reta elıptica ori-entada rη e o hemisferio formado pelos pontosu ∈ S2 tais que u, η ≥ 0. O semiplano negativoe o hemisferio formado por aqueles p ontos u ∈ S2

tais que u, η ≤ 0.

Repetindo uma ideia fısica ja citada diversas vezes, o semiplano positivo esta aesquerda de um movimento cuja trajetoria e a reta elıptica orientada.

Um ˆ angulo ou uma lua no plano elıptico S2, determinado p or duas retas elıpticasdistintas e orientadas, digamos rη e rµ, e o conjunto Lηµ obtido pela intersecao dos

semiplanos positivos determinados por elas, a saber,Lηµ = Hη ∩ Hµ.

Os vertices da lua Lµν sao os pontos

u = 1

µ × ν µ × ν, −u = − 1

µ × ν µ × ν.

A medida de um ˆ angulo ou a medida de uma lua Lµν e definida como sendo θ(µ, −ν ). Feitoisto, seguem as mesmas terminologias: angulosagudos, obtusos, suplentares, complementares,retos, opostos pelos vertices, etc.

Duas luas (angulos) sao congruentes se existe uma isometria deS2 que aplica biunivocamente uma lua na outra.

Antes de finalizar, definiremos triˆ angulo elıptico. Sejam u, v, w ∈ S2 tres pontostais que o conjunto ordenado u,v,w seja uma base ordenada positiva de R3.Como sabemos, afirmar que uma base ordenada e positiva corresponde a afirmarque det[u,v,w] > 0. Tais pontos serao os vertices do triangulo elıptico. Os ladosdo triangulos serao arcos das retas elıpticas rη, rµ e rν , onde

η = u × v, µ = v × w, ν = w × u.

Ressaltamos a ordem cıclica dos pontos, u→

v, v →

w e w →

u. As demonstracoesfuturas levarao em conta tal fato.



8.6. CONGRUENCIA 77

Definicao 8.6.1 Sejam u, v, w ∈ S2. Um sub-conjunto ∆uvw ⊂ S2 e um triˆ angulo (elıpoto)quando

1.

u,v,w

e base ordenada positiva de R3;

2. ∆uvw = Hη ∩ Hµ ∩ Hν .

Observe que os lados de um triangulo elıptico saosegmentos de retas elıptica orientadas.

Dois triangulos elıpticos sao congruentes se existe uma isometriaque aplica biunivocamente um triangulo sobre o outro.

Uma reta elıptica menos um dos seus pontos e um modelo de umareta Euclidiana.


1. Mostre as afirmacoes.

(a) Angulos opostos pelo vertice tem a mesma medida.

(b) Angulos opostos pelos vertices sao congruos.

(c) A medida da Lua Lηµ e π − θ(η, µ).

(d) Se as medidas de duas luas sao iguais entao elas sao congruentes.

(e) Semi-planos, angulos e triangulos elıpticos sao conjuntos convexos.

2. Calcule a medida do angulo das luas orientados Le1e2 e Le1e3 .

3. Quais dos ternos ordenados u,v,w determinam um triangulo ∆uvw ⊂ S2.a) u = (1, 0, 0), v = ( 1√

2, 1√

2, 0), w = ( 1√

3, 1√

3, 1√

3).

b) u = ( 1√ 3

, 1√ 3

, 1√ 3

), v = ( 1√ 14

, 3√ 14

, 2√ 14

), w = ( 5√ 35

, 1√ 35

, 3√ 35

).

4. Verifique que o triangulo com vertices u1 = e1, v1 = e2 e w1 = ( 1√ 2

, 1√ 2

, 0), nesta

ordem, e congruo ao triangulo com vertices u2 = e2, v2 = e3 e w2 = ( 1√ 2

, −1√ 2

, 0).

5. Verifique que isometria de triangulos elıpticos e uma relacao de equivalencia no conjunto formado por todos os triangulos elıpticos.

6. Se ∆uvw e um triangulo elıptico, mostre que os triangulos obtidos pelas permutacoescıclicas dos ındices, ∆wuv e ∆vwu , tambem sao triangulos elıpticos. Mais ainda, como

conjuntos os tres sao iguais.



Capıtulo 9

Trigonometria elıpticaEmbora o leitor esteja familiarizado com a teoria de triangulos no plano Eucli-diano recordaremos alguns resultados de trigonometria plana com a finalidade derelaciona-los de modo natural com os topicos das proximas secoes. Dados tres pon-tos nao colineares do plano Euclidiano, digamos A, B e C , podemos construir um

triangulo com vertices nestes pontos, triangulo que denotaremos por ∆ABC . Usu-almente nomeamos por α, β e γ as medidas dos angulos cujos vertices sao A, B eC , e as medidas dos lados op ostos aos vertices p or a, b e c, respectivamente. Certa-mente o leitor recorda de duas ”leis” demonstradas ao estudarmos Trigonometriano Ensino Medio. Elas dizem que num triangulo ∆ABC valem as igualdades

senα

a =

senβ

b =

senγ

c , c2 = a2 + b2 − 2abcosγ .

Estas sao a Lei dos senos e a Lei dos cossenos,respectivamente. A Lei dos cossenos na Geome-tria Euclidiana e uma generalizacao do Teoremade Pitagoras (a qual se reduz quando γ = π

2 ).

Observamos ainda que o valor cosγ e dado pelasmedidas dos lados:

cosγ = a2 + b2 − c2

2ab .

Decorre da axiomatizacao da Geometria Euclidiana que a soma das medidas dosangulos de um triangulo e igual a π. O objetivo principal do capıtulo e mostrar quea soma das medidas dos angulos de um triangulo elıptico e maior que π. Demonstra-remos tambem leis equivalentes para triangulos elıpticos bem como formulas parao calculo de areas de triangulos.



9.1. LEI DOS SENOS 79

9.1 Lei dos senos

No capıtulo anterior definimos triangulo elıptico para estabelecer os axiomas de con-gruencia. E conveniente fixar uma serie de dados de um triangulo elıptico seguindode perto a notacao Euclidiana para estudar a trigonometria elıptica.

1. Vertice u• O lado oposto ao vertice u esta contido emrµ, onde µ = v × w.• A medida do angulo com vertice u e α =π − θ(ν, η).• A medida do lado oposto ao vertice u ea = θ(v, w).

2. Vertice v• O lado oposto ao vertice v esta contido emrν , onde ν = w × u.

• A medida do angulo com vertice v e β =

π − θ(η, µ).• A medida do lado oposto ao vertice v eb = θ(w, u).

3. Vertice w• O lado oposto ao vertice w esta contido em rη, onde η = u × v.• A medida do angulo com vertice w e γ = π − θ(µ, ν ).• A medida do lado oposto ao vertice w e c = θ(u, v).

Desejamos demonstrar as seguintes igualdades envolvendo os valores acima,

senαsenbsenc = sen a sen β sen c = sen a sen b sen γ.

Lema 9.1.1 Com a notac˜ ao fixada temos as relac˜ oes η × µ = ν, vv, µ × ν = η, ww, ν × η = µ, uu.

Como conseq¨ uencia, valem as igualdades das normas

η × µ = µ × ν = ν × η.

Prova Recordando o produto vetorial duplo, podemos escrever

ν × η = (w × u) × (u × v)

= w, u × vu − u, u × vw

= w, u × vu= w, ηu.



9.2. AREA DE TRIANGULOS 81

senα

sena =

senβ

senb.

As outras igualdades tem demonstracoes semelhantes.

Para a Lei dos cossenos, por um lado, a Identidade de Lagrange nos diz que

µ, ν = (v × w), (w × u)= det

v, w v, uw, w w, u

= det

cos a cos c

1 cosb

= cosacosb − cos c.

Por outro lado, o produto interno nos da a igualdade

µ, ν = µ ν cosθ(µ, ν ) = sen a sen b cos(π − γ ) = −senasenbcosγ.

Agora, e imediato a conclusao do teorema.


1. Sejam α, β e γ os angulos de um triangulo elıptico cujos lados opostos medem res-pectivamente a, b e c. Prove que as identidades trigonometricas.

a) cos a = cosbcosc + senbsenccosα.b) cos b = cos a cos c + senasenccosβ .c) cos c = cosacosb + senasenbcosγ .d) cos α = −cos β cosγ + senβ senγ cos a.e) cos β = −cosαcosγ + sen αsen γ cos b.f) cos γ =

−cosαcosβ + sen α senβ cosc.

2. Sejam α, β e π2 os angulos de um triangulo elıptico cujos lados opostos medem res-

pectivamente a, b e c. Verifique as identidades trigonometricas.

a) cos c = cos a cosb. b) cosc = cotg α cotg β . c) sena = sencsenα.d) senb = sencsenβ . e) cos α = tgb cotg c. f) cosβ = tga cotg c.g) sena = tgb cotg β . h) senb = tga cotg α. i) cosα = cosa sen β .

9.2 Area de triangulos

Num triangulo do plano Euclidiano ∆, cujas medidas dos angulos internos sao α, β e γ , vale a igualdade α + β + γ = π. Isto nao ocorre com triangulos elıpticos. Num

triangulo elıptico ∆uvw ⊂ S2

, com medidas dos angulos internos α, β e γ ocorre umadesigualdade, qual seja, α+β +γ > π. Para demonstra-la precisaremos apenas saber



82 CAPITULO 9. TRIGONOMETRIA ELIPTICA

calcular areas de regioes da esfera unitaria. Na verdade, apenas precisaremos sabercalcular areas de dois tipos de regioes: toda a esfera e luas da esfera.

Arquimedes considerava seu mais belo teoremaaquele que estabelece a igualdade entre a medidada area de uma esfera e a medida da area lateral

de um cilindro circunscrito a ela,

A = 4πr2.

Ele e seus contemporaneos consideraram um resultado tao fascinante que inscreve-ram na lapide de Arquimedes a figura que ilustra o teorema.

Este resultado admite uma generalizacao. SejamL a superfıcie lateral do cilindro circunscrito aesfera e f : L → S2, a aplicacao que a cada p ∈ L associa ao ponto f ( p) ∈ S2 obtido pelaintersecao da esfera com o segmento tendo comoponto inicial o ponto p e perpendicular eixo do

cilindro circunscrito. A propriedade excepcionalda aplicacao f e que ela preserva ´ areas , no sen-tido que uma regiao R ⊂ L com medida de aream e aplicada sobre uma regiao f (R) da esferacom a mesma medida m de area.

E com tal projecao que os cartografos constroem o mapa mundi, colocandocomo eixo de simetria a reta contendo os polos norte e sul da terra. O resultado deArquimedes e obtido aplicando toda a regiao L, cuja imagem e a esfera.

Sendo assim, uma lua na esferaunitaria, com angulo α, e obtidapela projecao por f de uma faixa

com altura 2 e largura α. Como aarea da faixa e 2α, a area da luatambem sera 2α.

Teorema 9.2.1 (Teorema de Girard) Seja ∆uvw um triˆ angulo elıptico. Se as medidas dos ˆ angulos determinados pelos vertices u, v e w s˜ ao, respectivamente, α,β e γ , ent˜ ao

Area(∆uvw) = α + β + γ − π.

Como conseq¨ uencia, as medidas dos ˆ angulos do triˆ angulo elıptico satisfazem a de-sigualdade α + β + γ > π.

Prova Seguindo a notacao fixada, as luas Lνη , Lηµ e Lµν , tem medidas de areas 2α,



9.2. AREA DE TRIANGULOS 83

2β e 2γ , respectivamente. Para cada uma delas, consideremos a lua simetrica emrelacao a origem, cuja notacao sera a mesma acrescida do ındice −. Por exemplo,L−

ηµ = −v; v ∈ Lηµ. E claro que as areas de duas luas simetricas sao iguais. Comisto, podemos afirmar que a esfera e descrita como a uniao de seis luas,

S2 = Lνη

∪Lηµ

∪Lµν

∪L−

νη

∪L−

ηµ

∪L−

µν .

A area da esfera nao sera a soma das areas daqueles conjuntos, pois se efetuarmosesta soma a area do triangulo elıptico sera computada tres vezes, bem como a areade seu simetrico em relacao a origem, que possui a mesma area,

∆uvw = Lνη ∩ Lηµ ∩ Lµν e ∆−uvw = L−

νη ∩ L−ηµ ∩ L−

µν .

Sendo assim, devemos escrever

Area

S2

= 2α + 2β + 2γ + 2α + 2β + 2γ − 2 Area (∆uvw) − 2 Area (∆−uvw).

Reagrupando os termos chegamos a igualdade

4π = 4(α + β + γ ) − 4 Area (∆uvw) ,

e explicitando a area do triangulo obtemos

Area (∆uvw) = α + β + γ − π.

Portanto, segue a primeira parte do Teorema.Como a area do triangulo e positiva obtemos adesigualdade α + β + γ > π.


1. Sejam u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0) e w = 1√ 2

(0, 1, 1) tres pontos de S2. Verifique que

∆uvw e um triangulo elıptico e calcule sua area.

2. Existe um triangulo elıptico cujos angulos sejam α = β = π e γ = π4 ?

3. Prove que um triangulo elıptico e equiangular se, e somente se, e equilatero.

4. Existe um triangulo equiangular em S2 cujos angulos medem π3 ?

5. Sejam u, v ∈ S2, tais que η = v ×u nao e o vetor nulo. Defina a aplicacao A : S2 → S2,pela propriedade, A(w) e o simetrico de w em relacao ao plano Γη.

a) Mostre que A(w) = w − 2 w,ηη2 η .

b) Conclua que A(w) = w para qualquer w ∈ Γη.

c) Seja ∆uvw um triangulo em S2

. Mostre que ∆uAuv(w)v e um triangulo cuja areae igual a area de ∆uvw .



84 CAPITULO 9. TRIGONOMETRIA ELIPTICA

6. Sejam v1, v2, v3 e v4 vertices de um quadrilatero em S2. Mostre que a soma das medi-das dos angulos internos deste quadrilatero e igual a 2π mais a area do quadrilatero.

7. Sejam ∆uvw um triangulo em S2 e A : S2 → S2 a aplicacao definida por A( p) = − p.Mostre que A (∆uvw) e um triangulo cuja area e igual a area de ∆uvw .

9.3 *Triangulo dual

Como sabemos, o plano elıptico dual, S2∗, e um outro exemplo de plano elıptico. Uti-lizaremos esta dualidade para estabelecer outras propriedades de triangulos elıpticos.

Seja ∆uvw ⊂ S2 um triangulo elıptico. Se considerarmos as reta elıpticas orien-tadas determinadas pelos vertices como pontos de S2∗ teremos os pontos

u∗ = µ

µ , v∗ = ν

ν , w∗ = η

η .

O triˆ angulo elıptico dual de ∆uvw e o triangulo ∆u∗v∗w∗

⊂ S2∗. No que segue,

iremos estabelecer relacoes entre os dois triangulos. Primeiro, escrevamos os grandescırculos em S2∗ que contem os lados do triangulo dual,

η∗ = u∗ × v∗, µ∗ = v∗ × w∗, ν ∗ = w∗ × u∗.

Seguindo as convencoes notacionais ja estabelecidas, sejam

1. a∗, b∗ e c∗ as medidas dos lados opostos aos vertices u∗, v∗ e w∗, respectiva-mente, e

2. α∗, β ∗ e γ ∗ a medida dos angulos cujos vertices sao u∗, v∗ e w∗, respectiva-mente.

Tais valores sao facilmente calculaveis,a∗ = θ(ν, η) = π − α, b∗ = θ(η, µ) = π − β, c∗ = θ(µ, ν ) = π − γ .

Isto e, as medidas dos lados do triangulo dual sao iguais as medidas dos angulos dotriangulo original. Agora, as medidas do angulos do tiangulo dual com vertices noslados u∗, v∗ e w∗ sao

α∗ = π − θ(ν ∗, η∗), β ∗ = π − θ(η∗, µ∗), γ ∗ = π − θ(µ∗, ν ∗).

Resta identificar o membro direito de cada igualdade. Pelo primeiro lema mostradoneste capıtulo, seguem que

ν ∗ × η∗ = µ∗, u∗u∗, η∗ × µ∗ = ν ∗, v∗v∗, µ∗ × ν ∗ = η∗, w∗w∗.

Portanto,

π − α∗ = θ(v, w) = a, π − β ∗ = θ(u, w) = b, π − γ ∗ = θ(u, v) = c.



9.3. *TRIANGULO DUAL 85

Isto e, as medidas dos angulos do triangulo dual ∆u∗v∗w∗ e a medida dos lados dotriangulo ∆uvw!

Teorema 9.3.1 (Segundas Lei dos senos e Lei dos cossenos na esfera) Se- ja ∆uvw um triˆ angulo elıptico. Se as medidas dos lados opostos aos vertices u, v e

w s˜ ao respectivamente, a, b e c e as medidas dos ˆ angulos com vertices u, v e w s˜ ao,respectivamente, α, β e γ , ent˜ ao

sena

senα =

senb

senβ =

senc

senγ , cos c =

cosγ + cosαcosβ

senαsenβ .

Prova A Segunda Lei dos senos e obtida aplicando a Primeira Lei dos senos para otriangulo dual. A Segunda Lei dos cossenos tambem e obtida aplicando a PrimeiraLei dos cossenos para o triangulo dual,

cosγ ∗ = cosc∗ − cosa∗cosb∗

sena∗ senb∗ .

Fazendo as substituicoes necessarias,

cos(π − c) = cos(π − γ ) − cos(π − α) cos(π − β )

sen (π − α) sen(π − β ) .

Pelas conhecidas identidades trigonometricas cos(π − t) = −cost e sen (π − t) =sent, concluımos a demonstracao.

Teorema 9.3.2 (Area de um triangulo elıptico II) Seja ∆uvw um triˆ angulo e-lıptico. Se as medidas dos lados opostos aos vertices nos pontos u, v e w s˜ ao,respectivamente, a, b e c, ent˜ ao

Area(∆uvw) = 2π − a − b − c.

Como conseq¨ uencia, o perımetro do tri angulo elıptico satisfaz a desigualdade 2π > a + b + c.


1. Mostre que ∆∗∗ = ∆ para qualquer triangulo ∆ ⊂ S2.



Parte V

GEOMETRIA PROJETIVA EGEOMETRIA AFIM



Capıtulo 10

Geometria ProjetivaNa Geometria Euclidiana postula-se a existencia de retas que nao se interceptam.Isto ocorrendo, diz-se que elas sao paralelas. Tal postulado contradiz a realidadeque apreendemos visualmente.

Quando estamos numa longa estrada em linha

reta, seus lados sao assumidos paralelos, masa nossa sensacao nos diz que elas concorremnum ponto muito longe, chamado ponto de fuga.No ponto de fuga as duas retas estao se inter-ceptando. Se existe uma outra estrada em li-nha reta, cruzando a primeira, ao olharmos nadirecao desta outra, veremos o mesmo fenomeno,agora, o ponto de fuga e diferente.

Este fenomeno e captado por uma fotografia ou por uma pintura, sugerindoque a Geometria Euclidiana e um modelo da realidade nao tao proximo das nossassensacoes quanto estamos acostumados a pensar.

E se acrescentarmos os pontos de fuga, isto e, se assumirmos que quaisquerduas retas se interceptam num unico ponto, que tipo de espaco geometrico tere-mos? Este e o topico desta parte do texto. Construiremos um modelo para umageometria bidimensional sem retas paralelas, a Geometria Projetiva ou Geometria Elıptica Simples . Iniciaremos com a construcao do plano projetivo e somente aposestarmos familiarizados com ele, recuperaremos a ideia surgidas das sensacoes visu-ais, apresentando o plano afim no final do capıtulo.

Axiomas da Geometria Projetiva


1. Ponto, reta, plano, pertence.II Axiomas de incidencia



88 CAPITULO 10. GEOMETRIA PROJETIVA


1. Seja l uma reta e A um ponto nao em l. Entao toda reta queincide em A intercepta l.


1. Existe uma correspondencia biunıvoca entre os numeros reaise os pontos de uma reta menos um dos seus pontos.

10.1 O plano projetivo RP2

Inicialmente construiremos o conjunto que sera o plano projetivo. Considere o

conjunto obtido do R3 ao retirarmos o vetor nulo o = (0, 0, 0). Numa linguagemmais informal diz-se que o conjunto e o R3 perfurado na origem (ou simplesmenteperfurado) e a notacao convencional para indica-lo e R3\o.

Por simplicidade, nao modificaremos as terminologias ou notacoes empregadaspara subconjuntos contidos em R3. Ao falarmos que Γ e um ”plano” em R3\0fica subentendido que ele e a intersecao do plano Γ ⊂ R3 com o R3\o. Portanto,se ele contiver a origem sera um plano perfurado. Os mesmos comentarios valem aoempregarmos o termo ”reta” em R3\o. Ela pode ou nao ser perfurada, caso incidaou nao na origem. No conjunto R3\o (conjunto de vetores nao nulos), definimosa relacao de equivalencia1

v ∼

w ⇔

existe um numero real λ= 0 tal que v = λw.

Considere o conjunto quociente

RP2 =

R3\o / ∼ .

Chamaremos RP2 de plano (projetivo) e seus elementos de pontos(projetivos).

Um elemento (classe de equivalencia) do plano projetivo e chamado de ponto projetivo, ou simplesmente ponto, e sera denotado por uma letra minuscula com umabarra sobreposta, por exemplo, v, onde v e um vetor nao nulo de R3. Como sa-bemos, v e um subconjunto de R3\o e pela definicao da relacao de equivalenciaacima o conjunto que ele esta nomeando e o conjunto dos multiplos nao nulos de v,

1Caso o leitor nao esteja familiarizado com o conceito de relacao de equivalencia, no Apendiceexiste um capıtulo sobre o topico.



10.2. RELAC AO ENTRE RP2 E S2 89

v = λv; λ ∈ R e λ = 0.

Em outras palavras, o subconjunto v ⊂ R3\o e uma reta perfurada. A aplicacaoquociente e a funcao denotada e definida por

Ψ : R3\o → RP2, Ψ(v) = v.

Para diminuir o esforco de leitura, em lugar de empregarmos longas barras so-bre triplas para designar os pontos do plano projetivo, utilizaremos uma notacaomais simples e conveniente. Seja v = (v1, v2, v3) um ponto de R3\o. Se acom-panhassemos a notacao deverıamos escrever

v = (v1, v2, v3)

para indicar a classe de equivalencia de v. Entretanto, seguiremos a notacao classica, ja consagrada, para indicar elementos do plano projetivo, a saber,

v = (v1 : v2 : v3).

Tal tripla recebe um nome especial: coordenadas homogeneas de v. Seu uso traragrandes vantagens em relacao a outra notacao, como veremos.


1. Sejam v = (1, 2, −1) e w = (−3, −6, 3) vetores de R3\o. Mostre que v = w em RP2.

2. Se v e um vetor de R3\o e 0 = λ ∈ R, mostre que v = λv .

10.2 Relacao entre RP2 e S2

Para entendermos melhor o plano projetivo iremos relaciona-lo com a esfera unitariaS2. Esta relacao fica estabelecida da seguinte forma. Para cada classe de equi-

valencia v = (v1 : v2 : v3) ∈ RP2

podemos determinar dois elementos da esferaunitaria S2 ⊂ R3\o na classe de equivalencia de v. Eles sao os unicos vetoresunitarios multiplos de v , quais sejam,

u = 1

vv e − u = − 1

vv.

A divisao pela norma do vetor v esta bem definida pois v = 0 e como u e −u saomultiplos nao nulos de v valem as igualdades v = u = −u. Portanto, temos umafuncao projecao sobrejetora, que e a restricao da funcao projecao antes definida,

Ψ0 : S2 → RP2, Ψ0(u) = u,

tal que o conjunto pre-imagem de cada ponto v e formado por dois pontos de S2,

Ψ−10 (v) = 1vv, − 1vv .




A construcao acima nos da um outro modelo para o plano projetivo que e obtido aoidentificarmos pontos antıpodas da esfera unitaria. Portanto, podemos construir oplano projetivo definindo uma relacao de equivalencia na esfera unitaria do seguintemodo. Sejam u, v ∈ S2. Diz que u ∼ v se, e somente se, u = v ou u = −v. Destaforma RP2 = S2/

∼.2

Continuemos tentando imaginar como e o plano pro jetivo. Pelo visto, qualquerponto v ∈ RP2 pode ser representado por um ponto u = (u1, u2, u3) ∈ S2 tal queu3 ≥ 0. Recordamos que o termo ”representa o mesmo elemento” significa que osdois pontos determinam a mesma classe de equivalencia, u = v ∈ RP2. Portanto,se considerarmos o hemisferio norte da esfera unitaria,

He3 = u ∈ S2; u, e3 ≥ 0,

a restricao da funcao projecao Ψ : He3 → RP2 e sobrejetiva. Podem ocorrer duassituacoes para a pre-imagem de um ponto projetivo u = (u1 : u2 : u3) por Ψ,

1. Ψ−1 (u) = u, se u3 > 0 ou

2. Ψ−1

(u) = u, −u, se u3 = 0.

Considere a reta elıptica re3 ⊂ S2 (esta reta elıpica e o grande cırculo obtidopela intersecao da esfera unitaria com o plano xy). A imagem desta reta elıpticare3 pela projecao Ψ e chamada de conjunto de pontos ideais , I ∞. Observe que e aprojecao Ψ aplica o conjunto He3/re3 , biunivocamente sobre RP2/I ∞.

10.3 Retas projetivas

Ja comentamos que grandes cırculos de S2 sao equivalentes as retas da GeometriaEuclidiana, no sentido de que a distancia percorrida sobre a esfera unitaria, para

nos deslocarmos entre dois de seus pontos, e minimizada quando a trajetoria e umarco de grande cırculo contenda os dois pontos. A mesma questao coloca-se para oplano projetivo. Qual a trajetoria de menor comprimento que podemos percorrerem RP2 para nos deslocar de um ponto v a um ponto w?

A questao so faz sentido se soubermos qual funcao distancia que estamos consi-derando no espaco projetivo. Para enfatizar que a Geometria projetiva procura es-tudar apenas problemas de incidencia, nao envolvendo os conceitos de congruenciae de ordem, deixamos para leitura complementar do capıtulo a apresentacao dafuncao distancia classica considerada no plano projetivo. Com aquela distancia te-mos a resposta, devemos percorrer uma trajetoria sobre a imagem de um grande

2Neste caso, o sımbolo de igualdade indica que existe uma correspondencia biunıvoca entre

os conjuntos construıdos de uma forma e de outra. Tal correspondencia e estabelecida de modonatural, como foi indicado.



10.3. RETAS PROJETIVAS 91

cırculo de S2 pela aplicacao projecao Ψ : S2 → RP2 que contenha os pontos v e w.Isto nos leva a fixar o seguinte termo.

Um subconjunto r ⊂ RP2 e uma reta projetiva se r for a imagemde uma reta elıpitca pela projecao Ψ0 : S2 → RP2.

Uma definicao equivalente com planos perfurados fica sendo: Um subconjunto r ⊂ RP2 e uma reta projetiva se r for a imagem

de um plano perfurado Γ pela projecao Ψ : R3\o → RP2.

Existe um modo pratico de nomear retas projetivas. Como sabemos, um planoΓ ⊂ R3 que contem o = (0, 0, 0) fica determinado pelo seu vetor normal η =(η1, η2, η3), que e um vetor n˜ ao nulo. Ressaltamos tal propriedade ao utilizar anotacao Γη. Neste caso, a equacao linear que define o plano e

Γη : η1x1 + η2x2 + η3x3 = 0.

Um fato nos induz a pensar imediatamente no plano projetivo. Todo multiplo naonulo de η, λη = (λη1, λη2, λη3), onde λ e um escalar diferente de zero, tambem

determina o mesmo plano que contem a origem, assim, qualquer outra equacaolinear que define aquele plano tem de ser da forma

Γη : λη1x1 + λη2x2 + λη3x3 = 0.

As observacoes acima nos permitem considerar a classe de equivalencia η ∈ RP2.Guardemos este ponto projetivo η, por um momento.

Por outro lado, a intersecao de Γη com a esfera unitaria S2 determina um grandecırculo e todo grande cırculo e obtido deste modo. Por definicao, a imagem destegrande cırculo pela projecao Ψ : S2 → RP2 e uma reta projetiva r. Os dois fatos juntos nos levam a fixar a seguinte notacao. Ao escrevermos a expressao

a reta projetiva rη

estaremos nos referindo a reta projetiva r ⊂ RP2 determinada pela projecao dogrande cırculo rη = Γη ∩ S2.

Por exemplo, e3 = (0 : 0 : 1) indica a reta projetiva re3 que e a imagem, pelafuncao projecao, do grande cırculo obtido pela intersecao do plano xy com a esferaunitaria. Assim, re3 e a reta de pontos ideais, I ∞.


1. Verifique quais pontos projetivos pertencem a reta projetiva rη, onde η = (1 : −1, 2).

a) p = (1 : 1 : 1). b) q = (2 : 0 : −1).c) u = (1 :

−1 :

−1). d) v = (2 : 3 :

−1).

2. Sejam v e w dois vetores linearmente independentes de Γη . Mostre que todo ponto u




da reta projetiva rη escreve-se como u = sv + tw, onde s e t sao numeros reais naonulos simultaneamente.

3. Com a notacao apresentada no exercıcio anterior, faz sentido escrevermos u = sv +tw,onde s e t sao numeros reais nao nulos simultaneamente e v, w ∈ R3\o?

10.4 Plano projetivo dual

Consideremos o plano projetivo RP2 e o conjunto de suas partes, P (RP2). Escolha-mos o subconjunto R ⊂ P (RP2) definido por

R e o conjunto formado por todas as retas projetivas.

Para construir um modelo geometrico que represente o conjunto R, necessitamosfazer uma abstracao, qual seja, considerar cada reta projetiva como um ponto deum conjunto. O fato principal utilizado na construcao ja apresentamos no paragrafoanterior,

cada ponto projetivo η ∈ RP2 determina uma ´ unica reta projetiva rη

e cada reta projetiva r ⊂ RP2 determina um ´ unico ponto projetivo η.

Estes comentarios nos permitem reescrever o conjunto R na forma

R = rη; η ∈ RP2,

e mais, permite estabelecer uma correspondencia biunıvoca entre R e RP2,

rη ←→ η.

Logo, existem tantas retas projetivas quantos pontos projetivos! Sendo assim, toma-remos o conjunto RP2 como modelo geometrico para

R. Isto causa um problema:

como distinguir na leitura um p onto projetivo de uma reta projetiva? Como pri-meira providencia para que a confusao nao ocorra, o conjunto das retas projetivassera indicado por RP2∗ e denominado plano projetivo dual . A segunda providencia edesignar os elementos de RP2∗ pelas letras gregas minusculas η , µ, ν , etc. em lugarde rη, rµ, rν , etc. respectivamente. Assim

rη ⊂ RP2 ⇔ η ∈ RP2∗.

10.5 Incidencia

Resumindo a apresentacao feita ate o momento, temos:

um conjunto chamado plano (projetivo);



10.5. INCIDENCIA 93

elementos deste plano chamados pontos (projetivos);

subconjuntos chamados retas (projetivas);

e entendemos o conceito de uma reta incidir em um ponto.

Portanto, estamos preparados para verificar os axiomas da Geometria Projetivano conjunto RP2. Na verificacao utilizaremos toda a praticidade da notacao e aspropriedades da Geometria elıptica. Ressaltamos as dualidades entre os enunciadosenvolvendo pontos projetivos e retas projetivas.

Os dois ultimos axiomas de incidencia sao obvios. Para o primeiro, necessitamosde um criterio de incidencia entre uma reta projetiva e um ponto projetivo.

Proposicao 10.5.1 (Condicao de incidencia) Dados um ponto projetivo v ∈RP2 e uma reta projetiva η ⊂ RP2∗. Ent˜ ao

v e rη s˜ ao incidentes se, e somente se,

v, η

= 0.

Prova Seja Γη o plano perfurado na origem cujo vetor normal e η. Veja a seguintesequencia de equivalencias,

v, η = 0 ⇔ ±v ∈ Γη ⇔ ± 1

vv ∈ rη = Γη ∩ S2 ⇔ v = 1

vv ∈ rη.

Isto termina a demonstracao.

Para cada dois pontos distintos existe uma unica reta que oscontem.

A validade deste axioma sera registrada numa proposicao.

Proposicao 10.5.2 (Equacao de uma reta por dois pontos) Por dois pon-tos projetivos distintos v, w ∈ RP2 incide uma ´ unica reta projetiva, a saber,

η = v × w ∈ RP2∗.

Prova Dados v, w ∈ RP2 dois pontos distintos, sejam a e b elementos de S2 querepresentam aqueles dois pontos projetivo, respectivamente. Observe que b = −a,caso contrario terıamos v = w , contradizendo a hipotese. Considere o unico planoem R3 contendo os pontos a, b e a origem, isto e, considere o plano Γη, onde η = a×b.A intersecao deste plano com a esfera unitaria determina o grande cırculo

rη = S2 ∩ Γη.




Por definicao, o conjunto Ψ (rη) e a reta projetiva rη, e como a e b sao pontos destegrande cırculo, suas imagens Ψ(a) = a = v e Ψ(b) = b = w pertencem aquela retaprojetiva. A prova da unicidade da reta deixamos ao cuidados do leitor.

No plano projetivo nao existe paralelismo entre retas projetivas. Duas retasdistintas sempre concorrem em um unico ponto. Demonstre a proposicao a seguir.

Proposicao 10.5.3 (Concorrencia de duas retas) Duas retas projetivas distin-tas, η, ν ∈ RP2∗ tem um num ´ unico ponto, a saber,

v = η × ν ∈ RP2.

Diz-se que tres pontos u,v, w ∈ RP2 sao colineares se existe uma reta projetivaincidindo sobre os mesmos. Tambem existe um criterio simples para determinar setres p ontos do plano projetivo sao colineares.

Proposicao 10.5.4 (Equacao de colinearidade para tres pontos) Dados tres

pontos u,v, w ∈ RP2 temos que

u,v,w s˜ ao colineares se, e somente se, det[u,v,w] = 0.

Prova Vamos assumir que os pontos sao distintos, caso contrario a demonstracaoe trivial.

Os pontos sao (projetivamente) colineares se, e somente se, existe um plano Γ η

contendo a origem e tal que a imagem do grande cırculo Γ∩S2 pela funcao quocienteΨ0 : S2 → RP2 contem estes pontos. Por sua vez, tal ocorre se, e somente se, oplano contem os representantes (que sao vetores nao nulos e nao colineares em R3)dos tres pontos, u, v, e w . Observando que um vetor normal ao plano e η = v

×w

e que u e perpendicular a η, podemos afirmar que u, v, w ∈ Γ se, e somente se,

det[u,v,w] = u, v × w = u, η = 0.

Proposicao 10.5.5 (Equacao de concorrencia para tres retas) Dadas tres re-tas projetivas η,µ,ν ∈ RP2∗. temos que

as retas η ,µ, ν s˜ ao concorrentes se, e somente se, det[η,µ,ν ] = 0.

Prova Exercıcio.

Uma reta projetiva menos um dos seus pontos e um modelo de umareta Euclidiana.

O axioma de continuidade sera deixado como exercıcio.



10.6. GEOMETRIA AFIM 95


1. Sejam v , w ∈ RP2. Mostre que qualquer ponto da reta projetiva r definida por estespontos escreve-se na forma u = sv + tw, onde s e t sao numeros reais nao iguais azero, simultaneamente.

2. Verifique se a reta projetiva determinada por u e u, a reta determinada por v e v eaquela determinada por w e w sao concorrentes para os seguintes valores.

a) u = (1 : 1 : 1), v = (1 : −1 : 1), w = (1 : −2 : 0),u = (1 : 1 : 2), v = (1 : −1 : 0), w = (1 : −2 : 2).

b) u = (1 : 1 : 2), v = (2 : 0 : 1), w = (1 : 2 : 1),u = (2 : 2 : 1), v = (3 : 1 : 2), w = (0 : 1 : 0).

c) u = (1 : 1 : 2), v = (1 : −1 : 1), w = (1 : 1 : −2),u = (0 : 1 : 1), v = (2 : 2 : 1), w = (1 : 0 : −1).

10.6 Geometria Afim

Como foi visto, o espaco vetorial R2 e identificado com qualquer plano Euclidi-ano utilizando-se um sistema de eixos Cartesianos. Nesta secao identificaremos oespaco R2 com uma parte do plano projetivo, que sera chamado de Plano afim. NaGeometria Afim nao consideramos o grupo de congruencia.

Axiomas da Geometria Afim


1. Ponto, reta, plano, pertence, esta entre.


III Axiomas de ordem

V Axioma das ParalelasVI Axiomas de Continuidade

O plano Euclidiano R2 e naturalmente identificado com o plano horizontal Π :z = 1 (paralelo ao plano xy) em R3\o que por sua vez, e um plano tangente aesfera unitaria S2 no polo norte, pn = (0, 0, 1). A identificacao e simples,

(x, y) ↔ (x,y, 1).

Agora, cada ponto (x,y, 1) ∈ Π ⊂ R3

\o determina um unico ponto em RP2

,qual seja, (x : y : 1). Considere o conjunto denotado e definido por




AP2 = (x : y : 1) ∈ RP2; (x,y, 1) ∈ R3.

Chamaremos AP2 de plano (afim) e seus elementos de pontos (afins).

Observe que qualquer ponto v = (x : y : z) doplano projetivo, com a terceira coordenada ho-

mogenea nao nula, z = 0, esta no plano afim,pois o ponto pode ser representado como v =( x

z : yz : 1) e v corresponde ao ponto ( x

z , yz ) ∈ R2.

Chamaremos esta identificacao de identificac aoafim . Em resumo, o plano afim e o plano proje-

tivo menos a reta ideal I ∞. Como a reta ideal e a reta projetiva rη, com η = (0 :0 : 1), podemos defini-lo tambem na forma

AP2 = (u1 : u2 : u3) ∈ RP2; u3 = 0.

10.7 Retas afins

Voltemos ao problema da sensacao visual colocado no ınicio do capıtulo: duas retasque consideramos paralelas convergem para um ponto de fuga. O plano afim captaesta sensacao.

Chamaremos de reta afim e intersecao de uma reta projetiva comAP2.

Como qualquer reta projetiva intercepta a reta ideal I ∞, num unico ponto, segueque uma reta afim e uma reta projetiva menos o seu ponto ideal.

O plano afim dual , o conjunto formado pelas reta afins, sera denotado por AP2∗

e uma reta afim sera indicada tanto por η ∈ AP2∗ quanto por rη ⊂ AP2, em queη = (η1, η2, η3) com η3

= 0. Observe que AP2∗ pode ser identificado com o plano

projetivo menos o ponto η = (0 : 0 : 1).

O ponto principal da construcao diz respeito a relacao existente entre as retasEuclidianas em R2 e as retas afins. Uma reta l ⊂ R2 fica determinada por umvetor normal n = (η1, η2) (nao nulo) e por um dos pontos no qual ela incide, p = ( p1, p2) ∈ l. Como sabemos, a equacao linear que define a reta e

l : η1x + η2y + η3 = 0,

onde η3 e uma constante que depende do vetor normal n e do ponto p. Um exemplodeixara mais clara a notacao.

Exemplo 10.7.1 A reta Euclidiana l ⊂

R2 cuja equacao e

l : 3x − 2y + 6 = 0,



10.7. RETAS AFINS 97

tem vetor normal n = (3, −2) e contem, por exemplo, o ponto, p = (0, 3). Aqui,estamos denotando η1 = 3, η2 = −2 e η3 = 6. Para identificar o plano R2 com oplano Euclidiano Π ⊂ R3, em termos de equacao, Π : z = 1, estabelecemos que

(x, y) ↔ (x,y, 1).

A reta Euclidiana l e identificada com uma reta s contida naquele plano horizontal.Por outro lado, uma reta em R3 fica determinada pela intersecao de dois planosem R3, neste caso, um plano vertical (perpendicular ao plano xy) e outro planohorizontal, a saber,

s :

3x − 2y + 6 = 0z − 1 = 0

Mas existem infinitos planos que interceptados com o plano Π : z = 1 determinam amesma reta s, e entre tantos, estamos interessados no plano Γη contendo a origem.Ele e precisamente aquele que tem equacao

Γη : 3x − 2y + 6z = 0.

onde η = (3, 2, 6). Portanto, s = Π ∩ Γη,

s :

3x − 2y + 6z = 0z − 1 = 0

.

E claro que ao projetarmos os pontos de s sobre o plano afim, obtemos a reta afimrη, com η = (3 : −2 : 6).

Proposicao 10.7.1 A identificac˜ ao de R2 com o plano afim AP2 tansforma a reta Euclidiana l : η1x + η2y + η3 = 0 na reta afim rη, onde η = (η1 : η2 : η3).

Alguns exemplos ilustrarao a praticidade computacional obtida com a identi-

ficacao afim.

Exemplo 10.7.2 (Intersecao de retas em R2) Encontremos a intersecao dasretas Euclidianas planas cujas equacoes sao

l1 : x − 3y + 2 = 0,

l2 : 2x − y = 0.

As retas afins correspondentes sao η = (1 : −3 : 2) e ν = (2 : −1 : 0), elementosde AP2∗. A intersecao ocorre no ponto v = η × ν = (2 : 4 : 5). O representanteno plano Π : z = 1 e v = (2

5, 45

, 1), portanto, a intersecao da retas l1 ∩

l2

e o ponto(25 , 45) ∈ R2.




Exemplo 10.7.3 (Equacao de reta por dois pontos em R2) Seja l a retaEuclidiana em R2 determinada pelos pontos p = (1, 1) e q = (2, −1). Apos identi-ficacao, os pontos afins correspondentes sao p = (1 : 1 : 1) e q = (2 : −1 : 1). Areta afim η ∈ AP2∗ contendo os dois pontos e η = p × q = (2 : 1 : −3). Portanto,l : 2x + y

−3 = 0.

Exemplo 10.7.4 (Retas paralelas em R2) Examinemos as retas afins determi-nadas por retas paralelas l e l em R2, mas nao coincidentes. Como as retas saoparalelas e distintas, elas admitem equacoes na forma

l : η1x + η2y + η3 = 0,

l : η1x + η2y + η3 = 0,

com η3 = η3. As retas afins determinadas por elas sao, respectivamente, η =(η1 : η2 : η3) e ν = (η1 : η2 : η3), elementos de AP2∗. Para calcular o ponto deintersecao das retas afins, deveremos utilizar o metodo estabelecido para o calculode intersecoes de retas projetivas, ou seja a intersecao deveria ser

p = η × ν = (η2η3 − η2η3 : η1η3 − η1η3 : 0).

Mas este ponto pro jetivo e um ponto ideal que nao pertencem ao plano afim. Logo,retas Euclidianas paralelas determinam retas afins que tambem nao se interceptamno plano afim. O ponto p = η × ν e aquele ponto de fuga para o qual, aparente-mente, as retas paralelas convergem.

Comentario Essencialmente o plano afim e o hemisferio norte de S2 sem o equa-dor. Ao induzirmos a metrica elıptica no plano afim obtemos segmentos que tem asmesmas medidas mas nao podem ser colocados em correspondencia biunıvoca utili-zando isometrias de S2. Isto e, nao podemos estabelecer a relacao entre congruencia

e medida. O mesmo ocorre com triangulos afins.


1. Determine a intersecao, se existir, das retas l1 e l2 do plano Euclidiano utilizando oplano afim, onde:

a) l1 : 2x − 3y = 0, l2 : 3x − y + 4;b) l1 : y = 2x, l2 : x = 4y − 3;c) l1 : 3x − y = 0, l2 : 2y = 6x − 4;d) l1 : y − 3 + x = 2, l2 : x − 1 = y − 1.

2. Utilize o plano afim para estabelecer a equacao Cartesiana reta Euclidiana que contemos pontos p e q , onde:

a) p = ( 2, 1) e q = (1, 1); b) p = (−2, 1) e q = (1, 0);c) p = (−1, 4) e q = (0, 1); d) p = ( 2, 2 ) e q = (4, 4).





1. Axiomas da Geometria Afim Qualquer resul-tado demonstrado na Geometria Afim permanecevalido na Geometria Euclidiana, nao sendo validaa afirmacao oposta. O termo ”afim” foi introdu-zido pelo matematico suico Leonard Euler (1707 −1783). Euler nasceu em Basileia, e estudou comJohann Bernoulli. Apesar do fato de ter sido paide mais de vinte filhos e ficado cego aos 50 anos,foi um matematico prolifıco, tendo produzido maisde oitocentos trabalhos e livros, com constribuicoesfundamentais em todas as areas da Matematica.Convidado pela czarina Catarina, a grande, para trabalhar na sua corte, impri-miu sua personalidade cientıfica na matematica russa, influencia que perduraate os dias atuais. La nao existe uma separacao nıtida entre Matematica purae Matematica aplicada como estamos acostumados a fazer no ocidente.

2. Axiomas da Geometria Projetiva Real Oalemao Karl Georg Christian von Staudt (1798− 1867) foi o primeiro matematico que viu apossibilidade de construir uma Geometria logicasem o conceito de congruencia. Na sua epoca asatencoes estavam voltadas para o exame de es-truturas geometricas que fossem bastante simples.Um tal geometria define-se, essencialmente, postu-lando axiomas de incidencia. Mas o primeiro a pro-por o acrescimo de pontos ideais foi o astronomo

alemao Johannes Kepler (1571 − 1630). Sugestaonao levada em conta, na epoca.

3. Distancia em RP2 A distancia (classica) em RP2 e definida utilizando-se doisobjetos conhecidos:

i) a pojecao Ψ : S2 → RP2;

ii) a distancia θ(a, b) da esfera unitaria S2.

Como um ponto em RP2 pode ser representado por elementos de S2, definimos

d : RP2 × RP2 → R, por d (v, w) = minθ (a, b) , θ (a, −b),

onde a, b ∈ S2 sao quaisquer pontos que representam v e w , respectivamente.

O sımbolo min significa que devemos escolher o menor valor entre os doisnumeros.



Capıtulo 11

ColineacaoNos proximos dois capıtulos estudaremos as aplicac˜ oes projetivas , ou projetividades ,que sao classificadas em dois tipos,

projetividadecolineacao

correlacao

polaridade

nao polaridade

.

Uma colineac˜ ao e uma aplicacao bijetiva ψ : RP2 → RP2 que preserva colinearidade,ou seja, se u, v e w s˜ ao pontos projetivos colineares, ent˜ ao as imagens ψ(u), ψ(v)e ψ(w) s˜ ao tambem pontos projetivos colineares .

O leitor ja deve ter percebido que os topico aqui examinados sao colocado numalinguagem algebrica. Este caso nao foge a regra. A uma colineacao, associamosum operador linear do R3 e com ele em maos, iremos desenvolver a teoria semdificuldades.

No proximo capıtulo trataremos das correlacoes. Antecipemos este conceito. Oespaco das retas projetivas, ou seja, o plano projetivo dual, RP2∗, foi identificadocom o plano projetivo, RP2, portanto satisfaz aos axiomas da Geometria Projetiva.Uma correlac˜ ao e uma aplicacao bijetiva entre os planos projetivos, ρ : RP2 → RP2∗,possuindo a propriedade de colinearidade dual, ou seja, se u, v e w s˜ ao tres pontos projetivos colineares ent˜ ao ρ(u) = η, ρ(v) = µ e ρ(w) = ν s˜ ao retas projetivas concorrentes.

11.1 Operador linear e colineacao

Um operador linear invertıvel A : R3

→ R3

induz uma aplicacao no espaco projetivobasta definir



11.1. OPERADOR LINEAR E COLINEAC AO 101

A : RP2 → RP2, A(x : y : z) = A(x,y,z).

Numa forma mais compacta, escrevemos A(v) = A(v). Antes de mostrarmos quede fato a aplicacao esta bem definida vejamos um exemplo.

Exemplo 11.1.1 A matriz a seguir e nao singular pois det[A] = −10,

[A] =

1 0 −12 0 32 2 2

.

Como sabemos, o operador linear A : R3 → R3 definido por [A] e invertıvel. Acolineacao induzida no plano projetivo e a aplicacao A : RP2 → RP2,

A(x : y : z) = (x − z : 2x + 3z : 2x + 2y + 2z).

Proposicao 11.1.1 Seja A : R3 → R3 um operador linear invetıvel. Ent˜ ao a

aplicac˜ ao A : RP2

→ RP2

, A(v) = A(v), est´ a bem definida e e uma colineac˜ ao.

Prova A boa definicao e consequencia de dois fatos.

1o) Se v ∈ RP2 entao v = (0, 0, 0). Sendo A invertıvel segue que A(v) = o. Logo,o elemento A(v) ∈ RP2 esta bem definido.

2o) O valor de A num ponto projetivo nao depende do representante do ponto.Vejamos esta afirmacao. Sejam u, v ∈ R3 tais que u = v. Sendo assim, existe umnumero real λ = 0 tal que u = λv . Avaliemos A(u) levando em conta que A e umoperador linear em R3,

A(u) = A(λv) = λA(v) = A(v).

Verificar que a aplicacao A e injetiva e sobrejetiva ficara como exercıcio. Nosocuparemos em mostrar que A e uma colineacao. Sejam u, v e w pontos projetivoscolineares. Pelo criterio de colinearidade temos que det [u,v,w] = 0. Apliquemos omesmo criterio para os pontos projetivos A(u), A(v) e A(w),

det[A(u), A(v), A(w)] = det([A][u,v,w]) = det[A] det[u,v,w] = 0.


1. Mostre as afirmacoes.

(a) A composta de duas colineacoes e uma colineacao.

(b) A aplicacao inversa de um operador linear invertıvel A em R3 define uma coli-neacao que e a inversa da colineacao definida por A.



102 CAPITULO 11. COLINEAC AO

(c) Se A e B sao dois operadores lineares invertıveis em R3 que definem a mesmacolineacao entao A e um multiplo de B por algum escalar λ = 0.

(d) Toda colineacao definida por por um operador linear invertıvel de R3 tem umponto fixo.

11.2 Construcao de colineacoes

Para construir um operador linear A : R3 → R3 basta estabelecer quais sao osvalores de A nos vetores da base canonica C = e1, e2, e3. Escolhidos os valoresA(e1) = u, A(e2) = v e A(e3) = w, a matriz canonica do operador linear e a matriz[A] = [u,v,w]. Quando o conjunto u,v,w e uma base de R3 o operador linear Ae invertıvel.

Para construir colineacoes procedemos da mesma forma, entretanto, o grau deliberdade e menor, e necessario prefixar o valor da colineacao em quatro pontosprojetivos nao colineares tres a tres. Este e o teorema desta secao. A demonstracaoda proposicao a seguir e construtiva, devendo ser utilizada nos exemplos numericos.

Proposicao 11.2.1 Sejam u, v, w e t pontos de RP2 n˜ ao colineares tres a tres.Ent˜ ao existe uma colineac˜ ao A : RP2 → RP2 induzida por um operador linear invertıvel A : R3 → R3, tal que

A(e1) = u, A(e2) = v, A(e3) = w, A(1 : 1 : 1) = t.

Mais ainda, o operador linear e definido pela matriz

[A] = [k1u, k2v, k3w] ,

onde k1 = 0, k2 = 0 e k3 = 0 s˜ ao as constantes

k1 =

det[t,v,w]

det[u,v,w] , k2 =

det[u,t,w]

det[u,v,w] , k3 =

det[u,v,t]

det[u,v,w] .

Alem disto, se um outro operador linear invertıvel B : R3 → R3 define a mesma colineac˜ ao que A ent˜ ao B ≡ λA para algum escalar λ = 0.

Prova Como sempre, escolhamos representantes dos pontos projetivos,

u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3), w = (w1, w2, w3), t = (t1, t2, t3).

Por hipotese, tres pontos projetivo diferentes da lista sao nao colineares. Sendoassim, os tres primeiros vetores u,v,w formam uma base ordenada de R3, fatoequivalente a afirmar que det[u,v,w] = 0. Guardemos esta informacao.

Recordamos que para qualquer ponto p ∈ RP2

vale a igualdade p = kp, paraqualquer escalar k = 0. Logo, ao exigirmos que A(ei) sejam aqueles valores, estamos




det[u,v,w] = 1, k1 = det[t,v,w] = −1,

k2 = det[u,t,w] = −3, k3 = det[u,v,t] = 4.

Pela ultima proposicao devemos construir uma matriz do tipo

[A] = k1u1 k2v1 k3w1

k1u2 k2v2 k3w2

k1u3 k2v3 k3w3

.

Observe que, praticamente, todas as entradas da matriz foram calculadas,

[A] =

−1 0 4−1 −3 4

0 −3 4

.

Portanto, A(x : y : z) = (−x + 4z : −x − 3y + 4z : −3y + 4z).

Teorema 11.2.1 Dados dois conjuntos de pontos de RP2,

u,v,w ,t, u, v, w, t

,tais que tres pontos quaisquer de cada um dos conjunto s˜ ao n˜ ao colineares. Ent˜ aoexiste uma colineac˜ ao A : RP2 → RP2 induzida por um operador linear invertıvel A : R3 → R3, tal que

A(u) = u, A(v) = v , A(w) = w , A(t) = t.

Alem disto, se um outro operador linear B : R3 → R3 define a mesma colineac˜ aoque A ent˜ ao B ≡ λA para algum escalar λ = 0.

Prova Sabemos construir colineacoes C : RP2 → RP2 e D : RP2 → RP2 tais que

C (e1

) = u, C (e2

) = v, C (e3

) = w, C (1 : 1 : 1) = t,

D(e1) = u, D(e2) = v , D(e3) = w , D(1 : 1 : 1) = t.

Agora, como a inversa de uma colineacao e uma colineacao e a composta de duas

colineacoes e uma colineacao, a aplicacao D C −1

e a colineacao procurada. Asegunda parte do teorema e um exercıcio.


1. Seja A : R3 → R3 um operador linear tal que A(v) = λvv, onde λv e um escalar quedepende de v . Mostre que λv = λ0 para todo v .

2. Mostre que se dois operadores lineares A, B : R3 → R3 induzem a mesma colineacaono plano projetivo entao B ≡ λA, para algum escalar λ = 0.



11.3. TEOREMA FUNDAMENTAL 105

3. Sejam u, v, w e t pontos de RP2. Encontre uma matriz que define a colineacaoA : RP2 → RP2 tal que A(e1) = u, A(e2) = v , A(e3) = w e A(1 : 1 : 1) = t para osseguintes valores.

a) u = (0 : 1 : 1), v = (1 : 0 : −1), w = (2 : 1 : 0), t = (1 : 1 : 3).b) u = (1 : 1 : 1), v = (1 : 1 : −1), w = (1 : 2 : −1), t = (1 : 2 : 3).

c) u = (1 : 1 : −1), v = (1 : 1 : 1), w = (1 : 2 : 3), t = (1 : 2 : −1).d) u = (2 : 1 : 0), v = (1 : 1 : 3), w = (0 : 1 : 1), t = (1 : 0 : −1).

4. Determine a inversa das matrizes.

a) [A] =

24

0 1 21 0 11 −1 0

35 ; b) [B] =

24

2 1 11 0 10 −1 3

35 ; c) [C ] =

24

0 1 11 0 11 −1 3

35 ;

d) [D] =

24

0 2 11 1 11 0 3

35 ; e) [E ] =

24

1 1 11 1 21 −1 −1

35 ; f ) [F ] =

24

1 1 11 1 21 −1 3

35 ;

g) [G] =

24

1 1 11 2 21 −1 3

35 ; h) [H ] =

24

1 1 11 2 2

−1 −1 3

35 .

5. Verifique que a matriz [A], descrita ao lado, defineuma colineacao em RP2 e determine os pontos fixadospor A.

[A] =

1 −1 1−1 1 1

1 1 2

.

11.3 Teorema fundamental

Como visto na secao anterior, um op erador linear invertıvel A : R3 → R3 induz umacolineacao A : RP2 → RP2. A recıproca deste fato tambem e verdadeira.

Teorema 11.3.1 (Teorema fundamental da Geometria Projetiva) Toda co

-lineac˜ ao ψ : RP2

→ RP2

e induzida por um operador linear invertıvel A : R3

→ R3

.

A demonstracao seguira de dois resultados. O primeiro afirma que o unicoautomorfismo do corpo dos reais e a aplicacao identidade. O segundo resultadoclassifica todas funcoes do R2 nele proprio que aplica retas em retas. Demonstremoso primeiro resultado

Proposicao 11.3.1 Se f : R → R e uma aplicac˜ ao n˜ ao identicamente nula tal que para quaisquer x e y reais valem as igualdades:

a) f (x + y) = f (x) + f (y); (aditiva)

b) f (xy) = f (x)f (y). (multiplicativa)




Ent˜ ao f (x) = x.

Prova Registremos algumas observacoes.

1a Observac˜ ao f (a) = 0 se, e somente se, a = 0. Vejamos. As igualdadesf (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0) implicam que f (0) = 0. Suponha, por absurdo, queexista um a = 0 tal que f (a) = 0. Entao

f (x) = f

ax

a

= f (a)f

x

a

= 0 f (

x

a) = 0.

Isto significa que f e identicamente nula, uma contradicao.

2a Observac˜ ao f e uma funcao ımpar, pois

0 = f (0) = f (x + (−x)) = f (x) + f (−x),

3a Observac˜ ao f (1) = 1. Para qualquer x real temos que f (x) = f (1x) =f (1)f (x), portanto, f (x)(f (1) − 1) = 0. Como f nao e identicamente nula, existe

x0 tal que f (x0) = 0. Logo, f (1) = 1.4a Observac˜ ao f (x2) = [f (x)]2 para qualquer x pois f (x2) = f (x x) = f (x)f (x).

Afirmacao 1 f (nx) = nf (x) para quaisquer inteiro n e qualquer x real.

Fixemos qualquer x real. Demonstremos por inducao que a afirmacao e verda-deira para qualquer n ≥ 0. Para n = 0 a afirmacao e correta pelas observacoes inici-ais. Vamos assumir que a afimacao seja verdadeira para n. Calculemos f ((n + 1)x),

f ((n + 1)x) = f (nx + x) = f (nx) + f (x) = nf (x) + f (x) = (n + 1)f (x).

Portanto, a firmacao e verdadeira para qualquer n ≥ 0.

Para n < 0, utilizamos o fato da funcao ser ımpar, f (nx) = f ((−

n)(−

x)) =(−n)f (−x) = (−n)(−f (x)) = nf (x). Isto conclui a demonstracao da afirmacao.

Afirmacao 2 f ( nm

x) = nm

f (x) para qualquer racional nm

e qualquer x real.

Fixemos qualquer x. Seja m = 0 um inteiro. Pela afirmacao anterior podemosescrever,

f (x) = f m

mx

= mf

1

mx

.

Logo, f ( 1m

x) = 1m

f (x). Agora e facil concluir a demonstracao da afirmacao.

Afirmacao 3 f ( nm

) = nm

para todo racional nm

.

A demonstracao e trivial,

f nm = f n

m1 = n

mf (1) = n

m.




Afirmacao 4 f preserva a ordem, isto e, se x < y entao f (x) < f (y).

Seja x > 0. Como existe a > 0 tal que a2 = x, temos f (x) = f (a2) = [f (a)]2 > 0.Isto e suficente para mostrar que f preserva a ordem. Vejamos. Se x < y entao0 < y − x. Pelo visto, 0 < f (y − x) = f (y) − f (x), portanto f (x) < f (y).

Concluındo a demonstracao da proposicao. Suponha, por absurdo, que exista x0tal que f (x0) = x0. Sem perda de generalidade, p odemos assumir que f (x0) < x0.Como sabemos, dados dois numeros reais distintos, existe um racional entre eles.Escolha um racional a tal que f (x0) < a < x0. Como f preserva a ordem e ae racional, temos que a = f (a) < f (x0), uma contradicao. Logo f (x) = x paraqualquer x real.

Proposicao 11.3.2 Seja B : R2 → R2 e uma func˜ ao biunıvoca tal que B(o) = o.Se B aplica retas Euclidianas em retas Euclidianas ent˜ ao B e um operador linear invertıvel.

Prova O termo ”aplica retas em retas” significa que a imagem de uma reta Eucli-diana esta contida numa reta Euclidiana.

Sejam l1 e k retas tais que B (l1) ⊂ k. Inicialmente mostraremos que B (l1) = ke l1 e a unica reta cuja imagem esta contida em k.

Vamos supor, por absurdo, que exista um ponto q ∈ k mas q /∈ B(l1). Nestecaso, como B e biunıvoca existe um unico ponto q 0 tal que B (q 0) = q . E claro queq 0 /∈ l1. Seja l2 uma reta que contem q 0 e e perp endicular a l1 em q 1 ∈ l1. ComoB aplica retas em retas e B(q 0), B(q 1) ∈ k estao em B(l2) ⊂ k. Agora, dado umponto qualquer p de R2, ele pertence a uma reta l que intercepta l1 ∪ l2 em pelomenos dois pontos, digamos p1 e p2. Novamente, como B( p1), B( p2) ∈ k segue que

B(l) ⊂ k. Isto mostra que B(R2

) ⊂ k. Uma constradicao, pois estamos supondoque B e sobrejetiva.

Portanto, so existe a reta l1 tal que B (l1) = k.

Mostremos agora que as imagens por B de quaisquer duas retas paralelas l1 e l2sao duas retas paralelas. Pelo visto, as suas imagens B(l1) e B(l2) sao retas distintas.Suponha, por absurdo, que exista um ponto na intersecao p ∈ B(l1) ∩ B(l2). Sendoassim, a pre-imagem B−1( p) tem pelo menos dois pontos, um em cada reta paralela,contradizendo a hipotese de B ser biunıvoca.

Afirmacao 1 Se v, w e uma base de R2 entao B(v + w) = B(v) + B(w).

A hipotese de ser base implica que v e w nao sao nulos e nao colineares. Sejam

l1 e l2 as retas distintas que concorrem na origem e tais que v ∈ l1 e w ∈ l2. Sendoassim, v + w = l1 ∩ l2, em que l 1 e a reta que passa por w e e paralela a reta l1




enquanto l 2 e a reta que passa por v e e paralela a l2. Examinemos as imagens porB das retas acima,

B(o), B(v) ∈ k1 = B(l1) e B(o), B(w) ∈ k2 = B(l2).

Como sabemos, k1 e k2 sao retas distintas, logo, β = B(v), B(w) e uma base de

R2

pois nenhum vetor e nulo e sao nao colineares. Agora, as retas k

1 = B(l

1) ek2 = B(l2) sao retas que passam, respectivamente, por B(w) e B (v) e sao paralelas,respectivamente, a k1 e k2. E claro que B(v) + B(w) = k

1 ∩ k2. Por outro lado,B(v + w) = B(l1 ∩ l2) = k

1 ∩ k2, portanto, B (v + w) = B(v) + B(w).

Afirmacao 2 Existe uma transformacao linear invertıvel A : R2 → R2 tal que acomposta C = A−1 B e expressa na forma C (x, y) = (f (x), g(y)), em que f e gsao biunıvocas, f (0) = g(0) = 0 e f (1) = g(1) = 1. E mais, C satisfaz as hipotesesdo teorema.

Como feito na Afirmacao 1, mostramos que o conjunto de dois vetores β =B(e1), B(e2) e uma base de R2. Seja A : R2 → R2 a transformacao linear tal queA(e1) = B(e1) e A(e2) = B(e2). Mais precisamente, seja A(x, y) = xB(e1)+yB(e2).

Como β e uma base entao A e invertıvel. Recordamos que A−1 e uma transformacaolinear.

Sendo uma transformacao linear, A−1 aplica retas em retas, A−1(o) = o e, sendoinvertıvel, A−1 e sobrejetiva. Agora, e imediato concluir que C = A−1 B tambeme uma aplicacao biunıvoca, aplica retas em retas e C (o) = o. Portanto, C satisfaztodas as hipoteses da proposicao.

Por construcao, C (o) = o, C (e1) = e1 e C (e2) = e2. Isto implica que C pre-serva os eixos ox e oy. Logo, C transforma retas horizontais em retas horizontaisenquanto retas verticais sao transformadas em retas verticais. Isto e suficiente paramostrar que C (x, y) = (f (x), g(y)). A biunicidade de f e g e os valores enunciadosdeixaremos como exercıcio. Isto conclui a demonstracao da afirmacao.

Iremos mostrar que C ≡ id. Disto segue que A ≡ B, portanto, B e umatransformacao linear.

Afirmacao 3 As funcoes coordenadas de C (x, y) = (f (x), g(y)) sao aditivas, ouseja, f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) e g(y1 + y2) = g(y1) + g(y2).

Examinemos apenas f , o estudo de g e similar.

Dados x1 e x2. Se x1 = 0, considere a base v, w do R2, em que v = (x1, 0)e w = (x2, 1). Pela Afirmacao 1, vale a aditividade C (v + w) = C (v) + C (w),implicando que f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2). Se x1 = 0, como f (0) = 0, e imediatoverificar que f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2).

Afirmacao 4 f ≡ g e f (x1x2) = f (x1)f (x2).




Seja α ∈ R. Consideremos uma reta com inclinacao α, digamos l : y = αx + b0,e calculemos a inclinacao i(α) da reta imagem C (l). Para isto, sejam (0, b0) e(x,αx + b0) dois pontos distintos de l. E claro que x = 0. A inclinacao de C (l) e

i(α) = g(αx + b0) − g(b0)

f (x) − f (0)

= g(αx)

f (x)

.

A ultima igualdade segue por g(αx + b0) = g(αx) + g(b0) e f (0) = 0. Avaliandoem x = 1 obtemos que i(α) = g(α) pois f (1) = 1. Logo, g(αx) = g(α)f (x) paraquaisquer x e α. Avaliando em α = 1 concluımos que g ≡ f pois g(1) = 1. Portanto,f (αx) = f (α)f (x). Isto encerra a demonstracao da afirmacao.

Pelo visto, f (x) = x = g(x). Logo, C (x, y) = (f (x), g(y)) = (x, y), encerrando ademonstracao da proposicao.

Prova do Teorema fundamental da Geometria Projetiva Seja ψ : RP2 →RP2 uma colineacao. Sem perda de generalidade, podemos assumir que ψ preservaa reta ideal I ∞ e fixa o ponto (0 : 0 : 1). Caso isto nao ocorra, consideramos os

pontos projetivos nao colineares tres a tres,

a = ψ(1 : 0 : 0) ∈ ψ(I ∞), b = ψ(0 : 1 : 0) ∈ ψ(I ∞) e c = ψ(0 : 0 : 1),

e construımos uma colineacao D : RP2 → RP2 induzida de um operador linear doR3 tal que

D(a) = (1 : 0 : 0), D(b) = (0 : 1 : 0) e D(c) = (0 : 0 : 1).

Logo, a composta D ψ : RP2 → RP2 e uma colineacao que fixa o ponto (0 : 0 : 1)e preserva a reta ideal desde que fixa dois de seus pontos, quais sejam (1 : 0 : 0) e(0 : 1 : 0).

Iremos supor que a colineacao ψ esta sob as condicoes descritas acima. Sendoassim, ψ aplica biunivocamente o plano afim no plano afim. Isto permite definiruma aplicacao B : R2 → R2 via identificacao afim, estabelecendo que

B(x, y) e tal que (B(x, y) : 1) = ψ(x : y : 1).

Como

ψ e uma aplicacao biunıvoca do plano afim que aplica retas afins em retasafins,

a identificacao afim aplica retas Euclidianas do R2 em retas afins e

como (B(0, 0) : 1) = ψ(0 : 0 : 1) = (0 : 0 : 1),




e imediato concluir que

B aplica retas Euclidianas em retas Euclidianas,

B fixa a origem o

∈R2

e B e biunıvoca.

Portanto, B : R2 → R2 e um op erador linear invertıvel. Considere o operador linearinvertıvel A : R3 → R3, definido por A(x,y,z) = (B(x, y), z). Ficara aos cuidadosdo leitor mostrar que ψ = A.


1. Mostre as afirmacoes

(a) Toda colineacao tem um ponto fixo.

(b) Se uma colineacao fixa quatro pontos ela e a identidade.

(c) Existem colineacoes que fixam os pontos e1, e2 e e3 mas que nao sao a identidade.

2. Demonstre o seguinte teorema para n = 3 e depois use inducao para o caso geral.

Teorema Seja B : Rn → Rn uma aplicac˜ ao biunıvoca tal que B(o) = o. Se B aplica hiperplanos em hiperplanos ent˜ ao B e um operador linear invertıvel.

11.4 Teorema de Papus

Para falar sobre triangulos, quadrilateros, pentagonos e outros polıgonos no planoprojetivo precisamos definir o significado destes termos que tem suas origens naGeometria Euclidiana plana. Por exemplo, um quadrilatero em RP2 e um polıgonoprojetivo obtido de um quadrilatero do plano Euclidiano, via identificacao afim,seguido de uma colineacao. Transportamos juntos os significados de vertice, lados,esta inscrito, etc.

O ob jetivo do restante do capıtulo e demonstrar dois dos mais antigos teoremasda geometria projetiva, o teorema de Papus e o teorema de Desargues. Expliquemos

o teorema de Papus no plano Euclidiano. Para facilitar a leitura, ao denotar umareta no plano Euclidiano determinada pelos pontos A e B, escreveremos lAB.



11.4. TEOREMA DE PAPUS 111

Acompanhe o enunciado grafica-mente. Sejam l e s duas retasquaisquer no plano Euclidiano.Escolhamos seis pontos distintos,tres pontos sobre a primeira reta,

digamos, U , V e W , e tres sobre aoutra reta, U , V e W . Considere ospontos

A = lV W ∩ lV W , B = lUW ∩ lU W , C = lU V ∩ lU V .

O teorema de Papus afirma que A, B e C sao colineares.

Transportaremos o teorema de Papus da Geometria Euclidiana para uma lingua-gem projetiva utilizando a identificacao afim. Como o numero de retas envolvidasno problema e grande e nao temos muitas letras gregas apropriadas para designa-las, fixaremos uma notacao. Dados os pontos projetivos distintos u e v denotamosa reta projetiva que contem u e v , por η uv = u

×v.

Teorema 11.4.1 (Teorema de Papus) Sejam u, v, w, u, v e w seis pontos projetivos distintos, dos quais os tres primeiros est˜ ao sobre uma reta rη e os tres ´ ultimos fora desta reta e sobre uma outra reta rν . Ent˜ ao os pontos de intersec˜ ao

a = rηvw ∩ rηvw

, b = rηuw ∩ rηuw

, c = rηuv ∩ rηuv

,

s˜ ao pontos colineares 1.

Prova As hipoteses implicam que u, v , w e b sao nao colineares tres a tres. Sendoassim, a menos de uma colineacao, podemos supor que

u = (1 : 0 : 0), v = (0 : 1 : 0), w = (0 : 0 : 1), b = (1 : 1 : 1).

Afirmacao 1 Sendo v colinear com u e w , podemos escolher

v = (β, 0, 1) com β = 0.

Senao vejamos. Como u = (1, 0, 0) e w = (0, 0, 1) pertencem ao plano Γe2 e ve colinear com u e w e sao distintos, entao qualquer representante de v e da formav = (s, 0, t), com s = 0 e t = 0. Logo, podemos tomar v = t(s/t, 0, 1). O vetor(s/t, 0, 1) tambem sera um representante de v . Facamos β = s

t.

Afirmacao 2 Sendo u colinear com w e b, podemos escolher

u = (1, 1, α) com α

= 0.

1A reta projetiva contendo tais pontos e chamada de reta de Papus.




Seja u = (s,t,r) um representate de u. Pelo criterio de colinearidade temos

t − s = det[w,b,u] = 0.

Logo, s = t. Devemos ter s = 0, caso contrario u = (0 : 0 : α) = w, uma con-tradicao pois os pontos considerados sao distintos. Concluımos que u = (s,s,r) =

s (1, 1,r/s). Facamos α

= r/s.Afirmacao 3 Sendo w colinear com u e b, podemos escolher

w = (γ , 1, 1) com γ = 0.

A demonstracao e semelhante a demonstracao da afirmacao anterior.

Continuemos. Os pontos u, v e w estao sobre a reta projetiva rν , portanto,pelo criterio de colinearidade temos a seguinte relacao entre os coeficientes α e γ ,

0 = det[u, v, w] = det

1 0 γ

1 1 1α 0 1

= 1 − αγ .

Guardemos esta relacao. Calculemos agora os pontos de intersecao das retas proje-tivas. Sabendo que b = (1 : 1 : 1), precisamos calcular

a = ηvw × ηvw, c = ηuv × ηuv.

Levando em conta as representacoes obtemos

ηvw = v × w = (−1, −β + γ , β ), ηvw = v × w = (1, 0, 0),

ηuv = u × v = (0, 0, 1), ηuv = u × v = (1, αβ − 1, −β ).

Finalmente, calculando os pontos as intersecoes,

a = (0, β , β − γ ) , c = (−αβ + 1, 1, 0),

verifiquemos que os pontos sao colineares pois

det[a,b,c] = 0 1 −αβ + 1

β 1 1β − γ 1 0

= β − αβγ = β (1 − αγ ) = 0.


1. Verifique o teorema de Papus para os pontos dados.

a) u = (1 : −1 : 0), v = (1 : 1 : 2), w = ( 0 : 1 : 1),u = (1 : −1 : 1), v = (2 : −2 : 1), w = (−1 : 1 : 1).

b) u = (1 : 0 : −1), v = (1 : 1 : −2), w = (5 : 2 : 3),u = (1 : 1 : 0), v = (1 : 3 : 1), w = (0 : 2 : 1).

c) u = (2 : 1 : −1), v = (0 : 1 : 1), w = (1 : 2 : 1),u = (1 : 1 : 1), v = (0 : 2 : 1), w = (1 : 3 : 2).



11.5. TEOREMA DE DESARGUES 113

2. Considere as retas Euclidianas l1 : y = xl2 : y = 2x − 3

.

Escolhidos os pontos sobre a reta l1, A(1,1), B(2, 2) e C (3, 3), e os pontos sobre a retal2, A(1, −1), B (2, 1) e C (6, 3), determine as coordenadas das intersecoes P , Q e R

e mostre que sao pontos colineares, ondeP = lAB ∩ lAB, Q = lAC ∩ lAC , R = lBC ∩ lBC .

3. Coloque o problema em linguagem projetiva e prove-o. Sejam A, B e C pontosdistintos sobre uma reta l e A, B e C pontos distintos sobre outra reta l = l demaneira que nenhum destes pontos estao na intersecao l ∩ l. Se as retas lAA, lBB ,lCC sao coincidentes em P , entao a reta de Papus e concorrente com l e l .

11.5 Teorema de Desargues

O Teorema de Desargues diz respeito a triangulos em perspectiva. Acompanhe nafigura o enunciado. Considere o plano contendo o triangulo com vertices u, v e w.

Vamos assumir que posicionado em O exista um ponto de luz e que o triangulo sejaopaco. O triangulo projeta uma sombra sobre um outro plano determinando umtriangulo cujos vertices sao u, v e w.

O Teorema de Desargues afirma que os la-dos correspondentes do triangulo e de suasombra concorrem na reta intersecao dosdois planos. Com isto, fica descrita umapropriedade basica da perspectiva, ao es-tabelecer uma tecnica fundamental paradesenhos, onde a realidade visual e regis-trada graficamente sobre uma superfıcie

plana. Transcrevamos todas estes fatosfısicos num teorema com linguagem projetiva.

Teorema 11.5.1 (Teorema de Desargues) Seja ∆ = u,v,w um conjunto de tres pontos projetivos distintos e n˜ ao colineares e seja ∆ = u, v, w outro conjunto de tres pontos projetivos distintos e nao colineares tais que ∆ ∩ ∆ = e que

p = rηuu ∩ rηvv

∩ rηww.

Ent˜ ao os pontos projetivos a, b e c s˜ ao colineares,2 em que

a = rηvw

∩rηvw , b = rηuw

∩rηuw , c = rηuv

∩rηuv .

2A reta projetiva assim definida e a reta de Desargues.




Prova Assuma que os pontos projetivos u, v , w e p sao nao colineares tres a tres(o caso contrario e trivial). A menos de uma colineacao, podemos simplificar oscalculos assumindo que

u = e1, v = e2, w = e3, p = (1 : 1 : 1).

Afirmacao 1 Existem numeros reais α, β e γ diferentes de zero tais que os pontosu, v e w podem ser representados por

u = (1 + α, 1, 1), v = (1, 1 + β, 1) e w = (1, 1, 1 + γ ).

Demonstraremos apenas a existencia de α, as outras igualdades tem demons-tracoes semelhantes. Os pontos p, u e u sao colineares e distintos em RP2, im-plicando que todos pertencem a um mesmo plano perfurado em R3 e dois deles,digamos, p e u, sao linearmente independentes. Logo, u = sp + tu, para algums = 0 e t = 0. Como

u = sp + tu = s( p + ts

u),

facamos α = ts

.

Afirmacao 2 Os pontos projetivos ηvw, ηuw e ηuv sao

ηuv = (−β : −α : (1 + α)(1 + β ) − 1),

ηuw = (+γ : 1 − (1 + α)(1 + γ ) : +α),

ηvw = ((1 + β )(1 + γ ) − 1 : −γ : −β ).

A demonstracao e um calculo direto.

Afirmacao 3 Os pontos projetivos a, b e c podem ser representados por

a = (0, β , γ ), b = (α, 0, −γ ), c = (−γ,β, 0).

Finalizando. O calculo

det[a,b,c] = det 0 α −α

β 0 β γ −γ 0

= βγα − αβγ = 0,

mostra que os tres pontos sao colineares.


1. Sejam u = (1 : 0 : 1), v = (1 : 2 : 2), w = (−1 : 1 : 1), u , v e w pontos tais que asretas projetivas rη

uu, rη

vv e rη

ww sao concorrentes em p = (0 : 0 : 6). Determine

representantes para u , v e w sabendo-se que eles sao pontos ideais e estao na retade Desargues.



Capıtulo 12

ConicasA intersecao de um cone cujo verticee a origem do R3 e o plano horizon-tal com equacao z = 1 produz umadas tres curvas classicas denomina-das de conicas: elipse, parabola ouhiperbole. Estamos interessados emestudar tais curvas, mas nao com a fi-nalidade de determinar seus eixos, fo-cos, assıntotas, etc. ou suas proprie-dades metricas como, por exemplo, asrazoes entre as distancias de pontosaos focos e diretrizes, estudo feito nosultimos anos do Ensino Medio. Exis-tem belos resultados, como o Teorema

de Pascal, exibindo propriedades nao metricas das conicas e que dependem apenasdo conceito de incidencia. Toda a forca da Geometria Projetiva surge ao demons-

trarmos estes teoremas, certamente, um dos pontos altos da teoria.

12.1 Cones em R3

Em algum momento da nossa vida de estudante, seja quando estudamos Calculo naUniversidade ou Geometria Analıtica no Ensino Medio, ouvimos ou lemos a frase

”x2 + y2 − z2 = 0 e a equacao de um cone em R3.”

De fato, ao registramos graficamente o conjunto dos pontos v = (x,y ,z) ∈ R3 cujascoordenadas satisfazem a equacao obtemos uma figura que entendemos como sendoum cone com vertice na origem.

Aquela equacao possui uma propriedade que nos induz a pensar no plano proje-



12.1. CONES EM R3 117

Uma pergunta se impoe imediata-mente. Qual o significado da reta projetiva η = A∗(v) ∈ RP2∗?Algebricamente a resposta e facil. Areta projetiva rA∗(v) e obtida pela

projecao do plano perfurado em R3

cujo vetor normal e η = A(v). Nanossa notacao, e a reta projetiva ob-tida pela projecao do plano perfuradoΓA(v).

A resposta geometrica e crucial para o estudo das propriedades de conicas queenvolvam apenas o conceito de incidencia. O plano ΓA(v) e o plano tangente aocone no ponto v! Examinemos esta afirmacao. Primeiro, observe que v ∈ ΓA(v)

pois v, A(v) = 0. Segundo, a reta λv tambem pertence ao mesmo plano e aocone. Resta mostrar que esta reta e a precisamente a intersecao do plano e o cone.

Deixaremos a demonstracao deste fato para depois.Em resumo. Alem de obtermos uma curva em RP2, isto e, o conjunto de p ontos

projetivos v = (x : y : z) que satisfazem a equacao x2 + y2 − z2 = 0, tambemobtemos a reta projetiva tangente no ponto v , qual seja, η = A∗(v) = (x : y : −z).

Precisamos transportar todas as informacoes para o R2 pois, afinal, desejamosestudar conicas no plano. A tarefa e simples via identificacao afim. Por exemplo, oponto

v = (3 : 4 : 5) =35 : 45 : 1

pertence a conica C do plano projetivo definida pela equacao homogenea (ordem 2)x2 + y2 − z2 = 0. A reta projetiva tangente a conica no ponto v e

A(v) = η = (3 : 4 : −5).

Pela identificacao afim,

obtemos a equacao do cırculo unitario canonico em R2, x2 + y2 − 1 = 0(considerando z = 1),

o ponto p = (35 , 45) pertence ao cırculo unitario

e a reta Euclidiana l : 3x + 4y − 5 = 0 e a reta tangente ao cırculo no ponto p.

Mas tudo isso e p ouco diante do que vai ser dito.




12.2. QUADRICAS 119

[A] =

7 −1 5/2−1 1 −2

5/2 −2 0

.

Exemplo 12.2.2 O operador linear simetrico associado a equacao x2 + y2 + z2 = 0

e a identidade I d do R3. O unico vetor v = (x,y,z) ∈ R3 que satisfazem a condicaov,Id(v) = 0 = x2 + y2 + z2 e o vetor nulo.

O exemplo acima nos diz um p ouco mais. Um operador linear simetrico comtodos os autovalores positivos e dito ser positivo. Em Algebra Linear, e mostradoque, neste caso, vale a condicao v, A(v) > 0 para todo vetor nao nulo v. Logo, umoperador linear simetrico positivo produz uma quadrica (degenerada) que reduz-sea um ponto, a origem. Fato similar ocorre com um operador simetrico com todosautovalores negativos, vale a inequacao v, A(v) < 0 para todo vetor v = o. Por-tanto, a quadrica correspondente tambem reduz-se a um ponto. Nao estudaremosquadrica cujo operador associado tem todos os autovalores com o mesmo sinal.

Devido a naturalidade da relacao entre um operador linear e sua matriz na basecanonica, iremos nos referir a autovalores, a autovetores, a quadrica determinadapor uma matriz em lugar de empregar estes termos a operadores lineares.

Exemplo 12.2.3 Devemos fazer mais restricoes sobre o tipo de equacao que deve-mos analisar. Considere o conjunto dos pontos v = (x,y,z) ∈ R3 cujas coordenadassatisfazem a equacao homogenea x2−y2 = 0. Com uma manipulacao algebrica sim-ples obtemos a decomposicao (x+y)(x−y) = 0. A quadrica correspondente em R3 ea uniao de dois planos. Evidentemente, qualquer pessoa de bom senso nao ve formade cone alguma num esboco das solucoes. Os matematicos idem. Mas o privilegio

compensatorio e poder detetar algebricamente o fenomeno. Para isso, e suficienteexaminar os autovalores do operador linear cuja matriz simetrica associada e

[A] =

1 0 00 1 00 0 0

.

Os autovalores sao λ1 = 1, λ2 = 1 e λ3 = 0. O autovalor zero provoca a degene-recencia da quadrica, estamos examinando uma quadrica degenerada. Excluiremosestes casos patologicos do nosso estudo.

Tendo em vista os comentarios acima, iremos estudar formas quadraticas pro-venientes de operadores lineares A de R3 satisfazendo as seguintes condicoes:

eles sao simetricos;



120 CAPITULO 12. CONICAS

seus autovalores sao distintos de zero (A e invertıvel);

os autovalores nao tem o mesmo sinal.

O conjunto solucao A em R3 da forma quadratica cujo operador linear associadoesta sob as condicoes acima e chamado de cone em R3 e, pelo visto, sua definicao

utilizando a condicao de incidencia e

A = v ∈ R3; v, A(v) = 0.

Nos ocuparemos somente destes casos. A intersecao do cone A com o planoΓe3 : z = 1, produz tres tipos de curvas em R2, via identificacao afim, chamadas deconicas: elipse, parabola e hiperbole.

Exemplo 12.2.4 Pelo algoritmo construido noinıcio desta secao, a matriz simetrica ao lado defineo cone A : x2 − 2xy + y2 + 2xz + 2yz + 2z2 = 0.

[A] =

1 −1 1−1 1 1

1 1 2

.

Se desejarmos utilizar a linguagem de operadores lineares, consideramos o ope-rador linear A : R3

→R3, A(x,y,z) = (x

−y + z,

−x + y + z, x + y + 2z), e definimos

o cone pela equac˜ ao de incidencia , A : v, A(v) = 0.

De fato, esta quadrica e um cone pois seus autovalores sao λ1 = 2 > 0, λ2 =1 +

√ 12 > 0 e λ3 = 1 − √

12 < 0.

A conica obtida em R2 via identificacao afim (z = 1) tem equacao C : x2−2xy +y2 + 2x + 2y + 2 = 0. Logo adiante, teremos condicoes de saber qual e o tipo deconica: elipse, parabola ou uma hiperbole.

O fato que permite estudar estas curvas planas no plano projetivo e a seguintepropriedade do cone A. Se λ = 0 e v ∈ A ⊂ R3 entao, λv ∈ A pois

λv,A(λv) = λ2v, A(v) = 0.

Portanto, a projecao Ψ : R3

/o → RP2

, Ψ(v) = v, aplica o cone A (menosa origem) numa curva sobre o plano projetivo, chamado de cˆ onica projetiva , ousimplesmente, conica. Como veremos logo a seguir, o plano projetivo e o espacomais apropriado para estudar as conicas.


1. Mostre que o determinante de uma matriz 3× 3 e igual a zero se, e somente se, existeum autovalor igual a zero.

2. Para cada equacao homogenea de ordem 2 determine um operador linear A : R3 → R3

e reescreva a equacao com a condicao de incidencia v, A(v) = 0.

a) x2

− 3y2

+ z2

= 0. b) 4x2

+ 2y − z2

= 0. c) −3x2

+ y2

+ 4z2

= 0.d) 2xy − 2xz + 2yz = 0. e) 6x2 − yz = 0. f) (x − z)2 = 0.



12.3. CORRELAC OES 121

12.3 Correlacoes

Como feito anteriormente, o conjunto das retas projetivas RP2∗ foi identificado como plano projetivo RP2. Desejamos estudar as aplicacoes bijetivas ρ : RP2 → RP2∗

que preservam colinearidade, isto e, tres pontos projetivos colineares sao aplicados

em tres retas projetivas concorrentes. Tais aplicacoes e suas inversas sao chamadasde correlac˜ oes .

Nada impede que dado um operador linear invertıvel A : R3 → R3 possamosdefinir uma aplicacao A∗ : RP2 → RP2∗, pela qual associamos um ponto projetivo va uma reta projetiva r pois o contra domınio e ”um plano projetivo”. A utilizacaodo asterisco nesta notacao tem o objetivo de distingui-la de colineacao, aplicacaodefinida e estudada no capıtulo anterior, cujo domınio e contradomınio e o planoprojetivo. Aqui o contradomınio e o plano projetivo dual.

Exemplo 12.3.1 O operador linear A de R3 cuja matriz canonica e

[A] = 0 1 01 0 10 1 −1

e invertıvel pois det[A] = 0. Em termos de coordenadas homogeneas ele define aaplicacao A∗ : RP2 → RP2∗,

A∗(x : y : z) = (y : x + z : y − z).

Por exemplo, o ponto projetivo v = (1 : 1 : 3) e aplicado na reta projetiva rη, ondeη = (1 : 4 : −2). A inversa de A∗ e a aplicacao A∗ : RP2∗ → RP2 (o asterisco ecolocado na posicao inferior),

A∗(v) = A−1(v).

Para explicitar a aplicacao precisamos saber a matriz inversa de [A],

[A]−1 =

−1 1 11 0 01 0 −1

.

Sendo assim, A∗(x : y : z) = (−x + y + z : x : x − z). A reta projetiva η = (2, −1, 3)e aplicada no ponto projetivo v = (−3 : 2 : −1).

De fato, um operador linear invertıvel de R3 induz uma correlacao.

Proposicao 12.3.1 Seja A um operador linear invertıvel em R3. Os pontos proje-

tivos u, v,w ∈ RP2

s˜ ao colineares, se e somente se, as retas projetivas A∗

(u), A∗

(v),A∗(w) ∈ RP2∗ s˜ ao concorrentes.




Prova A colinearidade e a concorrencia estao relacionadas por

det[A(u), A(v), A(w)] = det ([A][u,v,w]) = det[A] det[u,v,w].

Sendo assim, det[u,v,w] = 0, se, e somente se, det[A(u), A(v), A(w)] = 0.

Deixamos ao leitor o trabalho de enunciar e provar o resultado similar para a

inversa A∗ da correlacao A∗. Pelo Teorema Fundamental da Geometria Projetiva,toda correlacao e deste tipo, isto e,

cada correlac˜ ao e induzida por um operador linear invertıvel de R3 e este ope-rador e unico a menos de uma multiplicac˜ ao por um escalar diferente de zero.

Iniciaremos a apresentacao deste ponto, temos em maos um operador linearinvertıvel A : R3 → R3. A correlacao induzida por A e a aplicacao denotada edefinida por

A∗ : RP2 → RP2∗, A∗ (v) = A(v).

Para recordar, a notacao A∗(v) e rA∗(v) tem o mesmo significado, indicam umamesma reta projetiva. Por tudo que vimos, p odemos afirmar que a inversa da

correlacao induzida por A e a correlacao induzida pelo operador A−1

, ou seja,A∗ : RP2∗ → RP2, A∗(η) = A−1(η).

12.4 Polaridades

Uma correlacao e uma polaridade se sua matriz e simetrica . Para uma redacao maisprecisa e conveniente nomear os dois tipos de correlacoes. Uma aplicacao polar euma correlacao simetrica

A∗ : RP2 → RP2∗,

e uma aplicacao p´ olo e uma correlacao simetrica

A∗ : RP2∗ → RP2.

Uma propriedade relevante de operadores simetricos invertıveis e que seu ope-rador inverso tambem e simetrico e [A−1]t = [A−1]. Portanto, a inversa de umapolaridade e uma p olaridade. Ao utilizarmos os termos ”a polaridade definida pelooperador A” fica subentendido que sao as duas aplicacoes, polar e polo, como defi-nidas acima. Temos a seguinte consequencia deste fato.

Proposicao 12.4.1 Polaridade preserva incidencia: v ∈ rη ⇔ A∗(η) ∈ rA∗(v).

Prova Examinemos as equacoes de incidencia

A−1(η), A(v) = η, A−1t A(v) = η, A−1 A(v) = η, v = v, η.



12.4. POLARIDADES 123

O membro esquerdo e igual a zero se, e somente se, o membro direito o e.

Sejam A∗ : RP2 → RP2∗ e A∗ : RP2∗ → RP2 as aplicacoes polar e polo, respec-tivamente, associadas a um operador linear simetrico invertıvel A do R3.

• Quando v ∈ rA∗(v) diremos que o ponto projetivo v e autoconjugado. Observe

que a condicao de ser autoconjugado e expressa algebricamente pela equacaode incidencia v, A(v) = 0. Em outras palavras, v pertence ao seu polar.

• Quando A∗(η) ∈ rη diremos que a reta projetiva η e autoconjugada . Da mesmaforma, a condicao de ser autoconjugada e expressa pela equacao de incidenciaA−1(η), η = 0. Uma reta projetiva e autoconjugada se ela incide em seupolo.

Proposicao 12.4.2 Uma reta projetiva rη contem no m aximo dois pontos auto-conjugados associados a uma aplicac˜ ao polar A∗ : RP2 → RP2∗.

Prova Sejam v e w dois pontos autoconjugados e distintos sobre a reta rη. Assim

sendo, rA∗(v) e rA∗(w) sao retas distintas e qualquer ponto do plano Γη ⊂ R3 e umacombinacao linear dos dois vetores v e w. Portanto, os pontos da reta projetiva rη

sao expressos na forma

u = sv + tw, onde s e t sao numeros reais nao nulos simultaneamente.

Pela equacao de autoconjugacao temos que v, A(v) = 0 = w, A(w). Vamossupor, por absurdo, que u0 = s0v + t0w seja um outro ponto autoconjugado em rη.Expressemos algebricamente a condicao deste ponto ser autoconjugado. Utilizandoa bilinearidade do produto interno e a simetria, A = At,

0 = u0, A(u0)= s20

v, A(v)

+ 2s0t0

v, A(w)

+ t20

w, A(w)

= 2s0t0v, A(w).

Como s0 = 0 e t0 = 0 entao v, A(w) = 0, significando que v ∈ rA∗(w). Mas v eautoconjugado, entao v ∈ rA∗(v), implicando que

v ∈ rA∗(w) ∩ rA∗(v).

Pelo fato de A ser simetrica tambem temos w, A(v) = 0, significando que w ∈rA∗(v). Novamente, pelo mesmo argumento de autoconjugacao, concluımos que

w ∈ rA∗(v) ∩ rA∗(w).

Mas duas retas projetivas incidem num unico ponto. Logo, v = w, uma contradicao

pois estavamos assumindo que eles eram distintos. Pelo visto, nao existe um terceiroponto autoconjugado na reta projetiva rη.





1. Determine matricialmente todas as aplicacoes polares A∗ : RP2 → RP2∗ tais que ospontos e1, e2, e3, u = (1 : 1 : 1) e v = (1 : 1 : 0) sejam autoconjugados.

2. Sabendo-se que a3 + b3 + c3 > 3abc mostre quea matriz ao lado determina uma polaridade. [A] = a b c

b c ac a b

.

3. Uma aplicacao polar A∗ : RP2 → RP2∗ possui pontos autoconjugados se, e somentese, os autovalores da matriz [A] nao tem o mesmo sinal.

12.5 Conicas em RP2

Uma conica em RP2 definida por uma aplicacao polar A∗ : RP2 → RP2∗ e o conjuntoformado pelos pontos que pertencem ao seu polar. Mais precisamente.

Definicao 12.5.1 A conica determinada pela aplicac˜ ao polar A

∗

: RP

2

→ RP

2∗

e o conjunto definido e denotado por

CA = v ∈ RP2; v, A(v) = 0.

A partir deste ponto passaremos a supor que a conica n˜ ao e vazia nem dege-

nerada. Isso significa que os autovalores do operador linear invertıvel e simetrico

A : R3 → R3 n˜ ao possuem o mesmo sinal.

Numa definicao mais tecnica poderıamos dizer que a conica CA e o conjunto dospontos projetivos autoconjugados em relacao a aplicacao polar A∗. Ou, a conica eo conjunto dos pontos que satisfazem a condicao v ∈ rA∗(v). Observamos que nadefinicao de conica o conjunto

CA nao depende do representante do ponto projetivo

tomado, pois se v, A(v) = 0 e λ = 0 entao λv,A(λv) = λ2v, A(v) = 0.

Exemplo 12.5.1 Considere a matriz simetrica

[A] =

1 −1 1−1 1 1

1 1 2

.

A matriz [A] define um operador linear A em R3 e este por sua vez induz umacorrelacao A∗ : RP2 → RP2∗ desde que o determinante de [A] nao e nulo. A∗ e umaaplicacao polar e define uma conica em RP2. Esta informacao esta registrada nopolinomio caracterıstico de A, p(λ), pois as raızes sao nao iguais a zero e nao tem

o mesmo sinal, p(λ) = (λ − 2)(λ − 1 + √ 3)(λ − 1 − √ 3). A equacao homogenea daconica CA no plano projetivo e calculada por v, A(v) = 0, sendo assim,



12.5. CONICAS EM RP2 125

CA : x2 − 2xy + 2xz + y2 + 2yz + 2z2 = 0.

Pergunta. Quais dos pontos projetivos v = (−1 : 1 : 1) e w = ( 1 : 1 : 1 )pertencem a conica CA?

Uma conica e classificada em tres tipos, dependendo da sua intersecao com areta ideal. Diz-se que uma conica CA e:

♦ uma elipse , se CA nao intercepta I ∞;

♦ uma par´ abola , se CA intercepta I ∞ num unico p onto;

♦ uma hiperbole , se CA intercepta I ∞ em dois pontos.

Estas sao as tres possibilidades para a intersecao com a reta ideal pois, comovimos na ultima proposicao da secao anterior, uma reta projetiva p ossui no maximodois pontos autoconjugados.

Exemplo 12.5.2 Examinemos a equacao homogenea x2

−2xy +2xz +y2

+2yz = 0.A matriz simetrica associada [A] define um operador linear A em R3 cujo polinomiocaracterıstico possui tres raızes reais nao nulas e nem todas tem o mesmo sinal,

p(λ) = (λ − 2)(λ − √ 2)(λ +

√ 2).

O operador induz uma aplicacao polar e a equacao dada e a equacao de autoconjugacao de um ponto projetivo v = (x : y : z). Verifiquemos se a conica tem pontoideal. Seja v = (x : y : 0). Substituindo na equacao obtemos as igualdades

0 = x2 − 2xy + y2 = (x − y)2.

Portanto, a unica intersecao da conica com a reta ideal e o p onto v = (x : x : 0) =(1 : 1 : 0). A conica

CA e uma parabola.

Agora, os pontos (x, y) ∈ R2 tais que (x : y : 1) ∈ CA devem satisfazer a equacao

x2 − 2xy + 2x + y2 + 2y = 0.

Esta e a equacao de uma parabola em R2.

Exemplo 12.5.3 Consideremos a matriz simetrica

[A] =

1 −1 3−1 1 5

3 5 −2

.

Como o determinante da matriz e diferente de zero, p odemos garantir que [A] defineuma correlacao A∗ : RP2

→RP2∗,

A(x : y : z) = (x − y + 3z : −x + y + 5z : 3x + 5y − 2z).




A condicao de autoconjugacao, v, A(v) = 0, nos da a equacao homogenea

CA : x2 − 2xy + 6xz + y2 + 10yz − 2z2 = 0.

Examinemos a existencia de pontos ideais sobre a conica. Seja v = (x : y : 0).Substituindo suas coordenadas na equacao obtemos

x2 − 2xy + y2 = (x − y)2 = 0.

Portanto, um ponto ideal v = (x : y : 0) pertence a CA se, e somente se, x = y , ouseja, CA∩I ∞ = (1 : 1 : 0). Logo, como existe pelo menos um ponto autoconjugado,CA nao e vazio, os autovalores de A nao tem o mesmo sinal e A∗ e uma aplicacaopolar, isto e, CA e uma parabola.

Quais pontos do (x, y) ∈ R2 que atraves da identificacao com o plano afimpertence a conica? Para responder consideramos o ponto v = (x : y : 1) ∈ RP2 eexigimos que ele pertenca a conica CA, isto e, que suas coordenadas satisfacam aequacao de incidencia. Feito isto obtemos a parabola

x2 − 2xy + 6x + y2 + 10y − 2 = 0.

Exemplo 12.5.4 Consideremos o subconjunto de R2,

C : 3x2 − y2 + 2xy − 1 = 0.

Qual o tipo de conica em R2 esta definida por esta equacao homogena? A resp ostae simples. Consideramos a conica projetiva

CA : 3x2 − y2 + 2xy − z2 = 0.

Aquela primeira equacao e obtida desta ultima via identificacao afim. Verificamosse existe pontos ideais sobre a conica projetiva,

0 = 3x2 − y2 + 2xy = 4x2 − (x − y)2.

Existem dois pontos ideais, a saber,w1 = (x : −x : 0) = (1 : −1 : 0),w2 = (x : 3x : 0) = (1 : 3 : 0).

Logo, C : 3x2 − y2 + 2xy − 1 = 0 hiperbole em R2.A matriz simetrica 3 × 3, que define a conica CA :3x2 − y2 + 2xy − z2 = 0 no plano projetivo e dada aolado.

[A] =

3 1 01 −1 00 0 −1

.

Observe que pelos fatos det[A] = 0 e CA = v ∈ RP2; v, A(v) = 0 nao servazio, sabemos que os autovalores da matriz nao possuem o mesmo sinal.


1. Determine a equacao da conica CA induzida pelo operador linear A cuja matriz na



12.6. RETAS TANGENTES 127

base canonica e dada abaixo.

a) [A] =

1 1 01 −1 30 3 1

. b) [A] =

1 −1 1−1 3 1

1 1 2

. c) [A] =

−2 3 −13 2 1

−1 1 3

.

2. Considere a aplicacao polar associada a matriz simetrica

[A] = −5 −3 4

−3 −1 24 2 −2

.

a) Dados os pontos projetivos v = (1 : −2 : −1) e w = (1 : 1 : 3) e determine areta intersecao das retas projetiva A∗(v) ∩ A∗(w).

b) Verifique que p = (−1 : −13 : 1) e q = (−1 : −1 : 1) pertencem a conica CA.

3. Classifique as conicas no plano Cartesiano.

a) C : x2 − 4xy − 10y2 = 0. b) C : 6x2 − 3xy − y2 − 1 = 0.c) C : x2 + xy + y2 − 1 = 0. d) C : 3x2 − 4y2 + 24xy − 156 = 0.

12.6 Retas tangentes

Sejam A∗ : RP2 → RP2∗ e A∗ : RP2∗ → RP2 as aplicacoes polar e polo, respectiva-mente, induzidas por um operador linear simetrico invertıvel A do R3. Assuma quea aplicacao polar define uma conica CA ⊂ RP2.

Definicao 12.6.1 A cˆ onica dual e o conjunto definido e denotado por

C∗A = η ∈ RP2∗; A−1(η), η = 0.

Um ponto desta cˆ onica e chamado de reta tangente.

A definicao ilustra quao elegante e a teoria de conicas quando o tratamento efeito com a linguagem projetiva. Iremos mostrar que um p onto de C∗A e, de fato,uma reta projetiva tangente a conica CA com o significado de tangencia que estamoshabituados. Com a notacao ja fixada vale a seguinte proposicao.

Proposicao 12.6.1 A∗(CA) = C∗A.

Prova Merecem registros duas afirmacoes. A primeira garante que uma reta projetiva η tangente a conica ”toca” CA em pelo menos um ponto, a saber, A∗(η).

Afirmacao 1: Se η ∈ C∗A (tangente a conica) entao A∗(η) ∈ CA. Em particular,

A∗(η) ∈ CA ∩ rη.




Por definicao de reta tangente temos que A∗(η) ∈ rη. Em termos de equacao deincidencia podemos escrever A−1(η), η = 0. Verifiquemos que o ponto projetivoA∗(η) = A−1(η) tambem pertence a conica CA,

A−1(η), A(A−1(η) = A−1(η), η = 0.

Portanto, A∗(η) ∈ CA ∩ rη.A segunda afrimacao garante que para construir uma (que sera unica) reta

tangente a conica no ponto v ∈ CA devemos tomar a reta projetiva A∗(v).

Afirmacao 2: Se v ∈ CA entao A∗(v) ∈ C∗A (tangente a conica). Em particular,v ∈ CA ∩ rA∗(v).

Por definicao de conica, se v ∈ CA entao v ∈ rA∗(v). Como a aplicacao polar ea aplicacao polo sao aplicacoes inversas uma da outra, temos que A∗(A∗(v)) = v ∈rA∗(v). Em outras palavras, a reta projetiva rA∗(v) e tangente a conica.

Agora, como A∗ e a inversa de A∗, a proposicao segue facilmente.

Caracterizemos geometricamente retas tangentes. Como sabemos do Calculo,

uma reta tangente a uma conica em R2 intercepta a conica num unico p onto.

Proposicao 12.6.2 rη ∩ CA = v se, e somente se, A∗(v) = η ∈ C∗A.

Prova (⇐) Seja η ∈ C∗A. Pelas afirmacoes estudadas na demonstracao da proposicaoacima podemos garantir que A∗(η) = v ∈ CA∩rA∗(v). Assumamos, por absurdo, queexista um outro ponto w nesta intersecao. Sendo assim, qualquer ponto do planoΓA(v) ⊂ R3 e uma combinacao linear dos vetores v e w. Portanto, os pontos da retaprojetiva rA∗(v) sao expressos na forma

u = sv + tw, onde s e t sao numeros reais nao nulos simultaneamente.

Levando em conta as equacoes de autoconjugacao v, A(v) = 0 = w, A(w), acondicao de incidencia w, A(v) = 0, a bilinearidade do produto interno e a simetriado operador linear A, avaliemos u, A(u), onde u = sv + tw,

u, A(u) = 2stv, A(w) = 2stw, A(v) = 0.

Como s e t podem ser simultaneamente nao nulos, as igualdades acima mostram quea reta projetiva rA∗(v) possui infinitos pontos autoconjungados. Uma contradicaopois como sabemos, podem existir no maximo dois pontos autoconjugado sobre umareta projetiva. A recıproca ficara como exercıcio.

Exemplo 12.6.1 Considere a conica em R2. C : x2 + xy + y2 − 1 = 0. Calculemos

a equacao da reta tangente a conica C no ponto p = (1, −1). Como sempre, consi-deramos a conica projetiva CA : x2 + xy + y2 − z2 = 0. De fato, CA e um conjunto



12.7. CONSTRUINDO CONICAS 129

nao vazio pois p = (1 : −1 : 1) e um dos seus elementos. Como a aplicacao polarassociada e A∗ : RP2 → RP2∗,

A∗(x : y : z) = (x + 12y : 12x + y : −z),

a reta tangente rη no ponto p = (1 : −1 : 1) e a reta polar deste p onto,

η = A∗( p) = (12 : −12 : −1) = (−12 : 12 : 1).

A reta tangente a conica no R2 e obtida via identificacao afim, l := −12x+ 1

2y+1 = 0.

A conica C no R2 e uma elipse pois nao existe intercao de CA com o reta ideal.Senao vejamos. Seja v = (x : y : 0). Por substituicao temos as igualdades

x2 + xy + y2 = (x + 12y)2 + 3

4y2 = 0.

Verifica-se que a unica solucao seria x = y = 0. Mas nao existe ponto projetivo comtodas as coordenadas homogeneas iguais a zero.


1. Seja CA a conica associada a matriz dada ao lado.

(a) O ponto p = (2 : −1 : 12 + 32

√ 3) ∈ CA?

(b) Se p = (2 : −1 : 2), determine os pontos da in-tersecao CA ∩ A∗( p).

[A] =

2 −1 3−1 1 5

3 5 −2

.

2. Calcule a equacao da reta tangente a conica em R2, C : x2 + xy + y2 − 1 = 0 nos

pontos p = (−1, 1) e q = (√ 33 ,

√ 33 ).

3. Sejam A∗ e A∗ as polaridades associadas a matriz

[A] = 1 −1 1

−1 3 1

1 1 2 .

a) Determine a equacao da conica CA.

b) Verifique que u = (−1 : − 13 : 1) e v = (−1 : −1 : 1) pertencem a conica CA e

determine a reta projetiva tangente nestes pontos.

c) De a equacao da conica C do plano Cartesiano obtida pela identificacao afim eexplicite a equacao cartesiana da reta tangente a conica C no ponto correspon-dente aos pontos u e v . Identifique C (elipse, parabola, hiperbole).

12.7 Construindo conicas

Antes de tudo mostremos que uma colineacao transforma conicas em conicas.



12.7. CONSTRUINDO CONICAS 131

Prova Seja

[A] =

a b cb d ec e f

.

Para que os pontos e1

, e2

e e3

sejam autoconjugados em relacao a aplicacao polarinduzida por A as entradas da diagonal da matriz devem ser

a = e1, A(e1) = 0, d = e2, A(e2) = 0, f = e3, A(e3) = 0.

De onde segue que

[A] =

0 b cb 0 ec e 0

.

Para que os pontos u = (1 : 1 : 1) e v = (v1 : v2 : v3) sejam autoconjugados devemoster as seguintes relacoes entre os coeficientes da matriz,

0 =

u, A(u)

= b + c + e,

0 = v, A(v) = v1v2b + v1v3c + v2v3e.

Qualquer solucao deste sistema pode ser as entradas procurada. E claro que assolucoes estao na intersecao dos seguintes subespacos de R3,

Γu = (b,c,e) ∈ R3 : b + c + e = 0,

Γν = (b,c,e) ∈ R3 : v1v2b + v1v3c + v2v3e = 0.

O lema anterior e as hipoteses sobre as coordenadas homogeneas de v, implicam queos subespacos nao sao os mesmos e que ν = (v1v2, v1v3, v2v3) nao e o vetor nulo.Logo, as solucoes do sistema sao os multiplos de u×ν . Sendo assim, podemos tomarcomo entradas da matriz as coordenadas do proprio produto vetorial, ou seja,

b = v3 (v1 − v2) , c = v2 (v3 − v1) , e = v1 (v2 − v3).

Portanto, um possıvel operador simetrico que induz uma aplicacao polar para aqual aqueles pontos sao autoconjugados tem matriz canonica

[A] =

0 v3(v1 − v2) v2(v3 − v1)v3(v1 − v2) 0 v1(v2 − v3)v2(v3 − v1) v1(v2 − v3) 0

.

Resta provar que tal matriz e invertıvel. De fato, como os pontos sao nao colineares,pelo lema anterior, vi = 0 e vi = v j para todos i = j. Por outro lado, um calculodireto mostra que

det A = 2v1v2v3 (v1

−v2) (v3

−v1) (v2

−v3)

= 0.

A conica procurada e definida pela aplicacao polar determinada por A.




Exemplo 12.7.1 Determinemos a equacao da conica que incide nos pontos e1, e2,e3, u = (1 : 1 : 1) e v = (−1 : 1 : 2). Pela proposicao acima a matriz

[A] =

0 −4 3−4 0 1

3 1 0

induz a aplicacao polar A∗ : RP2 → RP2∗ cujo conjunto de pontos autoconjugados

e a conica procurada. Por um calculo direto chegamos a CA : −8xy + 6xz + 2yz = 0.Para determinar qual o tipo de conica, examinamos a intersecao com os pontosideais. Mas ja conhecemos esta intersecao, sao os pontos e1 e e2. Logo, a conica euma hiperb ole.

Teorema 12.7.1 (Teorema de Papus e Maclaurin) Dados cinco pontos proje-tivos de maneira que tres quaisquer deles s˜ ao n˜ ao colineares, ent˜ ao existe uma ´ unica cˆ onica que passa por estes pontos.

Prova Dados cinco pontos a, b, c, d e e, como descritos na hipotese. Considere aunica colineacao B∗ : RP2 → RP2 que aplica, respectivamente, os pontos e1, e2, e3e u = (1 : 1 : 1) nos pontos a, b, c, d. Seja v = B ∗−1(e). Pela proposicao anterior,existe uma unica aplicacao polar A∗ : RP2 → RP2 que define uma conica passandopelos pontos e1, e2, e3, u e v. Logo, a colinecao B∗ transforma a conica CA na conicaprocurada.

Exemplo 12.7.2 Determinemos a equacao da conica que passa pelos pontos

a = (0 : 1 : 1), b = (1 : 0 : −1), c = (2 : 1 : 0),d = (1 : 1 : 3), e = (3 : 1 : 3).

Inicialmente construımos a colineacao B : RP

2

→ RP

2

tal queB(e1) = a, B(e2) = b, B(e3) = c, B(u) = d,

onde u = (1 : 1 : 1). Como sabemos, [B] = [k1a, k2b, k3c], onde

k1 = det[d,b,c]

det[a,b,c] = −2, k2 =

det[a,d,c]

det[a,b,c] = −5, k3 =

det[a,b,d]

det[a,b,c] = 3.

Portanto, a colineacao e determinada pela matriz

[B] =

0 −5 6−2 0 3−2 5 0

.

Agora, seja

v = (v1 : v2 : v3) = B−1

(3 : 1 : 3) = (2 : 75 : 53).



12.8. TEOREMA DE PASCAL 133

Pelo teorema anterior existe uma unica conica passando por e1, e2, e3, u e v e elaesta associada a matriz

[A] =

0 1 −7/251 0 −8/15

−7/25

−8/15 0

.

A conica procurada e induzida pelo operador C em R3 cuja matriz canonica e[C ] = [B−1tAB−1].


1. Se os autovalores de uma matriz simetrica nao singular nao tem o mesmo sinal, omesmo ocorre com [C ]−1t [A][C ]−1 qualquer que seja a matriz invertıvel [C ].

2. Encontre a equacao da conica incidindo nos pontos projetivos dados e classifique-a.

a) e1, e2, e3, u = (1 : 1 : 1), v = (1 : −1 : 3).b) p = (2 : −1 : 3), q = (−1 : 1 : 5), u = (3 : 5 : −2),

v = (4 : 5 : 6), w = (12 : 13 : −8).3. Determine a equacao da conica C ⊂ R2 incidindo nos cinco pontos dados.

a) o = (0, 0), e1 = (1, 0), e2 = (0, 1), u = (1, 1), v = (1, 2).b) u = (1, 1), v = (−1, −1), w = (−1, 1), t = (2, 0), s = (0, 2).

4. Determine a equacao de uma conica inscrita no pentagono do R2 cujos lados estaosobre as retas li, i = 1, · · · , 5.

a) l1 : x = 0, l2 : y = 0, l3 : −x + y − 1 = 0,l4 : −x + y + 1 = 0, l5 : x + y − 2 = 0.

5. Sejam A∗ e A∗ polaridades induzida por A. Prove que por um ponto p existem nomaximo duas retas projetivas autoconjugadas passando por p.

6. Dadas cinco retas projetivas em RP2∗, digamos η1, η2, η3, η4 e η5, de maneira quetres quaisquer sao nao concorrentes. Mostre que existe uma unica polaridade A∗ eA∗ tal que todas as retas sao autoconjugadas.

12.8 Teorema de Pascal

O teorema de Pascal esta para conicas assim como o teorema de Papus esta pararetas Euclidianas. Utilizaremos a seguinte notacao por simplicidade de enunciado.Dados dois pontos projetivos u e v denotaremos a reta projetiva definida por estesdois pontos por rηuv , onde ηuv = u × v.

Teorema 12.8.1 (Hexagrama mıstico de Pascal) Sejam u, v, w, u

, v

, w

seis pontos distintos sobre uma conica CA. Os pontos




a = rηvw ∩ rηvw

, b = rηuw ∩ rηuw

, c = rηuv ∩ rηuv

.

s˜ ao pontos colineares.

Prova: Vamos supor inicialmente que

u = (0 : 1 : 0), v = (1 : 0 : 0), w = (0 : 0 : 1).

Como u e v pertencem ao conjuntos dos pontosideais I ∞, e os pontos ideais formam uma retaprojetiva, podemos garantir que nenhum outro

ponto nao pertence a I ∞. Portanto, podemos considerar as coordenadas para ospontos projetivos restantes com a terceira coordenada igual a 1,

u = (u1 : u2 : 1), v = (v1 : v2 : 1), w = (w1 : w2 : 1).

Como os pontos a, b e c sao intersecoes de retas projetivas, eles sao as classes deequivalencia dos seguintes pontos do R3, respectivamente,

a = ηvw × ηvw b = ηuw × ηuw c = ηuv × ηuv.

Efetuando as operacoes obtemos os vetores

ηvw = (0, −1, 0) ,ηvw = (v2 − w2, w1 − v1, v1w2 − v2w1) ,ηuw = (u2, −u1, 0) ,ηuw = (1, 0, −w1) ,ηuv = (u2 − v2, v1 − u1, u1v2 − u2v1) ,ηuv = (0, 0, −1) ,

e, apos um calculo direto, concluımos quea = (−v1w2 + v2w1 : 0 : v2 − w2) ,b = (u1w1 : u2w1 : u1) ,c = (−v1 + u1v3 : u2 − v2 : 0) .

O criterio para saber que os pontos pro jetivos a, b e c sao colineares e avaliar odeterminante da matriz [a,b,c] e concluir que ele e zero. Com uma manipulacaoalgebrica, verificamos que o determinante desta matriz e igual a um outro determi-nante de uma outra matriz, a saber,

det

−v1w2 + v2w1 u1w1 −v1 + u1

0 u2w1 u2 − v2

v2 −

w2

u1

0

= det

u1u2 u1 u2

v1v2 v1 v2

w1

w2

w1

w2

.

Portanto, o problema fica reduzido a mostrarmos que a matriz



12.8. TEOREMA DE PASCAL 135

[M ] =

u1u2 u1 u2

v1v2 v1 v2w1w2 w1 w2

.

tem determinante zero, ou equivalentemente, mostar que o operador linear em R3

definido pela matriz [M ] tem nucleo nao trivial. Para isto, basta exibir um vetor

nao nulo (k1, k2, k3) ∈ R3 tal que M (k1, k2, k3) = (0, 0, 0). Este vetor procuradoesta relacionado com a matriz simetrica nao singular, A, que define a conica CA.Vejamos. Vamos supor, para facilitar os calculos, que a matriz A e escrita como

[A] =

l k1 k2

k1 m k3

k2 k3 n

.

Como u, v , w ∈ CA devemos ter, por definicao da conica as igualdades,

0 = u, A(u) = l0 = v, A(v) = m

0 = w

, A(w

) = n

.

De onde segue que

[A] =

0 k1 k2

k1 0 k3

k2 k3 0

.

Por hipotese, os pontos projetivos u, v e w tambem pertencem a conica CA. Por-tanto, das equacoes

0 = u, A(u), 0 = v, A(v), e 0 = w, A(w).

obtemos o sistema de equacoes com incognitas k1, k2 e k3,

u1u2k1 + u1k2 + u2k3 = 0v1v2k1 + v1k2 + v2k3 = 0

w1w2k1 + w1k2 + w2k3 = 0.

Mas o sistema pode ser reescrito matricialmente na forma u1u2 u1 u2

v1v2 v1 v2

w1w2 w1 w2

k1

k2

k3

=

000

.

Como [A] e uma matriz nao singular temos que

det 0 k1 k2

k1 0 k3k2 k3 0

= 2k1k2k3 = 0.




Observe que o vetor (k1, k2, k3) ∈ R3 e um vetor nao nulo, pois todas as suascoordenadas sao diferentes de zero, e esta no nucleo do operador linear M , impli-cando que o determinante da matriz associada a M e zero. Mas, por construcao,det[M ] = det[a,b,c]. Logo, a, b e c estao sobre uma mesma reta pojetiva, comodesejavamos demonstrar.


1. Seja CA a conica associada a matriz [A] descrita ao lado.Verifique que os pontos a seguir estao sobre a conica CAe determine a reta de Pascal.

[A] =

1 −1 1−1 1 1

1 1 2

.

u = (−1 : −1 : 2), v = (−1 : −1 : 0), w = (15 : 3 : −6),u = (1 : 5 : −2), v = (−5 : −1 : 4), w = (5 : 13 : −2).

2. Determine cinco pontos a1, a2, a3, a4 e a5 sobre CA, em

que a matriz [A] e descrita ao lado. Detemine a equacaoda conica que passa por B(a1), B(a2), B(a3), B(a4) eB(a5), em que [B] e a matriz

[A] = 2 −

1 3−1 1 5

3 5 −2.

[B] =

1 1/2 1/31/2 1/3 1/41/3 1/4 1/5

.

3. Dadas as quatro retas projetivas descritas a seguir, con-sidere o hexagono inscrito na conica CA determinado porestas retas. Prove que suas diagonais sao concorrentes.A conica e determinada pela matriz [A] descrita ao lado.

[A] =

1 −1 1−1 1 1

1 1 2

.

η1 = (2, 2, 2), η2 = (0, 0, 2) η3 = (6, −18, 6)

η4 = (−6, 2, 2), η5 = (0, 8, 2), η6 = (−10, 6, 14),

12.9 Teorema de Brianchon

Recordamos que um polıgono no plano projetivoRP2 e obtido de um polıgono no R2 via identi-ficacao afim, composta com uma colineacao.

Teorema 12.9.1 (Teorema de Brianchon)As diagonais determinadas por pares opostos de vertices de um hex´ agono circunscrito a uma cˆ onica

s˜ ao concorrentes.




Sao conhecidos muitos outros resultados relacionandopolıgonos inscritos em conicas, envolvendo incidencia,e apenas incidencia. As figuras que ilustram os enun-ciados estao feitas em elipses por comodidade, mas po-deriam ser ilustradas com qualquer outra conica.

Proposicao 12.9.1 Se um pent´ agono e inscrito numa cˆ onica, a reta tangente a um vertice intercepta a reta que contem o lado oposto num ponto que e colinear com os pontos de intersec˜ ao das retas definidas pelos outros dois pares de lados n˜ ao adjacentes.

Proposicao 12.9.2 Sejam s, t, u, v, w vertices de um pent´ agono inscrito numa cˆ onica CA, tal que a reta projetiva rηuv e oposta ao vertice s. Ent˜ ao os pontos a seguir s˜ ao colineares,

a = A∗(s) ∩ rηuv , b = rηst ∩ rηvw , c = rηsw ∩ rηvt .

Proposicao 12.9.3 Sejam A, B, C e D vertices de um quadril´ atero inscrito numa cˆ onica, onde A e C s˜ aovertices opostos. Se tA e tC s˜ ao as retas tangentes a cˆ onica nos pontos A e C , respectivamente, ent˜ ao os pontos tA ∩ lCD , tB ∩ lAB e lAC ∩ lBD s˜ ao colineares.

Proposicao 12.9.4 Sejam A, B, C e D vertices de um quadril´ atero inscrito numa cˆ onica, onde A e C s˜ aovertices opostos. Se tA tB, tC e tD s˜ ao as retas tangen-tes a cˆ onica nos pontos dos respectivos indices, ent˜ aoos pontos tA

∩tD, tC

∩tB e lAB

∩lCD s˜ ao colineares.


1. Conicas Cerca de 430 aC o grego Hipocrates de Chios (± 470 aC − ± 410 aC)colocou o problema da ”duplicacao do cubo”: dado um cubo com aresta decomprimento a, construir a aresta de um outro cubo (utilizando apenas reguae compasso), cujo volume seja o dobro do volume do cubo dado. Ele e seusdiscıpulos transladaram este problema para a resolucao de um outro problema,qual seria, a intersecao de duas curvas planas. Hoje sabe-se, utilizando teoriade Galois que a solucao com regua e compasso nao e possıvel.

Setenta anos depois, um aluno de Eudoxos, Menaecmus (± 380 aC − ± 320




aC), mostrou que estas curvas podem ser definidas como uma secao de umcone circular reto por um plano perpendicular ao gerador. A partir deste fato,foram determinadas varias propriedades metricas sobre as curvas, como aquelaque relaciona razao entre distancias de seus pontos aos focos e diretriz. Muitosestudaram estas curvas, entre os quais o grego Aristeu (

± 370 aC

− ± 300

aC), Euclides e Apolonio de Perga (± 260 aC, Grecia, 190 aC. Alexandria).Apolonio foi o introdutor dos nomes, elipse, parabola e hiperbole e descobriuas propriedades harmonicas de polo e polar. Sua obra, Cˆ onicas , e um tratadocom 400 proposicoes.

Com Papus de Alexandria ( ± 290 aC − ± 350 aC) inicia-se a hoje chamadaGeometria Projetiva, muitos dos seus resultados diziam respeito apenas aincidencia. O unico escrito de Papus que sobreviveu ao tempo foi Sinagoga ,uma colecao de oito livros de Matematica escrita com o objetivo de rever ageometria grega com comentarios, cobrindo todos os topicos. Nao era um livrodidatico como os Elementos.Treze seculos depois, ja na Renascenca, nasceu o

frances Blaise Pascal (1623 − 1662), inventor, cien-tista ecletico e prodıgio da Matematica. Seu pai,o advogado Etiene Pascal, com ideias educacionaisnao ortodoxas, assumiu a educacao do filho por contapropria, decidindo que Blaise Pascal so estudaria Ma-tematica ao completar 15 anos de idade. Retirou to-dos os textos de Matematica da residencia, atitudeque despertou a curiosidade do garoto que passou a,

sozinho, estudar Geometria. Aos 12 anos de idade, Blaise Pascal demonstrouque a soma das medidas dos angulos internos de um triangulo e 180o. Aotomar conhecimento da demonstracao, o pai rendeu-se, presenteando-o com

uma copia dos Elementos de Euclides.Em Paris, aos 14 anos de idade, Pascal passou aacompanhar o pai nos encontros patrocinado pelo jesuıta Martin Mersene (1588 − 1648), reunioes ocor-ridas na cela de Mersene. Muitos dos participan-tes entraram para a historia da Matematica: GirardDesargues (1591 − 1661), Rene Descartes (1597 −1650), Pierre de Fermat (1601 − 1655), Gilles Per-sone de Roberval (1602 − 1675) e muitos outros. Aos16 anos, em 1639, Pascal expos num dos encontrosum teorema de Geometria Projetiva que ficou conhe-

cido como o ”hexagono mıstico de Pascal”.Esse foi o primeiro teorema genuinamente nao metrico sobre conicas. No ano




seguinte publicou Ensaios Sobre Secoes Conicas, do qual restou para a historiaapenas a pagina com a demonstracao do hexagrama mıstico. Nao mais parou,aos dezoito anos inventou a primeira maquina digital para calculo (vendeu 50exemplares), foi teologo, fez trabalhos em Fısica, Combinatoria e devemos asua criatividade ate o prosaico carrinho de mao! E sua, a maxima: O corac˜ ao

tem raz˜ oes que a pr´ opria raz˜ ao desconhece .Apos um seculo, o escoces Colin Maclaurin (1698 − 1746) apresentou o metodopara contruir uma conica passando por cinco pontos dados e, praticamente,nada mais foi acrescentado, por decadas, a teoria de conicas, como a Geometriaem geral. Ate que um calouro de 21 anos da l’Ecole Polytechnique de Paris,Charles Julian Brianchon (1785 − 1864), retomou o teorema de Pascal, hamuito esquecido e publicou, pela primeira vez, no Jornal da l’Ecole, o teoremaprojetivo ”dual”de Pascal com uma serie de corolarios. Com ele, a teoria deconicas retornou com toda a forca.

A primeira abordagem sistematica sobre conicas foi apresentada pelo suicoJakob Steiner (1796

− 1863), outro com uma biografia singular. Nao sabia

ler ou escrever ate aos 14 anos de idade e so frequentou a escola aos 18 anos,contra a vontade dos pais. Estudou na Universidade de Heidelberg em Berlinenquanto tinha um modestıssimo salario de professor de escola. Ele definiuconicas, utilizando a ideia de relacionar p encil e centros.

Mas foi o alemao Karl Georg Christian VonStaudt (1798 − 1867) que descobriu a mais im-portante prepriedades de conicas, a relacao entrepolo e polar. Ela e mais importante que a propriaconica em si e pode ser estabelecida independen-temente dela. Hoje, a polaridade e utilizada paradefinir a conica. O tratamento de conicas dado

neste texto, devemos a ele. Uma cˆ onica e o conjunto dos pontos que pertencem ao seu polar .



Capıtulo 13

Particao de conjuntosFaremos uma breve apresentacao de relacoes de equivalencia sobre um conjunto.Utilizamos este conceito para particionar um conjunto em subconjuntos disjuntosdois a dois e construir novos espacos geometricos, como o plano projetivo, porexemplo.

13.1 Particionando conjuntos

Desejamos descrever em linguagem tecnica um procedimento para particionarmosconjuntos em subconjuntos disjuntos dois a dois. Um exemplo deixara mais claro osignificado dos termos empregados.

Seja B o conjunto formado por todos os brasileiros. Este conjunto pode serparticionado em 28 subconjuntos, onde cada sub conjunto e constituido pelas p essoascom a mesma naturalidade, nasceram na mesma unidade federativa (estado oudistrito federal). A uniao destes subconjuntos e o conjunto B e tais subconjuntossao dois a dois disjuntos, a intersecao de dois subconjuntos diferentes e sempre oconjunto vazio, pois uma pessoa nao pode ter nascido em duas UF´s diferentes.Se enumerarmos as unidades federativas respeitando-se a ordem lexografica, F 1 e oconjunto formado pelos brasileiros que nasceram no Estado do Acre, F 2 e formadopor aqueles que sao naturais do Estado do Amapa, F 3 correspondente ao Estado doAmazonas, etc. podemos considerar um novo conjunto

= F 1, F 2, F 3,...,F 29

cujos elementos sao subconjuntos de B . O conjunto possui as propriedades

i) F i = (nao e vazio);

ii) Se F i ∩ F j = φ entao F i = F j ;iii) B = ∪29

i=1F i.



142 CAPITULO 13. PARTIC AO DE CONJUNTOS

Voltemos a ideia de considerar subconjuntos como elementos de outro conjunto.Como ja foi dito, dado um conjunto A denota-se por P (A) o conjunto das partesde A. Por definicao de P (A), podemos escrever uma afirmacao,

C ⊂ A se, e somente se, C ∈ P (A).

Como o conjunto vazio φ e sempre um sub conjunto de qualquer conjuto A, portantoφ ∈ P (A). Uma particao de A sera um subconjunto especial de P (A). Este conceitoe definido da seguinte forma.

Definicao 13.1.1 Seja A um conjunto n˜ ao vazio. Diremos que um subconjunto ⊂ P (A) e uma partic˜ ao de A se, e somente se, as seguintes afirmac˜ oes s˜ aoverdadeiras:

i) nenhum elemento de e o conjunto vazio;

ii) dois elementos quaisquer de ou s˜ ao iguais ou s˜ ao disjuntos;

iii) a uni˜ ao dos elementos de e igual a A.

Exemplo 13.1.1 Voltando para o exemplo acima. O conjunto = F i29i=1 e umaparticao de B , onde F i e o subconjunto da populacao brasileira nascida na unidadefederativa F i.

Um fato que sera amplamente explorado sera imaginar que podemos implodiros subconjuntos da particao em ”pontos” e criar um modelo geometrico para repre-senta-lo, modelo que muitas vezes vizualizamos atraves de um esboco grafico. NaMatematica, a ideia de implodir cada subconjunto da particao num ponto possuium termo tecnico para designa-lo, um registro apropriado e um significado preciso.

Como ocorre geralmente quando estudamos Geometria, a palavra elemento etrocado pela palavra ponto. Portanto, uma notacao bastante conveniente e repre-sentar os elementos da particao por x, onde estamos indicando por este sımbolo ounico elemento da particao que contem x. Portanto, se x e y pertencem ao mesmosubconjunto da particao entao eles representam o mesmo elemento da particao,x = y, pois so existe um unico subconjunto de A que os contem. Para enfatizareste aspecto, definimos uma funcao, chamada de func˜ ao projec˜ ao, (ou simplesmenteprojec˜ ao),

Ψ : A → , Φ(x) = x.

A projecao esta bem definida pois existe um, e somente um, subconjunto da particao

que contem x. O subconjunto e aquele que estamos indicando por x. A aplicacaoΨ tambem e sobrejetiva pois dado um ”ponto” (elemento) de , como ele e um



13.1. PARTICIONANDO CONJUNTOS 143

subconjunto nao vazio, podemos escolher algum dos seus elementos, digamos x, epor definicao da funcao projecao Ψ, ele sera a imagem de x.

Exemplo 13.1.2 Para cada inteiro n ∈ Z, defina o subconjunto An ⊂ R2 por

An =

(x, y)

∈R2; n

≤x < n + 1

.

E facil verificar que = ...,A−2, A−1, A0, A1, A2,...

e uma particao de R2 e cada subconjunto An e esbocado graficamente no planocartesiano como faixas verticais de altura nao limitada, largura 1, incluindo no seubordo a reta vertical x = n mas nao incluindo a reta vertical x = n +1. Escolhendoo ponto (n, 0) ∈ An podemos registrar a particao na forma

= . . . , (−2, 0), (−1, 0), (0, 0), (1, 0), (2, 0), . . . .

Portanto, a representacao grafica mais natural para o quociente seria a mesmarepresentacao que fazemos para o conjunto dos inteiros Z. .

Exemplo 13.1.3 Para cada r ∈ R, considere o subconjunto Ar ⊂ R2 definido por

Ar = (x, y) ∈ R2; x = r.

Tambem aqui e facil verificar que = Arr∈R e uma particao de R2 e cada Ar eesbocado graficamente no plano cartesiano como uma reta vertical. Escolhendo ospontos (r, 0) ∈ Ar podemos registrar graficamente a particao da mesma formaque representamos os numeros reais. .


1. Se A = a,b,c, descreva o conjunto P (A) e construa uma particao . Quantasparticoes voce pode construir para o conjunto A?

2. Mostre que um elemento a ∈ A pertence a um, e somente um, elemento de umaparticao de A.

3. Para cada real r ∈ R, seja N r como abaixo. Defina = N rr∈R. Verifique que euma particao de R2 e faca um esboco grafico para indicar .

(a) N r = (x, y) ∈ R2; y = r.

(b) N r = (x, y) ∈ R2; x + y = r.

(c) N r = (x, y) ∈ R2; x2 + y2 = r2.

4. Dada a funcao f : R2 → R, f (x, y) = xy. Para cada numero real r denote por N r acurva de nıvel r de f , isto e

N r =

(x, y)∈

R2; f (x, y) = r

.

Mostre que = N rr∈R e uma particao de R2 e esboce um grafico para indicar .



13.3. CLASSE DE EQUIVALENCIA 145

Simetrica a ∼ b significa que a e b nasceram na mesma unidade federativa F i.Logo, b e a nasceram na unidade federativa F i. Isto significa que b ∼ a.

Tansitiva Se a ∼ b e b ∼ c, entao a e b nasceram na unidade federativa F i e b e cnasceram na unidade federativa F j . Logo, a unidade federativa F i e a mesma que aunidade federativa F j, pois b nao pode ter nascido em duas unidades. Isto implica

que a e c nasceram na mesma unidade F i, significando que a ∼ c.


Escreva a relacao de equivalencia utilizando a liguagem de conjuntos e mostre as proprie-dades simetrica, reflexiva e transitiva.

a) Seja A = R2. Diremos que (v1, v2) ∼ (w1, w2) se v1 = w1.

b) Seja A conjunto das esferas em Rn. Diremos que a ∼ b se o raio de a e igual ao raiode b.

13.3 Classe de equivalencia

Seja ∼ uma relacao de equivalencia num conjunto A. A classe de equivalencia deum elemento a ∈ A e o subconjunto de A denotado e definido por

a = x ∈ A : x ∼ a.

Exercıcio 13.3.1 Seja ∼ uma relacao de equivalencia no conjunto nao vazio A. Sea = b entao a = b? Justifique.

Exemplo 13.3.1 Mostremos que a seguinte relacao em R2 e de equivalencia,

(x1, y1) ∼ (x2, y2) se, e somente se, x1 = x2.

1. Reflexiva E claro que (x1, y1) ∼ (x1, y1) pois x1 = x1.

2. Simetrica Dizer que (x1, y1) ∼ (x2, y2), significa dizer que x1 = x2. Maspodemos tambem escrever x2 = x1. Isto e equivalente a (x2, y2) ∼ (x1, y1).

3. Transitiva Se (x1, y1) ∼ (x2, y2) e (x2, y2) = (x3, y3), entao x1 = x2 e x2 = x3.Logo, e imediato concluir que x1 = x3, isto e, (x1, y1) ∼ (x3, y3).

Qual a classe de equivalencia de (2, 3)? Por definicao de classe de equivalencia,ela e o conjunto descrito p or

(2, 3) = (x, y); (x, y) ∼ (2, 3).




Reescrevendo este conjunto chegamos a

(2, 3) = (x, y); x = 2 e y ∈ R.

Portanto, ao fazermos o esboco grafico de (2, 3) no plano cartesiano xy obtemos uma

reta vertical cuja equacao e x = 2. Uma observacao importante e que (2, −7) ∈ (2, 3)(claro) e (2, −7) = (2, 3), pois

(2, −7) = (x, y); x = 2 e y ∈ R.

Isto nos leva a seguinte pergunta: se (x1, y1) ∈ (2, 3) entao (x1, y1) = (2, 3)? Aresposta e sim e veremos isto na proposicao a seguir. Deixamos ao leitor, a tarefade esbocar um grafico da classe de equivalencia (x1, y1).

Proposicao 13.3.1 Se ∼ e uma relac˜ ao de equivalencia num conjunto nao vazioA ent˜ ao

1. para todo a ∈ A temos a ∈ a;

2. a ∼ b se, e somente se, a = b.

Prova 1) Dado um elemento a ∈ A. Por definicao de classe de equivalencia temosque a = b ∈ A; b ∼ a. Mas uma relacao de equivalencia e simetrica, logo, a ∼ a.Isto implica que a ∈ a.

2) (⇒) Vamos supor que a ∼ b. Considere as classes de equivalencia

a = c ∈ A; c ∼ a e b = c ∈ A; c ∼ b.

Para verificar a igualdade, basta mostrar que cada um destes conjuntos contem o

outro. Se c ∈ a entao c ∼ a, mas por hipotese a ∼ b. Desde que a relacao etransitiva podemos afirmar que c ∼ b. Isto implica que c ∈ b. Como cada elementode a tambem e um elemento de b, temos mostrado a inclusao a ⊂ b. A inclusaooposta tem demonstracao semelhante utilizando a transitividade da relacao.

2) (⇐) Vamos supor que a = b. Com esta hipotese e o item 1) podemos garantirque b ∈ a. Logo, por definicao de classe de equivalencia segue que b ∼ a.

O fato importante e que uma relacao de equivalencia sobre um conjunto A defineuma particao de A. Denote por A/ ∼ o subconjunto de P (A) formado pelas classesde equivalencia dos elementos de A.

Proposicao 13.3.2 Se ∼ uma relac˜ ao de equivalencia sobre um conjunto n˜ ao vazioA ent˜ ao A/ ∼ e uma partic˜ ao de A.




1. Mostre que ∼ e uma relacao de equivalencia em Z e esboce com algum grafico Z/ ∼.

(a) a ∼ b se, e somente se, a − b e divisıvel por 2.

(b) a ∼ b se, e somente se, a − b e divisıvel por p, onde 0 = p ∈ Z.

2. Seja A = x ∈ Z : 0 ≤ x ≤ 16. Mostre que a ∼ b ⇔ a − b = 4k0, onde k0 ∈ Z esta

fixado, e uma relacao de equivalencia em A. Esboce com algum grafico A/ ∼.

3. Sejam a, b ∈ R. Diremos que a ∼ b ⇔ b − a ∈ Z. Mostre que ∼ define uma relacaode equivalencia em R e esboce graficamente R/ ∼.

4. Seja A = R2\o. Mostre que ∼ e uma relacao de equivalencia em A e esboce umgrafico para representar A/ ∼.

(a) a ∼ b ⇔ existe λ > 0 tal que a = λb. Para cada elemento a ∈ R2 dadoabaixo, determine o representante de a, cuja segunda coordenada e y = 1.

i) a = (2, 3). ii) a = (−1, −1). iii) a = (3, 1).iv) a = (−1, −7). v) a = (2, 3). iv) a = (0, 1).

(b) a ∼ b ⇔ existe λ = 0 tal que a = λb.

5. Seja A = R3

\o. Mostre que ∼ e uma relacao de equivalencia em A.

(a) a ∼ b ⇔ existe λ > 0 tal que a = λb. Faca um esboco grafico para represen-tar A/ ∼. Determine o representante de cada elemento a ∈ R3 sabendo-se quea tem a terceira coordenada z = 1.

i) a = (2, 0, 3). ii) a = (−1, 4, −1). iii) a = (3, 1, −2).iv) a = (−1, 0, −7). v) a = (2, 1, 2). vi) a = (1, 1, −1).

(b) a ∼ b ⇔ existe λ = 0 tal que a = λb.



´Indice RemissivoA

Academia Platonica 4, 7Alexandre da Macedonia 4Angulo

elıptico 76Euclidiano 60

Aplicacaoconceito 19ortogonal 51polar 122polo 122projetiva 100que preserva angulo 53que preserva norma 53que preserva produto interno 51quociente (projetiva) 89

Apolonius 7, 138Aristeu 138Aristoteles 4, 17Autoespaco 47Autolicos de Pitane 4Autovalor, autovetor 46Autoconjugado

ponto projetivo 123reta projetiva 123Axioma de Playfair 6Axiomas nao utilizados por Euclides 8

B

Base

canonica do Rn 29ordenada 29ordenada positiva (negativa) 31ortonormal 36

Begle, Edward G. 10Birkhoff, David 10Brianchon, Charles Julian 139

C

Classe de equivalencia 145Cırculo untiario canonico 58Cirilo, Patriarca de Alexandria 7Colinearidade

no plano elıptico 71no plano projetivo 94

Combinacao linear 25Congruencia

de angulos Euclidianos 61de luas 76de segmentos elıpticos 75de segmentos Euclidianos 60de triangulos elıpticos 77

Continuidadeveja Sistema axiomatico 67

Coordenadas homogeneas 89Correlacao 100Conjugada, reta projetiva 123Conica 124Conjunto

linearmente indep endente 28ortonormal de vetores 36

Correlacoes 121

Coxeter, H. M. S. 10

D

Delta de Kronecker 36Desargues, Girard 8, 138Descartes, Rene 138Desigualdade de Cauchy-Schwarz 34

Dinostrato 4Distancia

definicao 49elıptica 67Euclidiana 50projetiva 99

EElementos



150 INDICE REMISSIVO

de Euclides 5de Hipocrates 3

Elipse 125Escalar 21Esfera

dual 74

em Rn 58unitaria canonica 58, 67

EspacoCartesiano 20vetorial 21, 31

Euclides 5, 138Eudoxos 4, 138Euler, Leohnard 74, 99

F

Fermat, Pierre 138Formula de Lagrange 37Funcao projecao 142

G

Gauss, J. C. F. 7Geometria

Afim 95Analıtica 12

Elıptica (dupla) 67Elıptica simples (projetiva) 87

Espacial (solida) 62Euclidiana (plana) 57nao Euclidiana 13

Projetiva (Elıptica simples) 87

H

Hη 60Hemisferio 76Hilbert, David 9Hipatia 7Hiperbole 125Hiperplano em Rn 58Hipocrates 3, 137

I

I ∞ 90

Identificacao afim 96Identidade

cıclica 38de Lagrange 38

Isometriade Rn 49

de S2 74

J

Justiniano, Imperador Romano 7

K

Kepler, Johannes 99Klein, Felix 14

L

Lei dos senos (cossenos) em S2, 1a 80Lei dos senos (cossenos) em S2, 2a 85Liceu 4Lua 76

M

Maclaurin, Colin 139Matriz

canonica 41de uma transformacao linear 41

invertıvel 44simetrica 48transposta 48

Meneacmus 4, 138Mersene, Martin 138Movimento rıgido 49Museu de Alexandria 5

N

Newton, Isaac 7Norma 34Nucleo de uma transformacao linear 40

O

Operadorlinear 39linear simetrico 48

positivo (negativo) 48transposto 47

Orientacaode uma reta elıptica 73de uma reta Eculidiana 60

P

Papus 7, 138Parabola 125Particao de conjunto 142Pascal, Blaise 8, 138

Pitagoras 3Plano



INDICE REMISSIVO 151

afim 95Cartesiano 20em R3 62elıptico 69elıptico dual 73Euclidiano 59

orientado 72perfurado 88projetivo 88

Platao 4Polıgono projetivo 110Polinomio caracterıstico 47Pontos ideais 90Produto

vetorial 36vetorial duplo 38interno 33

Projetividade 100Ptolomeu I 5

RRelacao de equivalencia 144Reta

afim 96de Desargues 113de Papus 111em R2 62em R3 63elıptica 69elıptica orientada 72Euclidiana orientada 60perfurada 88projetiva 91tangente a uma conica 127

Roberval, Persone de 138

S

S1, S2 58Saccheri, Giovanni 8Sistema axiomatico

da Geometria Afim 96da Geometria Elıptica 66da Geometria Euclidiana 14da Geometria Projetiva 87de Euclides 6de Hilbert 9, 14

Segmentode reta Euclidiano 60

orientado 22Semi-plano

elıptico 76Euclidiano 60

Steiner, Jakob 139Subespaco vetorial 24

T

Tales de Mileto 3Teaetetus 4Teodoro de Cirene 4Teorema

da classificacao das isometrias de S2 74da classificacao das isometrias de Rn 53de Brianchon 136de Desargues 113de Girard 82de Papus 111de Papus e Maclaurin 132de Pascal 134de Pitagoras 78do nucleo e da imagem 43

espectral 48fundamental da Geom. Projetiva 105

Transformacao lineardefinicao 39invertıvel 44

Translacao 50Triangulo

elıptico 77elıptico dual 84

V

Veblen, Oswald 10Vetor normal

a um plano em R3 62

a uma reta em R2

59Vetor unitario 34Vetores ortogonais 35von Staudt, Karl Georg Christian 99, 139

W

Wesley Young, John 10



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